Математическая шпаргалка [Автор Неизвестен] (pdf) читать онлайн
- Математическая шпаргалка 216 Кб, 4с. скачать: (pdf) - (pdf+fbd) читать: (полностью) - (постранично) - Автор Неизвестен
Книга в формате pdf! Изображения и текст могут не отображаться!
[Настройки текста] [Cбросить фильтры]
Формулы сокращенного умножения:
Квадрат суммы
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Квадрат разности
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Разность квадратов
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
Куб суммы
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Куб разности
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
Сумма кубов
a3 + b3 = (a + b)( a2 - ab + b2)
Разность кубов
a3 – b3 = (a – b)( a2 + ab + b2)
Сложение
Деление с остатком:
Формула
деления с остатком:
n=
m⋅k + r,
где n – делимое, m делитель, k - частное, r –
остаток: 0 ≤ r < m
a c a⋅d + c⋅b
+ =
b⋅d
b d
Вычитание
a c a⋅d − c⋅b
− =
b d
b⋅d
Умножение
Делимость натуральных чисел:
a n+ 1 = a n + d, где d – разность прогрессии.
a n = a 1 + d(n –
1)
2a n = a n-1 + a n+1
Sn =
a1 + an
n
2
Пусть n : m = k, где n, m, k – натуральные числа.
Тогда m – делитель числа n, а n – кратно числу m.
Число n называется простым, если его делителями являются
только единица и само число n.
Множество простых чисел: {2; 3; 5; 7; 11; 13; . . .; 41; 43; 47 и т.д.}
Числа n и m называются взаимно простыми, если у них нет
общихделителей, кроме единицы.
a n = a k + d(n – k)
a n + a m = a k + a l , если
n+m=k+l
Sn =
2a1 + d (n −1)
n
2
Десятичные числа:
Геометрическая прогрессия
Определение: Последовательность, у которой задан первый член b 1 ≠ 0, а
каждый следующий равен предыдущему, умноженному на одно и то же
число q ≠ 0, называется геометрической прогрессией:
b n+ 1 = b n q, где q – знаменатель прогрессии.
n–1
n–k
bn = b1 q
b n 2 = b n-1 b n+1
bn = bk q
bn bm = bk bl ,
если n + m = k
+l
Бесконечно убывающая
геометрическая прогрессия
b (1− q n )
Sn = 1
1− q
b
S= 1
1− q
Степень
Определение
n
a = a ⋅ a ⋅ a ... ⋅ a , если n – натуральное число
a – основание степени, n - показатель степени
n
a1 = a a m = m a n
a0 = 1
Формулы
n
a ⋅a
m
=a
a −n =
1
an
a ⋅ b = (a ⋅ b )
n+m
n
n
n
n
an
= a n −m
m
Модуль
Формулы
•
x ≥ 0
•
x - y ≥ x - y
n
( a)
a = a
=a
a
a
=
b
b
a ⋅b = a ⋅ b
2
Корнем k–ой степени из a (k - нечетное) называется число, k-ая степень
которого равна a.
k
k
k
k
k k
k
k
( a)
(k a )
m
= a
k
a
=
b
k
a
b
k
= am k a = a k
Дискриминант:
D0
не имеет корней
x∈∅
имеет один корень x1
имеет два корня
x1; x2
то
уравнение
Приведенное квадратное уравнение:
x1 + x2 = - p
x1 ⋅ x2 = q
x 1 +x 2 = -b/a
x 1 ⋅ x 2 = c/a
x + px + q = 0
Логарифм
Определение
Логарифмом числа по b основанию a называется такое число,
log a b
обозначаемое
.
a , что
log b
a
=b
a - основание логарифма (a > 0, a ≠ 1),
b - логарифмическое число ( b > 0)
lg b = log10 b
Десятичный логарифм:
Натуральный логарифм:
Формулы
ln b = loge b
где e = 2,71828
log a 1 = 0 log a a = 1
log a (b ⋅ c ) = log a b + log a c
b
log a = log a b − log a c
c
log a b n = n ⋅ log a b
log a m
a
logc b
1
b = log a b loga b =
logc a
m
log a b
=b a
log cb
=b
1
loga b =
logb a
Первообразная элементарных функций
№ f(x)
F(x)
№ f(x)
F(x)
6
1
cos 2 x
x
n
7
1
2
sin x
8
ex
tgx + C
x
+C
n +1
1
ln x + C
x
sin x − cos x + C
− ctgx + C
ex + C
Первообразная
k ⋅ F (x )
F1 (x ) + F2 (x )
1
F (ax + b )
a
Правила вычисления производной функции
′
(C )'= 0
u
u ′⋅v −u ⋅v′
=
′
v
v2
′
(C ⋅ u ) = C ⋅ u
Сложная функция:
y = f (ϕ ( x )) ⇒
y ′ = f ϕ' ⋅ ϕ x'
Производные элементарных функций
1
Замена : y = f ( x ) ⇒ y + ay
2
=k
Периодическая дробь
Правило:
ab, cde( fg ) =
abcdefg − abcde
99000
2
3
Функ
ция
Произво
дная
№
Функ
ция
Произво
дная
xn
nxn −1
6
ex
ex
sin x
cos x
7
ax
a x ln a
ln x
1
cos x − sin x
1
4
tgx
cos2 x
ctgx
−
Проценты
Определение:
Процентом называется сотая часть от числа.
Основные типы задач на проценты:
Сколько процентов составляет число A от числа B?
1%A = 0,01A
A
⇒ x = ⋅100%
B
B
100%
A
x%
Сложные проценты.
Число A увеличилось на 20%, а затем полученное число уменьшили на
25%.
Как, в итоге, изменилось исходное число?
1)
A 1 = (100% + 20%)A = 120%A = 1,2A
2)
A 2 = (100% - 25%)A 1 =75%A 1 = 0,75A 1 = 0,75⋅1,2A = 0,9A
= 90%A
3)
A 1 – A = 90%A – 100%A = -10%A
⇒ Ответ:
уменьшилось на 10%. Изменение величины.
Как изменится время, если скорость движения увеличится на 25%?
S
1 S
S
⇒ t1 =
=
=
= 0,8 = 80%t
v1 1, 25v 1, 25 v
v
уменьшится на 20%
S
S
S
1 S
⇒ t1 =
=
=
= 0,8 = 80%t
v1 1, 25v 1, 25 v
v
v
⇒
Ответ:
уменьшится на 20%
t=
kx + C
k
1
№
5
8
1
sin 2 x
9
x
loga x
1
x ⋅ ln a
Равносильные уравнения:
Исходное
уравнение
Равносильное
уравнение (система)
f ( x) = g ( x)
⇔
f ( x) + C = g ( x) + C
f ( x) ⋅ g ( x) = 0
⇔
f ( x) = 0
g ( x) = 0
f ( x)
=0
g ( x)
⇔
f ( x) = 0
g ( x) ≠ 0
f 2 ( x) + g 2 ( x) = 0
⇔
f ( x) = 0
g ( x) = 0
Числовые множества:
Натуральные числа
N = { 1; 2; 3; 4; . .}
Целые числа
Z=N∪
S
Среднее арифметическое, геометрическое
Среднее арифметическое:
a1 + a2 + a3 + ... + an
n
log c a
Дроби
a
(u ⋅ v ) = u ′ ⋅ v + u ⋅ v ′
2
2
f ( x) = g ( x) ⇒ f ( x) = g ( x) ⇒ ( f ( x) − g ( x)) ⋅ ( f ( x) + g ( x)) = 0
Ответ:
Определенный интеграл
′
2
2
f ( x ) + af ( x ) = k ⇒ f ( x ) + a f ( x ) = k
⇒
v(t )= S ′(t ); a(t )=v′(t ),
……7
5
……0
v – скорость, a - ускорение.
(u + v )' = u '+v'
f ( x) = − f ( x) ⇔ f ( x) ≤ 0
v
Числа, оканчивающиеся нулём.
∫ f (x )dx = F (b ) − F (a )
c ) f ( x ) = − k ( k > 0) ⇒ x ∈ ∅
t=
На 10
f (ax + b )
2. f ( x ) = f ( x ) ⇔ f ( x ) ≥ 0
S
Числа, оканчивающиеся нулём или цифрой 5.
Числа, у которых две последние цифры нули или выражают число,
делящееся на 25.
f 1 (x ) + f 2 (x )
b) f ( x) = 0 ⇒ f ( x) = 0
S
На 5
k ⋅ f (x )
Модуль: уравнения и неравенства
Теорема Виета
2
Числа, сумма цифр которых делится на 9.
Функция
a < b и с < 0 ⇔ ac > bc
Признаки делимости чисел:
D = b2 – 4ac
Числа, сумма цифр которых делится на 3.
На 9
b
a
Квадрат суммы
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Квадрат разности
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Разность квадратов
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
Куб суммы
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Куб разности
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
Сумма кубов
a3 + b3 = (a + b)( a2 - ab + b2)
Разность кубов
a3 – b3 = (a – b)( a2 + ab + b2)
Сложение
Деление с остатком:
Формула
деления с остатком:
n=
m⋅k + r,
где n – делимое, m делитель, k - частное, r –
остаток: 0 ≤ r < m
a c a⋅d + c⋅b
+ =
b⋅d
b d
Вычитание
a c a⋅d − c⋅b
− =
b d
b⋅d
Умножение
Делимость натуральных чисел:
a n+ 1 = a n + d, где d – разность прогрессии.
a n = a 1 + d(n –
1)
2a n = a n-1 + a n+1
Sn =
a1 + an
n
2
Пусть n : m = k, где n, m, k – натуральные числа.
Тогда m – делитель числа n, а n – кратно числу m.
Число n называется простым, если его делителями являются
только единица и само число n.
Множество простых чисел: {2; 3; 5; 7; 11; 13; . . .; 41; 43; 47 и т.д.}
Числа n и m называются взаимно простыми, если у них нет
общихделителей, кроме единицы.
a n = a k + d(n – k)
a n + a m = a k + a l , если
n+m=k+l
Sn =
2a1 + d (n −1)
n
2
Десятичные числа:
Геометрическая прогрессия
Определение: Последовательность, у которой задан первый член b 1 ≠ 0, а
каждый следующий равен предыдущему, умноженному на одно и то же
число q ≠ 0, называется геометрической прогрессией:
b n+ 1 = b n q, где q – знаменатель прогрессии.
n–1
n–k
bn = b1 q
b n 2 = b n-1 b n+1
bn = bk q
bn bm = bk bl ,
если n + m = k
+l
Бесконечно убывающая
геометрическая прогрессия
b (1− q n )
Sn = 1
1− q
b
S= 1
1− q
Степень
Определение
n
a = a ⋅ a ⋅ a ... ⋅ a , если n – натуральное число
a – основание степени, n - показатель степени
n
a1 = a a m = m a n
a0 = 1
Формулы
n
a ⋅a
m
=a
a −n =
1
an
a ⋅ b = (a ⋅ b )
n+m
n
n
n
n
an
= a n −m
m
Модуль
Формулы
•
x ≥ 0
•
x - y ≥ x - y
n
( a)
a = a
=a
a
a
=
b
b
a ⋅b = a ⋅ b
2
Корнем k–ой степени из a (k - нечетное) называется число, k-ая степень
которого равна a.
k
k
k
k
k k
k
k
( a)
(k a )
m
= a
k
a
=
b
k
a
b
k
= am k a = a k
Дискриминант:
D0
не имеет корней
x∈∅
имеет один корень x1
имеет два корня
x1; x2
то
уравнение
Приведенное квадратное уравнение:
x1 + x2 = - p
x1 ⋅ x2 = q
x 1 +x 2 = -b/a
x 1 ⋅ x 2 = c/a
x + px + q = 0
Логарифм
Определение
Логарифмом числа по b основанию a называется такое число,
log a b
обозначаемое
.
a , что
log b
a
=b
a - основание логарифма (a > 0, a ≠ 1),
b - логарифмическое число ( b > 0)
lg b = log10 b
Десятичный логарифм:
Натуральный логарифм:
Формулы
ln b = loge b
где e = 2,71828
log a 1 = 0 log a a = 1
log a (b ⋅ c ) = log a b + log a c
b
log a = log a b − log a c
c
log a b n = n ⋅ log a b
log a m
a
logc b
1
b = log a b loga b =
logc a
m
log a b
=b a
log cb
=b
1
loga b =
logb a
Первообразная элементарных функций
№ f(x)
F(x)
№ f(x)
F(x)
6
1
cos 2 x
x
n
7
1
2
sin x
8
ex
tgx + C
x
+C
n +1
1
ln x + C
x
sin x − cos x + C
− ctgx + C
ex + C
Первообразная
k ⋅ F (x )
F1 (x ) + F2 (x )
1
F (ax + b )
a
Правила вычисления производной функции
′
(C )'= 0
u
u ′⋅v −u ⋅v′
=
′
v
v2
′
(C ⋅ u ) = C ⋅ u
Сложная функция:
y = f (ϕ ( x )) ⇒
y ′ = f ϕ' ⋅ ϕ x'
Производные элементарных функций
1
Замена : y = f ( x ) ⇒ y + ay
2
=k
Периодическая дробь
Правило:
ab, cde( fg ) =
abcdefg − abcde
99000
2
3
Функ
ция
Произво
дная
№
Функ
ция
Произво
дная
xn
nxn −1
6
ex
ex
sin x
cos x
7
ax
a x ln a
ln x
1
cos x − sin x
1
4
tgx
cos2 x
ctgx
−
Проценты
Определение:
Процентом называется сотая часть от числа.
Основные типы задач на проценты:
Сколько процентов составляет число A от числа B?
1%A = 0,01A
A
⇒ x = ⋅100%
B
B
100%
A
x%
Сложные проценты.
Число A увеличилось на 20%, а затем полученное число уменьшили на
25%.
Как, в итоге, изменилось исходное число?
1)
A 1 = (100% + 20%)A = 120%A = 1,2A
2)
A 2 = (100% - 25%)A 1 =75%A 1 = 0,75A 1 = 0,75⋅1,2A = 0,9A
= 90%A
3)
A 1 – A = 90%A – 100%A = -10%A
⇒ Ответ:
уменьшилось на 10%. Изменение величины.
Как изменится время, если скорость движения увеличится на 25%?
S
1 S
S
⇒ t1 =
=
=
= 0,8 = 80%t
v1 1, 25v 1, 25 v
v
уменьшится на 20%
S
S
S
1 S
⇒ t1 =
=
=
= 0,8 = 80%t
v1 1, 25v 1, 25 v
v
v
⇒
Ответ:
уменьшится на 20%
t=
kx + C
k
1
№
5
8
1
sin 2 x
9
x
loga x
1
x ⋅ ln a
Равносильные уравнения:
Исходное
уравнение
Равносильное
уравнение (система)
f ( x) = g ( x)
⇔
f ( x) + C = g ( x) + C
f ( x) ⋅ g ( x) = 0
⇔
f ( x) = 0
g ( x) = 0
f ( x)
=0
g ( x)
⇔
f ( x) = 0
g ( x) ≠ 0
f 2 ( x) + g 2 ( x) = 0
⇔
f ( x) = 0
g ( x) = 0
Числовые множества:
Натуральные числа
N = { 1; 2; 3; 4; . .}
Целые числа
Z=N∪
S
Среднее арифметическое, геометрическое
Среднее арифметическое:
a1 + a2 + a3 + ... + an
n
log c a
Дроби
a
(u ⋅ v ) = u ′ ⋅ v + u ⋅ v ′
2
2
f ( x) = g ( x) ⇒ f ( x) = g ( x) ⇒ ( f ( x) − g ( x)) ⋅ ( f ( x) + g ( x)) = 0
Ответ:
Определенный интеграл
′
2
2
f ( x ) + af ( x ) = k ⇒ f ( x ) + a f ( x ) = k
⇒
v(t )= S ′(t ); a(t )=v′(t ),
……7
5
……0
v – скорость, a - ускорение.
(u + v )' = u '+v'
f ( x) = − f ( x) ⇔ f ( x) ≤ 0
v
Числа, оканчивающиеся нулём.
∫ f (x )dx = F (b ) − F (a )
c ) f ( x ) = − k ( k > 0) ⇒ x ∈ ∅
t=
На 10
f (ax + b )
2. f ( x ) = f ( x ) ⇔ f ( x ) ≥ 0
S
Числа, оканчивающиеся нулём или цифрой 5.
Числа, у которых две последние цифры нули или выражают число,
делящееся на 25.
f 1 (x ) + f 2 (x )
b) f ( x) = 0 ⇒ f ( x) = 0
S
На 5
k ⋅ f (x )
Модуль: уравнения и неравенства
Теорема Виета
2
Числа, сумма цифр которых делится на 9.
Функция
a < b и с < 0 ⇔ ac > bc
Признаки делимости чисел:
D = b2 – 4ac
Числа, сумма цифр которых делится на 3.
На 9
b
a
Последние комментарии
11 часов 56 минут назад
16 часов 11 минут назад
18 часов 29 минут назад
20 часов 19 минут назад
1 день 2 часов назад
1 день 2 часов назад