Методы математической физики [Гарольд Джеффрис] (pdf) читать постранично, страница - 3

производной f ( x) , умноженной на 1/(и — 1)!. П ол уч ен ­
ный р езультат верен д ля к а ж д о г о п. С ледовательно, м о ж н »
заменить п — I н а г а и получить
[ х ж ,.. .л:„]

(17>

где т) л еж и т на интервале, концы которого п р ед став л яю т со­
бой наименьшее и наибольш ее значения из х, т. е. Xi и ХпВ о зв р а щ ая сь теперь к (9), имеем
R

M

- i i

/ '" Ч л ) { X -

X , ) ( Х - Х 2) . . . ( Х - Х п ).

( 1 8 ).

Если можно установить пределы д ля «-Й производной во всех
п р о м еж у тках м е ж д у п значениями аргументов, то тогда 1*1ожнрполучить оценку ошибки, получаю щ ейся при зам ене f (x) на
Р{х) . О тб расы ван и е J?(x) в (10) приводит к интерполяционной
ф ор му ле Ньютона.
П оследовательное применение (12) показы вает, что га-я р а з ­
д ел ен н ая разность х" р ав н а 1. Это следует т а к ж е и из (17).
Д ействительно, если /( x ) = .v", то п р а в а я часть (17) р ав н а 1
д л я всех X и, следовательно, числители всех высших разн о ­

стей равны 0. Это свойство удобно использовать при аппрок­
си м аци и за д а н н ы х значений функции степенным рядом . Д ей ­
ствительно, если все л-е разд ел енн ы е разности равны
то
— коэффициент при л:”. Вычтем
из всех табли чн ы х зн а ­
чений и снова составим разделенны е разности. Если все ариф­
метические действия были произведены правильно, то разн о ­
сти п ор яд ка п — I будут постоянными и их значение будет
коэффициентом при x"~^ и т. д. Процесс получения коэффи­
циентов автоматически контролируется: л ю б а я арифметическая
о ш и б к а о б н а р уж и ва ется на следую щей стадии вычислений.
И з формулы (18) видно, что если
(х) не слишком сильно
меняется, то R { x ) будет наименьшим при использовании т а б л и ч ­
ных значений Xi, . . . л;„, наиболее близких к симметричному
расположению относительно х. Ф о рм ул а пригодна при любом
выборе табличных значений, но ош ибка, которая н еизбеж на
при неравной нулю
(х), значительно меньше при интерполя­
ции, чем при экстраполяции. Подобным образом обычно боль­
ш а я точность получается при интерполяции в середине таблицы ,
чем у ее краев. Т аб л и ца разностей составляется следую щ им
о б р азо м ;
/3
h
h
X,

i(x,)

Хг

Цхг)

[XiXtl
[XiXiXi]
[X2X3]
Хъ

[XtXiXiXt]
[XiXjXi]

fix,)

[XiXiXiX^]

IXiXi]
[x.xtx^]

Kt
IXiXsl
Ч

f M

[x.iXtXsXs]
IXiX^Xe]

П р и интерполяции м еж д у х^ и лг4 в к л а д
наименьший при
использовании разностей [х^х^], [х2хзх^] и [х^х^х^х^] или любой
д р у г о й последовательности, которая зак ан чи в ается на этой ж е
третьей разности. И з вторых разностей об язательн о нужно
в з я т ь одну из тех двух, которые были использованы д л я о б р а ­
з о в а н и я этой третьей разности. И з первых разностей о б я за ­
тел ь н о нужно вы брать одну из тех, по которым бы ла получена
и сп о л ьзо в ан н ая втор ая разность. В остальном выбор пути без­
различен — нужно только прийти к той ж е самой третьей р а з ­
ности. В результате всегда получится многочлен третьей стелвни, значения которого сов п ад аю т с f { x ) при х = хг, х^, х^, х^.
Впрочем, арифметические вы кладки будут проще, если при­
д е р ж и в а т ь с я насколько возможно б л и ж е к горизонтали таблицы.
П редставлени е (10) обычно менее удобно, чем (8); разделенд ы е разности высших порядков обычно м алы и при умножении

12

Глава 9

на д в а или более сом нож ителя трудно следить за положе*
нием запятой. П ри пользовании (8) начинаю т с конца и вычи­
сляю т (x — x n- i ) [xiX2 . . . Хп]. П р и б а в л я ю т полученную величину
к [Х]Х2 . . . Хп-\\, ум н о ж а ю т р езу л ьтат на { х ~ Хп- 2 )> п ри б ав л яю т
к \X\X2 . ■■ л:„_2] и п р одол ж аю т таким образом вплоть до н ач ал а
строки (8). Но лучше всего ср а зу вычислить первые д ва члена.
Они д аю т линейную интерполяцию. Эти члены можно непо­
средственно получить при помощи арифмометра (m ultip ly in g
machine). С н а ч а л а берется /(x i) и поворотом ручки переводится
на счетчик произведений. З атем н абирается [Х1 Х2 ] и последова­
тельно у м н о ж а ется на все требую щ иеся значения х — Xi л о Х2 — Х 1
включительно. Последнее произведение д о лж н о д ав ать /(лгг),
что проверяет вычисление [Х1Х2]. Регистр множителей перед
н ачалом ум н ож ени я нужно очистить, так чтобы последователь­
ные значения х — Xi мож но было читать на нем. Запиш ем
теперь (8) в виде
ИХ

f (х) = {/ (;ti) + (х - Х|) 1x1x2]} + { х - xi ) ( х - Х2) {[xi xix^x^] +
+ { х - Х^){[Х’^Х2Х.^Х^]+ . . . } } .

П о с л е д н яя группа членов в большинстве случаев п р ед став л яе т
собой лишь малую поправку, а члены в первой скобке у ж е
вычислены на арифмометре. Ж е л а т е л ь н о сохранять при расче­
тах на одну зн ач ащ ую цифру больше, чем д ан о в таблице,
чтобы и зб е ж ать ошибок округления.
Все остальные численные методы связаны с заменой f{x)
интерполяционным многочленом Р{х), степень которого на еди­
ницу меньше числа табличны х данных. Вообще ! { х ) ф Р { х ) ,
за исключением зад ан н ы х точек, но их разность л еж и т в пре­
д ел ах, которые мож но установить. Многочлен Р { х ) п ред став л яет
собой наиболее гладкую функцию,