Игры и принятие решений [Караламбос Д. Алипрантис] (pdf) читать онлайн

Игры
и принятие решений
Караламбос Д. Алипрантис
Субир К. Чакрабарти

Переводные
учебники ВШЭ

Charalambos D. Aliprantis
Subir K. Chakrabarti

Games
and Decision Making
Second edition

Караламбос Д. Алипрантис
Субир К. Чакрабарти

Игры
и принятие решений
Перевод с английского
С.В. БУСЫГИНА
под научной редакцией
В.П. БУСЫГИНА

Издательский дом Высшей школы экономики

Москва 2016

УДК 519.8(075)
ББК 22.18я7
А50

Подготовлено в рамках проекта ВШЭ
по изданию переводов учебной литературы

А50

Алипрантис, К. Д., Чакрабарти, С. К.
Игры и принятие решений [Текст] : учеб, пособие / К. Д. Алипран­
тис, С. К. Чакрабарти ; пер. с англ. С. В. Бусыгина ; под науч. ред.
В. П. Бусыгина ; сост. указ. В. П. Бусыгина ; Нац. исслед. ун-т «Выс­
шая школа экономики». — М.: Изд. дом Высшей школы экономики,
2016. — 543, [1] с. — (Переводные учебники ВШЭ). — 1000 экз. — ISBN
978-5-7598-1097-1 (в пер.).
Учебник написан с целью представить сложные концепции современной тео­
рии решений для читателя, знакомого лишь с элементарным дифференциальным
исчислением и элементарной теорией вероятности. Это автономная трактовка
практически всего, что может быть названо теорией решений, — от классической
теории оптимизации до современной теории игр. Книга содержит множество
приложений из экономики, политической науки, финансов и менеджмента и
примеров, призванных показать необходимость изучения теории и продемонстри­
ровать границы, внутри которых она применима. Сначала авторы рассматривают
наиболее простые варианты принятия решений — такие, в которых участвует
только одно лицо, затем постепенно переходят к более сложным задачам, вплоть
до анализа секвенциальной рациональности, и наконец объясняют, каким образом
полученный интеллектуальный капитал может быть использован для изучения
практических проблем — аукционов и торга. Особенность учебника заключается в
том, что авторы трактуют теорию принятия решений и теорию игр как часть одной
и той же совокупности знания. Теория принятия решений с участием одного лица
используется в учебнике как строительный блок для теории игр.
Для студентов вузов, обучающихся по направлениям «Экономика», «Мате­
матика», изучающих вводные курсы по оптимизации и теории игр, а также для
слушателей курсов МВА по теории принятия решений.

УДК 519.8(075)
ББК 22.18я7

Games and Decision Making, Second Edition was originally published in English in 2012. This translation
is published by arrangement with Oxford University Press.

ISBN 978-0-1953-0022-2 (англ.)
ISBN 978-5-7598-1097-1 (pyc.)

Copyright © 2011, 2000 by Oxford University
Press Inc.
© Перевод на русский язык,
оформление. Издательский дом
Высшей школы экономики. 2016

Оглавление

Предисловие к русскому изданию.......................................................................

8

Предисловие................................................................................................................

12

Глава 1. ВЫБОР.........................................................................................................

14

1.1. Функции............................................................................................

14

1.2. Оптимизационные задачи.............................................................

17

1.3. Условия первого и второго порядка

......................................

21

1.4. Использование метода Лагранжа при оптимизации..........

26

1.5. Неопределенность и случайность..............................................

32

1.5.1. Теория вероятностей...........................................................

32

1.5.2. Случайные величины........................................................

34

1.5.3. Ожидаемое значение случайной величины...............

36

1.5.4. Равномерное и нормальное распределение...............

39

1.6. Принятие решений в условиях неопределенности.............

45

1.6.1. Концепция ожидаемой полезности...............................

45

1.6.2. Приложение теоремы об ожидаемой полезности ...

53

Глава 2. РЕШЕНИЯ И ИГРЫ ..........................................................................

63

2.1. Матричные игры двух лиц...........................................................

65

2.2. Стратегические игры.....................................................................

72

2.3. Доминирующие и доминируемые стратегии.........................

80

2.4. Решения матричных игр в смешанных стратегиях.............

87

2.5. Примеры игр двух лиц..................................................................

96

2.6. Равновесие по Нэшу и функции наилучших ответов .... 100

2.7. Игры с неполной информацией................................................

104

2.8. Приложения......................................................................................

НО

Глава 3. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ..................

143

3.1. Графы и деревья...............................................................................

143

3.2. Принятие решений.......................................................................

148

3.3. Принятие решений при неопределенности............................

157

5

ИГРЫ И ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ

Глава 4. ДИНАМИЧЕСКИЕ ИГРЫ..................................................................

169

4.1. Структура динамической игры...................................................

170

4.2. Равновесия в динамических играх...........................................

179

4.3. Приложения динамических игр................................................

193

4.4. Решение динамических игр в поведенческих
стратегиях................................................................................. 222

Глава 5. АУКЦИОНЫ

......................................................................................... 233

5.1. Аукционы с совершенной информацией............................... 234
5.2. Английский аукцион..................................................................... 240
5.3. Аукционы с индивидуальными частными оценками..........

246

5.4. Аукционы с общими оценками................................................

257

5.5. Теорема об эквивалентности доходов...................................... 265

Главаб. ТОРГ

......................................................................................................

275

6.1. Решение по Нэшу.......................................................................... 276
6.2. Монотонность при торге.............................................................

290

6.3. Ядро игры торга............................................................................... 300

6.4. Правило аллокации: вектор (значений) Шепли.................. 316
6.5. Динамический торг двух лиц.....................................................

330

Глава 7. ПОВТОРЯЮЩИЕСЯ ИГРЫ............................................................ 339
7.1. Структура и равновесия повторяющихся игр....................... 340
7.2. Совершенные в подыграх равновесия в повторяющихся
играх с конечным горизонтом........................................... 353

7.3. Повторяющиеся игры с бесконечным горизонтом............. 368
7.4. Народная теорема и совершенное в подыграх
равновесие................................................................................. 389
7.5. Приложения повторяющихся и динамических игр

..........

405

Глава 8. СЕКВЕНЦИАЛЬНАЯ РАЦИОНАЛЬНОСТЬ .............................

419

8.1. Рынок «лимонов»............................................................................ 420

8.2. Ожидания и стратегии.................................................................. 425
8.3. Согласованность ожиданий........................................................ 431
8.4. Ожидаемый выигрыш..................................................................... 434
8.5. Секвенциальное равновесие........................................................ 437
6

ОГЛАВЛЕНИЕ

8.6. Совершенное байесовскоеравновесие..................................... 447
8.7. Сигналинговые игры..................................................................... 454
8.8. Приложения......................................................................................

462

Глава 9. СУЩЕСТВОВАНИЕ РАВНОВЕСИЙ ........................................... 494
9.1. Предварительные математические сведения.........................

494

9.1.1. Функции.................................................................................

496

9.1.2. Отображения.......................................................................... 499
9.2. Игры с нулевой суммой...............................................................

505

9.3. Существование равновесия в играх
в стратегической форме.......................................................

511

9.4. Существование равновесия в динамических играх............. 518
9.5. Существование секвенциального равновесия....................... 524

Библиография........................................................................................................... 533

Указатель ..................................................................................................................

536

Предисловие
к русскому изданию
По замыслу авторов этой книги, она представляет собой введение в теорию
принятия решений, которое включает и классическую теорию оптимизации
(теорию принятия решений одним лицом), и теорию торга — модели ситуа­
ции, где контрагенты сделки (продавцы и покупатели) последовательно делают
предложения и контрпредложения об условиях сделки, и (некооперативную)
теорию игр. Последняя изучает принятие решений несколькими лицами в так
называемых стратегических ситуациях, т.е. в ситуациях, когда на результат
решений одних индивидов влияют решения других. Таким образом, авторы
данного учебника рассматривают эти три теории как части единого целого,
подчеркивая взаимосвязь между проблемами принятия решений одним лицом
и несколькими (взаимодействующими друг с другом) индивидами.
Напомним, что идеи, модели и методы теории принятия решений, и
прежде всего теории игр, в отличие от других математических дисциплин,
мотивируются не физическими, а социальными феноменами. И в частности,
теория игр — это фактически «математика конфликта и сотрудничества». Это
обстоятельство, кстати, существенно обесценивает аргументы противников
применения математических методов в обществоведении, многие из которых
формулируются как претензии к моделям и методам, сформировавшимся
при исследовании физических феноменов, и сводятся к тому, что успех этих
моделей и методов в одной области исследований вовсе не оправдывает их
некритическое использование в другой.
Как раздел математики теория игр формируется «почти» на наших глазах,
за какие-нибудь 40 лет, с 50-х по 80-е годы прошлого века, одновременно
совершая революцию в обществоведении, внося существенные изменения
как в способы моделирования общественных феноменов, так и в методы
их исследования. Концепции решения игр, которые обсуждает теория
игр, можно рассматривать как развитие концепции рационального поведе­
ния — краеугольного камня в фундаменте неоклассической экономической
теории — и ее распространение на стратегические ситуации. Это предоста­
вило возможность исследователям освободить экономическую теорию от во
многом искусственных предпосылок типа гипотезы совершенных рынков,
симметричной информации и т.д. и распространить плодотворную идею
рационального поведения на новые области исследований. Фактически
при активном участии теории игр экономическая теория, прежде всего
микроэкономика, превращается из науки, занимающейся производством и
распределением материальных благ (по содержанию), в науку о стимулах,
порождаемых социальными институтами, и влиянии этих стимулов на по­
ведение и приложение теории игр (по форме). Поэтому изучение теорети­
ко-игрового инструментария анализа социально-экономических феноменов
представляется необходимым этапом обучения обществоведа, экономиста в
8

ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ

частности, — что и отражают программы подготовки таких специалистов в
ведущих университетах.
По прошествии определенного времени, «когда была найдена форма,
адекватная простоте содержания дисциплины», стали появляться много­
численные учебные пособия по теории игр, прежде всего на английском
языке, ориентированные на разные целевые аудитории. И хотя некоторые
великолепные монографии, отражающие состояние теории игр на более
раннем этапе ее жизни, переведены на русский язык (Р.Д. Льюс, X. Райфа
«Игры и решения; Г. Оуэн «Теория игр»; Дж. Мак-Кинси «Введение в тео­
рию игр» и др.), переводов книг, представляющих современное ее состояние,
практически нет, за исключением изданной на русском языке замечательной
презентации возможностей современной теории игр в популярной форме —
книги А.К. Диксита и Б. Нэлбаффа «Теория игр. Искусство стратегического
мышления в бизнесе и жизни», которая вряд ли может служить пособием
для, в частности, полноценного бакалаврского курса.
Представляется, что лежащая перед вами книга таким пособием являет­
ся. Она поможет хотя бы частично заполнить указанный пробел, а также
станет хорошим дополнением к соответствующим учебным пособиям рос­
сийских авторов. По замыслу авторов этого учебника, он представляет собой
«междисциплинарный бакалаврский курс с существенным математическим
содержанием» и призван продемонстрировать возможности и ограничения
математических методов анализа общественных феноменов. Для этого в
него включены многочисленные примеры приложений теории к экономике,
политологии, финансам и менеджменту.
Изложенный материал будет доступен читателю с достаточно скромной
математической подготовкой, включающей вводные разделы дифферен­
циального исчисления и дискретной математики. Впрочем, все необходимые
сведения из указанных дисциплин представлены в самой книге. Тем не менее
усвоение некоторых разделов курса, прежде всего доказательств существова­
ния соответствующих концепций решения (равновесия) игр, приведенных в
заключительной, девятой главе, требует известной аналитической культуры.
Но, как представляется, читатели, интересующиеся главным образом прило­
жениями теории и предлагаемыми методами анализа, могут соответствующие
разделы, по крайней мере при первом чтении, опустить.
Книга может служить в качестве учебника для студентов бакалавриата
многих специальностей, желающих ознакомиться с теорией принятия реше­
ний, например, студентов экономических, бизнес- и даже математических
факультетов, а также для тех, кто желает самостоятельно овладеть приемами
анализа решений. Кроме того, она может использоваться как учебное посо­
бие при изучении более продвинутых курсов по теории принятия решений,
теории игр.
В.П. Бусыгин,
научный редактор перевода

Посвящается нашим женам и детям:
Бернадетт и Тухине;
Клэр, Диониссн,
Анише, Девике и Шармите

Предисловие

Второе издание книги «Игры и принятие решений» по­
строено на характерных для первого издания сильных сторонах и расширяет и
развивает их, чтобы книга представляла собой достаточно полное и детальное
изложение теории игр. Так, во втором издании добавлены две новые главы
и несколько новых разделов в семи первоначальных главах. В то время как
первое издание соединяет элементы теории принятия решений и теории игр
и делает это достаточно оригинальным способом, второе издание идет дальше
в направлении более полного представления собственно теории игр. В нем
сохранен почти в полном объеме материал первого издания с небольшими
модификациями некоторых примеров и некоторой реорганизацией глав.

Изменения во втором издании
•

•

•

•
•

•

Глава 2 включает достаточно много нового материала с существенно
более тщательным обсуждением смешанных стратегий, раздел о наилуч­
ших ответах и равновесии по Нэшу, более обширный список известных
примеров матричных игр и новый раздел об играх в стратегической
форме с неполной информацией и равновесии Байеса — Нэша. До­
бавлено несколько новых примеров и в раздел о приложениях, прежде
всего о приложениях к теории игр экономической теории.
Глава 4, как и глава 2, расширена достаточно сильно, добавлено не­
сколько новых примеров приложения динамических игр. В разделе о
приложениях динамических игр есть теперь несколько приложений из
экономической теории.
Главы 5 и 6 — главы об аукционах и торге из первого издания. В главе 5
появился новый раздел об эквивалентности доходов. Глава 6 в основ­
ном повторяет главу о торге из первого издания, хотя мы перенесли
материал о торге при неполной информации в главу 8.
Глава 7 «Повторяющиеся игры» в первом издании отсутствовала.
Глава 8 «Секвенциальная рациональность» основана на материале гла­
вы 5 первого издания. В ней появились два новых раздела: «Совершен­
ное байесовское равновесие» и «Сигналинговые игры». Она включает
также скорректированный материал о торге при неполной информации,
а также несколько новых примеров в разделе «Приложения».
Последняя, девятая глава — новая и ориентируется на литературу о
существовании разных типов равновесий, рассмотренных в предыдущих
главах. Материал этой главы — важная часть основы теории игр. Она
дает возможность понять, как выводятся и конструируются различные
равновесные точки.
12

ПРЕДИСЛОВИЕ

В то время как первое издание книги ориентируется на то, чтобы дать
возможность достаточно подготовленному студенту серьезно изучить
сочетание теории принятия решений и теории игр на основе диффе­
ренциального исчисления как основного инструмента анализа, второе
издание приближается скорее к достаточно обстоятельному учебному
пособию по теории игр. Мы полагаем, что материал книги окажется
полезным даже для достаточно подготовленных студентов.
• Второе издание теперь покрывает большую часть стандартного мате­
риала по теории игр, включая повторяющиеся игры и игры с несовер­
шенной и неполной информацией. Оно также содержит достаточно
строгое изложение фундаментальных результатов относительно су­
ществования.
И хотя книга включает ббльшую часть проблематики теории игр, в ней
рассмотрены не все вопросы. Так, хотя материал и включает некоторые уси­
ления концепции равновесия по Нэшу, он, тем не менее, не покрывает эту
проблематику теории игр исчерпывающим образом. В результате остались не
освещенными понятия, подобные совершенному равновесию дрожащей руки
и собственному равновесию, хотя вполне можно утверждать, что они являются
и полезными, и интересными. Не представлен и материал по эволюционной
теории игр. При выборе материала мы отдавали предпочтение наиболее по­
лезным и значимым понятиям, имеющим широкое приложение.
В целом книга является попыткой представить достаточно проница­
тельным читателям теорию игр и теорию принятия решений в сочетании,
насколько это возможно, с их приложениями к экономике и другим дисцип­
линам. Следовательно, при каждом удобном случае мы добавляли раздел о
приложениях, который иллюстрирует использование теории. Мы старались
представить понятия теории в достаточно строгом виде, но в то же время
привести примеры использования теории при анализе важных основных
проблем в экономике и других дисциплинах.
Наконец, мы хотели бы высказать благодарность всем тем, кто обсуждал и
рецензировал текст, и особенно д-ру Эфе Оку из Университета Нью-Йорка,
д-ру Катри Сиберг из Университета Бирмингема и д-ру Кларку Робертсону
из Северо-Западного университета.
•

Глава 1

ВЫБОР

Индивиды и группы часто должны принимать решения в
многочисленных и различных ситуациях. Как индивиды, мы должны прини­
мать решения о том, как распределить наш доход. Фирма должна принимать
решения относительно действий, которые ей необходимо предпринять для
того, чтобы эффективно конкурировать на рынке. Правительствам нужно
принимать решения относительно их внешней политики, внутренней поли­
тики, фискальной и денежной политики. Студентам нужно выбирать курсы
в каждом семестре. Многообразие ситуаций, в которых индивиды должны
принимать решения, действительно очень впечатляет.
Столкнувшись с необходимостью принять решение, мы всегда пытаемся
понять, какое решение было бы наилучшим. Зачастую мы тратим огромное
количество времени и энергии, прилагая отчаянные усилия, чтобы решить,
что же делать. В одних и тех же условиях различные индивиды могут делать
совершенно разный выбор. Кто из них прав? Принял ли один индивид хоро­
шее решение, а другой — плохое? Очевидно, что ответы на данные вопросы
зависят от критерия, который используется для оценки решений. Как хорошо
известно, индивиды преследуют различные цели и имеют разные интересы,
которые могут влиять на принимаемые ими решения.
Задача принятия решения обычно содержит поставленную цель и мно­
жество альтернативных выборов для ее достижения. Следовательно, задача
принятия решения, или оптимизационная задача, имеет целевую функцию
(желаемую цель) и допустимое множество, или множество выбора (множество
альтернативных выборов). Тогда вопрос состоит в том, какой выбор окажется
лучшим для достижения заданной цели.
В этой главе мы обрисуем некоторые основные принципы математической
теории оптимизации. Мы стремимся не засыпать вас техническими деталями,
а представить некоторые наиболее важные результаты в этой области. Мы
также продемонстрируем, как методы оптимизации могут быть использованы
не только для принятия правильных решений, но и, что более важно, для
того, чтобы показать, как формулировать и моделировать задачи принятия
решений.

1.1. Функции
Функция — основное понятие в математике. Понятие функ­
ции существенно для изучения как самой математики, так и ее приложений.
Здесь оно также будет иметь фундаментальное значение.
В дифференциальном исчислении обычно полагают, что функция — это
«формула» у - f(x), которая устанавливает отношение между двумя перемен14

ГЛАВА 1. ВЫБОР

ными х и у. Переменная х называется независимой переменной, а у — зависимой
переменной. Например,
у = х2, у = л/х-2, у = -Y + '
х —1

являются функциями. Множество всех значений переменной х, для которых
формула/(х) имеет «алгебраический смысл», называется областью определе­
ния функции. Например, область определения функции у = х2 — множество R
всех вещественных чисел1, а область определения /(х) = Vx- 2 состоит из
всех вещественных чисел, для которых х - 2 > 0 , т.е. [2;
.
Понятие функции является намного более широким, чем было показано
выше, и оно тесно связано с понятием множества. Вспомним, что множество
может быть интуитивно определено как набор объектов (или элементов),
рассматриваемых как единое целое; как это принято, будем обозначать мно­
жества прописными буквами. Функция /обычно определяется как «правило»,
по которому каждому элементу х из множества X ставится в соответствие
единственный элементу = /(х) из множества Y. Элементхназывается входом,
а элемент/(х) — выходом. Схематично функцию/обозначают как /: X
Y,
и ее геометрическая иллюстрация приведена на рис. 1.1. Множество Xтеперь
называется областью определения функции. В случае если Y- А,/называется
функцией вещественной переменной.
Вот некоторые примеры функций.
• Определим функцию вещественной переменной /: /? —> R с помощью
формулы /(х) = Зх. Таким образом, правило/информирует нас о том,
что если х — вещественное число, то для нахождения выхода/(х) нужно
умножить х на 3. Например,/(2) = 6, /(-3) = -9и /(0) = 0.
• Пусть X обозначает собрание книг в вашей библиотеке, N = {1,2,3...}
(множество натуральных чисел). Определим функцию / :Х —> N по
правилу: /(х) = число страниц в книге х. Например, если книга b со­
держит 235 страниц, значит, /(Ь) = 235.
• Пусть А обозначает собрание всех машин в вашем городе, а В — мно­
жество всевозможных цветов. Тогда можно рассмотреть функцию с,
которая присваивает каждой машине какой-то цвет. То есть с: А -> В —
правило, которое выбранной машине х ставит в соответствие ее цвет
с(х). Если машина а желтого цвета, следовательно, с(а) = желтый, и
если х — красная машина, то с(х) = красный.
1 Всюду в этой книге символ R обозначает множество всех вещественных чисел.
15

ИГРЫ И ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ

Пусть множество В — множество всех птиц в лесу, а Т — множество
всех деревьев в том же лесу. Можно определить функцию f .В —>Т
по правилу: если b — птица, то f (b) — дерево, на котором находится
ее гнездо.
• Предположим, что Р обозначает множество всех людей, живущих в
США, и пусть С — совокупность всех представителей конгресса США.
Определим функцию f: Р -^С так, что f (а) — представитель конгресса
того района, где проживает индивид а.
Предлагаем читателю подумать над примерами других функций из по­
вседневной жизни.
•

Упражнения

X 4* 1
1. Найти область определения функции f(x) = ~—। •
2. Рассмотрим множество Р всех индивидов, проживающих в настоящее
время в вашем городе. Определите, какие из нижеперечисленных пра­
вил являются функциями.
(а) Для каждого человека х его отец — fix).
(b) Для каждого человека х его сын — g(x).
(с) Для каждого человека х его рост — h(x).
(d) Для каждого человека х его вес — w(x).
3. Пусть А — множество всех почтовых адресов в вашем городе и I — со­
вокупность всех отправлений в заданный день в почтовом отделении
города, которые должны быть доставлены адресатам. Для каждого
отправления i пусть

f (z) = почтовый адрес,
по которому оно должно быть доставлено.
Определяет ли это правило функцию на множестве I со значениями
во множестве А (из I в А)?
4. Рассмотрим множество натуральных чисел X = {1789,1790,1791,..., 2008}
и множество Рвсех президентов США. Определим функцию f :Х -> Р
по правилу:

f (х) = президент США на первое декабря года х.

Например, f (1826) = Дж.К. Адамс, f (1863) = А. Линкольн, /(1962) =
= Дж.Ф. Кеннеди,/(1971) = Р.М. Никсон. Каковы значения функции
/(1789),/(1900),/(1947),/(1988),/(1996),/(2004) и/(2008)?
5. Пусть X и Р — множества, определенные в предыдущем упражнении.
Для каждого года х из X положим
/ (х) = президент США на 22 ноября года х.
Определяет ли это правило функцию из X в Р?
6. Пусть В обозначает собрание книг в вашей библиотеке, и пусть для
каждой книги х/(х) будет автором этой книги х. Является ли предло­
женное правило функцией? Если не является, каким образом можно
модифицировать его, чтобы оно стало функцией?
16

ГЛАВА 1. ВЫБОР

1.2. Оптимизационные задачи
Не будет преувеличением сказать, что каждый раз, принимая
решение, мы сталкиваемся с задачей оптимизации. Когда мы идем в магазин,
например «Волмарт» (Wallmart), у нас имеется список вещей, которые хотели
бы купить. Но каковы бы ни были наши намерения, приходится сталкиваться
с выбором. Следует ли приобрести самый дешевый бренд? Или лучше выбрать
бренд подороже, но более высокого качества? Или вопрос может состоять в
том, нужны ли нам еще брюки или же взять еще одну юбку? Собираясь купить
дом, семья должна решить, нужен ли ей большой дом или дом поменьше, но
в нужном месте. Каждый год федеральное правительство должно утверждать
бюджет после принятия решения о том, какое финансирование получит каждая
программа. В экономике центральным моментом теории потребления является
выбор, который делает потребитель. В теории фирмы фирма решает, каким
образом максимизировать прибыль и минимизировать издержки.
Все эти задачи с принятием решений имеют общую характерную черту.
Существует множество альтернатив Q, из которых нужно выбирать. Если
индивиду, зашедшему в «Волмарт», нужно купить брюки, у него может быть
более десятка альтернатив. В случае семьи, приобретающей дом в заданном
диапазоне цен (т.е. при данном бюджете), может быть доступно много раз­
личных вариантов домов, расположенных в самых разных местах. Тогда эти
варианты определяют множество Q альтернатив для семьи. Как мы вскоре
увидим, у потребителя в теории потребления есть множество выбора, как и
у фирмы в теории фирмы.
Еще одна общая характеристика всех решений состоит в том, что лицу,
принимающему решение, необходимо выработать некоторый критерий выбо­
ра из альтернатив. Другими словами, лицо, принимающее решение, должно
иметь некоторое «ранжирование» различных альтернатив из множества вы­
бора. Эти «ранжирование» представляется вещественнозначной функцией
f: Q -> R , причем более высокое значение, приписываемое альтернативе этой
функцией, означает, что она имеет более высокий «ранг», чем альтернатива
с более низким значением.
Понятия множества и функции, представленные в предыдущем разделе,
являются основными инструментами для описания оптимизационных задач.
В абстрактной форме оптимизационная задача состоит из множества Q (кото­
рое называется множеством выбора или допустимым множеством1) и функции
f
R (которая называется целевой функцией). Цель при этом — выбор
такой альтернативы из множества Q, которая максимизирует или миними­
зирует значение целевой функции f То есть лицо, принимающее решение,
решает одну из задач:
(1) максимизироватьf (со) при условии coeQ;
(2) минимизировать f (со) при условии со е Q.
1 Множество выбора также называют множеством ограничений, достижимым множеством
или даже множеством альтернатив.
17

ИГРЫ И ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ

Поскольку минимизация f (со) при условии со е Q эквивалентна макси­
мизации —f (со) при условии со g Q (объясните, почему), то обе задачи могут
быть объединены в следующую общую оптимизационную задачу1:
Оптимизационная задача
Максимум f (со)
при условии со е Q

Любой выбор со
* е Q, на котором достигается максимум целевой функции f
)
*
(т.е./(со
>/(со) для всех со е Q), называется точкой максимума (или точкой
оптимума) / на множестве выбора Q.
Проиллюстрируем идею оптимизационной задачи на некоторых общих
примерах.
Пример 1.1. Предположим, что потребитель зашел на рынок, чтобы ку­
пить яблок и апельсинов, затратив при этом не более 12 долл. Яблоки стоят
1 долл, за фунт, а апельсины 2 долл, за фунт.
Потребитель не только хочет приобрести наибольший возможный «набор»
яблок и апельсинов, но и получить наибольшее возможное «удовлетворение».
На практике удовлетворение (или вкус) потребителя выражается в терминах
функции, известной как функция полезности. В данном случае будем полагать,
что функция полезности задана в виде м(х,у) = ху.
Пара (х,у) представляет возможный «набор» яблок и апельсинов, который
потребитель может купить. Поскольку w(2,3) = 6 > 4 = z/(4,1), то он предпочтет
набор (2,3) (2 фунта яблок и 3 фунта апельсинов) набору (4,1) (4 фунта яблок
и 1 фунт апельсинов).
Стоимость (в долларах) набора (х,у) — это просто число х + 2у. Огра­
ничение в 12 долл., таким образом, говорит нам, что допустимые наборы
должны удовлетворять условию х + 2у0, у>0 и х + 2у-12, или %е(-12,0°).

■

Пример 1.3. Экспериментальные данные позволяют предположить, что
концентрация наркотика в крови человека (измеренная в миллиграммах на
литр) через t часов после инъекции описывается уравнением

Когда наблюдается максимальная концентрация?
То есть через сколько часов после инъекции концентрация наркотика
максимальна? В терминах теории оптимизации требуется решить следующую
задачу: максимум С(/) при условии г>0. ■
Пример 1.4. Предположим, что цена бушеля пшеницы составляет 4 долл.,
а цена удобрения за фунт — 0,25 долл. Фермер подметил, что при исполь­
зовании п фунтов удобрения на акр он получает Vn + ЗО бушелей пшеницы
на акр. Сколько фунтов удобрения на акр посевной площади максимизирует
прибыль фермера?
Из формулы Прибыль = Доход - Издержки видно, что прибыль на акр
составляет
Р(п) =
+ Ш - 0,25л .

Фермер должен максимизировать Р{п) при условии п > 0.
19

■

ИГРЫ И ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ

Пример 1.5. Владелец автосалона ежегодно продает 200 машин. Скла­
дирование одного автомобиля обходится ему в 100 долл, в год. Стоимость
заказа новых автомобилей с завода составляет фиксированную величину в
100 долл, и 80 долл, дополнительно за каждую машину. Сколько раз в год
и какой объем партии следует заказывать, чтобы минимизировать годовые
расходы на создание и хранение запасов!
Чтобы сформулировать соответствующую задачу оптимизации, обозначим
через х объем партии заказа (конечно, х > 0). Тогда количество заказов будет
равным 200/х. Поскольку стоимость заказа партии объемом х составляет
величину 100 + 80х, совокупная стоимость всех заказов будет равна
ллл ол х 200 20 000 1ГПЛП
(100 + 80х) х----- =---------- +16 000 долл.
X
X
С другой стороны, будем предполагать, что из х машин в среднем по­
ловина находится на хранении, так что годовая стоимость складирования
составит 100 х у = 50х долл. Таким образом, совокупные издержки владельца

автосалона за год составят
х
20 000 1 0 . ■
Упражнения
1. По эмпирическим данным компанией был оценен спрос на опреде­
ленный продукт:
D(p) = 120 - 2jp ,

где р — цена продукта в долларах. Сформулируйте оптимизационную
задачу для компании, максимизирующей выручку по цене продукта р.
[Ответ: R(p) = 120р-2р3/2.]
2. Производитель телевизоров определил, что для продажи х телевизоров
цену нужно установить равной

р = 1200-х.
Издержки при производстве х телевизоров составляют

С(х) = 4000 + ЗОх .
Сформулируйте оптимизационную задачу для максимизации прибыли
производителя. [Ответ: Р(х) = -х2 -ь 1170х — 4000 .J
3. Вы заходите в цветочный магазин с 20 долларами в кармане и плани­
руете потратить все деньги на букет из гвоздик и роз. Каждая гвоздика
стоит 1 долл., роза — 3 долл. Пусть ваше удовлетворение описывает­
ся функцией полезности и(х,у) = х2у3 (где х — количество гвоздик,
20

ГЛАВА 1. ВЫБОР

у — количество роз в букете). Решение какой оптимизационной задачи
даст наиболее удовлетворительный для вас букет?
4. Владелец магазина электроники прогнозирует, что будет продавать
каждый год 6000 батарей для калькуляторов. Стоимость каждой ба­
тарейки 0,25 долл. Издержки, связанные с заказом каждой новой
партии батареек, составляют 20 долл. Хранение батарейки в течение
года стоит 0,96 долл. Предположите, что владелец магазина размещает
в год п заказов, так что размер х партии батареек при каждом заказе
равен 6000/л. Сформулируйте соответствующую задачу оптимизации
в терминах размера партии, минимизирующего готовые издержки соб­
ственника магазина. [Ответ: владелец магазина должен минимизировать
,
z-v ч а „о
120 000 ,_ЛЛ ,
функцию издержек С(х) - 0,48х + —-— +1500 .]

1.3. Условия первого и второго порядка
Решение оптимизационной задачи тесно связано со скоро­
стью изменения целевой функции. Скорость изменения функции известна в
математике как производная функции. Производной функции f \
R в
точке с е {а, Ь) называется предел (если он существует)

f (с) = lim
*-»
на £: Ц
£2 когда и(Ц)>и(1Д), которое должно удовлетворять трем вы­
шеперечисленным свойствам. В частности, ожидаемая функция полезности
Еи :£-э R индивида с элементарной функцией и на богатстве, определенная
для каждой лотереи £ = {(w1,/?1),(w2,p2),...,(w„,p„)}правилом
•

£//(£) = £p,zz(w,.),

)
(*

1=1

порождает такое предпочтение.
Напомним теперь, что функция полезности U: £-э R представляет собой
отношение предпочтения > на £, если £, > £2 имеет место тогда и только
тогда, когда {ДЬ^иЩ). Рассмотрим следующий вопрос.
47

ИГРЫ И ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ

•

Каким дополнительным условиям «рациональности» должно удовлетворять
отношение предпочтения, для того чтобы гарантировать существование
представляющей его функции ожидаемой полезности вида (*)?

Для существования представляющей данное отношение предпочтения
ожидаемой функции полезности необходимо выполнение двух дополни­
тельных условий.
(1) Независимость: если
£2 и 0 < р < 1, то для любой лотереи £3 ло­
терея рЦ + (1 - р)Ц не хуже, чем лотерея рЦ + (1 - р)Ц, или
РЦ + С - Р)Ц

Р4 + 0 - Р)Д '•

(2) Непрерывность: для любых трех лотерей Lx, L, и L3 множества
Ц},

{ае[0,1]:аД

{pe[O,IJ: Zg >р£, +(l-p)Z^}
— замкнутые подмножества интервала [0,1].
Следующий пример иллюстрирует аксиому независимости.
Пример 1.21. Рассмотрим лотереи

£, ={(6,1)}, L, ={(3,|}(6,
Лотерею Lx можно трактовать как описывающую ситуацию, когда некто
покупает актив, приносящий гарантированный доход в 6%, и другую лотерею
(Л2), описывающую, что случится при покупке актива, приносящего 3%, 6%
либо 10% с вероятностями по 1/3. Рассмотрим теперь третью лотерею,

=

4/)’(5>4’У(б>4’■

Составная лотерея pLl+(l- р)Ц имеет вид

VM54(i

-4(6’^к'°4(1 -rt)} ■

1 Лотерея pL, + (1 - p)L2 называется составной лотереей и определяется так: если две
лотереи £, и £2 имеют одно и то же множество альтернатив, скажем,

Li={(wl,pl):i = l,...,n} и £2 = {(и',.,р,
то любая вероятность р (т.е. 0 < р < 1) порождает (составную) новую лотерею

рЦ + (1 - Р)К> = {(/w, + (1 - p)wi, рр, + (1 - р)р'д: i = 1„.., п}.
Если Lx и L, имеют неодинаковые множества альтернатив, то можно рассмотреть
объединение А всех возможных альтернатив обеих лотерей и считать, что
и £2 имеют
одно и то же множество альтернатив А. Заметим, однако, что при этом альтернативы из L,,
которые не содержатся в £р имеют нулевую вероятность в лотерее L,, а альтернативы
из £и не попавшие в £2, имеют нулевую вероятность в £2. Таким образом, для любой
вероятности р лотерея pLt + (1 - p)L2 корректно определена.
48

ГЛАВА 1. ВЫБОР

В свою очередь, составная лотерея рЦ + (1 - р)Ц имеет вид

Предположим, что индивид предпочитает лотерею Ь2 лотерее Lx, тогда, по
аксиоме независимости, индивид должен предпочитать составную лотерею
pl^+tt- р)Ц составной лотерее рЦ+(\- р)!^ при любом 0 pu(wt) + (1 - p)u(w2) = Eu(E).
Таким образом, индивид предпочтет фиксированное количество w игре
(лотерее) с ожидаемым выигрышем pw{ + (1 - p)w2. Этот вывод иллюстрирует
экономическое понятие строгого неприятия риска.
Обратная ситуация имеет место для индивидов с положительным отно­
шением к риску. Если предоставлены два предложения, то условие строгой
выпуклости означает, что

u(w) = u(pw} + (1 - p)w2) < pu(wt) + (1 - p)u(w2) = Eu(L),

следовательно, индивид предпочтет игру, а не получение фиксированной
суммы денег (см. рис. 1.10, б.)
Рассмотрим пример, который иллюстрирует теорему об ожидаемой по­
лезности.

Пример 1.26. Предположим, что индивиду было предложено поучаствовать
в двух играх. В одной из них, лотерее Ц, требуется заплатить 100 долл., после
чего он сможет выиграть либо 500 долл., либо 100 долл, с вероятностью 1/2.
Пусть функция полезности Неймана — Моргенштерна на богатстве для дан­
ного индивида имеет вид u(w) = 4w (следовательно, индивид — рискофоб).
Тогда ожидаемая полезность от первой игры равна

Еи(Ц) = 1>/500-100 +1V100-100 = 1>/400 = у = Ю .

51

ИГРЫ И ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ

Во второй игре, лотерее £2, также нужно заплатить 100 долл., далее он
сможет выиграть либо 325 долл., либо 136 долл, с вероятностью 1/2.
Полезность от второй игры будет равна

£w(4) = yV325-100 +1V136-100 = y>/225 +1736 = 1(15 + 6) = 10,5 .
Таким образом, индивид предпочтет участвовать во второй игре, хотя в
первой можно выиграть несколько ббльшую сумму.
Если же предложить поучаствовать в этих играх индивиду с функцией
полезности на богатстве w(w) = w (т.е. нейтральному к риску), то, поскольку
ожидаемая полезность от первой игры равна

£«(1^ = 1(500-100) = 200,

а ожидаемая полезность от участия во второй игре равна
Еи^ ) = 1 (325 -100) +1 (136 -100) = 1(225 + 36) = 130,5 ,
второй индивид, в отличие от первого, предпочтет участвовать в первой
игре. ■
Разница в ожидаемой полезности для двух индивидов возникает, конечно
же, в силу различий их функций полезности u(w) на богатстве. Функция
полезности на богатстве нейтрального к риску индивида такова, что ожи­
даемые полезности ранжируются точно так же, как и ожидаемые значения;
и чем больше ожидаемое значение, тем больше ожидаемая полезность. Это
происходит потому, что функция полезности на богатстве нейтрального к
риску индивида является линейной по богатству. С другой стороны, функция
полезности на богатстве индивида с неприятием риска вогнута по богатству,
в результате чего ожидаемая полезность индивида с неприятием риска всегда
больше от определенного (гарантированного) богатства w, т.е. богатства, ко­
торое он получает с вероятностью 1, чем от лотереи с ожидаемым богатством
w, в которой есть вероятность получения чего-то меньшего, чем w. Это, как
мы знаем, делает лотерею рискованной и отражается на выборе индивида с
неприятием риска.
Достаточно часто ожидаемый доход в лотерее L описывается непрерывным
распределением «дохода» с функцией плотности /(г) на норме доходности г.
В этом случае, если индивид, имеющий функцию полезности на богатстве
m(w), инвестирует Wдолл, в лотерею, то ожидаемая полезность для него от
такой лотереи выражается формулой
Eu(L)= j«((l + r)W)f(r) dr.
-1

Заметим, что f (г) определена на интервале [-1,°°), где г = -1 является тем
значением доходности, при котором богатство индивида обращается в нуль.
52

ГЛАВА 1. ВЫБОР

1.6.2. Приложение теоремы
об ожидаемой полезности

В этом подразделе мы представим несколько приложений
теоремы об ожидаемой полезности.

Пример 1.27 (приложение к страхованию). Предположим, что индивид
владеет домом стоимостью И7 долл. Существует некоторая вероятность р того,
что дом будет разрушен в результате пожара или наводнения. Предположим
также, что индивид может приобрести страховку — право, при наступлении
страхового случая, на возмещение (покрытие) ущерба в размере (каждого)
доллара по цене х долларов. Здесь х является страховой премией. На по­
крытие какой величины возможного ущерба (или просто, на какую сумму)
застрахуется индивид?
В общем случае индивид будет страховаться в соответствии со своим от­
ношением к риску (т.е. в соответствии со своей функцией полезности n(w))
и стоимостью страхования (ценой страховки). Мы ожидаем, что индивид
выберет оптимальный размер страховки.
Формально мы представляем этот выбор индивида как выбор, максими­
зирующий ожидаемую полезность от его (случайного) богатства. В основе
его выбора лежит теорема об ожидаемой полезности. Таким образом, размер
страховки (размер покрытия ущерба) q, который будет выбран индивидом,
должен максимизировать его ожидаемую полезность:

E(q) = Eu(q) = pu(q - xq) + (1 - p)u(W - xq).

(*)

Формула объясняется следующим образом. Если дом будет разрушен, то
владелец получит возмещение (части) ущерба в размере q за вычетом своего
страхового взноса xq, в целом сумму в q - xq долларов. Поскольку вероятность
от величины богатства в случае разрушения дома равна р, то ожидаемая по­
лезность богатства в случае разрушения дома составляет величину pu(q - xq).
С другой стороны, с вероятностью 1 - р дом останется целым, и ожидаемая
полезность в таком случае окажется равной (1 - p)u(W - xq).
Заметим, что функция и не определена для отрицательных значений
W
богатства, поэтому из (*) следует, что W - xq > 0 , или q < — . Выполнение
этого неравенства гарантирует, что областью определения функции E{q) в

Г

данном случае является замкнутый интервал 0,— .
Теперь предположим, что W- 100 000 долл., р = 0,01 и х = 0,02. Как мы
сейчас увидим, метод оптимизации E(q) зависит от типа индивида. Проана­
лизируем ситуацию отдельно для каждого из трех случаев.

Случай I. Индивид является рискофобом с функцией полезности u(w) - 4w .
53

ИГРЫ И ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ

В данном случае из (*)

следует, что

Е(^) = pj(l-x)q + (1 - p)J(W - xq) =
= 0,01 х >/0,98g + 0,99 х /IK-0,02g -

= 0,01[>/0,98g + 99 х ■7(ИЛ-0,02g)].

График функции E(q) показан на рис. 1.11. Вычислим теперь производ­
ную этой функции:
E'(q) =0,01

0,98
2>/0,98g

99x0,02

1,98
J(W-0,Q2q)

2-7(И/-0,02g)

Приравнивая ее нулю, E\q) - 0 , получим следующее уравнение относи0,98
1,98
тельно q:
. Возведя обе части этого уравнения в квадQ
yl(W-0,02q)
0,98 _ (1,98)2
рат, получим, что
или 0,98(ГК — 0,02g) = 3,9204g . Теперь,
q
IT-0,02g
положив W- 100 000, получим 98 000-0,019g = 3,9204g или 3,94g = 98 000.
..
98 000
Или g = ' з ^4 = 24873,10 долл.

Случай II. Индивид является рискофилом с функцией полезности u(w) = w2.
Вычислим ожидаемую полезность из (*):

Е(д) = 0,01 (0,98д)2 + 0,99(

- 0,02д)2 =

= 0,01[0,9604д2 + 99(1К2 -0,041Гд + 0,0004д2)] = 0,01(д2 - 3,96И4? + 991F2).

График этой функции представлен на рис. 1.11. Заметим, что д = 0 явля­
ется точкой максимума E(q), откуда получаем, что агент-рискофил не будет
покупать страховку.
Случай III. Индивид нейтрален к риску и имеет функцию полезности
u(w) = w.

Рис. 1.11. Индивид с неприятием риска (а); индивид с положительным отношением к

риску (б); нейтральный к риску индивид (в)
54

ГЛАВА 1. ВЫБОР

Ожидаемая полезность здесь имеет вид
£(