Космический полет с солнечным парусом: проблемы и перспективы [Елена Николаевна Поляхова] (pdf) читать онлайн

МЕХАНИКА КОСМИЧЕСКОГО ПОЛЕТА

Е.Н. ПОЛЯХОВА

КОСМИЧЕСКИЙ
ПОЛЕТ
СОЛНЕЧНЫМ
ПАРУСОМ
ПРОБЛЕМЫ И ПЕРСПЕКТИВЫ
Под редакцией В.А. Егорова

МОСКВА "НАУКА”
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
19 8 6

ББК 39-62
П54
УДК 629.785

Полякова Е.Н. Космический полет с солнечным парусом:
проблемы и перспективы. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат.лит.,
1986. - 304 с. - (Механика космического полета) .
Излагается теория космического полета с двигателем особого
типа - солнечным парусом, создающим малую, но непрерывно
действующую тягу, благодаря давлению на него солнечного света.
Рассматриваются полеты с солнечным парусом как в околоземном
пространстве, так и в направлении планет Солнечной системы, напри­
мер, к Марсу, а также - ближе к Солнцу - к Венере и Меркурию.
Излагаются советские и иностранные проекты перелетов и конст­
рукций солнечного паруса.
Для специалистов в области космической техники и всех, кто
интересуется теорией космического полета.
Табл. 10. Ил. 125. Бнблиогр. 225 назв.
Рецензент
доктор физико-математических наук ВЛ. Егоров
Елена Николаевна Полякова

КОСМИЧЕСКИЙ ПОЛЕТ С СОЛНЕЧНЫМ ПАРУСОМ:
ПРОБЛЕМЫ И ПЕРСПЕКТИВЫ
Серия "Механика космического полета", № 19

Редактор М.К. Ермолова
Художественный редактор Т.Н.Кольченко
Технические редакторы С.В. Геворкян, В.Н. Никитина
Корректоры Н.М. Кузьмина, Е.Ю. Рычагова
Набор осуществлен в издательстве
на наборно-печатающих автоматах
ИБ № 12895
Сдано в набор 24.03.86. Подписано к печати 10.07.86
Т—16703. Формат 84 х 108 1/32. Бумага офсетная
Гарнитура Пресс-Роман. Печать офсетная. Усл.печл. 1 5,96
Усл.кр.-отг I 5,96. Уч.-изд. л. 1 8,59. Тираж 19 50 экз.
Тип.зак 150 Цена Зр. Юк.
Ордена I рудового Красного Знамени
издательство "Наука”
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-7 1, Ленинский проспект, 15
4-я типография издательства "Наука”
630077 г.Новосибирск-77, ул.Станиславского, 25

1703030000 -135
П —--------------------- 80-86
053 (02)-86

©Издательство "Наука”.
Главная редакция
физико-математической
литературы, 1986

Посвящается 100-лстию
со дня рождения
пионера советской
космонавтики Ф.А. Цандера
(1887-1933)

ПРЕДИСЛОВИЕ

Одна из наиболее сложных проблем конца XX века — проблема
обеспечения человечества энергией. Острота этой проблемы вызва­
на резким увеличением потребности в энергии, сокращением запа­
сов традиционных энергоресурсов и рядом других причин. Один из
путей экономии топлива — использование возобновляющихся,
"вечных” источников энергии. К таким энергоресурсам в первую
очередь относится энергия солнечных лучей, как тепловая, так и
механическая. Эти "вечные” и к тому же экологически чистые
энергорссурсы не требуют также и затрат на транспортировку их
к месту потребления.
Сказанное затрагивает и космонавтику. Проблеме полной или
частичной замены энергии реактивных двигателей космического
аппарата "даровой” механической энергией светового давления
способной создать хотя и малую, но вполне ощутимую силу тяп
в космическом пространстве, и посвящена эта книга. В ней расска
зывается, в каких случаях и какими способами разумно использо­
вать в космосе механические свойства светового потока, чтобы
реализовать новый способ передвижения в космическом простран­
стве — с помощью солнечного паруса. Дается описание ряда инте­
реснейших задач динамики космического полета с солнечным
парусом, оцениваются перспективы использования механической
энергии солнечных лучей.
Приоритет в области разработки проекта межпланетного переле­
та при помощи солнечного паруса-зеркала принадлежит замечатель­
ному советскому ученому, одному из выдающихся основополож­
ников теоретической и практической космонавтики — Фридриху
Артуровичу Цандеру, столетие со дня рождения которого будет
отмечаться в 1987 году. Свой проект Ф.А. Цандер разработал еще
в 20-е годы. С тех пор идея передвижения в космическом простран­
стве с помощью давления солнечного света, сформулированная
и обоснованная в работах Ф.А. Цандера, неизменно привлекает
ученых сравнительной простотой ее реализации и ее перспектив­
ностью для обеспечения маневренных возможностей космического
аппарата без существенных энергетических затрат. Например,
1

3

разумно управляя солнечным парусом, можно разогнать космичес­
кий аппарат по спиральной траектории вокруг Земли и выйти в
межпланетное пространство, причем аппарат с парусом сможет и
далее двигаться под действием солнечных лучей, выполняя полет
как к Солнцу, так и от Солнца — в зависимости от закона управ­
ления солнечным парусом. Солнечные паруса могут оказаться
пригодными не только для длительных межпланетных перелетов,
но и для вспомогательных космических маневров: около­
земных межорбитальных переходов, корректирующих манев­
ров и т.д.
При современном уровне развития техники и космической
технологии создание космических аппаратов, оснащенных обшир­
ными солнечными парусами — космическими движителями, —
считается уже практически выполнимым, так как изготовление
тончайших полимерных пленок, необходимых для изготовления
самого солнечного паруса, уже находится на уровне современных
технических возможностей. Тем более реальным представляется
создание небольших солнечных парусов, предназначенных в качест­
ве вспомогательных движущих средств для коррекции орбитально­
го или стабилизации углового положения космического аппарата.
1озможно, уже в недалеком будущем появятся космические
орабли с простейшим из космических движителей — солнечным
арусом, приводимые в движение неиссякаемой энергией солнеч­
ных лучей.
Неудивительно, что все эти соображения привлекают присталь­
ное внимание исследователей, интересующихся проблемами созда­
ния солнечных парусов будущего, перспективностью разумного
использования механических свойств светового потока, идущего от
Солнца. Ошибаются те, кто считает, что полет с солнечным пару­
сом — это что-то из области научной фантастики. Дело обстоит
как раз наоборот.
Процесс "старения” идей в современной научно-фантастической
литературе идет очень быстро, поскольку современная наука все
время догоняет научную фантастику и, образно говоря, "наступает
ей на пятки”. Поэтому писатели-фантасты вынуждены в своих
идеях все время опережать науку. Однако в отношении идеи
космического полета с солнечным парусом можно наблюдать
прямо противоположное: научные разработки парусных проектов
оказываются зачастую столь феерическими и захватывающи­
ми воображение, что оставляют далеко позади фантазию пи­
сателей.
Настоящая книга рассчитана на широкий круг читателей, интере­
сующихся проблемой космического гРолета с солнечным парусом,
возникновением и развитием этой плодотворной научной идеи,
4

а также современным состоянием этой проблемы, характеризую­
щимся созданием разнообразных проектов парусных перелетов
будущего. При работе над рукописью автор стремился суммиро­
вать знания, накопленные в литературе по динамике полета с
солнечным парусом, тем более, что число публикаций на эту тему
достаточно велико. Материал излагается, как правило, в хроноло­
гическом порядке, что позволяет уловить оттенки исторического
развития "парусной проблемы” как целого, а также сформулиро­
вать ее перспективы.
Стремясь сделать чтение книги доступным для всех, кто интере­
суется проблемой парусных перелетов, автор старался при изложе­
нии вопросов теории избегать громоздких выводов, затрудняющих
наглядное изложение эволюции этой проблемы. Как кажется
автору, для восприятия предлагаемого теоретического материала
не требуется специальных знаний по динамике космического
полета, с малой тягой в частности, или по математическим методам
теории оптимизации космических маневров. В случае необходимо­
сти читатель может почерпнуть все недостающие сведения в много­
численных книгах по динамике космического полета, например в
книге Г.Л. Гродзовского, Ю.Н. Иванова, В.В. Токарева "Механика
космического полета: проблемы оптимизации” (М.: Наука, 1975)
где теоретические основы механики космического полета излага
ются с исчерпывающей полнотой.
Идея создания книги о солнечном парусе появилась как вполне
закономерный итог многочисленных полезных обсуждений вопро­
сов динамики парусного движения в космосе, регулярно проводив­
шихся на Чтениях, посвященных разработке научного наследия
и развитию идей Ф.А. Цандера, в работе которых автору неодно­
кратно доводилось принимать участие. Эти обсуждения касались
нс только объема и последовательности расположения материала
планируемого монографического обзора, но и целесообразности
завершения такой работы к столетнему юбилею выдающегося
ученого. В этой связи автор пользуется приятной возможностью
поблагодарить Б.В. Раушенбаха и М.С. Константинова за постоян­
ное внимание к теме.
При работе над рукописью автор неоднократно советовался со
своими коллегами по кафедре небесной механики Ленинградского
государственного университета, а также с рядом специалистов, чьи
оригинальные публикации по проблемам парусных перелетов и
смежным с ними проблемам в той или иной степени нашли свое
отражение в рукописи. Всем им автор выражает свою признатель­
ность. В частности, автор благодарен Л.К. Гриневицкой, Б.И. Моркову, С.С. Лукьянову и А.М. Яншину за ряд полезных замечаний
по поводу изложения отдельных разделов книги и А.С. Шмырову
5

за критический анализ и энтузиазм при обсуждении вопросов
управления солнечным парусом. Свою искреннюю благодарность
автор приносит также В.А. Егорову, взявшему на себя нелегкий
труд редактирования рукописи. Его критические замечания и
конкретные советы во многом способствовали улучшению
книги.
Автор будет рад узнать мнение читателей о книге и надеется,
что предлагаемая публикация послужит увеличению числа энту­
зиастов и приверженцев идеи космического полета с солнечным
парусом в целях мирного освоения космоса.

ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Открытие светового давления

Догадки о возможности существования светового давления
закрадывались в головы ученых уже несколько столетий назад, а
дискуссия по вопросу существования светового давления и его
возможной роли как динамического космического фактора имеет
более чем трехсотлетнюю давность. Еще в 1619 г. Иоганн Кеплер
в своей знаменитой ”Орега отгна” высказал вполне определенно
гипотезу о том, что необычная характерная форма кометных хво­
стов и их отклонение обязаны своим происхождением механичес­
кому отталкивающему действию солнечных лучей, т.е. световому
давлению. От утверждал, что лучи света производят давление
на тела, на которые они падают, и стремятся двигать эти тела в
направлении распространения света [В. 1, с. 110].
Гипотеза И. Кеплера о давлении света, основанная на тогдашне!
теории "испускания световых частичек”, т.е. на теории истеченю
света, получила дальнейшее теоретическое обоснование в тех
представлениях о природе света, которые долгое время спустя —
вплоть до начала XIX столетия — считались основами физики.
Теоретические исследования, а также неоднократные эксперимен­
тальные попытки обнаружения светового давления связаны с име­
нами столь выдающихся ученых, как Л. Эйлер (1746 г.), А. Фре­
нель (1825 г.), Ф. Бессель (1836 г.), В. Крукс (1874 г.) и др.
Известно, например, что Леонард Эйлер, будучи убежденным про­
тивником ньютоновой эмиссионной теории света, приписывал
световому лучу силу давления, опираясь на волновую теорию света
X. Гюйгенса, и рассматривал световую волну как продольное
колебание. Однако лишь в 1873 г. английскому физику Джеймсу
Максвеллу (1831 - 1879 гг.), основываясь на электромагнитной
волновой теории света, ставшей господствующей к тому времени,
удалось теоретически совершенно точно предсказать величину
светового давления. Именно Дж.Максвеллу принадлежит заслуга
теоретического обоснования динамической сущности этого явления
на основе разработанной им теории электромагнитного поля: в
своем знаменитом учебнике он устанавливает, что между яркостью
луча и производимым им давлением должно существовать вполне
определенное количественное соотношение [В. 2, с. 402].
7

В то же время все многочисленные попытки обнаружить пред­
сказанное световое давление экспериментально и измерить его
величину опытным путем, предпринятые многими исследователями
в XVIII и XIX . веках, оказались безуспешными. Впервые после
длительных поисков удалось подтвердить опытом существование
светового давления и с достаточной степенью точности измерить
его весьма малую величину лишь замечательному русскому
ученому-физику Петру Николаевичу Лебедеву (1866 — 1912). В
1899 - 1900 гг. он впервые в лабораторных условиях осуществил
тонкий физический эксперимент, подтвердивший существование
светового давления на твердые тела, и подробно описал его в
работе "Опытное исследование светового давления” [В. 3,с. 121 —
147]. В 1909 - 1910 гг. П.Н. Лебедев решил еще более сложную в
техническом отношении задачу — обнаружил и измерил давление
световых лучей также и на молекулы газа. Он успешно использовал
это явление для завершения построения теории кометных форм
[В . 3, с. 381 — 408], подтвердив этим самым известную гипотезу
выдающегося русского астронома Ф.А. Бредихина о том, что
солнечные лучи действуют на хвост кометы "подобно ветру”.
Зам П.Н. Лебедев писал по этому поводу в 1912 г.: "Задача объяс­
нив формы кометных хвостов световым давлением, которую
;риста лет назад поставил себе Кеплер, в настоящее время для
метеорной пыли уже решена, а для газов близка к своему оконча­
тельному решению, так же теоретические и экспериментальные
исследования, которые были сделаны до сих пор, дают достаточную
уверенность, что путь к ее решению найден” [В. 3, с. 408].
Широкое философско-физическое значение экспериментов
П.Н. Лебедева, доказавших существование механического действия
света, состоит в том, что они позволили классифицировать свет
как одну из форм материи. "Свет всегда исходит из вещества,
рождается в веществе и, поглощаясь, исчезает в веществе. Встреча
света с веществом всегда сопровождается взаимодействиями.
Существующий материальный мир — движущаяся материя —
представляется нам в двух основных формах — как вещество
и как свет”, — так писал позднее о свете академик С.И. Вавилов
[В.4, с. 40] .
Открытие отталкивающего действия солнечных лучей подтвер­
дило слова Ф. Энгельса в "Диалектике природы” [В. 5] :
”... притяжение и отталкивание столь же неотделимы друг от дру­
га, как положительное и отрицательное, и поэтому уже на основании
самой диалектики можно предсказать, что истинная теория материи
должна отвести отталкиванию такое же важное место, как и притя­
жению ...”
Эффект светового давления, обнаруженный опытами П.Н. Лебе­
дева, сразу нашел широчайшую область приложений в астрономии:
8

благодаря ему удалось окончательно оформить механическую
теорию кометных хвостов, выявить основные закономерности в
движении метеорной пыли в межпланетном пространстве, решить
ряд проблем космогонического характера и тд. Кроме того,
интерес к этому явлению значительно вырос в свете тех задач,
которые появились при освоении космического пространства.
Здесь, с одной стороны, следует иметь в виду создание теори/
возмущенного движения искусственных небесных тел, учитываю
щих "вредное”, возмущающее действие светового давления. С
другой стороны, это исследование "полезных” динамических эф­
фектов светового давления для передвижения в космическом
пространстве, нашедшее отражение в построении теорий будущих
космических перелетов с солнечным парусом, т.е. с использова­
нием сил давления солнечных лучей. При этом необходимо отме­
тить, что основы современных теорий перелетов с солнечным
парусом создавались задолго до начала эпохи выхода человека
в космическое пространство.
Действительно, после открытия П.Н. Лебедева [В. 3] идея
использования этой силы истинно космического характера неодно­
кратно привлекала внимание как ученых, так и писателей-фанта­
стов. Авторы межпланетных фантазий не раз использовали впослед­
ствии для путешествий своих героев давление солнечного света
однако ученые сначала отнеслись к идее такого полета недоверчиво
Например, в первой же книге, рассматривавшей возможность
полетов под действием недавно открытого солнечного давления, с
научной точки зрения, проект такого полета был отнесен к совер­
шенно неосуществимым. Имеется в виду книга Я.И. Перельмана
"Межпланетные путешествия” [В. 6], вышедшая первым изданием
в 1915 г., в которой полеты с помощью зеркал и отражающих экра­
нов наряду с полетами, использующими гравитационные поля и
тд., были охарактеризованы как нереальные вследствие ничтожной
малости силы светового давления.
Однако совсем иное высказывание на эту тему мы находим у
К.Э.Циолковского в статье "Космический корабль”, датированной
в первом варианте 1924 годом, а во втором — 1925 годом [В.7].
Здесь он четко указывает на принципиальную возможность пере­
движения космического корабля под действием малых сил солнеч­
ного давления: "Давление солнечного света на расстоянии Земли не
более 0,0007 г/м2. Чтобы произвести давление в 10 т (допуская,
что снаряд весит только 1 т), нужна поверхность зеркала, не мень­
шая 16 миллионов квадратных метров. Тогда ребро квадратного
параболического рефлектора должно иметь не менее 12:6 км. Нель­
зя считать это осуществимым, особенно в настоящее время. Такой
способ получения скорости ставит ряд трудных вопросов. Но
9

давление солнечного света, электромагнитных волн и т.д. может
быть и сейчас применяемо в эфире к снарядам, успевшим уже побе­
дить тяготение Земли и нуждающимся только в дальнейшем косми­
ческом перемещении. Но все это пока область фантазии’ [В.7, с. 116
или 159 по изданию 1925 г.]. Итак, отдавая себе отчет в техниче­
ских трудностях проекта, К.Э.Циолковский тем не менее смотрит
весьма оптимистично на принципиальную возможность использова­
ния светового давления в качестве движущей силы при космиче­
ском полете. Как мы увидим далее, К.Э.Циолковский не обманул­
ся в своем прозорливом научном предвидении, хотя разработать
теоретические основы концепции такого полета было суждено
другому выдающемуся советскому ученому, пионеру отече­
ственной теоретической космонавтики, создавшему школу в об­
ласти теории и конструирования космических аппаратов, —
Ф.А.Цандеру.
§ 2. Солнечный парус — идея Ф.А.Цандера

Имя Фридриха Артуровича Цандера (1887 — 1933 гг.) — замеча­
тельного советского ученого и инженера, энтузиаста межпланетных
полетов, крупнейшего теоретика космонавтики — по праву зани­
жает видное место в истории отечественной и мировой ракетнососмической науки и техники. Ему принадлежит также и первое
серьезное исследование проблемы космического полета с помощью
сил давления солнечных лучей, относящееся к 1924 — 1925 гг.
В трудах Ф.А.Цандера блестящая конкретизация этой многогран­
ной идеи нашла свое воплощение в виде инженерного анализа воз­
можности разработки теории межпланетных перелетов с помощью
зеркал и отражающих экранов как двигателей малой тяги. Доволь­
но трудно судить о точной дате возникновения у Ф.А.Цандера идей
о различных способах применения солнечной энергии в межпланет­
ных полетах. Однако установлено, что уже в 1908 г. он упоминал
об этом, а в 20-х годах уделял большое внимание идее исполь­
зования для движения в космосе "даровой” энергии солнечного
излучения.
Уже в своей самой первой научной публикации по проблемам
космонавтики и ракетно-космической техники "Перелеты на дру­
гие планеты” [В.8], которая появилась в 1924 г. и подводила итог
многолетних исследований ученого в области теоретической космо­
навтики, Ф.А.Цандер пишет: "При желании перелететь на другие
планеты ... выгоднее будет лететь при помощи зеркал или экранов
из тончайших листов ... Зеркала не требуют горючего и не произво­
дят больших напряжений в материале корабля” [В.8, с. 268].
Во второй своей статье под тем же названием [В.9], увидевшей
10

свет впервые лишь в 1947 г., Ф.А.Цандср четко конкретизирует
область применения в космосе движущей силы светового отталки­
вания, разграничивая ее с областью необходимого применения
ракетного двигателя и тем самым развивая идею Циолковского:
"Ракету с ее громадным расходом горючего и большой толкающей
силой следовало бы применять только для вылета из земной атмо­
сферы и ускорения до скорости 8 км/с, а в дальнейшем — лишь для
быстрых изменений пути при облете метеорных потоков. А дальше
11

в межпланетном пространстве при его огромных расстояниях и
полной возможности применения малых толкающих сил гораздо
лучше воспользоваться даровым световым давлением или переда­
чей световой энергии на расстояние с помощью тончайших зер­
кал ... ” [В.9, с. 276].
Итак, Ф.А.Цандер, как и К.Э.Циолковский, приходит к необхо­
димому выводу о разграничении областей применения ракетного и
парусного движителей. Он проводит [В.9] сравнительный анализ
ракетного полета (после достижения второй космической скоро­
сти) и полета с помощью зеркал и устанавливает, что, используя
алюминиевое зеркало площадью 100000 м2 и толщиной 10 3 мм,
можно получить вес зеркала около 300 кг (а при серебряных пла­
стинах - еще меньший вес). Все это, по его мнению, может дать
существенную экономию в весе аппаратов для перелетов, напри­
мер, на Марс. Что касается толщины отражающих зеркальных лис­
тов, то следует помнить, что Цандер опирался на технические дости­
жения 20-х годов: тогда появились алюминиевые листы толщиной
около 4-10-3 мм, знаменитые никелевые листы 1600 м X 2 м тол­
щиной 10~3 мм, изготовленные Эдисоном, и т.п. Неоднократные
упоминания о заманчивых перспективах движения с помощью све­
тового давления мы находим и в большой работе Ф.А.Цандера
"Полеты на другие планеты (теория межпланетных путешествий)”
[В.10], написанной им в 1924 — 1925 гг.
Подробная теоретическая разработка проблемы полета под дей­
ствием давления солнечных лучей была приведена Цандером
в двух рукописях: ”0 применении тончайших листов для полетов
в межпланетном пространстве”, датированной им самим 18 июня
1924 г., и ”0 давлении света на комбинированные зеркала”, обо­
значенной 1925 годом. Много позднее на основе этих рукописей
М.К.Тихонравовым была подготовлена к печати и в 1961 г. опубли­
кована статья Ф.А.Цандера под общим названием ”Об использова­
нии силы давления света для полетов в межпланетном простран­
стве” (В.11]. Именно в этих основополагающих работах Ф.А.Цан­
деру удалось не только разработать подробную теоретическую кон­
цепцию полета, но и обрисовать инженерные особенности конструк­
ции, известной в настоящее время под названием солнечный парус
(историческую оценку этих работ мы находим в обзорах [В. 12,
В. 13]). В них он впервые в истории космической науки сумел
охватить широкий класс динамических проблем, связанных со све­
товым давлением, большинство из которых позднее легли в основу
соответствующих направлений современной динамики космическо­
го полета. Идеей полета под действием светового давления прони­
заны многие отдельные высказывания Ф.А.Цандера, встречающиеся
также и в его неопубликованных заметках, статьях и письмах, под12

робное библиографическое описание которых можно найти в сбор­
нике [В.14].
С первых же строк работы [В.11] ученый предлагает четкую
конкретизацию цели исследования и постановки задачи: "Использо­
вание светового давления не требует расхода горючего, и поэтому
полет особенно дешев по сравнению с полетом при помощи ракеты.
Давление света на листы — чрезвычайно малая величина, но длина
путей, на которых это давление может действовать, а именно рас­
стояния между планетами — огромны. Поэтому интересно исследо­
вать вопрос о том, какой величины зеркала требуются в случае,
если необходимо развивать на протяжении этих огромных расстоя­
ний скорости, соответствующие тем, которые дает ракета” [В. 11,
с. 362]. Первая и основная по важности задача, решенная в этой
работе, — построение теории гелиоцентрических межпланетных
перелетов с помощью силы светового давления — была выполнена
Ф.А.Цандером на основе классической теории кеплерова движения
с учетом сил лучевого отталкивания. Отмечая распространенность
этих сил в космосе, он попутно предостерегает исследователей от
чрезмерной переоценки их динамической роли в некоторых обла­
стях пространства: "Имеется случай, в котором нельзя пользовать­
ся малыми силами, а именно случай, в котором межпланетный
корабль, несмотря на действие малой силы на своем пути, попадает
близко к планете ... В таких случаях, вблизи опасных мест, необхо­
димо применение ракеты, дающей большие толкающие силы. Но
эти случаи редки ... так что почти для всех передвижений в самой
Солнечной системе можно пользоваться весьма малыми силами”
[В.11,с. 362].
Второй задачей, также четко поставленной и изученной Ф.А.Цан­
дером, следует считать проблему управляемого геоцентрического
движения с помощью сил светового давления для "раскрутки”
около земного шара и преодоления земного тяготения. Полемизи­
руя на страницах своей статьи [В.11] с Я.И.Перельманом по пово­
ду четвертого издания (1923 г.) его книги "Межпланетные путе­
шествия” [В.6] и высказываемых им в ней резко негативных суж­
дений о возможности полета с зеркалами, Ф.А.Цандер отмечает, что
автор книги, ”к сожалению, не делает различия между вылетом
с Земли до возможности кружения вокруг земного шара и полетом
в самом межпланетном пространстве, когда с помощью зеркал воз­
можно изменение скорости” [В. 11, с. 361] *
). Сам Ф.А.Цандер,
*) Действительно, в главе ”На волнах света” [В.6, с. 31 - 38 по 1-му изд.]
Я.И.Перельман, описав природу светового давления и историю его открытия,
справедливо замечает, что уйти из поля притяжения Земли с помощью зерка­
ла не представляется возможным: "Точный учет безжалостно разрушает эту

13

напротив, ясно отдавал себе отчет в этом различии, понимая, что
реализовать "кружение”, т.е. достигнуть круговой скорости с по­
мощью одних только сил давления, действительно невозможно.
Именно поэтому, разрабатывая теорию околоземной раскрутки
с помощью силы тяги отражающего экрана — паруса, - он подчер­
кивает, что только после выхода в околоземное космическое
пространство, выполненного с помощью ракеты, уместно использо­
вать силу тяги отражающего экрана, а там даже и это ничтожное
давление света, действующее, однако, длительное время, может
быть успешно использовано для разгона корабля от местной кру­
говой скорости до параболической и более высоких скоростей
геоцентрического движения.
Третьим аспектом исследований Ф.А.Цандера в области примене­
ния сил давления солнечных лучей следует считать разработку им
инженерных особенностей зеркальных конструкций и, особенно,
комбинированных систем зеркал и экранов, наиболее перспектив­
ных, по его мнению, для реализации полета с солнечным парусом.
Об исторической значимости этих разработок Ф.А.Цандера писал
М.К.Тихонравов [В.15].
Ниже будет рассказано о том, как концепция полета под дейст­
вием сил лучевого отталкивания, сформулированная гениальным
предвидением талантливого советского ученого, успешно разраба­
тывалась впоследствии отечественными и зарубежными специалис­
тами, о том, в каком аспекте конструктивные особенности созда­
ния космического корабля с солнечным парусом — возможного
корабля будущего — неоднократно исследовались и обсуждались
в печати. В этих исследованиях солнечный парус выступал не толь­
ко в "классической” роли простейшей маршевой силовой установ­
ки, но и совсем в иной, но не менее важной новой роли - элемента
систем управления и ориентации космического аппарата. Библио­
графические ссылки на соответствующие статьи будут приведены
в конце книги в списке литературы, причем, как правило, они
носят сугубо специальный характер. Если же обратиться к книгам,
то следует упомянуть "Механику космического полета в элемен­
тарном изложении ” В.И.Левантовского [В.16] и "Очерки о движе­
нии космических тел” В.В.Белецкого [В.17], в которых проблема
полета с солнечным парусом получила прекрасное многоплановое
освещение. Обе эти книги необходимо прочитать всем, кто интере­
суется проблемой полета с солнечным парусом.

мечту, не оставляя и тени надежды на осуществление подобного проекта".
Таким образом, речь идет о различии задач: ухода от Земли только с по­
мощью светового давления и применения этого давления уже на орбите.
14

§ 3. Световое давление в Солнечной системе
Давление светового излучения является приводным фактором,
противостоящим гравитационному притяжению, и все небесные
тела испытывают действие двух противоположных по направлению
сил от других излучающих небесных тел: гравитационного притяже­
ния и отталкивания под действием, светового излучения. Однако
для большинства тел Солнечной системы гравитационные воздейст­
вия несоизмеримо больше давления солнечных лучей, которое
лишь для определенного класса тел вызывает ощутимые возму­
щающие эффекты.
Световым давлением называется механическое действие свето­
вых лучей, производимое на облучаемые ими тела и вызываемое
взаимодействием между световым излучением и отражающим или
поглощающим свет телом. Величина этого давления зависит от
мощности излучения источника света и от свойств поверхностей
встречных тел. Теоретическое объяснение сущности эффекта свето­
вого давления может быть дано на основе как электромагнитной,
так и квантовой теории света. Любое тело, абсолютная темпера­
тура которого отлична от нуля, обладает электромагнитным
излучением, отталкивающим все тела, попадающие в поле этого
излучения. В равной степени это относится и к Солнцу, т.е. термин
давление солнечной радиации предполагает давление электромаг­
нитного излучения Солнца любых длин волн, хотя солнечная радиа­
ция воспринимается глазом как солнечный свет только в неболь­
шом диапазоне длин волн.
Заметим, что электромагнитное излучение создает основной
энергетический поток в межпланетном пространстве, а видимый
свет занимает в нем лишь узкую полосу частот с длинами волн
400 — 760 нм (1 нм = 10-9 м), причем различным длинам волн
соответствуют разные цвета: 400 нм (4- 10~5 см или 4000 А) —
фиолетовый цвет, 760 нм (7,6-10“5 см или 7600 А) — красный
цвет. Этим граничным длинам волн светового диапазона соответст­
вуют частоты электромагнитных колебаний от 0,8-Ю15 гц до
0,4-1015 гц. Электромагнитное излучение Солнца имеет максимум
интенсивности в видимой области спектра излучения на длине
волны примерно 5500 А. Звезды, в том числе и наше Солнце, излу­
чают электромагнитные волны не только в видимой световой обла­
сти. Многообразие физических процессов порождает электромаг­
нитное излучение в огромном диапазоне длин волн — от сверхдлин­
ных радиоволн, у которых длина волны составляет сотни и тысячи
метров, до гамма-лучей, у которых длина волны измеряется мил­
лионными долями нанометра. На рис. 1 [В.18, с. 56] изображен не­
прерывный электромагнитный спектр (полный набор всевозмож­
ных длин волн)., разбитый на диапазоны.
15

400

500

600 700 нм

Соответственно и частоты колебаний лежат в огромном диапа
зоне - от десятков герц до многих миллиардов мегагерц. Кроме
длины волны и частоты электромагнитное излучение можно оцени­
вать энергией кванта излучения: она тем больше, чем выше частота
колебаний, т.е. чем короче волна. Энергия светового кванта
составляет несколько электрон-вольт (эВ). Более низкочастотные
колебания - с энергией в десятые и сотые доли электрон-вольта —
это инфракрасное излучение, а с энергией в сотые и тысячные доли
электрон-вольта — субмиллиметровые радиоволны. Для колебаний
с более высокой частотой, чем у видимого света, принято такое
деление: следующие сразу за видимым светом электромагнитные
волны, кванты которых имеют энергию примерно от 10 эВ до
Г кэВ, — это ультрафиолетовое излучение, а кванты с энергией до
100 кэВ - рентгеновские лучи. Наконец, кванты с энергией более
100 кэВ — это уже гамма-излучение.
В задачах о полетах космических аппаратов с солнечным пару­
сом предпочтительнее использовать термин давление солнечной
радиации как более точный, чем термин световое давление солнеч­
ных лучей, хотя в литературе по динамике космического полета
эти термины некоторые авторы считают тождественными, понимая
под солнечной радиацией лишь световое (фотонное) излучение, но
не корпускулярную солнечную радиацию (о ней будет сказано
ниже).
Что касается механического воздействия световых лучей, то,
согласно волновой электромагнитной теории света, давление, кото­
рое оказывает на поверхность тела плоская электромагнитная вол­
на, падающая перпендикулярно этой поверхности, равно плотности
электромагнитной энергии (т.е. энергии, заключенной в единице
объема) вблизи поверхности. Эта энергия складывается из энергий
16

падающих и отраженных от тела волн. Пусть мощность солнечной
электромагнитной волны, падающей на единицу поверхности, нахо­
дящейся на гелиоцентрическом расстоянии г, равна 8Г [Вт/м2 ],
а мощность соответствующей отраженной волны равна е8г , где
е — коэффициент отражения. Тогда суммарная плотность лучистой
энергии падающих и отраженных волн составляет (1+е)5г/с,
где с — скорость света, с = 3-108 м/с, а световое давление на пло­
щадку, ориентированную нормально к потоку лучей, определяется
формулой Максвелла

Рг = (1 +е)^

сила
длина2

(3.1)

Таким образом, зависимость силы светового давления от мощно­
сти излучения 8Г является линейной.
С точки зрения квантовой теории свет есть поток частиц — фото­
нов, каждый из которых обладает энергией
и импульсом Ьр/с,
где й — постоянная Планка, л — частота световых колебаний. Чис­
ло фотонов, которое попадает на 1 м2 перпендикулярной к потоку
фотонов поверхности за 1 секунду, равно

11Р

Соответственно суммарный импульс, передаваемый фотонами еди­
ничной площадке 1 м2 в течение 1 с, равен

8г _ Л Пл
с
с
Именно этой величине и равно механическое воздействие фотонов
на полностью поглощающую поверхность. Если же поверхность
частично отражает свет, то число отраженных фотонов, уносящих

импульс обратного направления, равно Ь

=-^— . В результате по-

йлА'
е8г
верхность получит дополнительный импульс —— = —— , а сум­
марный импульс за 1 с, т.е. полное световое давление, составит
Рг = (1 + е)8г/с.
Таким образом, давление света на тело вызывается взаимодейст­
вием между световым излучением источника и отражающим (или
поглощающим) свет телом. Все вышеприведенные формулы спра­
ведливы в предположении, что гелиоцентрическая скорость облу­
чаемого тела мала по сравнению со скоростью света. В релятивист­
ском случае, когда скорость тела сравнима со скоростью светового
2. Е.Н. Полякова
17

потока (этот случай в книге не рассматривается), к этим форму­
лам добавляются аберрационные релятивистские поправки, оп­
ределяющие так называемые динамические эффекты солнечной
радиации.
Если же теперь обратиться к динамическим свойствам светового
потока, то нельзя не согласиться с тем, что, как указывает
В.В.Радзиевский [В.19], от Солнца как бы "дует ураганный свето­
вой ветер”, и не удивительно, что он наводит на мысль о возмож­
ности использования солнечных парусов для космической навига­
ции. Однако Земля, а тем более небольшая поверхность космиче­
ского аппарата, перехватывает лишь ничтожную долю этого огром­
ного, рассеиваемого в околосолнечное пространство количества
радиации. Потому световое давление на реальные тела в космиче­
ском пространстве оказывается весьма малым по сравнению с сум­
марной мощностью излучения такого источника, как Солнце. Мощ­
ность солнечной радиации на расстоянии Земли от Солнца,
попадающая на площадку; 1 м2 при ее нормальной ориентации
к лучам, называется солнечной постоянной 53 = 1,4 • 103 Вт/м2.
Поток энергии, излучаемый Солнцем, равен 3,86 • 1026 Вт.
Коэффициент отражения поверхности площадки е зависит от
отражательных свойств этой поверхности. В нашей книге мы всюду
(если это специально не оговорено) будем пользоваться моделью
геометрического отражения лучей, происходящего, как известно,
по закону косинуса. Тем самым мы принимаем поверхность сол­
нечного паруса идеально гладкой, а не шероховатой, когда отраже­
ние становится диффузным. В рамках модели геометрического
отражения принимаем, что для абсолютно черного, поглощающего
тела коэффициент е равен нулю, а для идеального зеркала —
единице. Так как для реальных, неидеальных зеркал значения
коэффициента е всегда лежат внутри интервала значений 0 4-1, мы
в наших задачах о солнечном парусе будем принимать е С 1. В гра­
ничных случаях поглощения и зеркального отражения световое
давление на единичную площадку следует определять по форму­
лам, вытекающим из (3.1):
рпогл =
ротР = 25г/с = 2рпогл
(3 2)
Известно, что для поглощающей поверхности на орбите Земли
Р3ПОГЛ = 0,464 • 10-4 г/(см ■ с2) ,

(3.3)

а для зеркальной поверхности

Р°тр = 0,928 -10-4 г/ (см ■ с2).

(3.3')

Эти значения могут быть получены из следующих соображений.
18

Сила светового отталкивания, как и сила тяготения, подчиняется
закону обратных квадратов, поскольку энергия излучения Солнца
в единицу времени равна энергии, проходящей через последователь­
ность концентрических сфер, охватывающих Солнце, а поверхность
сферы радиуса г, как известно, равна 4яг2. Именно поэтому рас­
сматриваемые нами величины мощности светового потока и созда­
ваемого им светового давления изменяются обратно пропорцио­
нально квадрату гелиоцентрического расстояния:
5Г =

/гз\2

.

л =

/гз\2

•


(4-6)
5)
Рпад =---- Л соз 0,
/?отр=е------ А соз е.
(4.7)
с
с
Сложив компоненты (4.7) по правилу параллелограмма (см.
рис. 2,6), величина диагонали которого содержит множитель
+ е2 - 2е соз(л - 20), получим:
8Г
.____ ,__________
Ртяги ='—' Л
+ е2 + 2е соз 20 соз 0е°,
(4.8)
с
где е° - орт переменного направления силы тяги, заключенного
между направлениями нормали к теневой стороне паруса и потока.
Вывод этой формулы можно найти также в статье А.А. Карымова
[В.23]. В частном случае полностью поглощающей поверхности
(е = 0) из (4.7) следует, что сила тяги всегда направлена строго по
учу 1° и это направление не зависит от угла установки 0, как бы
и был расположен парус, т.е.
Г"я°гиЛ =—^СО5 0>°.
с

(4.8')

При полном зеркальном отражении (е = 1) сила тяги всегда направ­
лена по нормали п° к теневой стороне экрана (см. рис. 2,а), а ее
направление снова не зависит от угла установки:
5
__________
25
^тягн = ~~А \/2(1 + соз 20) соз 0п° = —~~/1соз20п0. (4.8”)
с
с

Таким образом, мы пришли опять к формуле (4.4 ) и показали,
что она как частный случай вытекает из более общей формулы
(4.8) . Ускорение, соответствующее этому случаю, дается формулой
(4.5) или (4.5 ). На рис. 3 приведена диаграмма [В.24, с.61] за­
висимости силы тяги зеркального паруса, направленной по нормали
к нему, от угла 0 установки паруса. Сила тяги паруса, изображен­
ного на схеме, Обозначена жирной стрелкой. Диаграмма соответ­
ствует закону квадра-’а косинуса. При неполном отражении (б < 1)
вектор силы тяги отклоняется от нормали по направлению к пото­
ку фотонов. Таким образом, специфической особенностью солнеч­
ного паруса является зависимость величины создаваемой им тяги
от ее направления.
26

Формулы (4.4') и (4.8") представляют интерес именно приме­
нительно к полету с солнечным парусом. Они показывают, что зер
капьный парус не только развивает максимальную по величине тт
гу, но и ее направление всегда жестко связано с нормалью к парус’.
Это обеспечивает принципиальную возможность, а также достаток
ную простоту управления тягой. В силу вышесказанного зеркаль­
ный парус можно считать наилучшим в классе плоских солнечных
парусов. Все современные исследования по динамике полета с
солнечным парусом, как правило, ограничиваются этим простей­
шим случаем. Зеркальная модель плоского паруса вполне годится
для решения траекторных задач, не затрагивающих вопросов,
связанных с физическим состоянием самого паруса или с его конст­
руктивными особенностями.
Рассмотрим теперь вопрос о касательных проекциях тяги, созда­
ваемых световым давлением. Для анализа силовых воздействий на
парус используем рис. 4, на котором изображены те же силы, что
и на рис. 2, но спроектированные на нормальное и на касательное
к площадке направления. Например, вычислим проекции сил Рпад
и Готр, определяемых формулами (4.7), на указанные направле­
ния. Сумму проекций на нормаль Р мы будем называть собственно
световым давлением (см. рис. 4) :
Р = Рдад + Ротр»

^пад —

8Г

пад с05

Ротр = ^отрСОБ в = е ---- А соб20,
С

—

С

®•

8Г

| Р I = Р = (1 + е)------ А со520.
С
27

Аналогично находим и касательные проекции
К — Кпад “ ^отр»

^пад “ ^пад

.5,
0—
А СОЗ 0 51П 6,
С

8Г
Лотр = /■'отр5*11 в = е — А соз О 51п 9.
с

8Г
I К | = К = (1 - е) — А соз в 51п 0,
с
причем

Пт К = 0.
е -» 1

Полную силу тяги найдем как сумму РТЯГ1| = Р + К, величина
которой составляет
8Г
,------ ,--------------/•"тяги ~ — А \/1 + е2 + 2е соз 20 соз 0,
с

(4.9)

что уже было найдено выше другим путем (см. рис. 2). Схема на
рис. 4 позволяет также определить угол
на который направление
силы тяга РТЯги отклоняется от нормали п:
(1 - е)51п 0
зт = —
----.
(4.9’)
>/1 + е2 + 2е соз 20
)днако поскольку при близких к 1 значениях е касательные проек[ии не создают существенных тяговых усилий, то в наших модель­
ных парусных задачах можно сдостаточной степенью точности пре­
небречь углом отклонения силы тяги от нормали (возникающим
за счет касательных проекций) и принять, что для достаточно высо­
кого коэффициента отражения паруса е(е < 1), т.е. для почти зер­
кального (но не идеально зеркального) паруса сила тяги совпадает
по величине и направлению со световым давлением. В результате
в последующих динамических рассмотрениях мы будем (если это
специально не оговорено) как для полного, так и для неполного
отражения пользоваться упрощенными рабочими формулами для
расчета силы тяги и ускорения аппарата с парусом:
5Г
Ртяги = Р = (1 + е) —-А

со520п°

,

Р
5 А
А
н’га1)-------- (1 + е) —- — соз2 в = Рг----- соз20
т
с т
т
или

щга 1) местная гиперболическая ско­
рость монотонно возрастает, а при неограниченном удалении от
центра движение происходит равномерно по асимптоте гиперболы.
Если точка обладает нулевой начальной гелиоцентрической ско­
ростью, то произойдет ее выброс из Солнечной системы по лучу
света с убывающим положительным ускорением, асимптотически
стремящимся к нулю (скорость при этом возрастает, асимптоти­
чески стремясь к константе) .
Итак, закон Ньютона — Лебедева замечательно расширяет класс
возможных движений в кеплеровой задаче двух тел. Действитель­
но, если в гравитационной кеплеровой задаче двух тел движения
возможны только по трем типам конических сечений: эллипсу,
параболе и вогнутой ветви гиперболы (не считая вырожденных
траекторий соударений), то в фотогравитационной задаче двух тел
к этим сечениям добавляются прямая с фокусом вне ее и прямая
без фокуса, выпуклая ветвь гиперболы и точка (случай равновесия
36

сил при отсутствии скорости), т.е. теперь возможны движения ио
любым коническим сечениям.
Световое отталкивание может соперничать с тяготением (и даже
превзойти его) для тел с высокой парусностью, таких как, напри­
мер, легкие надувные баллоны или космические аппараты, снаб­
женные огромными отражающими солнечными парусами. Однако,
как уже указывалось в § 3, не следует забывать, что в природе
существуют многочисленные естественные небесные тела, обладаю­
щие высокой парусностью и вследствие этого подчиняющиеся
описанным выше законам движения в фотогравитационных
центральных полях, — пылевые и микрометеоритные частицы, па3
русность которых 0= — р5 (см. формулы (3.7) или (5.4)) ока4
зывается весьма высокой за счет ничтожно малых размеров их
радиусов р. Действительно, при любых комбинациях значений
радиуса р и плотности частицы 5, произведение которых составля­
ет, например, 10'4г/см2, получаем парусность о = 104см2/г, т.е.
примерно в сто раз больше парусности огромных спутников-бал­
лонов типа "Эхо". К этим объектам относится и отмеченное выше
свойство "ударного” изменения их парусности (дробление или,
наоборот, слипание частиц при их столкновениях), вследствие
чего их орбиты подчиняются эволюционной схеме, изображенног
на рис. 5.
Гелиоцентрическое движение пылевых и микро метеоритных
частиц в Солнечной системе является примером природных движе­
ний в центральном фотогравитационном поле, демонстрирующим
ряд полезных аналогий также и в аспекте движения космического
аппарата с солнечным парусом. Охарактеризуем вкратце основные
интересующие нас свойства этих движений [1.1]. Метеорное ве­
щество, как известно, образует облако, концентрирующееся вбли­
зи плоскости эклиптики, и в нем частицы движутся по произволь­
ным эллиптическим орбитам, в результате чего неизбежно происхо­
дят столкновения частиц между собой. Измельченная материя
переходит в разряд космической пыли, в орбитальную эволюцию
которой сразу вносит существенный вклад интересующая нас сила
светового давления солнечных лучей. Так, например, если микрометеоритная частица, движущаяся по эллиптической орбите с боль­
шой полуосью д0, распадается без взрыва на две частицы разных
размеров ("ударное” изменение парусности), то меньшая частица,
обладающая более высокой парусностью, сразу переходит на гелио­
центрическую орбиту, лежащую снаружи орбиты большей частицы
и, тем более, снаружи прежней орбиты "родительской” частицы.
Большая полуось
и эксцентриситете новой эллиптической орби­
ты любой из вновь образовавшихся частиц могут быть определены
37

из интеграла энергии (5.11), выражающего неизменность гелио­
центрической скорости точки до и после распада. Последнее пред­
положение справедливо, так как обычно относительные скорости
отделения частиц малы по сравнению с их орбитальными гелио­
центрическими скоростями.
В случае солнечного паруса мы тоже будем предполагать, что при
быстром раскрытии паруса не происходит никакого импульсного
изменения орбитальной скорости. Следовательно, интеграл (5.11)
примет вид
2
1
/2
1 \
и2=/Л/с(------------ =/Мс(1 -Р)
Го
аг
' Г0
а0 '
откуда
01 = (1 -Р)гоао(го - 2раоу1 ■

(5.12)

Практический интерес формула (5.12) представляет для частного
случая схода при помощи солнечного паруса с круговой гелиоцент­
рической орбиты радиусом г0 = а0 при исходной круговой ско­
рости и-у//Мс/а0 . Тогда вместо (5.12) получим при Р > О
(1 -Р)
о
*
01 =

1 -2Р

(5.13)

Причем О]
при Р ** 1/2, что соответствует параболе на рис. 5.
Точка (космический аппарат) покидает орбиту со скоростью
>икр> гДе Дп — скорость в перигелии новой орбиты.
■ Помимо эволюции большой полуоси интересно проследить и из­
менение эксцентриситета новой орбиты: как показано в [1.1],
новый эксцентриситет
/, . 2/3-1
р
е=
(5.14)
(1-Р)2
1-р

Легко видеть, что е -* 0 при Р ■* 0 (окружность на рис. 5), е -* 1
при Р -> 1/2 (парабола) . Эту же формулу легко получить из закона
сохранения секториальной скорости при переходе на новую орбиту,
рассмотренную выше:
/■Л/сД(1-е2)=/'Л/с(1-Р)Гя(1+е).

Расчет редукции массы (5.6) и поля (5.7) для пылевых частиц
производится при е = 0 (поглощение), т.е. при 2с = 2с- К этому
же результату можно прийти, считая частицу идеальной сферой,
для которой значение отражательной способности е вообще не игра­
ет роли, см. (4.12).
В отличие от объектов искусственного происхождения пылевые
и микрометеоритные частицы обладают отличительным свойством
38

постепенно увеличивать свою парусность при приближении к Солн­
цу за счет испарения своего вещества при разогреве. После дости­
жения ими некоторого минимального критического значения ра­
диуса Ркрит они "выметаются” из Солнечной системы прямым
давлением солнечных лучей по параболической или близкой к ней
гиперболической орбите — вогнутой ветви на рис. 5. Выброс этих
небесных тел по прямой (/3=1) или по выпуклой ветви гиперболы
при описанном непрерывном возрастании парусности, по-видимо­
му, просто не успевает осуществиться. Возможно, что эти траекто­
рии осуществимы для продуктов столкновений частиц при "удар­
ном” возрастании парусности сразу на много порядков. Следует,
однако, помнить, что описанные выше механические свойства
движений в фотогравитационных полях вообще справедливы лишь
до тех пор, пока радиус частицы р не становится сравнимым с дли­
ной волны солнечной радиации, равной 0,1 мкм.
Часто встречается неверное утверждение, что частицы выбрасы­
ваются из Солнечной системы прямолинейно, по радиус-вектору,
как только достигается равновесие сил тяготения Солнца и свето­
вого отталкивания его лучей, т.е. когда /3=1,
=[МС{\ - /3) =
= 0 в формулах (5.9) . На самом деле строго радиальное дв-ижени<
возможно только для объектов, потерявших гелиоцентрическук
скорость (например, в результате взрыва или столкновения).
Тогда вследствие "гашения” скорости материальная точка будет
находиться в покое относительно Солнца и начнет падать на него
по прямой, если тяготение больше отталкивания, или покинет
околосолнечное пространство также по радиальной прямой, если
отталкивание больше тяготения (см. рис. 5). Для микро метеорит­
ных частиц такое гашение скорости нехарактерно, а для объектов
искусственного происхождения — вообще неосуществимо. (В на­
учно-популярной и научно-фантастической литературе утверждение
о равновесии упомянутых сил высказывается иногда именно в
связи с солнечно-парусным полетом.) Если же для частицы равно­
весие сил все-таки окажется достигнутым, то при сходе с гелио­
центрической круговой орбиты движение будет происходить по
прямой, перпендикулярной радиус-вектору (см. рис. 5). В дейст­
вительности покидание нашей Солнечной системы пылевыми части­
цами начинается раньше, чем достигается такое равновесие ((3 = 1
для масс порядка т = 10-1 12г), и происходит по параболе уже при

1
/3 = —•

(первоначальная орбита круговая);

1
/3 = — гоао 1 (первоначальная орбита эллиптическая
2
(см. формулу (5.12))) .
39

Для всех (3 > (Зкрит уход совершается по гиперболе, для которой
равновесие сил тоже еще сохраняется. Таким образом, прямоли­
нейные траектории выброса для пылевых частиц не характерны.
Пылевые и микрометеоритные частицы (микрометсороиды),
движущиеся в околосолнечном пространстве вследствие столкно­
вений, дробления и испарения, оказываются, по-видимому, основ­
ным источником частиц, покидающих околосолнечное пространст­
во с гиперболическими скоростями. Последние получили название
Р-метеороидов в соответствии со ставшим традиционным обозна­
чением редукции гравитационного поля (3 (см. формулы (5.7) —
(5.9)). Наблюдения, выполненные в последние годы с помощью
космических аппаратов, показали, что экраны приборов действи­
тельно регистрируют в околосолнечном пространстве потоки
/3-метеороидов, летящих от Солнца с гиперболическими скоростя­
ми. Именно для них четко прослеживается корреляция: чем мень­
ше масса и радиус частицы, тем выше скорость "выметания” из
Солнечной системы и тем ближе направление скорости к гелио­
центрическому радиус-вектору [1.1, 1.2].
Основные элементы динамики движений этих естественных не­
бесных тел в фотогравитационном поле Солнца справедливы и
в прикладной задаче о полете космического аппарата с солнечным
парусом, ориентированным так, чтобы результирующая фото гра­
витационная сила оставалась центральной. Итак, назовем такой
”/3-парус” цандеровским парусом и далее будем рассматривать
лишь наиболее близкую к реальности область эллиптических гелио­
центрических движений, ограниченную траекторией параболи­
ческого выброса, имея в виду, что применительно к динамике
космического полета с солнечным парусом основные положения
этой теории были развиты Ф.А. Цандером уже в 20-е годы на базе
обобщенного закона Ньютона — Лебедева.

§ 6. Задача Ф.А. Цандера о межпланетном перелете
по касательному гелиоцентрическому эллипсу
Ф.А. Цандер [В. 11] впервые применил закон Ньютона - Лебеде­
ва к динамике космического полета, рассмотрев теоретически
межпланетный переход аппарата с парусом-зеркалом, неизменно
ориентированным нормально к солнечным лучам, выполняемый
по касательному эллипсу между круговыми компланарными
планетными орбитами. Эта задача по праву может называться за­
дачей Цандера о касательном переходе с зеркалом. Основную ди­
намическую концепцию полета под действием фотогравитационных
сил Ф.А. Цандер выражает так: "Движение межпланетного кораб­
ля с зеркалом будет совершаться вокруг Солнца по кривым, по
которым двигаются небесные тела, т.е. по кругу, эллипсу, парабо40

ле или гиперболе, только для постоянной притяжения необходимо
применять уменьшенное значение. Получается своего рода кажуще­
еся ослабление притяжения Солнца. . . Межпланетный корабль,
сохраняя скорость движения Земли вокруг Солнца, не будет оста­
ваться на орбите Земли, что имело бы место без зеркала, а будет
вследствие ослабления притяжения Солнца двигаться по орбите,
афелий которой лежит от Солнца дальше орбиты Земли. Это делает
возможным достижение других планет” [В. 11, с. 372].
Именно эта цандеровская концепция полета с зеркальным пару­
сом легла в основу дальнейших теоретических разработок, пред­
принятых в этой области динамики космического полета. Сам
Ф.А. Цандер [В.11] развивает стройную динамическую теорию ком­
планарного касательного перелета в фотогравитационном поле,
на базе которой ему удалось получить основные соотношения меж­
ду орбитальными характеристиками переходной траектории от
орбиты Земли к круговым орбитам пята внешних планет. При
этом он широко пользуется сравнениями полученных характе­
ристик с соответствующими численными характеристиками им­
пульсных касательных переходов между круговыми компланар
ными орбитами планет - теми самыми траекториями, которьн
позднее получили название гомановских траекторий, хотя неоспо
рим приоритет Ф.А. Цандера также и в исследовании траекторий
этого типа.
Ф.А. Цандер приводит [В.11, с. 374] значения полупериодов эл­
липтических движений для указанных выше перелетов с импульс­
ной и парусной тягами по одной и той же траектории:
Таблица 1
Полупериод

Марс

Юпитер

Сатурн

Уран

Нептун

1
— Гимп.
2

лет

0,710

2,72

6,35

16,1

30,2

сут

259

995

2210

5880

11020

1

лет

0,780

3,52

8,13

2,22

42,0

сут

284

1284

2970

8100

15310

— т1 зерк»

Уточненные значения этих величин приведены ниже, в табл. 2,
строки 8, 9, 12, 13.
Прежде всего показательно сравнение полу периодов импульсно­
го перехода, т.е. полета без зеркала, и полета с зеркалом по одному
и тому же эллипсу: движение в фотогравитационном поле происхо­
дит медленнее, чем движение по кеплерову эллипсу с применением
41

импульса. Разность полупериодов возрастает по мере удаления
планетных орбит от Солнца. На первый Взгляд такой результат
должен показаться парадоксальным — ведь световое давление
солнечных лучей при движении аппарата от Солнца, казалось бы,
должно "подгонять” аппарат, тем самым ускоряя полет. На самом
деле два упомянутых движения по одной и той же эллиптической
траектории, или, точнее, по двум совпадающим геометрически
(но не динамически) траекториям, происходят при принципиально

эазличных стартовых (начальных) условиях. Чтобы уяснить это,
шссмотрим подробнее динамические особенности движения в
шрусной задаче Цандера на примере перелета к орбите Марса,
сравнив ее с траекторией импульсного перелета.
I. Импульсный касательный перелет без зеркала. Кеплерово
эллиптическое движение .аппарата начинается с круговой орбиты
Земли (орбита! на рис. б) радиуса г 1 = г3 = 149,6 • 106 км и
заканчивается на круговой орбите Марса радиуса г2 = гм =
= 228,0 ■ 106 км. Первоначальная круговая гелиоцентрическая
скорость аппарата на орбите I равна орбитальной скорости круго­
вого движения Земли и составляет
■ Мс
1>1=из=у------ = 29,78 км/с.

(6.1)

Для того чтобы афелий (ап) переходного кеплерова эллипса
оказался расположенным на орбите Марса, необходимо и достаточ­
но, чтобы большая полуось переходного эллипса II была равна
а = (г, + г3)/2 = 188,8 ■ 106 км.
(6.2)
Без учета тяготения Земли выход именно на такую переходную
траекторию можно обеспечить при условии, что начальная скорость
аппарата в перигелии орбиты II удовлетворяет интегралу энергии
орбитального кеплерова движения

,
42

/ 2
1
---------\г„
а

(6.3)

в котором гп = Г] = г3 = 149,6- 10б км, а гравитационный параметр
Солнца составляет /Мс = 1327 ■ 10® км3/с2. Начальная стартовая
скорость ия = |уя | на орбите II определяется как алгебраическая
сумма модулей двух коллинеарных векторов: круговой скорости
аппарата на орбите 1,т.е. V] = у3 (переносной скорости), и вектора
положительного касательного импульса в перигелии орбиты и
(относительной скорости), необходимого и достаточного для
выхода на требуемый переходный эллипс II (см. рис. 6). При
вычислении скорости
мы пока не прибегаем к использованию
понятия сферы действия Земли, считая, что сложение скоростей,
т.е. приложение импульса и, происходит в некоторой точке, услов­
но совпадающей с центром масс Земли, движущимся по круговой
околосолнечной орбите. Таким образом,
0я = «1+“,
(6.4)
причем для определения импульса и служит интеграл энергии (63),
преобразованный с помощью (6.4) к виду
,
,
I Т1
и3 = (щ + и)2 =/Мс(---------\гя
а

(6.5)

в котором на основании формулы (6.1) щ = у//~Мс/г3. Пользуяс:
далее формулой (6.2) , находим импульс
и

1

(6.6)

Замечая, что коэффициент у/2[Мс1гх =
[Мс1гх = х/2в3 выра­
жает гелиоцентрическую параболическую скорость точки на рас­
стоянии Г1 = г3 от Солнца, равную 29,78 х/2 = 42,11 км/с, вычисля­
ем импульс по формуле (6.6) :

/ / 228
1 \
и = 42,1 1К/------- ------- — = 2,95 км/с.
\ 3?7,6
х/2 /
Этот же результат легко получить, если в правую часть уравнения
(6.5) сразу ввести круговую скорость щ :
(1Л + и)2 =У](2 -Гх/а),

(6.7)

после чего импульс и выразится простой формулой
и =П11

2---------

(6.8)

(см. также строки 1 — 5 в табл. 2) . Подставляя числовые значения,
43

получим на основании (6.8):
/ ! 149.6
\
« = 29,78172------------- 1= 2,95 км/с.
\
188,8
'
Теперь определим время перелета аппарата по орбите II (см.
рис. 6) до орбиты Марса, пользуясь третьим законом Кеплера и
выбирая за эталон круговую орбиту Земли 1, приняв с3 = Г\ =
= 149,6 • 106 км, 7"з = 365,3 сут. Записав третий закон Кеплера для
периодов и полуосей
/ Л,мп V

\ Гз /

I » V
/а \3/2
= Н ’ Т^ = Т3 —
\а3/
\а3 '

(6.9)

(см. строки 6 - 9 в табл. 2) , легко вычислить, что полный период
обращения по переходному эллипсу II составляет
//188,8 \3
Тимп = 365,37 —— =515,1 сут,
\149,6 /
а время полета до орбиты Марса равно
= 257,6 сут. Это же
значение Уйми можно получить и без привлечения формул, исполь­
зующих эталонную орбиту, а используя известную формулу для
средней угловой скорости орбитального движения по эллипсу
(среднего движения), также являющуюся следствием третьего
закона Кеплера:

п = \/ [Мса3,г.

(6.10)

Теперь
2я

2л
г
а
у/ [Мс

(6.11)
п
Установим затем связь периода Тимп движения по орбите II
с величиной касательного перигелийного импульса и с помощью
формулы (6.7), позволяющей записать отношение
Л|мп_

Подставив это отношение в закон (6.9) приГ] = а3 и при круговой
скорости У; .= у3 = 2-пГ11Т3, получаем окончательно

Принимая, что и = 2,95 км/с, Т3 = 365,3 сут = 3,15 • 10? с, п =
= 149,6 • 106 км, и вычислив отдельное слагаемое иТ31-пг1 = 0,197,
44

Т аблица

= Д/1 _Д

2 (окончание)

0,208

0.678

0,812

0,901

0,934

получаем снова

Г,

1

= 365,3 1 -0,197 — —(0,197) 2

т3/2

= 515,1 сут.

Итак, мы установили взаимосвязь важнейших элементов кеплеровой переходной импульсной траектории II, касательной к круго­
вым орбитам Земли и Марса.
II. Цандеровский перелет с зеркалом. Пусть первоначальное
движение аппарата с нераскрытым зеркалом-парусом происходит
по круговой орбите Земли (орбита I на рис. 6) с круговой скоро­
стью 1>1, определяемой формулой (6.1). В задаче Цандера предпо­
лагается, что в некоторой точке круговой орбиты прикрепленный
к аппарату зеркальный парус раскрывается и затем в течение всего
времени движения сохраняет нормальную ориентацию к солнечным
лучам. Динамически раскрытие паруса означает мгновенный "пере­
ход” в новое, фотогравитационное К '-поле с ослабленной (фотогравитационной) постоянной/(Л/с + Р) (см. § 5). Импульсного изме­
нения скорости аппарата при раскрытии паруса, по нашему предпо­
ложению, не происходит, так что абсолютная величина гелиоцентри­
ческой скорости остается неизменной. Однако теперь эта скорость
по отношению к К -полю оказывается уже не круговой, а эллипти­
ческой. Вследствие этого аппарат сойдет с круговой орбиты и
перейдет на эллиптическую орбиту, лежащую снаружи круговой
(случай 0 1
I?! + и

-Р,

показывающую, в каком отношении редуцируется орбитальная
скорость в задаче Цандера по сравнению со скоростью движения
по импульсной траектории. Тогда редукция поля

Р = 1-

ц, у < 1,

Уу + и /

(6.21)

причем для цандеровского перелета к орбите Марса (и 1 = и 3 =
= 29,78 км/с, и = 2,95 км/с) получаем, в частности, значение /1 =
= 0,17, удовлетворяющее, как легко видеть, интервалу 0 < Р < 1/2
для траекторий на рис. 5.
С увеличением финальных гелиоцентрических расстояний воз­
растает необходимый касательный импульс и. С другой стороны,
в 8 5 было установлено, что покидание Солнечной системы по цандеровской параболе при помощи ”/3-паруса” соответствует случаю
Р = 1/2. Легко убедиться, что это значение сразу вытекает и из
формулы (6.21). Действительно, если прилагаемый касательный
импульс достаточен для превращения круговой скорости 14 = икр
в параболическую кПар = укр+“> то для цандеровского аналога
получаем /Зпар = 1/2. В частности, для старта с орбиты Земли на ге­
лиоцентрическую импульсную параболу покидания должны осу­
ществляться скорости: цкр = 29,78 км/с, и =12,33 км/с, ипар ~
= 42,11 км/с.
Конкретное значение парусности аппарата, необходимое для дос­
тижения заданной орбиты по цандеровской переходной траекто­
рии, можно вычислить по любому из вариантов формулы (5.10).
В частности, зная,что
=(1+е)Сс.
*
о*
траектории уже будут незамкнутыми: парабола, гипербола, прямая
гипербола с "пустым” фокусом и т.д. (см. рис. 5) и аппарат с сол­
нечным парусом будет покидать Солнечную систему С этим пре­
52

дельным значением а* мы еще встретимся при обсуждении спираль­
ных траекторий гелиоцентрической раскрутки в § 7.
Во многих парусных задачах удобно пользоваться значением
возмущающего тягового ускорения и>га‘1, приобретаемого аппара­
том за счет парусной тяги на произвольном гелиоцентрическом
расстоянии г. Это текущее значение ускорения следует определять
по формуле (5.5), которую в этом случае удобно привести к тради­
ционной энергетической константе />з°гл из (3.3) и представить
в виде
(V

(1 + е)а

гай

6с = (1 + «)

т

6с

°
(.г/гз)2

о
= (1 + е)Р3погл —— .
(6.25)
(г1гз)
Константу /’з°гл = 0,46 ■ 10”4 г/(см-с2)мы вычисляем с помощью
констант 6с = 1,01 ■ 1022 г-см/с2 и г3 = 1,496 ■ 1013 см. Итак, на
орбите Земли (г = г3) для нормальной ориентации паруса (о =
= отах) и Для зеркальной его поверхности (е = 1) получим, обоз­
начая и’г3а“ = а0 и имея в виду, что атах =А)т:

= 0,92 ■ 10'4

о.

(6-25')

Например, парусность, требуемая для перелета к орбите Марса,
т.е. о= 103 см2/г, обеспечивает на орбите Земли тяговое парусное
ускорение а0 = 0,1 см/с2, а для ухода из Солнечной системы по цандеровской параболе, т.е. при а* = 3,3 • 103 см2/г, на орбите Земли
достаточно ускорения а0 = 0,3 см/с2 (ниже будет показано, что
это значение определяется именно как половина гравитационного
солнечного ускорения на орбите Земли, составляющего, как из­
вестно, 0,6 см/с2).
Те же ускорения, н’гад на произвольном расстоянии г и а0 на
орбите легко определить и по значениям редукции гравитацион­
ного поля Р, связав эти ускорения тем самым с гравитационными
солнечными ускорениями. Соответствующая формула вытекает
из (6.25) после подстановки в нее (6.23):
О
/Жс
р
1угай =(1 + 6) —
6Лз)
2
(г/гз)
2
гз
г3
Здесь коэффициент
1,327 • 101 7м3/с2
/Жс /А8Г \
(6.26)
= 0,6 см/с2.
(1,496 ■ 10
* 1 м) 2
4
\ т )3
53

выражает гравитационное солнечное ускорение на орбите Земли.
Теперь тяговое ускорение на орбите Земли вычисляется через 3 по
простой формуле
ст0 = 0,6 (3,
(6.26')

еще раз подтверждающей, что физический смысл редукции поля 3
состоит в ослаблении напряженности гравитационного поля Солн­
ца в данной точке пространства.
Расчеты ао для е1 = 1 по формулам (6.25') и (6.26 ) приведены
в строках 23 -24 табл. 2. Формула (6.26') снова показывает, что
для достижения орбиты Марса (0 =0,17) аппарат с парусом должен
на орбите Земли обладать тяговым ускорением а0 =0,1 см/с2, а
для параболического ухода из Солнечной системы (/3 = 1/2) — тяго­
вым ускорением а0 = 0,3 см/с2, т.е. половиной гравитационного.
Сравнение постоянных площадей. Если постоянная площадей
V.
для первоначальной круговой орбиты составляет
Ч =Г1У1 = 7/7Ис г\,
(6.27)
то для импульсной орбиты II (см. рис. 6) она составляет

Сними = П (У1 +н) = с1(1 + — )>сь
\
и, /
причем одновременно
сПимп -VГМсРц=\//Мс ®п(1 - Сц).

(6.28)

(6.28’)

Рассмотрим теперь цандеровский эллипс II (см. рис. 6). С одной
стороны, следует иметь в виду его геометрическую тождествен­
ность импульсной орбите II, что означает тождественность фокаль­
ных параметров, больших полуосей и эксцентриситетов, а с другой
стороны — учитывать равенство постоянной площадей цандеровского эллипса II и первоначальной круговой орбиты I. Итак, для фотогравитационного поля с параметром /Мс (1—3) имеем
СЦ зерк = х///Ис(1 ~3)Р и = х/ЛиС(1 - 3)яц(1 - С?!),
(6.29)
Си зерк = П«1 = 4(6.29')
Решая эти уравнения совместно и обозначив г1 = гп и гг = га,
получим
Рп = у^->
(6.30)

а(1-/3)
(г, +г2)(1 -3)
При 3 = 0, г2 ~>г, эти формулы описывают прежнее круговое дви­
жение: р = г,,е = 0. При 3=1/2,
получаем параболу: р =
= 2г,, е = 1.
54

Эксцентриситет еп можно выразить через редукцию 0 и через
(6.28) и (6.28')
скорости Ц] и и. Действительно, из ('
'1° 4 находим фокальный параметр эллипса И:
(г^)2 I
и \2
с2
с2 /
и \2
р = _п и мп. = _Д_ Ь +---1 +---- .
(6.31)
ГМС
[Мс \
V.)
/(Ис
\ У, /

Сравнивая значение Рп из (6.31) с его значением из (6.30), устанавливаем формулу связи
(6.32)

1 -/3 =

вытекающую также и из формул (6.21) и (6.24). Далее воспользуемся соотношением (6.12), переписав его в виде

— = 2—
а
\ и! + и
Вводя обозначение
к=

и1
Ц] +п

_ .

получаем
г,
2к2 - 1
а

к2

(6.33)

1 - 0 = *2

и

е=

1 -к2

(6.34)

к2

Возвращаясь к редукции 0>О, приходим к искомым формулам
для е и а:
Р
е = —----1 -0

(6.35)
п(1 -0)
1 - 20

(6.36)
2-(1 -РУ'
При 0 = 0 получим е = 0, а = г!. При 0=1/2 снова е = 1, а
формулы (6.35) и (6.36) уместно сравнить с формулами (5.13) и
(5.14), полученными нами для микрометеорных тел Солнечной
системы.
Если теперь в (6.34) вернуться к скоростям, получим
1
/
„
(6.37)
е=
-1.
а = ------1 —е

55

Например, для полета к Марсу получим по формулам (6.32) (6.37) следующие числа:
/ о, \2
* 2 0,17
I0м =0,17, А:2= --------=0,83, е
= 0,225,
\ и, + и /
к2
0,83

а =------- ------ = 1,25г1 = 1,25 а.е.
2 - 1/0,83
С увеличением расстояния до орбит планет назначения растет и в
(6.37), убывает к в (6.33) и (6.34), растет в в (6.35), т.е. по мере
удаления планетных орбит от Солнца эксцентриситет касательного
цандеровского эллипса увеличивается, стремясь к единице.
Если заданы расстояния — радиусы планетных орбит
и гг
(исходной и конечной круговых орбит), то из формулы (6.36)
1
приз = — (Г] + г2) следует, что
г2 ~'1
(6.38)
2г2
(см. строки 25 - 27 в табл. 2).
Кроме того, время перелета по цандеровскому эллипсу, опре­
деляемое по формуле (6.17) в сочетании с (6.38), оказывается
равным

Р =

Возвращаясь к формуле (6.38), необходимо заметить, что
именно по этой формуле сам Ф.А. Цандер вычислял [В.11] редукГ 2 —Г 1
ции гравитационных полей, обозначив 2 =--------- , так что Р =
г2+г,
X
- Это цандеровское обозначение для редукций поля, вы­

численных по формулам (6.24) и (6.38), используется в строках
25 -27 табл.2. Некоторое расхождение численных значений сравни­
ваемых величин объясняется еще недостаточно точными определе­
ниями значений радиусов планетных орбит, которыми пользовал­
ся Ф.А. Цандер в 20-е годы. В строках 29 — 30 приведены значения
эксцентриситетов цандеровских эллипсов, вычисленные по фор­
мулам (6.35) и (6.37) для перелета с зеркалом.
Конечная скорость в афелии цандеровского эллипса меньше
круговой гелиоцентрической скорости на орбите планеты назна­
чения. Действительно, из сравнения формул (6.27) и (6.29')
56

следует, что
зерк — С1 ~ Г1

“ ^3 ^3 зерк “ х//^С

»

(6.39)

у2кр •

(6.40)

откуда
//Л/с
/г 1
у2 зерк “ V
V
Г2
Г2

_
/Г1
“ у2кр V

гг

Из (6.28) ,(6.39) и (6.40) следует, что и2зерК < и2имп, так как
‘II имп = Г1 (>Л +“) = 'з“211мп >С1 ■
Последний результат означает, что полет по цандеровскому эллипсу, так же как и по импульсной траектории, не обеспе­
чивает выполнения граничных условий по скоростям без дополни­
тельного применения импульса.
В заключение остановимся вкратце на вопросе, который был
задан в начале этого параграфа: в каком смысле и по отношению
к какому случаю можно говорить, что световое давление "под­
гоняет” космический аппарат с солнечным парусом в его гелио­
центрическом движении. Речь о подобной ситуации может идти
только при рассмотрении движений аппаратов, обладающих оди­
наковой начальной скоростью, когда на одном из них раскрывает­
ся цандеровский ”|3-парус”. Итак, если оба аппарата получили на
орбите Земли одинаковый касательный импульс и, то аппарат
без паруса переходит с круговой орбиты I на эллиптическую им­
пульсную орбиту II (см. рис. 6), а аппарат с парусом сойдет с
орбиты 11 и будет двигаться по некоторой эллиптической орби­
те III, лежащей снаружи орбиты II, т.е. по цандеровской траекто­
рии в фотогравитационном поле, соответствующей новой перигелийной скорости цп = ц1 + и. Очевидно, что аппарат с парусом
быстрее достигнет орбиты Марса, чем аппарат без паруса, однако
его траектория не коснется орбиты Марса, а пересечет ее, т.е.
цандеровская схема перелета по касательному эллипсу будет
нарушена и афелий орбиты III окажется вне орбиты Марса. Одна­
ко в принципе можно говорить о том, что в описанной ситуации
солнечные лучи "подгоняют” аппарат, летящий по орбите III,
по сравнению с аппаратом на орбите II.
Легко установить формулы связи элементов орбит II и III.
Так как аппараты проходят перигелии своих орбит с одинаковы­
ми скоростями и„ = и1+и, то оказываются равными и постоян­
ные площадей орбит II и III:

СП, III = (бг ил) П =

ия)ш >

причем одновременно
Сц,ш = >/М
сРп
*

= х//(^С + Д)Рпь

57

где рп -ап(1 -е?|), рш = аш(1 -е?п). Так как

гя =яц(1 -еп) = аш(1 -еш),

то из (6.18) с помощью полученных формул можно вывести от­
ношение
мс _
1 _ Рш _ 1 +Сщ > (
Мс+ц
1-/3
рн
I +еп
означающее, что еП1 > сц. Кроме того, увеличение парусности аппа­
рата влечет за собой увеличение эксцентриситета цандеровского
эллипса II, поскольку импульсный эллипс здесь тождествен им­
ен + 6
пульсному эллипсу II. Окончательно
------ - —, причем при
еп = 0, /3 = 1/2, снова получаем выход с круговой орбиты на пара­
болическую, т.е. еп1 = 1 (см. рис. 5). Заканчивая обсуждение цандеровских эллипсов, следует отметить, что фотогравитационная
задача не допускает реальных движений с солнечным парусом с
земной орбиты к орбитам, лежащим внутри нее: это теоретически
возможно лишь при "ударном” уменьшении парусности, что явля­
ется малопривлекательной задачей в техническом отношении
(например, такая ситуация возможна при слипании пылевых частиц
в Солнечной системе, ведущем к уменьшению парусности [1.1] ).
Это не относится к перелетам с внешних орбит к орбите Земли:
действительно, достигнув орбиты Марса по цандеровскому эллип­
су, можно, свернув парус, вернуться к орбите Земли. Импульсные
межпланетные перелеты, естественно, лишены этого ограничения.
VI. Цандеровский параболический перелет. По аналогии со срав­
нительным анализом эллиптических кеплеровских и цандеровских
движений можно провести и сравнительный анализ динамических
особенностей движения по соответствующим параболам, которые
геометрически идентичны параболам с перигелийным расстоянием
г„=гэ. Как известно, выход аппарата на кеплерову параболу
происходит с местной параболической скоростью в результате
импульса, превращающего в перигелии местную круговую ско­
рость Цм.кр = Уз в местную параболическую ом.пар = иянмп =
= УГцм.кр (убывающую вдоль траектории по закону
Вы­
ход на цандеровскую параболу происходит вообще без приложения
импульса, т.е. со скоростью 1)яэерк = о3, являющейся параболичес­
кой скоростью в фотогравитационном поле (и также убывающей
по закону ~1/\/7). Следовательно, скорость в любой точке цандеровской параболы численно равна местной круговой скорости
кеплерова движения ^мп =
изерк ■ Этот вывод будет полезен
нам в дальнейшем, в § 8, при сравнении цандеровских и спираль­
ных траекторий.
58

Время полета по кеплеровой параболе от перицентра до заданно­
го расстояния г (например, до пересечения с планетной орбитой
радиуса г) можно вычислить по формуле
----О’
2гл) ,
(6.41)
Зх/7й7
вытекающей из интеграла площадей г21/> = соп51 при подстановке
в него уравнения параболы в полярных координатах. Соответствен­
но время цандеровского перелета по той же геометрически иден­
тичной дуге параболы составляет
ТИМП ~

1 зерк

V ' -'я/-

з7/мс(1 -6)

Так как для параболы редукция (3 = 1/2, то
зерк

(6.42)

и мп •

Итак, параболический цандеровский перелет с зеркалом длится
в \/2~ раз дольше, чем импульсный Уместно также напомнить,
что формулы (6.41) и (6.42) получаются в результате интегрирова­
ния формулы г2!р =с (интеграл площадей), в которой, как пока­
зано в п. V, постоянная площадей с принимает значения: снмп =
= х//МсР или сзерк = \/[Мс (1 - Р) р. Так как параболы двух
движений геометрически идентичны, т.е. р = 2гл=2г3, то при
6 = 1/2 получаем постоянные площадей
^зерк “ х//4/С 3 *

^имп “ х/ 2/Л/с

~ х/ 2 с зерк •

Этот результат соответствует упомянутому выше свойству скорос­
ти на цандеровской параболе. Заметим попутно, что поскольку
с = г„и„, то, следовательно, при наших скоростях
- х/2 и™рк
получим снова симп =г3
смрк-

§ 7. Спиральные траектории межпланетных перелетов
Сформулированная и обоснованная Ф.А. Цандером в 20-е годы
концепция перелета сч солнечным парусом долгие годы после
смерти ученого находилась вне поля зрения исследователей, зани­
мавшихся динамикой космического полета. К этому промежутку
времени относится лишь обзорная статьяМ.К. Тихонравова [В.15] ).
*)М.К. Тихонравов рассмотрел исследованный Ф.А. Цандером способ
движения в космосе и уточнил размеры необходимых для этой цели парус­
ных экранов. При этом величина нормального давления солнечного света
59

Однако в 50-е и 60-е годы эта забытая проблема неожиданно полу­
чает быстрое развитие в направлении исследования гелиоцентричес­
ких траекторий нового типа — спиральных логарифмических
траекторий межпланетных перелетов с солнечным парусом. Эти
траектории осуществляются при полете плоского солнечного пару­
са, ориентированного под некоторым постоянным углом к солнеч­
ным лучам, не равным нулю в отличие от цандеровской неизменной
нормальной ориентации паруса. Этот угол (его называют углом
установки паруса) образуется нормалью к теневой поверхности
паруса и направлением потока солнечных лучей. Межпланетное
маневрирование аппарата с управляемым парусом рассматривалось
сначала для постоянного, а затем и для переменного в течение
времени полета угла установки паруса. Цандеровская задача о
траекториях в фотогравитационном поле Солнца вытекала из этих
исследований как частный случай постоянной нормальной ориента­
ции паруса (при нулевом угле установки).
Прежде чем описать динамические свойства спирального гелио­
центрического движения при помощи паруса, изложим вкратце
известные геометрические свойства логарифмической спирали и
покажем принципиальную возможность реализации этой некеплеровой траектории в поле сил тяготения и давления солнечной
радиации.
I. Логарифмическая спиральная траектория. Частный случай
касательной тяги. Известно, что логарифмическая спираль
7Г
г = гое* ’с18а аЕ 0. —
(7.1)
2

есть кривая с асимптотической точкой в начале координат (в на­
шей задаче - в центре Солнца), обладающая свойством неизмен­
ности угла а между касательной и радиус-вектором, называемого
спиральным углом. На рис. 7 изображены две спирали с разными
углами а, но имеющие одинаковый радиус исходной круговой
орбиты Го, с‘которой начинается выход на спираль. Очевидно,
что при а ->90° спираль превращается в окружность, при а->0 в прямую, стремящуюся к гелиоцентрическому радиус-вектору
Неизменность спирального угла означает выполнение ряда
очевидных кинематических соотношений:
Цг = Цо>с18“,

г = г^с18а,

с18«=Цг/Цо,,

•2 2
г = г>р с(& а +г о’ траектории спирального типа
(их практическое назначение делается, однако, в этом случае
сомнительным) должны описываться какими-то иными форму­
лами, характеризующими эволюцию и деформацию цандеровских
парабол и гипербол в присутствии трансверсального возмущения.
Таковы вкратце основные свойства спиральной траектории
в модельной задаче полета для частного случая касательной тяги,
пропорциональной г* 2 и составляющей неизменный угол с радиусвектором. Как легко видеть, это движение описывается в поляр­
ных координатах системой функций
а = а0 = сопя,

г(у>) = гоехр(у>с18а),
^(у’) = х//Л7с ехр ( —уз с1(> а
66

/Л/с
(2.14)

т(^) =---- —
------ ехр( —
3 х/ /Мс соз а Ь '

сгв а ) — 1 I,
'
*-

Т (~р) [Мг соз а
IV (ф) =------ =--------- ------ ехр(—2>р с(в а).
т
2 г г0

Эта система функций с точностью до обозначений совпадает с систе­
мой, приведенной в [В.24, с. 617] и предлагаемой в качестве част­
ного решения уравнений движения [В.24, с. 100] под действием
касательной силы тяги, пропорциональной г ”2, т.е. в нашем случае

(1г
(11
Г
1>81Па (IV
[Мс
Т
—- = г с1 в а, — =---------,--------------- =------- — соз а + —.
(1р
(1р
ц З1п а
г
(1р
г2
т
Легко видеть, что эти уравнения движения удовлетворяют приве­
денным выше формулам п. 1. Следует напомнить, что логарифмиче­
ская спираль является не единственным решением задачи о движе­
нии с касательной тягой [В.24], однако остальные решения отно­
сятся к реактивной малой тяге.
Итак, мы установили основные свойства спиральной логарифми­
ческой траектории, пользуясь записью формул в плоских полярных
координатах. Если же за независимую переменную выбрать вре
мя I, то удобнее воспользоваться общими соотношениями для

малой силы тяги, полученными В.В.Белецким и В.А.Егоровым [1.3].
На рис. 8 изображено произвольное направление малой силы тя­
ги Т, составляющей угол 0 с радиус-вектором г, и направление
скорости V, составляющее с радиус-вектором г угол а. Для записи
формул в [1.3] используется система безразмерных переменных:
1) безразмерное расстояние г * = г/го:
5*

67

2) безразмерная скорость и * = и /п 1, где и) - у/вг0 =
—
местная круговая скорость, ? = /М/с/} - гравитационное уско­
рение;
3) безразмерное время т * = Г
= 1и с/г о1
4) безразмерное тяговое ускорение Г * = Т/т%.
В этих единицах легко определить полную орбитальную энергию
единичной массы, отнесенную к гравитационному параметру притя­
гивающего центра, Л * = Л//Мт, а также безразмерную постоянную
площадей с* =
т.е. удвоенную секториальную скорость
г 2 ф, отнесенную к г„. Для этих величин имеем сразу [1.3]
с?Л
,
ас
---- =Т V соа(а - в), -—- = Т г ап в.
*