Сборник задач и упражнений по специальным главам высшей математики [Георгий Ионович Кручкович] (pdf) читать онлайн

г

СБОРНИК
\
ЗАДАЧ
И УПРАЖНЕНИЙ
ПО СПЕЦИАЛЬНЫМ
ГЛАВАМ
ВЫСШЕЙ
к МАТЕМАТИКИ к

Г. И. КРУЧКОВИЧ, г. М. МОРДАСОВА, в. А. ПОДОЛЬСКИЙ,
Б. С. РИМСКИЙ-КОРСАКОВ, X. Р. СУЛЕЙМАНОВА, И. А. ЧЕГИС

СБОРНИК

'

ЗАДАЧ
И УПРАЖНЕНИЙ

ПО СПЕЦИАЛЬНЫМ
ГЛАВАМ
ВЫСШЕЙ

МАТЕМАТИКИ
Под общей редакцией
Г. И. КРУЧКОВИЧА

Допущено Министерством высшего и среднего специального
образования СССР в качестве учебного пособия для студентов
высших технических учебных заведений

ИЗДАТЕЛЬСТВО «ВЫСШАЯ ШКОЛА»

Москва — 1970

517
УДК
510

С23

■7.

С23

Сборник задач и упражнений по специальным главам высшей
математики. Учебное пособие для втузов. М., «Высшая школа»,
1970 г.
512 с ИЛЛ.

Перед загл. авт.: Кручкович Г. И., Мордасова Г. М,, Сулей­
манова X. Р. и др.
Данный сборник включает в себя теоретические сведения,
задачи и упражнения по следующим спецглавам курса высшей
математики: «Матричное исчисление», «Скалярные и векторные
поля», «Функции комплексного переменного», «Специальные функ”
'
■
«Операционное исчисление».
ции», «Преобразование
Фурье»,
«Уравнения математической физики», «Основы теории вероятностей».
Типовые задачи даны с подробными решениями и пояснениями.
Приведены задачи для упражнений. К отдельным задачам даются
методические указания.
Все задачи имеют ответы.
Предназначается для студентов втузов. Может быть исполь­
зовано для самостоятельного изучения указанных глав математики,
а также для слушателей курсов усовершенствования инженеров.

2-2-3
БЗ 35/10-70

517

I

■л-

!

ПРЕДИСЛОВИЕ

Современная наука и техника предъявляют очень высокие
требования к математической подготовке инженера. Если еще
сравнительно недавно инженерная практика могла обходиться
.
не очень сложными математическими подсчетами, то возникающие
.. теперь инженерные задачи требуют, как правило, знания и при­
менения достаточно сильных и новых математических теорий.
Разумеется, это не могло не отразиться на содержании втузовского
курса высшей математики. За последние годы его программа
: неоднократно расширялась. Однако совершенно ясно, что, во-первых, эту программу нельзя увеличивать неограниченно, а во-вто­
рых, и это главное, появились разделы математики, нужные для
• специальностей одного профиля и не столь необходимые для
■ специальностей другого. В результате сначала в ведущих вузах,
• а затем и в других институтах в практику вошли специальные
; и факультативные курсы по тем или иным дополнительным гла< вам высшей м^атематики.
Предлагаемая книга представляет собой учебное пособие
'
по практической части важных для инженерной подготовки раз• делов математики, выходящих частично или полностью за рамки
; обычного втузовского курса. В то же время книга имеет и другую
не менее важную направленность. Она должна удовлетворить
запросы тех инженеров, которые нуждаются в повышении своих ма­
тематических познаний. Большая их часть учится на очных и заоч­
ных курсах и факультетах усовершенствования. Авторы настоя­
щего издания имели в виду также и тех, кто желает самостоятельно
изучить отдельные спецглавы высшей математики.
Основные особенности «Сборника задач» вытекают из следую­
щих принципов, положенных авторами в основу своей работы.
1. «Сборник задач» представляет собой единое методическое
и.
руководство, включающее в себя краткие теоретические сведения
по каждому отде_льному пункту; задачи и упражнения с более илименее подробными решениями и пояснениями к этим решениям;
задачц^ и упражнения, предлагаемые для самостоятельной работы,
К
в нужных случаях снабженные краткими указаниями; ответы
к последним задачам. Все задачи расположены в определенной
последовательности, диктуемой избранной методикой изложения

, ‘

1*

'

3

материала. Нерешенные задачи подбирались так, чтобы всякий,
кто овладел изложенными сведениями, мог вполне с ними спра­
виться. Такая структура книги делает ее пригодной для само­
стоятельного овладения предметом при самой минимальной помо­
щи со стороны преподавателя.
2. Предлагаемый задачник не предназначен для выборочного
решения отдельных задач. Он предполагает систематическую работу
с ним по избранному разделу. В соответствии с этим количество
задач и упражнений ограничивалось так, чтобы обучаюнгийся
проработал по крайней мере большинство из них. Что касается
качества задач, то, учитывая втузовскую направленность пособия,
авторы по возможности избегали задач повышенной трудности,
представляющих интерес чисто математический. Разумеется, это
совсем не означает, что в задачнике нет сравнительно сложных
задач.
3. Большинство из рассматриваемых разделов математики
являются новыми для втузовского преподавания. Отсутствие уста­
новившихся традиций создавало определенные трудности при отборе
материала, и поэтому из огромного запаса сведений, накоплен­
ных математикой по этим разделам, авторы стремились включить
в задачник только те, которые по их мнению способствуют глу­
бокому усвоению основных понятий по каждому разделу.
4. Сосредотачивая свое внимание, главным образом, на матема­
тической стороне предмета, авторы стремились показать геометри­
ческий, физический, а иногда и технический смысл рассматри­
ваемых вопросов.
Труд по написанию настоящего пособия распределялся между
авторами следующим образом: Г. И. Кручковичу принадлежит
глава I, Г. М. Мордасовой — главы III и IV, В. А. Подольско­
му— глава VII, Б. С. Римский-Корсаков написал главы V и VI,
X. Р. Сулейманова — главу II, И. А. Чегис — главу VIII. В то же
время при подготовке книги к изданию авторский коллектив
выступал как единое целое.
Все члены авторского коллектива, работая на кафедре высшей
математики Л1осковского института радиотехники, электроники
и автоматики, неоднократно читали лекции и вели занятия по
спецглавам курса математики как со студентами института, так
и с инженерами, обучающимися на факультете усовершенствова­
ния при МИРЭА. Из опыта этой работы и возник настоящий
«Сборник задач».
Авторы выражают благодарность профессору В. В. Рыжкову
и доценту Ю. И. Гроссбергу за весьма тщательное рецензирование
рукописи книги. Сделанные ими замечания значительно способ­
ствовали улучшению ее текста. Понимая вместе с тем, что напи­
санное пособие возможно и не лишено тех или иных недочетов,
авторы с признательностью примут советы, направленные к их
устранению.

I

(

I

ГЛ АВ А I

МАТРИЧНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО
1. Определение линейного пространства. Линейным (или векторным)
пространством называется всякая совокупность объектов, называемых век­
торами, над которыми определены два действия — сложение и умножение'
на число, подчиняющиеся следующим аксиомам:

I. х+у1=у1 + х.
II. (х + у1) + г = х+(л1 + г).

III. Существует нуль-вектор, для которого х + О = х при любом век­
торе X.
IV. Для каждого вектора х существует противоположный вектор — х,
такой, что х-|-(—х) = 0.
V. 1х = х.
VI. (а
₽) X = ах + Рх.
VII. а (х + >1) = ах + ау.
VIII. а(рх) = (ар)х.

Таким образом, сложение векторов коммутативно и ассоциативно, а из
аксиом III II IV вытекает существование обратной операции — вычитания
векторов. При этом разностью х — у является вектор х + (—у»). Аксиомы
умножения векторов на числа показывают, что число 1 играет роль единицы
также и при этол! умножении; имеет место распределительный закон как
относительно сложения чисел, так и относительно сложения векторов и
ассоциативный закон относительно произведения чисел. Из аксиом V—VIII,
кроме того, получаются равенства:

Ох = О,

аО = О,

— X — (—I) X.

1.1. Показать, что совокупность всех векторов обычного про­
странства, совокупность всех векторов любой плоскости и любой
прямой являются линейными пространствами.
Решение. Пространственные векторы определяются обычно
как направленные отрезки, складывающиеся по правилу парал­
лелограмма. При умножении на число а вектор изменяет свою
длину в |а| раз и направлен параллельно самому себе (с изме­
нением направления на противоположное при а1), то вектор
линейно выражался через
векторы
«■>, а^., т. е. система из первых к векторов
й1, ..., а), была бы линейно зависимой (см. 1.15), что противо■ . речит условию. Значит, все й,- Ф 0. Определим теперь числа
X, [X,
, В так, чтобы векторы й|, й.>, ... , й„ были попарно орто­
этого сначала подберем X так, чтобы йь й.2 были
гональны. Для
Г.
ортогональны:
0,02
0) = Ь1Ь.г — а1{а~г — У С08-р, 81П -уI
Т'

ппх

,
• .. , СОЗ —р
I

. ПтгХ
8Ш-^, . .

ортогональна на отрезке [—I, 7] в смысле произведения (1.3).
§ 2. АЛГЕБРА МАТРИЦ
1. Матрицы. Линейные действия с ними. Матрицей называется пря­
моугольная таблица из тп чисел, расположенных в т строках и л столбцах;
1
Й12

( 0^1

А = (ау) =

V

а.■22

... а^^

а,т‘г ■

Числа
называются элементами матрицы, индекс 1 означает номер строки,
а индекс у — номер
столбца,. в которых
стоит этот элемент. Числа а
". .
.
^221
образуют главную
диагональ матрицы.
Размеры прямоугольной
^33) ац...
....
.
.
матрицы обозначаются (т X п). В
" частности, строка (о.
' '1, «2, ... , а„) есть при-

:
— Пример (ш X 1)-матрицы. В большин\ а»..
стве случаев ограничиваются рассмотрением только квадратных матриц,
когда т = п. В этом случае говорят просто о матрице порядка п.
Две (т X л)-матрицы называются равными, если на всех соответствую­
щих местах у них стоят одинаковые числа, т. е. А = В, если а11 = Ь11. Мат­
рицы разных размеров не сравниваются.
Линейными операциями над матрицами называются сложение матриц
и умножение их на числа. Сложение определяется только для матриц одимер (1 X п)-матрицы, а столбец

I

I

X

15

наковых размеров поэлементно;
^12

1

9

... Ь,1П

••■ Ощ

+
.^гт^т2 •••
.. 6,
^'тпI

••• ^тп!

1 0, то из (3.8) следует, что (ЛГ1Лг..Лгз) и (лгл)
имеют одинаковые знаки, т. е. тройки векторов лг^Гз и Лгь

*4,
Л/
Лгз имеют одинаковые ориентации: либо обе правые, либо
обе левые. В таком случае говорят, что оператор Л сохраняет
ориентацию пространства. При |Л|.
1.105. Оператор
определяется как векторное произведение
вектора а =
к на все векторы х обычного пространства.
Найти матрицу этого оператора.
1.106. В пространстве п-мерных векторов каждому вектору
Х = (Х1, Ха, ... , Хп) сопоставляется вектор 1/ = Лх = (Х1, 0, ..., 0).
Показать, что оператор Л линейный и в случае плоскости (п = 2)
или обычного пространства (п — З) совпадает с оператором проекти­
рования на первую координатную ось.
1.107. Матрица А второго порядка определяет линейный опе­
ратор Л на плоскости хОу. Доказать, что модуль определителя [ Л)
есть коэффициент искажения площадей под действием Л.
за

I

I

1.-

С*

Указание. См. 1.97.
2. Действия с линейными операторами. Сложение операторов и умно­
жение их на число определяются равенствами

X- ■

(Л -Ь В) X = Лх -К Вх, (хА)х — хАх.
I'

(3.9)

При этом сумме операторов Л-|-В отвечает матрица А + б, а оператору аЛ — матрица хА.
Произведение операторов определяется
как их последовательное применение
>^=4:
АХ^(Т^П)Х

(ЛВ)х=Л(Дх),

/

(3.10)

т. е. сначала на вектор х действует опе­
ратор В, а затем к полученному вектору
Вх применяется оператор Л. Произведение
матриц определено именно так, что опера­
тору ЛВ отвечает произведение соответ­
ствующих матриц АВ.

Тх

-

X

1.108. Оператор П проектирует
(- л
все векторы плоскости хОу на пря­
мую х = у, а оператор Г поворачи­
Рис. 11
вает их вокруг начала О на угол
я
т- Как действуют на вектор х операторы Л =ПГ, В = 2П,
с = 2П — г?
Решение. На рис. И показано, как по данному вектору х
построить векторы Лх, Вх а Сх. При этом использовалось опре­
деление (3.9). Чтобы решить задачу аналитически, надо записать
матрицы (см. 1.101 и 1.92)
Ь1

/1 Г

п=

I 2 2
и\2 2.

,

т'=

'/2 __
К2\
2
2
1^2
К2
< 2
2 .

И вычислить
/1+К2 1 -/2у
2
\
\ 1+/2 1 + Г2 / ’
^2
2
1

:
Л = П4-Г = ;
И

С = 2П

2

В = 2П =

1 1/’

2-/2 2 + К2'
2
2‘
—7 =
2 --/2 ‘2- /2'
'
2
2

Чтобы найти координаты векторов Лх, Вх, Сх, надо умножить
матрицы А, В, С на столбец

из координат вектора х. Напри39

мер, если х = 4/—2], то
и +р