Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных организаций (углублённый уровень). В 2-х частях. Часть 1 [Александр Григорьевич Мордкович] (pdf) читать онлайн

-Г «и/а 2, а 3? • • • » а, • • •
2
•...
• • = a —a„_,
О'п - 1 = d
а9- а л—а*—а9=

• •

Ь н Ьп* Ь ‘
1» ^ г » «*3» • • • »

Ь г _ Ъ 3 _

Ь ~ Ь

а х—а, а л = а„_! + d, п > 2

_

~ - ' ~

(bl 5^ 0,

Ь

п

ъ

п- 1

- V

^ О)

-4—4-

ап= а, + (п - l)d
i

п 5=2

Г - l _ I L .- l._ i :

а„ =
rrr

Ь, = ь, bn= bn. t q,

-1 +

+1

О
(рис. 6), а на промежутке (~°°; -1) — не­
X
х
-1
1
2
равенство f(x) > 0 (рис. 7).
-1
+
Подведём итоги. Знаки многочлена
M in im u m
jimiwiiL
f(x)
в выделенных промежутках таковы,
"х
1
-1
2
как показано на рис. 8. Нас интересуют
те промежутки, на которых выполняет­
ся неравенство f(x) > 0. Оно выполняется на интервале (-1; 1) и на
открытом луче (2; +°о).
-1

X

1

2

X

-

Гис. 8

[ Н Н Н -1 < х <

х > 2.

Решить неравенство (х - 1)(лс + 1)(х - 2) < 0.

/'uc, 9

Воспользуемся геометрической иллюстрацией предыдуще­
го примера (см. рис. 8), но внесём в неё два изменения.
Во-первых, поскольку нас интересует, при каких значениях х вы­
полняется неравенство f(x) < 0, нам придётся выбрать промежут­
ки (-°°; -1) и (1; 2). Во-вторых, нас
тнштнщ ~ ШШШШ '
устраивают и те точки, в которых выД
* 2
полняется равенство f(x) = 0. Это точ­
ки -1, 1, 2, отметим их на рисунке тём­
ными кружочками. На рис. 9 представлена геометрическая иллю­
страция решения, от которой нетрудно перейти к аналитической
записи.
* < - 1; 1 < * < 2 .

ПРИМЕР 7
Решить неравенство 2х - Зх3 - х 2 < 0.
Решение

Удобнее расположить члены неравенства в левой части по
порядку убывания степеней. Кроме того, как показывает
опыт, желательно, чтобы старший коэффициент был положитель­
ным. Но для этого нужно обе части неравенства умножить на -1
и изменить знак неравенства: Зх3 + х 2 - 2х > 0 Далее имеем:
х(3х2 + х - 2) > 0. Найдём корни квадратного трёхчлена З*2 + х —2,

ГЛАВА 1 НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ

-1 ± VI + 4 • 2 • 3
; х, = —, х2 = -1 . Теперь этог
О
2 3
трёхчлен можно разложить на множители:
а именно: х12 =

ш

З * 2 + х - 2 = з ( х - | j( x + 1).

Интересующее нас неравенство теперь перепишем в следующем виде
Зх( х - | )(х + 1) > 0.
Отметим на числовой прямой точки 0, —, —1. Знаки выраже
О

ния Зх| х - ^ J(x + 1) на полученных промежутках указаны на
_
+
_____ , g(x), а
множество В — решение неравенства р(х) < h(x). Что явля/(*) > g(x),
ется решением совокупности неравенств
р(х) < h(x)?
f(x) > g{x),
Оказалось, что
р(х) < h(x).
неравенство f(x) > g(х) выполняется при любых значениях
переменной, а решением неравенства р(х) < h(x) является
множество А. Что вы можете сказать о решении заданной
совокупности неравенств?
f(x) > g{х),
4. Дана совокупность неравенств
Оказалось, что
р(х) < h{x).
неравенство f(x) > g(x) не имеет решений, а решением не­
равенства р(я) < h(x) является множество А. Что вы може­
те сказать о решении заданной совокупности неравенств?

3. Дана совокупность неравенств

Н ЕРА В ЕН СТВ А С М ОДУЛЯМ И

Основные понятия
В курсе алгебры 8-го класса вы решали уравнения с модулями и, на­
верное, помните, что главное при решении таких уравнений — уметь
«раскрывать» модули, пользуясь определением: если а > 0, то |а{ = а;
если а < 0, то |а| = -а.
При решении неравенств с модулями, кроме указанного опреде­
ления, используются следующие утверждения.

■I
Если с > О, то неравенство |/’(jc)| < с равносильно двойному неравен­
ству - с < f(x) < с.

T U ^ ^ T T pABEHCTBA. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ

ТЕОРЕМА 2
Если с > О, то неравенство \f(x)\ > с равносильно совокупности нера'
венств f(x) < -с; f(x) > с.

ТЕОРЕМА 3
Если обе части неравенства f(x) < g(x) принимают только неотрица­
тельные значения, то оно равносильно неравенству (fix))2 < (gix)f.

Доказательство

1. Пусть с > 0 и пусть х = а — частное решение нераве**'
ства |Д;с) < с, т. е. верно числовое неравенство |Да)| < СЕсли Да) > 0, то |Да) = Да), и неравенство [Да)| < с можно переписав
так: 0 < Да) < с. Если /(а) < 0, то |Да)| = -/(а), и неравенств
|Да)| < с можно переписать так: -Да) < с, т. е. -с < Да) < 0 .
Итак, в любом случае выполняется двойное неравенство -с < /(а) 1
< с. Значит, х - а — частное решение неравенства -с < f(x) < с.
Пусть, обратно, х = Ь — частное решение неравенства -с < f(x)
т. е. верно числовое неравенство -с < f(b) < с. Умножив все его нас^
на -1, получим -с < -f(b) < с. Поскольку |/(&)| равен либо f(b), ли#>
-f(b), получаем, что -с < \f(b)\ < с. Левую часть этого двойного нер^
венства можно опустить как очевидную.
Итак, верно неравенство | f(b)\ < с, а это значит, что х = Ь — частн^
решение неравенства |f(x)\ < с.
Вывод: при с > 0 неравенства |/(д:)| < с и -с < f(x) < с раВ№г
сильны.
2. Пусть с > 0 и пусть х = а — частное решение неравенств
!f(x)| > с, т. е. верно числовое неравенство |/(а)| > с. Если f(a) > о с можно переписать так: /(а) > (■
Если /(а) < 0, то |Да)| = -/(а) и неравенство \f(a)\ > с можно переписав
так: - f(a) > с, т. е. f(a) < -с.
Итак, в любом случае значение х = а удовлетворяет либо пер5'
венству f(x) > с, либо неравенству f(x) < -с. Значит, х = а — частног
решение совокупности неравенств: f(x) < -с; f{x) > с.
Пусть, обратно, х - Ь — частное решение совокупности неравенств
fix) < -с; fix) > с. Это значит, что либо fib) < -с, либо fib) > с — Bejr
ное числовое неравенство. Первое неравенство можно переписать га£:
-fib) > с. Поскольку |/(6)| равен либо fib), либо -fib), получаем,
|/(fo)| > с.
Итак, верно неравенство |/(6)| > с, а это значит, что х = b — частно?
решение неравенства |/(л)| > с.
Вывод: при с > 0 неравенство |/‘(х)| > с равносильно совокупноса>)
неравенств fix) < -с; fix) > с.
3. Пусть gix) > fix) > 0 и пусть х - а — частное решение неравец
ства fix) < gix), т. е. верно числовое неравенство Да) < g(a). Поскольк)

§5. Неравенства с модулями

43

обе части этого неравенства неотрицательны, верно и неравенство
(/(а))2 < (£(а))2. Это значит, что х = а — частное решение неравенства
(/(х))2 < (g(x))2.
Пусть, обратно, х = Ь — частное решение неравенства (/(х))2 < (g(x))2,
т. е. (/(ft))2 < (#(ft))2 — верное числовое неравенство. Это неравен­
ство можно преобразовать к виду (/(ft) - g(b))(f(b) + g(b)) < 0. Но из
условия следует, что /(ft) + g{b) > 0. Значит, неравенство (f(b) - g(b))(f(b) +
+ g(ft)) < 0 можно преобразовать к виду /(ft) - g(b) < 0, т. е. к виду
/(ft) < g(b). Это значит, что х = ft — частное решение неравенства /(х) <
< £(х).
Вывод: если g(x) > f(x) > 0, то неравенства /(х) < g(x) и (/(х))2 <
< (£(х))2 равносильны.

Решение неравенств вида
Пусть требуется решить неравенство |/(х)| < g(x). Освободиться от
знака модуля можно тремя способами.
Первый способ. Если /(х) > 0, то |/(х)| = /(х), и заданное неравен­
ство принимает вид f(x) < g(*). Если f(x) < 0, то |/(х)| = -/(х), и за­
данное неравенство принимает вид —
-/(х) < g(x). Таким образом, зада­
ча сводится к решению совокупности двух систем неравенств:
/(х) > О,
/(х) < g(x);

/(х) < 0,
-/(х ) < g(x).

Второй способ. Перепишем заданное неравенство в виде
g(x) > |/(х)|. Отсюда сразу следует, что g(x) > 0. Воспользуемся тем,
что при g(x) > 0 неравенство |/(х)| < £(х) равносильно двойному нера­
венству -gtx) < f(x) < g(x) (утверждение 1). Это позволит свести нера­
венство |/(х)| < g(x) к системе неравенств

Третий способ. Воспользуемся тем, что при g(x) > 0 обе части
неравенства |/(х)| < g(x) неотрицательны, а потому согласно утверж­
дению 3 их возведение в квадрат есть равносильное преобразование
неравенства. Учтём, кроме того, что |а|2 = а 2. Это позволит свести
неравенство |/(х)| < £(х) к системе неравенств

ГЛАВА 1. НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ

ПРИМЕР 1

Решить неравенство | х2 - Зх + 2 1< 2х - х2.
Решение

ж

Первый способ. Заданное неравенство равносильно сово­
купности двух систем неравенств:
| х 2 - Зх + 2 > 0,
J x 2 - Зх + 2 < О,
[х 2 - Зх + 2 < 2х - х2;
}-(х 2 - Зх + 2) < 2х - х 2.
Решая первую систему, получим

ж

{(* - 1)(* - 2) > О,
12(дг - 2)(х - 0,5) < О,
откуда находим (рис. 48):
0,5 < х < 1.
Решая вторую систему, получим

Я

ш

Рис. 48
Рис. 49

(х - 1)(х - 2) < О,
х < 2,

0,5

откуда находим (рис. 49):
1 < х < 2.
Объединив найденные решения систем неравенств, получим
0,5 < х < 2 .
Второй способ. Заданное неравенство равносильно системе нера­
венств
2х - х 2 > О,
х 2 - Зх + 2 < 2х - х 2,
х 2 - Зх + 2 > ~(2х - х 2).
Решая эту систему, получим
х(х - 2) < О,
2(х - 2)(х - 0,5) < О,
х < 2;

Рис. 50

О 0,5

0,5 < х < 2 (рис. 50).

Третий способ. Заданное неравенство равносильно системе нера­
венств
\ 2 x - x 2 > 0,

|( х 2 - Зх + 2)2 < (2х - х2)2.

§ S Неравенства с модулями

■ммннмЯввн

Решая эту систему, получаем:

х(х - 2) < О,

((х2 - Зх + 2) - (2х - х 2))((х2 - З х + 2) + (2х - х 2)) < 0;
х(х - 2) < О,

/'(«•. 5 1

и------ 1
0 0,5

2

2(jc - 0,5)(х - 2)2 > 0;
х

0,5 < х < 2 (рис. 51).

0,5 < х < 2.
I

ШШ

Решение неравенств вида

\f(x)\ > g(x)

Пусть теперь требуется решить неравенство |/(х)| > g[x). Освободить­
ся от знака модуля можно тремя способами.
Первый способ. Если f(x) > 0, то \f(x)\ = f(x), и заданное неравен­
ство принимает вид f(x) > g(x). Если f(x) < 0, то |/(х)| = -f{x), и за­
данное неравенство принимает вид -f(x) > g(x). Таким образом, зада­
ча сводится к решению совокупности двух систем неравенств:

Второй способ. Рассмотрим два случая: g(x) > 0, g(x) < 0. Если
g(x) < 0, то неравенство |/(х)| > g(x) выполняется для всех значений
х из области определения выражения f(x); обозначим её D(f). Если
g(x) > 0, то воспользуемся тем, что согласно утверждению 2 неравен­
ство |/(х)| > g(x) равносильно совокупности неравенств f(x) < -g(x);
f(x) > я(х). Таким образом, заданное неравенство сводится к совокуп­
ности трёх систем:
g(x) < 0,
х е D(f);
Третий способ. В случае когда g{x) > 0, неравенство |Я *)| > g(x)
равносильно неравенству (/(х))2 > (£(*))2‘> значит, заданное неравен­
ство сводится к совокупности систем:

lislflill
"г л а в а 1. НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ

46

ПРИМЕР 2

Решить неравенство |х2 - Зх + 2 1> 2х - х 2.
Решение

Первый способ. Заданное неравенство равносильно совокуп­
ности двух систем неравенств:
| х 2 - Зх + 2 > 0,
| х2 - Зх + 2 < О,
[ х 2 - Зх + 2 > 2х - х 2;
| - ( х 2 - Зх + 2) > 2х - х 2.

Решив первую систему, получим х < 0 ,о; х > 2. Вторая система
не имеет решений. В результате решением совокупности систем яв­
ляется решение первой системы.
Второй способ. Если 2х - х2 < 0, то заданное неравенство выполня­
ется (его левая часть неотрицательна, а правая
неположительна).
Если 2х - х 2 > 0, то заданное неравенство равносильно совокупности
двух неравенств: х2 - Зх + 2 ^ 2х —х 2‘, х 2 —Зх + 2 < -(2 х —х 2). Таким
образом, получаем совокупность неравенства и двух систем неравенств:
2х - х 2 < 0;
J 2х - х 2 > 0,
12х - х 2 > О,
[х2 - Зх + 2 > 2 х - х 2;
{х 2 - 3* + 2 < ~ (2х - х 2).
Решив неравенство 2 х —х2 < 0, получим х < 0; х ^ 2. Решение
первой системы — полуинтервал 0 < х < 0,5. Вторая система не име­
ет решений.
В итоге получаем х < 0,5; х > 2.
Третий способ. Если 2х - х 2 < 0, то заданное неравенство выпол­
няется. Если 2 х - х 2 > 0, то обе части заданного неравенства можно
возвести в квадрат. Таким образом, получаем совокупность неравен­
ства и системы неравенств:
\2 х - х 2 > 0,
2х - х2 < 0;
| (ж2 _ Зд. + 2)2 > (2х - х 2)2.
Решения неравенства 2х - х2 < 0 — лучи: х < 0; х 3* 2.
\х (х - 2) < 0,
Решим систему
(х2 - Зх + 2)2 - (2х - х 2)2 0.

j

>

Имеем:
[0 < х < 2,
|( ( х 2 - Зх + 2) - (2х - х2))((х2 - Зх + 2) + (2х - х 2)) > 0;
I0 < х < 2,
| (2х2 - 5х + 2)(х - 2) < 0;
j 0 < х < 2,
| 2(х - 0,5)(х - 2)2 < 0;

jo < x < 2,
\ x < 0,5; x = 2;
0 < * < 0,5.
Объединив это решение с найденными выше решениями х < 0;
х > 2, получаем х < 0,5; х > 2.
х < 0,5; х > 2.

Ответ
мммммимя

Неравенства с модулями
ПРИМЕР 3

Н

Решить неравенство \х - 2| + \х + 4| < 10.
Решение

Первый способ. Выражение х —2 обращается в нуль в точ­
ке 2, а выражение х + 4 обращается в нуль в точке —4. Ука­
занные две точки разбивают числовую прямую на три промежутка:
х < -4; -4 < х < 2; * > 2.
На промежутке х < -4 выражение х - 2 принимает отрицатель­
ные значения, равно как и выражение х + 4. Значит, на указанном
промежутке выполняются соотношения:
\ х - 2 \ = -(х - 2), \х + 4| = -(х + 4),
а потому заданное неравенство принимает вид
-(х - 2) - (х + 4) < 10.
На промежутке -4 < х < 2 выражение х —2 принимает неположи­
тельные значения, а выражение х + 4 — неотрицательные. Значит,
на указанном промежутке выполняются соотношения:
|х —2| = -(х - 2), |х + 4| = х + 4,
а потому заданное неравенство принимает вид
-(х - 2) + (х + 4) < 10.
Наконец, на промежутке х > 2 выражение х - 2 принимает поло­
жительные значения, равно как и выражение х + 4. Значит, на ука­
занном промежутке выполняются соотношения:
|х - 2| = X - 2, |х + 4| = X + 4,
а потому заданное неравенство принимает вид
(х - 2) + (х + 4) < 10.

™ --------------------- —
ГЛАВА 1- НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ

В итоге получаем совокупность трёх систем неравенств:
J х < -4,
[-(* - 2) - (ж + 4) < 10;
J-4 < ж < 2,
{-(ж - 2) + (ж + 4) < 10;
\х > 2,
{(ж - 2) + (ж + 4) < 10.
Из первой системы получаем -6 < ж < -4 , из второй---- 4 < ж < 2,
из третьей — 2 < ж < 4. Объединив найденные решения, находим
ответ: -6 < ж < 4.
Второй способ вам известен, его применяли в курсе алгебры 8-го
класса.
Неравенство | ж - 2 | + |ж + 4 | < 10 на геометрическом языке озна­
чает, что нам нужно найти на координатной прямой такие точки ж,
которые удовлетворяют условию р(ж; 2) + р(ж; -4) < 10, т. е. сумма
расстояний каждой из таких точек от точек 2 и -4 меньше 10. Это
точки, заключённые в интервале от -6 до 4 (рис. 52).

Рис. 52
Ответ

-6

v
р(ж; -4)

ж 4

-6 < ж < 4.

Вопросы для самопроверки
1. Расскажите, как вы будете решать неравенство вида
|/(ж)| < с в случае, когда с > 0; в случае, когда с < 0.
2. Расскажите, как вы будете решать неравенство вида
|/(ж)| > с в случае, когда с < 0; в случае, когда с > 0.
3. Расскажите, как вы будете решать неравенство вида
|/(ж)| < Л(ж). Проиллюстрируйте ваш рассказ на примере ре­
шения неравенства |2ж - 1| < Зж + 5.
4. Расскажите, как вы будете решать неравенство вида
|/(ж)| > Л(ж). Проиллюстрируйте ваш рассказ на примере ре­
шения неравенства |2ж - 1| > Зж + 5.

I B. Иррациональны» i

ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

Решение неравенств вида yjf(x) < g(х)
Рассмотрим неравенство вида yjf(x) < g(x). Ясно, что решения тако­
го неравенства должны удовлетворять условию f(x) > О и условию
g(x) > 0. Осталось лишь заметить, что при одновременном выполне­
нии указанных выше условий обе части заданного иррационального
неравенства неотрицательны, а потому их возведение в квадрат пред­
ставляет собой равносильное преобразование неравенства.
Иррациональное неравенство ^f(x) < g(x) равносильно системе неравенств
f(x) > 0,
g(x) > 0,
f(x) < (g(*))2.

Решить неравенство V *2 - х - 12 < х.
Данное неравенство равносильно системе неравенств
х2 - х - 1 2 > О,
х > О,
х2 - х - 12 < х2,
т. е.

\ х - 4)(х + 3) > О,
х > О,
х > -12.

Получаем х > 4 (рис. 53).

Рис, И!)

-1 2

-3

■^JJa T T epabehctba. системы

Г и

ш щ

Щш§Ш. 1
'fill

и совокупности неравенств

Решение неравенств вида

у]f(x) > g(x)

Рассмотрим теперь неравенство вида ^Jfix) > g(x).
Ясно, во-первых, что его решения должны удовлетворять усло­
вию f(x) > 0. Во-вторых, замечаем, что при g{x) < 0 (и при отмечен­
ном выше условии f(x) > 0) справедливость неравенства yjf(x) > g(x)
не вызывает сомнений. В-третьих, замечаем, что если g(x) > 0, то
можно возвести в квадрат обе части заданного иррационального
неравенства, т. е. записать f(x) > g2(x). Отсюда, кстати, автомати­
чески следует, что f(x) > 0.

.V

Иррациональное неравенство g(x) равносильно со­
вокупности систем неравенств

щ 1

[ g(x) < 0,
\П х )> 0;

Ig(x) > 0,
\Пх) > (g(x))2.

1I
Решить неравенство \jx z - х - 12 > х.
Решение

Данное неравенство равносильно совокупности систем
неравенств
\х < 0,
\х 2 - х - 1 2 > 0;

\х > 0,
\ х 2 - х - \ 2 > х*.

Получаем
х < 0,
(х - 4)(х + 3) > 0;
х > О,
х < -1 2 .

■

т т .

Рис. 54
Ответ

l i l t
-3
х < -3.

.МШШЩ^

х

Из первой системы находим х < -3
(рис. 54); вторая система не имеет реше­
ний.

■

Разные примеры

ПРИМЕР 3

Решить неравенство (х + 5)(х - 2) + 3 ^х(х + 3) > 0.
Преобразуем неравенство к виду
х 2 + Зх - 10 + 3 V * 2 + Зх > 0
и введём новую переменную у = sjx 2 + Зх. Тогда последнее неравен­
ство примет вид у 2 + Зу - 10 > 0, откуда находим, что либо у < -5 ,
либо у > 2. Задача сводится к решению совокупности двух нера­
венств: sjx 2 + Зх < - 5 ; six2 + Зх > 2.
Первое неравенство не имеет решений, а из второго находим:
х 2 + Зх > 4;

(х + 4)(х - 1) > 0;

х < -4 ;

х > 1.

"м ш о н аш и и м м

ПРИМЕР 4

Решить неравенство

Решение

— 15х + 11 > 0.
х3 - х - 6

Данное неравенство равносильно системе неравенств
14х2 - 15х + 11 > 0,
|х 3 - х - 6 > 0.
Решив уравнение 4 х 2 - 15х + 11 = 0, находим его корни: Xi = 1,

х2 =

• Значит, решение первого неравенства системы — объедине­

ние лучей (-оо; 1 ] и

(рис. 55).
Рассмотрим многочлен
р(х) = х 3 - х - 6.

Рис. Лб

Замечаем, что х = 2 — корень этого
4
многочлена, значит, р(х) делится
без остатка на х —2. Вместо деления уголком можно выполнить сле­
дующие преобразования:
р(х) = х 3 - х - 6 = (х 3 - 8) - (х - 2) =
= (х - 2 )(х2 + 2х + 4) - (х - 2) = (х - 2)(х2 + 2х + 3).
Квадратный трёхчлен х 2 + 2х + 3 имеет отрицательный дискри­
минант и положительный старший коэффициент; значит, он поло-

жителей при любых значениях х, а потому неравенство р(х) > 0 рав­
носильно неравенству х - 2 > 0 .
Таким образом, решение второго неравенства системы — откры­
тый луч (2; +°о).
Осталось найти пересечение решений первого и второго неравенств системы; получаем луч

(см. рис. 55). Но (внимание!)

точку х = 1 (тёмная точка на рис. 55) тоже следует включить в ответ,
хотя она и не принадлежит указанному пересечению. Дело в том,
что при х = 1 числитель заданной дроби обращается в нуль, а знаме­
натель отличен от нуля (и не важно, что он при х = 1 принимает от­
рицательное значение); следовательно, х = 1 — частное решение за­
данного нестрогого неравенства.
х > 2-

4

и

Вопросы для с а м о п р о в е р к и
1. Расскажите, как вы будете решать неравенство вида
< с в случае, когда с > 0; в случае, когда с < 0.
2. Расскажите, как вы будете решать неравенство вида
sifix) > с в случае, когда с < 0; в случае, когда с > 0.
3. Расскажите, как вы будете решать неравенство вида
■Щх) < h(x). Проиллюстрируйте ваш рассказ на примере
решения неравенства v2x + 3 < х.
4. Расскажите, как вы будете решать неравенство вида
\lf(x) > h(x). Проиллюстрируйте ваш рассказ на примере
решения неравенства ^2х + 3 > х.

|

НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРАМИ
В курсе алгебры 8-го класса вам уже встречались уравнения с пара­
метрами. Здесь мы рассмотрим задачи с параметрами, решение ко­
торых сводится к решению неравенств.

ШШШШШШШШШI
Известно, что уравнение ах2 - (4а + 4)х + За + 13 = 0 имеет действи­
тельные корни (один или два). При каких значениях параметра а:
а) каждый из корней больше 1;
б) каждый из корней меньше 1;
в) один корень больше, а другой меньше 1?
Если а = 0, то уравнение принимает вид - 4 х + 13 = 0, от­
куда находим х = —.
4
Если а * 0, то заданное уравнение можно переписать в виде
За +13
а
а
Графиком функции у = х2 - — + 4 х + - а + 13 является парабола с
а
а
ветвями, направленными вверх.
а) Случай а = 0 нас вполне устраивает, поскольку при а = 0 корень
13
уравнения х = — удовлетворяет заданному условию — он больше 1.

Рис. 56

Корни заданного уравнения при а Ф 0 больше 1 тогда и только
тогда, когда парабола пересекает ось х (или в крайнем случае касает­
ся оси х) в точках, лежащих правее точ­
ки (1; 0); геометрическая модель пред­
ставлена на рис. 56. Составим соответ­
ствующую аналитическую модель.
Во-первых, должно выполняться ус­
ловие D > 0, где D — дискриминант
квадратного уравнения (в противном
случае уравнение не будет иметь кор­
ней). Во-вторых, ось параболы должна
проходить правее точки (1; 0). Наконец,
в-третьих, должно выполняться условие
/(1) > 0, где
...

о

4а + 4

За + 13

f{x) = х 2 ----------х + ---------.
Итак, нас интересуют дискриминант D, уравнение оси параболы
и значение /(1).
1) 2)

=

4а + 4
а

- 4 За + 13

4 а 2 - 20а + 16

2) Уравнение оси параболы у = ах2 + Ъх + с имеет вид х = — , знаuCL
2а
+
2
чит, для рассматриваемой функции получаем х =
1 + За + 13
а
а
Учитывая указанные выше три условия, приходим к систеке
неравенств
3) /(1) = I 2 -

4а + 4
а

4а2 - 20а + 16

а‘
2а + 2

> о,

> 1,

® > 0.

Выполнив преобразования каждого неравенства системы, полу­
чим:
4(а - 1)(а - 4)

> 0,

а +2
> 0,
а

а > 0;
0 < а < 1; а > 4.

Добавив указанное выше значение параметра а = 0, получим
О < а < 1; а > 4.
б) Выясним, при каких значениях параметра а корни заданного
уравнения меньше 1. Если а = 0, то, как мы видели выше, х = —; это
4

значение больше 1, а потому случай а = 0 нас теперь не устраивает.
Если а * 0, то корни уравнения х2 - -4а +-~ х + Зд-- 13 = 0 меньа
а
ше 1 тогда и только тогда, когда парабола пересекает ось х (или в
крайнем случае касается оси х) в точках, лежащих левее точки
(1; 0); геометрическая модель представлена на рис. 57. Составим со­
ответствующую аналитическую модель.
Во-первых, как и в пункте а), долж­
но выполняться условие D > 0. Вовторых, ось параболы должна проходить
левее точки (1; 0). Наконец, в-третьих,
должно выполняться условие /(1) > 0.
Учитывая указанные выше три усло­
вия, приходим к системе неравенств
4 а2 - 20а 4 16

а“
2а 4 2

> 0,

< 1,

- > 0.

а

Выполнив преобразования каждого
неравенства системы, получим:

ifeziKg-r4) > о,
0 4 2

< 0,
а
а > 0.

Эта система не имеет решений,
в) Геометрическая модель ситуации,
когда 1 находится между корнями урав­
нения, представлена на рис. 58. Достаточно потребовать выполнения
условия f(l) < 0. Таким образом, приходим к неравенству - < 0, ота
куда находим а < 0.
а) 0 < а < 1; а > 4;
б) таких значений параметра нет;
в) а < О.

Сколько корней имеет уравнение \х - 2| = ах + 1 при различных зна­
чениях параметра а?
П ервы й способ. Если х > 2, то \х - 2 \= х - 2, и уравнение
принимает вид х - 2 = а х + 1, т. е. х(1 - а) = 3. Если ке
х < 2 , то |ж- 2| = —(лг - 2), и уравнение принимает вид -( я - 2) = а х +1,
т. е. д:(1 + а) = 1.
Итак, получилась совокупность двух смешанных систем:

Решение

\ х > 2,

\х < 2 ,

I д:(1 - а) = 3;

I х(1 + а ) = 1.

Рассмотрим первую систему совокупности. Если а = 1, то уравне­
ние системы не имеет решений (поскольку принимает вид 0 = 3). Всз
ли а Ф 1, то из уравнения системы находим х =
. Это значение
будет корнем заданного уравнения, если удовлетворяет неравенстзу
х > 2, и не является корнем, если не удовлетворяет указанному нера­
венству.
3
> 2, получим -0 ,5 < а < 1.
1- а
Итак, если - 0 ,5 < а < 1, то первая система имеет единственное

Решив неравенство
О

решение х = — ; если а < -0 ,5 или а > 1, то система не имеет ре1- а
шений.
Рассмотрим вторую систему совокупности. Если а = -1 , то урав­
нение системы не имеет решений (поскольку принимает вид 0 = 1).
-. Это значе1+ а
ние является корнем заданного уравнения, если удовлетворяет нера­
венству х < 2, и не является корнем, если не удовлетворяет указан­
ному неравенству.
Если а * - 1, то из уравнения системы находим х =

1
< 2, получим а < - 1 ; а > -0 ,5 .
1+ а
Итак, если а < - 1 или а > - 0 ,5 , то система имеет единствекное

Решив неравенство

решение х = — —; если - 1 < а < - 0 ,5 , то система не имеет решений.
1+ а
Объединим полученные выводы.
1) Если а < - 1 , то вторая система имеет единственное решенае, а
первая — не имеет решений. Значит, в этом случае заданное уравне­
ние имеет единственный корень: х = - 1 - .
1+ а
2) Если -1 < а < -0 ,5 , то обе системы не имеют решений, значит,
заданное уравнение не имеет корней.

3) Если а = -0,5, то первая система имеет решение, а вторая —
Q
нет, значит, заданное уравнение имеет единственный корень: х = ------,
1- а
т. е. х = 2.
4) Если -0 ,5 < а < 1, то обе системы имеют решения, значит, за3 х 2 = ------.
1
данное уравнение имеет два корня: х, = ------,
1 - а

1+а

5) Если а > 1, то вторая система имеет решение, а первая система
не имеет решений. Значит, в этом случае заданное уравнение имеет
единственный корень: х = —-—.
1+ а
Второй способ. На рис. 59 изображён график функции у = \х - 2|.
Число корней уравнения \х - 2| = ах + 1 равно числу точек пересече­
ния построенного графика и графика
функции у = ах + 1 — прямой, проходя­
щей через точку (0; 1). При а = -1 эта
прямая параллельна левой ветви графи­
V
ка функции у = \х - 2|; при а = -0,5 эта
\
д
\
прямая проходит через вершину графи­
1ц
ка функции у = \х - 2|; при а = 1 эта пря­
мая параллельна правой ветви графика
о \j
функции у = |х - 2|. Именно указанные
\I п
три значения и являются главными для
Ч '*
VV
описания всей ситуации.
Л*1 X
При а = -1 уравнение не имеет кор­
ней, а при а < -1 — один корень
(см. рис. 59). При а = -0,5 уравнение
имеет один корень, при -1 < а < -0,5 — не имеет корней, а при
-0,5 < а < 0 — имеет два корня (рис. 60). При 0 < а < 1 уравнение
имеет два корня, а при а > 1 — один корень (рис. 61).
V,

1

У

4

1'ш. (Ю

X

Рис. 61

ГЛАВА 1 . Н ЕРАВЕН СТВА. С И С Т Е М Ы И СО ВО КУП Н О СТИ НЕРАВЕНСТВ

Ответ

Если а < -1 , а = -0,5 или а > 1, то уравнение имеет один
корень; если -1 < а < -0 ,5 , то уравнение не имеет корней;
если -0 ,5 < а < 1, то уравнение имеет два корня.

ПРИМЕР 3

При каких значениях параметра а системе неравенств
| х 3 + 4 х 2 - 5х < О,
\\х - 2а\ < 2
Ш Й!

удовлетворяет только одно значение переменной х ?
Ц шв\

Рассмотрим первое неравенство системы:
лг(дг2 + 4х - 5) < 0; х(х - 1)(л: + 5) < 0.
Геометрическая иллюстрация ре­
шения неравенства представлена яа
рис. 62, а. Решение состоит из луча
0
-5
(-оо; - 5] и отрезка [0; 1].
Рассмотрим второе неравенство си­
стемы. Чтобы изобразить его решения
геометрически, нужно отметить на чис­
2 а - 2 2а 2а + 2
ловой
прямой точку 2а и ещё две точки,
б
Рис. 62
удалённые от неё вправо и влево аа
2 единицы масштаба. Получится отрезок [2а - 2; 2а + 2] (рис. 62,6),
длина которого равна 4.
Заданная система неравенств будет иметь единственное решенхе
(т. е. решение, состоящее из одной точки) в трёх случаях:
1) если левый конец отрезка [2а - 2; 2а + 2] совпадает с точ­
кой -5; в этом случае отрезок [2а - 2; 2а + 2] длиной 4 принадлежат
отрезку [-5; 0] длиной 5 и единственным решением системы нера­
венств будет точка х = -5;
2) если правый конец отрезка [2а - 2; 2а + 2] совпадает с точ­
кой 0; в этом случае единственным решением системы неравенств
будет х - 0;
3) если левый конец отрезка [2а - 2; 2а + 2] совпадает с точкой 1; в
этом случае единственным решением системы неравенств будет х = 1
А теперь найдём значения параметра, при которых наступает
один из трёх указанных выше случаев.
В случае 1) имеем 2а - 2 = -5 , т. е. а = -1,5.
В случае 2) имеем 2а + 2 = 0, т. е. а = -1.
В случае 3) имеем 2а - 2 = 1, т. е. а = 1,5.
-1,5; -1; 1,5.
Ответ
Решение

'

■-

.

W тL

Iщ

Я
ш §

•""•""""шшшшштшшшттттш

Основные результаты
•

Мы познакомились с понятиями, относящимися к реше­
нию неравенств с одной переменной:
— частное решение, общее решение, решение неравенства;
— рациональное неравенство;
— равносильные неравенства, равносильное преобразова­
ние неравенства;
— система неравенств;
— решение системы неравенств.
• Мы познакомились с начальными понятиями общеприня­
того в математике языка теории множеств:
— элемент множества, подмножество данного множества;
— объединение и пересечение множеств;
— пустое множество.
• Мы научились находить объединение и пересечение мно­
жеств, иллюстрировать операции над множествами с помо­
щью кругов Эйлера.
• Мы научились решать рациональные неравенства, исполь­
зуя метод интервалов.
• Мы научились решать системы и совокупности рациональ­
ных неравенств, неравенства с модулями, иррациональные
неравенства.

Темы исследовательских работ
1.
2.
3.
4.
5.

Операции над множествами.
Системы и совокупности неравенств.
Неравенства с переменной под знаком модуля.
Иррациональные неравенства.
Неравенства с параметрами.

СИСТЕМЫ
УРАВНЕНИЙ
§ 8 . Уравнения с двумя переменными
§ 9 . Неравенства с двумя переменными
§ 10 . Основные понятия, связанные с
§ 11.
§ 12 .
§ 13 .
§ 14 .

системами уравнений и неравенств
с двумя переменными
Методы решения систем уравнений
Однородные системы.
Симметрические системы
Иррациональные системы.
Системы с модулями
Системы уравнений как
математические модели реальных
ситуаций

УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

Ш Ш Задачи, приводящие к системам уравнений
С системами уравнений вы уже встречались в курсе алгебры
7-го класса, но это были только системы двух линейных уравнений с
двумя переменными. Теперь мы поговорим о решении систем нели­
нейных уравнений с двумя переменными, тем более что такие систе­
мы довольно часто представляют собой математические модели изу­
чаемых ситуаций.

Периметр прямоугольного треугольника равен 84 см, а гипотенуза —
35 см. Найти длины отрезков, на которые делит гипотенузу биссек­
триса прямого угла.

Ношение

I ЭТАП. Составление математической модели.
Вычислим сначала катеты прямоугольного треугольника.
Обозначим их длины буквами х, у. Поскольку периметр треугольни­
ка равен 84 см, получаем, что х + у + 35 = 84, т.е. х + у = 49. А по
теореме Пифагора х 2 + уг - 352. В итоге приходим к системе уравне-

II ЭТАП. Работа с составленной моделью.
Выразим у из первого уравнения системы и полученный резуль­
тат подставим вместо у во второе уравнение:
у = 4 9 - х , х 2 + (49 - х)2 = 1225,
х 2 + (2401 - 98* + х2) = 1225, х2 - 49* + 588 = 0.
Решив это квадратное уравнение, получим: *х = 21, *2 = 28. Из фор­
мулы у = 49 - * находим: ух = 28, у2 = 21. Итак, система имеет два
решения: (21, 28), (28, 21).
III ЭТАП. Ответ на вопрос задачи.
Воспользуемся известным из геометрии свойством биссектрисы
треугольника: биссектриса делит противолежащую сторону тре­
угольника на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Это
значит, что гипотенуза, равная 35 см, делится биссектрисой на части
в отношении 3 : 4 . Нетрудно догадаться, что эти части равны 15 см и
20 см.
15 см, 20 см.

Пристани В и С находятся ниже пристани А по течению реки на
30 км и 45 км соответственно (рис. 63). Моторная лодка отходит от
пристани А, доходит до С, сразу поворачивает назад и приходит в В,
затратив на весь путь 4 ч 40 мин. В другой раз эта же лодка отошла
от пристани С, дошла до А, сразу повернула назад и пришла в В, за­
тратив на весь путь 7 ч. Чему равны собственная скорость лодки и
скорость течения реки?

I ЭТАП. Составление математической модели
Введём две переменные:
х км/ч — собственная скорость лодки,
у км/ч — скорость течения реки.
Тогда (х + у) км/ч — скорость движения лодки по течению реки,
(х - у) км/ч — скорость движения лодки против течения
реки.
Рассмотрим первый рейс лодки. Он составил 45 км по течению от
А до С и 15 км против течения от С до В. Значит,
45 — время движения лодки от Ахдо С,^
------ч
15 ч — время движения лодки от С до В.

х-у

Всего на первый рейс лодка затратила 4 ч 40 мин, т. е. 4 | = ^ ч .
О

и

45 + 15
14
Таким образом, получаем уравнение-----X+у х -у
3■
Рассмотрим второй рейс лодки. Он составил 45 км против тече­
ния от С до А и 30 км по течению от А до В. Значит,
45 ч — время движения лодки от С до А,
х-у
30
ч — время движения лодки от А до В.
X +у
Всего на второй рейс лодка затратила 7 ч. Таким образом, полу­
чаем уравнение
45 | 30 _ 7
х-у
х +у
Математическая модель задачи представляет собой систему двух
уравнений с двумя переменными:
45
15 _ 14
х +у ' х - у
3’
45 + 30 = ?
х-у
X +у

Как решить эту систему, мы пока не знаем, придётся вернуться к
ней позднее (это будет сделано в § 11), но сначала надо создать необ­
ходимую теоретическую базу.

lip ?

§ 8- Уравнения с двумя переменными
■■■■нм

Рациональные уравнения
с двумя переменными
|

Определение 1
'

-’

Г i-m' i -

г

л

.

|- ,

Уравнением с двумя переменными называют уравнение вида
/(*; у) = О, где f(x; у) — алгебраическое выражение. Решением урав­
нения с двумя переменными /(*; у) = 0 называют пару чисел (ж; у),
которая удовлетворяет уравнению, т. е. подстановка которой в
уравнение обращает его в верное числовое равенство.
Например, (3; 7) — решение уравнения ж*12 + у2 = 58, поскольку
З2 + 72 = 58 — верное числовое равенство; (>/22; - б ) —
рвшвни«
УРАВНЕНИЯ

(двумя
"•ременными

решение уравнения х2 + у 2 = 58, поскольку (>/22) + (-6)2 =
= 58 — верное числовое равенство. В то же время
пара (4; 5) не является решением уравнения, поскольку
42 + 52 = 58 — неверное числовое равенство.

Определение 2
Два уравнения р(х; у) = О и д(х; у) = 0 называют равносильными,
если они имеют одинаковые решения (в частности, если оба уравне­
ния не имеют решений).
Обычно при решении стараются заменить данное уравнение более
простым, но равносильным ему уравнением. Такую замену называют
равносильным преобразованием уравнения. Ниже указа­
ны основные равносильные преобразования.
(••■носильные
1) Перенос членов уравнения из одной части уравне­
уравнения
Сдвумя
ния в другую с противоположными знаками.
переменными
Например, замена уравнения 2х + 5у = 7ж - 8у урав­
нением 2х - 1х = -8 у - 5у есть равносильное преобразо­
вание.
2) Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то
же отличное от нуля число или выражение, всюду отличное от нуля.
Например, замена уравнения 0,5ж2 - 0,3ху = 2у уравнением
5х2 - 3ху = 20у (обе части уравнения умножили почленно на 10) есть
равносильное преобразование.
Неравносильными преобразованиями уравнения, как и в случае
уравнений с одной переменной, могут быть:
1) освобождение от знаменателей, содержащих переменные;
2) возведение обеих частей уравнения в одну и ту же чётную
степень.

ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

64

Если в процессе решения уравнения применялось одно из указан­
ных неравносильных преобразований, то все найденные решения на­
до проверить подстановкой в исходное уравнение, поскольку среди
них могут оказаться посторонние решения, т. е. пары, не удовлетво­
ряющие исходному уравнению.
Уравнение с двумя переменными чаще всего имеет бесконечно
много решений. Но бывает, что уравнение с двумя переменными
имеет конечное множество решений или вовсе не имеет решений.
Например, уравнение -Jx + yjy = -1 не имеет решений, а уравнение
_ 1)4 + (у + 2)6 = 0 имеет единственное решение (1; -2) (при зсех
остальных значениях переменных левая часть уравнения положи­
тельна, т. е. не равна нулю).
Среди уравнений с двумя переменными выделяют так называе­
мые рациональные уравнения, т. е. уравнения вида р(х; у) = 0, где
р(х; у) — рациональное выражение (выражение, составленное из чи­
сел и переменных с помощью арифметических операций). Особый
интерес среди них представляют однородные уравнения.
Определение 3

I

Многочлен с двумя переменными вида
р(х; у) = апх п + а п. 1хп~1у + а п. 2х п' 2у2 + ... + а ^ у ^ 1 + а0у \
где ап или а 0 отлично от нуля, называют однородным многочленом
п-н степени с двумя переменными х, у. Если р(х; у) — однородянй
многочлен, то уравнение р{х; у) = 0 называют однородным уравнением.

Характерный признак однородного многочлена — сумма пока­
зателей степеней переменных в каждом члене многочлена ojhi и
та же.
Приведём примеры:
р(х; у) = 2х + Зу — однородный многочлен первой степени; соот­
ветственно, 2х + Зу - 0 — однородное уравнение первой степеш;
р(х; у) = Зх2 + Ьху - 7 у2 — однородный многочлен
второй степени; соответственно, Зх2 + 5ху - 7у2 = 0 - од­
однородный
нородное уравнение второй степени;
многочлен
р(х; у) = х3 + 4ху2 - 5у3 — однородный многочле! тре­
однородное
тьей степени; соответственно, х3 + 4ху2 - 5у3 = 0 - од­
уравнение
нородное уравнение третьей степени;
р(х; у) = х3 + 4ху2 - оу3 + 3ху — неоднородный мно­
гочлен.
Любую константу можно считать однородным многочленом 1улевой степени: например, 3, >/7, -0,3 — однородные многочлены iyieвой степени.

§ 6 Уравнения с двумя переменными

В
Р
>

65

Существует достаточно изящный способ решения однородных
уравнений. Поясним его суть на двух примерах, связанных с реше­
нием однородных уравнений третьей степени.

Решить уравнение х3 + 4ху2 - 5у3 = 0.
Заметим прежде всего, что если в заданном уравнении
положить х = 0, то получится у = 0; это значит, что
пара (0; 0) является решением однородного уравнения (этот резуль­
тат справедлив для любого однородного уравнения положительной
степени).
Пусть теперь х * 0. Разделив почленно обе части заданного од­
нородного уравнения третьей степени на х3, получим

Введём новую переменную z =

Тогда уравнение примет вид

1 + 4z2 - 5z3 = 0. Решим это уравнение:
5z3 —4z2 —1 = 0;
(5z3 - 5z2) + (z2 - 1) = 0;
5z2(z - 1) + (z - l)(z + 1) = 0;
(z - l)(5z2 + z + 1) = 0.
Из уравнения z - 1 = 0 находим z = 1; уравнение 5z2 + z + 1 = 0 не
имеет корней.
Если z = 1, то ^ = 1, т. е. у = х. Это значит, что любая пара ви­
да (t\ t) является решением заданного однородного уравнения (пара
(0; 0) также входит в указанный перечень решений).
(t; t), t

е

R.

Ш Ш Ш Имеем х(2х2 - Ъху + 2г/2) = 0. Значит, либо х = 0, либо
2х2 - Ъху + 2у2 = 0. В первом случае заданному уравнению
удовлетворяют любые пары вида (0; t), где t е R. Во втором случае,

разделив почленно обе части однородного уравнения второй степени
2х2 - 5ху + 2у2 = 0 на х 2, получим равносильное ему уравнение

2 - 5- + 2 [ — ] = 0 .
X
[ X)
Введём новую переменную г = У-. Тогда уравнение примет вид
2г2 - 5г + 2 = 0, откуда находим: г 1 = 2, г 2 = | , т. е. либо

=2,

а потому у = 2х, либо —=
а потому х = 2у. Это значит, что любая
X
пара вида (£; 2t) или (21; t) является решением заданного однородно­
го уравнения.
Ci

О твет

0

(0; t ), (f; 21), (2t; t), где t € R.

Вернёмся ещё раз к последнему однородному уравнению. Полу­
ченный ответ следует понимать так: при взгляде на любую пару чи­
сел мы можем сразу сказать, является она решением уравнения или
нет. Например, решениями заданного однородного уравнения явля­
ются:
(0; 0), (0; -5), (о; yfb) (это пары вида (0; t ));
(1; 2), (-4; -8), (>/7; 2>/7) (это пары вида (£; 2f));
(6; 3), (-7; -3,5), |

| j (это пары вида (2t; 0).

В то же время такие, например, пары, как (5; 5), (3; 0), (2,5; 0,7)
не являются решениями заданного уравнения.

жтовы уравнения
ПРИМЕР 5

■■■■■■■■■■■■j

няинннв

ШШШШШЯШШШШШШI

Найти все целочисленные решения уравнения х - у = 10.
Решение

Если х = h, k € Z, то уравнение х - у = 10 принимает вид
k - у = 10, откуда получаем у = k — 10; это целое число.
Значит, целочисленными решениями уравнения служат любые пары
вида (k; k - 10), где k € Z.

Если дано целое рациональное урав­
нение с несколькими переменными и с
целочисленными коэффициентами и ес­
ли поставлена задача найти целочислен­
1
к
ные (или, в более общем случае, рацио­
нальные) его решения, то говорят, что
задано диофантово уравнение (в честь
древнегреческого математика Диофан­
та). Диофантово уравнение называют
также неопределённым уравнением. Неопределённость заключается, видимо, в
том, что такое уравнение, как правило,
имеет бесконечное множество решений,
Диофант, (предположительно I I I в.),
как это было выше в примере 5.
Армшегреческий математик, называе­
В большинстве случаев решение димый «отцом алгебры».
офантовых уравнений сопряжено со
значительными трудностями. Иногда
они преодолеваются с помощью свойств делимости целых
чисел.

ill

Аиофантово
удлинение

ПРИМЕР б

тт

|:ЛИ

Найти целочисленные решения уравнения 2* + 3у - 17.
Решение

Пусть (х; у) — решение уравнения. Тогда 17 - Зу = 2х. Так
как х — целое число, то число 1 7 - 3 у чётно. Рассмотрим
отдельно случай, когда у чётно, и случай, когда у нечётно.
1) Если у — чётное число, то 3у чётно, а 17 - 3у нечётно как раз­
ность нечётного числа 17 и чётного числа 3у. Значит, этот случай
нам не подходит.
2) Если у — нечётное число, то у = 2 A + 1, где А — целое число.
Тогда 17 - Зу = 17 - 3(2А + 1) = 17 - 6А - 3 = 14 - 6А = 2(7 - ЗА).
Так как по условию 17 - 3у = 2х, то 2(7 - ЗА) = 2х, х = 7 - ЗА.
Итак, если (х\ у) — решение данного уравнения, то х = 7 - ЗА, а
у = 2А + 1, где А — целое число.
Проверим, что верно и обратное, т. е. если х = 7 - ЗА, а у = 2А + 1,
то (х; у) — решение уравнения 2х + 3у = 17.
Произведём подстановку:
2х + Зу = 2(7 - ЗА) + 3(2А + 1) = 14 - 6А + 6А + 3 = 17.
Значит, любая пара вида (7 - ЗА; 2А + 1) является решением урав­
нения 2х + Зу = 17.
Чтобы вам был понятнее полученный результат, дадим параме­
тру А несколько конкретных целочисленных значений.

ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

68

Пусть А = 0; тогда пара (7 - ЗА; 2k + 1) превращается в (7; 1). Под­
ставив значения х = 7, у = 1 в уравнение 2х + Зу = 17, получим
14 + 3 = 17 — верное равенство.
Пусть k = 1; тогда пара (7 - ЗА; 2k + 1) превращается в (4; 3). Под­
ставив значения х = 4, у = 3 в уравнение 2х + Зу = 17, получим
8 + 9 = 17 — верное равенство.
Пусть k = 2; тогда пара (7 - ЗА; 2k + 1) превращается в (1; 5). Под­
ставив значения х = 1, у = 5 в уравнение 2х + Зу = 17, получим
2 + 1 5 = 17 — верное равенство.
Пусть А = -1; тогда пара (7 - ЗА; 2А + 1) превращается в (10; -1).
Подставив значения х = 10, у = -1 в уравнение 2х + Зу = 17, получим
20 - 3 = 17 — верное равенство.
Для наглядности сведём полученные результаты в таблицу.

Щ

тШ
Ж

Ж

А

ж = 7 - ЗА

у = 2А + 1

2 * + 3у

0

7

1

2 - 7 + 3 -1 = 14 + 3 =1 7

1

4

3

2-4+3-3=8+9=17

2

1

5

2 - 1 + 3- 5 = 2 + 15=17

-1

10

-1

2 • 10 + 3 • (-1) = 20 - 3 = 17

Так же обстоит дело со всеми остальными целочисленными значени­
ями параметра А.
(7 - ЗА; 2А + 1), где А 6 Z.

О тв е т

Ж
ПРИМ ЕР 7

Найти целочисленные решения уравнения 4х + 7у = 29.
Реш ение

Преобразуем

уравнение

к

виду

х = 29

и
4

далее

28 + 1 —'J и
7ц/ 1
х = ------ ----- % т. е. х = 7 — ^ — . Значение х будет целым

тогда и только тогда, когда выражение р(у) = 7у - 1 делится без остат­
ка на 4. Для целого числа у по отношению к числу 4 имеются четыре
возможности: оно кратно числу 4, оно даёт при делении на 4 оста­
ток 1, оно даёт при делении на 4 остаток 2, оно даёт при делении на 4
остаток 3. Рассмотрим каждую из этих возможностей по отдельности.
1) у = 4п. Тогда р(у) = 7 j / - l = 7 - 4 n - l = 28л - 1. Это число не
делится на 4.

2) у = 4 л + 1. Тогда р(у) = 7у - 1 = 7(4л + 1) - 1 = 28л + 6. Это
число не делится на 4.
3) у = 4л + 2. Тогда р(у) = 7у - 1 = 7(4л + 2) - 1 = 28л + 13. Это
число не делится на 4.
4) у = 4л + 3. Тогда р(у) = 7у - 1 = 7(4л + 3) - 1 = 28л + 20. Это
число делится на 4.
Итак, у = 4л + 3. Тогда х = 7 1 = 7 - 2&п + 20 = 7 - (7л + 5) =
4
4
= 2 - 7л.
(2 - 7л; 4л + 3), где л е Z.

ПРИМЕР 8

Найти целочисленные решения уравнения 4х2 - у2 = 11.
Перепишем уравнение в виде (2л - у)(2л + у) = 11. Левая
часть уравнения представляет собой произведение двух це­
лых чисел. Оно можетравняться 11 лишь в четырёх случаях: когда
первый множитель равен 1, а второй 11; когда первый множитель
равен -1, а второй -1 1 ; когда первый множитель равен 11, а вто­
рой 1; когда первый множитель равен -11, а второй -1 . Значит, зада­
ча сводится к решению четырёх систем уравнений:

Реш ение

2х - у = 1,
2х + у = 11;

2х - у = -1,
2х + у = -11;

2х - у = 11,
2х + у = U

2х - у = -11,
2х + у = -1.

Из первой системы находим х = 3, у = 5; из второй х = -3 , у = -5;
из третьей х = 3, у = -5 ; из четвёртой х = -3 , у = 5.
Ответ

(3; 5), (-3; -5), (3; -5), (-3; 5).

График уравнения с двумя переменными

Пусть дано уравнение р(х; у) = 0. Множество точек (л; у) координат­
ной плоскости хОу таких, что (л; у) — решение уравнения
р(х; у) = 0, называют графиком уравнения.

П>афик уравнения с двумя переменными

ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

ПРИМЕР 9

Построить график уравнения
Зле + 4у - 12 = 0.

(

1)

Решение

Из курса алгебры 7-го класса вам известно, что графиком
линейного уравнения с двумя переменными ах + by + с = О,
где хотя бы одно из чисел а, b отлично от нуля, является прямая
линия. Значит, график уравнения (1) — прямая, для построе­
ния которой достаточно указать две точки, ей принадлежащие. Ес­
ли в уравнение (1) подставить х = 0, то
оно примет вид 4у - 12 = 0, откуда нахо­
дим у = 3; итак, (0; 3) — точка, координа­
ты которой удовлетворяют уравнению (1).
Если в уравнение (1) подставить у = 0, то
оно примет вид Зле - 12 = О, откуда нахо­
дим х = 4; итак, (4; О) — точка, коорди­
наты которой удовлетворяют уравне­
нию (1).
Проведём через точки (0; 3) и (4; 0) пря­
мую — это и будет график уравнения (1)
(рис. 64).

Если уравнение р(х; у) = 0 удаётся преобразовать к виду у = /(х),
то график функции у = f(x) считается одновременно и графиком
уравнения р{х; у) = 0.
ПРИМЕР 10

Построить график уравнения
у - 2х2 = 0.

IУ

.

О

1

Решение

Преобразуем уравнение к виду
у = 2лс2. Графиком функции у = 2х2
является парабола (рис. 65).

\

7А1- 2х2= 0
/

\

\

п
Ч

-

Рис. 65

V\
7
2 о 1 5

х\

§8. Уравнения с двум я переменными^

71

Построить график уравнения ху = 2.
Преобразуем

Решение

уравнение

к

о

виду у = —. Графиком функо

ции у = —является гипербола (рис. 66).
JC

Рис. 66

5

Формула расстояния между двумя точками
координатной плоскости

Строя графики уравнений в примерах 8—10, мы опирались лишь на
материал, известный вам из курса алгебры 7—8-го классов: графика­
ми были прямая, парабола, гипербола. В этом пункте мы расширим
круг геометрических фигур, которые могут служить графиками
уравнений с двумя переменными.
ТЕО РЕМ А 1

Расстояние между точками А (хх, ух) и В(х2; у2) координатной пло­
скости хОу вычисляется по формуле
А В = у](х2 - x [ f + ( 1/2 - У1)2.

Соединим точки А(хх; ух) и В(х2, У2 ) отрезком и проведём
прямые х = хи х = х2, у = Уи У = у 2 (рис. 67). Рассмотрим
прямоугольный треугольник АВС. Длина катета АС равна расстоя­
нию между точками х х и х2 оси х, т. е. АС = \х2 Длина катета
ВС равна расстоянию между точками ух и у2 оси у, т. е. ВС = \у2 - J/JПо теореме Пифагора АВ2 = АС2 + ВС2, т. е.

Доказательство

АВ2 = \х2 - хх\2 + \у2 - У\\2.
(2)
Так как |а|2 = а 2, то формулу (2) можно переписать в виде АВ2 =
= (х2 - * i ) 2 + (г/2 “ У\)2- Значит, АВ = ^{х2 - х,)2 + (у2 ' У\)2■ Теоре­
ма доказана.

ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

72

*

i

В

Уг

с

Ух

х2

О

У

ГГ
i1 = У2

ш

У= 11

* 7 * 2

Рис. 67

А

X
* 7 * 1

Вычислим, например, расстояние между точками (9; -1) и
(2; -25). Получим ^/(2 - 9)2 + (-25 + I)2 = ^ 7 2 + 242 = ^6^5 = 25.

■<

Т Е О Р ЕМ А 2

Графиком уравнения

ж

(х - а)2 + (у - Ъ)2 = г2

3

( )

на координатной плоскости хОу является окружность с центром в
точке 0'(я; Ь) и радиусом г (г > 0) (рис. 68).
Д оказательство

Возьмём любую точку М(х; у) окружности (см. рис. 68).
По теореме 1 имеем O'M = yj(x - а)2 + (у - Ь)2. Но

О'М = г, значит, г = ^(х - а)2 + (у - Ь)2, т. е.
(* - а)2 + (у - Ь)2 = г2.
(x^afMy^bf=?

ж
0'(а;Ь)

ш

т'

Ж

Рис. 68

М(х;у)

Итак, координаты любой точки
М(х; у), принадлежащей окружности,
удовлетворяют уравнению (3).
Если точка Р(х; у) не лежит на
окружности, то либо О'Р < г (если
точка Р расположена внутри окруж­
ности), либо О’Р > г (если точка Р
расположена вне окружности). И в
том, и в другом случае уравнению (3)
координаты точки Р не удовлетворя­
ют.
Следовательно, точки окружности
и только они удовлетворяют уравне­
нию (3). Теорема доказана.

ПРИМЕР 12

Построить график уравнения
X2 + у2 = 16.

х‘ + ,1/1=16

Решение

Перепишем уравнение в виде
(* - О)2 + (у - О)2 = 42. По теоре­
ме 2 графиком этого уравнения является
окружность с центром в точке 0(0; 0) и ра­
диусом 4 (рис. 69).

О

-4

-4

Рис. 69

ПРИМЕР 13

■M i

ммнммв

Построить график уравнения:
а) (х - I)2 + {у - 2)2 = 9;
б) х2 + у2 + Ах = 0.
Решение

а) Перепишем уравнение в виде (х - I)2 + (у - 2)2 = З2.
Графиком этого уравнения по теореме 2 является окруж­
ность с центром в точке (1; 2) и радиусом 3 (рис. 70).
б) Перепишем уравнение в виде (х2 + 4х + 4) + у2 = 4, т. е.
(х + 2)2 + у2 = 4,
и далее
(х - (-2))2 + (у - О)2 = 22.
Графиком этого уравнения по теореме 2 является окружность с
центром в точке (-2; 0) и радиусом 2 (рис. 71).

(Л + 2)2Г + У р 4

?-4

Рис. 71

Л

± tz

Оформим основные результаты этого пункта в виде таблицы.
Аналитическая
модель
X2

Геометрическая
модель

+ у 2 = г2

У
Г

Г
-г
(х -

а )2 + ( у - Ь )2 = г2

У

ь
О

ПРИМЕР 14

и*

Sl

X

Словесная
модель
Окружность на коорди­
натной плоскости с цен­
тром в начале координат
и радиусом г

Окружность на коорди­
натной плоскости с цент­
ром в точке (а; Ь) и ра­
диусом г

1>ис. 72
Если х = 0,66, то по формуле у = | х находим у - 0,88; если х - 1,5,
то у = 2. Графиком уравнения является окружность (см. рис. 72)
с двумя «выколотыми» точками: (0,66; 0,88) и (1,5; 2).

Вопросы для самопроверки
1. Что такое уравнение с двумя переменными?
2. Что называют решением уравнения с двумя перемен­
ными?
3. Решите уравнение:
а) (х - I)2 + (у - З)2 = 0;
б) х2 + у 2 = 4у - 2х - 5.
4. Подберите три решения уравнения:
а) 2х + Зу = 6;
б) х2 + у 2 = 25.
5. Что называют однородным многочленом от двух перемен­
ных?
6. Приведите пример однородного многочлена 4-й степени.
7. Решите уравнение х2 - 3ху + 2у2 = 0.
8. Что называют графиком уравнения р(х; у) = 0?
9. Что представляет собой график уравнения 2х + Зу = 6? По­
стройте этот график.
10. Запишите формулу расстояния между точками (Xj; У\) и
(* 2« У2) координатной плоскости хОу.
11. Что представляет собой график уравнения
(х - а)2 + (у - Ь)2 = г2?

ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

S

НЕРАВЕНСТВА
С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

Наряду с уравнениями с двумя переменными рассматривают и нера
венства с двумя переменными — это неравенства вида р(х; у) > О,
р(х; у) < О. Как правило, для их решения используют геометриче­
скую модель — изображение решения неравенства на координатной
плоскости в виде множества точек, координаты которых удовлет­
воряют неравенству. Например, на рис. 73, а изображено множе­

Рис. 73
ство решений неравенства у > 2х2 — точ­
ки, лежащие на параболе ивыше неё; на
рис. 73, б изображено множество реше­
ний неравенства х2 + у 2 < 16 — точки, ле­
жащие на окружности радиусом 4 с
центром в точке (0; 0) и внутри ограни­
ченного ею круга; на рис. 74 изображено
множество решений неравенства (я + 2)2 +
+ у2 > 4 — точки, лежащие вне круга.
Рис. 74

яШ Р

i i ■
;
Неравенства с двумя переменными

надлежат множеству решений неравен­
ства. Если х > 0, то неравенство ху < 2

Ш
Ш Ж йИ Т
лили л\\ ли 1ТО/.я
М И М

можно переписать в виде у < —. Значит, в
-У =

правой полуплоскости (при х > 0) следует
взять точки, лежащие ниже правой ветви
гиперболы у = —. Если х < 0, то неравен-

■ X* r t t i Я Г Mi 'МММ,'МММ, 'МММ.

Рис. 75

ство ху < 2 можно переписать в виде у >

z

Значит, в левой полуплоскости (при х < 0)
следует взять точки, лежащие выше левой
ветви гиперболы. Множество решений неравенства ху < 2 изображе­
но на рис. 75.

Г
Иногда при построении графика уравнения с двумя переменными
приходится использовать неравенства с двумя переменными. Рассмо­
трим два примера.
П РИ М ЕР 2

»аиа

Построить график уравнения (* - 2)^ ^ +- | = ~^(у + 3)(х - 2).
Наличие знака «минус» перед корнем в правой части урав­
нения заставляет нас потребовать выполнения дополни­
тельного условия х — 2 < 0. Если х - 2 < 0, то наличие под зна­
ком корня выражения (у + 3)(д: - 2) вынуждает нас принять ещё од­
но дополнительное ограничение: у + 3 < О. При указанных ограни­
чениях имеющиеся радикалы можно преобразовать следующим
образом:
V(y + 3)(х - 2) = >

+ 3| • J\x - 21 = J - y - з • л/2 - х;
- 3
У± 3 _
\ х- 2
у]2 —х

Теперь поработаем с заданным уравнением:
(х - 2 p Q 2 = - J - y - 3 • x/sF-Tx;
(х - 2) 7 -

г/

- 3

yj- у -

3

=
=

-(2 - x ) J - y - 3;
у/-у - з .

2. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

Таким образом, заданное уравнение
выполняется при любых допустимых
значениях переменных. Эти допустимые
значения определяются системой нера[х - 2 < О,
венств <
[у + 3 < 0.
На рис. 76 представлено множество
точек координатной плоскости, которые
удовлетворяют заданному уравнению.

ПРИМ ЕР 3

шшшшшшяяшшяишшшшшшишшяшшяшшяшяш

Построить график уравнения \у - х2\ = х 2 - 2х.
Если у > х 2, то \у - х2\ = у - х 2, и заданное уравнение при­
нимает вид у - х 2 = х2 - 2х, т. е. у = 2х2 - 2х. Если у < х2,
то | у - х 21= -(у - х 2), и заданное уравнение принимает вид -(у - х2) =
= х 2 - 2х, т. е. у = 2х.
Решения неравенства у > х2 — это множество точек, принадле­
жащих параболе у = х2 и расположенных выше неё (рис. 77). При
этом должно выполняться уравнение у = 2х2 - 2х, т. е. интересую­
щие нас точки должны лежать на параболе у = 2х2 - 2х. Указанные
две параболы пересекаются в точках (0; 0) и (2; 4). Решения уравне­
ния при у > х2 — множество точек, принадлежащих выделенным на
рис. 77 двум частям параболы у = 2х2 - 2х (при х < 0 и при х > 2).

Реш ение

Решения неравенства у < х2 — это
множество точек, расположенных ниже
параболы у = х 2 (рис. 78). При этом
должно выполняться уравнение у = 2х,
т. е. интересующие нас точки должны
лежать на прямой у = 2х. Решения за­
данного уравнения — множество точек,
принадлежащих выделенным на рис. 78
частям прямой (при х < О и при х > 2).
График заданного уравнения пред­
ставлен на рис. 79.
I'uc. 79
Завершая параграф, рассмотрим несколько примеров, в которых
удаётся решить неравенство с двумя переменными, не прибегая к по­
мощи координатной плоскости.
ПРИМЕР 4

Решить неравенство 4х2 - 4х + 5 < —^------------ .
у2 + 10у + 27
Решение

Выполним некоторые преобразования заданного неравен­
ства:
(2х - 1 ) 2 + 4 <

8

(у + 5)2 +2'

Обозначим левую часть неравенства р(х), а правую — д(у). Доста­
точно очевидно, что для любого х выполняется неравенство р(х) > 4.
Поскольку знаменатель дроби q(y) не меньше чем 2, сама дробь не
больше чем 4. Итак, для любых пар (х; у), удовлетворяющих задан­
ному уравнению, должна выполняться следующая цепочка:
4 < р(х) < q(y) < 4,
а это возможно тогда и только тогда, когда р(х) = 4 и q(y) = 4. Из
уравнения р(х) = 4 получаем х = —; из уравнения q(y) = 4 получаем
У = - 5.
2

ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

H i
Найти целочисленные решения неравенства:
а) 4д/2х + Зу - 7 + 3^4* - Зу - 5 < 2,5;
б)

2
3(* + 2)2 + 4(у + З)4

а) Если х, у — целые числа, то подкоренные выражения —
целые числа; нас, естественно, интересуют лишь неотрица­
тельные значения подкоренных выражений. Если хотя бы одно из
этих выражений больше нуля (т. е. равно 1, 2, 3, ...), то левая часть
неравенства уж во всяком случае не меньше чем 3, что нас не устра­
ивает. Значит, устроить нас может лишь один случай: когда оба под­
коренных выражения одновременно обращаются в нуль. Таким обра­
зом, задача сводится к решению системы линейных уравне„ \2х + Зу = 7,
НИ И
И [4х - Зу = 5.
Находим решение этой системы: х = 2; у = 1.
б) Преобразуем данное неравенство: 3(дг + 2)2 + Цу + З)4 < —.
О

Поскольку 3(х + 2)2 > 0, должно выполняться неравенство
4(у + З)4 <

3

т. е. (у + З)4 <

о

Это возможно только в трёх случаях:

у = -3, у = -2, у - -4. Рассмотрим каждый из этих случаев по отдель­
ности.
Если у = -3, то неравенство 3(х + 2)2 + 4(у + З)4 < ^ принимает
о

вид (х + 2)2 <

Это верно при следующих целочисленных значени­

ях х: -3 , -2, -1. Таким образом, получили три решения заданного
неравенства: (-3; -3), (-2; -3), (-1; -3).
Если у = -2 или у = - 4, то неравенство 3(х + 2)2 + 4(у + З)4 < ^
О

принимает вид (х + 2)2 <
Это верно лишь при х = -2. Таким образом, получили ещё два
целочисленных решения заданного неравенства: (-2; -2), (-2; -4).
Ответ

а) (2; 1);
б) (-3; -3), (-2; -3), (-1; -3), (-2; -2), (-2; -4).

Основные понятия, связанные с системами уравнении

Вопросы для самопроверки
1. Что называют решением неравенства р(х; у) > О?
2. Подберите три решения неравенства:
а) 2х + Зу > 6;
б) х г + у2 < 25.
3. Постройте множество точек координатной плоскости хОу,
удовлетворяющих неравенству:
а) х2 + у2 < 25;
б) х2 + у2 25.

О СН О ВН Ы Е ПОНЯТИЯ,
СВЯЗА Н Н Ы Е С СИСТЕМ АМ И
УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
С Д В УМ Я ПЕРЕМ ЕННЫ М И
Графический метод решения систем
уравнений с двумя переменными
Системы уравнений с двумя переменными встречались вам в курсе
алгебры 7-го класса — это были системы двух линейных уравнений
с двумя переменными. В предыдущем параграфе мы говорили о бо­
лее сложных, чем линейные, уравнениях с двумя переменными, те­
перь рассмотрим системы таких уравнений.
Определение 1

Уравнения р(х; у) = 0 и q(x; у) = 0 образуют систему уравнений, ес­
ли поставлена задача найти все пары чисел (*; у), удовлетворяющие
одновременно обоим уравнениям. Пишут
р(х; у) = О,
д(х; у) = 0.
Пару чисел (jc; у), которая одновременно является решением и
первого, и второго уравнений системы, называют решением систе­
мы уравнений. Решить систему уравнений — это значит найти все
её решения или установить, что решений нет.
Например, пара (3; 7) — решение системы уравнений
fX2 + у 2 = 58,
[У — * = 4-

В самом деле, эта пара удовлетворяет как первому, так и второму
уравнению системы, значит, является её решением. А пара (5; 9) не
является решением системы (1): она не удовлетворяет
первому уравнению (хотя и удовлетворяет второму урав­
система
нению системы).
уравнений
Разумеется, переменные в уравнениях, образующих
решение
систему
уравнений, могут быть обозначены и другими
системы
буквами,
например: а и Ъ, s и t, и и v и т. д. Но в любом
уравнений
случае при записи ответа в виде пары чисел используют
лексик ограф ическ ий способ, т. е. на первое место ставят
шШ
ту из двух букв, которая в латинском алфавите встречается раньше,
Систему уравнений можно решать графическим методом: надо
построить график первого уравнения, затем построить график второ­
го уравнения и найти точки пересечения этих графиков; координаты
каждой точки пересечения служат решением системы уравнений.

ПРИМ ЕР 1
Решить систему уравнений

х2 + у 2 = 16,
У - х = 4.

Реш ение

1) Построим график уравнения х 2 + у 2 = 16 — окружность
с центром в начале координат и радиусом 4 (рис. 80).
2) Построим график уравнения у - х =
= 4. Это прямая, проходящая через точ­
ки (0; 4) и (-4 ; 0) (см. рис. 80).
3) Окружность и прямая пересекают­
ся в точках А и В (см. рис. 80). Судя по
построенной геометрической модели,
точка А имеет координаты (-4 ; 0), а точ­
ка В —- координаты (0; 4). Проверка по­
казывает, что на самом деле пары (-4; 0)
и (0; 4) являются решениями каждого
уравнения системы, а значит, и решени­
ями системы уравнений. Следовательно,
заданная система уравнений имеет два
решения: (-4 ; 0) и (0; 4).

О твет

(-4 ; 0);

ПРИМ ЕР 2

■■■■■

(0; 4).

пг

D
„ I 2х2 - у = 0,
Решить систему уравнении \
ху = 2.

-

Ш1ШШ

понятия, связанные с системами уравнений и нер*в

Реш ение

1) Графиком первого уравнения является парабола у = 2х2
(рис. 81).
2) Графиком второго уравнения яво
ляется гипербола у = —(см. рис. 81).
3) Парабола и гипербола пересека­
ются, судя по чертежу, в точке А(1; 2).
Проверка показывает, что действи­
тельно пара (1; 2) является решением
каждого уравнения системы, а зна­
чит, и решением системы уравне­
ний. Следовательно, заданная система
уравнений имеет одно решение: (1; 2).

hie. HI
( 1;

2 ).

Графический метод решения систем уравнений красив, но нена­
дёжен: во-первых, потому что графики уравнений удаётся построить
далеко не всегда; во-вторых, даже если графики уравнений удалось
построить, точки пересечения могут быть не такими «хорошими»,
как в специально подобранных примерах 1 и 2, а то и вовсе окажут­
ся за пределами чертежа. Значит, нужно иметь более надёжные ал­
гебраические методы решения систем двух уравнений с двумя пере­
менными. Об этом пойдёт речь в следующем параграфе.
П РИ М ЕР 3

Iх2 + у2 = 16,
при раз[у =- хv-2г + а
личных значениях параметра а при условии, что а > -10?

Сколько решений имеет система уравнений

Графиком уравнения х 2 + у2 = 16 является окружность ра­
диусом 4 с центром в начале координат (рис. 82). Графи­
ком уравнения у = х2 + а является парабола с вершиной в точке (0; а)
(см. рис. 82). Число решений системы, т. е. число точек пересечения
параболы и окружности, зависит от положения вершины параболы,
т. е. от значения параметра а.
Если а > 4, то парабола и окружность не пересекаются (см.
рис. 82), значит, система не имеет решений.
Если а = 4, то парабола и окружность имеют единственную об­
щую точку (0; 4) (см. рис. 82), значит, система имеет одно решение.

mm
ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ

Если -4 < а < 4, то парабола и окружность пересекаются в двух
точках (рис. 83), значит, система имеет два решения.

Щ

Если а = -4, то парабола и окружность имеют три общие точки
(рис. 84), значит, система имеет три решения.
Если а = -10, то парабола и окружность пересекаются в четырёх
точках. Убедиться в этом можно так: парабола у = х 2 - 10 пересекает
ось х в точках - л Д о И V lO . Обе эти точки лежат внутри круга
(рис. 85; здесь масштаб уменьшен по сравнению с рис. 82—84).

Аналогичная ситуация имеет место и в случае, когда -10 < а < -4.
Ответ

Нет решений, если а > 4; одно решение, если а = 4; два ре­
шения, если -4 < а < 4; три решения, если а = -4; четыре
решения, если -10 < а < -4.

й и неравенств

Основные

Найти целочисленные решения системы уравнений
2х2 - 3у 3 = 96,
2лч/ + 5х = 8у + 22.
Преобразуем второе уравнение: х =

+ 22 (деление на
2у + 5
2у + 5 возможно, поскольку это выражение не обращается
в нуль при целочисленных значениях у); х = 4 + —-—. Дробь —-—
2у + 5
2у + 5
должна быть целым числом. Значит, для её знаменателя есть четыре
возможности: он может быть равен —1, 1, —2, 2. Из уравнения
2у + 5 = -1 находим у = -3; из уравнения 2у + 5 = 1 находим у = -2;
уравнения 2у + 5 = 2, 2у + 5 = -2 целочисленных корней не имеют.
Итак, либо у = -3, либо у = -2. Подставим поочерёдно каждое из
этих значений в первое уравнение заданной системы. Если у = -3, то
первое уравнение принимает вид 2х2 + 81 = 96; это уравнение не имеет
целочисленных корней. Если у —- 2, то первое уравнение принимает
вид 2л:2 + 24 = 96; это уравнение имеет целочисленные корни: х = ±6.
(6; - 2), (-6 ; - 2).

Системы неравенств с двумя переменными
Определение 2

Если поставлена задача найти такие пары чисел (х; у), которые
одновременно удовлетворяют неравенствам р(х\ у) > 0 и q{x\ у) > О,
то говорят, что указанные неравенства образуют систему нера[?(*; у) > о.

Пару чисел (х; у), которая одновременно является решением и
первого, и второго неравенств системы, называют решением систе­
мы неравенств. Решить систему неравенств — значит найти все её
решения (или установить, что решений нет).
система неравенств с двумя переменными
решение системы неравенств

ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЕ

шм
Решить систему неравенств

(2х - Зу < 6,
\ х + у + 7 > 0.

1) Построим график уравнения 2х - 3у = 6. Это прямая,
проходящая через точки (3; 0) и (0; -2). Возьмём в каче
стве контрольной точку (0; 0), расположенную выше построенной
прямой; её координаты удовлетворяют неравенству 2х - Зу < 6. Зна
чит, геометрическим решением первого неравенства заданной систе­
мы являются полуплоскость, расположенная выше прямой, и самс
прямая (поскольку заданное неравенство нестрогое) (рис. 86).
2) Построим график уравнения х + у + 7 = 0. Это прямая, прохо­
дящая через точки (—7; 0) и (0; -7). Возьмём в качестве контрольной
точку (0; 0), расположенную выше построенной прямой; её коорди­
наты удовлетворяют неравенству х + у + 7 > 0. Значит, геометриче­
ским решением второго неравенства заданной системы служат полу­
плоскость, расположенная выше прямой, и сама прямая (рис. 87).

Решение

Рис. 86
3) В качестве решений заданной системы неравенств следует
взять все общие точки построенных полуплоскостей, т. е. их пересе­
чение (заштриховано на рис. 88).

Рис. 88

ПРИ1ЛЕР б

Решить систему неравенств

у > х 2 - 4х + 1,
У < х - 3.

Решение

___ Надо найти пересечение множества решений неравенства
у > х 2 - 4лт + 1 (рис. 89) и неравенства у < х - 3 (рис. 90).
Искомое множество решений изображено на рис. 91 — параболиче­
ский сегмент.

Рис. 90

Рис. 91

ПРИМЕР 7

Найти целочисленные решения системы неравенств
^2х + 3 у - 6 < V5 - 1,
_____ ±
(ж -

2у )2 +

.
1

3

Решение

Если х, у — целые числа, то 2х + Зу - 6 — целое число.
Поскольку оно содержится под знаком квадратного корня,
оно должно быть неотрицательным: 0, 1,2, 3, ... . Но уже значение 2
нас не устраивает, поскольку %/2 > -JE - 1. Значит, нас интересуют
только два случая: 2х + Зу - 6 = 0 или 2х + Зу - 6 = 1.
Выполним преобразования второго неравенства системы:
(х - 2у)2 + 1 < | ; (х - 2у)2 < | .

Это возможно лишь при условии, что х - 2у = 0. В итоге задача
сводится к решению совокупности двух систем линейных уравнений:
[ 2х + Зу = 6,
( 2х + Зу = 7,
\х = 2у;
\х = 2у.

ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

Первая система не имеет целочисленных решений, а из второй
системы находим: х = 2, у = 1.
Ответ

( 2;

1).

Вопросы для самопроверки
7Ш

ш

1. Что такое система двух уравнений с двумя переменными?
2. Что называют решением системы двух уравнений с двумя
переменными?
х + Зу = 5,
Дана система уравнений Г ’
"
7 Какие из дредло[ jcz + у2 = 25.

Щщ
ЩШ}

женных ниже пар чисел являются её решениями:
а) (5; 0);
в) (3; 4);
д) (-1; 2)?
б) (2; 1);
г) (1; 2);
4. Расскажите, как графически решить систему уравнений
| х + Зу = 5,
[х 2 + у 2 = 25.

ШЩ

5. Покажите на координатной плоскости хОу решения систех > 0,
мы неравенств у > 1,

ш

У < х.

Ш

ЪЬу У / гЖ:.-

■ I М ЕТО Д Ы РЕШ ЕН И Я
СИ СТЕМ УРА ВН ЕН И Й

т я

ШШШШШШЛ

М етод подстановки

Этот метод вы уже применяли в 7-м классе при решении систем двух
линейных уравнений с двумя переменными. Он заключается в том,
что из одного уравнения системы одну из переменных выражают
через другую, затем полученное выражение подставляют во второе
уравнение системы и решают его относительно оставшейся перемен­
ной. Найдя корни последнего уравнения, ищут соответствующие
значения выраженной переменной.

Выше (см. пример 14 в § 8) мы уже фактически решили методом
4
подстановки систему уравнений у = з
(х - З)2 + у 2 = 6,25.
х ’

Рассмотрим ещё несколько примеров.

ПРИМЕР 1
Решить систему уравнений

х + Зу = 5,
ху = 2.

Решение

1) Выразим х через у из первого уравнения системы:
х = 5 - Зу.
2) Подставим полученное выражение вместо х во второе уравне­
ние системы: (5 - Зу)у = 2.
3) Решим это уравнение:
Ъу - Зу2 = 2;

Зу2 - 5 у + 2 = 0;
1

1/1=1.

2

У2 = з ‘

4) Подставим поочерёдно каждое из найденных значений у в
2

уравнение х = 5 - Зу. Если у = 1, то х = 5 - 3 1 = 2; если у = —, то

5) Пары (2; 1) и (в ;
(2; 1);

- решения заданной системы уравнении.

I 3; §].

р
„ \уг - 2 х„ у - 3 х 2
Решить систему уравнении (
\x3 + yi = 28.
Решение

=

0,

Поработаем с первым уравнением системы. Это однородное
уравнение второй степени (см. § 9). Если х = О, то у = 0;
сразу заметим, что пара (0; 0) не удовлетворяет второму уравнению
системы, т. е. не является решением системы. Если х * 0, то обе ча-

ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

сти первого уравнения системы можно почленно разделить на х2 и
у
затем ввести новую переменную z =
у2 - 2ху - Зле2 = 0;

- 2-^ - 3 = 0;

zz - 2z - 3 = 0; z x - 3, z2 = -1 .
Значит, либо ^ = 3, т. е. у = 3*, либо ^ = -1 , т. е. у = - х . В итоге
X

х

получаем совокупность двух систем уравнений:
1у = Зх,
\ х 3 + у 3 = 28;

У =
х 3 + у3 = 28.

Подставив Зх вместо у во второе уравнение первой системы, по­
лучим:
jc3 + (Злг)3 = 28; 28х3 = 28; х = 1.
Итак, х = 1, а поскольку у = Зх, то у = 3.
Подставив - х вместо у во второе уравнение второй системы, полу­
чим уравнение х3 + (-*)3 = 28, которое не имеет корней. Значит,
вторая система не имеет решений.
Ответ

( 1 ; 3 ).
м и и ш м п м м м

_шяшшяшшшшшшяшшж

ПРИМЕР 3

№

Чему равно наименьшее значение выражения
р(х; у) = \2х - у - 4| +^|х4 +

+ р- + 9

и при каких значениях переменных оно достигается?
Здесь \2х - у - 4\ > О и J x 4 +

Решение

х4+

V

+
у

-4 + 9 = if х 2 + у2

yl

+ -4т + 9 > 3, поскольку

) + 9 . Если нам повезёт, а именно ока-

у)

жется, что существует такая пара (х; у), при которой одновременно
выполняются равенства |2х - у - 4| = 0 и II х 2 + - J + 9 = 3, то

§ 11-1

пения систем

авнений

Фактически задача сводится к решению системы уравнений
2х - у - 4 = О,

х 2 + - = 0.
У

Выразим у из первого уравнения: у = 2х - 4. Подставим получен­
ное выражение вместо у во второе уравнение:
*2 + 27Г 4 = 0;

х3 - 2х2 + 1 = О;
(х3 - 1) - 2(х2 - 1) = 0;
(х - 1)(дг2 + х + 1) - 2(х - 1)(х + 1) = 0;
(х - 1)(х2 - х - 1) = 0.
Из последнего уравнения находим: Xj = 1, х2 = - - -—, х 3 = 1 - у'о
2 ’ "л
2 '
Соответственно, по формуле у = 2х - 4 находим: уг = -2, у 2 =
- 3,
Уз = ~\/5 - 3.
им = 3, достигается при следующих парах значений переf -

менных: (1; -2),

Ц А/г

, / 5 - 8 \ , (( .Ц £г-;

-V6

\

И М Ю Ю №

Системы уравнений с

переменными

До сих пор мы говорили о системах двух уравнений с двумя пере­
менными. Встречаются и системы уравнений с другим числом пере­
менных, например с тремя переменными. Решить систему трёх
уравнений с тремя переменными
[а (*; у; г) = 0,
р2(х; у; г) = О,
р3(х; у; z) = 0
значит найти все тройки чисел {х\ у; г), при подстановке которых во
все уравнения системы получаются верные числовые равенства. Каж­
дую такую тройку чисел называют решением системы трёх уравне­
ний с тремя переменными.
В следующем примере мы покажем, как используется метод под
становки для решения системы трёх уравнений с тремя перемен­
ными.

!I

+
'•• awe

ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

92

ПРИМЕР 4

;‘

Л А i 1 * * -t-iSfc V s . . la.

4л - Зу - z = О,
Решить систему уравнений 2л + у + 5г = 2,
Зл - 2у + 42 = -4 .

mm
wm

Выразим г из первого уравнения системы: г - 4х - Зу. Под­
ставим полученное выражение вместо z во второе и третье
уравнения системы:

Решение

ШШ

г - 4х - 3у,
2х + у + 5(4х - 3у) = 2,
Зх - 2у + 4(4х - Зу) = -4;
2 = 4х - Зу,
22х - 14у = 2,
19л - 14у = -4 .
Из второго уравнения находим 14у = 22х - 2. Подставив выра­
жение 22л - 2 вместо 14у в третье уравнение системы, получим:
19л - (22л - 2) = -4 ; л = 2. Подставив значение л = 2 во второе урав­
нение системы, получим у = 3. Подставив, наконец, значения л = 2,
у = 3 в первое уравнение системы, получим z - - 1.
л = 2,
Ответ можно записать двумя способами: либо у - 3,
г = -1,

mg
ШЖ

либо (2; 3; -1 ).

ПРИМЕР 5
Решить систему уравнений
[ 4л2 + 4л + 9у 2 - 12у + 5 = 0,
|4л + 3 у + г 3 = 27.

тШ

Шш

Первое уравнение можно преобразовать к виду (2л + I )2 +
1
2
+ (Зу - 2)2 = 0, откуда находим: л =
у =
Подставив
найденные значения во второе уравнение системы, получим:
-2 + 2 + г3 = 27; г = 3.

Решение

Ответ

гЬ 1;

3 )'

§11. Методы решения систем уравнений

Этот метод, как и метод подстановки, знаком вам из курса алгебры
7-го класса. Суть метода напомним с помощью примера.
ПРИМЕР 6

Решить систему уравнений
Решение

[ 2х + ху + 2 = 0,
[4 у + 3ху + 30 = 0.

Умножим все члены первого уравнения системы на 3,
а второе уравнение оставим без изменения:
(6х + 3ху + 6 = 0,
[4{/ + 3 ху + 30 = 0.

Вычтем второе уравнение системы из её первого уравнения:
(6л: + 3ху + 6) - (4р + 3ху + 30) = 0 - 0 ;
6* - 4у - 24 = 0;
З х - 2 у - 1 2 = 0.
В результате алгебраического сложения двух уравнений исходной
системы получилось уравнение более простое, чем первое и второе
уравнения заданной системы. Этим более простым уравнением мы
имеем право заменить любое уравнение заданной системы, например
второе. Тогда заданная система уравнений заменится более простой:
12х + ху + 2 = 0,
[Зх - 2у - 12 = 0.
Эту систему можно решить методом подстановки. Из второго
Зх - 12
уравнения находим у = — -— ; подставим это выражение вместо у в
первое уравнение системы:
2х + х

Зх - 12

+

2

=

0;

Зх2 - 8х + 4 = 0;
*i = 2, х 2 = | .
Осталось подставить найденные значения х в уравнение у = Зх - 12
о
Если х = 2, то у = -3 ; если х = - , то у = -5.
и

О тв е т

/* +Ь + V* - \[у = 2>

Решить систему уравнении

у}У + V * ~ y j y - -Jx = 1.
Решение

Возведём в квадрат обе части обоих уравнений системы:

(y[x+~jy + \jx ~ yfii) = 4 >

[yfy~+^Jx - y[y~-~Jx)

=

1;

x + J y + 2yjx + J y ■yjx - J y + x - yfy = 4,
у + -Jx - 2yjy + n/ x • yjy - yfx + у - yjx = 1;
(V*2 - y)2 = (2 - *)2,

[ * + yjx2 - у = 2,

\ 2 y - 2 j y 2 - x = 1;

( 2 ^ 2 - * ) ’ = (2y - l) 2;

[ jt2 - у = 4 - 4д: + я 2,
14(t/2 - jc) = 4y2 - 4г/ + 1;

[ у = 4x - 4,
I 4i/ - 4x = 1.

Решив эту систему двух линейных уравнений с двумя перемен17

5

ными, получим: х = — > У = gПроверка. Поскольку в процессе решения мы четыре раза возво­
дили обе части уравнения в квадрат, возможно появление посторон­
них решений, а потому необходима проверка. Её в принципе можно
сделать с помощью непосредственной подстановки найденных значений х = 17 у =5- в уравнения исходной системы, но тогда придется
1Z

и

повозиться с квадратными корнями. Воспользуемся другим способом
проверки.
Известно, что при возведении обеих частей уравнения в квадрат
посторонние решения не появятся, если обе части уравнения прини­
мают только неотрицательные значения. Это явно имело место при
возведении в квадрат обоих уравнений исходной системы. При возве­
дении в квадрат уравнений системы
IJ

x 2

- у

=

2 - х ,

\2\Jy2 - * = 2у - 1

^ ^ И р р ац и о н а л ь н ы е системы. Системы с модулями

107

неотрицательность всех частей уравнений обеспечивается следующи­
ми условиями:
х 2 - у > 0,
у 2 - х > 0,
2 - х > 0,
2у - 1 > 0.
Найденные значения х =

у = \ удовлетворяют всем этим ус-

ловиям, значит, удовлетворяют заданной системе уравнений.
17. 5 |
12’ 3 Г

Ответ

Системы уравнений с модулями

шкшш

ПРИМЕР 3

Решить систему уравнений
\

х

-

У

Г

.
у - х +1 .
= 4х + у + - ------------ 4,

у2 + 2х = 2\х - 1| - у + 4.
Решение

Освободившись от знаменателей в первом уравнении систе­
мы и уединив слагаемое 2|х - 1| во втором уравнении си­
стемы, получим
\\х - 1| = 4ху + у2 + у - х + 1 - 4у,
[2|х - 1 1 = у2 + 2х + у - 4.

Если х > 1, то х —1 > 0, а потому |х —1| = х —1. В этом случае
первое уравнение системы принимает вид
х - 1 = 4ху + у2 - Зу - х + 1, т. е. 4ху + у2 - Зу = 2х - 2.
Второе уравнение системы в этом случае принимает вид
2(х - 1) = у2 + 2х + у - 4, т. е. у2 + у - 2 = 0.
Если х < 1, то х - 1 < 0, а потому |х - 1 1= -(х - 1). В этом случае
первое уравнение системы принимает вид
-(х - 1) = 4ху + у 2 - Зу - х + 1, т. е. 4ху + у 2 - Зу = О.

ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

Второе уравнение системы в этом случае принимает вид
-2(х - 1) = у2 + 2х + у - 4, т. е. у 2 + у = 6 - 4х.
Таким образом, получаем совокупность двух систем:
X >

х < 1,

1,

4xi/ + у2 - Зу = 0,
у 2 + у = 6 - 4х.

4xi/ + у 2 - Зу = 2х - 2,
у2 + у - 2 = 0;

Из последнего уравнения первой системы находим i/ j = 1, z/2 = -2.
Подставив поочерёдно эти значения в первое уравнение первой си­
стемы, получим соответственно х х = 0, х2 = 1,2. Первое значение не
удовлетворяет условию х > 1. Поэтому решение первой системы —
пара чисел: х = 1,2 , у = -2.
Решим вторую систему. Из её первого уравнения находим
у(4х + у - 3) = 0.
Значит, либо у = 0, либо 4х + у - 3 = 0. Но у = 0 не удовлетворяет
заданной системе уравнений (точнее, её первому уравнению). Во
втором случае следует решить систему уравнений
14х + у - 3 = 0,
[у2 + у = 6 - 4х.
Выразив 4х из первого уравнения системы (4х = 3 - у) и подста­
вив полученное выражение вместо 4х во второе уравнение, придём к
уравнению с одной переменной у:
у2 + у = 6 - (3 - у);
У2 = 3.

Значит, I/] = >/з, у2 = -л/3. Так как х = 3 ^ у , то получаем:
З - Л
*1 = — 4

3 + Л
’ *2 =

Второе значение не удовлетворяет неравенству х < 1. Таким обра
зом, для второй системы найдено одно решение:
х_
= з-Уз

Ответ

( 1, 2 ; - 2 );

= Уз.

Иррациональные системы. Системы с модулями

И сД

Разные примеры

= J x + у + у[.

2 ^

-J =

Решить систему уравнений

+ У + \1Х - У>

4Jt=

Здесь имеет смысл применить метод умножения:

8 = (х + у) - (х - у);
У

-

4

-

Подставив значение 4 вместо у во второе уравнение исходной си­
стемы, получим иррациональное уравнение с одной переменной:
(1)

— = х + 4 - 2\/х2 - 16 + х - 4;
5
5V *2 - 16 = Зх; 25(х2 - 16) = 9х2; х2 = 25;
Xj = 5, х 2 = -5.
Значение -5 не удовлетворяет уравнению (1), значение 5 — удов­
летворяет.
Итак, получили х = 5, у = 4.
Проверка (подстановкой найденных значений в исходную систе­
му) убеждает нас в том, что пара (5; 4) — решение заданной системы.
(5; 4).
I

шшшшяшшяшшшш
Сколько решений имеет система уравненш
личных значениях параметра а?

’ при раз-

Из первого уравнения системы получаем у = а - х. Подста­
вив выражение а - х вместо у во второе уравнение систе­
мы, получим уравнение с одной переменной х и параметром о:
Ах2 + (а - х)г = 20;
5х2 - 2ах + (а2 - 20) = 0;
( 2)
а±

yja 2

- 5(а2 - 20) _ а ± 2^25 - а 2
5
5

Если 25 - а 2 < 0, т. е. а < -5 или а > 5, уравнение не имеет кор­
ней.
Если а = 5, то х = 1, и из условия у = а - х находим у = 4. Значит,
при а = 5 система имеет одно решение (1; 4).
Если а = -5 , то х = - 1 и, соответственно, у = -4 . Это значение не
удовлетворяет первому уравнению заданной системы, в котором при­
сутствует ^ у , а потому должно выполняться условие г/ > 0. Значит,
при а = -5 система не имеет решений.
Рассмотрим случай, когда 25 - о2 > 0, т. е. -5 < а < 5. Тогда урав­
нение (2) имеет два корня:
а + 2\]25 - а2
-------- 5

_ а - 2у]25 - а2
’

* 2 ----------- 5

В первом уравнении заданной системы присутствует у/а - х, сле­
довательно, должно выполняться условие а - х > 0, т. е. х < а. Вы­
ясним, при каких значениях параметра а указанному условию удов­
летворяет xlt а при каких — х2.
а + 2-у/25 - а2
< а. Имеем:
Рассмотрим неравенство
а + 2>/25 - а2 < 5а;
у/25

- а 2 < 2а.

Из последнего неравенства следует, что а > 0. При этом условии
обе части указанного неравенства можно возвести в квадрат. Полу­
чим:
25 - а2 < 4а2; а2 > 5; а > у [ Е
(мы учли, что а > 0). Итак, значение х г мы можем рассматривать
лишь при выполнении условия у [ 5 < а < 5.
_
а - 2у25 - а * ^
Рассмотрим теперь неравенство хг ч а, т. е. -------- --------- ч а.
О

Имеем:
а - 2у/ 25 - а2 < 5а;
V25 - а 2 > -2а.

Это неравенство явно выполняется при а > О, точнее, при
О < а < 5. Если же -5 < а < О, то обе части последнего иррацио­
нального неравенства положительны и их можно возвести в
квадрат:
25 - а2 > 4а2; а 2 < 5; а > - /5
(мы учли, что а < 0). Итак, значение х2 мы можем рассматривать
при выполнении условия —JE < а < 5.
Подведём итоги исследования числа решений заданной системы
уравнений в случае, когда -5 < а < 5. Оказалось, что Х\ устраивает
нас при ч/б < а < 5, а х 2 — при —ч/б < а < 5. Значит, уравнение (2) не
имеет корней при -5 < а < —/б , имеет один корень при -V 5< а < V5
и два корня при /б < а < 5. Соответствующее число решений при
указанных условиях имеет и заданная система уравнений.
А теперь ответим на вопрос задачи. Система не имеет решений
при а < -5, при а = -5, при -5 < а < -yj5, при а > 5. Короче это мож­
но записать так: а < -ч/б; а > 5. Далее мы получили, что система
имеет одно решение, если - / б < а < Я или если а = 5. Наконец, при
ч/б < а < 5 система имеет два решения.
Нет решений при а < -ч/б или а > 5; одно решение при
-ч/б < а < ч/б или а = 5; два решения при ч/б < а < 5.
имев

Некоторый опыт решения задач, сводящихся к системам уравнений,
у вас есть: в 7-м классе встречались задачи, математическое моде­
лирование которых приводило к системам линейных уравнений.
Рассмотрим примеры.
ПРИМЕР 1

!!й

В райцентре два кинотеатра — «Факел» и «Слава», первый — на
400, а второй — на 600 мест. В зрительном зале кинотеатра «Слава»
на 4 ряда больше, чем в кинотеатре «Факел», и, кроме того, в ка­
ждом ряду на 5 мест больше, чем в кинотеатре «Факел». Сколько

ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

рядов в зрительном зале кинотеатра «Факел», если известно, что в
каждом ряду кинотеатра «Слава» более 25 мест?
Решение

I ЭТАП. Составление математической модели.
Пусть х — число рядов в кинотеатре «Факел», у — число
мест в каждом ряду кинотеатра «Факел». Тогда х + 4 — число рядов
в кинотеатре «Слава», у + 5 — число мест в каждом ряду кинотеатра
«Слава». Зная число рядов и число мест в ряду, можно найти общее
число мест в каждом кинотеатре:
ху — число мест в кинотеатре «Факел»,
{х + 4)(у + 5) — число мест в кинотеатре «Слава».
По условию ху = 400, а (х + 4)(у + 5) = 600.
Таким образом, мы приходим к системе двух уравнений с двумя
переменными:
\ ХУ~ 400,
[(* + 4)(i/ + 5) = 600.
II ЭТАП. Работа с составленной моделью.
Упростим второе уравнение системы:
\ху = 400,
[ху + 4у + 5х = 580.

Применим метод алгебраического сложения. Вычтем первое урав­
нение системы из второго:
(ху + 4у + 5х) - ху = 580 - 400;
4у + 5х = 180.
Заменим этим уравнением второе уравнение системы:
( ху = 400,
] 4у + 5х = 180.
Выразим у через х из второго уравнения системы: у = 180 ~ 5* ;
4
подставим это выражение вместо у в первое уравнение системы:
х

■ 1 8 0

~

4

5х = 400;

х х = 20, х 2 = 16.
Так как у = 180 5х, то у, = 20, у2 = 25.
4

Ill ЭТАП. Ответ на вопрос задачи.
Мы должны проанализировать две возможности: либо в киноте­
атре «Факел* 20 рядов по 20 мест в каждом ряду, либо 16 рядов по
25 мест в каждом ряду. Если выбрать первую возможность, то в ки­
нотеатре «Слава» будет 24 ряда (по условию там на 4 ряда больше)
по 25 мест в каждом ряду (по условию в каждом ряду «Славы» на
5 мест больше, чем в «Факеле»). Это нас не устраивает, так как по
условию в каждом ряду «Славы» более 25 мест. Рассмотрим вторую
возможность: в «Факеле» 16 рядов по 25 мест в каждом. Тогда в
«Славе» будет 20 рядов по 30 мест в каждом. Это соответствует усло­
вию задачи.
Итак, из двух решений системы выбираем одно: х = 16, у - 25, а
это означает, что в кинотеатре «Факел» 16 рядов.
16 рядов.

На самом деле эта задача не является для вас новой, мы решали
её в учебнике «Алгебра—8», но с помощью другой математической
модели. Напомним, как мы рассуждали.
Пусть х — число рядов в кинотеатре «Факел», тогда
— число
х

мест в каждом ряду кинотеатра «Факел», (х + 4) — число рядов в
кинотеатре «Слава», ——- — число мест в каждом ряду кинотеатра
х +4
«Слава». А поскольку в кинотеатре «Слава» в каждом ряду на 5 мест
больше, чем в «Факеле», то мы можем составить следующее уравне­
ние: ш . - « о 5.
х +4
х
Сравним два варианта решения задачи. В первом варианте при
составлении математической модели мы использовали две перемен­
ные, поэтому работа с такой моделью оказалась более трудной. Одна­
ко сама математическая модель была построена легче и быстрее. Во
втором варианте получено рациональное уравнение с одной перемен­
ной. С технической точки зрения его решать проще, чем систему
двух рациональных уравнений с двумя переменными, но зато боль­
ше усилий приходится тратить на составление математической мо­
дели.

ПРИМЕР 2

шшшшт

ш

Пристани В и С находятся ниже пристани А по течению реки на
30 км и 45 км соответственно. Моторная лодка отошла от приста-

ни А, дошла до С, сразу повернула назад и пришла в В, затратив на
весь путь 4 ч 40 мин. В другой раз эта же лодка отошла от пристани
С, дошла до А, сразу повернула назад и пришла в В, затратив на весь
путь 7 ч. Чему равны собственная скорость лодки и скорость течения
реки?

Решение

I ЭТАП. Составление математической модели.
Этот этап мы рассмотрели ранее, в §8 (см. пример. 2).
Математическая модель задачи представляет собой систему двух
уравнений с двумя переменными:
45

15

X +у

х- у

45

+ 30

X- у

_ 14

3’
=7

X +у

II ЭТАП. Работа с составленной моделью.
Для решения системы уравнений воспользуемся методом введе­
ния новых переменных. Положим
15

-™ - = Ь.
х- у

х +у
Тогда система примет вид
„

,

14
3

За + b = —,
2а + ЗЬ = 7.
Решив эту систему двух линейных уравнений с двумя перемен5

ными а и Ъ, получим а = 1, b = - .
Итак,
15

х +у

. 1, т. е. х + у = 15;

— — = | , т. е. х - у = 9.
х- у 3
Остаётся решить совсем простую систему уравнений
\ х + у = 15,
[ х - у = 9.

Получаем х = 12, у = 3.
III ЭТАП. Ответ на вопрос задачи.
Требуется определить скорость лодки в стоячей воде и скорость
течения реки. Первую скорость мы обозначили буквой х, получи

§44. Системы'

0 (график функции изображён на рис. 93), но мы мо­
жем рассмотреть и функцию у = у[х, где х 6 [0; 4] (график функции
изображён на рис. 94). Это разные функции.
Бывает, что реальная ситуация описывается различными форму­
лами на разных промежутках изменения независимой переменной.
Такова, например, функция у = g(x), где
g(x)

[х 2, если х < О,
\2х, если х > 0.

График функции изображён на рис. 95. Напомним, как строить
такие графики. Сначала надо построить параболу у - х2 и выделить её

Ilie. 93

h
hiC. 95

часть при x < 0 (левая ветвь параболы), затем
построить прямую у = 2х и выделить её часть
при х > 0. И наконец, надо обе выделенные
части объединить на одном рисунке, т. е. по­
строить в одной координатной плоскости.
Так что же такое функция? Проведённый
выше анализ позволяет выделить два суще­
ственных момента.
1. Запись у = f(x) указывает на правило
(обычно говорят: «правило /»), с помощью
которого, зная конкретное значение незави­
симой переменной х, можно найти соответ­
ствующее значение переменной у.
2. При задании функции указывается
числовое множество X (чаще всего какой-то
числовой промежуток), откуда берут значения независимой перемен­
ной х.
Теперь мы можем сформулировать одно из главных определений
школьного курса алгебры (да, пожалуй, и всей математики).

Определение 1

Если даны числовое множество X и правило f, позволяющее поста­
вить в соответствие каждому элементу х измножества X определён­
ное число у, то говорят, что задана функция у = f(x) с областью
определения X; пишут
у = f(x), x Z X .
При этом переменную х называют независимой переменной или ар­
гументом, а переменную у — зависимой переменной.

Ljbiiifl

1И1Ш|

ГЛАВА В. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ

I

Замечание v

|

В реальной жизни иногда говорят: «Каковы мои функции?» — или: «Ка­
ковы мои функциональные обязанности?», — спрашивая тем самым: «Каков
круг моих действий, моих обязанностей?» — или: «Что я должен делать,
как действовать?» Фактически в реальной жизни слово «функция» означает
«действие» или «правила действий». Обратите внимание, что тот же смысл
имеет и математический термин «функция», который мы разъяснили в определении 1.

Если f(x) — алгебраическое выражение и множество X совпадает
с областью определения этого выражения, то вместо записи у = f(x),
л е Х , используют более короткую запись у = fix) (хотя
функция
она не совсем соответствует определению 1).
Для области определения функции у = f(x) иногда
область
определения
удобно использовать обозначение D(f). Например:
функции
для функции у = \[х (см. рис. 93) имеем D(fl = [0; +°о);
независимая
для функции у = \[х , х 6 [0; 4] (см. рис. 94), имеем
переменная
т
= [0; 4];
(аргумент)
для функции у = g (*) (см. рис. 95) имеем D{g) =
зависимая
= (-оо; +оо).
переменная
Ещё раз подчеркнём, что нельзя говорить о функции
у = f(x ) без задания её области определения, которая или
естественная
указывается явно, или подразумевается — в случае, если
область
определения
область определения функции у = f(x) совпадает с обла­
функции
стью определения выражения f(x) (такую область опреде
ления иногда называют естественной).

ПРИМЕР 1
Найти область определения функции:
а) у = V * 2 - 6х + 8;
б) У = х 2 - 6 х + 8 ;
в) у =
Реш ение

1
\1х2 - 6х + 8
а) Так как область определения функции явно не указана,
подразумевается, что она совпадает с областью определе

ния выражения у = V *2 - 6х + 8. Таким образом, речь идёт о поиске
естественной области определения функции.
Под знаком квадратного корня может находиться только неотри
цательное число, значит, задача сводится к решению квадратного
неравенства х2 - 6х + 8 > 0.

Найдя корни квадратного трёхчлена х2 - 6х + 8 (*i = 2; хг = 4) и
схематически (не указывая на рисунке ось у) построив параболу
у = х2 - 6 * + 8 (рис. 96), выбираем ин­
тересующие нас промежутки: х < 2;
х > 4 .

Итак, D(f) = (-=»; 2] и [4; +°°); U —
знак объединения множеств (см. § 2).
б) Функция у = —5— ----- определена в любой точке числовой
х2 - 6* + 8
прямой, за исключением точек 2 и 4 — при этих значениях х знаме­
натель дроби обращается в 0. Ответ можно записать так:
D(f) = (-оо; 2) и (2; 4) U (4; + °°).
Впрочем, на практике можно использовать сокращённую запись:
х * 2; х * 4.
в) Здесь задача сводится к решению неравенства
х2 - бх + 8 > 0.
Воспользовавшись геометрической моделью, представленной на
рис. 96, но исключив из рассмотрения точки х = 2 и х = 4, получим:
D(f) = (—°° ; 2) U (4; +°°).

Определение 2

-—-—.....
....
Множество всех значений функции у = f(x), х е X, называют обла­
стью значений функции и обозначают £(/)•

©

Если известен график функции, то область значений функции
найти сравнительно нетрудно. Для этого достаточно спроецировать
--------- 1
график на ось ординат. То числовое множество, геометри­
область
ческая модель которого получится на оси ординат в ре­
(качений
зультате указанного проецирования, и будет представфункции
....
,I лять собой E(f). Например:
для функции у = у/х имеем E(f) = [0; +°°) (см. рис. 93);
для функции у = \[х, х € [0; 4], имеем E(f) = [0; 2] (см. рис. 94);
для функции у = g(x) (см. рис. 95) имеем E(f) = [0; + °°).

Т л А В А 3. Ч И С Л О В Ы Е Ф У Н К Ц И И

128

тш

ПРИМЕР 2

ИНН
- х 2, если - 2 < х < О,

Дана функция у = /(*), где f(x) = V* + 1, если 0 < х < 3,

ш т

—+ 1, если х > 3.
х
Вычислить /(-2), ДО), /(1,25), /(6), /(-3).
Найти £>(/) и £(/).
Выяснить, сколько корней имеет уравнение /(*) = а при различ
ных значениях параметра а.
Решить неравенства: f(x) < 0,5; f(x) > 0,5.

а)
б)
в)
г)

I

Решение

111111
2
\ш т
Wmm

7
г

вШт

_1 /

Рис. 97

7
г

а) Значение х = -2 удовлетворяет условию -2 < х < 0, сле­
довательно, /(-2 ) надо вычислять по формуле /(*) = —х2;
/(-2 ) = -(-2)2 = -4.
У, \
Значение х = 0 удовлетворяет условию
-2 < х < 0, следовательно, /(0) надо вычислять
О
X по формуле /(х) = - х 2; /(0) = -О2 = 0.
Значение х = 1,25 удовлетворяет условию
V«CL
0 < х < 3, следовательно, /(1,25) надо вычислять
\
по формуле f(x) = V* + 1; /(1,25) = ^/l,25 + 1 =
i 1Г"
= 1,5.
Значение д: = 6 удовлетворяет условию х > 3,
следовательно, /(6) надо вычислять по формуле
/(*) = ! + 1 ;/( 6 ) = | + 1 = 1, 5 .

У,
, *■-///■. ■'

1) *

т

11111
Ш й!

ш

1о
_1_

<

_

Рис. 98

X

УЛ
4-

Ка

э
*

О.

1

1

1

о

Рис. 99
Шт

X

Значение х = -3 не принадлежит обла­
сти определения функции, а потому требова­
ние вычислить /(-3) в данном случае некор­
ректно.
б) Область определения функции состоит из
трёх промежутков: [-2; 0], (0; 3], (3; +°°). Объе
динив их, получим луч [-2; +°°).
Чтобы найти область значений функции,
построим её график. Он состоит из трёх «кусоч­
ков*: части параболы у = - х г, взятой на отрезке
[-2; 0] (рис. 97), части кривой у = yfx + 1, взя
той на полуинтервале (0; 3] (рис. 98), и части
О
гиперболы у = - + 1, взятой на открытом луче
(3; +оо) (рис. 99). Объединив эти кусочки на од­
ном чертеже, получим график функции у = f(x)
(рис. 100). Спроецировав этот график на ось у,

Ь Числовая функция. О бласть определения, область зиаче

Гиг. 100

Гиг. 101

получим область значений функции, которая состоит из отрезка
[-4 ; 0] и полуинтервала (1; 2].
Итак,
D (f) = [ - 2 ; +оо),
E (f) = [-4 ; 0] U (1; 2].
в) Выясним, сколько корней имеет
У, I
уравнение f(x ) = а при различных значени­
ях параметра а. Для этого нужно опреде­
лить, сколько точек пересечения имеет по­
•2
строенный график функции (см. рис. 100)
с прямой у = а при различных значениях
О
- 2.
3 параметра а .
При - 4 < а < 0 прямая пересекается с
графиком только в одной точке, значит,
уравнение имеет один корень. Аналогич­
ная ситуация имеет место при а = 2. При а
< - 4 , 0 < а < 1, а также при а > 2 прямая
У, 1
и график не пересекаются, значит, уравне­
ние не имеет корней. Наконец, график и
У = 0,5
.о
прямая пересекаются в двух точках при
\
\ . 1,
1 < а < 2. В этом случае уравнение имеет
\
7Ш
два
корня.
щ I» О
X
*
Итак, уравнение f(x ) = а не имеет кор­
\/
ней при а < -4 , 0 < а < 1, а > 2; имеет
г
один корень при - 4 < а < 0 и при а = 2;
А
имеет два корня при 1 < а < 2.
I
г) Решим неравенство f{x ) < 0,5. Гра­
фик функции располагается ниже прямой у = 0,5 при - 2 < х < О
(рис. 101) — это и есть решение неравенства.
Решим неравенство f(x ) > 0,5. График функции располагается
выше прямой у = 0 ,5 при х > 0 (см. рис. 101) — это и есть решение
неравенства.

_

_

_

шшшшяшшшяшшшяш

Под та х(А ; В) будем понимать наибольшее из чисел А, В . Построить
график функции у = т а x(-Jx\ 6 - х ) .
На рис. 102 построены графики функций у = \[х, у = 6 - х.
Они пересекаются в точке (4; 2). Если 0 < х < 4 , то

ГЛАВА 3. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ

6 - * > >/*; если х > 4, то \[х
max(-Jx; 6 - х) = 6 - х; если же
Таким образом, речь идёт о
Гб - х, если 0 < х <
ции у = \ г\yjx, если х > 4.

> 6 - х. Значит, если 0 < х < 4, т»
х > 4, то тах(у/х; 6 - х) = у[х.
построении графика кусочной функ
4,
График функции изображён на

рис. 103.

_________________

ПРИМЕР 4

График функции у = ах2 + Ьх + с проходит через точки (2; 5), (-1; -4),
(-2; -3). Найти коэффициенты а, Ь, с.
Так как точка (2; 5) принадлежит графику функции, вы
полняется равенство 5 = 4а + 2Ь + с. Аналогично должны
выполняться ещё два равенства: -4 = а - Ь + с и -3 = 4а - 2Ь + с. Та
ким образом, задача сводится к решению системы трёх уравнений с
тремя переменными:
4а + 2Ь + с = 5,
а - Ь + с = - 4,
4а - 2Ь + с = -3.

Решение

Вычтя второе уравнение из первого, получим За + ЗЬ = 9, т. е.
а + b = 3. Вычтя второе уравнение из третьего, получим За - Ъ = 1.
Сложив уравнения а + Ь = З и З а —6 = 1, получим 4а = 4, т. е. а = 1.
Поскольку а + Ь = 3, получаем 6 = 2. Подставив найденные значения
а и 6 в уравнение а - 6 + с = -4 , получим с = -3 .
Ответ

а = 1 ,6 = 2, с = -3.

§15. Числовая функция. Область определения, область
и м е я в » 1"

ПРИМЕР 5

График функции у =

проходит через точку

(>/7; /7 + з). Найти

значения коэффициентов а и 6, если известно, что это рациональные
числа.
Решение

Из условия следует, что выполняется равенство л/7 + 3 =
= - Д — . Имеем: (V7 + з)(>/7 + б) = а; (6 + 3) ^7 = а - 36 - 7.

Возможны два случая: 6 + 3 = 0, 6 + 3 * 0 .
В первом случае должно выполняться и равенство а - 36 - 7 = 0,
[6 + 3 = 0,
т. е. задача сводится к решению системы уравнений <
(а - 36 - 7 = 0.
Решив эту систему, получим: а = -2, 6 = -3.
Во втором случае получаем /7 =
рациональные числа, но тогда и -

о +З

6 + 3

. По условию а и 6 —

7 — рациональное число.

В то же время -J7 — иррациональное число. Это значит, что равен­
ство /7 = а-

о + з

7 не выполняется ни при каких рациональных зна-

чениях а и 6.
а = -2, 6 = -3.

Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение числовой функции одной переменной.
2. Дана функция у = х 2, х е [1; 3]. Какова её область опреде­
ления? Какова её область значений?
3. Что такое естественная область определения функции?
Укажите естественную область определения функции:
а) у = х2;

б) у = у/х;

в) у =

1

4. Что такое график функции одной переменной?
5. Как по графику функции найти область её значений? При­
ведите пример.

| \wm-—— —-

— ________ __

ГЛАВА 3. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ

132

■ ■ I

§16

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ
Аналитический, графический и табличный
способы

В предыдущем параграфе мы приводили различные примеры функ
ций, описанных формулами. Но таким способом задание функции не
'Ш Ш к
исчерпывается. Ведь задать функцию у = f(x) — это значит указать
Шш/'
правило, которое позволяет по произвольно выбранному значению х из
D(f) вычислить соответствующее значение у. Чаще всего это правило
связано с формулой или с несколькими фор­
У,
мулами; такой способ задания функции
F
обычно называют аналитическим. Между
***
м
тем есть другие способы задания функции, о
-/ ( ч
них и пойдёт речь в настоящем параграфе.
/
Пусть F — некоторая линия на коорди
натной плоскости и пусть, спроецировав
эту линию на ось х, мы получим отрезок
ют ■
: щт
[a; ft] (рис. 104). Возьмём произвольную
ША
точку х из отрезка [а; Ь] и проведём через
Ш
неё прямую, параллельную оси ординат.
Х\
О
Ь
:
Потребуем дополнительно, чтобы каждая
Рис. 104
I
такая прямая пересекала линию F только
в одной точке — на рис. 104 соответствующая точка обозначена бук
вой М . Ордината точки М — это число f(x), соответствующее вы­
бранному значению х. Тем самым на отрезке [а; б] задана функция
у = f(x). Такой способ задания функции называют графи
аналитический
ческим, а линию F — графиком функции.
способ задания
Если функция была задана аналитически и нам уда­
функции
лось построить её график, то тем самым мы фактически
осуществили переход от аналитического способа задания
графический
способ задания
функции к графическому. Обратный же переход удаётся
функции
осуществить далеко не всегда. Как правило, это довольно
трудная задача.
В следующих двух примерах мы осуществим переход от аналити
ческого способа задания функции к графическому и обратно.

Хш ж ж

7

t

штш

ПРИМЕР 1

Построить график функции:
а) р = 2х - 4;
в) у = 2\х\ - 4;
б )р = |2 * -4 |;
г) у = \2\x\ - 4|.

а) Прямая, служащая графиком заданной линейной функ­
ции, изображена на рис. 105.
б) В курсе алгебры 8-го класса мы говорили о том, что, для того
чтобы построить график функции у = |/(х)|, нужно: 1) построить гра­
фик функции у = /(х)\ 2) оставить без изменения те части графика,
которые расположены не ниже оси х; 3) те части графика, которые
расположены ниже оси х, заменить на симметричные им относитель­
но оси х. Руководствуясь этим алгоритмом, строим график функции
у = \2х - 4| (рис. 106).

Решение

в) В курсе алгебры 8-го класса мы говорили о том, что, для того
чтобы построить график функции у = f(\x\), нужно: 1) построить гра­
фик функции у = f(x) при х > 0; 2) добавить к нему его симметрич­
ный образ относительно оси у. Руководствуясь этим алгоритмом,
строим график функции у = 2\х\ - 4 (рис. 107).
г) Если применим к графику функции у = 2\х\ — 4 алгоритм из
пункта б), мы как раз и получим график функции у = |2|х| - 4|
(рис. 108).

и
> 4 ,

и

У
_ а
Eif) = Z (множество целых чисел).
Функцию, о которой идёт речь, называют целой ча
стъю числа, для неё используют обозначение [*]. Напри­
мер, [2,534] = 2; [47] = 47; [-0,(23)] = -1. На рис. 115 изо­
бражён график функции у = [ж].
у\ Г Г

п

О*

4- з -

функция «целая
часть числа»

1 -

Ш тл

2 -

■

ПРИМЕР 3

Построить график функции у = х - [х].
Построим в одной системе координат графики функций
у = х и у = [х] (рис. 116). Вычитая ординаты второго графи­
ка из соответствующих ординат первого графика, получим требуе
мый график — он представлен на рис. 117.

Решение

УИ

5 6 7
-

Рис 116

2~

Рис. 117 L

ГЛАВА 3. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ

Функцию, о которой шла речь в примере 3, называют дробной ча
стью числа; для неё используют обозначение {*}. Например,
{2,534} = 0,534, поскольку 2,534 - 2 = 0,534, {47} = 0 (так как
47 - 47 = 0), {-0,23} = 0,77 (так как -0,23 - (-1) = 0,77),
функция
{-0,(23)} = 0,(76) (так как -0,(23) - (-1) = 1 - 0,232323... ■
«дробная часть
= 0,999999... - 0,232323... = 0,767676... = 0,(76)).
чиелам
Итак, мы познакомились с двумя новыми функция­
ми, для задания которых используется словесный спо­
соб, — это функции у = [*] (целая часть числа х) и функция у = {*}
(дробная часть числа х).

Функции как математические модели
реальных ситуаций
Функции во многих случаях служат математическими моделями ре­
альных процессов. Например, любой равномерный процесс, в кото­
ром участвуют две переменные величины х и у, описывается форму­
лой у = kx + т, где k, т — действительные числа; это линейная
функция. Закон свободного падения описывается функцией s = — ;
2

здесь время t — независимая переменная, а зависимая переменная
s — пройденный путь. Многие подобные примеры известны вам ил
курса физики.
Приведём ещё три примера.
1. Предположим, что колония живых организмов находится и
благоприятных условиях: пространство, занимаемое колонией, и пи
щевые ресурсы неограниченны, а хищников, питающихся органиэ
мами данной колонии, нет, благодаря чему рождаемость выше, чем
смертность. В таких условиях обычно считают, что скорость измене
ния численности колонии пропорциональна численности (чем боль
ше организмов, тем выше скорость; k — коэффициент пропорции
нальности). Математики установили, что число организмов колонии
выражается формулой у = у0ек1, где у0 — численность колонии в мо
мент времени t = 0, а е = 2,7 (число е играет важную роль в матемн
тике, об этом вы узнаете в 11-м классе). На рисунке 118, а схемати
чески представлен график функции у = у0ек1 (пунктиром добавлена
гипотетическая часть графика при t < 0).
Примерно по такому же закону изменяется величина вклада а
банке, этот закон называют законом показательного роста.
2. При радиоактивном распаде мгновенная скорость распада а
момент времени t пропорциональна наличному количеству вещества.
Закон радиоактивного распада выражается формулой т = т0

4ШКВ
§ 16. Способы задания функции

здесь т 0 — масса вещества в момент времени t О, Т
время, за
которое масса вещества уменьшится вдвое (так называемый перио
полураспада). На рисунке 118, б схематически представлен график
функции m =

(пунктиром добавлена гипотетическая часть гра­

фика при t < 0).
„ „
Оба графика, представленные на рисунке 118 (со сплошной
пунктирной частями), называют экспонентами. Подробнее о экспо
ненте речь пойдёт в старших классах.
о
3. В комнату с температурой 20 °С внесли кипящии чаиник. При
определённых условиях можно считать, что скорость изменения тем­
пературы нагретого тела пропорциональна
разности между температурой тела и темпе­
ратурой окружающей среды. Температура
Т тела в момент времени t выражается фор­
мулой Т = Ту + (То - ГОе-*; здесь Ту - тем­
пература окружающей среды, а Т0
тем­
пература тела в момент времени t = 0. В си­
туации с чайником Ту — 20 , а Т0 - 100
Значит, Т = 20 + 80е 'г‘. График этой функ­
ции схематически представлен на рисун­
ке 119. Прямая Т = 20 - асимптота граГрафик наглядно и л л ^ р и р у е т вполне понятное обстоятельство:
с течением времени температура чайника постепенно при лижается
к температуре окружающей среды. Процессы подобного рода назы
вают процессами выравнивания.

Вопросы для самопроверки
1. Приведите пример аналитического задания функции (с по­
мощью одной формулы).

ГЛАВА 3. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ

2. Приведите пример аналитического задания кусочной функ­
ции.
3. Приведите пример графического задания функции.
4. Приведите пример графика на координатной плоскости,
который нельзя считать графическим заданием некоторой
функции; объясните почему.
5. Приведите пример словесно заданной функции (отличный
от примеров из § 16).
6. Придумайте кусочно заданную непрерывную функцию, об­
ластью определения которой является отрезок [-2; 4] и
график которой состоит из части параболы и отрезка пря
мой. Задайте эту функцию аналитически.
7. Придумайте кусочно заданную непрерывную функцию с
одной точкой разрыва, областью определения которой яв­
ляется полуинтервал (0; 9] и график которой состоит из чаk
I-сти гиперболы у = —
и части графика функции у = улс.
За­
дайте эту функцию аналитически.

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ

шея
Монотонность и ограниченность функций

Определение 1

Функцию у = f(x) называют возрастающей на множестве X сz D(f),
если для любых двух точек х х и х2 множества X таких, что х х < х2,
выполняется неравенство f(xx) < Д о ­

определение 2

Функцию у = f(x) называют убывающей на множестве X cz D(f), ес­
ли для любых двух точек х х и х2 множества X таких, что х х < х2,
выполняется неравенство f(xx) > f(x2).
На практике удобнее пользоваться следующими формулировками:
функция возрастает, если большему значению аргумента соответ-

ствует большее значение функции; функция убывает, если большему
значению аргумента соответствует меньшее значение функ­
ции.
Обычно термины «возрастающая функция», «убыва­
ющая функция» объединяют общим названием монотон­
ная функция, а исследование функции на возрастание
возрастающая
или убывание называют исследованием функции на моно­
функция
тонность.
убывающая
Если функция возрастает (или убывает) на своей есте­
функция
ственной области определения, то говорят, что функция
монотонная
возрастающая (или, соответственно, убывающая) — без
функция
указания числового множества X.

Исследовать на монотонность функцию:
а) у = 5 - 2х;
б) у = х3 + 2.

-2ху > -2*2» и далее 5 - 2ху > 5 - 2*2> т - е> /(* i) >
)•
Итак, из неравенства Ху < х 2 следует неравенство f ( X y ) > f(x2),
а это означает, что заданная функция убывает на всей числовой
прямой.
б) Введём обозначение: f(x) = х 3 + 2. Возьмём произвольные зна­
чения аргумента * х и *2. Пусть Ху < х 2, тогда по свойствам числовых
неравенств получим:

Последнее неравенство означает, что fix у) < f(x2).
Итак, из неравенства Ху < х 2 следует неравенство f(xy) < f(x 2), а
это значит, что заданная функция возрастает на всей числовой пря
мой.

Определение 3 _______ ______ ______ _______________ — ----------

Функцию у = f{x) называют ограниченной снизу на множестве
X cz D(f), если все значения этой функции на множестве X боль­
ше некоторого числа; иными словами, если существует число т
такое, что для любого значения х е X выполняется неравен­
ство fix) > т
.

Определение 4
Функцию у = f(x) называют ограниченной сверху на множестве
X с D(f), если все значения этой функции меньше некоторого чис­
ла; иными словами, если существует число М такое, что для любо­
го значения х 6 X выполняется неравенство f(x) < М.
Если множество X не указано, то подразумевается, что речь идёт
об ограниченности функции снизу или сверху на всей области ес
определения.
Если функция ограничена и снизу, и сверху на всей
ограниченная
области определения, то её называют ограниченной.
снизу функция
Ограниченность функции легко читается по её графи­
ку: если функция ограничена снизу, то её график цели­
ограниченная
ком расположен выше некоторой горизонтальной прямой
сверху функция
у
- т (рис. 120, а); если функция ограничена сверху, то
ограниченная
её график целиком расположен ниже некоторой горизон­
фумсция
тальной прямой у = М (рис. 120, б).

Рис. 120
ПРИМЕР 2
Исследовать на ограниченность функцию у = \J9 - х 2.
Решение

С одной стороны, вполне очевидно неравенство

>/9 - х2 > 0,
это означает, что функция ограничена снизу.
С другой стороны, 9 - х2 < 9, а потому
V9 -

х 2 <

3.

Это означает, что функция ограничена сверху.

517 Свойства функций

— ■

143

кмвнмшЯ

А теперь посмотрите на график этой функции (см. рис. 113).
Ограниченность функции и сверху, и снизу прочитывается по графи­
ку достаточно легко.

Наименьшее и наибольшее значения
функции 'Щ Ш Щ Щ ш

■ннннннн

Определение 5
Число т называют наименьшим значением функции у - fix) на
множестве X с. D(f), если:
1) во множестве X сущ ествует точка х0 такая, что д х 0) - т \
2) для любого значения х из множества X выполняется неравен­
ство f(x) > f(x0).
__________
Определение 6
Число М называют наибольшим значением функции у f(x) на
множестве X с= D(f), если:
1) во множестве X сущ ествует точка х0 такая, что д х 0) - М ;
2) для любого значения х из множества X выполняется неравен­
______________
ство f(x) < f(x0).
Наименьшее значение функции обозначают символом уяаим, а
наибольшее — символом г/наи6. Если множество X не указано, то
подразумевается, что речь идёт о поиске наименьшего или наиболь­
шего значения функции во всей области определения.
Имеют место следующие полезные утверждения.
1) Если у функции сущ ествует у„аим, т о она ограни­
наименьшее
чена снизу.
аначение
2) Если у функции сущ ествует укаиб, т о она ограни­
функции
чена сверху.
наибольшее
3) Если функция не ограничена снизу, то у неё не су­
шачение
щ еству ет унаим.
функции
4) Если функция не ограничена сверху, т о у нее не су­
щ еству ет унаи6.
Докажем для примера свойства 1) и 3).
Пусть функция у = f(x) достигает наименьшего значения на мно­
жестве X . Это значит, что существует такая точка х0 6 X , что для
любого х € X выполняется неравенство f(x) > f(x0)- Но это (см. опре­
деление 3) как раз и означает ограниченность функции снизу.

ГЛАВА 3. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ

Свойство 3) можно доказать методом от противного. Если предпо­
ложить, что уваим существует, то по свойству 1) функция ограничен)!
снизу, что противоречит условию. Значит, 1/наим не существует.
ПРИМЕР 3

т

Исследовать функцию на ограниченность, найти наименьшее и наи­
большее значения функции:
а) у = 2х + 2 - 6V2х - 7;
б) у = \Jx2 - бя: + 8 + \]2х2 - 8х + 44;
yjx2 —4jc -ь 13 - yjx2 - 4х + 5;
5х2 + 10х + 14
г) У = х2 + 2х + 4
в) !/

а) 2х + 2 - 6л/2х - 7 = (2х - 7) - 6^2х - 7 + 9 = ф х - 7 - З)2.
Функция у = (\/2х - 7 - З)2 принимает только неотрица­
тельные значения, значит, она ограничена снизу. Из уравнения
л/2х - 7 - 3 = 0 находим х = 8; в этой точке функция достигает своего
наименьшего значения г/наим = 0. Сверху функция не ограничена, по­
скольку выражение (л/2х - 7 - З)2 может принимать сколь угодно
большие значения.
_________
___________
б) Введём обозначение: f(x) = у}х2 - 6х + 8 + \]2х2 - 8х + 44.
Найдём область определения функции. Для этого решим систему не­
равенств
J х2 - 6х + 8 > 0,
[2х2 - 8х + 44 > 0.

Решение

Шй

Из первого неравенства находим: х < 2; х > 4. Второе неравенст­
во выполняется при любых значениях х, поскольку дискриминант
квадратного трёхчлена 2х2 - 8х + 44 отрицателен, а старший коэф­
фициент положителен. Значит, решения первого неравенства явля
ются и решениями системы.
Итак, D(f) = (-°°; 2] U [4; +оо).
Имеем у = у ] ( х - З)2 - 1 + ^2(х - 2)2 + 36. На луче ( - ° ° ; 2] квадра
тичные функции у = (х - З)2 - 1 и у = 2(х - 2)2 + 36 не ограничены
сверху, убывают и принимают неотрицательные значения. Теми же
свойствами обладают функции у = ^/(х - З)2 - 1, у = ^2(х - 2)2 + 36 и
их сумма, т. е. функция у = /(х). Из убывания функции следует, что
своего наименьшего значения она достигает в точке х = 2. Значит, на
луче (-оо; 2] имеем: j/HaHM= /(2) = 6.
На луче [4; +°°) квадратичные функции у = (х - З)2 - 1 и
2(х - 2)2 + 36 не ограничены сверху, возрастают и принимают не-

отрицательные значения. Теми же свойствами обладают функции
у = yl(x - З)2 - 1, у = ^2(х - 2)2 + 36 и их сумма, т. е. функция у = f(x).
Из возрастания функции следует, что своего наименьшего значения
она достигает в точке х = 4. Значит, на луче [4; +°°) имеем.
Унакм = /(4) = \^44 = 2 6.
Подведём итоги. Заданная функция ограничена снизу и у наим = 6,
сверху она не ограничена, и наибольшего значения не существует.
в) Эта функция вроде бы похожа на предыдущую, но есть суще­
ственное отличие: то, что верно для суммы неотрицательных возрас
тающих (убывающих) функций, не проходит для их разности. При­
дётся искать другие пути. Имеем:
J x 2 - 4х + 13 - yjx2 - 4х + 5 =
(V*2 - 4х + 13 - у]х2 - 4х + b)[slx2 - 4х + 13 + у/х2 - 4х + б) _

sjx2 - 4х + 13 + -Jx2 - 4х + 5

_ (у*2 - 4* + 1з )2 - (у*2 - 4* + б)2 =

8

J x 2 - А х + 13 + ) х 2 - 4 х + 5

У(* - 2)2 + 9 + J(x - 2)2 + 1

Знаменатель последней дроби принимает наименьшее значение 4
при х = 2; соответственно сама дробь при х = 2 достигает наиболыпе
го значения, оно равно 2. Отсюда, кстати, сразу следует ограничен­
ность функции сверху.
Далее, функция ограничена снизу, поскольку последняя дробь
положительна при любых значениях х. На луче [2; +°°) функция
у = yj(x - 2)2 + 9 + у](х - 2)2 + 1 положительна и возрастает, значит,
Функция и =

8

положительна и убывает,

У(* - 2)2 + 9 + У(* - 2)2 + 1

наименьшего значения у неё нет.
Подведём итоги. Функция ограничена и сверху, и снизу, унаИб - 2,
наименьшего значения у функции нет.
Их2 + 10х + 14

5(х2 + 2 х + 4 ) - 6 _ ^ _

г) Имеем: —^г—
— = ---- „2 + 2х + 4
(х + I)2 + 3
х2 + 2х + 4
Знаменатель последней дроби принимает наименьшее значение 3
при х = - 1; соответственно сама дробь при х = -1 достигает наибольшего
_ _ ____ 6____
значения, оно равно 2. Отсюда следует, что функция у - о - ^ +
+3
в точке х = —1 достигает наименьшего значения, оно равно 3.
Далее, для любого значения х выполняется неравенство
5 -------- 8------ < 5, а значит, функция ограничена сверху. На луче
(х + I)2 + 3
[-1; +оо) функция у = (х + I )2 + 3 положительна и возрастает, функ-

ГЛАВА 3. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ

положительна и убывает, значит, функция
возрастает. Но это значит, что наибольшего значения у неё нет.
Подведём итоги. Функция ограничена и сверху, и снизу, j/Bam = 3,
наибольшего значения у функции нет.

Точки максимума и минимума.
Выпуклость и непрерывность функций
В учебнике для 8-го класса мы ввели понятия максимума и миниму­
ма функции. Напомним соответствующие определения. В них ис­
пользуется понятие окрестности точки. Окрестность точки х0 —
это интервал с центром в точке х0. Длину половины этого интервала называют радиусом окрестности. Например,
окрестность
точки
гтыочки
(1,97; 2,03) — окрестность точки 2, а радиус окрестности
равен 0,03. Когда при изучении свойств функции гово­
радиус
рят об окрестности точки, обычно предполагают, что
окрестности
эта окрестность целиком содержится в области определе­
ния функции.
Определение 7
Точку дс0 называют точкой максимума функции у = /(*), если у этой
точки существует окрестность, для всех точек которой (кроме са­
мой точки х0) выполняется неравенство f(x) < f(x0). Точку х0 назы­
вают точкой минимума функции у = f(x), если у этой точки суще­
ствует окрестность, для всех точек которой (кроме самой точки х0)
выполняется неравенство f(x) > f(x0).

точка
максимума

Точки максимума и минимума объединяют общим на­
званием — точки экстремума (от лат. extremum — край­
ний). Для значений функции в этих точках используют
символы ут п , ymin.
На рис. 121 представлен график некоторой функции
(предполагается, что D(f) = ( - °°; +°°)). Как видите, у неё
несколько точек экстремума: х х и х3 — точки максиму­
ма, а х2 и х4 — точки минимума.
Обратите внимание, что унвиб и утлх, а также увшя и
(/min могут быть равны, но могут и отличаться. Например,

функция,
выпуклая вверх
функция,
выпуклая вниз
непрерывная
функция

у функции, график которой пред­
ставлен на рис. 121, имеются две
точки максимума и две точки мини­
мума, и в то же время ни унаи«> ни
г/ваим не существуют.
Напомним ещё два свойства
функций. Первое — свойство выпу­
клости функции. Считается, что
функция выпукла вниз на проме­
жутке X 0. Если х: < х2, то по
соответствующим свойствам числовых неравенств (кото­
рые мы с вами изучали в курсе алгебры 8-го класса) kxx < kx2 и, да­
лее, kxx + т < kx2 + т, т. е. f(xx) < f(x2).
Итак, из неравенства хг < х2 следует неравенство f{xx) < f(x2). Это
и означает возрастание функции у = f(x), т. е. линейной функции
у = kx + т, на всей числовой прямой.
Пусть теперь k < О В этом случае из неравенства хх < х 2 следует
неравенство kxx > kx2 и, далее, kxx + т > kx2 + т, т. е. f(xx) > f(x2).
Итак, из неравенства х х < х2 следует неравенство f(xx) > f(x2). Это
и означает убывание функции у = f(x), т. е. линейной функции
у = kx + т при k < 0, на всей числовой прямой. Теорема доказана.
Графиком функции у = kx + т является прямая (рис. 123). Пере­
числим свойства линейной функции:
1) П(/) = (-°о;+°о);
2) возрастает, если k > 0 (рис. 123, б), убывает, если k < О
(рис. 123, в);
3) не ограничена ни снизу, ни сверху;
4) нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

§17. Свойства функций

149

5) функция непрерывна;
6) E(f) = (-°о; +оо).
У, П

1 I I 11
у = kx + т (k = 0)

т
.

о

—

X

1ис. 123

Если k > О, то функция у = kx2 возрастает на луче [0; + °°] и убыва­
ет на луче (-°°; 0]. Если k < 0, то функция у = kx2 убывает на луче
[0; +оо) и возрастает на луче (-оо; 0].

llECEIc

Обозначим f(x) = kx2. Пусть k > 0 и 0 < х х < х 2. Тогда по
свойствам числовых неравенств последовательно получа­
ем: xf < х\\ kx\ < kx\, т. е. /(х х) < f(x2). Итак, на луче [0; +о°) из х х <
< х2 следует /(хх) < f(x2), а это и означает, что при k > 0 функция
у = kx2 возрастает на луче [О; +°о).
Пусть k > 0 и дсх < х2 < 0. Тогда по свойствам числовых неравенств
последовательно получаем: х f > х$; kxl > kx$, т. е. f(xx) > f(x2). Итак,
на луче (-оо; 0] из х х < х2 следует /(x x) > f(x2), а это и означает, что
при k > О функция у = kx2 убывает на луче [0; +°о).
Пусть теперь k < 0 и 0 < х х < х2. Тогда х$ < х§; kxl > kx$, т. е.
f(xх) > f(x2). Итак, на луче [0; + °°) из х х < х 2 следует /(дсх) > f(x2), а
это означает, что при k < 0 функция у = kx2 убывает на луче [0; + °°).
Если k < 0 и х х < х2 < 0, то xl > x l; kxl < kxl, т - е - fixi) < / ( * 2 )Итак, на луче ( - °°; 0] из х х < х2 следует f(xi) < f(x2), а это означает,
что при k < 0 функция у = kx2 возрастает на луче ( - °°; 0]. Теорема
доказана.
Графиком функции у = kx2 является парабола с вершиной в нача­
ле координат и с ветвями, направленными вверх, если k > О

......

ГЛАВА 3. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ

(рис. 124), и вниз, если k < О (рис. 125). Прямая х = 0 (ось у) являет­
ся осью параболы.
Свойства функции у = kx2 для случая k > 0 (см. рис. 124):
1) D(f) = (-оо; +оо);
2) убывает на луче (-оо; 0], возрастает на луче [0; +оо);
3) ограничена снизу, не ограничена сверху;
4) 1/наим = 0, г/нар1б не существует;
5) непрерывна;
6 ) E(f) = [0 ; +оо);
\ к 1 7J
i
7) выпукла вниз.
Обратите внимание: на промежутке (- °О;0]
j •V// о
Г
\
функция
убывает, а на промежутке [0; +°°)
«г
7¥ V
функция
возрастает. Такие промежутки на­
S
X зывают промежутками монотонности функ­
о
ции.
Свойства функции у = kx2 для случая k < О (см. рис. 125):
1) D{f) = (-оо ; +оо);
2) возрастает на луче (-°°; 0], убывает на
У, 1
луче [0; +оо);
о
3) не ограничена снизу, ограничена свер­
\
X
/
ху;
1
1
/
V
4) Унайм не существует, унаи6 = 0;
5) непрерывна;
IN 7? I
\3
6) £(fl = ( - ° °;0 ] ;
I
7) выпукла вверх.

г

f j Исследование функции

у = % (k * 0)

ТЕОРЕМ А 3

Если k > 0, то функция у = — убывает на открытом луче (О; +°о) и
k
убывает на открытом луче (-оо; 0). Если k < 0, то функция у = —
X
возрастает на открытом луче (О; +оо) и возрастает на открытом лу­
че (-0°; О).
Положим f(x) = —, и пусть k > 0 и 0 < х, < х 2. Тогда по
х
1 > —
1;
свойствам числовых неравенств последовательно получаем: —

Д о ка затея ьство

*1

х2

k > —
k ; т. е. f{xj) > f(x2)- Итак, на (0; + °°) из дг! < х2 следует
—
Х1 х2

—*—* i m l

""■■■■•■iiMHatllfiSSSii

Д*х) > /(дсг)» а это и означает, что при Л > 0 функция у - —убывает
на открытом луче (0; +°°).
Пусть теперь хх < х2 < 0 (по прежнему k > 0). Тогда - х х > - х 2 > О,
— > — ;т . е. Д*х) > f(x2). Итак, на (-°°; 0) из
~Х\
- х 2 ХХ Х 2 Хх х2
х х < х2 следует f(xx) > f(x2), а это и означает, что при к > О функция

к убывает на открытом луче (-°°; 0).
у - —

............. ..

1

Случай, когда к < 0, попробуйте рассмотреть самостоятельно.
Обращаем ваше внимание на то, что хотя функция у = — при
k > 0 убывает и при х > 0 , и при х < 0 , назвать её убывающей во всей

области определения нельзя. Пусть, скажем, f(x) =

х х= -1, х2 = 1.

Тогда Д-1) = -1, Д1) = 1. Получается, что хх < х2 и Д*х) < f(x2), а это­
го для убывающей функции не может быть.
Графиком функции у = —является гипербола, оси координат слу­
жат асимптотами гиперболы, а начало координат — центром сим­
метрии (рис. 126, 127).
У,

Гг
к
1/ X
V

о

Х\

Свойства функции у

= —:

1) D(f) = (-оо; 0) U (0; +оо);
2) если к > 0, то функция убывает на открытом луче (-00; 0) и на
открытом луче (0; +°°) (см. рис. 126); если k < 0, то функция
возрастает на (—°°; 0) и на (0; +°°) (см. рис. 127);
3) не ограничена ни снизу, ни сверху;
4) нет ни наименьшего, ни наибольшего значений;

.......
152

ГЛАВА 3. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ

5) функция непрерывна на открытом луче
0) и на откры­
том луче (О; +°°);
6) E(f) = (-оо; 0) U (0; +оо);
7) если k > 0, то функция выпукла вверх при х < 0, т. е. на от­
крытом луче (-оо; 0), и выпукла вниз при х > 0, т. е. на откры­
том луче (О; +°°) (см. рис. 126). Если k < 0, то функция выпук­
ла вверх при х > 0 и выпукла вниз при х < 0 (см. рис. 127).
Ж
f--

Исследование функции у = V*

J

штш

Графиком функции является ветвь параболы (рис. 128).
Свойства функции у = \fx:
У, ,
1) D(f) = [0; +оо);
2) возрастает;
У
3) ограничена снизу, не ограничена свер­
гг
ху;
1'
4)
i/ваиы = 0, .(/наиб не существует;
X
0
, '■
5) непрерывна;
6) E(f) = [0; +°°);
7) выпукла вверх.
Докажем свойства 1)—4). Введём обозначение: f(x) = \[х.
1) D(f) = [0; +оо). Речь идёт о естественной области определения
функции, т. е. об области определения выражения \[х. Она задаётся
неравенством х > 0, отсюда и следует, что £>(/) = [0; +°о).
2) Пусть 0 < Xj < х 2. Предположим, что Jx^ > Jx^. Тогда
(V * ) ’ > № ) . *• •• Xj > х 2, что противоречит условию. Значит, на
ше предположение неверно, а верно неравенство yfxi <
Итак, из
О < хх < х2 следует, что /(Xj) < f(x2), а это и означает, что функция
возрастает на луче [0; +°°).
3) Ясно, что функция ограничена снизу, поскольку для любого
х > 0 выполняется неравенство -/х > 0. Докажем, что функция не
ограничена сверху. Предположим противное, что она ограничена
сверху, т. е. существует положительное число М такое, что для лю­
бого х > 0 выполняется неравенство \[х < М. Возьмём точку
х0 = (М + I)*1234567.Тогда /(х0) =
= yj(M + I)2 = М + 1 > М.
Итак, мы предположили, что для любого х > 0 выполняется не­
равенство sfx < М , и в то же время нашли конкретную точку х0, в
которой это неравенство не выполняется. Полученное противоречие
означает, что наше предположение неверно, а потому функция не
ограничена сверху.

1

4) Имеем /(0) = 0 и для любого х > О выполняется неравенство
> 0. Это значит, что утим = 0. А поскольку функция не ограниче­
на сверху, рааив не существует.

у[ х

Исследование функции у = \х
Графиком функции является объединение двух лучей: у —х , х > 0, и
у = -х , х < 0 (рис. 129).
Свойства функции у = |х|:
У

1) ДО = (-о®; +°°);

’

К
'* /
X

0

I'uc.

2) убывает на луче ( - 00; 0], возраста­
ет на луче [0; +°°);
3) ограничена снизу, не ограничена
сверху;
4) 1/наим = О, Унаиб Нв Существует;
5) непрерывна;

6) £(О = [0 ;+ °°).

Исследование функции

у

=

ах2 + Ьх

+

с (а Ф 0 )

Графиком функции является парабола с вершиной в точке (х0, Уо)>
где
Хо = —2^, Уо = f(x о)»
и с ветвями, направленными вверх при о > 0 (рис. 130) и вниз
при
при аа < 0 (рис. 131). Прямая х = ~

является осью симметрии пара­

болы.
У

— 1—

“ Т " 1—

ъ

X
—

_

2а.

Уоя

о

X
д

в
*

4

__

н
•V
V

— {/о”
I I'llr.

\

Рис. 131

0 + ~ ,
1__ 1___ 1___

ми

1_

ГЛАВА 3. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ

Свойства функции у = ах2 + Ъх + с для случая а > 0:
1) D(f) = (-о°; +°°);
, возрастает на луче
2) убывает на луче [ -оо;

; +оо

3) ограничена снизу, не ограничена сверху;
4)

Унаим = Уо> Унаиб Н в С у щ е с т в у е т ;

5) непрерывна;
6) E(f) = [у0; +°°);
7) выпукла вниз.
Свойства функции у = ах2 + Ъх + с для случая а < О:
1) D(f) = (-оо; +оо);
2) возрастает на луче
3)
4)
5)
6)
7)

Н -£]• убывает на луче

-тг'у + ° ° ;

не ограничена снизу, ограничена сверху;
у„а„м не существует, унаи6 = у0;
непрерывна;
Я(Я = (-°°; Уо1;
выпукла вверх.

Решение примеров

ИННИН!

П РИ М ЕР 4

На рис. 132 представлен график функции
у = ах2 + Ъх + с. Определить знаки коэф­
фициентов а, Ь, с.

,
и=ах2+Ьх+Ус
J
/
/
/

Ветви параболы направлены
вверх, значит, а > 0. Парабола
пересекает ось у в точке (0; с), значит,
с < 0. Абсцисса х0 вершины параболы на­
ходится по формуле х0 =
Поскольку

О/)
у/У
С

а > 0, х0 < 0, делаем вывод: b > 0.
а > 0 , b > 0, с <

Рис. 132

0 .

ПРИ М ЕР 5

ША

„
,
(х2 - 1)(*2 - Ъх + 6)
Построить график функции у = ------- ~
2-------------- .
X

~ X

с*

дг

§17. Свойства

X2 - 1 = (X - D ( * + 1);

X2 - 5х + 6 = (X —2)(х - 3);
х 2 - х - 2 = (х - 2)(х + 1).
Значит,
(х2 - 1)(х2 - 5х + 6) _
х2 - х - 2
_ (х - 1)(х + 1)(* - 2)(* - 3) = ,х _ 1)(л. _ з).
(х - 2)(х + 1)
Таким образом, у = (х - 1)(х - 3), х Ф 2,
х ф -1. Графиком функции является пара­
бола, пересекающая ось х в точках 1 и 3, с
двумя «выколотыми» точками
абсцис­
сы этих точек равны 2 и -1 (рис. 133).

П РИ М ЕР 6

График кусочной функции у = /(х), изображённый на рис. 13 , со
стоит из дуги окружности, части гиперболы и отрезка прямой, ре
буется прочитать график и перейти от графического задания функ
ции к аналитическому.
Перечислим свойства функции.
1) D{f) = [-4; 7].
2) Функция возрастает на отрезке [-4; 0], убывает на отрез
ке [0; 3], возрастает на отрезке [3; 7].
3) Функция ограничена и
снизу, и сверху.
4 ) !/„аиб = 7 (достигается в
точке х = 7), {/найм = 0 (достига­
ется в точке х = -4).
5) Функция непрерывна в
своей области определения.
6) £(/) = [0; 7].
7) У функции есть две точ­
ки экстремума: х = 0 — точка
максимума, причём г/тах = 4;
х = 3 — точка минимума, при­
чём {/т щ = 1.
Составим аналитическое задание функции. На отрезке [ , ]
графиком функции является дуга окружности с радиусом, равным ,

Решение

ГЛАВА 3. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ

с центром в точке 0; уравнение этой окружности х2 + у2 4 , значит,
для части верхней полуокружности получаем у = V16 - х2.
На отрезке [0; 3] имеем график обратной пропорциональности с
коэффициентом 4, сдвинутый влево по оси х на 1. Значит, на этом
4
промежутке у = ^ —j-.
Наконец, на отрезке [3; 7] дана часть графика линейной функции
у = kx + ш, причём эта прямая проходит через точки (3; 1) и (7; 7), а
потому коэффициенты /ей ш можно найти, решив систему уравнений
[l = 3k + т ,
[7 = 7/е + т .
Получим k = 1,5, т = -3,5. Значит, у = 1 ,5 * - 3,5 (на отрезке [3; 7]).
Составим теперь аналитическое задание функции, обратив при
этом внимание на «стыковые» точки (х = 0 и х = 3). Они не должны
дублироваться в задании функции. Итак,
у/ 16

- * 2, если - 4 < х < 0,

4

Вопросы для самопроверки
1. Какую функцию называют возрастающей, а какую
убы­
вающей?
2. Как, глядя на график функции, найти промежутки её мо­
нотонности? Проиллюстрируйте свой ответ с помощью гра­
фика какой-нибудь кусочной функции. ^
3. Какую функцию называют ограниченной снизу, а какую
ограниченной сверху?
4. Как, глядя на график функции, установить, является ли
она:
а) ограниченной снизу;
б) ограниченной сверху;
в) ограниченной?
5. Дайте определение наименьшего (наибольшего) значения
функции на некотором промежутке из области определе­
ния функции.
6. Известно, что у функции есть наименьшее значение. Явля­
ется ли она ограниченной снизу? сверху?

§18. Чётные и нечётные

157

7. Известно, что у функции есть наибольшее значение. Явля­
ется ли она ограниченной снизу? сверху?
8. Приведите пример функции, заданной графически, ограни­
ченной снизу на некотором промежутке и достигающей на
этом промежутке своего наименьшего значения.
9. Приведите пример функции, заданной графически, ограни­
ченной снизу на некотором промежутке и не имеющей на
этом промежутке наименьшего значения.
10. Приведите пример функции, заданной графически, ограни­
ченной сверху на некотором промежутке и достигающей на
этом промежутке своего наибольшего значения.
11. Приведите пример функции, заданной графически, ограни­
ченной сверху на некотором промежутке и не имеющей на
этом промежутке наибольшего значения.
12. Приведите пример аналитически заданной функции, не­
прерывной на некотором промежутке и такой, что:
а) у неё существуют на этом промежутке и наименьшее, и
наибольшее значения;
б) у неё нет на этом промежутке ни наименьшего, ни наи­
большего значения;
в) у неё на этом промежутке есть наименьшее, но нет наи­
большего значения;
г) у неё на этом промежутке есть наибольшее, но нет наи­
меньшего значения.
13. Что называют окрестностью точки а на числовой прямой?
Укажите окрестность точки 3 радиусом 0,1.
14. Что такое точка максимума функции у = Дх)? Что такое
точка минимума функции у = Дх)?
15. Задайте графически кусочную функцию у - Дх), имеющую
максимум в точке х = 0 и минимум в точке х = 2.
16. Какую функцию называют выпуклой вниз; выпуклой
вверх? Приведите пример функции, выпуклой вниз; выпу­
клой вверх.

ЧЁТНЫЕ И НЕЧЁТНЫЕ ФУНКЦИИ
В предыдущем параграфе мы говорили только о тех свойствах функ­
ций, которые в той или иной степени вам были уже известны из курса
алгебры 8-го класса. Запас свойств функций будет постепенно попол­
няться. О двух новых свойствах пойдёт речь в настоящем параграфе.

Определение чётной и нечётной ф ункции
Определение 1

Функцию у = Дх), х € X, называют чётной, еслидля любого значе­
ния х из множества X выполняется равенство
/( - * ) = Д о ­

определение 2

Функцию у = f(x), х 6 X, называют нечётной, если для любого зна­
чения х из множества X выполняется равенство
f(-x) = -Д х).
чётная функция
нечётная функция

ПРИМЕР 1

■

Доказать, что у = х4 — чётная функция.
Здесь f(x) = х4, Д-х) = (-х)4 = х4. Значит, для любого значе
ния х выполняется равенство /(-х) = Дх), т. е. функция яв
ляется чётной.

Решение

Аналогично можно доказать, что функции у - х2, у - хб, у - хь
также являются чётными.
ПРИМЕР 2

Доказать, что у = х3 — нечётная функция.
Здесь /(х) = х3, А-х) = (-х)3 = -х3. Значит, для любого зна
чения х выполняется равенство Д-х) = -Дх), т. е. функция
является нечётной.

Решение

Аналогично можно доказать, что функции у = х, у = х°, у = х {
также являются нечётными.
Мы заметили, что у = х3, у = х5, у = х7
нечётные функции,
у = х2, у = х4, у = х6 — чётные функции. И вообще для любой функ­
ции вида у = х п, где п — натуральное число, можно сделать вывод:

если п — нечётное число, то функция у = х п — нечётная; если п
чётное число, то функция у = хп — чётная.
Существуют функции, которые не являются ни чётными, ни
нечётными. Такова, например, функция у = 2х + 3. В самом деле,
/(1) = 5, а /(-1) = 1, т. е. /(-1) * Л1) и Л-1) * -Л !)• Значит, не выпол­
няется ни тождество Л- *) = Л*)> ни тождество f(~x) = -f(x).
Итак, функция может быть чётной, нечётной, а также
ни той
ни другой.

Исследование функций на чётность
Изучение вопроса, является заданная функция чётной или нечётной,
обычно называют исследованием функции на чётность.
В определениях 1 и 2 речь идёт о значениях функции в точках х
и -х. Тем самым предполагается, что функция определена и в точ­
ке х, и в точке -х . Это значит, что точки х и —х принадлежат области
определения функции. Если числовое множество X вмесимметричное
сте с каждым своим элементом х содержит и противопомможесгво
ложный элемент -х, то такое множество называют сим­
метричным множеством.
Скажем, (-2; 2), [-5; 5], (-°°; +°°) — симметричные
множества, в то время как [0; +°°), (-2; 3), [-5; 6)
несимметрич­
ные множества.
Если функция у = f(x) — чётная или нечётная, то её область
определения D(f) — симметричное множество. Если же D(f)
не­
симметричное множество, то функция у = f(x) не является ни чёт­
ной, ни нечётной.
Учитывая сказанное выше, рекомендуем при исследовании функ­
ции на чётность использовать следующий алгоритм.
АЛГОРИТМ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ у = f(x), х £ Х ,
НА ЧЁТНОСТЬ
1. Установить, симметрична ли область определения функции. Если
нет, то объявить, что функция не является ни чётной, ни нечёт­
ной. Если да, то перейти ко второму шагу алгоритма.
2. Найти f(-x).
3. Сравнить Д- *) и Л*):
а) если f(-x) = f(x) для любого х € X, то функция чётная;
б) если f(-x) = -f(x) для любого д: € X, то функция нечётная;
в) если хотя бы в одной точке х 6 X выполняется соотношение
f(—x) Фf(x) и хотя бы в одной точке х 6 X выполняется соотно­
шение f(-x) * ~f(x), то функция не является ни чётной, ни
нечётной.

“ г л а в а 3. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ

ПРИМЕР 3

1

Исследовать на чётность функцию:
а) у = * 4 + 4 ;

б) I/ = * 5 - Л ;

в) у =

а) у = Дх), где Дх) = х4 +
.
1) Функция определена при всех значениях х, кроме 0. Следова
тельно, D(f) — симметричное множество.
2) Д-х) = ( - * ) 4 + ^ 6 = * 4 + J r

Решение

3) Для любого значения х из области определения функции вы
полняется равенство Д-х) = Дх).
2
Таким образом, у = х4 н— g чётная функция.
б) у = Дх), где Кх) = х 5 - * _
•
1) Функция определена при всех значениях х, кроме 0. Следова
тельно, D(f) — симметричное множество.
2) К-х) = (-х)5 = " v5 3) Для любого значения х из области определения функции вы
полняется равенство Д-х) = -Дх).
Таким образом, у = х5 - х 5 — нечётная функция.
в) у = Дх), где Дх) =
х^ - 9
1) Функция определена при всех значениях х, кроме 3 и -3. Зва
чит, область определения функции — числовая прямая, из которой
удалены две точки: 3 и -3. Это симметричное множество.
п-х\ - (~Х) ~ 4 = - Х + ~ .
К х> ~ (- х)г - 9
х2 - 9
3) Сравнив Д-х) и Дх), замечаем, что, вероятно, не выполняются
ни тождество Д-х) = Дх), ни тождество Д-х) = -Дх). Чтобы в 3ton
убедиться, возьмём конкретное значение х, например х = 4; имеем:
Д4) = 0, а Д-4) = - | , т. е. Д-4) * Д4) и Д-4) * -Д4).
Таким образом, функция не является ни чётной, ни нечётной,
г) Функция определена на луче [3; +°°). Этот луч — несимметрич­
ное множество, значит, функция ни чётная, ни нечётная.

ПРИМЕР 4

Исследовать на чётность функцию:
а) у = |х|, х 6 [-2; 2];
в) у = х3, х € (-5; 5);
б) у = |х|, х 6 [-3; 3);
г) у = х3, х € (-5; 5].

ш т

I
161

§ 18 . Чётные и нечётные функции

a) D(f) = [-2; 2] — симметричное множество, и для всех
значений х выполняется равенство |-х | = |я|. Значит, за­
данная функция чётная.
б) D(f) = [-3; 3) — несимметричное множество. В самом деле, точ­
ка -3 принадлежит полуинтервалу [-3; 3), а противоположная точка
3 не принадлежит этому полуинтервалу. Значит, функция не являет­
ся ни чётной, ни нечётной.
в) D(f) = (-5; 5) — симметричное множество, и (-*)3 = -* 3 для
всех значений х из D(f). Значит, заданная функция нечётная.
г) Функция задана на полуинтервале, который не является сим­
метричным множеством. Значит, функция ни чётная, ни нечётная.

Решение

Геометрический смысл чётности
и нечётности функции
Теперь обсудим геометрический смысл свойства чётности и свойства
нечётности функции.
Пусть у = /(х) — чётная функция, т. е. f(-x) = f(x) для любого
х € D(f). Рассмотрим две точки графика функции: А(дг; f{x)) и
В(-х; /(-*)). Так как /(-*) = f(x), то у точек А и В абсциссы являются
противоположными числами, а ординаты одинаковы, т. е. эти точки
симметричны относительно оси у (рис. 135). Таким образом, для ка­
ждой точки А графика чётной функции у = f{x) существует симметрич­
ная ей относительно оси у точка В того же графика.
ТЕО РЕМ А 1

График чётной функции симметричен относительно оси у.
Пусть у = f(x) — нечётная функция, т. е. f(-x) = -/(*) Для любого
х € D(f). Рассмотрим две точки графика функции: А(х; f(x)) и
В(-х; /(-*)). Так как f(-x) = -f(x), то у точек А и В и абсциссы, и ор­
динаты являются противоположными числами, т. е. эти точки сим_

У, I

А I - * ; i[-x))

1 ОС \

У\

ПГ и
и
-

-

X

Т г ,т * т т » г

( - е ; 7 (X г
-

В

/

о

X

X

Рис. 136

I1 " Г
(* : / (*»"
—4
/' А
✓

✓
✓ о

X

гГ

ОЛМ

С

/

в V
(- х ; f ( - x ) )

\____

X

ГЛАВА 3. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ

для каждой точки А графика нечётной функции у = fix) существует
симметричная ей относительно начала координат точка В того же
графика.
ТЕОРЕМА 2
График нечётной функции симметричен относительно начала ко­
ординат.

Верны и обратные утверждения.
ТЕОРЕМА 3
Если график функции у = /(х) симметричен относительно оси орди­
нат, то у = fix) — чётная функция.

В самом деле, симметрия графика функции у = fix) относительно
оси у означает, что для любого значения х из области определения
функции справедливо равенство f(-x) = f(x), т. е. у = f(x) — чётная
функция.
ТЕОРЕМА 4
Если график функции у = fix) симметричен относительно начала
координат, то у = fix) — нечётная функция.

Симметрия графика функции у = f(x) относительно начала коор­
динат означает, что для любого значения х из области определения
функции справедливо равенство f(-x) = -fix), т. е. у = fix) — нечёт­
ная функция.
ПРИМЕР 5

Исследовать на чётность функцию у = у]9 - х г .
Решение

Первый способ. Будем действовать по определению:

fi-x) = Р - i-x Y = J 9 - X 2 = fix).
Значит, для любого значения х из D(f) справедливо равенство
fi~x) = fix), т. е. функция является чётной.
Второй способ. График функции — полуокружность с центром в
начале координат и радиусом 3 (см. рис. 113, с. 135), она симметрич­
на относительно оси у. Значит, у = -J9 - х 2 — чётная функция.

ПРИМЕР 6

Доказать, что функцию у = fix), х 6 X, где X — симметричное множе­
ство, можно представить в виде суммы чётной и нечётной функции.

§ 19. Ф ункции у = *m(m € Z), их свойства И1 Р Р J J S * »

Справедливо тождество /(х) = f(x) +2^( — + й ^ —J L A , Вве­

Решение

дём обозначения: W + №

= *(х), / ( , ) ~ ^

= Их). Функция

у = £(*), Л 6 X, является чётной, а функция г/ = й(*)« ж 6 X , — нечёт­
ной. В самом деле, £(-х) =

^

= 8(х), a h(-x) = —

2

= J M ~ /(-*) = _ых )' итак, f(x) = g{x) + ft(x), ГДе Функция у = 8(х) —
2

чётная, а функция у = Л(х) — нечётная.

Вопросы для са м о п р о в е р к и
1. Какую функцию называют чётной?
2. Какую функцию называют нечётной?
3. В каком случае числовое множество называют симметрич­
ным?
4. Объясните, почему является или не является симметрич­
ным множество:
а) (-3; 3);
в) [-1; 2];
д) {-1. 2, 3, -2, -3, 1}.
б) (-2; 2];
г) ( - ° °; +°°);
5. Может ли быть чётной или нечётной функция у - /W>
х е [0; + °°)?
6. Сформулируйте алгоритм исследования функции на чет­
ность.
7. Каким свойством обладает график четной функции/ 1 ра­
фик нечётной функции?
8. Как по графику функции установить, что она:
а) является чётной; б) является нечётной; в) не является
ни чётной, ни нечётной?

УНКЦИИ у = х" (го е Z ),
ИХ СВОЙСТВА И ГРАФИКИ

Л

1
У-:ф.

11

В этом параграфе речь идёт о степенных функциях с целочисленным
показателем, т. е. о функциях у = х°, у = х8, у = х 10, у —х и т. д.

ИЛ И

функция у = х2п (п

G

N)

Простейший случай такой функции мы рассматривали в 7-м клас
се — это была функция у = х2. Рассмотрим теперь функцию у - х

;
ГЛАВА 3 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ

Поскольку это чётная функция, построим сначала ту часть её графи­
ка, которая располагается в правой полуплоскости (при х > 0).
Составим таблицу значений:
3
1
1
X
0
2
2
81
1
1
0
У
16
16
< 1 ;

Отметим точки (О;

°ь

1

;

!

i

п ,

на координатной

плоскости (рис. 137, а); они намечают некоторую линию, проведём
её (рис. 137, б). Добавив к построенному графику линию, симметрич­
ную построенной относительно оси ординат, получим график функ­
ции у = х4 (рис. 138). Он похож на параболу (но параболой его не
называют).
У,
81
16

У
81
16

Г

1
11
1

1
1

11

О

1

1
X
1 1
2 _2 .

/
О

)

/

11 3
2
2

X
Рис. 138

Рис. 137

Прежде чем перечислить свойства функции, заметим, что мы бу­
дем придерживаться того же порядка, который использовали в § 17,
но с одной поправкой: свойству чётности функции отведём вторую
позицию.
Свойства функции у = х4:
1) Д Л = (-° ° ;+ ° ° );
.У

2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)

чётная функция;
убывает на луче (- х2 > 0, то по свойству числовых неравенств х? > х$, а это и озна­
чает возрастание функции на луче [0; +°°) (см. определение 1 из § 17).
Если х, < х2 < 0, то —Xj > - х 2 > 0, (-хО4 > (-х 2)4, т. е. xf > х |.
Итак, из X! < х2 < 0 следует, что xj1 > х |, а это и означает убывание
функции на луче ( - 00; 0].
Можно доказать четвёртое и пятое свойства. Ограниченность
функции снизу очевидна: для любого х справедливо неравенство
х4 > 0. Отсюда, кстати, сразу следует и то, что у шам = 0 (достигается
в точке х = 0). Неограниченность функции сверху докажем методом
от противного.
Предположим, что функция ограничена сверху, т. е. существует
число М > 0 такое, что для любого х справедливо неравенство х4 < М .
Рассмотрим значение функции в точке Хо = М + 1. Имеем (М + I)4 >
> М + 1 > М. Итак, х*0 > М , а это противоречит предположению о том,
что для любого х справедливо неравенство х4 < М. Наше предположе­
ние неверно, т. е. функция не является ограниченной сверху. Отсюда,
кстати, следует и то, что наибольшего значения у функции нет.
При желании можно пояснить (не доказать) свойство выпуклости
функции вниз. Покажем, например, что на отрезке [0; а], где а > 0,
___ _ .____
график функции у = х4 расположен ниже отрез“ I" Vi Г Г Г
ка ОА (рис. 139).
На интервале (0; а) возьмём произвольную
.т
1/1
точку
Xi и восставим из этой точки перпенди9
M il
X
куляр к оси х. Он пересечёт график функции
Л/1
у = х 4 в точке Р, а прямую ОА — в точке М .
/ а] \
Ордината точки Р равна х4. А чему равна орди/ Г1 |_
\
ната точки М ? Давайте подсчитаем.
'р 1
X
х\ л
о
Прямая ОА проходит через начало координат, значит, её уравнение имеет вид у = kx; она
также проходит через точку А(а; а4). Подставив
координаты точки А в уравнение у = kx, получим а 4 = ka. Значит,
k = а3, т. е. уравнение прямой ОА таково: у = а3х. Теперь ясно, что
ордината точки М равна a 3Xj.
Итак, ордината точки Р равна х 4, а ордината точки М равна a3Xi.
Какое из этих чисел больше? Поскольку 0 < Xj < а, то по свойствам
числовых неравенств х? < а3 и, далее, х? • < а3 • х г, т. е. х 4 < a 3Xj.
Последнее неравенство означает, что точка Р располагается ниже
точки М . Отсюда можно сделать вывод: если провести произвольную

...............

^

т

ГЛАВА 3. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ

прямую ОА, то о к аж ется, что граф и к ф ун кц и и у = х 4 на о тр езк е
[0; а] л еж и т ниж е соответствующ его участка п рям ой ОА.
Л ю бая степенная ф у н кц и я у = х 2п (п 6 N) обладает тем и же с в о й ­
ствам и, что ф ун кц и я у = х А, а граф и к ф ун кц ии у = х 2п при п = 3 , 4,
5, ... п охож на граф и к ф ун кц и и у = х 4 (см. рис. 138), только его в ет­
ви при больш их по модулю зн ач ен и ях х более круто направлены
вверх и более п р и ж аты к оси х на отрезке [-1; 1].
Отметим ещё, что л и н и я, сл у ж а щ ая граф иком ф ун кц и и у = х 2п,
касается оси х в точке (0; 0), т. е. одна ветвь кривой плавно п ерехо­
дит в другую , к а к бы п ри ж и м аясь к оси х.

ШИЯШШШШШШШШШШ шшшшшяяшшт

ПРИМЕР 1

J

П остроить граф ик ф ун кц ии у = (х - I ) 6 - 2.

см

1) П ерейдём к вспомогательной сис­
теме координат с началом в точке
(1; -2 ) (рис. 140).
2) Построим граф и к ф ун кц ии у = х 6 в новой
системе координат, исп ользуя контрольны е
точки: (0; 0), (1; 1), (-1 ; 1) (в новой системе ко­
ординат). Затем через контрольны е точки про­
ведём лин и ю , похож ую на ту, которая изобра­
ж ен а на рис. 138, — это и будет требуемый
граф ик, точнее, его эскиз (см. рис. 139).

Т—(

^1

II

1
К
L

О

X

2

-2

Рис. 140

Функция у = х 2п+1 (п е N )

У, т
/
/
о 7
(
со

Рис. 141
Ь ш и аиш>

/
-i
1
1

\

П ростейш ий случай такой ф ун кц ии — у = х 3.
Её граф и к при х > 0 в принципе вы глядит так
ж е, к а к и граф ик ф ункции у = х* при х > 0 (см.
рис. 137). Н уж но лиш ь учесть, что новая к р и ­
вая чуть менее круто идёт вверх и чуть дальш е
отстоит от оси х на отрезке [0; 1]. Поскольку
у = х 3 — нечётная ф у н кц и я, то, добавив линию,
симметричную построенной относительно н ач а­
ла координат, получим граф ик функции у = х г
(рис. 141). Эту кривую назы ваю т кубической
параболой.

Здесь наблюдается один из редких случаев, когда математики используют
не очень удачный термин. Парабола — геометрическая фигура с определён­
ными свойствами. Линия, изображённая на рис. 141, этими свойствами нс
обладает, поэтому лучше было бы придумать ей другое название («кубическая
парабола» — это что-то вроде «квадратной окружности*).

§19. функции у = х т(т € Z), ихсвойства игр»Ф]” ° ^

167

Отметим некоторые геометрические особенности кубической
параболы у = х*1234. У неё есть центр симметрии
точка (0; 0), которая
отделяет друг от друга две части кривой; эти симметрич­
ные части называют ветвями кубической параболы.
кубическая
Обратите внимание, что ветви кубической параболы
парабола
переходят одна в другую без излома
плавно, касаясь
И * " " * " ”
оси х.
Свойства функции у = дс3:
1) D(f) = ( - 00; +оо);
2) нечётная функция;
3) возрастает;
4) не ограничена ни снизу, ни сверху;
5) нет ни наименьшего, ни наибольшего значений;
6) непрерывна;
7) E(f) = (-оо; +оо);
8) выпукла вверх при х < 0, выпукла вниз при х > 0.
График любой степенной функции у = x2n+1, п = 2, 3, 4,
по­
хож на график функции у = х 3 (см. рис. 141), только чем больше по­
казатель, тем более круто направлены вверх (и соответственно вниз)
ветви графика. Отметим ещё, что линия, служащая графиком функ­
ции у = х2п+1, касается оси х в точке (0; 0).
П РИ М ЕР 2

ЯШ

Решить уравнение х 5678= 3 - 2х.
1) Рассмотрим две функции: у = х°
и у = 3 - 2х.
2) Построим график функции у = х5
(рис. 142).
3) Построим график линейной функции
у = 3 - 2х. Это прямая линия, проходящая
через точки (0; 3) и (1; 1) (см. рис. 142).
4) Построенные графики пересекаются,
судя по чертежу, в точке А ( 1; 1), причём
простая проверка показывает, что координа­
ты точки А(1; 1) удовлетворяют уравнению.
Значит, уравнение имеет один корень: х = 1.

Реш ение

Рис. 142
Между прочим, геометрическая модель, представленная на
рис. 142, наглядно иллюстрирует следующее утверждение, которое
иногда позволяет изящно решать уравнения.

ГЛАВА 3 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ

Если функция у - f(x) возрастает, а функция у = g(x), убывает и
если уравнение /(х) = g(x) имеет корень, то этот корень — един­
ственный.
Доказательство

Пусть х г — корень уравнения /(х) = g(x). Возьмём из об
ласти определения уравнения любое значение х2 такое,
что х2 > х х. Функция у = f(x) возрастает, значит, из х 2 > Xj следует
/(* 2) > /(Xj). Функция у = g(x) убывает, значит, из х 2 > хг следует
g(xi) > g(x2). Получилась такая цепочка:
f(x2) > fix 1 ) = g{xy) > g(x2).
Получилось, что /(х2) > g(x2), т. е. х2 не является корнем уравне­
ния.
Аналогично можно доказать, что если взять из области определе­
ния уравнения любое значение х3 такое, что х 3 < x lt то х3 не являет
ся корнем уравнения.
Итак, уравнение имеет единственный корень, что и требовалось
доказать.
Вот как, опираясь на это утверждение, мы можем решить урав
нение из примера 2 без чертежа:
1) заметим, что при х = 1 выполняется равенство
15 = 3 - 2 • 1,
значит, х = 1 — корень уравнения (этот корень мы угадали);
2) функция у = 3 - 2х убывает, а функция у = х5 возрастает, зна
чит, корень у заданного уравнения только один и этим корнем явля
ется найденное выше значение х = 1.

ИкМ

функция

у - X 2п (п Е N)

Выше мы говорили о степенных функциях с натуральным показа
телем. Теперь поговорим о степенных функциях с отрицатель
ным целым показателем. Начнём с функции у = х-2, или, что то же
самое, у = \ .
X1
Область её определения — множество всех действительных чи
сел, кроме 0. Это чётная функция, значит, есть смысл сначала по
строить её график при х > 0. Составим таблицу значений:

У

1

’""'IC O

X

1

9

1
4

2

*

i

Функции у = х"(т е Z), их свойства и графики

S v' Ч

Отметим точки ( ± ; 9 ). ( | ; 4 ], (1; 1),

± ), (з; J ] на коорди­

натной плоскости (рис. 143, а), они намечают некоторую линию,
проведём её (рис. 143, б). Добавив к ней ветвь, симметричную по­
строенной относительно оси ординат, получим график функции
у = 4г, или у = х 'г (рис. 144).
х*

life. 143

П

У 1

L

Ly
о

Г 1‘ш\ 144

=4 J
х‘

Свойства функции у - х~2:
1) £>(/) = (-со; 0 ) и (0; +°°);

2) чётная функция;
3) убывает на открытом луче (0; +°°),
возрастает на открытом луче (- °°; 0);
4) ограничена снизу, не ограничена свер-

Х\

ху;
5) нет ни наименьшего, ни наибольшего
значений;
6) непрерывна при х < 0 (т. е. на открытом луче ( - °°; 0)) и при
х > 0 (т. е. на открытом луче (0; +°°));
7) E(f) = (0; + °°);
8) выпукла вниз и при х < 0 , и при х > 0 .
Докажем для примера убывание функции при х > 0.
Пусть Xj > *2 > 0- По свойствам числовых неравенств: х\ > х$,

1
1

_L <

т. е. х {2 < * 2 2. Итак, для функции у = f(x), где f(x) = х '2, мы

доказали, что если х х > х 2 > 0, то f(x,) < f(x2), а это и означает убы­
вание функции на открытом луче (0; +°°).
Можно доказать четвёртое и пятое свойства. Ограниченность
функции снизу очевидна: для любого х * 0 справедливо неравен-

CTB0 -L > о. Неограниченность функции

сверху докажем методом от
х2
противного.
Предположим, что функция ограничена сверху, т. е. существует
число М > 0 такое, что для любого х справедливо неравенство

-3L < м.

Рассмотрим значение функции в точке х0

f \—I— 1= (М + I ) 2 > М + 1 > М. И так,

Ч ЛГ + 1 J

'

*о

=

Имеем

М , а это противоречит

предположению о том, что для любого х справедливо неравенство
Д - < М . Наше предположение неверно, т. е. функция не является
х2

ограниченной сверху. Отсюда, кстати, следует и то, что наибольшего
значения у функции нет.
Осталось доказать, что и наименьшего значения у функции нет.
Предположим, что оно есть, равно т и достигается в точке х0 > 0. Но
в силу убывания функции на (0; + °°) для х > х 0 выполняется нера­
венство Дх) < /(Xg), т . е. ftx) < ш. Значит, ш не может быть наимень­
шим значением функции, унаим не существует.
График любой функции у = x _2n (п € N ) похож на график функ­
ции у - \

х2

(см. рис. 144). Отметим, что кривая у =

х

асимптоты

чески прибли ж ает ся к осям координат . Говорят также, что ось х
(т. е. прямая у = 0) является горизонт альной асимпт от ой графика
функции у =

а °^ь У (т -

прямая х = 0) является вертикальной

асим пт от ой этого графика.

ПРИМЕР 3
Найти наименьшее и наибольшее значения функции у -

на задан

ном промежутке:
а)

б)

в) [1; +°о).

Для ответа на поставленный вопрос можно использо­
вать график функции (см. рис. 144), а можно опираться
на свойство монотонности. Далее мы будем действовать и так,
и так.
а) При х > 0 функция у = Дх), где f(x) = Д р убывает, значит, на

Решение

заданном промежутке своих наименьшего и наибольшего значений

она достигает на концах промежутка, если, разумеется, эти концы
принадлежат промежутку. Для отрезка
{/найм

/(® )

д,

j /наиб

3 j получаем:
2 )

б) При х < О функция возрастает, значит, на заданном промежут­
ке своих наименьшего и наибольшего значений она достигает на
концах промежутка, если, разумеется, эти концы принадлежат про­
межутку. В рассматриваемом случае имеем: ушт = Д-2) = - , а г/наи6
4
не существует (правый конец не принадлежит заданному проме­
жутку).
в) С помощью графика функции (см. рис. 144) устанавливаем,
что j/наим не существует, а унаив = 1.

Функция у - X~ -(2 п -1 ) (п е N)
-

145

Речь пойдёт о функциях у = х
у = х 3, j/ = х 5 и т. д. Одну такую
функцию вы изучили в курсе алгебры 8-го класса — это была функ­
ция у = ж-1, т. е. у = —. Ее график — гипер­
У,
бола (рис. 145). График любой функции
у - ■j* --j похож на гиперболу.
1
1
У = XСвойства функции у = дс“

.1

X

Рис. 150

Вопросы для самопроверки
1. Покажите схематически, как выглядит график функции
у = хи , п € N.
2. Покажите схематически, как выглядит график функции
у = х2п + 1, п € N.
3. Обладает ли график функции у = х 2п, п € N, симметрией?
Относительно чего?
4. Является ли функция у = х 2п, п € N, чётной или нечётной?
5. Обладает ли график функции у = х 2л + l, п € N, симмет­
рией? Относительно чего?
6. Является ли функция у = х2п + *, п € ЛГ, чётной или нечётной?
7. Какова область значений функции у = х2п, п 0 и убывает
при х < 0;
б) функция у = х 2п, п 6 N, возрастает при д: > 0 и возраста­
ет при х < 0;
в) функция у = х2п, п € N , убывает при х > 0 и убывает
при х < 0;
г) функция у = х2п, п 6 N, убывает при х > 0 и возрастает
при х < 0?
10. Какое из утверждений верно:
а) функция у = х 2п + Ч п € N, возрастает при х > 0 и убы­
вает при х < 0;
б) функция у = х 2п~ 1, п 6 N, возрастает при х > 0 и воз­
растает при х < 0;
в) функция у = x 2n + \ n е N, убывает при т > 0 и убывает
при х < 0;
г) функция у = x 2n + l, n € N, убывает при х > 0 и возрас­
тает при х < 0?

ГЛАВА 3. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ

11. Какое из утверждений верно:
а) функция у = х2п + л 6 N, выпукла вверх при х > О
и выпукла вниз при х < 0;
б) функция у = х2п + *, л 6 JV, выпукла вверх при х > 0
и выпукла вверх при х < 0;
в) функция у = х2п + Ч л € N , выпукла вниз при х > 0
и выпукла вверх при х < 0;
г) функция у = х2п + *, л € IV, выпукла вниз при х > О
и выпукла вниз при х < 0?
12. Покажите схематически, как выглядит график функции
у = х~2п, л 6 N.
13. Покажите схематически, как выглядит график функции
у = х Ч2п " 1), л € N.
14. Обладает ли график функции у = x~2n, л 6 JV, симметрией?
Относительно чего?
15. Является ли функция у = x~2n, п 6 N, чётной или нечётной?
16. Обладает ли график функции у = x~^2n ~ 1}, n € N, симмет­
рией? Относительно чего?
17. Является ли функция у = x~(2n ~ п 6 N, чётной или нечёт­
ной?
18. Какова область значений функции у = x 2n, п 6 N?
19. Какова область значений функции у = х ', п 6 iV?
20. Что такое асимптота графика функции у = /(х)?
21. Запишите уравнения асимптот графика функции у = х~2",
n£N.
22. Запишите уравнения асимптот графика функции у = x~t2n- >>,
п е N.
23. Какое из утверждений верно:
а) функция у = x~2n, п 6 JV, возрастает при х > 0 и убывает
при х < 0;
б) функция у = x~2n, n € N, возрастает при х > 0 и возрас­
тает при х < 0;
в) функция у = x~2n, п 6 N, убывает при х > 0 и убывает
при х < 0;
г) функция у = x~2n, n € N, убывает при х > 0 и возрастает
при х < 0?
24. Какое из утверждений верно:
а) функция у = jr 0 и воз­
растает при х < 0;
в) функция у = х '(2л ~ О, n € N, убывает при х > 0 и убыва­
ет при х < 0;
г) функция у = x~i2n “ 1), л ё N, убывает при х > 0 и возрас
тает при х < 0?

|20. Функция у - 3/х, её свойства и график

..Ш л

L 175

25. Какое из утверждений верно:
а) функция у = х~ 0.
Из уравнения 2 4 * + 36 - 5 * 2 = 0 находим: х х = 6, * 2 = - | . Уравнс
ние оси симметрии параболы у = - 5 х 2 + 2 4 * + 36 можно найти по
формуле * = * ' ^ * 2 , получим * = 2 ,4 . На рис. 163 схематически (с
La

разными масштабами по осям) изображён график функции у = - 5 * 2 •
+ 24* + 36.
Неравенство
2 4 * + 36 - 5 * 2 > 0
выполняется при — < * < 6. В этом интервале содержится пять на
5

туральных чисел (1, 2, 3, 4, 5); соответственно в заданной последови

тельности пять положительных чле­
нов: \)i, у2, Уз. У4. Уъб) График последовательности со­
стоит из точек параболы с абсциссами
1, 2, 3, 4, 5, 6 .........Среди них можно
найти точку с наибольшей ординатой.
Ясно, что это будет точка, наиболее
близко расположенная к оси парабо­
лы. Уравнение оси, напомним, х =
2,4, ближайшая точка последователь­
ности имеет абсциссу х = 2. Значит,
наибольшим членом последовательно­
сти является у 2. Осталось вычислить
значение второго члена последова­
тельности у п = 24л + 36 - 5л2:
у2 = 24 • 2 + 36 - 5 • 22 = 64.
в) Члены последовательности, начиная с третьего, располагаются
на правой ветви построенной параболы. Наименьшего среди них нет.
О твет

а) 5; б) г/2 = 64 — наибольший член последовательности;
в) наименьшего члена у последовательности нет.

Рекуррентное задание последовательности
Важный для приложений способ задания последовательности состо­
ит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить п-й членпоследовательности, если известны её предыдущие чле­
ны. При вычислении членов последовательности по это­
р«куррентный
му правилу мы как бы всё время возвращаемся назад и
способ задания
выясняем, чему равны предыдущие члены. Такой способ
последователь­
задания последовательности называют рекуррентным (от
ности
лат. слова recurrere — возвращаться). Чаще всего в таких
случаях указывают формулу, позволяющую выразить п-й
член последовательности через предыдущие, и задают 1—2 началь­
ных члена последовательности. Приведём примеры.
1* У 1 = 3; у п = у „ - 1 + 4, если п = 2, 3, 4 .........Иными словами, п-й
член последовательности получается из предыдущего (п - 1)-го члена
прибавлением к нему числа 4:
У\ ~ 3;
Уг = У\ + 4 = 3 + 4 = 7;

ГЛАВА 4. ПРОГРЕССИИ

Уз = Уг + 4 = 7 + 4 = 11;
г/4 = уз + 4 = 11 + 4 = 15 и т. д.
Тем самым получаем последовательность
3, 7, 11, 15........
Заметим, что эту последовательность нетрудно задать аналитиче­
ски: уп = 4л - 1.
2. i/i = 3; уп = 2j/„-i, если п = 2, 3, 4, ... . Иными словами, л-й
член последовательности получается из предыдущего (п - 1)-го члена
умножением его на 2:

I

Уг = 3;
j/2 = 2yi = 2 • 3 = 6;
Уз = 2г/г = 2 • 6 = 12;
у4 = 2г/а = 2 • 12 = 24 и т. д.

I

I

I

Тем самым получаем последовательность
3, 6, 12, 24, ... .

i

I 'ШЙШт.

Заметим, что и здесь нетрудно перейти к аналитическому зада­
нию последовательности: уп = 3 • 2"'1.
3. У1 = 1, {/г = 1. Уп = У п - г + У п - 1 . если п = 3, 4, 5, ... . Иными сло­
вами, л-й член последовательности равен сумме двух предшеству­
ющих ему членов. Итак,
У\ = 1 ;
Уг = 1;
1/з = У\ +

1/2= 1 +1 = 2;

i/4 = i/2 +

i/з= 1 +2 = 3;

Уъ = Уз +

У\ = 2 +3 = 5;

Ув = У\ +

i/s= 3 +5 = 8;
г/7 = г/5 + ув= 5 +8 = 13;

Уз = г/б + У? = 8 + 13 = 21;
Уэ = У? + Уз = 13 + 21 = 34;
Ую = Уз + Уэ = 21 + 34 = 55 и т. д.
Фибоначчи, или Леонардо Пизанский
(ок. 1170 — ок. 1250), первый круп­
ный математик средневековой Европы.
С его трудов в Европе стала распро­
страняться позиционная система счис­
ления (ранее была римская нотация).

Тем самым получаем последователь­
ность
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55......
Эту последовательность специаль­
но изучают в математике, поскольку
она обладает целым рядом интересных

—

821 - Числовые последовательности

свойств. Её называют последовательностью Фибоначчи — по имени
итальянского математика XIII века. Задать последовательность Фи­
боначчи рекуррентно — легко, а аналитически — труднее: она зада­
ётся с помощью формулы Бинё

Л) JlzJir

1
Уп = Тб

последовательность Фибоначчи

ПРИМ ЕР 3

* • ' "Чеш.'

ИА6

5-•" ‘- Щ

Последовательность (у п) задана рекуррентно: у х = 1, j/2 = 2, уп =
= 5f/„-i если п > 2. Задать эту последовательность аналитиче­
ски.
Р еш ен и е

Найдём несколько начальных членов последовательности:
У1 = 1;
Уг = 2;
Уз = 5j/2 “ 6г/! = 5 * 2 —6 - 1= 4;
J/4 = 5уз

- 6г/2 = 5 •4 - 6 • 2= 8;

г/5 = 5г/4 " 6г/3 = 5 •8 - 6 • 4= 16;
г/в = 5р5 - 6г/4 = 5 •16 - 6 • 8 = 32.
Получили последовательность 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... . Возникает
естественное предположение, что уп = 2n_1. Чтобы убедиться в его
справедливости, проверим, выполняется ли для у п = 2П~1 заданное в
условии рекуррентное соотношение уп = §уп-\ ~ 6уп- 2Если уп = 2п~ \ то
= 2"-2, уп. 2 = 2П_3. Тогда
5уп-! - 6уп_2 = 5 • 2"-2 - 6 • 2П“3 = 2"*3 ■(5 • 2 - 6) =
= 2"-3 • 22 = 2П~1 = уп.
Рекуррентное соотношение выполняется, наша догадка подтвер­
дилась.
О твет

Уп =

2

" - 1.

ГЛАВА 4. ПРОГРЕССИИ

ПРИМЕР 4

Последовательность (уп) задана рекуррентно:
У\ = а , у п = y2a.i - 4yn-i + 4, если п > 1
При каких значениях параметра а последовательность является
стационарной?
| Последовательность (уп), у которой уг = а, будет стационар­
ной, если каждый её член равен а, в частности, уп = а,
£/„_! = а. Тогда рекуррентное соотношение

Решение

Уп = Угп-1 - 4г/„-1 + 4
принимает вид а = а2 - 4а + 4, т. е. а 2 - 5а + 4 = 0. Решив это уравне
ние, находим а х = 1, а2 = 4.
При а = 1 или при а = 4.

Среди рекуррентно заданных последовательностей особо выделя­
ют два простых, но важных случая: 1) указан первый член последо­
вательности ух = о и задано рекуррентное соотношение уп = j/n_x + d
( a n d — числа); 2) указан первый член последовательности ух = Ь и
задано рекуррентное соотношение уп = уп-\ • q (Ь и q — числа).
В первом случае говорят, что задана арифметическая прогрессия (см.
пример 3), во втором — что задана геометрическая прогрессия (см.
пример 4). Подробнее о прогрессиях речь пойдёт в § 23 и 24.

Вопросы для самопроверки
Что такое числовая последовательность?
Что значит задать последовательность аналитически? При
ведите примеры аналитически заданных последовательно
стей.
Приведите пример словесно заданной последовательности.
Что значит задать последовательность рекуррентно? При
ведите пример рекуррентно заданной последовательности.

§ 22. Свойства числовых последовательностей

193

СВОЙСТВА числовых
последовательностей
Числовая последовательность — частный случай числовой функции,
а потому некоторые свойства функций можно перенести и на после­
довательности.

Ограниченные последовательности
Определение 1
Последовательность (уп) называют ограниченной сверху, если суще­
ствует такое число М, что для любого п 6 N выполняется неравен­
ство уп < М. Иными словами, последовательность ограничена свер­
ху, если все её члены не больше некоторого числа.
Число М называют верхней границей последовательности. Ясно,
что если последовательность ограничена сверху, то у неё бесконечно
много верхних границ: М, М + 1, М + 2, М + 4, 5 и т. д.
Например, последовательность -1, -4, -9, -16, -25, ..., -л*2, ...
ограничена сверху; в качестве верхней границы можно взять чис­
ло -1 (или любое число, большее чем -1).

Определение 2
Последовательность называют ограниченной снизу, если существу­
ет такое число т , что для любого п 6 N выполняется неравенство
уп > т . Иными словами, последовательность ограничена снизу, ес­
ли все её члены не меньше некоторого числа.
Число т называют нижней границей последовательности. Напри­
мер, последовательность 1, 4, 9, 16, 25, ..., п2, ... ограничена снизу;
в качестве нижней границы можно взять число 1 (или любое число,
меньшее чем 1).
Если последовательность ограничена и сверху, и сни­
зу, то её называют ограниченной последовательностью.
ограниченность
Например, ограниченной является последовательность 1,
последовательно­
сти сверху (снизу)
верхняя
(нижняя)
граница
ограниченная по­
следовательность

1, 1, ..., - , ... . В качестве верхней границы можно
2 3 4
ть
взять число 1, в качестве нижней — число 0. Если по­
строить график этой последовательности, т. е. график
функции у = i , х € N, то можно заметить, что весь гра­
фик расположен в полосе между двумя горизонтальными

194

прямыми (в данном случае это у = 0 и
у
= 1 — рис. 164). Но в этом и состоит,
1
как известно, геометрический признак
X
ограниченности функции (см. § 17).
Особенно наглядным становится
У : =1
свойство ограниченности последователь­
- *-< Ь■* М
X
о
ности, если члены последовательности
L-JU 1- >- г- у - =0
м
отметить точками на числовой прямой.
__
Ограниченность последовательности оз­
начает, что все члены последовательности принадлежат некоторому
У,

\
[у

г

Рис. 164

отрезку. Так, изобразив члены последовательности Уп = ~ точками ни
числовой прямой, замечаем, что все они принадлежат отрезку [0; 1]
(рис. 165).

13
12 3 4 3
1

Рис. 165

X

L . _

JJ

L 2
_ 1 _

fit

Ш

Исследовать на ограниченность последовательность
1 1 . 1 . 1 .
. 1
Уя =
•Jn
VI + VI + VI + Vi
Решение

Чтобы было понятно, о какой последовательности идёт
речь, выпишем несколько её членов:

1 ^ 1

У2=VI

Vi’

h + sk
У3 = -77 +
+ -7=

VI

т. д .
Эта последовательность ограничена снизу: все её члены удовлет­
воряют неравенству у„ > 1. Выясним, является ли последователь­
ность ограниченной сверху. Рассмотрим её п-й член (п > 1):
1 1 1 , 1 ,
.1
yfn
Уп = Л
V5 VI + V I +

И

lip

Й|*

522.

Свойств
гва числовых

п о сл е д о в а те л ьн о сте й

В это й сум м е га сл а га е м ы х , п р и ч ё м н а и м е н ь ш и м

из н и х я в ­

ляется последнее слагаем ое -4=. З н а ч и т , у п > п • -Д=, т. е. уп > s/п .

\]п

sin

П о с к о л ь к у число \[п м о ж н о вы бра ть больш е лю бого заданного ч и сла
М, то и у п м ож н о вы брать больш е лю бого зад ан н ого чи сла М. Это
значит, что последовательность не о гр а н и ч е н а сверху.
П ослед овательн ость

О твет

о гр ан и чен а

снизу

и

не ограничена

сверху.

Монотонные последовательности
Определение 3
П оследовательность (уП) н азы ваю т в о з р а с та ю щ е й , если к а ж д ы й её
член (к р о м е первого) больш е преды дущ его:

У\ < Уг < Уъ к У* <

< Уп- 1

Уп < ••• •

Н а п р и м е р , п оследовательность 1, 4, 9, 16, 2 5 , ... , га2, ... — возрас­
таю щ ая.

Определение 4
П ослед о вательн ость (уп) н а зы в а ю т у б ы в а ю щ е й , если к а ж д ы й её
член (к р о м е первого) м е н ь ш е преды дущ его:

Ух> Уг> Уз>

1/4 > ••• >

Уп- 1 > Уп >

1 —
1 , —,
1
Н а п р и м е р , п оследовательность 1
1, —,

©

2 ’ 3’ 4 ’

Л

возрастающая по
следовательность

убывающая
последователь­
ность
монотонная
последователь­
ность

— •

1
л’ "

убы ваю щ ая.

В о з р а с т а ю щ и е и у б ы ваю щ и е послед о вательн ости об ъ ­
е д и н я ю т о б щ и м те р м и н о м — м о н о то н н ы е п о сл е д о в а те л ь ­
н ости . Н а п р и м е р , последовательности 1, 4 , 9, 16, 2 5 , ...,
га2, ... и 1,
те л ьн о сть 1,

|,

...,
|,

... — м о н о то н н ы е , а п оследова­
.. ., ( - l ) " ' 1! » ••• — не м о н о то н н ая .

И сс л е д у ю т послед овательн ости на м о н о то н н о сть с п о ­
м о щ ь ю п р и в е д ё н н ы х в ы ш е определений, н о и н о гд а б ы в а ­
ет уд обн о и сп ол ьзовать следую щ ее д остаточн о очевидное
утверж д ен и е: если функция у = f(x) возрастает ( убыва-

ГЛАВА 4. ПРОГРЕССИИ

ет ) на луке [1; +°°)> т0 последовательность уп = f(n) возрастает
(убывает). Например, функция у = х 2 возрастает на луче [1; +°о) и
последовательность уп = п2 возрастает; функция У - ~ убывает н а лу­
че [1; +°о) и последовательность у п - — убывает.

т ш
ПРИМЕР 2

■

■

■

■

шшяш

Исследовать на монотонность последовательность у п = — .

тт
Решение

Выпишем n-й и (га + 1)-й члены последовательности: уп = —,
5п
у п+1

Чтобы сравнить эти члены, составим их раз­

=

ность и оценим её знак:
-■Жж

jj|p
щ т

_ (п + I)2
Уп+1

Уп ~

- п +1

л2 _ (га2 + 2га + 1) - 5га2 _ 2га + 1 - 4га2
-л —

5n +1

5n +1

Для натуральных значений га справедливы неравенства 2ге < 2га2
и 1 < 2га2. Сложив их, получим 2га + 1 < 4га2. Значит, для любых на„

2га + 1 - 4га2 ^ л

туральных значении га справедливо неравенство--------------- < I), т. е.
Уп+ 1 ~ У п < 0 .

Итак, для любых натуральных значений га выполняется неравен­
ство yn+i < уп, а это значит, что последовательность (уп) убывает.

ПРИМЕР 3

Исследовать на монотонность последовательность у п = — -— —т=.
га‘ + 2sin
. Здесь х > 0, знамена­
2л/ж
тель дроби с увеличением х увеличивается, значит, дробь 2 1 х +2tyjх

Решение

'• ''/ / / .'.'• Л

Рассмотрим функцию у = —

уменьшается и, соответственно, значение выражения — -— = уве*
х с + 2у]х
личивается. Отсюда вывод: функция возрастает при х > 0, а зна­
чит, возрастает и на луче [1; +°°). Но тогда и последовательность
Уп = — г Л г т = возрастает.
га2 + 2

Последовательность (i/„) задана рекуррентно:
Ух = а , у п = у \- 1 - 3уп-i - 5, если п > 1.
Доказать, что при а > 5 последовательность является возрастаю­
щей.
Последовательность (уп) будет возрастающей, если уп > уп-х
для любого номера п > 1. Воспользовавшись заданным ре­
куррентным соотношением, запишем интересующее нас неравенство
в виде

Решение

Угп-1 ~ 3Уп-1 ~ 5 > Уп-\

М

и решим его, положив для удобства у„-х = t:
t2 - 3t - 5 > t; t2 - At - 5 > 0; t < -1, t > 5.
Случай, когда t < -1, т. e. yn-\ < -1. нас явно не интересует,
в этом случае последовательность не может быть возрастающей, по­
скольку по условию Ух = а > 5. Остаётся случай t > 5. Если t > 5,
т. е. уп-х > 5, то неравенство (1) выполняется, значит, уп > уп-хДалее будем рассуждать так. По условию уг = а. Если а > 5, т. е.
Ух > 5, то выполняется неравенство у2 > Ух• Отсюда следует, что
у2 > 5, но тогда выполняется неравенство у3 > у2. Отсюда следует,
что уз > 5, но тогда выполняется неравенство у4 > у3 и т. д. Тем са­
мым доказано, что заданная последовательность при а > 5 возрас­
тает.

Вопросы для самопроверки
Какую последовательность называют: а) возрастающей;
б) убывающей?
Приведите пример: а) возрастающей последовательности;
б) убывающей последовательности; в) немонотонной после­
довательности .
Какую последовательность называют: а) ограниченной сни­
зу; б) ограниченной сверху; в) ограниченной?
Приведите пример последовательности: а) ограниченной
снизу; б) ограниченной сверху; в) ограниченной; г) не огра­
ниченной ни снизу, ни сверху.

ГЛАВА 4. ПРОГРЕССИИ

АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
Основные понятия
Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со
второго, равен сумме предыдущего члена и некоторого числа d, на­
зывают арифметической прогрессией, а число d — разностью ариф­
метической прогрессии.
Таким образом, арифметическая прогрессия — это числовая последо­
вательность (ап), заданная рекуррентно соотношениями:
арифметическая
прогрессия

cl\

—а,

йп

— й ц -1

"4“

d

(л = 2, 3, 4, ...)

( a n d — заданные числа).
Можно ли, глядя на числовую последовательность,
установить, является ли она арифметической прогресса
ей? Можно. Если вы убедились в том, что разность между любым
членом последовательности и предшествующим ему членом постоя н
на (т. е. а2 - Ч\ = а3 - а2 = а4 - а3 = ...), то перед вами — арифметиче­
ская прогрессия. Разумеется, при этом предполагается, что обнару­
женная закономерность выполняется не только для явно выписан­
ных членов последовательности, но и для всей последовательности п
целом. Приведём примеры.
1. 1,3, 5, 7, 9, 11, ... . Это арифметическая прогрессия, у которой
аг = 1, d = 2.
2. 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, -1 , -4 , ... . Это арифметическая прогрее
сия, у которой ах = 20, d = -3.
3. 8, 8, 8, 8, 8, 8, ... . Это арифметическая прогрессия, у которой
а г = 8, d = 0.
Арифметическая прогрессия является возрастающей последови
тельностью, если d > 0 (см. пример 1), и убывающей, если d < 0 (см.
пример 2).
Для обозначения того, что последовательность (а„) является ариф
метической прогрессией, иногда бывает удобна следующая запись:
+ etj, а2, а2, ..., ап, ... .
Значок + заменяет словосочетание «арифметическая прогрессия*.

Если в арифметической прогрессии отбросить все члены, следую­
щие за каким-то конкретным членом последовательности, например
за ап, то получится конечная арифметическая прогрессия
+ а 4, а%, а3, ,•■! ап.
Иногда в конечной арифметической прогрессии удобно записы­
вать не только несколько членов в начале, но и несколько членов в
конце, например так:
+ Cli,

&8» •••» ®п-2> ®л-1>

В следующих пунктах этого параграфа рассмотрим наиболее важ­
ные свойства арифметической прогрессии.

Формула n-го члена арифметической
прогрессии
Задание арифметической прогрессии, о котором идёт речь в опреде­
лении, является рекуррентным. Во многих случаях оно неудобно,
чтобы вычислить, например, а100, надо предварительно найти пред­
шествующие 99 членов последовательности. Эту вычислительную ра­
боту можно существенно упростить, если удастся найти формулу
л-го члена, т. е. перейти к аналитическому заданию арифметиче­
ской прогрессии.
Рассмотрим арифметическую прогрессию аг, а2, as, ..., а„, ...
с разностью d:
а 1 = а4,
а% —fli + d,
а3 = а2 + d = (aj + d) + d = a 4 + 2d,
a4 = аз + d = (aj + 2d) +d = a 1 + 3d,
a 5 = a4 + d = (a1 + 3d) +d = a l + 4 d n т. д .
Нетрудно догадаться, что для любого номера п справедливо ра
венство
(1)
Д„ = °1 + (П ~ l ) d «Нетрудно догадаться», «можно сообразить» и т. д.
это стили­
стические обороты из области интуиции. Разумеется, математики
ими пользуются, но в основном для открытия каких-то новых фак­
тов, а не для их обоснования. Формулу (1) мы «прочувствовали», но
не обосновали. Приведём доказательство.
Если л = 1, то а г = а4 + (1 - Щ — верное равенство, т. е. форму­
ла (1) для п = 1 верна.
Предположим, что формула (1) вернадля натурального числа
п = k, т. е. предположим, что верно равенство ak = ах + (k - 1)d. Дока-

■
fJZj

шшшштящ
” *f

J щи»»— ЩЧ— r -

Ш

ГЛАВА 4. ПРОГРЕССИИ

жем, что тогда формула (1) верна и для следующего натурального
числа п = k + 1, т. е. докажем, что а к+1 = а х + hd.
В самом деле, по определению арифметической прогрессии
а к+\ - а к + d, значит,
а*+1 = а* + d = ( й! + (ft - l)d) + d = а г + kd.
А теперь смотрите: для n - 1 формула (1) верна (это мы провери­
ли). Далее мы доказали, что если формула (1) верна для числа п = k,
то она верна и для п = k + 1. Итак, формула (1) верна для л = 1, зна­
чит, она верна и для п —2; так как она верна для п = 2, то она верна
и для п = 3 и т. д. Значит, формула (1) верна для любого натурально­
го числа п.
Приведённый метод рассуждений носит название метод м атем а
тической индукции (подробнее мы поговорим о нём в § 25).
Запишем формулу л-го члена арифметической прогрессии
а п = aj + (л - 1)d в виде а п = dn + (aj - d) и введём обозначения:
а п = у, а х - d = т . Получим у = dn + т , или
у = dx + т , х € N.
Значит, арифметическую прогрессию можно рассматривать как
линейную функцию (у = dx + т ) , заданную на множестве N на
туральных чисел. Угловой коэффициент этой линейной функции ра­
вен d — разности арифметиче­
г/.
ской прогрессии. На рис. 166 схе­
матически изображён график
Г-'
арифметической прогрессии —
l'
\
изолированные точки на прямой
L 2
,г 4Г '
(с абсциссами х = 1 , х = 2, х = 3
Iй
X
о
4
3
|_1 0
„Л
и т. д.).
«- Вернёмся к двум примерам,
рассмотренным выше.
1) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... . Это арифметическая прогрессия, у ко­
торой а г = 1, d = 2. Составим формулу л-го члена:
а п= Д] + (л - 1)d\
ап= 1 + (л - 1) • 2;
а п= 2п - 1
(заметим, что эту формулу нетрудно было угадать, глядя на задан­
ную последовательность нечётных чисел 1, 3, 5, 7, ...).
2) 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, -1, -4, ... . Это арифметическая прогрес­
сия, у которой а г = 20, d = -3. Составим формулу n-го члена:

Л

Рис. 166

■

■

а п= а г + (п - 1)d\
a „= 20 + (л - 1) • (-3);
а„ = 23 - Зл.

§23 •Арифметическая прогрессия
И Ё В В В Ш Н И В М Ш м п п яи н яам яввВ Ш В М

Дана арифметическая прогрессия а ,, а 2, а 3, ... , а„, ... .
а) Известно, что аг = 5, d = 4. Найти а22.
б) Известно, что at = -2 , d = 3, а„ = 118. Найти п.
в) Известно, что d = -2, о39 = 83. Найти а х.
г) Известно, что а х = 7, а 16 = -35. Найти d.

а)
б)
в)
г)

Во всех случаях в основе решения лежит формула п-го чле­
на арифметической прогрессии
а„= fli + (п - l)d.
а22 = + 21d = 5 + 21 • 4 = 89.
118 = -2 + (п - 1) • 3;
118 = Зп - 5;
п = 41.
83 = a t + 38 • (-2);
aj = 159.
-35 = 7 + 14d;
d = -3.
а) 89;

б) 41;

в) 159;

г) -3.

При делении девятого члена арифметической прогрессии на второй
её член в частном получается 7; при делении десятого члена прогрес­
сии на её пятый член в частном получается 2 и в остатке 5. Найти
двадцатый член этой прогрессии.
Условия задачи можно кратко записать так:
1) +

flj,

а 2* а 3.

•••>

2) а9 = 7о2;
3) аю = 2а5 + 5.
Воспользовавшись формулой п-то члена арифметической прогрес­
сии, получим:
а9 —fli + 8d;
д2 —flj + d;
flio
+ 9d;
a5 = ax + 4d.
Тогда второе условие задачи (ад = 7а2) можно записать в виде
ах + 8d = 7(at + d),
т. е.
d = 6ai.
—

ГЛАВА 4. ПРОГРЕССИИ

Ш
Л

Третье условие задачи (а]0 = 2а 5 + 5) можно записать в виде
а х + 9d = 2(аг + 4d) + 5,
т. е.
d = а х + 5.
В итоге получаем очень простую систему двух линейных уравне­
ний с двумя переменными
и d:
\d = 6 alt
[d = a t + 5.

II

I

Решив систему, находим, что а г = 1, d = 6.
Осталось вычислить двадцатый член прогрессии:
а20 = ai + 19d = 1 + 19 • б = 115.

ПРИМЕР 3

Могут ли числа 0, 37 и 2-УГз быть членами одной арифметической
прогрессии?
Решение

Предположим, что эти числа являются членами одной
арифметической прогрессии; пусть первый член прогрес­
сии равен а, а разность прогрессии равна d. Тогда 0 = а + kd,
37 = а + md, 2^Тз = а + pd, где k, т , р — попарно различные целые
неотрицательные числа. Вычтя первое равенство из второго, полу
чим 37 = d(m - k); вычтя первое равенство из третьего, получим
2^13 = d ip - k). Значит,

т. е. УТз =

Получи­

лось, что х/Гз — рациональное число, что неверно. Значит, наше
предположение неверно, т. е. заданные числа не являются членами
одной арифметической прогрессии.

з

Формула суммы членов конечной
арифметической прогрессии

Пусть дана конечная арифметическая прогрессия
+ a j , а 2 > Оз» . . . , о л -2» e n- i .

Обозначим через S„ сумму её членов:
= a x + a 2 + а 3 + ... + а„_2 + a„-i + а„.

ННЖ

Рассмотрим конкретный пример отыскания S n, Дана конечная
арифметическая прогрессия 1, 2, 3, .... 98, 99, 100. Сумму её членов
вычислим следующим образом:
S 100 = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 =
= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... + (50 + 51) =
= 101 + 101 + 101 + 101 + ... + 101 = 101 • 50 = 5050.
50 слагаемых

Есть легенда, что этот способ вычис­
ления указанной суммы в возрасте пяти
лет использовал К. Ф. Гаусс, которого
считают величайшим математиком всех
времен и называют королем матема­
тики.
Примерно та же идея используется
для вычисления суммы членов произ­
вольной конечной арифметической про­
грессии.
Для начала заметим, что

Ырл Фридрих Гаусс (1777—1855), не-

а 2 + а п - 1 = « 1 + а п-

м'цкий математик, физик, астроном.
( делал ряд фундаментальных научных
«ГКрытий. Органично сочетал исследоишия в теоретической и прикладной
««тематике.

В самом деле, по определению ариф­
метической
прогрессии
а2 = ау + d,
an- i = ап - d. Значит,
«2 + fln-i = («1

+ d) + ( ап - d) = а г + а„.

Аналогично можно установить, что

а3 + а п- 2 = а г + Оп-1

= «1 +

ап

и вообще сумма члена, находящегося на k-м месте от начала конеч­

S8 Ь ;-гщ

\t

ш

КННШ

ной арифметической прогрессии, и члена, находящегося на k-м ме­
сте от её конца, равна сумме первого и последнего членов прогрес­
сии: ак + ап _ k +. j = а г + ап.
Теперь вычислим S n. Имеем:
S„ = а у + а2 + а3 + ... + а„_2 + a„-i + а п,
Sn = ап +
+ а„_2 + ... + а3 + а2 + a t .
Сложив эти два равенства, получим
2 S n = (a t + ап) + (а 2 + a B_j) + (а 3 + а„_2) + ... +
+ (а„_ 2 + а3) + (а„_! + а 2) + (а„ + аг).
В правой части этого равенства п пар слагаемых, каж дая пара,
как мы установили выше, равна аг + ап. Значит,
2S n = п(а1+ а п).

204

Формула суммы первых п членов арифметической прогрессии:
с, _ п(ах + ап)
п
—

•

• нм
Дана арифметическая прогрессия
1 = 3, д = | .
3 5 - 1 — __— ^
’ 5 ’ 2 5 ’ 125

Это геометрическая прогрессия,

которой Ьг = 5, q = - i .
Это геометрическая прогрессия, у которой
4 . 8, 8 , 8 , 8, 8, 8 , ..
Ьх = 8, q = 1.
Заметим, что эта последовательность является и арифметической
прогрессией.
Е сли последовательность
Ь1, Ь3, ^3> •••» Ьп, •••
являет ся геометрической прогрессией, то и последовательность
квадратов, т. е.
Ъ2, bi, b i, . . . , b 2, . . . ,
являет ся геометрической прогрессией. У второй геометрической
прогрессии первый член равен b f, а знаменатель равен q2.
Геометрическая прогрессия являет ся возрастающей последова
тельностью, если Ьх > 0 , q > 1 (см. выше первый пример), и убываю
щ ей, если Ьх > 0, 0 < q < 1 (см. второй пример).
Для обозначения того, что последовательность (Ь„) является гео­
метрической прогрессией, иногда удобна следующая запись:
“ Ь\, Ь3, Ь3, . . . , Ьп, ... .
Значок тт заменяет словосочетание «геометрическая прогрессия».
Если в геометрической прогрессии отбросить все члены, следую­
щие за Ь„, то получится конечная геометрическая прогрессия
~ bi, b3, b3, . . . , bn~2» bn~i, bn.

Формула n-ro члена геометрической
прогрессии
Рассмотрим геометрическую прогрессию by, Ь2, Ь3, ..., Ьп, ... со знаме­
нателем q. Имеем:
Ьу -

Ьу,

b2 = byq,
b3 = b2q = (bxq)q = byq2,
b4 = b3q = ( byq2)q = byq2,
b5 = b4q = (byq3)q = bxq4 и т. д.
Например, bg = byq7, b100 = byq". Приходим к следующему выводу:
Формула л-го члена геометрической прогрессии:

К = Ъудл 1

(1 )

Докажем эту формулу методом математической индукции, о ко­
тором мы говорили в предыдущем параграфе (п. 2). При п = 1 форму­
ла (1) принимает вид by = by, т. е. формула верна. Предположим, что
она выполняется при п = k, т. е. предположим, что равенство
bk = blqk~1 верное. Докажем, что тогда формула (1) верна и для
n = k + 1, т. е. докажем, что тогда выполняется равенство bk+1 = bxqk.
В самом деле, bh+l = bhq =
= byqk. Итак, формула (1) вы­
полняется при п = 1, и из того, что она верна для п = k, следует, что
она верна для п = k + 1. Значит, формула (1) верна для любого п € N.
Перепишем формулу л-го члена геометрической прогрессии
bn = byqn_1 в виде

и введём обозначения: Ьп = у, — = т. Получим у = m qn, или, подробнее,

Я

у = mqx, х 6 N.
Аргумент х содержится в показателе степени, поэтому такую
функцию называют показательной функцией. Значит, геометриче­
скую прогрессию можно рассматривать как показательную функ­
цию, заданную на множестве N натуральных чисел.
На рис. 167 изображён график функции у = 2х, х € N, а на
рис. 168 — график функции

=

, х € N . В обоих случаях полу­

чаем изолированные точки (с абсциссами х

= 1,

х

=

2, х

=

3 и т. д.),

i i______
f l H Ш _ ill Ш Ш У Ш

.

А

ь ,ч

—

ГЛАВА 4. ПРОГРЕССИИ

У,

i

/

-X

Г-

LO*

/
/

'

1\

1
1

~1
/
/

1
2
—1
41
8
О

/
_.

о

,

••• 5

2) Ъ7 - Ъъ = 48;
3) Ъъ + Ь6 = 48.
Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии:
b7 = bxq6; Ьъ = bxq4; Ъ6 = М 5Тогда второе условие задачи (Ь7 - Ьь = 48) можно записать в виде
bxq6 - bxq4 = 48,
т. е.
big*(q2 - 1) = 48.
Третье условие задачи (Ь5 + Ь6 = 48) можно записать в виде
bxq4 + bxq5 = 48,
т. е.
bxq \q + 1) = 48.
В итоге мы получили систему двух уравнений с двумя перемен­
ными Ьх и q:
\bxq 4 q 2 ~ 1) = 48,
\bxq4 q +1) = 48.
Приравняем левые части обоих уравнений системы:
bxq \q 2 - 1) = bxq \q + 1 );
q2 - 1 = q + 1
(мы разделили обе части уравнения на выражение bxq4, отличное от
нуля).

;|В Ш

ГЛАВА 4. ПРОГРЕССИИ

216

Из уравнения q2 - q - 2 = 0 находим: ^з, •••> Ь„, ... . Рассмо­
трим три её члена, следующие друг за другом: Ъп. и bn, Ь„+1. Извест­
но, что
—
b
q ~—Ьп-1’
bnQ = Ьп+1.
Перемножив эти равенства, получим:
Ьп

*

Ь в - l b n + l.

Это значит, что квадрат каждого члена геометрической прогрес­
сии (кроме первого и последнего) равен произведению предшествую­
щего и последующего членов этой прогрессии.
Верно и обратное: если последовательность (Ьп), где Ьп Ф 0, тако­
ва, что для любого п > 1 выполняется равенство
b\ = bn~ibn+i,

то (Ьп) — геометрическая прогрессия.
В самом деле, последнее равенство можно переписать так:
Ьп • Ьп- \ —bn+i : Ьп.

Это значит, в частности, что Ь2 : Ьх = Ь3 : Ъ2 = Ь4 : &3 и т. д. Иными
словами, отношение любого члена последовательности к предшеству
ющему члену всегда одно и то же, а это и означает, что задана гео
метрическая прогрессия.
Фактически мы доказали следующую теорему.

Числовая последовательность, все члены которой отличны от нуля,
является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда
квадрат каждого её члена, кроме первого (и последнего, в случае
конечной последовательности), равен произведению предшествую­
щего и последующего членов.

В предыдущем параграфе мы получили характеристическое свой­
ство арифметической прогрессии: любой её член (кроме крайних) ра­
вен среднему арифметическому предыдущего и последующего чле­
нов. Обратимся теперь к характеристическому свойству геометриче­
ской прогрессии и выполним некоторые преобразования:
Ь2
п - b n-ibn + i’
,

\ьл\ = Jbi =
Число -Jab называют средним геометрическим чисел а и Ь. Таким
образом, последнее равенство означает, что модуль любого члена гео­
метрической прогрессии равен среднему геометрическому предыду­
щего и последующего членов. В такой формулировке аналогия между
характеристическими свойствами арифметической и геометрической
прогрессий становится отчётливей.

■ЕШШХ1Н
При каком значении х числа 10х + 7, 4х + 6 и 2х + 3 образуют гео­
метрическую прогрессию?
Согласно характеристическому свойству заданные выра­
жения должны удовлетворять соотношению
(4х + 6)2 = (10х + 7)(2х + 3).
Решим это уравнение:
16х2 + 48х + 36 = 20х2 + 44х + 21;
4х2 - 4х - 15 = 0;
х i = 2,5, х 2 = -1 ,5 .
Подставляя хх = 2,5 в заданные выражения 10х + 7, 4х + 6, 2х + 3,
находим соответственно: 32, 16, 8. Это конечная геометрическая
прогрессия. Подставляя х2 = -1 ,5 в заданные выражения 10х + 7,
4х + 6, 2х + 3, находим соответственно: -8 , 0, 0 — это не геометриче­
ская прогрессия.
2,5.

ГЛАВА 4. ПРОГРЕССИИ

Разные задачи на прогрессии

ИИВЯЯЙ

Взяли три числа, которые образуют конечную возрастающую гео­
метрическую прогрессию. Заметили, что если второе число увели­
чить на 2 , а первое и третье числа оставить без изменения, то полу­
чится арифметическая прогрессия. Если после этого третье число
увеличить на 9, то снова получится геометрическая прогрессия. Ка­
кие три числа были взяты сначала?
________ Условия задачи можно кратко записать так:
1) а Ь\, Ь2, Ь3,
2) + Ъи Ь2 + 2, Ь3;
3) by, b2 + 2, i>3 + 9.
Согласно характеристическому свойству арифметической про­
грессии условие 2 ) означает, что
. о _

h

+ьз .

2

’

2 (bxq + 2) = Ьх + bxq2;
M l + Я2 - 2q) = 4.
Согласно характеристическому свойству геометрической прогрес­
сии условие 3) означает, что
(&2 + 2)2 = М&з + 9);
( М + 2)2 = М М 2 + 9);
bfq2 + 4 bxq + 4 = b[q2 + 9М
fe,(9 - 4q) = 4.
Таким образом, получаем систему двух уравнений с двумя пере­
менными bi и q:
\b1(l + q2 - 2 q ) = 4,
[ M 9 - 4 g ) = 4.

Приравняв левые части обоих уравнений системы, получим:
M l + Ф - 2?) = М 9 - 4(7);
1 + q2 - 2q = 9 - 4q
(мы разделили обе части уравнения на число М отличное от нуля);
+ 2q - 8 = 0 ;