Сборник задач и упражнений по специальным главам высшей математики [Георгий Ионович Кручкович] (pdf) читать постранично, страница - 3
- Сборник задач и упражнений по специальным главам высшей математики 142.83 Мб, 514с. скачать: (pdf) - (pdf+fbd) читать: (полностью) - (постранично) - Георгий Ионович Кручкович
Книга в формате pdf! Изображения и текст могут не отображаться!
[Настройки текста] [Cбросить фильтры]
столбец
I
I
X
15
наковых размеров поэлементно;
^12
1
9
... Ь,1П
••■ Ощ
+
.^гт^т2 •••
.. 6,
^'тпI
••• ^тп!
1 0, то из (3.8) следует, что (ЛГ1Лг..Лгз) и (лгл)
имеют одинаковые знаки, т. е. тройки векторов лг^Гз и Лгь
*4,
Л/
Лгз имеют одинаковые ориентации: либо обе правые, либо
обе левые. В таком случае говорят, что оператор Л сохраняет
ориентацию пространства. При |Л|.
1.105. Оператор
определяется как векторное произведение
вектора а =
к на все векторы х обычного пространства.
Найти матрицу этого оператора.
1.106. В пространстве п-мерных векторов каждому вектору
Х = (Х1, Ха, ... , Хп) сопоставляется вектор 1/ = Лх = (Х1, 0, ..., 0).
Показать, что оператор Л линейный и в случае плоскости (п = 2)
или обычного пространства (п — З) совпадает с оператором проекти
рования на первую координатную ось.
1.107. Матрица А второго порядка определяет линейный опе
ратор Л на плоскости хОу. Доказать, что модуль определителя [ Л)
есть коэффициент искажения площадей под действием Л.
за
I
I
1.-
С*
Указание. См. 1.97.
2. Действия с линейными операторами. Сложение операторов и умно
жение их на число определяются равенствами
X- ■
(Л -Ь В) X = Лх -К Вх, (хА)х — хАх.
I'
(3.9)
При этом сумме операторов Л-|-В отвечает матрица А + б, а оператору аЛ — матрица хА.
Произведение операторов определяется
как их последовательное применение
>^=4:
АХ^(Т^П)Х
(ЛВ)х=Л(Дх),
/
(3.10)
т. е. сначала на вектор х действует опе
ратор В, а затем к полученному вектору
Вх применяется оператор Л. Произведение
матриц определено именно так, что опера
тору ЛВ отвечает произведение соответ
ствующих матриц АВ.
Тх
-
X
1.108. Оператор П проектирует
(- л
все векторы плоскости хОу на пря
мую х = у, а оператор Г поворачи
Рис. 11
вает их вокруг начала О на угол
я
т- Как действуют на вектор х операторы Л =ПГ, В = 2П,
с = 2П — г?
Решение. На рис. И показано, как по данному вектору х
построить векторы Лх, Вх а Сх. При этом использовалось опре
деление (3.9). Чтобы решить задачу аналитически, надо записать
матрицы (см. 1.101 и 1.92)
Ь1
/1 Г
п=
I 2 2
и\2 2.
,
т'=
'/2 __
К2\
2
2
1^2
К2
< 2
2 .
И вычислить
/1+К2 1 -/2у
2
\
\ 1+/2 1 + Г2 / ’
^2
2
1
:
Л = П4-Г = ;
И
С = 2П
2
В = 2П =
1 1/’
2-/2 2 + К2'
2
2‘
—7 =
2 --/2 ‘2- /2'
'
2
2
Чтобы найти координаты векторов Лх, Вх, Сх, надо умножить
матрицы А, В, С на столбец
из координат вектора х. Напри39
мер, если х = 4/—2], то
и +р
I
I
X
15
наковых размеров поэлементно;
^12
1
9
... Ь,1П
••■ Ощ
+
.^гт^т2 •••
.. 6,
^'тпI
••• ^тп!
1 0, то из (3.8) следует, что (ЛГ1Лг..Лгз) и (лгл)
имеют одинаковые знаки, т. е. тройки векторов лг^Гз и Лгь
*4,
Л/
Лгз имеют одинаковые ориентации: либо обе правые, либо
обе левые. В таком случае говорят, что оператор Л сохраняет
ориентацию пространства. При |Л|.
1.105. Оператор
определяется как векторное произведение
вектора а =
к на все векторы х обычного пространства.
Найти матрицу этого оператора.
1.106. В пространстве п-мерных векторов каждому вектору
Х = (Х1, Ха, ... , Хп) сопоставляется вектор 1/ = Лх = (Х1, 0, ..., 0).
Показать, что оператор Л линейный и в случае плоскости (п = 2)
или обычного пространства (п — З) совпадает с оператором проекти
рования на первую координатную ось.
1.107. Матрица А второго порядка определяет линейный опе
ратор Л на плоскости хОу. Доказать, что модуль определителя [ Л)
есть коэффициент искажения площадей под действием Л.
за
I
I
1.-
С*
Указание. См. 1.97.
2. Действия с линейными операторами. Сложение операторов и умно
жение их на число определяются равенствами
X- ■
(Л -Ь В) X = Лх -К Вх, (хА)х — хАх.
I'
(3.9)
При этом сумме операторов Л-|-В отвечает матрица А + б, а оператору аЛ — матрица хА.
Произведение операторов определяется
как их последовательное применение
>^=4:
АХ^(Т^П)Х
(ЛВ)х=Л(Дх),
/
(3.10)
т. е. сначала на вектор х действует опе
ратор В, а затем к полученному вектору
Вх применяется оператор Л. Произведение
матриц определено именно так, что опера
тору ЛВ отвечает произведение соответ
ствующих матриц АВ.
Тх
-
X
1.108. Оператор П проектирует
(- л
все векторы плоскости хОу на пря
мую х = у, а оператор Г поворачи
Рис. 11
вает их вокруг начала О на угол
я
т- Как действуют на вектор х операторы Л =ПГ, В = 2П,
с = 2П — г?
Решение. На рис. И показано, как по данному вектору х
построить векторы Лх, Вх а Сх. При этом использовалось опре
деление (3.9). Чтобы решить задачу аналитически, надо записать
матрицы (см. 1.101 и 1.92)
Ь1
/1 Г
п=
I 2 2
и\2 2.
,
т'=
'/2 __
К2\
2
2
1^2
К2
< 2
2 .
И вычислить
/1+К2 1 -/2у
2
\
\ 1+/2 1 + Г2 / ’
^2
2
1
:
Л = П4-Г = ;
И
С = 2П
2
В = 2П =
1 1/’
2-/2 2 + К2'
2
2‘
—7 =
2 --/2 ‘2- /2'
'
2
2
Чтобы найти координаты векторов Лх, Вх, Сх, надо умножить
матрицы А, В, С на столбец
из координат вектора х. Напри39
мер, если х = 4/—2], то
и +р
Последние комментарии
7 часов 47 минут назад
8 часов 22 минут назад
9 часов 15 минут назад
9 часов 20 минут назад
9 часов 32 минут назад
9 часов 45 минут назад