5a. Электричество и магнетизм [Ричард Филлипс Фейнман] (fb2) читать постранично, страница - 4
[Настройки текста] [Cбросить фильтры]
откуда (5.3) Простой, но важный результат.
Фиг. 5.6. Электрическое поле возле однородно заряженной плоскости, найденное с помощью теоремы Гаусса, применяемой к воображаемому ящику. 1 — однородно заряженная плоскость; 2 — гауссова поверхность. Вы помните, может быть, что тот же результат был получен в первых главах интегрированием по всей плоскости. Закон Гаусса дает ответ намного быстрее (хотя он не так широко применим, как прежний метод). Подчеркнем, что этот результат относится только к полю, созданному зарядами, размещенными на плоскости. Если по соседству есть другие заряды, общее поле близ плоскости было бы суммой (5.3) и поля прочих зарядов. Закон Гаусса тогда только гарантировал бы, что
(5.4) где E1и Е2 — поля, направленные на каждой стороне плоскости наружу от нее. Задача о двух параллельных плоскостях с равными и противоположными плотностями зарядов +s и -sрешается тоже просто, если только снова предположить, что внешний мир абсолютно симметричен. Составите ли вы суперпозицию двух решений для отдельных плоскостей или построите гауссов ящик, охватывающий обе плоскости, в обоих случаях легко видеть, что поле снаружи плоскостей равно нулю (фиг. 5.7, а). Но, заключив в ящик только одну или только другую поверхность, как показано на фиг. 5.7, б или в, мы легко обнаружим, что поле между плоскостями должно быть вдвое больше поля отдельной плоскости.
Фиг. 5.7. Поле между двумя заряженными листами равно s/e0.
Итог таков: (5.5) Е (снаружи) =0. (5.6) § 7. Однородно заряженный шар; заряженная сфера В гл. 4 мы уже применяли закон Гаусса, когда должны были найти поле вне однородно заряженной шаровой области. Тот же метод может дать нам и поле в точках внутри шара. Этот расчет, например, может быть использован для получения хорошего приближения к полю внутри атомного ядра. Вопреки тому, что протоны в ядре взаимно отталкиваются, они из-за сильного ядерного притяжения распределены по всему ядру почти однородно. Пусть у нас имеется сфера радиуса R, однородно наполненная зарядами. Пусть заряд в единице объема равен р. Снова, используя соображения симметрии, можно предположить, что поле радиально и в точках, равноудаленных от центра, по величине одинаково. Фиг. 5.8. Закон Гаусса можно применить для определения поля внутри однородно заряженного шара. Чтоб определить поле в точке на расстоянии r от центра, представим сферическую гауссову поверхность радиуса r (r<R), как показано на фиг. 5.8. Поток из нее равен Заряд внутри нее равен внутреннему объему, умноженному на r, т. е.
Применяя закон Гаусса, получаем величину поля (5.7) Вы видите, что при r=R эта формула дает правильный результат. Электрическое поле пропорционально расстоянию от центра и направлено по радиусу наружу. Аргументы, которые мы только что приводили для однородно заряженного шара, можно применить и к заряженной сфере. Опять предполагая радиальность и сферическую симметрию поля, из закона Гаусса немедленно получаем, что поле вне сферы во всем подобно полю точечного заряда, поле же внутри сферы — нуль (если мы проведем гауссову поверхность внутри сферы, то внутри нее зарядов не окажется). § 8. Точен ли закон Кулона?
Если мы вглядимся чуть пристальнее в то, как поле внутри сферы оказывается нулевым, то лучше поймем, почему закон Гаусса обязан своим происхождением закону Кулона, т. е. точной зависимости силы от второй степени расстояния. Возьмем произвольную точку Р внутри однородно заряженной сферической поверхности.
Фиг. 5.9. Во всякой точке Р внутри заряженной сферической оболочки поле равно нулю.
Представим узкий конус, который начинается в точке Р и тянется до поверхности сферы, вырезая там небольшой сферический участок Dat (фиг. 5.9). В точности симметричный конус по другую сторону вершины вырежет на поверхности площадь Dа2. Если расстояния от Р до этих двух элементов площади равны r1 и r2, то площади находятся в отношении (Вы можете доказать это для любой точки шара с помощью геометрии.) Если поверхность сферы заряжена равномерно, то заряд Dq на каждом элементе поверхности пропорционален его площади
Последние комментарии
1 день 10 часов назад
1 день 11 часов назад
1 день 12 часов назад
1 день 23 часов назад
1 день 23 часов назад
2 дней 19 минут назад