Лекции по специальной теории относительности и классической электродинамике [Эмиль Тофик оглы Ахмедов] (pdf) читать онлайн
Книга в формате pdf! Изображения и текст могут не отображаться!
[Настройки текста] [Cбросить фильтры]
è êëàññè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêå
Àõìåäîâ Ý.Ò.
Ñïèñîê èñïîëüçîâàííîé ëèòåðàòóðû:
• Ëàíäàó Ë.Ä., Ëèøèö Å.Ì.
Òåîðèÿ ïîëÿ. Ì.: Ôèçìàòëèò, 2006.
• Ñîêîëîâ À.À., Òåðíîâ È.Ì., Æóêîâñêèé Â.×., Áîðèñîâ À.Â.
Êâàíòîâàÿ ýëåêòðîäè-
íàìèêà. Ì.: Èçä-âî Ì Ó, 1983. 1, 2, 4, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17.
• Êèñåëåâ Â.Â. Êëàññè÷åñêàÿ ýëåêòðîäèíàìèêà: ó÷åáíîå ïîñîáèå. Ì.: Èçä-âî ÌÔÒÈÈÔÂÝ, 2004.
• Õðèïëîâè÷ È.Á.
Òåîðåòè÷åñêèé êàëåéäîñêîï Ì.-Èæåâñê.: Èçä-âî RC Dynami s,
2007. 1.1, 1.2, 2.2, 2.3.
• Áåëîóñîâ Þ.Ì., Êóçíåöîâ Â.Ï., Ñìèëãà Â.Ï. Êàòåõåçèñ. óêîâîäñòâî ïî ìàòåìàòèêå
äëÿ íà÷èíàþùèõ èçó÷àòü òåîðåòè÷åñêóþ èçèêó: ó÷åáíîå ïîñîáèå. Ì., ÌÔÒÈ,
2005.
•
Íåîïóáëèêîâàííûå çàïèñè ëåêöèé
Ñ.Â.Ôîìè÷åâà è Ñ.Ñ. åðøòåéíà.
1
Ìåõàíè÷åñêàÿ àíàëîãèÿ äëÿ ïîëÿ, ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè, ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà, ïðîñòðàíñòâîâðåìÿ è åãî
ñâîéñòâà, Ëîðåíöåâî ñîêðàùåíèå äëèí, ñîáñòâåííîå âðåìÿ, Àáåððàöèÿ ñâåòà.
Ëåêöèÿ I;
1. Îñíîâíûå ïîñòóëàòû ìåõàíèêè
Íüþòîíà, êàê èçâåñòíî, ñëåäóþò èç ëîãè÷åñêè íåïðîòè-
âîðå÷èâîãî îïèñàíèÿ ñîâîêóïíîñòè îïûòíûõ àêòîâ:
• Èíåðöèàëüíûå ñèñòåìû îòñ÷åòà (ÈÑÎ) - ýòî òàêèå ÑÎ , îòíîñèòåëüíî êî-
òîðûõ òåëî, íà êîòîðîå íå äåéñòâóåò íèêàêàÿ ñèëà, äâèæåòñÿ ðàâíîìåðíî
è ïðÿìîëèíåéíî;
• ~x¨ = F~ /m - óñêîðåíèå ñîîáùåííîå òåëó ðàâíî ñèëå, äåéñòâóþùåé íà íåãî,
äåëåííîé íà åãî èíåðöèàëüíóþ ìàññó;
• F~1 = −F~2 - äåéñòâèå ðàâíî ïðîòèâîäåéñòâèþ.
Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ýòè çàêîíû íå ìåíÿþòñÿ ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ
àëèëåÿ:
~x′ = ~x + ~v t
t′ = t,
èçè÷åñêèé ñìûñë êîòîðûõ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî çàêîíû Íüþòîíà íå ìåíÿþòñÿ ïðè
ïåðåõîäå îò îäíîé ÈÑÎ â äðóãóþ, êîòîðàÿ äâèæåòñÿ îòíîñèòåëüíî èñõîäíîé ÈÑÎ ñî ñêîðîñòüþ
~v . Ò.å. àáñîëþòíîãî äâèæåíèÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ íå áûâàåò. Äâèæåíèå ñ óñêî-
ðåíèåì àáñîëþòíî. Òîò àêò, ÷òî óðàâíåíèÿ Íüþòîíîâîé ìåõàíèêè íå çàâèñÿò îò âûáîðà
ÈÑÎ íàçûâàåòñÿ ïðèíöèïîì îòíîñèòåëüíîñòè
àëèëåÿ.
 ìåõàíèêå Íüòîíà èìååòñÿ îäíî ñóùåñòâåííîå óïðîùåíèå. àññìîòðèì ñèñòåìó ÷àñòèö, âçàèìîäåéñòâóþùèõ ïî çàêîíó Êóëîíà. Ñìåñòèì îäíó èç ÷àñòèö â íîâîå ïîëîæåíèå.
Òîãäà, â ñîîòâåòñòâèè ñ çàêîíàìè ìåõàíèêè Íüþòîíà, îñòàëüíûå ÷àñòèöû ìãíîâåííî ïî÷óâñòâóþò ýòî èçìåíåíèå â ïîëîæåíèè ñìåùåííîé ÷àñòèöû. Ò.å. âçàèìîäåéñòâèå â ìåõàíèêå
Íüþòîíà ïåðåíîñèòñÿ ñ áåñêîíå÷íîé ñêîðîñòüþ.
Èç ýêñïåðèìåíòà ìû çíàåì, ÷òî ýëåêòðîìàãíèòíîå (ÝÌ) âçàèìîäåéñòâèå ïåðåíîñèòñÿ ñ
8
êîíå÷íîé ñêîðîñòüþ c ≈ 2, 998 · 10 ì/ñ. Ïîäàâëÿþùåå áîëüøèíñòâî ñêîðîñòåé, ñ êîòîðûìè
ìû èìååì äåëî â ïîâñåäíåâíîé æèçíè, ïðåíåáðåæèìî ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñî ñêîðîñòüþ
ñâåòà. Ïîýòîìó âñå äåéñòâèòåëüíî âûãëÿäèò êàê áóäòî âçàèìîäåéñòâèÿ ïåðåäàþòñÿ ìãíîâåííî. Íî íàñ òåïåðü èíòåðåñóþò ÿâëåíèÿ, ïðè êîòîðûõ ñêîðîñòè ÷àñòèö áëèçêè ê ñêîðîñòè
ñâåòà è, ïîýòîìó òàêîå óïðîùåíèå íåäîïóñòèìî.
2.
×òîáû ïîíÿòü, ÷òî ïðîèñõîäèò íà ñàìîì äåëå, ðàññìîòðèì ìåõàíè÷åñêóþ ìîäåëü,
êîòîðàÿ î÷åíü áëèçêà ê äåéñòâèòåëüíîñòè. À èìåííî, ðàññìîòðèì îäíîìåðíóþ áåñêîíå÷-
m, ñîåäèíåííûõ ïðóæèíàìè ñ îäèíàêîâûìè
k . Ïóñòü äëÿ ïðîñòîòû âñå øàðèêè íàñàæåíû íà îäèí áåñêîíå÷íûé
íóþ öåïî÷êó øàðèêîâ îäèíàêîâîé ìàññû
êîýèöèåíòàìè
óêà
ñòåðæåíü, ò.å. ìîãóò êîëåáàòüñÿ òîëüêî â îäíîì íàïðàâëåíèè âäîëü öåïî÷êè (ñì. ðèñ.
2
èñ. 1:
(1)). Ýòà ìîäåëü ÿâëÿåòñÿ òàêæå ìåõàíè÷åñêîé èäåàëèçàöèåé îäíîìåðíîé êðèñòàëëè÷åñêîé
ðåøåòêè àòîìîâ.
 ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ âñå øàðèêè íàõîäÿòñÿ íà îäèíàêîâîì ðàññòîÿíèè äðóã îò äðóãà. Ïóñòü ÿ ìåäëåííî ïîòÿíó ðóêîé (àäèàáàòè÷åñêè ïðèëîæèâ ïîñòîÿííóþ ñèëó) îäèí èç
øàðèêîâ, ñêàæåì íàëåâî, âîçìóòèâ òåì ñàìûì ðåøåòêó. Óñòàíîâèòñÿ íîâîå ðàâíîâåñèå, â
êîòîðîì î÷åâèäíî âñå ïðóæèíû íàëåâî îò ñìåùåííîãî øàðèêà ñîæìóòñÿ â òîé èëè èíîé
ñòåïåíè, à âñå ïðóæèíû ñïðàâà îò øàðèêà ðàñòÿíóòñÿ. Åñëè çàäàíî ñìåùåíèå êàæäîãî èç
øàðèêîâ èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, òî ìû òåì ñàìûì èìååì íåêîòîðîå ïîëå: íàáîð çíà÷åíèé
φi (t)
âðåìåíè
äëÿ âñåõ
t.
i,
ãäå
φi (t)
- ñìåùåíèå
i-ãî
øàðèêà èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ â ìîìåíò
 ñëó÷àå ïîñòîÿííîé ïðèëîæåííîé ñèëû î÷åâèäíî, ÷òî âñå
φi
íå çàâèñÿò îò
âðåìåíè, è ìû èìååì äåëî ñî ñòàòè÷åñêèì ïîëåì. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ñòàòè÷åñêèé ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä âîçìóùàåò ÝÌ ïîëå àíàëîãè÷íûì îáðàçîì. Àíàëîãèÿ áûëà áû áîëåå ïîëíîé
(íî íå àáñîëþòíîé), åñëè ìû ðàññìàòðèâàëè áû òðåõìåðíóþ, à íå îäíîìåðíóþ ðåøåòêó.
Ïóñòü òåïåðü ìîé êîëëåãà ïîòÿíåò ìåäëåííî (àäèàáàòè÷åñêè) ñâîåé ðóêîé êàêîéíèáóäü
âòîðîé øàðèê. Ìû ñ ìîèì êîëëåãîé ïî÷óâñòâóåì, ÷òî ìåæäó íàøèìè äâóìÿ ðóêàìè âîçíèêíåò ñèëà ïðèòÿæåíèÿ èëè îòòàëêèâàíèÿ, â çàâèñèìîñòè îò òîãî ñ êàêîé ñòîðîíû è â
êàêîì íàïðàâëåíèè ïî îòíîøåíèþ ê èñõîäíîìó ñìåùåíèþ áûë ñìåùåí âòîðîé øàðèê. Ïîëó÷åííàÿ ñèëà ÿâëÿåòñÿ àíàëîãîì (íå ïîëíûì) ñèëû Êóëîíà, âîçíèêàþùåé ìåæäó äâóìÿ
çàðÿäàìè. Îïÿòü æå àíàëîãèÿ áûëà áû áîëåå ïîëíîé, åñëè áû ìû ðàññìàòðèâàëè òðåõìåðíóþ, à íå îäíîìåðíóþ ðåøåòêó. Ìû óâèäèì ýòî â ñëåäóþùèõ ëåêöèÿõ.
Åñëè òåïåðü ÿ ðåçêî ñìåùó ïîëîæåíèå ñâîåé ðóêè (èçìåíèâ òåì ñàìûì óñèëèå) â òó
èëè èíóþ ñòîðîíó, òî ðóêà êîëëåãè ïî÷óâñòâóåò ýòî èçìåíåíèå â ïîëîæåíèè ìîåé ðóêè íå
ìãíîâåííî, à ÷åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ, ðàâíîå âðåìåíè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû âîçìóùåíèÿ
ïî ðåøåòêå îò îäíîé ðóêè äî äðóãîé. Ýòà âîëíà ÿâëÿåòñÿ àíàëîãîì ýëåêòðîìàãíèòíîé
âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ îò îäíîãî ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà ê äðóãîìó. Íî åùå áîëåå
ïîëíûì àíàëîãîì îíà ÿâëÿåòñÿ äëÿ çâóêîâîé âîëíû â êðèñòàëëå.
Äàâàéòå ïîïðîáóåì îò÷àñòè îáðàòèòü ýòè íàøè êà÷åñòâåííûå ðàññóæäåíèÿ â îðìóëû,
÷òîáû íå áûòü ãîëîñëîâíûìè. Íàì ïîëó÷åííûå îðìóëû îêàæóòñÿ ïîëåçíûìè â äàëüíåéøåì. Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ äëÿ i-ãî øàðèêà:
3
m φ̈i = k (φi+1 − φi ) − k (φi − φi−1 ).
Ò.å. ìû èìååì áåñêîíå÷íóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé ïî îäíîìó äëÿ êàæäîãî
i.
àññìîòðèì òåïåðü íåïðåðûâíûé ïðåäåë. À èìåííî, áóäåì ðàññìàòðèâàòü òàêèå äëèíû
âîëí êîëåáàíèé ðåøåòêè, ïðè ìàëûõ àìïëèòóäàõ, ÷òî îíè áóäóò íàìíîãî áîëüøå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó øàðèêàìè â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ. Ýåêòèâíûå óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå
ýòè âîëíû íå áóäóò ÷óâñòâîâàòü òîíêóþ ñòðóêòóðó íàøåé ðåøåòêè. Â êîíöå êîíöîâ
ñìûñë íåïðåðûâíîãî ïðåäåëà ìîæíî ïîíÿòü, óÿñíèâ, ÷òî ëþáîé ðåàëüíûé êðèñòàëë ìû
âèäèì êàê îäíîðîäíîå òåëî è âîëíû â íåì îïèñûâàåì êàê êîëåáàíèÿ ïëîòíîñòè, íè÷åãî ïðàêòè÷åñêè íå çíàÿ î åãî êðèñòàëëè÷åñêîé ñòðóêòóðå.  ýòîì ïðåäåëå íàøà ðåøåòêà
áóäåò âûãëÿäåòü êàê îäíîðîäíîå óïðóãîå òåëî. Â íåïðåðûâíîì ïðåäåëå
φi (t) → φ(t, x),
φ(t, x) ñìåùåíèå [x, x + dx] ñåãìåíòà íàøåãî
ìîìåíò âðåìåíè t íà âåëè÷èíó |φ|. Äàëåå
ãäå
â
óïðóãîãî òåëà èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ
φi+1 (t) − φi (t) → φ(t, x + ∆x) − φ(t, x) ≈ φ′ (t, x) ∆x.
Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ïðèíèìàþò âèä:
mφ̈(t, x) ≈ k [φ′ (t, x) − φ′ (t, x − ∆x)] ∆x ≈ k φ′′ (t, x) ∆x2 .
Åñëè â ïðåäåëå
∆x → 0
ìû äåðæèì
m/k ∆x2 ≡ 1/c̄2 = const,
÷òî ñîîòâåòñòâóåò òîìó,
÷òî ìû ïîëó÷èì óïðóãîå òåëî, à íå ïûëü èç íå âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö (c̄
àáñîëþòíî æåñòêèé (íå óïðóãèé) ñòåðæåíü (c̄
= ∞),
1 ∂2φ ∂2φ
− 2 = 0,
c̄2 ∂t2
∂x
ãäå
c̄
= 0)
èëè
òî óðàâíåíèå ñâîäèòñÿ ê
(1)
èìååò ðàçìåðíîñòü ñêîðîñòè è, êàê ìû óâèäèì, èìååò ñìûñë ñêîðîñòè çâóêà â íà-
øåì óïðóãîì òåëå. Ìû òàê æå óâèäèì, ÷òî ÝÌ âîëíû ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè àíàëîãè÷íûõ
óðàâíåíèé óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà ãäå âìåñòî
c̄
ñòîèò
c
ñêîðîñòü ñâåòà.
Íàéäåì ðåøåíèÿ ïîëó÷åííûõ óðàâíåíèé è ïîéìåì èõ èçè÷åñêèé ñìûñë. Äëÿ ýòîãî
ïðåäñòàâèì ïîëó÷åííûå óðàâíåíèÿ â âèäå:
∂2
1 ∂2
−
c̄2 ∂t2 ∂x2
φ(t, x) =
∂
∂
−
c̄ ∂t ∂x
∂
∂
+
c̄ ∂t ∂x
φ(t, x) = 0.
Òîãäà ëåãêî âèäåòü, ÷òî ñàìîå îáùåå ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ èìååò âèä:
φ(t, x) = f (c̄ t − x) + g(c̄ t + x),
ãäå
f
è
g
ñîâåðøåííî ïðîèçâîëíûå äâàæäû äèåðåíöèðóåìûå óíêöèè. ×òîáû ïîíÿòü
èçè÷åñêèé ñìûñë òàêèõ ðåøåíèé, ðàññìîòðèì óíêöèþ
4
f (s),
íàïðèìåð, èìåþùóþ âèä
êîëîêîëà (ãðåáíÿ âîëíû) ñ âåðøèíîé â êàêîé-òî òî÷êå
öèè îò
x
áóäåò ñìåùàòüñÿ íàïðàâî ïî îñè
âåðøèíû êîëîêîëà
x,
c̄ t1 − x1 = s0 = c̄ t2 − x2 ,
s0 , òîãäà ãðåáåíü f (c̄ t−x) êàê óíê-
ò.ê. â ñîîòâåòñòâèè ñ óðàâíåíèåì ïîëîæåíèÿ
åñëè
t2 > t1
òî
x2 > x1 .
Òàêèì îáðàçîì, ðàññìàòðèâàåìîå ðåøåíèå ñîîòâåòñòâóåò âîëíå, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ
íàïðàâî ïî îñè
x
ñî ñêîðîñòüþ çâóêà
c̄.
Àíàëîãè÷íî
g(c̄ t + x)
îïèñûâàåò âîëíó, ðàñïðî-
ñòðàíÿþùóþñÿ íàëåâî ñî ñêîðîñòüþ çâóêà. Èìåííî ïîñðåäñòâîì îáìåíà òàêèìè âîëíàìè
è ñîîáùàþòñÿ äðóã ñ äðóãîì âîçìóùåíèÿ îäíîìåðíîãî êðèñòàëëà âðîäå òåõ, ÷òî áûëè
ñîçäàíû âûøå íàøèìè ðóêàìè.
t, x.
àññìîòðèì ïðîñòðàíñòâî-âðåìÿ (ÏÂ)
Ïðîèçâåäåì ñëåäóþùåå ïðåîáðàçîâàíèå
ýòîãî ÏÂ:
c̄ t′ = c̄ t cosh α + x sinh α
x′ = c̄ t sinh α + x cosh α,
ãäå
α = const
ïàðàìåòð ïðåîáðàçîâàíèÿ. Êàê ëåãêî ïðîâåðèòü, ïðè òàêîì ïðåîáðàçîâà-
íèè âîëíîâîå óðàâíåíèå íå èçìåíèò ñâîé âèä:
∂2
1 ∂2
−
c̄2 ∂t2 ∂x2
φ(t, x) =
1 ∂2
∂2
−
c̄2 ∂t′2 ∂x′2
φ(t′ , x′ ) = 0.
×òî, â ÷àñòíîñòè, îçíà÷àåò, ÷òî åãî ðåøåíèå ïðåîáðàçóåòñÿ òðèâèàëüíûì îáðàçîì f (c̄ t −
x) = f (c̄ t′ − x′ ), ò.å. ñêîðîñòü âîëíû ïðè òàêîì ïðåîáðàçîâàíèè íå ìåíÿåòñÿ. Çàìåòèì, ÷òî
ïðè òàêîì ïðåîáðàçîâàíèè òàê æå íå èçìåíèòñÿ è ñëåäóþùàÿ áèëèíåéíàÿ îðìà:
c̄2 t2 − x2 = c̄2 t′2 − x′2 .
àññìîòðåííîå ïðåîáðàçîâàíèå
t, x
âûäåëåííî òîëüêî òåì, ÷òî íå ìåíÿåò âèäà âîëíîâîãî
óðàâíåíèÿ è ðàññìàòðèâàåìîé áèëèíåéíîé îðìû.
3. Êàêîå îòíîøåíèå
âñå ýòî èìååò ê ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè (ÑÒÎ)?
Ìû óâèäèì äàëåå, ÷òî ìíîãèå èç óðàâíåíèé â ÑÒÎ àíàëîãè÷íû ðàññìîòðåííûì òîëüêî
c̄ ñòîèò c ñêîðîñòü ñâåòà. Ïðè ýòîì âûøåóïîìÿíóòàÿ çàìåíà t, x íà t′ , x′
÷òî, ãäå âìåñòî
èìååò èçè÷åñêèé ñìûñë ïåðåõîäà èç îäíîé ÈÑÎ â äðóãóþ.
Ïðåæäå, ÷åì ïåðåéòè ê ðàññìîòðåíèþ ÑÒÎ ñäåëàåì øàã íàçàä îïÿòü ê ìåõàíèêå Íüþòîíà. Çàêîíû ìåõàíèêè Íüþòîíà, â ÷àñòíîñòè, íå èçìåíÿþòñÿ åùå è ïðè âðàùåíèÿõ 3ìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà. Ñ ïîñëåäíèì ÿâëåíèåì òåñíî ñâÿçàí òîò àêò, ÷òî îòíîñèòåëüíî
âðàùåíèé èíâàðèàíòíà áèëèíåéíàÿ îðìà â 3-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, îïðåäåëÿþùàÿ ðàññòîÿíèå:
dl2 = dx2 + dy 2 + dz 2 ,
ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè
(x, y, z)
è
(x + dx, y + dy, z + dz).
Äëÿ íàñ ñåé÷àñ âàæíî íå òî, ÷òî
ïðè ïðîèçâîëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ êîîðäèíàò ñîõðàíÿåòñÿ èçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà ðàññòîdl2 : ñêàæåì ïðè ïåðåõîäå èç îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò (ÑÊ) â ïðî-
ÿíèÿ
èçâîëüíóþ ïåðåêîøåííóþ ÑÊ, äëèíà îòðåçêà îò
(x, y, z)
äî
(x + dx, y + dy, z + dz)
íå
ìåíÿåò ñâîåé âåëè÷èíû. Íàïðèìåð, â 2-ìåðíîì ñëó÷àå ïðè ïîëÿðíîé çàìåíå êîîðäèíàò,
x = x′ cos y ′, y = x′ sin y ′ ìû èìååì:
dl2 = dx2 + dy 2 = dx′2 + x′2 dy ′2 .
5
Äëÿ íàñ ñåé÷àñ âàæíî, ÷òî ïðè çàìåíàõ êîîðäèíàò, îòâå÷àþùèõ âðåùåíèÿì, áèëèíåéíàÿ
îðìà, îïðåäåëÿþùàÿ âèä âûðàæåíèÿ äëÿ äëèíû, íå ìåíÿåò ñâîé âèä. À èìåííî, îïÿòü
æå â 2-ìåðíîì ñëó÷àå ïðè çàìåíå êîîðäèíàò, îòâå÷àþùåé ïîâîðîòó
x′ = x cos ϕ + y sin ϕ
y ′ = −x sin ϕ + y cos ϕ,
ãäå
ϕ = const,
ìû èìååì (ïðè ëþáîì
ϕ)
dl2 = dx2 + dy 2 = dx′2 + dy ′2,
ïðè ýòîì î÷åâèäíî, ÷òî
dx 6= dx′
è
dy 6= dy ′.
×òî åùå áîëåå âàæíî, ïðè âðàùåíèÿõ, êàê è ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ
àëèëåÿ, íå ìåíÿþò
ñâîåãî âèäà óðàâíåíèÿ Íüþòîíîâîé ìåõàíèêè. Ò.å. îíè ñîõðàíÿþò ñâîé âèä â íîâûõ êî′
′ ′
îðäèíàòàõ x , y , z . Íà íàó÷íîì ÿçûêå ýòî óòâåðæäåíèå çâó÷èò òàê: óðàâíåíèÿ ìåõàíèêè
Íüþòîíà ïðåîáðàçóþòñÿ êîâàðèàíòíî ïðè âðàùåíèÿõ. Èëè ïðîñòî êîâàðèàíòíû.
4. Â ÑÒÎ ïîñòóëèðóåòñÿ
(ñëåäóåò èç ëîãè÷åñêè íåïðîòèâîðå÷èâîãî îïèñàíèÿ ñîâîêóï-
íîñòè îïûòíûõ àêòîâ), ÷òî:
• Ñêîðîñòü ñâåòà â âàêóóìå ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîé ñêîðîñòüþ â
ïðèðîäå.
• Ïðîñòðàíñòâî è âðåìÿ îáðàçóþò åäèíûé 4-ìåðíûé ÏÂ êîíòèíóóì ñ ìåòðèêîé
âèäà:
ds2 = c2 dt2 − dx2 − dy 2 − dz 2 ≡ c2 dt2 − d~x2 .
(2)
Ïîñëåäíÿÿ âåëè÷èíà èçèêàìè ÷àùå íàçûâàåòñÿ èíòåðâàëîì è îïðåäåëÿåò
ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè â Ï ñ êîîðäèíàòàìè (t, x, y, z) è (t+dt, x+
dx, y + dy, z + dz). Çäåñü c ñêîðîñòü ñâåòà.
Èç âûøå ïðèâåäåííîãî îáñóæäåíèÿ ñðàçó âèäíî, ÷òî èíòåðâàë ñîõðàíÿåò
ñâîé âèä ïðè Ëîðåíöåâñêîì áóñòå:
c t′ = c t cosh α + x sinh α,
x′ = c t sinh α + x cosh α,
y ′ = y, z ′ = z,
(3)
ãäå α = const.
Ò.å. äëèíà ÷åòûðåõìåðíîãî èíòåðâàëà íå ìåíÿåòñÿ ïðè áóñòàõ, íî, êàê ìû óâèäèì, åãî
ïðîåêöèè íà îñè
t è x ìîãóò ìåíÿòüñÿ, ÷òî àíàëîãè÷íî ñèòóàöèè ñ âðàùåíèÿìè òðåõìåðíîé
ñèñòåìû êîîðäèíàò, êîãäà ìåíÿþòñÿ äëèíû ïðîåêöèé âåêòîðà íà îñè êîîðäèíàò.
Åùå îäèí ïîñòóëàò ãëàñèò, ÷òî:
6
• Ëîðåíöåâñêèé áóñò èìååò èçè÷åñêèé ñìûñë ïåðåõîäà èç îäíîé ÈÑÎ â
äðóãóþ, êîòîðàÿ äâèæåòñÿ îòíîñèòåëüíî ïåðâîé âäîëü îñè x ñî ñêîðîñòüþ
v , ãäå
cosh α = q
cosh α ≡
1
1
2
− vc2
−α
eα + e
2
,
,
sinh α = q
sinh α ≡
− vc
1
2
− vc2
−α
eα − e
2
,
,
2
v
1
2
− c v2 = 1.
cosh α − sinh α =
v2
1 − c2
1 − c2
2
2
(4)
 ñëåäóþùèõ ëåêöèÿõ ìû óâèäèì, ÷òî ïðè Ëîðåíöåâñêèõ áóñòàõ êîâàðèàíòíû óðàâíåíèÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ìåõàíèêè. Ñðàçó çàìå÷ó, ÷òî îðìóëû äëÿ áóñòà Ëîðåíöà èìåþò
ñìûñë òîëüêî, êîãäà
îáðàçîâàíèå
v < c. Ïðè÷åì
â ïðåäåëå
v 0, ò.ê.
äëÿ òàêîãî èíòåðâàëà ñìåùåíèå â ïðîñòðàíñòâå è âî âðåìåíè ñâÿçàíû êàê
|∆~x| < c |∆t|.
∆t íå âîçìîæíî ïîëîæèòü ðàâíûì íóëþ âûáîðîì ÑÎ, ò.ê. èíà÷å íàðóøèëîñü
∆s2 > 0. Ïîýòîìó, åñëè ∆t > 0 â îäíîé ÑÎ, òî ∆t > 0 è â ëþáîé äðóãîé ÑÎ.
2
âåðíî è â ñëó÷àå, åñëè ∆t < 0. Èíòåðâàëû, äëÿ êîòîðûõ âåðíî ∆s > 0 íàçûâàþòñÿ
Áîëåå òîãî
áû óñëîâèå
Òîæå
âðåìåíèïîäîáíûìè.
Ëþáàÿ ìèðîâàÿ òî÷êà âíå ñâåòîâîãî êîíóñà ñîåäèíÿåòñÿ ñ åãî âåðøèíîé îòðåçêîì ñ
2
∆s < 0, ò.ê. äëÿ òàêèõ èíòåðâàëîâ |∆~x| > c |∆t|. Ïîýòîìó, äëÿ òàêèõ èíòåðâàëîâ âûáîðîì
ÑÎ ìîæíî ïîëîæèòü
∆t = 0,
ò.å., ìåíÿÿ ñèñòåìó îòñ÷åòà, ìîæíî ñìåíèòü çíàê
∆t.
Ñëåäî-
âàòåëüíî, åñëè ñîáûòèå áûëî â ïðîøëîì ïî îòíîøåíèþ ê âåðøèíå êîíóñà â îäíîé ÑÎ, òî
åãî ìîæíî ïîëîæèòü â áóäóùåå ïî îòíîøåíèþ ê âåðøèíå âûáîðîì äðóãîé ÑÎ. Èíòåðâàëû,
∆s2 < 0, íàçûâàþòñÿ ïðîñòðàíñòâåííîïîäîáíûìè.
äëÿ êîòîðûõ âåðíî
È íàêîíåö, ëþáàÿ òî÷êà íà ñâåòîâîì êîíóñå ñîåäèíÿåòñÿ ñ åãî âåðøèíîé èíòåðâàëîì ñ
∆s2 = 0,
ò.ê. äëÿ òàêîãî èíòåðâàëà
|∆~x| = c |∆t|.
Òàêèå èíòåðâàëû íàçûâàþòñÿ íóëåâûìè
èëè ñâåòîïîäîáíûìè. Î÷åâèäíî, ÿâëÿåòñÿ ëè èíòåðâàë ñâåòîïîäîáíûì, ïðîñòðàíñòâåííîïîäîáíûì èëè âðåìåíèïîäîáíûì íå çàâèñèò îò ÑÎ, ò.ê. âåëè÷èíà èíòåðâàëà íå çàâèñèò îò
ÑÎ.
6.
Èç âûøåóêàçàííûõ ïîñòóëàòîâ èìåþòñÿ è äðóãèå ïðîñòûå ñëåäñòâèÿ. àññìîòðèì
ñòàíäàðòíûé â ÑÒÎ ìûñëåííûé ýêñïåðèìåíò. Ñòàíöèîííûé ñìîòðèòåëü âèäèò ïðîõîäÿùèé ìèìî íåãî ñ ðåëÿòèâèñòñêîé ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ ïîåçä (êîíå÷íî ñêîðûé), ñîñòîÿùèé èç îäíîãî âàãîíà. Ïîñåðåäèíå âàãîíà ñòîèò ïàññàæèð. Ïàññàæèð äåðæèò îíàðü â
êàæäîé ðóêå. Ïåðåäíÿÿ è çàäíÿÿ (ïî äâèæåíèþ ïîåçäà) ñòåíêè âàãîíà çåðêàëà. Êîãäà
ïàññàæèð ðîâíÿåòñÿ ñî ñìîòðèòåëåì, îí ìãíîâåííî âêëþ÷àåò è âûêëþ÷àåò îíàðè, èçëó÷àÿ ñâåò â íàïðàâëåíèè êàæäîãî èç çåðêàë. È â ÈÑÎ ïàññàæèðà è â ÈÑÎ ñìîòðèòåëÿ
ñâåò äâèæåòñÿ ñ îäèíàêîâîé ñêîðîñòüþ ñêîðîñòü ñâåòà. È â ÈÑÎ ïàññàæèðà è â ÈÑÎ
ñìîòðèòåëÿ èñïóñêàíèå îáîèõ ëó÷åé ñâåòà îäíîâðåìåííî.  ÈÑÎ ïàññàæèðà îáà ëó÷à ñâåòà
îäíîâðåìåííî îòðàæàþòñÿ îò çåðêàë è îäíîâðåìåííî âîçâðàùàþòñÿ ê ïàññàæèðó (ñì. ðèñ.
(4)).
Îäíàêî â ÈÑÎ ñìîòðèòåëÿ ëó÷ ñâåòà, èñïóùåííûé ïî íàïðàâëåíèþ äâèæåíèÿ âàãîíà,
äîñòèãíåò åãî ïåðåäíåé ñòåíêè ïîçæå, ÷åì ëó÷, èñïóùåííûé ïðîòèâ íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ
9
èñ. 4:
âàãîíà, äîñòèãíåò åãî çàäíåé ñòåíêè. Ýòî î÷åâèäíî, ò.ê. ñêîðîñòè ñáëèæåíèÿ ñòåíîê è
ëó÷åé ñâåòà ðàçíûå. Îäíàêî îòðàæåííûå ëó÷è ñâåòà âåðíóòñÿ ê ïàññàæèðó îäíîâðåìåííî
òàê æå è â ÈÑÎ ñìîòðèòåëÿ. Äåéñòâèòåëüíî ïîñëå îòðàæåíèÿ ëó÷åé îò ñòåíîê èõ ñêîðîñòè
ñáëèæåíèÿ ñ ïàññàæèðîì áóäóò ðàçíûå, íî ñ ïðîòèâîïîëîæíûì çíàêîì, ò.ê. îòðàæåííûé
ëó÷ îò ïåðåäíåé ñòåíêè áóäåò òåïåðü äâèãàòüñÿ ïðîòèâ íàïðàâëåíè äâèæåíèÿ ïîçäà, òîãäà
êàê îòðàæåííûé îò çàäíåé ñòåíêè áóäåò, ïîñëå îòðàæåíèÿ, äâèãàòüñÿ ïî íàïðàâëåíèþ
äâèæåíèÿ ïîåçäà.
Èòàê ìîìåíòû îòðàæåíèÿ ëó÷åé ñâåòà îò ñòåíîê âàãîíà, áóäó÷è îäíîâðåìåííûìè â
ÈÑÎ ïàññàæèðà, íå ÿâëÿþòñÿ òàêîâûìè â ÈÑÎ ñìîòðèòåëÿ. Ò.å. â ÑÒÎ îäíîâðåìåííîñòü
íåêîòîðûõ ñîáûòèé îòíîñèòåëüíà êàê ìû ïîíÿëè âûøå.
7. Ïîñëå òîãî êàê ñòàëî ïîíÿòíî, ÷òî ïðîèñõîäèò ñ ïðîìåæóòêàìè âðåìåíè ïðè ïåðåõî-
äå èç îäíîé ÈÑÎ â äðóãóþ, ïîñìîòðèì, ÷òî ïðîèñõîäèò ñ ïðîñòðàíñòâåííûìè îòðåçêàìè.
Ïóñòü òåïåðü ïàññàæèð âûøåóêàçàííîãî ïîåçäà, äâèãàþùåãîñÿ ñî ñêîðîñòüþ
v,
äåðæèò â
ðóêàõ ñòåðæåíü, ïàðàëëåëüíûé äâèæåíèþ âàãîíà. Äëèíà ñòåðæíÿ, êîòîðóþ èçìåðÿåò ïàññàæèð, ðàâíà l0 . Êàêóþ äëèíó ñòåðæíÿ áóäåò âèäåòü ñìîòðèòåëü? Ïóñòü â ÈÑÎ ïàññàæèðà
′
(K') çàäíèé (ïî äâèæåíèþ ïîåçäà) êîíåö ñòåðæíÿ íàõîäèòñÿ â íà÷àëå êîîðäèíàò x1 = 0,
′
à ïåðåäíèé, ñîîòâåòñòâåííî â x2 = l0 . Ïóñòü òåïåðü â ÈÑÎ ñìîòðèòåëÿ â êàêîé-òî ìîìåíò
âðåìåíè
x2 .
t
(ïî åãî ÷àñàì) çàäíèé êîíåö ñòåðæíÿ íàõîäèòñÿ â òî÷êå
Íàøà çàäà÷à íàéòè
ñâÿçàíû ñ
x
è
t:
l = x2 −
x1 ,
à ïåðåäíèé â òî÷êå
x1 . Èç îðìóëû äëÿ áóñòà Ëîðåíöà ìû çíàåì êàê x′ è t′
x′1 ≡ 0 = (x1 − β c t) γ
x′2 ≡ l0 = (x2 − β c t) γ
β x1
′
t1 = t −
γ
c
β x2
′
γ.
t2 = t −
c
10
Çäåñü
β = v/c
ñêîðîñòü ïîåçäà â åäèíèöàõ ñêîðîñòè ñâåòà, à
íàçûâàåìûé ðåëÿòèâèñòñêèé
γ àêòîð.
p
γ = 1/ 1 − v 2 /c2
òàê
Èç ðàññìàòðèâàåìûõ óðàâíåíèé ñëåäóåò, ÷òî
γβl
γβ
(x2 − x1 ) ≡
> 0.
c
c
t′2 − t′1 =
Ò.å. åñëè ñìîòðèòåëü âèäèò, ÷òî â åãî ÈÑÎ êîíöû ñòåæíÿ íàõîäÿòñÿ â òî÷êàõ
x1
è
îäíîâðåìåííî, òî ñ òî÷êè çðåíèÿ ïàññàæèðà ïîïàäàíèå çàäíåãî êîíöà ñòåðæíÿ â òî÷êó
à ïåðåäíåãî â òî÷êó
x2
x2
x1 ,
â ÈÑÎ ñìîòðèòåëÿ íå åñòü îäíîâðåìåííûå ñîáûòèÿ. Íî ïðè ýòîì
èíòåðâàëû â äâóõ ÈÑÎ äîëæíû áûòü ðàâíû:
ds2 = c2 (t − t)2 − (x2 − x1 )2 = −(x2 − x1 )2 ≡ −l2
ds2 = c2 (t′2 − t′1 )2 − (x′2 − x′1 )2 = l2 γ 2 β 2 − l02 .
l2 = −l2 γ 2 β 2 + l02 è, ò.ê. γ 2 − β 2 γ 2 ≡ cosh2 α − sinh2 α ≡ 1/(1 − v 2 /c2 ) − v 2 /c2 /(1 −
v /c ) = 1, òî l0 = l γ . Ñëåäîâàòåëüíî l0 ≥ l, ò.ê. γ ≥ 1. Ïîñëåäíåå ÿâëåíèå â ÑÒÎ
Ïîýòîìó
2 2
íàçûâàåòñÿ Ëîðåíöåâûì ñîêðàùåíèåì äëèí.
Êàê âû, íàäåþñü, âèäèòå èç ïðèâåäåííûõ çäåñü ðàññóæäåíèé, áóñò Ëîðåíöà åñòü àíàëîã
1
ïîâîðîòà â ïðîñòðàíñòâå òî÷íåå ãèïåðáîëè÷åñêèé ïîâîðîò , ò.ê.
ñîâñåì òîæå ñàìîå, ÷òî
cos
è
sin.
cosh
è
sinh
ýòî íå
Ïîýòîìó ïîñëå Ëîðåíöåâñêîãî áóñòà ìîãóò ìåíÿòüñÿ
âåëè÷èíû ïðèðàùåíèé âðåìåíè è ïðîñòðàíñòâåííûå ðàçìåðû (ïðîåêöèè èíòåðâàëà íà îñè
êîîðäèíàò), íî ðàçíîñòü èõ êâàäðàòîâ êâàäðàò äëèíû èíòåðâàëà îñòàåòñÿ íåèçìåííîé.
8. Íàéäåì òåïåðü
ðîñòüþ
çàêîí ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé. Ïóñòü ïîåçä äâèæåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêî-
v , à ïàññàæèð êèäàåò êàìåíü òîæå ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ âäîëü äâèæåíèÿ ïîåçäà,
u. Êàêîâà ñêîðîñòü äâèæåíèÿ êàìíÿ â ÈÑÎ ñìîòðèòåëÿ?
êîòîðàÿ â ÈÑÎ ïàññàæèðà ðàâíà
Ñäåëàåì äâà áóñòà Ëîðåíöà ïîäðÿä ñíà÷àëà äëÿ ïåðåõîäà èç ÈÑÎ ñìîòðèòåëÿ â
ÈÑÎ ïàññàæèðà, à çàòåì èç ÈÑÎ ïàññàæèðà â ÈÑÎ êàìíÿ. Ò.å. ìû äîëæíû ïðèìåíèòü
êîìïîçèöèþ äâóõ Ëîðåíöåâñêèõ áóñòîâ ñ ïàðàìåòðàìè:
è
q
cosh α2 = 1/ 1 −
c t1
x1
=
u2
,
c2
tanh α2 = u/c:
cosh α1 sinh α1
sinh α1 cosh α1
ct
x
q
cosh α1 = 1/ 1 −
v2
,
c2
tanh α1 = v/c
c t2
cosh α2 sinh α2
c t1
,
=
x2
sinh α2 cosh α2
x1
(5)
 ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èì îïÿòü áóñò Ëîðåíöà äëÿ ïåðåõîäà èç ÈÑÎ ñìîòðèòåëÿ ïðÿìî â
ÈÑÎ êàìíÿ, à ïàðàìåòð åãî áóäåò ðàâåí
α = α1 + α2 .
Ò.å. ñêîðîñòü êàìíÿ ïî îòíîøåíèþ ê ÈÑÎ ñìîòðèòåëÿ ðàâíà
tanh α1 + tanh α2
v/c + u/c
V
= tanh(α1 + α2 ) =
=
.
c
1 + tanh α1 tanh α2
1 + vc2u
Çàìåòèì, ÷òî ïàðàìåòð áóñòà Ëîðåíöà â
t, x
÷àñòè Ï î÷åíü ïîõîæ íà óãîë ïîâîðîòà ïðè
2ìåðíûõ âðàùåíèÿõ, âåäü åñëè ìû ïîñëåäîâàòåëüíî ïðèìåíèì äâà 2-ìåðíûõ ïîâîðîòà ñ
1 Êîíåö
âåêòîðà ñ êîîðäèíàòàìè (cos ϕ, sin ϕ) îïèñûâàåò îêðóæíîñòü ïðè èçìåíåíèè ϕ, òàê êàê cos2 ϕ +
sin ϕ = 1. Ïðè ýòîì êîíåö âåêòîðà (cosh α, sinh α) îïèñûâàåò ãèïåðáîëó ïðè èçìåíåíèè α, òàê êàê cosh2 α−
sinh2 α = 1. Ýòîò àêò è îïðåäåëÿåò íàçâàíèå îáñóæäàåìîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ.
2
11
óãëàìè
ϕ1
è
ϕ2
îäèí çà äðóãèì, òî ïîëó÷èì îïÿòü 2-ìåðíûé ïîâîðîò íà óãîë
ϕ = ϕ1 + ϕ2 .
Ò.å. äåéñòâèòåëüíî áóñò Ëîðåíöà ïðàâîìåðíî íàçûâàòü (ãèïåðáîëè÷åñêèì) ïîâîðîòîì.
~u
Ìû ðàññìîòðåëè ñëó÷àé, êîãäà
è
~v
ïàðàëëåëüíû. Íàéäåì òåïåðü ñêîðîñòü êàìíÿ â
~u íå îáÿçàòåëüíî ïàðàëëåëü~v (ìû çàáûâàåì â íàøåì ìûñëåííîì ýêñïåðèìåíòå î íàëè÷èè ñèëû òÿæåñòè). àçîáüåì
âñå âåêòîðû íà äâå ñîñòàâëÿþùèå âäîëü ñêîðîñòè ïîåçäà ~
v è ïåðïåíäèêóëÿðíóþ åé, ò.å.,
íàïðèìåð, ~
x íà ~x|| = (~v|~v,~x| ) |~~vv| è ~x⊥ = ~x − ~x|| . Òîãäà ïðè áóñòå Ëîðåíöà èç ÈÑÎ ñìîòðèòåëÿ â ÈÑÎ ïàññàæèðà ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ êîìïîíåíòà ~
x íå ïðåîáðàçóåòñÿ d~x⊥ = d~x′⊥ ,
ÈÑÎ ñìîòðèòåëÿ, åñëè îí äâèæåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ
íîé
ïðîäîëüíàÿ æå êîìïîíåíòà ïðåîáðàçóåòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ:
d~x|| = q
dt = q
d~x′|| + ~v dt′ ,
1
1−
1
1−
v2
c2
v2
c2
dt′ +
(~v d~x′|| )
c2
!
,
ãäå øòðèõîâàííûå âåëè÷èíû îòíîñÿòñÿ ê ÈÑÎ ïàññàæèðà, à íå øòðèõîâàííûå ê ÈÑÎ
ñìîòðèòåëÿ. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî:
r
~
u
d~
x
v2
⊥
⊥
=
,
V~⊥ ≡
1
−
dt
c2
1 + (~uc,~2v)
d~x||
~u|| + ~v
.
V~|| ≡
=
dt
1 + (~uc,~2v)
(6)
Òåïåðü, åñëè âìåñòî áðîñàíèÿ êàìíÿ, ïàññàæèð áóäåò ñâåòèòü îíàðåì â ïðîèçâîëüíîì
íàïðàâëåíèè, ò.å. èñïóñêàåìûé ïàññàæèðîì îáúåêò áóäåò äâèãàòüñÿ ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà,
ò.÷. |~
u||| = c cos θ′ , ãäå θ′ óãîë ìåæäó íàïðàâëåíèåì äâèæåíèÿ ïîåçäà è íàïðàâëåíèåì
ëó÷à ñâåòà â ÈÑÎ ïàññàæèðà. Òîãäà, â ñîîòâåòñòâèè ñ (6), óãîë
íàïðàâëåíèåì äâèæåíèÿ ïîåçäà è ëó÷à ñâåòà,
cos θ =
|V~|| | = c cos θ,
cos θ′ + vc
,
1 + vc cos θ′
θ â ÈÑÎ ñìîòðèòåëÿ ìåæäó
îïðåäåëÿåòñÿ ïî îðìóëå:
v ≡ |~v|.
(7)
ßâëåíèå èçìåíåíèÿ íàïðàâëåíèÿ ðàñïîñòðàíåíèÿ ëó÷à ñâåòà ïðè ïåðåõîäå èç îäíîé ÈÑÎ
â äðóãóþ íàçûâàåòñÿ àáåððàöèåé.
9.
Ò.ê. âðåìÿ îòíîñèòåëüíî, òî äëÿ äàëüíåéøèõ íàøèõ öåëåé óäîáíî ââåñòè èíâàðè-
àíòíóþ õàðàêòåðèñòèêó, èìåþùóþ ñìûñë âðåìåíè òàê íàçûâàåìîå ñîáñòâåííîå âðåìÿ.
àññìîòðèì ÷àñû, êîòîðûå äâèãàþòñÿ ïðîèçâîëüíûì, íå îáÿçàòåëüíî èíåðöèàëüíûì, îáðàçîì. Ñîáñòâåííûì âðåìåíåì â, âîîáùå ãîâîðÿ, íåèíåðöèàëüíîé ÑÎ, âñåãäà ñîïóòñòâóþùåé
÷àñàì, íàçûâàåòñÿ âðåìÿ, êîòîðîå ïîêàçûâàþò ýòè ÷àñû. Î÷åâèäíî, ÷òî ñêîëüêî íàòèêàþò
÷àñû, äâèãàþùèåñÿ äàííûì ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì, íå çàâèñèò îò òîãî èç êàêîé ÑÎ ìû
ñìîòðèì íà ýòè ÷àñû. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû íàáëþäàåì çà íèìè èç ïðîèçâîëüíîé ÈÑÎ.
 êàæäûé îòäåëüíûé ìîìåíò âðåìåíè äâèæåíèå ÷àñîâ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ðàâíîìåðíîå è ïðÿìîëèíåéíîå. Ïîýòîìó â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè ìîæíî ââåñòè íåïîäâèæíî
ñâÿçàííóþ ñ äâèæóùèìèñÿ ÷àñàìè, ò.å. ìãíîâåííî ñîïóòñòâóþùóþ, ÈÑÎ.
12
t
x2
x2
èñ. 5:
t
x2
x2
èñ. 6:
 òå÷åíèè ìàëîãî ïðèðàùåíèÿ âðåìåíè dt ïî ëàáîðàòîðíûì ÷àñàì äâèæóùèåñÿ ÷àñû
p
√
ïðîõîäÿò ðàññòîÿíèå
dx2 + dy 2 + dz 2 = d~x2 â ëàáîðàòîðíîé æå ÈÑÎ. Íàñ èíòåðåñóåò
êàêîé ïðîìåæóòîê âðåìåíè
dτ
ïîêàæóò ñàìè äâèæóùèåñÿ ÷àñû.  ìãíîâåííî ñîïóòñòâóþ-
ùåé ÈÑÎ ÷àñû ïîêîÿòñÿ, ïîýòîìó ïðîéäåííîå èìè ðàññòîÿíèå â ýòîé ÈÑÎ ðàâíî, î÷åâèäíî,
dx′ = dy ′ = dz ′ = 0. Â ñèëó èíâàðèàíòíîñòè èíòåðâàëà, èìååì:
c2 dτ 2 = ds2 = c2 dt2 − d~x2 .
Ïîýòîìó
dτ = dt
ãäå
s
1−
~x˙ 2 (t)
,
c2
(8)
~x˙ (t) ñêîðîñòü ÷àñîâ â ìîìåíò âðåìåíè t â íàøåé ÈÑÎ. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî
ââåñòè ñîáñòâåííóþ äëèíó.
10.
×òîáû ïîäèòîæèòü âñå âûøå ñêàçàííîå, ïîÿñíèì, â ÷åì çàêëþ÷àþòñÿ ïîíÿòèÿ
ïðîñòðàíñòâàâðåìåíè, êîîðäèíàòíîé ñåòêè è ñèñòåìû îòñ÷åòà.  ìåõàíèêå Íüþòîíà ó
íàñ áûë ñïîñîá èçìåðåíèÿ ðàññòîÿíèÿ (ìåòðèêà) â ïðîñòðàíñòâå. À èìåííî, ïî òåîðåìå
Ïèàãîðà ìû ìîãëè ïîñ÷èòàòü ðàññòîÿíèå ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ áëèçêèìè òî÷êàìè â
ïðîñòðàíñòâå, íàïðèìåð, ~
x=
√
p
dl = d~x2 = dx21 + dx22
ìóëå
(x1 , x2 , x3 )
+ dx23 .
è
~x + d~x = (x1 + dx1 , x2 + dx2 , x3 + dx3 ),
13
ïî îð-
Ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòðèêè ìû ìîãëè
êîëè÷åñòâåííî
îïèñàòü õàðàêòåðèñòèêè òðàåê-
òîðèè: ïðîéäåííûé ïóòü, åå äëèíó, à òàêæå êðèâèçíó â ðàçëè÷íûõ òî÷êàõ. Íàïðèìåð, íå
γ12
òðóäíî ïîíÿòü, ÷òî äëèíà òðàåêòîðèè
dl
âäîëü òàêîé òðàåêòîðèè:
ëîìàííîé. Òîãäà äëèíà,
P
l =
∆li , i-ãî
R
γ12
dl.
ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè 1 è 2 ýòî èíòåãðàë
Äåéñòâèòåëüíî, ïðèáëèçèì ãëàäêóþ òðàåêòîðèþ
ñåãìåíòà ëîìàííîé áóäåò ðàâíà
p
∆~x2i ,
à ïîëíàÿ äëèíà
l = i ∆li .  ïðåäåëå êîãäà ÷èñëî ñåãìåíòîâ ëîìàííîé ñòðåìèòüñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, à äëèíà êàæäîãî ñåãìåíòà, ñîîòâåòñòâåííî, ê íóëþ, ëîìàííàÿ âñå ëó÷øå è ëó÷øå
ëîìàííîé
ïðèáëèæàåò ãëàòêóþ òðàåêòîðèþ, à ñóììà â ïîñëåäíåé îðìóëå ïåðåõîäèò â èíòåãðàë.
Ïîìèìî ýòîãî â ìåõàíèêå Íüþòîíà ó íàñ áûë íåçàâèñèìûé ñïîñîá èçìåðåíèÿ âðåìåíè,
à èìåííî
∆t = t2 − t1 .
Íà ðèñ. (5) èçîáðàæåíû òðàåêòîðèè è ïîâåäåíèå ïîêîÿùåéñÿ è
äâèæóùåéñÿ ÷àñòèö â ïðîìåæóòêå âðåìåíè ìåæäó t1 è t2 .  ìåõàíèêå Íüþòîíà îáå ÷àñòèöû ñòàðåþò îäèíàêîâî íà
∆t.
 ëþáîì ñëó÷àå âñå ýòî ïîçâîëÿëî íàì
êîëè÷åñòâåííî
îïèñûâàòü äâèæåíèå, à ïîòîìó çàïèñûâàòü çàêîíû äâèæåíèÿ â âèäå îðìóë.
Îäíàêî ñîâîêóïíîñòü îïûòíûõ äàííûõ ïîêàçûâàåò, ÷òî íåò íåçàâèñèìîãî ñïîñîáà èçìåðÿòü ðàññòîÿíèÿ â ïðîñòðàíñòâå è âî âðåìåíè, à åñòü åäèíûé ñïîñîá èçìåðåíèÿ ðàññòîíèé
â ïðîñòðàíñòâåâðåìåíè (ñì. ðèñ. (6)). À èìåííî, ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ ïðîèçâîëüíûìè
ñîáûòèÿìè (ìèðîâûìè òî÷êàìè), íàïðèìåð, (t, x1 , x2 , x3 ) è (t+dt, x1 +dx1 , x2 +dx2 , x3 +dx3 )
√
√
âû÷èñëÿåòñÿ ïî îðìóëå ds =
c2 dt2 − dl2 = c2 dt2 − d~x2 .
Âî-ïåðâûõ, ïîìèìî âñåãî ïðî÷åãî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â ïðîñòðàíñòâåâðåìåíè åñòü òî÷-
êè, ðàññòîÿíèÿ ìåæäó êîòîðûìè ìîãóò áûòü íóëåâûìè èëè äàæå ìíèìûìè. Ýòî ëèøü
îçíà÷àåò, ÷òî çäåñü ìû èìååì äåëî ñ íîâîé ãåîìåòðèåé ãåîìåòðèåé Ìèíêîâñêîãî, à íå
Åâêëèäà. Âî-âòîðûõ, çàìåòèì, ÷òî òàêîé ñïîñîá èçìåðåíèÿ ðàññòîÿíèé äàåò ñóùåñòâåííî
2
2
2
îòëè÷íûé îòâåò îò íüþòîíîâñêîïèàãîðîâñêîãî, òîëüêî êîãäà dl ñðàâíèìî ñ c dt . Òî
åñòü êîãäà ñìåùåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå ñðàâíèìû ñî ñìåùåíèÿìè âî âðåìåíè ïîìíîæåííûìè
íà ñêîðîñòü ñâåòà. Èëè, èíûìè ñëîâàìè, êîãäà ñêîðîñòè äâèæåíèÿ ñðàâíèìû ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà.  òðåòüèõ, òåïåðü íàì íàäî âû÷èñëÿòü êîëè÷åñòâåííûå õàðàêòåðèñòèêè íå
òðàåêòîðèé, à ìèðîâûõ ëèíèé. Äëèíà ìèðîâîé ëèíèè
îïðåäåëÿåòñÿ êàê èíòåãðàë
ds
âäîëü íåå:
L=
R
ds.
Γ12
Γ12
ìåæäó äâóìÿ ñîáûòèÿìè 1 è 2
Ìû îáñóäèì ïîäðîáíî ýòó îðìóëó
â òðåòüåé ëåêöèè, à ñåé÷àñ çàìåòèì, ÷òî ýòà äëèíà åñòü íè ÷òî èíîå êàê ñîáñòâåííîå âðåìÿ, êîòîðîå "íàòèêàëî"íà ÷àñàõ íàáëþäàòåëÿ, äâèãàþùåãîñÿ âäîëü ýòîé ìèðîâîé ëèíèè,
L=c
R
dτ .
Γ12
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî â ñîîòâåòñòâèè ñî ñïåöèàëüíîé òåîðèåé îòíîñèòåëüíî-
ïîìíîæåííîå íà ñêîðîñòü ñâåòà:
ñòè òåïåðü ïîêîÿùàÿñÿ è äâèãàþùàÿñÿ ÷àñòèöû íà ðèñ. (6) "ñîñòàðèëèñü"ïîðàçíîìó, òàê
êàê äëèíû èõ ìèðîâûõ ëèíèé, âîîáùå ãîâîðÿ, îòëè÷àþòñÿ âîçìîæíî îòëè÷àþòñÿ ñîâñåì íåçíà÷èòåëüíî, ïðè íåáîëüøèõ ñêîðîñòÿõ, íî âñå òàêè íèêîãäà íå ðàâíû äðóã äðóãó.
Ïðè ýòîì òî íàñêîëüêî îíè ñîñòàðèëèñü íå çàâèñèò îò ñèñòåìû îòñ÷åòà. Òàê êàê ðàçíûå
ñèñòåìû îòñ÷åòà îòâå÷àþò ðàçíûì êîîðäèíàòíûì ñåòêàì â îäíîì è òîì æå ïðîñòðàíñòâå
(t, ~x) è (t′ , ~x′ ) â îáîçíà÷åíèÿõ ýòîé ëåêöèè),
âðåìåíè, èçîáðàæåííîì íà ðèñ. (6) (íàïðèìåð,
à äëèíà òîé èëè èíîé êðèâîé íå ìîæåò çàâèñåòü îò âûáîðà êîîðäèíàòíîé ñåòêè.
Âîïðîñû è çàäà÷è
•
×òîáû îñîçíàòü íàñêîëüêî ãëóáîêî âû ïîíèìàåòå ïðîèñõîæäåíèå çàêîíîâ Íüþòîíà,
ïîïðîáóéòå îòâåòèòü íà ñëåäóþùèå äâà âîïðîñà:
à) Ïðèâåäèòå ïðèìåð ýêñïåðèìåíòà, â êîòîðîì íåçàâèñèìî áû èçìåðÿëîñü óñêîðåíèå
14
òåëà, åãî ìàññà è ñèëà äåéñòâóþùàÿ íà íåãî. À çàòåì ÿâíî áû ïðîâåðÿëîñü, ÷òî
m~a = F~ .
Èëè æå ñèëó è ìàññó ïî îòäåëüíîñòè èçìåðèòü íåëüçÿ?
á) Êàê áû âûãëÿäåëè ïðåîáðàçîâàíèÿ
òîíà ìû èìåëè áû
m ~a˙ = F~ ,
àëèëåÿ, åñëè áû âìåñòî âòîðîãî çàêîíà Íüþ-
~a = ~x¨?
ãäå
Êàê áû ïðè ýòîì èçìåíèëñÿ ïåðâûé çà-
êîí Íüþòîíà? Êàêîå äâèæåíèå òîãäà áûëî áû îòíîñèòåëüíûì, à êàêîå àáñîëþòíûì?
Êàêîâà áóäåò Ëàãðàíæåâà è
âòîðîì çàêîíå âèäà
•
m ~a˙ = F~ ?
àìèëüòîíîâà îðìóëèðîâêà ìåõàíèêè îñíîâàííîé íà
×òî áóäåò âìåñòî àçîâîãî ïðîñòðàíñòâà?
Êàê áóäåò âûãëÿäåòü âîëíîâîå óðàâíåíèå, åñëè ìû ðàññìîòðèì ìàëûå êîëåáàíèÿ â
2ìåðíîé è 3ìåðíîé ðåøåòêå (ìàòðàñå). Ïîïðîáóéòå ó÷åñòü ïîëÿðèçàöèþ çâóêîâûõ
âîëí â ðåøåòêå, åñëè øàðèêè ìîãóò êîëåáàòüñÿ â ëþáîì íàïðàâëåíèè âäîëü íàïðàâëåíèé, çàïîëíÿåìûõ ðåøåòêîé. ×òî èçìåíèòñÿ â ñëó÷àå 2ìåðíîé ðåøåòêè, âëîæåíîé â
3-ìåðíîå ïðîñòðàíñòâî? Ïîäóìàéòå, êàê èçìåíèòñÿ íåïðåðûâíîå âîëíîâîå óðàâíåíèå,
åñëè ê îäíîìó èç øàðèêîâ, ñêàæåì
i = 0, ìû
ïðèëîæèì âíåøíþþ ñèëó? Ïîïðîáóéòå
íàéòè ðåøåíèå ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ â îäíî, äâó è òðåõìåðíîì ñëó÷àÿõ. Äëÿ
îòâåòà íà ïîñëåäíèé âîïðîñ íåîáõîäèìû çíàíèÿ èç ïîñëåäóþùèõ ëåêöèé.
•
•
Êàê áóäåò âûãëÿäåòü áóñò Ëîðåíöà âäîëü îñè
y?
Âäîëü
z?
Âäîëü ïðîèçâîëüíîãî
íàïðàâëåíèÿ? Êàê áóäåò âûãëÿäåòü îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ëîðåíöà?
Îáúÿñíèòå ñëåäóþùèå ïàðàäîêñû:
à) ×åëîâåê ñ øåñòîì ñîáñòâåííîé äëèíû 10 ìåòðîâ (â ÈÑÎ ïîêîÿ øåñòà) áåæèò
ñêâîçü ñàðàé ñîáñòâåíîé äëèíû 6 ìåòðîâ (â ÈÑÎ ïîêîÿ ñàðàÿ). Îí äâèæåòñÿ ñ òàêîé ñêîðîñòüþ, ÷òî ðåëÿòèâèñòñêèé
γ àêòîð ðàâåí 10/6, ò.÷. äëèíà ñòåðæíÿ â ÈÑÎ
ñàðàÿ ðàâíà 6 ìåòðîâ. Êîãäà ÷åëîâåê âáåãàåò â ñàðàé è íàõîäèòñÿ â åãî öåíòðå, íàáëþäàòåëü, ïîêîÿùèéñÿ â ýòîì ñàðàå, âèäèò, ÷òî øåñò öåëèêîì óìåùàåòñÿ â ñàðàå.
Êàê æå òàêîå ìîæåò áûòü, åñëè äâèæåíèå ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ îòíîñèòåëüíî, à
â ÈÑÎ ÷åëîâåêà ñ øåñòîì ñàðàé íàëåòàåò íà íåãî ñ òàêîé ñêîðîñòüþ, ÷òî åãî äëèíà
ñîêðàùàåòñÿ äî ðàçìåðîâ ðàâíûõ
6 · 6/10 = 3, 6
ìåòðà?
á) Øåñò ñîáñòâåíîé äëèíû 10 ìåòðîâ ëåòèò ÷åðåç äûðó â ïëîñêîñòè ñîáñòâåíîé äëèíû 6 ìåòðîâ. Ñ òî÷êè çðåíèÿ íàáëþäàòåëÿ, ñâÿçàííîãî ñ ïëîñêîñòüþ, øåñò îñòàåòñÿ
âñå âðåìÿ ïàðàëëåëüíûì ýòîé ïëîñêîñòè è äâèæåòñÿ âäîëü íåå ñ òàêîé ñêîðîñòüþ
vx ,
÷òî ðåëÿòèâèñòñêèé
γx àêòîð
øåñòà ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ ïëîñêîñòè
íåìíîãî áîëüøå
vy ,
10/6.
Ñîñòàâëÿþùàÿ ñêîðîñòè
ìíîãî ìåíüøå ñêîðîñòè
vx
è ïîäîáðàíà òàê,
÷òî øåñò ïðîëåòàåò ñêâîçü äûðó, îñòàâàÿñü âñå âðåìÿ åé ïàðàëëåëüíûì â ÈÑÎ íàáëþäàòåëÿ, ñâÿçàííîãî ñ ïëîñêîñòüþ. Êàê æå òàêîå ìîæåò áûòü, åñëè äâèæåíèå ñ
ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ îòíîñèòåëüíî, à â ÈÑÎ íàáëþäàòåëÿ íà øåñòå îí íèêàê íå
ìîæåò ïîìåñòèòüñÿ â äûðó?
â) Øåñò ñîáñòâåíîé äëèíû 10 ìåòðîâ ñêîëüçèò áåç òðåíèÿ ïî ïëîñêîñòè. Â ýòîé ïëîñêîñòè åñòü äûðà ñîáñòâåíîé äëèíû 6 ìåòðîâ. Øåñò äâèæåòñÿ ñ òàêîé ñêîðîñòüþ, ÷òî
ðåëÿòèâèñòñêèé
γ àêòîð
íåìíîãî áîëüøå
10/6.
 ÑÎ íàáëþäàòåëÿ, ñòîÿùåãî íà
ïëîñêîñòè, øåñò ïðîâàëèâàåòñÿ â äûðó. Êàê æå òàêîå ìîæåò áûòü, åñëè â ÑÎ øåñòà
äëèíà ñàðàÿ âðîäå áû äîëæíà ñîêðàùàåòñÿ äî ðàçìåðîâ ðàâíûõ
•
6 · 6/10 = 3, 6 ìåòðà?
Ïðîâåðüòå, ÷òî ðåçóëüòàò êîìïîçèöèè äâóõ áóñòîâ ñ ãèïåðáîëè÷åñêèìè óãëàìè
α2
ÿâëÿåòñÿ áóñò ñ ãèïåðáîëè÷åñêèì óãëîì
15
α = α1 + α2 .
α1
è
Îïðåäåëåíèå òåíçîðîâ è ìåòîäû ðàáîòû ñ íèìè,
ìåòðè÷åñêèé òåíçîð, àáñîëþòíî àíòèñèììåòðè÷íûé òåíçîð,
4ãðàäèåíòû è 4äèâåðãåíöèè îò òåíçîðîâ.
Ëåêöèÿ II;
Ýòà ëåêöèÿ äîñòàòî÷íî îðìàëüíàÿ, ò.ê. ñîäåðæèò îñíîâû òåíçîðíîãî àíàëèçà, êîòîðûé
íåîáõîäèì äëÿ àäåêâàòíîãî íàïèñàíèÿ óðàâíåíèé ÑÒÎ è êëàññè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêè.
ß ïîïûòàëñÿ ñ îäíîé ñòîðîíû ïîäðîáíî îïèñàòü îòêóäà ñëåäóþò òå èëè èíûå óòâåðæäåíèÿ, êàñàþùèåñÿ òåíçîðîâ. Íî ñ äðóãîé ñòîðîíû ïîñòàðàëñÿ íå ñèëüíî îðìàëèçîâûâàòü
èçëîæåíèå.
1.
Ïðåæäå ÷åì îçíàêîìèòüñÿ ñ 4ìåðíûìè òåíçîðàìè, îáñóäèì áîëåå ïðîñòîé ñëó÷àé
òåíçîðîâ â 2ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. Êàê èçâåñòíî, âåêòîð
~v = (v1 , v2 ) îïðåäåëÿåò íàïðàâëå-
íèå â ïðîñòðàíòñâå. Ïîýòîìó ýòî íå ïðîñòî íàáîð èç äâóõ ÷èñåë ñòîëáåö èëè ñòðîêà. Ýòî
âåëè÷èíà, êîòîðàÿ ïðåîáðàçóåòñÿ ïðè ëèíåéíûõ çàìåíàõ êîîðäèíàò. È äåëàåò ýòî îïðåäåëåííûì îáðàçîì:
va′
ãäå
va
= Mab vb ≡
2
X
Mab vb ,
b=1
êîîðäèíàòû âåêòîðà â èñõîäíîé ÑÊ, à
va′
êîîðäèíàòû â íîâîé ÑÊ. Óäîáíî
â äàëüíåéøåì âñåãäà ïîäðàçóìåâàòü ñóììèðîâàíèå ïî ïîâòîðÿþùåìóñÿ èíäåêñó, êàê ýòî
ñäåëàíî â äàííîé îðìóëå äëÿ èíäåêñà
b.
 ëèòåðàòóðå ýòî íàçûâàåòñÿ ïðàâèëîì Ýéí-
øòåéíà.
Âûøåóêàçàííàÿ çàïèñü îçíà÷àåò ïðîñòî
v1′ = M11 v1 + M12 v2
v2′ = M21 v1 + M22 v2
èëè, ÷òî òîæå ñàìîå:
v1′
v2′
=
M11 M12
M21 M22
v1
v2
.
Íå ëþáàÿ ìàòðèöà
M̂ =
M11 M12
M21 M22
îïðåäåëÿåò ïîâîðîò. Äëÿ òîãî, ÷òîáû îíà îïðåäåëÿëà ïîâîðîò íåîáõîäèìî, ÷òîáû îíà óäîâëåòâîðÿëà íåêîòîðûì ñîîòíîøåíèÿì, êîòîðûå ìû îïðåäåëèì íèæå.
′
Âûøåóêàçàííûå îðìóëó ìîæíî çàïèñàòü è â äðóãîì âèäå: va =
÷àåò:
v1′
v2′
=
v1 v2
16
M11 M21
M12 M22
vb M T
ba
, ÷òî îçíà-
(9)
Ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì äâóõ 2âåêòîðîâ íàçûâàåòñÿ:
v1 v2
(~v, w)
~ = v1 w1 + v2 w2 =
w1
w2
= va wa ,
ãäå â ïîñëåäíåì âûðàæåíèè (çàïèñàííîì â òåíçîðíîé îðìå) îïÿòü ïîäðàçóìåâàåòñÿ ñóììèðîâàíèå ïî ïîâòîðÿþùåìóñÿ èíäåêñó
a.
Î÷åâèäíî, ÷òî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ âåêòîðîâ ñîõðàíÿåòñÿ ïðè ïîâîðîòàõ ÑÊ:
va wa = va′ wa′ . Áîëåå òîãî, âðàùåíèå ÑÊ íå ïðîñòî ñîõðàíÿåò âåëè÷èíó ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, íî è íå ìåíÿåò áèëèíåéíóþ îðìó, îïðåäåëÿþùóþ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ÷åðåç
êîìïîíåíòû âåêòîðîâ:
v1 w1 + v2 w2 = v1′ w1′ + v2′ w2′ .
Äàâàéòå ïîñìîòðèì òåïåðü êàêèì óñëîâèÿì äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ìàòðèöà M̂ , ÷òîáû
′
îïðåäåëÿòü âðàùåíèå, à íå ïðîèçâîëüíóþ çàìåíó êîîðäèíàò. Ò.ê. va = Mab vb , òî
va′ va′ = vb M T
Ïóñòü ìàòðèöà
M̂
ba
Mac vc .
óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèþ:
MT
ãäå ñèìâîë Êðîíåêåðà
δac
ba
Mac = δac ,
(10)
îïðåäåëåí êàê
δac =
1,
0,
ïðè
ïðè
a=c
,
a 6= c
ò.å. (10) ýêâèâàëåíòíî ìàòðè÷íîìó ðàâåíñòâó âèäà:
M11 M12
M21 M22
M11 M21
M12 M22
=
1 0
0 1
,
T
T
îçíà÷àþùåìó, ÷òî òðàíñïîíèðîâàííàÿ ìàòðèöà M̂
ðàâíÿåòñÿ îáðàòíîé ê M̂ : M̂ M̂
=
T
−1
ˆ
ˆ
I ⇔ M̂ = M̂ , ãäå I åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà, ïðåäñòàâëåíàÿ âûøå ñèìâîëîì Êðîíåêåðà.
Òàêèå ìàòðèöû íàçûâàþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè.
Åñëè ðàâåíñòâî (10) âåðíî, òî
v1′ w1′ + v2′ w2′ ≡ va′ wa′ = va δac wc = vc wc ≡ v1 w1 + v2 w2 ,
ò.å. ñîõðàíÿåòñÿ è âåëè÷èíà ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ è áèëèíåéíàÿ îðìà, îïðåäåëÿþùàÿ
åãî ÷åðåç êîìïîíåíòû âåêòîðîâ. Èìåííî ðàâåíñòâó (10) è äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ìàòðèöà
M̂ , ÷òîáû îïðåäåëÿòü âðàùåíèå, à íå ïðîèçâîëüíóþ ëèíåéíóþ çàìåíó êîîðäèíàò ïåðåõîä
ê íåîðòîíîðìèðîâàííîìó áàçèñó.
T
Ò.ê. det  = det  è det  B̂ =
Iˆ
ñëåäóåò, ÷òî
det M̂ = ±1.
Ïðè
det  det B̂ äëÿ ëþáûõ ìàòðèö  è B̂ , òî èç M̂ M̂ T =
ýòîì det M̂ = −1 îòâå÷àåò ìàòðèöå ïðåîáðàçîâàíèÿ,
17
âêëþ÷àþùåãî èíâåðñèþ êîîðäèíàò, êîòîðóþ ìû íå âêëþ÷àåì â ÷èñëî âðàùåíèé. Ïîòîìó
det M̂ = 1.
ìàòðèöà M̂ ,
äëÿ âðàùåíèé âåðíî, ÷òî
Àíòèñèììåòðè÷íàÿ
óäîâëåòâîðÿþùàÿ ðàâåíñòâó (10) ñ äåòåðìèíàíòîì
ðàâíûì åäèíèöå, âñåãäà ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â îáùåèçâåñòíîì âèäå:
M̂ =
ãäå
ϕ
cos ϕ sin ϕ
− sin ϕ cos ϕ
óãîë âðàùåíèÿ.
Ïåðåéäåì ê îïðåäåëåíèþ 2ìåðíûõ òåíçîðîâ. Äâóìåðíûì
ëè÷èíà,
Ta1 ...an ,
íåñóùàÿ
n
nòåíçîðîì
íàçûâàåòñÿ âå-
èíäåêñîâ è ïðåîáðàçóþùàÿñÿ ïðè âðàùåíèÿõ êàê:
Ta′ 1 a2 ...an = Ma1 b1 Ma2 b2 . . . Man bn Tb1 b2 ...bn ≡ Tb1 b2 ...bn M T
 ýòîé òåðìèíîëîãèè âåêòîð ÿâëÿåòñÿ
1òåíçîðîì.
b1 a1
MT
b2 a2
. . . MT
bn an
.
Ïðîñòåéøèì ïðèìåðîì 2ìåðíîãî 2òåíçîðà ÿâëÿåòñÿ òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ 2
ìåðíûõ âåêòîðîâ
||va wb ||.
Ýòó âåëè÷èíó ìîæíî çàïèñàòü êàê ìàòðèöó:
||va wb || =
Àíàëîãè÷íî ïðîñòåéøèì ïðèìåðîì
êîòîðîé â ñëó÷àå
n≥3
v1 w1 v1 w2
v2 w1 v1 w2
nòåíçîðà
.
ÿâëÿåòñÿ âåëè÷èíà
va1 wa2 . . . uan ,
ýëåìåíòû
óæå íåëüçÿ ðàñïîëîæèòü â âèäå êâàäðàòíîé ìàòðèöû.
×òîáû ïîçíàêîìèòüñÿ ñ äðóãèì ïðèìåðîì 2ìåðíîãî òåíçîðà ðàññìîòðèì îäèí èç
óíäàìåíòàëüíûõ ïðèìåðîâ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ íîðìó èëè äëèíó âåêòîðà. Íà-
(dx, dy) ≡ (dx1 , dx2 )
(x + dx, y + dy) ≡ (x1 + dx1 , x2 + dx2 ) ðàâíà
ïðèìåð, äëèíà 2ìåðíîãî âåêòîðà
2
2
2
dl = dx + dy ≡
dx21
+
dx22
=
2
X
a=1
ñ êîíöàìè
(x, y) ≡ (x1 , x2 )
è
dxa dxa ≡ dxa dxa .
Ýòà îðìóëà îïðåäåëÿåò ìåòðèêó â 2ìåðíîì Åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå ñïîñîá îïðåäåëåíèÿ ðàññòîÿíèÿ â ïðîñòðàíñòâå. Ââåäåì ïîíÿòèå 2ìåðíîãî Åâêëèäîâà ìåòðè÷åñêîãî
òåíçîðà, ïåðåïèñàâ âûðàæåíèå äëÿ äëèíû â íåñêîëüêî áîëåå îáùåì âèäå:
2
dl ≡ dxa dxa = δab dxa dxb =
ãäå
δab
dx1 dx2
δ11 δ12
δ21 δ22
dx1
dx2
,
ýòî ñèìâîë Êðîíåêåðà è â äàííîé îðìóëå êàê ðàç è ÿâëÿåòñÿ Åâêëèäîâûì
ìåòðè÷åñêèì òåíçîðîì. Ýòà âåëè÷èíà ÿâëÿåòñÿ 2òåíçîðîì, ò.ê. ïðàâèëüíî ïðåîáðàçóåòñÿ
ïðè çàìåíàõ êîîðäèíàò. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè 2ìåðíûõ âðàùåíèÿõ äëèíà íå ìåíÿåòñÿ
′
dl2 = δab dxa dxb = δab
dx′a dx′b .
È, ò.ê.
dx′a = Mab dxb ,
òî íåîáõîäèìî, ÷òîáû ìåòðè÷åñêèé òåíçîð ïðè âðàùåíèÿõ ïðåîáðà-
çîâûâàëñÿ êàê
18
δa′ b = Ma c Mb d δc d ,
÷òîáû äëèíà îñòàâàëàñü èíâàðèàíòíîé. Äåéñòâèòåëüíî,
′
δab
dx′a dx′b = δcd M T
Íî, åñëè
M̂
ca
MT
db
ýòî ìàòðèöà âðàùåíèÿ, òî âåðíî, ÷òî
Ma e dxe Mb g dxg .
M T c a Ma b = δcb .
Òîãäà
′
δab
dx′a dx′b = δcd δce δdg dxe dxg = δab dxa dxb .
Ò.å. äëèíà äåéñòâèòåëüíî èíâàðèàíòíà.
Çàìå÷àòåëüíûì ñâîéñòâîì ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî îí ñàì èíâàðèàíòåí
ïðè âðàùåíèÿõ, ò.å. ïðåîáðàçîâàííûé ìåòðè÷åñêèé òåíçîð ñîâïàäàåò ñ èñõîäíûì:
δa′ b = Ma c Mb d δc d = δab ,
ãäå äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ÿ ïðîñòî ïîäðóãîìó ïåðåïèñàë óðàâíåíèå
M T c a Ma b = δcb :
MT
ca
Ma b = Mc a M T
ab
= Mc a δad M T
db
= Mc a Mb d δad .
Ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå ÿâëÿåòñÿ ïðîñòî îòðàæåíèåì òîãî àêòà, ÷òî áèëèíåéíàÿ îðìà
δab , îïðåäåëÿþùàÿ ìåòðèêó â 2ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, íå ìåíÿåòñÿ ïðè âðàùåíèÿõ: dx2 +
dy 2 = dx′2 + dy ′2 ⇔ δab dxa dxb = δab dx′a dx′b .
Äàëåêî íå âñå òåíçîðû èíâàðèàíòíû ïðè âðàùåíèÿõ. ×èñëî èíâàðèàíòíûõ òåíçîðîâ
îòíîñèòåëüíî 2ìåðíûõ âðàùåíèé îãðàíè÷èâàåòñÿ Åâêëèäîâûì ìåòðè÷åñêèì òåíçîðîì è
ǫab . Ïîñëåäíèé îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ñâîéñòâîì àíòèñèììåòðèè, ǫab = −ǫba , è òåì, ÷òî ǫ12 = 1. Äåéñòâèòåëüíî, òîãäà ǫ21 = −ǫ12 = −1,
à ǫ11 = −ǫ11 = 0 è ǫ22 = −ǫ22 = 0. Ò.å. ýòîò òåíçîð ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå ñëåäóþùåé 2 × 2 ìàòðèöû:
àáñîëþòíîàíòèñèììåòðè÷íûì òåíçîðîì
|| ǫab || =
0 1
−1 0
Äîêàæåì, ÷òî ýòîò òåíçîð èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî âðàùåíèé. àññìîòðèì äâà âåêòîðà
(1)
(2)
(1)
(2)
dxa è dxb . Ñîñòàâèì èç íèõ âåëè÷èíó ǫab dxa dxb . Íå òðóäíî âèäåòü, ÷òî ýòà âåëè÷èíà
(1)
åñòü íè ÷òî èíîå êàê ïëîùàäü ýëåìåíòàðíîé ïëîùàäêè, íàòÿíóòîé íà äâà âåêòîðà dxa è
(2)
(1)
(2)
(1)
(2)
(1)
(2)
(1)
(2)
dxb : ò.ê. îíà ïðîñòî ðàâíà ǫ12 dx1 dx2 + ǫ21 dx2 dx1 = dx1 dx2 − dx2 dx1 . Ïîñëåäíþþ
(1)
âåëè÷èíó ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê dx1 dx2 = dx dy , åñëè íàïðàâèòü dxa âäîëü ïåðâîé îñè
(1)
(2)
(2)
x (ò.å. ïîëîæèòü dx2 = 0), à dxb âäîëü âòîðîé îñè y (ò.å. ïîëîæèòü dx1 = 0).
Íî ïëîùàäü íå ìåíÿåòñÿ ïðè âðàùåíèÿõ. Äåéñòâèòåëüíî âðàùåíèå ýòî ïðîñòî çàìå′
′
íà êîîðäèíàò, ò.å. dx dy = det(M̂ ) dx dy , ãäå det(M̂ ) ýòî ÿêîáèàí çàìåíû. Íî det(M̂ ) = 1,
(1)
(2)
ò.ê. M̂ ýòî ìàòðèöà âðàùåíèÿ. Ò.ê. ïëîùàäü íå ìåíÿåòñÿ ïðè âðàùåíèÿõ, òî ǫab dxa dxb =
′
′
(1)
(2)
ǫab dxa dxb . Ò.å. àíòèñèììåòðè÷íûé òåíçîð èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî âðàùåíèé.
Àáñîëþòíîàíòèñèììåòðè÷íûé òåíçîð îáëàäàåò ðÿäîì çàìå÷àòåëüíûõ ñâîéñòâ. Íàïðèìåð, ëåãêî âèäåòü, ÷òî
19
0 1
−1 0
0 1
−1 0
=−
1 0
0 1
.
(11)
Ýòî ðàâåíñòâî ìîæíî çàïèñàòü â êîìïàêòíîé òåíçîðíîé îðìå êàê
ǫab ǫbc = −δac ,
ãäå, êàê îáû÷íî ïîäðàçóìåâàåòñÿ ñóììèðîâàíèå ïî ïîâòîðÿþùåìóñÿ èíäåêñó
b.
Íà ñàìîì
äåëå àíòèñèììåòðè÷íûé òåíçîð óäîâëåòâîðÿåò è áîëåå îáùåìó òîæäåñòâó:
ǫab ǫdc = det
δad δac
δbd δbc
≡ δad δbc − δac δbd ,
(12)
êîòîðîå äîêàçûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ëåâàÿ ÷àñòü ýòîãî ðàâåíñòâà èíâàðèàíòíûé
2ìåðíûé 4òåíçîð ðåçóëüòàò òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ èíâàðèàíòíûõ 2ìåðíûõ 2
òåíçîðîâ. Îí àíòèñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè âíóòðè ïåðâîé ïàðû è âíóòðè
âòîðîé ïàðû èíäåêñîâ. Ïðè ýòîì îí ñèììåòðè÷åí ïðè ïåðåñòàíîâêå ïåðâîé ïàðû èíäåêñîâ ñî âòîðîé. Åäèíñòâåííûé èíâàðèàíòíûé 4òåíçîð, îáëàäàþùèé òàêèìè ñâîéñòâàìè,
íàïèñàí íà ïðàâîé ñòîðîíå ýòîãî ðàâåíñòâà. (Òðåáóåò
ñòðîãîãî ìàòåìàòè÷åêîãî äîêàçàòåëüñòâà òîò àêò, ÷òî âñå èíâàðèàíòíûå îòíîñèòåëüíî âðàùåíèé 2ìåðíûå òåíçîðà
ñòðîÿòñÿ èç δab è ǫab . Îäíàêî ýòî âûõîäèò çà ðàìêè íàøåãî êóðñà.) Êîýèöèåíò â ðàâåí-
ñòâå èêñèðóåòñÿ èç ñëåäóþùèõ ñîîáðàæåíèé. Ñâåðíåì â ýòîì ðàâåíñòâå âòîðîé èíäåêñ
ó ïåðâîãî àíòèñèììåòðè÷íîãî òåíçîðà (èíäåêñ
æèì èíäåê
d
ðàâíûì
b
b)
ñ ïåðâûì èíäåêñîì ó âòîðîãî (ò.å. ïîëî-
è ïðîñóììèðóåì ïî ïîâòîðÿþùåìóñÿ èíäåêñó). Â ðåçóëüòàòå ìû
ïîëó÷èì óæå çíàêîìîå íàì ðàâåíñòâî ñ âåðíûì êîýèöèåíòîì:
2. Òåïåðü, êîãäà ìû ïîçíàêîìèëèñü
ǫab ǫbc = −δac .
ñ òåíçîðàìè â 2ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, ìû ãîòîâû
ïåðåéòè ê òåíçîðàì â 4ìåðíîì ÏÂ.  òåíçîðíîé îðìå îðìóëû â 4ìåðíîì ñëó÷àå
âûãëÿäÿò ïî÷òè ñòîëü æå ïðîñòî êàê è â 2ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå.
×åòûðåõìåðíûì âåêòîðîì èëè 4âåêòîðîì ÿâëÿåòñÿ íàáîð èç ÷åòûðåõ âåëè÷èí (ñòðî2 µ
v ≡ (v 0 , v 1 , v 2 , v 3 ) ≡ (v 0 , ~v ), êîòîðûé îïðåäåëÿåò íàïðàâëåíèå â ÏÂ è,
êà èëè ñòîëáåö)
ñëåäîâàòåëüíî, ïðàâèëüíûì îáðàçîì ïðåîáðàçóåòñÿ ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ Ëîðåíöà (ÏË)
(êîìáèíèðîâàííîì ïðèìåíåíèè 3ìåðíûõ âðàùåíèé âîêðóã ðàçëè÷íûõ îñåé è Ëîðåíöåâñêèõ áóñòîâ âäîëü ðàçëè÷íûõ íàïðàâëåíèé):
′µ
v =
Λµν
ν
v ≡
3
X
Λµν v ν .
ν=0
Çäåñü è íèæå, êàê ÿ óæå íåîäíîêðàòíî ïîä÷åðêèâàë, ïîäðàçóìåâàåòñÿ ñóììèðîâàíèå ïî
ïîâòîðÿþùåìóñÿ èíäåêñó. Ïðè÷èíó íàëè÷èÿ âåðõíèõ è íèæíèõ èíäåêñîâ ìû îáúÿñíèì
µ
÷óòü íèæå; Λν ýòî ìàòðèöà ÏË. Íå ëþáàÿ 4 × 4 ìàòðèöà ïîäõîäèò â êà÷åñòâå ìàòðèöû
µ
ÏË. Óñëîâèÿ, êîòîðûì äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ìàòðèöà Λν , ÷òîáû îïðåäåëÿòü ÏË, ìû
âûâåäåì íèæå.
2 Ïîä÷åðêíó,
÷òî ÿ èñïîëüçóþ ãðå÷åñêèå áóêâû µ, ν, α, β äëÿ îáîçíà÷åíèÿ 4ìåðíûõ èíäåêñîâ, à ëàòèíñêèå áóêâû i, j, k, l, m, n äëÿ îáîçíà÷åíèÿ 3ìåðíûõ èíäåêñîâ. Ïðè ýòîì â êíèãå Ëàíäàó è Ëèøèöà, à
òàêæå â çàäàâàëüíèêå íàîáîðîò ëàòèíñêèå áóêâû èñïîëüçóþòñÿ äëÿ îáîçíà÷åíèÿ 4ìåðíûõ èíäåêñîâ, à
ãðå÷åñêèå äëÿ îáîçíà÷åíèÿ 3ìåðíûõ èíäåêñîâ.
20
Ïðîñòåéøèì ïðèìåðîì 4âåêòîðà ÿâëÿåòñÿ íàïðàâëåíèå èç íà÷àëà îòñ÷åòà ÑÊ â êàêóþ
xµ = (x0 , ~x) = (c t, ~x).  ñëó÷àå âðàùåíèÿ íà óãîë ϕ âîêðóã îñè
íèáóäü ìèðîâóþ òî÷êó
z,
âðåìÿ
t
è êîîðäèíàòà
z
îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè. Ïîýòîìó ìàòðèöà ÏË âûãëÿäèò êàê:
1
0
0
0
c t′
x′ 0 cos ϕ sin ϕ 0
′ =
y 0 − sin ϕ cos ϕ 0
0
0
0
1
z′
 ñëó÷àå áóñòà Ëîðåíöà ñî ñêîðîñòüþ
y
è
z
v
â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè îñè
x,
êîîðäèíàòû
îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè, à ìàòðèöàÏË âûãëÿäèò êàê:
γ
−β γ 0
c t′
x′ −β γ
γ
0
′ =
y 0
0
1
′
0
0
0
z
p
γ = 1/ 1 − β 2 ðåëÿòèâèñòñêèé
ãäå
ct
x
y
z
β = v/c,
à
ct
0
x
0
0 y
z
1
γ àêòîð.
,
Ïðîèçâîëüíàÿ ìàòðèöà, çà-
äàþùàÿ ÏË, îïðåäåëÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì ïîäîáíûõ ìàòðèö, îïðåäåëÿþùèõ âðàùåíèÿ è
Ëîðåíöåâñêèå áóñòû âäîëü ðàçëè÷íûõ íàïðàâëåíèé.
µ µ ...µn
×åòûðåõìåðíûé nòåíçîð T 1 2
ýòî âåëè÷èíà, èìåþùàÿ
n
èíäåêñîâ è ïðåîáðàçó-
þùàÿñÿ îòíîñèòåëüíî ÏË êàê:
T ′µ1 ...µn = Λνµ11 . . . Λµνnn T ν1 ...νn ≡ T ν1 ...νn ΛT
µ1
ν1
. . . ΛT
µn
νn
 ýòîì ñìûñëå 4âåêòîð ÿâëÿåòñÿ ïðîñòî 4ìåðíûì 1òåíçîðîì. Î÷åâèäíî, ýëåìåíòû 4
ìåðíîãî 2òåíçîðà ìîæíî ðàñïîëîæèòü â âèäå
4×4
ìàòðèöû. Îäíàêî â ñëó÷àå, åñëè
òåíçîð èìååò áîëåå ÷åì 2 èíäåêñà, òî åãî ýëåìåíòû óæå íå âîçìîæíî ðàñïîëîæèòü â âèäå
êâàäðàòíîé ìàòðèöû. Åñëè óãîäíî, ýëåìåíòû 4ìåðíîãî
â
nìåðíîì 4 × 4 × · · · × 4
nòåíçîðà
ìîæíî ðàñïîëîæèòü
ãèïåðêóáå. Îäíàêî òàêîå ïðåäñòàâëåíèå íèêîìó íå îáëåã÷èò
æèçíü è íå óïðîñòèò âû÷èñëåíèÿ.
îðàçäî ïðîùå èìåòü äåëî ïðÿìî ñ âåëè÷èíàìè ñ èíäåê-
ñàìè. Ïðîñòåéøèì 4ìåðíûì nòåíçîðîì ÿâëÿåòñÿ òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå n 4âåêòîðîâ:
v1µ1 . . . vnµn .
Âàæíûì ïðèìåðîì 2òåíçîðà ÿâëÿåòñÿ ìåòðè÷åñêèé òåíçîð Ìèíêîâñêîãî ηµν , çàäàþùèé èíòåðâàë â 4ìåðíîì ÏÂ:
ds2 = ηµν dxµ dxν
×òîáû èíòåðâàë ïðèíÿë ñâîþ ïðèâû÷íóþ îðìó
äèìî, ÷òîáû:
21
2
ds2 = (dx0 ) − d~x2 = c2 dt2 − d~x2 ,
1 0
0
0
0 −1 0
0
||ηµν || =
0 0 −1 0 .
0 0
0 −1
(13)
íåîáõî-
(14)
Ïîêàæåì, ÷òî
ηµν
äåéñòâèòåëüíî òåíçîð, ò.å. ïðåîáðàçóåòñÿ ïðàâèëüíûì îáðàçîì ïðè ÏË.
dx′µ = Λµν dxν . Ïîýòîìó, ÷òîáû áûëî âåðíî ðà-
Äåéñòâèòåëüíî, ïðè ýòèõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ
âåíñòâî:
′
ds2 = ηµν
dx′µ dx′ν = ηµν dxµ dxν ,
íåîáõîäèìî, ÷òîáû ìåòðè÷åñêèé òåíçîð ïðåîáðàçîâûâàëñÿ êàê
(15)
η ′µν = Λµα Λνβ η αβ , ò.å. èìåííî
êàê 2òåíçîð, à ìàòðèöà ÏË óäîâëåòâîðÿëà óñëîâèþ:
α
Λµα ΛT
ãäå
δνµ
ν
ýòî ñèìâîë Êðîíåêåðà (åäèíè÷íàÿ
δνµ
=
1,
0,
= δνµ ,
4×4
ïðè
ïðè
(16)
ìàòðèöà):
µ=ν
.
µ 6= ν
Ò.å. ñèòóàöèÿ âïîëíå àíàëîãè÷íà 2ìåðíîìó ñëó÷àþ.  ÷àñòíîñòè, ðàâåíñòâî (16) ìîæíî
µ
ïîíèìàòü êàê òî, ÷òî òåíçîð δν èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî ÏË:
δν′µ = Λµα δβα ΛT
β
ν
= Λµα ΛT
α
ν
= δνµ
Λ̂ Λ̂T = Iˆ, ãäå Iˆ ýòî
det Λ̂ = −1 îòâå÷àåò èíâåðñèÿì
Èç (16), êîòîðîå òàêæå ìîæíî ïîíèìàòü êàê ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå
åäèíè÷íàÿ
4×4
ìàòðèöà, ñëåäóåò, ÷òî
det Λ̂ = ±1.
Íî
êîîðäèíàò, êîòîðûå íå âêëþ÷àþòñÿ â ÷èñëî ÏË. Ïîýòîìó ÏË îòâå÷àþò òîëüêî ìàòðèöû
Λ̂,
óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ (16) è èìåþùèå åäèíè÷íûé äåòåðìèíàíò.
µ
µ
Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå (èëè ñâåðòêà) äâóõ 4âåêòîðîâ v è w îïðåäåëÿåòñÿ ñ èñïîëüµ ν
çîâàíèåì ìåòðèêè â Ï ηµν v w àíàëîãè÷íî òîìó êàê ýòî áûëî ñäåëàíî â 2ìåðíîì
µ
ïðîñòðàíñòâå. ×åòûðåâåêòîðà ñ âåðõíèìè èíäåêñàìè v íàçûâàþòñÿ êîâàðèàíòíûìè. Êàæäîìó êîâàðèàíòíîìó âåêòîðó ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå êîíòðàâàðèàíòíûé âåêòîð
µ
0
íåñóùèé íèæíèé èíäåêñ. Çàìå÷ó, ÷òî åñëè v = (v , ~
v), òî vµ = (v 0 , −~v ) è
vµ = ηµν v ν ,
êîíòðàâàðèàíòíûå âåêòîðà ñóùåñòâåííî îòëè÷àþòñÿ îò êîâàðèàíòíûõ. Ïðè ýòîì â ïðîñòðàíñòâå (êàê â 2ìåðíîì òàê è â 3ìåðíîì) ìåòðè÷åñêèé òåíçîð ñîâïàäàåò ñ åäèíè÷íîé
j
j
ìàòðèöåé, ïîýòîìó vi = δij v = v , ãäå i = 1, 2, 3, è ïîýòîìó â Åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå íèêòî íå îòëè÷àåò íèæíèå (êîíòðàâàðèàíòíûå) è âåðõíèå (êîâàðèàíòíûå) èíäåêñû.  ñâåòå
îïðåäåëåíèÿ êîâàðèàíòíûõ è êîíòðàâàðèàíòíûõ âåêòîðîâ, ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ìîæíî
µ ν
µ
α
çàïèñàòü íåñêîëüêèìè ýêâèâàëåíòíûìè ñïîñîáàìè ηµν v w = vµ w = v wα
Àíàëîãè÷íî, åñëè íàì äàí êîíòðàâàðèàíòíûé âåêòîð, òî èç íåãî ìîæíî ïîñòðîèòü êîv µ = η µν vν âåêòîð ñ èñïîëüçîâàíèåì òåíçîðà η µν , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ îáðàòíûì
âàðèàòíûé
ê ìåòðè÷åñêîìó òåíçîðó:
ˆ
η µν ηνα = δαµ ⇔ η̂ up η̂down = I.
Âàæíûì ñâîéñòâîì ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà è îáðàòíîãî ê íåìó ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî îíè èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî ÏË, àíàëîãè÷íî áèëèíåéíîé îðìå, îïðåäåëÿþùåé ñêàëÿðíîå
ïðîèçâåäåíèå â 2ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå:
22
′
ηµν
= Λαµ Λβν ηαβ ≡ Λαµ ηαβ ΛT
β
ν
= Λαµ ΛT
αν
= ηµν .
(17)
Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ïîëó÷åíî ñ ïðèìåíåíèåì (16), ÷òî ìîæíî óâèäåòü ïîñëå óìíîæåíèÿ
µν
îáåèõ ÷àñòåé (17) íà òåíçîð η . Ôàêòè÷åñêè â èíâàðèàíòíîñòè ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà ïî
îòäåëüíîñòè îòíîñèòåëüíî áóñòîâ Ëîðåíöà è âðàùåíèé ìû óáåäèëèñü, êîãäà ïîêàçàëè, ÷òî
áèëèíåéíàÿ îðìà, îïðåäåëÿþùàÿ ÏÂ èíòåðâàë, îñòàåòñÿ íåèçìåííîé ïðè ýòèõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ.
η µν
è
ηµν
ìû ìîæåì ïîíèæàòü è ïîâûøàòü èíäåêñû ó 4ìåðíûõ
µ µ ...µn
òåíçîðîâ. Íàïðèìåð, åñëè íàì äàí 4ìåðíûé nòåíçîð T 1 2
ñî âñåìè êîâàðèàíòíûìè
Ïðè ïîìîùè òåíçîðîâ
èíäåêñàìè, òî ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà ìû ìîæåì ïîñòðîèòü èç íåãî òåíçîð
α
µ
ñî ñìåøàííûìè èíäåêñàìè. Ñêàæåì: T β
= ηβν T µνα .
Òàêèì îáðàçîì, ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà è îáðàòíîãî ê íåìó ìû ìîæåì
µν
ñòðîèòü âñåâîçìîæíûå ñâåðòêè òåíçîðîâ: íàïðèìåð, T
ηνα v α ≡ T µν vν è ò.ä.. Âàæíî, ÷òî
ðåçóëüòàò ñâåðòêè âñåãäà ïðåîáðàçóåòñÿ ïðàâèëüíûì îáðàçîì ïðè ÏË. Íàïðèìåð, ñêàëÿðηµν v µ w ν = vµ w µ íå íåñåò íèêàêèõ èíäåêñîâ, à ïîòîìó
µ ν
′
′µ ′ν
íå ìåíÿåòñÿ ïðè ÏË (ò.å. ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì): ηµν v w = ηµν v w
= ηµν v ′µ w ′ν , ãäå
øòðèõîâàííûå âåëè÷èíû êîìïîíåíòû òåíçîðîâ â íîâîé ÑÎ.
µν
Äàëåå, âåëè÷èíà T
ηνα v α = T µν vν ïðåîáðàçóåòñÿ ïðè ÏË êàê êîâàðèàíòíûé 4âåêòîð.
µν
Äåéñòâèòåëüíî, âåðõíèé èíäåêñ ν òåíçîðà T
ïðåîáðàçóåòñÿ òàê, ÷òî êîìïåíñèðóåò ïðå-
íîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ 4âåêòîðîâ
îáðàçîâàíèå íèæíåãî èíäåêñà ν âåêòîðà vν . Â ðåçóëüòàòå ÏË äåéñòâóåò òîëüêî íà ïåðâûé
µν
vν . Ïîä÷åðêíó, ÷òî ïðè ýòîì, âåëè÷èíà T µν v ν ïðåîáðàçóåòñÿ íå
èíäåêñ µ âñåé ñâåðòêè T
êàê âåêòîð ïðè ÏË, ò.ê. ïðåîáðàçîâàíèå äâóõ âåðõíèõ èíäåêñîâ ν íå êîìïåíñèðóþò äðóã
T µν v ν áåññìûñëåííà ñ òî÷êè çðåíèÿ òåíçîðíîãî àíàëèçà. Ïî òîé æå
µν
ïðè÷èíå, íå ìåíåå áåññìûñëåííîé âåëè÷èíîé ÿâëÿåòñÿ è T
vν wν .
äðóãà. Ò.å. çàïèñü
ß íàäåþñü, ÷òî ýòè äîâîëüíîòàêè ìóòîðíûå ïîÿñíåíèÿ äàäóò âàì âîçìîæíîñòü óõâàòèòü îñíîâíóþ ìûñëü, ìîòèâèðóþùóþ òåíçîðíûå îáîçíà÷åíèÿ è ââåäåíèå âåðõíèõ è íèæíèõ èíäåêñîâ. Äåëî â òîì, ÷òî åñëè íàì äàíà íåêîòîðàÿ ñâåðòêà òåíçîðîâ, òî îäíîãî âçãëÿäà
íà íåå äîñòàòî÷íî, ÷òî áû ïîíÿòü èìååò ëè îíà ñìûñë êàê òåíçîð èëè íåò. È, åñëè èìååò,
òî ìîæíî ñðàçó ïîíÿòü êàê ðåçóëüòàò ñâåðòêè ïðåîáðàçóåòñÿ ïðè ÏË.  ÷àñòíîñòè, ìîæíî
ñðàçó ïîíÿòü ÿâëÿåòñÿ ëè òà èëè èíàÿ âåëè÷èíà èíâàðèàíòîì èëè íåò.
Êàê ìû óâèäèì â ñëåäóþùèõ ëåêöèÿõ, óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ÑÒÎ è
ðåëÿòèâèñòñêîé ýëåêòðîäèíàìèêè, áóäó÷è çàïèñàíû â òåíçîðíîé îðìå, ÿâëÿþòñÿ Ëîðåíö
êîâàðèàíòíûìè, ò.å. èõ âèä íå ìåíÿåòñÿ ïðè ÏË ïðè çàìåíå îäíîé ÈÑÎ íà äðóãóþ. Â
ýòîì è çàêëþ÷àåòñÿ ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè.
ν
ν
µν
Ïîìèìî òåíçîðîâ δµ ≡ ηµ , ηµν è η
èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî ÏË ÿâëÿåòñÿ 4
ìåðíûé àáñîëþòíîàíòèñèììåòðè÷íûé òåíçîð ǫµναβ , êîòîðûé îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ
3.
ñâîéñòâîì àíòèñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî ëþáîé ïåðåñòàíîâêè ïàðû ñâîèõ èíäåêñîâ:
ǫµναβ = −ǫνµαβ = ǫναµβ = −ǫανµβ = . . .
è îïðåäåëåíèåì
ǫ0123 = 1.
Äåéñòâèòåëüíî, ëþáàÿ åãî êîìïîíåíòà, îòâå÷àþùàÿÿ äâóì ñîâ-
ïàäàþùèì èíäåêñàì, ðàâíà íóëþ: íàïðèìåð,
ǫµ0ν0 = −ǫµ00ν = ǫµ00ν = 0.
Ïîýòîìó ó íåíóëå-
âûõ åãî êîìïîíåíò âñå èíäåêñû äîëæíû áûòü îòëè÷íû äðóã îò äðóãà, ò.å. âñå íåíóëåâûå
êîìïîíåíòû àáñîëþòíîàíòèñèììåòðè÷íîãî òåíçîðà ïîëó÷àþòñÿ èç
ǫ0123
ïåðåñòàíîâêîé
èíäåêñîâ. Åñëè ïåðåñòàíîâêà ÷åòíàÿ, òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ êîìïîíåíòà ðàâíà +1, à åñëè
23
íå÷åòíàÿ, òî 1. Òî, ÷òî ýòîò òåíçîð èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî ÏË äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî òîìó, êàê âûøå áûëà äîêàçàíà èíâàðèàíòíîñòü 2ìåðíîãî
àáñîëþòíîàíòèñèììåòðè÷íîãî òåíçîðà: íàäî ïîñòðîèòü èç ðàññìàòðèâàåìîãî òåíçîðà ýëåìåíò 4îáúåìà, êîòîðûé, î÷åâèäíî, èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî ÏË, ò.ê. ÿêîáèàí çàìåíû
ïåðåìåííûõ â ýòîì ñëó÷àå ðàâåí åäèíèöå.
Èìååòñÿ òàê æå 3ìåðíûé àáñîëþòíîàíòèñèììåòðè÷íûé òåíçîð
ǫijk , i = 1, 2, 3. Îí
òî-
æå îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ñâîéñòâîì àíòèñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè ëþáîé
ïàðû ñîñåäíèõ èíäåêñîâ è òåì, ÷òî
ǫ123 = 1.
Ñ èñïîëüçîâàíèåì ýòîãî òåíçîðà îñîáåííî
ïðîñòî çàïèñûâàåòñÿ âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ 3ìåðíûõ âåêòîðîâ:
[~v × w]
~ i = ǫijk vj wk .
Äåéñòâèòåëüíî,
[~v × w]
~ 1 ≡ v2 w3 − v3 w2 .
Ïðè ýòîì
ǫ1jk vj wk = ǫ123 v2 w2 + ǫ132 v3 w2 =
v2 w3 −v3 w2 . Äëÿ 2-é è 3-é êîìïîíåíòû âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âûøåóêàçàííîå ðàâåíñòâî
ïðîâåðÿåòñÿ àíàëîãè÷íûì îáðàçîì.
 ÷àñòíîñòè âåðíî, ÷òî:
h
i
~ × ~v(x) = ǫijk ∂ vk (x).
[rot ~v (x)]i = ∇
∂xj
i
×åòûðåõìåðíûé è òðåõìåðíûé àáñîëþòíî àíòèñèììåòðè÷íûå òåíçîðà óäîâëåòâîðÿþò íåêîòîðûì òîæäåñòâàì àíàëîãè÷íûì òåì, êîòîðûì óäîâëåòâîðÿåò 2ìåðíûé òåíçîð. Äîêàçàòåëüñòâî èõ àíàëîãè÷íî. Ýòè òîæäåñòâà ìîæíî íàéòè â íà÷àëå IIãî òîìà Ëàíäàó
Ëèøèöà èëè â çàäàâàëüíèêå.
ǫ0µνα âñå íåíóëåâûå êîìïîíåíòû èìåþò ïðîñòðàíñòâåííûå
èíäåêñû, ò.å. µ 6= 0, ν 6= 0, α 6= 0. Ïîýòîìó ýòè êîìïîíåíòû ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê
ǫ0ijk = ǫijk , i = 1, 2, 3. Àíàëîãè÷íî ǫ03ab = ǫ3ab = ǫab .
Ïîä÷åðêíó, ÷òî ó âåëè÷èíû
4.
Îïðåäåëèì òåïåðü 4ãðàäèåíò è 4äèâåðãåíöèþ. Êîíòðàâàðèàíòíûì 4ãðàäèåíòîì
ñêàëÿðíîãî ïîëÿ
φ(t, ~x)
ÿâëÿåòñÿ 4âåêòîð ñî ñëåäóþùèìè êîìïîíåíòàìè
∂
∂µ φ ≡ µ φ =
∂x
∂φ ~
, ∇φ
c ∂t
=
∂φ ∂φ ∂φ ∂φ
,
,
,
c ∂t ∂x ∂y ∂z
=
∂φ
, gradφ ,
c ∂t
ãäå êàæäàÿ èç êîìïîíåíò îïðåäåëÿåò ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ïîëÿ â ñîîòâåòñòâóþùåì íàïðàâëåíèè. Â ñâåòå âûøåñêàçàííîãî ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî êîâàðèàíòíûé 4ãðàäèåíò ðàâåí:
µ
∂ φ=η
µν
∂φ
=
∂µ φ =
∂xµ
∂φ
, −gradφ .
c ∂t
Îáðàùàþ âàøå âíèìàíèå íà ðàñïîëîæåíèå èíäåêñîâ â ïðîèçâîäíûõ è äèåðåíöèàëàõ.
µ
Ýòî ðàñïîëîæåíèå ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî, åñëè dx ïðåîáðàçóåòñÿ êàê êîâàðèàíòíûé âåêòîð,
µ
òî ∂/∂x ïðåîáðàçóåòñÿ êàê êîíòðàâàðèàíòíûé, è íàîáîðîò. Äàëåå ìîæíî îïðåäåëèòü
4-ãðàäèåíò ëþáîãî òåíçîðíîãî ïîëÿ. Ñêàæåì äëÿ 4ìåðíîãî 3òåíçîðíîãî ïîëÿ
ðàâåí
Tµνα
îí
∂β Tµνα
è ÿâëÿåòñÿ óæå 4ìåðíûì 4òåíçîðîì.
µ
x)
×åòûðåäèâåðãåíöèåé 4âåêòîðíîãî ïîëÿ A (t, ~
~ ~x))
= (A0 (t, ~x), A(t,
íàÿ âåëè÷èíà (èíâàðèàíòíàÿ îòíîñèòåëüíî ÏË), èìåþùàÿ âèä:
ηµν ∂ µ Aν = ∂µ Aµ = ∂ µ Aµ =
∂A0 ~ ~ ∂A0
~
− ∇A =
− div A.
c ∂t
c ∂t
24
ÿâëÿåòñÿ ñêàëÿð-
Àíàëîãè÷íî 4äèâåðãåíöèþ ìîæíî îïðåäåëèòü è äëÿ òåíçîðíûõ ïîëåé. Ñêàæåì, 4äèâåðãåíöèÿ
Tµνα ðàâíà ∂ µ Tµνα è ïðåîáðàçóåòñÿ, êàê 4ìåðíûé 2òåíçîð
4ìåðíîãî 3òåíçîðíîãî ïîëÿ
îòíîñèòåëüíî ÏË. Ò.å., åñëè 4ãðàäèåíò ïîâûøàåò ÷èñëî èíäåêñîâ, òî 4äèâåðãåíöèÿ óìåíüøàåò èõ ÷èñëî.
Ïðèâåäåì íåñêîëüêî î÷åâèäíûõ ñâîéñòâ 4ãðàäèåíòà è 4äèâåðãåíöèè. Î÷åâèäíî, ÷òî
∂µ xν = ∂xν /∂xµ = δµν .
Òîãäà
∂µ xµ = 4.
Äàëåå,
∂µ xν = ∂µ ηνα xα = ηνα δµα = ηµν .
Òîãäà î÷åâèäíî, ÷òî
∂µ |x|2 ≡ ∂µ (xν xν ) = (∂µ xν ) xν + xν (∂µ xν ) = δµν xν + xν ηµν = 2 xµ .
Äàëåå
1
1
∂µ |x| ≡ ∂µ (xν xν ) 2 =
2 (xν xν )
1
2
xµ
.
|x|
∂µ (xα xα ) =
È, íàêîíåö,
∂µ
1
xµ
1
=−
∂µ (xα xα ) = − 3 .
1
+1
|x|
|x|
2(xν xν ) 2
Âñå îñòàëüíîå ñëåäóåò òðèâèàëüíî. Íàäî òîëüêî óìåòü ïîëüçîâàòüñÿ ïðàâèëîì äèåðåíöèðîâàíèÿ ñëîæíîé óíêöèè (ìíîãèõ ïåðåìåííûõ).
5. Àïïåíäèêñ î ðàçëîæåíèè â ðÿä Òåéëîðà óíêöèè ìíîãèõ ïåðåìåííûõ.
f (~x) ≡ f (x1 , x2 ). Íàì íåîáõîäèìî ðàçëîæèòü
~a, |~a| ≪ |~x|, ñëåäóþùóþ óíêöèþ f (~x + ~a). Ïîëó-
àññìîòðèì óíêöèþ äâóõ ïåðåìåííûõ
ïî ñòåïåíÿì êîìïîíåíò ìàëîãî âåêòîðà
÷àåì âûðàæåíèÿ:
∂f (x1 , x2 )
∂f (x1 , x2 )
a1 +
a2 +
∂x1
∂x2
1 ∂ 2 f (x1 , x2 ) 2 1 ∂ 2 f (x1 , x2 ) 2 ∂ 2 f (x1 , x2 )
a1 +
a2 +
a1 a2 + . . . .
+
2
∂x21
2
∂x22
∂x1 ∂x2
f (x1 + a1 , x2 + a2 ) = f (x1 , x2 ) +
(18)
Îíè ìîãóò áûòü ïåðåïèñàíû â îðìå:
f (~x + ~a) = f (~x) + ∂i f (~x) · ai +
1
∂i ∂j f (~x) · ai aj + · · · =
2
∞
X
1
∂i . . . ∂in f (~x) · ai1 . . . ain ,
=
n! 1
n=1
i = 1, 2, 3.
(19)
Ýòî ðàçëîæåíèå ìîæåò áûòü ñ ëåãêîñòüþ îáîáùåíî íà ñëó÷àé, êîãäà ìû èìååì äåëî ñ
âåêòîðàìè â ïðîñòðàíñòâå áîëüøåé ðàçìåðíîñòè, òî åñòü êîãäà
i = 1, . . . , D
è
D > 3.
Òàê
æå â ýòèõ âûðàæåíèÿõ íèãäå íå èñïîëüçîâàëàñü ñèãíàòóðà ìåòðèêè. Ïîýòîìó îíè âåðíû
êàê â ïðîñòðàíñòâå Åâêëèäà, òàê è â ïðîñòðàíñòâåâðåìåíè Ìèíêîâñêîãî.
25
Âîïðîñû è çàäà÷è
•
Êàê äîëæíû ïðåîáðàçîâûâàòüñÿ ñòðîêà è ñòîëáåö, îïðåäåëÿþùèå âåêòîðû, ïðè ïðîèçâîëüíîé ëèíåéíîé çàìåíå êîîðäèíàò, ÷òîáû âåëè÷èíà ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ íå
çàâèñåëà áû îò âûáîðà ÑÊ? Êàê ïðè ýòîì ìåíÿåòñÿ áèëèíåéíàÿ îðìà, îïðåäåëÿþùàÿ âûðàæåíèå äëÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ÷åðåç êîìïîíåíòû âåêòîðîâ?
•
Ïðîèçâîëüíàÿ íåâûðîæäåííàÿ (ñ íåíóëåâûì äåòåðìèíàíòîì) ïîñòîÿííàÿ (íå çàâèñÿùàÿ îò ÏÂ êîîðäèíàò) áèëèíåéíàÿ îðìà gµν ìîæåò îïðåäåëÿòü ìåòðèêó (èíòåðâàë),
ds2 = gµν dxµ dxν , â ïðîñòðàíñòâå èëè ÏÂ â çàâèñèìîñòè îò åå ñèãíàòóðû. Òàêàÿ áèëèíåéíàÿ îðìà ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà, ïîñðåäñòâîì ëèíåéíîé çàìåíû êîîðäèíàò,
ê îäíîìó èç ñòàíäàðòíûõ âèäîâ:
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
,
0
1
1 0
0
0
0 −1 0
0
0 0 −1 0 ,
0 0
0 −1
1
0
0
0
0 0
0
1 0
0
0 −1 0
0 0 −1
(20)
â çàâèñèìîñòè îò åå ñèãíàòóðû. Ïåðâûé ñëó÷àé îïèñûâàåò 4ìåðíîå Åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî ñ ãåîìåòðèåé àíàëîãè÷íîé 3ìåðíîìó è 2ìåðíîìó ñëó÷àÿì. Ñðåäíèé ñëó÷àé ýòî óæå õîðîøî èçâåñòíîå íàì Ï Ìèíêîâñêîãî. Ïîñëåäíèé ñëó÷àé îïèñûâàåò
ãèïîòåòè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî ñ äâóìÿ âðåìåíàìè.
Ñëó÷àé ñ îäíîé ìèíóñ åäèíèöåé è òðåìÿ ïëþñ åäèíèöàìè íà äèàãîíàëè, íå óêàçàíds2 → −ds2 , êîòîðàÿ íå ìåíÿåò
íûé çäåñü, ñâîäèòñÿ ê ÏÂ Ìèíêîâñêîãî çàìåíîé
ãåîìåòðèè Ï (Ïî÷åìó?). Ñëó÷àé ñî âñåìè ìèíóñ åäèíèöàìè íà äèàãîíàëè, òîæå íå
óêàçàííûé çäåñü, ñâîäèòñÿ àíàëîãè÷íîé çàìåíîé ê 4ìåðíîìó Åâêëèäîâó ïðîñòðàíñòâó. Ïîäóìàéòå, êàêîâà áóäåò ãåîìåòðèÿ â ñëó÷àå Ï ñ äâóìÿ âðåìåíàìè: Êàê òàì
áóäåò óñòðîåí ñâåòîâîé êîíóñ? Êàêèå âàðèàíòû äëÿ èíòåðâàëîâ èìåþòñÿ â ýòîì ñëó÷àå? Êàêèå ïðåîáîðàçîâàíèÿ îòâå÷àþò çàìåíå ÑÎ è ò.ä.?
Ïóñòü ìåòðèêà â íàøåì ïðîñòðàíñòâå îïðåäåëÿåòñÿ íå áèëèíåéíîé îðìîé, à ïîñòî3
µ
ν
α
ÿííîé òðèëèíåéíîé îðìîé: ds = gµνα dx dx dx . Ïîäóìàéòå ê êàêèì ñòàíäàðòíûì
âèäàì òàêèå òðèëèíåéíûå îðìû ìîæíî ïðèâåñòè ïðè ïîìîùè ëèíåéíûõ çàìåí êîîðäèíàò. Êàêèå 4ìåðíûå ãåîìåòðèè îíè îïèñûâàþò? À êàêîâà ñèòóàöèÿ, åñëè ìåòðèêà
îïðåäåëÿåòñÿ ÷åòûðåëèíåéíîé îðìîé? Ýòî î÷åíü ñëîæíûå âîïðîñû äëÿ íà÷èíàþùèõ èçó÷àòü ÑÒÎ, îñíîâàòåëüíûé îòâåò íà êîòîðûå âïîëíå ìîæíî îïóáëèêîâàòü â
íàó÷íîì æóðíàëå.
•
Âû÷èñëèòå
ǫµναβ ǫαβγσ ∂γ ∂ ν
åñëè 4âåêòîð
•
kδ
xµ |x|
,
kδ xδ
ÿâëÿåòñÿ êîíñòàíòîé íå çàâèñèò îò
x.
µ
àçëîæèòå äî âòîðîé ñòåïåíè ïî êîìïîíåíòàì ìàëîãî 4âåêòîðà a ñëåäóþùåå âû1
µ
ðàæåíèå:
. Çäåñü k íåêîòîðûé ïîñòîÿííûé 4âåêòîð.
[kµ (xµ +aµ )]2
26
4ñêîðîñòü è 4óñêîðåíèå, äåéñòâèå äëÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû, ïðèíöèï íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ äëÿ ÷àñòèö,
ñèììåòðèè äåéñòâèÿ è çàêîíû ñëõðàíåíèÿ, ðåëÿòèâèñòñêàÿ êèíåìàòèêà, ýåêò Äîïëåðà.
Ëåêöèÿ III,
1.  ÑÒÎ äëÿ óïðîùåíèÿ èçó÷àþò îáúåêòû áåç âíóòðåííåé ñòðóêòóðû òî÷å÷íûå ýëåìåíòàðíûå
÷àñòèöû, ò.ê. â ÑÒÎ íå áûâàåò àáñîëþòíî æåñòêèõ òåë. Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì àáñîëþòíî æåñòêèé, äëèííûé ñòåðæåíü. Ïóñòü åãî óäàðèëè ìîëîòêîì ñ îäíîé ñòîðîíû. Òàê êàê
ñòåðæåíü àáñîëþòíî æåñòêèé, òî ìû ìãíîâåííî ïîëó÷èì îòêëèê ñ äðóãîé åãî ñòîðîíû. À
òàê êàê óäàð ïî ñòåðæíþ è îòêëèê ïðîñòðàíñòâåííî ðàçäåëåííûå ñîáûòèÿ, òî ñóùåñòâóþò
ÈÑÎ, â êîòîðûõ îòêëèê ñî âòîðîé ñòîðîíû ñòåðæíÿ ïðîèñõîäèò
ðàíüøå
óäàðà ìîëîòêîì
ïî åãî ïåðâîé ñòîðîíå.
Ýòî î÷åâèäíîå ïðîòèâîðå÷èå ðàçðåøàåòñÿ, åñëè âñïîìíèòü, ÷òî àáñîëþòíî æåñòêèõ òåë
íå áûâàåò, à ñòåðæåíü èìååò âíóòðåííþþ ñòðóêòóðó è ïî íåìó ìîãóò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ
çâóêîâûå/óïðóãèå âîëíû, ñêîðîñòü êîòîðûõ ñèëüíî ìåíüøå ñêîðîñòè ñâåòà. À èìåííî, îòêëèê ñî âòîðîé ñòîðîíû ñòåðæíÿ ïðîèçîéäåò òîëüêî ïîñëå òîãî êàê äî íåå äîéòåò óïðóãàÿ
âîëíà âîçáóæäåííàÿ ìîëîòêîì ñ ïåðâîé åãî ñòîðîíû.
2.
Èòàê, çàäà÷åé ðåëÿòèâèñòñêîé ìåõàíèêè ÿâëÿåòñÿ íàõîæäåíèå ìèðîâîé ëèíèè ýëå-
ìåíòàðíîé ÷àñòèöû, ò.å. ðåøåíèå äèíàìè÷åñêèõ óðàâíåíèé, êîòîðûå áóäóò îïðåäåëåíû
íèæå, ïðè äàííûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ.
×òîáû ïîñòàâèòü çàäà÷ó ðåëÿòèâèñòñêîé ìåõàíèêè, îïðåäåëèì 4âåêòîð ñêîðîñòè. Êàµ
z (t)), ãäå ~z (t) òðàåêòîðèÿ
çàëîñü áû, åñëè çàäàíà ìèðîâàÿ ëèíèÿ ÷àñòèöû z (t) = (c t, ~
µ
÷àñòèöû, òî íà ýòó ðîëü ïîäõîäèò âåëè÷èíà dz (t)/dt. Îäíàêî îíà ïðåîáðàçóåòñÿ ïðè ÏË
µ
µ
µ
íå êàê 4âåêòîð, à êàê ∂0 z êîìïîíåíòà 2òåíçîðà ∂ν z : dz ïðåîáðàçóåòñÿ êàê 4âåêòîð,
à
dt
êàê íóëåâàÿ êîìïîíåíòà 4âåêòîðà.
×òîáû îïðåäåëèòü ïðàâèëüíûì îáðàçîì 4âåêòîð ñêîðîñòè (4ñêîðîñòü), íàäî ïîäåëèòü
dz µ íà âåëè÷èíó, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ðåëÿòèâèñòñêèì
ïðèðàùåíèå âäîëü òðàåêòîðèè
èíâàðèàíòîì, è, ïðè ýòîì, èìååò ñìûñë âðåìåíè. Òàêèìè ñâîéñòâàìè îáëàäàåò ñîáñòâåííîå
2
2
2
âðåìÿ â ÑÎ, ñîïóòñòâóþùåé ÷àñòèöå ds = c dτ , ãäå τ ñîáñòâåííîå âðåìÿ. Òàêèì
îáðàçîì, 4ñêîðîñòü îïðåäåëÿåòñÿ êàê:
uµ =
Ò.ê.
ãäå
dτ = dt
p
1 − v 2 /c2 ,
β~ = ~v /c. Çàìåòèâ,
ãäå
~v = ~z˙ ,
(21)
òî êîìïîíåíòû 4âåêòîðà ñêîðîñòè èìåþò âèä:
1
uµ = q
1−
÷òî
1 dz µ
dz µ
=
.
ds
c dτ
v2
c2
,
ds2 = dz µ dzµ
~v
q
c 1−
v2
c2
= γ, γ β~ ,
(22)
êâàäðàò äëèíû ýëåìåíòàðíîãî ó÷àñòêà òðàåêòî-
ðèè, èìååì:
27
1=
dz µ dzµ
= uµ uµ .
ds ds
(23)
Ò.å. ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë 4ñêîðîñòè ýòî åäèíè÷íûé 4âåêòîð, êàñàòåëüíûé ê ìèðîâîé
ëèíèè.
Òåïåðü äîëæíî áûòü î÷åâèäíî, ÷òî 4óñêîðåíèå îïðåäåëÿåòñÿ êàê:
wµ ≡
Äèåðåíöèðóÿ ñîîòíîøåíèå
d (uµ uµ )
0=
=
ds
uµ uµ
duµ
ds
ïî
d2 z µ
duµ
≡
.
ds
ds2
d/ds,
uµ + u
µ
(24)
ïîëó÷àåì:
duµ
ds
=2
duµ
ds
uµ = 2 w µ uµ .
(25)
Ò.å. 4âåêòîð ñêîðîñòè è 4âåêòîð óñêîðåíèÿ ýëåìåíòàðíîé ÷àñòèöû âñåãäà îðòîãîíàëüíû
µ
= 1 > 0, òî uµ ýòî âðåìåíè ïîäîáíûé âåêòîð. Ïîýòîìó
äðóã äðóãó. Òàê êàê uµ u
µ
µ
îðòîãîíàëüíûé ê íåìó âåêòîð w äîëæåí áûòü ïðîñòðàíñòâåííî ïîäîáíûì, òî åñòü wµ w ≤
µ
µ
0, ïðè ëþáîì äâèæåíèè. Ïðè÷åì wµ w = 0 òîëüêî, åñëè w = 0.
3.
Çàêîíû äâèæåíèÿ ÷àñòèö â ÑÒÎ êàê è â îáû÷íîé ìåõàíèêå ñëåäóþò èç ïðèíöèïà
íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ, êîòîðûé ãëàñèò, ÷òî äëÿ ìèðîâîé ëèíèè, ðåøàþùåé óðàâíåíèÿ
äâèæåíèÿ, óíêöèîíàë äåéñòâèÿ ÷àñòèöû ïðèíèìàåò ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå. Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ïðèíöèï íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ ïîñòóëàò, ñëåäóþùèé èç ëîãè÷åñêè íåïðîòèâîðå÷èâîãî îïèñàíèÿ ñîâîêóïíîñòè îïûòíûõ àêòîâ. Ò.å. âìåñòî ïîñòóëèðîâàíèÿ äèíàìè÷åñêèõ óðàâíåíèé (âðîäå 2-ãî çàêîíà Íüþòîíà), ìû ìîæåì ïîñòóëèðîâàòü ïðèíöèï
íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ. Òîãäà äèíàìè÷åñêèå óðàâíåíèÿ áóäóò âûâîäèòüñÿ êàê ñëåäñòâèå.
Äåéñòâèòåëüíî, âñïîìíèì, ÷òî óíêöèîíàë äåéñòâèÿ äëÿ íåðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû
èìååò âèä:
S [~z (·)] =
Z
t2
dt
t1
(
)
m ~z˙ 2 (t)
− V [~z(t)] ,
2
m ýòî ìàññà ÷àñòèöû, à V [~z ] ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ. Äëÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû
V = 0. Ôóíêöèîíàë ìîæíî ïîíèìàòü êàê ïðåäåëüíûé ñëó÷àé óíêöèè áîëüøîãî ÷èñëà
ïåðåìåííûõ. Íàïðèìåð, ðàññìîòðè óíêöèþ N âåêòîðíûõ ïåðåìåííûõ:
ãäå
S [~z1 , ~z2 , . . . , ~zN ] ≡
è
m
i=1
(
2
)
m (~zi+1 − ~zi )
− V [~z]
2 ∆t2
∆t,
(26)
N → ∞, ∆t → 0 è zi+1 − zi → 0 ñóììà â ýòîì
îïðåäåëåíèè ñâîäèòñÿ ê èíòåãðàëó, à óêöèÿ îò N ïåðåìåííûõ ~
z1 , . . . , ~zN ëîìàííîé ïðè-
ãäå çäåñü
∆t
N
X
ïàðàìåòðû. Â ïðåäåëå
áëèæàþùåé òðàåêòîðèþ ÷àñòèöû ê óíêöîíàëó ("óíêöèè îò êîíòèíóàëüíîãî ÷èñëà
ïåðåìåííûõ")
~z (t)
òðàåêòîðèè ÷àñòèöû.
Èç àíàëîãèè ñ óíêöèåé ìíîãèõ ïåðåìåííûõ äîëæíî áûòü ïîíÿòíî, ÷òî ýêñòðåìóì
äåéñòâèÿ îïðåäåëÿåòñÿ èç òîãî, ÷òî åãî ëèíåéíàÿ âàðèàöèÿ ïî
28
~z(t)
ðàâíà íóëþ:
δ S[~z(·)] ≡
n h
i
h
io
S ~z(·) + δ~z (·) − S ~z (·)
linear in δz
= 0.
δz(t1 ) = δz(t2 ) = 0,
Ïðè ýòîì, âàðèàöèè íà êîíöàõ òðàåêòîðèè ðàâíû íóëþ:
ò.å. ïðè
âàðüèðîâàíèè ìû äåðæèì êîíöû òðàåêòîðèè èêñèðîâàííûìè, ñêàæåì, â òî÷êàõ
~x1
è
~z (t2 ) = ~x2 ;
~z(t1 ) =
ýòè äàííûå çàäàþò íà÷àëüíûå è êîíå÷íûå óñëîâèÿ â íàøåé äèíàìè÷åñêîé
çàäà÷å.
Ïðîâàðüèðóåì äàííîå íàì íåðåëÿòèâèñòñêîå äåéñòâèå ÿâíî:
δS =
Z
t2
t1
2 m
m ˙
2
dt
~z + δ~z˙ − ~z˙ − V [~z + δ~z ] + V [~z]
2
2
=
linear in δz
Z
t2
dt
t1
hm
2
i
~ [~z ] δ~z .
2 ~z˙ δ~z˙ − ∂V
δS = 0 ïðè ëþáîì δ~z , â òî âðåìÿ êàê â ïðàâîé ñòîðîíå
δ~z˙ . ×òîáû èçáàâèòüñÿ îò ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè îò δ~z ïðîèíòåãðèðóåì ïåðâûé ÷ëåí
Ìû ñîáèðàåìñÿ ïîòðåáîâàòü, ÷òî
ñòîèò
â ïîñëåäíåì âûðàæåíèè ïî ÷àñòÿì:
δS = m ~z˙ δ~z
t2
t1
−
Z
t2
t1
h
i
~
dt m ~z¨ + ∂V
δ~z .
Ïåðâîå âûðàæåíèå ñ ïðàâîé ñòîðîíû ýòîãî ðàâåíñòâà òîæäåñòâåííî çàíóëÿåòñÿ, ò.ê.
δz(t1 ) =
δz(t2 ) = 0. Âòîðîå âûðàæåíèå íà ïðàâîé ñòîðîíå ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ðàâíî íóëþ ïðè
~ . Ò.å., ïîñòóëèðîâàâ óñëîâèå ìèíèìóìà
ëþáîì δz(t) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà m~
z¨ = −∂V
äåéñòâèÿ, ìû ïîëó÷èëè âòîðîé çàêîí Íüþòîíà êàê ñëåäñòâèå. Çàìå÷ó, ÷òî äëÿ êîððåêòíîé
ïîñòàíîâêè çàäà÷è, ìû äîëæíû íàëîæèòü íà÷àëüíûå è êîíå÷íûå óñëîâèÿ äëÿ äèåðåí-
3
z (t1 ) = ~x1 è ~z (t2 ) = ~x2 .
öèàëüíîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà : ~
m~
z˙ 2 (t)
Ëàãðàíæèàí L =
íå ìîæåò ïîäîéòè äëÿ îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ ñâîáîäíîé ðåëÿ2
4.
òèâèñòñêîé ÷àñòèöû, ò.ê. ïðèâîäèò ê óðàâíåíèÿì äâèæåíèÿ
m~z¨ = 0,
êîòîðûå íå èíâàðè-
àíòíû îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà, ïîñêîëüêó â íèõ âðåìÿ è ïðîñòðàíñòâåííûå
êîîðäèíàòû âõîäÿò íå ðàâíîïðàâíî.
Äèíàìèêà ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû äîëæíà îïèñûâàòüñÿ Ëîðåíö êîâàðèàíòíûìè óðàâíåíèÿìè äâèæåíèÿ, ÷òîáû óâàæàòü ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè. Ïîýòîìó äåéñòâèå äëÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû äîëæíî áûòü Ëîðåíö èíâàðèàíòîì. Ïîäõîäÿùèì êàíäèäàòîì íà ðîëü
äåéñòâèÿ äëÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû ÿâëÿåòñÿ äëèíà åå ìèðîâîé ëèíèè. Äåéñòâèòåëüíî:
•
•
Äëèíà ÿâëÿåòñÿ ïðîñòåéøèì Ëîðåíö èíâàðèàíòîì, êîòîðûé ìîæíî ïîñòðîèòü ïî
çàäàííîé ìèðîâîé ëèíèè.
Ýêñòðåìàëüíóþ äëèíó èìååò ïðÿìàÿ ëèíèÿ. À ìû è îæèäàåì, ÷òî ñâîáîäíàÿ ðåëÿòèâèñòñêàÿ ÷àñòèöà áóäåò äâèãàòüñÿ ïî ïðÿìîé â ÏÂ.
3 Íà
ñàìîì äåëå åñòü íåñêîëüêî ñïîñîáîâ çàíóëèòü âêëàä m ~z˙ δ~z
t2
t1
â âàðèàöèþ äåéñòâè. Äëÿ îïðåäå-
ëåíèÿ ðåøåíèÿ äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà, êîèì ÿâëÿåòñÿ âòîðîé çàêîí Íüþòîíà,
íåîáõîäèìî íàëîæèòü äâà óñëîâíèÿ. Íàïðèìåð, óñëîâèå δz(t1 ) = δz(t2 ) = 0, à ñëåäîâàòåëüíî êîíöû òðàåêòîðèè èêñèðîâàíû, ~z(t1 ) = ~x1 è ~z(t2 ) = ~x2 , íàçûâàåòñÿ ãðàíè÷íûì óñëîâèåì Äèðèõëå. Âìåñòî ýòîãî
ìîæíî ïîòðåáîâàòü ~z˙ (t1 ) = ~z˙ (t2 ) = 0. Òàêîå óñëîâèå íàçûâàåòñÿ ãðàíè÷íûì óñëîâèåì ͼéìàíà. Âîçìîæíû
è êîìáèíàöèè èç òàêèõ óñëîâèé íà ðàçíûõ êîíöàõ.
29
Èòàê ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî äëÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû
S = α l12 ,
ãäå
α
íåêîòîðûé
ïàðàìåòð, êîòîðûé ìû íàéäåì íèæå, à l12 äëèíà ìèðîâîé ëèíèè ìåæäó íà÷àëüíîé 1 è
êîíå÷íîé 2 ìèðîâûìè òî÷êàìè.
Âûâåäåì ÿâíîå âûðàæåíèå äëÿ äëèíû ìèðîâîé ëèíèè. Ïðèáëèçèì ìèðîâóþ ëèíèþ
~z (t)
q→ {~z (tq )} → {~zq } , q = 1, . . . , N. Äëèíà ýòîé ëîìàíîé ðàâíà
P
N
−1
˜l12 =
(zq+1 − zq )µ (zq+1 − zq )µ . Â ïðåäåëå N → ∞ è |zq+1 −zq | → 0 ðàññìàòðèâàåìàÿ
q=1
ëîìàíîé
ëîìàííàÿ ñòðåìèòñÿ ê ìèðîâîé ëèíèè, à ðàññìàòðèâàåìàÿ ñóììà ïðåâðàùàåòñÿ â èíòåãðàë
R2p
R2
l12 = 1 dz µ dzµ = 1 ds âäîëü ìèðîâîé ëèíèè ÷àñòèöû ìåæäó íà÷àëüíîé è êîíå÷íîé
ìèðîâîé òî÷êîé. Ýòî áîëåå èëè ìåíåå î÷åâèäíûé îòâåò. Çàìå÷ó, ÷òî äëèíà ìèðîâîé ëèíèè
÷àñòèöû åñòü íè ÷òî èíîå êàê ñêîðîñòü ñâåòà óìíîæåííàÿ íà ñîáñòâåííîå âðåìÿ ïðîøåäøåå
â ÑÎ ñîïóòñòâóþùåé ýòîé ÷àñòèöå ìåæäó ìèðîâûìè òî÷êàìè 1 è 2.
Òàêèì îáðàçîì, äåéñòâèå äëÿ ñâîáîäíîé ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû äîëæíî áûòü ðàâíî:
S [z µ (·)] = α
Z
2
ds = α
1
Z
2
1
p
dz µ dzµ = α
Z
t2
t1
p
dt ż µ żµ = α c
 íåðåëÿòèâèñòñêîì ïðåäåëå ñêîðîñòü ÷àñòèöû ìàëà
Z
t2
dt
t1
|~z˙ (t)| ≪ c, ∀t,
s
1−
~z˙ 2 (t)
.
c2
(27)
ïîýòîìó êâàäðàòíûé
êîðåíü â âûðàæåíèè äëÿ äåéñòâèÿ ìîæíî ðàçëîæèòü â ðÿä Òåéëîðà:
S≈
Z
t2
t1
"
#
α ~z˙ 2 (t)
dt α c −
.
2c
Ïîñëåäíåå äåéñòâèå ñâîäèòñÿ ê âûøåóêàçàííîìó íåðåëÿòèâèñòñêîìó (ñ òî÷íîñòüþ äî êîíñòàíòû, íå âëèÿþùåé íà óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ), åñëè
α = −m c.
 ðåçóëüòàòå Ëàãðàíæèàí äëÿ ñâîáîäíîé ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû ðàâåí:
L (zµ , żµ ) = −m c2
s
1−
p
~z˙ 2 (t)
ż µ żµ .
=
−m
c
c2
(28)
Ïîä÷åðêíó, ÷òî èç-çà íàëè÷èÿ çíàêà ìèíóñ ïåðåä äåéñòâèåì, îíî ïðèíèìàåò ñâîå ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå äëÿ òðàåêòîðèè ìàêñèìàëüíîé äëèíû ïðÿìîé ëèíèè â ÏÂ. Äåéñòâè√
òåëüíî, èíòåðâàë ds =
c2 dt2 − d~x2 ïðèíèìàåò ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå äëÿ ïîêîÿùåéñÿ
÷àñòèöû (èëè äâèãàþùåéñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ, êàê ñëåäóåò èç ïðèíöèïà îòíîñèòåëüíîñòè).
Âåðîÿòíî âàæíûì çàìå÷àíèåì ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî îáñóæäàåìîå äåéñòâèå (27) èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ïî êðàéíåé ìåðå åùå îäíîé ñèììåòðèè. À èìåííî, â êà÷åñòâå ïàðàìåòðèçàöèè ìèðîâîé ëèíèè ÷àñòèöû ìû ìîæåì âçÿòü ëþáîé äðóãîé ïàðàìåòð âìåñòî
êîîðäèíàòíîãî âðåìåíè
t (íàïðèìåð, ñîáñòâåííîå âðåìÿ èëè âðåìÿ â ëþáîé äðóãîé ñèñòåìå
îòñ÷åòà):
S = −mc
Z
1
2
p
dz µ dzµ = −mc
t2
t1
p
dt ż µ żµ = −mc
Z
f2
f1
df
s
dzµ dz µ
.
df df
(29)
t íà äðóãîé ïàðàìåòð f ýòî òî, ÷òî äîëæíî áûòü
df (t)/dt > 0. Òî åñòü â íîâîé ïàðàìåòðèçàöèè ïîðÿäîê òî÷åê
Åäèíñòâåííîå òðåáîâàíèå íà çàìåíó
âåðíî ñëåäóþùåå óñëîâèå:
Z
30
âäîëü ìèðîâîé ëèíèè äîëæåí áûòü ñîõðàíåí: åñëè íåêîòîðàÿ òî÷êà áûëà ïîçæå äðóãîé â
îäíîé ïàðàìåòðèçàöèè, òî ýòî äîëæíî áûòü âåðíî è â íîâîé ïàðàìåòðèçàöèè.
p
Äàííîå òðåáîâàíèå íåîáõîäèìî äëÿ òîãî, ÷òîáû áûëî âûïîëíåíî ñëåäóþùåå óñëîâèå
df 2 ≡ |df | = df , êîòîðîå íåîáõîäèìî äëÿ êîððåêòíîãî èçâëå÷åíèÿ êâàäðàòíîãî êîðíÿ ïðè
ïåðåõîäå îò ïàðàìåòðà
t ê f . Îáñóæäàåìàÿ ñèììåòðèÿ
íàçûâàåòñÿ ðåïàðàìåòðèçàöèîííîé
èíâàðèàíòíîñòüþ. Êàê ñòàíåò ÿñíî èç ñëåäóþùèõ ëåêöèé, âñå ðåëÿòèâèñòñêèå äåéñòâèÿ
äëÿ ÷àñòèö, ñ êîòîðûìè ìû áóäåì ñòàëêèâàòüñÿ, èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî ýòîé ñèììåòðèè. Äåéñòâèòåëüíî, î÷åâèäíî, ÷òî çàêîíû äâèæåíèÿ ÷àñòèöû íå äîëæíû çàâèñåòü îò
òîãî, êàê ìû çàïàðàìåòðèçîâàëè åå ìèðîâóþ ëèíèþ. Îíè ìîãóò çàâèñåòü òîëüêî îò òîãî,
êàê îðìà òðàåêòîðèè îïðåäåëÿåòñÿ äåéñòâóþùèìè íà ÷àñòèöó ñèëàìè.
5.
Âûâåäåì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äëÿ ñâîáîäíîé ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû èç óñëîâèÿ
R t2
ìèíèìóìà äåéñòâèÿ. Ñäåëàåì ýòî äëÿ îáùåãî âèäà äåéñòâèÿ S =
dt L(zµ , żµ ) äëÿ ðåëÿt1
µ
òèâèñòñêîé ÷àñòèöû ñ ìèðîâîé ëèíèåé z (t), ãäå L(zµ , żµ ) îáùåãî âèäà óíêöèÿ Ëàãðàíæà.
µ
 ýòîì ñëó÷àå ìû âàðüèðóåì ìèðîâóþ ëèíèþ z (t), à íå òðàåêòîðèþ ~
z (t) ñ èêñèµ
µ
µ
µ
ðîâàííûìè êîíöåâûìè ìèðîâûìè òî÷êàìè z (t1 ) = x1 è z (t2 ) = x2 . Òîãäà, ðàçëàãàÿ
µ
Ëàãðàíæèàí äî ëèíåéíîãî ïîðÿäêà ïî δz (t), ïîëó÷àåì:
0 = δS =
Z
t2
t1
=
dt [L (zµ + δzµ , żµ + δ żµ ) − L (zµ , żµ )]
linear in δz
Z t2
∂L
∂L
dt
=
δzµ +
δ żµ .
∂zµ ż=const
∂ żµ z=const
t1
(30)
Èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì âòîðîé ÷ëåí â ïîñëåäíåì âûðàæåíèè, ïîëó÷àåì:
∂L
δzµ
0 = δS =
∂ żµ
Z
t2
+
t2
t1
t1
∂L
d ∂L
dt
−
∂zµ dt ∂ żµ
δzµ
4
Ïåðâûé âêëàä ñ ïðàâîé ñòîðîíû ýòîãî âûðàæåíèÿ òîæäåñòâåííî ðàâåí íóëþ , ò.ê.
δzµ (t2 ) = 0. Ïîýòîìó, ÷òîáû âñÿ ëèíåéíàÿ âàðèàöèÿ äåéñòâèÿ ðàâíÿëàñü
δzµ , íåîáõîäèìî, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü óðàâíåíèå ËàãðàíæàÝéëåðà:
íóëþ ïðè ëþáîì
∂L
d ∂L
=
.
dt ∂ żµ
∂zµ
 íàøåì ñëó÷àå
L (zµ , żµ ) = −m c
p
ż µ żµ .
∂L
= 0,
∂zµ
δzµ (t1 ) =
(31)
Ïîýòîìó:
∂L
ż µ
= −m c √ ν ,
∂ żµ
ż żν
ò.ê. ïðîèçâîäíàÿ â ïåðâîì èç ýòèõ ðàâåíñòâ áåðåòñÿ ïî
zµ
ïðè ïîñòîÿííîì
żµ ,
êàê áûëî
óêàçàíî âûøå â îðìóëå (30).
4
ðàíè÷íûå (íà÷àëüíûå è êîíå÷íûå) óñëîâèÿ, êîòîðûå òðåáóþò, ÷òîáû δzµ (t1,2 ) = 0 íàçûâàþòñÿ óñëî∂L
(t1,2 ) = 0þ Èëè æå êîìâèåìÿ Äèðèõëå. Â ïðèíöèïå, ìîæíî áûëî áû íàëîæèòü óñëîâèÿ Íåéìàíà ∂z
µ
áèíàöèè òàêèõ óñëîâèÿõ â íà÷àëà è â êîíöå.
31
Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äëÿ ñâîáîäíîé ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû èìåþò
âèä:
d
dz µ
d ż µ
√ ν
√ ν
= −m c
= 0.
dt ż żν
dt dt ż żν
p
p
dt ż µ żµ = ds, è äåëÿ îáå åãî ñòîðîíû íà ż µ żµ ,
−m c
Âñïîìèíàÿ, ÷òî
ýòî óðàâíåíèå ìîæíî
ïåðåïèñàòü â ÿâíî Ëîðåíö èíâàðèàíòíîì âèäå:
d dz µ
≡ w µ = 0.
ds ds
(32)
Ò.å., êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü, ñâîáîäíàÿ ðåëÿòèâèñòñêàÿ ÷àñòèöà äâèæåòñÿ ñ íóëåâûì
4óñêîðåíèåì, ò.å. ñ ïîñòîÿííîé 4ñêîðîñòüþ. Èíûìè ñëîâàìè âäîëü ïðÿìîé ëèíèè â
ÏÂ (ñ óãëîì íàêëîíà ê îñè
6.
Äåéñòâèå äëÿ
N
ct
ìåíüøèì 45 ãðàäóñîâ).
âçàèìîäåéñòâóþùèõ ìåæäó ñîáîé ÷àñòèö ìîæåò èìåòü, íàïðèìåð,
òàêîé âèä:
S=−
ãäå
ż 2 (t) ≡ ż µ (t)żµ (t)
è
N
X
q=1
mq c
Z
V [zq − zq′ ]
N
q
X
2
dt żq (t) +
q=1
N
X
q ′ =1,q ′ 6=q
Z
dt V [zq − zq′ ] ,
ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó
íåðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå ïðèìåðîì
V
q -é
è
q ′ -é
÷àñòèöàìè. Â
ìîæåò áûòü ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ Êóëîíà (èëè
Íüþòîíà):
V [~zq − ~zq′ ] =
eq eq′
.
|~zq − ~zq′ |
Ê áîëåå ïîäðîáíîìó îáñóæäåíèþ òîãî êàêèìè ìîãóò áûòü íà ñàìîì äåëå âçàèìîäåéñòâèÿ
ìû ïåðåéäåì â ñëåäóþùèõ ëåêöèÿõ. Äëÿ äàëüíåéøèõ ðàññóæäåíèé â ýòîé ëåêöèè âàæíî
µ
ëèøü òî, ÷òî ðàññìàòðèâàåìîå äåéñòâèå íå ìåíÿåòñÿ ïðè òðàíñëÿöèÿõ, S
zq (t) + aµ =
S zqµ (t) , ò.å. ïðè ïåðåíîñå âñåé ñèñòåìû ÷àñòèö íà ïîñòîÿííûé 4âåêòîð aµ . ÎòðàæåPN ∂L
íèåì ýòîãî àêòà ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâî
q=1 ∂zqµ = 0, êîòîðîå ìîæíî ïîëó÷èòü, ðàçëàãàÿ
ðàâåíñòâî
L
µ
zq (t) + aµ , żqµ (t) = L zqµ (t) , żqµ (t)
â ðÿä Òåéëîðà äî ëèíåéíîãî ïîðÿäêà ïî
aµ .
Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ñèñòåìû ñâîáîäíûõ
÷àñòèö óðàâíåíèÿ ËàãðàíæàÝéëåðà èìåþò âèä:
d ∂L
∂L
.
µ =
dt ∂ żq
∂zqµ
P
 ñëó÷àå òðàíñëÿöèîííîé èíâàðèàíòíîñòè, êîãäà
Ýéëåðà ìû ïîëó÷àåì:
q
∂L/∂zqµ = 0, èç óðàâíåíèé Ëàãðàíæà
N
N
X
d X ∂L
∂L
=
= 0.
∂zqµ
dt q=1 ∂ żqµ
q=1
32
Ïîñëåäíåå óðàâíåíèå óñòàíàâëèâàåò çàêîí ñîõðàíåíèÿ ñóììàðíîãî 4èìïóëüñà ñèñòåìû
÷àñòèö, ò.ê. äëÿ êàæäîé îòäåëüíîé ÷àñòèöû 4èìïóëüñ ïî îïðåäåëåíèþ ðàâåí:
pµ = −
∂L
.
∂ ż µ
(33)
Äåéñòâèòåëüíî, â ñëó÷àå ïðèâåäåííîãî âûøå Ëàãðàíæèàíà, ïîëó÷àåì:
√
dzµ
dzµ
żµ
∂ ż ν żν
= mc √ ν
= mc
= mc √ ν
= m c uµ .
pµ = m c
µ
∂ ż
ds
ż żν
dt ż żν
(34)
Èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå äëÿ êîìïîíåíò 4ñêîðîñòè, âûïèøåì êîìïîíåíòû êîâàðèàíòíîãî
4èìïóëüñà:
mc
m ~v
pµ = q
, q
.
2
2
1 − vc2
1 − vc2
 íåðåëÿòèâèñòñêîì ïðåäåëå
ðîñòü ñâåòà, ñâîäèòñÿ ê:
v≪c
(35)
íóëåâàÿ êîìïîíåíòà 4èìïóëüñà, óìíîæåííàÿ íà ñêî-
m c2
m v2
p0 c = q
+ ...
= m c2 +
2
2
1 − vc2
ñóììå íåðåëÿòèâèñòñêîé êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè è ýíåðãèè ïîêîÿ
E 0 = m c2 .
Ò.å. íóëå-
âàÿ êîìïîíåíòà 4èìïóëüñà åñòü íè ÷òî èíîå, êàê ðåëÿòèâèñòñêàÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ
÷àñòèöû, äåëåííàÿ íà ñêîðîñòü ñâåòà:
òèâèñòñêîì ïðåäåëå ñâîäèòñÿ ê:
~p = q
E/c.
m ~v
1−
v2
c2
Ïðîñòðàíñòâåííàÿ ÷àñòü 4èìïóëüñà â íåðåëÿ-
=
E ~v
= m ~v + . . . ,
c2
ò.å. ê îáû÷íîìó òðåõìåðíîìó íåðåëÿòèâèñòñêîìó èìïóëüñó.
Òàêèì îáðàçîì, èç òðàíñëÿöèîííîé èíâàðèàíòíîñòè Ëàãðàíæèàíà ñëåäóåò çàêîí ñîµ
p), èëè ýíåðãèè è èìïóëüñà. Ýòî óòâåðæäåíèå ÿâëÿåòñÿ
õðàíåíèÿ 4èìïóëüñà p = (E/c, ~
÷àñòíûì ñëó÷àåì áîëåå îáùåé òåîðåìû Íåòåð, êîòîðàÿ óòâåðæäàåò, ÷òî åñëè äåéñòâèå äëÿ
êàêîéíèáóäü ñèñòåìû èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî êàêîéòî ñèììåòðèè, èç ýòîãî ñëåäóåò
çàêîí ñîõðàíåíèÿ êàêîéòî âåëè÷èíû. Íàëè÷èå çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ ñèëüíî óïðîùàåò ðåøåíèå äèíàìè÷åñêèõ óðàâíåíèé.  ñëåäóþùèõ ëåêöèÿõ ìû âûâåäåì çàêîí ñîõðàíåíèÿ
ýíåðãèèèìïóëüñà äëÿ ñèñòåìû ÷àñòèö, âçàèìîäåéñòâóþùèõ ñ ýëåêòðîìàãíèòíûì ïîëåì.
Èç 4âåêòîðà èìïóëüñà ëåãêî ïîñòðîèòü Ëîðåíöåâñêèé èíâàðèàíò åãî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå íà ñàìîãî ñåáÿ (åãî íîðìó):
pµ pµ =
m2 c2
m2 v 2
−
= m2 c2 .
v2
v2
1 − c2
1 − c2
33
Ò.å. ìàññà ÷àñòèöû ÿâëÿåòñÿ Ëîðåíöåâñêèì èíâàðèàíòîì è íå ìåíÿåòñÿ ïðè ïåðåõîäå èç
îäíîé ÑÎ â äðóãóþ. Ïðè ýòîì ýíåðãèÿ ÷àñòèöû ìåíÿåòñÿ ïðè ñìåíå ÑÎ êàê íóëåâàÿ êîìïîíåíòà 4èìïóëüñà.
 êîìïîíåíòàõ ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî èìååò çíàêîìûé âàì âèä:
E2
− ~p2 = m2 c2
c2
(36)
7.
àññìîòðèì îòîí áåçìàññîâóþ ÷àñòèöó. Åå 4èìïóëüñ óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåµ
2 2
íèþ pµ p = m c = 0. Äëÿ áåçìàññîâîé ÷àñòèöû îáû÷íî èñïîëüçóþò âîëíîâîé 4âåêòîð
kµ ,
pµ = ~ kµ, ãäå ~ ïîñòîÿííàÿ Ïëàíêà. Ïðè ýòîì
µ
k), ãäå ω ÷àñòîòà îòîíà,
èìåþò âèä: k = (ω/c, ~
âìåñòî èìïóëüñà
íîâîãî 4âåêòîðà
êîìïîíåíòû âîëà
~k
ïðîñòðàí-
ñòâåííàÿ ÷àñòü âîëíîâîãî 4âåêòîðà.  ÷àñòíîñòè, ïðè ýòîì ïîäðàçóìåâàåòñÿ, ÷òî ýíåðãèÿ
îòîíà ðàâíà E = ~ ω . Èòàê, äëÿ îòîíà âîëíîâîé 4âåêòîð óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèþ
k µ kµ = k02 − ~k 2 = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, |~k| = k 0 = ω/c.
v îòíîñèÒåïåðü ðàññìîòðèì èñòî÷íèê ñâåòà, äâèãàþùèéñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ ~
òåëüíî íàøåé ÑÎ.  ÑÎ èñòî÷íèêà èñïóñêàåòñÿ îòîí ñ âîëíîâûì âåêòîðîì
âåòñòâóþùåé ÷àñòîòîé
ω0 .
Êàêîâà áóäåò ÷àñòîòà îòîíà
ω = |~k|
~k0
è ñîîò-
â íàøåé ÑÎ? Èñïîëüçóÿ
îðìóëû äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ âîëíîâîãî 4-âåêòîðà ïðè Ëîðåíöåâñêîì áóñòå, ïîëó÷àåì:
~
çäåñü
θ
ω
θ
ω
− (~v,ck)
− v ω cos
ω0
2
c
= cq c
,
= q
c
v2
v2
1 − c2
1 − c2
óãîë (â íàøåé ÑÎ) ìåæäó íàïðàâëåíèåì èñïóñêàíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé âîë-
íû è íàïðàâëåíèåì äâèæåíèÿ èñòî÷íèêà. Èç ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ ñëåäóåò îðìóëà äëÿ
èçìåíåíèÿ ÷àñòîòû ñâåòà îò äâèãàþùåãîñÿ èñòî÷íèêà:
ω = ω0
q
1−
1−
v
c
v2
c2
(37)
cos θ
ýåêò Äîïëåðà.
8. Âîñïîëüçóåìñÿ çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà, ÷òîáû îòâåòèòü íà ñëåäóþùèé âîïðîñ:
Ìîæåò ëè ñâîáîäíî äâèãàþùàÿñÿ ÷àñòèöà ñ èìïóëüñîì
èìïóëüñîì
~q
è ìàññîé
m
p~
è ìàññîé
è ïðîäîëæèòü äâèãàòüñÿ ñ èìïóëüñîì
~k ,
M
èçëó÷èòü ÷àñòèöó ñ
ñëåäóþùåì èç çàêîíà
ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà?
pµ = qµ + kµ â êâàäðàò: pµ pµ = (q + k)µ (q + k)µ .
µ
µ
2 2
µ
2 2
âîñïîëüçîâàâøèñü pµ p = kµ k = M c è qµ q = m c , ïîëó÷àåì:
Ek Eq ~
2 2
µ
2 2
0 = m c + 2 qµ k = m c + 2
− k ~q .
c2
Âîçâåäåì çàêîí ñîõðàíåíèÿ 4èìïóëüñà
àñêðûâàÿ ñêîáêè è
Âîñïîëüçîâàâøèñü
p~ =
Ep
c2
~vp ,
âûâîäèì:
Ek Eq
0=m c +2 2
c
2 2
34
~vk ~vq
1− 2
c
.
Ïîëó÷åííîå ðàâåíñòâî íå ìîæåò áûòü âûïîëíåíî, ò.ê. ïðàâàÿ ñòîðîíà ñòðîãî áîëüøå íóëÿ
äàæå, åñëè
m = 0, ò.å. äàæå åñëè èçëó÷àåìàÿ ÷àñòèöà ÿâëÿåòñÿ, íàïðèìåð, îòîíîì. Òàêèì
îáðàçîì, ðàññìàòðèâàåìûé ïðîöåññ íå âîçìîæåí. Êàê ìû óâèäèì â ñëåäóþùèõ ëåêöèÿõ,
çàðÿæåííàÿ ÷àñòèöà (ñêàæåì ýëåêòðîí) ìîæåò èçëó÷àòü ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû (îòîíû), òîëüêî åñëè äâèæåòñÿ ñ óñêîðåíèåì, ò.å. íå ñâîáîäíî, à ïîä äåéñòâèåì âíåøíåé ñèëû,
ñîâåðøåíèå ðàáîòû êîòîðîé è íåîáõîäèìî äëÿ ðîæäåíèÿ îòîíîâ.
9.
Ìàññà îòîíà ðàâíà íóëþ. À ÷åìó ðàâíà ìàññà äâóõ îòîíîâ? Êàçàëîñü áû òîæå
íóëþ, íî íå âñå òàê ïðîñòî. ×òîáû ïîíÿòü, ÷òî ïðîèñõîäèò, ðàññìîòðèì äâà îòîíà äâè~1 è ~p2 . Òîãäà 4-èìïóëüñû ýòèõ îòîíîâ ðàâíû pµ1 = (|~p1 | , p~1 )
ãàþùèõñÿ ñ èìïóëüñàìè p
µ
è p2 = (|~
p2 | , ~p2 ), òàê êàê (pµ1 )2 ≡ ηµν pµ1 pν1 = 0 è p22 = 0. Íàéäåì êâàäðàò ñóììàðíîãî
4-èìïóëüñà ýòèõ äâóõ îòîíîâ:
(pµ1 + pµ2 )2 = p21 + p22 + 2 p1 · p2 = 2 |~p1 | |~p2 | [1 − cos (θ12 )] ,
ãäå
θ12
θ12 ýòî óãîë ìåæäó ~p1 è p~2 . Î÷åâèäíî, ÷òî ïîëó÷åííàÿ âåëè÷èíà íå ðàâíà íóëþ, åñëè
6= 0. Îíà íàçûâàåòñÿ ýåêòèâíîé ìàññîé è èãðàåò âàæíóþ ðîëü â ðåëÿòèâèñòñêîé
êèíåìàòèêå. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî îïðåäåëèòü ýåêòèâíóþ ìàññó ïðîèçâîëüíîãî
íàáîðà èç ðàçëè÷íûõ ÷àñòèö.
Âîïðîñû è çàäà÷è
•
Âåðíåìñÿ îïÿòü ê ñòàíäàðòíîìó â ÑÒÎ ìûñëåííîìó ýêñïåðèìåíòó, êîòîðûé ìû îáñóæàëè íà ïåðâîé ëåêöèè: Ñòàíöèîííûé ñìîòðèòåëü âèäèò ïðîõîäÿùèé ìèìî íåãî
ñ ïîñòîÿííîé ðåëÿòèâèñòñêîé ñêîðîñòüþ âàãîí. Ïîñåðåäèíå âàãîíà ñòîèò ïàññàæèð.
Êîãäà ïàññàæèð ðàâíÿåòñÿ ñî ñìîòðèòåëåì, îí îäíîâðåìåííî áðîñàåò â ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ äâà êàìíÿ ñ îäèíàêîâûìè ñêîðîñòÿìè. Âìåñòî êàìíåé ìîãóò
áûòü òå æå ëó÷è ñâåòà, íî äëÿ íàãëÿäíîñòè ìû ïðåäïî÷èòàåì îáñóæäàòü êàìíè.
È â ÈÑÎ ïàññàæèðà è â ÈÑÎ ñìîòðèòåëÿ áðîñàíèå êàìíåé îäíîâðåìåííî. Â ÈÑÎ
ïàññàæèðà îáà êàìíÿ îäíîâðåìåííî îòðàæàþòñÿ îò ñòåíîê âàãîíà è îäíîâðåìåííî
âîçâðàùàþòñÿ ê ïàññàæèðó.
Îäíàêî â ÈÑÎ ñìîòðèòåëÿ êàìåíü, áðîøåííûé ïî íàïðàâëåíèþ äâèæåíèÿ âàãîíà,
äîñòèãíåò åãî ïåðåäíåé ñòåíêè ïîçæå, ÷åì êàìåíü, áðîøåííûé ïðîòèâ íàïðàâëåíèÿ
äâèæåíèÿ âàãîíà, äîñòèãíåò åãî çàäíåé ñòåíêè. Ýòî î÷åâèäíî, ò.ê. ñêîðîñòè ñáëèæåíèÿ ñòåíîê è êàìíåé ðàçíûå. Îäíàêî îòðàæåííûå êàìíè âåðíóòñÿ ê ïàññàæèðó
îäíîâðåìåííî òàê æå è â ÈÑÎ ñìîòðèòåëÿ. Äåéñòâèòåëüíî ïîñëå îòðàæåíèÿ êàìíåé
îò ñòåíîê èõ ñêîðîñòè ñáëèæåíèÿ ñ ïàññàæèðîì áóäóò ðàçíûå, íî ñ ïðîòèâîïîëîæíûì çíàêîì.
Òàêèì îáðàçîì, ìîìåíòû îòðàæåíèÿ êàìíåé îò ñòåíîê âàãîíà, áóäó÷è îäíîâðåìåííûìè â ÈÑÎ ïàññàæèðà, íå ÿâëÿþòñÿ òàêîâûìè â ÈÑÎ ñìîòðèòåëÿ. Íî òîãäà ìû èìååì
ñëåäóþùåå êàæóùååñÿ ïðîòèâîðå÷èå. À èìåííî, â ÈÑÎ ïàññàæèðà ïåðåäà÷à èìïóëüñà îò êàìíåé âàãîíó ïðîèñõîäèò îäíîâðåìåííî. Ïîýòîìó âàãîí äâèæåòñÿ ìîíîòîííî
ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ. Íî â ÈÑÎ ñìîòðèòåëÿ ïåðåäà÷à èìïóëüñà íå áóäåò îäíîâðåìåííîé. Ïîýòîìó âàãîí íèêàê íå ìîæåò äâèãàòüñÿ ìîíîòîííî. Îáúÿñíèòå ýòî
êàæóùååñÿ ïðîòèâîðå÷èå.
•
Íàéäèòå êîìïîíåíòû 4âåêòîðà óñêîðåíèÿ. ×åìó ðàâåí êâàäðàò 4óñêîðåíèÿ?
35
•
Íàéäèòå óñëîâèå íà ýêñòðåìóì äëÿ óíêöèè ìíîãèõ ïåðåìåííûõ (26).
•
Ïîäóìàéòå, êàê äîëæíî âûãëÿäåòü äåéñòâèå äëÿ áåçìàññîâîé,
•
Âîîðóæèâøèñü ïðèîáðåòåííûìè íà äàííûé ìîìåíò çíàíèÿìè, ïîïðîáóéòå îáúÿñíèòü
m = 0,
÷àñòèöû? Íà-
ïðèìåð, äëÿ îòîíà.
ïàðàäîêñ áëèçíåöîâ, êîòîðûé çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì. Ïóñòü îäèí èç áðàòüåâ áëèçíåöîâ, ñêàæåì, Âàíÿ ïîëåòåë íà áëèæàéøóþ çâåçäó è âåðíóëñÿ îáðàòíî íà çåìëþ,
ãäå âñå âðåìÿ îñòàâàëñÿ äðóãîé áëèçíåö, ñêàæåì, Âàñÿ. Êàêîé èç áðàòüåâ îêàæåòñÿ ñòàðøå/ìëàäøå, åñëè ñ îäíîé ñòîðîíû â ÑÎ Âàñè äâèãàëñÿ Âàíÿ è ïðîèñõîäèëî
ñîêðàùåíèå åãî ñîáñòâåííîãî âðåìåíè, à ñ äðóãîé ñòîðîíû â ÑÎ Âàíè äâèãàëñÿ Âàñÿ
è íàîáîðîò äîëæíî áûëî ñîêðàùàòüñÿ åãî ñîñòâåííîå âðåìÿ.
•
Ïîäóìàéòå, êàêèì äîëæíî áûòü äåéñòâèå äëÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ñòðóíû íå òî÷å÷íîãî, à ïðîòÿæåííîãî îáúåêòà. Ýòî î÷åíü ñëîæíûé âîïðîñ äëÿ ÷åëîâåêà, âïåðâûå
ñòîëêíóâøåãîñÿ ñ òåíçîðíûì àíàëèçîì è äèåðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèåé.
•
•
Êàê áóäóò âûãëÿäåòü óðàâíåíèÿ ËàãðàíæàÝéëåðà è íà÷àëüíûå è êîíå÷íûå óñëîâèÿ
â ñëó÷àå, êîãäà Ëàãðàíæèàí çàâèñèò îò óñêîðåíèÿ:
Âîçìîæåí ëè îáñóæäàåìûé â ñåêöèè
8
S=
ïðîöåññ, åñëè è
ïðè êàêèõ óñëîâíèÿõ?
36
R
dt L(z, ż, z̈)?
M =0
è
m = 0?
Åñëè äà, òî
Ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå, êàëèáðîâî÷íûå èëè ãðàäèåíòíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ, äåéñòâèå è óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû â ïîëå, òåíçîð ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ.
Ëåêöèÿ IV;
1. Íà ïðîøëîé ëåêöèè
ìû ïîëó÷èëè óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äëÿ ñâîáîäíîé ðåëÿòèâèñòñêîé
÷àñòèöû. Òåïåðü ìû õîòèì ïîëó÷èòü óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû âî
âíåøíåì ýëåêòðîìàãíèòíîì (ÝÌ) ïîëå. Ìû îæèäàåì, ÷òî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ áóäóò
èìåòü âèä
m c wµ = Fµ ,
ãäå
wµ
4-óñêîðåíèå, à
Fµ
íåêòîðûé 4âåêòîð ñèëû, ò.å. 4
ìåðíîå îáîáùåíèå îáû÷íîé ñèëû â ìåõàíèêå Íüþòîíà. Ìû îæèäàåì, ÷òî 4ñèëà áóäåò
çàâèñåòü îò âíåøíåãî ÝÌ ïîëÿ è, âîîáùå ãîâîðÿ, ìîæåò çàâèñåòü îò õàðàêòåðèñòèê ìèðîâîé ëèíèè ÷àñòèöû.
Òàêîå óðàâíåíè äâèæåíèÿ äëÿ ÷àñòèöû äîëæíî ïîëó÷àòüñÿ èç äåéñòâèÿ, èìåþùåãî âèä
R2
S = −m c 1 ds+∆S , ãäå ∆S ýòî äîïîëíèòåëüíûé âêëàä çà ñ÷åò íàëè÷èÿ âíåøíåãî ïîëÿ.
Èìåííî ýòîò âêëàä ïðèâîäèò ê íàëè÷èþ 4 ñèëû íà ïðàâîé ñòîðîíå óðàâíåíèé äâèæåíèÿ.
∆S
äîëæíî áûòü Ëîðåíöñêàëÿðîì è çàâèñåòü îò âíåøíåãî ÝÌ ïîëÿ è îò ìèðîâîé
ëèíèè ÷àñòèöû.
×òîáû ïîñòðîèòü òàêîå äåéñòâèå, ñëåäóåò ïîíÿòü, â êàêèõ òåðìèíàõ ïðàâèëüíî îïèñûâàòü ÝÌ ïîëÿ. Äëÿ ýòîãî îáðàòèìñÿ ê óðàâíåíèÿì Ìàêñâåëëà, îïèñûâàþùèì äèíàìèêó
ýòèõ ïîëåé, êîòîðûå, ïî òðàäèöèè, ñëåäóþò èç ëîãè÷åñêè íåïðîòèâîðå÷èâîãî îïèñàíèÿ
ñëåäóþùèõ îïûòíûõ àêòîâ:
•
Çàêîí Êóëîíà óòâåðæäàåò, ÷òî ñèëà, ñ êîòîðîé îäèí çàðÿä
e2 ,
e1
äåéñòâóåò íà äðóãîé
ïðîïîðöèîíàëüíà âåëè÷èíàì ýòèõ çàðÿäîâ è îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà êâàäðàòó
ðàññòîÿíèÿ ìåæäó íèìè
~:
|R|
e1 e2 ~
~
f~1→2 =
3 R = −f2→1 .
~
R
 ýòîé îðìóëå ÿ ïîëîæèë ïîñòîÿííóþ Êóëîíà ðàâíîé åäèíèöå, ïåðåîïðåäåëèâ âåëè÷èíû çàðÿäîâ. Ýòà îðìà çàïèñè çàêîíà Êóëîíà íå îòðàæàåò êîíå÷íîñòè ñêîðîñòè
ðàñïðîñòðàíåíèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó çàðÿäàìè: èç íåå ñëåäóåò, ÷òî åñëè ñìåñòèòü
çàðÿä
e1
â íîâîå ïîëîæåíèå, òî çàðÿä
e2
ìãíîâåííî ýòî ïî÷óâñòâóåò.
Ïðàâèëüíûé âçãëÿä íà âåùè ñëåäóåò èç ïîíèìàíèÿ òîãî àêòà, ÷òî ìåæäó çàðÿäàìè
~1 =
åñòü ïîñðåäíèê ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå. Ò.÷. ñêàæåì ïåðâûé çàðÿä ñîçäàåò ïîëå E
e1 ~
~
~
3 R, êîòîðîå äåéñòâóåò íà âòîðîé çàðÿä ïî çàêîíó f1→2 = e2 E1 . Èëè íàîáîðîò
|R~ |
âòîðîé çàðÿä ñîçäàåò ïîëå, êîòîðîå äåéñòâóåò íà ïåðâûé çàðÿä.
Òåïåðü ñìåùåíèå çàðÿäà â íîâîå ïîëîæåíèå áóäåò ïðèâîäèòü ê âîçìóùåíèþ ïîëÿ,
êîòîðîå áóäåò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ ñ êîíå÷íîé ñêîðîñòüþ, â ñîîòâåòñòâèè ñ åãî äèíàìè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè, äî äðóãîãî çàðÿäà. Ñèòóàöèÿ î÷åíü ïîõîæà íà òîò ïðîöåññ,
êîòîðûé ÿ îïèñûâàë â ïåðâîé ëåêöèè. Òàêèì îáðàçîì, êàçàëîñü áû òàâòîëîãè÷åñêàÿ
çàìåíà ïðèâîäèò ê êîíöåïòóàëüíî íîâîìó ïîíèìàíèþ ñèòóàöèè.
•
Çàêîí ÁèîÑàâàðà ãëàñèò, ÷òî ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà ýëåìåíò òîêà
ñòîðîíû ýëåìåíòà òîêà
d~l1
ñèëû
J1 ,
ðàâíà
37
d~l2
ñèëû
J2
ñî
ii
J1 J2 h ~ h ~
~
d
l
×
d
l
×
R
= −df~2→1 ,
2
1
3
~
c2 R
df~1→2 =
~
R
ãäå
ðàäèóñâåêòîð îò
d~l1
ê
d~l2 .
Àíàëîãè÷íî çàêîíó Êóëîíà, êîíöåïòóàëüíî áîëåå ïðàâèëüíûé âçãëÿä íà ýòîò çàêîí
ñëåäóåò èç ïðåäñòàâëåíèÿ î òîì, ÷òî ýëåìåíò òîêà
~1 =
dB
d~l1
ñîçäàåò ìàãíèòíîå ïîëå
~
J1 ~
R
dl1 ×
3,
c
~
R
êîòîðîå, â ñâîþ î÷åðåäü, äåéñòâóåò íà âòîðîé ýëåìåíò òîêà ñ ñèëîé:
i
J2 h ~
~1 .
d l2 × d B
c
df~1→2 =
Èëè æå íàîáîðîò ïîëå ñîçäàåò âòîðîé ýëåìåíò òîêà, à îíî óæå äåéñòâóåò íà ïåðâûé
ýëåìåíò òîêà.
•
Ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè ãëàñèò, ÷òî ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå îò íåñêîëüêèõ çàðÿäîâ åñòü
ñóììà ýëåêòðè÷åñêèõ ïîëåé îò êàæäîãî èç íèõ ïî îòäåëüíîñòè. Àíàëîãè÷íî ìàãíèòíîå ïîëå îò íåñêîëüêèõ òîêîâ åñòü ñóììà ìàãíèòíûõ ïîëåé îò êàæäîãî èç íèõ ïî
îòäåëüíîñòè.
•
Çàêîí
S
àóññà ãëàñèò, ÷òî ïîòîê ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ÷åðåç çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü
íå çàâèñèò îò åå îðìû, à ïðîñòî ðàâåí ïîëíîìó çàðÿäó
Q
âíóòðè îáëàñòè
VS
îãðàíè÷åííîé ýòîé ïîâåðõíîñòüþ:
1
4π
Çàðÿä
Q,
ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê
ZZ
~ d~s = Q.
E
RRR
Q=
ρd3 V ,
VS
S
ìåíÿÿ òåîðåìó Îñòðîãðàäñêîãî àóññà, ïîëó÷àåì:
RRR
~ d3 V .
divE
VS
ãäå
RR
S
ρ ïëîòíîñòü çàðÿäà. Ïðè
RRR
~
~
~
E d~s =
∇, E d3 V =
Ïîýòîìó ðàññìàòðèâàåìîå óðàâíåíèå ñâîäèòñÿ ê:
ZZZ
VS
~ − 4 π ρ d3 V = 0.
divE
Ò.ê. ïîñëåäíåå óðàâíåíèå âåðíî äëÿ ëþáîé 3ìåðíîé îáëàñòè
ïîëíÿòüñÿ òîëüêî, åñëè
~ = 4 π ρ.
divE
È ìû ïîëó÷àåì îäíî èç óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà.
•
VS
 ïðèðîäå íåò ìàãíèòíûõ çàðÿäîâ:
ZZ
~ d~s = 0
B
S
38
VS ,
òî îíî ìîæåò âû-
S
äëÿ ëþáîé çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòè
â ïðîñòðàíñòâå. Àíàëîãè÷íî ðàññìîòðåííîìó
âûøå ñëó÷àþ, èç ýòîãî óðàâíåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî
~ =0
divB
åùå îäíî èç óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà.
•
Çàêîí ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè Ôàðàäåÿ ãëàñèò, ÷òî ýëåêòðîäâèæóùàÿ ñèëà (èëè
C ïðîïîðöèîíàëüíà èçìåíåíèþ ïîòîêà
SC , íàòÿíóòóþ íà êîíòóð C :
öèðêóëÿöèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ) ïî êîíòóðó
ìàãíèòíîãî ïîëÿ ÷åðåç ëþáóþ ïîâåðõíîñòü
I
~ d~l = − 1 d
E
c dt
C
ZZ
~ d~s.
B
SC
Ïðåîáðàçóÿ ëåâóþ ÷àñòü ýòîãî óðàâíåíèÿ ïî òåîðåìå Ñòîêñà, ïîëó÷àåì:
ZZ
SC
~
~ + 1 ∂B
rotE
c ∂t
!
d~s = 0.
Ò.ê. ýòî èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå âûïîëíÿåòñÿ äëÿ ëþáîé ïîâåðõíîñòè
SC , òî äîëæíî
áûòü âåðíî, ÷òî:
~+
rotE
~
1 ∂B
=0
c ∂t
î÷åðåäíîå óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà.
•
È íàêîíåö èç ýêñïåðèìåíòà ñëåäóåò, ÷òî öèðêóëÿöèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïî çàìêíóòîìó
C ïðîïîðöèîíàëüíà ñóììå ñèëû òîêà, ïðîòåêàþùåé ÷åðåç ëþáóþ ïëîùàäêó
SC , íàòÿíóòóþ íà êîíòóð C , è ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ ïîòîêà ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ÷åðåç
êîíòóðó
òó æå ïëîùàäêó:
I
ãäå
~j
~ d~l = 4 π
B
c
C
ZZ
~j d~s + 1 d
c dt
SC
ZZ
~ d~s,
E
SC
ïëîòíîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà. Âîñïîëüçîâàâøèñü òåîðåìîé Ñòîêñà ñ ëåâîé
ñòîðîíû ýòîãî ðàâåíñòâà, ïîëó÷àåì:
~ =
rotB
~
4 π ~ 1 ∂E
j+
c
c ∂t
ïîñëåäíåå èç óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà.
2. Äâà èç ïðèâåäåííûõ
âûøå óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà
~ = 4πρ
divE
~
~ = 4 π ~j + 1 ∂ E
rotB
c
c ∂t
39
(38)
íàçûâàþòñÿ
âòîðîé ïàðîé óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà
è îïðåäåëÿþò òî, êàê âûãëÿäÿò ÝÌ ïî-
ëÿ, ñîçäàâàåìûå òîé èëè èíîé êîíèãóðàöèåé òîêîâ è çàðÿäîâ. Ìû áóäåì ïîäðîáíî îáñóæäàòü ýòè óðàâíåíèÿ â ñëåäóþùèõ ëåêöèÿõ.
Ñåé÷àñ æå ìû îáðàòèìñÿ ê äðóãîé
ïåðâîé
ïàðå óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà:
~ =0
divB
~
~ = − 1 ∂B .
rotE
c ∂t
(39)
Ýòè óðàâíåíèÿ íå çàâèñÿò îò âíåøíèõ èñòî÷íèêîâ çàðÿäîâ è òîêîâ. Ò.å. îíè ïðîñòî îïðåäåëÿþò òî êàê ÝÌ ïîëÿ ñâÿçàííû ìåæäó ñîáîé. Ïîýòîìó ìîæíî íàäåÿòüñÿ, ÷òî íàéäåòñÿ
òàêîå ïðåäñòàâëåíèå äëÿ ÝÌ ïîëåé, ÷òî ðàññìàòðèâàåìûå óðàâíåíèÿ áóäóò âûïîëíÿòüñÿ
òîæäåñòâåííî. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè
~ = rotA
~
B
(40)
~ ~x), òî ïåðâîå èç ðàññìàòðèâàåìûõ
A(t,
div rot ≡ 0. Ïðè ýòîì âòîðîå èç ðàññìàò-
äëÿ ëþáîãî äèåðåíöèðóåìîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ
çäåñü óðàâíåíèé âûïîëíÿåòñÿ òîæäåñòâåííî, ò.ê.
ðèâàåìûõ óðàâíåíèé ïðèíèìàåò âèä:
~
~ + 1 ∂A
rot E
c ∂t
!
= 0.
Ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå âûïîëíÿåòñÿ òîæäåñòâåííî, åñëè:
~
~ + 1 ∂ A = −gradϕ =⇒
E
c ∂t
~
~ = − 1 ∂ A − gradϕ
E
c ∂t
äëÿ ëþáîãî äèåðåíöèðóåìîãî ïîëÿ
(41)
~ íàçûâàþòñÿ ÝÌ
ϕ(t, ~x), ò.ê. rot grad ≡ 0. Ïîëÿ ϕ è A
ïîòåíöèàëàìè. Èõ âèä, ñ òî÷íîñòüþ äî íåêîòîðûõ ïðåîáðàçîâàíèé, èêñèðóåòñÿ âòîðîé
ïàðîé óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà, êàê ìû óâèäèì íà ñëåäóþùèõ ëåêöèÿõ.
Çàìå÷ó, ÷òî, åñëè ñäåëàòü çàìåíó
~′ = A
~ + gradα
A
1 ∂α
ϕ′ = ϕ −
c ∂t
(42)
~ èB
~ ïî íîâûì
äëÿ ëþáîé äèåðåíöèðóåìîé óíêöèè α(t, ~
x), òî ïîñòðîåííûå ÝÌ ïîëÿ E
~ ′ è ϕ′ íå áóäóò îòëè÷àòüñÿ îò ÝÌ ïîëåé, ïîñòðîåííûõ ïî ñòàðûì ïîòåíöèàïîòåíöèàëàì A
ëàì
~ è ϕ. Ýòî î÷åíü âàæíîå ñâîéñòâî ïðåäñòàâëåíèÿ ÝÌ ïîëåé ÷åðåç ïîòåíöèàëû íàçûâàA
åòñÿ êàëèáðîâî÷íîé èëè ãðàäèåíòíîé èíâàðèàíòíîñòüþ. Îíà ëåæèò â îñíîâå ñîâðåìåííûõ
ïðåäñòàâëåíèé î óíäàìåíòàëüíûõ ñâîéñòâàõ ïðèðîäû. Â ñëåäóþùèõ ëåêöèÿõ ìû óâèäèì
âàæíûå ñëåäñòâèÿ, âûòåêàþùèå èç ýòîé èíâàðèàíòíîñòè.
40
~ ìîæíî âûðàçèòü ñ òî÷íîñòüþ äî êàëèáðîâî÷íîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ
B
~ . Êàê ìû óâèäèì â ñëåäóþùèõ ëåêöèÿõ, åñëè îáúåäèíèòü ïî(42), ÷åðåç ïîòåíöèàëû ϕ è A
µ
~
~ (òîãäà Aµ = (ϕ, −A)
~ ), òî óðàâíåíèÿ
òåíöèàëû ϕ è A â îäíî 4âåêòîðíîå ïîëå A ≡ (ϕ, A)
Èòàê, ÝÌ ïîëÿ
~
E
è
Ìàêñâåëëà ïðèîáðåòàþò ÿâíî Ëîðåíö êîâàðèàíòíûé âèä. Ò.å., íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî Ìàêñâåëë íè÷åãî íå çíàë î ÑÒÎ, îí íàïèñàë óðàâíåíèÿ, êîòîðûå ðåëÿòèâèñòñêè èíâàðèàíòíû.
È ýòî íå ñëó÷àéíî, ò.ê. óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà â òîì ÷èñëå îïèñûâàþò ýëåêòðîìàãíèòíûå
âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùèåñÿ ñ ðåëÿòèâèñòñêîé ñêîðîñòüþ.
µ
x) íàçûâàåòñÿ 4âåêòîð ïîòåíöèàëîì ÝÌ ïîëÿ. ßñíî, ÷òî íàçûâàÿ ýòó âåÏîëå A (t, ~
ëè÷èíó 4âåêòîðîì, ìû ïîäðàçóìåâàåì, ÷òî ïðè çàìåíå îäíîé ÈÑÎ íà äðóãóþ (ïðè ïðå0
~ ïðåîáðàçóþòñÿ êàê ñîîòâåòñòâóþùèå êîìîáðàçîâàíèè Ëîðåíöà) ïîòåíöèàëû A ≡ ϕ è A
µ
ïîíåíòû 4âåêòîðà, ò.å. òàê æå êàê è êîìïîíåíòû, ñêàæåì, x .
′
Äëÿ 4âåêòîð ïîòåíöèàëà êàëèáðîâî÷íûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðèíèìàþò âèä: Aµ = Aµ −
∂µ α.
3.
Êàê ìû óâèäèì â ñëåäóþùèõ ëåêöèÿõ, ïðè âûâîäå óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà èç ïðèí-
öèïà íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ èìåííî 4âåêòîð ïîòåíöèàë
Aµ ,
à íå ÝÌ ïîëÿ
~
E
è
~,
B
èãðàåò
ðîëü îáîáùåííîé êîîðäèíàòû â òåîðèè ÝÌ ïîëåé. Ïîýòîìó íàøà çàäà÷à, ïîñòàâëåííàÿ â
íà÷àëå ýòîé ëåêöèè, ñâîäèòñÿ ê ïðàâèëüíîìó îïèñàíèþ âçàèìîäåéñòâèÿ çàðÿæåííîé ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû èìåííî ñ 4âåêòîð ïîòåíöèàëîì.
×òîáû ïîëó÷èòü âûøåóêàçàííûé äîïîëíèòåëüíûé âêëàä
∆S
â äåéñòâèå, ìû äîëæíû
ïîñòðîèòü ðåëÿòèâèñòñêèé èíâàðèàíò èç ìèðîâîé ëèíèè ÷àñòèöû
öèàëà
Aµ (x).
zµ (t)
è 4âåêòîð ïîòåí-
Ïðîñòåéøèé ðåëÿòèâèñòñêèé èíâàðèàíò, êîòîðûé ìîæíî ïîñòðîèòü èç ýòèõ
âåëè÷èí, èìååò ñëåäóþùèé âèä:
Z
2
µ
Aµ [z] dz =
1
Z
2
1
dz µ
Aµ [z(s)]
ds =
ds
ãäå èíòåãðàë âçÿò âäîëü ìèðîâîé ëèíèè ÷àñòèöû.
Z
2
Aµ [z(s)] uµ ds,
1
Òàêèì îáðàçîì, ïîëíîå äåéñòâèå äëÿ çàðÿæåííîé ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû âî âíåøíåì
ïîëå äîëæíî âûãëÿäåòü êàê:
S = −m c
Z
ds + κ
Z
2
Aµ [z(s)] uµ ds,
1
ãäå κ ýòî íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà. Ïîä÷åðêíó, ÷òî ïðè êàëèáðîâî÷íîì ïðåîáðàçîâàíèè
A′µ = Aµ − ∂µ α ðàññìàòðèâàåìîå çäåñü äåéñòâèå ñäâèãàåòñÿ íà êîíñòàíòó, ò.ê.
Z
1
ãäå
α(1)
è
α(2)
2
A′µ
µ
dz =
Z
2
1
µ
(Aµ − ∂µ α) dz =
çíà÷åíèÿ óíêöèè
α(t, ~x)
Z
2
1
Aµ dz µ − α(2) − α(1),
â íà÷àëüíîé è â êîíå÷íîé ìèðîâûõ òî÷êàõ
ìèðîâîé ëèíèè, ñîîòâåòñòâåííî. Òàêèì îáðàçîì, ðàññìàòðèâàåìîå íàìè äåéñòâèå äîëæíî
ïðèâåñòè ê êàëèáðîâî÷íî èíâàðèàíòíûì óðàâíåíèÿì äâèæåíèÿ, ò.ê. ïðè ñäâèãå äåéñòâèÿ
íà êîíñòàíòó, ïîëîæåíèå åãî ìèíèìóìà íå ìåíÿåòñÿ, à ïîòîìó íå ìåíÿþòñÿ è óðàâíåíèÿ
äâèæåíèÿ.
R2
Aµ [z(s)] uµ ds èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî
1
óïîìÿíóòûõ â ïðåäûäóùåé ëåêöèè ðåïàðàìåòðèçàöèé ìèðîâîé ëèíèè ÷àñòèöû.
Çàìåòèì òàêæå, ÷òî êîìïîíåíòà äåéñòâèÿ
Íèæå ìû óâèäèì, ÷òî åñëè
κ = −e/c,
ãäå
e
ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä ÷àñòèöû, òî ðàñ-
ñìàòðèâàåìîå äåéñòâèå ïðàâèëüíî âîñïðîèçâîäèò ñèëó Ëîðåíöà ýêñïåðèìåíòàëüíî íà-
41
áëþäàåìóþ âåëè÷èíó. Èòàê, åñëè ïîäñòàâèòü
z µ (t) = (c t, ~z(t)), òî äåéñòâèå ïðåäñòàâëÿåòñÿ
â îðìå:
Z
e
µ
S=−
m c + Aµ [z(s)] u ds =
c
1
s
Z t2
˙~z2 (t)
e ~
−m c2 1 −
[t, ~z (t)] ~z˙ (t) dt.
− e ϕ [t, ~z (t)] + A
=
2
c
c
t1
2
(43)
Çäåñü äëÿ ïîëíîòû ÿ âûïèñàë ÿâíî âñå àðãóìåíòû âñåõ óíêöèé â ïîäèíòåãðàëüíîì âûðàæåíèè. Äàëåå ÿ, êàê ïðàâèëî, ýòîãî äåëàòü íå áóäó.
 ðåçóëüòàòå Ëàãðàíæèàí ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû âî âíåøíåì ïîëå ðàâåí:
s
L = −m c2
4.
1−
~z˙ 2
e ~ ˙
A, ~z
−
e
ϕ
+
c2
c
(44)
Èòàê, ìû õîòèì âûâåñòè óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû âî âíåøíåì
ïîëå èç ìèíèìóìà äåéñòâèÿ:
S=−
Z
t2
t1
√
e
dt m c ż 2 + Aµ (z) ż µ ,
c
ãäå äëÿ êðàòêîñòè ââåäåíî îáîçíà÷åíèå
Ýéëåðà äëÿ Ëàãðàíæèàíà îáùåãî âèäà
ż 2 ≡ żµ ż µ . Âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèåì ËàãðàíæàL(zµ , żµ ), êîòîðîå ìû âûâåëè íà ïðîøëîé ëåêöèè.
 íàøåì ñëó÷àå:
d ∂L
dt ∂ ż µ
z
∂L
e
= − ∂µ Aν [z(t)] ż ν
∂z µ ż
c
d
żµ
e
=
−m c √ − Aµ [z(t)] .
dt
ż 2 c
∂Aν
. Çàìå÷àÿ, ÷òî ïî ïðàâèëó äèåðåíöèðî∂z µ
âàíèÿ ñëîæíîé óíêöèè ìíîãèõ ïåðåìåííûõ:
 ïåðâîé îðìóëå ìû îáîçíà÷èëè
∂µ Aν ≡
d
∂Aµ dz ν
Aµ [z(t)] =
,
dt
∂z ν dt
ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå ËàãðàíæàÝéëåðà:
e
d żµ
e
√ − (∂ν Aµ ) ż ν ,
− (∂µ Aν ) ż ν = −m c
c
dt ż 2 c
êîòîðîå ýëåìåíòàðíî ïðåîáðàçóåòñÿ â:
mc
d dzµ
e
dz ν
√ = (∂µ Aν − ∂ν Aµ )
.
dt dt ż 2
c
dt
42
√
Fµν = √
∂µ Aν − ∂ν Aµ = −Fνµ , âñïîìèíàÿ, ÷òî dt ż 2 = ds è ðàçäåëèâ îáå
÷àñòè ýòîãî óðàâíåíèÿ íà
ż 2 , ìû ïîëó÷àåì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû
Ââîäÿ îáîçíà÷åíèå
âî âíåøíåì ÝÌ ïîëå:
mc
e
duµ
= Fµν uν .
ds
c
(45)
Òåïåðü âèäíî, ÷òî ïîëó÷åííîå íàìè óðàâíåíèå ÿâíî Ëîðåíö êîâàðèàòíî, òî åñòü óäîâëåòâîðÿåò ïðèíöèïó îòíîñèòåëüíîñòè. À òàêæå ýòî óðàâíåíèå è ÿâíî êàëèáðîâî÷íî èíâàðèàíòíî: êàê ìû ñåé÷àñ óâèäèì, òåíçîð
Fµν
èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî êàëèáðîâî÷íûõ
ïðåîáðàçîâàíèé.
5. Ââåäåííûé íàìè àíòèñèììåòðè÷íûé
Fµν = −Fνµ
ïðè ïåðåñòàíîâêå èíäåêñîâ 4ìåðíûé 2-òåíçîð
íàçûâàåòñÿ òåíçîðîì ÝÌ ïîëÿ. Çàìåòèì, ÷òî ýòîò òåíçîð íå ìåíÿåòñÿ ïðè
A′µ = Aµ − ∂µ α. Äåéñòâèòåëüíî:
êàëèáðîâî÷íîì ïðåîáðàçîâàíèè
′
Fµν
≡ ∂µ A′ν − ∂ν A′µ = ∂µ (Aν − ∂ν α) − ∂ν (Aµ − ∂µ α) =
= ∂µ Aν − ∂ν Aµ − (∂µ ∂ν − ∂ν ∂µ ) α = ∂µ Aν − ∂ν Aµ ≡ Fµν .
Ïîýòîìó åñòåñòâåííî îæèäàòü, ÷òî êîìïîíåíòû ýòîãî òåíçîðà äîëæíû âûðàæàòüñÿ ÷åðåç
ÝÌ ïîëÿ
~
E
è
~.
B
Äåéñòâèòåëüíî, â ñèëó àíòèñèììåòðèè òåíçîðà ÝÌ ïîëÿ èìååì, ÷òî åãî
äèàãîíàëüíûå êîìïîíåíòû ðàâíû íóëþ:
ò.ê.
F00 = −F00
è ò.ä.. Äàëåå,
F00 = F11 = F22 = F33 = 0,
~ , òî
ò.ê. Aµ = (ϕ, −A)
F0i = −Fi0 = −∂0 Ai − ∂i A0 = −
ãäå
Ei
òðè êîìïîíåíòû âåêòîðà
~.
E
∂Ai
− ∂i ϕ = Ei ,
c∂t
i = 1, 2, 3,
È íàêîíåö:
F12 = −F21 = −∂1 A2 + ∂2 A1 = −
∂Ay ∂Ax
+
= − (rot A)3 = −B3 .
∂x
∂y
F13 = −F31 = B2 è F23 = −F32 = −B1 . Èñïîëüçóÿ 3
àíòèñèììåòðè÷íûé òåíçîð ǫijk , êîòîðûé ìû ââåëè íà âòîðîé ëåêöèè,
Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî
ìåðíûé àáñîëþòíî
ïîñëåäíèå òðè ðàâåíñòâà ìîæíî ïåðåïèñàòü â óäîáíîé îðìå:
1
Fij = −ǫijk Bk ⇒ Bk = − ǫkij Fij .
2
Òàêèì îáðàçîì, òåíçîð ÝÌ ïîëÿ ìîæíî çàïèñàòü â âèäå êâàäðàòíîé
0 −E1 −E2 −E3
E1
0
−B3 B2
||F µν || =
E2 B3
0
−B1
E3 −B2 B1
0
43
4×4
ìàòðèöû âèäà:
(46)
6. àçîáðàâ êîìïîíåíòû òåíçîðà ÝÌ ïîëÿ, çàïèøåì ïîêîìïîíåíòíî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû âî âíåøíåì ïîëå. Íóëåâàÿ êîìïîíåíòà óðàâíåíèÿ (45) èìååò
âèä:
mc
e
dzi
du0
= F 0i
.
dt
c
dt
×òîáû ïîëó÷èòü ýòî óðàâíåíèå, ìû ïîäíÿëè èíäåêñû â óðàâíåíèè (45), âñïîìíèëè, ÷òî
F 00 = 0 è óìíîæèëè ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòè óðàâíåíèÿ (45) íà ds/dt, òåì ñàìûì çàìåíèâ
duµ /ds íà duµ /dt, à uν = dzν /ds íà dzν /dt. Òåïåðü, ò.ê. m c u0 = p0 = Ekin /c êèíåòè÷åñêàÿ
0i
ýíåðãèÿ ÷àñòèöû äåëåííàÿ íà ñêîðîñòü ñâåòà, F
= −Ei è dzi /dt = −vi , ìû ïîëó÷àåì
óðàâíåíèå:
dEkin
~ ~v ,
= e E,
dt
(47)
êîòîðîå óòâåðæäàåò, ÷òî êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèöû ðàñòåò çà ñ÷åò ðàáîòû, ñîâåðøàåìîé ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì
~.
E
Ïðîñòðàíñòâåííûå êîìïîíåíòû ðàññìàòðèâàåìîãî 4ìåðíîãî óðàâíåíèÿ èìåþò âèä:
e
dzν
e
dui
= F iν
≡
mc
dt
c
dt
c
i0 dz0
ij dzj
F
.
+F
dt
dt
m c ui = pi , dz0 /dt = c è âûðàæàÿ êîìïîíåíòû
ÝÌ ïîëåé Bi è Ei , ïîëó÷àåì óðàâíåíèå:
Âñïîìèíàÿ, ÷òî
êîìïîíåíòû
òåíçîðà
F 0i
è
F ij
÷åðåç
dpi
e
= e Ei + ǫijk vj Bk ,
dt
c
êîòîðîå â âåêòîðíîé îðìå èìååò âèä:
i
d~p
e h
~
~
~v × B
= eE +
dt
c
(48)
è óòâåðæäàåò, ÷òî 3ìåðíûé èìïóëüñ ÷àñòèöû ìåíÿåòñÿ ïîä äåéñòâèåì ñèëû Ëîðåíöà.
Ïîä÷åðêíó, ÷òî ìàãíèòíîå ïîëå ïðèñóòñòâóåò â ñèëå Ëîðåíöà, íî íå ñîâåðøàåò ðàáîòó ïî
óâåëè÷åíèþ ýíåðãèè ÷àñòèöû, ò.ê. ñîçäàåò ñèëó ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ñêîðîñòè ÷àñòèöû.
7.
Íàéäåì òåïåðü èìïóëüñ, ñëåäóþùèé èç Ëàãðàíæèàíà äëÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû
âî âíåøíåì ÝÌ ïîëå:
Pµ ≡ −
e
dzµ
dzµ e
e
e
∂L
√
+
=
m
c
A
=
m
c
+
A
=
m
c
u
+
A
=
p
+
Aµ .
µ
µ
µ
µ
µ
∂ ż µ
ds
c
c
c
dt ż 2 c
(49)
Ïîëó÷åííàÿ âåëè÷èíà íàçûâàåòñÿ îáîáùåííûì 4èìïóëüñîì â îòëè÷èè îò êèíåìàòè÷åñêîãî
4èìïóëüñà
pµ ≡ m c u µ .
àññìîòðèì êîìïîíåíòû îáîáùåííîãî 4èìïóëüñà:
e ~
P~ = ~p + A
c
îáîáùåííûé 3ìåðíûé èìïóëüñ. Äàëåå:
44
P0 = q
mc
1−
v2
c2
+
e
ϕ.
c
Ò.å. ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû âî âíåøíåì ïîëå åñëü ñóììà êèíåòè÷åñêîé
è ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèé:
Èíûìè ñëîâàìè
H = Ekin + e ϕ.
ϕ
èãðàåò ðîëü ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ÷àñòèöû â ÝÌ ïîëå.
~ è H − e ϕ óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèþ:
Èç îïðåäåëåíèÿ p
~ è Ekin ñëåäóåò, ÷òî P~ − ec A
Ñëåäîâàòåëüíî óíêöèÿ
H − eϕ
c
2
e ~ 2
~
=m c + P− A .
c
2 2
àìèëüòîíà (èëè
àìèëüòîíèàí) äëÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû
ðàâíà:
H=
r
e ~ 2
+ eϕ
m2 c4 + c2 P~ − A
c
 íåðåëÿòèâèñòñêîì ïðåäåëå, êîãäà
ñâîäÿòñÿ ê:
v ≪ c,
H ≈ m c2 +
(50)
àìèëüòîíèàí è Ëàãðàíæèàí äëÿ ÷àñòèöû
2
e ~
~
P −cA
+ e ϕ,
2m
m v2 e ~
A, ~v − e ϕ.
+
L≈
2
c
Ïîñëåäíåå âûðàæåíèå ïîëó÷åíî èç (44), ãäå
(51)
~v = ~z˙ .
Äàëåå, ò.ê. ýíåðãèÿ îïðåäåëåíà ñ òî÷2
íîñòüþ äî êîíñòàíòû, òî â ïåðâîé îðìóëå ìîæíî îòáðîñèòü ýíåðãèþ ïîêîÿ m c .
8.
 êà÷åñòâå ïîÿñíÿþùåãî óïðàæíåíèÿ/çàìå÷àíèÿ îáñóäèì âçàèìîäåéñòâèå ÷àñòèöû
ñî ñêàëÿðíûì ïîëåì
φ.
Ïðîñòåéøåå äåéñòâèå, êîòîðîå èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ïðåîá-
ðàçîâàíèé Ëîðåíöà è ðåïàðàìåòðèçàöèé è, ïðè ýòîì, îïèñûâàåò âçàèìîäåéñòâèè ÷àñòèöû
ñ âíåøíèì ñêàëÿðíûì ïîëåì, èìååò ñëåäóþùèé âèä:
S=−
ãäå
Z
1
2
n
o
mc + q φ [z(s)] ds,
(52)
q êîíñòàíòà, îïðåäåëÿþùàÿ ñèëó âçàèìîäåéñòâèÿ ÷àñòèöû ñ îáñóæäàåìûì ïîëåì, òî
åñòü çàðÿä ÷àñòèöû ïî ïîëþ. Ôàêòè÷åñêè íàëè÷èå âçàèìîäåéñòâèÿ ÷àñòèöû ñî ñêàëÿðíûì
ïîëåì ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ýåêòèâíî åå ìàññà ñòàíîâèòñÿ çàâèñÿùåé îò ïîëîæåíèÿ:
M = m + qc φ(x).
Ïðè âàðèàöèè ýòîãî äåéñòâèÿ ïîëó÷àþòñÿ ñëåäóþùèå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ:
(mc + q φ) z̈µ = q (∂µ φ − ∂ν φ ż ν żµ )
45
(53)
Çäåñü òî÷êà íàä
zµ
îçíà÷àåò äèåðåíöèðîâàíèå ïî ñîáñòâåííîìó âðåìåíè.
Âèäíî, ÷òî ìåðó èíåðöèè ñ ëåâîé ñòîðîíû ýòîãî óðàâíåíèÿ îïðåäåëÿåò âåëè÷èíà
M.
Ñ
ïðàâîé ñòîðîíû óðàâíåíèÿ ìû èìååì äâà âêëàäà â 4-ñèëó. Ïåðâûé âêëàä ïîêàçûâàåò, ÷òî
ïîëîæèòåëüíûé 4-ãðàäèåò ïîëÿ ðàçãîíÿåò, à îòðèöàòåëüíûé çàìåäëÿåò ðàññìàòðèâàåìóþ ÷àñòèöó. Âòîðîé âêëàä ìîæíî íàçâàòü "ñèëîé Öèîëêîâñêîãî". Äåéñòâèòåëüíî èççà
òîãî, ÷òî ìàññà ÷àñòèöû ìåíÿåòñÿ (ìîæåò óìåíüøàòüñÿ èëè óâåëè÷èâàòüñÿ â çàâèñèìîñòè
îò çíàêà ãðàäèåíòà ïîëÿ âäîëü 4-ñêîðîñòè), ìû ïîëó÷àåì "ðåàêòèâíûé"âêëàä â ñèëó.
µ
Âîñïîëüçîâàâøèòü òåì, ÷òî żµ = uµ è uµ u = 1, ìû ìîæåì ïåðåïèñàòü îáñóæäàåìîå
óðàâíåíèå äâèæåíèå ÷àñòèöû â ñëåäóþùåì âèäå:
(mc + q φ) wµ = q (uν ∂µ φ − ∂ν φ uµ ) uν
(54)
Òî åñòü è äëÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ ìîæíî ââåñòè íå÷òî àíàëîãè÷íîå òåíçîðó ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ:
Φµν ≡ uν ∂µ φ − ∂ν φ uµ .
Òîëüêî â ýòîì ñëó÷àå îí çàâèñèò îò 4-ñêîðîñòè ÷àñòèöû.
Âîïðîñû è çàäà÷è
•
Ïîäóìàéòå êàêîé âèä äîëæíî èìåòü äåéñòâèå äëÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû, îïèñûâàþùåå åå âçàèìîäåéñòâèå ñî ñêàëÿðíûì ïîëåì
φ(t, ~x), à íå ñ âåêòîðíûì ïîëåì Aµ (t, ~x)?
Ïðåäëîæèòå äðóãèå, ìåíåå ïðîñòûå, âàðèàíòû äåéñòâèé, êîòîðûå èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà è ðåïàðàìåòðèçàöèé.
•
Ïîëó÷èòå óðàâíåíèå (53) èç äåéñòâèÿ (52).
•
Íàéäèòå íåðåëÿòèâèñòñêèé ïðåäåë óðàâíåíèé (52) è (53).
46
Èíâàðèàíòû ïîëÿ, äâèæåíèå ÷àñòèöû âî âíåøíèõ
ïîñòîÿííûõ, îäíîðîäíûõ è íåîäíîðîäíûõ ïîëÿõ, äðåé ÷àñòèö.
Ëåêöèÿ V;
~
1. Íàéäåì, êàê èçìåíÿþòñÿ ÝÌ ïîëÿ E
è
~
B
ïðè áóñòàõ Ëîðåíöà. Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî ýòè
âåëè÷èíû ïðåîáðàçóþòñÿ êàê 3âåêòîðû ïðè âðàùåíèÿõ â ïðîñòðàíñòâå, ïðè Ëîðåíöåâñêèõ áóñòàõ â Ï îíè íå ïðåîáðàçóþòñÿ êàê 3ìåðíûå êîìïîíåíòû êàêèõòî 4âåêòîðîâ.
Íàïîìíþ, ÷òî
~
E
~
B
è
ÿâëÿþòñÿ êîìïîíåíòàìè 4ìåðíîãî 2òåíçîðà
Fµν .
Ýòî è îïðåäåëÿåò
òî, êàê ýòè ïîëÿ ïðåîáðàçóþòñÿ ïðè Ëîðåíöåâñêèõ áóñòàõ. À èìåííî:
′
Fµν
= Λαµ Fαβ ΛT
β
ν
,
Λ̂ ìàòðèöà áóñòà Ëîðåíöà, êîòîðàÿ íàì çíàêîìà èç ïðåäûäóùèõ ëåêöèé. Ïîäñòàâëÿÿ
µ
ÿâíî â ïîñëåäíåå óðàâíåíèå êîìïîíåíòû òåíçîðîâ Fµν è Λα , ïîëó÷àåì ñëåäóþùèé çàêîí
ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîëåé ïðè áóñòå Ëîðåíöà (â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè îñè x):
ãäå
Ex′ = Ex ,
Ey′ = γ (Ey − β Bz ) ,
Ez′ = γ (Ez + β By ) ,
Bx′ = Bx ,
By′ = γ (By + β Ez ) ,
Bz′ = γ (Bz − β Ey ) .
ηµν , δµν
Âèäíî, ÷òî â îòëè÷èå îò òåíçîðîâ
ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà.
Íàïîìíþ, ÷òî ÝÌ ïîòåíöèàëû
~ .
A = (ϕ, A)
è
ǫµναβ
òåíçîð
(55)
Fµν
íå èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî
~ ïðåîáðàçóþòñÿ, èìåííî êàê êîìïîíåíòû 4âåêòîðà
ϕèA
µ
2. Ïîñòðîèì èç òåíçîðà Fµν
íûé èíâàðèàíò
Fµµ
Ëîðåíöåâñêèå èíâàðèàíòû ÝÌ ïîëÿ. Ïðîñòåéøèé î÷åâèä-
òðèâèàëåí, ò.ê. ðàâåí íóëþ.
Ïðîâåðüòå ýòî.
Ñëåäóþùèé èíâàðèàíò
èìååò òàêîé âèä:
I1 = Fµν F µν ≡ Fµν Fαβ η µα η νβ .
Î÷åâèäíî ýòà âåëè÷èíà íå çàâèñèò îò ÑÎ (ò.å. èíâàðèàíòíà), ò.ê. âñå èíäåêñû ó íåå ñâåðíóòû ïðàâèëüíûì îáðàçîì.
àñïèøåì ýòîò èíâàðèàíò ÷åðåç
Fµν F
µν
= F0i F
0i
i0
+ Fi0 F + Fij F
Òàêèì îáðàçîì:
ij
~
E
è
~:
B
2
2
~
~
~
~
= 2E −E + (−ǫijk Bk ) (−ǫijl Bl ) = −2 E − B .
~2 − B
~2
I1 = Fµν F µν = −2 E
ïåðâûé èíâàðèàíò ÝÌ ïîëÿ.
47
(56)
Ñ èñïîëüçîâàíèåì 4ìåðíîãî àáñîëþòíî àíòèñèììåòðè÷íîãî òåíçîðà
ǫµναβ
ìîæíî ïî-
ñòðîèòü âòîðîé èíâàðèàíò ÝÌ ïîëÿ:
I2 =
1
ǫµναβ F µν F αβ ≡ F µν Feµν .
2
 ýòîé îðìóëå ìû ââåëè îïðåäåëåíèå äóàëüíîãî òåíçîðà ÝÌ ïîëÿ:
Çàìåòèì, ÷òî:
1
Feµν ≡ ǫµναβ F αβ ,
2
Fe0i = Bi ,
1
ǫµναβ Fe αβ .
2
Feij = −ǫijk Ek .
àñïèøåì, òåïåðü, âòîðîé èíâàðèàíò ÷åðåç
ò.ê.
Fµν ≡
~
E
è
(57)
(58)
~:
B
µν
0ijk
ij0k
0ijk
e
~
~
Fµν F = F0i ǫ
Fjk + Fij ǫ
F0k = 2F0i ǫ
Fjk = 2Ei ǫijk (−ǫjkl Bl ) = −4 E, B ,
ǫ0ijk = ǫijk = ǫijk .
Òàêèì îáðàçîì:
~ B
~ .
I2 = Fµν Fe µν = −4 E,
(59)
Fµν : I3 = Feµν Feµν . Íî
eµν Feµν = −2 I1 .
èíâàðèàíò: F
Êàçàëîñü áû ìîæíî ïîñòðîèòü åùå îäèí èíâàðèàíò êâàäðàòè÷íûé ïî
ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî ýòà âåëè÷èíà âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ïåðâûé
3. Âîñïîëüçóåìñÿ òåïåðü ïðèîáðåòåííûìè çíàíèÿìè, ÷òîáû îïðåäåëèòü, êàê áóäåò äâè-
ãàòüñÿ ÷àñòèöà â çàäàííûõ ÝÌ ïîëÿõ. Äëÿ íà÷àëà ðàññìîòðèì ñëó÷àé ïîñòîÿííûõ è îäíî-
~ èB
~ (ò.å. íå çàâèñÿùèõ íè îò âðåìåíè, íè îò ïðîñòðàíñòâåííûõ êîîðäèíàò),
E
~ ⊥B
~.
E
êîòîðûå ïåðïåíäèêóëÿðíû äðóã äðóãó,
~
~
 ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå I2 ≡ −4 E, B = 0 è îïèñàíèå äâèæåíèÿ ÷àñòèöû çàâèñèò
~2 − B
~ 2 > 0, òî |B|
~ > |E|
~ . Ïîêàæåì, ÷òî
îò òîãî, êàêîâî çíà÷åíèå I1 . Åñëè I1 ≡ −2 E
~ ′ = 0. Âûáåðåì â ïðîñòðàíñòâå êîîðäèíàòíóþ
â ýòîì ñëó÷àå ìîæíî âûáðàòü ÈÑÎ, ãäå E
~ èB
~ èìåëè âèä:
ñåòêó òàê, ÷òîáû E
ðîäíûõ ïîëåé
~ = (0, E, 0),
E
 ðåçóëüòàòå áóñòà âäîëü îñè
x
~ = (0, 0, B),
B
B > E.
ïîëÿ ïåðåõîäÿò â:
Ex′ = Ex = 0,
Ey′ = γ (Ey − β Bz ) = γ (E − β B) ,
Ez′ = γ (Ez + β By ) = 0,
Bx′ = Bx = 0,
By′ = γ (By + β Ez ) = 0,
Bz′ = γ (Bz − β Ey ) = γ (B − β E) .
48
(60)
Òåïåðü âèäíî, ÷òî åñëè âûáðàòü
β = E/B < 1,
òî ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ðàâíî íóëþ
~ ′ = 0,
E
à ìîäóëü ìàãíèòíîãî ïîëÿ âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ïåðâûé èíâàðèàíò ïîëÿ
Bz′
=γ
E
B− E
B
1
=q
1−
E 2
B
E2
B−
B
=
√
B 2 − E 2.
Ò.å. â íîâîé ÈÑÎ çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê äâèæåíèþ ÷àñòèöû â ïîñòîÿííîì ìàãíèòíîì ïîëå ïðè
íóëåâîì ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå.
Îòáðîñèâ â íîâîé ÈÑÎ øòðèõè ó ïîëåé, ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ
ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû:
dEkin
= 0,
dt
Ò.ê.
p~ = Ekin ~v /c2 ,
òî:
Åñëè ìàãíèòíîå ïîëå íàïðàâëåíî
i
d~p
e h
~ .
~v × B
=
dt
c
i
e h
Ekin ˙
~
~v × B .
~v =
c2
c
âäîëü îñè z , òî â êîìïîíåíòàõ
ïîñëåäíåå óðàâíåíèå âû-
ãëÿäèò êàê:
v̇x = ω vy ,
ãäå
ω = e c B/Ekin
v̇y = −ω vx ,
v̇z = 0,
ðåëÿòèâèñòñêîå îáîáùåíèå ÷àñòîòû Ëàðìîðà
äâà óðàâíåíèÿ â ïëîñêîñòè
xy
e B/m c.
Ïîëó÷åííûå
ìîæíî çàïèñàòü êàê îäíî êîìïëåêñíîå óðàâíåíèå:
d
(vx + i vy ) = −i ω (vx + i vy ) ,
dt
ðåøåíèå êîòîðîãî èìååò âèä:
vx + i vy = v⊥ e−i (ω t+α) ,
ãäå
v⊥
è
α
ìîäóëü ñêîðîñòè â ïëîñêîñòè
xy ,
ïåðïåíäèêóëÿðíîé ìàãíèòíîìó ïîëþ, è
íà÷àëüíàÿ àçà, ñîîòâåòñòâåííî. Òàêèì îáðàçîì, ëåãêî ïîëó÷èòü ÿâíûå âûðàæåíèÿ äëÿ
Re è Im ÷àñòåé ýòîé îðìóëû, ò.å. äëÿ êîìïîíåíò ñêîðîñòè. Ïðîèíòåãðèðîâàâ ïîëó÷åííûå
çíà÷åíèÿ êîìïîíåíò ñêîðîñòè, ïîëó÷èì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ òðàåêòîðèè ÷àñòèöû:
x(t) = x0 + R sin (ω t + α) ,
y(t) = y0 + R cos (ω t + α) ,
z(t) = z0 + v|| t.
R = v⊥ /ω = v⊥ Ekin /e c B , v|| êîìïîíåíòà ñêîðîñòè ÷àñòèöû âäîëü
ìàãíèòíîãî ïîëÿ, à (x0 , y0 , z0 ) íà÷àëüíîå ïîëîæåíèå ÷àñòèöû. Òàêèì îáðàçîì, â ïîñòîÿííîì ìàãíèòíîì ïîëå ÷àñòèöà äâèæåòñÿ ïî ñïèðàëè ðàäèóñà R. Åñëè ïåðåéòè â èñõîäíóþ
 ýòèõ óðàâíåíèÿõ
ÈÑÎ, ãäå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå íå ðàâíî
h íóëþ,iòî ìû ïîëó÷èì, ÷òî âåäóùèé öåíòð îðáèòû
áóäåò äðåéîâàòü ñî ñêîðîñòüþ
~ ×B
~ c/B 2
~vdr = E
ïåðïåíäèêóëÿðíîé
~
E
è
~.
B
(Ñìîòðèòå
ðàññóæäåíèÿ ïîñëå îðìóëû (60).) Êîíå÷íî æå ïðè ýòîì ñëåäóåò àêêóðàòíî ïðåîáðàçîâàòü
âñå âåêòîðû ïðè ïåðåõîäå èç îäíîé ÈÑÎ â äðóãóþ.
Ïîä÷åðêíó, ÷òî ÷àñòèöà, ñîâåðøàþùàÿ óñêîðåííîå (â íàøåì ñëó÷àå âðàùàòåëüíîå äâèæåíèå), èçëó÷àåò ÝÌ âîëíû, êàê ìû óâèäèì â ñëåäóþùèõ ëåêöèÿõ. Íî ïðè ðåøåíèè âûøåóêàçàííîé çàäà÷è ìû ïðåíåáðåãëè ýòèì àêòîì. Ìû âîîáùå ïðåíåáðåãëè ïîëÿìè, ñîçäàâåìûìè ñàìîé ÷àñòèöåé, ñ÷èòàÿ èõ íàìíîãî ìåíüøèìè, ÷åì âíåøíèå
~
E
è
~ . È âîîáùå, äëÿ
B
âñåîáùíîñòè ñëåäóåò îñîçíàâàòü, ÷òî â ýòîé ëåêöèè ìû âåçäå äåëàåì òàêîå ïðåíåáðåæåíèå.
49
~ > |B|
~ . Â ýòîì
4. Àíàëîãè÷íî ìîæíî ðàññìîòðåòü ñëó÷àé, êîãäà I2 = 0, à I1 < 0, ò.å. |E|
ñëó÷àå ìîæíî âûáðàòü òàêóþ ÈÑÎ, ãäå
~ ′ = 0, à ìîäóëü ýëåêòðè÷åñêîãî
B
ïîëÿ âûðàæàåòñÿ
÷åðåç âåëè÷èíó ïåðâîãî èíâàðèàíòà. Ò.å. çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ïîèñêó òðàåêòîðèè ÷àñòèöû âî
âíåøíåì ïîñòîÿííîì ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå. Âûáåðåì êîîðäèíàòíóþ ñåòêó â ïðîñòðàíñòâå
òàê, ÷òîáû äâèæåíèå ïðîèñõîäèëî â ïëîñêîñè
xy .
Òîãäà óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ÷àñòèöû
áóäóò èìåòü âèä:
ṗx = e E,
ãäå
Ekin
ṗy = 0,
dEkin
= e E vx ,
dt
íóëåâàÿ êîìïîíåíòà êèíåìàòè÷åñêîãî 4èìïóëüñà.
åøàÿ ïåðâûå äâà èç âûïèñàííûõ óðàâíåíèé, ïîëó÷àåì:
px = e E t,
ïðè íóëåâîì íà÷àëüíîì èìïóëüñå âäîëü îñè
py = p0
x. Òîãäà èç ñâîéñòâ êèíåìàòè÷åñêîãî 4èìïóëüñà
ïîëó÷àåì:
Ekin =
ãäå
E0
q
q
p
m2 c4 + p~2 c2 = m2 c4 + c2 p20 + (c e E t)2 = E02 + (c e E t)2 ,
ýíåðãèÿ ÷àñòèöû â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè
îïðåäåëåíèþ ðàâíà ~
v = ~p c2 /Ekin, òî
t = 0.
Ò.ê. ñêîðîñòü ÷àñòèöû ïî
p x c2
c2 e E t
dx
=
=p 2
.
dt
Ekin
E0 + (c e E t)2
vx = dx/dt âñåãäà ìåíüøå, ÷åì
ñêîðîñòü ñâåòà êàê äîëãî áû ìû íå óñêîðÿëè åå. Äåéñòâèòåëüíî dx/dt ≈ c òîëüêî àññèìïòîòè÷åñêè ïðè t → ∞ áåñêîíå÷íî äîëãîì óñêîðåíèè. Ïðè ýòîì, åñëè p0 ≪ m c, â ñàìîì
íà÷àëå ïðîöåññà óñêîðåíèÿ, êîãäà e E t ≪ m c, êâàäðàòíûé êîðåíü â çíàìåíàòåëå îðìóëû
äëÿ vx ìîæíî ðàçëîæèòü. Òîãäà ìû ïîëó÷àåì îðìóëó äëÿ îáû÷íîãî íåðåëÿòèâèñòñêîãî
eE t
óñêîðåíèÿ vx =
.
m
Èíòåãðèðóÿ âûðàæåíèå äëÿ vx (t) ïî t, ïîëó÷àåì:
p
E02 + (c e E t)2
E0
x(t) =
−
eE
eE
ïðè íóëåâîì íà÷àëüíîì çíà÷åíèè x(t). Äëÿ y(t) èìååì:
Çàìå÷ó, ÷òî èç ýòîé îðìóëû ñëåäóåò, ÷òî ñêîðîñòü ÷àñòèöû
Èíòåãðèðóÿ ïî
t,
ïîëó÷àåì:
dy
p y c2
p 0 c2
=
=p 2
.
dt
Ekin
E0 + (c e E t)2
p0 c
arcsh
y(t) =
eE
Ñëó÷àé êîãäà
I2 = I1 = 0 ìîæíî íàéòè
ceEt
E0
.
â çàäà÷àõ ê ñîîòâåòñòâóþùèì ïàðàãðààì â êíèãå
Ëàíäàó è Ëèøèöà.
~
B
5.
Òåïåðü ðàññìîòðèì ñëó÷àé ïîñòîÿííûõ è îäíîðîäíûõ ñêðåùåííûõ ÝÌ ïîëåé
~
E
è
ïðîèçâîëüíîé îðèåíòàöèè, ò.å. íå îáÿçàòåëüíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ äðóã äðóãó. Áóäåì
50
v(t) ≪ c, ∀t. Òîãäà p~ ≈ m ~v .
~ èB
~ , ñîâïàäàåò ñ
ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç E
ðåøàòü ýòó çàäà÷ó â íåðåëÿòèâèñòñêîì ïðåäåëå, ò.å. êîãäà
Ïóñòü ïîëå
yz .
~
B
íàïðàâëåíî âäîëü îñè
z,
à ïëîñêîñòü,
Òîãäà óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ÷àñòèöû
~+
m ~v˙ = e E
çàïèøóòñÿ â âèäå
i
e h
~
~v × B
c
e
ẏ B,
c
e
m ÿ = e Ey − ẋ B,
c
m z̈ = e Ez .
m ẍ =
e Ez t2
+ v0z t îáû÷íîå ðàâíîóñêîðåííîå
2m
äâèæåíèå. Ïåðâûå äâà óðàâíåíèÿ â ýòîé ñèñòåìå ìîæíî çàïèñàòü êàê îäíî êîìïëåêñíîå:
Èç ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ î÷åâèäíî ñëåäóåò
z(t) =
d
e
(ẋ + i ẏ) + i ω (ẋ + i ẏ) = i Ey ,
dt
m
ãäå
ω = e B/m c
÷àñòîòà Ëàðìîðà. åøåíèå ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ åñòü ñóììà îáùåãî
a e−i ω t , ñ àìïëèòóäîé a ñëåäóþùåé èç íà÷àëüíûõ óñëî-
ðåøåíèÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ
âèé, è ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ.  êà÷åñòâå ïîñëåäíåãî ìû âûáåðåì
(ẋ + i ẏ)par = e Ey /m ω = c Ey /B .
Ò.å. îáùåå ðåøåíèå ðàññìàòðèâàåìîãî êîìïëåêñíîãî
óðàâíåíèÿ åñòü:
ẋ + i ẏ = a e−i ω t +
Âûáåðåì íà÷àëüíûå óñëîâèÿ òàêèìè, ÷òîáû
ẋ = a cos ω t +
a
c Ey
,
B
c Ey
.
B
áûëà äåéñòâèòåëüíîé. Òîãäà:
ẏ = −a sin ω t.
Ïîëó÷åííûå êîìïîíåíòû ñêîðîñòè ÷àñòèöû ÿâëÿþòñÿ ïåðèîäè÷åñêèìè óíêöèÿìè. Èõ
ñðåäíèå ïî âðåìåíè çíà÷åíèÿ ðàâíû:
ẋ =
c Ey
,
B
ẏ = 0,
è îïðåäåëÿþò ñðåäíþþ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ çàðÿäà â ñêðåùåííûõ ÝÌ ïîëÿõ ñêîðîñòü
ýëåêòðè÷åñêîãî äðåéà. Åå íàïðàâëåíèå ïåðïåíäèêóëÿðíî îáîèì ïîëÿì è íå çàâèñèò îò
çíàêà çàðÿäà. Â âåêòîðíîì âèäå åå ìîæíî çàïèñàòü êàê
h
i
~ ×B
~ /B 2 .
~vdr = c E
Âñå òðè ðàññìîòðåííûå â ýòîé ëåêöèè çàäà÷è áîëåå ïîäðîáíî îáñóæäàþòñÿ â êíèãå
Ëàíäàó è Ëèøèöà.
6. àññìîòðèì òåïåðü äâèæåíèå ÷àñòèöû â ñëàáîíåîäíîðîäíîì ïîñòîÿííîì ìàãíèòíîì
ïîëå. Ò.å. â òàêîì ïîëå, êîòîðîå íå ìåíÿåòñÿ âî âðåìåíè, à õàðàêòåðíîå ðàññòîÿíèå
êîòîðîì ïîëå
B
L,
íà
ìåíÿåòñÿ â ïðîñòðàíñòâå ñóùåñòâåííûì îáðàçîì, íàìíîãî áîëüøå, ÷åì
õàðàêòåðíûé ðàäèóñ âðàùåíèÿ ÷àñòèöû, êîòîðûé áûë áû, åñëè íåîäíîðîäíîñòüþ ïîëÿ
ìîæíî áûëî ïðåíåáðå÷ü:
51
L≫
ãäå
ω = c e B/E ,
à
u⊥
u⊥
,
ω
ñêîðîñòü âðàùåíèÿ ÷àñòèöû â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé
~,
B
â
ïèáëèæåíèè, êîãäà íåîäíîðîäíîñòüþ ïîëÿ ìîæíî ïðåíåáðå÷ü.
~
~ + ~r⊥ (t), ãäå R(t)
~r(t) = R(t)
ðàäèóñâåêòîð
óíêöèÿ), à ~
r⊥ (t) ðàäèóñ âðàùåíèÿ âîêðóã
Ïðåäñòàâèì ðàäèóñâåêòîð ÷àñòèöû êàê
âåäóùåãî öåíòðà (ìåäëåííî ìåíÿþùàÿñÿ
âåäóùåãî öåíòðà (áûñòðî ìåíÿþùàÿñÿ âåëè÷èíà). À èìåííî, ìû ñ÷èòàåì, ÷òî â ïðèáëèæå-
~r(t) = ~r⊥ (t), ò.å. â ýòîì ïðèáëèæåíèè
~u⊥ = ~r˙⊥ è íåò äâèæåíèÿ âäîëü ïîëÿ.
íèè êîãäà ìîæíî ïðåíåáðå÷ü íåîäíîðîäíîñòüþ ïîëÿ,
ïðîèñõîäèò òîëüêî áûñòðîå âðàùåíèå ñî ñêîðîñòüþ
 ïðîèçâîëüíîì íåîäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ÷àñòèöû èìååò
âèä:
àçëîæèì ìàãíèòíîå
i
d~p
e h
~ R
~ + ~r⊥ .
~v × B
=
dt
c
ïîëå â ðÿä Òåéëîðà ïî ñòåïåíÿì ~
r⊥ :
~ R
~ + ~r⊥ = B
~ (R) + ~r⊥ , ∇
~ B(R).
~
B
Ìû áóäåì ðàáîòàòü â ïåðâîì ïîðÿäêå ïî íåîäíîðîäíîñòè. Òîãäà
i
h
i
d~p
e h
~ (R) + e ~v × ~r⊥ , ∇
~ B(R)
~
~v × B
.
=
dt
c
c
àçëîæèì ñêîðîñòü íà
ýòîì
~,
~v|| || B
à
~
~v⊥ ⊥ B
~v = ~u⊥ + ~v|| + ~v⊥ ,
ãäå êàê è âûøå
~u⊥ = ~r˙⊥ ,
à
~˙ = ~v|| + ~v⊥ .
R
Ïðè
ñêîðîñòè äðåéà âåäóùåãî öåíòðà âäîëü ïîëÿ è â íàïðàâëåíèè
ïåðïåíäèêóëÿðíîì åìó, ñîîòâåòñòâåííî. Êàê ìû äîãîâîðèëèñü âûøå,
~u⊥
è
~r⊥
îïèñûâà-
þò äâèæåíèå ÷àñòèöû â íóëåâîì ïðèáëèæåíèè, ò.å. êîãäà íåîäíîðîäíîñòüþ ïîëÿ ìîæíî
ïðåíåáðå÷ü:
i
d~u⊥
e h
~
mγ
~u⊥ × B(R) .
=
dt
c
 ïîñëåäíåé îðìóëå ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåì àêòîì, ÷òî â ìàãíèòíîì ïîëå
γ = const.
Òàêèì îáðàçîì, âîñïîëüçîâàâøèñü ïîñëåäíèì óðàâíåíèåì è ðàçëîæåíèåì ñêîðîñòè íà
ñîñòàâëÿþùèå, ìû ïîëó÷àåì:
i
h
i
e h
d
~ + e ~u⊥ + ~v|| + ~v⊥ × ~r⊥ , ∇
~ B
~ ,
~v|| + ~v⊥ =
~v⊥ × B
dt
c
c
~ = 0.
èñïîëüçîâàí òîò àêò, ÷òî [~
v|| × B]
mγ
ãäå òàêæå
×òîáû íàéòè ñêîðîñòü äðåéà, óäîáíî óñðåäíèòü ïî áûñòðîìó âðàùåíèþ ïî ìàëåíüêèì êðóãîâûì îðáèòàì, îïðåäåëÿåìûì áîëüøîé ïîñòîÿííîé ñîñòàâëÿþùåé ïîëÿ
ìû õîòèì óñðåäíèòü óíêöèè îò
Ëèíåéíûå ïî
~r⊥
~r⊥ (t)
~.
B
Ò.å.
ïî ïåðèîäó âðàùåíèÿ ñ Ëàðìîðîâñêîé ÷àñòîòîé.
÷ëåíû ïðè óñðåäíåíèè äàþò íîëü. Ïîýòîìó ìû ïîëó÷àåì:
i
i eh
d ~v|| + ~v⊥
e h
˙
~
~ .
~
mγ
~v⊥ × B + ~r⊥ × ~r⊥ , ∇ B
=
dt
c
c
52
Èñïîëüçóÿ óðàâíåíèå íà
2
(r⊥ )i (r⊥ )j = 12 ~r⊥
δij ,
~r⊥
è
h
i
~r˙⊥ , ~r˙⊥ = ω ~r⊥ × ~h ,
ãäå
~h = B/B
~ ,
5
à òàê æå òîò àêò, ÷òî
ïîëó÷àåì:
mγ
i
e h
d
~ + ~µ, ∇
~ B,
~
~v|| + ~v⊥ =
~v⊥ × B
dt
c
(61)
2
ãäå ìû ââåëè îáîçíà÷åíèå
p
~µ = −~h 2 m⊥γ B .
Ýòà âåëè÷èíà, êàê ìû óâèäèì èç ñëåäóþùèõ
ëåêöèé, èìååò ñìûñë ìàãíèòíîãî ìîìåíòà, à
p ⊥ = m u ⊥ γ , E = m c2 γ .
Òàêèì îáðàçîì, ïîñëå ïðîâåäåííîãî óñðåäíåíèÿ ìû ïîëó÷àåì óðàâíåíèå (61), êîòîðîå
îïðåäåëÿåò ìåäëåííîå äâèæåíèå âåäóùåãî öåíòðà. Ýòî óðàâíåíèå îïèñûâàåò ýåêòèâíîå äâèæåíèå ÷àñòèöû, êîòîðàÿ òåïåðü ïîìèìî çàðÿäà èìååò åùå è ìàãíèòíûé ìîìåíò.
Ïîñëåäíèé ïîÿâèëñÿ èççà áûñòðîãî âðàùåíèÿ èñõîäíîé ÷àñòèöû âîêðóã âåäóùåãî öåíòðà.
 ðàìêàõ ðàññìàòðèâàåìîãî ïðèáëèæåíèÿ ïðàâàÿ ñòîðîíà (61) èìååò ïîðÿäîê âåëèv⊥ ω ∼ v⊥ ur⊥⊥ . Ïðè ýòîì õàðàêòåðíîå âðåìÿ èçìåíåíèÿ v⊥ , îïðåäåëÿþùåå ïîðÿäîê
âåëè÷èíû dv⊥ /dt, åñòü
÷èíû
τ∼
dv⊥
u⊥
v⊥
v⊥
v⊥ r⊥
v⊥
L
⇒
≪ v⊥
= v⊥ ω.
∼
∼ v⊥
∼ v⊥
≪ v⊥
v⊥
dt
τ
L
r⊥ L
r⊥
r⊥
d~v⊥ /dt.
~v|| = v|| ~h. Ïîýòîìó
Ïîýòîìó ìû ïðåíåáðåæåì â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (61) âåëè÷èíîé
Òåïåðü ðàññìîòðèì
Ïðîèçâîäíàÿ ó
~v˙ || .
Òàê êàê
~v||
íàïðàâëåíî âäîëü
~h,
òî
d~v||
d~h ~
d ~ ~ dv||
˙
v|| h = h
=
+ v||
= h v̇|| + v|| ~h.
dt
dt
dt
dt
~
h ïîÿâëÿåòñÿ, íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî ~h = B/B
âåëè÷èíû ~
è
~
B
íå çàâèñèò îò
âðåìåíè, ïîòîìó ÷òî ìû áåðåì ýòîò âåêòîð â òî÷êå òðàåêòîðèè ÷àñòèöû, êîòîðàÿ äâèæåòñÿ
âäîëü ñèëîâîé ëèíèè ïîëÿ
~.
B
Ò.å.
~
~h˙ = ∂ h Ṙi ≈ v|| ~h, ∇
~ ~h,
∂Ri
Ṙi = v|| hi è ïðåíåáðåãëè äîáàâî÷íîé ñêîðîñòüþ ~v⊥ . Ïîäóìàéòå, ïî÷åìó ìû ìîæåì ýòî ñäåëàòü.
~ ~h. åîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðèñóòñòâóþùåé çäåñü
Òàêèì îáðàçîì, ~
v˙ || = ~h v̇|| + v||2 ~h, ∇
~
~
âåëè÷èíû h, ∇ ~
h ñòàíîâèòñÿ ïîíÿòåí, åñëè ðàññìîòðåòü áåñêîíå÷íî ìàëûé ñäâèã âäîëü
ñèëîâîé ëèíèè íà dl :
~h(~r0 + ~h dl) = ~h(r0 ) + ~h, ∇
~ ~h dl.
ãäå ìû èñïîëüçîâàëè ðàâåíñòâî
Ýòà âåëè÷èíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èçìåíåíèå åäèíè÷íîãî âåêòîðà ñêîðîñòè
~h = ~v|| /v||
ïðè
ñäâèãå âäîëü òðàåêòîðèè, ò.å. ýòî öåíòðîñòðåìèòåëüíîå
óñêîðåíèå åäèíè÷íîãî âåêòîðà ñêî-
ðîñòè. Ïîýòîìó ìû ìîæåì ïðåäñòàâèòü åå êàê
5 Ñìîòðè
~h, ∇
~ ~h =
~
n
, ãäå
ρ
ρ
ðàäèóñ êðèâèçíû
àïïåíäèêñ â êîíöå ýòîé ëåêöèè. Ïîä÷åðêíåì, ÷òî çäåñü ~r⊥ ñîâåðøàåò áûñòðûå âðàùåíèÿ
~ . Ïîýòîìó (r⊥ )i (r⊥ )j ≡ h(r⊥ )i (r⊥ )j i = 1 ~r2 δij , à íå
â äâóìåðíîé ïëîñêîñòè ïåðïåíäèêóëÿðíîé ïîëþ B
2 ⊥
1 2
r⊥ δij .
3~
53
òðàåêòîðèè, à
~n
åäèíè÷íûé âåêòîð íîðìàëè ê òðàåêòîðèè,
h
i êîòîðûé íàïðàâëåí ê åå
öåíòðó êðèâèçíû. Ââåäåì òàê æå âåêòîð áèíîðìàëè
~b = ~h × ~n
.
Òåïåðü ïðåîáðàçóåì â óðàâíåíèè (61) ñëåäóþùóþ âåëè÷èíó:
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~ , ∇ B = −µ h, ∇ B = −µ h, ∇ h B = −µ B h, ∇ h − µ h h, ∇ B.
µ
Òîãäà, ñ ó÷åòîì âñåãî ñêàçàííîãî, óðàâíåíèå (61) ïðèíèìàåò ñëåäóþùèé âèä:
h
i
~h v̇|| + v 2 ~h, ∇
~ ~h − µ ~h ~h, ∇
~ B.
~ ~h = ω ~v⊥ × ~h − µ B ~h, ∇
(62)
||
mγ
mγ
h
h
ii
h è ó÷òåì, ÷òî [~h×~h] = 0, ~h × ~v⊥ × ~h =
Óìíîæèì âåêòîðíî îáå ñòîðîíû ýòîãî ðàâåíñòâà íà ~
h
h
i
i
~
1 ~
~
~
~
~
~v⊥ , è h × h, ∇ h = ρ h × ~n = ρb .  èòîãå ïîëó÷àåì:
v||2 ~b
ρ
= ω ~v⊥ −
Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà âûøåóêàçàííûå çíà÷åíèÿ
µ
è
µB ~
b.
mγ ρ
p⊥ , íàõîäèì,
÷òî:
~b
u2⊥
2
v|| +
~v⊥ =
ωρ
2
(63)
äðåéîâàÿ ñêîðîñòü âåäóùåãî öåíòðà íàïðàâëåíà ïî áèíîðìàëè ê ñèëîâîé ëèíèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ.
~h, íàõîäèì:
µ ~ ~
h, ∇ B.
v̇|| = −
mγ
Óìíîæàÿ îáå ñòîðîíû (62) ñêàëÿðíî íà
Âñïîìèíàÿ, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ
ïîëÿ
ïî âðåìåíè îïðåäåëÿåòñÿ äâèæåíèåì ÷àñòèöû âäîëü
ñèëîâîé ëèíèè, ò.å.
~ B
Ḃ = v|| ~h, ∇
v|| · v̇|| = −
Âåëè÷èíà
u2⊥ /B
è ïîäñòàâëÿÿ ÿâíîå âûðàæåíèå äëÿ
µ,
íàõîäèì, ÷òî
u2
u2⊥
Ḃ ⇒ v|| · dv|| = − ⊥ dB.
2B
2B
ÿâëÿåòñÿ àäèàáàòè÷åñêèì èíâàðèàíòîì: â îäíîé èç çàäà÷ â çàäàíèè òðåáó-
åòñÿ ýòî ïîêàçàòü. Ïîýòîìó èç ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ïðè äâèæåíèè ÷àñòèöû
â îáëàñòü, ãäå ìàãíèòíîå ïîëå âîçðàñòàåò, åå ïðîäîëüíàÿ ñêîðîñòü ìîíîòîííî óìåíüøàåòñÿ
âïëîòü äî íóëÿ. Óñêîðåíèå íàïðàâëåíî â ñòîðîíó óìåíüøåíèÿ ïîëÿ, ïîýòîìó ïîñëå ýòîãî
÷àñòèöà ïðèîáðåòåò ñêîðîñòü â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè. Ò.å. ÷àñòèöà îòðàæàåòñÿ îò îáëàñòè
ñ áîëüøèì çíà÷åíèåì ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Ýòî ÿâëåíèå íàçûâàåòñÿ ìàãíèòíûì çåðêàëîì.
7.
Äëÿ áîëåå ãëóáîêîãî ïîíèìàíèÿ ïîâåäåíèÿ ÷àñòèö â ñëàáîíåîäíîðîäíûõ âíåøíèõ
ïîëÿõ íåîáõîäèìî çíàòü, ÷òî âåëè÷èíà
H
p~ d~q, ãäå p~ è ~q îáîáùåííûå èìïóëüñ è êîîðäèíàòà
÷àñòèöû, ÿâëÿåòñÿ àäèàáàòè÷åñêèì èíâàðèàíòîì. Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî àêòà ïðîõîäÿò â
êóðñå òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè. Îíî, â ÷àñòíîñòè, ñîäåðæèòñÿ â ïåðâîì òîìå êóðñà Ëàíäàó
è Ëèøèöà. Ìû ïðèâåäåì äîêàçàòåëüñòâî ïî ýòîé êíèãå.
54
Ïóñòü ìû èìååì äåëî ñ ÷àñòèöåé, ñîâåðøàþùåé ïåðèîäè÷åñêîå äâèæåíèå ñ ïåðèîäîì
T
âðîäå òîãî, ÷òî ïðîèñõîäèò â ïîñòîÿííîì ìàãíèòíîì ïîëå. Ïóñòü ýòî äâèæåíèå õàðàêòå-
ðèçóåòñÿ íåêîòîðûì ïàðàìåòðîì
λ, îïðåäåëÿþùèì
ñâîéñòâà ëèáî ñàìîé ñèñòåìû, ëèáî æå
âíåøíåãî ïîëÿ. Ò.å. ýòà âåëè÷èíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íå÷òî âðîäå ÝÌ ïîëåé â ïðåäûäóùèõ çàäà÷àõ. Ïóñòü
λ ìåäëåííî (àäèàáàòè÷åñêè) ìåíÿåòñÿ ïîä âëèÿíèåì êàêèõ-òî âíåøíèõ
óñëîâèé. (Íàïðèìåð, ÷àñòèöà äâèæåòñÿ â ñëàáîíåîäíîðîäíîì ïîëå.) Òàêèì îáðàçîì,
T
èçìåíåíèå
λ
çà ïåðèîä
T
dλ
≪λ
dt
ìíîãî ìåíüøå ñàìîãî
λ.
Ïóñòü
H(p, q; λ)
àìèëüòîíèàí
÷àñòèöû. Òîãäà
dE
∂H dq ∂H dp ∂H
∂H ∂λ
=
+
+
=
,
dt
∂q dt
∂p dt
∂t
∂λ ∂t
q̇ = ∂H/∂p, ṗ = −∂H/∂q è ïðîäèåðåíöèðîâàëè ∂H/∂t êàê ñëîæíóþ óíêöèþ îò λ(t). Âûðàæåíèå, ñòîÿùåå ñïðàâà â ïîëó÷åííîé îðìóëå äëÿ dE/dt, çàâèñèò îò ìåäëåííî ìåíÿþùåéñÿ λ è áûñòðûõ p è q . Äëÿ
ãäå ìû âîñïîëüçîâàëèñü óðàâíåíèÿìè
àìèëüòîíà
âûäåëåíèÿ èíòåðåñóþùåãî íàñ ñèñòåìàòè÷åñêîãî õîäà èçìåíåíèÿ ýíåðãèè ñëåäóåò óñðåäíèòü ýòî ðàâåíñòâî ïî ïåðèîäó äâèæåíèÿ. À èìåííî, ñâåñòè åãî ê óðàâíåíèþ:
dE
∂H
= λ̇
.
dt
∂λ
Âñëåäñòâèå ìåäëåííîñòè
λ
ìû ìîæåì âûíåñòè åå ïðîèçâîäíóþ çà çíàê óñðåäíåíèÿ. Äàëåå
∂H
1
≡
∂λ
T
è ò.ê.
q̇ =
∂H
, òî
∂p
dt =
dq
.
∂H/∂p
T
∂H
dt
∂λ
0
RT
H
Ñëåäîâàòåëüíî T =
dt =
0
H ∂H/∂λ
dE
dλ ∂H/∂p dq
H dq
.
=
dt
dt
∂H/∂p
Ïðè ïåðèîäè÷åñêîì äâèæåíèè
p = p(q; E, λ).
Z
H(p, q; λ) = E = const.
Èç ýòîãî óðàâíåíèÿ ìîæíî íàéòè
Ñëåäîâàòåëüíî, äèåðåíöèðóÿ ðàâåíñòâî
∂H ∂H ∂p
+
= 0.
∂λ
∂p ∂λ
Îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî
−
∂H/∂λ
∂p
=
.
∂λ
∂H/∂p
Òîãäà
Ñëåäîâàòåëüíî
H
dE
dλ
H
=−
dt
dt
55
∂p
∂λ
∂p
∂E
dq
dq
.
dq
. Ò.å.
∂H/∂p
H =E
ïî
λ,
ïîëó÷àåì:
I
∂p ∂λ
∂p ∂E
+
∂E ∂t
∂λ ∂t
d
dq =
dt
I
p dq = 0.
Èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ìû ïîëó÷àåì, ÷òî ñëåäóþùàÿ âåëè÷èíà
8. Àïïåíäèêñ ïðî óñðåäíåíèå ïî óãëàì.
Äîïóñòèì, åäèíè÷íûé âåêòîð
I=
H
p dq
ñîõðàíÿåòñÿ.
~n = (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ) ñîâåðøàåò áûñòðûå âðà-
ùåíèÿ. Äîïóñòèì, äëÿ ðåøåíèÿ íåêîòîðîé çàäà÷è íàì òðåáóåòñÿ ïðîâåñòè óñðåäíåíèå â
òå÷åíèè íåêîòîðîãî ïðîäîëæèòåëüíîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè
1
h~n(t)i ≡
T
Z
T:
T
dt ~n(t).
(64)
0
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âñå íàïðàâëåíèÿ èãðàþò îäèíàêîâóþ ðîëü ïðè òàêîì óñðåäíåíèè. Òîãäà, ïî àíàëîãèè ñ òåðìîäèíàìèêîé, ìû ìîæåì çàìåíèòü óñðåäíåíèå ïî âðåìåíè, óñðåäíåíèåì ïî óãëàì. À èìåííî:
hni i ≡
Çäåñü
dΩ = sin θ dθ dϕ
Z
dΩ
ni ,
4π
i = 1, 2, 3.
ýòî ýëåìåíò òåëåñíîãî óãëà è
(65)
ϕ ∈ [0, 2π), θ ∈ [0, π].
Íåòðóäíî ïðîâåðèòü ïðÿìûì âû÷èñëåíèåì äàííîãî èíòåãðàëà ïî òåëåñíîìó óãëó, ÷òî
hni i = 0. Äðóãîé áîëåå
hni i íå ïîìåíÿåòñÿ ïðè
óíèâåðñàëüíûé ñïîñîá ïîëó÷åíèÿ îòâåòà ñëåäóþùèé: ßñíî, ÷òî
ïîâîðîòå êîîðäèíàòíîé ñåòêè, òàê êàê â åãî îïðåäåëåíèè äàþò
âêëàä âñå íàïðàâëåíèÿ. Ïîýòîìó
hni i ÿâëÿåòñÿ òðåõìåðíûì åäèíè÷íûì âåêòîðîì, êîòîðûé
èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî âðàùåíèé. Åäèíñòâåííûé òàêîé âåêòîð íóëåâîé.
Äîïóñòèì òåïåðü, ÷òî íàì íåîáõîäèìî âû÷èñëèòü ñëåäóþùåå ñðåäíåå:
hni nj i ≡
Z
dΩ
ni nj .
4π
(66)
Ìîæíî ïðîñòî âû÷èñëÿòü ýòîò èíòåãðàë, ïîäñòàâëÿÿ â íåãî ðàçëè÷íûå êîìïîíåíòû
ni =
(sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ). Íî åñòü äðóãîé, áîëåå óíèâåðñàëüíûé, ñïîñîá ïîëó÷åíèÿ îòâåòà. Äåéñòâèòåëüíî, hni nj i äîëæåí áûòü èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî âðàùåíèé òåíçîðîì
ñ äâóìÿ èíäåêñàìè, êîòîðûé ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè åãî èíäåêñîâ. Åäèí-
ñòâåííûì òåíçîðîì â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, êîòîðûé óäîâëåòâîðÿåò ýòèì óñëîâèÿì,
ÿâëÿåòñÿ ìåòðè÷åñêèé
δij .
Òî åñòü èìååì ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå:
hni nj i = c δij ,
ãäå
c
(67)
íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà, êîòîðóþ íåâîçìîæíî çàèêñèðîâàòü èç ñèììåòðèéíûõ ñî-
îáðàæåíèé. ×òîáû íàéòè ýòó êîíñòàíòó, ñâåðíåì èíäåêñû
i
è
j
(ïîëîæèì èõ ðàâíûìè
è ïðîñóììèðóåì ïî âñåì èõ çíà÷åíèÿì) ñëåâà è ñïðàâà â ïîëó÷åííîì âûðàæåíèè. Òîãäà,
n2 = 1 è h1i = 1, ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå: 1 = c · 3.
ïîëüçóÿñü òåì, ÷òî ni ni ≡ ~
Îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî
56
1
δij .
3
hni nj i =
Çàìåòèì, ÷òî åñëè áû
1
δ .
D ij
~n
áûë áû
D ìåðíûì
(68)
åäèíè÷íûì âåêòîðîì, òî ìû ïîëó÷èëè áû
hni nj i =
Äîïóñòèì òåïåðü, ÷òî íàì íåîáõîäèìî âû÷èñëèòü ñëåäóþùåå ñðåäíåå:
hni nj nk i ≡
Z
dΩ
ni nj nk .
4π
(69)
Êàê è âûøå, ìû èìååì äåëî ñ èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî âðàùåíèé òåíçîðîì ñ òðåìÿ
èíäåêñàìè,êîòîðûé ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè ëþáîé ïàðû åãî èíäåêñîâ.
Åäèíñòâåííûé òåíçîð, îáëàäàþùèé òàêèìè ñâîéñòâàìè, ýòî íóëåâîé òåíçîð. Ïîýòîìó
hni nj nk i = 0.
(70)
Àíàëîãè÷íî óñðåäíåíèå ëþáîãî íå÷åòíîãî ïðîèçâåäåíèÿ
ni1 ni2 . . . ni2k+1 = 0,
n
ðàâíî íóëþ:
k ∈ Z+ .
(71)
dΩ
ni nj nk nl .
4π
(72)
Òåïåðü âû÷èñëèì ñðåäíåå
hni nj nk nl i ≡
Z
Ýòî òåíçîð ñ ÷åòûðüìÿ èíäåêñàìè, êîòîðûé èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî âðàùåíèé è ëþáîé
ïåðåñòàíîâêè åãî èíäåêñîâ. Èç ýòèõ ñèììåòðèé ñëåäóåò, ÷òî
hni nj nk nl i = c (δij δkl + δik δjl + δil δjk ) ,
ãäå
(73)
c îïÿòü íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà, êîòîðóþ íåâîçìîæíî çàèêñèðîâàòü èç ñèììåòðèéíûõ
k è l. Òîãäà
ñîîáðàæíèé. ×òîáû íàéòè åå, ñâåðíåì ñëåâà è ñïðàâà ýòîãî âûðàæåíèÿ èíäåêñû
ïîëó÷èì ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå:
hni nj i = c (δij 3 + δik δkl + δil δjl ) = c 5 δij .
Çíàÿ âû÷èñëåííûé âûøå îòâåò äëÿ
hni nj nk nl i =
hni nj i,
(74)
ïîëó÷àåì, ÷òî
1
(δij δkl + δik δjl + δil δjk ) .
15
Âîïðîñû è çàäà÷è
57
(75)
•
Ïîñòðîéòå äðóãèå èíâàðèàíòû ÝÌ ïîëÿ. Êàê îíè âûðàæàþòñÿ ÷åðåç
òå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ
||Fµν ||
è âûðàçèòå èõ ÷åðåç
ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé èìååò ìàòðèöà
µ
âûðàæàåòñÿ ñëåäóþùàÿ âåëè÷èíà: Fµ12
ãî n ïîñëåäíÿÿ âåëè÷èíà ðàâíà íóëþ.
•
Ïîëó÷èòå (55).
•
Âû÷èñëèòå ñëåäóþùèå ñðåäíèå:
I1
è
I2 .
~
E
è
~?
B
Íàéäè-
Ñêîëüêî íåçàâèñèìûõ
||Fµν ||? Êàê ÷åðåç ýòè ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ
n
Fµµn1 ? Ïîêàæèòå, ÷òî äëÿ íå÷åòíîFµµ23 . . . Fµµn−1
à)
hni1 ni2 . . . ni2k i =?,
k ∈ Z+ .
(76)
á)
h(~r, ~a) ~ri =?,
ãäå âåêòîð
~a
ïîñòîÿííûé, à óñðåäíåíèå âåäåòñÿ ïî âñåì íàïðàâëåíèÿì âåòîðà
äóëü êîòîðîãî èêñèðîâàí:
(77)
~r,
ìî-
|~r| = r .
â)
ãäå âåêòîðà
~a
è
~b
D
h iE
[~r, ~a] , ~r, ~b
=?,
ïîñòîÿííû, à óñðåäíåíèå âåäåòñÿ ïî âñåì íàïðàâëåíèÿì âåòîðà
ìîäóëü êîòîðîãî èêñèðîâàí:
•
Ïîêàæèòå, ÷òî
(78)
u2⊥ /B
|~r| = r .
ÿâëÿåòñÿ àäèàáàòè÷åñêèì èíâàðèàíòîì.
58
~r,
Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà â ðåëÿòèâèñòñêîé îðìå è
èõ âûâîä èç ïðèíöèïà íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ äëÿ ïîëåé, 4âåêòîð
òîêà, δ óíêöèÿ.
Ëåêöèÿ VI;
1. Â 4-é ëåêöèè ìû îáñóäèëè ïðîèñõîæäåíèå óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà èç ñîâîêóïíîñòè îïûòíûõ äàííûõ:
~ = 0,
div B
~
~ + 1 ∂ B = 0,
rot E
c ∂t
~ = 4 π ρ,
div E
~
~ − 1 ∂ E = 4 π ~j.
rot B
c ∂t
c
Ïåðâàÿ ïàðà ýòèõ óðàâíåíèé âûïîëíÿåòñÿ òîæäåñòâåííî, åñëè
~ = rot A,
~
B
äëÿ íåêîòîðûõ ïîòåíöèàëîâ
~.
ϕ, A
~
~ = −grad ϕ − 1 ∂ A
E
c ∂t
Çàâèñèìîñòü ÝÌ ïîëåé
~
E
è
~
B
îò ïîòåíöèàëîâ îïðåäå-
ëÿåòñÿ ýòèìè îðìóëàìè ñ òî÷íîñòüþ äî çàìåíû
ϕ′ = ϕ −
1 ∂α
,
c ∂t
~′ = A
~ + grad α
A
íàçûâàåìîé êàëèáðîâî÷íûì
ïðåîáðàçîâàíèåì. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî åñëè ââåñòè 4âåêòîð ïî
òåíöèàë
Aµ =
~
ϕ, A
ìåðíûé 2òåíçîð ÝÌ
~ è B
~ îïðåäåëÿþò
µ = 0, 1, 2, 3, òî êîìïîíåíòû 3âåêòîðîâ E
µ
ïîëÿ Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ , ãäå ∂µ Aν ≡ ∂Aν /∂x . À èìåííî:
,
Ei = F0i ,
Òàê æå êàê
~
E
è
~ , òåíçîð Fµν
B
Bi = −ǫijk Fjk ,
4
i = 1, 2, 3.
èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî êàëèáðîâî÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèé,
′
êîòîðûå â 4ìåðíîé îðìå èìåþò âèä Aµ = Aµ − ∂µ α.
 ýòîé ëåêöèè ìû õîòèì çàïèñàòü óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà â ÿâíîé Ëîðåíö êîâàðèàíòíîé
îðìå ÷åðåç òåíçîð
Fµν
è åãî ïðîèçâîäíûå. àññìîòðèì ñíà÷àëî ïåðâîå óðàâíåíèå:
~ = ∂i Bi = −∂i ǫijk Fjk = −ǫ0ijk ∂i Fjk = ǫ0ναβ ∂ν Fαβ ,
0 = div B
ò.ê.
ǫ0ijk = ǫijk = ǫijk ,
ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî âåðíî â ñèëó òîãî, ÷òî â ïðîñòðàíñòâå, â îòëè-
÷èè îò ÏÂ, âåðõíèå èíäåêñû íå îòëè÷àþòñÿ îò íèæíèõ. Òàê æå ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåì
0ναβ
0ijk
àêòîì, ÷òî íåíóëåâûå êîìïîíåíòû ǫ
ñîâïàäàþò ñ ǫ
. Èòàê, ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå
0ναβ
ǫ
∂ν Fαβ = 0 âûãëÿäèò êàê íóëåâàÿ êîìïîíåíòà êàêîãîòî 4ìåðíîãî óðàâíåíèÿ.
Âòîðîå èç óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà ïåðåïèñûâàåòñÿ â ñëåäóþùåì âèäå:
59
0=
~
~ + 1 ∂B
rot E
c ∂t
!
= ǫijk ∂i Ek +
i
1 ∂Bi
= ǫ0ijk ∂i F0k − ǫ0ijk ∂0 Fjk = ǫiναβ ∂ν Fαβ .
c ∂t
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå äîïîëíÿåò òî, ÷òî áûëî âûâåäåíî âûøå äî 4
ìåðíîãî óðàâíåíèÿ:
ǫµναβ ∂ν Fαβ = 0,
(79)
ïðåäñòàâëÿþùåãî ïåðâóþ ïàðó óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ýòî óðàâíåíèå
âûïîëíÿåòñÿ òîæäåñòâåííî, åñëè â íåãî ïîäñòàâèòü
Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ :
ǫµναβ ∂ν Fαβ = ǫµναβ ∂ν (∂α Aβ − ∂β Aα ) = 2 ǫµναβ ∂ν ∂α Aβ = ǫµναβ (∂ν ∂α − ∂α ∂ν ) Aβ = 0.
àññìîòðèì òåïåðü òðåòüå èç óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà:
~ = ∂i Ei = ∂i F i0 = ∂µ F µ0 ,
div E
ò.ê.
F 00 = 0.
Äàëåå, ÷åòâåðòîå èç óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà ïðèíèìàåò âèä:
~
~ − 1 ∂E
rot B
c ∂t
!
i
= ǫijk ∂j Bk + ∂0 F 0i = −∂j F ij + ∂0 F 0i = ∂j F ji + ∂0 F 0i = ∂µ F µi
Òàêèì îáðàçîì, ïîñëåäíèå äâà óðàâíåíèÿ ïðåîáðàçóþòñÿ â
∂µ F µ0 = 4 π ρ,
4π i
∂µ F µi =
j
c
j
Òåïåðü äîëæíî áûòü âèäíî, ÷òî åñëè îáúåäèíèòü ïëîòíîñòü çàðÿäà ρ è ïëîòíîñòü òîêà ~
µ
~
â åäèíûé 4âåêòîð ïëîòíîñòè òîêà j = (ρ c, j), òî ïîëó÷åííûå äâà 3ìåðíûõ óðàâíåíèÿ
çàïèøóòñÿ êàê îäíî 4ìåðíîå óðàâíåíèå:
∂µ F µν =
4π ν
j,
c
(80)
ïðåäñòàâëÿþùåå âòîðóþ ïàðó óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà. Èòàê óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà çàïèñûâàþòñÿ â óäèâèòåëüíî êîìïàêòíîé Ëîðåíö êîâàðèàíòíîé îðìå, õîòÿ Ìàêñâåëë íè÷åãî è
íå çíàë î ÑÒÎ. Ïîä÷åðêíó, ÷òî ïîëó÷åííûå óðàâíåíèÿ òàêæå ÿâíî êàëèáðîâî÷íî èíâàðèàíòíû.
2. Èç óðàâíåíèÿ (80), ïðèìåíÿÿ ê îáåèì åãî ñòîðîíàì
4äèâåðãåíöèþ, ïîëó÷àåì:
4π
∂ν j ν = ∂ν ∂µ F µν = ∂ν ∂µ (∂ µ Aν − ∂ ν Aµ ) = ∂ν ∂ 2 Aν − ∂µ ∂ 2 Aµ = 0,
c
60
ãäå ìû îáîçíà÷èëè
∂ 2 = ∂α ∂ α . Òàêèì îáðàçîì, èç óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà ñëåäóåò óðàâíåíèå
íåïðåðûâíîñòè:
∂µ j µ =
∂ρ
+ div ~j = 0.
∂t
(81)
Èç ýòîãî óðàâíåíèÿ ñëåäóåò çàêîí ñîõðàíåíèÿ çàðÿäà. Äåéñòâèòåëüíî, ïðîèíòåãðèðóåì ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå ïî íåêîòîðîé îáëàñòè
Z
M
3
dV
∂ρ
+ div ~j
∂t
d
=
dt
ãäå
QM
M.
Ò.å. ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå
çàðÿä âíóòðè îáëàñòè
Z
M
3ìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà:
Z
d
d V ρ+
d V div ~j =
QM +
dt
M
M
3
3
ZZ
~j d~s = 0,
∂M
M , à ∂M RR
çàìêíóòàÿ 2ìåðíàÿ ãðàíèöà 3ìåðíîé îáëàñòè
d
~j d~s óòâåðæäàåò, ÷òî çàðÿä â îáëàñòè M
Q
=
−
M
dt
∂M
èçìåíÿåòñÿ òîëüêî çà ñ÷åò åãî ïðèòîêà èëè îòòîêà ÷åðåç ãðàíèöó ýòîé îáëàñòè. Åñëè æå
÷åðåç ãðàíèöó îáëàñòè M íå ïðîíèêàåò íèêàêîé òîê, òî çàðÿä âíóòðè ýòîé îáëàñòè âîîáùå
d
íå ìåíÿåòñÿ
QM = 0.
dt
Ìû óæå çíàåì, ÷òî äåéñòâèå, îïèñûâàþùåå âçàèìîäåéñòâèå çàðÿæåííîé òî÷å÷íîé
3.
÷àñòèöû ñ ÝÌ ïîëåì, èìååò âèä:
e
∆S = −
c
Z
τ2
dτ ż µ (τ ) Aµ [z(τ )] .
τ1
dτ =
. Ìû æå õîòèì
R ds/c
R
R
R
R
4
ïðåäñòàâèòü åãî â âèäå èíòåãðàëà ïî 4ìåðíîìó ÏÂ, ò.å. êàê èíòåãðàë
d x ≡ dx0 dx dy dz ≡
R R
R
R
c dt dx dy dz . Èç äàëüíåéøåãî ñòàíåò ÿñíî, çà÷åì ýòî íóæíî.
×òîáû ïðåîáðàçîâàòü 1ìåðíûé èíòåãðàë â 4ìåðíûé, íàì íàäî âîñïîëüçîâàòüñÿ δ óíêöèåé.
Ýòî äåéñòâèå ñîäåðæèò îäèí èíòåãðàë ïî ñîáñòâåííîìó âðåìåíè
 êîíöå ýòîé ëåêöèè ìû îáñóäèì ýòó óíêöèþ áîëåå ïîäðîáíî. Ñåé÷àñ æå íàì ïîíàäî-
δRóíêöèÿ ýòî òàêàÿ óíêöèÿ, ÷òî äëÿ ëþáîé äîñòà+∞
òî÷íî õîðîøåé f (x) âåðíî, ÷òî
f (x) δ(x) dx = f (0). Äàëåå ìîæíî òàê æå îïðåäåëèòü
−∞
(4)
0
0
1
1
2
δ (x−y) ≡ δ(x −y ) δ(x −y ) δ(x −y 2 ) δ(x3 −y 3 ). Ñ èñïîëüçîâàíèåì ïîñëåäíåé óíêöèè,
áèòñÿ ïðîñòî åå îïðåäåëåíèå:
ìîæíî çàïèñàòü:
e
c
ãäå
Z
1
dτ ż (τ ) Aµ [z(τ )] = 2
c
µ
µ
j (x) = e c
Z
Z
d4 x j µ (x) Aµ (x),
dτ ż µ (τ ) δ (4) [x − z(τ )] .
Äåéñòâèòåëüíî:
Z
Z
Z
e
1
4
4
µ
d xAµ (x) dτ ż µ (τ ) δ (4) [x − z(τ )] =
d x j (x) Aµ (x) =
c2
c
Z
Z
Z
e
e
µ
4
(4)
=
dτ ż (τ )
d x Aµ (x) δ [x − z(τ )] =
dτ ż µ (τ ) Aµ [z(τ )] .
c
c
61
(82)
Êàê ìû ñåé÷àñ óâèäèì, (82) ÿâëÿåòñÿ 4âåêòîðîì ïëîòíîñòè òîêà äëÿ òî÷å÷íîé ÷àñòèöû.
0
Åãî íóëåâàÿ êîìïîíåíòà èìååò âèä (z = c t):
0
j (x) = e c
Z
dz 0 (4)
δ [x − z(τ )] = e c
dτ
dτ
Z
dz 0 δ(x0 − z 0 ) δ (3) [~x − ~z(t)] = e c δ (3) [~x − ~z(t)] ,
~z (t) òðàåêòîðèÿ ÷àñòèöû â 3ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. Ò.å. ðàññìàòðèâàåìàÿ êîìïîíåíòà
j 0 ðàâíà ñêîðîñòè ñâåòà, óìíîæåííîé
çàðÿäà äëÿ òî÷å÷íîé ÷àñòèöû ρ(x) =
RRR 3íà ïëîòíîñòü
RRR
(3)
0
e δ [~x − ~z (t)] . Äåéñòâèòåëüíî,
d V j /c = e
d3 V δ (3) [~x − ~z (t)] = e äëÿ ëþáîé 3
M
ìåðíîé îáëàñòè M , âêëþ÷àþùåé çàðÿä â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè t.
Àíàëîãè÷íî:
Z
d~z
δ x0 − c t δ (3) [~x − ~z (t)] = e ~z˙ (t) δ (3) [~x − ~z (t)] = ρ(x) ~v (t)
dt
ÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþ 3ìåðíîãî òîêà äëÿ òî÷å÷íîé ÷àñòèöû (~
v = ~z˙ ). Òàêèì îáðàçîì, ðàñR
µ
µ
(4)
ñìàòðèâàåìàÿ âåëè÷èíà j (x) = e c
dτ ż (τ ) δ [x − z(τ )] = (c ρ, ~v ρ) äåéñòâèòåëüíî ÿâ~j = e c
dt
ëÿåòñÿ 4âåêòîðîì ïëîòíîñòè òîêà äëÿ òî÷å÷íîé ÷àñòèöû.
4.
Òåïåðü ìû ãîòîâû ñîðìóëèðîâàòü ïðèíöèï íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ äëÿ ÝÌ ïîëÿ.
Äëÿ ýòîãî íàäî îïðåäåëèòü äåéñòâèå äëÿ ÝÌ ïîëÿ. Îíî äîëæíî áûòü Ëîðåíö è êàëèáR 4
d x îò íåêîòîðîé ïëîòíîñòè.
ðîâî÷íî èíâàðèàíòíûì, à òàêæå áûòü èíòåãðàëîì ïî ÏÂ
Ìû çíàåì äâà èíâàðèàíòà ïîëÿ
I1
è
I2
Fµν .
ïîñòðîåííûõ èç
Îíè òàêæå è êàëèáðîâî÷íî
èíâàðèàíòíû, à ïîòîìó âïîëíå ïîäõîäÿò â êà÷åñòâå ïëîòíîñòè äëÿ îïðåäåëåíèÿ äåéñòâèÿ.
Ïîýòîìó åñòåñòâåííî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî äåéñòâèå äëÿ ÝÌ ïîëÿ èìååò âèä
SEM =
ãäå
c1,2
Z
h
i
d4 x c1 Fµν F µν + c2 Fµν F̃ µν ,
íåêîòîðûå êîíñòàíòû. Íî îêàçûâàåòñÿ, ÷òî
I2
ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé 4äèâåðãåíöèåé:
Fµν F̃ µν = ǫµναβ (∂µ Aν − ∂ν Aµ ) (∂α Aβ − ∂β Aα ) = 4 ǫµναβ (∂µ Aν ) (∂α Aβ ) = 4 ∂µ ǫµναβ Aν ∂α Aβ .
äå ìû âîñïîëüçîâàëèñü àíòèñèììåòðèåé
Z
d4 x Fµν F̃ µν =
Z
M
ǫµναβ
è òåì, ÷òî
d4 x ∂µ ǫµναβ Aν ∂α Aβ =
I
ǫµναβ ∂ν ∂α Aβ = 0.
Ïîýòîìó
d3 σµ ǫµναβ Aν ∂α Aβ ,
∂M
ãäå ïîñëåäíèé èíòåãðàë áåðåòñÿ ïî çàìêíóòîé 3ìåðíîé ãðàíèöå
∂M
4ìåðíîãî ÏÂ
M
(ñì. àïïåíäèêñ â êîíöå ýòîé ëåêöèè). Ò.å. åãî ïîäèíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå çàâèñèò îò
ãðàíè÷íûõ çíà÷åíèé ïîëåé, êîòîðûå îáû÷íî îñòàþòñÿ èêñèðîâàííûìè (ðàâíûìè íóëþ
ïîëÿ â âàêóóìå) â âàðèàöèîííîì èñ÷èñëåíèè äëÿ ïîëåé. Ïîýòîìó âêëàä
I2
â äåéñòâèå
äëÿ ÝÌ ïîëåé ìîæíî îòáðîñèòü, òàê êàê îí íå ìåíÿåò óðàâíåíèé äâèæåíèÿ.
Èòàê, äåéñòâèå, îïèñûâàþùåå ÝÌ ïîëÿ è èõ âçàèìîäåéñòâèå ñ âíåøíèì 4âåêòîðîì
òîêà, èìååò âèä:
1
SEM (Aµ ) = −
16 π c
Z
4
d x Fµν F
µν
62
1
(x) − 2
c
Z
d4 x Aµ (x) j µ (x),
(83)
ãäå ìû çàèêñèðîâàëè êîíñòàíòó
c1 = −1/16 π c,
÷òî ïðèâåäåò ê âåðíûì êîýèöèåíòàì
â óðàâíåíèÿõ Ìàêñâåëëà, êàê ìû ñåé÷àñ óâèäèì.
Ìû õîòèì âûâåñòè èç óñëîâèÿ ìèíèìóìà ðàññìàòðèâàåìîãî äåéñòâèÿ âòîðóþ ïàðó
óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà, ò.ê. ïåðâàÿ ïàðà óðàâíåíèé âûïîëíÿåòñÿ òîæäåñòâåííî, åñëè
∂µ Aν − ∂ν Aµ .
Fµν =
Îáîáùåííîé êîîðäèíàòîé â ïîñòàâëåííîé âàðèàöèîííîé çàäà÷å ÿâëÿåòñÿ
ïîëå 4âåêòîð ïîòåíöèàëà
Aµ .
Ïîýòîìó:
Z
Z
1
1
4
µν
0=−
δ
d x Fµν F − 2 δ
d4 x jµ Aµ =
16 πc
c
Z
Z
1
1
4
µν
µν
d x (δFµν F + Fµν δF ) − 2
d4 x jµ δAµ =
=−
16 πc
c
Z
Z
1
1
4
µν
d x 2 Fµν δF − 2
d4 x jµ δAµ =
=−
16 πc
c
Z
Z
1
1
4
µ
ν
ν
µ
d x Fµν (∂ δA − ∂ δA ) − 2
d4 x jµ δAµ =
=−
8 πc
c
Z
Z
1
1
4
µ
ν
d x Fµν 2 ∂ δA − 2
d4 x jµ δAµ =
=−
8 πc
c
Z
1 µ
1
4
= d x
∂ Fµν − 2 jµ δAµ ,
4 πc
c
R 4
R 4 µ
1
1
µ
ν
ãäå íà ïîñëåäíåì øàãå ìû âçÿëè èíòåãðàë ïî ÷àñòÿì, −
d
x
F
∂
δA
=
d x ∂ Fµν δAν ,
µν
4 πc
4 πc
µ
è âîñïîëüçîâàëèñü òåì, ÷òî δA |∂M = 0 íà ãðàíèöå ∂M ÏÂ M . Èòàê, âàðèàöèÿ äîëæíà
áûòü ðàâíà íóëþ ïðè ëþáîì δAµ è ìû ïîëó÷àåì âòîðóþ ïàðó óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà â
Ëîðåíö êîâàðèàòíîé îðìå (80).
5. ×òîáû ïîíÿòü êàê âàðüèðîâàòü ïî ïîëÿì âðîäå Aµ (x) (ðàíüøå ìû âàðüèðîâàëè òîëü-
êî ïî òðàåêòîðèÿì
~z(t)
èëè ìèðîâûì ëèíèÿì
zµ (t)),
âåðíåìñÿ ê ìåõàíè÷åñêîìó ïðèìåðó,
êîòîðûé ìû îáñóæäàëè íà ïåðâîé ëåêöèè. À èìåííî, ìû èìåëè äåëî ñ 1ìåðíîé áåñêîíå÷íîé ðåøåòêîé øàðèêîâ, óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äëÿ êîòîðûõ èìåëè âèä áåñêîíå÷íîé ñèñòåìû
óðàâíåíèé
m φ̈i = k (φi+1 − φi ) − k (φi − φi−1 )
äëÿ êàæäîãî
i ∈ Z.
Çäåñü
φi (t)
îòêëîíåíèå
iãî
øàðèêà èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ âäîëü
îäíîãî èçìåðåíèÿ (âäîëü ðåøåòêè) â ìîìåíò âðåìåíè
t.
Ýòè óðàâíåíèÿ ñëåäóþò èç äåéñòâèÿ:
S ({φi }) =
Z
t2
t1
dt (T − V ) =
Z
t2
t1
#
2
+∞
+∞
X
X
k (φj+1 − φj )2
m φ̇i
.
−
dt
2
2
j=−∞
i=−∞
"
 ïîñëåäíåì âûðàæåíèè ïåðâàÿ ñóììà ýòî ñóììà êèíåòè÷åñêèõ ýíåðãèé âñåõ øàðèêîâ,
à âòîðàÿ ñóììà ýòî ñóììà ïîòåíöèàëüíûõ ýíåðãèé âñåõ ïðóæèí.
Óðàâíåíèÿ ËàãðàíæàÝéëåðà äëÿ ýòîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû èìåþò âèä:
∂L
{φ
},
{
φ̇
}
j
j
d
dt
∂ φ̇i
=
φ
63
∂L {φj }, {φ̇j }
∂φi
φ̇
i,
äëÿ êàæäîãî
ò.ê. îáîáùåííûìè êîîðäèíàòàìè äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé ìåõàíè÷åñêîé ñè-
ñòåìû ÿâëÿåòñÿ íàáîð
{φi }.
×òîáû óâèäåòü, ÷òî óðàâíåíèÿ ËàãðàíæàÝéëåðà ñîâïàäàþò
ñ óêàçàííûìè âûøå óðàâíåíèÿìè äâèæåíèÿ, ïîñ÷èòàåì:
∂L
= k (φi+1 − φi ) − k (φi − φi−1 ) ,
∂φi
∂L
= m φ̇i .
∂ φ̇i
Ïîñëå ÷åãî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñëåäóþò ñ î÷åâèäíîñòüþ.
àññìîòðèì òåïåðü íåïðåðûâíûé ïðåäåë, â êîòîðîì ðàññìàòðèâàåìàÿ ðåøåòêà äîëæíà ïðåâðàòèòüñÿ â îäíîìåðíîå óïðóãîå òåëî. Â íåïðåðûâíîì ïðåäåëå
φ(x, t).
Òîãäà äåéñòâèå ïðåîáðàçóåòñÿ ñëåäóþùåì îáðàçîì:
S ({φ}) =
=
Z
t2
dt
t1
è
∆x → 0.
+∞
X
∆x
i=−∞
"
Z
+∞
X
t2
dt
t1
i=−∞
"
2
φi (t) → φ(xi , t) →
k (φi+1 − φi )2
m φ̇i
−
2
2
#
=
2 #
m φ̇2 (xi , t) k ∆x φ(xi + ∆x, t) − φ(xi , t)
−
∆x
2
2
∆x
Òåïåðü åñëè â ýòîì ïðåäåëå äåðæàòü
m/∆x = m̄ = const
è
k ∆x = k̄ = const,
÷òîáû ïîëó÷èòü òåîðèþ îïèñûâàþùóþ óïðóãîå òåëî, à íå ïûëü èç ÷àñòèö èëè æå àáñîëþòíî æåñòêèé ñòåðæåíü, òî ðàññìàòðèâàåìîå ìåõàíè÷åñêîå äåéñòâèå ïåðåõîäèò â äåéñòâèå
2ìåðíîé òåîðèè ïîëÿ:
#
m̄ φ̇2 (t, x) k̄ φ′2 (t, x)
=
−
dt
S [φ(·)] =
dx
2
2
t1
−∞
"
2 #
Z
Z
2
k̄
k̄
1 ∂φ
∂φ
2
=
dx 2
=
d2 x ∂a φ ∂ a φ,
−
2
c̄
∂t
∂x
2
Z
ãäå
R
d2 x ≡
R
dt
dx,
à
Z
"
+∞
c̄ = m̄/k̄ = m/k ∆x2
ñêîðîñòü çâóêà â ðåøåòêå, ââåäåííàÿ åùå íà
′
Äàëåå
Ñëåäîâàòåëüíî
1 2
φ̇
c̄2
ïåðâîé ëåêöèè,
φ.
R
t2
φ ≡ ∂φ/∂x, φ̇ ≡ ∂φ/∂t.
∂a φ ∂ a φ = η ab ∂a φ ∂b φ =
||ηab || =
∂a φ ≡
− φ′2 ,
1 0
0 −1
1
c̄
φ̇, φ
ãäå
′
2ìåðíûé ãðàäèåíò ïîëÿ
àíàëîã ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà â 2ìåðíîì ÏÂ.
 ðàññìàòðèâàåìîé òåîðèè â êà÷åñòâå îáîáùåííîé êîîðäèíàòû ìû èìååì ïîëå
â êîòîðîå ïåðåøåë â íåïðåðûâíîì ïðåäåëå áåñêîíå÷íûé íàáîð êîîðäèíàò øàðèêîâ
Ïîýòîìó äëÿ íàõîæäåíèÿ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ äëÿ ïîëÿ
φ(t, x)
φ(t, x),
{φi (t)}.
íåîáõîäèìî âàðüèðîâàòü
ðàññìàòðèâàåìîå äåéñòâèå èìåííî ïî ýòîìó ïîëþ. Âûâåäåì óðàâíåíèÿ ËàãðàíæàÝéëåðà
äëÿ áîëåå îáùåãî äåéñòâèÿ:
S(φ) =
Z
d2 x L (φ, ∂a φ) .
64
L = k̄2 ∂a φ ∂ a φ.
R +∞
L = −∞ dx L.
 íàøåì ñëó÷àå Ëàãðàíæåâà ïëîòíîñòü ðàâíà
âûðàæàåòñÿ ÷åðåç Ëàãðàíæåâó ïëîòíîñòü êàê
Èòàê:
≡
Çàìå÷ó, ÷òî Ëàãðàíæèàí
0 = δS ≡ [S(φ + δφ) − S(φ)]linear in δφ ≡
Z
d2 x {L [φ + δφ, ∂a (φ + δφ)] − L [φ, ∂a φ]}linear in δφ =
Z
∂L
∂L
2
= dx
δφ +
(∂a δφ) .
∂φ
∂(∂a φ)
 ïîñëåäíåì âûðàæåíèè âòîðîé ÷ëåí â ñóììå ïîä èíòåãðàëîì ïðîïîðöèîíàëåí íå
åãî ïðîèçâîäíîé
δφ,
à
∂a δφ. Ìû æå õîòèì íàéòè óñëîâèÿ (óðàâíåíèÿ), ïðè êîòîðûõ âàðèàöèÿ
δS = 0 ïðè ëþáîì δφ. Ïîýòîìó íàäî íåêîòîðûì îáðàçîì èçáàâèòüñÿ
ïðîèçâîäíîé îò δφ. Ýòîãî ìîæíî äîáèòüñÿ, âçÿâ èíòåãðàë ïî ÷àñòÿì,
äåéñòâèÿ ðàâíà íóëþ
â ýòîì ÷ëåíå îò
ñëåäóþùèì îáðàçîì. Çàìåòèì, ÷òî ïî ïðàâèëó Ëåéáíèöà
∂a
∂L
δφ
∂(∂a φ)
= ∂a
∂L
∂(∂a φ)
Ïðîèíòåãðèðóåì îáå ñòîðîíû ýòîãî ðàâåíñòâà ïî
ñ ëåâîé ñòîðîíû ïîëó÷åííîãî ðàâåíñòâà:
Z
2
d x ∂a
M
∂L
δφ
∂(∂a φ)
=
R
I
δφ +
d2 x
è âîñïîëüçóåìñÿ òåîðåìîé Ñòîêñà
dla
∂M
∂L
∂a δφ.
∂(∂a φ)
∂L
δφ,
∂(∂a φ)
ãäå èíòåãðàë ñ ïðàâîé ñòîðîíû ýòîãî ðàâåíñòâà áåðåòñÿ ïî çàìêíóòîé 1ìåðíîé ãðàíèöå
∂M
2ìåðíîãî ÏÂ
M.
Çàìå÷ó, ÷òî â âàðèàöèîííîé çàäà÷å â òåîðèè ïîëÿ Ï îáû÷íî
áåðåòñÿ áåñêîíå÷íî áîëüøèì âî âñåõ íàïðàâëåíèÿõ:
[t1 , t2 ] → (−∞, +∞).
Íà ãðàíèöå ìû èêñèðóåì ãðàíè÷íûå è íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ ïîëåé, à ïîòîìó èêñèðóåì
δφ
∂M
= 0.
6
Ïîýòîìó ðàññìàòðèâàåìûé èíòåãðàë ðàâåí íóëþ . Ñëåäîâàòåëüíî,
Z
d x ∂a
2
∂L
∂(∂a φ)
δφ = −
Z
d2 x
∂L
∂a δφ.
∂(∂a φ)
Âîñïîëüçîâàâøèñü ýòèì ðàâåíñòâîì â âûðàæåíèè äëÿ âàðèàöèè äåéñòâèÿ, ïîëó÷àåì
0 = δS =
Z
Z
∂L
∂L
∂L
∂L
2
δφ = d x
δφ.
δφ − ∂a
− ∂a
dx
∂φ
∂(∂a φ)
∂φ
∂(∂a φ)
2
Ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå äîëæíî ðàâíÿòüñÿ íóëþ ïðè ëþáîì çíà÷åíèè
δφ.
Ïîýòîìó ìû
ïîëó÷àåì óðàâíåíèå ËàãðàíæàÝéëåðà:
6 Àíàëîãè÷íî
òîìó, êàê ýòî áûëî â ñëó÷àå âàðèàöèé äåéñòâèé äëÿ ÷àñòèö, åñòü íåñêîëüêî ñïîñîáîâ
H
∂L
δφ â âàðèàöèþ äåéñòâèÿ. À èìåííî, òðåáîâàíèå δφ
ïîòðåáîâàòü çàíóëåíèÿ âêëàäà dla ∂(∂
=
a φ)
∂M
= 0 íàçûâàåòñÿ
0 íàçûâàåòñÿ ãðàíè÷íûì óñëîâèåì Äèðèõëå.  òî âðåìÿ êàê òðåáîâàíèå ∂(∂∂L
a φ)
∂M
ãðàíè÷íûì óñëîâèåì ͼéìàíà. Òî åñòü, êàê è â ñëó÷àå ÷àñòèö, èç ïðèíöèïà íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ ìû
ïîëó÷àåì è óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ, è ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ.
65
∂L
∂L
= ∂a
.
∂φ
∂(∂a φ)
k̄ ab
η ∂a φ ∂b φ, ìû èìååì, ÷òî ∂L
2
∂φ
ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ:
 íàøåì ñëó÷àå, êîãäà
L=
a
∂a ∂ φ =
∂2
1 ∂2
−
c̄2 ∂t2 ∂x2
= 0,
à
∂L
∂(∂a φ)
= k̄ ∂a φ.
Ïîýòîìó
φ = 0,
êîòîðîå íàì óæå äîëæíî áûòü çíàêîìî ïî ïåðâîé ëåêöèè.
6. Òåïåðü Rïåðåéäåì ê âàðüèðîâàíèþ äåéñòâèÿ äëÿ ÝÌ ïîëÿ ïî Aµ . Äëÿ äåéñòâèÿ îáùå-
ãî âèäà
S =
d4 x L (Aµ , ∂µ Aν )
ìû ìîæåì àíàëîãè÷íî òîëüêî ÷òî ïðèâåäåííîìó ñëó÷àþ
âûâåñòè óðàâíåíèÿ ËàãðàíæàÝéëåðà:
∂µ
∂L
∂ (∂µ Aν )
=
A
∂L
∂Aν
(84)
∂A
 íàøåì ñëó÷àå Ëàãðàíæåâà ïëîòíîñòü ðàâíà:
LEM = −
1
1
Fµν F µν (x) − 2 Aµ (x) j µ (x).
16 π c
c
(85)
Ïîýòîìó
1
∂LEM
= − 2 jν ,
∂Aν
c
à
∂LEM
1
∂
Fαβ F αβ =
=−
∂ (∂µ Aν )
16 π c ∂ (∂µ Aν )
αβ γσ
1
4
∂
=−
η η (∂α Aγ − ∂γ Aα ) (∂β Aσ − ∂σ Aβ ) = −
F µν .
16 π c ∂ (∂µ Aν )
16 π c
Çäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåì, ÷òî
∂(∂α Aβ )/∂(∂µ Aν ) = δαµ δβν ,
à òàê æå ñâîéñòâàìè ñèìâî-
ëà Êðîíåêåðà è ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà.  ðåçóëüòàòå èç óðàâíåíèé ËàãðàíæàÝéëåðà ìû
ïîëó÷àåì:
∂µ F µν =
4π ν
j
c
âòîðóþ ïàðó óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà.
7. Àïïåíäèêñ. Ñâîéñòâà δ óíêöèè. Áåç ïðåòåíçèé íà ìàòåìàòè÷åñêóþ ñòðîãîñòü,
ìû çäåñü èçëîæèì íåêîòîðûå îñíîâíûå ñâîéñòâà
ñòàâëåíèåì
δ óíêöèè
δ óíêöèè.
Óäîáíûì íàãëÿäíûì ïðåä-
ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùåå:
x2
1
δ(x) = lim √ e− ǫ .
ǫ→0
πǫ
66
(86)
ðàèê óíêöèè, ñòîÿùåé ïîä çíàêîì ïðåäåëà èìååò âèä êîëîêîëà ñ âåðøèíîé â
âûñîòîé
√
1/ π ǫ
ǫ,
è øèðèíîé
|x| ≫ ǫ
ò.ê. ïðè
x = 0,
ðàññìàòðèâàåìàÿ óíêöèÿ ýêñïîíåíöèàëüíî
áûñòðî ñòðåìèòñÿ ê íóëþ. Ïîýòîìó, åñëè íàì íåîáõîäèìî âçÿòü èíòåãðàë
Z
+∞
−∞
x2
1
dx f (x) √ e− ǫ
πǫ
f (x), òî ïðè äîñòàòî÷íî ìàëåíüêîì ǫ èçìåíåíèåì
|x| < ǫ, ãäå ïîäèíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå ñóùåñòâåííî
äëÿ ëþáîé äîñòàòî÷íî õîðîøåé óíêöèè
óíêöèè âíóòðè ìàëîé îáëàñòè
îòëè÷íî îò íóëÿ, ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Ïîýòîìó
Z
+∞
−∞
àçëîæèâ
f (x)
x2
1
dx f (x) √ e− ǫ ≈ f (0)
πǫ
Âîçüìåì òåïåðü èíòåãðàë
I=
ãäå ìû ïåðåîáîçíà÷èëè
1
I =
π
+∞
−∞
x2
1
dx √ e− ǫ .
πǫ
f (x) = f (0) + x f ′ (0) + . . . ,
ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ ïðè ǫ → 0.
â ðÿä Òåéëîðà âáëèçè 0,
ïîïðàâêè ê ïîëó÷åííîìó âûðàæåíèþ
2
Z
Z
+∞
dx
−∞
Z
Z
√
+∞
−∞
x2
1
dx √ e− ǫ =
πǫ
x/ ǫ → x.
+∞
Z
+∞
−∞
ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî
1
2
dx √ e−x ,
π
×òîáû âû÷èñëèòü ýòîò èíòåãðàë, çàìåòèì, ÷òî
−x2 −y 2
dy e
−∞
1
=
π
Z
2π
dϕ
0
Z
+∞
−r 2
dr r e
0
=
Z
+∞
0
äå ìû ñäåëàëè çàìåíó ïåðåìåííûõ èíòåãðèðîâàíèÿ ïîä èíòåãðàëîì
r sin ϕ.
Òàêèì îáðàçîì,
I = 1.
ǫ→0
f (x).
x = r cos ϕ,
y =
Ïîýòîìó
lim
äëÿ ëþáîé
2
dr 2 e−r = 1.
Z
+∞
−∞
x2
1
dx f (x) √ e− ǫ = f (0)
πǫ
Ñëåäîâàòåëüíî âûøåóêàçàííîå ïðåäñòàâëåíèå
δ óíêöèè
ïðàâîìåðíî â
2
− xǫ
1
ñèëó îïðåäåëåíèÿ ïîñëåäíåé. Çàìå÷ó, ÷òî ãðàèê óíêöèè √
e
â ïðåäåëå ǫ → 0 èìååò
πǫ
ñëåäóþùèé âèä: óíêöèÿ ðàâíà íóëþ âåçäå êðîìå x = 0, à â x = 0 îíà ðàâíà áåñêîíå÷íîñòè.
Àáñîëþòíî àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî
δ óíêöèþ
ìîæíî ïðåäñòàâ-
ëÿòü è äðóãèì îáðàçîì:
ǫ
1
ǫ→0 π x2 + ǫ2
δ(x) = lim
Ïðèâåäåì òåïåðü íåñêîëüêî îñíîâíûõ ñâîéñòâ
•
Z
+∞
−∞
dx f (x) δ(x − x0 ) =
Z
(87)
δ óíêöèè:
+∞
dx f (x + x0 ) δ(x) = f (x0 );
−∞
67
(88)
•
Z
ò.ê. ãðàèê
à â
•
x=0
b
dx f (x) δ(x) =
a
f (0), if 0 ∈ [a, b]
0, if 0 6∈ [a, b]
δ óíêöèè èìååò âûøåóêàçàííûé âèä: îíà ðàâíà íóëþ âåçäå êðîìå x = 0,
îíà ðàâíà áåñêîíå÷íîñòè;
R +∞
R +∞
f xa δ(x)
dx f (x) δ(a x) = −∞ dx
|a|
−∞
÷òî δ(x) ÷åòíàÿ óíêöèÿ. Ïîýòîìó
f (0)
, ãäå ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåì àêòîì,
|a|
=
δ(a x) =
•
(89)
δ(x)
;
|a|
(90)
R +∞
Pn R +∞
′
dx
f
(x)
δ
[g(x)]
=
a=1 −∞ dx f (x) δ [g (xa ) (x − xa )] , ãäå xa , a = 1, . . . , n íóëè
−∞
′
óíêöèè g(x), à g (xa ) ïðîèçâîäíûå ýòîé óíêöèè â åå íóëÿõ. Ìû ïðèðàâíÿëè
P
δ[g(x)] = na=1 δ[g ′ (xa ) (x − xa )], ò.ê. δ[g(x)] íå ðàâíà íóëþ òîëüêî ïðè òåõ çíà÷åíèÿõ
x, ïðè êîòîðûõ g(x) ðàâíà íóëþ è ðàçëîæèëè ïîñëåäíþþ â ðÿä Òåéëîðà â áëèçè åå
íóëåé. Äàëåå, âîñïîëüçîâàâøèñü ïðåäûäóùèì ñâîéñòâîì, ìû ïîëó÷àåì
Z
+∞
dx f (x) δ [g(x)] =
−∞
n
X
a=1
Ñëåäîâàòåëüíî
1
′
|g (xa )|
+∞
−∞
dx f (x) δ(x − xa ).
n
X
δ(x − xa )
δ [g(x)] =
(91)
|g ′ (xa )|
a=1
•
Z
Ôîðìóëà Ñîõîòñêîãî. àññìîòðèì ïðåäåë
x+ iǫ
x
ǫ
1
= lim
= lim 2
+ i lim 2
=
2
ǫ→0 (x − i ǫ) (x + i ǫ)
ǫ→0 x + ǫ
ǫ→0 x + ǫ2
ǫ→0 x − i ǫ
1
= v.p. + i π δ(x)
x
lim
(92)
ãäå v.p.1/x ðåãóëÿðíàÿ â íóëå óíêöèÿ. Â ýòîé îðìóëå ìû âîñïîëüçâàëèñü ïðåäñòàâëåíèåì
•
δ óíêöèè
Ôóðüå ïðåäñòàâëåíèå
â âèäå (87).
δ óíêöèè:
δ(x) =
Z
+∞
−∞
Äîêàæåì ýòó îðìóëó. Íàèâíî èíòåãðàë
åãî ñëåäóþùèì îáðàçîì:
68
dk i k x
e
2π
R +∞
dk
−∞ 2 π
ei k x
(93)
íå áåðåòñÿ. Îäíàêî ïðåäñòàâèì
t
t2
-vt
vx
-vx
x1
x
x2
vt
t1
èñ. 7:
Z
Z
+∞
ikx
dk e
=
−∞
+ lim
ǫ→0
+∞
ikx
dk e
+
0
Z
Z
0
ikx
dk e
−∞
0
dk ei k x+ǫ k
−∞
= lim
ǫ→0
Z
+∞
dk ei k x−ǫ k +
0
i
i
+ lim
= 2 π δ(x).
= lim
ǫ→0 x + i ǫ
ǫ→0 x − i ǫ
(94)
Ïðè âûâîäå ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ìû èñïîëüçîâàëè îðìóëó Ñîõîòñêîãî è åå êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûé âàðèàíò.
8. Àïïåíäèêñ. Òåîðåìà Ñòîêñà â ïðîèçâîëüíîé ðàçìåðíîñòè è ñ ïðîèçâîëüíîé ñèãíàòóðîé ìåòðèêè.
Äëÿ íà÷àëà ðàññìîòðèì â äâóõ èçìåðåíèÿõ èíòåãðàë ñëåäóþùåãî âèäà:
I=
ZZ
R
Çäåñü îáëàñòü
R
a
dtdx ∂a v (t, x) ≡
Z
t2
dt
Z
x2
x1
t1
dx ∂0 v 0 (t, x) + ∂1 v 1 (t, x) ,
xa ≡ x0 , x1 ≡ (t, x) .
(95)
èçîáðàæåíà íà ðèñóíêå (7) ýòî ÷àñòü ïëîñêîñòè, îãðàíè÷åííàÿ ïðÿ-
ìîóãîëüíèêîì ñî ñòîðîíàìè, äëèíû êîòîðûõ ðàâíû
t2 − t1
è
x2 − x1 .
 ðàññìàòðèâàåìîì
âûðàæåíèè íå âàæíî êàêóþ ñèãíàòóðó èìååò ìåòðèêà: îíî âåðíî è äëÿ ïðîñòàíñòâà Åâêëèäà, è äëÿ ïðîñòðàíñòâàâðåìåíè Ìèíêîâñêîãî. Ïðîäåëàåì ñëåäóþùèå ïðåîáðàçîâàíèÿ
ñ îáñóæäàåìûì âûðàæåíèåì:
Z
x2
Z
t2
Z
t2
Z
x2
dx ∂1 v 1 (t, x) =
dt
dt ∂0 v (t, x) +
x1
t1
t1
x1
Z x2
Z t2
=
dx v 0 (t = t2 , x) − v 0 (t = t1 , x) +
dt v 1 (t, x = x2 ) − v 0 (t, x = x1 ) .
I=
dx
0
x1
t1
69
(96)
M
∂M
èñ. 8:
Íà ïîñëåäíåì øàãå çäåñü â ïåðâîì âûðàæåíèè ìû âçÿëè èíåãðàë ïî
âîäíîé, à âî âòîðîì âûðàæåíèè èíòåãðàë ïî
x
t
îò ïîëíîé ïðîèç-
îò ïîëíîé ïðîèçâîäíîé. Ïîëó÷åííûé
èòåãðàë ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå:
Z
x2
x1
dx v 0 (t = t2 , x) − v 0 (t = t1 , x) +
Çäåñü
∂R
ýòî ãðàíèöà îáëàñòè
R,
Z
t2
1
0
dt v (t, x = x2 ) − v (t, x = x1 ) =
t1
òî åñòü ñàì ïðÿìîóãîëüíèê, à
dσa
I
dσa v a .(97)
∂R
ýòî âåêòîð ïåð-
ïåíäèêóëÿðíûé ãðàíèöå, äëèíà êîòîðîãî ðàâíà ýëåìåíòó äëèíû ãðàíèöû.
×òîáû îáîáùèòü ðàññìàòðèâàåìûå îðìóëû íà ñëó÷àé îáëàñòåé áîëåå îáùåé îðìû,
ïðèáëèçèì òàêóþ ïðîèçâîëüíóþ îáëàñòü
M
íåêîòîðûì åå ðàçáèåíèåì íà ïðÿìîóãîëüíèêè,
êàê ýòî èçîáðàæåíî íà ðèñóíêå (8). Òîãäà äëÿ êàæäîãî ïðÿìîóãîëüíèêà áóäåò âåðíî ðàññóæäåíèå, ïðèâåäåííîå âûøå. Â ïðåäåëå êîãäà ðàçáèåíèå áóäåò ñòàíîâèòüñÿ áîëåå ìåëêèì,
âêëàäû îò ñîïðÿæåííûõ ðåáåð ïðÿìîóãîëüíèêîâ áóäóò ñîêðàùàòüñÿ. Â ðåçóëüòàòå âñå, ÷òî
îñòàíåòñÿ ýòî èíòåãðàë ïî ãðàíèöå
ZZ
2
∂M ,
a
òî åñòü:
d x ∂a v =
M
I
dσa v a .
(98)
∂M
Îáîáùåíèå ýòîãî âûâîäà íà ñëó÷àé áîëüøåé ðàçìåðíîñòè î÷åâèäíî. Ýòî çàâåðøàåò ñõåìàòè÷åñêîå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ñòîêñà.
Âîïðîñû è çàäà÷è
Fνµ Fαν Fµα = 0.
•
Ïîêàæèòå, ÷òî
•
Íàéäèòå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äëÿ äåéñòâèÿ
•
Ïîëó÷èòå (84) èç ïðèíöèïà íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ.
ãäå
a
è
b
íåêîòîðûå ðàçìåðíûå êîíñòàíòû.
70
S =
R
d4 x a Fµν F µν + b Fνµ Fαν Fβα Fµβ ,
•
àññìîòðèì íå èíâàðèàíòíîå
îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé
Ëîðåíöà, íåëèíåéíîå
h
i2
h
i2
R 4
˙~ 2
˙
~ + a A,
~ ∂~ × A
~
d x A − ∂~ × A
, ãäå a íåêîòîðàÿ ðàçìåðäåéñòâèå S =
íàÿ êîíñòàíòà. Îíî ìîæåò îïèñûâàòü ïîâåäåíèå ÝÌ ïîëåé â êàêîéíèáóäü ñðåäå.
Íàéäèòå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñëåäóþùèå èç ýòîãî äåéñòâèÿ.
71
Ñèììåòðèè è çàêîíû ñîõðàíåíèÿ â ïðèñóòñòâèè
ïîëåé, òåíçîð ýíåðãèèèìïóëüñà ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ è ÷àñòèö, áàëàíñ ýíåðãèè ÷àñòèö è ïîëÿ.
Ëåêöèÿ VII;
1.
Íà ïðåäûäóùèõ ëåêöèÿõ ìû ââåëè äåéñòâèå, êîòîðîå îïèñûâàåò âçàèìîäåéñòâèå ÝÌ
ïîëÿ è ñèñòåìû
N
çàðÿæåííûõ òî÷å÷íûõ ÷àñòèö:
S Aµ (x), zqµ (τ ) = −
−
ãäå
N
X
mq c
q=1
zqµ (τq )
Z
dτq
q
żq2 (τq ),
ìèðîâàÿ ëèíèÿ
1
16 π c
Z
4
d x Fµν F
µ
j (x) =
N
X
eq c
q=1
q é
÷àñòèöû
µν
Z
1
− 2
c
q = 1, . . . , N ,
Z
d4 xAµ (x) j µ (x) −
dτq żqµ (τq ) δ (4) [x − zq (τq )] ,
à
τq
(99)
ñîáñòâåííîå âðåìÿ âäîëü åå
ìèðîâîé ëèíèè.
 ýòîì äåéñòâèè îáîáùåííûìè êîîðäèíàòàìè ÿâëÿþòñÿ êàê Aµ (x), òàê è âåñü íàáîð
µ
zq (τq ), q = 1, . . . , N . Åñëè âàðüèðîâàòü ýòî äåéñòâèå ïî zq̄µ (τq̄ ) ïðè èêñèðîâàííîì Aµ (x) è
µ
âñåõ îñòàëüíûõ zq (τq ), q 6= q̄ , òî ïåðâûé ÷ëåí â ðàññìàòðèâàåìîì äåéñòâèè íå äàåò âêëàäà
âîîáùå, à èç ïîñëåäíèõ äâóõ ìû ïîëó÷àåì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ äëÿ ÷àñòèöû ïîä íîìåðîì
q̄
âî âíåøíåì ïîëå:
duµq̄
eq̄
= Fνµ uνq̄ ,
mq̄ c
dsq̄
c
Òàê ìû ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ äëÿ âñåõ
q.
Aµ (x)
Åñëè æå âàðüèðîâàòü äåéñòâèå ïî
sq̄ = c τq̄
ïðè èêñèðîâàííûõ
zqµ (τq ), q = 1, . . . , N ,
òî
òðåòèé ÷ëåí â ðàññìàòðèâàåìîì äåéñòâèè íå äàåò âêëàäà, à èç ïåðâûõ äâóõ ìû ïîëó÷àåì
µ
óðàâíåíèå äëÿ ïîëÿ Aµ (x) ñ òîêîì j (x) â êà÷åñòâå èñòî÷íèêà:
∂ µ Fµν =
4π
jν .
c
Çàäà÷à êëàññè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêè (ÝÄ) ñîñòîèò èìåííî â ðåøåíèè ïîëó÷åííîé ñèñòåìû óðàâíåíèé äëÿ ÝÌ ïîëÿ è ñèñòåìû ÷àñòèö.  îáùåé ñèòóàöèè ýòî ÿâëÿåòñÿ î÷åíü
ñëîæíîé çàäà÷åé.  ïîñëåäóþùèõ ëåêöèÿõ ìû èçó÷èì íåêîòîðûå ïðèìåðû, êîãäà îíà ðåøàåòñÿ òî÷íî è êîãäà åå ìîæíî ðåøèòü â õîðîøåì ïðèáëèæåíèè. Íàïðèìåð, êîãäà ìû
ðàññìàòðèâàëè äðåé ÷àñòèö âî âíåøíè ïîëÿõ, ìû ðåøàëè ýòó çàäà÷ó â ïðèáëèæåíèè,
êîãäà ïîëÿ, ñîçäàâàåìûå ñàìèìè ÷àñòèöàìè áûëè ïðåíåáðåæèìî ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñ
âíåøíèìè ïîëÿìè.
Ïðè ðåøåíèè ïîäîáíûõ çàäà÷ î÷åíü ïîìîãàåò çíàíèå ðàçëè÷íûõ çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ.
Êàê âû âîçìîæíî óæå ïîíèìàåòå, çàêîíû ñîõðàíåíèÿ ñëåäóþò èç èíâàðèàíòíîñòåé äåéñòâèÿ. àññìàòðèâàåìîå íàìè äåéñòâèå èíâàðèàíòíî ïî êðàéíåé ìåðå îòíîñèòåëüíî êàëèá′
ðîâî÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèé Aµ = Aµ − ∂µ α, îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà, à òàê
æå îòíîñèòåëüíî òðàíñëÿöèé â ÏÂ. Ïîñëåäíÿÿ èíâàðèàíòíîñòü ñëåäóåò èç îäíîðîäíîñòè
ÏÂ. À èìåííî, èç òîãî àêòà, ÷òî Ëàãðàíæåâà ïëîòíîñòü äëÿ âûøåóêàçàííîãî äåéñòâèÿ
íå çàâèñèò ÿâíî îò
xµ ,
à òîëüêî êàê ñëîæíàÿ óíêöèÿ ÷åðåç çàâèñèìîñòü
72
Aµ (x):
L = L Aµ (x), ∂µ Aν (x), zqµ (τq ) , 6 xµ .
Íàéäåì çàêîíû ñîõðàíåíèÿ, ñëåäóþùèå èç ýòèõ èíâàðèàíòíîñòåé Ëàãðàíæèàíà.
2. àññìîòðèì
êàê äåéñòâèå ìåíÿåòñÿ ïðè êàëèáðîâî÷íîì ïðåîáðàçîâàíèè:
1
S [Aµ − ∂µ α] − S [Aµ ] = 2
c
ò.ê.
Z
d4 x jµ ∂ µ α,
Fµν , zqµ (τq ) è, ñëåäîâàòåëüíî j µ (x) íå èçìåíÿþòñÿ ïðè êàëèáðîâî÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ.
Ïðè ýòîì:
Z
Èíòåãðàë ïî ãðàíèöå ÏÂ
4
I
µ
d x jµ ∂ α =
H
dV µ . . . ìû
µ
α jµ dV −
Z
d4 x α ∂ µ jµ .
7
êëàäåì ðàâíûì íóëþ , ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî íà ïðà-
íèöå ÏÂ íåò íè çàðÿäîâ, íè ïîëåé, à ïîòîìó äëÿ èíâàðèàíòíîñòè äåéñòâèÿ îòíîñèòåëüíî
R 4
êàëèáðîâî÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ íåîáõîäèìî, ÷òîáû íóëþ ðàâíÿëñÿ èíòåãðàë
d x α ∂ µ jµ
ïðè ëþáîì
α(x).
Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî, ÷òîáû áûë âåðåí
∂ µ jµ = 0
çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà. Ò.å. ñëåäñòâèåì êàëèáðîâî÷íîé èíâàðèàíòíîñòè
ÿâëÿåòñÿ çàêîí ñîõðàíåíèÿ çàðÿäà. Ýòî î÷åíü âàæíûé àêò, ïîä÷åðêèâàþùèé óíäàìåíòàëüíîñòü êàëèáðîâî÷íîé ñèììåòðèè.
3. Âûâåäåì òåïåðü êàêîé çàêîí ñîõðàíåíèÿ ñëåäóåò èç òðàíñëÿöèîííîé èíâàðèàíòíîñòè
â ÏÂ. Åãî ìîæíî âûâåñòè òàêèì æå ñïîñîáîì, êàê áûë âûâåäåí âûøå çàêîí ñîõðàíåíèÿ
çàðÿäà, íî ìû èñïîëüçóåì áîëåå ïðîñòîé ñïîñîá. Â ñèëó âûøåóêàçàííîé íåçàâèñèìîñòè
Ëàãðàíæèàíà îò ïîëîæåíèÿ ñèñòåìû çàðÿäîâ è ïîëåé â ÏÂ, ìû èìååì, ÷òî:
∂µ L =
∂L
∂L
∂µ Aν +
∂µ ∂α Aν
∂Aν
∂(∂α Aν )
â ñèëó ïðàâèëà äèåðåíöèðîâàíèÿ ñëîæíîé óíêöèè
çîâàâøèñü óðàâíåíèåì ËàãðàíæàÝéëåðà
L[Aµ (x), ∂µ Aν (x)]
îò
x.
Âîñïîëü-
∂L
∂L
= ∂α
,
∂Aν
∂(∂α Aν )
ïîëó÷àåì:
∂µ L = ∂α
∂L
∂(∂α Aν )
∂L
∂µ Aν +
∂α ∂µ Aν ⇒ ∂µ L = ∂α
∂(∂α Aν )
∂L
∂µ Aν .
∂(∂α Aν )
Òåïåðü, ïåðåíîñÿ âñå ÷ëåíû â ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå íà ïðàâóþ ñòîðîíó, ïîëó÷àåì:
∂α
ò.å. çàêîí ñîõðàíåíèÿ âèäà
7 Ó÷åò
êóðñà.
∂L
∂µ Aν − L δµα
∂(∂α Aν )
= 0,
òàêèõ ãðàíè÷íûõ âêëàäîâ ÿâëÿåòñÿ îòäåëüíîé èíòåðåñíîé çàäà÷åé, âûõîäÿùåé çà ðàìêè íàøåãî
73
∂α Tµα = 0,
(100)
ãäå
Tµα =
∂L
∂µ Aν − L δµα
∂(∂α Aν )
(101)
êàíîíè÷åñêèé òåíçîð ýíåðãèèèìïóëüñà (ÒÝÈ). Ïîëó÷åííûé çàêîí ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðûì
µ
òåíçîðíûì îáîáùåíèåì çàêîíà ñîõðàíåíèÿ òîêà ∂µ j = 0. Ìû ýòî óâèäèì ÷óòü ïîçæå.
Äàííîå îïðåäåëåíèå ÒÝÈ èìååò íåîïðåäåëåííîñòü, ñâÿçàííóþ ñ òåì, ÷òî òåíçîð âèäà
∆Tνµ ≡ ∂α Gµα
ν ,
Gµα
ν ïðîèçâîëüíûé òåíçîð àíòèñèììåòðè÷íûé ïðè ïåðåñòàíîâêå êîâàðèàíòíûõ
µα
αµ
äåêñîâ Gν = −Gν , èìååò 4äèâåðãåíöèþ òîæäåñòâåííî ðàâíóþ íóëþ:
ãäå
∂µ ∆Tνµ = ∂µ ∂α Gµα
ν =
èí-
1
(∂µ ∂α − ∂α ∂µ ) Gµα
ν = 0.
2
Ïîýòîìó ê âûøå îïðåäåëåííîìó êàíîíè÷åñêîìó âûðàæåíèþ ÒÝÈ âñåãäà ìîæíî äîáàâèòü
α
÷ëåí âèäà ∆Tν , íå íàðóøèâ ïðè ýòîì çàêîí ñîõðàíåíèÿ. Îò óêàçàííîé íåîïðåäåëåííîñòè
ìîæíî èçáàâèòüñÿ, åñëè íàëîæèòü íà ÒÝÈ ñ äâóìÿ êîâàðèàíòíûìè èíäåêñàìè óñëîâèå
ñèììåòðè÷íîñòè:
T̂ µν = T µν + ∆T µν = T̂ νµ ,
ïîäîáðàâ ñîîòâåòñòâóþùåãî âèäà âêëàä
µνα
òåíçîð ìîìåíòà ýíåðãèèèìïóëüñà M
∆Tνα . Ýòîãî ìîæíî äîáèòüñÿ, åñëè
≡ xµ T̂ να − xν T̂ µα . Äåéñòâèòåëüíî:
ñîõðàíÿåòñÿ
∂α Mµνα = (∂α xµ ) T̂ να − (∂α xν ) T̂ µα = T̂ νµ − T̂ µν = 0.
Ìû âñåãäà áóäåì èñïîëüçîâàòü ñèììåòðè÷íûé ÒÝÈ, à íå êàíîíè÷åñêèé (â ñëó÷àå åñëè îíè
îòëè÷àþòñÿ).
4. Íàéäåì ÿâíûé âèä ÒÝÈ äëÿ ÝÌ ïîëÿ â îòñóòñòâèè
ïëîòíîñòü ðàâíà:
L = − 161π Fµν F µν .
çàðÿäîâ, ò.å. êîãäà Ëàãðàíæåâà
Òîãäà íàõîäèì:
∂L
1
1 νµ
=−
2 (F νµ − F µν ) = −
F
∂(∂ν Aµ )
16 π
4π
è êàíîíè÷åñêèé ÒÝÈ ðàâåí:
Tαν = −
ãäå
F 2 ≡ Fµβ F µβ . Ïîëó÷åííûé
1 ν 2
1 νµ
F ∂α Aµ +
δ F ,
4π
16 π α
(102)
êàíîíè÷åñêèé ÒÝÈ íè êàëèáðîâî÷íî èíâàðèàíòåí, íè ñèì-
ìåòðè÷åí. Äîáàâèì ê íåìó ÷ëåí âèäà
∆Tαν =
1
∂µ (F νµ Aα ) ,
4π
74
êîòîðûé, èñïîëüçóÿ óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà áåç çàðÿäîâ
∆Tαν =
∂µ F µν = 0, ìîæíî çàïèñàòü
â âèäå:
1 νµ
F ∂µ Aα .
4π
Òîãäà ìû ïîëó÷àåì:
T̂αν
1
=−
4π
F
νµ
1 ν 2
Fαµ − δα F .
4
Çàìå÷ó, ÷òî ñëåä òàêîãî òåíçîðà ðàâåí íóëþ:
T̂νν = 0.
(103)
Ïîìèìî ýòîãî, ïîëó÷åííûé ÒÝÈ
ÿâëÿåòñÿ è êàëèáðîâî÷íî èíâàðèàíòíûì è ñèììåòðè÷íûì. Îòíûíå ìû âñåãäà áóäåì èñïîëüçîâàòü èìåííî ýòîò ÒÝÈ è îïóñòèì êðûøêó â åãî çíàêå.
5. àñïèøåì
T00
ïîêîìïîíåíòíî ïëó÷åííûé ÒÝÈ ÷åðåç ÝÌ ïîëÿ
~
E
è
~:
B
1 0 2
1
1 ~ 2 ~ 2
1 ~ 2 ~ 2
1
0µ
0i
F F0µ − δ0 F = −
F F0i −
B −E
=
E +B
=−
4π
4
4π
2
8π
Âåëè÷èíà
W ≡ T00
(104)
ÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþ ýíåðãèè ÝÌ ïîëÿ. Äåéñòâèòåëüíî, Ëàãðàâíæåâà
ïëîòíîñòü ÝÌ ïîëÿ ðàâíà:
ãäå
T ∝ Ei2 ∝ (∂0 Ai − ∂i A0 )2
~2 − B
~ 2 ≡ T − U,
L ∝ Fµν F µν ∝ E
ýòî êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ÝÌ ïîëÿ, ò.ê. ñîäåðæèò ïðîèç-
âîäíûå ïî âðåìåíè îò êàíîíè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ ∂0 Ai , ò.å. çàâèñèò îò ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ
2
2
ýòèõ âåëè÷èí; ïðè ýòîì U ∝ Bi ∝ (ǫijk ∂j Ak ) íå ñîäåðæèò ïðîèçâîäíûõ ïî âðåìåíè, à
8
ïîòîìó ÿâëÿåòñÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé . Ò.ê. Ëàãðàíæåâà ïëîòíîñòü ðàâíà L = T − U ,
~2 + B
~ 2 äîëæíà áûòü ïëîòíîñòüþ ýíåðãèè.
òî âåëè÷èíà W = T + U ∝ E
àññìîòðèì òåïåðü 3âåêòîð:
Si = −c Ti0 =
c 0j
c
c
c 0µ
F Fiµ =
F Fij =
(−Ej ) (−ǫijk Bk ) =
ǫijk Ej Bk .
4π
4π
4π
4π
Âåëè÷èíà
i
c h~
~
~
E
×
B
S=
4π
(105)
íàçûâàåòñÿ âåêòîðîì ÓìîâàÏîéíòèíãà.
×òîáû ïîíÿòü èçè÷åñêèé ñìûñë âåêòîðà
~,
S
ðàññìîòðèì íóëåâóþ êîìïîíåíòó çàêîíà
ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèèèìïóëüñà óìíîæåííóþ íà ñêîðîñòü ñâåòà:
c ∂µ T0µ = c ∂0 T00 + c ∂i T0i = c ∂0 W + ∂i Si =
8 Íàïîìíþ,
∂
~ = 0.
W + div S
∂t
÷òî âûøå ïðè ðàññìîòðåíèè âîëí â êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêå ìû ïîëó÷èëè Ëàãðàíæåâó
ïëîòíîñòü âèäà L = φ̇2 /c̄2 − φ′2 , ãäå ïðè âçÿòèè íåïðåðûâíîãî ïðåäåëà ÷ëåí φ̇2 , ñîäåðæàùèé ïðîèçâîäíûå
ïî âðåìåíè, ïîëó÷àëñÿ èç êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè øàðèêîâ, à ÷ëåí φ′2 , ñîäåðæàùèé òîëüêî ïðîèçâîäíóþ
ïî ïðîñòðàíñòâåííîìó íàïðàâëåíèþ èç ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ïðóæèí.
75
Ò.å. ìû ïîëó÷àåì óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè èëè çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ÝÌ ïîëÿ. Ò.å.
âåêòîð
~
S
ýòî âåêòîð, îïðåäåëÿþùèé ïîòîê ÝÌ ýíåðãèè.
6. Â ïðèñóòñòâèè
çàðÿäîâ ñèòóàöèÿ èçìåíèòñÿ. Óìíîæèì îáå ñòîðîíû óðàâíåíèÿ äâèR
duµ
e
(4)
µν
íà δ
[x
−
z(s)]
è ïðîèíòåãðèðóåì ïî
ds ñîáñòâåííîìó
æåíèÿ çàðÿäà: m c
=
F
u
ν
ds
c
âðåìåíè. Ïîëó÷èì óðàâíåíèå:
Z
mc
+∞
−∞
e
duµ (4)
δ [x − z(s)] = F µν
ds
ds
c
Z
+∞
−∞
ds uν δ (4) [x − z(s)] =
1 µν
F jν .
c2
Ïðîèíòåãðèðóåì ëåâóþ ÷àñòü ýòîãî óðàâíåíèÿ ïî ÷àñòÿì, èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî:
dz ν
d (4)
δ [x − z(s)] = − ∂ν δ (4) [x − z(s)]
= − ∂ν δ (4) [x − z(s)] uν ,
ds
ds
ñëåäóþùåå èç ïðàâèëà äèåðåíöèðîâàíèÿ ñëîæíîé óíêöèè. Òîãäà ïîëó÷àåì:
m c ∂ν
èëè ÷òî òîæå ñàìîå
Z
ds uν uµ δ (4) [x − z(s)] =
νµ
∂ν Tpart
=
1 µν
F jν
c2
1 µν
F jν ,
c
(106)
ãäå ìû ââåëè
µν
Tpart
= mc
2
Z
ds uµ uν δ (4) [x − z(s)]
(107)
ÒÝÈ òî÷å÷íîé ÷àñòèöû. Äåéñòâèòåëüíî
µν
Tpart
= mc
2
Z
dt
ds µ ν (3)
ds µ ν
u u δ(x0 − c t) δ (3) [~x − ~z (t)] = m c
u u δ [~x − ~z (t)] .
dt
dt
 ÷àñòíîñòè
00
Tpart
= m c2 u0 δ (3) [~x − ~z (t)]
R 3
00
ïëîòíîñòü ýíåðãèè òî÷å÷íîé ÷àñòèöû, ò.ê.
d V Tpart
= m c2 u0 = p0 c, ãäå M
M
3ìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà, âêëþ÷àþùàÿ ÷àñòèöó â ìîìåíò âðåìåíè t. Äàëåå
îáëàñòü
0i
00
Tpart
= m c2 ui δ (3) [~x − ~z (t)] = Tpart
vi
ïëîòíîñòü èìïóëüñà òî÷å÷íîé ÷àñòèöû.  ïîñëåäíåé îðìóëå ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåì,
i
i
i
i
÷òî u = dz /ds, à v = dz /dt.
Êàê ìû âèäèì, â ïðèñóòñòâèè ïîëÿ ÒÝÈ ÷àñòèö íå ñîõðàíÿåòñÿ, ò.ê. â ñèëó (106)
νµ
ìû èìååì ∂ν Tpart 6= 0: ïîëå î÷åâèäíî ìîæåò óíîñèòü ýíåðãèþ â âèäå èçëó÷åíèÿ èëè æå
ïðèâíîñèòü åå ðàçãîíÿÿ ÷àñòèöû. Òàê æå â ïðèñóòñòâèè ÷àñòèö íå áóäåò ñîõðàíÿòüñÿ ÒÝÈ
µν
1
F µα Fαν − 14 η µν F 2 , ðàññìîòðåííûé íàìè âûøå â ýòîé ëåêöèè. Îäíàêî,
ïîëÿ Tf ield = −
4π
µν
µν
êàê ìû ñå÷àñ óâèäèì, áóäåò ñîõðàíÿòüñÿ ñóììàðíûé ÒÝÈ äëÿ ÷àñòèö è ïîëÿ T
= Tpart
+
Tfµνield . Äåéñòâèòåëüíî ïîêàæåì, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ óðàâíåíèå
76
1 µν
F jν = −∂ν Tfµνield
c
(108)
áàëàíñà ýíåðãèè ÷àñòèö è ÝÌ ïîëÿ. Îïðåäåëèì 4âåêòîð
4 π f µ ≡ − 4cπ F µν jν
è ïîä-
ñòàâèì â íåãî âûðàæåíèå äëÿ ïëîòíîñòè 4òîêà, ñëåäóþùåå èç óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà
c
∂ µ Fµν . Òîãäà
4π
jν =
4 π f µ = −F µα ∂ ν Fαν = −∂ ν (F µα Fαν ) + Fαν (∂ ν F µα ) .
Âîñïîëüçóåìñÿ òåïåðü óðàâíåíèåì:
∂ ν F µα + ∂ α F νµ + ∂ µ F αν = 0,
(109)
µναβ
êîòîðîå òîæäåñòâåííî ýêâèâàëåíòíî ïåðâîé ïàðå óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà ǫ
µν
µ ν
ν µ
è, êàê ëåãêî ïðîâåðèòü, òîæäåñòâåííî âûïîëíÿåòñÿ, åñëè F
=∂ A −∂ A .
ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå.
Óìíîæàÿ ðàññìàòðèâàåìîå óðàâíåíèå íà
Fαν
∂ν Fαβ = 0
Ïðîâåðüòå
è ñóììèðóÿ ïî ïîâòîðÿþùèìñÿ èíäåêñàì,
ïîëó÷àåì, ÷òî
Òîãäà
4 π fµ
1
1
Fαν ∂ ν F µα = − Fαν ∂ µ F αν = − ∂ µ F 2 .
2
4
µα
1 µ 2
ν
= −∂ F Fαν + 4 δν F . Ò.å. äåéñòâèòåëüíî f µ = −∂ν Tfνµ
ield
è óðàâíåíèå
áàëàíñà ýíåðãèè ÷àñòèö è ÝÌ ïîëÿ âåðíî.
7.
Ñëåäîâàòåëüíî, ìû èìååì çàêîí ñîõðàíåíèÿ ïîëíîãî ÒÝÈ ñèñòåìû ÷àñòèö è ÝÌ
ïîëÿ
νµ
∂ν Tpart
+ Tfνµ
ield = 0.
(110)
àññìîòðèì íóëåâóþ êîìïîíåíòó ýòîãî óðàâíåíèÿ:
µ0
00
00
i0
i0
0 = ∂µ Tpart
+ Tfµ0
ield = ∂0 Tpart + Tf ield + ∂i Tpart + Tf ield
Ïðîèíòåãðèðóåì ýòî óðàâíåíèå ïî áîëüøîé îáëàñòè
M
3ìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà â äàííûé
ìîìåíò âðåìåíè. Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ãðàíèöó ýòîé îáëàñòè â âûáðàííûé ìîìåíò âðåìåíè
÷àñòèöû íå ïåðåñåêàþò, ìû ïîëó÷àåì èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå:
d
dt
ãäå
Eq
ýíåðãèÿ
"Z
q é ÷àñòèöû,
3
Wd V +
M
à
N
X
q=1
∂M
#
Eq = −
I
ãðàíèöà îáëàñòè
~ d~s,
S
∂M
M . Ò.å. ýíåðãèÿ
ñèñòåìû ÷àñòèö è
ïîëÿ â íåêîòîðîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà, âêëþ÷àþùåé â ñåáÿ âñå ÷àñòèöû ñèñòåìû, èçìåíÿåòñÿ òîëüêî, åñëè ñóùåñòâóåò ïîòîê ýíåðãèè ÝÌ ïîëÿ ÷åðåç ãðàíèöó ðàññìàòðèâàåìîé
îáëàñòè.
Âîïðîñû è çàäà÷è
77
•
Ïîäóìàéòå ñàìîñòîÿòåëüíî êàêîé çàêîí ñîõðàíåíèÿ ñëåäóåò èç èíâàðèàíòíîñòè
äåéñòâèÿ/Ëàãðàíæèàíà îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà.
•
Óáåäèòåñü, ÷òî ê ÒÝÈ âñåãäà ìîæíî äîáàâèòü è òåíçîð âèäà
•
Ïîäóìàéòå êàêîé èçè÷åñêèé ñìûñë èìåþò êîìïîíåíòû
äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ñêàëÿðíîãî
T (x).
∆Tµν ≡ [∂µ ∂ν − ηµν ∂α ∂ α ] T
T ij , i = 1, 2, 3
ÒÝÈ?
T ij
íàçûâàåòñÿ òåíçîðîì íàïðÿæåíèé Ìàêñâåëëà. Îáðàòèòå âíèìàíèå, ÷òî
∂ i
S + ∂ j Tji
c ∂t
0 = ∂ µ Tµi = ∂ 0 T0i + ∂ j Tji =
òîæå îïðåäåëÿåò òðè óðàâíåíèÿ íåïðåðûâíîñòè.
•
Ïðîñòåéøåå äåéñòâèå äëÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ
φ,
êîòîðîå èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî
ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà, èìååò ñëåäóþùèé âèä:
S=
ãäå
V (φ)
Z
1
µ
∂µ φ∂ φ − V (φ) ,
dx
2
4
ïðîèçâîëüíûé ïîëèíîì îò
φ.
Íàéäèòå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ è òåíçîð
ýíåðãèèèìïóëüñà ñëåäóþùèé èç ýòîãî äåéñòâèÿ. ×òî ÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþ ýíåðãèè,
à ÷òî ÿâëÿåòñÿ àíàëîãîì âåêòîðà Ïîéíòèíãà â ýòîì ñëó÷àå?
78
Ýëåêòðî è ìàãíåòîñòàòèêà, äèïîëüíûé è êâàäðóïîëüíûé ìîìåíòû, ìóëüòèïîëüíîå ðàçëîæåíèå, ìàãíèòíûé
äèïîëüíûé ìîìåíò.
Ëåêöèÿ VIII;
1. Íà÷èíàÿ ñ ýòîé ëåêöèè,
ìû áóäåì ðåøàòü óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà:
∂µ F µν =
îòíîñèòåëüíî
Aµ
ïðè çàäàííîì
jν .
4π ν
j
c
Íà÷íåì ìû ñî ñòàòè÷åñêèõ ïîëåé, ñîçäàâàåìûõ ëèáî
ñòàòè÷åñêèìè çàðÿäàìè, ëèáî æå ñòàöèîíàðíûìè òîêàìè.
Äëÿ íà÷àëà îáñóäèì îáùèå ñâîéñòâà ðàññìàòðèâàåìîãî óðàâíåíèÿ. Ïîäñòàâèì â íåãî
Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ :
4π ν
j .
c
~2 =
− ∆, ãäå ∆ ≡ ∇
∂µ (∂ µ Aν − ∂ ν Aµ ) ≡ ∂µ ∂ µ Aν − ∂ ν ∂µ Aµ =
~ 2 = 12 ∂ 22
∂µ ∂ µ ≡ = ∂02 − ∇
c ∂t
îïåðàòîð íàçûâàåòñÿ îïåðàòîðîì
 ïîëó÷åííîì óðàâíåíèè
îïåðàòîð Ëàïëàñà. À
∂2
∂x2
2
2
∂
∂
+ ∂y
2 + ∂z 2
ä'Àëàìáåðà.
Ïîëó÷åíííîå óðàâíåíèå âûãëÿäèò äîâîëüíî ñëîæíî. Îäíàêî ó íàñ åñòü íåêîòîðàÿ ñâî′
áîäà â âûáîðå Aµ , ñâÿçàííàÿ ñ êàëèáðîâî÷íîé èíâàðèàíòíîñòüþ Aµ = Aµ − ∂µ α. Ïîäáåðåì
µ ′
µ
µ
µ
µ
óíêöèþ α(t, x, y, z) òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ∂ Aµ ≡ ∂ Aµ − ∂ ∂µ α = 0, ò.å. ∂ ∂µ α = ∂ Aµ .
 ðàññìàòðèâàåìûõ çäåñü óñëîâèÿõ, äëÿ ëþáîãî íàïåðåä çàäàííîãî
áðàòü òàêóþ
α.
Aµ
âñåãäà ìîæíî ïîäî-
Íèæå ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü âåêòîð ïîòåíöèàë, óäîâëåòâîðÿþùèé ýòîìó
óñëîâèþ, è îïóñòèì øòðèõ â åãî áîçíà÷åíèè.
Óñëîâèå
∂µ Aµ = 0,
(111)
èêñèðóþùåå êàëèáðîâî÷íóþ ñâîáîäó, íàçûâàåòñÿ êàëèáðîâêîé Ëîðåíöà. Åñëè âûáðàòü
âåêòîð ïîòåíöèàë, óäîâëåòâîðÿþùèé ýòîìó óñëîâèþ, òî âòîðàÿ ïàðà óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà, çàïèñàííàÿ êàê óðàâíåíèå íà
Aµ ,
ñâåäåòñÿ ê:
Aν =
4π ν
j .
c
(112)
Íàïîìíþ, ÷òî â ïåðâîé ëåêöèè ìû ïîëó÷èëè àíàëîãè÷íîå 2ìåðíîå óðàâíåíèå:
φ(t, x) ≡
∂2
1 ∂2
−
c̄2 ∂t2 ∂x2
φ(t, x) = 0,
îïèñûâàþùåå çâóêîâûå âîëíû â êðèñòàëëå.  ñëó÷àå ýëåêòðîäèíàìèêè ìû èìååì äåëî,
âîîáùå ãîâîðÿ, ñ ÷åòûðüìÿ óðàâíåíèÿìè äëÿ êàæíîãî
ν = 0, 1, 2, 3.
À òàê æå ñ ïðàâîé
ñòîðîíû óðàâíåíèÿ (112) èìååòñÿ èñòî÷íèê, îòâå÷àþùèé ýëåêòðè÷åñêîìó òîêó. Çàìå÷ó,
÷òî äëÿ ïîëÿ
φ(t, x)
òîæå ìîæíî äîáàâèòü èñòî÷íèê ñ ïðàâîé ñòîðîíû ñîîòâåòñòâóþùåãî
óðàâíåíèÿ. Ôèçè÷åñêèé ñìûñë òàêîãî èñòî÷íèêà ñîñòîèò êàê ðàç â òîì, ÷òî ìû ìîæåì äèñëîöèðîâàòü øàðèêè èç èõ ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Äåéñòâèòåëüíî, äåéñòâèå âíåøíåé ñèëû
79
íà i-é øàðèê íà
φi (t)
(èëè æå íà
φ(t, x) â íåêòîðîðîé
ñòîðîíå ðàññìàòðèâàåìîãî óðàâíåíèÿ â âèäå èñòî÷íèêà.
2.
x) ïðîÿâëÿåòñÿ íà ïðàâîé
Ïîêàæèòå ýòî ñàìîñòîÿòåëüíî.
òî÷êå
Íàéäåì êàêîå ïîëå ñîçäàåò ïîêîÿùèéñÿ â íà÷àëå êîîðäèíàò òî÷å÷íûé çàðÿä. Åñòü
ìíîãî ñïîñîáîâ ðåøèòü ýòó çàäà÷ó. Ìû âûáåðåì íå ñàìûé ïðîñòîé, íî óíäàìåíòàëüíûé
ñïîñîá. Îí äàñò íàì ìåòîä ðåøåíèÿ àíàëîãè÷íûõ áîëåå ñëîæíûõ çàäà÷.
Ìèðîâàÿ ëèíèÿ çàðÿäà, êîãäà îí ïîêîèòñÿ â íà÷àëå êîîðäèíàò, èìååò âèä
(t, 0, 0, 0).
Ïîýòîìó êîìïîíåíòû òîêà ñëåäóþùèå:
0
j = ec
ò.ê.
z µ (t) =
~z(t) ≡ 0.
Ïðè ýòîì
Z
dt
~j = 0
dz 0
δ x0 − z 0 δ (3) [~x − ~z(t)] = e c δ (3) (~x),
dt
îïÿòü æå ïîòîìó ÷òî
÷àñòíîå ðåøåíèå íåîäíîðäíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé:
~z(t) ≡ 0.
Èòàê, ìû äîëæíû íàéòè
A0 = 4 π e δ (3) (~x),
~ = 0.
A
Íàñ èíòåðåñóåò ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû óðàâíåíèé ñ ãðàíè÷íûì óñëîâèåì, ÷òî
Aµ
ðàâíî
íóëþ íà ïðîñòðàíñòâåííîé áåñêîíå÷íîñòè. (ßñíî, ÷òî òî÷å÷íûé çàðÿä ñîçäàåò íóëåâîå
ïîëå î÷åíü äàëåêî îò åãî ïîëîæåíèÿ.) Òîãäà âèäíî, ÷òî òî÷å÷íûé ïîêîÿùèéñÿ çàðÿä íå
ñîçäàåò ïîëå
~.
A
Ò.å. ðåøåíèå âòîðîãî óðàâíåíèÿ
~ = 0.
A
 ñëåäóþùåé ëåêöèè ìû áóäåì
ν
îáñóæäàòü íåíóëåâûå ðåøåíèÿ îäíîðîäíûõ óðàâíåíèé (ïðè j = 0), íî îíè íå ñîçäàþòñÿ
èñòî÷íèêàìè íà ïðàâîé ñòîðîíå òàêèõ óðàâíåíèé, à ñóùåñòâóþò áåç èñòî÷íèêîâ. È îíè íå
ðàâíû íóëþ íà áåñêîíå÷íîñòè.
~ ≡ rotA
~ = 0 ïîêîÿùèéñÿ
B
0
Óðàâíåíèå æå íà A ≡ ϕ èìååò âèä:
Èòàê, â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå,
ñîçäàåò ìàãíèòíîãî ïîëÿ.
Èç êàëèáðîâî÷íîãî óñëîâèÿ
1 ∂2ϕ
− ∆ϕ = 4 π e δ (3) (~x).
c2 ∂t2
~ =0
~ =0èA
∂µ Aµ ≡ ∂t ϕ − ∂~ A
ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä íå
ñëåäóåò, ÷òî
ϕ
íå çàâèñèò îò
âðåìåíè. Ñëåäîâàòåëüíî, ìû äîëæíû ðåøàòü óðàâíåíèå Ïóàññîíà:
∆ϕ = −4 π e δ (3) (~x).
(113)
àçëîæèì ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ â èíòåãðàë Ôóðüå:
ϕ(~x) =
ãäå
ϕ̃(~k)
Ôóðüå ãàðìîíèêè ïîëÿ
Z
d3 k i ~k ~x ~
e ϕ̃(k),
(2 π)3
ϕ(~x).
(114)
Ìàòåìàòè÷åñêèé ñìûñë ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå
ÿ îáñóæäàþ â êîíöå ýòîé ëåêöèè. Ñåé÷àñ æå òîëüêî çàìå÷ó, ÷òî íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî
~
3
ei k ~x êîìïëåêñíàÿ óíêöèÿ,
ðåóëüòàò
åå èíòåãðèðîâàíèÿ ïî d k ÿâëÿåòñÿ äåéñòâèòåëüíîé
óíêöèåé
ϕ(~x), òàê êàê ϕ̃∗ ~k = ϕ̃ −~k
, êàê ñëåäóåò èç îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå.
Äàëåå âñïîìíèì, ÷òî
80
(3)
δ (~x) ≡ δ(x) δ(y) δ(z) =
Z
dkx i kx x
e
2π
Z
dky i ky y
e
2π
Z
dkz i kz z
e
=
2π
Z
d3 k i ~k ~x
e .
(2 π)3
Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå Ïóàññîíà ñâîäèòñÿ ê:
Çäåñü
ãðàëà
Z
d3 k i ~k ~x
d3 k i ~k ~x ~
e
ϕ̃(
k)
=
−4
π
e
e .
∆
(2 π)3
(2 π)3
îïåðàòîð Ëàïëàñà äåéñòâóåò òîëüêî íà ~
x, ïîýòîìó åãî ìîæíî
i ~k ~
x
:
è ïðèìåíèòü ïðÿìî ê óíêöèè e
i ~k ~
x
∆e
Z
i kl xl
≡ ∂j ∂j e
âíåñòè ïîä çíàê èíòå-
∂xn i kl xl
e
= ∂j i kn δnj ei kl xl =
∂j (i kn xn ) = ∂j i kn
∂xj
~
~
= i kj ∂j ei kl xl = (i kj i kj ) ei kl xl = −kj kj ei k ~x = −~k 2 ei k ~x .
i kl xl
= ∂j e
Ïîýòîìó ðàññìàòðèâàåìîå óðàâíåíèå ñâîäèòñÿ ê
Íî ò.ê. íàáîð ãàðìîíèê
~
ei k ~x
Z
~
d3 k k 2 ϕ̃(k) − 4 π e ei k ~x = 0.
ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì áàçèñîì â ïðîñòðàíñòâå óíêöèé, òî ýòî
ðàâåíñòâî ìîæåò áûòü âåðíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
k 2 ϕ̃(k) − 4 π e = 0.
Êàê ìû âèäèì, ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå, ëèíåéíîå äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ñâåëîñü ê ïðîñòîìó àëãåáðàè÷åñêîìó óðàâíåíèþ.  ýòîì è áûë ñìûñë ïðèìåíåíèÿ ïðåîáðàçî2
âàíèÿ Ôóðüå. Çíàÿ ðåøåíèå ϕ̃(k) = 4 π e/k ðàññìàòðèâàåìîãî àëãåáðàè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ,
ìû ìîæåì íàéòè èñêîìîå ðåøåíèå èñõîäíîãî äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ:
φ(x) = 4 π e
Z
~
d3 k ei k ~x
.
(2 π)3 k 2
×òîáû âû÷èñëèòü ïîëó÷åííûé èíòåãðàë, âûáåðåì â ïðîñòðàíñòâå
~k
ñåðè÷åñêóþ ñèñòåìó
êîîðäèíàò:
kx
ky
kz
k
è íàïðàâèì îñü
Z
~
Z
k cos φ sin θ,
k sin φ sin θ
k cos θ
[0, +∞), φ ∈ [0, 2 π),
âäîëü âåêòîðà
Z
~x.
θ ∈ [0, π]
Òîãäà
Z
Z +∞ Z 1
ei k x cos θ
dθ sin θ
dφ
= 2π
dk k
dk
d cos θ ei k x cos θ =
2
k
0
0
0
0
−1
Z +∞
Z
Z +∞
4π
sin k x
sin κ
4 π +∞
1
ikx
−i k x
dk
dκ
e
−e
=
=
,
= 2π
dk
ikx
x 0
k
x 0
κ
0
ei k ~x
dk 2 =
k
3
kz
=
=
=
∈
+∞
2
π
2π
81
ãäå
κ = k x.
 ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå ìû ïîëó÷àåì òàáëè÷íûé èíòåãðàë, èçâåñòíûé âàì
R +∞
dκ sinκ κ = π2 . Ñîáèðàÿ âñå ïîëó÷åííûå
0
îðìóëû âìåñòå, ïîëó÷àåì, ÷òî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà èìååò âèä
èç êóðñà ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Îí ðàâåí
e
|~x|
ϕ(x) =
(115)
è îïðåäåëÿåò ïîòåíöèàë Êóëîíà. Äåéñòâèòåëüíî, ìû çíàåì, ÷òî ïîêîÿùèéñÿ òî÷å÷íûé
çàðÿä äîëæåí ñîçäàâàòü ñòàòè÷åñêîå ïîëå Êóëîíà.  ýòîì ñëó÷àå óðàâåíèÿ Ìàêñâåëëà
èìåþò òî÷íîå ðåøåíèå.
Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì,
N
çàðÿäîâ, çàèêñèðîâàííûõ â òî÷êàõ
~rq , q = 1, . . . , N
ïðèâî-
äÿò ê óðàâíåíèþ:
∆ϕ = −4 π
N
X
q=1
eq δ (3) (~x − ~rq ),
(116)
ðåøåíèå êîòîðîãî èìååò âèä
ϕ(~x) =
N
X
q=1
eq
.
|~x − ~rq |
(117)
Çàìå÷ó, ÷òî ïîëó÷åííîå ðåøåíèå èçè÷åñêè îñìûñëåííî, åñëè çàðÿäû èêñèðîâàííû â
ñâîèõ ïîëîæåíèÿõ êàêèìè-òî âíåøíèìè ñèëàìè. Èíà÷å, ïîä äåéñòâèåì ñèë âçàèìîäåéñòâèÿ
ìåæäó íèìè, îíè áû íà÷àëè äâèãàòüñÿ. Èõ ìèðîâûå ëèíèè îïðåäåëÿëèñü áû ðåøåíèÿìè
duµ
q
= ecq Fνµ uνq , ãäå Fµν ÝÌ ïîëå ñîçäàâàåìîå ñàìèìè æå çàðÿäàìè.
óðàâíåíèé: mq c
dsq
åøåíèÿ òàêîé ñèñòåìû óðàâíåíèé íå îòâå÷àëè áû ïîêîÿùèìñÿ çàðÿäàì. Ò.å. ïðàâàÿ ÷àñòü
â óðàâíåíèè Ïóàññîíà èìåëà áû íå ñòàòè÷åñêèå èñòî÷íèêè. ß âñå ýòî îòìåòèë äëÿ òîãî,
÷òîáû ïîä÷åðêíóòü, ÷òî çàìêíóòàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé, îïèñûâàþùàÿ íåñêîëüêî ÷àñòèö
âìåñòå ñ ÝÌ ïîëåì, íå èìååò òî÷íîãî ðåøåíèÿ â îòëè÷èè îò ñèòóàöèè ñ îäíèì òî÷å÷íûì
çàðÿäîì.
3.
àññìîòðèì êàê âûãëÿäèò ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå, ñîçäàâàåìîå ñèñòåìîé ñòàòè÷åñêèõ
çàðÿäîâ, íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàçìåðàìè ýòîé ñèñòåìû:
ϕ(R) =
N
X
eq
~ − ~rq
R
q=1
.
Âûáåðåì öåíòð ÑÊ âíóòðè ñèñòåìû çàðÿäîâ. Òîãäà, ò.ê. öåíòð ÑÊ íàõîäèòñÿ âíóòðè ñèñòåìû çàðÿäîâ, à ðàçìåðû ýòîé ñèñòåìû ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñ
Ïîýòîìó âñå ÷ëåíû â ñóììå, îïðåäåëÿþùåé
ñòåïåíÿì
~rq .
~ ≡ ∂/∂ R
~.
∇
X eq
q
~ 1
− eq ~rq ∇
R
R
Ñëåäîâàòåëüíî â ëèíåéíîì ïîðÿäêå
82
òî
R ≫ |~rq |, ∀q .
ìîæíî ðàçëîæèòü â ðÿä Òåéëîðà ïî
Ïðèðàçëîæåíèè äî ëèíåéíîãî ÷ëåíà, ìû èìååì:
ϕ(R) ≈
ãäå
ϕ(R),
~ ≡ R,
|R|
,
ϕ(R) ≈
Çäåñü
P
q
eq = Q
P
X
q eq
−
R
eq ~rq
q
!
~ 1.
∇
R
(118)
ïîëíûé çàðÿä ñèñòåìû, à
d~ ≡
N
X
eq ~rq
(119)
q=1
äèïîëüíûé ìîìåíò ñèñòåìû çàðÿäîâ.
~ íå çàâèñèò îò âûáîðà íà÷àëà ÑÊ. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè
òî âåëè÷èíà d
ñäâèíóòü íà÷àëî ÑÊ ~
rq′ = ~rq +~a, ∀q , òî âåêòîð äèïîëüíîãî ìîìåíòà èçìåíèòñÿ ñëåäóþùèì
îáðàçîì:
Åñëè
Q = 0,
d~′ =
X
eq (~rq + ~a) =
q
X
eq ~rq + ~a
q
X
~
eq = d~ + 0 = d.
q
Åñëè ïîëíûé çàðÿä ñèñòåìû ðàâåí íóëþ, òî ïðè áîëüøèõ
~
ϕ(1) (R) = −d~ ∇
1
=
R
~R
~
d,
R3
R
ïîòåíöèàë èìååò âèä
,
(120)
à íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ ðàâíà
~ = −∇
~
E
ãäå
~ R
~
d,
R3
=
3 ~n, d~ ~n − d~
R3
,
(121)
~ .
~n = R/R
àçëîæèì òåïåðü
ϕ(R)
~rq . Òîãäà
!
X
1
∂2
,
eq xiq xjq
i ∂X j R
∂X
q
äî âòîðîé ñòåïåíè ïî
ϕ(2) (R) =
1
2
~ . Âûðàæåíèå
xiq , i = 1, 2, 3 êîîðäèíàòû âåêòîðà ~rq , à X i êîîðäèíàòû âåêòîðà R
i j
(2)
q eq xq xq ñèììåòðè÷íûé 3 × 3 òåíçîð ñ èíäåêñàìè i, j . Ñëåäîâàòåëüíî íàèâíî ϕ (R)
2
3 (3+1)
= 6 íåçàâèñèìûõ êîìïîíåíò ýòîãî òåíçîðà. Îäíàêî, ∆ R1 = δij ∂X∂i ∂X j R1 =
çàâèñèò îò
2
0, âåäü â ñèëó òîãî, ÷òî ìû ñìîòðèì íà ñèñòåìó ñ áîëüøèõ ðàññòîÿíèé R 6= 0. Ïîýòîìó
çäåñü
P
ìîæíî ïðåäñòàâèòü
1 2 ij
∂2
1
1 X
i j
eq xq xq − ~rq δ
,
ϕ (R) =
i
j
2 q
3
∂X ∂X R
P
i j
ãäå òåíçîð Dij =
r 2 δ ij íàçûâàåòñÿ êâàäðóïîëüíûì ìîìåíòîì ñèñòåìû.
q eq 3 xq xq − ~
Èç åãî îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî åãî ñëåä Djj = 0, ò.å. ýòî ñèììåòðè÷íûé òåíçîð ñ 5-þ
(2)
íåçàâèñèìûìè êîìïîíåíòàìè. Òàêèì îáðàçîì:
83
ϕ(2) (R) =
∂2
Dij ni nj
1
Dij
=
.
6 ∂X i ∂X j R
2 R3
Ïðè äàëüíåéøåì ðàçëîæåíèè ïî ñòåïåíÿì
ϕ(R),
4.
~rq
(122)
âûðàæåíèÿ ïîä çíàêîì ñóììû â îïðåäåëåíèè
ìû ïîëó÷àåì ìóëüòèïîëüíûå ìîìåíòû ñèñòåìû çàðÿäîâ.
àññìîòðèì òåïåðü òàêóþ æå ñèñòåìó çàðÿäîâ âî âíåøíåì ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå. Åå
ïîëíàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ðàâíà:
U=
X
eq ϕ(rq ).
q
Âûáåðåì íà÷àëî ÑÊ âíóòðè ñèñòåìû çàðÿäîâ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âíåøíåå ïîëå ñëàáî ìåíÿåòñÿ âíóòðè ñèñòåìû, ò.å. ÿâëÿåòñÿ ñëàáî íåîäíîðîäíûì.
Òîãäà ìîæíî ðàçëîæèòü
U=
X
q
ãäå
ϕ(rq )
ïî ñòåïåíÿì
~
eq ϕ(0) + eq ~rq ∇ϕ(0)
+ ...
~ 0 = −∇ϕ(0)
~
E
~rq
= ϕ(0)
âîêðóã íóëÿ. Ïîëó÷àåì:
X
eq +
q
X
q
eq ~rq
!
~
∇ϕ(0)
+··· =
~
~
= ϕ(0) Q − E0 , d + . . . ,
ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå â íà÷àëå ÑÊ.
Òàêèì îáðàçîì, ïîëíàÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà ñèñòåìó, ðàâíà:
~
~
~
~
~
~
F = −∇U = E0 Q + ∇ d, E0 + . . . ,
(123)
à ïîëíûé ìîìåíò ñèëû, äåéñòâóþùåé íà ñèñòåìó, ðàâåí
~ ≈
K
Ñëåäóþùèé ÷ëåí â ðàçëîæåíèè
i h
i
Xh
~ 0 = d~ × E
~0 .
~rq × eq E
U
ðàâåí:
U (2) =
Ò.ê.
ϕ
(124)
q
∂ 2 ϕ(0)
1 X
eq xiq xjq
.
2 q
∂X i ∂X j
óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Ëàïëàñà, âåäü åãî èñòî÷íèê íàõîäèòñÿ äàëåêî îò íà÷àëà
2ϕ
= 0, òî
∆ϕ = δij ∂X∂i ∂X
j
ÑÊ, íàõîäÿùåãîñÿ âíóòðè ñèñòåìû çàðÿäîâ, ò.å.
U
(2)
1 2
Dij ∂ 2 ϕ(0)
1 ∂ 2 ϕ(0) X
i j
eq xq xq − ~rq δij =
.
=
2 ∂Xi ∂Xj q
3
6 ∂Xi ∂Xj
Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî îáùèé ÷ëåí â ðàçëîæåíèè
rq
ìîæåò áûòü âûðàæåí ÷åðåç ìóëüòèïîëüíûå ìîìåíòû.
84
U =
P
q
eq ϕ(rq )
(125)
ïî ñòåïåíÿì
5. àññìîòðèì òåïåðü äâå ñèñòåìû çàðÿäîâ ñ îáùèìè çàðÿäàìè ðàâíûìè íóëþ Q1,2 = 0,
íî ñ íåíóëåâûìè äèïîëüíûìè ìîìåíòàìè
d~1,2 6= 0.
Ïóñòü ðàññòîÿíèå ìåæäó ýòèìè ñèñòå-
ìàìè âåëèêî ïî ñðàâíåíèþ ñ èõ ðàçìåðàìè. Íàñ èíòåðåñóåò ëèäèðóþùèé âêëàä â ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ èõ âçàèìîäåéñòâèÿ. Ìîæíî ðàññìîòðåòü ñèòóàöèþ ñ òàêîé òî÷êè çðåíèÿ,
÷òî îäíà èç ñèñòåì çàðÿäîâ íàõîäèòñÿ â ïîëå ñîçäàííîì äðóãîé:
ñîçäàííîå
d~1 .
Ò.å. îòâåò ñëåäóþùèé:
U≈
~ 1,
U = −d~2 E
~
~
d~1 , d~2 R2 − 3 d~1 , R
d~2 , R
R5
ãäå
~1
E
ïîëå,
(126)
ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ äâóõ äèïîëåé. Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîëó÷èòü
ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó äâóìÿ ëþáûìè ìóëüòèïîëüíûìè ìîìåíòàìè.
6.
Ïåðåéäåì òåïåðü ê îáñóæäåíèþ ñòàòè÷åñêèõ ìàãíèòíûõ ïîëåé. Íàéäåì ìàãíèòíîå
ïîëå, ñîçäàâàåìîå çàðÿäàìè, ñîâåðøàþùèìè èíèòíîå äâèæåíèå. Òàêîå äâèæåíèå èìååò ñòàöèîíàðíûé Dõàðàêòåð
è ïîýòîìó ìîæíî ðàññìîòðåòü ñðåäíåå ïî âðåìåíè çíà÷åíèå
E
ìàãíèòíîãî ïîëÿ
~
B
. Òîêè, ñîçäàþùèå òàêîå íå çàâèñÿùåå îò âðåìåíè ïîëå, áóäóò óíê-
öèÿìè òîëüêî êîîðäèíàò, íî íå âðåìåíè.
Ìàãíèòíîå ïîëå, ñîçäàâàåìîå òîêàìè, ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèé:
~ = rot A,
~
B
~
~ = 1 ∂ E + 4 π ~j.
rot B
c ∂t
c
Óñðåäíÿÿ èõ ïî âðåìåíè, ïîëó÷àåì:
D E
D E
~
~ ,
B = rot A
D E 4π D E
~ =
~j ,
rot B
c
ò.ê. ñðåäíåå D
ïî âðåìåíè
ïðîèçâîäíîé îò âåëè÷èíû, ìåíÿþùåéñÿ â êîíå÷íûõ ïðåäåëàõ,
E
~
∂E
ðàâíî íóëþ:
= 0.
∂t
Òîãäà óðàâíåíèå íà ñðåäíåå îò âåêòîð ïîòåíöèàëà èìååò âèä:
~ − ∆A
~ = 4 π ~j.
grad div A
c
Äëÿ óïðîùåíèÿ îðìóë, ìû íå âûïèñûâàåì äàëåå çíàê óñðåäíåíèÿ, èìåÿ åãî ââèäó. Íà
ïðàâîé ñòîðîíå ïîñëåäíåé îðìóëû òîê
~j
íå çàâèñèò îò âðåìåíè.
Äëÿ óïðîùåíèÿ ïîñëåäíåé îðìóëû, èñïîëüçóåì ïðîèçâîë, ñâÿçàííûé ñ êàëèáðîâî÷íîé
èíâàðèàíòíîñòüþ, ÷òîáû çàèêñèðîâàòü Êóëîíîâñêóþ êàëèáðîâêó:
~ = 0.
div A
Òîãäà óðàâíåíèå íà
~
A
óïðîùàåòñÿ äî:
85
(127)
~=−
∆A
4π~
j.
c
Ìû çíàåì, ÷òî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà
∆
Ëàïëàñà
äåéñòâóåò òîëüêî íà
~x,
~r
à
èãðàåò
(128)
∆ϕ (~x − ~r) = −4 π δ (3) (~x − ~r), ãäå îïåðàòîð
1
ðîëü ïàðàìåòðà, èìååò âèä ϕ (~
x − ~r) = |~x−~
.
r|
Ýòî çíàíèå ïîìîãàåò íàì íàéòè ÷àñòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (128):
1
~
A(x)
=
c
Z
~j(r) 3
d r.
|~x − ~r|
(129)
Äåéñòâèòåëüíî:
1
∆x
c
Z
Z
Z
~j(r) 3
1
1
4π
3
~
~j(r) δ (3) (~x − ~r) d3 r = − 4 π ~j(x),
d r=
j(r) ∆x
d r=−
|~x − ~r|
c
|~x − ~r|
c
c
ãäå ó÷òåíî, ÷òî
ïî
r.
∆x
äåéñòâóåò òîëüêî íà
Çíàÿ âåêòîðíûé ïîòåíöèàë
~ = rot A
~ = rot 1
B
c
~ ,
A(x)
Z
~x è ïîýòîìó
åãî ìîæíî âíåñòè ïîä çíàê èíòåãðàëà
ìû ìîæåì íàéòè ìàãíèòíîå ïîëå
~j(r) 3
1
d r=
|~x − ~r|
c
çàêîí ÁèîÑàâàðà.
7. Åñëè ìû èìååì N
òî÷å÷íûõ çàðÿäîâ,
h
i
~j × (~x − ~r)
Z
j(x) =
òî ~
|~x − ~r|
3
DP
N
~:
B
d3 r
(130)
E
(3)
˙
rq (t) δ [~x − ~rq (t)] ,
q=1 eq ~
ãäå ìû
ïîäðàçóìåâàåì óñðåäíåíèå ïî âðåìåíè. Ñëåäîâàòåëüíî ñîçäàâàåìîå èìè ïîëå ðàâíî:
D
E
1
~
A(x)
=
c
Z
d3 r
|~x − ~r|
* N
X
q=1
eq ~r˙q (t) δ (3) [~r − ~rq (t)]
+
N
1 X
=
c q=1
*
eq ~r˙q (t)
|~x − ~rq (t)|
+
.
àññìîòðèì ñðåäíåå ïîëå, ñîçäàâàåìîå ñèñòåìîé ñòàöèîíàðíî äâèæóùèõñÿ çàðÿäîâ, íà
áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ îò ýòîé ñèñòåìû:
D
E
1
~
A(R)
=
c
*
eq ~r˙q
~ − ~rq
R
X
q
+
.
Âûáåðåì íà÷àëî ÑÊ âíóòðè ñèñòåìû òîêîâ. Òîãäà âûðàæåíèå ïîä ñóììîé ìîæíî ðàçëîæèòü ïî ñòåïåíÿì
~rq .
D
 ëèäèðóþùåì ïîðÿäêå èìååì:
E
1
~
A(R)
≈
cR
*
X
q
eq ~r˙q
+
1
−
c
*
X
Ïåðâûé èç ýòèõ âêëàäîâ ìîæíî ïåðåïèñàòü êàê
+
1
~
.
eq ~r˙q ~rq , ∇
R
q
DP
E
E
D P
d
˙
rq = dt q eq ~rq .
q eq ~
Íî ñðåäíåå
ïî âðåìåíè çíà÷åíèå ïðîèçâîäíîé îò âåëè÷èíû, êîòîðàÿ ìåíÿåòñÿ â êîíå÷íîì èíòåðâàëå,
ðàâíî íóëþ. Ñëåäîâàòåëüíî:
86
D
Ò.ê.
~
R
E
1
~
A(R)
≈−
c
*
X
q
~ 1
eq ~r˙q ~rq , ∇
R
+
1
=
c R3
*
X
q
+
~
eq ~r˙q ~rq , R
.
íå çàâèñèò îò âðåìåíè, òî
X
q
i
X
X h
~ +1
~ − ~rq ~r˙q , R
~ .
~ ~rq d~rq = 1 d
eq ~rq ~rq , R
eq ~r˙q ~rq , R
eq R,
dt
2 dt q
2 q
Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëîæèâ
D
hd/dt . . . i = 0,
E
~
A(R)
=
èìååì
E D
Ei
1 X hD ˙
˙
~
~
e
~
r
~
r
,
R
−
~
r
~
r
,
R
.
q
q
q
q
q
2 c R3 q
Ââåäåì âåêòîð ìàãíèòíîãî ìîìåíòà ñèñòåìû:
*
+
h
i
X
1
eq ~rq × ~r˙q
.
m
~ =
2c
q
(131)
h
i
~
D
E
m
~ ×R
1
~ ×m
~
= ∇
~ .
A(R)
=
R3
R
(132)
Òîãäà
Çíàÿ
D
~
A(R)
E
, íåòðóäíî íàéòè ìàãíèòíîå ïîëå:
ãäå, êàê îáû÷íî,
D
~ .
~n = R/R
E 3 ~n (m,
~ ~n) − m
~
~
,
B(R)
=
3
R
(133)
Åñëè äëÿ âñåõ ÷àñòèö, âõîäÿùèõ â ñèñòåìó, îòíîøåíèå çàðÿäà ê ìàññå
eq /mq = e/m
îäèíàêîâî, òî
1
m
~ ≡
2c
*
X
q
+
h
i
eq ~rq × ~r˙q
=
Òåïåðü, åñëè ñêîðîñòè âñåõ çàðÿäîâ ìàëû
m
~ =
ãäå
~,
M
~
M
e
2mc
~r˙q ≪ c,
òî
*
X
q
+
h
i
mq ~rq × ~r˙q
.
mq ~r˙q = p~q .
Ñëåäîâàòåëüíî
e ~
e X
h[~rq × p~q ]i =
M,
2mc q
2mc
ìåõàíè÷åñêèé ìîìåíò ñèñòåìû, à îòíîøåíèå ìîäóëÿ âåêòîðà
ò.å.
e/2 m c
(134)
m
~ ê ìîäóëþ âåêòîðà
â íàøåì ñëó÷àå, íàçûâàåòñÿ ãèðîìàãíèòíûì îòíîøåíèåì.
87
8. àññìîòðèì ñèñòåìó çàðÿäîâ âî âíåøíåì ïîñòîÿííîì ìàãíèòíîì ïîëå. Ñðåäíÿÿ ñèëà,
äåéñòâóþùàÿ íà ñèñòåìó, ðàâíà
iE
D E X e Dh
q
~
~r˙q × B
=
F~ =
c
q
*
+
i
d X eq h
~
~rq × B
= 0.
dt q c
Ïðè ýòîì ñðåäíåå çíà÷åíèå ìîìåíòà ñèë ðàâíî:
h
iiE
D E X e Dh
q
˙
~
~
~rq × ~rq × B
6= 0.
K =
c
q
Íî
~ =
K
ïîýòîìó
o X e
1
X eq n
d 2
q
˙~rq ~rq , B
˙
~
~ −B
~ ~r˙q , ~rq
~
=
~rq ~rq , B − B ~rq ,
c
c
2 dt
q
q
E
E D
Eo
D E Xe D
1 X nD ˙
q
~
~
~
~ =
eq ~rq ~rq , B
~r˙q ~rq , B
=
− ~rq ~r˙q , B
,
K
c
2c q
q
ãäå âDïîñëåäíåì
ðàâåíñòâå ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåì æå òðþêîì, ÷òî è ïðè âûâîäå îðìóëû
E
~
A
äëÿ
âûøå. Òàêèì îáðàçîì:
D E h
i
~
~
K = m
~ ×B .
(135)
àññìîòðèì âðàùåíèå ìåõàíè÷åñêîãî ìîìåíòà ñèñòåìû ïîä äåéñòâèåì âíåøíåãî ìîìåíòà
ñèë:
Ïóñòü òåïåðü îòíîøåíèå çàðÿäà
D E h
i
~
dM
~ = m
~ .
≡ K
~ ×B
dt
ê ìàññå, eq /mq , äëÿ âñåõ
÷àñòèö ñèñòåìû èìååò îäíî è òî
æå çíà÷åíèå. Òîãäà
~ ≡
Ω
h
i
dm
~
~ ×m
=− Ω
~ ,
dt
(136)
e
~ ÷àñòîòà Ëàðìîðà. Ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå îïðåäåëÿåò
B
2mc
ïðåöåññèþ ìàãíèòíîãî ìîìåíòà ñèñòåìû âî âíåøíåì ìàãíèòíîì ïîëå.
ãäå
9. Àïïåíäèêñ. Î ìàòåìàòè÷åñêîì ñìûñëå ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå.
Íå ïðåòåí-
äóÿ íà ìàòåìàòè÷åñêóþ ñòðîãîñòü, ïîÿñíèì ñìûñë ðàçëîæåíèÿ Ôóðüå. Îíî ïðåäñòàâëÿåò
3
ñîáîé ðàçëîæåíèå óíêöèè ïî ïîëíîìó áàçèñó óêöèé íà ïðîñòðàíñòâå R (â ðàññìàòðèâàåìîì íàìè ñëó÷àå). Äåëî â òîì, ÷òî ïðîñòðàíñòâî óíêöèé íà íåêîòîðîì ìíîãîîáðàçèè
ÿâëÿåòñÿ (áåñêîíå÷íîìåðíûì è äàæå êîíòèíóàëüíûì) âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì, â êîòî3
ðîì ìîæíî ââåñòè áàçèñ. Óäîáíûì áàçèñîì â ïðîñòðàíñòâå óíêöèé íà R ÿâëÿåòñÿ íàáîð
i ~k ~
x
ïëîñêèõ âîëí e
äëÿ âñå âîçìîæíûõ ~
k , êîòîðûå êàê áû íóìåðóþò âåêòîðà â áàçèñå. àññìàòðèâàåìûé áàçèñ îðòîíîðìèðîâàí:
88
Z
d3 x −i ~k ~x i ~k′ ~x
e
e
= δ (3) (~k − ~k ′ )
(2 π)3
Z
d3 k −i ~k ~x i ~k ~x′
e
e
= δ (3) (~x − ~x′ ).
3
(2 π)
è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ ïîëíîòû:
Ïîÿñíèì âñå ýòî íà ïðèìåðå îáû÷íîãî âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà. Dìåðíûé Âåêòîð
íî ðàçëîæèòü ïî ïîëíîìó îðòîíîðìèðîâàííîìó áàçèñó
~v =
P
~v ìîæ-
~ea , a = 1, . . . D î÷åâèäíûì îáðàçîì
áàçèñ îðòîíîðìèðîâàí, òî (~
ea , ~eb ) = δab , à â ñèëó ñâîåé
P i j
ij
ïîëíîòû, îí óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ:
a ea ea = δ . Èç óñëîâèÿ ïîëíîòû ìû ìîæåì íàéòè êîìïîíåíòû âåêòîðà â äàííîì áàçèñå. Äåéñòâèòåëüíî, óìíîæèì îáå ñòîðîíû óñëîâèÿ
P i j
ij
j
ïîëíîòû
a ea ea = δ íà v è ïðîñóììèðóåì ïî j .  ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èì
ea . Ò.ê. ðàññìàòðèâàåìûé
a va ~
X
a
j
va eia = v i ⇐⇒
X
va ~ea = ~v ,
a
j
ãäå va ≡ v ea ≡ (~
v, ~ea )
 ñëó÷àå ïðîñòðàíñòâà óíêöèé ìû èìååì äåëî ñ áåñêîíå÷íîé ðàçìåðíîñòüþ è âìåñòî
âåêòîðíûõ èíäåêñîâ i, j ìû èìååì êîíòèíóàëüíûé èíäåêñ ~
x, ~x′ , à âìåñòî èíäåêñîâ a, b,
k, ~k ′ . Âìåñòî ñóìì
íóìåðóþùèõ áàçèñíûå âåêòîðà, ìû èìååì ~
èìååì èíòåãðàëû,
à âìåñòî
ñèìâîëîâ Êðîíåêåðà
ïðîåêöèé âåêòîðà
~v
δ ij
è
δab
δ óíêöèè, δ (3) (~x − ~x′ )
è
δ (3) ~k − ~k ′
va ìû èìååì Ôóðüå ãàðìîíèêè ϕ̃(~k).
va = (~v , ~ea ), îïðåäåëÿþùåãî ïðîåêöèþ âåêòîðà ~v
íà îñè êîîðäèíàò
òàê æå, ÷òî âìåñòî óðàâíåíèÿ
. Ïðè ýòîì âìåñòî
Çàìå÷ó
íà
aþ
îñü, è ñëåäóþùåãî èç óðàâíåíèÿ, óòâåðæäàþùåãî ïîëíîòó áàçèñà, èû èìååì óðàâíåíèå
R 3
~
~
ϕ̃(~k) = (2d π)x3 e−i k ~x ϕ(~x), ñëåäóþùåå èç ïîëíîòû íàáîðà ãàðìîíèê ei k ~x .
Âîïðîñû è çàäà÷è
•
åøèòå óðàíåíèå â
ãäå
l
R3 :
1
∆ − 2 G (~x) = −4 π q δ (3) (~x) ,
l
íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ, èìåþùàÿ ðàçìåðíîñòü äëèíû, à
q
áåçðàçìåðíàÿ êîí-
ñòàíòà.
•
åøèòå óðàâíåíèå
â
R2 ,
∂12 + ∂22 G (x1 , x2 ) = −4 π q δ (x1 ) δ (x2 )
â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè è íà äèñêå ðàäèóñà 1 äëÿ ñëó÷àÿ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé
∂n~1 G(x1 , x2 )|boundary = 0, ãäå ∂~n1
x1 âäîëü âåêòîðà ïåðïåíäèêóëÿðíîãî ãðàíèöå. Óñëîâèå Äè∂t~1 G(x1 , x2 ) boundary = 0, ãäå ∂~t1 äèåðåíöèðîâàíèå ïî x1 âäîëü
ͼéìàíà è Äèðèõëå. Óñëîâèå Íåéìàíà ãëàñèò, ÷òî
äèåðåíöèðîâàíèå ïî
ðîõëå ãëàñèò, ÷òî
âåêòîðà êàñàòåëüíîãî ê ãðàíèöå. Èñïîëüçóÿ êîíîðìíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ, íàéäèòå
ñâÿçü ìåæäó ðåøåíèÿìè â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè è íà äèñêå.
89
•
Íàéäèòå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ íà
RD :
∆ G (~x) = −4 π q δ (D) (~x) ,
äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà èçìåðåíèé
â ñîîòâåòñòâóþùåé ðàçìåðíîñòè.
2
D , ãäå ∆ = ∂12 +∂22 +· · ·+∂D
90
îïåðàòîð Ëàïëàñà
Ñâîáîäíûå ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû, òåíçîð ïîëÿðèçàöèè, ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå è ñîáñòâåííûå êîëåáàíèÿ ïîëÿ,
ïîëå êàê áåñêîíå÷íûé íàáîð îñöèëëÿòîðîâ.
Ëåêöèÿ IX;
1. Íà ýòîé ëåêöèè
ìû ðàññìîòðèì ðåøåíèå óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà áåç çàðÿäîâ:
∂µ F µν = 0.
Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ó òàêîãî óðàâíåíèÿ åñòü íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ. Òàêèå ÝÌ ïîëÿ, êîòîðûå ñóùåñòâóþò â îòñóòñòâèè èñòî÷íèêîâ, íàçûâàþòñÿ ñâîáîäíûìè ÝÌ âîëíàìè.
Çàèêèñèðóåì êàëèáðîâêó Ëîðåíöà. Òîãäà ðàññìàòðèâàåìîå óðàâíåíèå ñâåäåòñÿ ê ñèñòåìå óðàâíåíèé:
Aµ = 0
,
∂µ Aµ = 0
(137)
ãäå âòîðîå óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ
ïðîñòî
êàëèáðîâî÷íûì óñëîâèåì. Ïåðâîå èç ýòèõ óðàâ-
Aµ = ∂α ∂ α Aµ =
1 ∂2
c2 ∂t2
− ∆ Aµ = 0 ÿâëÿåòñÿ 4ìåðíûì àíàëîãîì 2ìåðíîãî
∂2
1 ∂2
âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ
− ∂x2 φ = 0, îïèñûâàþùåãî çâóêîâûå âîëíû â îäíîìåðíîì
c̄2 ∂t2
µ
êðèñòàëëå, êîòîðîå ìû óæå âñòðå÷àëè â ïðåäûäóùèõ ëåêöèÿõ. Îòëè÷èå ñèòóàöèè äëÿ A
µ
çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ÝÌ âîëíû èìåþò ïîëÿðèçàöèþ, ñâÿçàííóþ ñ òåì, ÷òî A ÿâëÿåòñÿ
íåíèé
4âåêòîðíûì, à íå ñêàëÿðíûì (Ëîðåíö èíâàðèàíòíûì) ïîëåì. Ïðè ýòîì çâóêîâûå âîëíû
â îäíîìåðíîì êðèñòàëëå íå èìåþò ïîëÿðèçàöèè, ò.ê. ðåøåòêà ìîæåò êîëåáàòüñÿ òîëüêî â
îäíîì íàïðàâëåíèè (âäîëü ñàìîé ñåáÿ), è îïèñûâàþòñÿ îäíèì ïîëåì
2. Çàìåòèì, ÷òî â (137) ìû èìååì äåëî ñ ñèñòåìîé
φ.
ëèíåéíûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.
µ
µ
µ
µ
Ïîýòîìó åñëè ó íàñ åñòü äâà ðåøåíèÿ ýòîé ñèñòåìû óðàâíåíèé A1 è A2 , òî A1 + A2 òîæå
ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ýòîé ñèñòåìû óðàâíåíèé. Ýòîò àêò ÿâëÿåòñÿ îòðàæåíèåì ïðèíöèïà
ñóïåðïîçèöèè.
Ïîä÷åðêíó, ÷òî ýòî ñîâåðøåííî íåòðèâèàëüíûé àêò. Íàïðèìåð, åñëè áû âìåñòî âòîðîé
µν
ïàðû óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà ìû áû èìåëè äåëî, ñêàæåì, ñ óðàâíåíèåì ∂µ F
+a ∂ α F νµ Fµα =
0, ãäå a íåêîòîðàÿ ðàçìåðíàÿ êîíñòàíòà,
òî ñóììà äâóõ ðåøåíèé ýòîãî óðàâíåíèÿ óæå íå
ÿâëÿëàñü áû åãî ðåøåíèåì â ñèëó íåëèíåéíîñòè ýòîãî óðàâíåíèÿ. Ïîäîáíûå íåëèíåéíûå
óðàâíåíèÿ (íå èíâàðèàíòíûå îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà) âîçíèêàþò â íåëèíåéíîé îïòèêå èççà ñïåöèàëüíûõ ñâîéñòâ ñðåäû, â êîòîðîé ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ ÝÌ âîëíû.
Ìû áóäåì èñêàòü ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé (137) â âèäå
1
ν
ν
ν
ξµ e−i kν x + ξµ∗ ei kν x ,
Aµ = Re ξµ e−i kν x =
2
(138)
ãäå ξµ íåêîòîðûé ïîñòîÿííûé êîìïëåêñíûé 4âåêòîð, íàçûâàåìûé âåêòîðîì ïîëÿðèçàöèè
ÝÌ âîëíû, à
kµ
íåêîòîðûé ïîñòîÿííûé âåùåñòâåííûé 4âåêòîð, íàçûâàåìûé âîëíîâûì
4âåêòîðîì ÝÌ âîëíû.
91
 ñèëó ïðèíöèïà ñóïåðïîçèöèè ìû ìîæåì îòáðîñèòü çíàê Re â ðàññìàòðèâàåìîì âûν
Aµ è èìåòü äåëî ïðÿìî ñ êîìïëåêñíîé âîëíîé ξµ e−i kν x , êîëü ñêîðî ìû
ðàæåíèè äëÿ
áóäåì âûïîëíÿòü èñêëþ÷èòåëüíî ëèíåéíûå îïåðàöèè íàä íåé. Òàêàÿ âîëíà íàçûâàåòñÿ
ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíîé. Íàéäåì òåïåðü óñëîâèÿ, êîòîðûì äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü âåêòîðû
ξµ
kµ ,
è
÷òîáû ðàññìàòðèâàåìàÿ óíêöèÿ ðåøàëà ñèñòåìó óðàâíåíèé
(137). Ò.ê.
ν
ν
ν
∂α ξ µ e−i kν x = ξ µ ∂α e−i kν x = −i kα ξ µ e−i kν x ,
è
ν
ν
ξ µ e−i kν x = −kα k α ξ µ e−i kν x ,
òî, ïîäñòàâèâ âûðàæåíèå (138) â (137), ìû íàéäåì, ÷òî îíî ðåøàåò ýòó ñèñòåìó óðàâíåíèé, åñëè åå âîëíîâîé 4âåêòîð è ïîëÿðèçàöèîííûé 4âåêòîð óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå
óðàâíåíèé:
Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ
kµ k µ = 0
.
ξµ k µ = 0
kµ k µ = k02 − ~k 2 = 0
ñëåäóåò, ÷òî
(139)
kµ
íóëåâîé (ñâåòîïîäîáíûé)
4âåêòîð. Â ñèëó òîãî, ÷òî ìû èìååì äåëî ñ ïðîñòðàíñòâîì ñ ñèãíàòóðîé Ìèíêîâñêîãî, à
k02 − ~k 2 = 0, à íå k02 + ~k 2 = 0), ýòî óðàâíåíèå èìååò íåíóëåâîå
ðåøåíèå. Ïîýòîìó óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà áåç èñòî÷íèêîâ èìåþò íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ.
íå Åâêëèäà (ò.å. èìååì äåëî ñ
Çàìåòèì, ÷òî ñèñòåìà óðàâíåíèé (139) íå ìåíÿåòñÿ ïðè çàìåíå
α
ξµ
íà
ξ¯µ = ξµ + α kµ ,
ãäå
ïðîèçâîëüíàÿ êîìïëåêñíàÿ êîíñòàíòà. Äåéñòâèòåëüíî,
kµ ξ¯µ = kµ ξ µ + α kµ k µ = kµ ξ µ .
Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ïîëó÷åíî ñ èñïîëüçîâàíèåì ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (139). Ýòà
èíâàðèàíòíîñòü óðàâíåíèÿ (139) ÿâëÿåòñÿ îòðàæåíèåì òîãî àêòà, ÷òî ñèñòåìà óðàâíåíèé
Aµ → Aµ − ∂µ α, åñëè α = 0.
µ
Òåïåðü ìû õîòèì ÿâíî çàïàðàìåðèçîâàòü ðåøåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé (139). Ò.ê. k kµ =
k02 − ~k 2 = 0, òî k0 = |~k| ≡ k . Ïîýòîìó k µ = (k, ~k). Ïîâîðîòîì ÑÊ â ïðîñòðàíñòâå âñåãäà
µ
k íàïðàâëåíìîæíî ïîëîæèòü k = (k, k, 0, 0), ÷òî îòâå÷àåò 3ìåðíîìó âîëíîâîìó âåêòîðó ~
−i kν xν
−i k c t+i k x
−i k (c t−x)
íîìó âäîëü îñè x. Òîãäà Aµ = ξµ e
= ξµ e
= ξµ e
, ÷òî, êàê ìû çíàåì
(137) íå ìåíÿåòñÿ ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ
èç ïåðâîé ëåêöèè, îïèñûâàåò âîëíó ðàñïðîñòðàíÿþùóþñÿ â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè
îñè
x
ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà: Óðîâíè ïîñòîÿííîé àçû ýòîé âîëíû ëåæàò íà ïëîñêîñòÿõ
yz
ïåðïåíäèêóëÿðíûõ íàïðàâëåíèþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû x. Ïîýòîìó òàêóþ âîëíó íàçûω
âàþò ïëîñêîé. Îáû÷íî k0 îáîçíà÷àþò êàê k0 =
, ãäå ω ÷àñòîòà âîëíû. Ïðè ýòîì
c
~
ω
2
π
~
n
k
~k = ~n =
, ãäå ~
n = k åäèíè÷íûé âåêòîð âäîëü íàïðàâëåíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëc
λ
íû, à λ åå äëèíà. Ò.å. äàííàÿ ÝÌ âîëíà îòâå÷àåò îäíîé îïðåäåëåííîé ÷àñòîòå. Ïîýòîìó
îíà è íàçûâàåòñÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêîé. Îáû÷íûå âîëíû, íàáëþäàåìûå â ïðèðîäå, ÿâëÿþòñÿ ñóïåðïîçèöèåé íåêîòîðîãî êîëè÷åñòâà ïëîñêèõ ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ âîëí ñ ðàçíûìè
ïîëÿðèçàöèÿìè è ÷àñòîòàìè, à ïîòîìó ñàìè íå ÿâëÿþòñÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêèìè.
ξµ , ÷òîáû ðåøàòü óðàâíåíèå kµ ξ µ = 0.
µ
0
1
0
Ïðè íàøåì âûáîðå ÑÊ ýòî óðàâíåíèå ñâîäèòñÿ ê kµ ξ = k ξ −k ξ = 0. Ñëåäîâàòåëüíî ξ =
Íàéäåì òåïåðü êàêîé âèä äîëæåí èìåòü âåêòîð
92
ξ 1,
µ
0 0 2 3
ìîãóò èìåòü ïðîèçâîëüíûå çíà÷åíèÿ, ò.å. ξ = (ξ , ξ , ξ , ξ ). Âîñïîëüçóåìñÿ
µ
2 3
µ
µ
µ
0
òåïåðü ïðîèçâîëîì ξ → ξ + α k è ïîäáåðåì α = −ξ /k . Òîãäà ξ¯ = (0, 0, ξ , ξ ). Ò.å.
à
ξ2
è
ξ3
4âåêòîð ïîëÿðèçàöèè èìååò òîëüêî äâå íåçàâèñèìûõ êîìïîíåíòû èç ÷åòûðåõ è òîëüêî
âäîëü ïðîñòðàíñòâåííûõ íàïðàâëåíèé ïåðïåíäèêóëÿðíûõ íàïðàâëåíèþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ
âîëíû.
3.
Íàéäåì
~
E
è
~
B
äëÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû. Ìû ïðîäåëàåì ýòî äëÿ áîëåå îáùåãî
Aµ (x), ÷åì ïëîñêàÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ âîëíà, êîòîðûé ðåøàåò óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà.
0
Êàê ìû òîëüêî ÷òî âèäåëè â ðàññìàòðèâàåìîé ñèòóàöèè âñåãäà ìîæíî ïîëîæèòü A = ϕ =
~ ìîæíî ñäåëàòü óíêöèåé òîëüêî êîìáèíàöèè t − x/c è íå çàâèñÿùåé îò y è z (â
0, à A
~ íå
ñëó÷àå âîëíû ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ âäîëü îñè x). Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ðàññìîòðåòü A
çàâèñÿùèé îò y è z êîîðäèíàò, òî óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà ñâåäåòñÿ ê óðàâíåíèþ
1 ∂2
∂2
~ x) = 0,
−
A(t,
c2 ∂t2 ∂x2
âèäà
îáùèì ðåøåíèåì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ (â ñëó÷àå, îòâå÷àþùåì âîëíå, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ
âäîëü îñè
x)
~ − x/c). Ïðè ýòîì êàëèá(t − x/c), ò.å. èìåííî A(t
~ = 0 =⇒ divA
~ = 0, ò.ê. ϕ = 0.
+ divA
∂µ Aµ = 1c ∂ϕ
∂t
ïðîèçâîëüíàÿ óíêöèÿ îò
ðîâî÷íîå óñëîâèå Ëîðåíöà ñâîäèòñÿ ê
Äàëåå, â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ÝÌ ïîëÿ âûðàæàþòñÿ ÷åðåç âåêòîð ïîòåíöèàëû
~ = − 1 ∂ A~ , B
~ = rotA
~ . Ò.ê. âåêòîð ïîòåíöèàë ðåøàåò óðàâíåíèå
ñëåäóþùèì îáðàçîì: E
c ∂t
~ = 0,
A
òî ÝÌ ïîëÿ
~
E
è
~
B
òîæå ðåøàþò ýòî óðàâíåíèå, ò.å. èõ ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê:
~ = Re E
~ 0 e−i kν xν ,
E
~ = Re B
~ 0 e−i kν xν ,
B
äëÿ íåêîòîðûõ êîìïëåêñíûõ ïîñòîÿííûõ âåêòîðîâ
Ò.ê.
~
A
~0
E
è
~ 0.
B
ÿâëÿåòñÿ óíêöèåé òîëüêî ëèíåéíîé êîìáèíàöèè
t − x/c,
òî
~ t− x
∂
A
1
1 ~′
c
~ =−
E
=− A
c
∂t
c
h
i
h
i
1
~′ ,
~ = ∇
~ ×A
~ = − ~n × A
B
c
h
i
~′ =
~′ = i k A
~, à B
~ = −1 A
~ = − 1 ~n × A
~n = ~k/k .( Äëÿ ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû E
c
h
i c
h
i
~ = ~n × E
~ è âåêòîðà ~k , B
~ èE
~ ÿâëÿþòñÿ
~ .) Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ÝÌ âîëíû B
i ~k × A
ãäå
âçàèìíî îðòîãîíàëüíûìè. Ñëåäîâàòåëüíî, ÝÌ âîëíà ÿâëÿåòñÿ âñåãäà ïîïåðå÷íî ïîëÿðèçîâàííîé (íåò êîëåáàíèé ïîëÿ âäîëü íàïðàâëåíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû), ÷òî ÿâëÿåòñÿ
ξ µ íå èìååò êîìïîíåíò âäîëü 4âåêòîðà k µ .
ïðÿìûì ñëåäñòâèåì òîãî àêòà, ÷òî
4. Íàéäåì âåêòîð ÓìîâàÏîéíòèíãà äëÿ ñîáîäíîé ÝÌ âîëíû:
h
i
h
h
ii
~ ×B
~ = c E
~ × ~n × E
~ = c E
~ 2 ~n = c B
~ 2 ~n,
~= c E
S
4π
4π
4π
4π
~ = 0 è |E|
~ = |B|
~ â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå. Ïëîòíîñòü ýíåðãèè ïðè ýòîì ðàâíà
ò.ê. (~
n, E)
E 2 +B 2
E2
~ = c W ~n è, ñëåäîâàòåëüíî, W è S
~ ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì
W = 8 π = 4 π . Ïîýòîìó S
~ 2 = 0. Ò.å. ïëîòíîñòü ýíåðãèè W è ïëîòíîñòü ïîòîêà ýíåðãèè S
~ äëÿ ñâîáîäíîé
c2 W 2 − S
93
ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû óäîâëåòâîðÿþò òîìó æå ñîîòíîøåíèþ, ÷òî è 4èìïóëüñ áåçpµ pµ = p20 − p~2 = 0 èëè òîìó æå ñîîòíîøåíèþ, ÷òî è ñâåòîïîäîáíûé
µ
2
k 2 = 0, ò.ê. pµ = ~ kµ .
âîëíîâîé 4âåêòîð kµ k = k0 − ~
ìàññîâîé ÷àñòèöû:
5.
àññìîòðèì áîëåå ïîäðîáíî
âîïðîñ
î ïîëÿðèçàöèè ÝÌ âîëíû íà ïðèìåðå ïîâåäåh
i
i (~k ~
x−ω t)
~
~
~ 0 òîæå ÿâëÿåò. Êâàäðàò êîìïëåêñíîãî âåêòîðà E
íèÿ âåêòîðà E(t, x) = Re E0 e
~ 0 = ~b e−i α
ñÿ êîìïëåêñíûì ÷èñëîì. Ïîäáåðåì êîìïëåêñíûé âåêòîð ~
b â ïðåäñòàâëåíèè E
~ 0 |2 . Ò.å. ìû õîòèì ïðåäñòàâèòü E
~ =
b2 = |E
òàê, ÷òîáû åãî êâàäðàò áûë äåéñòâèòåëüíûì ~
h
i
~
Re ~b ei (k ~x−ω t−α) , ãäå ~b = ~b1 + i ~b2 , à âåêòîðû ~b1 ~b2 ÿâëÿþòñÿ äåéñòâèòåëüíûìè. Ïðè÷åì,
~b2 = ~b2 − ~b2 + 2 i (~b1 , ~b2 ) ÿâëÿåòñÿ äåéñòâèòåëüíûì ÷èñëîì, òî (~b1 , ~b2 ) = 0, ò.å. âåêòîðû
1
2
~b1 è ~b2 îðòîãîíàëüíû äðóã äðóãó.
b1 íàïðàâëåí
Ïóñòü x îñü, âäîëü êîòîðîé ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ÝÌ âîëíà è ïóñòü âåêòîð ~
â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè îñè y . Òîãäà êîìïîíåíòû ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ÝÌ âîëíû
ò.ê.
èìåþò âèä:
Ey = ~b1 cos ω t − ~k ~x + α
Ez = ± ~b2 sin ω t − ~k ~x + α ,
ãäå çíàê
±
çàâèñèò îò òîãî âäîëü èëè ïðîòèâ îñè
z
íàïðàâëåí âåêòîð
~b2 .
Òàêèì îáðàçîì:
Ey2 Ez2
+ 2 =1
b21
b2
(140)
è ìû âèäèì, ÷òî â êàæäîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà âåêòîð
~
E
âðàùàåòñÿ â ïëîñêîñòè ïåð-
ïåíäèêóëÿðíîé ê íàïðàâëåíèþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ÝÌ âîëíû. Ïðè÷åì ïðè ïðîèçâîëüíûõ
~b1
è
~b2 ,
êîíåö âåêòîðà ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ îïèñûâàåò ýëëèïñ. Òàêàÿ âîëíà íàçûâàåòñÿ
ýëëèïòè÷åñêè ïîëÿðèçîâàííîé. Åñëè æå
|~b1 | = |~b2 |,
òî êîíåö âåêòîðà ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ
îïèñûâàåò îêðóæíîñòü, ÷òî îòâå÷àåò âîëíå ñ êðóãîâîé ïîëÿðèçàöèåé. Íàêîíåö, åñëè ñêàæåì
b2 = 0,
òî ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ÝÌ âîëíû âñåãäà è âåçäå íàïðàâëåííî âäîëü îñè
y.
Â
ýòîì ñëó÷àå âîëíó íàçûâàþò ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííîé.
6.
Êàê ìû âèäèì, ïëîñêàÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ âîëíà èìååò îïðåäåëåííóþ ïîëÿðèçà-
öèþ. Îäíàêî åñòåñòâåííûé ñâåò íå èìååò ïîëÿðèçàöèè, ò.ê. ÿâëÿåòñÿ ñóïåðïîçèöèåé ïëîñêèõ ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ âîëí ñ ðàçíîé ÷àñòîòîé è ïîëÿðèçàöèåé.  ÷àñòíîñòè, ýëåêòðè÷å9 ~
~ 0 (t) e−iω t , ãäå ω
ñêîå ïîëå òàêîé âîëíû â çàäàííîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà èìååò âèä E
=E
ñðåäíÿÿ ÷àñòîòà âîëíû, à êîìïëåêñíàÿ àìïëèòóäà
~ 0 (t)
E
ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðîé ìåäëåííî ìå-
íÿþùåéñÿ óíêöèåé. Äëÿ ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû
~ 0 = const. Ïîñêîëüêó E
~ 0 (t)
E
îïðåäåëÿåò ïîëÿðèçàöèþ âîëíû, òî ýòî çíà÷èò, ÷òî â êàæäîé òî÷êå âîëíû åå ïîëÿðèçàöèÿ
ìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì. Òàêóþ âîëíó íàçûâàþò ÷àñòè÷íî ïîëÿðèçîâàííîé.
Ñâîéñòâà ïîëÿðèçàöèè ÝÌ âîëí íàáëþäàþòñÿ ýêñïåðèìåíòàëüíî ïîñðåäñòâîì ïðîïóñêàíèÿ èõ ÷åðåç ðàçëè÷íûå òåëà è èçìåðåíèÿ èíòåíñèâíîñòè ïðîøåäøåé âîëíû. Ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ýòî îçíà÷àåò, ÷òî î ñâîéñòâàõ ïîëÿðèçàöèè ÝÌ âîëíû ñóäÿò, èñõîäÿ
9 Äëÿ
ïðîñòîòû îðìóë ìû îòáðîñèëè çíàê äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòè â ýòîé îðìóëå.
94
èç çíà÷åíèé íåêîòîðûõ êâàäðàòè÷íûõ óíêöèé îò ïîëÿ. Ïðè ýòîì, ðàçóìååòñÿ, ðå÷ü èäåò
î ñðåäíèõ ïî âðåìåíè çíà÷åíèÿõ ýòèõ óíêöèé.
Êâàäðàòè÷íàÿ óíêöèÿ ïîëÿ ñîñòîèò èç ÷ëåíîâ, ïðîïîðöèîíàëüíûõ ïðîèçâåäåíèÿì
Ei Ej , Ei∗ Ej∗ è Ei Ej∗ , i = 1, 2, 3. Ïðîèçâåäåíèÿ âèäà Ei Ej = E0i E0j e−2 i ω t è Ei∗ Ej∗ =
∗
∗ 2iωt
±2 i ω t
E0i
E0j
e
ñîäåðæàò áûñòðî îñöèëëèðóþùèå ìíîæèòåëè e
è ïðè óñðåäíåíèè ïî âðå∗
∗
ìåíè äàþò íîëü. Ïðîèçâåäåíèÿ æå Ei Ej = E0i E0j òàêîãî ìíîæèòåëÿ íå ñîäåðæàò, è ïîòîìó
èõ ñðåäíèå çíà÷åíèÿ îòëè÷íû îò íóëÿ. Òàêèì îáðàçîì, ìû âèäèì, ÷òî ñâîéñòâà ÷àñòè÷íî
ïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà âïîëíå õàðàêòåðèçóþòñÿ òåíçîðîì
∗
Jij = E0i E0j
.
Ïîñêîëüêó âåêòîð
~0
E
âñåãäà ëåæèò â ïëîñêîñòè ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê íàïðàâëåíèþ ðàñ-
ïðîñòðàíåíèÿ âîëíû, òî òåíçîð
Jij
èìååò âñåãî ÷åòûðå êîìïîíåíòû.  ýòîé ëåêöèè ìû
âðåìåííî ïîäðàçóìåâàåì, ÷òî èíäåêñû
ùèå îñÿì
Jij
y
è
z
i, j
ïðîáåãàþò âñåãî äâà çíà÷åíèÿ
i = 1, 2, îòâå÷àþ-
x. Ñóììà äèàãîíàëüíûõ êîìïîíåíò òåíçîðà
~
~
J ≡ Jii = E0 E0∗ . Ýòà âåëè÷èíà ÿâëÿåòñÿ èíòåíñèâíîñòüþ
â ñëó÷àå âîëíû, áåãóùåé âäîëü
åñòü âåëè÷èíà âåùåñòâåííàÿ
âîëíû è íå èìååò ïðÿìîãî îòíîøåíèÿ ê åå ïîëÿðèçàöèîííûì ñâîéñòâàì. ×òîáû èñêëþ÷èòü
åå èç ðàññìîòðåíèÿ, ââåäåì ïîëÿðèçàöèîííûé òåíçîð:
Jij
.
(141)
J
∗
Èç åãî îïðåäåëåíèÿ âèäíî, ÷òî ρii = 1 è ρij = ρji . Â ñèëó ýòèõ ñâîéñòâ äèàãîíàëüíûå
êîìïîíåíòû ïîëÿðèçàöèîííîãî òåíçîðà ρ11 è ρ22 âåùåñòâåííû, ïðè÷åì ρ11 + ρ22 = 1, à
ρ12 = ρ∗21 . Âñåãî, ñëåäîâàòåëüíî, ïîëÿðèçàöèîííûé òåíçîð õàðàêòåðèçóåòñÿ òðåìÿ âåùåρij ≡
ñòâåííûìè ïàðàìåòðàìè.
Âûÿñíèì óñëîâèÿ, êîòîðûì äîëæåí óäîâëåòâîðÿòü ïîëÿðèçàöèîííûé òåíçîð äëÿ
~ 0 = const, è ïîýòîìó èìååì ïðîñòî áåç óñðåäíåïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà.  ýòîì ñëó÷àå E
∗
íèÿ ïî âðåìåíè ρij = E0i E0j /J . Ò.å. êîìïîíåíòû ðàññìàòðèâàåìîãî òåíçîðà ìîãóò áûòü
√
ïðåäñòàâëåííû â âèäå ïðîèçâåäåíèé êîìïîíåíò ïîñòîÿííîãî âåêòîðà
E0j / J .
Íåîáõîäè-
ìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå äëÿ ýòîãî âûðàæàåòñÿ ðàâåíñòâîì íóëþ îïðåäåëèòåëÿ òåíçîðà
ïîëÿðèçàöèé:
|ρij | ≡ ρ11 ρ22 − ρ12 ρ21 = 0.
Ïðîòèâîïîëîæíûì ñëó÷àåì ÿâëÿåòñÿ íåïîëÿðèçîâàííûé, èëè åñòåñòâåííûé, ñâåò. Ïîëíîå
îòñóòñòâèå ïîëÿðèçàöèè îçíà÷àåò, ÷òî âñå íàïðàâëåíèÿ â ïëîñêîñòè
yz
âïîëíå ýêâèâàëåíò-
íû. Ïîýòîìó âçÿòèå ñðåäíåãî ïðèâîäèò ê
ρij =
Ïðè ýòîì îïðåäåëèòåëü ðàâåí
1
δij .
2
|ρij | = 1/4.
 îáùåì ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîé ïîëÿðèçàöèè ýòîò îïðåäåëèòåëü ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ
ìåæäó
0
è
1/4.
Ñòåïåíüþ ïîëÿðèçàöèè íàçûâàåòñÿ ïîëîæèòåëüíàÿ âåëè÷èíà
P,
îïðåäå-
ëåííàÿ ñîãëàñíî
|ρij | ≡
1
1 − P2 .
4
95
(142)
Îíà ïðîáåãàåò çíà÷åíèÿ îò 0 äëÿ íåïîëÿðèçîâàííîãî äî 1 äëÿ ïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà,
ò.ê. ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî òåíçîð îáëàäàþùèé òåìè ñâîéñòâàìè, ÷òî è
ρij
èìååò âñåãäà
ïîëîæèòåëüíûé äåòåðìèíàíò.
Ïðîèçâîëüíûé òåíçîð
ρij
ìîæåò áûòü ðàçëîæåí íà äâå ÷àñòè ñèììåòðè÷íóþ è
Sij ≡ 12 (ρij + ρji ) â ñèëó ρij = ρ∗ji ÿâëÿåòñÿ âåùåñòâåí-
àíòèñèììåòðè÷íóþ. Èç íèõ ïåðâàÿ
íîé. Àíòèñèììåòðè÷íàÿ æå, íàïðîòèâ, ÷èñòî ìíèìà. Âñÿêèé èíâàðèàíòíûé (ÿâëÿþùèéñÿ
ðåçóëüòàòîì óñðåäíåíèÿ) àíòèñèììåòðè÷íûé òåíçîð ñ äâóìÿ èíäåêñàìè, ïðèíèìàþùèìè
äâà çíà÷åíèÿ, ïðîïîðöèîíàëåí 2ìåðíîìó àáñîëþòíî àíòèñèììåòðè÷íîìó òåíçîðó, ò.å.
1
i
(ρij − ρji ) = − ǫij A,
2
2
ãäå
A âåùåñòâåííûé
ïñåâäîñêàëÿð. Ýòà âåëè÷èíà ïñåâäîñêàëÿð, à íå ñêàëÿð (ò.å. ìåíÿåò
çíàê ïðè èíâåðñèè êîîðäèíàò) ïîòîìó ÷òî òåíçîð
ǫij
ìåíÿåò çíàê ïðè èíâåðñèè, à
ρij
íåò.
Òàêèì îáðàçîì, ïîëÿðèçàöèîííûé òåíçîð ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê
ρij = Sij −
i
ǫij A,
2
Sij = Sji .
(143)
Åñòü è äðóãèå óäîáíûå ïðåäñòàâëåíèÿ äëÿ ïîëÿðèçàöèîííîãî òåíçîðà. Íàïðèìåð, ÷åðåç
êâàòåðíîèîíû. Îäíàêî ìû èõ çäåñü îáñóæäàòü íå áóäåì.
7. Òåïåðü ÿ õî÷ó ðàññêàçàòü î òîì êàê óâèäåòü, ÷òî ïîëå ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íûì íàáîðîì
îñöèëëÿòîðîâ. Ýòîò àêò ìû óæå âñòðå÷àëè íà ïåðâîé ëåêöèè. Ñåé÷àñ æå íàñ èíòåðåñóåò
ïîèñê ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé ïîëÿ.
Ïðîèçâîëüíîå ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé (137) â ñèëó ïðèíöèïà ñóïåðïîçèöèè ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñóììó ïëîñêèõ ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ âîëí ñ ðàçíûìè âîëíîâûìè 4
α
âåêòîðàìè kµ , óäîâëåòâîðÿþùèìè óñëîâèþ kα k = 0, è ðàçíûìè ïîëÿðèçàöèÿìè ξµ (k) ≡
µ
õ (k), óäîâëåòâîðÿþùèìè óñëîâèþ k õ (k) = 0:
Aµ (x) =
Ò.ê. ñïåêòð âîçìîæíûõ çíà÷åíèé
Z
d4 k
ν
õ (k) e−i kν x δ (kα k α ) .
4
(2 π)
kµ , óäîâëåòâîðÿþùèõ
óñëîâèþ
kα k α = 0, ÿâëÿåòñÿ íåïðå-
ðûâíûì, òî âìåñòî ñóììû ìû èìååì èíòåãðàë. Ôàêòè÷åñêè ýòà îðìóëà çàäàåò ðàçëîæåíèå â ðÿä Ôóðüå ïðîèçâîëüíîãî ðåøåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû óðàâíåíèé, à
õ (k)
Ôóðüå ãàðìîíèêè ðàññìàòðèâàåìîãî ïîëÿ, ÷òî è îáúÿñíÿåò çàìåíó èõ îáîçíà÷åíèÿ. Óñëîα
âèå kα k = 0 ó÷òåíî â èíòåãðàëå Ôóðüå â âèäå δ óíêöèè. Ïðè ýòîì, ò.ê. êàëèáðîâî÷íîå
∗
∗
ïîëå ÿâëÿåòñÿ âåùåñòâåííûì Aµ (x) = Aµ (x), òî, êàê íå òðóäíî âèäåòü, õ (k) = õ (−k).
4
Ïîä÷åðêíó, ÷òî d k ÿâëÿåòñÿ Ëîðåíö èíâàðèàíòîì. Äåéñòâèòåëüíî, ò.ê. kµ ïðåîáðàçó4
åòñÿ êàê 4âåêòîð, òî ÿêîáèàí çàìåíû d k îò îäíîé ÑÎ ê äðóãîé ÿâëÿåòñÿ äåòåðìèíàíòîì
4
α
ìàòðèöû ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà, êîòîðûé ðàâåí åäèíèöå. Ñëåäîâàòåëüíî, d k δ (kα k )
òîæå ÿâëÿåòñÿ Ëîðåíö èíâàðèàíòîì. Ïîýòîìó
Aµ (x),
ïðåäñòàâëåííûé â âèäå âûøåóêàçàí-
íîãî èíòåãðàëà Ôóðüå, äåéñòâèòåëüíî ïðåîáðàçóåòñÿ êàê 4âåêòîð, åñëè
õ (k)
ïðåîáðàçó-
åòñÿ êàê 4âåêòîð.
Ïðåäñòàâëåíèå â âèäå ðÿäà Ôóðüå ìîæíî óïðîñòèòü. Îäèí èç ÷åòûðåõ èíòåãðàëîâ
ìîæíî âçÿòü ñ èïîëüçîâàíèåì
øèñü îäíèì èç ñâîéñòâ
δ óíêöèè
δ óíêöèè,
d4 k
ïîä èíòåãðàëîì. Äåéñòâèòåëüíî, âîñïîëüçîâàâ-
ìû ïîëó÷àåì:
96
ZZZZ
Z
Z Z Z 3~
Z Z Z d3~k
dk
2
2
~
~
d k δ k0 − k · · · = dk0 δ k0 − k ·
··· =
....
~k
~k
4
Èç ýòîãî ðàâåíñòâà â ÷àñòíîñòè ñëåäóåò, ÷òî âûðàæåíèå
d3~k/|~k|
ÿâëÿåòñÿ Ëîðåíöè èíâà-
ðèàíòîì, à ïîòîìó ïðåäñòàâëåíèå âåêòîð ïîòåíöèàëà â âèäå ðÿäà Ôóðüå
1
Aµ (t, ~x) =
(2 π)4
Z
d3 k
~
õ (k) e−i k c t+i k ~x ,
k
k ≡ |~k|
(144)
ïðåîáðàçóåòñÿ êàê 4âåêòîð ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ Ëîðåíöà. Â Ëîðåíö èíâàðèàíòíîñòè êîìd3 k/k ìîæíî óáåäèòüñÿ è ïðÿìûì îáðàçîì, ïîäñòàâèâ â íåå ïðåîáðàçîâàííûå ïî
Ëîðåíöó |~
k| è d3 k .
0
Òåïåðü âñïîìíèì, ÷òî â ñëó÷àå ñâîáîäíûõ ÝÌ âîëí âñåãäà ìîæíî ïîëîæèòü A (x) = 0,
0
à ïîòîìó è à (k) = 0. Äàëåå, ïåðåîïðåäåëèì âåëè÷èíó Ãi (k) òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû óáðàòü
áèíàöèè
âñå êîýèöèåíòû è çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè ïîä èíòåãðàëîì â (144) â åå îïðåäåëåíèå:
~ (t, ~x) =
A
Z
~
~
d k à t, ~k ei k ~x .
3
(145)
Ïîäñòàâèì ýòî âûðàæåíèå â óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà
Z
Z
~ (t, ~x)
1 ∂2
1 ∂2A
~
3 ~
i ~k ~
x
3 ~
~
~
− ∆A (t, ~x) = 2 2
d k à t, k e
−∆
d k à t, ~k ei k ~x =
0= 2
2
c
∂t
c ∂t
Z
Z
1 ∂ 2 ~ ~ i ~k ~x
~
3 ~
3
− d k à t, ~k ∆ ei k ~x =
= d k 2 2 Ã t, k e
c ∂t
Z
Z
1 ∂ 2 ~ ~ i ~k ~x
~
3
3 ~
= d k 2 2 Ã t, k e
+ d k à t, ~k ~k 2 ei k ~x =
c ∂t
Z
1 ∂ 2 ~ ~ ~ 2 ~ ~ i ~k ~x
3
= d k 2 2 à t, k + k à t, k e
c ∂t
Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîñëåäíåå âûðàæåíèå ðàâíÿëîñü íóëþ íåîáõîäèìî, ÷òîáû áûëî âûïîëíåíî
óðàâíåíèå
~¨ + c2 ~k 2 Ã
~ = 0,
Ã
(146)
~k ) ÝÌ âîëíû ïðåäñòÿâëÿåò ñîáîé ñâîáîäíûé
k ) îñöèëëÿòîð. Ýòî îçíàäëÿ äðóãèõ çíà÷åíèé ~
ò.å. êàæäàÿ èç ãàðìîíèê Ôóðüå (äëÿ êàæäîãî
(íå âçàèìîäåéñòâóþùèé ñ îñöèëëÿòîðàìè
÷àåò, ÷òî ãàðìîíèêè Ôóðüå (ïëîñêèå ìîíîõðîìàòè÷åñêèå âîëíû) ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè
êîëåáàíèÿìè ïîëÿ êîëåáàíèÿìè, â êîòîðûõ ïîëå ðàçáèâàåòñÿ íà íàáîð íåçàâèñèìûõ
îñöèëëÿòîðîâ.
Íå òðóäíî óáåäèòüñÿ ïðÿìûì âû÷èñëåíèåì, ÷òî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ (146) ñëåäóþò èç
ïðèíöèïà íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ äëÿ
97
Z
Z
˜
~
S A ∝ dt d3 k
"
2
~
~˙ − c2 ~k 2 Ã
Ã
2
#
,
(147)
à ýíåðãèÿ ïîëÿ çàäàåòñÿ âûðàæåíèåì
E∝
Z
d3 k
"
2
~
~˙ + c2 ~k 2 Ã
Ã
#
.
(148)
 âåðíîñòè ïîñëåäíèõ äâóõ óòâåðæäåéíèé ìîæíî óáåäèòüñÿ
h
iè ïðÿìîé ïîäñòàíîâêîé
h âûðà-
æåíèÿ (145) â îðìóëû äëÿ äåéñòâèÿ
ãäå
~
E
8.
S∝
R
R
~2 − B
~2
dt d x E
3
è ýíåðãèè
E∝
R
~2 − B
~2
dx E
3
~
~ = rotA
~.
= − 1c ∂∂tA è B
×òîáû ïðîÿñíèòü ñèòóàöèþ âåðíåìñÿ îïÿòü ê îäíîìåðíîé ðåøåòêå øàðèêîâ. Óðàâ-
íåíèÿ äâèæåíèÿ äëÿ òàêîé ðåøåòêè èìåþò âèä:
m φ̈j (t) = k [φj+1(t) − φj (t)] − k [φj (t) − φj−1(t)] ,
∀j ∈ Z
è â íåïðåðûâíîì ïðåäåëå ïåðåõîäÿò â
1
φ̈(t, x) = φ′′ (t, x).
c̄2
 ïåðâîì ñëó÷àå ìû èìååì ñèñòåìó ñâÿçàííûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äëÿ âñåõ
Z
(óðàâíåíèå äëÿ
φj
çàâèñèò îò
j∈
φj+1 è φj−1 ). Ìû õîòèì ñäåëàòü òàêóþ çàìåíó ïåðåìåííûõ,
ïðè êîòîðîé ýòà ñèñòåìà ïåðåéäåò â ñèñòåìó íåçàâèñèìûõ óðàâíåíèé, ò.å. ìû õîòèì ïåðåéòè
ê ñîáñòâåííûì êîëåáàíèÿì ðåøåòêè.
Ïðåäñòàâèì
φj (t) =
+∞
X
φ̃n (t) ei j n .
n=−∞
Ýòî ïðåäñòàâëåíèå ÿâëÿåòñÿ äèñêðåòíûì àíàëîãîì íåïðåðûâíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ Ôóðüå:
φ(t, x) =
Z
+∞
−∞
dk
φ̃(t, k) ei k x .
2π
Çàìå÷ó, ÷òî ò.ê. îáîáùåííûå êîîðäèíàòû øàðèêîâ ÿâëÿþòñÿ äåéñòâèòåëüíûìè
φj (t),
òî
φ̃∗n (t) = φ̃−n (t).
(149)
φ∗j (t) =
Ïîñëå ïîäñòàíîâêè äàííîãî äèñêðåòíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ Ôóðüå â óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ,
ìû ïîëó÷àåì:
m
X
X¨
φ̃n ei j n = k
φ̃n ei (j+1) n − 2 ei j n + ei (j−1) n =⇒
n
X
n
n
h
i
¨
ei j n m φ̃n + k φ̃n 2 − ei n − e−i n = 0.
98
i
,
×òîáû ïîñëåäíåå ðàâíåíñòâî áûëî âåðíî, íåîáõîäèìî âûïîëíåíèå ñëåäóþùåãî óðàâíåíèÿ
m φ̃¨n + 2 k φ̃n (1 − cos n) = 0.
φ̃n ìû èìååì äåëî ñ ñèñòåìîé íåçàâèñèìûõ óðàâíåíèé (äëÿ êàæäîãî n).
Èíûìè ñëîâàìè φ̃n ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè êîëåáàíèÿìè ðåøåòêè ñ ñîáñòâåííûìè ÷àñòî2k
2
òàìè ωn =
(1 − cos n) = 4mk sin2 n2 .
m
Ò.å. â òåðìèíàõ
 íåïðåðûâíîì ïðåäåëå ïîäîáíîå ïðåîáðàçîâàíèå èìåëî áû âèä:
Z
1 ∂2
c̄2 ∂t2
Z
ikx
dk φ̃(t, k) e
∂2
= 2
∂x
Z
1 ∂2
φ̃(t, k) −
c̄2 ∂t2
Z
dk ei k x
ikx
dk e
Z
dk φ̃(t, k) ei k x =⇒
∂2
dk φ̃(t, k) 2 ei k x = 0 =⇒
∂x
h
i
¨
φ̃(t, k) + k 2 c2 φ̃(t, k) = 0.
Ò.å., ïðîäåëàâ ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå, ìû ïåðåøëè ê ñîáñòâåííûì êîëåáàíèÿì ïîëÿ:
¨
φ̃(t, k) + k 2 c2 φ̃(t, k) = 0
2 2
ñ ñîáñòâåííûìè ÷àñòîòàìè ωk = c k . È ýòî ïðîèçîøëî áëàãîäàðÿ òîìó, ÷òî ïëîñêèå âîëíû
~
ei k x èëè ei k ~x ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè óíêöèÿìè îïåðàòîðà Ëàïëàñà â ñîîòâåòñòâóþùåì
÷èñëå èçìåðåíèé
∂ 2 ei k x /∂x2 = −k 2 ei k x
èëè
i ~k ~
x
∆e
≡
∂2
∂2
∂2
+
+
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
~
~
ei k ~x = −~k 2 ei k ~x
Âîïðîñû è çàäà÷è
•
Íàéäèòå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äëÿ äåéñòâèÿ â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâåâðåìåíè (ñ
ìåòðèêîé
ηij ,
à íå
δij ):
S=
Çäåñü
a
è
b
Z
d3 x a Fij F ij + b ǫijk Ai ∂ j Ak ,
i, j = 1, 2, 3.
ýòî íåêîòîðûå ðàçìåðíûå êîíñòàíòû. Íàéäèòå ðåøåíèÿ ïîëó÷åííûõ
óðàâíåíèé îòâå÷àþùèå ñâîáîäíûì ïëîñêèì ìîíîõðîìàòè÷åñêèì âîëíàì.
99
Ïîëÿ ñîçäàâàåìûå ðåëÿòèâèñòñêèìè äâèæóùèìèñÿ çàðÿäàìè, óíêöèÿ ðèíà îïåðàòîðà ä'Àëàìáåðà, ïîòåíöèàëû
Ëèåíàðà-Âèõåðòà.
Ëåêöèÿ X;
1. Ýòà ëåêöèÿ äîñòàòî÷íî òåõíè÷åñêàÿ è ñîäåðæèò ìíîãî âû÷èñëåíèé. Ôèçè÷åñêèé ñìûñë
ïîëó÷åííûõ îðìóë â îñíîâíîì áóäåò îáñóæäàòüñÿ â ñëåäóþùåé ëåêöèè.
µ
Äëÿ òîãî, ÷òîáû ðåøàòü óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà â ñëó÷àå òîêà j îáùåãî âèäà
íàì íåîáõîäèìî çíàòü óíêöèþ
Aµ = 4cπ j µ
∂µ Aµ = 0
ðèíà,
G(x, y),
(150)
êîòîðàÿ ïî îïðåäåëåíèþ ðåøàåò ñëåäóþ-
ùåå âîëíîâîå óðàâíåíèå:
x G(x, y) ≡
Ôóíêöèÿ
∂2
− ∆x
∂x20
G(x, y) = δ (4) (x − y) .
(151)
ðèíà èìååò èçè÷åñêèé ñìûñë çíà÷åíèÿ ïîëÿ â ìèðîâîé òî÷êå
èñòî÷íèêîì, íàõîäÿùèìñÿ â ìèðîâîé òî÷êå
y.
x,
ñîçäàííîãî
Ïðîñòåéøèì ïðèìåðîì óíêöèè
ðèíà,
x−~y |) ∝ 1/|~x−~y |,
êîòîðûé ìû óæå âñòðå÷àëè â ïðåäûäóùèõ ëåêöèÿõ, ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèå, ϕ(|~
óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà ∆ϕ(|~
x − ~y |) ∝ δ (3) (~x − ~y ). Äåéñòâèòåëüíî, çàêîí Êóëîíà îïðåäåëÿåò
ñòàòè÷åñêîå ïîëå â òî÷êå
Ôóíêöèÿ
~x,
ñîçäàííîå èñòî÷íèêîì íàõîäÿùèìñÿ â òî÷êå
~y .
ðèíà íóæíà ïî òîé ïðè÷èíå, ÷òî åñëè îíà íàì èçâåñòíà, òî ðåøåíèå ñèñòåìû
óðàâíåíèé (150) èìååò âèä:
4π
A (x) =
c
µ
ãäå
Aµ0
Z
d4 y j µ (y) G(x, y) + Aµ0 (x),
ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì îäíîðîäíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé
Aµ0 = 0,
(152)
∂µ Aµ0 = 0, ò.å.
ÿâëÿ-
åòñÿ êîìïîçèöèåé ÝÌ âîëí ðàçëè÷íîé ïîëÿðèçàöèè è ñ ðàçëè÷íûìè âîëíîâûìè âåêòîðàìè.
Âåçäå íèæå ìû îïóñêàåì òàêîé âêëàä â ðåøåíèå íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà, ò.å.
ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà îïðåäåëåíî ñ òî÷íîñòüþ äî òàêîãî
R 4 µ
4π
îäíîðîäíîãî âêëàäà. Ôèçè÷åñêèé ñìûñë æå âêëàäà
d y j (y) G(x, y) ýòî îïðåäåëåc
íèå ïîëÿ â òî÷êå x êàê ñóììû (êîìïîçèöèè) ïîëåé, ñîçäàâàåìûõ â ýòîé òî÷êå êàæäîé
µ
ìèðîâîé òî÷êîé, â êîòîðûõ èñòî÷íèê j íå ðàâåí íóëþ.
×òîáû óáåäèòüñÿ, ÷òî (152) ðåøàåò (150), ïîäñòàâèì åãî â ïåðâîå óðàâíåíèå èç (150):
4π
x
A (x) =
c
µ
Z
Z
4π
d4 y j µ (y) x G(x, y) =
d y j (y) G(x, y) =
c
Z
4π
4π µ
=
d4 y j µ (y) δ (4) (x − y) =
j (x).
c
c
4
µ
Ò.å. ïåðâîå óðàâíåíèå â (150) âûïîëíåíî.
100
Ïðåæäå ÷åì äâèãàòüñÿ äàëüøå, îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî óðàâíåíèå (151) íå ìåíÿåò ñâîåãî âèäà ïðè òðàíñëÿöèÿõ â Ï è ïðè âñåâîçìîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ Ëîðåíöà.
Ïîýòîìó åãî ðåøåíèå äîëæíî çàâèñåòü òîëüêî îò èíâàðèàíòíîé îòíîñèòåëüíî ýòèõ ïðå-
xµ è yµ . Òàêîé êîìáèíàöèåé
ÿâëÿåòñÿ ìîäóëü ðàçíîñòè ìåæäó
p
G(x, y) = G(|x − y|), ãäå |x − y| ≡ (x − y)µ (x − y)µ . Ïîäñòàâèì òåïåðü (152) âî
îáðàçîâàíèé êîìáèíàöèè
íèìè:
âòîðîå óðàâíåíèå èç (150):
Z
Z
4π
∂
4π
4
µ
∂µ A (x) =
d4 y j µ (y) µ G(|x − y|) =
∂µ
d y j (y) G(|x − y|) =
c
c
∂x
Z
Z
µ
∂
∂j (y)
4π
4π
d4 y j µ (y) − µ G(|x − y|) =
d4 y
G(|x − y|) = 0.
=
c
∂y
c
∂y µ
µ
Ïðåäïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ïîëó÷åíî ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì, à ïîñëåäíåå ïîµ
ñëå ïðèìåíåíèÿ çàêîíà ñîõðàíåíèÿ çàðÿäà ∂µ j = 0. Ò.å. âòîðîå óðàâíåíèå â (150) òîæå
âûïîëíåíî.
2. ×òîáû ðåøèòü óðàâíåíèå (151), ïðåäñòàâèì óíêöèþ
G(x − y) =
Z
d4 k
µ
G̃(k) ei kµ (x−y) .
4
(2 π)
δ óíêöèè
Äàëåå âñïîìíèì, ÷òî Ôóðüå ïðåäñòàâëåíèå
(4)
δ (x − y) =
ðèíà â âèäå èíòåãðàëà Ôóðüå:
Z
èìååò âèä:
d4 k i kµ (x−y)µ
e
.
(2 π)4
Òîãäà óðàâíåíèå (151) ïðèíèìàåò âèä:
Z
Âñïîìèíàÿ, ÷òî
÷åñêîìó:
µ
i
d4 k h
µ
G̃(k)
−
1
ei kµ (x−y) = 0.
x
4
(2 π)
µ
x ei kµ (x−y) = −kα k α ei kµ (x−y)
, ñâîäèì ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ê àëãåáðàè-
kα k α G̃(k) = −1,
îáùèì ðåøåíèåì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ:
1
+ C(k) δ(k 2 ),
k2
k 2 ≡ kα k α = 0 óíêöèÿ.
G̃(k) = −
ãäå
C(k)
ïðîèçâîëüíàÿ ðåãóëÿðíàÿ ïðè
G(x − y) = −
R
Z
Òîãäà
µ
d4 k ei kµ (x−y)
+ G0 (x − y),
(2 π)4
k2
µ
d4 k
ei kµ (x−y) C(k) δ(k 2 ) è ñëåäîâàòåëüíî x G0 (x − y) = 0. Ò.ê. ðåøåíèå
(2 π)4
óðàâíåíèÿ (151), òàê æå êàê è ðåøåíèå óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà (150), â ëþáîì ñëó÷àå îïðå-
ãäå
G0 (x − y) ≡
äåëåíî ñ òî÷íîñòüþ äî ðåøåíèÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ, òî ìû âñåãäà ìîæåì îòáðîñèòü
G0 (x − y) â îðìóëå äëÿ G(x − y).
Èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå äëÿ óíêöèè
101
ðèíà
G(x − y) = −
Z
µ
d4 k ei kµ (x−y)
=−
(2 π)4 kα k α
Z
d3 k
(2 π)3
Z
+∞
−∞
~
dk0 ei k0 (x−y)0 −i k (~x−~y)
2π
k02 − ~k 2
ÿâëÿåòñÿ îðìàëüíûì, à èìåííî ðàñõîäèòñÿ, ò.ê. íà îñè èíòåãðèðîâàíèÿ ïî
äâà ïîëþñà
k0
k0 = ±|~k| = ±k .
k0
(153)
ìû èìååì
Íàì íåîáõîäèìî îïðåäåëèòüñÿ ñ ïðàâèëîì èíòåãðèðîâàíèÿ ïî
(ò.å. ñ ïðàâèëîì îáõîäà ïîëþñîâ), ÷òîáû ïðèäàòü ñìûñë ðàññìàòðèâàåìîìó èíòåãðàëó
îïðåäåëèòü åãî â ñìûñëå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ.
×òîáû èêñèðîâàòü ïðàâèëî îáõîäà ïîëþñîâ íàäî íàëîæèòü îïðåäåëåííûå ãðàíè÷íûå
óñëîâèÿ íà óíêöèþ
ðèíà èç îáùèõ èçè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé. Ìû ïîòðåáóåì, ÷òîáû
GR (x − y) = 0,
if
y 0 > x0 .
(154)
Ýòèì óñëîâèåì îïðåäåëÿåòñÿ òàê íàçûâàåìàÿ çàïàçäûâàþùàÿ óíêöèÿ
ãî è âîçíèêàåò èíäåêñ
R
ðèíà. Èç-çà ýòî-
îò àíãëèéñêîãî ñëîâà retarded (çàïàçäûâàþùèé) ó óíêöèè
ðèíà. Çàïàçäûâàþùàÿ óíêöèÿ
ðèíà óäîâëåòâîðÿåò ïðèíöèïó ïðè÷èííîñòè âîçìóxµ = (x0 , ~x) (òî÷êó ãäå ïîëå èçìåðÿåòñÿ)
µ
0
y ), ò.å.
òîëüêî ïîñëå òîãî êàê îíî áûëî ñîçäàíî èñòî÷íèêîì â ìèðîâîé òî÷êå y = (y , ~
µ
0
0
GR (x − y) 6= 0, à ñëåäîâàòåëüíî è A 6= 0, òîëüêî åñëè x ≥ y .
ùåíèå ïîëÿ äîëæíî ïðèõîäèòü â ìèðîâóþ òî÷êó
Òàêèì îáðàçîì:
0
GR (x − y) ≡ −Θ x − y
ãäå
0
Z
µ
d4 k ei kµ (x−y)
=−
(2 π)4 kα k α
0
Θ x −y
à êîíòóð
C
0
â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè
≡
k0
Z
d3 k −i ~k (~x−~y)
e
(2 π)3
Z
C
dk0 ei k0 (x−y)0
,(155)
2 π k02 − ~k 2
1, x0 ≥ y 0
,
0, x0 < y 0
(156)
ïðîõîäèò âäîëü äåéñòâèòåëüíîé îñè Imk0
ñëåâà íàïðàâî è îáõîäèò ïîëþñà ïîäèíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ,
k0 = ±k ,
= 0
ñíèçó ïî íåáîëü-
øèì ïîëóîêðóæíîñòÿì (ñì. ðèñóíîê (9)). Ñåé÷àñ ìû óâèäèì, ÷òî ïðè òàêîì îïðåäåëåíèè
êîíòóðà, ðàññìàòðèâàåìûé èíòåãðàë ïðèâîäèò ê óíêöèè
ðèíà, óäîâëåòâîðÿþùåé ïðèí-
öèïó ïðè÷èííîñòè. Äðóãèå âîçìîæíîñòè â âûáîðå êîíòóðà ïðèâîäÿò ê äðóãèì óíêöèÿì
ðèíà îòëè÷àþùèìñÿ äðóã îò äðóãà è îò ðàññìàòðèâàåìîé çäåñü óíêöèè íà ïðèáàâëåíèå
ðåøåíèÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ.
×òîáû âû÷èñëèòü èíòåãðàë ïî
k0
ñ èñïîëüçîâàíèåì îðìóëû Êîøè (ñì. àïïåíäèêñ â
êîíöå ýòîé ëåêöèè), íåîáõîäèìî êàêèì-òî îáðàçîì çàìêíóòü îïðåäåëåííûé âûøå êîíòóð
0
0
â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè k0 . Åñëè (x −y ) < 0, òî êîíòóð C ñëåäóåò çàìêíóòü áåñêîíå÷-
C
íîé ïîëóîêðóæíîñòüþ, èäóùåé ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå â íèæíåé ïîëóïëîñêîñòè êîìïëåêñíîé
R dk0 ei k0 (x−y)0
ïëîñêîñòè k0 . Äåéñòâèòåëüíî èíòåãðàë
âäîëü ýòîé ïîëóîêðóæíîñòè ðàâåí
2π
k02 −~k 2
íóëþ, ò.ê. íà íåé ìíèìàÿ ÷àñòü k0 ðàâíà ìèíóñ áåñêîíå÷íîñòè (íà ýòîé ïîëóêîðóæíîi k (x−y)0
ñòè e 0
= 0). Ïîýòîìó äîáàâëåíèå ê (155) èíòåãðàëà âäîëü òàêîé ïîëóîêðóæíîñòè
íå ìåíÿåò åãî çíà÷åíèÿ. Íî ðàññìàòðèâàåìûé çàìêíóòûé êîíòóð íå îõâàòûâàåò íèêàêèõ
102
èñ. 9:
ïîëþñîâ, ò.ê.
k0 = ±k
íàõîäÿòñÿ âíå åãî â ñèëó ïðèâåäåííîãî âûøå ñîãëàøåíèÿ. Ïîýòî-
ìó ïî òåîðåìå Êîøè ìû ïîëó÷àåì, ÷òî òàê îïðåäåëåííàÿ óíêöèÿ ðèíà óäîâëåòâîðÿåò
0
0
ïðèíöèïó ïðè÷èííîñòè: GR (x − y) = 0, åñëè x < y .
0
0
Äàëåå, åñëè (x − y ) > 0, òî, ïî òîé æå ïðè÷èíå, êîíòóð C ñëåäóåò çàìêíóòü áåñêîíå÷íîé ïîëóîêðóæíîñòüþ, èäóùåé ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè
êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè
k0 .
k0 = ±k , à ïîòî0
0
çíà÷åíèå ïðè x − y > 0
Òàêîé êîíòóð îõâàòûâàåò èìåííî äâà ïîëþñà
ìó ðàññìàòðèâàåìûé èíòåãðàë ïî
k0
íå ðàâåí íóëþ. Íàéäåì åãî
ïî îðìóëå Êîøè, âû÷èñëèâ ñóììó âû÷åòîâ â ïîëþñàõ
k0 = ±k :
Z
1
1
dk0 ei k0 (x−y)0
dk0 ei k0 (x−y)0
=
−
=
2
2k
k0 − k k0 + k
k2
C 2 π k0 − ~
C 2π
ei k (x−y)0
sin [k (x0 − y 0)]
e−i k (x−y)0
0
0
= iΘ x − y
=−
−
Θ x0 − y 0 .
2k
2k
k
Z
Âïîñëåäíåé îðìóëå äëÿ îïðåäåëåíèÿ çíàêà ðåçóëüòèðóþùåãî âûðàæåíèÿ ìû ó÷ëè, ÷òî
êîíòóð ïðîõîäèò ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè.
Òàêèì îáðàçîì:
0
GR (x − y) = −Θ ∆x
Z
d3 k −i ~k ∆~x sin [k ∆x0 ]
e
,
(2 π)3
k
∆x0 ≡ x0 −y 0 , à ∆~x ≡ ~x −~y . Äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà ïî d3 k âûáåðåì â ïðîñòðàíñòâå
~k ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû ~k = (k, θk , ϕk ), à îñü kz â ýòîì ïðîñòðàíñòâå íàïðàâèì âäîëü ∆~x.
ãäå
Òîãäà:
103
Z
Z
Z
π
2π
sin (k ∆x0 )
dθk sin θk
dϕk e−i k |∆~x| cos θk
=
k
0
0
0
Z
Z 1
Θ (∆x0 ) +∞
−i k |∆~
x| cos θk
0
dk
k
d
cos
θ
e
sin
k
∆x
=
=−
k
(2 π)2
0
−1
Z
i k ∆x0 − e−i k ∆x0
Θ (∆x0 ) +∞ dk k
−i k |∆~
x|
i k |∆~
x| e
e
−e
=
=−
(2 π)2
−i k |∆~x|
2i
0
Z +∞
Θ (∆x0 )
−i k (∆x0 +|∆~
x|)
−i k (∆x0 −|∆~
x| )
i k (∆x0 −|∆~
x|)
i k (∆x0 +|∆~
x|)
=
+
e
−
e
−
e
=
dk
e
2 (2 π)2 |∆~x| 0
Z
Θ (∆x0 ) +∞ dk i k (∆x0 +|∆~x|)
i k (∆x0 −|∆~
x|)
=
=
−e
e
4 π |∆~x| −∞ 2 π
Θ (∆x0 )
=
δ ∆x0 − |∆~x| − δ ∆x0 + |∆~x| (157)
.
4 π |∆~x|
Θ (∆x0 )
G(∆x) = −
(2 π)3
+∞
dk k
2
0
x|) 6= 0, åñëè ∆x0 = − |∆~x| < 0, íî Θ (∆x0 ) 6= 0, åñëè
 ïîñëåäíåì âûðàæåíèè δ (∆x + |∆~
0
0
∆x > 0. Ïîýòîìó δ (∆x + |∆~x|) â ýòîì âûðàæåíèè ìîæíî îòáðîñèòü, ïîëó÷èâ îêîí÷à-
òåëüíûé îòâåò äëÿ çàïàçäûâàþùåé óíêöèè
GR (x − y) =
Âûðàæåíèå (158) äëÿ óíêöèè
íóëþ òîëüêî ïðè
ðèíà:
1
δ ∆x0 − |∆~x| .
4 π |∆~x|
(158)
ðèíà èìååò ïðîçðà÷íûé èçè÷åñêèé ñìûñë. Îíî íå ðàâíî
c (tx − ty ) ≡ ∆x0 = |∆~x| > 0,
ò.å. òîëüêî íà ñâåòîâîì êîíóñå è, áîëåå
òîãî, íà òîé åãî ÷àñòè, êîòîðàÿ èñõîäèò èç ìèðîâîé òî÷êè
y
â áóäóùåå. Äåéñòâèòåëüíî
ðîæäåííàÿ ÝÌ âîëíà äîëæíà ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ ïîñëå ðîæäåíèÿ â ìèðîâîé òî÷êå
y
ñî
ñêîðîñòüþ ñâåòà âïåðåä â áóäóùåå.
Èç ñâîéñòâà
δ óíêöèè
δ [g(x)] =
N
X
δ (x − xq )
q=1
|g ′ (xq )|
,
g(xq ) = 0,
∀q = 1, . . . , N
(159)
âèäíî, ÷òî
ãäå
δ (∆x0 − |∆~x|) + δ (∆x0 + |∆~x|)
,
δ (x − y)2 =
2 |∆~x|
(x − y)2 ≡ (x − y)µ (x − y)µ , è ìû ìîæåì ïðåäñòàâèòü çàïàçäûâàþùóþ óíêöèþ
ðèíà
â áîëåå óäîáíîé äëÿ äàëüíåéøèõ âû÷èñëåíèé îðìå:
GR (x − y) =
3.
Θ (x0 − y 0)
δ (x − y)2
2π
Ïðèìåíèì òåïåðü íàéäåííóþ óíêöèþ
(160)
ðèíà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî
òî÷å÷íîé çàðÿæåííîé ÷àñòèöåé, ñîâåðøàþùåé ïðîèçâîëüíîå çàäàííîå äâèæåíèå. Ïóñòü
zµ (s)
ìèðîâàÿ ëèíèÿ ÷àñòèöû. Ñîîòâåòñòâóþùèé 4âåêòîð òîêà èìååò âèä:
104
µ
j (y) = e c
Z
+∞
−∞
ds uµ (s) δ (4) [y − z(s)] ,
uµ (s) ≡
dz µ (s)
.
ds
Ïîäñòàâèâ ÿâíûé âèä çàïàçäûâàþùåé óíêöèè ðèíà è ýòî âûðàæåíèå äëÿ òîêà â îð4
(4)
ìóëó (152) è âçÿâ èíòåðãàë ïî d y ñ èñïîëüçîâàíèåì δ
[y − z(s)], ìû ïîëó÷èì:
µ
A (x) = 2 e
Z
ds Θ x0 − z 0 (s) δ [x − z(s)]2 uµ (s).
(161)
Äàëåå, èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî (159), ïðåäñòàâèì
δ(s − sr )
,
δ [x − z(s)]2 =
2
d[x−z(s)]
ds
ãäå
d[x − z(s)]2
d[x − z(s)]µ
dz µ (s)
= 2 [x − z(s)]µ
= −2 [x − z(s)]µ
=
ds
ds
ds
= −2 [x − z(s)]µ uµ (s) ≡ −2 [x − z(s)] · u(s),
à
sr
ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ
[x − z(sr )]2 = 0,
x0 > z 0 (sr ).
 òðåõìåðíîé îðìå ýòî óðàâíåíèå èìååò âèä:
t − tr =
tr ≡ z 0 (sr )/c
ãäå
|~x − ~z (tr )|
,
c
êîîðäèíàòíîå âðåìÿ, ñîîòâåòñòâóþùåå ñîáñòâåííîìó
sr .
Ïîêàæåì, ÷òî óðàâíåíèå íà sr èìååò åäèñòâåííîå ðåøåíèå. Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì
2
óíêöèþ ϕ(s) ≡ [x − z(s)] . Åå ïðîèçâîäíàÿ ðàâíà:
dϕ(s)
(~v, [~x − ~z ])
µ
0 0
0
< 0,
= −2 [x − z(s)]µ u (s) = −2u [x − z ] 1 −
ds
c (x0 − z 0 )
x0 > z 0 (~v = d~r/dt, u0 = c dt/ds). Ñëåäîâàòåëüíî ϕ(s) ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííîé
óíêöèåé îò s. Ïîýòîìó ó óðàâíåíèÿ ϕ(sr ) = 0 ìîæåò áûòü òîëüêî îäèí êîðåíü.
Ôèçè÷åñêèé ñìûñë tr è sr ýòî ìîìåíòû êîîðäèíàòíîãî è ñîáñòâåííîãî, ñîîòâåòñòâåí-
ò.ê.
|~v | < c
è
íî, âðåìåíè èçëó÷åíèÿ (radiation) òîé ÝÌ âîëíû, êîòîðàÿ íàáëþäàåòñÿ â ìèðîâîé òî÷êå
x.
Ýòà âîëíà ñîçäàåòñÿ â òî÷êå
zµ (sr )
íà ìèðîâîé ëèíèè ÷àñòèöû, êîòîðàÿ ñèäèò â
xµ = (t, ~x). Ïðè ýòîì ðàçíîñòü
âåðøèíå ñâåòîâîãî êîíóñà, ñîäåðæàùåãî ìèðîâóþ òî÷êó
t − tr = |~x − ~z(tr )| /c > 0 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âðåìÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ÝÌ âîëíû èç
z(tr ) â òî÷êó x, èçìåðåííîå â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà (ñìîòðèòå ðèñóíîê).
òî÷êè
Òàêèì îáðàçîì:
µ
A (x) = 2 e
Z
ds
δ(s − sr )
d[x−z(s)]2
ds
uµ (s) =
e uµ (sr )
e uµ (s)
=
u(sr ) · [x − z(sr )]
u(s) · X(s)
105
,
s=sr
(162)
èñ. 10:
ãäå ìû ââåëè îáîçíà÷åíèå
X µ (s) = xµ − z µ (s).
Ïðè ýòîì
sr
ðåøàåò óðàâíåíèå
X 2 (sr ) = 0.
Ïðîñòîé ïîäñòàíîâêîé ïîëó÷àåì, ÷òî â 3ìåðíîé îðìå óðàâíåíèå (162) èìååò âèä:
A0 (t, ~x) = ϕ (t, ~x) =
~ (t, ~x) =
A
e
R 1−
(~
v ,~
n)
c
e ~v
cR 1 −
(~v ,~
n)
c
,
tr
,
(163)
tr
~ ≡ ~x −~z (t) 3ìåðíûé ðàäèóñ âåêòîð âåäóùèé èç òî÷êè èçëó÷åíèÿ â òî÷êó íàáëþäåR
~ è ~n = R/R
~
v = ~z˙ (t), R ≡ R
åäèíè÷íûé âåêòîð â íàïðàâëåíèè èçëó÷åíèÿ
íèÿ ÝÌ âîëíû, ~
ãäå
ÝÌ âîëíû. Ïîòåíöèàëû (162)-(163) íàçûâàþòñÿ ïîòåíöèàëàìè ËèåíàðàÂèõåðòà.
4. Âû÷èñëèì òåïåðü òåíçîð ÝÌ ïîëÿ Fµν . Äëÿ ýòîãî óäîáíåå èñõîäèòü èç èíòåãðàëüíîãî
ïðåäñòàâëåíèÿ âåêòîð ïîòåíöèàëà (161). Òîãäà
∂
∂ A (x) = 2 e
∂xν
ν
µ
Z
ds u (s) Θ X 0 (s) δ X 2 (s) = 2 e
µ
Z
∂ 2
ds uµ(s) Θ X 0 (s)
δ X (s)
∂xν
 êà÷åñòâå äîìàøíåãî çàäàíèÿ ïîêàæèòå, ÷òî ïðèìåíåíèå ïðîèçâîäíîé ∂/∂xν ê Θ [X 0 (s)]
íå äàåò âêëàäà â ∂ ν Aµ . Ïðè ýòîì èìåéòå ââèäó, ÷òî dΘ(x)/dx = δ(x).
Äàëåå
2
2
∂ 2
d
ν d
δ X (s) = 2 X ν (s)
δ
X
(s)
=
2
X
δ
X (s)
∂xν
dX 2
ds
Òàêèì îáðàçîì,
106
1
dX 2 (s)
ds
=−
Xν d 2
δ X (s) .
u · X ds
ν
Z
µ
∂ A = −2 e
uµ (s) X ν (s) d 2
δ X (s) .
ds Θ X 0 (s)
u(s) · X(s) ds
Ïðîèíòåãðèðîâàâ ïî ÷àñòÿì â ïîñëåäíåì èíòåãðàëå, ìû ïîëó÷àåì
ν
µ
∂ A = 2e
0 2 d uµ (s) X ν (s)
ds Θ X (s) δ X (s)
.
ds u(s) · X(s)
Z
Âû÷èñëèâ ïîëó÷åííûé èíòåãðàë ñ èñïîëüçîâàíèåì
µ
ñäåëàëè ïðè âû÷èñëåíèè A (x) âûøå, ìû ïîëó÷èì
δ óíêöèè,
e d uµ X ν
∂ A (x) =
u · X ds u · X
ν
µ
òî÷íî òàêæå êàê ìû ýòî
.
sr
Ñëåäîâàòåëüíî òåíçîð ÝÌ ïîëÿ ðàâåí:
F
µν
e d X µ uν − X ν uµ
=
u · X ds
u·X
sr
Äàëåå, âû÷èñëèâ ïðîèçâîäíóþ d/ds, ïðè ýòîì âîñïîëüçîâàâøèñü ñâîéñòâàìè
wµ uµ = 0, ãäå w µ ≡ duµ /ds 4óñêîðåíèå, ìû ïîëó÷àåì
F
µν
e
w·X −1
µ ν
ν µ
µ ν
ν µ
(X u − X u )
=
(X w − X w ) −
u·X
(u · X)2
×òîáû âû÷èñëèòü êîìïîíåíòû
wµ ≡
1
d
d µ
q
u =
ds
ds
1−
~
E
è
~
B
.
~a ≡ ~x¨.
~ (t, ~x) =
E
(164)
òåíçîðà ÝÌ ïîëÿ, íàéäåì êîìïîíåíòû 4óñêîðåíèÿ:
1
~v
d
= q1
=
q
, q
v2 dt
v2
v2
v2
c 1 − c2
1 − c2 c 1 − c2
c2
˙
~v, ~v
~v ~v , ~v˙
~v˙
1
+
= q
3 , q
3 =
v2 2
v2 2
v2
v2
2
3
c 1 − c2
c 1 − c2
c 1 − c2
c 1 − c2
!
(~v , ~a)
~a
~v (~v, ~a)
=
,
,
2 +
2 2
2 2
c2 1 − vc2
c3 1 − v2
c4 1 − v2
~v
, q
v2
c 1−
c2
Òîãäà ïîñëå ïîäñòàíîâêè êîìïîíåíò 4âåêòîðîâ
~ (t, ~x) =
B
è
sr
c
ãäå
uµ uµ = 1
c
X, u
è
w
â (164), ïîëó÷àåì:
2
e 1 − vc2 [~v × ~n]
e (c [~a × ~n] + [~n × [[~v × ~a] × ~n]])
+
3
3
(~
v ,~
n)
(~
v ,~
n)
2
3
cR 1 − c
c R 1− c
tr
2
~n − ~vc
e 1 − vc2
e ~n × ~n − ~vc × ~a
+
,
3
3
R2 1 − (~vc,~n)
c2 R 1 − (~vc,~n)
tr
107
tr
tr
(165)
ãäå
~n =
~
R
åäèíè÷íûé âåêòîð âäîëü íàïðàâëåíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ÝÌ âîëíû. ËåãR
êî âèäåòü, ÷òî ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ äëÿ ÝÌ ïîëåé óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ
h
i
~
~n(tr ) × E(t)
è âåêòîðà
~
~n, B
è
~
E
~
B(t)
=
îáðàçóþò îðòîãîíàëüíóþ òðîéêó.
Ôèçè÷åñêèé ñìûñë ïîëó÷åííûõ âûðàæåíèé ìû îáñóäèì â ñëåäóþùåé ëåêöèè.
6. Àïïåíäèêñ ñ íåêîòîðûìè ñâîéñòâàìè óíêöèè ðèíà.
•
Ïîìèìî çàïàçäûâàþùåé åñòü åùå è îïåðåæàþùàÿ (advan ed) óíêöèÿ
GA (x − y) =
êîòîðàÿ îáëàäàåò ñâîéñòâîì
•
ðèíà :
δ (∆x0 + |∆~x|)
Θ (y 0 − x0 )
δ (x − y)2 =
,
2π
4 π |∆~x|
GA (x − y) = 0,
åñëè
x0 > y 0
Ñóììà çàïàçäûâàþùåé è îïåðåæàþùåé óíêöèé
ðèíà
δ (x − y)2
G(x − y) = GR (x − y) + GA (x − y) =
2π
òîæå ðåøàåò óðàâíåíèå (151).
•
Óðàâíåíèå íà óíêöèþ
ðèíà èìååò òàê æå è ñëåäóþùåå ðåøåíèå
G(x − y) = −
2 π2
i
.
(x − y)2
 ýòîì ìîæíî óáåäèòüñÿ, âîñïëüçîâàâøèñü îðìóëîé Ñîõîòñêîãî, êîòîðàÿ â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ïðèíèìàåò âèä:
1
1
= v.p.
+ i π δ (x − y)2 .
2
2
ǫ→0 (x − y) + i ǫ
(x − y)
lim
 ýòîì âûðàæåíèè
1
v.p. (x−y)
2
íå èìååò îñîáåííîñòåé ïðè
(x − y)2 = 0.
Ïîýòîìó îíî
δ[(x−y)2 ]
0
ðåøàåò îäíîðîäíîå óðàâíåíèå G (x − y) = 0, ïîýòîìó óíêöèè
ðèíà
è
2π
i
− 2 π2 (x−y)
ðàâíû
äðóã
äðóãó
ñ
òî÷íîñòüþ
äî
ïðèáàâëåíèÿ
ðåøåíèÿ
îäíîðîäíîãî
óðàâ2
íåíèÿ, ò.å. ðåøàþò îäíî è òîæå íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå (151).
7. Àïïåíäèêñ î òåîðåìå Êîøè.
àññìîòðèì èíòåãðàë âèäà:
Im =
I
Cz0 ,R
Çäåñü
Cz0 ,R
dz (z − z0 )m ,
R
ýòî îêðóæíîñòü ðàäèóñà
m ∈ Z.
ñ öåíòðîì â òî÷êå
(166)
z0 .
×òîáû âû÷èñëèòü ýòîò
z , êîòîðûé ëåæèò íà ýòîé îêðóæíîñòè, â
ϕ ∈ [0, π). Òîãäà îáñóæäàåìûé èíòåãðàë ïðèíèìàåò
èíòåãðàë, ïðåäñòàâèì
ñëåäóþùåì âèäå:
z0 + R ei ϕ ,
ñëåäóþùèé âèä:
ãäå
Im = R
m+1
i
Z
z =
2π
dϕ ei (m+1) ϕ .
0
108
(167)
 ñèëó ïåðèîäè÷íîñòè ïîäèíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ, ïîëó÷åííûé èíòåãðàë ðàâåí íóëþ
ïðè âñåõ
m,
êðîìå
m = −1.
Òî åñòü:
Im =
0 m 6= −1
2 π i m = −1
(168)
I
(169)
àññìîòðèì òåïåðü èíòåãðàë âèäà:
1
I=
2πi
Çäåñü
f (z)
dz
Cz0 ,R
f (z)
.
z − z0
àíàëèòè÷åñêàÿ óíêöèÿ âíóòðè îêðóæíîñòè
Cz0 ,R .
Ýòî çíà÷èò, ÷òî â ðàç-
ëîæåíèè ýòîé óíêöèè â ðÿä Ëîðàíà âíóòðè ýòîé îêðóæíîñòè âîêðóã ëþáîé òî÷êè íå
P
m
ïðèñóòñòâóþò ÷ëåíû îòðèöàòåëüíîé ñòåïåíè: íàïðèìåð, f (z) =
m∈Z fm (z − z0 ) , ãäå
fm = 0
ïðè
m < 0.
Òîãäà, ðàçëàãàÿ
f (z)
â ðàä Ëîðàíà âíóòðè îáñóæäàåìîé îáëàñòè è
âîñïîëüçîâàâøèñü ðàññóæäåíèÿìè ïðèâåäåííûìè âûøå, ïîëó÷àåì:
I = f0 ≡ f (z0 ).
(170)
×òîáû îáîáùèòü âñå ýòè âûêëàäêè íà ñëó÷àé êîíòóðîâ áîëåå îáùåãî âèäà, ÷åì îêðóæíîñòü, ðàññìîòðèì êîíòóð
CR,ǫ ,
êîòîðûé èçîáðàæåí íà ðèñóíêå (11). À èìåííî, ïóñòü èí-
òåãðàë èäåò âäîëü êîíòóðà îêðóæíîñòè ðàäèóñà
îêðóæíîñòü ìàëîãî ðàäèóñà
f (z)
ǫ,
R,
à â íåêîòîðé òî÷êå îòâåòâëÿåòñÿ íà
à çàòåì ïðîäîëæàåò èäòè âäîëü èñõîäíîãî êîíòóðà. Ïóñòü
àíàëèòè÷åñêàÿ â ñîîòâåòñòâóþùåé îáëàñòè.  ñèëó àíàëèòè÷íîñòè âñåãî ïîäèíòå-
ãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ âíóòðè ìàëåíüêîãî êîíòóðà ðàäèóñà
ǫ,
ýòîò êîíòóð äàåò íóëåâîé
âêëàä â èíòåãðàë. Òî åñòü,
1
2πi
I
dz
CR,ǫ
f (z)
= f (z0 ).
z − z0
(171)
Èñïîëüçóÿ êîíòóðà ìàëûõ ðàäèóñîâ ðàçëè÷íîãî ðàçìåðà, ìû ìîæåì ïðîäåîðìèðîâàòü
èñõîäíóþ îêðóæíîñòü â êîíòóð ïðîèçâîëüíîé îðìû, êîëü ñêîðî íàì ïîçâîëÿåò ñäåëàòü
ýòî àíàëèòè÷íîñòü óíêöèè
f (z).
Òî åñòü ïðè òàêèõ äåîðìàöèÿõ êîíòóðà îí íå äîëæåí
ïåðåñåêàòü ïîëþñà è ðàçðåçû óíêöèè
f (z),
åñëè îíè èìåþòñÿ. Ýòî çàâåðøàåò ñõåìàòè÷å-
ñêîå äîêàçàòåëüñòâî îðìóëû Êîøè.
Âîïðîñû è çàäà÷è
•
•
Íàéäèòå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå:
∆ + k 2 G (~x − ~y ) = δ (3) (~x − ~y ) ,
Íàéäèòå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâåâðåìåíè:
ãäå â ýòîì ñëó÷àå
G(x − y) = δ (3) (x − y),
≡ ∂02 − ∂12 − ∂22 .
109
ǫ
R
z0
èñ. 11:
•
Ïîëó÷èòå (163) èç (162).
•
Ïîâòîðèòå âû÷èñëåíèÿ ïðèâåäåííûå â ýòîé ëåêöèè äëÿ ñëó÷àÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ:
ãäå
j(x) = q
R
φ(x) = j(x),
ds δ (4) [x − z(s)],
à
q
êîíñòàíòà âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó òî÷å÷íîé
÷àñòèöåé è ñêàëÿðíûì ïîëåì. Âû÷èñëèòå òàêæå
•
∂µ φ.
Âû÷èñëèòå èíòåãðàë
I=
I
C0,1
ãäå
C0,1
dz
√ ,
z
îêðóæíîñòü åäèíè÷íîãî ðàäèóñà ñ öåíòðîì â òî÷êå 0. Ó óíêöèè
åñòü ðàçðåç â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè
z.
Êàê ýòîò èíòåãðàë çàâèñèò îò ïîëîæåíèÿ
ðàçðåçà? Êàê îí çàâèñèò îò âûáîðà ëèñòà?
110
√
1/ z
Èçëó÷åíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí äâèæóùèìèñÿ
çàðÿäàìè, èíòåíñèâíîñòü èçëó÷åíèÿ è ìîùíîñòü ïîòåðü, èçëó÷åíèå â äèïîëüíîì ïðèáëèæåíèè, ìóëüòèïîëüíîå ðàçëîæåíèå â
íåðåëÿòèâèñòñêîì ïðèáëèæåíèè.
Ëåêöèÿ XI;
1.
Íà ïðåäûäóùåé ëåêöèè ìû âû÷èñëèëè ÝÌ ïîëÿ, ñîçäàâàåìûå â ìèðîâîé òî÷êå
t, ~x
ðåëÿòèâèñòñêîé òî÷å÷íîé ÷àñòèöåé, ñîâåðøàþùåé ïðîèçâîëüíîå äâèæåíèå âäîëü ìèðîâîé
µ
ëèíèè z (t):
2
e 1 − vc2 [~v × ~n]
e (c [~a × ~n] + [~n × [[~v × ~a] × ~n]])
+
3
3
(~
v ,~
n)
(~
v ,~
n)
2
3
cR 1 − c
c R 1− c
tr
2
e 1 − vc2
~n − ~vc
e ~n × ~n − ~vc × ~a
+
,
3
3
R2 1 − (~vc,~n)
c2 R 1 − (~vc,~n)
~ (t, ~x) =
B
~ (t, ~x) =
E
tr
ãäå
~
R(t)
≡ ~x − ~z(t)
tr
(172)
tr
3ìåðíûé ðàäèóñ-âåêòîð, âåäóùèé èç òî÷êè èçëó÷åíèÿ â òî÷êó
~ , à ~n = R~ åäèíè÷íûé âåêòîð âäîëü
íàáëþäåíèÿ ÝÌ âîëíû, ~
v = ~z˙ (t), ~a = ~v˙ , R ≡ R
R
÷àñòèöåé ÝÌ ïîëÿ, êîòîðîå íàáëþäàåòñÿ â òî÷êå
~a
t, ~x
~
B
â (172) ñîäåðæèò äâà âêëàäà: ïåðâûé, êîòîðûé íå çàâèñèò îò
2
è ñïàäàåò ñ ðàññòîÿíèåì êàê 1/R , è âòîðîé, êîòîðûé çàâèñèò îò óñêîðåíèÿ è
Êàæäîå èç ïîëåé
óñêîðåíèÿ
~
E
è
tr
ìîìåíò âðåìåíè ïîðîæäåíèÿ
|~
x−~
z (tr )|
ðåøàåò óðàâíåíèå t − tr =
.
c
íàïðàâëåíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ÝÌ âîëíû. Ïðè ýòîì
1/R. Ò.å. ïåðâîå ñëàãàåìîå â êàæäîì èç ÝÌ ïîëåé ñîîòâåòñòâóåò
äâèæóùåãîñÿ çàðÿäà. Äåéñòâèòåëüíî ïðè ~
v = const èìååì:
ñïàäàåò ñ ðàññòîÿíèåì êàê
ïîëþ ðàâíîìåðíî
~ r ) + ~v (t − tr ) = R(t),
~
~ r ) + ~v R(tr ) = R(t
R(t
c
ò.å. ýòî âåêòîð, ñîåäèíÿþùèé ìåñòîïîëîæåíèå çàðÿäà â ìîìåíò íàáëþäåíèÿ ñ òî÷êîé íàáëþäåíèÿ. Îòêóäà ñëåäóåò
(~n, ~v)
R 1−
c
ãäå
θ
óãîë ìåæäó
~
R(t)
è
~v .
=R
tr
r
1−
v2
sin2 θ ,
c2
t
 ðåçóëüòàòå ïåðâûé âêëàä ñêàæåì â ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå
ñâîäèòñÿ ê
2
~
1 − vc2
~ ~x) = e R
E(t,
R3 1 − v2 sin2 θ 23
c2
t
èçâåñòíîìó âûðàæåíèþ äëÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ðàâíîìåðíî äâèãàþùåãîñÿ çàðÿäà.
Àíàëîãè÷íàÿ ñèòóàöèÿ ïîëó÷àåòñÿ è äëÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Òàêèå ÝÌ ïîëÿ ïîëó÷àþòñÿ
èç ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ Êóëîíà ïîñëå áóñòà Ëîðåíöà. Îíè ïðèâÿçàíû ê çàðÿäó, ò.å. íå
111
ìîãóò ñóùåñòâîâàòü íåçàâèñèìî îò èõ èñòî÷íèêà. Äåéñòâèòåëüíî, ìîæíî ïîñ÷èòàòü âåêòîð
ÓìîâàÏîéíòèíãà äëÿ òàêèõ ÝÌ ïîëåé è íàéòè, ÷òî õîòÿ îí è íå íóëåâîé (åñëè ~
a 6= 0),
4
íî ñïàäàåò ñ ðàññòîÿíèåì áûñòðî (êàê 1/R ) è îòâå÷àåò íóëåâîìó ïîòîêó ýíåðãèè ÷åðåç
áåñêîíå÷íî óäàëåííóþ ïîâåðõíîñòü. Êàê ìû ñåé÷àñ óâèäèì, ñèòóàöèÿ äëÿ âòîðûõ âêëàäîâ
â ÝÌ ïîëÿ (172) ñèëüíî îòëè÷íà îò ýòîé.
Íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ îò ÷àñòèöû (èñòî÷íèêà),
R ≫ (1 − v 2 /c2 )c2 /a, âûðàæåíèÿ äëÿ
ÝÌ ïîëåé óïðîùàþòñÿ, è îñòàþòñÿ òîëüêî âòîðûå âêëàäû, çàâèñÿùèå îò óñêîðåíèÿ:
~
v
e
~
n
×
~
n
−
×
~
a
c
~ (t, ~x) ≈
E
,
3
(~
v ,~
n)
2
c R 1− c
tr
h
i
~
~
B(t) = ~n(tr ) × E(t) .
(173)
Âû÷èñëèì ïîòîê ýíåðãèè äëÿ òàêèõ ïîëåé âíóòðè òåëåñíîãî óãëà
dΩ
íà áîëüøèõ ðàññòî-
ÿíèÿõ îò ÷àñòèöû:
Ñëåäîâàòåëüíî
i
c h ~
c ~2 2
~
dI =
E × B , ~n R2 dΩ =
E R dΩ.
4π
4π
dI
e2
=
dΩ
4 π c3
2
~n × ~n − ~vc × ~a
6
1 − (~nc,~v)
Ïîòîê ýíåðãèè â åäèíèöó òåëåñíîãî óãëà,
tr = t −
dI/dΩ,
.
(174)
tr
R
òîëüêî ÷åðåç àðãóìåí
R(tr )/c. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïîòîê ýíåðãèè ÷åðåç ïëîùàäêè R2 dΩ âíóòðè âûáðàí-
íîãî òåëåñíîãî óãëà
dΩ,
çàâèñèò îò
íàõîäÿùèåñÿ íà ðàçíûõ ðàññòîÿíèÿõ îò ÷àñòèöû â ñîîòâåòñòâó-
þùèå ìîìåíòû âðåìåíè (ñ ó÷åòîì êîíå÷íîñòè ñêîðîñòè ïåðåíîñà ýíåðãèè) áóäåò îäèíàêîâûì. Ò.å. ÝÌ âîçìóùåíèå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ îò ãåíåðèðóþùåé åãî çàðÿæåííîé ÷àñòèöû íà
áåñêîíå÷íîñòü. Îíî îáðàçóåò ïîëå èçëó÷åíèÿ, êîòîðîå, âîçíèêíóâ, îòðûâàåòñÿ îò ñâîåãî
èñòî÷íèêà.  ýòîì è ñîñòîèò ÿâëåíèå èçëó÷åíèÿ. Êâàçèñòàöèîíàðíîå ïîëå, îòâå÷àþùåå
ïåðâûì ñëàãàåìûì â îðìóëå (172), êàê ìû âèäåëè, òàêèì ñâîéñòâîì íå îáëàäàåò. Äëÿ
2
íåãî dI/dΩ ∼ 1/R .
2.
Îáðàòèì òåïåðü âíèìàíèå íà óãëîâîå ðàñïðåäåëåíèå èçëó÷åíèÿ óëüòðàðåëÿòèâèñò-
ñêîé ÷àñòèöû, äëÿ êîòîðîé
v ≈ c.
Çäåñü â ïåðâóþ î÷åðåäü âàæíî îáðàòèòü âíèìàíèå íà
çíàìåíàòåëü â îðìóëå äëÿ äèåðåíöèàëüíîé èíòåíñèâíîñòè (174) ýòî øåñòàÿ ñòå-
1 − (~n, ~v)/c = 1 − v cos θ/c, ãäå θ óãîë ìåæäó íàïðàâëåíèåì ñêîðîñòè
÷àñòèöû ~
v è íàïðàâëåíèåì èçëó÷åíèÿ ~n â ìîìåíò âðåìåíè èçëó÷åíèÿ tr . Ýòî âûðàæåíèå
áëèçêî ê íóëþ ïðè cos θ ≈ 1 è ê åäèíèöå, ïðè cos θ < 1. Ïîýòîìó âîçíèêàåò ðåçêàÿ àíèçîïåíü âûðàæåíèÿ
òðîïèÿ èçëó÷åíèÿ ïðàêòè÷åñêè âñå èçëó÷åíèå èäåò â ìàëîé îêðåñòíîñòè óãëîâ âáëèçè
íàïðàâëåíèÿ ñêîðîñòè. Ò.å. ÷àñòèöà èçëó÷àåò âïåðåä â îáëàñòè óãëîâ
õàðàêòåðíàÿ øèðèíà îáëàñòè èçëó÷åíèÿ.
Îöåíèì ýòó øèðèíó (v/c
≈ 1):
112
0 < ∆θ ≪ 1,
ãäå
∆θ
θ2
v v θ2
v
v
1−
=1− +
≈
1 − cos θ ≈ 1 −
c
c
2
c c 2
v
v θ2
v2
1
θ2
1 1
1
2
1+
1−
+
1− 2 +
=
=
+θ ,
≈
2
c
c
2
2
c
2
2 γ2
(175)
ãäå
γ
1/γ
ïîäàâëåíî ñòåïåííûì îáðàçîì âûñîêîé ñòåïåíüþ ðåëÿòèâèñòñêîãî àêòîðà. Ò.å.
ðåëÿòèâèñòñêèé àêòîð. Òàêèì îáðàçîì, èçëó÷åíèå â íàïðàâëåíèè óãëîâ
èçëó÷åíèå â îñíîâíîì ñîñðåäîòî÷åíî â êîíóñå ñ óãëîâûì ðàñòâîðîì
óãëîâ
θ . 1/γ ≈ ∆θ.
∼ 1/γ
θ >
â îáëàñòè
Ýòî ñâîéñòâî èçëó÷åíèÿ ðåëÿòèâèñòñêèõ ÷àñòèö , õîòÿ è ïîëó÷åíî íàìè ñåé÷àñ èç îðìóëû äëÿ
dI/dΩ, íà ñàìîì äåëå ëåãêî îáúÿñíÿåòñÿ ðåëÿòèâèñòñêèì ïðåîáðàçîâàíèåì óãëîâ
â ÑÒÎ, î êîòîðîì óæå ó íàñ áûëà ðå÷ü â íà÷àëå êóðñà. ß èìåþ ââèäó àáåððàöèþ ñâåòà.
′
Âñïîìíèì, ÷òî åñëè äâèãàþùèéñÿ ñî ñêîðîñòüþ v èñòî÷íèê èñïóñêàåò ñâåò ïîä óãëîì θ
ê íàïðàâëåíèþ ñêîðîñòè, òî â ïîêîÿùåéñÿ ÑÎ óãîë
θ
èñïóñêàíèÿ ñâåòà îïðåäåëÿåòñÿ ïî
îðìóëå:
cos θ′ =
cos θ − vc
,
1 − vc cos θ
êîòîðàÿ ñëåäóåò èç çàêîíà ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé.
Òîãäà ðàïðåäåëåíèå èñïóùåííûõ ÷àñòèö ïî óãëàì èìååò òàêîé âèä:
2
ãäå
dN
1 − vc2
dN
dN dΩ′
dN d cos θ′
dN
=
=
=
,
dΩ
dΩ′ dΩ
dΩ′ d cos θ
dΩ′ 1 − v cos θ 2
c
÷èñëî ÷àñòèö, ëåòÿùèõ â äàííûé òåëåñíûé óãîë.
Òàêèì îáðàçîì, â çíàìåíàòåëå ïîÿâëÿåòñÿ òîò æå ñàìûé àêòîð, ÷òî è âûøå. Äàæå
åñëè ðàñïðåäåëåíèå ïî óãëàì â ÑÎ, ñîïóòñòâóþùåé èñòî÷íèêó, ÿâëÿåòñÿ èçîòðîïíûì, ò.å.
dN/dΩ′ = const,
òî ïî îòíîøåíèþ ê ëàáîðàòîðíîé ÑÎ âûëåò ÷àñòèö ðåçêî àíèçîòðîïåí
è îíè â îñíîâíîì âûëåòàþò âïåðåä. Èìåííî ýòîò ýåêò â ïåðâóþ î÷åðåäü ïðèâîäèò ê
óçêîé íàïðàâëåííîñòè èçëó÷åíèÿ âäîëü íàïðàâëåíèÿ ñêîðîñòè.
3. àññìîòðèì
íåðåëÿòèâèñòñêèé ïðåäåë (v
≪ c)
îðìóëû äëÿ èçëó÷åíèÿ (174):
¨
i2 e2 ~r¨2 sin2 θ
dI
e2
e2 h
d~2 sin2 θ
2
˙
≈
[~n × [~n × ~a]] =
~n × ~v =
=
.
dΩ
4 π c3
4 π c3
4 π c3
4 π c3
~ = e ~r äèïîëüíûé ìîìåíò çàðÿæåííîé ÷àñòèöû, d~¨ = e ~r¨ = e ~v˙ = e~a, à θ çäåñü
Çäåñü d
óãîë ìåæäó óñêîðåíèåì ~
a è íàïðàâëåíèåì íàáëþäåíèÿ èçëó÷åíèÿ ~n, ò.å. íå ñîâïàäàåò ñ òåì
θ, êîòîðûé ìû èñïîëüçîâàëè âûøå. Ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå îïèñûâàåò èíòåíñèâíîñòü èçëó÷åíèÿ â äèïîëüíîì ïðèáëèæåíèè äëÿ îäíîãî òî÷å÷íîãî çàðÿäà. Ìû ñåé÷àñ âûâåäåì ýòó
îðìóëó äëÿ ñèñòåìû íåðåëÿòèâèñòñêèõ äâèæóùèõñÿ çàðÿäîâ íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ
ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàçìåðàìè ñèñòåìû. Ìû çíàåì, ÷òî
4π
A (x) =
c
µ
Ïðè ýòîì
Z
d4 y GR (x − y) j µ (y).
113
GR (x − y) =
j µ (y) = (c ρ(y), ~j(y)). Ïîäñòàâèâ
0
âçÿâ èíòåãðàë ïî y , ïîëó÷àåì:
à
δ (x0 − y 0 − |~x − ~y |)
,
4 π |~x − ~y |
ýòè âûðàæåíèÿ â îðìóëó äëÿ âåêòîðïîòåíöèàëà è
1
A (x) =
c
µ
Z
d3 y
j µ (x0 − |~x − ~y | ; ~y)
|~x − ~y |
çàïàçäûâàþùèå ïîòåíöèàëû. Âûáåðåì íà÷àëî êîîðäèíàò âíóòðè ñèñòåìû çàðÿäîâ. Ïóñòü
~n = ~x/x è, ò.ê. â òîé îáëàñòè, ãäå j µ (y) 6= 0 ìû èìååì y ≪ x, òî |~x − ~y | ≈ x − (~n, ~y ). Ïîäµ
ñòàâèì ýòó îðìóëó â ïîëó÷åííîå âûøå èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå äëÿ A (x).  çíàìåµ
íàòåëå ìîæíî ïðåíåáðå÷ü (~
n, ~y) ïî ñðàâíåíèþ ñ x. Â àðãóìåíòå æå j ýòî ïðåíåáðåæåíèå
ñäåëàòü íåëüçÿ. Âîçìîæíîñòü òàêîãî ïðåíåáðåæåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ íå îòíîñèòåëüíîé âåëè÷èíîé x è (~
n, ~y ), à òåì, íàñêîëüêî ìåíÿþòñÿ êîìïîíåíòû j µ çà âðåìÿ (~n, ~y )/c. Ìû âåðíåìñÿ
ê îáñóæäåíèþ ýòîãî âîïðîñà íèæå.
Òàêèì îáðàçîì, âîîáùå ãîâîðÿ:
1
A (x) ≈
cx
µ
Z
j µ x0 − x + (~n, ~y); ~y d3 y.
Ïîêà âñå íàøè îðìóëû âåðíû è â ðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå.
íîå
Íà äîñòàòî÷íî áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ îò ñèñòåìû çàðÿäîâ èñòî÷íèêà ïîëÿ ïîëó÷åíAµ ðåøàåò îäíîðîäíîå óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà, ò.å. ÿâëÿåòñÿ ÝÌ âîëíîé â òîì ñìûñëå, â
êîòîðîì ìû åå îïðåäåëÿëè íà 9-é ëåêöèè. Äëÿ ýòîãî íàäî, ÷òîáû ðàññòîÿíèÿ áûëè âåëèêè
íå òîëüêî ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàçìåðàìè ñèñòåìû, íî è ïî ñðàâíåíèþ ñ äëèíîé èçëó÷àåìîé
ñèñòåìîé çàðÿäîâ ÝÌ âîëíû.  òåðìèíàõ íà÷àëà ýòîé ëåêöèè ýòî òà îáëàñòü, ãäå ìîæíî
~ èB
~ , êîòîðûå íå çàâèñÿò îò ~a è ñïàäàþò
ïðåíåáðå÷ü òåìè ÷àñòÿìè â âûðàæåíèÿõ äëÿ E
2
êàê 1/R ïî ñðàâíåíèþ ñ çàâèñÿùèìè îò ~
a ÷ëåíàìè. Îá ýòîé îáëàñòè ïîëÿ ãîâîðÿò êàê î
âîëíîâîé çîíå èçëó÷åíèÿ.
Êàê ìû çíàåì, äëÿ îïðåäåëåíèÿ
~.
A
Äåéñòâèòåëüíî, â ïëîñêîé âîëíå
~ èB
~ ïîëåé äëÿ ÝÌ âîëíû äîñòàòî÷íî çíàòü òîëüêî
E
h
i
h
i
~ = rotA
~ = 1 A
~ = B
~ × ~n . Çàìåòèì, ÷òî
~˙ × ~n , à E
B
c
x−(~
n,~
y)
îïðåäåëÿåò âðåìÿ ïðîõîæäåíèÿ ÝÌ âîëíû îò èñòî÷íèêà â òî÷êå
c
òî÷êå íàáëþäåíèÿ â ~
x.
êàê è ðàíüøå
Îáñóäèì òåïåðü óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ ìîæíî ïðåíåáðå÷ü
òåãðàëüíîì âûðàæåíèè äëÿ
ìàëî ìåíÿåòñÿ. Ïóñòü
T
~.
A
Âðåìåíåì
(~n, ~y )/c
(~n, ~y ) â àðãóìåíòå ~j
~y
â ïîäûí-
ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, åñëè çà ýòî âðåìÿ
îïðåäåëÿåò ïîðÿäîê âåëè÷èíû âðåìåíè, â òå÷åíèè
ê
êîòðîãî ~
j
~j
ìå-
íÿåòñÿ çàìåòíûì îáðàçîì. Î÷åâèäíî èçëó÷åíèå òàêîé ñèñòåìû áóäåò îáëàäàòü ïåðèîäîì
T . Ïóñòü d õàðàêòåðíûé ðàçìåð ñèñòåìû. Òîãäà âðåìÿ (~n, ~y )/c ∼ d/c. Äëÿ òîãî,
j â ñèñòåìå íå óñïåë çàìåòíî èçìåíèòüñÿ, íåîáõîäèìî, ÷òîáû d/c ≪ T .
÷òîáû çà ýòî âðåìÿ ~
Íî c T ≈ λ õàðàêòåðíàÿ äëèíà èçëó÷àåìîé ñèñòåìîé ÝÌ âîëíû. Ñëåäîâàòåëüíî èñêîìîå
óñëîâèå èìååò âèä: d ≪ λ. Ýòî óñëîâèå ìîæíî çàïèñàòü åùå è â äðóãîì âèäå, çàìåòèâ, ÷òî
T ∼ d/v ⇒ λ ∼ c d/v , ãäå v ïîðÿäîê âåëè÷èíû ñêîðîñòè çàðÿäîâ â ñèñòåìå. Ïðè ýòîì èç
d ≪ λ ñëåäóåò, ÷òî
ïîðÿäêà
v ≪ c,
114
(176)
ò.å. ïîëó÷àåì íåðåëÿòèâèñòñêèé ïðåäåë äëÿ ñêîðîñòåé çàðÿäîâ, âõîäÿùèõ â ñèñòåìó. Ýòîé
îðìóëîé è îïðåäåëÿþòñÿ ïðåäåëû ïðèìåíèìîñòè äèïîëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ.
Èòàê, â ðàññìàòðèâàåìîì ïðèáëèæåíèè ìû èìååì:
Ïîäñòàâèâ
Íî
P
q
Z
0
1
~
~j t − x , ~y d3 y, t ≡ x .
A(t, ~x) =
cx
c
c
P
ñþäà ~
j = ρ ~v è ρ = q eq δ (3) (~y − ~rq ), ïîëó÷àåì
eq ~vq =
d
dt
Òàêèì îáðàçîì,
ðåííî
~a 6= 0.
P
~˙
eq ~rq = d,
X
x
~ ~x) = 1
eq~vq t −
.
A(t,
cx q
c
d~ äèïîëüíûé ìîìåíò ñèñòåìû. Ïîýòîìó
i
i
h
i
1 h
1 h ~¨
′
~
~
~
~
B = − ~n × A = 2
d × ~n , E = B × ~n .
c
c x
~¨ 6= 0, ò.å., åñëè îíè äâèãàþòñÿ
çàðÿäû ìîãóò èçëó÷àòü òîëüêî, åñëè d
q
ãäå
Ïîäñòàâèâ ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå äëÿ
ýëåìåíò òåëåñíîãî óãëà
dΩ,
~
B
â îðìóëó äëÿ èíòåíñèâíîñòè èçëó÷åíèÿ â
íàõîäÿùèéñÿ íà ðàññòîÿíèè
dI = c
óñêî-
x
îò ñèñòåìû çàðÿäîâ,
~2
B
x2 dΩ,
4π
ïîëó÷àåì
¨
i2
d~2
1 h ~¨
d × ~n dΩ =
sin2 θ dΩ,
dI =
3
3
4πc
4πc
ãäå
θ
óãîë ìåæäó âåêòîðàìè
¨
d~
è
~n = ~x/x.
(177)
Ýòî âûðàæåíèå äëÿ äèåðåíöèàëüíîé
èíòåíñèâíîñòè èçëó÷åíèÿ îò ñèñòåìû çàðÿäîâ ñîâïàäàåò ñ òåì, ÷òî áûëî ïîëó÷åíî âûøå
â íåðåëÿòèâèñòñêîì ïðèáëèæåíèè äëÿ îäíîãî çàðÿäà. Ïîëó÷åííàÿ âåëè÷èíà îïðåäåëÿåò
êîëè÷åñòâî ýíåðãèè, èçëó÷àåìîé â åäèíèöó âðåìåíè â ýëåìåíò òåëåñíîãî óãëà â äàííîì
íàïðàâëåíèè.
Îòìåòèì, ÷òî óãëîâîå ðàñïðåäåëåíèå èçëó÷åíèÿ â ýòîì ñëó÷àå äàåòñÿ ìíîæèòåëåì
sin2 θ,
ò.å. ÿâëÿåòñÿ ïðàêòè÷åñêè îäíîðîäíûì. Ïîäñòàâèâ â
è èíòåãðèðóÿ ïî
θ
îò
0
äî
π,
dI
âûðàæåíèå
dΩ = 2 π sin θ dθ
ïîëó÷àåì:
I=
2 ~¨2
d.
3 c3
(178)
ïîëíóþ èíòåíñèâíîñòü èçëó÷åíèÿ â äèïîëüíîì ïðèáëèæåíèè.
4.
dI/dΩ
Òåïåðü âåðíåìñÿ ñíîâà ê ðåëÿòèâèñòñêèì ÷àñòèöàì. Âû÷èñëåííàÿ íàìè âåëè÷èíà
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîòîê ÝÌ ýíåðãèè, îòíåñåííîé ê åäèíè÷íîìó òåëåñíîìó óãëó,
êîòîðûé ìîæåò èçìåðèòü íåïîäâèæíûé â ËÑÎ íàáëþäàòåëü. Òàêàÿ âåëè÷èíà íå ÿâëÿåòñÿ
Ëîðåíö èíâàðèàíòîì (çàâèñèò îò âûáîðà íàáëþäàòåëÿ), ò.ê. ïðîïîðöèíàëüíà ñêàëÿðíîìó
ïðîèçâåäåíèþ äâóõ 3ìåðíûõ âåêòîðîâ:
I ∼
R
115
~ d~σ ,
S
ãäå
~
S
âåêòîð ÓìîâàÏîéíòèíãà,
à
d~σ
âåêòîð ïåðïåíäèêóëÿðíûé ýëåìåíòàðíîé ïëîùàäêå, ÷åðåç êîòîðóþ è èçìåðÿåòñÿ
ïîòîê ýíåðãèè. Ìîäóëü ïîñëåäíåãî ðàâåí ïëîùàäè ýòîé ïëîùàäêè.
Îêàçûâàåòñÿ, êàê ìû ñåé÷àñ óâèäèì, Ëîðåíö èíâàðèàíòîì ÿâëÿòñÿ ìîùíîñòü ïîòåðü
ýíåðãèè ñàìîé çàðÿæåííîé ÷àñòèöåé. Âû÷èñëèì ýòó âåëè÷èíó. Î÷åâèäíî, ÷òî ïîðöèÿ
dΩ
ÝÌ ýíåðãèè, êîòîðóþ âíóòðè òåëåñíîãî óãëà
dI ·dt
èçìåðÿåò íåïîäâèæíûé íàáëþäàòåëü çà
[t, t+dt] èñïóùåíà ÷àñòèöåé â òå÷åíèè èíòåðâàëà âðåìåíè [tr , tr +dtr ].
−d2 E = dI · dt. Èçëó÷åííóþ ÷àñòèöåé ýíåðãèþ íóæíî îòíîñèòü
âðåìåíè dtr âðåìåíè ðåàëüíîãî èñïóñêàíèÿ ÝÌ âîëíû, à íå åå
ïðîìåæóòîê âðåìåíè
Îáîçíà÷èì ýòó âåëè÷èíó çà
èìåííî ê èíòåðâàëó
èçìåðåíèÿ êàêèì-òî äàëåêèì íàáëþäàòåëåì. Ïîýòîìó èñêîìàÿ ìîùíîñòü ïîòåðü â äàííûé
òåëåñíûé óãîë ðàâíà:
dI · dt
dI dt
d2 E
.
=
=
−
dtr dΩ
dtr dΩ
dΩ dtr
Ýòî ñîîòíîøåíèå óñòàíàâëèâàåò ñâÿçü ìåæäó ïîòåðåé ýíåðãèè ÷àñòèöåé è èíòåíñèâíîñòüþ
èçëó÷åíèÿ, ðåãèñòðèðóåìîãî íàáëþäàòåëåì.
Èíòåðåñóÿñü ïîëíûìè ïîòåðÿìè ýíåðãèè ÷àñòèöû â ïîëíûé òåëåñíûé óãîë
4 π,
ïîëó-
÷àåì, ÷òî
dE
=
−
dtr
Ò.ê.
t − tr = R(tr )/c,
ãäå
R(tr ) = |~x − ~z (tr )|,
d R(tr )
dt
=1+
=1−
dtr
dtr c
ãäå, êàê îáû÷íî,
~ .
~n = R/R
dE
−
=
dtr
Z
dI dt
dΩ.
dΩ dtr
òî
~ r ), R(t
~˙ r )
R(t
R(tr ) c
=
(~n, ~v )
1−
c
,
(179)
tr
Òàêèì îáðàçîì,
Z
(~n, ~v) dI
1−
dΩ
c
dΩ
tr
⇒I ≡
Z
dE
dI
dΩ 6= − .
dΩ
dtr
(180)
Êàê âèäíî ìîùíîñòü ïîòåðü ýíåðãèè âîâñå íå ñîâïàäàåò ñ ïîëíîé èíòåíñèâíîñòüþ. Êàê
ìû óæå óïîìÿíóëè, âåëè÷èíà
dE/dtr
ÿâëÿåòñÿ Ëîðåíö èíâàðèàíòîì, à ïîòîìó ÿâëÿåòñÿ
áîëåå óäîáíîé õàðàêòåðèñòèêîé èçëó÷åíèÿ, ÷åì ïîëíàÿ èíòåíñèâíîñòü
I.
×òîáû óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ìîùíîñòü ïîòåðü ÿâëÿåòñÿ Ëîðåíö èíâàðèàíòîì, ïîñ÷èòàåì
åå â äâóõ ðàçëè÷íûõ ÈÑÎ: â ìãíîâåííî ñîïóòñòâóþùåé ÈÑÎ, ãäå ÷àñòèöà â äàííûé ìîìåíò
âðåìåíè ïîêîèòñÿ, è â ËÑÎ. Â ìãíîâåííî ñîïóòñòâóþùåé ÈÑÎ èìååì:
dE0
−
=
dτr
ãäå âðåìÿ
τr
Z
dI
dΩ
dΩ =
0
Z
e2 ~v˙ 2
2 e2 ~v˙ 2
2
sin
θ
dΩ
=
,
4 π c3
3 c3
(181)
â ìãíîâåííî ñîïóòñòâóþùåé ÈÑÎ ñîâïàäàåò ñ ñîáñòâåííûì âðåìåíèì ÷àñòè-
öû.  ìãíîâåííî ñîïóòñòâóþùåé ÈÑÎ ÷àñòèöà ïîêîèòñÿ, ïîýòîìó â íåé ìû ìîæåì èñ
dI
. Ñëåäîâàòåëüíî, â êà÷åñòâå îòâåòà äëÿ
dΩ 0
ïîëüçîâàòü íåðåëÿòèâèñòñêóþ îðìóëó äëÿ
116
ìîùíîñòè ïîòåðü ìû è ïîëó÷àåì ïîëíóþ íåðåëÿòèâèñòñêóþ èíòåíñèâíîñòü äèïîëüíîãî èçëó÷åíèÿ. Ýòî âàæíîå íåðåëÿòèâèñòñêîå âûðàæåíèå (181) íàçûâàåòñÿ îðìóëîé Ëàðìîðà.
dI
ÿâëÿåòñÿ ÷åòíîé óíêöèåé îò θ , òî â ìãíîâåííî ñîïóòñòâóþÄàëåå, ïîñêîëüêó
dΩ 0
ùåé ÈÑÎ íå ïðîèñõîäèò ïîòåðè èíïóëüñà ÷àñòèöåé, ò.å.
ýíåðãèèèìïóëüñà ÷àñòèöû çà âðåìÿ
dτr
dP~0 = 0.
Çíà÷èò 4âåêòîð ïîòåðü
â ñîïóòñòâóþùåé ÈÑÎ èìååò âèä
(−dE0 /c, 0). Ïå-
ðåéäåì òåïåðü ïóòåì ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà â ËÑÎ. Äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî 4âåêòîðà
èìååì:
−dE0
.
−dE = q
v2
1 − c2
Ïîýòîìó
−
Íî çàìåòèì, ÷òî
íûì
tr
dtr
p
dE
dE
q 0
=−
dtr
dtr 1 −
1 − v 2 /c2 = dτr
v2
c2
.
ïî îïðåäåëåíèþ ñâÿçè ñîáñòâåííîãî
τr
ñ êîîðäèíàò-
âðåìåíåì. Ïîýòîìó èìååì, ÷òî
−
dE0
dE
=−
,
dtr
dτr
ò.å. ìîùíîñòü ïîòåðü ñîâïàäàåò â äâóõ ÈÑÎ, à ïîýòîìó ÿâëÿåòñÿ Ëîðåíö èíâàðèàíòîì.
åëÿòèâèñòñêîå îáîáùåíèå îðìóëû Ëàðìîðà äîñòàòî÷íî î÷åâèäíî: ~
v˙ 2 ñëåäóåò çàìåíèòü ðåëÿòèâèñòñêèì èíâàðèàíòîì, êîòîðûé ïåðåõîäèò â ~
v˙ 2 = a2 , êîãäà v/c → 0. Òàµ
µ
2 µ
2
êîé èíâàðèàíò íàì èçâåñòåí. Ýòî êâàäðàò 4óñêîðåíèÿ w = du /ds = d x /ds . Åñëè
p
µ
2
2
γ ≡ 1/ 1 − v /c , òî, âîñïîëüçîâàâøèñü âûðàæåíèåì äëÿ êîìïîíåíò w , êîòîðûå ïîëó÷åíû íàìè íà ïðîøëîé ëåêöèè, ìû íàõîäèì, ÷òî îí ðàâåí:
2
2
(~v, ~a)2
v, ~a)2
v, ~a)2
4 a
8 v (~
6 (~
w µ wµ = γ 8
−
γ
−
γ
−
2
γ
=
c6
c4
c8
c6
2
2
v , ~a)2
v, ~a)2
v 2 (~v , ~a)2
6 (~
4 a
4 a
6 (~
−
2
γ
−
γ
=
−γ
−
γ
=
= γ8 1 − 2
c
c6
c6
c4
c4
c6
v2
1
γ6
1
γ6
2
2
2
2 2
1 − 2 a + 2 (~v , ~a) = − 4 a − 2 a v − (~v, ~a) =
=− 4
c
c
c
c
c
γ6
1
2
2
= − 4 a − 2 [~v × ~a] .
c
c
Âèäíî, ÷òî
−c4 w µ wµ → a2
ïðè
v/c → 0.
(182)
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì
dE
2 e2 c
2 e2 γ 6
−
=−
wµ w µ =
dtr
3
3 c3
(
[~v × ~a]2
a2 −
c2
)
(183)
ðåëÿòèâèñòñêîå îáîáùåíèå îðìóëû Ëàðìîðà.
5. Àïïåíäèêñ î êâàäðóïîëüíîì è ìàãíèòíîäèïîëüíîì èçëó÷åíèè. àññìîòðèì
òåïåðü èçëó÷åíèå â íåðåëÿòèâèñòñêîì ïðèáëèæåíèè, îáóñëîâëåííîå ñëåäóþùèìè ÷ëåíàìè
117
ðàçëîæåíèÿ
~
A
ïî ñòåïåíÿì îòíîøåíèÿ
d/λ ≪ 1.
Õîòÿ ýòè ÷ëåíû ìàëû ïî ñðàâíåíèþ
ñ äèïîëüíûì, îíè ñóùåñòâåííû â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà äèïîëüíûé ìîìåíò ñèñòåìû ðàâåí
íóëþ, ò.÷. äèïîëüíîå èçëó÷åíèå îòñóòñòâóåò. àçëàãàÿ âûðàæåíèå
~ ~x) = 1
A(t,
cx
ïî ñòåïåíÿì
(~n, ~y )/c
Z
~j tr + (~n, ~y ) , ~y d3 y,
c
x
tr ≡ t − ,
c
äî ïåðâîé ñòåïåíè, ïîëó÷àåì:
~ ~x) = 1
A(t,
cx
Z
~j(tr , ~y ) d3 y + 1 ∂
c2 x ∂tr
Ïåðåõîäÿ ê òî÷å÷íûì çàðÿäàì, ïîëó÷àåì:
Z
~j(tr , ~y) · (~n, ~y) d3 y.
X
1 ∂ X
~ ~x) = 1
eq ~vq (tr ) + 2
eq ~vq · (~n, ~rq )(tr ).
A(t,
cx q
c x ∂tr q
Ò.ê.
~v · (~r, ~n) =
1
1
1∂
1
1 ∂
~r · (~n, ~r) + ~v · (~n, ~r) − ~r · (~n, ~v) =
~r · (~n, ~r) + [[~r × ~v ] × ~n] ,
2 ∂t
2
2
2 ∂t
2
òî
ãäå
d~
˙
i
1 ∂2 X
1 h˙
d~
~
m
~
×
~
n
,
+ 2
e
~
r
(~
n
,
~
r
)
+
A(t, ~x) =
q q
q
c x 2 c x ∂t2 q
cx
äèïîëüíûé ìîìåíò ñèñòåìû, à
m
~ =
åå ìàãíèòíûé ìîìåíò.
1 X
eq [~rq × ~vq ]
2c q
~ äîáàâèòü ëþáóþ âåëè÷èíó ïðîïîðöèîíàëüíóþ ~n,
A
~ = − 1 [~n × A
~ ìîæíî çàïèñàòü êàê:
~ ′ ]. Ïîýòîìó A
B
c
Çàìåòèì äàëåå ÷òî, åñëè ê
íå èçìåíèò
~ = [~n × B]
~
E
è
˙
i
d~
1 ∂2 X
1 h˙
2
~
A(t, ~x) =
e
+ 2
3
~
r
(~
n
,
~
r
)
−
~
n
r
+
m
~
×
~
n
.
q
q
q
q
c x 6 c x ∂t2 q
cx
Ñòîÿùåå â ýòîé îðìóëå ïîä çíàêîì
∂ 2 /∂t2
âûðàæåíèå åñòü ïðîèçâåäåíèå
~
~n íà 3ìåðíûé òåíçîð êâàäðóïîëüíîãî ìîìåíòà Dij . Ââîäÿ âåêòîð D
ni Dij , çàïèñûâàåì
ni Dij ,
~ = 1
B
c2 x
h
hh
i
i
i
1 ...
¨
¨
~
~
d × ~n +
D × ~n + m
~ × ~n × ~n ,
6c
118
âåêòîðà
ñ êîìïîíåíòàìè
˙
i
1 ~¨
1 h˙
d~
~
m
~ × ~n .
+ 2 D
+
A=
cx 6c x
cx
Òîãäà
òî ýòî
Dj ≡
(184)
h
i
~ = B
~ × ~n
E
Äèåðåíöèàëüíàÿ èíòåíñèâíîñòü îïðåäåëÿåòñÿ êàê è âûøå. Ìû íàïèøåì çäåñü îòâåò äëÿ
ïîëíîé èíòåíñèâíîñòè. Äëÿ ýòîãî óñðåäíèì dI ïî âñåì íàïðàâëåíèÿì ~
n ñ èñïîëüçîâàíèåì
1
2
~
îðìóëû hni nj i =
δ . Ïðè óñðåäíåíèè âûðàæåíèÿ äëÿ B âñå âçàèìíûå ïðîèçâåäåíèÿ
3 ij
ïåðâîãî, âòîðîãî è òðåòüåãî âêëàäîâ â
I=
~
B
èñ÷åçàþò, ò.÷. ìû ïîëó÷àåì:
2 ¨2
1 ...2
2 ~¨2
d +
~ .
Dij + 3 m
3
5
3c
180 c
3c
(185)
Òàêèì îáðàçîì, ïîëíîå èçëó÷åíèå ñîñòîèò èç òðåõ íåçàâèñèìûõ ÷àñòåé äèïîëüíîãî,
êâàäðóïîëüíîãî è ìàãíèòíîäèïîëüíîãî èçëó÷åíèé.
Âîïðîñû è çàäà÷è
•
àññìîòðèì ïîêîÿùèéñÿ çàðÿä â ïðîñòðàíñòâå Ìèíêîâñêîãî. Íàáëþäàòåëü æå äâèæåòñÿ ñ óñêîðåíèåì äàëåêî îò çàðàäÿ. Èçëó÷àåò ëè çàðÿä â ñèñòåìå îòñ÷åòà íàáëþäàòåëÿ? Ìîòèâèðîâàòü îòâåò.
•
Èäåàëüíàÿ ðàâíîìåðíî çàðÿæåííàÿ ñåðà ñîâåðøàåò ðàäèàëüíûå êîëåáàíèÿ ñ ñîáëþäåíèåì èäåàëüíîé ñåðè÷åñêîé ñèììåòðèè. Èçëó÷àåò ëè òàêàÿ ñåðà? Ìîòèâèðîâàòü
îòâåò.
•
Èñïîëüçóÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ èç ïðåäûäóùèõ ëåêöèé, ïîêàæèòå, ÷òî àíàëîãîì âåêòîðà
Ïîéíòèíãà äëÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ
φ
ÿâëÿåòñÿ âåêòîð
Si = ∂0 φ∂i φ.
Èñïîëüçóÿ ýòî âû-
ðàæåíèå, ïîêàæèòå, ÷òî äëÿ îðìèðîâàíèÿ èçëó÷åíèÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ äîñòàòî÷íî
íàëè÷èÿ çàðÿäà (íå íóæåí äèïîëüíûé ìîìåíò êàê äëÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî èçëó÷åíèÿ) è äâèæåíèÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ (íå íóæíî óñêîðåíèå). Êàê ýòî íàáëþäåíèå
ñîîòíîñèòñÿ ñ ïóíêòîì 8 ëåêöèè III?
•
Íà ñàìîì äåëå ïðè
d~ 6= 0
â âûðàæåíèå (185) äëÿ èíòåíñèâîñòè åñòü åùå îäèí íå ïî-
äàâëåííûé âêëàä, êîòîðûé ìû óïóñòèëè ïðè íàøåì âûâîäå (íàø âûâîä êâàäðóïîëüíîãî è ìàãíèòíîäèïîëüíîãî èçëó÷åíèÿ êîððåêòåí òîëüêî, åñëè
âîññòàíîâèòü óïóùåííûé âêëàä.
119
d~ = 0).
Ïîïðîáóéòå
Ñèíõðîòðîííîå èçëó÷åíèå è åãî ñâîéñòâà, ñèëà ðàäèàöèîííîãî òðåíèÿ, Ëîðåíöåâà ëèíèÿ, ïðåäåëû ïðèìåíèìîñòè
êëàññè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêå.
Ëåêöèÿ XII;
1.
Ïðèìåíèì ïîëó÷åííûå íà ïðåäûäóùåé ëåêöèè îðìóëû äëÿ àíàëèçà ïîòåðü ýíåðãèè
íà èçëó÷åíèå ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöåé, äâèæóùåéñÿ â îäíîðîäíîì ïîñòîÿííîì ìàãíèòíîì
ïîëå
~
B
â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé
~.
B
Èçëó÷åíèå ïðè âðàùåíèè â ìàãíèòíîì ïîëå
íàçûâàåòñÿ ñèíõðîòðîííûì èëè ìàãíèòíîòîðìîçíûì.
~,
~v ⊥ ~v˙ ⊥ B
Ïðè äâèæåíèè ðàññìàòðèâàåìîãî òèïà,
îðìóëå:
2 e2 γ 6
dE
=
−
dtr
3 c3
"
~v 2 ~v˙ 2
~v − 2
c
˙2
#
=
ìîùíîñòü ïîòåðü îïðåäåëÿåòñÿ ïî
2 e2 γ 4 ˙ 2
~v .
3 c3
Äàëåå â ðàññìàòðèâàåìîé ñèòóàöèè:
Ñëåäîâàòåëüíî
i
d~p
m ~v˙
e h
~ .
~v × B
=q
= m γ ~v˙ =
2
dt
c
1 − vc2
~v˙ 2 =
e2
v2 B2
m2 c2 γ 2
è
−
dE
2 e4 γ 2 v 2 B 2
=
.
dtr
3 m2 c5
Äëÿ óëüòðàðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû
v≈c
−
(186)
è ïîýòîìó
dE
∼ γ 2 ∼ E 2,
dtr
ò.å. ïîòåðè ýíåðãèè ïðîïîðöèîíàëüíû åå âòîðîé ñòåïåíè (E
= m c2 γ ).
Ñèíõðîòðîííîå èçëó÷åíèå ìîæíî ñ î÷åíü õîðîøåé òî÷íîñòüþ îïèñàòü ñ èñïîëüçîâàíè-
åì àïïàðàòà ñïåöóíêöèé. Ýòî âûõîäèò çà ðàìêè íàøåãî êóðñà, ïîýòîìó ìû îãðàíè÷èìñÿ
êà÷åñòâåííûìè îáùåèçè÷åñêèìè ñîîáðàæåíèÿìè. Äëÿ íà÷àëà âîñïðîèçâåäåì âûøåóêàçàííûå ñâîéñòâà ñèíõðîòðîííîãî èçëó÷åíèÿ èç îáùåèçè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé. Ïðîäåëàåì
ýòî, ïîëîæèâ ñêîðîñòü ñâåòà
c = 1. Â ìãíîâåííî ñîïóòñòâóþùåé
âðàùàþùåìóñÿ ýëåêòðîíó
ÈÑÎ èíòåíñèâíîñòü ðàâíà
W ≡−
e4
dE
∼ e2 (a′ )2 ∼ 2 (E ′ )2 .
dtr
m
Êàê ìû çíàåì èç ïðåäûäóùåé ëåêöèè, ïîëíàÿ èíòåíñèâíîñòü â ìãíîâåííî ñîïóòñòâóþùåé
ÈÑÎ ñîâïàäàåò ñ ìîùíîñòüþ ïîòåðü è ÿâëÿåòñÿ Ëîðåíö èíâàðèàíòîì. Çäåñü
120
e è m çàðÿä
è ìàññà ýëåêòðîíà,
a
åãî óñêîðåíèå,
E
íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ;
a
è
E
ñíàáæåíû øòðèõàìè, ÷òîáû óêàçàòü, ÷òî îíè îòíîñÿòñÿ ê ìãíîâåííî ñîïóòñòâóþùåé ÈÑÎ.
E ′ ïîëó÷àåòñÿ èç ìàãíèòíîãî ïîëÿ B â ËÑÎ ïðåîáðàçîâàíèåì Ëîðåíöà
E ′ ∼ B γ.
Ïîýòîìó
W ∼
e4 2 2
B γ ,
m2
÷òî, êàê âèäíî, âîñïðîèçâîäèò ïîëó÷åííûé âûøå ðåçóëüòàò. Åñëè âìåñòî ìàãíèòíîãî ïîëÿ
B
èêñèðîâàòü ðàäèóñ
R
òðàåêòîðèè ýëåêòðîíà (èëè, ÷òî òîæå ñàìîå â ðåëÿòèâèñòñêîì
ïðåäåëå, ÷àñòîòó âðàùåíèÿ), ñâÿçàííûé ñ
B
ñîîòíîøåíèåì
äëÿ ìîùíîñòè ïîòåðü âûãëÿäèò êàê:
W ∼
e B ∼ m γ/R,
òî âûðàæåíèå
e2 γ 4
.
R2
Î÷åâèäíî, ÷òî â íåðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå ýëåêòðîí, âðàùàÿñü ñ ÷àñòîòîé Ëàðìîðà
áóäåò èçëó÷àòü äèñêðåòíûé ñïåêòð ÷àñòîò
ωn = n ω0 ,
ãäå
n
ω0 ,
ïðîáåãàåò çíà÷åíèÿ â íà-
òóðàëüíûõ ÷èñëàõ. Ïðè ýòîì õàðàêòåðíàÿ ÷àñòîòà èçëó÷åíèÿ â íåðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå
áóäåò îòâå÷àòü
n ∼ 1.
 íåðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå ìîæíî ïðèìåíèòü îðìóëû äèïîëü-
íîãî ïðèáëèæåíèÿ. Ïîýòîìó èçëó÷åíèå â ýòîì ñëó÷àå ïðàêòè÷åñêè îäíîðîäíî ïî óãëàì
dI/dΩ ∼ sin2 θ, â îòëè÷èè îò ðåëÿòèâèñòñêîãî ñëó÷àÿ. Îáùèå õàðàêòåðèñòèêè óãëîâî-
ãî ðàñïðåäåëåíèÿ èçëó÷åíèÿ â ðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå ìû îáñóäèëè íà ïðîøëîé ëåêöèè.
Î÷åâèäíî, ÷òî âñå âûâîäû ñäåëàííûå òàì âåðíû è äëÿ ñëó÷àÿ ñèíõðîòðîííîãî èçëó÷åíèÿ.
Ïðîàíàëèçèðóåì òåïåðü ÷àñòîòíûé ñïåêòð, ò.å. ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè ïî ÷àñòîòàì, â ðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå. Äëÿ íà÷àëà îöåíèì õàðàêòåðíóþ ÷àñòîòó ñèíõðîòðîííîãî
R ðåëÿòèâèñòñêàÿ ÷àñòèöà
1/γ .  çàäàííîì íàïðàâëåíèè èçëó÷åíèå ìîæåò èäòè ñ
÷àñòè òðàåêòîðèè, êîòîðàÿ èìååò äëèíó l ∼ R ∆θ ∼ R/γ è íàçûâàåòñÿ äëèíîé îðìèðîâàíèÿ
èçëó÷åíèÿ â ðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå. Âðàùàþùàÿñÿ ïî ðàäèóñó
èçëó÷àåò âïåðåä ñ ðàññòâîðîì óãëà
èçëó÷åíèÿ èëè äëèíîé êîãåðåíòíîñòè. Âðåìÿ îðìèðîâàíèÿ èçëó÷åíèÿ â äàííîì íàïðàâ-
∆tr ∼ R/γ c. Òîãäà äëèòåëüíîñòü ïðèåìà
R
1
(~n, ~v)
2
∆tr ∼
∆t
∼
+
θ
.
∆t ∼ 1 −
r
c
γ2
c γ3
ëåíèè ñîîòâåòñòâåííî ðàâíî
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî õàðàêòåðíàÿ ÷àñòîòà èçëó÷åíèÿ â
γ3
ñèãíàëà ðàâíà
ðàç áîëüøå, ÷åì ÷àñòîòà îáðàùåíèÿ
÷àñòèöû ïî îêðóæíîñòè:
γ3 c
1
∼
∼ γ 3 ω0 .
∆t
R
3
Ò.å. õàðàêòåðíîå çíà÷åíèå ωc /ω0 ≡ nc ∼ γ ≫ 1. Ïðè ýòîì, òàê êàê ðàññòîÿíèå
ëèíèÿìè ñïåêòðà ïîðÿäêà ω0 , à ωc ≫ ω0 , òî â óëüòðàðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå ñïåêòð
ωc ∼
ìåæäó
ìîæíî
ñ÷èòàòü ïðàêòè÷åñêè íåïðåðûâíûì.
ðàèê ðàñïðåäåëåíèÿ ìîùíîñòè ïîòåðü
Wω
ñèíõðîòðîííîãî èçëó÷åíèÿ ïî ÷àñòîòàì
èçîáðàæåí íà ðèñóíêå (12). Êàê âèäíî ïðè ÷àñòîòå
121
ω > ωc
èíòåíñèâíîñòü î÷åíü áûñòðî
èñ. 12: Ïî âåðòèêàëüíîé îñè ýòîãî ãðàèêà îòëîæåíà ìîùíîñòü ïîòåðü ïðè äàííîé ÷àñòîòå
Wω .
Ïî ãîðèçîíòàëüíîé
ω.
Ïèê ãðàèêà ïðèõîäèòñÿ íà
ωc .
ñïàäàåò. Ìíå íå èçâåñòíî, êàê ìîæíî âîññòàíîâèòü èç îáùåèçè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé ïîâå−const ω/ωc
ëåãêî
äåíèå ãðàèêà â ýòîé ÷àñòè ñïåêòðà, íî åãî õàðàêòåðíîå ïîâåäåíèå Wω ∼ e
óãàäûâàåòñÿ.
ω < ωc íàáëþäàåòñÿ ìåäëåííûé ðîñò. Åñòåñòâåííî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ïðè ìàëûõ
ν
÷àñòîòàõ, ω . ωc , ñïåêòð èìååò ñòåïåííîå ïîâåäåíèå: Wω ∼ ω , ãäå ν íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà.
 ñèëó áûñòðîãî ñïàäà ïðè ω > ωc , îñíîâíîé âêëàä â ïîëíóþ ìîùíîñòü íàáèðàåòñÿ íà ìàR ωc
dω Wω ∼ ωcν+1 ∼ γ 3 (ν+1) . Ñðàâíèâàÿ ïîëó÷åííûé îòâåò ñ èçâåñòíûì
ëûõ ÷àñòîòàõ W ∼
0
4
1/3
∼ n1/3 ïðè ω < ωc . ×òî
íàì âûðàæåíèåì W ∼ γ , ïîëó÷àåì, ÷òî ν = 1/3, ò.å. Wω ∼ ω
Ïðè
äåéñòâèòåëüíî âåðíî âîñïðîèçâîäèò áîëåå òî÷íîå âû÷èëåíèå.
2. Òåïåðü ìû îáðàòèìñÿ ê èçó÷åíèþ âîïðîñà î ðåàêöèè çàðÿæåííîé ÷àñòèöû íà ñîçäàí-
íîå åþ èçëó÷åíèå. Äëÿ ïîëíîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è áåçóñëîâíî ìû äîëæíû ðåøàòü ñèñòåìó
óðàâíåíèé:
ãäå
F0µ
R
∂µ F µν (x) = 4 π e dτ uν (τ ) δ (4) [x − z(τ )]
m c w µ = ec F µν uν + F0µ ,
(187)
âíåøíÿÿ 4ñèëà (êîòîðàÿ ñàìà íåðåäêî áûâàåò ÝÌ ïðîèñõîæäåíèÿ è, ñëåäîâàòåëü-
íî, ïîðîæäàåòñÿ êàêèìèòî âíåøíèìè çàðÿäàìè), çàñòàâëÿþùàÿ íàøó ÷àñòèöó äâèãàòüñÿ
óñêîðåííî. Íî âñþäó â ïðåäûäóùèõ ëåêöèÿõ ìû ðåøàëè ëèáî âòîðîå óðàâíåíèå ïðè çàäàííîì âíåøíåì ïîëå, ïðåíåáðåãàÿ ïðè ýòîì ïîëåì, ñîçäàâàåìûì ÷àñòèöåé, ëèáî æå ïåðâîå
óðàâíåíèå ïðè çàäàííîì äâèæåíèè ÷àñòèöû, ïðåíåáðåãàÿ ïðè ýòîì îòêëèêîì èçëó÷åíèÿ
íà äâèæåíèå ÷àñòèöû. Åäèíñòâåííîå òî÷íîå ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû óðàâíåíèé, êîòîðîå èçµ
âåñòíî ìíå ýòî ñèòóàöèÿ, êîãäà F0 = 0 è åäèíñòâåííàÿ ÷àñòèöà, ïîêîèòñÿ ñîçäàâàÿ ïîëå
Êóëîíà. Åñëè íå îøèáàþñü, âñå îñòàëüíûå òî÷íî ðåøàåìûå çàäà÷è â ðàññìàòðèâàåìîé ñèòóàöèè ïîëó÷àþòñÿ èç ýòîé ïðåîáðàçîâàíèåì Ëîðåíöà
10 Ìîæíî,
10
. Íàïðèìåð, óæå äàæå ñèòóàöèÿ ñ
êîíå÷íî, åùå äîáàâèòü íåñêîëüêî áàíàëüíûõ ïðèìåðîâ âðîäå ñèòóàöèè ñ ãðóïïîé ñòàòè÷åñêèõ
çàðÿäîâ, êîòîðûå äåðæàò âíåøíèè ñèëû, íî òîãäà ñèñòåìà íå çàìêíóòà.
122
äâóìÿ çàðÿæåííûìè ÷àñòèöàìè èìååò òîëüêî ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå, ò.ê. ÷àñòèöû, âçàèìîäåéñòâóÿ äðóã ñ äðóãîì, äâèãàþòñÿ óñêîðåííî, à ñëåäîâàòåëüíî, ñîçäàþò ÝÌ èçëó÷åíèå
è ðàññìàòðèâàåìàÿ çàäà÷à ñòàíîâèòñÿ ñëîæíåå äàæå çàäà÷è ìíîãèõ òåë, ò.ê. âêëþ÷àåò â
ñåáÿ åùå è ïîëå (ñâåðõ äâóõ ÷àñòèö).
Îäíàêî íåðåäêî ðàññìàòðèâàåìàÿ çàäà÷à ïîçâîëÿåò ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå ñ äîñòàòî÷íî õîðîøåé òî÷íîñòüþ. Íàïðèìåð, äâèæåíèå èçëó÷àþùåé ÷àñòèöû ìîæíî ñ÷èòàòü çàäàííûì â òîì ñëó÷àå, êîãäà âëèÿíèå èçëó÷åíèÿ íà äâèæåíèå ìàëî. Êîëè÷åñòâåííûé êðèòåðèé
ìàëîñòè ðåàêöèè èçëó÷åíèÿ ìîæíî ïîëó÷èòü, ñðàâíèâàÿ ïîòåðþ ýíåðãèè íà èçëó÷åíèå çà
íåêîòîðîå âðåìÿ
∆t
ñ èçìåíåíèåì êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ÷àñòèöû ïîä äåéñòâèåì âíåøíèõ
ñèë çà òî æå âðåìÿ.
Îöåíèì îáå ýíåðãèè â ÑÎ, â êîòîðîé, ñêîðîñòü ÷àñòèöû ìàëà ïî ñðàâíåíèþ ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà:
2 e2 v̇ ∆v
2 e2 v̇ 2 ∆t
=
,
3 c3
3 c3
ãäå ∆v èçìåíåíèå ñêîðîñòè çà âðåìÿ ∆t. Ïðè ýòîì ∆Ekin = m v ∆v . Íåðàâåíñòâî ∆Erad ≪
∆Ekin äàåò
∆Erad =
2 e2 v̇
≪ m v.
3 c3
Ñëåäîâàòåëüíî
∆t ≈
ãäå
re = e2 /m c2
2 e2
re
v
≫
∼ ,
3
v̇
3mc
c
(188)
êëàññè÷åñêèé ðàäèóñ ÷àñòèöû (ýëåêòðîíà, íàïðèìåð). Îáúÿñíèì ïðî-
èñõîæäåíèå ýòîé âåëè÷èíû. àâíîìåðíî çàðÿæåííûé øàð ðàäèóñà r è çàðÿäà e èìååò
2
ýëåêòðîñòàòè÷åñêóþ ýíåðãèþ e /r . Ñëåäîâàòåëüíî ýëåêòðîñòàòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ òî÷å÷íîé
÷àñòèöû ðàâíà áåñêîíå÷íîñòè, ò.ê.
r → 0.
Ïðåäïîëàãàÿ æå, ÷òî ýëåêòðîñòàòè÷åñêàÿ ýíåð2
2
ãèÿ ÷àñòèöû è îïðåäåëÿåò åå ýíåðãèþ ïîêîÿ e /re = m c , íàõîäèì, ÷òî åå ðàäèóñ ðàâåí
2
2
re = e /m c . Áåçóñëîâíî ýòî î÷åíü ãðóáîå ðàññóæäåíèå.  ÷àñòíîñòè ýëåêòðîí íåñåò çàðÿä
íå òîëüêî ïî ÝÌ ïîëþ, íå ãîâîðÿ óæå î òîì, ÷òî â ñìûñëå êâàíòîâîé òåîðèè åãî íåëüçÿ ðàññìàòðèâàòü êàê òî÷å÷íóþ ÷àñòèöó. Ïîýòîìó âûøåïðèâåäåííîå ðàññóæäåíèå ñëåäóåò
ðàññìàòðèâàòü ëèøü êàê ïðîñòî îïðåäåëåíèå òàêîé âåëè÷èíû êàê êëàññè÷åñêèé ðàäèóñ
÷àñòèöû (ýëåêòðîíà).
Ïîëó÷åííîå æå íàìè óñëîâèå (188) ïîêàçûâàåò, ÷òî õàðàêòåðíûé ìàñøòàá âðåìåíè äëÿ
èçìåíåíèÿ ñêîðîñòè ÷àñòèöû äîëæåí ïðåâûøàòü âðåìÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ÝÌ âîëíû íà
ðàññòîÿíèå ïîðÿäêà êëàññè÷åñêîãî ðàäèóñà ÷àñòèöû. Äëÿ ýëåêòðîíà ýòî âðåìÿ te ≈ 0, 63 ·
10−23 ñ. Ïðè ïåðèîäè÷åñêîì èëè êâàçèïåðèîäè÷åñêîì äâèæåíèè êðèòåðèé èìååò âèä: T ≫
te
èëè
ω te ≪ 1,
ãäå
T = 2 π/ω
ïåðèîä äâèæåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, ðåàêöèþ ÷àñòèöû íà
èçëó÷åíèå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ìàëûé ýåêò, åñëè äâèæåíèå ÷àñòèöû äîñòàòî÷íî
ïëàâíîå: åå ñîñòîÿíèå ñëàáî ìåíÿåòñÿ çà âðåìÿ
te
èëè íà ðàññòîÿíèÿõ ïîðÿäêà
re = c te .
Ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ ìîæíî ïîïûòàòüñÿ ó÷åñòü âëèÿíèå ðåàêöèè èçëó÷åíèÿ íà äâèæåíèå
÷àñòèöû â ðàìêàõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé, ñ÷èòàÿ åå ìàëîé ïîïðàâêîé.
àññìîòðèì äâèæåíèå íåðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû ïîä äåéñòâèåì âíåøíåé ñèëû
F~0 . Äëÿ
ó÷åòà ðåàêöèè íà èçëó÷åíèå äîáàâèì â ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ýåêòèâíóþ
ñèëó
F~rad :
123
m ~v˙ = F~0 + F~rad
Ñêîíñòðóèðóåì ýòó ñèëó òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû åå ðàáîòà çà åäèíèöó âðåìåíè (ò.å. ìîùíîñòü) áûëà áû ðàâíà ýíåðãèè èçëó÷àåìîé ÷àñòèöåé çà åäèíèöó âðåìåíè:
2 e2
2 e2 d ˙ 2 e2 ¨
dE
~v, ~v + 3 ~v , ~v .
= − 3 ~v˙ 2 = − 3
F~rad , ~v = −
dt
3c
3 c dt
3c
Ñòðîãî ýòî ðàâåíñòâî, êàê âèäíî, óäîâëåòâîðèòü íå âîçìîæíî. Íî, åñëè äâèæåíèå ÷àñòèöû
èíèòíîå, òî ïðè óñðåäíåíèè ïîëíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïî âðåìåíè çàíóëÿåòñÿ, è ìû ìîæåì
çàïèñàòü çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè â ñðåäíåì:
Ñëåäîâàòåëüíî, ìîæíî âûáðàòü
2 e2
F~rad , ~v = 3 ~v, ~v¨ .
3c
2 e2
F~rad = 3 ~v¨
3c
(189)
Ýòà âåëè÷èíà íàçûâàåòñÿ Ëîðåíöåâîé ñèëîé ðàäèàöèîííîãî òðåíèÿ. Ïðè ýòîì èíòåãðàëüíî çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ñîáëþäåí.  èòîãå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ÷àñòèöû èìååò âèä:
2 e2
m ~v˙ = F~0 + 3 ~v¨.
3c
Ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå äîâîëüíî íå îáû÷íî è ïðèâîäèò ê ðÿäó ïðîòèâîðå÷èé. Ïðåæäå âñå...
ãî, îíî ñîäåðæèò ~
r . Òàêàÿ ñòðóêòóðà óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ, êàê âû äîëæíû áûëè óñâîèòü
íà ïåðâîé ëåêöèè, íàõîäèòñÿ â ïðîòèâîðå÷èè ñ îñíîâíûìè ïîëîæåíèÿìèêëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè, âñÿ ñõåìà êîòîðîé ïðåäïîëàãàåò, ÷òî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äîëæíû èìåòü âòîðîé
ïîðÿäîê ïî ïðîèçâîäíûì ïî âðåìåíè. Ïîýòîìó íåêîòîðûå åãî ðåøåíèÿ îêàçûâàþòñÿ è~0 = 0 óðàâíåíèå ~v˙ = 2 e2 3 ~v¨ èìååò ðåøåíèå
çè÷åñêèìè áåññìûñëåííûìè. Íàïðèìåð, ïðè F
3mc
âèäà ~
v (t) = ~v0 + ~v1 et/τ , ãäå τ = 2 e2 /3 m c3 , à ~v0 è ~v1 íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå âåêòîðà. Ïîëó÷åííîå íàìè ðåøåíèå îïèñûâàåò íåîãðàíè÷åííîå ñàìîóñêîðåíèå ÷àñòèöû â îòñóòñòâèè
âíåøíèõ ñèë. Ýòî ïðîèñõîäèò ïîòîìó, ÷òî ðàññìîòðåííîå íàìè ýåêòèâíîå óðàâíåíèå
äâèæåíèÿ îïèñûâàåò íåçàìêíóòóþ ñèñòåìó, èç êîòîðîé èñêëþ÷åíû ÝÌ ïîëÿ.
3. Ïîÿñíèì ñèòóàöèþ íà ïðèìåðå ïðîñòîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû. àññìîòðèì äâà øà-
ðèêà îäèíàêîâîé ìàññû
m,
ñîåäèíåííûõ ïðóæèíàìè æåñòêîñòè
êàìè, êàê èçîáðàæåíî íà ðèñ. (13). Ïóñòü
x1
è
x2
k
äðóã ñ äðóãîì è ñî ñòåí-
ñìåùåíèÿ ïåðâîãî è âòîðîãî øàðèêîâ èç
ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Òîãäà óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ øàðèêîâ èìåþò âèä:
m ẍ1 = −k x1 − k (x1 − x2 ) = −2 k x1 + k x2
m ẍ2 = −k x2 − k (x2 − x1 ) = −2 k x2 + k x1
ß õî÷ó ðåøèòü ýòó ñèñòåìó óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî
x2
(190)
è íàéòè óðàâíåíèå äâèæåíèÿ òîëü-
êî äëÿ ïåðâîãî èç øàðèêîâ äëÿ x1 . Äâàæäû ïðîäèåðåíöèðîâàâ ïåðâîå óðàâíåíèå,
....
ïîëó÷èì m x 1 = −2 k ẍ1 + k ẍ2 . Ïîäñòàâèì â ïîëó÷åííîå óðàâíåíè ẍ2 èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ:
124
èñ. 13:
....
m x 1 = −2 k ẍ1 +
Ïîäñòàâèì â ýòî óðàâíåíèå
x2 ,
âûðàçèâ åãî
k
(−2 k x2 + k x1 ) .
m
÷åðåç x1 è ẍ1 èç ïåðâîãî
óðàâíåíèÿ ðàññìàò-
ðèâàåìîé ñèñòåìû.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå òîëüêî íà
x1 :
....
m x 1 = −4 k ẍ1 − 3 k x1 .
Ò.å., ÿâíî èñêëþ÷èâ èç ðàññìîòðåíèÿ îäíó èç ÷àñòèö, äëÿ äðóãîé ìû ïîëó÷àåì óðàâíåíèå,
ñîäåðæàùåå áîëåå âûñîêèå ñòåïåíè ïî ïðîèçâîäíûì, ÷òî, â ÷àñòíîñòè, ïðèâîäèò ê
ñàìîóñêîðÿþùèìñÿ ðåøåíèÿì.
Àíàëîãè÷íî ïðè ïîèñêå ñèëû ðàäèàöèîííîãî òðåíèÿ, ìû ðåøèëè ñèñòåìó óðàâíåíèé
(187) îòíîñèòåëüíî ÝÌ ïîëÿ
Aµ
è ïîäñòàâèëè ýòî ðåøåíèå âî âòîðîå óðàâíåíèå äëÿ ìè-
ðîâîé ëèíèè ÷àñòèöû. Ïîýòîìó ìû ïîëó÷èëè áîëåå âûñîêóþ, ÷åì âòîðàÿ ñòåïåíü ïî ïðîèçâîäíûì ïî âðåìåíè. Áîëåå òîãî, â îòëè÷èè îò ðàññìîòðåííîé òîëüêî ÷òî ìåõàíè÷åñêîé
ñèñòåìû, äëÿ ñèñòåìû ÷àñòèöàïîëå ìû ýòî ñäåëàëè òîëüêî ïðèáëèæåííî.
 ëþáîì ñëó÷àå, êîãäà ñèëà ðàäèàöèîííîãî òðåíèÿ âõîäèò â óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ êàê
ìàëàÿ äîáàâêà ê âíåøíèì ñèëàì, îïèñûâàåìàÿ ïî ìåòîäó ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé,
òîãäà îíà äàåò èçè÷åñêè îñìûñëåííûå ðåçóëüòàòû. Ýòó ñèëó èñïîëüçóþò, ò.ê. â íåêîòîðûõ
ïðèëîæåíèÿõ îíà î÷åíü óäîáíà, êàê ìû ñåé÷àñ óâèäèì.
4.
Ó÷åò ñèëû ðàäèàöèîííîãî òðåíèÿ ïðèâîäèò ê íåêîòîðûì êà÷åñòâåííûì ýåêòàì
ïðè ðàññìîòðåíèè èçëó÷åíèÿ è ðàññåÿíèÿ ÝÌ âîëí àòîìíûìè ñèñòåìàìè. Êîíå÷íî èçëó÷åíèå, ïîãëîùåíèå è ðàññåÿíèå ÝÌ âîëí àòîìíûìè ñèñòåìàìè ýòî ñóãóáî êâàíòîâûå
ïðîöåññû, ïîñëåäîâàòåëüíîå îïèñàíèå êîòîðûõ âîçìîæíî òîëüêî íà îñíîâå êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè. Íî ìíîãèå êà÷åñòâåííûå õàðàêòåðèñòèêè ýòèõ ÿâëåíèé õîðîøî ïåðåäàþòñÿ
ìîäåëüþ âçàèìîäåéñòâèÿ ÝÌ âîëí ñ ãàðìîíè÷åñêèì îñöèëëÿòîðîì çàðÿäîì, êîëåáëþùèìñÿ ïîä äåéñòâèåì ñèëû
óêà, êîòîðàÿ ìîäåëèðóåò ðåàëüíóþ ñèëó â àòîìíîé ñèñòåìå.
Ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ ýëåêòðîíà ïîä äåéñòâèåì óïðóãîé ñèëû ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò îïèñûâàþòñÿ óðàâíåíèåì:
125
m ~r¨ + m ω02 ~r = 0
Åñëè áû íå áûëî èçëó÷åíèÿ, ýòî óðàâíåíèå òî÷íî îïèñûâàëî áû ïîâåäåíèå ÷àñòèöû, è ìû
èìåëè áû äåëî ñ íåçàòóõàþùèìè ãàðìîíè÷åñêèìè êîëåáàíèÿìè ñ ÷àñòîòîé
ω0 .
Íî ðåàê-
öèÿ íà èçëó÷åíèå ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ ñèëû ðàäèàöèîííîãî òðåíèÿ, êîòîðóþ ñëåäóåò
äîáàâèòü â ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ:
2 e2 ...
~r .
~r¨ + ω02 ~r =
3 m c3
 ïðèíöèïå ýòî óðàâíåíèå ìîæíî ðåøèòü òî÷íî, íî ò.ê. ìû â ëþáîì ñëó÷àå ðåøàåì ýòó çàäà÷ó ïðèáëèæåííî, òî áóäåì èñêàòü åå ðåøåíèå ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé,
r¨ = −ω02 ~r, ïîýòîìó
ñ÷èòàÿ ñèëó ðàäèàöèîííîãî òðåíèÿ ìàëîé.  íóëåâîì ïðèáëèæåíèè ~
...
2˙
~r = −ω0 ~r. Òîãäà ðàññìàòðèâàåìîå óðàâíåíèå óïðîùàåòñÿ äî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ îñöèëëÿòîðà ñ òðåíèåì:
~r¨ + Γ ~r˙ + ω02 ~r = 0,
2 e2 ω02
≪ ω0 , åñëè õàðàêòåðíàÿ äëèíà âîëíû èçëó÷åíèÿ
3 m c3
óðàâíåíèÿ èìååò âèä
ãäå
Γ =
λ 0 ≫ re .
åøåíèå ýòîãî
~r(t) = Re ~r0 e−i ω t ,
ãäå
|~r0 |
íà÷àëüíàÿ àìïëèòóäà îñöèëëÿöèé, à
i
ω 2 − i ω Γ + ω02 = 0 ⇒ ω ≈ − Γ + ω0 ,
2
åñëè
Γ ≪ ω0 .
Òàêèì îáðàçîì,
Γ
~r = Re ~r0 e− 2 t−i ω0 t .
Ïîñêîëüêó ïîëå èçëó÷åíèÿ â âîëíîâîé çîíå ïðîïîðöèîíàëüíî
~ 0 e− Γ2 t−i ω0 t . Ôóðüå êîìïîíåíòû òàêîãî ïîëÿ ðàâíû
E
~ω =
E
Z
+∞
~ ei ω t =
dt E(t)
0
¨
d~ ∼ ~r¨ = −ω02 ~r,
òî
~
E(t)
=
~0
E
.
i (ω − ω0 ) − Γ2
Ò.å. èíòåíñèâíîñòü èçëó÷åíèÿ ñ äàííîé ÷àñòîòîé èìååò âèä:
~ω
Iω ∼ E
2
Èç òîãî, ÷òî ïîëíàÿ èíòåíñèâíîñòü ðàâíà
∼
1
(ω − ω0 )2 +
I0 ,
Γ2
4
íàõîäèì êîýèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè
â ïîñëåäíåì âûðàæåíèè:
I0 = C
Z
∞
−∞
dω
(ω − ω0 )2 +
Γ2
4
=C
2π
Γ
Ñëåäîâàòåëüíî:
Iω =
I0
Γ
2 π (ω − ω0 )2 +
126
Γ2
4
.
(191)
Òàêàÿ îðìà ñïåêòðà íàçûâàåòñÿ Ëîðåíöåâîé ëèíèåé.
Γ → 0, ò.å. ðåàêöèÿ íà èçëó÷åíèå îòñóòñòâóåò, òî Iω = I0 δ(ω −ω0 ), ãäå ìû âîñïîëüçîâàëèñü îäíèì èç îïðåäåëåíèé δ óíêöèè, ïðèâåäåííîì íà îäíîé èç ïðîøëûõ ëåêöèé.
Åñëè
Êàê âèäíî, â ýòîì ñëó÷àå îñöèëëÿòîð èçëó÷àåò òîëüêî ñ îäíîé ÷àñòîòîé. À ó÷åò ðàäèàöèîííîãî òðåíèÿ ïðèâîäèò ê êà÷åñòâåííî íîâîìó ýåêòó êîíå÷íîé øèðèíå ñïåêòðà èçëó÷åíèÿ ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà. Ïðè ýòîì
Γ íàçûâàåòñÿ åñòåñòâåííîé
øèðèíîé ëèíèè.
Íà ñàìîì äåëå â åñòåñòâåííóþ øèðèíó ëèíèè åñòü åùå è äðóãèå âêëàäû, ïîìèìî òîãî,
÷òî ìû ó÷ëè. Íàïðèìåð, çà ñ÷åò ñòîëêíîâåíèé è òåïëîâîãî äâèæåíèÿ. Íî îêàçûâàåòñÿ, ÷òî
áîëåå òî÷íûé êâàíòîâî òåîðåòèêî ïîëåâîé ðàñ÷åò ëèíèè ñïåêòðà äëÿ àòîìíûõ ñèñòåì äàåò
òàêóþ æå îðìó ëèíèè ñïåêòðà, íî ñ äðóãèì çíà÷åíèåì
Γ. Ò.å. íàøè âûêëàäêè êà÷åñòâåííî
âåðíî îòðàæàþò ðåàëüíóþ êàðòèíó.
5.
Òåïåðü ðàññìîòðèì òó æå çàäà÷ó î ãàðìîíè÷åñêîì îñöèëëÿòîðå, íî óæå â äðóãîé
ïîñòàíîâêå, êîãäà íà ýòîò îñöèëëÿòîð äåéñòâóåò âíåøíåå ÝÌ ïîëå ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû. Òîãäà ïîä äåéñòâèåì âíåøíåé ñèëû ÷àñòèöà ñòàíåò ñîâåðøàòü âûíóæäåííûå
êîëåáàíèÿ, äâèãàÿñü óñêîðåííî, è òåì ñàìûì, èçëó÷àÿ ÝÌ âîëíû. Ýòè âîëíû íàçûâàþòñÿ
ðàññåÿííûìè âîëíàìè, à ñàì ýòîò ïðîöåññ ïðîöåññîì ðàññåÿíèÿ ïàäàþùåé ÝÌ âîëíû
îñöèëëÿòîðîì (èëè êàêîé ëèáî äðóãîé àòîìíîé ñèñòåìîé).
àññìàòðèâàÿ ïðîöåññ ðàññåÿíèÿ ÝÌ âîëí, â ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ çàðÿæåííîé ÷àñòèöû íóæíî äîáàâèòü ñèëó âçàèìîäåéñòâèÿ çàðÿæåííîé ÷àñòèöû ñ ïîëåì
âîëíû:
~r¨ +
ω02 ~r
e
=
m
h
i
1
2 e2 ...
~
~0 +
~0
~r .
E
~v × B
e−i ω t+i k ~r +
c
3 m c3
 òàêîì âèäå óðàâíåíèå ñëèøêîì ñëîæíî. Âîïåðâûõ ó÷òåì, ÷òî ìàãíèòíîå ïîëå âõîäèò ñ
àêòîðîì
v/c ≪ 1,
ò.ê. ìû ðàññìàòðèâàåì íåðåëàòèâèñòñêèé ñëó÷àé, è ÷ëåí ñ ìàãíèòíûì
ïîëåì ìîæíî îòáðîñèòü â ãðóáîì ïðèáëèæåíèè. Äàëåå, áóäåì ñ÷èòàòü àìïëèòóäó êîëåáà-
”a” ýëåêòðîíà ìàëîé ïî ñðàâíåíèþ ñ äëèíîé ïàäàþùåé ÝÌ âîëíû, ò.å. a ≪ λ, ÷òîáû â
àçå âîëíû ìîæíî áûëî áû ïðåíåáðå÷ü (~
k, ~r) ∼ a/λ ≪ 1 ïî ñðàâíåíèþ ñ ω t. Òîãäà èìååì:
íèé
2 e2 ...
e ~ −i ω t
e
+
~r .
~r¨ + ω02 ~r = E
0
m
3 m c3
Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíûìè ïðèáëèæåíèÿìè è â
âèäå ~
r = ~r0 e−i ω t , îòâå÷àþùåì âûíóæäåííûì êîëåáàíèÿì. Ïîëó÷èì:
çäåñü
Γ=
e ~
~r0 −ω 2 + ω02 − i Γ ω = E
0,
m
2 e2 ω 2
è â ïðèíöèïå çàâèñèò îò ÷àñòîòû âíåøíåãî ïîëÿ. Òàêèì îáðàçîì,
3 m c3
~r(t) = Re
~ 0 e−i ω t
eE
.
m (ω02 − ω 2 − i Γ ω)
Äàëåå, âû÷èñëÿÿ âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ äèïîëüíîãî ìîìåíòà êîëåáëþùåéñÿ ÷àñòèöû
¨
d~ = −
ïîëó÷àåì
~ 0 e−i ω t
e2 ω 2 E
,
m (ω02 − ω 2 − i Γ ω)
127
¨
d~ = e ~r¨
1
dI
=
dΩ
8 π c3
h
i
¨
d~ × ~n
2
2
~ 0 sin2 θ
e4 ω 4 E
h
i
=
2
8 π c3 m2 (ω02 − ω 2) + Γ2 ω 2
ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè èçëó÷åíèÿ âîëí îñöèëëÿòîðîì ïî óãëàì.
Ïðîöåññ ðàññåÿíèÿ îáû÷íî õàðàêòåðèçóåòñÿ ýåêòèâíûì äèåðåíöèàëüíûì ñå÷åíèåì ðàññåÿíèÿ, êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ êàê îòíîøåíèå ïîòîêà ðàññåÿííîãî èçëó÷åíèÿ â
äàííûé ýëåìåíò òåëåñíîãî óãëà ê ïîëíîìó ïîòîêó ïàäàþùåãî èçëó÷åíèÿ:
dσ
1 dI
=
.
dΩ
~ dΩ
S
(192)
2
Çäåñü
~ = c E
~ 0 /8 π
S
ïëîòíîñòü ïîòîêà ýíåðãèè â ïàäàþùåé âîëíå. Ó÷èòûâàÿ ýòè
îðìóëû, ïîëó÷àåì âûðàæåíèå
dσ
=
dΩ
e2
m c2
2
ω 4 sin2 θ
2
(ω02 − ω 2 ) + Γ2 ω 2
,
(193)
êîòîðûì óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ ïðè èçó÷åíèè ðàññåÿíèÿ âîëíû ñ ëèíåéíîé ïîëÿðèçàöèåé.
àññìîòðèì òåïåðü îäèí ÷àñòíûé âàæíûé ñëó÷àé ñâîáîäíîãî çàðÿäà. Ò.å. êîãäà
ê òîìó æå
Γ ≪ ω , ò.å.
ìîæíî ïîëîæèòü
Γ = 0. Äëÿ ñâîáîäíûõ
ω0 = 0 è
çàðÿäîâ äèåðåíöèàëüíîå
ñå÷åíèå èìååò âèä:
dσ
= re2 sin2 θ,
dΩ
à ïîëíîå ñå÷åíèå îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé Òîìñîíà:
σ≡
Z
dσ
dΩ =
dΩ
Z
re2
2
sin θ dΩ =
8π
=
3
3
4
2 π re2
e2
m c2
2
6. Îïðåäåëèì òåïåðü ãðàíèöû ïðèìåíèìîñòè êëàññè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêè.
(194)
Íåòðóä-
íî ñîðìóëèðîâàòü óñëîâèå ìàëîñòè ðàäèàöèîííîé ñèëû ïî ñðàâíåíèþ ñ âíåøíåé ñèëîé
F~0 ,
êîòîðàÿ òî æå èìååò ÝÌ ïðèðîäó. Çàïèñûâàÿ
íàõîäèì â íóëåâîì
 ìãíîâåííî
i
e h
~
~
~
~v × B0 ,
F0 = e E0 +
c
~rad :
ïðèáëèæåíèè ïî F
˙
i
e h
e ~˙
e h˙ ~ i
F~
˙
¨
~
~v × B0 .
~v × B0 +
=
E0 +
~v =
m
m
mc
mc
~ 0 /m. Ñëåäîâàòåëüíî,
ñîïóòñòâóþùåé ÈÑÎ ~
v = 0, à ~v˙ = e E
i
2 e4 h ~
2 e2 ¨
2 e3 ~˙
~
~
~ 0.
E0 +
Frad ≡ 3 ~v =
E0 × B0 ≪ e E
3c
3 m c3
3 m2 c4
128
 ïåðèîäè÷åñêîì âíåøíåì ïîëå ñ ÷àñòîòîé
~˙ 0 = Re −i ω E
~0 .
~ 0 ∼ Re e−iω t , E
ω èìååì, ÷òî E
Ñëåäîâàòåëüíî, ìû ïîëó÷àåì äâà óñëîâèÿ:
1.
e3 ω/m c3 ≪ e ⇒ e2 /m c2 ≪ c/ω ∼ λ0 ⇒ re ≪ λ0
äëèíà âîëíû èçëó÷åíèÿ ãîðàçäî
áîëüøå êëàññè÷åñêîãî ðàäèóñà ÷àñòèöû.
2.
e3 B0 /m2 c4 ≪ 1 ⇒ B0 ≪ m2 c4 /e3
îãðàíè÷åíèå íà âåëè÷èíó ïîëÿ.
Îäíàêî êâàíòîâûå ýåêòû îãðàíè÷èâàþò îáëàñòü ïðèìåíèìîñòè êëàññè÷åñêîé
ýëåêòðîäèíàìèêè çíà÷èòåëüíî ìåíüøèìè ïîëÿìè è çíà÷èòåëüíî áîëüøèìè ðàññòîÿíèÿìè.
Âîïðîñû è çàäà÷è
•
•
Èçëó÷àåò ëè ðàâíîìåðíî è ïðÿìîëèíåéíî óñêîðÿþùèéñÿ çàðÿä? Ìîòèâèðóéòå ñâîé
îòâåò. ×åìó ðàâíà ñèëà ðàäèàöèííîãî òðåíèÿ â ýòîì ñëó÷àå? Ïî÷åìó?
 ñèñòåìå óðàâíåíèé (187) èçáàâüòåñü îò ÝÌ ïîëÿ òî÷íî. Èñïîëüçóéòå äëÿ ýòîãî
óíêöèþ
ðèíà äëÿ ïîëÿ. Âûâåäèòå ñèëó ðàäèàöèîííîãî òðåíèÿ èç ïîëó÷åííîãî
âûðàæåíèÿ. Íàéäèòå èçè÷åñêèé ñìûñë ïîëó÷àþùèõñÿ ðàñõîäÿùèõñÿ èíòåãðàëîâ.
129
Последние комментарии
1 час 14 минут назад
5 часов 30 минут назад
5 часов 39 минут назад
5 часов 44 минут назад
6 часов 5 минут назад
6 часов 13 минут назад