Задачник по высшей математике для вузов [Коллектив авторов] (pdf) читать постранично, страница - 3
- Задачник по высшей математике для вузов [издание второе, стереотипное] 6.27 Мб, 512с. скачать: (pdf) - (pdf+fbd) читать: (полностью) - (постранично) - Коллектив авторов
Книга в формате pdf! Изображения и текст могут не отображаться!
[Настройки текста] [Cбросить фильтры]
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- . . .
- последняя (195) »
.
(1.3)
Этот способ называют разложением определителя по элементам iй строки (jго
столбца). В частности, разложение определителя по 1$му столбцу в развернутом виде
записывается следующим образом:
a11 a12
a21 a22
a31 a32
a13
a
a23 1 a11 2 22
a32
a33
a23
a
3 a21 2 12
a33
a32
a13
a
4 a31 2 12
a33
a22
a13
.
a23
ПРИМЕР 1.2. Вычислить определитель из примера 1.1:
а) разложением по первой строке;
б) разложением по какой$либо строке, предварительно упрощая его и используя
результат задачи 1.9.
& а) Используя формулу (1.3) для разложения определителя по первой строке,
получаем
3 2 1
5 3
2 3
2 5
2 5 3 1 32
3 22
4 12
1 3 2 (10 3 12) 3 2 2 (4 3 9) 4 1 2 (8 3 15) 1 33.
4 2
3 2
3 4
3 4 2
б) Выполним следующие действия:
1) вычтем из 2$го столбца 3$й; получим
3 2 1 3 1 1
2 5 3 1 2 2 3;
3 4 2 3 2 2
2) теперь вычтем из 2$й строки 3$ю:
3 1 1
3 1 1
2 2 3 1 21 0 1 ;
3 2 2
3 2 2
3) наконец, прибавим к 1$му столбцу 3$й:
3 1 1 4 1 1
11 0 1 2 0 0 1 ;
3 2 2 5 2 2
7
ГЛАВА 1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
4) разложим полученный определитель по второй строке:
4 1 1
4 1
0 0 1 2 ( 31)2 13
2 31 4 (4 4 2 3 5 41) 2 33.
5 2
5 2 2
На основании свойств, сформулированных в задаче 1.9, при выполнении ука+
3 2 1
занных действий определитель не изменился, поэтому 2 5 3 1 23. 1
3 4 2
В задачах 1.12–1.14 вычислить определитель, используя разложение по
какой+либо строке, предварительно упрощая его.
1 1 1
a
a a
1 1 1
1.12. 11 0 1 . 1.13. 1a a x . 1.14. 1 2 3 .
11 11 0
1a 1a x
1 3 6
2. Решение систем линейных уравнений
с двумя и тремя неизвестными
В школьном курсе алгебры при решении систем линейных уравнений с несколь+
кими неизвестными в основном использовался метод исключения неизвестных.
Ниже предлагается метод решения систем линейных уравнений с использованием
определителей.
Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными
3a1x 1 b1y 2 c1,
4
5a2x 1 b2y 2 c2
при условии, что определитель системы 1 2
a1 b1
отличен от нуля, имеет единст+
a2 b2
венное решение, которое может быть найдено по формулам
1y
1x
, y2 .
(1.4)
1
1
Здесь Dx и Dy — определители, полученные из определителя D заменой столбца коэф+
фициентов при соответствующем неизвестном столбцом свободных членов:
x2
1x 2
c1 b1
a
, 1y 2 1
c2 b2
a2
c1
.
c2
Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными
3a1x 1 b1y 1 c1z 2 d1,
4
5a2x 1 b2y 1 c2z 2 d2,
4a3x 1 b3y 1 c3z 2 d3
6
8
ЗАДАЧНИК ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ВУЗОВ
a1 b1
при условии, что определитель системы 1 2 a2 b2
a3 b3
c1
c2 3 0, имеет единственное ре'
c3
шение, которое может быть найдено по формулам
x2
1y
1x
1
, y2 , z2 z,
1
1
1
(1.5)
где
d1
1 x 2 d2
d3
b1
b2
b3
c1
a1 d1
c2 , 1 y 2 a2 d2
c3
a3 d3
c1
a1 b1 d1
c2 , 1 z 2 a2 b2 d2 .
c3
a3 b3 d3
В задачах 1.15–1.20 решить системы уравнений.
42x 1 3y 2 8,
49x 1 2y 2 8,
4(a 1 1)x 3 ay 2 a 1 1,
1.15. 5
1.16. 5
1.17. 5
6x 3 2y 2 33.
64x 1 y 2 3.
6ax 1 (1 3 a)y 2 a 3 1.
42x 1 4y 1 z 2 4,
42x 1 y 3 z 2 0,
42x 1 3z 3 3y 2 310,
7
7
7
1.18. 53x 1 6y 1 2z 2 4, 1.19. 5x 3 y 3 3z 2 13,
1.20. 53y 1 x 3 3z 2 13,
74x 3 y 3 3z 2 1.
73x 3 2y 1 4z 2 315.
7z 1 x 2 0.
6
6
6
3. Линейные операции над векторами
11112
Направленным отрезком AB называется отрезок AB, для которого указаны
начало — точка
11112
11112 A и конец — точка B (рис. 1.1).
Длиной AB направленного
AB называется длина отрезка AB. На'
1111112
1111111отрезка
2
правленные отрезки A1B1, ..., An Bn называются коллинеарными, если существует
прямая l, которой
11111параллелен
12
11111112 каждый из этих отрезков. Направ'
ленные отрезки A1B1, ..., An Bn называются компланарными, если су'
ществует плоскость a, которой параллелен каждый из этих отрезков.
Геометрическим вектором a называется множество всех направлен'
ных отрезков, имеющих одинаковую длину и направление. О всяком
Рис. 1.1
направленном отрезке из этого множества говорят, что он представ
ляет
11112вектор a (получен приложением вектора a к точке A), и в этом случае пишут
a 1 1111
AB
11112 длина любого направленного отрез'
2 . Длиной (модулем) вектора a называется
ка AB, представляющего этот вектор: | a | 1 AB . Вектор нулевой длины называется
нулевым вектором и обозначается символом 0.
Векторы a и b называются равными, если множество представляющих их на'
правленных отрезков совпадают. 1112
Пусть направленный отрезок OA представляет
вектор a. Прикладывая к точ'
11112
ке A вектор b, получим
направленный
отрезок
Вектор,
представленный направ'
AB
.
1112
ленным отрезком OB, называется суммой векторов a и b и обозначается a + b (прави
ло треугольника, см. рис. 1.2а).
Сумма векторов a и b может быть определена также по правилу параллелограм
ма (рис. 1.2б).
Произведением вектора a на действительное число l ¹ 0 называется вектор, обо'
значаемый la, такой что: 1) |la| = |l| × |a|; 2) векторы a и la сонаправлены при l > 0 и
противоположно направлены при l < 0. По определению 0 × a = l × 0 = 0.
9
ГЛАВА 1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Рис. 1.2
Рис. 1.3
ПРИМЕР 1.3. Найти сумму векторов a1, a2, a3, a4, a5, изображенных на рис. 1.3а.
& Чтобы построить сумму векторов a1, a2, a3, a4, a5, к концу вектора a1 приклады*
вем вектор a2 и
(1.3)
Этот способ называют разложением определителя по элементам iй строки (jго
столбца). В частности, разложение определителя по 1$му столбцу в развернутом виде
записывается следующим образом:
a11 a12
a21 a22
a31 a32
a13
a
a23 1 a11 2 22
a32
a33
a23
a
3 a21 2 12
a33
a32
a13
a
4 a31 2 12
a33
a22
a13
.
a23
ПРИМЕР 1.2. Вычислить определитель из примера 1.1:
а) разложением по первой строке;
б) разложением по какой$либо строке, предварительно упрощая его и используя
результат задачи 1.9.
& а) Используя формулу (1.3) для разложения определителя по первой строке,
получаем
3 2 1
5 3
2 3
2 5
2 5 3 1 32
3 22
4 12
1 3 2 (10 3 12) 3 2 2 (4 3 9) 4 1 2 (8 3 15) 1 33.
4 2
3 2
3 4
3 4 2
б) Выполним следующие действия:
1) вычтем из 2$го столбца 3$й; получим
3 2 1 3 1 1
2 5 3 1 2 2 3;
3 4 2 3 2 2
2) теперь вычтем из 2$й строки 3$ю:
3 1 1
3 1 1
2 2 3 1 21 0 1 ;
3 2 2
3 2 2
3) наконец, прибавим к 1$му столбцу 3$й:
3 1 1 4 1 1
11 0 1 2 0 0 1 ;
3 2 2 5 2 2
7
ГЛАВА 1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
4) разложим полученный определитель по второй строке:
4 1 1
4 1
0 0 1 2 ( 31)2 13
2 31 4 (4 4 2 3 5 41) 2 33.
5 2
5 2 2
На основании свойств, сформулированных в задаче 1.9, при выполнении ука+
3 2 1
занных действий определитель не изменился, поэтому 2 5 3 1 23. 1
3 4 2
В задачах 1.12–1.14 вычислить определитель, используя разложение по
какой+либо строке, предварительно упрощая его.
1 1 1
a
a a
1 1 1
1.12. 11 0 1 . 1.13. 1a a x . 1.14. 1 2 3 .
11 11 0
1a 1a x
1 3 6
2. Решение систем линейных уравнений
с двумя и тремя неизвестными
В школьном курсе алгебры при решении систем линейных уравнений с несколь+
кими неизвестными в основном использовался метод исключения неизвестных.
Ниже предлагается метод решения систем линейных уравнений с использованием
определителей.
Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными
3a1x 1 b1y 2 c1,
4
5a2x 1 b2y 2 c2
при условии, что определитель системы 1 2
a1 b1
отличен от нуля, имеет единст+
a2 b2
венное решение, которое может быть найдено по формулам
1y
1x
, y2 .
(1.4)
1
1
Здесь Dx и Dy — определители, полученные из определителя D заменой столбца коэф+
фициентов при соответствующем неизвестном столбцом свободных членов:
x2
1x 2
c1 b1
a
, 1y 2 1
c2 b2
a2
c1
.
c2
Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными
3a1x 1 b1y 1 c1z 2 d1,
4
5a2x 1 b2y 1 c2z 2 d2,
4a3x 1 b3y 1 c3z 2 d3
6
8
ЗАДАЧНИК ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ВУЗОВ
a1 b1
при условии, что определитель системы 1 2 a2 b2
a3 b3
c1
c2 3 0, имеет единственное ре'
c3
шение, которое может быть найдено по формулам
x2
1y
1x
1
, y2 , z2 z,
1
1
1
(1.5)
где
d1
1 x 2 d2
d3
b1
b2
b3
c1
a1 d1
c2 , 1 y 2 a2 d2
c3
a3 d3
c1
a1 b1 d1
c2 , 1 z 2 a2 b2 d2 .
c3
a3 b3 d3
В задачах 1.15–1.20 решить системы уравнений.
42x 1 3y 2 8,
49x 1 2y 2 8,
4(a 1 1)x 3 ay 2 a 1 1,
1.15. 5
1.16. 5
1.17. 5
6x 3 2y 2 33.
64x 1 y 2 3.
6ax 1 (1 3 a)y 2 a 3 1.
42x 1 4y 1 z 2 4,
42x 1 y 3 z 2 0,
42x 1 3z 3 3y 2 310,
7
7
7
1.18. 53x 1 6y 1 2z 2 4, 1.19. 5x 3 y 3 3z 2 13,
1.20. 53y 1 x 3 3z 2 13,
74x 3 y 3 3z 2 1.
73x 3 2y 1 4z 2 315.
7z 1 x 2 0.
6
6
6
3. Линейные операции над векторами
11112
Направленным отрезком AB называется отрезок AB, для которого указаны
начало — точка
11112
11112 A и конец — точка B (рис. 1.1).
Длиной AB направленного
AB называется длина отрезка AB. На'
1111112
1111111отрезка
2
правленные отрезки A1B1, ..., An Bn называются коллинеарными, если существует
прямая l, которой
11111параллелен
12
11111112 каждый из этих отрезков. Направ'
ленные отрезки A1B1, ..., An Bn называются компланарными, если су'
ществует плоскость a, которой параллелен каждый из этих отрезков.
Геометрическим вектором a называется множество всех направлен'
ных отрезков, имеющих одинаковую длину и направление. О всяком
Рис. 1.1
направленном отрезке из этого множества говорят, что он представ
ляет
11112вектор a (получен приложением вектора a к точке A), и в этом случае пишут
a 1 1111
AB
11112 длина любого направленного отрез'
2 . Длиной (модулем) вектора a называется
ка AB, представляющего этот вектор: | a | 1 AB . Вектор нулевой длины называется
нулевым вектором и обозначается символом 0.
Векторы a и b называются равными, если множество представляющих их на'
правленных отрезков совпадают. 1112
Пусть направленный отрезок OA представляет
вектор a. Прикладывая к точ'
11112
ке A вектор b, получим
направленный
отрезок
Вектор,
представленный направ'
AB
.
1112
ленным отрезком OB, называется суммой векторов a и b и обозначается a + b (прави
ло треугольника, см. рис. 1.2а).
Сумма векторов a и b может быть определена также по правилу параллелограм
ма (рис. 1.2б).
Произведением вектора a на действительное число l ¹ 0 называется вектор, обо'
значаемый la, такой что: 1) |la| = |l| × |a|; 2) векторы a и la сонаправлены при l > 0 и
противоположно направлены при l < 0. По определению 0 × a = l × 0 = 0.
9
ГЛАВА 1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Рис. 1.2
Рис. 1.3
ПРИМЕР 1.3. Найти сумму векторов a1, a2, a3, a4, a5, изображенных на рис. 1.3а.
& Чтобы построить сумму векторов a1, a2, a3, a4, a5, к концу вектора a1 приклады*
вем вектор a2 и
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- . . .
- последняя (195) »
Последние комментарии
12 часов 15 минут назад
14 часов 32 минут назад
1 день 5 часов назад
1 день 5 часов назад
1 день 10 часов назад
1 день 14 часов назад