Методы математической физики [Гарольд Джеффрис] (pdf) читать онлайн

Г .Д Ж Е Ф Ф Г Н С
Б

С В И Р Л С

МЙ1

ИЗДАТЕЛЬСТВО

«МИР»

METHODS
OF
MATHEMATICAL PHYSICS
by
S ir H a ro ld Jeffreys
M. A., D. Sc., F. R. S.
an d
B erth a S w irles (L ady Jeffreys)
M. A., Ph. D.

Third E dition

CAMBRIDGE
CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS
1966

Г. ДЖЕФФРИС, Б. СВИРЛС

МЕТОДЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ
ВЫПУСК 2

П ер евод с английского
п од ред.

В. Н. Ж а р к о в а

И ЗД А Т Е Л Ь С Т В О «М И Р »

Москва 1970

Ф ундам ентальное руководство по прикладной математике,
написанное известным геоф изиком Г. Д ж еф ф р и сом и его суп р у­
гой Бертой Свирлс, представляет собой вы даю щ ееся явление
в мировой литературе. С ним мож но сравнить лишь такие
труды, как „Методы математической физики" Куранта и Гиль­
берта или „М етоды теоретической физики" М орса и Ф еш баха
(выпущенные изд-вом „Мир" в русском переводе), которые
являются настольными книгами для всех, кто работает в области
физико-математических дисциплин. Д л я удобства читателей р ус­
ский перевод разбит на три выпуска: вып. 1 вышел в 1969 г.,
вып. 2 и 3 намечено издать в 1970 г.
Книга Г. Д ж еф ф р и са и Б. Свирлс привлечет внимание фи­
зиков, геофизиков и астрономов, имею щ их дел о с той областью
прикладной математики, где наряду с чисто рецептурной вы­
числительной техникой н еобход и м о строгое понимание методов
математической физики. Книга окаж ет так ж е больш ую помощь
аспирантам и студентам старших курсов.

Редакция

космических

исследований, астрономии и ге офизики

Г. Дже ффр ис , Б. Св и р л с
МЕТОДЫ м а т е м а т и ч е с к о й

ф и зи ки

вып. 2
Редактор Э. А, Медушевская
Художник Е. М. Золотарев
Художественный редактор В. М. Вар л а ши н
Технический редактор Л . П. Кондюкова
Корректор Е. Г. Литвак
Сдано в производство 3/XI 1969 г.
Подписано к печати 12/11 1970 г.
№ 2 60Х90'/.«.= 11 бум. л. 22 уел. печ. л. Уч.-изд. л. 19,45. И зд. № 27/5570.
З ак. 379.

Бум ага тип.
Цена 1 р. 22 к,

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2.
Ордена Трудового Красного Знамени
Л енинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР.
Измайловский проспект, 29,

2-3-1, 2-6-1
70

’

ОГЛАВЛЕНИЕ

о т РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
ГЛАВА 9. ЧИСЛЕННЫ Е МЕТОДЫ

7

ГЛАВА 10. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИ СЛЕН ИЕ

101

ГЛАВА 11. Ф УНКЦИИ КОМ ПЛЕКСНОГО ПЕРЕМ ЕННОГО

132

ГЛАВА 12. КОНТУРНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ИНТЕГРАЛ БРОМ ВИЧА

195

ГЛАВА 13. КОНФОРМ НОЕ ПРЕО БРАЗОВАНИЕ

249

ГЛАВА 14. ТЕОРЕМА ФУРЬЕ

279

ГЛАВА 15. ФАКТОРИАЛ И СВЯЗАННЫЕ С НИМ ФУНКЦИИ

333

УКАЗАТЕЛЬ

351

от

РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Во второй выпуск вошли гл. 9 — 15, посвящ енны е числен­
ным методам, вариационному исчислению, интегрированию по>
контуру и и нтегралу Б ром ви ча, конформным отображениям,,
теореме Фурье, ф ак тор иал у и связан ны м с ним функциям.
Главы 9 и 11 перевели Л . В. Никитин, А. А, Гвоздев и
Б. В. Костров; гл. 10 —А. Л . Л евш ин и Е. Л . Резников,,
гл. 1 2 — 15 —М. Л . Гервер,
В. Н . Ж а р к о в

Глава 9

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

я не получаю удовлетворения от ф ормул, пока
не почувствую численных значений величин,
Л о р д Кельвин
„ Жи з н ь С и л ь в а н у с а Томпсона"

9.01.
П риближение многочленами. Почти д л я всех числен­
н ы х методов характерно, что значение некоторой функции f { x )
з а д а н о в р яд е отдельны х значений л: и не зад ан о в проме­
ж у т к а х м е ж д у ними. Д л я вычислительных целей эти проме­
ж у тк и зап ол н яю тся в предполож ении, что f { x ) м ож но з а м е ­
н ить многочленом, совп адаю щ и м с f { x) в тех точках, где
за д а н ы значения этой функции. Самый простой случай — ли­
нейная интерполяция, когда из таблицы берут только д в а
соседние значения, а все промеж уточны е вычисляют, пред­
п ола гая, что f '{ x ) в р ас см а три в ае м ом интервале постоянна.
Т а к о й способ д а е т достаточную точность лиш ь при условии,
что / '( х ) мало меняется на и нтервале м е ж д у зад ан н ы м и з н а ­
чениями. О д н ако часто встречаю тся случаи, когда нужно
«обращать внимание на производные более высокого пор яд ка.
П ри б ли ж ен и е многочленами никогда не м ож ет быть м а тем а­
ти чески точным (кроме того случая, когда са м а функция
/ (л:) — многочлен), но при подход ящ их условиях м ож ет д а в а т ь
так у ю ж е точность, с какой з а д а н ы сами табличные значения.
9.011.
Интерполяционная ф орм ула Л а гр а н ж а * ).
У{х) з а д а н а при x = xi, Х2 ,
х„. Тогда функция
e ( x ) = f(x,)
I

I

П усть

{х-хп)_ ,

( x - X l ) { K - K i ) ... ( Х - Х п )
,
I f
_ X,) { X , - x , ) . . . ( x , - x n ) ' ^ ’ " ' ^ '

/

ч

( X ~ X l ) .. . ( x ~ x n - i )
- X , ) . . . {Xn - X n - , )

’

( 1)
•совпадает с f ( x i ) при x = xi, с /(лгг) при X = X2 и т. д. Ф ун к­
ция g (л:) — многочлен степени п — 1. Она симметрична в том
*) В действительности принадлеж ит Варингу [1]. Вновь открыта Эйлером
в 1783 г. П убяикации Л агранж а относится к 1795 г. О днако, по-видим ом у,
эта ф ормула ^ я а известна ещ е Н ью тону. И сторические ссылки м ож но
«ай т и в книге П ирсона [2].

смысле, что не меняется при перестановке индексов. П оэтом у
значения из т аб л и ц мож но брать в лю бом порядке.
Больш инство интерполяционных формул мож но вывести из
ф орм улы Л а г р а н ж а . С ам а форм ула Л а г р а н ж а не всегда
у д о б н а из-за того, что на практике g { x ) в основном опреде­
л яется соседними табличными значениями и, значит, линейная
и нтерполяция н у ж д ает с я только в небольших поправках.
А в ф ормуле ( 1) все аргументы стоят симметрично и нуж но
учиты вать в к л а д всех сл агаем ы х. Вычисления упрощ аю тся,
если используется ф ормула, в которой явно учтена особая
роль соседних значений и тем самы м утрачена симметрия.
9.012.
Разделенны е разности. П усть имеется таб л и ц а зн а ­
чений f{Xr) в точках Xi . . . Хп. Д л я к а ж д ы х д ву х п осл ед ова­
тельных значений аргум ента Хг и Хг+\ обр азу ем отношение
f. iXrXr^,) = Ix.Xr^,] =

_

(2)

У потребительны оба обозначения: и /j, и [XrXr+i]. Выписанное
отношение н азы ва ю т первой р а зде ле нной разностью. З а т е м
составим
f2{XrXr +,Xr+2) = [XrXr^lXr^^] =

I

•

(3)

Это вторая р а з д е ле н на я разность. Высшие разности строятся
таким ж е о бразом , причем на к а ж д о м ш аге зн ам енатель
п р ед став л яе т собой разность тех значений х, которые только
один р аз встречаю тся в числителе. Возьмем теперь п роизволь­
ное значение х, не совп адаю щ ее ни с одним из Xi, X2 , . . .
Разд елен н ы е разности, со д ерж ащ и е х, сущ ествую т и по опре­
делению равны
[xxi] =
[xXiX2]=

,

откуда

f { x ) = f { xi ) + [ x x i ] { x - x i ) ,

(4)

откуд а

[xxi] = [x^x2 ] - ^ [ x x ^ x 2] { x - Xi),

(5)

[XX,X2 . . . X„] =

~ ’

(6)

откуда
[XXIX2 . . . Xn~i] = [Xi . . . Xn] + [XX1 X2 . . . x n \ { x - Xn).

(7)

П од стави м в первое равенство разность [xxi] из второго.
Тогда получим трехчленную формулу, со д ерж ащ ую [ХХ1 Х2].
П о д ста ви м вместо l x x i x 2] вы раж ен и е, з а д а в а е м о е третьим ра-

венством. П р о д о л ж а я этот процесс, окончательно имеем
/ (х) = / (л:,) + (л: - Xi ) {[Х1Х2] + (л; - Хг) {[xix^x^] +

+ {. . . + (х — Xn-l) [Х[Х2 . . • XnYi . . . } } + /? (х),

(8)

где
R ( х) = [ХХ1Х2 . . . Х п ] ( х - x i ) { Х - Х 2 ) . . . { х - Хп).

(9 )

Р аскроем скобки и получим
f{x ) =

f (Xi) +

{ х -

Xi)

+ (х -

Xi)

[Х,Х2] + { х - X i ) { х - Х 2 ) [ Х 1 Х 2 Х 3 ] + .
. . . ( х ~ X n - l ) [Х1Х2 . . . x J + R (х),

. . +

(10)

или
f i x ) = P { x ) + R{x).

(11)

Это тож дество, получаю щ ееся из определения разд ел енн ы х
разностей. Ценность этой ф ормулы зави си т от величины R{x) ,
которую нел ьзя получить из одних определений, если неизве­
стна сам а f (x) . Но если каким-либо другим способом у д ается
установить пределы д ля R{x) , то одновременно определяю тся
и
пределы ошибки,
допускаемой при отбрасы вании
R{x) .
В этом случае Р { х ) о к азы в ается многочленом степени « — 1,
при б л и ж аю щ и м f {x) с точностью, которую можно оценить.
Рассмотрим теперь разделенны е разности функции х ' при
целом г. Разность
-X

4- . . . + л:''-'

(12)

п р ед став л яе т собой многочлен степени л — 1. Это свойство
мож но сра зу установить и д л я любого многочлена степени г.
П оэтому р азд ел е н н ая разность п ор яд ка г многочлена сте­
пени г постоянна, а все разности более высоких порядков
равны нулю.
Д ал ее, функция f {x) совп ад ает с интерполяционной функ­
цией Л а г р а н ж а g ( x ) в точках x = xi, Хз, . . . , х„. П оэтому р а з ­
деленные разности g (x ), в зяты е в этих п точках, совпадаю т
с соответствующими разностям и f ( x) . С ледовательно, ф ормула
( 10) д ает д ля g (х)
g ( x ) = P ( x ) + [xxi . . . x „ ] ( x - x i ) . . . ( x - x n - i ) ( x - x „ ) ,

(13)

причем р азд ел е н н ая разность в последнем члене п р ед став л яе т
собой п-ю разд еленн ую разность g'(x). Но g (х) — многочлен
степени п — 1, и поэтому его п-я р азд ел е н н ая разность р а в н а
нулю. С ледовательно,
g(x) = P(x)
(14)
д л я всех значений х. П оэтому если определить R ( x ) как
f { x ) ~ P { x ) , то /?(х) = 0 при x = xi, Х2, . . . . Хп. Это не следует

И З того, что в (9) имеется сомнож итель, равный нулю, так
к а к разделенны е разности не определены д л я со в п ад аю щ и х
точек.
П редп ол о ж и м теперь, что на и нтервале (а, Ь) функция f { x )
имеет производны е вплоть до п о ряд ка п. Тогда и R { x ) имеет
производные до п ор яд ка п, поскольку gf (х) — многочлен. Пусть
Хи Х 2,
Хп располож ены в порядке возрастани я. И х п оря­
д ок не влияет на R{x) , так ка к g (л:) — симметрична. Тогда
в силу того, что R { x ) = 0 при л: = л:| и х = х2, по теореме Р о л л я
/?'(л:) = 0 при некотором п ромеж уточном значении х. А н ал о­
гично R ' { x) = 0 при некоторых х в ка ж д о м из интервалов о т
Х2 до лгз, . . . от
ДО Хп. И спользуя теорему Р о л л я еще раз,
видим, что /?"{х) = 0 при п — 2 значениях х, л е ж а щ и х м е ж д у
Х\ и Хп. П р о д о л ж а я рассу ж д ен и я, получим, что
= О
при одном промеж уточном значении, ск аж е м , при х = 1. Но.
дифференцирование формулы (8) д ает

(х) = (и - 1)! [л;.Х2. . . Хп] +

W.

(15>

П оэтому
Ш = ( п - 1)1 [Х,Х2...Х „ ].

(16>

С ледовательно, м е ж д у Xi и х„ л еж и т по крайней мере однозначение х, д л я которого ( п — 1)-я р азд ел е н н ая разность р а в н а
( « — 1)-й производной f ( x) , умноженной на 1/(и — 1)!. П ол уч ен ­
ный р езультат верен д ля к а ж д о г о п. С ледовательно, м о ж н »
заменить п — I н а г а и получить
[ х ж ,.. .л:„]

(17>

где т) л еж и т на интервале, концы которого п р ед став л яю т со­
бой наименьшее и наибольш ее значения из х, т. е. Xi и ХпВ о зв р а щ ая сь теперь к (9), имеем
R

M

- i i

/ '" Ч л ) { X -

X , ) ( Х - Х 2) . . . ( Х - Х п ).

( 1 8 ).

Если можно установить пределы д ля «-Й производной во всех
п р о м еж у тках м е ж д у п значениями аргументов, то тогда 1*1ожнрполучить оценку ошибки, получаю щ ейся при зам ене f (x) на
Р{х) . О тб расы ван и е J?(x) в (10) приводит к интерполяционной
ф ор му ле Ньютона.
П оследовательное применение (12) показы вает, что га-я р а з ­
д ел ен н ая разность х" р ав н а 1. Это следует т а к ж е и из (17).
Д ействительно, если /( x ) = .v", то п р а в а я часть (17) р ав н а 1
д л я всех X и, следовательно, числители всех высших разн о ­

стей равны 0. Это свойство удобно использовать при аппрок­
си м аци и за д а н н ы х значений функции степенным рядом . Д ей ­
ствительно, если все л-е разд ел енн ы е разности равны
то
— коэффициент при л:”. Вычтем
из всех табли чн ы х зн а ­
чений и снова составим разделенны е разности. Если все ариф­
метические действия были произведены правильно, то разн о ­
сти п ор яд ка п — I будут постоянными и их значение будет
коэффициентом при x"~^ и т. д. Процесс получения коэффи­
циентов автоматически контролируется: л ю б а я арифметическая
о ш и б к а о б н а р уж и ва ется на следую щей стадии вычислений.
И з формулы (18) видно, что если
(х) не слишком сильно
меняется, то R { x ) будет наименьшим при использовании т а б л и ч ­
ных значений Xi, . . . л;„, наиболее близких к симметричному
расположению относительно х. Ф о рм ул а пригодна при любом
выборе табличных значений, но ош ибка, которая н еизбеж на
при неравной нулю
(х), значительно меньше при интерполя­
ции, чем при экстраполяции. Подобным образом обычно боль­
ш а я точность получается при интерполяции в середине таблицы ,
чем у ее краев. Т аб л и ца разностей составляется следую щ им
о б р азо м ;
/3
h
h
X,

i(x,)

Хг

Цхг)

[XiXtl
[XiXiXi]
[X2X3]
Хъ

[XtXiXiXt]
[XiXjXi]

fix,)

[XiXiXiX^]

IXiXi]
[x.xtx^]

Kt
IXiXsl
Ч

f M

[x.iXtXsXs]
IXiX^Xe]

П р и интерполяции м еж д у х^ и лг4 в к л а д
наименьший при
использовании разностей [х^х^], [х2хзх^] и [х^х^х^х^] или любой
д р у г о й последовательности, которая зак ан чи в ается на этой ж е
третьей разности. И з вторых разностей об язательн о нужно
в з я т ь одну из тех двух, которые были использованы д л я о б р а ­
з о в а н и я этой третьей разности. И з первых разностей о б я за ­
тел ь н о нужно вы брать одну из тех, по которым бы ла получена
и сп о л ьзо в ан н ая втор ая разность. В остальном выбор пути без­
различен — нужно только прийти к той ж е самой третьей р а з ­
ности. В результате всегда получится многочлен третьей стелвни, значения которого сов п ад аю т с f { x ) при х = хг, х^, х^, х^.
Впрочем, арифметические вы кладки будут проще, если при­
д е р ж и в а т ь с я насколько возможно б л и ж е к горизонтали таблицы.
П редставлени е (10) обычно менее удобно, чем (8); разделенд ы е разности высших порядков обычно м алы и при умножении

12

Глава 9

на д в а или более сом нож ителя трудно следить за положе*
нием запятой. П ри пользовании (8) начинаю т с конца и вычи­
сляю т (x — x n- i ) [xiX2 . . . Хп]. П р и б а в л я ю т полученную величину
к [Х]Х2 . . . Хп-\\, ум н о ж а ю т р езу л ьтат на { х ~ Хп- 2 )> п ри б ав л яю т
к \X\X2 . ■■ л:„_2] и п р одол ж аю т таким образом вплоть до н ач ал а
строки (8). Но лучше всего ср а зу вычислить первые д ва члена.
Они д аю т линейную интерполяцию. Эти члены можно непо­
средственно получить при помощи арифмометра (m ultip ly in g
machine). С н а ч а л а берется /(x i) и поворотом ручки переводится
на счетчик произведений. З атем н абирается [Х1 Х2 ] и последова­
тельно у м н о ж а ется на все требую щ иеся значения х — Xi л о Х2 — Х 1
включительно. Последнее произведение д о лж н о д ав ать /(лгг),
что проверяет вычисление [Х1Х2]. Регистр множителей перед
н ачалом ум н ож ени я нужно очистить, так чтобы последователь­
ные значения х — Xi мож но было читать на нем. Запиш ем
теперь (8) в виде
ИХ

f (х) = {/ (;ti) + (х - Х|) 1x1x2]} + { х - xi ) ( х - Х2) {[xi xix^x^] +
+ { х - Х^){[Х’^Х2Х.^Х^]+ . . . } } .

П о с л е д н яя группа членов в большинстве случаев п р ед став л яе т
собой лишь малую поправку, а члены в первой скобке у ж е
вычислены на арифмометре. Ж е л а т е л ь н о сохранять при расче­
тах на одну зн ач ащ ую цифру больше, чем д ан о в таблице,
чтобы и зб е ж ать ошибок округления.
Все остальные численные методы связаны с заменой f{x)
интерполяционным многочленом Р{х), степень которого на еди­
ницу меньше числа табличны х данных. Вообще ! { х ) ф Р { х ) ,
за исключением зад ан н ы х точек, но их разность л еж и т в пре­
д ел ах, которые мож но установить. Многочлен Р { х ) п ред став л яет
собой наиболее гладкую функцию, которая совпадает с f {x)
в зад ан н ы х точках. Действительно, d"P {x)ldx”' ===О д л я всех л'.
Д л я любой другой функции это не имеет места.
9,013.
В качестве прим ера использования изложенного метода
возьмем неравномерно расположенны е значения sin x ° и при
помощи интерполяции получим таб л и цу с шагом в 5°. И сход­
ные данны е и соответствующие им разделенн ы е разности пред­
ставлены в следующей таблице
X
sin х°
О 0,0000

/,

/2

/з

0,2250/13 = 0,01731
13

0,2250

- 0 ,0 0 0 7 9 / 2 4 = - 0 ,0 0 0 0 3 3
0,1817/11 = 0 ,0 1 6 5 2

24

0,4067

-0 ,0 0 0 0 3 0 /3 7 = -0 ,0 0 0 0 0 0 8
- 0 ,0 0 1 5 1 / 2 4 = - 0 ,0 0 0 0 6 3

0,1951/13 = 0,01501

-0 .0 0 0 0 3 1 /4 1 = -0 ,0 0 0 0 0 0 8

■37

0,6018

- 0 ,0 0 2 8 2 /3 0 =

-0,000094

-0 ,0 0 3 6 1 /3 0 =

-0,000120

-0 ,0 0 3 4 9 /2 5 =

-0,000140

-0 ,0 0 3 4 2 /2 3 =

-0,000149

0,2072/17 = 0,01219
54

0,8090

67

0,9205

79

0,9816

90

1.0000

0,1115/13 = 0,00858
0,0611/12 = 0,00509

-0 ,0 0 0 0 2 6 /4 3 =

-

0,0000001

-0 ,0 0 0 0 2 0 /4 2 =

-

0,000000

- 0 ,0 0 0 0 0 9 /3 6 =

-

0,000000

0,0184/11 = 0 ,0 0 1 6 7

Ход интерполяции п оказан в следую щ ей таблице. Во втором
столбце таблицы стоит результат линейной интерполяции м е ж д у
д вум я бли ж айш им и табличными значениями. Третий столбец
3-

X
5

10
15
20
25
30
35

40
45
50
55
60
65
70
75
80
85

Л инейная
интерполяц ия

П оправка

s in х°

Точные
зн ач ен и 5

0,08655
0,17310
0,2580»
0,34064
0,42171
0,49676
0,57181
0,63837
0,69932
0,76027
0,81758
0,86048
0,90338
0,93577
0,96122
0,98327
0,99162

- 5 Х 8 ( - ■0,030033 + 19 X 0,0000008) ^= 40X 0,000318 ==0,00072
-1 0 Х 3 { - ■0,000033 -f 14 X 0,0000008) ==30 X 0,000022 ==0,00066
- 2 Х 9 ( - ■0,000033 - 1 5 X 0,0000008) = 1 8 X 0 ,0 0 0 0 4 5 - 0,00081
- 7 Х 4 ( - ■0,000033 -20 X 0 .0 0 0 0 0 0 8 ) = 28X 0,003052 = 0,00137
- 1 X 1 2 (- ■0,000063 - 12X0,0000008) - 12X 0,000073 • 0,00088
- 6 Х 7 ( - ■0,000063 - 1 7 X 0,0000008) = 42 X 0,000077 = 0,00323
- И Х 2 ( - •0,000063 - 2 2 X 0,0000008) = 22X 0,000081 = 0,03178
- 3 X 1 4 (- -0,000094 -16X 0 ,0 0 0 0 0 0 6 ) = 42 X 0 ,0 0 0 1 0 4 - 0,00437
- 8 Х 9 (- •0,000094 -2 1 X 0 ,0 0 0 0 0 0 6 ) = >72 X 0,000107 = 0,00770
-1 3 Х 4 ( - •0,000094 - 2 6 X 0,0000006) = 52 X 0,000110 = 0,00572
- 1 X 1 2 (- •0 ,0 0 0 1 2 0 -1 8 X 0,0000005) = 12X 0,000129 = 0,00155
- 6 Х 7 ( - -0,030120 -23X 0 ,0 0 0 0 0 0 5 ) = 42X 0,000132 = 0,00554
- I 1 X 2 ( - • 0 ,0 0 0 1 2 0 - 2 8 X 0,0000005) = 22X 0,003134 = 0,00295
- З Х 9 ( - -0,000140 -1 6 X 0,0000002) = 27X 0,003143 = 0,00386
- 8 Х 4 ( - •0,000140 21X0,0000002) = 32X 0,000144 = 0,00461
- 1 X 1 0 (- •0,000149 13X0,0000002) = 10X 0,000152 = 0,00152
- 6 Х 5 ( - •0,000149 - 1 8 X 0,0000002) = 30X 0,000153 = 0,00!59

0,08727
0,17376
0,25885
0,34201
0,42259
0,49999
0,57359
0,64274
0,70702
0,76599
0,81913
0,86602
0,90633
0,93963
0,96583
0,98479
0,99621

0,0872
0,1733
0,2583
0,3420
0,4226
0,5030
0,5736
0,6428
0,7071
0,7660
0,8192
0,8660
0,9063
0,9397
0,9659
0,9848
0,9952

Р езу л ь таты интерполяции приведены в предпоследнем столбце.
В последнем столбце стоят значения, взяты е непосредственно
из таблиц. М ож но видеть, что разность м еж д у величинами
в двух последних столбцах только в одном случае составляет
единицу четвертого зн ака. Величину этой разности можно пол­
ностью объяснить тем, что ка к в исходных данных, так н
в табличных значениях последнего столбца ош ибка при о тб р а­
сывании пятой значащ ей цифры могла достигать половины еди­
ницы четвертого зн ака . П ри 45° в к л ад от /з достигает десяти
единиц четвертого зн ака . Зд есь ошибка в половину единицы
в последней значащ ей цифре
д а е т ошибку в 0,7 единицы
четвертого зн ак а интерполированного значения. П ри интерпо­
ляции с четырьмя зн акам и третьи разности играю т роль только
при таких сравнительно больших и нтервалах, ка к в настоящ ем
примере.

П ервы е разности везде вычислялись по двум соседним з н а ­
чениям. П оэтому коэффициент при /2 всегда отрицателен. Н ачи ­
ная с 15°, использованная вторая разность стоит в горизон­
тальной строке, соответствующей н а ч ал у интервала. В торая
величина, уч аств ов ав ш ая в ее образовании, б р ал ась из строки,
предшествующей н ачалу интервала. Следовательно, х — х^, новый
сомножитель при / 3, полож ителен. Д л я первого и нтервала это
невозможно. И спользуем ая здесь вторая разность стоит в т а б ­
лице против конца и нтервала и зависит от значения, заданного
при 24°. Следовательно, в этом случае сомнож итель при /з
отрицателен.
И ногда уд ается повысить точность результатов, если в неко­
торых точках известна п роизводная функции. Н апример, в нашем
случае известно, что при 90° производная от sin л: равна нулю.
Это мож но использовать, продолж ив таблицу на одну строку:
JC

sin л:

67

0,9250

79

0,9816

fi

и

/з

0,00509
-0 ,0 0 0 1 4 9
0,00167
90

1,0000

90

1,0000

- 0 ,0 0 0 0 0 3 / 2 3 = - 0 ,0 0 0 0 0 0 1
-0 ,0 0 0 1 5 2

0,00000

Теперь м е ж д у 79 и 90° мож но пользоваться формулой
sin л: = 1,0000 - 0,000152 (х - 90)2 _ о,0000001 (,v - 90)^ {х - 79).
9.02.
Интерполяция при равноотстоящих узл ах. П олучать
разделенн ы е разности сравнительно трудно, но при неравных
и н т е р ва л ах м еж д у зад ан н ы м и значениями аргумента и функции
без них обойтись нельзя. П ри равных и нтервал ах м еж д у значе­
ниями аргум ента вычисление разделенны х разностей можно
зам ен ить простым вычитанием. С уществую т интерполяционные
формулы двух видов. Это, с одной стороны, формул а Грегори
и так н азы ва ем а я ф ормул а Грегори д л я интерполирования наз ад
и, с другой стороны, различные ф ормул ы центральных ра зн о­
стей. Ф орм ула Грегори соответствует способу, использованному
в предыдущ ем примере около н ач ал а таблицы , а в формулах
центральны х разностей используются, насколько это возможно,
разности, располож енны е вблизи от одной и той ж е горизон­
тальн ой строки таблицы . К ак и д ля разделенны х разностей,
лучш е пользоваться, когда это возможно, формулами второго
типа, так к а к при этом разности высоких п орядков ум н ож аю тся
на меньшие числа.

При равноотстоящих у зл а х разности получаю тся следую щими

^Уг = Уг +1- Уп

^^Уг = ^Уг +1- ^Уг = Уг+2 - 2{/г + 1+ У,

и т. д. К а ж д а я разность получается вычитанием последующего
табличного значения из предыдущего. Такие обозначения наи­
более удобны при пользовании формулой Грегори. П ри поль­
зовании формулами центральны х разностей или формулами для
интерполяции н а за д удобнее применять другие обозначения.
Но при любом выборе обозначений ф актическая величина, стоя­
щ ая в одном и том ж е месте следующей таблицы , та ж е самая:
Н исходящ ие разности
(forw ard differen ces)

Центральные
разности
(cen tral d ifferen ces)

В осходящ ие
разности
(backw ard
differen ces)

a^o-2A г/_2
6(/_.д

Дг/_1
^0

Уч

Xo + h

У1

Xo + 2h

VV,

^Уо

^У1

A!/i

^У2
6^1/2

1/2

^‘У2
V^3

И з способа построения таблицы ясно, что на соответствующих
местау в табли це разделенны х разностей стояли бы Ay/h — пер­
вые разности, А^1//2/г^ — вторые разности и Л"г//«!/г" — разности
п-го п орядка. Значит, при использовании разностей, вычислен­
ных по хо, Хо + h, Xo + 2h, . . . , форм ула Нью тона сра зу д ает
!/(лг„+е/1) - ! / . + е л - ^ + в / 1( в * - й ) - ^ - ^ + . . . - 1(, + е д » +

где Rn+i определяется по формуле 9.012 (18) и имеет вид
1 (9 -1 ) ... ( 9 -п )

^ п + 1 ( d'^ + ^ y '

(«+1)!

Получилась ф ормула Грегори, откры тая им в 1670 г. Б олее
об щ ая ф ормула Ньютона была опубликована в 1687 г. Видно,
что формула Грегори принимает вид формулы биномиального
ряд а, причем на уо действует оператор (1-1-А)®. Формуле

Грегорп м о ж но д а т ь операторное истолкование. Если о б озна­
чить d i d x через D, то р яд Тейлора можно записать в виде
f(x +

a) =

( l +

а

- ^

+

- | - ^

+

. . . ) / ( л: ) =

е “0 / ( х ) .

(2 )

Если т а к ж е написать
/ (X + /I) = £ / (х) = (1 + А) / {х) =

(х),

(3)

то получится
f {х + 0 /г) =

(х) = (1 + Д)9/ (х).

(4)

О ператоры, возникаю щ ие в теории интерполяции, существенно
отличаю тся от операторов в операционном исчислении Хеви­
сайд а. З д есь основным оператором служ и т Z), а в исчислении
Х евисайда — оператор
который не просто обратный по
отнощению к D, потому что они не коммутируют. Поэтому и
обоснование действий с операторами совершенно различно. Р а з ­
лож ение по степеням
можно обосновать д ля значительно
более широкого кл ас са функций, чем разл ож ени е по степеням D.
Бесконечный р яд Тейлора теряет смысл, если функция, на кото­
рую он действует, не имеет производных выше некоторого
п орядка в каких-либо точках рассм атриваем ого интервала.
А ряд по р " ' требует только интегрируемости функций. В р ас­
см атри ваем о м случае обоснование опирается на то, что при
интерполяции функция с точностью, определяемой низшей от­
брошенной разностью , зам ен яется многочленом Р{х). Все члены
р я д а Тейлора функции Р (х), сод ер ж ащ и е D в степени п и
выше, равны нулю, поскольку используются разности только
пор яд ка /г — 1 и ниисе. Поэтому в за д а ч а х интерполяции опре­
деленные действия со степенями D применимы, так ка к они
производятся не над самими функциями, а над интерполяцион­
ными многочленами, которые пред ставл яю т собой лишь при­
бли ж ени е с известной точностью.
Ф ормулу бинома можно вывести из формулы Грегори. Возь­
мем интервалы, равные единице, д ля п о казател я степени
в (1 + х)" при зад ан н ом х. Т аб л и ца разностей имеет вид
п

fin)

0

1

1

I + -V

^f{n)
дс

а;2
х ( 1 + х)

2

(1+хУ

хЦ1+х)
х Ц + хУ

3

(1 + л :)'

ф о р м у л а Грегори д ля f(0) и соответствующ их разностей д а е т
,

/(/г)=1+кх+

п(п~1)

с, ,

2!— ^ - + •••

, я (га — 1) . . . ( « — / • + 1)

г

/1

,

\

,г\

-'х"(1+т]), (5)

Это формула бинома д л я действительной дробной степени *).
9.03.
В фо рмуле Грегори д л я интерполирования н аз а д исполь­
зую тся разности, стоящие в табли це на во с хо дя щ ей д иагонали ,
начинаю щ ейся с Х(,. В этом случае
f { x , + 0/0 = f, + 0

+ ... .

(6)

Э ту формулу мож но легко получить и операторны м способом.
Если обозначить
f { X r ) - f { X r - , ) = Vf(Xr),
(7)
то получится
£V = A = £ - 1 ,

(8)

откуда
(9)
f (* + 0А) =

(I) = ( I -

f (*).

(10)

или
f { x + Qh) = f { x ) + QVf{x) + ^ ^ ^ W ^ f { x ) + . . . .

( 11)

По существу, получена формула д ля э к стр а и о л ящ 1И, т ак ка к
ее можно использовать д ля вычисления функщ 1И вне и нтервала
значений, зад ан н ы х в таблице. Конечно, как всегда при э к с т р а ­
поляции, точность п ониж ается. То ж е самое относится и к фор­
муле Грегори д л я 0 < О .
*) П о-видим ом у, установлено, что Грегори знал, теор ем у Тейлора и
пользовался ею ещ е в 1670 г. Следовательно, в это время он знал иной
п о д ход к формуле бинома. Очевидно, он ош ибочно считал, что теорем а такж е
известна Ньютону, и только поэтому не сделал публикации. П убликация
Тейлора относится к 1712 г. Так называемая теорема М аклорена была оп у­
бликована в 1742 г. Поразительно, что м е ж д у этими двум л датами нпкто не
д одум ал ся положить а = О в ф орм уле Тейлора. М аклорен известен по трем
бол ее существенным результатам: независимому открытию разлож ения
Эйлера — М аклорена, введению в гидродинамику „эллипсоида М аклорена" и
в механику систематического использования прямоугольных координат
(см. [ 3 - 5 ] ' ) .
2

Зак. 379

9.04.
Если пользоваться обозначениями центральны х р а зн о ­
стей и вы брать разности, располож енны е в таблице вдоль
ломаной, наиболее близкой к горизонтали, то из формулы
Ньютона получится
ч , л,

f{xo + Qh) = f{xo) + Qh—j ^ - i

, еиел-й)

( >%

2!--------------

, т ( в н - h) ф н + h) 6 % ^

Ч- . . .
-

f o+ в

-

+

, e ( 0 - i ) ( 0 + i ) . . . ( 0 - « + i )(0 + « - i ) , 2rt-i,
( 2 « - 1)!

,

,

3!----------------- +

,

°

0( е - 1) ( е + 1) . . . (0- « + 1)(0+ « - 1) ( е - « )

,

Это ф о рмул а Ньютона — Гаусса. М ожно, конечно, получить
эквивалентную формулу с разностями
6^/о>
• • • . но
она менее удобна д ля интерполяции м е ж д у 0 = О и 6 = 1. И споль­
зование разностей, расположенны х вдоль ломаной, д ел ает фор­
мулу несколько неудобной д ля употребления. От этого можно
и збави ться трем я различны ми способами. Введем новое об о зна­
чение
д ля среднего значения двух соседних чисел в одном
и том ж е столбце таблицы. Пусть
IX 6/о = Т

'А + ^ к ) ’

+ 6=/.)-

1

(13)

и т. д. Тогда формулу Нью тона — Г аусса можно переписать
в следую щ ем виде:
/ (*о + ел) - f« + в («'/, - 4 - «’/о) +

+

31

^^

« , е. - |

.

„

f (хо + Qh) = fo + 6цб/о + y j...

б

.

- ( „ - ;f ,

Н

^

+ е ( е - - 1-)(0- - 2^ ) . , ) . ( е ^ М . - 1Н

^

_

4- • • •
^

....

(14)

Это фор мул а Ньютона — Стирлинга. Видно, что здесь требуется
переписать таб л и цу разностей так, чтобы все величины стояли
на тех ж е горизонтальны х линиях, что и зад ан н ы е значения
функции. Четные разности остаю тся прежними, а нечетные
зам ен яю тся средними значениями в соответствии с оп ределе­
нием ц. М ожно воспользоваться другим способом. П ри интер­
полировании м е ж д у 6 = 0 и 0 = 1 можно нечетные разности
оставить прежними, а четные заменить средними разностями
с центро1и при 0 = '/г- Имеем
6^"+'fv. = 62'Yi-627o.

(15)

откуда
п

= J п

+ Y п

- 6^"+'/./.) =

Следовательно, члены с
можно записать в виде

(16)

в формуле Нью тона — Г аусса

-

16-- 7 v . + ' f

V.} ■

В ы р аж ен и е в фигурных скобках равно

Отсю да
+

/ (Хо + e h ) = fo + Q 6 h +
. . .

• ■•

+ е(

9

^

-

(

9

-

-

)

6- " ^ 7 . ) +

. . .

.

(17)
Это ф о рмул а Ньютона — Б е с се ля * ).
С л ед ую щ ая модификация формулы Нью тона — Г аусса п олу­
чается исключением нечетных разностей при помощи (15).
Получим
^ '“^0+

п

- 6^7o) =

п

=

*) На самом дел е все три формулы принадлеж ат Ньютону. Вторая ф а­
милия служ ит только для того, чтобы различать формулы. Библиографию
см. в книге П ирсона [2]. П ирсон считает ф орм улу Ньютона — Г аусса непри­
годной для вычислений, и действительно, эта ф ормула никогда не уп отр е­
бляется. Н о непосредственная связь с формулой Ньютона д ел ает ее вывод
особенно простым. Остальные формулы получаю тся из нее б ез труда.

где ф = 1 — 0 , и
0 (0 — 1 ) . . . ( 0 + п — 1) ( 0 — п ) = ф (ф — 1) . . . (ф + « -

1) (ф — п ) .

Отсю да
6 % + '>«'»’ +

6% + . . . } +

+

08)

Это фо рм ул а Эверетта.
К а ж д а я из полученных трех формул имеет свои преим ущ е­
ства. В формуле Нью тона — Стирлинга, сод ер ж ащ ей разности
с центром в Хо, четные разности у м н ож аю тся на четные функ­
ции 0 , а нечетные — на нечетные функции 0 . С ледовательно,
при вычислении значений д ля 0 , равны х по абсолютной вели­
чине, но противоположных по знаку, мож но отдельно сумми­
ровать члены с четными и нечетными разностями, а затем з н а ­
чения f { x o ± Q h ) получить простым сложением и вычитанием,
т. е. трем я поворотами ручки ариф мом етра. Ф о рм ула Н ь ю ­
тона — Стирлинга удобн а т а к ж е и д ля получения в ы раж ений
производной функции д л я табличных значений аргумента.
П реим ущ ество формулы Н ью тона — Б есселя состоит в том, что
в ней все нечетные разности, кроме первой, ум н ож аю тся на
функции, которые о б р ащ а ю тся в нуль при 0 = ’/г- Д л я сра вн е­
ния с формулой Н ью тона — Стирлинга отметим, что наибольщ ее
значение 1 0 (0^ — 1) | д ля O < 0 ^ V 2 составляет % , а н аи больш ее
значение 0 ( 0 — 1)(0 — V2) лишь 0,048. Значит, при отбрасы вании
третьих разностей, ф ормула Н ью тона — Бесселя в семь раз
точнее. Д ругим и словами, если ж елател ьно , чтобы ошибка не
п ревосходила половины единицы последнего зн ака , то мож но
отбрасы вать третьи разности, меньшг.е 60 единиц того ж е зн ака.
В практических расчетах часто требуется у д ер ж и в ат ь вторые
разности, а иногда нужны и третьи разности. Н о потребность
в третьих разн остях значительно уменьш ается, если их отчасти
включить во вторые разности, используя средние вторые р а з ­
ности и формулу Н ью тона — Бесселя. В этом случае удобно
составить т аб л и ц у разностей несколько по-другому. Зам ети м , что
= 4

- (>h + (>h - 6/-v.) =
( 19)

и, следовательно, р ав н а полуразности первых разностей, в з я ­
тых ср а зу после и непосредственно перед интервалом, в кото­
ром производится интерполирование. П оэтом у мож но не вы­

писывать столбец вторых разностей в явном виде. Запиш ем
формулу Бесселя с точностью до вторых разностей в виде
f

{хо + 0/1) = fo + 06/V. - 4 е (1

-

0) i ^ h - 6/-./Л.

(20)

Последний сомножитель, получаю щ ийся путем вычитания од­
ной первой разности из другой, стоит вместо второй разности.
Функция от 0 с шагом 0,1 приводится в следую щ ей таблице:.
е
0.0,
0,1,
0,2,
0,3,
0.4,
0,5,

1,0
0.9
0,8
0,7
0,6

1

1

е ( - б)

0,0000
—0,0225
—0,0400
—0,0525
—0,0600
—0,0625

Б олее п одробн ая т аб л и ц а д а н а Милн-Томсоном и Комри [6].
Ф орм ула Эверетта при сохранении вторых разностей пол­
ностью учиты вает т р е т ь и 'ф а з н о с т и и в этом отношении она
д а ж е лучш е формулы Н ью тона — Бесселя. Коэффициенты при
вторых и четвертых разн остях следую щие:
0
0,0
0.1
0,2
0,3
0.4
0,5
0,6
0.7
0,8

0,9
1,0

- | б (

1- е ^ )

—0
— 0,0165
— 0,0320
— 0,0455
—0,0560
— 0,0625
—0,0640
— 0,0595
— 0,0480
— 0,0285
0

,> ( 1

в=)(4
0
0,00329
0,00634
0,00890
0,01075
0,01172
0,01165
0,01044
0,00806
0,00455
0

П р и н и м а я во внимание, что обычно соседние значения 6V почти
одинаковы, видим, что
мож ет достигать значения 20 единиц
некоторого десятичного зн а к а и д а в а т ь при этом в к л а д , мень­
ший 0,5 единицы того ж е зн а к а в точке интерполяции. Вторые
разности нужно принимать во внимание, если они превосходят
четыре единицы рассм атриваем ого зн ак а . П ри п ользован и и
формулой
Бесселя следует у д ер ж и в ать третьи разности^

Превышающие 60 единиц этого десятичного зн ака . Но тогда
лучше у ж пользоваться формулой Эверетта.
Другой способ, известный к а к „метод отб расы ван ия" (th ro w ­
back method), полезно сочетать с формулой Эверетта. В этой
формуле коэффициенты при к а ж д о й разности сохраняю т зн ак
во всем интервале 0 < 9 < 1 . В частности, коэффициент при
четвертой разности отличается от коэффициента при второй
разности на множитель (4 —9^)/20, который при изменении 0
изменяется лиш ь в 3/4 р аза . Следовательно, четвертые р а зн о ­
сти можно в значительной степени учесть путем н ад л е ж а щ е й
модификации вторых разностей. Комри [7] п оказал, что если
в формулу Э веретта вместо 6^ п одставлять 6^ —0,1846“', то по­
грешность интерполирования не превосходит половины единицы,
если только сам а разность 6“* не превыш ает 1000 единиц. П ри
составлении математических таб л и ц Британской Ассоциации
(B ritish A ssociation M ath em a tica l Tables) подобный прием ши­
роко использовался д л я модификации 6“*, чтобы частично учесть 6®
и т. д.
К а к у к а з а л Комри, метод отбрасы ван ия можно применить
и к формуле Бесселя. В этой ф ормуле отношение коэффициента
при четвертой разности к коэффициенту при второй разности
равно ^ ( 9 + 1 ) ( 9 —2) и мож ет изменяться

от — '/g до — Ущ.

Здесь изменение д а ж е меньше, чем д ля соответствующ его отно­
шения в форм уле Эверетта. Отношение коэффициентов при
пятой и третьей разн остях равно
^(9-Ы)(0-2).
С ледовательно, если нельзя пренебречь четвертой и пятой р а з ­
ностью, то выгодно принять
/ (хо + 9/0 = /о + 66/ V, -Ь

((x62/v, - 0 , 184[x6Yv.) +
0(е_

+

'] (9_1)

(6Y,, - 0,10865/v,).

Во многих математических таб л и ц а х напечатаны готовые
разности. Первы е разности д аю тся д ля линейной интерполя­
ции. О днако обычный вид таб ли цы разностей с нечетными р а з ­
ностями в промеж уточных строках п ред став л яет трудности д ля
печатания, если нужно поместить вторые и третьи разности.
В этом отношении имеет большое преимущество ф ормула Э в е­
р е т т а , поскольку в ней используются только четные разности.

так ЧТО только их и надо печатать и они распол агаю тся на
т е х ж е строках, что и табличные данные.
9.041,
Сравнение разных интерполяционных формул. Если
потребовать, чтобы в к л а д наинизшей отброшенной разности
не превосходил половины единицы последнего зн ака , то при
таблице с равноотстоящ им и данны ми в зависимости от об­
стоятельств удобнее всего пользоваться следующими форму­
лами;
1)
Около н ач ал а или конца таблицы , где у одного из кон­
цов и нтервала нельзя найти центральную вторую разность, нет
никакой другой возможности, кроме к а к пользоваться форму­
лой Грегори. 2) Если третьи разности не превосходят 60 единиц
последнего зн ака, а вторые разности превыш аю т 4 единицы,
то намного удобнее других ф орм ула Бесселя со средними вто­
рыми разностями. 3) Если третьи разности превосходят 60 еди­
ниц, а четвертые разности не превы ш аю т 1000 единиц, то вполне
подходит ф ормула Эверетта, модифицированная по методу
отбрасы вания. 4) При четвертых разн о стях большей величины
нужно непосредственно учиты вать S'* и, возмож но, т а к ж е р а з ­
ности более высоких порядков; полное обсуждение последнего
случая содерж ится в введении к первому тому математических
таб л и ц Британской Ассоциации.
Условия, рассмотренные в третьем случае и, тем более
в четвертом, осущ ествляю тся в таб л и ц а х функций с большим
числом знаков. В этом случае д а ж е при интерполировании
по формуле Бесселя со вторыми разностями требую тся мень­
шие интервалы, чем зад ан н ы е в табли це. Тогда остается только
использовать имеющиеся большие интервалы, при которых
требую тся разности более высоких порядков. Б так и х случаях
интерполяция с четвертыми разностями д ает д есять верных
знаков, а линейная не д ает и трех.
Здесь следует упомянуть о применении формулы Тейлора.
В ней фигурируют значения функции и ее производны х в одном
и том ж е узле таблицы , и поэтому ее использование с трудом
можно н азв ать интерполяцией. Но если производные известны,
то д ля заданного и нтервала форм ула Тейлора позволяет полу­
чить большую точность при том ж е числе членов. П ри использо­
вании формулы с разделенны ми разностями зад ан и е производ­
ных до п-го порядка в одном из узлов эквивалентно задан и ю
п + 1-го значения функции и их р азд ел е н 1у^х разностей в том ж е
узле. П ри этом соответствующие члены в интерполяционной
формуле совп ад аю т с членами формулы Тейлора. П одобную
информацию невозможно использовать при интерполяции с р а в ­
ными интервалам и м е ж д у узлами.

Обычно разность
близка к
н д ля м а ­
л ы х 0 коэффициент при ней в формуле Нью тона — Стирлинга
б лизок к 0 (2га^+ 1)!' ■ Поэтому весь член близок к

^^2п + \) \ ^

X
и
при | 0 | < 1, д а ж е при сравнительно неболь­
ших п, он намного больше соответствующего члена р яд а ТейЛ2«+102«+1 ,(2„+ 1),

,

_

лора, равного ■ + i ) ; ' >
(^о)- Следовательно, если изве­
стны производные, то нет смысла в использовании каких-либо
интерполяционных формул. Они нужны в тех случаях, когда
все сведения о функции получаются только из самих таб л и ч ­
ных данных.
9.041а. Интерполяция при заданны х значениях первой про­
изводной. Если зад ан ы /(0), f { h ) , f ( 0 ) , f ' ( h ) , то, используя
такой ж е прием, ка к в конце 9.013, можно составить таб л и цу
разделенны х разностей и вывести следую щ ую формулу:
F{ x) = f (0) +

I
г
1
X + i r l f i h ) - f (0)} - т / ' (0) X (л- - h) +

i r { / ' (Л) + Г ( 0 )} - j r { f { h ) - f ( 0 )}' х Ц х - к ) =

= / (0) + {f ih) - f (0)}

+ f ' (0)

- Г (h)

.

Можно проверить, что эта форм ула д ает правильные ре­
зультаты при f = 1, X, х^ и х^. П ри f = х"^ м а кси м ал ьн ая ош ибка
на и нтервале (0,1) р ав н а —0,0625. М ак си м ал ь н а я ош ибка при
использовании формулы Б ес сел я с третьими разностями (кото­
р а я требует такого ж е числа данных) р ав н а —0,5625.
Если известны значения / ' при табличны х значениях х, то
использование этой формулы д ает следую щие преимущ ества:
1) Она имеет большую точность, чем л ю б а я из формул,
использую щ их только значения f.
2) Д л я нее не требую тся д ан ны е вне отрезка интерполиро­
вания, и поэтому ее, в отличие от формул центральны х разн о ­
стей, мож но использовать для крайних интервалов.
3) Если / и
зад ан ы через равны е и нтервалы по л: и тр е­
буется вычислять интегралы вида

x ’’f { x ) d x , а эти интервалы

слишком велики и обычные формулы интегрирования не даю т
нужной точности, то мож но добиться достаточной точности
с теми ж е формулам и интегрирования, переходя к половинному
и нтервалу по вышеприведенной формуле.

4)
Значения f я f' могут быть з а д а н ы через неравные интер­
в алы по X . Тогда эту формулу мож но использовать д л я интер­
полирования к равным интервалам с гораздо меньшими з а ­
труднениями и потерей точности, чем при употреблении цент­
ральных разностей.
9.042.
Следующ ий пример и ллю стрирует пр именение фор­
му лы Бесселя. П о зад ан н ы м значениям
в у з л а х л: = 2, 3,
4, 5, 6 найти значения этой функции м еж д у х = Ъ и л: = 4.
Т абли ца разностей имеет
вид:
л:

Ух

2.0

1,414

3.0

1,732

^f

Д2/

2ц62

+ 0 ,3 1 8
- 0 ,0 5 0
+ 0 ,2 6 8
4.0

2,000

5.0

2,236

6.0

2,440

- 0 ,0 8 2
- 0 ,0 3 2

+ 0 ,2 3 6

- 0 ,0 5 5
- 0 ,0 2 3

+ 0 ,2 1 3

П о вторым разностям видно, что третьи разности не превосхо­
д я т 20 единиц последнего зн ака . С ледовательно, мож но поль­
зоваться формулой Бесселя со вторыми разностями. С начала
сделаем линейную интерполяцию с интервалом 0,1. Затем
будем у м н о ж а ть удвоенную среднюю вторую р азн ость —0,082
( = 0,050 — 0,032 = 0,236 — 0,318) на коэффициенты — 'Дб (1 — 6) из
вышеприведенной таблицы и п р и б а в л я т ь к р е зу л ь тата м линей­
ной интерполяции (заметьте, что во всех ф орм у л ах коэффициент
при второй разности отрицателен):
Точное значение
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9

1,7588 +
1,7856 +
1,8124 +
1,8392 +
1,8660 +
1,8928 +
1,9196 +
1,9464 +
1,9732 +

0 ,0 0 1 8 = 1 ,7 6 0 6
0,0033 = 1,7889
0 ,0 0 4 3 = 1,8167
0,0049 = 1,8441
0,0051 = 1,8711
0,0049 = 1,8977
0,0043 = 1,9239
0,0033 = 1,9497
0 ,0 0 1 8 = 1,9750

1,761
1,789
1,817
1,844
1,871
1,897
1,924
1,949
1,975

О ш ибка нигде не превосходит единицы третьего зн ак а посл е
запятой. Н а первый в згл яд удивительно, что такое хорошее
согласие мож ет быть при использовании постоянной второй
разности, ведь вторые разности в н ачале и конце и н т е р ва л а
относятся почти к а к 3 :2. О днако средняя вторая разность д о л ж н а

д а в а т ь согласие в начале, середине и конце ка ж д о го и н тер вал а,
причем ошибки не могут накапли ваться.
9.043.
Следующ ий, более
п р им е не ни е ф ормул ы Эверетта:
X
ctgJc"
А/
30

1,7321

35

1,4281

трудный

пример,

ДЗ/

иллю стрирует
6 7 (м одиф .)

- 0,3040
+ 0 ,0 6 7 7
- 0 ,2 3 6 3
40

- 0 ,0 2 3 2
+ 0 .0 4 4 5

1,1918
- 0 ,1 9 1 8

45

1,0000

+ 0 ,0 3 0 9
- 0 ,1 6 0 9

59

0,8391

+0,0220

0,7002

+ 0,0427

+ 0 ,0 0 4 7

+ 0,0300

+ 0 ,0 0 3 0

+ 0,0214

-0 ,0 0 8 9
-0 ,0 0 5 9

- 0 ,1 3 8 9
55

+ 0 ,0 0 9 6
- 0 ,0 1 3 6

+0,0161
- 0 ,1 2 2 8

60

0,5774

Величина третьих разностей не позволяет пользоваться фор­
м улой Б есселя с разностями лиш ь до второго п орядка. Но при
пользовании формулой Э веретта четвертые разности мож но
вклю чить во вторые методом отбрасы ван ия. Д л я об разов ан ия
модифицированной второй разности к а ж д у ю четвертую р а з ­
ность нуж но умножить на 0,184 и вычесть из второй разности,
стоящей в той ж е строке. М одифицированные разности, ум н о­
ж енны е на коэффициенты формулы Эверетта, вместе с линей­
ным интерполированием даю т
X

41
42
43
44
45
46
47
48
49

c tg л”
1,15344 - 0,00205
1 ,1 1 5 0 8 -Р ,0 0 2 7 3
1,07672 - 0,00239
1,03836 - 0,00137
1,00000
0,96782 - 0,00144
0,93564 - 0,00192
0,90346 - 0,00168
0,87128 - 0,00096

-

0.00096 = 1,1504
0,0 0 1 6 8 = 1,1,107
0,00192 = 1,0724
0,00144 = 1,0356
= 1 .0 0 0 0
0,00068 = 0,9667
0,00120 = 0,9325
0,00137 = 0,9004
0,00103 = 0,8693

Точное
значение
1,1504
1,1106
1,0724
1.0355
1,0000
0,9657
0,9325
0,9004
0,8693

Несмотря на сравнительно большую величину высших р а зн о ­
стей, разли чи е в единицу последнего зн а к а получилось только
д в а ж д ы . В к л ад
заметно больше единицы последнего зн ака ,
но он правильно учтен методом отбрасы вания. Отметим, что
поправки симметричны относительно 45°. П ри большой интер­
поляции это вдвое уменьш ает расчеты по формуле Эверетта;
соответствующ ее упрощение есть д л я формулы Нью тона — Стир­
л и н г а и д л я формулы Ньютона —Бесселя.

9.044.
Если в первоначальном виде функция з а д а н а в бес­
порядочно разб ро санн ы х и д алеки х д ру г от друга у з л а х (так
часто бывает с экспериментальными данными), а требуется под­
робная таблица, то обычный путь состоит в следующем: сн а­
чал а при помощи интерполяции с разделенны ми разностями
переходят к равным и нтервалам , с тем чтобы м е ж д у последо­
вательными зад ан н ы м и значениями в среднем попадал о по д ва
узл а; затем при помощи формулы Бесселя или формулы Эве­
ретта интерполирую т до таких интервалов, чтобы б ы л а воз­
мож на линейная интерполяция. С ледовать ли таким путем или
сразу производить всю интерполяцию при помощи р азд ел е н ­
ных разностей — дело удобства. П одробны е табли цы коэффи­
циентов формул Бесселя и Эверетта с шагом 0,001 по 6 изданы
Томпсоном [8], Ч аппелом [9], Комри [10] и Бриггсом и Л овэном [11]. Обычно д л я интерполяции достаточно табличных зн а ­
чений коэффициентов, приведенных выше. Н о если требуется
только несколько значений коэффициентов, то подробные т а б ­
лицы д аю т их с одной ошибкой округления вместо двух. С д р у ­
гой стороны, эту трудность можно существенно ослабить, про­
изводя предварительную интерполяцию с добавочным знаком.
Обычно математические табли цы д а ю т точность в половину
единицы последнего зн ак а , и при их использовании, если вы­
числения ведутся в несколько ш агов, чтобы предотвратить н а­
копление ошибок округления, часто имеет смысл у д е р ж и в а т ь
лишний знак. Д опущ ение ошибки до 3 единиц последнего зн ак а
в некоторых из изданны х т а б л и ц имеет серьезные основания.
П ятизначны е таблицы с такими ош ибкам и точнее, чем четырех­
значные с ошибками до 0,5 последнего зн ака, и интерполиро­
вание по ним не более тру д о ем к ая операция. Подобный прием
фактически использован в т а б л и ц а х М илн-Томсона и Комри,
которые напечатаны с четырьмя зн ака м и после запятой, но
при поправке м еж д у + 7е и + '/2 последнего зн а к а д о б а вл е н а
точка сверху, а при поправке от — Ve ДО — V2 —точка снизу.
Так, если 0,0008’ читать ка к 0,00083, а 0 ,0 0 0 8 .— к а к 0,00077,
то этими таблицами мож но пользоваться к а к пятизначными и
при интерполировании не нужно у д ер ж и в ать больш е зн аков,
чем это требуется д л я п редотвращ ен и я ошибок округления
в последнем зн аке при пользовании обычными четырехзнач­
ными таблицами.
Общ епринято округлять не с недостатком, а до б л и ж а й ­
шего целого числа в последнем знаке. Это п р е д о т в р а щ а е т
накопление ошибок округления одного зн а к а при сум м и­
ровании. Если п ер вая о тб расы в аем ая цифра — пять, то обыч­
но в последнем сохраняемом зн аке берут бл 2 . Тогда

br= —

чтобы Р Д ! ) т а к ж е рав н ял о сь

Pf (x) dx.
0

З а т е м последовательное интегрирование по частям д ает
1
• р '2 ( X ) Г {х) d x - = [ P , {х) Г (^)i; о

>
I Р 2 {х) f "
о

(X)

dx =

[ P b { x ) - b 2] f { x ) d x ^
I

= ь А п ^ ) - г т - [ Р з М Г { х ) ] 1 + 1 p ,{x )f"'{x )d x^
о
= б Л Г ( 1) - Г ( 0) } - б з Г ( 1) - Г ( 0) } + . . .
1

...

+ { -Y b r { f-'\\)-f-\0 )} -(-Y

p'r^,{x)f^\x)dx,

(5)

т а к ка к все Рг{х) равны нулю на обоих пределах. Р ассмотрим
теперь ряды
оо
а

,

1

е“ - 1 ^ 2
г= 0

t

=

(7)
r=0

П о к а ж е м , что т а к определенные
и Pr{t) совп ад аю т с вве­
денными выше в соотношениях (2). Продифференцируем (7)
по t. Тогда, в силу (6) и (7),

г= 0
оо
r= 0

= ^
r-l

(О а ' + S

br-io!'

r-1

С р а в н и в а я коэффициенты при a ^ имеем при г ^ 2
P' r { t ) = =P r - l{ t ) + b r - l .

(8)

П р и г = 0, 1, 2 р азл о ж е н и е по а д ает

а + - |- а 2

о ткуда
Po{t) = 0,

Pi {t ) = t.

P2{t) = j { t ^ - t )

(9>

и
P 2 {t) =

t - ^ .

(1 0 >

К ром е того, при / = О функция в левой части (7) о б р а щ а е т с я
в нуль, следовательно, все Рг(0) = 0. П р и t = l эта функция
о б р ащ а ется в а, следовательно, все Р г ( 1) = 0, кроме P i ( l ) ,
равного I. Это д о казы в ает, что при г ^ 2 функции, опреде­
л яем ы е соотношениями (2) и (6), (7), тождественны .
З ам ен и м в (6) а на — а. И меем
а
е-“-1

1
2о “^

ае“
„а
е“
- 1I

1

,

о “^ “ ^
2
“

I' е“
« а - 1I

а

1
о2

а

й —
„ а ~ iI
~ е“

,

1

г "гГ

С ледовательно, (6) — четная функция а и все 6, с нечетными г
р авны нулю. Тогда (5) сводится к
1

- / (х - Y ) f ' M d x = - - h { n i ) - n o ) ) ~ ь л г ' { ^ ) - г т - . . . о
- ^ ' 2Л Л ~ ‘Ч 1) - Г " ' Ч 0)} + J P2r+l {x) f^^'\ x) dx.

( 11>

О

И н тегри руя остаточный член по частям, имеем
[P 2r^l{x)f^4x)t- i P 2 r M f '^ '\ ^ ) d X ,

где внеинтегральны й член об р ащ а ется в нуль.
Если теперь применить полученный результат к интервал ам
от О до 1, от 1 до 2, . . . , от rt — 1 до п и сложить, то из (1),

И ( 11) получим ф о р м у л у Эйлера — Ма к л о р ен а (при выводе кото­
рой мы по сущ еству пользовались методом В иртингера [12]),
f ( x ) d x = y f ( 0) + f ( l ) + f ( 2) + . . .

+

" '-ь Л !'{ п )-Г { 0 )] -ь Л Г { п )-П 0 )} ~

...

ft—I m + l

I

Р,г+Лх-т)Г-^^^\х)с1х.

( 12)

m «0 m

'Обычно эта форм ула в ы р а ж ае тся через числа и полиномы
Б ер н у л л и * ), Вг, Фг(Л''). оп ределяем ы е как
Ьг = Вг1г\,

Р Л х ) = фДл:)/г!.

(13)

Простейший способ их вычисления состоит в последовательном
применении соотношений (2). Введение ф акториалов устраняет
накопление больших знам енател ей при п оследовательном инте­
грировании, но несколько у сл ож н яе т доказател ьство приведен­
ной теоремы.
Л о = 1.

=

^ 4= - ^ ,

Se= + ^ ,

В,о=+^,

( 14)

•tPzW = х ^ ~ х , q>3( x ) ^ x ^ - j X ^ + YX, ср^ (х) = х"'- 2х^ + х^,
■^

(0< ^ < т ) ’



т=0

И, следовательно, сум м ирование п осл едни х членов формулы (17)
по т д а ет

= -

if' (^0 + nh) - г (хо)} -

4 г {/'"('^0 + П/1) - Г

(;с о )} - . . .

.

( 22 )

Тем самы м мы снова получили разл о ж е н и е Э й лера — М а к л о рена, но без остаточного члена.
Это разл о ж ен и е н ельзя р ассм атри в ать к а к бесконечный р я д .
Теорема 9.012 уста н а вл и в ает верхнюю границу д л я остаточйого
члена интерполяционной формулы, и интеграл от / (х) п р едста­
вляется суммой интегралов от интерполяционного многочлена
и этого остаточного члена. Если этот остаточный член м ал
всюду в интервале интегрирования, то интеграл от интерполя­
ционного полинома явл яется приближением интеграла от д а н ­
ной функции, причем м ож но установить пределы ошибки. Но
производные полинома начиная с некоторого конечного по­
ря д к а об р ащ а ю тся в нуль, и эти р азл о ж е н и я д ля полиномов
п равильн о рассм а тр и в ат ь ка к суммы конечного числа чле­
нов. Следовательно, оп равдани е операторного метода в этой

з а д а ч е не имеет никакого

отношения к сходимости ряд а. Оно
покоится на том, что 1) операторы мож но р а зл о ж и ть в р яд ы
по целым полож ительны м степеням D и, следовательно, все
члены, начиная с некоторого порядка, исчезают, если оператор
действует на многочлен, 2) поскольку отрицательные степени D
не появляю тся, некоммутативность дифференцирования и опреде«1енного интегрирования не имеет значения, и 3) ошибка
равна и нтегралу от ошибки интерполяционного полинома и
фиксирована для любого конечного п орядка независимо от во­
просов сходимости.
Фактически, обычно происходит следующее: члены этого
разл ож ени я сн ач ал а быстро убы ваю т, а затем начинаю т уве­
л ич и ваться из-за возрастани я высших производных, если функ­
ция не яв л яе тся полиномом. Тогда наиболее точное значение
ин тегр ал а получается путем вычисления суммы вплоть до н аи ­
меньшего члена. Мы вернемся к этому вопросу при рассмот­
рении асимптотических р азл ож ени й , одним из примеров кото­
рых яв л яе тся эта формула.
9.081. Рассмотрим интеграл
20

dx

1п 2 =
10

И м еем

F4x)=

...

и
2-

и

12

1
19

• • •

‘ 2-20

J

2

\ 102
102

L ^ _ А fJ
4

I

10<

20*

J

6

\

108

L l_
202 )

L
205

Р асп о л о ж и м вычисления следую щ им образом:
О.ОБОООООООО
0,0909090909
0,0833333333
0,0769230769
0.0714285714
0,0666666667
•0,0625060000
•0,0588235294

+

120

1
252

+

(0,01 - 0,0025) = -0 ,0 0 0 6 2 5

(0,0001 - 0,00000625) = +0,0000008333 - 0,0000000521
- (0,000001)

(0,00000001) 11 -

= -0 ,0 0 0 0 0 0 0 0 3 9

= + 0,0000000000

0,0555555556
0,0526315789
0,0250000000
0,6937714031

В сего = -0 ,0 0 0 6 2 4 2 2 2 7
О тсю да In 2 = + 0 ,6 9 3 1 4 7 1 8 0 4
Точный результат есть 0,6931471805.

9.082.
Р ассмотрим д ал ее постоянную Э йлера у, оп ред ел яе­
мую соотношением
Y = lim ( l + - ^ + 4 - +
„->оо \

Имеем

^

о

...

п

j

П

In rt — In 10 =
10

12

Л '" .(т т + т 1 +

(J
\ 102

I

1 /1
120 \ 10«

1 \
«'

1
252

1
1Q6

+ i - l n « + l nl o)
20^^1200

12- 10^ ^

2 5 2 - 10«

~

0.049167496.

П рям ое суммирование д ает
1 + - ^ + . . . + - р з - I n 10 = 0,626383161.
Отсю да, ск лады в ая, получим
у = 0,577215665.
В этом результате все д евять десятичных знаков точные. О т­
метим, что улучшение точности с трех до девяти десятичных з н а ­
ков требует вычисления только двух дополнительных членов *).
9.083.
Ф ормула интегрирования Грегори. Ф ормула Эйлера —
М ак ло р е н а яв л яется простейшей и наиболее точной формулой
численного интегрирования, но д ля ее применения долл

, 1375
■’" 24 ’

33953
90 '

О тсю да
Xo+ft
j-

J

f { x ) d x ^ t ( Xo) + ■ J ^ f ( Xo) -

A ^ / {Xo) +

A®/ ( x q ) -

*0
-

- d h

(^o) +

4

^

m

(Xo) -

^

m

( xo) -

^

33953 . o r ,

A 7 (Xo) -

4

-W 7 8 f^f(^o )-...

,„v

(3)

С ум м а первых д в у х членов р а в н а ^ {f (л:о) + f (л^о + Л)}. С ле­
довательно, с к л а д ы в а я соответствующ ие в ы р а ж ен и я д л я р а в ­
ных интервалов до Хо + п/г имеем
Xo + n h

f { x ) d x = - ^ f ( x o ) + f ( x o + /г) +

h

• •.

+ / {rto + ( « ~

0^} +

Xo

+

1 Г / (^0 + nh) -

{А/ ( x o
1

4-3!

+ nh)

-

A f (x q )} +

{А2/ (xo + nh) - A2f (xo)} + . . . .

(4)

Ho с равным успехом можно получить такое ж е р азл о ж е н и е
по степеням V, отличаю щ ееся только тем, что все члены с чет­
ными степенями будут иметь противоположный знак. О боснова­
ние этих разл ож ени й снова состоит в том, что разл ож ени е
9.08(22) яв л яется точным в применении к интерполяционному
полиному. Соотношение (2) м е ж д у V и А т а к ж е яв л яется точ­
ным д л я этого полинома. П оэтому мы мож ем заменить члены
с / s ' ( x q + n h ) эквивалентным и вы р аж ен и ям и через V { x o + n h ) .
П р и этих рассу ж д ен и ях предполагается, что з а точкой Xa + n h
определена не f (л:), а только интерполяционный полином, а это
верно. О тсю да
Xo+nh

f { x ) d x = \ f ( x Q ) + f(x^ + h ) +

h

+ \ f { x o + nh)
- i
- w

(.Vo
(^0 +

...

+/{лго + ( « - 1 ) Л } +

{V/ (xo + nh) - Af (xo)} -

nh) + A^f (xo)} - ^
(^o)} - ^

m

(xo + nh) -

(x,)} -

m

ixo + nh) - Д5/ ixo)} -

~ ^ { ' ^ ^ f i ^ o + nh) + A n { x o ) } - - ^ - ^ m i x o + nh)- A->f {xo)} ...

.

(5)

Это И есть ф ормула Грегори.
9.084.
Ф о р м у л а ц ен тральны х разностей. П одобны м ж е об­
разом можно проинтегрировать формулу Н ью тона — Б есселя.
Здесь все члены с нечетными разн остям и д а д у т при интегри­
ровании нуль. Остальны е ж е д аю т
Jto+ Л

j j
Хо

f { x ) d x = - ^f { xo ) + - j f { x o + h ) ~

6

~

^

+

30-4!

“

84-6!

+

90-8!

+

••• •

Но
= (6^7. + Ь^Ъ) =

/-'Л =
= 2 ц б 2 ^ - '/ .- 2 ц б 2 - 7 о .

(7)

Отсюда
Х|+пЛ
2
h

f { x ) d x = - j f { x o ) + f(xo + h ) + . . . Н - / { ж о - Ь ( / г - l)/г} +
Хо
+ Y Дл:о + n /г)
~

{\i6f {хо + nh) - iibf (хо)} +

{хо -Ь nh) - {хбз/ (хо)} -

{цб5/ (д^о + п1г) - цб^/ (лго)} +

+ З в о

(8)

Д л я применения этой формулы нужно вычислять меньше
членов, и к тому ж е коэффициенты при высших р азн о стя х меньше,
чем в формуле Грегори. С другой стороны, д л я о б разов ан ия
ц ен тральны х разностей нуж но зн ать функцию за п р еделам и
интер вал а интегрирования, тогда к а к ф ормула Грегори этого
не требует.
9.085.

В качестве иллю страции рассмотрим интеграл
■А

1
6

Г
j

dx

К вадратны е корим с точностью до 8 знаков
т а б л и ц Б ар л о у .
X

О

д

(1 -

1,00000030

А»

Д’-

0.00125235

0,00002841

0 ,1 0

1,00503781

0 ,1 5 1,01144347

0,00015139

0,0121748!

0,СЮ031685

0,01518928
0,30 1,04828484
0,35 1,06752103
0,023568 !2

0,45 1,11978502
0,50 1,15470054

0,00109230
0,00043938

0,00775263

1,19736869

0,00221053

0,05263131

0,00012054

0,00019081
0,00037338

0,00079392

0,00330892

0,0659-3339

0.000036СО
0,00318257

0,00109839

0,01327208

0,65 1,31590339

0,00009397
0,00023797

0,00057783

0.0(995316

0,В0 1,25000000

0,00005372
0,00014200

0,00153268

0,01266813
0,53

0,00029788

0,00621993

0,00001201

0,00003153
0,00008828

0,00(179192

0 ,0 3 !9 1532

0.00001252
0,00005675

0,00)20989

0.00512715
0,02369557

0,(.0001246
0,00003723

0,01058532
0,00433223

0,40 1,09108943

0,00002477

0,00013283

0,00374691

0,00000260

(1,(0000853

0,00'Л 1562
0,00043247

0,01923619

0,00000593
0,00001624

0,00009085

0,00331444

0,25 1,03279556

0,00300169
0,00001031

0,00022600
0,00299759

0,20 1,02062072

0,00000376

0.00007461

0,00277159
0 ,00917725

Д'

0.( 0 ;0Э562

о,оа«;о540

0,^:0262020

Л=

ив

0,00000186

0,f0008709

0.00340506

взяты

0,00000372

0,00005868

0,00233311
0.00378516

Д5

0,00005682

0,0025047^1

0,05 1.00125235

Д'

были

0,00189231
0,00320123

0.01847331
0,08137670

0.70 1,40028009

Имеем
y / ( 0 ) + f ( 0 , 0 5 ) + . . . + / (0,45) + у / ( 0, 50) = 10,47518052.
П о л ьзуясь формулой центральны х разностей, видим, что все
нечетные разности о б р ащ а ю тся в нуль при .v = 0 , а при к =
= 0,50 они д аю т
2|яб = 0,07758367,
2^6^ = 0,00374321,
2,и6> = 0,00065851,
2ц6^ = 0,00027741.
Тогда сум ма поправочных членов равна
- W

+ TW
- тШш
-t I S ss
=
- - 0,00323265 + 0,00002859 - 0,00000101 + 0,09000010 =
- -0 ,0 0 3 2 0 5 0 0 .
у я = 0,05 (10,47518052 - 0,00320500) •= 0,5235987760 ,
я = 3,1415926560.

П равильное значение равно

я = 3,141592654.
П ользуясь ф ормулой
поправочных членов:

Грегори,

найдем

сл едую щ и е

значения

Д - 0,00280526
36471
ДЗ 2654
Д< 679
Д5 111
Д« 43
Д ^9
- 0,00320493
и л = 3,141592677. Точность этого р езу л ь тата нин + рх’А)йх = л ( | / 2 г / , - | у 2 ) = Л(3,7712г/,-1,ЗЗЗЗг/2), (1>
О

3h

-Ь

{ах-'/‘ -I-

d x = 2А / 3 г/j Ч- Оуз = 3,4641Л получая б '/o,i5- З а тем резул ьтат ск лады в ается с
б” % , 1> что д а е т б ~ % 2- Тогда г/о,2 определяется из уравнения
1 0 0 y = 100,1166 + -j^/o,2-

Э кстраполируя, пробуем / 0.2 = 0,200; поправочный член равен
+ 0,0167, что д ает ЮОг/= 100,133. У м но ж ая это на 0,2, имеем
= 0-20027, что не меняет третьего десятичного зн ак а ЮОг/.
Если на какой-либо стадии появятся изменения, то необходимо
продолжить вычисления до тех пор, пока их не будет. Удобно
экстраполировать - j j f

[,
I

[

на к аж д ой стадии, и, чтобы и зб е ж ать

исправлений, не вписывать f в таблицу, пока не получено
второе приближение.
Четвертый десятичный зн ак в 6“ '/ и третий в b~~f мало
важ н ы , однако не пред ставл яет тр уд а их выписать, что позво­
ляет собрать ошибки округления в таком месте, где они будут
разделены на 100 при вычислении у. Р е зу л ь тат при д; = 2,0
есть у = 2,73089, что отличается на единицу в пятом знаке
от точного значения, а объем дополнительных вычислений
меньше, чем в лю бом из других методов. Н ет необходимости
д а ж е выписывать разности / и у, т а к ка к они не влияю т
на вычисления. О д н ако приближение д ля у таково, что ошибка,
вероятно, будет повторена в следую щ ем приближении, и разности следует использовать д ля контроля. Ж е л а т е л ь н а так ж е
время от времени проверка вторых разностей f на тот случай,
что их в к л ад мож ет сделаться ощутимым; однако они долж ны
2
достичь 120 h
единиц последнего удер ж и ваем о го зн ака , чтобы
стать существенными, и если это так, то проще уменьшить
интервал. Особое внимание следует у д ел ять вычислению первых
д вух значений 6~^f, потому что ош ибка в их разности п орож д ает
ошибку в решении, которая мож ет непрерывно нарастать
в процессе вычислений. К а к только четыре или пять значе­
ний у найдены, из них нужно о б разов ать разности, чтобы
проверить эту стадию вычислений.
В озможность применения этого метода с в я за н а с отсутствием
члена d y j d x в дифференциальном уравнении. Этот метод н а­
столько удобен, что, когда такой член присутствует в линейном
уравнении, лучше путем п реоб разован ия уравн ен ия исключить
его. П оэтому астрономы при расчете возмущений часто пред­
почитают использовать прямоугольные координаты, хотя при
этом нельзя применять эллиптическую орбиту в качестве пер­
вого приближ ения. С остав л яю щ ая ускорения, с в я за н н а я с

Солнцем, вклю чается в числовые расчеты на каж д ой стадии и
р ассм атр ивается т а к же, к а к планетарны е члены. Это неудобство
более значительно, чем неудобство, которое компенсируется
тем, что имеют дело с дифференциальными у равнениям и вида
d'^Xr

f,

ч

вместо, например, уравнений в полярных коорди натах
^ (sin2 0A) = g-(A;i, Х2,
dt

Хп).

М етод Г аусса — Д ж ек со н а можно приспособить к решению
уравнений вида
-й -)>

если имеется возможность вычисления ~

при табличных зн а ­

чениях л:. Имеем

П о д ста вл яя у из (10), находим

Зд есь коэффициенты те ж е , что и в 9.084(8). Дополнительные
трудности, связан ны е с образованием

и усреднением, не являю тся обременительными.
Ф ормула Э йлера — М аклорена ср а зу приводит к формуле
интегрирования
!(, - 9. - i

л { W + f'!) - i

+ ж

} + о

Эта формула напоминает формулы центральны х разностей
д л я двойного интегрирования тем, что при третьем члене стоит
малый множитель. Следовательно, если у " легко вычисляется,
то эту формулу мож но использовать д ля решений уравнений
первого п о ряд ка столь ж е просто, ка к формулы центральны х
разностей д л я реш ения уравнений второго п орядка, не содер­
ж а щ и х первой производной [30].
Если f { x , у) на и нтервале интегрирования значительно и з­
меняется, то м ож ет о казаться удобным увеличить или умень-

ШИТЬ шаг. Чтобы перейти от ш ага 0,1 к ш агу 0,2 при л: = 2,0,
следует использовать у ж е полученные значения
и r/j.o для
нахож дения соответствующих значений
и начать заново.
Д л я перехода от 0,1 к 0,05 сн ач ал а п отребовалась бы интер­
поляция д ля у |,95 и затем вычисление 6~^fi,g5, 6~^f2,o. Последнее
не будет тем ж е самым, что д ля исходного ш ага.
9.15.
Вычисление собственных значений. Метод Г а у с са—
Д ж ек со н а удобно сочетается с принципом Р ел ея и д а е т прибли­
женные решения в виде быстро сходящ ихся рядов, например
д ля периода динамической системы. Рассмотрим, например, ко­
лебания воды в узком, эллиптическом в плане бассейне. Если
^ — поднятие поверхности воды,
ы — скорость,
/г — глубина,
g —ускорение силы тяж ести и 6 — ширина, то у рав н ен и я малы х
колебаний периода 2я/у имеют вид
t;да

i i

dt

дх

■ ш -т -

(1)

П олож им
hbu^V.

(2)

Тогда после исключения и получим
" д х \ ь дх

+ XV

О,

(3)

где
^y'^lgh.

(4)

Граничные условия зак л ю ч аю тся в том, что F = 0 на концах.
Член с d V / d x можно у б рать подстановкой
V = b'‘W -

(5)

тогда
(6)
При
Ь ~ (1 — л:^)

(7)

это д ает
дх^

2 (1

-хУ

и.

(8)

М ожно п оказать (см. т а к ж е гл. 16), что решения уравнений
вблизи х = * 1 ведут себя ка к (1 —
или (1 —
Первое
д а в а л о бы V , отличное от нуля при х = ± 1 , и поэтому долж но

быть отброшено. З а д а ч а состоит в нахож дении таких зн ач е­
ний у?, которые позволили бы исключить это решение на обоих
концах. В силу симметрии U д о л ж н а быть либо четной, либо
нечетной функцией ,v.
С редняя кинетическая энергия за период п р ед став л яется
в виде
4Г =

f bhit^ d x =

^

hb

dx,

(9)

а средняя потенциальная энергия
4Г=

Гg b ^ ^ x =

уЧ

\ дх

dx.

(10)

И спользуя тот факт, что средняя кинетическая и потенциальная
энергии за период равны, получим

dV
дх

dx

Принцип Р ел ея у тв ер ж д ае т , что л ю бая функция V, уд овл етво ­
ряю щ ая граничным условиям, но не дифференциальному у р а в ­
нению, будет при подстановке в (11) д а в а т ь ошибку второго
порядка для
Совершенно ясно, что наименьшее значение к долж но быть
таким, чтобы d V j d x в целом было ка к можно меньше при
зад ан н ом среднем
и поэтому V сохраняет зн ак д л я всех х.
С ледующ ее низшее значение будет менять зн ак V один раз
и т. д.
Д л я к а ж д о го пробного значения
мы сн ачала составляем
таб л и цу коэффициента при U в (8). П риним аем f/ = 1,00000,
d U l d x = 0 при л: = 0 и имеем д л я малы х х
(12)
ЧТО д ает U при х = 0,1 и, следовательно, б
где f есть прав а я часть (8).
З атем строится решение. Н еправильное значение
обнаружится, если решение стремится; к ± оо при X = 1. Возьмем,
например., следующие решения:
X
0 ,0
0 ,1
0 ,2

0,3
0.4

и

(к2 = 3)

и

(к2 = 4)

1 ,0 0 0 0

1 ,0 0 0 0

0,987В
0.9506
0,8908
0,8104

0,9826
0,9310
0,8478
0,7365

X

0,5
0 .6

0.7
0 ,8

0.9

и

(х2 = 3)
0,7129
0,6028
0,4862
0,3718
0,2781

и

(к2 = 4)
0,6024
0,4515
0,2912
0,1288
-0 ,0 2 9 2

to

З н а я , что реш ения вблизи х = \ д олж н ы иметь вид
можно найти примерные значения А vl В ш
строк к а ж д о й таблицы . Получим

д вух последних

к2 = з,

Л = + 15,5,

5 = + 10,7,

к^ = 4,

А = + 17,2,

В = -

7,1.

С ледовательно, первое решение д ля U стремится к + оо,
а второе к — оо при л;->1. И н терп оляц и я показы вает, что В
д олж но об ращ а тьс я в нуль при
^ 3,6. Д в е пробных попытки
д л я 3,4 и 3,6 п одсказы ваю т 3,56, и после этого п редставляется,
что шаг 0,05 вместо 0,1 будет более н ад еж н ы м д л я исследо­
в ания поведения вблизи х = 1 . П р и этом ш аге получаем сле== 3,56
X
0

0,05
0 ,1

0,15
0 ,2 0

0,23
0,30

и

X

1 ,0 0 0 0

0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65

0,9962
0,9850
0,9662
0,9401
0,9069
0,8671

V

0,8210
0,7693
0,7127
0,6510
0,5857
0,5175
0,4471

X

и

0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95

0,3754
0,3036
0,2327
0,1643
0 ,1 0 0 0

0,0428

Если бы решение было точным, то отношение д вух последних
строк долж но быть близко к 2*'^' = 2,378. В действительности,
оно равно 2,338, так что мы весьма близки к цели. Д л я по­
лучения лучшего приближ ения воспользуемся принципом Р ел ея.
У множ им и на (1 — х^)^\ чтобы получить V, продифференцируем
численно, подсчитаем {I — х^У'^ЦдУ/ d x f и проинтегрируем.
Т а к как поды нтегральное вы р аж ен и е ведет себя к а к {I —
вблизи х = 1 , то лучше всего использовать д ля и нтервала от
0,90 до 1,00 формулы 9.092 и формулу Грегори до 0,90. Это
д ает
1
2

И нтегрирование
выполняется просто, з а
значений выше 0,9. Д л я них мы примем, что
f/2 = 0,0100 f
6

Зак. 379

исключением

откуда
1,0

‘

= 0,0004

0,9

и

I
J и Ч х = ОАШ.
о

Тогда
2

=

1,6287
О 4596

„

^ 3,544;

, „„„

к = 1,882.

Полученные ранее совершенно другими методами [31, 32] ре­
шения дал и н = 1,886.
Решения д ля к^ = 3 и и^ = 4 не являли сь на самом деле не­
обходимыми д ля этого метода, но они приведены, чтобы по­
казать, как мож но зам етить при неправильном значении
что решение не стремится к нулю долж ны м образом. Метод
Рел ея будет обычно д ав ать точность в п ределах нескольких
процентов, д а ж е при весьма грубом приближении, и его можно
было бы применить сн ач ал а при U =
Это сразу дает
к^ = 3,6. Т ак ка к ошибка на к а ж д о й стадии возводится
в к в ад р ат, было бы возм ож но получить точность с четырьмя
зн акам и самое большее за три попытки.
М ожно было бы идти другим путем, приняв решение в виде
{\ —
+ Ах^ + Вх^) и определяя Л и В из условия стацио­
нарности найденного из (11) у? при м алы х в ар и ац и я х Л и В.
Подобный в принципе метод применен Ритцем д ля определения
частот собственных колебаний квадратной пластины.
Д л я рассмотрения второй формы колебаний нужно сначала
из пробного реш ения вычесть решение д л я низшей формы
с таким множителем, чтобы остаток был точно ортогонален
к последнему решению (см. 6.08) *).
9.16.
Численное решение систем линейных уравнений. Обычно
и злагаем ы е методы являю тся очень трудоемкими. Мы проил­
лю стрируем решение на примере. Возьмем три уравнения
6 , 3 х - 3 , 2 у + l , O z = +7,8,

(1)

-3 ,2 л : + 8 , 4 г / - 2 , 6 г = - 2 , 3 ,

(2)

+ 1,0х — 2,6у + 5,72 = + 8,6.

(3)

*) Д альнейш ее обсуж д ен и е метода Ритца см. в книге [33].

Здесь коэффициенты о б р азую т симметричную матрицу. Это не
существенно д ля метода, но на практике такое условие выпол­
няется столь часто, что мы так ж е мож ем взять его д л я при­
мера. Р а зд е ли м первое уравнение на коэффициент при х и
затем ум нож им полученное уравнение на коэффициенты при х
в д ву х других уравнениях. Путем сложения или вычитания
исключим затем х и повторим процедуру д ля у. Полностью
решение проводится следующим путем:
6 , 3 л : - 3 , 2 г / + 1 ,0 2 = + 7,8

л: — 0,508^ + 0,159z = + 1,238

- Ъ,2х + 8,4г/ - 2,6г = - 2,3

3,2 а: - 1,63 г/+ 0,51 г = + 3,96

-t- 1,0л: — 2,6г/ + 5,7г = + 8,6

д; —0,51 г/ + 0,16 2 = + 1,24

6,77г/- 2,092 = + 1,66
— 2,09г/ + 5,54z = -Ь 7,36
4,892 = + 7,87

г/- 0,3092 = + 0,245
2 , 0 9 г / - 0 , 6 5 2 = + 0,51
2 = + 1,609
,2ху + 1,0х2 + 4,2г/2—2,6г/2 + 2,852^ —7,8л: + 2,3г/ —8,62
имеет минимум. М инимум существует, потому что квадратичны е
члены полож ительно определены. П усть он будет равен S,
а соответствующие значения х, у, z пусть будут Хо, Уо, Zq.
К огда мы подгоняем какое-либо одно неизвестное, мы находим
значение, которое д ел ает S минимальной при значениях других
неизвестных, равных принятым в предыдущ ем приближении,.
Следовательно, значения 5 , соответствующие последовательны м
приближениям, которые обозначим через S„, о б разу ю т невоз­
растаю щ ую последовательность. Кроме того, пока все уравнения
не удовлетворены, подгонка хотя бы одного из х, у, z умень­
шает S„, следовательно, если S „ > S ,
П ол ож и м
S„ — 5„ц_з = Г„; тогда если р ассм атр ивать все значения х, у, z,
д аю щ ие одно и то ж е значение
то Тп является непрерыв­
ной и достигает своей нижней грани, которая поэтому не мо­
ж ет быть рав н а нулю. Д ал ее, если полож ить х = х 0 + х',
У = У0 + У', z = Zq + z', S = 1, + S', то
будет положительно
определенной квадратичной формой относительно х'^, у'^, г '.
Пусть н иж няя грань Тп при изменяю щ ихся х', у', г ' и постоян­
ном
будет a S '. Тогда 1 ^ а > 0 . Если л:',
z'^ ум н ож аю тся
все на одно и то ж е постоянное число k, то
и Т'п оба умно­
ж аю тся на
Таким образом, д л я любой совокупности з н а ­
чений х ', г/', г ' приближения через три ш ага д ад у т
s ; + 3 = s ; - r ; < ( i - a ) s;.
П оскольку последовательность {S^} н ев озр астаю щ ая , отсюда
следует, что
Кроме того, последовательны е неравенства
определяю т совокупность областей .v, у, z, к а ж д а я из
которых содерж ится в предшествую щ ей, причем их диаметры
стремятся к нулю. С ледовательно, значения х, у, z, д аваем ы е
этим процессом, сходятся к значениям, соответствующим .S '= О,
т., е. к правильном у решению.
9.16а. На том ж е принципе, что и метод фон З а й д ел я,
основан метод С аутвел л а. Его отличительные черты: 1) на к а ­
ж д о м этапе записы ваю тся невязки всех уравнений; 2) следую ­
щий шаг состоит в уменьшении {лик ви дац ии , по выраж ению
С аутвелла) наибольш ей невязки; 3) не д елается никакой по­
пытки получить в следую щем приближении больш е одной з н а ­
чащ ей цифры. Так, например, в той ж е системе уравнений

наибольшую правую часть имеет третье уравнение. Возьмем
в качестве первого приближ ения х = у = 0, г = + 2 . Л евы е
части оказы ваю тся равными + 2 ,0 ; —5,2; + 1 1 ,4 . В ычитая их
из правых частей, получим невязки + 5 ,8 ; + 2 ,9 ; —2,8. Н а и ­
б о льш ая из них п ервая. Возьмем л: = + 1 и продолж и м вычи­
сление. Значения, выписанные д л я следующ их приближений,
являю тся, конечно, п оправками к уж е найденным п р и б л и ж е­
ниям:
2= +2
+ 5 .8
+ 2 ,9
- 2 ,8

*= + 1

+ 0 ,5

г =■ - 9 , 3

» “ - Э, 2

JC = - 0 ,1

г = - 0 ,1

у = - 0 .9 3

х = - -0 ,0 4

6 ,3 л :-3 ,2 г / + 1 ,0 г = - 0 , 1 5
- 3 ,2 л ; + 8,4г/- 2 ,6 г - - 1,48
+ 1 ,0 л :-2 ,6 г / + 5 ,7 г = + 0 ,0 1

+ 0,64 - 0 ,7 9
- 1 ,6 8 + 0 ,2 0
+ 0 ,5 2 - 0 ,5 1

- 0 ,6 3 -Э ,1 5
+ 0 ,3 2 - 0 ,1 2
- 0 ,1 0 - 0 ,4 1

- 0 , 1 0 - 0 ,0 3
+ 0,26 - 0 ,3 3
- 0 ,5 7 + 9 ,1 6

+ 0,16 - 0 ,2 2
- 0 , 4 2 + 0 ,0 1
+ 0,13 + 0 ,9 3

- 9 , 2 5 + 0,91
+ 0,13 - 9 , 9 3
- 0 ,0 4 + 9,07

г = + 0,01

1 /= + 0 ,0 0 2

6,3je - 3,2(/ + 1 ,0г = + 0,03

+ 0 ,0 )
0,00
- 0 ,0 3 - 0 ,0 1
+ 0 ,0 3 + 0 ,0 4

— 3,2х + 8,4(/ - 2 f i z = - 0,09
+ 1 , 0 х - 2 , 6 у + 5 ,7 г = + 0,07

- 0 ,5
+ 6 ,1
- 3 ,8

х=

+ 2,0
-5 ,2
+ 11,4

У = -0 ,0 1

+ 6 ,3
- 3 ,2
+ 1,0

+1

6 ,3 д :- 3 ,2 г / + 1 ,0 г = + 7 ,8
- 3 , 2 jS + 8 , 4 » - 2 , 6 j = - 2 , 3
+ 1 ,0 ^ - 2 ,б 1 / + 5 , 7 г = + 8 ,6

-3 ,2
+ 8,4
-2 ,6

+ 2 ,7
- 2 ,3
-1 .2

+ 9,01 - 0 ,0 1 - 0 ,9 1
0,00
- 0 ,0 3 + 0 .0 2 + 0,92 + 0 ,9 3
+ 0,03 - 0 ,0 2 -0 ,0 1 -0 ,0 1

+ 3,15 - 0 ,4 5
- 1 ,6 - 0 ,7
+ 0 ,5 - 1 , 7

- 0 ,3 0 - 0 ,1 5
+ 9,78 - 1 , 4 8
- 1 .7 1 + 0,01

г = - 9 ,9 0 1
- 0 ,9 3
+ 0,00
- 9 ,0 1

0,03
0,90
0,09

Н аходим решение
х = + 1 , 0 + 0 , 5 - 0 , 1 - 0 , 0 4 = + 1 ,3 6 ,
у = + 1 , 0 - 0 , 2 - 0 , 0 5 - 0 , 0 1 + 0 ,0 0 2 = + 0 ,7 4 2 ,
г = + 2 , 0 - 0 , 3 - 0 , 1 + 0 , 0 1 - 0 , 0 0 1 = + 1 ,60 9.
Вообще говоря, в этом методе (и в методе фон З а й д ел я)
на к а ж д о й стадии стоит несколько преувеличивать поправку.
Если, например, в одном из приближений мы увеличим х так,
что в первом уравнении невязка будет полностью устранена,
то н евязка во втором уравнении увеличится. П оследняя ком­
пенсируется изменением у. Но это снова увеличивает н евязку
в первом уравнении, и требуется д альн ей ш ее изменение х.
П о этой причине, особенно если недиагональные коэффициенты
не малы, сходимость мож ет быть улучш ена путем преувеличе­
ния поправки.
Если, например, на некотором ш аге д л я устранения невязки
в первом уравнении требуется поправка д л я х, р ав н ая
а мы фактически изменили х на величину м е ж д у 6^. и 26^., то
легко видеть, что мы всегда уменьшим S. В методе р е л а к с а ­
ции д ля дифференциальных уравнений часто стоит брать по­
п р ав к у равной
или д а ж е

9.17. Краевые задачи: обыкновенные дифференциальные
уравнения. Д л я обыкновенного уравн ен ия второго п орядка
можно за д а т ь либо значения tj и d y l d x на одном конце интер­
вала, либо значение одной из этих величин на к а ж д о м из
концов интервала. В первом случае мы строим численное реш е­
ние, продвигаясь ш аг за шагом, поэтому такие зад ач и названы
Р ичардсон ом м ар ш ев ым и (m a rc h in g problem ) *). Второй тип
з а д а ч н азы вается краев ыми з адачами. Р еш ение первых зад ач ,
когд а уравнение линейно, можно построить по реш ениям двух
задач Коши с условиями на одном из концов путем их линей­
ной комбинации, такой, чтобы удовлетворялось условие на
другом конце. Д л я нелинейных уравнений этот метод не про­
ходит. М ожно получить первое приближение, удо вл етворяю ­
щ ее краевы м условиям, а затем дифференциальное уравнение
зам ен ить у равнением в конечных разн остях и использовать
его д л я получения лучшего п риближ ения д л я промеж уточ­
ных значений. В качестве простого прим ера возьмем у р а в ­
нение

(IV
причем у = 0 при л: = 0 и г/= 1 при х = 1 .
ние есть
—

Ц'

Известно, что реш е­

sin X
s i n ( l рад) ■

.

' '

Н о допустим, ЧТО мы этого не знаем . П опробуем интерполировать значение у при х = 0,5. П олучим с помощью вторых
разностей д л я ш а г а 0,5
d^y
dx^ = 4б^г/ = 4 (г/i 4- г/о - Зг/о.д) = - г/о,5.

(3)

откуда
7г/о,5 = 4//1 + 4уо = 4,
Уо,5 ~ 0,57.

(4)
(5)

И нтерполируем теперь вторыми разностями д л я ш а г а 0,2. Это
д а е т первое п рибли ж ен ие yi'.
*) Обычно такая задача называется задачей Коши ил№ задач ей с началь­
ными условиями. В дальнейш ём бу д ет исподьзоватьсп общ епринятая терми­
нология. Это ж е относится к термину jury problem , который мы переводилг
как краевая задача. — Прим, перев.

X

У2

уI

Уз

г/ 4

Точное у

0

0

0

0

0

0

0,2
0,4
0,6
0,8

Q.245
0,4 6 t
0,667
0,845

0,239
0,468
0,672
0,851

0,238
0,466
0,674
0,853

0,237
0,464
0,673
0,854

0,236
0,463
0,671
0,853

1,0

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

П ри ш аге 0,2 ф ормула (3) зам ен яется на
26 ( ! / _ / , - 2г/о + 1/^) = - г/о,

(6)

г/о = 0,5102(г/_^ + г/^).

(7)

П о значениям у\ при л: = 0,6 и л: = 1,0 это д ает второе прибли­
ж ение д ля у при л: = 0,8, а именно 0,851. По y^ при л: = 0,4
это д ает у^ при х = 0,6, равное 0,672. Таким образом, п олу­
чаем столбец у 2 , а дальнейш ие аналогичные аппроксимации
д аю т г/з и у^. Точные значения приведены в последнем столбце.
Если требуется, можно учесть четвертые разности, но тогда
необходимо п родолж ить решение на один ш аг за конец т а б ­
лицы.
9.18,
М етоды рел ак сац и и. Этот метод можно распро стра­
нить на дифференциальные уравн ен ия с частными п роизвод­
ными при зад ан н ы х граничных условиях. В качестве примера
возьмем уравнение Л а п л а с а . П редп о л о ж и м , что решение в ы р а ­
ж а е т с я в виде
Ф = Со + air cos Q + b^r sin О +

cos 20 -f Ь2Г- sin 20 + . . .

... + V s in 4 0 .

(1)

Д опустим д алее, что нам зад ан ы значения ф в точках (1, 0),
(О, 1), ( —1, 0), (О, —1). О бозначим их через фь фг, Фз, Ф4. З а ­
тем возьмем коэффициенты вплоть до &2 в качестве неизвест­
ных и попытаемся их вы брать так, чтобы наилучшим образом
согласова'^ь сумму с заданны м и значениями в смысле метода
наименьших квад р атов, т. е. мы минимизируем
(«о + а, 4- 02 - ф|)2 + (ао -f 6, - flg - фг)^ -f
+ (ао - ai + аг - Фз)^ + (ао -

- «г - Ф4)^•

(2)

Условие минимума по Uq д ает

Фо = «о = -5 - (ф1 + ф2 + Фз + Ф4 )-

(3)

Рассмотрим теперь систему точек, показанную на рис. 35,
и сохраним члены до 64. [Точка, отмеченная цифрой 5, есть
(2,0) и т. д.]
С оставл яя аналогичным об р азо м сум му к в а д р а ­
тов, находим, что условия минимума Uq имеют вид

4оо + 34а4 = Y (ф1 + • • • + Фа).
34ао + 514^4 = Y (ф1+ Ф2 + Фз + Ф4 ) + 8 (фз + Фе + ф? + Фе).
откуда
«о =

(ф1 + Ф2 + Фз + Ф4) - eo" (Ф5 + Фб + Ф? + Фа)-

(4)

6

г

--4
■La
Рис. 35.
Д л я системы точек на следую щ ем рисунке снова можно
оставить члены до Ь^, однако очевидно, что Uq зав и си т только
от сумм
S) = (ф1+ Ф2 + Фз + Ф4 ).

^2

== (ф5 + Фб + Ф? + Фа)

(5)

и мы получим то ж е самое значение д л я а^, взяв средние з н а ­
чения
Ф1 = Ф2 — Фз
Это д ает ах =

=

Ф4 = f

Ф5 = Фб = Ф?

Ь^ = 0
= йа + a^,
^ 5г = ао + 4а4,

о ткуда независимо от a^
^0 = "з" "Si +

^ 2.

Фа ~ f ^ 2 -

(6)

Если функция удовлетворяет в нгкоторой области уравнению
Л а п л а с а и мы хотим зн ать ее значение в некоторой точке по
значениям, зад ан н ы м в о кру ж аю щ и х ее точках п рям эуго л ьн ой
сётки, то (3) д аст приближенное значение, которое есть просто
среднее значение по четырем соседним точкам. При этом учи­
ты вается только член с г^; формулы (4) и (7), которые учиты­
ваю т член /■'*, будут существенно более точными.
Тогда процедура будет зак л ю ч ать ся в том, чтобы в у з л а х
прямоугольной сетки брать пробную совокупность значений,
удовлетворяю щ ую граничным условиям, и согласовы вать их
по очереди.
2

Рис.

36.

Особое внимание ж елател ьно уделять углам , где соответ­
ствую щ ее разлож ени е ф не будет иметь вид (1). В зад ач е, ко­
торую мы сейчас рассмотрим, мы имеем показанное на рис. 37
распределение точек. Возьмем ф, равным нулю вдоль границы
и принимаю щ им пробные значения в точках, помеченных циф­
рами 2, 3, 4, 5, 6 , причем значения в тбчках 2, 6 и 3, 5 сов­
падаю т. Тогда вблизи угла подходящ ее вы раж ен и е д л я ф будет
иметь вид
Ф =

^ r / » s i n 4 e

+

B r 2 s in 2 9

(8)

и точные значения будут следующие:
Точка
4

3, 5
2, 6

Л •2

si n ^ л - 2В = 1.260Л - 2 В ,
Л s i n -д я = 0 ,8 6 б Л ,

(9)

Л • 2''’ sin 4- 5t + 2В - 0,630Л + 2 В .

Вообще будет невозможно найти Л и S так, чтобы у д овл е­
творить трем зад ан н ы м значениям Ф. но мы мЪжем подобрать
их методом наименьших кв ад р ато в так, чтобы было наилуч-

шее совпадение в целом, а затем использовать это решение
в качестве сгл аж и в аю щ ей функции. Если пробные значения
равн ы ф4, фз, ф2, мы получим минимальную сумму к в ад р ато в
невязок в пяти точках, принимая
А = 0,3247ф4 + 0,4463фз + 0,3247фг,
1
В =

(10)

1

1 -ф 2 --б

Ф 4-

С глаж ен н ы е значения равны ф^, Ф3, ф^, т. е.
ф' =

0,742ф^ + 0,562фз — 0,258ф2,

Ф '=

0,281ф4 + 0,386фз + 0,281ф2,

(И )

Фз = -0,12 9ф 4 + 0,281фз + 0,871ф2.
Это можно проверить, принимая ф2, Фз, Ф4 удовлетворяю щ и м и
(9) точно и у б еж д ая сь , что ф^, фд, Ф4 совпадаю т с ними. Такое
с гл аж и в ан и е не означает, что член r "^ >s \ n- ^Q Главен нулю, но
что он мал. Ошибки, возникаю щ ие от его присутствия, распре­
дел яю тся среди ф', фд, ф', однако вблизи угла малость этого
члена д ает хорошее прД1ближение.
М ожно применить формулу (8) д л я половинного интервал а.
Если взять точки 7, 8 , 9, делящ ие пополам отрезки, соединяю ­
щие начало координат с точками 2, 3, 4, то получим
Ф7 = 0 , 3 9 6 8 Л + у S = 0,2955ф2 + 0,1771ф з + 0,0455ф 4,
Фз = 0 ,5 4 5 6 Л

= 0,1771ф 2 + 0,2435ф з + 0,1771ф 4,

(12)

Фэ = 0 ,7 9 3 7 Л - 4 5 = 0 ,0 9 10ф2 + 0,3542ф з + 0 ,3 4 ЮФ4 .

Если д а ж е высшими членами в точках 2, 3, 4 нельзя прене­
бречь, то их влияние в точках 7, 8 , 9 будет значительно
меньше.
Процесс быстро г л а ж и в а е т отклонения от истинного реш е­
ния, пока они ск азы ваю тся на разн остях м еж д у значениями ф
в Соседних точках сетки. Д л я отклонений одинакового зн ака
у группы соседних точек сгл аж и в ан и е происходит значительно
медленнее, и мож ет создаться впечатление, что у ж е достигнута
х оро ш ая точность, когда на самом деле осталась значительная
ош ибка (что имело место в примере, приведенном в первом
Издании этой книги).
С аутвелл воспользовался
методом»

известным под н азванием метода блочного сгл аж и в ан и я (block
ad ju stm ent). Р ассм отри м сумму
(фо - Ф1 +

+ (Фо - Ф2 +

+ (Фо - Фз +

+ (Фо - Ф4 + 6)2. (13)

Она принимает минимум по б при
й = 4^Ф1+Ф 2 + Фз + Ф4-4фо).

(14)

С ледовательно, Фо + б есть значение а^, д аваем о е (3). Вообще
процесс сгл аж и в ан и я с помощью (3) эквивалентен минимиза­
ции S (фг “ Фл)^. где индексами г и s помечены соседние точки
сетки. Допустим теперь, что имеются пробные значения в блоке
точек сетки и мы хотим найти одинаковую поправку б по всем
значениям в этом блоке, о ставл я я не п р и н ад л еж а щ и е ем у зн а ­
чения неизменными. Тогда б будут сод ер ж ать только те члены
суммы, у которых г соответствует крайн ей точке блока,
a s — соседней с ней внешней точке сетки. Их можно записать
в виде суммы
2 (фг - Ф* +
взятой по всем таким п а р а м точек числом, ск аж е м , N. Усло­
вие минимума этой суммы есть
б = -^ ^ (ф .-ф г )‘

(15)

Это п оправк а д ля всего блока.
О бсудим теперь метод, с помощью которого часто можно
сделать сходимость более быстрой, чем та, которая получается
бесхитростным использованием (3). Если ф в некоторой точке
сетки отличается на —б от своего среднего значения в сосед­
них точках и мы просто д ел аем поправку на б, то в сл ед ую ­
щем приближении ф в соседних точках в о зрастает на ^/^6 .
Таким образом , р азн и ца не устранится, а лишь раздели тся
на 4 и необходимы дальнейш ие поправки. Мы можем преду­
смотреть это и сделать начальную поправку равной '‘/36
вместо б.
Д л я целиком внутреннего блока (т. е. полностью о кр у ж ен ­
ного п о дл еж ащ и м и уточнению значениями) этот эффект может
о к а зать ся более значительным. Если мы просто сделаем по­
п р ав к у б, д ав аем ую (15), и д в а ж д ы проведем сглаж иван и е з н а ­
чений д л я точек, прилегаю щ их к блоку, то п оп равк а в этих
точках мож ет составить
Следовательно, д ля такого блока
обычно стоит умнож ить поправку на множитель, больший
чем
хороший результат обычно д ает ^/2-

С тан д а р тн а я процедура д о л ж н а зак л ю ч аться в таб у л и р о в а ­
нии п ред полагаем ы х значений 6 на к аж д ой стадии с исполь­
зованием (3), (4) или (7). Н аиб ольш ие значения следует умно­
ж и т ь на '‘/з и п рибавить. Этот процесс будет варьир оваться
д в о я к и м образом . Если замечено, что поправки, необходимые
д л я значений на контуре внутренних точек почти все одного
зн а к а , то д ля точек внутри и на самом контуре будет вычи­
сл я тьс я блочная п оправка. Если в зад ач е имеется особенность,
т а к а я , что решение вблизи нее не имеет вида (1), то лучше
всего отдельно изучить, каков будет вид решения, и р а з р а б о ­
тать , как д ля (8), метод аппроксимации д л я окрестности осо­
бенности, приспособленный д ля этого вида.
О

О

Р ис.

38.

О

с

В некотором блоке может сод ер ж ать ся внутренний блок и
уд обн о произвести совместное сгл аж иван и е. Если д л я полного
блока необходима п оправка б, а рассмотрение внутреннего
блока д ает поправку 6', то п оследн яя явл яется в действитель­
ности поправкой по отношению к внешним частям главного
блока и су м м ар н ая поправка, н еобходи м ая д ля внутреннего
блока, р ав н а б-Ьб'.
9.181. В качестве прим ера рассмотрим конденсатор, пред­
ставляю щ ий собой длинную призму, сечение которой ограни­
чено д ву м я концентрическими, подобно располож енны м и к в а д ­
рата м и со сторонами 2 и 4. П о тен ц и ал внутреннего к в а д р а т а
равен 1, а наруж н о го 0. Н ай д ем распределение потенциала
м е ж д у ними. Очевидно, р а с с м а т р и в а е м а я область состоит из
восьми одинаковы х частей и достаточно рассмотреть лишь одну
из них. В качестве первого п риб л и ж ен ия возьмем значения
в точках с, d из непосредственной интерполяции в соответствии

С 9.18 (3), что д ает c = d = 0,50. Д л я
на прямой под углом 45° к осям)

Ф* = - ^ ( 1 + О + О + фй),

6

имеем (используя точки

фг, = 0,33,

и д л я а из (7)
_4

J

Фа = 45 •■т4( 2 ф й + 0) + | - 4 ( 1 + 0 ) = 0 , 1 3 + 0,05 = 0,18.
Второе приближение д ля ф* из (7) равно теперь
Фй = у (1 + Фй + Фе + 0 ) +

(О + Фй + 1 + 0 ) .

откуда ф* = 0,41. Тогда ф Я п ~
яеизвестны е функции и
— их производные по t, то в ари ац и я
и

5 = J f { q u .•

Яп, Яь

•••. qn,

t)dt

(1)

и
.для малы х приращ ений функций qr{t) имеет вид
6S =

+
L\
и

г

!

г
(2)

г д е если

ф О, то
(А исходные координаты и импульсы;
однако если начальны е и конечные координаты и / — /о з а ­
дан ы , то начальн ы е импульсы определены и, следовательно,
не являю тся произвольными. П оэтому естественно, что S,
в ы раж ен н ое ка к функция t и q^, вклю чает именно п + 1 произ­
вольных постоянных.
Если L не зависит от времени явно, то Я = con st есть инте­
гр а л энергии. О бозначив последнюю постоянную через h, имеем
dt = - * >

\Ь dt,г

Поэтому
S = = - h { t - t o ) + f ( qs, qso)-

(9)

(10)

К а к и раньш е, д8/дд^а равно просто — р^о, что не зав и си т
от t, и, таким образом, у нас есть п уравнений, в ы р а ж аю щ и х
тот факт, что dS/dq^o, явл яю щ иеся функциями q^, Qso и, может
быть, t, постоянны во время всего движ ения и равны — р^о.
Отсю да если мы зад ал и сь S, то у нас есть п уравнений
д л я определения q, через t и начальны е условия; п о это м у ,ес л и
можно определить S, то полное решение задачи сводится
к решению этих уравнений. Этот результат п р ин ад л еж и т Г а­
мильтону. Сложность его применения в только что сформули­
рованном виде зак л ю ч ается в том, что, хотя бывает довольно
легко получить полный интеграл у равнения (8), включающий
п + 1 постоянных, эти постоянные обычно зав и ся т и от q^o и

от psd и вы разить нх только через
часто нелегко. Эта тео­
рем а была дополнена Якоби, который о б н а ру ж и л, что л ю бой
полный интеграл уравнения (8) можно использовать точно
таким ж е образом , ка к и полный интеграл, зави сящ ий только
от
О д н ако д ля д о к аза т ел ь ств а этого полож ения мы ну­
ж д а е м с я в гамильтоновой форме уравнений движ ения.
10.09.
У равнения Г ам и л ьто на. Функция Л а г р а н ж а L з а в и ­
сит от qs, qs и, возможно, от t; функция Гамильтона Я зависит
от qs, Ps и, возможно, отt. Д л я произвольных вариаций
и qs при неизменном t имеем
бЯ = 6 {(/sps - L ) = c/s6ps + Ps^qs

( I I)

Ho no определению p^ = OLIdq, и, следовательно,
(>H = c / 6 p s - - ^ 6 q s ,
.

dPs '

dqs ~

dL
dqs

( 12)

Д ал ее, из уравнений Л а г р а н ж а

И

d

dL

dL

dt

d qs

dqs

дН
dq s '

поэтому
dH

.

dH

,,

Это у р а внен ия Гамильтона. И х надо р ассм атр и в ать ка к си­
стему 2п дифференциальных уравнений первого по ряд ка, в то
время как п уравнений Л а г р а н ж а являю тся уравн ен иям и в то­
рого порядка.
У равнения Гамильтона могут быть прямо связан ы с в а р и а ­
ционным принципом следующим образом . П ол ож и м (см. [2])
t,

В = j { p s q s - H i q s , Ps)}dt.
^0

Тогда

(15)

tx

ЬВ =
=

J

( р , б