КулЛиб - Классная библиотека! Скачать книги бесплатно
Всего книг - 706150 томов
Объем библиотеки - 1347 Гб.
Всего авторов - 272776
Пользователей - 124656

Последние комментарии

Новое на форуме

Новое в блогах

Впечатления

a3flex про Невзоров: Искусство оскорблять (Публицистика)

Да, тварь редкостная.

Рейтинг: 0 ( 1 за, 1 против).
DXBCKT про Гончарова: Крылья Руси (Героическая фантастика)

Обычно я стараюсь никогда не «копировать» одних впечатлений сразу о нескольких томах, однако в отношении части четвертой (и пятой) это похоже единственно правильное решение))

По сути — что четвертая, что пятая часть, это некий «финал пьесы», в котором слелись как многочисленные дворцовые интриги (тайны, заговоры, перевороты и пр), так и вся «геополитика» в целом...

В остальном же — единственная возможная претензия (субъективная

  подробнее ...

Рейтинг: 0 ( 0 за, 0 против).
medicus про Федотов: Ну, привет, медведь! (Попаданцы)

По аннотации сложилось впечатление, что это очередная писанина про аристократа, написанная рукой дегенерата.

cit anno: "...офигевшая в край родня [...] не будь я барон Буровин!".

Барон. "Офигевшая" родня. Не охамевшая, не обнаглевшая, не осмелевшая, не распустившаяся... Они же там, поди, имения, фабрики и миллионы делят, а не полторашку "Жигулёвского" на кухне "хрущёвки". Но хочется, хочется глянуть внутрь, вдруг всё не так плохо.

Итак: главный

  подробнее ...

Рейтинг: 0 ( 0 за, 0 против).
Dima1988 про Турчинов: Казка про Добромола (Юмористическая проза)

А продовження буде ?

Рейтинг: -1 ( 0 за, 1 против).
Colourban про Невзоров: Искусство оскорблять (Публицистика)

Автор просто восхитительная гнида. Даже слушая перлы Валерии Ильиничны Новодворской я такой мерзости и представить не мог. И дело, естественно, не в том, как автор определяет Путина, это личное мнение автора, на которое он, безусловно, имеет право. Дело в том, какие миазмы автор выдаёт о своей родине, то есть стране, где он родился, вырос, получил образование и благополучно прожил всё своё сытое, но, как вдруг выясняется, абсолютно

  подробнее ...

Рейтинг: +2 ( 3 за, 1 против).

Алгебра. 7 класс. Учебник для общеобразовательных организаций (углубленный уровень). В 2 частях. Часть 1 [Александр Григорьевич Мордкович] (pdf) читать онлайн

Книга в формате pdf! Изображения и текст могут не отображаться!


 [Настройки текста]  [Cбросить фильтры]

УЧЕБНИК
для общеобразовательных
организаций
(углублённый уровень)

Рекомендовано
Министерством просвещения
Российской Федерации
13-е издание, стереотипное

Москва 2021

£

УДК 373.167.1:512
ББК 22.141я721
М79
На учебник получены положительные заключения по результатам трёх экспертиз:
научной (Российская академия наук, № 004946 от 19.12.2016),
педагогической (Российская академия наук, № 005053 от 19.12.2016)
и общественной (РШБА, № ОЭ/16-О301 от 26.12.2016)

М79

Мордкович А. Г.
Алгебра. 7 класс. Учебник для общеобразовательных
организаций (углублённый уровень). В 2 ч. Ч. 1 / А. Г. Морд­
кович, Н. П. Николаев. — 13-е изд., стер.— М. : Мнемозина,
2021. — 232 с. : ил.
ISBN 978-5-346-04686-8
Учебник написан в соответствии с ФГОС ООО, реализует авторскую
концепцию, в которой приоритетной содержательно-методической основой
является функционально-графическая линия, а идейным стержнем кур­
са — математический язы к и математическая модель, с помощью которых
строится описание реальных ситуаций окруж аю щ ей действительности.
В учебнике реализованы принципы проблемного, развивающего и опережаю­
щего обучения.
Подбор и последовательность учебного материала позволяют изучать
предмет как на базовом, так и на углублённом уровне в соответствии с При­
мерной основной общеобразовательной программой.
Электронная форма учебника содержит соответствующий мультиме­
дийный материал и тесты для самопроверки.
Первая часть учебника содержит теоретический материал, написанный
понятным языком, доступным для всех учащихся.

УДК 373.167.1:512
ББК 22.141я721

Учебное издание

Мордкович Александр Григорьевич, Николаев Николай Петрович
АЛГЕБРА
7 класс
УЧЕБНИК
дл я общ еобразовательных организаций
(углублённый уровень)
В двух частях

Часть 1
Формат70x90

Бумагаофсетная№ 1. Гарнитура «Школьная».
Печать офсетная. Уел. печ. л. 16,97.
Тираж 20000 экэ. (1-й завод — 1—6000 экз.). Заказ № 10477.
Издательство «Мнемозина».
111033, Москва, ул. Волочаевская, 40г. Тел.: 8 (499) 367 5418, 367 6781.
E-mail: ioc@mnemozina.ru
www.mnemozina.ru
ИНТЕРНЕТ-магаэин.
Тел.: 8 (495) 783 8284. www.shop.mnemozina.ru
Отпечатано в АО «Первая Образцовая типография»,
филиал «Ульяновский Дом Печати».
432980, Россия, г. Ульяновск, ул. Гончарова, 14.

ISBN 976-5-346-04685-1 (общ.)
ISBN 976-5-346-04666-8 (ч. 1)

1/ \ й .

©
©
©
©

«Мнемозина», 1997
«М немозина»,2017, с изменениями
«Мнемозина»,2021
Оформление. «Мнемозина», 2021
Все права защищены

ПРЕДИСЛОВИЕ
Дорогие семиклассники! Первые шесть классов позади. Вы при­
ступаете к следующему этапу своего обучения в школе. От его ито­
гов в большой степени зависит ваш дальнейший жизненный путь.
Теперь у вас появятся экзамены, новые уроки. Относится это и к ма­
тематике, которая будет состоять из двух предметов: алгебры и гео­
метрии.
Практически всё, что окружает нас в повседневной жизни (дома
и дороги, машины и механизмы, компьютеры, мобильные телефо­
ны и многое другое), в процессе своего создания было тем или иным
образом сконструировано, спланировано, рассчитано. Все эти объ­
екты, процессы и операции с ними связаны с математикой. Толь­
ко высокий уровень овладения математикой может гарантировать
безошибочность вычислений, точность прогнозов, надёжность схем,
устойчивость конструкций, действенность алгоритмов. Математи­
ка является одним из базовых методов познания действительности,
позволяющим описывать и изучать реальные процессы и явления.
Современная цивилизация давно и прочно основана именно на та­
ком положении дел. Ещё в начале ХУП в. знаменитый итальянский
учёный Галилео Галилей писал: «Великая книга Природы написана
языком математики». А вот современная цитата: «Математика —
фундаментальная наука, предоставляющая (общие) языковые сред­
ства другим наукам; она выявляет их структурную взаимосвязь и
способствует нахождению самых общих законов природы». Важна
математика и с гуманитарной точки зрения. В любом обсуждении,
споре, дискуссии, речи, докладе, статье, книге мы что-то доказы­
ваем, приводим аргументы и опровержения, различаем истинное и
ложное, стремимся к логичности утверждений, стараемся верно по­
нять позицию возможного оппонента. Математика как часть обще­
мировой культуры в самой существенной степени развивает способ­
ности к этим видам деятельности человека.
Вы начинаете изучать алгебру. Алгебра — основа математики
как языка для построения математических моделей процессов и яв­
лений реального мира. Математический язык — это формулы, гра­
фики, таблицы, алгоритмы, схемы рассуждений, формулировки
определений и теорем. Особенность математического языка состоит в
том, что с его помощью, используя минимум слов, можно выразить
максимум содержания. Культурному человеку в наше стремительное
время это жизненно необходимо.
В задачи изучения алгебры входят также развитие алгорит­
мического мышления, необходимого, в частности, для усвоения кур­
са информатики, развитие умений извлекать информацию, анализи­
ровать массивы данных.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебник для изучения курса алгебры в 7-м классе состоит из
двух книг: первая часть содержит теоретический материал, а вторая
часть — практический. Сейчас вы держите в руках первую часть
учебника. Структурно он состоит из 8 глав, в каждой главе есть па­
раграфы, часть которых разбита на пункты. В конце каждого па­
раграфа приведены вопросы для самопроверки. Закончив изучение
параграфа, прочитайте вопросы для самопроверки и попробуйте отве­
тить на них. Если возникнут затруднения, всегда можно в соответст­
вующем параграфе учебника найти ответы на все вопросы.
К аж дая глава заканчивается разделом «Основные результаты».
Это своеобразное подведение итогов, что для успешности процесса
обучения очень важно. Кроме того, в конце каждой главы даны при­
мерные темы исследовательских работ, которые позволят вам рас­
ширить знания по математике и создать свой ученический проект.
Оглавление и предметный указатель, помещённые в конце
книги, помогут вам быстро найти нужный раздел, определение того
или иного понятия или теорему. Для облегчения навигации текст
снабжён пиктограммами.
Ж елаем вам успехов!

Авторы

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Решение примера согласно предложенному
ранее алгоритму

Ключевое место в рассуждении

Новые понятия и термины

Обратите внимание!
Текст для вдумчивого чтения!

5

f
ГЛАВА

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ЯЗЫК.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
МОДЕЛЬ
§ 1.
§ 2.
§ 3.
§ 4.
§ 5.

Числовые и алгебраические вы раж ения
Ч т о т а к о е м а т е м а т и ч е с к и й язы к
Ч т о т а к о е м а т е м а т и ч е с к а я модель
Линейное уравнение с одной переменной
Задачи на составл ен и е линейных
уравнений с одной переменной
ЧИСЛОВЫЕ
§ 6. К о о р дИи нАЛГЕБРАИЧЕСКИЕ
атн а я п р ям ая
§
7. Д анны е и р яд ы данных
ВЫРАЖЕНИЯ

Числовые выражения
В младших классах вы учились оперировать с целыми и дробными
числами, решали уравнения, знакомились с геометрическими фигу­
рами, с координатной прямой и координатной плоскостью. Всё это
составляло содержание одного школьного предмета «Математика».
В действительности такая важная область науки, как математика,
подразделяется на огромное число самостоятельных дисциплин: ал­
гебру, геометрию, теорию вероятностей, математический анализ, ма­
тематическую логику, математическую статистику, теорию игр
и т. д. У каждой дисциплины — свои объекты изучения, свои мето­
ды познания реальной действительности.
Алгебра, к изучению которой мы приступаем, даёт человеку воз­
можность не только выполнять различные вычисления, но и учит
его делать это как можно быстрее, рациональнее. Человек, владею­
щий алгебраическими методами, имеет преимущество перед теми,
кто не владеет этими методами: он быстрее считает, успешнее ориен-

Т п а в ^ Т МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

тируется в жизненных ситуациях, чётче принимает решения, лучше
мыслит. Наша задача — помочь вам овладеть алгебраическими мето­
дами, ваша задача — не противиться обучению, с готовностью следо­
вать за нами, преодолевая возникающие трудности.
На самом деле в младших классах вам уже приоткрыли окно в
волшебный мир алгебры, ведь алгебра в первую очередь изучает чис­
ловые и алгебраические выражения.
Напомним, что числовым выражением называют всякую запись,
составле иную из чисел и знаков арифметических действий (еоставленную, разумеется, со смыслом, например, 3 + 5 - 7 — числовое вы­
ражение, тогда как 3 + : — не числовое выражение, а
числовое
бессмысленный набор символов). По некоторым причи­
выражение
нам (о них мы будем говорить в дальнейшем) часто вме­
сто конкретных чисел употребляются буквы (преимуще­
алгебраическое
выражение
ственно из латинского алфавита), тогда получается алге­
браическое выражение. Эти выражения могут быть очень
громоздкими. Алгебра учит упрощать их, используя разные прави­
ла, законы, свойства, формулы.
П РИ М ЕР 1

Найти значение числового выражения
(2,73 + 4,81 + 3,27 - 2,81) : [д
25 ■37 • 0,4

Реш ение

Сейчас мы вместе с вами кое-что вспомним, и вы увидите,
как много алгебраических фактов вы уже знаете.
Прежде всего нужно выработать план осуществления вычислений.
Для удобства введём следующие обозначения. Числитель данного
дробного выражения обозначим буквой А, а знаменатель — буквой В:
А = (2,73 + 4,81 + 3,27 - 2,81) : ( § “

);

5 = 25 ■37 • 0,4.

В выражении А обозначим делимое буквой С, а делитель — бук­
вой D. Тогда план наших действий будет выглядеть так:
1) найдём значение с выражения С;
2) найдём значение d выражения D\
3) разделив с на d, найдём значение а выражения А;
4) найдём значение Ь выражения В;
5) разделив а на Ь, найдём значение заданного числового выражения.
Итак, план вычислений есть (а наличие плана — половина успе­
ха!), приступим к его реализации.
1) С = 2,73 + 4,81 + 3,27 - 2,81. Конечно, можно считать подряд,
или, как иногда говорят, «в лоб»: 2,73 + 4,81, затем к этому числу

прибавить 3,27, затем вычесть 2,81. Но красивее сделать так, вспом­
нив переместительный и сочетательный законы сложения:
(2,73 + 3,27) + (4,81 - 2,81) = 6 + 2 = 8.
Итак, с = 8.
2) D — ^

Здесь нам придётся вспомнить, как действовать с

обыкновенными дробями. Сначала надо привести дроби к общему
знаменателю. Наименьшим общим кратным чисел 5 и 15 является
2

число 15, оно и будет общим знаменателем. Для дроби - получаем:
2

2-3

5



6

5 = б Г з = 1 5 ' ЗНЗЧИТ’

2 _ 14 = А
5

Итак, d =

15

15

14
15

6 -1 4
15

8

_

"1 5 '

15

3) Разделим с на d:
г5 -

15-

Итак, а = -15.
4) В = 25 • 37 ■ 0,4. Конечно, можно проводить вычисления
«в лоб», т. е. вычислить 25 • 37, затем то, что получится, умножить
на 0,4. Но рациональнее воспользоваться переместительным и соче­
тательным законами умножения:
25 • 37 • 0,4 = (25 • 0,4) • 37 = 10 • 37 = 370.
Итак, Ь = 370.
5) Осталось разделить числитель а на знаменатель Ъ. Получим
=

(разделили числитель и знаменатель дроби на 5, т. е. со­

кратили дробь).
Ответ

А теперь вместе проанализируем, какие сведения из математики
нам пришлось вспомнить в процессе решения примера (причём не
просто вспомнить, но и использовать).
1. Порядок арифметических действий.
2. Переместительный закон сложения: а + b = b + а.
3. Переместительный закон умножения: аЪ = 6а.
4. Сочетательный закон сложения:
а + Ь + с = (а + Ь) + с = а + (Ь + с).

ГЛ А В А 1. М А ТЕ М А ТИ Ч ЕС К И Й ЯЗЫ К. М А Т Е М А Т И Ч ЕС К А Я М О Д ЕЛ Ь

5. Сочетательный закон умножения: abc = (аЪ) ■с — а ■(Ъс).
6. Понятия обыкновенной дроби, десятичной дроби, отрицатель­
ного числа.
7. Арифметические операции с десятичными дробями.
8. Арифметические операции с обыкновенными дробями.
9. Основное свойство обыкновенной дроби: т =
(значение дроо
ос
би не изменится, если её числитель и знаменатель одновременно ум­
ножить на одно и то же число или разделить на одно и то же число,
отличное от нуля). Это свойство позволило нам преобразовать дробь
\ к виду
(числитель и знаменатель дроби f одновременно умно5

15

5

жили на одно и то же число 3). Оно же позволило нам сократить
дробь
(числитель и знаменатель дроби
одновременно раздеo7U

о (U

лили на одно и то же число 5).
10. Правила действий с положительными и отрицательными чис­
лами.
Всё это вы знаете, но ведь всё это — алгебраические факты. Та­
ким образом, некоторое знакомство с алгеброй у вас уже состоялось
в младших классах. Основная трудность, как видно уже из примера 1,
заключается в том, что таких фактов довольно много, причём их
надо не только знать, но и уметь использовать, как говорят, «в нуж­
ное время и в нужном месте». Вот этому и будем учиться.
И последнее, чтобы закончить обсуждение примера 1. То число,
которое получается в результате упрощений числового выражения
О
(в данном примере это было число - — ), называют значением число­
вого выражения.
Алгебраические выражения
Если дано алгебраическое выражение, то можно говорить о значении
алгебраического выражения, но только при конкретных значениях
входящих в него букв. Например, алгебраическое выражение а + Ь
при а = 5, Ъ — 7 имеет значение 12 (поскольку а + Ь =
= 5 + 7 = 12); при а = -16, Ь = -14 оно имеет значение
значение
-3 0 (так как а + Ь = -16 + (-14) = -16 - 14 = -30). Алге­
алгебраического
выражения
браическое выражение а2 - 36 при а = -2 , Ь = 0,4 прини­
мает вид числового выражения (—2)2 - 3 • 0,4; упрощая,
получаем 4 - 1,2 = 2,8 — это и есть значение алгебраического выра­
жения а2 - 3Ь при а = -2 , Ъ = 0,4.
Поскольку буквам, входящим в состав алгебраического выраже­
ния, можно придавать различные числовые значения (т. е. можно
менять значения букв), эти буквы называют переменными.

J ^ - ^ у л о в ы е и а л ге б р аи ч е с к и е в ы р а ж е н и я

ПРИМ ЕР 2

Н айти значение алгебраического выражения
а 2 + 2ab + Ъ2
(а + Ь) (а - Ь )’

если: а) а = 1, Ъ = 2; б) а = 3,7, Ъ = -1 ,7 ; в) а = - , b = - .
5

Реш ение

5

а) Соблюдая порядок действий, последовательно находим:
1) а2 + 2аЬ + Ъ2 = I 2 + 2 ■1 • 2 + 22 = 1 + 4 + 4 = 9;
2) а + Ь = 1 + 2 = 3;
3) а - 6 = 1 - 2 = -1 ;
4) (а + 6) (а - Ь) = 3 ■(-1 ) = -3 ;
5)

а 2 + 2аЬ + Ь2
9
=
= -3.
(а + 6) (а - Ь)
-3

б) Аналогично, соблюдая порядок действий, последовательно на­
ходим:
1) а 2 + 2аЪ + Ъ2 = 3,72 + 2 • 3,7 • (-1 ,7 ) + (-1 ,7 )2 = 13,69 - 12,58 +
+ 2,89 = 4;
2) а + Ь = 3 , 7 + (-1 ,7 ) = 2;
3) а - Ь = 3,7 - (-1 ,7 ) = 5,4;
4) (а + Ь) (а - 6) = 2 • 5,4 = 10,8;
о2 + 2аЬ + ft2
5) (о + Ъ) (а - Ь)

4

4 • 10

10,8

10,8 - 1 0

40
108

10
27

(разделили числитель и знаменатель дроби
на 4, т. е. сократили
10о
дробь).
в) Снова, соблюдая порядок действий, последовательно находим:

+2 | | +

1) а 2 + 2аЬ + 62 =

= А + !8 + _?_ = зб25

25

25

25’

оч

...
3 , 3 _ 6.
2) а + Ь - g + 5 - д>
3) а - Ь =

= 0;

4) (а + &) (а - Ъ) = д

0-0.

А на нуль делить нельзя! Что это значит в данном случае (и в
3
3
других аналогичных случаях)? Это значит, что при а = - , Ъ = - заданное алгебраическое выражение не имеет смысла.

математическим язы к , математическая модель

Используется такая терминология: если при конкретных значе­
ниях букв (переменных) алгебраическое выражение имеет числовое
значение, то указанные значения переменных называют допустимы­
ми; если же при конкретных значениях букв (перемен­
ных) алгебраическое выражение не имеет смысла, то
допустимые,
указанные значения переменных называют недопусти­
недопустимые
мыми. Так, в примере 2 значения а = 1 и Ъ = 2,
значения
переменных

о

а = 3,7и& = -1,7 — допустимые, тогда как значения а = —
иЬ

3

5

— недопустимые (более точно, первые две пары

значений — допустимые, а третья пара значений — недопустимая).
Вообще в примере 2 недопустимыми будут такие значения пере­
менных а, Ь, при которых либо а + Ь = 0, либо а - b = 0. Например,
а = 7, b = -7 или а = 28,3, b = 28,3 — недопустимые пары значений;
в первом случае а + Ъ= 0, а во втором случае а - Ъ = 0. В обоих слу­
чаях знаменатель заданного в этом примере выражения обращается
в нуль, а на нуль, повторим ещё раз, делить нельзя. Теперь, навер­
ное, вы и сами сможете придумать как допустимые пары значений
для переменных а, Ь, так и недопустимые пары значений этих пере­
менных в примере 2. Попробуйте!
Пример 2в) на самом деле мы решали плохо (некультурно), по­
скольку сделали ряд лишних, ненужных вычислений. Надо было
сразу заметить, что при

знаменатель обращается в

нуль, и объявить; выражение не имеет смысла! Но, как говорится,
сразу замечает тот, кто знает, что надо замечать. Этому и учит ал­
гебра.
Если бы мы с вами решали пример 2 позднее, то сделали бы это
лучше. Мы бы смогли преобразовать выражение к более простому
виду а +
~

-

а тогда, согласитесь, гораздо проще было бы и вычисЪ

лять. А вот почему верно равенство

а 2 + 2ab + Ь2
(а + Ь) (а - Ь)

а + Ь
■Ь’

сказать не можем. На этот вопрос ответим позднее (в § 42).

Вопросы для самопроверки
1.
2.
3.
4.
5.
6.

Сформулируйте определение числового выражения.
Что такое значение числового выражения?
Что называется алгебраическим выражением?
Что такое значение алгебраического выражения?
Сформулируйте переместительный закон сложения.
Сформулируйте переместительный закон умножения.

§ 2. Что такое математический язык

7.
8.
9.
10.

Сформулируйте сочетательный закон сложения.
Сформулируйте сочетательный закон умножения.
Сформулируйте основное свойство дроби.
Как вы понимаете фразу: «Заданное алгебраическое выра­
жение не имеет смысла»? Приведите пример такого выра­
жения.
11. Какие значения переменных называются допустимыми?
12. Какие значения переменных называются недопустимыми?

ЧТО ТАКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК
На математическом языке многие утверждения выглядят яснее и
прозрачнее, чем на обычном. Например, на обычном языке говорят:
«От перемены мест слагаемых сумма не меняется». Слыша это, мате­
матик пишет (или говорит):
а + Ъ = Ь + а.

Он переводит высказанное утверждение на математический язык,
в котором используются разные числа, буквы (переменные), знаки
арифметических действий, иные символы. Запись а + Ъ = Ь + а эко­
номна и удобна для применения.
Возьмём другой пример. На обычном языке говорят: «Чтобы сло­
жить две обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями, нужно
сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения». Ма­
тематик осуществляет «синхронный перевод» на свой язык:
а , с_ а+с
Ъ

Ь

Ь '

А вот пример обратного перевода. На математическом языке за­
писан распределительный закон:
а (Ь + с) = ab + ас.
Осуществляя перевод на обычный язык, получим длинное пред­
ложение: «Чтобы умножить число а на сумму чисел Ь и с, можно
число а умножить поочерёдно на каждое слагаемое и полученные
произведения сложить».
Во всяком языке есть письменная и устная речь. Выше мы гово­
рили о письменной речи в математическом языке. А устная речь —
это употребление специальных терминов («слагаемое», «уравнение»,
«неравенство», «график», «координата» и т. п.), а также различные
математические утверждения, выраженные словами.
Чтобы овладеть новым языком, необходимо изучить его буквы,
слоги, слова, предложения, правила, грамматику. Это не самое ве­
сёлое занятие, интереснее сразу начать читать и говорить. Но так

'гл а в а 1."м а те м а ти ч ес к и й

я з ы к . МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

не бывает, придётся набраться терпения и сначала изучить основы.
В результате такого изучения ваши представления о математическом
языке будут постепенно расширяться.

Вопросы дая сам о п р о вер ки
1. Вспомните из курса математики 5—6-го классов правила
действий с обыкновенными дробями. Сформулируйте их на
обычном языке и постарайтесь осуществить перевод этих
правил на математический язык.
2. Запишите на математическом языке: из суммы чисел 3 и 8
вычесть произведение чисел 7 и 12.
3. Запишите на математическом языке: чтобы умножить чис­
ло т на сумму чисел л и ft, надо число т умножить по­
очерёдно на каждое слагаемое и полученные произведения
сложить. О каком законе идёт речь?
4. Запишите на математическом языке: чтобы умножить чис­
ло р на разность чисел д и t, надо число р умножить по­
очерёдно на каждое слагаемое и из первого произведения
вычесть второе. О каком законе идёт речь?

ЧТО ТАКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
МОДЕЛЬ
Понятие о математической модели
Представьте себе такую ситуацию: в школе четыре седьмых класса.
В 7«А» учатся 15 девочек и 13 мальчиков, в 7«Б» — 12 девочек и
12 мальчиков, в 7«В» — 9 девочек и 18 мальчиков, в 7«Г» — 20 де­
вочек и 10 мальчиков. Если нам нужно ответить на вопрос, сколько
учеников в каждом из седьмых классов, то нам 4 раза придётся осу­
ществлять одну и ту же операцию сложения:
в 7«А»
15 + 13 = 28 учеников;
в 7«Б»
12 + 12 = 24 ученика;
в 7«В»
9 + 18 = 27 учеников;
в 7«Г»
20 + 10 = 30 учеников.
Используя математический язык, можно все эти четыре разные
ситуации объединить: в классе учатся а девочек и Ъмальчиков, зна­
чит, всего учеников а + Ь. Такова математическая модель данной
реальной ситуации. Алгебра, в частности, занимается тем, что опи­
сывает различные реальные ситуации на математическом языке в

— —

Что такое математическая модель

^

— м а м

виде математических моделей, а затем имеет дело уже не с реаль­
ными ситуациями, а с этими моделями, используя разные правила,
свойства, законы, выработанные в алгебре.
В следующей таблице приведены различные реальные ситу­
ации и их математические модели; при этом а — число девочек
в классе, b
число мальчиков в том же классе.
.V

г— —------— -------------------- ------Реальная ситуация

1

В классе девочек и мальчиков
поровну (как в 7 «Б»)

2

Девочек на 2 больше,
чем м альчиков (как в 7«А»)

3

4

5

Девочек на 9 меньше,
чем м альчиков (как в 7 «В»)

Математическая модель
а = b

или
или

а - Ь = 2
а = Ъ+ 2
а - 2 = Ь

или
или

Ъ- а = 9
Ъ= а + 9
а = Ъ - 9

Девочек в 2 раза больше,
чем м альчиков (как в 7 «Г»)

а = 2Ь или Ъ = —
2

Девочек в 2 раза меньше,
чем м альчиков (как в 7«В»)

а

или
6

7

Ь

2

Ь = 2а

Если в данны й класс придут
ещё одна девочка и три
м альчи ка, то девочек и
м альчиков станет поровну (как
в 7«А»)

а. 4- 1 = b + 3

Если из класса уйдут три
девочки, то мальчиков станет
в 3 р аза больше (как в 7 «В»)

Ь = 3 (а - 3)

Составляя эту таблицу, мы шли от реальной ситуации к её мате­
матической модели. Но надо уметь двигаться и в обратном направ­
лении, т. е. по заданной математической модели описывать словами
реальную ситуацию. Например, что означает (при тех же обозначе­
ниях, что и в нашей таблице) такая математическая модель: а - 5 =
= Ъ + 5? Она означает, что если из класса уйдут 5 девочек и придут
5 мальчиков, то девочек и мальчиков в классе станет поровну (эта
ситуация имеет место в 7«Г» из рассмотренного примера).
Наверное, у вас возник вопрос: а зачем нужна математиче­
ская модель реальной ситуации, что она нам даёт, кроме краткой
выразительной записи? Чтобы ответить на этот вопрос, решим сле­
дующую задачу.

гл а в а Т

математический язык , математическая модель

В классе девочек вдвое больше, чем мальчиков. Если из этого клас­
са уйдут три девочки и придут три мальчика, то девочек будет на 4
больше, чем мальчиков. Сколько учеников в данном классе?
Решение

Пусть х — число мальчиков в классе, тогда 2х — число де­
вочек. Если уйдут три девочки, то останется (2х - 3) дево­
чек. Если придут три мальчика, то станет (х + 3) мальчиков. По ус­
ловию девочек будет тогда на 4 больше, чем мальчиков; на мате­
матическом языке это записывается так: (2х - 3) - (х + 3) = 4.
Это уравнение — математическая модель задачи. Используя из­
вестные правила решения уравнений, последовательно получаем:
2 : с - 3 - х - 3 = 4 (раскрыли скобки);
х - 6 = 4 (привели подобные слагаемые);
* = 6 + 4;
ж = 10.
Теперь мы можем ответить на вопрос задачи. В классе 10 мальчи­
ков, а значит, 20 девочек (вы помните, их по условию было в 2 раза
больше).

О твет

Всего в классе 30 учеников.
Интересно, заметили ли вы, что в ходе решения было чёткое
разделение рассуждений на три этапа? Давайте посмотрим вместе.
На первом этапе, введя переменную х и переведя текст задачи
на математический язык, мы составили математическую модель — в
виде уравнения (2х - 3) - (х + 3) = 4.
На втором этапе, используя наши знания из курса математики
5—б-го классов, мы это уравнение решили: х = 10. На этом этапе мы
не думали ни про девочек, ни про мальчиков, а занимались «чистой»
математикой, работали только с математической моделью.
На третьем этапе мы использовали полученное решение, чтобы
ответить на вопрос задачи. На этом этапе мы снова вернулись к де­
вочкам, мальчикам и интересующему нас классу.
Подведём итоги. В процессе решения задачи были чётко выде­
лены три этапа.
I ЭТАП. Составление математической модели.
II ЭТАП. Работа с математической моделью.
III ЭТАП. Ответ на вопрос задачи.
Вот так обычно применяется математика к реальной действитель­
ности. После рассмотренного примера повторим вопрос: нужны ли
математические модели и надо ли уметь работать с ними? Нужны!

Разумеется, чем сложнее модель, тем больше фактов, правил, свойств
приходится применять для работы с ней. Эти факты, правила, свой­
ства надо изучить, что мы и будем с вами делать на протяжении всех
лет изучения алгебры в школе.

Виды математических моделей
Математические модели бывают не только алгебраическими (в виде
равенства с переменными, как в таблице на с. 13, или в виде урав­
нения, к ак было в примере 1). Д ля знакомства ещё с одним видом
математической модели возьмём задачу из учебника математики для
6-го класса (специально берём задачу, с которой вы, может быть,
встречались).
ПРИМЕР 2
Построить график температуры воздуха, если известно, что темпера­
туру измеряли в течение суток и по результатам измерения состави­
ли следующую таблицу:
Время суток, ч

0

2

4

6

8

10

11

14

16

18

22

24

Т ем пература, °С

5

0

0

-3

-4

-2

0

6

8

5

3

3

Решение

Построим прямоугольную систему координат. По горизон­
тальной оси (оси абсцисс) будем откладывать значения вре­
мени t, а по вертикальной оси (оси ординат) — значения температу­
ры Т. Построим на координатной плоскости точки, координатами
которых являю тся соответствующие числа из таблицы. Всего получа­
ется 12 точек (рис. 1). Соединив их плавной линией, получим один
из возможных графиков температуры (рис. 2).
Построенный график есть математическая модель, описывающая
зависимость температуры от времени. Анализируя этот график, мож­
но описать словами, что происходило с температурой воздуха в тече­
ние суток. Ночью с 0 ч до 8 ч утра становилось всё холоднее (от 5 °С
в 0 ч до - 4 °С в 8 ч утра). Потом, видимо, выглянуло солнышко и ста­
ло теплеть, так что в 11 ч температура была уже не отрицательной, а
нулевой (О °С). До 16 ч теплело, причём в 16 ч было теплее всего (8 °С).
А затем стало темнеть, температура начала постепенно снижаться и
понизилась до 3 °С в 22 ч.
Глядя на график температуры, можно приближённо определить,
к акая температура была наименьшей (-4 °С в 8 ч утра), к акая —
наибольшей (8 °С в 16 ч), где температура менялась быстрее, где

'г л а в а 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Рис. 1

Рис. 2

§ 5: j j ^ j g j y i o e у р а в н е н и е с о д н о й п е р е м е н н о й

медленнее, а где вообще не менялась (от 2 до 4 ч ночью и от 22 до
24 ч вечером). Рассмотренная математическая модель является при­
мером графической модели.
Итак, нам нужно учиться описывать реальные ситуации словами
{словесная модель), алгебраически {алгебраическая модель), графиче­
ски {графическая модель). Бывают ещё геометрические модели реаль­
ных ситуаций — они изучаются в курсе геометрии. Впро­
чем, графические модели также иногда называют геоме­
аналитическая
модель
трическими, а вместо термина «алгебраическая модель»
употребляют термин «аналитическая модель». Всё это —
геометрическая
виды математических моделей.
модель
Чтобы свободно оперировать любыми видами матема­
словесная
тических моделей, нужно научиться переходить от одной
модель
из них к другой. Так, выше, в примере 1, нам удалось пе­
рейти от словесной модели к аналитической. В примере 2
удалось перейти от словесной (точнее, табличной) модели к графиче­
ской, что позволило вновь вернуться к словесному описанию рассма­
триваемой ситуации, но уже на более содержательном уровне. Будем
учиться этим переходам.

В опросы для сам оп роверки
1. Что такое математическая модель?
2. Какие виды математических моделей вы знаете? Приведи­
те примеры каждого вида моделей.
3. Назовите три этапа математического моделирования.

§4

ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ
С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Одним из самых простых и в то же время очень важных видов мате­
матических моделей реальных ситуаций являются известные вам из
курса математики 5—6-го классов линейные уравнения с одной пере­
менной. Приведём примеры линейных уравнений:
Зх = 12, Ъу - 10 = 0, 2а + 7 = О
и т. д.
Решить линейное уравнение — это значит найти все те значения
переменной, при каждом из которых уравнение обращается в вер­
ное числовое равенство. Каждое такое значение переменной называ­
ют корнем уравнения. Так, уравнение Зх — 12 имеет корень х = 4,
поскольку 3 - 4 = 12 — верное равенство, причём других корней нет;
уравнение Ьу —10 = 0 имеет корень у = 2, поскольку 5 • 2 —10 = О

“ лава 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

верное равенство, причём других корней нет; уравнение 2а + 7 = О
имеет корень а = -3 ,5 , поскольку 2 ■(-3,5) + 7 = 0 — верное равен­
ство, причём других корней нет.
Вообще линейным уравнением с одной переменной х называют
уравнение вида ах + Ь = 0, где а и 6 — любые числа (коэффициенты ).
Если а = 0 и 6= 0, т. е. уравнение имеет вид 0 • х + 0 = 0, то корнем
уравнения является любое число (бесконечное множество
линейное
корней). Если а = 0 и Ъ Ф 0, т. е. уравнение имеет вид
уравнение
0 • х + Ъ = 0, то ни одно число этому уравнению не удов­
с одной
летворяет; говорят, что уравнение не имеет корней.
переменной
Рассмотрим наиболее часто встречающийся случай,
когда а Ф 0. Рассуждаем так;
1) ах + b = 0, значит, ах = -Ь (поскольку (-5) + 5 = 0); факти­
чески слагаемое Ь перенесли из левой части уравнения в правую
с противоположным знаком;
2) а х = —Ь, т.е. произведение чисел а и х равно -Ь; но тогда мно­
житель х равен частному от деления произведения -6 на второй мно­
житель. Значит, х = (- 5 ) : а. Вместо знака деления можно использо­
вать черту дроби:
х

Ъ
=



.

А как быть, если уравнение записано в более сложном виде, на­
пример
2х — 2 = 10 — х?

Рассуждаем так. Два выражения равны тогда и только тогда, ког­
да их разность равна нулю:
(2х - 2) - (10 - х) = 0.
Воспользуемся известными из курса математики 5—6-го классов
правилами раскрытия скобок и приведения подобных членов:
2х - 2 - 10 + х = 0;

Зх - 12 = 0;
Зх = 12;
х = 4.
Такие уравнения вы уже решали в курсе математики 5—6-го
классов. Фактически при этом используется определённая програм­
ма действий, определённый порядок ходов. В математике в таких
случаях используют термин алгоритм. Для линейного
алгоритм
уравнения вида а х + Ь = сх + d, где а Ф с, этот алгоритм
выглядит так:
1) перенести все члены уравнения из правой части в левую с проти­
воположными знаками;
2) привести в левой части подобные слагаемые, в результате чего по­
лучится уравнение вида k x + т = 0, где k Ф 0;

3) преобразовать уравнение к виду kx = —т и записать его корень
х = --- .
k
Именно так было решено уравнение, которое получилось в преды­
дущем параграфе в примере 1.
ПРИМЕР 1

Решить уравнение -у + - = -у
3

8

6

4

Первый способ. Воспользуемся алгоритмом:
2
3

7
8

5
6

1
4

_

-у + ----- у + - = 0;

1_«}у + Г1 + 1')_0;
3



18

4J

--У + - = 0 ;


8

1

9

1

9

—у = —;
6
8

tV ~ V
9

1

У = 8 Г 6!
27

у = —,т.е.у =

я3

Второй способ. Прежде чем применять алгоритм, умножим обе
части уравнения на 24 — это наименьший общий знаменатель име­
ющихся дробей. При этом мы пользуемся тем, что если А = В, то
24А = 24В и обратно. Получим:
“ й ' + а - “ М

24-|

» +24' Ы

>

24'1 ) « - ы

16у + 21 = 20у - 6.

1

4’

ГЛАВА 1.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

А далее воспользуемся алгоритмом:
16р + 21 - 20у + 6 = 0;
-4 у + 27 = 0;
4у = 27;
27
.3
у = т , т . е . у = 6 -.
Ответ

ПРИМЕР 2

Зг - 4

Решить уравнение

2г + 1

Воспользовавшись основным свойством пропорции (произ­
ведение крайних членов пропорции равно произведению
средних членов), получим:
2 (Зг - 4) = 5 (2г + 1).

Решение

Дальнейший ход решения, надеемся, уже не требует коммента­
риев:
6z - 8 - Юг - 5 = 0;
-4 г - 13 = 0;
-4 г = 13;

31
34

'

Умения составлять математические модели и решать линейные
уравнения с одной переменной можно использовать и в игровых си­
туациях. Приведём простой пример.
Задумайте число (для простоты вычислений однозначное, хотя
это совсем не обязательно), умножьте его на 2, к полученному числу
прибавьте 5, затем эту сумму умножьте на 3 и из полученного произ­
ведения вычтите 13. Скажите мне, что получилось, и я тут же скажу,
какое число задумано.
Например, вы задумали число 7. Выполняя вышеперечисленные
указания, вы последовательно получали такие числа: 14, 19, 57, 44.
Чтобы отгадать задуманное число, нужно из числа 44 вычесть 2 и
полученную разность разделить на 6; получается 42 : 6 = 7.

т а № г На- ^ сгавление линейны х уравнений

21

Второй эксперимент: вы задумали число 10. Выполняя вышепе­
речисленные указания, вы последовательно получали такие числа:
20, 25, 75, 62. Чтобы отгадать задуманное число, нужно из числа
62 вычесть 2 и полученную разность разделить на 6; получается
60 : 6 = 10.
Секрет фокуса очень прост. Вы задумали число х ; выполняя вы­
шеперечисленные указания, вы составили число 3 (2х + 5) - 13, т. е.
6* + 2. Осталось лишь решить в уме линейное уравнение: в первом
случае 6х + 2 = 44 (получится х = 7), а во втором случае 6х + 2 = 62
(получится х = 10).

Вопросы для сам опровер ки
1.
2.
3.
4.
5.

Что такое линейное уравнение с одной переменной?
Что называют корнем уравнения с одной переменной?
Приведите пример уравнения, у которого нет корней.
Что означает фраза: «Решить линейное уравнение»?
Приведите пример линейного уравнения с одной перемен­
ной, имеющего своим корнем число:
а) 0; б) 2; в) -1.
6. Сформулируйте алгоритм решения линейного уравнения
ах + Ь = 0 в случае, когда а * 0.
7. Сформулируйте алгоритм решения линейного уравнения
ах + b = сх + d (а Ф с).
8. Приведите пример таких значений а и Ь, при которых урав­
нение ах = Ь:
а) не имеет корней; б) имеет бесконечное множество кор­
ней.

ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ
ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
С теоретической точки зрения эта тема не является для вас абсолютно
новой. Пример текстовой задачи, процесс решения которой привёл к
линейному уравнению с одной переменной, уже был выше (см. при­
мер 1 в § 3). Да и в курсе математики 5—6-го классов подобные за­
дачи встречались. Тем не менее мы рассмотрим в этом параграфе до­
вольно много разнообразных примеров, поскольку умение составлять
математическую модель по заданным условиям и работать с ней
одно из важнейших в курсе алгебры.

^ В # Г Г м А Т Е М А Т И Ч Е С К И Й ЯЗЫ К. М А Т Е М А Т И Ч Е С К А Я М О Д ЕЛ Ь

Купили некоторое количество книг. Их пытаются разместить на оди­
наковых полках в книжном шкафу. Сначала поставили по 20 книг на
каждую полку. В результате две полки оказались пустыми, а осталь­
ные заполненными (по 20 книг). Затем решили ставить по 15 книг
на полку. Попытка оказалась удачной: все полки заполнились (по 15
книг на каждой). Сколько книг было куплено?
I ЭТАП. Составление математической модели.
Обозначим буквой * число полок в книжном шкафу. Когда
на каждую полку поставили по 20 книг, то заполненными оказались
(* - 2) полки. Значит, общее число купленных книг выражается фор­
мулой 20 (* - 2). Далее в задаче сказано, что когда на каждую полку
поставили по 15 книг, то все х полок оказались заполненными. Зна­
чит, общее число купленных книг выражается формулой 15*. Остаётся
приравнять два полученных выражения для числа купленных книг:
20 (х - 2) = 15х.
Это уравнение — математическая модель задачи.
II ЭТАП. Работа с составленной моделью.
Решаем уравнение:
20 (* - 2) - 15* = 0;
20* - 40 - 15* = 0;
5* - 40 = 0;
5* = 40;
* = 8.
III ЭТАП. Ответ на вопрос задачи.
Мы выяснили, что в книжном шкафу 8 полок. Все купленные
книги разместились на этих полках по 15 штук на каждой. Значит,
всего было куплено 15 • 8 = 120 книг.
Всего было куплено 120 книг.
Важно подчеркнуть, что в школьных задачах принято идеализи­
ровать ситуацию: считать, что путник (поезд, автомобиль) движется
всё время с постоянной скоростью, что скорость течения реки всегда
одна и та же, что мастер, выполняя заказ, работает с постоянной про­
изводительностью труда и т. д. и т. п. Учтём это в примерах 2—6 —
это так называемые задачи на движение.

Рис. 3

Пункты А, В и С расположены на шоссе так, как показано на ри­
сунке 3. Расстояние между А и В равно 16 км. Из В по направлению
С
В 16 км А к С вышел пешеход. Через 2 ч поеле этого из А по направлению к С

выехал велосипедист, скорость которого на 6 км/ч больше скорости
пешехода. Через 4 ч после своего выезда велосипедист догнал пеше­
хода в пункте С. Чему равно расстояние от В до С?
Решение

I ЭТАП. Составление математической модели.
Пусть х км/ч — скорость пешехода, тогда (х + 6) км/ч —
скорость велосипедиста.
Расстояние от А до С велосипедист проехал за 4 ч, значит, это
расстояние выражается формулой 4 (х + 6) км. Итак, АС = 4 (х + 6).
Расстояние от В до С пешеход прошёл за б ч (ведь до выезда ве­
лосипедиста он уже был в пути 2 ч), следовательно, это расстояние
выражается формулой 6х км. Итак, ВС = 6х.
А теперь обратите внимание на рисунок 3: АС - ВС = АВ, т. е.
АС - ВС = 16. Это — основа для составления математической модели
задачи. Напомним, что АС = 4 (х + 6), ВС = 6х ; следовательно,
4 (х + 6) - 6* = 16.
II ЭТАП. Работа с составленной моделью.
4х + 24 —6х = 16;
24 - 2х = 16;
~2х = 16 - 24;
-2 х = -8;
х = 4.
III ЭТАП. Ответ на вопрос задачи.
Мы получили, что х = 4, значит, скорость пешехода 4 км/ч. Но
нам нужно найти не это, в задаче требуется найти расстояние от В
до С. Мы установили, что ВС = 6х; значит, ВС = 6 ■4 = 24.
Расстояние от В до С равно 24 км.

ИШШЯЛ
Лодка плыла по течению реки 3 ч 12 мин, а затем против течения 1,5 ч.
Найти собственную скорость лодки (т.е. скорость в стоячей воде),
если известно, что скорость течения реки 2 км/ч, а всего лодкой
пройден 41 км.
I ЭТАП. Составление математической модели.
Пусть х км/ч — собственная скорость лодки, тогда по тече­
нию она плывёт со скоростью (х + 2) км/ч (течение помогает), а против
течения — со скоростью (х - 2) км/ч (течение препятствует).
По течению реки лодка плыла 3 ч 12 мин. Поскольку скорость вы­
ражена в километрах в час, это время надо записать в часах. Имеем;

Решение

ГЛАВА 1.

математический ЯЗЫК. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

12 мин = — ч = i ч = 0,2 ч. Значит, 3 ч 12 мин - 3,2 ч. За это время
60
5
со скоростью (х + 2) км/ч лодкой пройден путь 3,2 (х + 2) км.
Против течения лодка плыла 1,5 ч. За это время со скоростью
(х - 2) км/ч лодкой пройден путь 1,5 (х - 2) км.
По условию весь её путь равен 41 км. Так как он состоит из пути
по течению и пути против течения, то получаем:
3,2 (х + 2) + 1,5 (х - 2) = 41.
Это уравнение — математическая модель задачи.
II ЭТАП. Работа с составленной моделью.
3,2х + 6,4 + 1,5х - 3 = 41;
4,7х + 3,4 = 41;
4,7х = 41 - 3,4;
4,7х = 37,6;
37,6
т. е. х = 8.
4,7 ’

III ЭТАП. О т в е т на вопрос задачи.
Спрашивается, чему равна собственная скорость лодки, т. е. чему
равен х? Но ответ на этот вопрос уже получен: х = 8.
| Собственная скорость лодки 8 км/ч.

Ответ

ПРИМЕР 4

Турист идёт из деревни к железнодорожной станции. Пройдя за час
3 км, он понял, что, продолжая движение с той же скоростью, он
опоздает на поезд на 40 минут, и пошёл со скоростью 4 км/ч. На
станцию турист пришёл за 45 минут до отправления поезда. Чему
равно расстояние от деревни до станции?
I ЭТАП. Составление математической модели.
Пусть х км — расстояние от деревни до станции. Найдём
расчётное время до отправления поезда. Если турист будет весь путь

Решение

идти со скоростью 3 км/ч, он потратит — ч и опоздает на поезд на
3

2

40 минут, т. е. на - ч. Значит, расчётное время до отправления по­
езда выражается формулой ^

ч.

На самом деле турист с упомянутой выше скоростью шёл
1 ч, а оставшиеся (х - 3) км он шёл со скоростью 4 км/ч, затратив

§5. Задачи Л ? “ 5гавление ли н ей н ы х уравн ен ий

на оставшийся путь

^

ч. На станции он ждал отправления поезда

45 минут, т. е. — ч. Значит, время до отправления поезда можно вы­
разить формулой | l +

3+

ч.

В итоге получаем уравнение —- - = 1 + х ~ 3 + 1
3 3
4
4'
II ЭТАП. Работа с составленной моделью.
Умножив обе части уравнения на 12, получим:
12 1 +

-

4х - 8 = 12 + 3 (х - 3) + 9;
4х - 8 = 12 + Зх;
х = 20.
III ЭТАП. Ответ на вопрос задачи.
Он уже получен, ведь буквой х мы как раз обозначили то,
о чём спрашивается в задаче.

О твет

I От деревни до станции 20 км.

ПРИМЕР 5
Самолёт пролетел первую часть маршрута со скоростью 450 км/ч,
а вторую часть, которая на 300 км меньше первой, — со скоро­
стью 600 км/ч. Какова протяжённость всего маршрута, если из­
вестно, что средняя скорость движения самолёта оказалась равной
500 км/ч?
________ I ЭТАП. Составление математической модели.
Решение
Пусть х км — протяжённость первой части маршрута, тог­
да протяжённость второй части — (х - 300) км. Время, потраченное
х
х - 300 I
ч. Длина всего
самолётом на весь маршрут, таково: 450
600 )
маршрута равна х + х - 300, т. е. (2х - 300) км. Пролетев весь марш2х —300
рут со средней скоростью 500 км/ч, самолёт потратил бы
500
Значит,
_ х _ х - 300 = 2х - 300
450 + 600
500

глава” математический язык, математическая модель

II ЭТАП. Работа с сост авленной моделью. Целесообразно сначала
умножить обе части составленного уравнения на 1 0; получим
х х - 3 0 0 _ 2 х - 30 0
45
60
50
Найдём наименьшее общее кратное чисел 4 5 , 6 0 , 5 0. Имеем:
Н О К (60, 5 0 ) = 3 0 0 , Н О К (45, 3 0 0 ) = 9 0 0 . Умножим обе частипо­
следнего уравнения на 9 0 0 :
900

х
45

х - 300
60

= 90 0

2х - 300
50

2 0 * + 15 (х - 3 0 0 ) = 18 ( 2 * - 3 0 0 );
35* - 4500 = 3 6 * - 5400;
* = 900.
III ЭТАП. О твет на вопрос задачи.
Первая часть маршрута равна 9 0 0 км, а вторая — на 3 0 0 км мень­
ше, т. е. 6 0 0 км. Значит, протяжённость всего маршрута 1 5 0 0 км.

Замечание

В примерах 6—12 ради краткости мы не будем явно выделять три этапа
математического моделирования при решении текстовой задачи, заменив их
пунктами 1, 2, 3. Кроме того, постепенно всё меньшее и меньшее внимание
будем уделять технической стороне дела — решению линейного уравнения;
надеемся, вы справитесь с этим без нашей помощи.

ПРИМ ЕР 6
Пассажир, сидящий в поезде, который едет со скоростью 4 0 к м /ч , за­
метил, глядя в окно, что в противоположном направлении в течение
3 с прошёл встречный поезд, длина которого 75 м. Какова скорость
встречного поезда?

Реш ен ие

1. Если * к м /ч — скорость встречного поезда, то мимо пас­
сажирского окна он проходит с суммарной скоростью двух
поездов, т. е. со скоростью ( * + 4 0 ) к м /ч . За 3 с мимо окна проехал
встречный поезд длиной 75 м, т. е. 0 ,0 7 5 км. Обратим З е в долю

1
1
часа: 3о с = —
мин = -------ч.
В„ итоге получаем уравнение — матема20

1200

тическую модель задачи:
— L - ( * + 40) = 0 , 0 7 5 .

1200

'

>

2. Умножив обе части уравнения на 1 2 0 0 , получим:
* + 40 = 90;
* = 50.
3. Скорость встречного поезда равна 5 0 к м /ч .

следующих примерах мы рассмотрим две задачи на отыскание
неизвестного числа по заданным условиям. Главное в этих задачах —
умение использовать знания о десятичной системе счисления при
записи числа.

шшш
Трёхзначное число оканчивается цифрой 3. Если эту цифру перене­
сти в начало числа, не меняя порядок остальных цифр, то новое чис­
ло станет больше на 1, чем утроенное первоначальное число. Найти
исходное число.
Решение

1* Исходное трёхзначное число, оканчивающееся цифрой 3,
можно записать в виде 1Ох 4- 3, где х — двузначное число,
образованное первыми двумя цифрами исходного числа (например,
273 = 27 • 10 + 3, 503 = 50 ■10 + 3 и т. д.). Если цифру 3 перенести на
первое место, то новое число будет иметь вид 300 + х (например,
327 = 300 + 27, 350 = 300 + 50 и т. д.). По условию новое число боль­
ше утроенного исходного числа на 1. Это значит, что 3 (1 Ох + 3) + 1 =
= 300 + х.
2. Поработаем с составленной моделью:
ЗОх

9 + 1 = 300 + х;
29х = 290;
х = 10.

3. Итак, в искомом числе первые две цифры образуют число 10, а
на третьем месте стоит цифра 3. Значит, 103 — исходное число.

ПРИМЕР 8

Задумали шестизначное число, запись которого начинается с цифры 2.
Если эту цифру перенести с первого места на последнее, сохранив
порядок остальных цифр, то полученное число будет втрое больше
первоначального. Какое число было задумано?
1. После цифры 2 в задуманном шестизначном числе следу­
ют в определённом порядке 5 цифр, они составляют некое
пятизначное число; обозначим его буквой х. Тогда задуманное число
можно выразить формулой 200000 + х. Если цифру 2 поместить на
последнее место, то число будет иметь вид х2, т. е. 10х + 2. Согласно
условию новое число в три раза больше задуманного. Это значит, что

Решение

10х + 2 = 3 (200 000 + х).
Математическая модель составлена.

" г Л А В А Г М А Т Е М А Т И Ч ЕС К И Й Я ЗЫ К. М А Т Е М А Т И Ч Е С К А Я МОДЕЛЬ^

2. Решим полученное уравнение:
10х + 2 = 600 000 + Зх;
7х = 599 998;
х = 85 714.
3. Задуманное число начинается с цифры 2, значит, это число
285 714.
Последние примеры, которые мы рассмотрим в настоящем пара­
графе, пугают многих учащ ихся, но на самом деле это не такие уж
страшные задачи на проценты, сплавы, смеси.
ПРИМЕР 9
Два завода по плану должны были за месяц выпустить 360 станков.
На самом деле они выпустили 400 станков, причём первый завод вы­
полнил заказ на 112% , а второй — на 110% . Сколько станков сверх
плана выпустил каж дый завод?
Решение

1. Сразу отметим, что 112 % = 1,12, 110 % = 1,1. По плану
первый завод должен был выпустить х станков, а второй
(360 - х ) станков. На самом деле первый выпустил 1,12х, а вто­
рой — 1,1 (360 - х) станков. Вместе они выпустили 400 станков, зна­
чит, 1,12х + 1,1 (360 - х) = 400.
2. Решим составленное уравнение:
1,12* + 396 - 1,1* = 400;
0,02х = 4;
х = 200.

3. По плану первый завод должен был выпустить 200 станков,
а второй, соответственно, 160 станков. Первый завод перевыполнил
план на 12% , т. е. выпустил сверх плана 0,12 • 200 = 24 станка. Вто­
рой завод перевыполнил план на 10 % , т. е. выпустил сверх плана
0,1 • 160 = 16 станков.
24 станка, 16 станков.

ПРИМЕР 10
В течение нескольких лет цену на некоторый товар постепенно по­
вышали: сначала на 1 0 % , затем на 300 р., затем ещё на 25% .
В результате цена на товар повысилась на 75% по сравнению с пер­
воначальной. Сколько стоил товар до повышения цен?

§ g l* W 4M на составление линейных уравнений

Решение
________ 1- Пусть * р. — первоначальная цена товара. После первого
повышения товар стоил 1,1х р., после второго повыше­
ния — (1,1* + 300) р., после третьего — 1,25 (1,1* + 300) р. По усло­
вию после третьего повышения цена товара составила 1,75* р.
(175 % , т. е. 1,75 от первоначальной цены). В итоге получаем следу­
ющее уравнение:
1,2 5 (1 ,1 * + 300) = 1,75*.
2. Решим составленное уравнение. Есть смысл сначала умножить
обе его части на 4:
5 (1 ,1 * + 300) = 7*.
Далее имеем:
5,5* + 1500 = 7*;
* =

1000.

П ервоначальная цена товара 1000 р.

ПРИМЕР 11
Смешали некоторое количество 40% и 10% растворов кислоты и по­
лучили 800 г раствора кислоты с концентрацией 21,25% . Сколько
граммов каждого раствора было взято?
1. Предположим, что взяли * г более насыщенного раство­
ра. Тогда менее насыщенного раствора пришлось взять
(800 - *) г. В более насыщенном растворе чистой кислоты было
0,4* г, а в менее насыщенном ■
— 0,1 (800 - *) г. После объединения
получилось 800 г раствора кислоты с концентрацией 21 ,2 5 % , т. е.
чистой кислоты в новом растворе 0,2125 • 800 г. В итоге получаем
следующее уравнение:
0,4* + 0,1 (800 - *) = 0,2125 ■800.
М атематическая модель составлена.
2. Решим полученное уравнение:
0,4* + 80 - 0,1* = 170;
0,3* = 90;
* = 300.

Ответ

| Взяли 300 г 40% раствора и 500 г 10% раствора кислоты.

ПРИМЕР 12

В 500 кг руды имеется некоторое количество железа. После удале­
ния из руды 200 кг примесей, содержащих в среднем 12,5% железа,
содержание железа в оставшейся руде повысилось на 20 %. Сколько
железа осталось в руде?
Решение

1. Обозначим буквой х процент содержания железа в руде.
Х • 500
"""
Это значит, что железа было ----

Ъх кг. В 200 кг

100

примесей содержалось 12,5% железа, т. е. 0,125 • 200 = 25 кг.
В очищенной руде массой 300 кг железо составило (х + 20) %, т. е.
х -Н 20

' 300 = 3 (х + 20) кг. Поскольку с примесями было удалено

25 кг железа, получаем уравнение Ъх - 25 = 3 (х + 20).
2. Решив уравнение, получим х = 42,5. Это значит, что в руде
было 42,5% железа.
3. Нас спрашивают, сколько железа осталось в руде после удале­
ния примесей. Это количество выражается формулой Ъх - 25. Полу­
чаем 5 • 42,5 - 25 = 187,5 кг.
187,5 кг.

ПРИМЕР 13

Из 40 т руды выплавляют 20 т металла, содержащего 6 % примесей.
Каков процент примесей в руде?
Решение

Обозначим буквой х процент примесей в руде. Тогда в 40 т
руды примесей содержится

• 40 = 0, 4х т, а «чистого»

металла будет (40 - 0,4л;) т. В 20 т выплавленного металла «чистого»
металла содержится 94% , т. е. 0,94 ■20 = 18,8 т. Этого «чистого»
металла и в руде, и в выплавленном металле одно и то же количе­
ство. Значит, 40 - 0,4х = 18,8, откуда находим х = 53.
Ответ

В руде 53 % примесей.

§6^ Координат!ная прямая

31

КООРДИНАТНАЯ ПРЯМАЯ

Основные понятия
В конце § 3 мы говорили, что нужно уметь свободно переходить от
одного вида математической модели к другому, выбирать то, что
удобнее. В этой связи весьма полезна известная вам из курса матема­
тики
6-го классов такая графическая модель, как координатная
прямая.
Прямую Z, на которой выбрана начальная точка О (накоординатная
чало отсчёта), масштаб (единичный отрезок, т. е. отрезок,
прямая
длина которого считается равной 1) и положительное на­
правление, называют координатной прямой или коорди­
натной осью (рис. 4); употребляют также термин «ось х» («ось у »,
«ось г» и т. д.).
Каждому числу соответствует единственная точка координат­
ной прямой. Например, числу 4,5 соответствует точка М (рис. 5),
которая удалена от начала отсчёта, т. е. от точки О, на рассто­
яние, равное 4,5 (в заданном масштабе), и отложена от точки О
в заданном (положительном) направлении. Числу -4 соответствует
точка Р (см. рис. 5), которая удалена от точки О на расстояние, рав­
ное 4, и отложена от точки О в отрицательном направлении, т. е. в
направлении, противоположном заданному.

Можно говорить и о решении обратной задачи. Например, точка К у
удалённая от точки О на расстояние 6,4 в положительном (заданном)
направлении, соответствует числу 6,4, а точка N, удалённая от точ-

^АВА1

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

ки О на расстояние 2,1 в отрицательном направлении, соответствует
числу -2,1 (см. рис. 5).
Указанные числа называют координатами соответствующих то­
чек. Так, на рисунке 5 точка К имеет координату 6,4; точка Р — ко­
ординату -4; точка М — координату 4,5; точка N — кокоордината
ординату -2,1; точка О — координату 0 (нуль). Отсюда и
точки
происходит название — координатная прямая. Образно
выражаясь, координатная прямая — это густо заселён­
ный дом, жильцы этого дома — точки, а координаты точек — это
номера квартир, в которых живут точки.
Зачем нужна координатная прямая? Зачем характеризовать точ­
ку числом, а число — точкой? Есть ли в этом какая-либо польза? Да,
есть.
Пусть, например, на координатной прямой даны две точки: А —
с координатой а и В — с координатой Ъ (обычно в таких случаях пи­
шут короче: А(а), 3(b)). Пусть нам надо найти расстояние d между
точками А ж В. Оказывается, вместо того чтобы делать геометри­
ческие измерения, достаточно воспользоваться готовой формулой
р(А; В) = |а - Ь\ (р — «ро» — буква греческого алфавита; впрочем,
вместо р(А; В) можно писать просто АВ).
Так, на рисунке 5 имеем:
КМ = 16,4 - 4 ,5 1= 11,91= 1,9;
РМ = |-4 - 4 ,5 1= |—8 ,5 1= 8,5;
PN = |-4 - (-2,1)| = |-4 + 2,11= |-1,9| = 1,9.
Стремясь к лаконичности рассуждений, математики договорились
вместо длинной фразы «точка А координатной прямой, имеющая
координату а» использовать короткую фразу «точка а» и на чертеже
рассматриваемую точку обозначать её координатой. Так, на рисунке 6
изображена координатная прямая, на которой отмечены точки -4; -2,1;
0; 1; 4,5; 6,4.

-

2, 1

1

4 5

6 ,<

X

ПРИМЕР 1

Решить уравнение \х + 1| = 3.
х + 1 1 — это с геометрической точки зрения расстояние
между точками х и -1 координатной прямой. Нам нужно
найти такие точки х, которые удалены от точки -1 на расстояние 3.

Решение

§ 6. Координатная прямая

Таких точек две: 4 и 2 (рис. 7). Значит, уравнение имеет два
корня:
= -4 , х2 = 2.

Рис. 8

В

С

На координатной прямой взяты три
точки: Л (А ], в ( А }, с ( £ ) . К какой

А

из точек А, В ближе точка С?
Решение

1

2

2

2

2

( 2 Л

Имеем: 37 = 74’ 75 < 74 < 73'Значит’ точка С Л располага­
ется на координатной прямой между точками А\ —

173 )

-BI

и

(рис. 8). Найдём расстояния ВС и СА:

вс ■
2

74

75

2 ; СА - 2
74-75
73

2
74

73-74

2

Поскольку — — < - — - , делаем вывод: точка С располагается ближе
74-75 74-73
к точке В.
Координатная прямая даёт нам возможность свободно переходить
с алгебраического языка на геометрический и обратно. Пусть, напри­
мер, число а меньше числа Ь. На алгебраическом языке это записы­
вают так: а < Ь; на геометрическом языке это означает, что точка а
расположена на координатной прямой левее точки Ь; при этом мы,
если не оговорено противное, будем считать, что координатная пря­
мая располагается на листе бумаги горизонтально с направлением
слева направо. Впрочем, подчеркнём ещё раз, и алгебраический, и
геометрический языки — это разделы одного и того же математиче­
ского языка, который мы с вами изучаем.

34

Т лаваТ

м а т ем а т и ч ес к и й я з ы к , м а т е м а т и ч е с к а я м о д е л ь

Виды числовых промежутков
Познакомимся ещё с несколькими элементами математического язы­
ка, которые связаны с координатной прямой.
1. Пусть на координатной прямой отмечена точка а. Рассмотрим
все точки, которые лежат на прямой правее точки а, и отметим соот_ //////////////
ветствующую часть координатной прямой штри_qiu
► х XOBKOg (рИС_ д), э т0 множество точек (чисел) на­
Рис. 9
зывают открытым лучом и обозначают (a; +оо),
где знак +°° читают так: «плюс бесконечность»; оно характеризуется
неравенством х > а (под х понимается любая точка луча).
Обратите внимание: точка а открытому лучу не принадлежит.
Если же эту точку надо присоединить к открытому лучу, то пишут
х > а или [а; +°°) (перед а ставят не круглую, а квадратную скобку),
_//////////////_
а на чертеже такую точку обозначают не свет*
х лым, как на рисунке 9, а закрашенным кружком
Рис. 10
(рис. 10). Если про множество точек (а; +°о) гово­
рят, что это — открытый луч, то для [а; +°°) употребляют термин
луч (без прилагательного «открытый»).
2. Пусть на координатной прямой отмечена точка Ь.
открытый луч
Рассмотрим все точки, которые лежат на прямой левее
точки Ъ, и отметим соответствующую часть координат­
луч
ной прямой штриховкой (рис. 11). Это множество точек
интервал
(чисел) также называют открытым лучом и обозначают
(—°°; Ь), где знак
читают так: «минус бесконечность».
отрезок
Оно характеризуется неравенством х < Ъ.
Снова обращаем ваше внимание на то, что
точка Ь открытому лучу не принадлежит. Если
\\u\u\b
х же мы эту точку хотим присоединить к откры­
Рис. 11
тому лучу, то будем писать х < b или (-°°; Ь] и
на чертеже точку b закрашивать (рис. 12); для
-► х (-°°; Ъ] также будем употреблять термин луч.
Рис. 12
3. Пусть на координатной прямой отмечены
точки а и Ь, причём а < Ь (т. е. точка а располо- т ^ > - —► х
жена левее точки Ь). Рассмотрим все точки, кото­
Рис. 13
рые лежат правее точки а, но левее точки Ь; отме­
тим соответствующую часть координатной прямой
штриховкой (рис. 13). Это множество точек (чисел)
называют интервалом и обозначают (а; Ь). Оно
Р и ,1 4
характеризуется строгим двойным неравенством
а< х< Ъ (под х понимается любая точка интервала).
а Ъ
Обратите внимание: интервал (а; Ь) есть пересе­
Рис. 15
чение (общая часть) двух открытых лучей (-°°; Ь)
и (а; +°°) — это хорошо видно на рисунке 14.
Если к интервалу (а; Ь) добавить его концы, т. е. точки а и ft, то
получится отрезок [а; Ь] (рис. 15), который характеризуется нестро-

ф

S 6- Координатная прямая

а

Ъ

гим двойным неравенством а < х < Ь. Обратите
внимание: в обозначении отрезка используют не
круглые скобки, как это было в обозначении ин­
тервала, а квадратные; на чертеже точки а и Ь от­
а
Ь
мечены тёмными кружками, а не светлыми, как
Рис. 17 -----—► х это было в случае интервала.
Отрезок [а; й] есть пересечение (общая часть)
двух лучей (—°°; Ь] и [а; +°о) — Это хорошо видно
а
Ъ
на рисунке 16.
Рис. 18 ------6 ^ ^ - -► х
А что получится, если к интервалу (а; й) до­
бавить только один конец — только точку а
(рис. 17) и и только точку Ь (рис. 18)? Получится полуинтервал, который в т эвом случае обозначают [а; й), а во втором — (а; 6] и кото­
рый характеризуется с помощью двойных неравенств:
а < х < Ь — в первом случае, а < х < й — во втором.
полуинтервал
Итак, мы ввели пять новых для вас терминов матема­
числовой
тического языка: луч, открытый луч, интервал, отрезок,
промежуток
полуинтервал (см. таблицу). Есть и общий термин: число­
вые промежутки.
Сама координатная прямая также считается числовым промежут­
ком; для неё используют обозначение (-°°; +°°).
!* х

Рис. 16

Сводная таблица числовых промежутков
Геометрическая
модель

Аналитическая i
модель

Обозначение

Название числового
промежутка

(а; +°°)

открытый луч

х >а

[а; +°°)

луч

х >а

WWWWh-----► х
ь

(-“ >; ь)

открытый луч

х 0, т. е.
в правой координатной полуплоскости,
надо построить график уравнения у - х = 0. На рисунке 36 построен график это­
го уравнения, причём выделена та его часть,
которая принадлежит правой полуплос­
кости.
Если х < 0, то \х\ = - х и уравнение при­
нимает вид у + х = 0. Что это означает? Это
означает, что при х < 0, т. е. в левой ко­
ординатной полуплоскости, надо построить
график уравнения у + х = 0. На рисунке 37
построен график этого уравнения, причём выделена та его часть, ко­
торая принадлежит левой полуплоскости.
Ну а как же выглядит график заданного уравнения? Он изоб­
ражён на рисунке 38: мы соединили рисунки 36 и 37.

б) Если у > 0, то |у| = у и уравнение принимает вид у + х = 0. Что
это означает? Это означает, что при у > 0, т. е. в верхней коорди­
натной полуплоскости, надо построить график уравнения у + х = 0.
На рисунке 39 построен график этого уравнения, причём выделена та
его часть, которая принадлежит верхней полуплоскости.

,

Если у < 0, то \у\ = -у и уравнение принимает вид —у + х = 0. Это
означает, что при у < 0, т. е. в нижней координатной полуплоскости,
надо построить график уравнения х - у = 0. На рисунке 40 построен
график этого уравнения и выделена та его часть, которая принадле­
жит нижней полуплоскости.
График заданного уравнения изображён на рисунке 41 (объ­
единение лучей, изображённых на рис. 39 и 40).

Рис. 43

в) Если х > 0 и у > 0, то \х\ = х, \у\ = у и уравнение принимает
вид у + х = 2. Что это означает? Это означает, что при х > 0 и у > 0,
т. е. в правом верхнем координатном угле, надо построить график
уравнения у + х = 2. На рисунке 42
построен график этого уравнения,
причём выделена та его часть, которая
принадлежит упомянутому коорди­
натному углу.
Если г > 0 и у < 0, то |*| = х,
|i/| = —у и уравнение принимает вид
х - у = 2. Что это означает? Это озна­
чает, что при х > 0, у < 0, т. е. в
правом нижнем координатном угле,
надо построить график уравнения
х - у = 2. На рисунке 43 построен гра-

ГЛАВА 2. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ



фик этого уравнения, причём выделена та его часть, которая принад­
леж ит упомянутому координатному углу.
Если х < 0 и у > 0, то | jc| = - х , |у| = у и уравнение принимает вид
- х + у = 2. Это означает, что при х < 0, у > 0, т. е. в левом верхнем
координатном угле, надо построить график уравнения - х + у = 2.
На рисунке 44 построен график этого уравнения, причём выделена та
его часть, которая принадлежит упомянутому координатному углу.

Рис. 44
Если, наконец, х < 0 и у < 0, то |х | = - х , |г/| = —у и уравнение
принимает вид - х - у = 2. Это означает, что в левом нижнем коорди­
натном угле надо построить график уравнения х + у = -2 . На рисун­
ке 45 построен график этого уравнения, причём выделена та его
часть, которая принадлежит упомянутому координатному углу.

)

Рис. 46
График заданного уравнения изображён на рисунке 46.
г) Рассуждая, как в пункте в), приходим к выводу, что в правом
верхнем координатном угле надо построить график уравнения х + х =
= у + у, т. е. х = у (рис. 47). В правом ниж нем координатном угле
надо построить график уравнения х + х = у - у, т. е. х = 0 (рис. 48).
В левом верхнем координатном угле надо построить график уравне­
ния х - х = у + у, т. е. у = 0 (рис. 49). Н аконец, в левом нижнем
координатном угле надо построить график уравнения х - х = у - у,

У,

о

X

Р и с. 48

т. е. О = 0. Последнее равенство верно при любых х, у. Это значит,
что все точки рассматриваемого координатного угла удовлетворяют
уравнению (рис. 50).

Р и с. 50

Подводя итоги, получаем график заданного уравнения — он изоб­
ражён на рисунке 51.

Вопросы для самопроверки
1. Запишите в общем виде линейное уравнение с двумя пере­
менными х, у.
2. Запишите в общем виде линейное уравнение с двумя пере­
менными и, V.
3. Что называют решением уравнения ах + by + с = 0, где х,
у — переменные, а а, Ь, с — коэффициенты?
4. Может ли линейное уравнение с двумя переменными не
иметь решений? Если да, то приведите пример.
5. Может ли линейное уравнение с двумя переменными иметь
конечное множество решений? бесконечное множество ре­
шений? Если да, то приведите пример.

ГЛАВА 2. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ

6. Придумайте текстовую задачу, математической моделью
которой является линейное уравнение с двумя перемен­
ными.
7. Что называют графиком уравнения р(х;; у) = О?
8. Как построить график линейного уравнения с двумя пе­
ременными, у которого оба коэффициента при перемен­
ных отличны от нуля? Сколько точек для этого достаточно
взять?
9. Что представляет собой график линейного уравнения с дву­
мя переменными, у которого один коэффициент при пере­
менной отличен от нуля, а другой равен нулю? (Рассмотри­
те два случая.)
10. В каком случае из линейного уравнения ах + by + с = 0
можно выразить переменную у через переменную х, а в ка­
ком нельзя? Что получится, если переменную у можно вы­
разить через переменную х?

ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЁ ГРАФИК

Преобразование уравнения
ах + Ъу + с = 0 к виду у = k x + т
Алгоритм построения графика уравнения ах + by + с = 0, который
мы сформулировали в § 9, при всей его чёткости и определённости
математикам не очень нравится. Обычно они выдвигают претензии к
первым двум шагам алгоритма. Зачем, говорят они, дважды решать
уравнение относительно переменной у: сначала ахi + by + с = 0, за­
тем ах2 + by + с = 0? Не лучше ли сразу выразить у из уравнения
ах + by + с = 0, тогда легче будет проводить вычисления (и, главное,
быстрее)? Давайте проверим.
Рассмотрим сначала уравнение Зх - 2у + 6 = 0 (см. пример 4 из
§ 9), т. е. 2у = Зх + 6.
Умножив обе части уравнения на —, получим - ■2у = —(Зх + 6),
т . е. у = —х + 3. Впрочем, тот же результат мы получили бы, если
обе части исходного уравнения почленно разделили на 2. Обыч­
но предпочитают в подобных случаях говорить не об умножении,
а о почленном делении обеих частей уравнения на одно и то же
число.

§ 10. Линейная функция и её график

Итак, у = ~х + 3.
Придавая х конкретные значения, легко вычислить соответ­
ствующие значения у. Например, при х = 0 получаем у = 3; при
х = -2 имеем у = 0; при х = 2 имеем у = 6; при х = 4 получаем
У = 9. Видите, как легко и быстро найдены точки (0; 3), (-2; 0), (2; 6)
и (4; 9), которые были выделены в примере 4 из § 9.
Точно так же уравнение 5х - 2у = 0 (см. пример 6 из § 9) можно
было преобразовать к виду 2у = Ъх и далее у = 2,5х; нетрудно найти
точки (0; 0) и (2; 5), удовлетворяющие этому уравнению. Наконец,
уравнение Зх + 2у —16 = 0 из того же примера можно было преоб­
разовать к виду 2у = 16

Зх и далее у = 8 - —х. Из этого уравнения

можно найти решения (0; 8) и (2; 5), которые ему удовлетворяют.
Рассмотрим теперь указанные преобразования в общем виде.
Случаи, когда в уравнении ах + by + с = 0 оба коэффициента
а, Ь равны нулю, мы рассмотрели в § 9. Там же мы отметили, что
в случае, когда а Ф 0, Ъ = 0, графиком уравнения является прямая,
параллельная оси у.
Рассмотрим случай, когда ЪФ 0.
Имеем:
ах + by + с = 0;
( 1)
by = - ах - с;

Введя обозначения

о

= к, ~ = т , получаем
Ь

у = kx + т .
Таким образом, линейное уравнение (1) с двумя переменными х и
у в случае, когда Ъ Ф 0 , можно преобразовать к виду
у = kx + т ,
(2)
где k, т — числа (коэффициенты).
Это частный вид линейного уравнения. Зная, чему равен ж, по
правилу у = kx + т всегда можно найти, чему равен у. Будем назы­
вать уравнение (2) линейной функцией.
С помощью уравнения (2) легко, указав конкрет­
ное значение х, вычислить соответствующее значение у.
линейная
Пусть, например, у = 2х + 3. Тогда:
функция
если х = 0, то у = 3;
если х —1, то у = 5;
если х = -1 , то у = 1;
если х = 3, то у = 9 и т. д.

ГЛАВА 2. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ

Обычно эти результаты оформляют в виде таблицы:
I

Л

I

О

I

1 | —1 |

3 I 5 |

1 |

3

9~

Значения у из второй строки таблицы называют зна­
чениями линейной функции у = 2х + 3 соответственно в
то ч к ах х = 0, х = 1, х = - 1 , х = 3.
В уравнении (1) переменные х а у равноправны, а в
зависимая
уравнении (2) — нет: конкретные значения мы придаём
переменная
одной из них — переменной х , тогда как значение пере­
менной у зависит от выбранного значения переменной х.
Поэтому обычно говорят, что х — независимая переменная (или ар­
гумент), у — зависимая переменная.
независимая
переменная
(аргумент)

Частным случаем теоремы 1 из § 9 является следующая теорема.

ТЕОРЕМА 2
Графиком линейной функции у = kx + т является прямая.
ПРИМЕР 1
Построить график линейной функции у = 2х + 3.

При рассмотрении линейных функций вида у = kx + т особо вы­
деляют случай, когда т = 0; в этом случае линейная функция прини­
мает вид у = kx.

§ 10. Линейная функция и её график^

Графиком линейной функции у = kx является прямая, проходящая
через начало координат.
Доказательство
Доказательство осуществим в два этапа.
1- У = k x
частный случай линейной функции, а графиком линейной эункции согласно теореме 2 является прямая; обозначим её
через 1.
2. ПаL p a х = 0, у = 0 удовлетворяет уравнению у = k x , а потому
точка (0:; 0) принадлежит графику уравнения у = k x , т. е. прямой 1.
След 0, то этот угол острый (так обстоит дело
на рисунке 54 с прямыми
l2, h); если к < 0, то этот угол тупой
(так обстоит дело на рисунке 54 с прямой Z4). Далее, если k > 0, то
чем больше к, тем больше угол. Так, на рисунке 54 для прямой 13 име­
угловой
коэффициент

ем k = i , для прямой li имеем k = 1, для прямой 12 имеем
3

к = 2\ при увеличении коэффициента к увеличивается и
угол между прямой и положительным направлением оси
абсцисс. Поэтому коэффициент к в записи у = кх называют угловым
коэффициентом.
Как известно из курса физики, s = vt — закон равномерного пря­
молинейного движения; здесь s — путь, v — скорость, t — время.
Если перейти к обозначениям, которые мы использовали в этом па­
раграфе, закон равномерного движения
можно записать в виде у = кх (х — время,
у — путь). Угловой коэффициент k — это
скорость движения.
На рисунке 55 изображены графики
линейных функций у = 2х - 4, у = 2х + 6.
Оба они параллельны графику линейной
функции у = 2х, только первая прямая
(у = 2х - 4) получается из прямой у = 2х
сдвигом вниз на 4 единицы масштаба, а
вторая прямая (у = 2х + 6) получается из
прямой у = 2х сдвигом вверх на 6 единиц
масштаба.
Справедлив следующий общий резуль­
тат, который мы оформим в виде теоремы.

ТЕОРЕМА 4
Прямая, служащая графиком линейной функции у = kx + т , па­
раллельна прямой, служащей графиком линейной функции у —kx.
Вследствие этого коэффициент k в записи линейной функции
у = kx + т также называют угловым коэффициентом. Если k > 0, т о
прямая у = kx + т образует с положительным направлением оси х
острый угол (рис. 56, а), а если k < 0 — тупой угол (рис. 56, б).

-

§™ *Л™ ейная функция и её график

а

Р ис. 56

3

1 65

б

Линейные функции
как математические модели
реальных ситуаций

Многие реальные ситуации описываются математическими моде­
лями, представляющими собой линейные функции. Приведём при­
меры.
Первая ситуация. На складе было 500 т угля. Ежедневно стали подвозить по 30 т угля. Сколько угля будет на складе через 2, 4,
10 дней?
Если пройдёт х дней, то количество угля у на складе (в тоннах) вы­
разится формулой у = 500 + ЗОх. Таким образом, линейная функция
у = ЗОх + 500 есть математическая модель ситуации.
Теперь нетрудно установить, что:
при х = 2 имеем у = 560 (в уравнение у = ЗОх + 500 подставили
х = 2 и получили у = 560);
при х = 4 имеем у = 620;
при х = 10 имеем у = 800.
В то р ая ситуация. На складе было 500 т угля. Ежедневно ста­
ли увозить по 30 т угля. Сколько угля будет на складе через 2, 4,
10 дней?
Здесь математической моделью ситуации является линейная
функция у = 500 - ЗОх. С помощью этой модели нетрудно ответить
на вопрос задачи:
если х = 2, то у = 440 (в уравнение у - 500 - ЗОх подставили х = 2
и получили у = 440);
если х = 4, то у = 380;
если х = 10, то у - 200.

ГЛАВА 2. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ

Третья ситуация. Турист проехал на автобусе 15 км от пункта
А до пункта В, а затем продолжил движение из пункта В в том же
направлении, но уже пешком со скоростью 4 км/ч. На каком рассто­
янии от пункта А будет турист через 2 ч, через 4 ч, через 5 ч ходьбы?
Математической моделью ситуации является линейная функция
у = 15 + 4х, где х — время ходьбы (в часах), у — расстояние от А
(в километрах). С помощью этой модели отвечаем на вопрос задачи:
если х = 2, то у = 23 (в уравнение у = 15 + 4* подставили
* = 2 и получили у = 23);
если х = 4, то у = 31;
если х = 6, то у = 39.
Итак, в каждой из рассмотренных ситуаций математической мо­
делью служит линейная функция. Но, строго говоря, все три состав­
ленные модели не совсем точны, они не учитывают тех ограничений
на переменную, которые вытекают из смысла задачи. Ведь ясно, что в
первой ситуации независимая переменная х может принимать только
значения 1, 2, 3, ..., поскольку х — число дней. Следовательно, уточ­
нённая математическая модель первой ситуации выглядит так:
у = 500 + 30*, где х — натуральное число.
Вторую ситуацию необходимо уточнить условием у > 0. Это зна­
чит, что независимая переменная х, обозначающая, как и в первой
ситуации, число дней, может принимать только значения 1, 2, 3, ...,
16. Действительно, если х = 16, то по формуле у = 500 - 30* нахо­
дим: у = 500 - 30 ■ 16 = 20. Значит, уже на 17-й день вывезти со
склада 30 т угля не удастся, поскольку на складе к этому дню оста­
нется всего 20 т и вывоз угля придётся прекратить. Следовательно,
уточнённая математическая модель второй ситуации выглядит так:
у = 500 - 30*, у > 0 или
у = 500 - 30*, где * = 1 ,2 , 3, ..., 16.
В третьей ситуации независимая переменная * теоретически мо­
жет принять любое неотрицательное значение (* = 0, * = 2, * = 3,5
и т. д.), но практически турист не может шагать с постоянной скоро­
стью без сна и отдыха сколько угодно времени. Значит, нам нужно
было сделать разумные ограничения на *, скажем, 0 < * < 6 (т. е.
турист идёт не более 6 ч).
Напомним, что геометрической моделью нестрогого двойного
неравенства 0 < * < 6 служит отрезок [0; 6] координатной прямой
(рис. 57). Значит, уточнённая модель третьей ситуации выглядит
так: у = 15 + 4*, где * принадлежит отрезку [0; 6].
_////////////- .
Условимся вместо фразы «* принадле0
в
Х
жит множеству X» писать х е X (читают:
«элемент * принадлежит множеству X»,
е — знак принадлежности). Как видите, наше знакомство с мате­
матическим языком продолжается. Множество натуральных чисел

10. Линейная функция и её график

обычно обозначают буквой N. Значит, вместо фразы *х — натураль­
ное число» мы можем использовать соотношение х е N.
Если линейную функцию у = kx + т надо рассматривать не при
всех значениях х, а лишь для значений х из некоторого числового
множества X . то пишут
у = kx + т, х е X.
А теперь запишем более точные математические модели для рас­
смотренных выше трёх ситуаций.
Первая ситуация: у = 500 + 30*, х в N.
Вторая ситуация: у = 500 - 30*. * е { 1 , 2, 3, ..., 16}.
Третья ситуация: у = 15 + Ах, х е [0; 6].

Построение графика линейной
функции на заданном промежутке
ПРИМЕР 2
Построить график линейной функции:
а) у = - 2 х + 1, * е [-3; 2];
б) у = -2 * + 1, * е (-3; 2).
а) Составим таблицу для линейной функции у = -2 х + 1 :

Построим на координатной плоскости хОу точки (-3; 7) и (2; -3)
и проведём через них прямую линию. Это график уравнения у = -2 х +
+ 1. Выделим отрезок, соединяющий построенные точки (рис. 58).
Это и есть график линейной функции у = - 2 х + 1, х € [-3; 2].

Рис. 58

Рис. 59

Рис. 60

ГЛ А В А 2. Л И Н ЕЙ Н АЯ Ф УН КЦ И Я

68

Рис. 61

Обычно говорят так: мы построили график линейной функции
у = - 2 х + 1 на отрезке [-3 ; 2].
б) Чем отличается этот пример от предыду­
щего? Линейная функция та же (у = -2 х + 1),
О
значит, и графиком её служит та же прямая.
Но — будьте внимательны! — на этот раз х Е (-3 ; 2), т. е. значе­
ния х = - 3 и х = 2 не рассматриваются, они не принадлеж ат ин­
тервалу (-3; 2). Как мы отмечали концы интервала на координатной
прямой? Светлыми кружочками (рис. 61), об этом мы говорили в § 6.
Точно так же и точки (-3; 7) и (2; -3 ) придётся отметить на черте­
же светлыми кружочками. Это будет напоминать нам о том, что
берутся лишь те точки прямой у = - 2 х + 1, которые лежат меж­
ду точками, отмеченными кружочками (рис. 59). Впрочем, ино­
гда в таких случаях используют не светлые кружочки, а стрелки
(рис. 60). Это непринципиально: главное понимать, о чём идёт речь.

ПРИМЕР 3
Найти наибольшее и наименьшее значения линейной функции
у=

+ 4 на отрезке [0; 6].
Составим таблицу для линейной функции у = i х + 4:

ь
V*

Построим на координатной плоскости хОу
точки (0; 4) и (6; 7) и проведём через них пря­

/\

мую —- график линейной функции у = i x + 4
Рис. 62

о
наибольшее
значение
линейной
функции
наименьшее
значение
линейной
функции

(рис. 62).
Нам нужно рассмотреть эту линейную
функцию не целиком, а на отрезке [0; 6], т. е.
для х е [0; 6]. Соответствующий отрезок графика выде­
лен на чертеже. Замечаем, что самая большая ордината
у точек, принадлежащих выделенной части, равна 7 —
это и есть наибольшее значение линейной функции
1X

у = ^ х + 4 на отрезке [0; 6]. Обычно используют такую за­
пись: г/наиб = 7.
Замечаем, что самая маленькая ордината у точек,
принадлежащих выделенной на рисунке 62 части пря­
мой, равна 4 — это и есть наименьшее значение линей-

§J10. Л и н е й н а я ф у н к ц и я и её гр а ф и к

ной функции у - 1 х + 4 на отрезке [0; 6]. Обычно используют такую
запись: рнаим = 4.
О твет

У наиб

=

7 , 1/ннцм = 4 .

П РИ М ЕР 4

Найти г/еаи6 и г/„а„„ для линейной функции у = -1,5* + 3,5:
а) на отрезке [1; 5];
б) на интервале (1; 5);
в) на полуинтервале [1; 5);
г) на луче [0; +°°);
д) на луче
3].
Реш ение

Составим таблицу для линейной функции у = -1,5* + 3,5:

Построим на координатной плоскости хОу точки (1; 2) и (5; -4)
и проведём через них прямую (рис. 63—67). Выделим на построен­
ной прямой часть, соответствующую значениям * из отрезка [1; 5]
(рис. 63), из интервала (1; 5) (рис. 64), из полуинтервала [1; 5)
(рис. 65), из луча [0; +°о) (рис. 66), из луча (-°°; 3] (рис. 67).
а) С помощью рисунка 63 нетрудно сделать вывод, что г/наи6 = 2
(этого значения линейная функция достигает при * = 1), а г/наим = -4
( этого значения линейная функция достигает при * = 5).
б) В отличие от предыдущего случая, оба конца отрезка, в кото­
рых как раз и достигались наибольшее и наименьшее значения, из

ГЛАВА 2. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ

рассмотрения исключены (рис. 64).
Среди остальных точек графика нет
ни точки с наименьшей ординатой,
ни точки с наибольшей ординатой.
Значит, ни наибольшего, ни наи­
меньшего значений на заданном
интервале у данной линейной функ­
ции нет, они не существуют.
в) С помощью рисунка 65 за­
ключаем, что г/ваи6 = 2 (как и в пер­
вом случае), а наименьшего значе­
ния у линейной функции нет (как и
во втором случае),
г) унаЯб = 3,5 (этого значения линейная функция достигает при
х = 0), а !/наим не существует (рис. 66).
Д) J/налм = -1 (этого значения линейная функция достигает при
х = 3), а упш6 не существует (рис. 67).

ПРИМЕР 5

шшшшшяшшшавшшшштшшшшшяя

Построить график линейной функции у = 2х - 6. С помощью графика
ответить на следующие вопросы:
а) при каком значении х будет у = 0;
б) при каких значениях х будет у > 0;
в) при каких значениях х будет у < 0;
г) при каких значениях х выполняется двойное неравенство
-4 < у < -2?

Р еш ение

Составим таблицу для линейной функции у = 2х —6:
х

I ОI 3

У | -6 |

о

Через точки (0; —6) и (3; 0) проведём прямую — график линейной
функции у = 2х - 6 (рис. 68).
ъ) У — 0 при х = 3. График пересекает ось х в точке х = 3, это и
есть точка с ординатой у = 0.
б) у > 0 при х > 3. В самом деле, если х > 3, то соответствующая
часть прямой расположена в ы ш е оси х , значит, ординаты соответ­
ствующих точек прямой положительны.
в) У < 0 при х < 3. В самом деле, если х < 3, то соответствующая
часть прямой расположена н и ж е оси х, значит, ординаты соответ­
ствующих точек прямой отрицательны.

г) На рисунке 69 выделены часть прямой, ординаты точек которой
удовлетворяют двойному неравенству - 4 < у < -2 , и соответству­
ющий промежуток оси абсцисс. Это и есть интересующий нас проме­
жуток: 1 < х < 2.
Обратите внимание, что в этом примере мы с помощью графика
решили:
а) уравнение 2л: —6 = 0 (получили х = 3);
б) неравенство 2х —6 > 0 (получили х > 3);
в) неравенство 2х —6 < 0 (получили х < 3);
г) неравенство —4 ^ 2х —6 ^ —2 (получили 1 ^ х К 2).
Замечание

В русском языке часто один и тот же объект называют по-разному, напри­
мер: «дом», «здание», «сооружение», «коттедж», «особняк», «барак», «хибара»,
«избушка». В математическом языке ситуация примерно та же. Скажем, ра­
венство с двумя переменными у = kx + т , где k, т
конкретные числа, можно

ГЛАВА 2. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ

72

назвать линейной функцией, можно назвать линейным уравнением с дву­
мя переменными х и у (или с двумя неизвестными х и у), можно назвать
формулой, можно назвать соотношением, связывающим х и у, можно, на­
конец, назвать зависимостью между х и у. Это неважно, главное, пони­
мать, что во всех случаях речь идёт о математической модели
у = kx + т.

Рассмотрим график линейной функции, изображённый на рисун­
ке 56, а (с. 65). Если двигаться по этому графику слева направо, то
ординаты точек графика всё время увеличиваются, мы
возрастающая
как бы «поднимаемся в горку». В таких случаях матема­
линейная
тики употребляют термин возрастание и говорят так:
функция
если k > 0, то линейная функция у = kx + т возрастаубывающая
ет.
линейная
Рассмотрим график линейной функции, изображёнфункция
ный на рисунке 56, б. Если двигаться по этому графи­
ку слева направо, то ординаты точек графика всё время
уменьшаются, мы как бы «спускаемся с горки». В таких случаях ма­
тематики употребляют термин убывание и говорят так: если k < О,
то линейная функция у = kx + т убывает.
ПРИМЕР 6
На рисунке 70 изображён график движения автомобиля между
пунктами 1 и 2. По оси f отмечено время (в часах), по оси S —
расстояние до пункта 1. Требуется охарактеризовать весь процесс
движения словами.

Реш ение

1) Точка А соответствует началу движения. До пункта 2
автомобиль доехал за 1^ч — об этом можно судить по абс3

циссе точки D. Пройденное расстояние равно 50 км — об этом

можно судить по ординате точки D. Значит, можно вычислить скорость
движения автомобиля: v = 50 : ^ = 37,5 км/ч.
2) На участке графика DE ордината постоянна, т. е. расстояние от
пункта 1 не менялось. Это значит, что автомобиль не двигался (стоял
в пункте 2). Причём он стоял в промежутке от l i ч до 2^ ч (это абс­
циссы точек D и Е). Остановка длилась, таким образом, 1 ч 20 мин.
3) На обратный путь после остановки автомобиль потратил столь­
ко же времени, сколько на путь от 1 до 2 ^поскольку 4 - 2^ = l i j ,
значит, обратно он ехал с той же скоростью.

Вопросы для самопроверки
1. Что такое линейная функция?
2. Что является графиком линейной функции?
3. Сколько точек достаточно взять для построения графика
линейной функции?
4. Опишите процесс построения графика линейной функции
у = 2х + 3, где х е [0; 2]. Что изменится, если х £ (0; 2)?
5. Дана линейная функция у = kx + т , х 6 X , где X — неко­
торый числовой промежуток. Что такое ушш, г/наиб?
6. Как с помощью графика линейной функции у = kx + т , где
k Ф 0, решить:
а) уравнение kx + т = 0;
б) неравенство kx + т > 0;
в) неравенство kx + т < 0?
7. В каком случае линейная функция возрастает, а в каком —
убывает? Как об этом можно судить по графику линейной
функции?
8. Что представляет собой график линейной функции у = kx?
9. Почему в уравнении у = kx коэффициент k называют угло­
вым?
10. Что вы можете сказать о взаимном расположении графиков
функций у = kx + т и у = kxl
11. Какой угол (острый или тупой) образует прямая у = kx + т
с положительным направлением оси Ох при k > 0 и при
k < 0?

ГЛАВА 2. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ
ГРАФИКОВ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ
Вернёмся ещё раз к графикам линейных функций у = 2х - 4 и
у = 2х + 6, представленным на рисунке 55 (с. 64). Мы уже отмечали
(в § 10), что эти две прямые параллельны прямой у = 2х, а значит, па­
раллельны друг другу. Признаком параллельности служит равенство
угловых коэффициентов (ft = 2 для всех трёх прямых: и для у = 2х,
и для у = 2х - 4, и для у = 2х + 6). Если же угловые коэффициенты
различны, как, например, у линейных функций у = 2х и у - Зх + 1,
то прямые, служащие их графиками, не параллельны и тем более не
совпадают. Следовательно, указанные прямые пересекаются. Вообще
справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 5
Пусть даны две линейные функции у = k\X + m j и j = k 2x + т 2. Пря­
мые, служащие графиками заданных линейных функций:
1) параллельны, если fci = ft2, mi Ф m2;
2) совпадают, если fti = fc2, mi = m2;
3) пересекаются, если ft] Ф k2.
П РИ М ЕР 1

I

Найти точку пересечения прямых:
а ) г/ = 2 х - З и 1 / = 2 - ^ ;
б)

у = -Зх + 1 и у = -Зх + 5.
al Для линейной Ф у н кц и и и = 2х - 3 имеем:

Р еш ени е

1 ii. —
tN

__

_ __11 5 7 1*__|
V

7
ч;
7_
1
1'
о;

$71
о -

Рис. 71

2

7

7_ ~

з: I 0

2



1

г/

1 1

Прямая 1и служащ ая графиком ли­
нейной функции у = 2х - 3, проведена на
рисунке 71 через точки (0; -3 ) и (2; 1).
Для линейной функции у

ч, X

4

имеем:

х
V

S0 I 2
12 1
!



2 - ^х

Прямая l2i служащая графиком линейной функции у = 2 — —х,
проведена на рисунке 71 через точки (0; 2) и (2; 1).
Прямые 1\ и 12 пересекаются в точке (2; 1).
б) Линейные функции у = -Зх + 1 и у = -З х + 5 имеют один и
тот же угловой коэффициент (k = —3), значит, прямые у = —Зх + 1 и
У
Зх + 5 параллельны, т. е. точки пересечения у них нет.

ПРИМЕР 2
Найти точку пересечения прямых у = 4х + 7 и у = -2 х + 7.

Решение

Здесь можно обойтись без чертежа. Будем рассуждать
так. Во-первых, угловые коэффициенты прямых различ­
ны (ki = 4, k2 = —2), значит, прямые пересекаются в одной точке.
Во-вторых, как одна, так и другая прямая проходят через точку
(0; 7) (вы обратили внимание, что mi = т 2 = 7?).
Следовательно, (0; 7) и есть искомая точка пересечения.

Вообще прямые у = kix + т и у = k2x + т , где Ф k2, пересекаются
в точ ке (0; т ) .
Заверш ая главу 2, обратим внимание на характерную особенность
математического языка: во многих фразах, как вы, наверное, замети­
ли, одновременно встречаются элементы алгебраического и геометри­
ческого языков — составных частей единого математического язы­
ка. Так, мы говорим: точка 3, прямая х = 2, прямая у = -5 , прямая
у = 2.x + 3, отрезок [3; 7], луч [-2; + ° ° ] и т. п. А в этом параграфе мы
получили, пожалуй, наиболее яркие образцы свободного оперирова­
ния алгебраическим и геометрическим языками в одном суждении —
они представлены в приведённойтаблице.
Линейные
функции

Геометрический
вывод

Алгебраическое
условие
1) fci =

k2, m i Ф т 2

1) П р я м ы е у = k \ X + тп\ и
= k 2x + тп2 п а р а л л е л ь н ы

у

у

=

k \X

у = k 2x

+ mi
+ т 2

2) k i

=

k 2, m i

=

m2

3) k \ Ф k2

= k \X + m i и
тп2 с о в п а д а ю т

2) П рям ы е у
у = k 2x

+

3) П р я м ы е у = k \X + 77ii и
= k 2x + m 2 п е р е с е к а ю т с я

у

ГЛАВА 2. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ

ПРИМЕР 3

Графики линейных функций у = кх + ттлу = а х + Ь пересекаются
в точке, принадлежащей четвёртому координатному углу координат­
ной плоскости хОу. Известно, что первая прямая не пересекает пер­
вый координатный угол, а вторая проходит через начало координат.
Найти знаки коэффициентов к, т, а, Ь.
На рисунке 72 представлена геометрическая иллюстрация
условий задачи, которая позволяет сделать все необходи­
мые выводы. Линейная функция у = кх + т убывает (рис. 72, а) или
постоянна (рис. 72, б), значит, к < 0 или к = 0. Её график пересекает
ось ординат в точке, лежащей ниже начала координат, значит,
т < 0. График линейной функции у = ах + Ь проходит через начало
координат, значит, 6 = 0. Линейная функция у = ах + Ь убывает,
значит, а < 0.

Решение

Рис. 72
Ответ

а

б

k < 0, т < 0, а < 0, b = 0.

Вопросы для самопроверки
1. Приведите примеры линейных функций, графики которых
параллельны.
2. Приведите примеры линейных функций, графики которых
совпадают.
3. Приведите примеры линейных функций, графики которых
пересекаются.
4. Что вы можете сказать о взаимном расположении на коор­
динатной плоскости хОу графиков линейных функций:
а) у = 2х + 3 и у = Зх - 2; б) у = 2х + 3 и у = 2x7

.^ ^ У п о р я д о ч е н и е данных, таблицы распределения^

77

5. Как будет расположен график функции у = 4х + а относи­
тельно графика функции у = 4х, если а > 0? если а < О?
6. Сформулируйте теорему о взаимном расположении графи­
ков линейных функций.

УПОРЯДОЧЕНИЕ ДАННЫХ,
ТАБЛИЦЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Если данных много, то лучше их как-то упорядочить. Например, если
подряд записать сотню телефонных номеров и имена их владельцев,
то в таком списке легко запутаться. Совсем другое дело, если располо­
жить те же номера по алфавиту, по заглавным буквам фамилий или
имён абонентов. Тогда на каждую букву, скорее всего, придётся не бо­
лее 7—8 номеров, и поиск нужного номера станет простым делом.
Статистическая обработка данных, как правило, начинается с
расположения данных в каком-либо разумном порядке: по алфавиту,
по числовому значению, в наглядно организованной таблице, в столб­
чатой или круговой диаграмме, в виде дерева возможных вариантов
и т. д. Мы начнём с простейших способов упорядочивания данных.
Откроем наш задачник. В упражнении 8.39 а) надо было отметить на
координатной плоскости 14 точек. Составим ряд из абсцисс этих точек:

- 1, - 3 , - 3 , - 2 , 3 , 3, 0 , 3, 3 , - 3 , - 3 , 1, 1, - 1.
Его можно упорядочить «слева направо» в том же порядке, в ко­
тором упорядочена координатная прямая. А именно, сначала выпи­
сать все абсциссы, принимающие наименьшее значение -3 . Их будет
четыре штуки: -3 , - 3 , -3 , -3 . Справа от них приписать следующую
по величине абсциссу -2 . Она встретилась один раз. Затем написать
две абсциссы, равные —1. Потом пойдёт 0, два раза 1, и на правом
конце ряда останутся четыре абсциссы, равные 3:

- 3 , - 3 , - 3 , - 3 , - 2 , - 1 , - 1 , 0 , 1 , 1, 3 , 3 , 3 , 3 .
упорядоченный
ряд данных

Получился упорядоченный ряд данных. Сами данные в
нём не изменились по сравнению с исходным рядом. Изме­
нился только порядок выписывания данных. Грубо гово­
ря, мы расположили первоначальные данные «по росту».

ПРИМЕР 1
а)
б)
в)
г)

Выписать поочерёдно ординаты всех точек из упражнения 8.39 б).
Каков объём и размах этого ряда данных?
Составить упорядоченный ряд данных.
Какова мода этого ряда данных? Сколько раз она встретилась?
1 Параграф написан П. В. Семеновым.

Решение

а) Открываем задачник (№ 8.39 б)) и аккуратно выписыва­
ем ординаты из условия:
7, 0, 0, 2, 2, 0, 0, -2 , -2 , -4 , -4 , -2 , -2 , 0, 7.

б) Объём равен 15, так как выписаны 15 чисел. Размах ра­
вен 11, так как наименьшее число равно -4, а наибольшее равно 7.
в) Упорядоченный ряд выглядит так:
-4 , -4 , -2 , -2 , -2 , -2 , 0, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 7, 7.
г) По упорядоченному ряду сразу видно, что чаще всего встрети­
лось число 0. Мода равна 0, она встретилась 5 раз.

Упорядоченный ряд помогает объяснить ещё один важный стати­
стический показатель. Допустим, что упорядоченный ряд состоит из
15 чисел (см. рис. 73). Рассмотрим восьмое по счёту число. И слева, и
справа от него расположено одинаковое количество чисел
медиана ряда
ряда: по 7 штук. Грубо говоря, это восьмое по счёту число
данных
находится «посередине», делит ряд «пополам». В таком
случае в статистике говорят, что мы нашли медиану ряда.

А как поступить, если упорядоченный ряд состоит из 16 чисел?
Тогда надо выбрать восьмое и девятое по счёту числа и взять их по­
лусумму. На геометрическом языке это означает, что следует взять
середину отрезка между точками на координатной прямой, которые
соответствуют восьмому и девятому числам ряда. Найденная полу­
сумма снова находится «посередине», делит ряд «пополам»: и сле­
ва, и справа от него расположено одинаковое количество чисел ряда
(по 8 штук).
Теперь мы можем сформулировать правило нахождения медианы
ряда данных.

Правило нахождения медианы ряда данных Для нахож­
дения медианы ряда из нечётного количества (2п + 1)
чисел следует упорядочить этот ряд и затем взять число,
стоящее на (п + 1)-м месте.
Для нахождения медианы ряда из чётного количества
(2п) чисел следует упорядочить этот ряд и затем взять
полусумму чисел, стоящих на п-м и (п + 1)-м местах.


Вот несколько примеров нахождения медиан:
ряд 3, 4, 5 состоит из трёх чисел, его медиана равна 4;

§ 12. Упорядочениеданных, таблицы распределения





ряд 3, 3, 1, 0, 5, 6, 7, 8, 2017 состоит из девяти чисел, его
медиана равна 5;
ряд 3, 4, 5, 6 состоит из четырёх чисел, его медиана равна полу4+5
сумме —-—, т. е. равна 4,5;
РЯД 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1 состоит из десяти чисел, его медиа­
на равна полусумме чисел, стоящих на 5-м и на 6-м местах, т. е.
равна 0 + 0 = 0.

Иногда ответ для упорядоченного ряда выгодно записать так, что­
бы включить в него более подробную информацию. Вот как это вы­
глядит в разобранном примере 1в):
-4, -4 , -2, -2, -2, -2 , 0, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 7, 7

________4_____

2

5

2

2

15

В такой записи сразу видно и сколько раз встретилось каждое
число, и каковы мода, объём, медиана ряда. Однако у такой записи
есть и недостатки: она громоздка, а для объёмов, больших, скажем,
100, зачастую вряд ли возможна. В статистике придуматаблица
ли другой способ записи. В нём все данные и сведения о
распределения
них записаны в виде таблицы. Эту таблицу называют таданных
блицей распределения данных. Она состоит из двух стро­
чек. В первой записывают по одному разу каждый ре­
зультат, встретившийся в ряду данных. Во второй указывают, сколь­
ко именно раз встретился каждый результат. В нашем случае это
выглядит так.
Р е зу л ь т а т
С к ольк о р а з в ст р е ч а е т с я

-4

-2

0

2

7

2

4

5

2

2

Если упорядоченный ряд уже составлен, то нетрудно составить
таблицу распределения: надо вместо повторений одного и того же
результата записать само количество этих повторений. Верно и об­
ратное: если известна таблица распределения, то легко можно вос­
становить упорядоченный ряд. Например, по таблице распределения
Р е зу л ь т а т
С к ольк о р а з в с т р е ч а е т с я

-3

-1

5

7

8

3

4

2

1

5

сразу получается такой упорядоченный ряд:
-3 , -3 , -3 , -1 , -1 , -1 , -1 , 5, 5, 7, 8, 8, 8, 8, 8.

80

Г Л А В А 2. Л И Н ЕЙ Н АЯ Ф УН КЦ И Я

Сумма чисел во второй строке таблицы распределения всегда равна
объёму ряда данных. Действительно, такая сумма равна количеству
всех данных, из которых состоит ряд, т. е. объёму ряда. Это свойство
полезно для контроля возможных ошибок при подсчётах.
Подведём промежуточный итог. Ряд данных, упорядоченный ряд
и таблица распределения по существу содержат одну и ту же инфор­
мацию. Меняется только способ её записи, оформления, представле­
ния, дизайна.
Замечание

Иногда по техническим соображениям бывает удобно таблицу распреде­
лен и я записы вать не в виде двух строчек, а в виде двух столбцов.

Таблицы распределения можно составлять и без выписывания
упорядоченного ряда, а производя подсчёты непосредственно среди
имеющихся данных. Разберём пример.
ПРИМЕР 2

На контрольной по алгебре ученики 7 «Б» получили такие оценки:


Ученик

1

П етя А.

Оцен­
ка



Ученик

3

9

Володя Е.

4

18 Таисия О.

2

Оценка



Ученик

Оцен­
ка

2

Вера А.

5

10

П авел К.

4

19 Л ёш а С.

4

3

Л ена А.

4

11

Света К.

3

20 Андрей С.

5

4

К оля Б.

н

12

Сергей К.

2

21

3

Валера Т.

5

М аш а В.

3

13

К лава К.

н

22 В итя У.

4

6

Г аля Г.

4

14 Артём Л.

5

23

М итя Ф.

5

7

В аня Д.

2

15 А нна Л.

4

24 Виталий Ю.

4

8

Слава Д.

5

16

Ксения М.

5

25 Н адя Я.

3

17

Тоня Н.

4

Составить таблицу распределения оценок, включая оценку «н» —
«не был на контрольной».
Решение

Сначала заполним первую строку таблицы распределения
оценок, оставив пока пустыми клетки во второй строке.

Оценка за контрольную
Сколько р аз встречается

н

2

3

4

5

- ^

УГ Р .Я» ОЧение данных, таблицы распределения

81

На контрольной отсутствовали двое: Коля и Клава. Значит, во
второй строке под буквой «н» ставим число 2. Двойки получили трое:
Ваня, Сергей и Таисия. Ставим во второй строке под оценкой (под ре­
зультатом) 2 число 3. Троечников пятеро: Петя, Маша, Света, Вале­
ра, Надя. Отличников шестеро: Вера, Слава, Артём, Ксения, Андрей,
Митя. Остальные ученики получили четвёрки. Их было 2 5 - 2 - 3 - 5 - 6 = 9 человек, больше, чем в других группах. Получаем таблицу:
Оценка за контрольную

н

2

3

4

5

Сколько раз встречается

2

3

5

9

6

Мы познакомились с начальными понятиями того, как происходит
статистическая обработка данных. Отметим, что данные практиче­
ски всегда являются результатом какого-либо измерения. Вы измеря­
ете либо рост или вес человека, либо показания счётчика электроэнер­
гии, либо результаты в беге на стометровку и т. п. Вместо длинного
словесного оборота объём (размах, мода, медиана) ряда данных неко­
торого измерения можно говорить более кратко: объём (размах, мода,
медиана) данных или объём (размах, мода, медиана) измерения. Ча­
сто бывает удобнее называть конкретные данные. Например, объём
сведений об урожайности, размах результатов голосования, мода бал­
лов на ЕГЭ по литературе, медиана зарплат на предприятии и т. п.

Вопросы для сам опроверки
1. Найдите объём, размах и моду ряда данных 13, 7, 8, 11, 19,
13, 10, 10, 10, 13, 20, 19, 13.
2. По ряду из предыдущего вопроса составьте упорядоченный
ряд. Найдите его медиану.
3. Составьте соответствующую таблицу распределения дан­
ных.
4. По таблице распределения
Результат
Сколько раз встречается

0

3

7

8

9

2

4

2

3

4

восстановите соответствующий упорядоченный ряд.
5. Найдите объём, размах, моду и медиану ряда, полученного
в предыдущем вопросе.
6. Может ли во второй строке таблицы распределения встре­
титься число 2,5? А в первой?
7. Может ли во второй строке таблицы распределения встре­
титься число 0? А в первой?

ГЛ А В А 2. Л И Н ЕЙ Н АЯ Ф УН КЦ И Я

8. Приведите пример ряда, у которого объём больше размаха
(меньше размаха, равен размаху).
9. Приведите пример ряда, у которого размах больше моды
(меньше моды, равен моде).
10. Приведите пример ряда, у которого мода больше медианы
(меньше медианы, равна медиане).

Основные результаты








Мы пополнили наш словарный запас математического язы­
ка следующими терминами:
— прямоугольная система координат на плоскости (декар­
това система координат);
— координатная плоскость, координатные углы, начало
координат;
— абсцисса, ордината, ось абсцисс, ось ординат;
— линейное уравнение с двумя переменными
(ах + by + с = 0);
— решение линейного уравнения с двумя переменными;
— независимая переменная (аргумент);
— зависимая переменная;
— линейная функция (у = kx + т);
— угловой коэффициент (для линейной функции
у = kx + т);
— медиана ряда данных.
Мы ввели следующие обозначения:
— хОу (для прямоугольной системы координат на плоско­
сти);
— М (х; у) (для обозначения координат точки М на коор­
динатной плоскости);
— i/наиб» Ушит (для наибольшего и наименьшего значе­
ний линейной функции на заданном числовом проме­
жутке).
Мы познакомились с тремя новыми математическими мо­
делями:
— у = kx:
— у = kx + т:
— ах + by + с = 0.
Мы узнали, что:
— графиком уравнения х = а является прямая, параллель­
ная оси ординат и проходящая через точку а на оси абс­
цисс; в частности, х = 0 — уравнение оси ординат;
— графиком уравнения у = Ь является прямая, параллель­
ная оси абсцисс и проходящая через точку b на оси ор­
динат; в частности, у = 0 — уравнение оси абсцисс;

Основные результаты







83

— графиком линейной функции у = kx является прямая,
проходящая через начало координат;
— графиком линейной функции у = kx + т является пря­
мая;
— графиком линейного уравнения ах + Ъу + с = 0 в случае,
когда хотя бы один из коэффициентов а, Ъ отличен от
нуля, является прямая.
Мы изучили следующие алгоритмы.
— алгоритм отыскания координат точки М , заданной в
прямоугольной системе координат хОу;
— алгоритм построения точки М (а; Ь) в прямоугольной си­
стеме координат хОу;
— алгоритм построения графика линейного уравнения
ах + by + с = 0.
Мы научились:
— строить прямые, заданные уравнениями х = а, у = Ь;
— строить график уравнения ах + by + с = 0;
— строить график линейной функции у = kx, у = kx + т \
— составлять таблицу распределения данных.
Мы познакомились с некоторыми понятиями статистиче­
ской обработки данных: упорядоченный ряд данных, объ­
ём, размах, мода и медиана измерения.

Темы исследовательских работ
1. Задачи на координатной плоскости.
2. Линейные уравнения с двумя переменными и линейные
функции как математические модели реальных ситуаций.
3. Упорядоченные ряды данных. Медиана ряда данных.

СИСТЕМЫ
ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ
ПЕРЕМЕННЫМИ
§ 13 .
§ 14 .
§ 15 .
§ 16 .

Основные понятия
Метод подстановки
Метод алгебраического сложения
Системы двух линейных уравнений
с двумя переменными как
математические
модели реальных ситуаций
§ 17 . Нечисловые ряды данных

§13

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Г

НИ1

Понятие о системе уравнений
и её решении
В § 9 мы ввели понятие линейного уравнения с двумя перемен­
ными — так называют равенство ах + by + с = 0, где а, Ь, с — кон­
кретные числа, а х, у — переменные (неизвестные).
Примеры линейных уравнений с двумя переменными:
2х - Зу + 1 = 0;
х + у - 3 = 0;
s - 5t + 4 = 0
(здесь переменные обозначены по-другому: s, t — но это роли не
играет).
В том же § 9 мы ввели понятие решения линейного уравне­
ния с двумя переменными — так называют всякую пару чисел (х ; у),
которая удовлетворяет уравнению, т. е. обращает равенство с пере­
менными ах + by + с = 0 в верное числовое равенство. На первом

543. Основные понятия

п м н м м |м и а

месте всегда пишут значение переменной х , на втором — значение
переменной у.
Приведём примеры:
1. (2; 3) — решение уравнения Ьх + Зу —19 = 0. В самом деле,
5 - 2 + 3 - 3 - 1 9 = 0 — верное числовое равенство.
2* (—4, 2)
решение уравнения Зх —у + 14 = 0. Действительно,
3 . (—4) —2 + 14 = 0 — верное числовое равенство.
— решение уравнения -0,4* + Зу + 7 = 0. Имеем
-0 ,4 -0 + 3

■-j + 7 —0 — верное числовое равенство.

4. (1; 2) не является решением уравнения 2л: — Зг/ + 1 = 0.
В самом деле, 2 1 —3 - 2 + 1 = 0 — неверное числовое равенство
(получается, что -3 = 0).
В § 10 мы отмечали, что математическую модель ах + by +
+ с = 0 при 6 ^ 0 можно заменить более простой: у = kx + т.
Например, уравнение Зх — 4у + 12 = 0 можно преобразовать к виду
у = - х + 3.
4
Графиком линейного уравнения ах + by + с = 0, если хотя
бы один из коэффициентов а, b отличен от нуля (случай а = 0,
6 = 0 мы рассматривать в этой главе не будем), является прямая
(см. § 9). Координаты любой точки этой прямой удовлетворяют урав­
нению ах + by + с —0, т. е. являются решениями уравнения. Сколько
же решений имеет уравнение ах + by + с = 0? Столько же, сколь­
ко точек расположено на прямой, служащей графиком уравнения
ах + by + с = 0, т. е. бесконечно много.
Многие реальные ситуации при переводе на математический язык
оформляются в виде математической модели, состоящей из двух ли­
нейных уравнений с двумя переменными. С такой ситуацией мы
встретились в задаче про двух садоводов (пример 6, § 9). Математи­
ческая модель состояла из двух уравнений: Ьх - 2у = 0 и Зх + 2у - 16 = 0, причём нас интересовала такая пара значений (х; у), кото­
рая одновременно удовлетворяла и тому и другому уравнению. В та­
ких случаях обычно не говорят, что математическая модель состоит
из двух уравнений, а говорят, что математическая модель пред­
ставляет собой систему уравнений.
Вообще, если даны два линейных уравнения с двумя
переменными х и у : а^х + biy + щ = 0 и а2х + Ь2у + с2 = 0 —
система
и поставлена задача найти такие пары значений (х ; у),
уравнений
которые одновременно удовлетворяют и тому и другому
решение системы
уравнению, то говорят, что заданные уравнения образу­
уравнений
ют систему уравнений. Уравнения системы записывают

друг под другом и объединяют специальным символом — фигурной
скобкой:
агх + \ у + С; = 0 ,
( 1)
а2х + Ъ2у + с2 = 0.
Пару значений (х ; у), которая одновременно является решением и
первого, и второго уравнений системы, называют решением системы
уравнений.
Решить систему — это значит найти все её решения или устано­
вить, что их нет.
Теперь мы можем сказать, что встречались с системой линейных
уравнений — математическая модель уже упомянутой задачи про са­
доводов из § 9 выглядела так:
5х - 2у = 0,
Зх + 2у - 16 = 0.
Её решением была пара (2; 5), т. е. х

=

( 2)

2, у = 5.

Графический метод решения системы
уравнений

шшш
Решить систему уравнений
х + 2у - 5 = 0,
2х + 4у + 3 = 0.

( 3)

Графиком уравнения х + 2у - 5 = 0 является прямая.
Найдём две пары значений переменных х, у , удовлетворя­
ющих этому уравнению. Если у = 0, то из уравнения х + 2у - 5 = 0
находим х — 5. Если х = 0 , то из уравнения х + 2у - 5 = 0 находим
у = 2,5. Итак, нашли две точки (5; 0) и (0; 2,5). Построим на коорди­
натной плоскости хОу прямую, проходящую через эти две точки, —
прямая l-i на рисунке 74.
Графиком уравнения 2х + Ау + 3 = 0 также является прямая.
Найдём две пары значений переменных х, у, удовлетворяющих это­
му уравнению. Если у = 0, то из уравнения 2х + 4у + 3 = 0 находим
х = —1,5. Если х = 2,5, то из уравнения 2х + 4у + 3 = 0 находим
5 + 4г/ + 3 = 0 и, следовательно, у = -2. Итак, нашли две точки (-1,5; 0 )
и (2,5; -2). Построим на координатной плоскости хОу прямую, про­
ходящую через эти две точки, — прямая 1г на рисунке 74.

Рис. 74
Прямые 1\ и 12 параллельны. Что означает этот геометрический
факт для данной системы уравнений? То, что она не имеет решений
(поскольку нет точек, удовлетворяющих одновременно и тому и дру­
гому уравнению, т. е. принадлежащих одновременно и той и другой
из построенных прямых 1г и 12).

Ш

О твет

Система не имеет решений.

ПРИМЕР 2
Найти два числа, если известно, что их сумма равна 39, а разность
равна 11.
Решение

Если х, у — искомые числа, то х + у = 39 и х - у - 11,
причём эти равенства должны выполняться одновременно:
I я; + у = 39,
\ х - у = 11.

Получили систему двух линейных уравнений с двумя перемен­
ными.
Можно угадать, чему равны х и у\ х = 25, у = 14. Но, во-пер­
вых, «метод угадывания» далеко не всегда применим на практике.
А во-вторых, где гарантия, что иного решения нет, может быть, мы
просто до него не додумались, не «доугадали»?
^
Можно построить графики уравнений х + у = 39 и х —у —11, это
прямые, причём непараллельные (в отличие от тех, что в примере 1),
они пересекаются в одной точке. Эту точку мы уже знаем: (25; 14);
значит, это единственная пара чисел, которая нас устраивает, един­
ственное решение системы.

T^ S

a ' b"

СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМ Я ПЕРЕМЕННЫМИ

В примерах 1 и 2 мы применили графический метод решения си­
стемы линейных уравнений. Этим же методом мы пользовались в § 9
при решении задачи о числе яблонь у двух садоводов (сиграфический
стема (2) решена в § 9 графическим методом),
метод решения
к сожалению, графический метод, как и «метод уга­
системы
дывания», не самый надёжный: например, прямые могут
двух линейных
пересечься в точке, координаты которой по чертежу не
уравнений
очень легко определить.

шжшхж
Решить систему уравнений
3 * - у - 5 = 0,
2х + у ■ 7 = 0.
Реш ение

(5)

Построим графики уравнений системы. Здесь есть смысл
преобразовать оба уравнения к виду линейной функции.
Из первого уравнения получаем у = Зх - 5, а из
второго у — 7 - 2х.
Построим в одной системе координат гра­
фики линейных функций у = Зх - 5 (прямая 1г
на рис. 75) и у = 7 - 2х (прямая 12 на рис. 75).
Они пересекаются в точке А, координаты ко­
торой — единственное решение заданной си­
стемы. А вот чему конкретно равны абсцисса
и ордината точки А, мы по рисунку 75 точно
определить не сможем (точка А как бы «висит»
внутри определённой клеточки). Придётся нам
позднее вернуться к этому примеру.

Рис.
Но всё-таки графический метод решения системы линейных урав­
нений имеет большое значение. С его помощью можно сделать следу­
ющие важные выводы:
• графиками обоих уравнений системы (1) являются
несовместная
прямые;
система
• эти прямые могут пересекаться, причём только в одной
неопределённая
точке, — это значит, что система (1) имеет единственное
система
решение (так было в рассмотренных в этом параграфе си­
уравнений
стемах (2), (4), (5));
• эти прямые могут быть параллельны — это значит, что система не
имеет решений (говорят также, что система несовместна — такой
была система (3));

§ I f : Метод подстановки

89

• эти прямые могут совпасть — это значит, что система имеет бес­
конечно много решений (говорят также, что система неопреде­
лённа).
Итак, мы познакомились с новой математической моделью (1) —
системой двух линейных уравнений с двумя переменными. Наша за­
дача
научиться её решать. «Метод угадывания» ненадёжен, гра­
фический метод также выручает не всегда. Значит, нам нужно рас­
полагать надёжными алгебраическими методами решения системы
двух линейных уравнений с двумя переменными. Об этом и пойдёт
речь в следующих параграфах.

Вопросы для сам опроверки
1. Подберите три решения уравнения х + 2у - 9 = 0.
2. Что такое система двух линейных уравнений с двумя пере­
менными?
3. Что называют решением системы двух линейных уравне­
ний с двумя переменными?
4. Придумайте систему двух линейных уравнений с двумя пе­
ременными, которая имеет своим решением пару:
а) (0; -1); б) (3; 0); в) (1; 2).
5. Придумайте систему двух линейных уравнений, которая не
имеет решений.
6. Расскажите, как графически решить систему двух линей­
ных уравнений с двумя переменными, которая составлена
вами в задании 4в).
7. Что такое неопределённая система уравнений?
8. Что такое несовместная система уравнений?

МЕТОД ПОДСТАНОВКИ
Вернёмся ещё раз к системе (2) из § 13:
5х - 2у = 0,
Зх + 2у - 16 = 0.
Мы её решили графическим методом в § 9 и знаем, что х = 2,
у = 5 — единственное решение этой системы. А теперь решим ту же
систему другим способом.
Первое уравнение преобразуем к виду 2у = 5х, т. е. у = 2,5х.
Второе уравнение преобразуем к виду 2у = 16 — Зх и далее

у = 8 - 1,5* (все коэффициенты уравнения 2у = 16 - 3* разделили
на 2). Теперь систему можно переписать так:
у = 2,5х,
у = 8 - 1,5*.
Ясно, что нас интересует такое значение *, при котором
2,5* = 8 - 1,5*. Из этого уравнения находим:
2,5* + 1,5* = 8;
4* = 8;
* =

2.

Если * = 2, то из уравнения у = 2,5* получим у = 5. Итак,
(2; 5) — решение системы (что, напомним, нам уже было известно).
Чем эти рассуждения отличаются от тех, что мы применяли в
§ 9? Тем, что никаких графиков строить не пришлось, вся работа
шла на алгебраическом языке. Как же мы рассуждали?
Мы выразили у через * из первого уравнения и получили
у = 2,5*. Затем подставили выражение 2,5* вместо у во второе урав­
нение; получили 2,5* = 8 - 1,5*. Далее решили это уравнение отно­
сительно *; получили * = 2. Наконец, по формуле у = 2,5* нашли
соответствующее значение у. И вот что важно: во втором уравнении
совсем не обязательно было выражать у через *, можно было подста­
вить 2,5* вместо у в заданное уравнение 3* + 2у - 16 = 0. Смотрите:
3* + 2 ■2,5* - 16 = 0;
3* + 5* = 16;
8* = 16;
* =

метод
подстановки

2.

Подобный метод рассуждений называют обычно ме­
тодом подстановки. Он представляет собой определённую
последовательность шагов, т. е. некоторый алгоритм.
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ДВУХ УРАВНЕНИЙ
С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ МЕТОДОМ ПОДСТАНОВКИ

1. Выразить у через * из первого уравнения системы.
2. Подставить полученное на первом шаге выражение вместо у во
второе уравнение системы.
3. Решить полученное на втором шаге уравнение относительно *.
4. Подставить найденное на третьем шаге значение * в выражение у
через *, полученное на первом шаге.
5. Записать ответ в виде пары значений (*; у), которые были найде­
ны соответственно на третьем и четвёртом шагах.

гггпм. Метод подстановки

Решить систему уравнений
Зх - у - 5 = О,
2х + у - 7 = 0.
Реш ение

1) Из первого уравнения системы получаем
у = Зх - 5.

2) Подставим найденное выражение вместо у во второе уравнение
системы:
2х + (Зх - 5) —7 = 0.
3) Решим полученное уравнение:
2х + Зх —5 —7 = 0;
Ъх - 12 = 0;
5х = 12;
х

=

12



.

5
4) Подставим найденное значение х в формулу у = Зх - 5:
у - 3 - Н _ 5 = 3 6 _ 5 = 36^25 = П
5
5
5
5'
кч тт

12

11

5) Пара * = — , ! / = —
стемы.
&
5

единственное решение заданной си-

12. И

5’ 5

Вы узнали эту систему? Мы с ней встретились в предыдущем па­
раграфе (система (5)), пробовали решить её графическим методом, и
у нас ничего не получилось. Зато метод подстановки нас выручил.
Он активно применяется и в более сложных системах уравнений,
не обязательно линейных; о таких системах речь впереди — в стар­
ших классах. Этот метод, быть может, не всегда эффективен (т. е. не
всегда быстро приводит к цели), но достаточно надёжен.
Вернёмся к рассмотренному алгоритму из пяти шагов, в котором
описан метод подстановки. У вас не возник вопрос, почему у выра­
жают именно из первого уравнения и подставляют во второе, почему
не выразить у из второго уравнения и подставить в первое? И вообще,
почему выражали у через х, а не х через у, почему такое неравнопра­
вие? Ответ: никакой причины нет, просто ищите наиболее удобный
вариант.

* Г Л А В А З С И С Т Е М Ы Д В У Х Л И Н Е Й Н Ы Х У РА В Н ЕН И И С Д В У М Я П Е Р Е М Е Н Н Ы М И

ПРИМЕР 2

Решить систему уравнений
5х - Зу + 8 = О,
х + 12у = 11.
Решение

©

1) Выразим х через у из второго уравнения:
х = 11 - 12i/.
2) Подставим найденное выражение вместо х в первое уравнение
системы:
5(11 - 12у) - Зу + 8 = 0.
3) Решим полученное уравнение:
55 - 60у - Зу + 8 = 0;
63 - 63у = 0;
63 у = 63;
У = 1.
4) Подставим найденное значение у в формулу х = 11 - 12у:
х = 11 - 12 • 1 = -1.
5) Пара х = -1 , у — 1 — единственное решение заданной системы.
( - 1 ; 1).

В опросы для сам о п р о вер ки
1. Расскажите, в чём суть метода подстановки при решении
системы двух линейных уравнений с двумя переменными.
2. Опишите алгоритм решения системы двух линейных урав­
нений с двумя переменными методом подстановки на приу

мере решения системы

_|_ 3z/



X - у = 1.

МЕТОД АЛГЕБРАИЧЕСКОГО
СЛОЖЕНИЯ
Понятие о методе алгебраического
сложения
Мы довольно часто возвращаемся к тому, что уже обсудили ранее, на­
пример для того, чтобы рассмотреть ситуацию под другим углом зре-

§ 15. М е тод а л ге б р а и че ско го слож ения

ния. Вот и теперь давайте вернёмся к примеру 1 из § 14, где речь шла
о решении системы уравнений
I Зх - у - 5 = О,
\2х + у - 7 = 0.
Как мы решали эту систему? Мы выразили у из первого уравне­
ния и подставили результат во второе, что привело к уравнению с
одной переменной х, т. е. фактически к временному исключению из
рассмотрения переменной у. Но исключить у из рассмотрения можно
было значительно проще — достаточно сложить оба уравнения си­
стемы (сложить уравнения — это значит по отдельности составить
сумму левых частей, сумму правых частей уравнений и полученные
суммы приравнять):
+ (3х - у - Ъ = 0
[2 х + у - 7 = 0
(Зх - у - 5) + (2х + у - 7) = 0 + 0;
Ъх — 12 = 0;
12
*

5 '

Затем можно было найденное значение х подставить в любое
уравнение системы, например в первое, и найти у:
3 — - у - Ъ = 0;
*

5

36

5

.

- 5

У

= иу;
И
5 '

Попробуем применить аналогичные рассуждения ещё для несколь­
ки х систем линейных уравнений с двумя переменными.

ПРИМЕР 1
Решить систему уравнении

Решение

2х + Зу = 1,
5х + Зу = 7.

| 1) Вычтем второе уравнение из первого:
1 2х + Зу = 1
[5 * + Зу = 7
(2х + Зу) - (Ъх + Зу) = 1 - 7 ;
2х + Зу - Ъх - Зу = - 6 ;
-З х = - 6 ;
х = 2.

94

"ТлаваТ

систЁм ь Г дв^ х линейных уравнений с двумя переменными'

2) Подставим найденное значение х = 2 в первое уравнение задан­
ной системы, т. е. в уравнение 2л: + Зу = 1:
2 • 2 + Зу = 1;
Зг/ = 1 - 4;

3у = -3;
У = -1 .
3) Пара л: = 2, р = -1 — решение заданной системы.

ПРИМЕР 2

Зх - 4у = 5,
2л: + Зу = 7.
Р еш ен ие
Здесь сразу исключить переменную х или переменную у из
обоих уравнений с помощью сложения или вычитания
уравнений не удастся. Нужен подготовительный этап. Сначала умно­
жим все члены первого уравнения системы на 3, а все члены второго
Г 9л: - 12у = 15,
уравнения — на 4. Получим \
[8л: + 12у = 28.
Теперь можно сложить уравнения, что приведёт к исключению
Решить систему уравнений

переменной у. Имеем 17л: = 43, т. е. х =
Подставим найденное значение х во второе уравнение исходной
системы, т. е. в уравнение 2л: + Зу = 7:
33
11
2 • — + Зу = 7; Зу = 7 - — ; Зу = i i ? — 86 „
17

17

17

3У =

Т7; У = I?’

43. И
1 7 ’ 17

Краткая запись приведённого решения:
Зл: - 4у = 5
2л: + Зг/ = 7
3 (Зл: - 4 у ) + 4(2л: + Зг/) = 5 ■3 + 7 ■4.

Далее находим 17л: = 43, х =
и т. д.
Здесь справа от вертикальной черты записаны до­
полнительные множители, с помощью которых удалось
уравнять абсолютные величины коэффициентов при пе­
метод
ременной у в обоих уравнениях системы.
алгебраического
Метод, который мы обсудили в этом параграфе, назы­
сложения
вают методом алгебраического сложения.

Более сложные примеры
ПРИМЕР 3
™чкКи0Тг?ИТ Н0^ П9Л0С^0СТИ покроить прямую, проходящую через
точки
6) и В{-2; -9), и составить её уравнение.
Решение
Искомая прямая проведена на рисунке 76. Её уравнение бу­
дем искать в виде у = kx + т . Поскольку точка А{2; 3)
принадлежит прямой, получаем соотноше­
У
ние 3 = 2k + т. Поскольку точка В ( - 2; -9)
принадлежит прямой, получаем соотношение
= ~2k + т. Таким образом, задача свелась к
1
2k -1- т = 3,
г
решению системы уравнений
-2k + т = -9.
X
-2
О
Сложив
уравнения
системы,
получим
2т = —6, т = —3. Если из первого уравнения
системы вычесть второе, получим 4/г = 12,
k = 3.
Итак, k = 3, т = -3, т. е. уравнение пря­
мой таково: у = Зх - 3.

/

г7

г

4
г/

и

л

L
Рис. 76

4



1

ПРИМЕР 4
Решить уравнение (2х + Зу + I)4 + (Зх - 4 у - 24)2 = 0.
В левой части уравнения содержится сумма двух выраже­
ний, каждое из которых принимает только неотрицатель­
ные значения. Эта сумма равна нулю тогда и только тогда, когда ка­
ждое из выражений равно нулю. Это значит, что задача сводится к
(2х + 3у -Ь 1 = 0,
решению системы уравнений {
(3* - 4у - 24 = 0.
Умножив обе части первого уравнения на 4, а обе части второго урав­
нения — на 3 и сложив полученные уравнения, придём к уравнению
\1 х - 68 = 0, откуда находим х = 4. При этом значении х первое урав­
нение системы принимает вид 8 + Зу + 1 = 0, откуда находим у = - 3.
х = 4, у = -3.
О твет

СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

ПРИМЕР 5
Найти целочисленные решения уравнения:
а) 100 (Зх + Ь у ~ 22)2 + (3^ - Зх)2 = 36;
б) 3 (2х + Зу )2 + 5 (4х + Ьу )2 = 8.
а) Если Зх + 5у - 22 принимает целочисленное значение,
отличное от нуля, то выражение 100 (Зх + 5у - 22)2 уж во
всяком случае не меньше 100. Если к нему прибавить неотрицатель­
ное число (Зу - Зх)2, то 36 никак не получится. Что это значит? Это
значит, что обязательно должно выполняться соотношение Зх + Ьу - 22 = 0. Но тогда заданное уравнение принимает вид (Зу - Зх)2 = 36
и далее 9 (у - х)2 = 36; (у - х)2 = 4. Значит, либо у - х = 2, либо
У ~ х = -2.
Таким образом, задача сводится к решению двух систем уравне­
ний:
| Зх + Ьу - 22 = 0, j Зх + Ьу - 22 = 0,
[х - у — 2;
\ х - у = - 2.

Решение

Из первой системы находим х = 4, у = 2; из второй — х = 1,5,
у = 3,5. Второе решение нас не устраивает, ведь в задаче требуется
найти целочисленные решения уравнения. Итак, уравнение имеет
лишь одну пару целочисленных решений: х - 4, у = 2.
б) Если а и Ъ — неотрицательные целые числа, то равенство
За + 56 = 8 может выполняться тогда и только тогда, когда а = 1, Ъ= 1.
Для заданного уравнения это означает, что должны одновременно
выполняться два соотношения:
(2х + Зу)2 = 1 и (4х + by)2 = 1.
Таким образом, задача сводится к решению четырёх систем урав­
нений:
2х + 3у = 1, J 2х + Зу = 1,
\2х + Зу = - 1 , (2х + Зу = -1
4х + b y = 1; [4х + b y = - 1 ; [4 л : + b y = 1; { 4х + b y = - 1
Получаем соответственно: (-1; 1), (-4; 3), (4; -3), (1; -1).

ПРИМЕР 6
Найти такие пары натуральных чисел х н у , которые являются ре­
шениями двух и только двух из данных уравнений: 1) Зх + 4у = 65,
2) 4х + Зу —60, 3) Ьх - 2у = 13.
Решение

Рассмотрим систему, состоящую из первых двух уравне\3х + 4у = 65,
45
80
ний: \
Решив её, получим х = — , у = —•
[ 4* + 3; / = 6 0.

Это нас не устраивает.

7 * 7

^ 2 ^ ™ й? ь |?_УРавнений как модели реальных ситуаций!

97

Рассмотрим систему, состоящую из второго и третьего уравнений:
J 4х + 3у = 60,
{бх - 2у = 13 *“*На также не имеет натуральных решений.
Осталось рассмотреть систему, состоящую из первого и третьего
„ f Зх + 4 и = 65,
уравнении:
Решив её, получим х = 7, у = 11. Это нас
устроит, если найденная пара натуральных чисел не удовлетворя­
ет второму уравнению. Подставив найденные значения во второе
уравнение, получим 28 + 33 = 60 — неверное равенство. Значит, пара
('» 11) удовлетворяет всем требованиям задачи.
О твет

Вопросы для сам опроверки
1. Расскажите, в чём суть метода алгебраического сложения
при решении системы двух линейных уравнений с двумя
переменными.
2. Прокомментируйте метод алгебраического сложения на
примере решения системы:
2х + 3у = 7,
4х - Зу = 5;

[2х + Зу = 7,
Зх - у = 5.

§ 1 6 СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
КАК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
РЕАЛЬНЫХ СИТУАЦИЙ
Собственно говоря, ничего особенно нового вы в этом параграфе не
узнаете. Ведь вам уже известно, что реальная ситуация может быть
описана на математическом языке в виде математической модели,
представляющей собой систему двух линейных уравнений с двумя
переменными. Так было в § 9 в ситуации с садоводами Ивановым и
Петровым. Так было и в примере 2 из § 13. Поэтому теоретический
разговор, соответствующий названию параграфа, можно считать за­
конченным. А вот с практической точки зрения обсуждение новых
ситуаций полезно. Этим и займёмся.

* '•"

глава

3. СИСТЕМЫ

ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУ М Я ПЕРЕМЕННЫМИ

ПРИМЕР 1

В седьмом классе в понедельник не пришли в школу одна девочка и
пять мальчиков. При этом число девочек в классе оказалось в 2 раза
больше числа мальчиков. Во вторник не пришли один мальчик и де­
вять девочек. При этом число мальчиков оказалось в 1,5 раза боль­
ше числа девочек. В среду на уроки пришли все ученики. Сколько
школьников присутствовало на уроках в среду в седьмом классе?
I ЭТАП. Составление математической модели.
Пусть ж — число девочек, у — число мальчиков в седь­
мом классе.
В понедельник было (х - 1) девочек, (у - 5) мальчиков. При этом
оказалось, что девочек вдвое больше, т. е.

Решение

х - 1 = 2(у - 5).
Во вторник было (х - 9) девочек, (у - 1) мальчиков. При этом ока­
залось, что мальчиков в 1,5 раза больше, т. е.
У~ 1 = 1,5 (ж - 9).
Математическая модель ситуации составлена:
Гж - 1 = 2 (у - б),
U - 1 = 1,5 (ж - 9).
II ЭТАП. Работа с составленной моделью.
Сначала упростим каждое уравнение системы. Для первого урав­
нения имеем:
х —1 = 2 (у - 5);
х - 1 = 2у - 10;
х - 2у + 9 = 0.
Для второго уравнения имеем:
У ~ 1 = 1,5 (ж - 9);
2 (г/ - 1) = 3 (ж - 9)
(обе части уравнения умножили на 2); далее
2у - 2 = Зх - 27;
Зх - 2у - 25 = 0.
Итак, получили следующую систему двух линейных уравнений с
двумя переменными:
ж - 2у + 9 = 0,
Зж - 2у - 25 = 0
(скорректированная математическая модель рассматриваемой ситуа-

Решим эту систему двумя способами.
Первый способ. Применим метод подстановки. Из первого уравне­
ния системы находим х = 2у —9. Подставим этот результат вместо х
во второе уравнение системы. Получим:
3(2у - 9) - 2у - 25 = 0;
4у = 52;
2/= 13.
Так как х = 2у - 9, то х = 2 • 13 - 9 = 17.
Итак, х = 17, у = 13 — решение системы.
Второй способ. Применим метод алгебраического сложения:
1х-2у+9 = 0
(Зге - 2у - 25 = 0
(х - 2у + 9) - (Зх - 2у - 25) = 0 - 0;
jc -

2р + 9 - 3* + 2у + 25 = 0;
-2 х + 34 = 0;
х = 17.

Подставим найденное значение х в первое уравнение системы,
т. е. в уравнение х - 2у + 9 = 0:
17 - 2и + 9 = 0;
2/= 13.
Итак, х — 17, у = 13 — решение системы.
Второй этап мы завершили (решили полученную систему, причём
даже двумя способами).
П1 ЭТАП. Ответ на вопрос задачи.
Спрашивается, сколько школьников было в седьмом классе на
уроках в среду, когда пришли все ученики. Поскольку х = 17, у = 13,
т. е. в классе было 17 девочек и 13 мальчиков, делаем вывод: всего в
классе 17 + 13 = 30 учеников.
30 учеников.
Вы, конечно, понимаете, что для решения конкретной системы
уравнений надо выбирать тот способ, который представляется для
данного случая наиболее уместным, или тот, который вам больше
нравится (т. е. вы можете использовать графический метод, метод
подстановки или метод алгебраического сложения — это ваше дело).
Составленную в рассмотренной задаче систему мы решили двумя
способами, чтобы повторить методы подстановки и алгебраического
сложения и сопоставить эти методы друг с другом.

ГЛАВА

Если двузначное число А разделить на сумму его цифр, то в частном
получится 3 и в остатке 7. Если число В, записанное теми же циф­
рами, что число А, но в обратном порядке, разделить на разность его
цифр, то в частном получится 18 и в остатке 1. Найти число А, если
известно, что А < В и что рассматриваемая разность цифр является
натуральным числом.

Г

I ЭТАП. Составление математической модели.
В условии задачи дважды говорится о делении с остат­
ком. Например, если 35 разделить на 4, то в частном получится 8
и в остатке 3. Имеет место следующее равенство: 35 = 8 ■ 4 + 3.
Этот пример позволит вам вспомнить формулу деления с остат­
ком: если а — делимое, b — делитель, q — частное, г — остаток, то
а = bq + г.
Пусть * — цифра десятков, а у — цифра единиц числа А.
Тогда само число имеет вид 10х + у. Если это число разделить на
сумму его цифр, то в частном получится 3 и в остатке 7. Это значит,
что 10х + у = 3(* + у) + 7.
Число В, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке,
имеет вид 10у + х. Его предлагается разделить на разность цифр. Но
какую разность взять: х - у или у - *?
Эта разность должна быть натуральным числом, значит, всё зави­
сит от того, какая из цифр больше. Для этого в условии задачи есть
подсказка: А < В; это значит, что у числа А цифра десятков меньше
цифры единиц, а потому в качестве разности цифр придётся взять
у - х. По условию если число В разделить на разность цифр, то в
частном получится 18 и в остатке 1. Это значит, что 10у + х =
= 18(z/ - х) + 1 .
Таким образом, получаем систему уравнений — математическую
модель задачи:
10* + у = 3(* + у) + 7,
10у + х = 18(z/ - х) + 1.
II ЭТАП. Работа с составленной моделью.
Несколько упростим полученную систему уравнений
7* - 2у = 7,
19* - 8у = 1.
Эту систему удобно решить методом алгебраического сложения:
28* - 8г/ = 28
19* - 8у = 1
9* = 27.
Значит, * = 3. Из уравнения 7* — 2у = 7 находим, что тогда
у = 7. Система решена.

101

Ill ЭТАП. Ответ на вопрос задачи.
Он фактически уже получен: поскольку х = 3, а у = 7, искомое
число есть 37.
Ответ

В примерах 3 и 4, ради краткости, мы не будем явно выделять
три этапа математического моделирования при решении текстовой
задачи. Кроме того, меньшее внимание будем уделять технической
стороне дела
решению системы линейных уравнений; надеемся,
вы справитесь с этим без нашей помощи.
ПРИМЕР 3

По окружности, длина которой равна 100 см, равномерно движутся
две точки. Двигаясь в противоположных направлениях, они встре­
чаются каждые 4 с, а двигаясь в одном направлении — каждые 20 с.
Найти скорости движения обеих точек.
Решение

Пусть х см/с — скорость движения первой точки, у см/с —
скорость движения второй точки; положим для определён­
ности, что х > у. Двигаясь в противоположных направлениях, т. е.
навстречу друг другу, они встречаются каждые 4 с; это значит, что за
4 с они в сумме пройдут путь, равный длине окружности:
4х + 4у = 100, т. е. х + у = 25.
Представим себе теперь, что, стартуя из одной и той же точки
окружности, они двинулись в одном направлении. Когда произойдёт
их новая встреча? Тогда, когда первая точка, которая по условию дви­
жется быстрее, догонит вторую, т. е. пройдёт путь больший, чем вто­
рая точка, ровно на длину окружности, т. е. на 100 см. Первая точка
догоняет вторую со скоростью (х - у) см/с. Значит, 20 (х - у) = 100,
т. е. х - у = 5.
В итоге мы пришли к системе линейных уравнений
х + у = 25,
X - у = 5.
Решив эту систему, получим х = 15, у = 10.
15 см/с, 10 см/с.

ПРИМЕР 4

Имеются два раствора соли — 40%-ный и 60%-ный. Их смешали, до­
бавили 5 л воды и получили 20%-ный раствор. Если бы вместо воды
добавили 5 л 80%-ного раствора соли, то получился бы 70%-ный рас­
твор. Сколько было 40% -ного и 60%-ного растворов?

-1

'г^

ва Т

СИСТЕМЫ ДВУХ линейных уравнений

Реш ение

с двумяпеременными

Предположим, что было х л 40%-ного раствора и у л 60%-ного раствора. Количество чистой соли в первом растворе вы-

,



40

2

ражается формулой - ^ х ,

т. е. —х л; количество чистой соли во вто-

,

„ 60

3
5



ром растворе выражается формулой ----у, т. е. - у л. Их смешали,
100

добавили 5 л воды и получили (х + у + 5) л 20%-ного раствора.
Количество чистой соли в этом третьем растворе выражается форму20
лои ----(х - у + 5), т. е. - ( х + у + 5) л. Но, с другой стороны, это

„ ,
100

5

количество складывается из соли в первом растворе и из соли во вто­
ром растворе. Значит,
- (х + у + 5) = - х + - у ; х + у + 5 = 2х + 3у; х + 2у — 5.
5

5

'

5

А что получилось бы, если добавили 5 л 80%-ного раствора? Коли­
чество чистой соли в гипотетическом 70%-ном растворе выражается
формулой

70

7

+ у + 5), т. е. — (х + у + 5) л. Но, с другой стороны,

это количество складывается из соли в первом растворе, из соли во
втором растворе и из соли, содержащейся в 5 л 80%-ного раствора.
Значит,
7
10

,

,

,
*

'

2
5

,3


,

80
100

_

Далее имеем: 7 (х + у + 5) = 4х + 6у + 40; Зх + у = 5.
В итоге мы пришли к системе линейных уравнений
х + 2у = 5,
Зх + у = 5.
Решив эту систему, получим х = 1, у = 2.
Ответ ______ 1

1 л 40%-ного раствора и 2 л 60%-ного раствора.

Вопросы для сам опроверки
1. Придумайте задачу, математической моделью которой яв­
ляется система двух линейных уравнений с двумя перемен­
ными. Составьте соответствующую математическую мо­
дель.
2. Решите систему уравнений, полученную в п. 1, методом под­
становки и методом алгебраического сложения. Сравните по­
лучившиеся у вас ответы при решении системы уравнений.

ij j J-7'

Нечисповь|е ряды данных

НЕЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ДАННЫХ
Вот список команд, получивших серебряные медали на чемпионатах
мира по футболу с 1930 по 2014 гг.: Аргентина, Чехословакия2, Вен­
грия, Бразилия, Венгрия, Швеция, Чехословакия, ФРГ3, Италия,
Нидерланды, Нидерланды, ФРГ, ФРГ, Аргентина, Италия, Брази­
лия, Германия, Франция, Нидерланды, Аргентина. Этот список (этот
ряд) состоит из 20 данных: именно столько к 2015 г. было проведено
чемпионатов мира по футболу. Значит, объём ряда равен 20. Можно
составить и таблицу распределения.
Арген­ Брази­
тина
лия


Венг­
рия
2

ГермаИта­
ния=
лия
ФРГ
4

2

Нидер­
ланды

Фран­
ция

3

1

Чехо­
слова­ Швеция!
кия
2

1

В ней подсчитано, что Швеция и Франция встретились по одному
разу, немецкая команда (мода ряда) — четыре раза, Нидерланды,
Аргентина — трижды, а все остальные команды из списка — дваж­
ды. Можно посчитать соответствующие доли, процентные доли, на­
рисовать круговую диаграмму и т. п. Но нам сейчас важноминативный
нее, что получился не числовой, а номинативный ряд
ряд
данных: мы «измерили» данные не в числах, а в именах,
в названиях, в номинациях4. Это новый для нас тип ста­
тистических данных, который в окружающей действительности
встречается ничуть не реже, чем числовые ряды. Отметим, что в до­
полнении к главе 2, в примере 2 мы работали с рядом даже смешан­
ного типа, в котором были и числа (2, 3, 4, 5), и буква «н».

1 Параграф написан П. В. Семеновым.
2 Чехословакия — страна, до 1991 г. объединявшая нынешние Чехию и
Словакию.
3 ФРГ (Федеративная Республика Германия) — западная часть Германии
с 1949 по 1990 гг.
4 Слово номинация, наверное, знакомо вам по разнообразным конкурсам.
В них награждение происходит, как правило, по более специальным
номинациям, каждая из которых имеет своё название. Например, «Самый
быстрый», «Самый весёлый» и т. п.

ПРИМЕР 1
Даны четыре прямые I, т, р, q, заданные соответственно уравнениями
у = 3, * - у = 0, я: + у = 1, х = -2 , и точки А(1; 1), В ( - 3; 3), С(6; -5),
£>(33; 3), Е (- 3; 4), F(-2; -22), G( 1; 0), Я(0; 1), =/(-2; 0), Я(0,3; 0,7).
Заполнить таблицу распределения точек по прямым, которым они
принадлежат.
Точка А(1; 1) принадлежит только прямой т, так как ее ко­
ординаты удовлетворяют уравнению х —у = 0 и не удовлет­
воряют остальным уравнениям. Точка В (- 3; 3) принадлежит только
прямой I, так как её координаты удовлетворяют уравнению у = 3 и не
удовлетворяют остальным уравнениям. Чтобы не потерять инфор­
мацию при переборе остальных точек, вставим в таблицу распреде­
ления вспомогательную строчку «Какие точки лежат на прямой».
Получаем следующую таблицу.

Решение

Прямая
Какие точки лежат на прямой
Сколько точек лежит на прямой

i

т

В, D

А

Р
С, Е, G, Н, К

1
F, J

2

1

5

2

По составленной таблице можно легко получить разнообразные
сведения о распределении данных точек по данным прямым. Напри­
мер, объём равен 10, мода — это прямая р, на ней лежат 5 точек,
процентная доля моды равна 50% и т. п. Формально для ответа на
поставленный вопрос можно удалить среднюю строчку и оставить
только первую и последнюю. Но этого можно и не делать, чтобы не
терять уже найденную информацию. Кроме того, средняя строка по­
лезна при проверке ответа и контроле за возможными ошибками.
В следующем примере мы будем работать с текстом правила под­
счёта вероятности, с которым вы познакомились в 6-м классе.

Правило подсчёта вероятности Вероятность случайного со­
бытия равна дроби, в знаменателе которой содержится
число всех равновероятных возможностей, из которых
состоит достоверное событие, а в числителе — число тех
возможностей, при которых рассматриваемое событие
происходит.
ПРИМЕР 2
В приведённом правиле подсчёта вероятности от каждого слова оста­
вили только первую букву.
а) Какой (буквенный) ряд получился?
б) Сколько раз в этом ряду встретилась буква «в»?

в) Составить упорядоченный по алфавиту ряд.
г) Составить соответствующую таблицу распределения.
Решение
а) Поочерёдно выпишем все первые буквы. Получим в, с,
с> Р> Д> з, к, с, ч, в, р, в, и, к, с, д, с, а, в, ч, ч, т, в, п, к, р, с, п.
б) Подчеркнём в нём поочерёдно все буквы «в». Получим 6 под­
чёркиваний:
в, с, с, р, д, в, з, к, с, ч, в, р, в, и, к, с, д, с, а, в, ч, ч, т, в, п, к,
р, с, п.
в) Теперь переставим все буквы этого ряда в алфавитном поряд­
ке. Получим
а, в, в, в, в, в, в, д, д, з, и, к, к, к, п, п, р, р, р, с, с, с, с, с, с, т,

ч, ч, ч.

г) При составлении упорядоченного ряда мы сосчитали всё, что
нужно для заполнения таблицы распределения. В её первой строке
стоят буквы: а, в, д, з, и, к, п, р, с, т, ч. Во второй строке стоят нату­
ральные числа, равные количеству соответствующих букв. Получаем
следующую таблицу
Первая буква слова
Сколько слов начинается
с этой буквы

а

в

1 6

Д 3 и к п Р
2

С

т

ч

1 1 3 2 3 6 1 3

Обратите внимание: и с буквы «в», и с буквы «с» начинается наи­
большее количество слов в приведённом правиле (по шесть слов).
Значит, здесь есть две моды. Такие распределения часто
называют бимодальными. Приставка би- во многих слу­
бимодальное
чаях означает удвоение. Например, бицепс — двуглавая
распределение
мышца.

Вопросы для самопроверки
1. Результаты каких из перечисленных ниже измерений яв­
ляются числовыми, номинативными, смешанными рядами
данных?
а) Рост семиклассников в сантиметрах;
б) имена семиклассников;
в) мировые рекорды (в секундах) в беге на 100 м;
г) конечные пункты движения электричек;
д) оценки в журнале за контрольную работу;
е) перечень продаваемых на сайте квестов;
ж) цены продаваемых на сайте компьютерных игр;
з) количество промахов биатлониста на стрельбах лёжа и
стоя в течение сезона.

2. Могут ли во второй строке таблицы распределения данных
встретиться не числа, а символы?
3. Верно ли, что таблицу распределения можно заполнить,
только составив до этого упорядоченный ряд?

Основные результаты




В этой главе мы познакомились с новыми математическими
понятиями:
— система двух линейных уравнений с двумя переменными;
— решение системы уравнений;
— несовместная система, неопределённая система урав­
нений.
Мы познакомились с новой м атем ати ческой моделью — си­
стемой двух линейных уравнений с двумя переменными:
\a-iX 4- Ъху + сг = 0 ,
\ а гх + Ь2у + с2 = 0.




Мы с вами обсудили тр и м етода решения систем линей­
ных уравнений: графический метод, метод подстановки,
метод алгебраического сложения.
Мы узнали, что такое номинативный ряд данных и бимо­
дальное распределение.

Темы исследовательских работ
1. Решение систем линейных уравнений методом подстановки.
2. Решение систем линейных уравнений методом алгебраиче­
ского сложения.
3. Системы линейных уравнений как математические модели
реальных ситуаций.
4. Нечисловые ряды данных. Таблица распределения данных.

ГЛ АВА

СТЕПЕНЬ
С НАТУРАЛЬНЫМ
ПОКАЗАТЕЛЕМ
И ЕЁ СВОЙСТВА
§
§ 19.
§ 20.
§ 21.
§ 22.
§ 23.

Что такое степень с нат уральны м
показат елем
Таблица основных степеней
Свойства степени с нат уральны м
показат елем
Умножение и деление степеней
с одинаковыми показат елями
Степень с нулевы м показат елем
Работ а с т аблицами распределения

ЧТО ТАКОЕ СТЕПЕНЬ
С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
Одна из особенностей математического языка, которым мы с вами
должны научиться пользоваться, состоит в стремлении применять как
можно более короткие записи. Математик не будет писать а + а +
+ а + а + а, он напишет 5а; не будет писать а + а + а + а + а +
+ а + а + а + а + а (здесь 10 слагаемых), а напишет 10а; не будет
писать а + а + ... + а , а напишет па.
п слагаемых

Точно так же математик не будет писать 2 • 2 • 2 ■2 ■2, а вос­
пользуется специально придуманной короткой записью 25. Ана­
логично вместо произведения семи одинаковых множителей
З - З - З - З - З - З - З о н запишет З7. Конечно, в случае необходимо­
сти он будет двигаться в обратном направлении, например, заменит
короткую запись 2б более длинной 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 .
Если появляется новое обозначение, то возникают и новые терми­
ны. И всё это (и обозначения, и термины) охватывается новым опре­
делением. Определением обычно называют предложение, разъясняю-

m ABA 4. СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ И ЕЁ СВОЙСТВА

щее суть нового термина, нового слова, нового обозначения. Просто
так определения не придумываются, они появляются только тогда,
когда в этом возникает необходимость.
О пределение 1__________________________________________________________

Под а", где п = 2, 3, 4, 5......понимают произведение п одинаковых
множителей, каждым из которых является число а. Выражение а"
называют степенью, число а — основанием степени, число п —
показателем степени.
Подчеркнём ещё раз, что показатель степени — натуральное чис­
ло (в старших классах мы снимем это ограничение); обычно говорят
короче: натуральный показатель. Отсюда и происходит
степень
название как всей главы, так и этого параграфа.
основание
Итак,
степени

__

показатель
степени

а ■а ■а ■... ■а = ап;
п множителей

ап — степень с натуральным
показателем;
а — основание степени;
п — показатель степени.
Запись а" читают так: «а в п-й степени». Исключение со­
ставляют запись а2, которую читают «а в квадрате» (хотя мож­
но читать и «а во второй степени»), и запись д2, которую читают
«а в кубе» (хотя можно читать и «а в третьей степени»).
ПРИМ ЕР 1

Записать в виде степени произведение
5 • 5 ■5 • 5 • 5 • 5
и использовать соответствующие термины.
Реш ение

Поскольку дано произведение шести одинаковых множите­
лей, каждый из которых равен 5, имеем:
5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5 = 56;
56 — степень;
5 — основание степени;
6 — показатель степени.

109

ШШ ЕИ
Вычислить (-2)4.
(- 2)4 = (-2) • (-2) • (-2) ■(-2) = 16.
16.

Вычислить
2
3

Решение

Ответ

'

2
3

2
3

=

2 - 2- 2
3 - 3-3

=

8_
27 ’

_

27

Как вы думаете, полностью ли соответствует названию пара­
графа определение 1? Параграф называется «Что такое степень
с натуральным показателем», т.е. имеется в виду, что в каче­
стве показателя может фигурировать любое натуральное число.
А любое ли натуральное число фигурирует в качестве показателя в
определении 1? Как вы ответите на этот вопрос?
Ответим на этот вопрос вместе: мы говорили о степени а", где
п = 2, 3, 4, ..., а вот случай, когда п = 1, пока упустили из виду
(«потеряли» одно натуральное число). Это упущение исправим
с помощью нового определения.
Определение 2

_____________________________________

Степенью числа а с показателем 1 называют само это число:
а1 = а.
ПРИМЕР 4

Найти значение степени а" при заданных значениях а и п:
п = 5;
д) о = -1 ,
п = 2;
а) а = 2,5,

б)

1

а --.

в) а
г) а

=
=

-5 ,

- 1,

4;

е) а

=

=

1

4;

ж) а
з) а

=

=

п

=

п
п

;

=

,
0,
1,
0

п
п
п



=

=

;

1

12;
17.

' Глава

:

Г степень с натуральным показателем и её свойства

а) а" = 2,52 = 2,5 • 2,5 = 6,25;

Реш ение

1 1 1

1

з'з 3 3
в)
г)
д)
е)
ж)

а"
а"
а"
а"
а"

1 1 1 1

33- 3- 3

= (-5)1 = -5;
= (-1)4 = (-1) • (~1) • (_ 1) ' (- 1) =
= (-1)6 = (-1) • (-D ( - I ) ' (-D ■(-D =
= О1 = 0;
= О12 = 0 • 0 ■... • О = 0;

81’

- 1;

12 множителей

з) ап = I 17 = 1 ■1 • ... • 1 —1.
17 множителей

возведение
в степень

Операцию отыскания степени ап называют возведением в
степень. В примере 4 мы рассмотрели восемь случаев воз­
ведения в степень.

В рассмотренных примерах мы несколько раз возводили в сте­
пень отрицательные числа. Заметили ли вы закономерность: если
отрицательное число возводится в чётную степень, то получает­
ся положительное число, если же отрицательное число возводится
в нечётную степень, то получается отрицательное число? Попробуй­
те объяснить, почему это так.

Вопросы для самопроверки
1. Что означает символ а", где п = 2, 3, 4, ...?
2. Что означает символ о1?
3. В записи 79 назовите, что является степенью, что основани­
ем степени, что — показателем степени.
4. Запишите число 212 в виде степени с другим основанием.

^ Т а б л и ц а о сновны х степеней

111

ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ СТЕПЕНЕЙ
Вы знаете таблицу умножения, в неё включены произведе­
ния любых двух однозначных чисел (3 ■ 5, 4 • 7 и т. д.), этой та­
блицей вы постоянно пользуетесь при вычислениях. На прак­
тике полезна и таблица степеней простых однозначных чисел
(в пределах тысячи). Составим её.
21 = 2
31 = 3
51 = 5
71 = 7
22 = 4
32 = 9
52 = 25
72 = 49
23 = 8
33 = 27
53 = 125
73 = 343
24 = 16
34 = 81
54 = 62 5
25 = 32
35 = 243
26 = 64
36 = 729
27 = 128
28 = 256
29 = 512
210 = 1024
С помощью этой таблицы можно находить и степени составных чи­
сел (поэтому такие степени в таблицу обычно не включают). Например:
93 = 9 • 9 • 9 = (3 • 3)(3 • 3)(3 -3) = 3 ' 3 - 3 - 3 - 3 - 3 = 36 = 729.
ПРИМЕР 1
Известно, что 2" = 128, 3* = 243. Что больше: га или ft?
Решение
По таблице находим, что 128 = 27, значит, га = 7. По табли­
це также находим, что 243 = З5, значит, ft = 5. Так как
7 > 5, то га > ft.
О твет
га > ft.
Имеются ещё три числа, для которых легко составить таблицу сте­
пеней, особенно учитывая, что ничего вычислять не нужно и резуль­
тат фактически известен заранее. Это числа 1, 0, —1, а таблица степе­
ней для этих оснований выглядит следующим образом:
1" = 1 для любого га;
0" = 0 для любого га;
если га — чётное число (га = 2, 4, 6, 8, ...),
то (-1)" = 1;
если га — нечётное число (га = 1, 3, 5, 7, ...),
то (-1)" = -1.

Кстати, используя формулу чётного числа п - 2k и формулу
нечётного числа п = 2k - 1, можем записать, что

I

( - 1)2* = 1 ; ( - 1)2* - 1 = - 1 .

А теперь выберем в качестве основания степени число 10:
101 = 10,
Ю2 = 100,
Ю3 = 1000.
Обратите внимание: каков показатель, столько нулей надо записать
после цифры 1.
Вообще
10" = 1000 - 0 .
п нулей

Например, 106 = 1000000; напротив, 100000 = 105.
ПРИМ ЕР 2

Найти значение выражения
а17 + Ь18 + с19

als - Ь37 + ,

(10с)4
(а + З)4

при а = -1 , Ъ = 0, с = 1.
Реш ение


'

а17 + Ь18 + с19 _ (-1)17 + О18 + I19 _ -1 + 0 + 1 _ 0 = п .
а 18 _ Ь37 + (Д
(_ Х )1 8 _ о 37 + I1

1 - 0" +' 11

(Юс)4 = (10 • I)4 =
= 1и~
10^ = 1Q00Q _ g25*
(а + З)4
(-1 + З)4
16
24

3) 0

625 = 625.
625.

В заключение данного параграфа ещё раз отметим, что матема­
тики всегда стремятся к краткости записей, чёткости рассуждений.
Поэтому, введя новое понятие, они начинают изучать его свойства, а
затем применяют эти свойства на практике. О разных свойствах сте­
пени с натуральным показателем поговорим в следующем параграфе,
а пока, забегая вперёд, заметим, что если бы одно из таких свойств
мы уже знали, то не вычисляли бы так долго 93, как это было сдела­
но выше. Мы бы записали так:
9 з = (3 2)3 = З б = 7 2 9 .

§

Видите, запись в два раза короче. А почему это так, узнаем в
20 .

1
2

.

Вопросы для самопроверки

.
.

Чему равно значение выражения (-1)2014? (-1)2015?
Сколько нулей содержится в записи числа 10201в?
3 Что больше: О1000 или I 10?
4. Что больше: I 1000 или 10001?

§20

СВОЙСТВА СТЕПЕНИ
С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
Умножение степеней
с одинаковыми основаниями

Большая часть математических утверждений проходит в своём становлении три этапа.
На первом этапе человек в ряде конкретных случаев подмечает
одну и ту же закономерность.
На втором этапе он пытается сформулировать подмеченную за­
кономерность в общем виде, т. е. предполагает, что эта закономер­
ность действует не только в рассмотренных случаях, но и во всех
других аналогичных случаях.
На третьем этапе он пытается доказать, что закономерность,
сформулированная (гипотетически) в общем виде, на самом деле
верна.
Доказать какое-либо утверждение — это значит объяснить, поче­
му оно верно (объяснить убедительно, а не так: «это верно потому, что
это верно»). При доказательстве можно ссылаться только на уже из­
вестные факты (так мы действовали, например, при доказательстве
теоремы 3 на с. 63).
Давайте попытаемся вместе пройти все три этапа, попробуем са­
мостоятельно открыть, сформулировать и доказать свойства степе­
ней, хорошо известные в математике.

Открытие первое
ПРИМЕР 1

Вычислить: а) 23 • 25;
Решение

а ) 23 ■ 2 б = (2

б) З1 • З4.


2



2)



(2



2 • 2 ■ 2 • 2)

=

= 2 - 2 - 2 • 2 ■ 2 • 2 • 2 • 2 = 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 = 256.
3 множителя

5 множителей

8 множителей

Всего имеется 8 одинаковых множителей, каждый из которых ра­
вен 2, т. е. 28, что по таблице (см. § 19) даёт 256.
б) З1 • З4 = 3 • (3 ■3 ■3 - 3) =
J?
• 3 • 3 • 3 ■3 = З5 = 243.
1 м нож итель

а) 256;

4 м н ож ителя

б) 243.

В процессе решения примера мы заметили, что:
23 • 26 = 28, т. е. 23 • 25 = 23 + s;
З1 ■З4 = З5, т. е. З1 ■З4 = 31 + 4.
Наблюдается закономерность: основания перемножаемых степе­
ней одинаковы, при этом показатели складываются. Первый этап
завершён.
На втором этапе осмелимся предположить, что мы открыли (для
себя) общую закономерность: ап • ak = ап +k.
ТЕОРЕМА 1
Для любого числа а и любых натуральных чисел п и k справедливо
равенство
„к —— п п + k
Обычно теорему формулируют так: если ... (условие), то ... (заклю­
чение). Например, теорему 1 можно (и, честно говоря, так было бы
аккуратнее) сформулировать следующим образом:
если а — любое число и п, k — натуральные числа, то справедли­
во равенство
ап . ak = ап +*
Первая часть утверждения, начиная со слова «если», — это усло­
вие теоремы; вторая часть утверждения, начиная со слова «то», —
это заключение теоремы.
На третьем этапе надо доказать, что наше предположение вер­
но, т. е. доказать теорему 1. Сделаем это.
Доказательство

1) а" = а ■а ... ■а ;
п множителей

2) ak = а • а • ... • а ;
k множителей
3) а" ■ак = (а ■а ■ ■ а) ■(а ■а ■... ■а) =
п множителей

к множителей

= а • а ... • а ■а • а ■... а = а • а • • д • а • а ■
п множителей

k множителей

п + к множителей

Теорема доказана.
Итак, первое открытие у нас состоялось. Идём дальше.

Деление степеней с одинаковыми
основаниями
О т кр ы т и е вт орое
ПРИМ ЕР 2

Вычислить: а) 26 : 24;
Реш ение

б) З8 : З5.

а) Запишем частное в виде дроби и сократим её:
;

.2 -2 - 4 .

(2 • 2 • 2 • 2 )

б) З8 : З5 = (3 : 3 ■3 ■3 ■3) • 3 • 3 ■3 = з . з . з = Зз = 2 7
(3-3-3-3-3)

о

о

d

d

Zt.

а) 4; б) 27.
В процессе решения примера мы заметили, что:
26 : 24 = 22, т.е. 26 : 24 = 26' 4;
З8 : З5 = З3, т.е. З8 : З5 = З8 5.
Наблюдается закономерность: основания делимого и делителя
одинаковы, показатель делимого больше, чем показатель делителя,
при этом из показателя делимого вычитается показатель делителя.
Первый этап завершён.
На втором этапе предположим, что мы открыли общую законо­
мерность: ап : ак = ап~ к, если п > k.

Можете ли вы сформулировать теорему 2 иначе, используя
грамматическое построение «если..., то...»? Видите ли вы, где
в этой теореме условие, а где заключение? Ответьте для себя на эти
вопросы (а наш ответ будет приведён после доказательства теоремы).
Рассмотрим произведение ак~к ■ак. Мы знаем, что при ум­
ножении степеней с одинаковыми основаниями показа­
тели складываются (об этом шла речь в теореме 1). Сложив показате­
ли п - h и k, получим (л - k) + к = п.
Итак, л"'* ■ак = а", а это как раз и означает, что а" : ак = ап~к.
Теорема доказана.

Д о ка за тел ьство

^

ШЯШШЯЯШШШ

------ .

'СТЙ Й ЬСН А ТУРА Л ЬН Ы М ПОКАЗАТЕЛЕМ И ЕЁ СВОЙСТВА

ГЛ АВ А 4.

А теперь иначе сформулируем теорему 2:
если а Ф0 и п, к — натуральные числа такие, что п > k, то спра­
ведливо равенство
ап : ak = ап~ к.
Условие теоремы: а Ф 0; п, k — натуральные числа, п > k.
Заключение теоремы: ап : ак — ап~к.
Второе открытие у нас состоялось. Идём дальше.

Возведение степени в степень
Открытие третье
Вычислить: а) (25)2;

б) (З2)3.

а) (25)2 = 25 • 25 = 25+5 = 210 = 1024 (см. § 19).
б) (З2)3 = З2 ■З2 • З2 - 32+2+2 = З6 = 729 (см. § 19).

Реш ение

а) 1024;

б) 729.

В процессе решения примера мы заметили, что:
(2 5)2 = 2 10; т. е. (25)2 = 25 2;
(З2)3 = З6, т.е. (З2)3 = З2 3.
Наблюдается закономерность: в обоих случаях при возведении
степени в степень показатели перемножаются. Первый этап завер­
шён.
На втором этапе предположим, что мы открыли общую законо­
мерность: (а“)* = апк.
ТЕОРЕМ А 3

Для любого числа а и любых натуральных чисел п и к справедливо
равенство
(ап)к = апк.
Д о к а за те л ь ств о

Имеем: (а")к = а" ■а" ■... ■а" =
к множителей

= (а ■а ■... ■а) ■(а ■а ■... ■а) ■... ■(а • а • ... • а)
к групп по л множителей в каждой

= а ■а ■... ■а ■а ■а ■... ■а ■а ■а ■... ■а = апк.
nk множителей

Мы совершили с вами три открытия, которые привели нас к трём
серьёзным теоремам. Эти теоремы на практике удобнее формулиро­
вать в виде трёх правил, которые полезно запомнить.
Правило 1 При

умножении степеней с одинаковыми основаниями
показатели складываются.
При делении степеней с одинаковыми основаниями из
показателя делимого вычитают показатель делителя.

П равило 2

При возведении степени в степень показатели перемно­
жаются.

Правило 3

Сравните эти три правила с формулировками теорем 1, 2, 3. По­
чувствовали разницу? В теоремах всё чётко, всё оговорено, всё преду­
смотрено, а в правилах ощущается какая-то неполнота, лёгкость
мысли, поэтому они легче запоминаются и воспринимаются; прави­
ла похожи на афоризмы. Это тоже одна из особенностей математи­
ческого языка: наряду с серьёзными отточенными формулировками
используются и краткие афористичные правила.
ПРИМЕР 4

Вычислить
Решение

3)
4)
5)
6)

( 23

■24)5
(2 ■ 28)3 '

1) 23 • 24 = 23 + 4 = 27 (правило 1);
2) (27)5 = 27' 5 = 235 (правило 3);
2 • 28 = 21 + 8 = 29 (правило 1);
(29)3 = 29' 3 = 227 (правило 3);
235 : 227 = 235 “ 27 = 28 (правило 2);
28 = 256 (см. § 19).
256.

Опытный оратор, выступив с длинной и трудной для слушателей
речью, обязательно в конце доклада ещё раз выделит самое главное,
самое важное. У нас с вами была трудная и напряжённая работа, давайте же и мы выделим самое главное.
Самое главное — три формулы:
о" • а к =

ап

+ *;

ап : ак = ап~ к, где п > к, а * 0;
(а11)* = а"*._________

Их можно применять как справа налево, так и слева направо. На­
пример,
23 . 25 = 28;

28 = 24 + 4 = 24 • 24;

22 + п = 22 • 2П = 4 • 2";

q lO

q/1

З7 : З1 = 3е;

з ^ З 1» - '1» ^ - ;

3,l" 4 = F = i I ;

(53)4 = 512;

512 = (56)2 = (52)6 = (54)3 = (53)4.

Мы говорили только об умножении и делении степеней с одина­
ковыми основаниями. А вот об их сложении и вычитании ничего не
известно, так что не сочиняйте новых правил. Нельзя, например, за­
менять сумму 24 + 23 на 27; в самом деле, посчитайте: 24 = 16; 23 = 8;
16 + 8 = 24, но это не есть 27, поскольку 2 7 = 128. Нельзя заменять
разность З5 - З4 на З1; действительно, посчитайте: З5 = 243; З4 = 81;
243 - 81 = 162, но это не есть З1, так как З1 = 3. Будьте внимательны!

Решение примеров
ПРИМЕР 5

Расположить в порядке возрастания числа 245, 422, 8 14, 1612.
Реш ение

Имеем 422 = (22)22 = 244; 8 14 = (23)14 = 242; 1612 = (24)12 = 248.
Ясно, что 242 < 244 < 245 < 248. Значит, в порядке возраста­
ния заданные числа следует расположить так: 8 14, 422, 245, 1612.

ПРИМЕР 6

Сравнить числа а = 588, b = З132.
Реш ение

1 а = 588 = (52)44 = 2 544; Ъ = З132 = (З3)44 = 2 744. Ясно, что
2544 < 2 744, т. е. а < Ъ.

ПРИМЕР 7

а) Найти последнюю цифру числа 38200;
б) доказать, что (748 —З72) : 10 (символ : означает «делится на»).
а) 38200 = (384)50; число 382 оканчивается цифрой 4, а число
384, т. е. (382)2,
цифрой 6. Осталось лишь заметить, что
любая степень числа, оканчивающегося на 6, также имеет своей по­
следней цифрой цифру 6 (смотрите: 6 1 = 6, 62 = 36, 63 = 216 и т. д.).

б) 748 —((72)2)12; 72 = 49, 49 2 оканчивается цифрой 1. Любая сте­
пень числа, оканчивающегося на 1 , также имеет своей последней
цифрой цифру 1 .
Далее, З72 = (З4)18; З4 = 81; 8118 оканчивается цифрой 1.
Итак, последние цифры чисел 748 и З 72 одинаковы, значит, раз­
ность этих чисел оканчивается цифрой 0 , а потому делится на 10 .

Без использования знаков арифметических действий (сложения,
вычитания, умножения и деления) записать наибольшее возмож­
ное число: а) тремя единицами; б) тремя двойками; в) тремя трой­
ками; г) тремя четвёрками; д) четырьмя единицами; е) четырьмя
двойками.
Реш ение

а) Выпишем возможные варианты записи: 111, I I 1, l 11, I 1 .
Наибольшим является число 111.
2
б) Выпишем возможные варианты записи: 222, 222, 222, 22 . Наи­
большим является число 222.
3
в) Выпишем возможные варианты записи: 333, ЗЗ3, З33, З3 . Наи­
большим является либо ЗЗ3, либо З33. Но смотрите: ЗЗ3 = 33 ■33 • 33 <
< 81 • 81 • 81 = З4 • З4 • З4 = З 12 < З33. Значит, наибольшим является
число З33.
4
г) Выпишем возможные варианты записи: 444, 444, 444, 4 .
Ясно, что 444 — самое маленькое из этих четырёх чисел, а 444 <
< 444 = 4256. Значит, осталось сравнить числа 444 и 44 . Сделаем это:
444 = 4 4 . 4 4 . 44 . 44 < 64 • 64 ■64 • 64 = 43 • 4 3 ■4 3 ■43 = 4 12 < 4256.
Значит, наибольшим является число 4 .
1111, 1111, I I 11,
д) Выпишем возможные варианты
1 Г1, г п , i n \ г 11, г ' 1.
Наибольшим является число I I 11.
е) Выпишем возможные варианты записи: 22 22 , 222 2, 22 22,
22 ^ , 2 222, 2 22\ 2 222, 2 **\
Наибольшим может быть либо 2222, либо 22 . Сравним эти числа:
22
_222
2222 < 3 232 = (25)32 = 2 160 < 22 . Итак, наибольшим является число 2 .

Вопросы для самопроверки
1. Закончите предложение: «При умножении степеней с оди­
наковыми основаниями показатели ...».
2. Закончите предложение: «При делении степеней с одинако­
выми основаниями показатели ...».

3. Закончите предложение: «При возведении степени в сте­
пень показатели ...».
4. Запишите каждое из сформулированных вами в п. 1—3
правил на математическом языке.
5. Что получится, если 2 17 умножить на 2 13?
6. Что получится, если 217 разделить на 2 13?
7. Какое из двух равенств верно: (22*4)3 = 24+3 или (24)3 = 24'3?

УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ СТЕПЕНЕЙ
С ОДИНАКОВЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ
В предыдущем параграфе мы рассматривали умножение и деление
степеней с одинаковыми основаниями. О казывается, можно умно­
ж ать и делить степени и с разными основаниями, если только пока­
затели у этих степеней одинаковы.

ПРИМЕР 1

шшшшшяшяшшишшшшяашт

ЯВНЫМ

Вычислить 24 ■54.

Решение

Конечно, можно по таблице из § 19 установить, что 24 = 16,
54 = 625, а затем умножить 16 на 625. Однако эффективнее
следующее рассуждение:
=

(2



24 • 54 = (2 ■2 • 2 • 2) ■(5 • 5 • 5 ■5) =
5) ■ (2 ■ 5) ■ (2 ■ 5) • (2 • 5) = (2 ■ 5)4 = 104 = 10 0 00 .

В процессе решения мы получили числовое равенство
24 • 54 = (2 • 5)4.
Точно так же можно доказать, что а3Ъ3 = (ab)3.
В самом деле,
а3Ь3 = (а • а ■а) ■(Ь ■Ь ■b) = ab ■аЪ ■ab = (аЬ)3.
Вообще имеет место равенство
апЪп = (аЬ)я.
Приведём «молчаливое» доказательство этого утверждения. По­
пробуйте его «озвучить» и прокомментировать:
ал ■Ъп = а ■а ■. . . . а ■Ь • Ь • ■ Ь =
п множителей

п множителей

= (а Ь ) ■(ab) ■... • (аЪ) = ( аЪ)".
п м н ож и тел ей

^ 31 ^

н? ж б н и е и д е л е н и е степеней

ПРИМЕР 2
Вычислить

46

Решение

Конечно, можно производить вычисления «в лоб», т . е. наити 126, затем 46, затем первое число разделить на второе.
Но лучше рассуждать так:
126


_

12

• 12 ■ 12 • 12 ■ 12 ■ 12

4 •4 ■4 •4 ■4 •4

= (д О

12

12

12

12

12

12

4

4

4

4

4

4

=

= З6 = 729.

В процессе решения мы получили числовое равенство
Точно так же можно доказать, что ~ =

и

-

126

12

Вообще

имеет место равенство
, если Ь ф 0 (докажите!).
Итак,
а пЬ п = (аЬ)";
ь *°-

Обе эти формулы применяют как слева направо, так и справа на­
лево. Их также можно оформить в виде правил действий над степе­
нями, тогда к трём правилам из § 20 добавятся ещё два.

Правило 4 Чтобы перемножить степени с одинаковыми показате­
лями, достаточно перемножить основания, а показатель
степени оставить неизменным.

Правило 5 Чтобы разделить друг на друга степени с одинаковы­
ми показателями, достаточно разделить одно основание на
другое, а показатель степени оставить неизменным.

ПРИМЕР 3
Упростить выражение

Решение

22а3Ь4 J

= (2 aJ

I

(правило 5);

(22а 3Ь4)5 = (22)5(а3)5(Ь4)5 (правило 4).

ГЛ АВ А А СТЕПЕНЬ

с

НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ И ЕЁ СВОЙСТВА

Но
(32)5 _ 2 10 = 1024; (а 3)5 = а 15; (Ь4)5 = 620 (правило 3).
Значит, (22а 3Ь4)5 = Ю 2 4 а15Ь20. Так к ак З5 = 243, то окончательно
получаем

22а3Ь4

= 1024а15»20
243

ПРИМЕР 4
Располож ить в порядке убывания числа:
а = 2 737 ■ 2 5 28, Ь = 7528 • 9
Решение

41, с =

4 5 56.

а = 2737-2528 = (З3)37 -(52)28 = Зш -556;

Ъ = 7 528 .

9 41

= (3 . 5 2)28 . ( 0 2 )4 1 = 328 . 586 . 082 = 3IIO . 566.
С = 4 5 ^ 6 = ( 3 2 . 5 )56 = 0 1 1 2 . 5 56 _

И так, а = З111 ■556, Ь = З110 • 556, с = З112 • 556, значит, с > а > Ъ.
В заключение — одно предостережение. Мы знаем , что:
если основания одинаковы, то
а " ■ак = а" + * ;
а" : а к = а" ~ к;

если показатели одинаковы, то
о " • Ь" = (аЬ)л;

а" :

Ь"

= (а : Ь)".

Если ж е умножение и деление вы полняется над степенями с

различными основаниями и разными п оказателям и , то будьте вни­
мательны. Так, З5 ■ 24 можно вы числить «в л об»: сначала вы ч и с­
л и ть З5, затем 24 и, наконец, выполнить умножение. А можно так:
3 . з 4 . 24 = 3 • (3 • 2)4 = 3 • 64.

Вопросы для са м о п р о в е р к и
1. Закончите предложение: «Ч тобы перем нож ить степени с
одинаковыми показателям и ...».
2. Закончите предложение: «Ч тобы раздели ть друг на друга
степени с одинаковыми показателям и ...».
3. Запиш ите каж дое из сформулированных вам и в п. 1—2
правил на математическом язы к е.
4. Верно ли, что 3 5-45 = 125? Если да, то сош литесь на соот­
ветствую щ ее свойство степеней.
З5
f3 )5
5. Верно ли, что — = I —I ? Если да, то сош литесь на соответ­
ствую щее свойство степеней.

§ 2 2 |||^ Пень 5 нулевым показателем

6

Верно ли, что 28° —25-25-75? Если да, то сошлитесь на со­
ответствующее свойство степеней.
7. Запишите число З30 в виде степени с основанием 27.

СТЕПЕНЬ С НУЛЕВЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
В предыдущих параграфах мы с вами научились вычислять значение
степени с любым натуральным показателем. Например:
0,2х = 0,2;
З2 = 3 • 3 = 9;
43 = 4 • 4 • 4 = 64;
I 4 = 1 • 1 ■1 • 1 = 1;
(~2)5 = (-2) ■(-2) • (-2) • (-2) • (-2) = -32;
06 = 0

0

0

0

0

0 = 0ит.д.

В дальнейшем вы узнаете, что показателем степени может быть
не только натуральное число. Но это произойдёт позднее, в стар­
ших классах, а пока мы сделаем лишь один скромный шаг в этом
направлении: введём понятие степени с нулевым показателем,
т. е. выясним, какой смысл придаётся в математике символу а0.
А ведь этот символ «напрашивается». Смотрите: 25 : 23 = 25_3 = 22,
З8 : 3 = З8-1 = З7. Почему бы не написать 54 : 54 = 54-4 = 5°?
До сих пор всё было хорошо: а3 — это значит, что число а нужно
умножить само на себя 3 раза, а 10 — это значит, что число а нужно
умножить само на себя 10 раз, а1 — это просто а. А что
степень
такое а0? Ведь нельзя же, в самом деле, умножить число
с нулевым
а само на себя 0 раз!
показателем
Хотелось бы, чтобы для а0 выполнялись привычные
правила, например, чтобы при вычислении а3
затели складывались: а3 ■
Получается, что а3 • а0 = а3. Значит, а0
1 (при этом нужно
ввести естественное ограничение — а 0). Проведённое рассуждение
как-то мотивирует следующее определение.
Определение
Если а Ф 0, то а0 = 1.
Например, 5,7° = 1; (-3)° = 1; (2а)° = 1 и т. д. Однако учтите, что
символ 0° считается в математике не имеющим смысла.

В о п р о сы д л я с а м о п р о в е р к и
1. Сформулируйте определение степени с нулевым показа­
телем.
2. Сравните; (987 654 321)° и О987654321.

ГЛАВА

а СТЕПЕНЬ с НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ И ЕЁ СВОЙСТВА

Л.

3. Как вы думаете, можно ли отрицательное число возвести в
нулевую степень?
4. Как вы думаете, почему запись 0° считается в математике
лишённой смысла?

РАБОТА С ТАБЛИЦАМИ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Продолжим знакомство с таблицами распределения, способами их
составления и получения статистической информации на основе этих
таблиц. Для получения первоначальных данных обратимся к наше­
му задачнику. На этот раз — к задачам 18.1—18.6. Все эти задачи
определённо похожи друг на друга. Например, ответ в каждой из них
имеет вид (А)к, где А — некоторое числовое или буквенное выраже­
ние, a к — некоторое натуральное число, показатель степени. Посмо­
трим, как распределены эти показатели.
Ясно, что наименьшее значение к равно 2 (в 18.1 в)), а наиболь­
шее значение к равно 8 (в 18.2 а)). Значит, таблица распределения
показателей степеней будет примерно такой.
к

— показатель степени

2

3

4

5

7

6

8

Сколько раз встретилось к
Как заполнить пустые клетки? Можно выписать весь ряд дан­
ных, т. е. все показатели степени во всех задачах 18.1—18.6,
пп. а) — г). После этого упорядочить ряд и тогда легко будет запол­
нить таблицу распределения. Но можно провести такое заполнение
и без выписывания рядов данных. Мы сразу будем вносить данные
в таблицу. Для этого вставим в таблицу дополнительную среднюю
строку. В ней будем проводить промежуточные подсчёты.
В № 18.1 а) ответ З4, т. е. к = 4. Поставим одну палочку во второй
строке под четвёркой. Мы «сосчитали» № 18.1 а).
k — показатель
k

степени

2

3

встретилось

4

5

6

7

8

/

Сколько раз встретилось к
В № 18.1 б) — г) ответы таковы: 76; 0 ,5 2; 8 ,4 5, т. е. k = 6, k = 2,
к = 5. Поставим по одной палочке во второй строке под шестёркой, под
Параграф написан П. В. Семеновым.

§23. Работа с таблицами распределения

125

двойкой и под пятёркой. Мы полностью «сосчитали» задачу 18.1. Вот
как в этот момент выглядит (не до конца заполненная) таблица:
k — показатель степени

2

к встретилось

/

3

4

5

6

/

/

/

81

7

В № 18.2 а) — г) ответы таковы: х8; у5; г 6; д3, . е. k = 8, k = 5,
k = 6, k = 3. Поставим ещё по одной палочке под вс сьмёр КОЙ, I1ятёркой, шестёркой и тройкой. Вот что получится.
; к — показатель степени
к встретилось

2

3

4

5

6

'

/

/

//

и

7

8

/

Точно так же можно поступать и со всеми остальными задачами
18.3 18.6. В итоге мы добавим ещё 16 = 4 ■4 наклонных палочек.
Таблица будет выглядеть так.
k — показатель степени
k встретилось

3

2
///

4

в

5

8

на на на он

/

В ней каждая пятая по счёту палочка перечёркивает предыдущие
четыре. Как говорили в старину, так, «по пяткам», действительно
удобнее считать.
Остаётся вспомнить, что для ответа нам нужны не сами выписан­
ные палочки, а их количество. Поэтому допишем в таблицу необхо­
димую строчку.
k — показатель степени
1

к встретилось

: Сколько всего раз встретилось к

2
///
3

3

4

5

6

на на на на
5

5

5

5

8
/
1

Если совсем точно отвечать на поставленный вопрос, то полага­
лось бы удалить среднюю строчку. Но этого можно и не делать, что­
бы не терять уже найденную информацию. К тому же средняя строка
полезна при проверке ответа и контроле за возможными ошибками.
Мы получили таблицу распределения, в которой показатели
степени 3, 4, 5 и 6 встречаются одинаковое количество раз (по 5).
Это почти равномерное распределение. При таком распределении
говорить о моде было бы странно: ведь почти все данные находят­
ся в одинаковом положении. Заметим, что первоначальный столбец
под числом «7» лучше убрать из ответа. Ведь показатель степени 7
не встретился ни разу: нет данных — нет столбца.

Г ^ г ё Т -

г л д в д 4 . и Е П Е Н Ь С Н А Т У РА Л ЬН Ы М П О К А ЗА ТЕЛ ЕМ И ЕЁ С В О Й С Т В А

Рассмотрим пример, в котором таблицу распределения придётся
составлять на основе круговой диаграммы.
ПРИМЕР 1
В интернет-магазине начали про­
давать новые компьютерные игры
№ 1—6. По результатам продаж че­
рез неделю на сайте магазина была
размещена диаграмма (см. рис. 77),
на которой было указано, что хитом
jjb 1
продаж является игра № 4, которой
№4
было продано 104 экземпляра.
а) Какова процентная доля игры
№ 5?
б) Сколько игр составляет 1 % про­
даж?
в) Сколько всего игр продано за эту
№3
Рис. 77
неделю?
г) Заполнить таблицу распределения количества проданных игр.
№5

Решение

а) Сумма процентов продаж всех игр, кроме № 5, равна
11 + 11 + 17 + 23 + 34 = 96. Значит, на долю игры № 5
приходится 100 - 96 = 4 (%).
б) Так как 102 проданных экземпляра игры № 4 составляют
34% , то 1% составляет 102 : 34 = 3 игры.
в) Всего продано 100% игр, а 1% составляет 3 игры. Значит,
всего продано 300 игр.
г) Для заполнения таблицы распределения надо указанные про­
центы продаж умножить на 3.

а) 4%;

6)3;

в) 300.

От статистики вернёмся к комбинаторике.
ПРИМЕР 2
В равенство 2п • 225 • 2k = 236 следует поставить такие натуральные
показатели п и k, чтобы получилось верное числовое равенство.
а) Сколько существует способов такой подстановки?
б) В скольких случаях верно неравенство п < k?
в) В скольких случаях п и k различны между собой?
г) В скольких случаях отношение k : п будет целым числом?

'* '4

§ 23. Работа с таблицами распределения
яшшямяаяш

127

Решение

а) Так как 2" • 225 • 2* = 2" +25+*, то п + к + 25 = 36, или
п + k — 9. Слагаемое п может принимать значения 1, 2, 3,
’ , 6, 7, 8. Действительно, если п = 9; п = 10; ... то слагаемое к уже
не может быть положительным. Значит, есть ровно восемь нужных
пар (л; k): это пары (1; 8), (2; 7), (3; 6), ..., (8; 1).
б) Из перечисленных восьми пар годятся только первые четыре:
(1; 8), (2; 7), (3; 6), (4; 5).
в) Проще определить, когда л = k. Но тогда л + k = 9, 2л = 9,
что невозможно, так как п — натуральное число. Поэтому во всех
восьми случаях п и к различны между собой.
г) Снова перебирая по очереди восемь возможных случаев (пункт
а), получаем, что отношение к : п будет целым числом только в двух
случаях (1; 8), (3; 6).
а) 8; б) 4; в) 8; г) 2.

Вопросы для самопроверки
1. Какое натуральное число записано в виде f f f f f f f f //?
2. Какое натуральное число записано в виде f f f f f f f f f f f f
3.
4.
5.
6.
7.
8.

пн-mfi

Запишите число 9 «в пятках» наклонных палочек.
Запишите число 26 «в пятках» наклонных палочек.
Найдите 250% от 250.
Сколько процентов от числа 52 составляет число 39?
40 % от какого числа составляет число 40?
Испорченный калькулятор может делать только одну опе­
рацию — вычислять 10% от числа. Через какое наимень­
шее число операций получится число, меньшее 0,1, если
начать с 2014?
9. Перечислите все решения уравнения 2л + k = 9 в натураль­
ных числах.
10. Перечислите все решения уравнения л + ЗА = 9 в натураль­
ных числах.

Основные результаты
Здесь даны основные определения, свойства, теоремы, фор­
мулы, правила, которые мы с вами изучали в § 18—22. Всё
это записано на сухом математическом языке без всяких
комментариев, поскольку комментарии, обоснования были
приведены в указанных параграфах.
а1 = а;
а" = а ■а ■ ■а;
п множителей

ГЛ АВ А 4 СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ И ЕЁ СВОЙСТВА

а0 = 1, где а Ф 0;
1

" =

1

( - l ) 2" = 1;

10 "

;

0

" =

0

;

(—I ) 2" ~ 1 = - 1 ;
=

100 ^ 0 ;
п нулей

а" ■ah = ап +*; а" + * + п = а" ■ак ■ат;
а" : аь = ап ~*, где п > ft;
(а")* = а"к;
апЬп = (аЬ)"; (abc)n = а"6"с";
= j ^ j , где 6 * 0 .
Знание этих формул — ключ к успеху в работе с любыми
алгебраическими выражениями. К этой работе мы присту­
паем постепенно, начиная со следующей главы.

Темы исследовательских работ
1. Свойства степеней с натуральным и нулевым показателем.
2. Таблицы распределения данных. Круговые диаграммы.

ОДНОЧЛЕНЫ.
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ
ОПЕРАЦИИ
НАД ОДНОЧЛЕНАМИ

ГЛ А В А

§ 24. П онятие одночлена. С тандартны й
вид одночлена
§ 25. Сложение и вычитание одночленов
§ 26. Умножение одночленов. Возведение
одночлена в натуральную степень
§ 2 7 . Деление одночлена на одночлен
§ 2 8 . Таблицы распределения ч а с т о т

ПОНЯТИЕ ОДНОЧЛЕНА.
СТАНДАРТНЫЙ ВИД ОДНОЧЛЕНА
Одночленом называют алгебраическое выражение, которое представ­
ляет собой произведение чисел и переменных, возведённых в степень
с натуральными показателями.
Примеры одночленов:

©

одночлен

2аЬ;

| а 2ху3;

(-2)ху2 ■

1J a W

(п е N).

Одночленами являются, в частности, все числа, лю­
бые переменные, степени переменных. Например, одно­
членами являются:
0;

2;

- 0 ,6 ;

х;

а;

Ь;

х 2; а 3;

Ьп (п е N).

Теперь приведём примеры алгебраических выражений, не являю­
щ ихся одночленами:
а + Ь; 2хг - Зу3 + 5;

Г Л А в а д Н О Ч Г Ш Н Ь 1. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ОДНОЧЛЕНАМИ

А как вы считаете: выражение

— одночлен или нет? Ведь оно

а2

по форме похоже на выражение —, которое фигурирует у нас среди
выражений, не являющихся одночленами, и содержит в своей записи
,
гг,
2аЪ
2аЬ — -а£>.
2 .
черту дроби.
Тем
не менее —-----одночлен.

Вот ещё два примера, построенных на контрасте: ^ и —. Как вы
считаете, какое из этих выражений одночлен, а какое нет? А теперь
проверьте себя: —

одночлен, его можно записать в виде -а; выра­

жение же — не является одночленом.Термины в математике надо
а
употреблять правильно.
2
Рассмотрим одночлен За • —а2Ъс. Глядя на это выражение, матема­
тик обычно рассуждает так: «От перемены мест множителей произве­
дение не изменится, запишу-ка я это выражение в более удобном виде:

(з ■§) ■(а • а2)Ьс.
Тогда, — думает математик, — я получу 2а3*Ъс, а эта запись удобнее
той, что была, хотя бы потому, что короче. Кроме того, в ней нет того
сумбура, какой был сначала: первый множитель — число, второй —
переменная а, затем снова число, потом опять переменная о, но уже в
квадрате и т. д.».
Стремящийся к чёткости, краткости и порядку математик на са­
мом деле привёл одночлен к стандартному виду.
Вообще, чтобы привести одночлен к стандартному виду, нужно:
1) перемножить все числовые множители и поставить их произве­
дение на первое место;
2) перемножить все имеющиеся степени с одним буквен­
ным основанием;
стандартный
3) перемножить все имеющиеся степени с другим бук­
вид одночлена
венным основанием и т. д.
Числовой множитель одночлена, записанного в стан­
коэффициент
дартном виде, называют коэффициентом одночлена.
одночлена
Любой одночлен можно привести к стандартному виду.

ПРИМЕР
Привести одночлен к стандартному виду и назвать коэффициент од­
ночлена:
а) 3x 2yz • (-2)зcy2z5;
в) -2 а х 2у3гп ■i ахъу г;
б) 4аЬ2с •

г) Sab

То"'

‘ ^ложение и вычитание одночленов

Решение

а) Ъх2уг ■(-2 )ху2г3 = 3 ■(-2 )x2xyy2zzb = -6 x3y3z3.
Коэффициент одночлена равен -6.
б ) 4 аЬ2с

■- с = 4 • ia b 2c • с = 1 ■ ab2c2 = аЬ2с2.
4
4
Коэффициент одночлена равен 1, такой коэффициент обычно не
пишут, но подразумевают.
в) -2ax2y3z" ■\а х ъуг = (-2) ■~aax2x5y3yznz = -a 2x 7y*zn+1.
2

2

Коэффициент одночлена равен -1.
г) А это, как говорят, «маленькая провокация»: одночлен не надо
приводить к стандартному виду, он и так записан в стандартном
з

виде: — аЪ. Коэффициент одночлена равен 0,3.

Вопросы для сам опроверки
1. Что такое одночлен?
2 . Можно ли назвать одночленом выражение 2 а3Ьсг; 2а3 + Ъс2?

3. Расскажите, как привести одночлен к стандартному виду,
и проиллюстрируйте свой рассказ на примере одночлена
3 аЬс2а3Ьс2.
4. Приведите свой пример одночлена, записанного в стан­
дартном виде, и одночлена, не записанного в стандартном
виде. Во втором случае приведите одночлен к стандартному
виду.
5. Составьте одночлен с переменными х, у и с коэффициентом 1.
6. Составьте одночлен с переменными а, Ь, с и с коэффициен­
том -1.

§25

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ
ОДНОЧЛЕНОВ

В этой главе мы изучаем новые для вас математические объекты —
одночлены. Образно говоря, если для математического языка числа,
переменные и степени переменных являются буквами, то одночле­
ны — слогами. Когда в детстве вы учились читать, то сначала изу­
чали буквы, затем читали слоги и только потом целиком произно­
сили написанное слово; буквы, слоги, слова, предложения — этапы
изучения языка. И тут уже не важно, нравятся нам одночлены как
самостоятельный объект изучения или нет, ничего не поделаешь —

без уверенного владения ими нам не обойтись, если мы хотим свобод­
но владеть математическим языком.
В § 24 мы ввели понятия одночлена, стандартного вида одночле­
на. Значит, надо научиться работать с одночленами, например, вы­
полнять над ними арифметические операции. При этом сразу дого­
воримся, что будем рассматривать только одночлены, записанные в
стандартном виде.
Определение____________________ _________________________________________________

Два одночлена, состоящие из одних и тех же переменных, каждая из
которых входит в оба одночлена в одинаковых степенях (т. е. с рав­
ными показателями степеней), называют подобными одночленами.
Примеры подобных одночленов:
2а и 5а, 3 аЪ2с и -~аЬ2с, х" и Ьхп.
7
Как видите, подобные одночлены отличаются друг от
подобные
друга только коэффициентами (впрочем, и коэффициенодночлены
ты могут быть равны, например, Tab и Tab — подобные
одночлены).
А вот примеры неподобных одночленов:
5а и За2, 2х и Ту, За2Ь2 и 6а2Ь.
Слово «подобные» имеет примерно тот же смысл, что в обыденной
речи слово «похожие». Согласитесь, что одночлены 5а2Ъ и 23а26 по­
хожи друг на друга (подобные одночлены), тогда как одночлены 5а2Ь
и 23ab3c2 не похожи друг на друга (неподобные одночлены).
Рассмотрим сумму двух подобных одночленов 5а2Ь + 23а2Ь. Вос­
пользуемся методом введения новой переменной: положим а2Ь = с.
Тогда сумму Ъа2Ъ + 23а2Ь можно переписать в виде 5с + 23с. Эта сум­
ма равна 28с. Итак, Ьа2Ь 4- 23а2Ь = 28а2Ь.
В чём смысл этого преобразования? Смысл в том, что равенство
5а2Ь + 23а2Ь = 28а2Ь является верным при подстановке любых значе­
ний переменных.
Нам удалось сложить подобные одночлены; оказа­
метод
лось, что это очень просто: достаточно сложить их коэф­
введения
фициенты, а буквенную часть оставить неизменной. Так
новой
же обстоит дело и с вычитанием подобных одночленов.
переменной
Например,
7аЬс3 - 9аЬс3 = (7 - 9) abc3 = -2aftc3.
А как быть, если одночлены неподобны: можно ли их складывать,
вычитать? Увы, пока нельзя! Мы вернёмся к этому вопросу позднее,
в главе 6.
Сейчас мы сформулируем алгоритм сложения и вычитания од­
ночленов (впрочем, обычно оставляют только термин «сложение», а
знак «минус» относят к коэффициенту).

АЛГОРИТМ СЛОЖЕНИЯ ОДНОЧЛЕНОВ
1. Привести все одночлены к стандартному виду.
2. Убедиться, что все одночлены подобны; если же они неподобны,

то алгоритм далее не применяется.
Найти сумму коэффициентов подобных одночленов.
4. Записать ответ: одночлен, подобный данным, с коэффициентом,
полученным на третьем шаге.
3

.

Упростить выражение
2а2Ь - 7а ■0,5Ъа + ЗЬ ■2а ■(-0,5а).
Реш ение

Речь идёт о сложении одночленов, значит, будем действо­
вать в соответствии с алгоритмом.
1) Первый одночлен уже имеет стандартный вид.
Для второго одночлена имеем:
7а ■О.ЬЬа = (7 • 0 , 5) • (а ■а) Ъ = 3,5а2Ь,
это стандартный вид.
Приведём к стандартному виду третий одночлен:
ЗЬ ■2а ■(-0,5а) = 3 • 2 ■(-0,5) • (а ■а) Ь = -З а 2Ь.
2) Получили три одночлена: 2а26, 3,5а2Ь, -З а 2Ь. Они подобны, по­
этому с ними можно производить дальнейшие действия, т. е. перехо­
дить к третьему шагу алгоритма.
3) Найдём сумму коэффициентов трёх полученных одночленов:
2 - 3,5 - 3 = -4,5.
4) Запишем ответ: -4 ,5 а2Ь.

ПРИМ ЕР 2

Представить одночлен 27аЪг в виде суммы одночленов.
Здесь в отличие от рассмотренных ранее примеров решение
не единственное (а разве в жизни во всех случаях вы може­
те найти единственное решение? Иногда решений несколько, а ино­
гда решения и вовсе нет). Можно написать

Реш ение

27 аЬ2 = 20 ab2 + la b 2,

и это будет верно. Можно написать
27 аЬ2 = 15а62 + 12ай2,

что также будет верно. Можно написать так:
27 ab2 = ab2 + 26 аЪ2

и даже так:
27а62 = ЮОаб2 - 73аЬ2.

134

Г Л А В А 5. О Д Н О Ч Л Е Н Ы .

а р и ф м е т и ч е с к и е о перац ии н а д о д н о ч л е н а м и

Можно указать ещё ряд решений. Главное, чтобы сумма коэффици­
ентов складываемых подобных одночленов была равна 27.
Кстати, не обязательно составлять сумму двух одночленов (в ус­
ловии ведь это не оговорено). Значит, можно предложить, например,
такое решение: 27ab2 = 20аЪ2 + 4аЪ2 + Sab2.
Или такое: 27ab2 = 2ab2 + Sab2 + 22ab2 — ЬаЪ2.
Попробуйте сами придумать ещё несколько решений примера 2.
Мы заканчиваем изучение темы «Сложение и вычитание одночле­
нов». Но вы, наверное, ощущаете какую-то недоговорённость. Мало
ли с какими одночленами нам придётся иметь дело в дальнейшем, а
вдруг среди них будут н еп од обн ы е? Что делать, если, составляя ма­
тематическую модель реальной ситуации, мы пришли к выражению,
представляющему собой сумму неподобных одночленов, например
2ab + За - 5Ы Математики нашли выход из положения: такую сумму
назвали многочленому т. е. ввели новое понятие, и научились произво­
дить операции над многочленами. Но об этом речь впереди, в главе 6.

Вопросы для са м о п р о в е р к и
1. Какие одночлены называют подобными? Приведите пример
двух подобных одночленов и пример двух неподобных од­
ночленов.
2. Будет ли сумма или разность двух подобных одночленов
одночленом? Приведите два соответствующих примера.
3. Будет ли сумма или разность двух неподобных одночленов
одночленом?
4. Используя переменные т и п , составьте одночлен с коэф­
фициентом 36 и представьте его в виде суммы одночленов
несколькими способами.
5. В каком случае сумма двух подобных одночленов, содержа­
щих буквенные части, является числом? Что это за число?

§26

УМНОЖЕНИЕ ОДНОЧЛЕНОВ.
ВОЗВЕДЕНИЕ ОДНОЧЛЕНА
В НАТУРАЛЬНУЮ СТЕПЕНЬ

В § 25 мы рассматривали сложение и вычитание одночленов. Оказа­
лось, что эти операции применимы только к подобным одночленам.
А как обстоит дело с умножением одночленов? Очень просто: если
между двумя одночленами поставить знак умножения, то снова по­
лучится одночлен; остаётся лишь привести его к стандартному виду
(фактически это мы уже делали в примере из § 24). Не вызывает за-

труднений и возведение одночлена в степень. При этом используются
правила действий со степенями (фактически в примере 3 из § 21 мы
уже возводили одночлен в степень).
ПРИМЕР 1

Найти произведение трёх одночленов: 2а2Ьсъ, -а 3сх3 и а2Ь.
4
(2 а 26с5) ^ а 3сх 3j ■(а 26) = ^2 •

Решение

(а2а3а 2) ■(6 • 6) • (с5с) х 3 =

= 1,5а7Ь2с6л:3.

ПРИМЕР 2

шшяшшшшшяшяя

Упростить выражение (-2а2Ьс3)5 (т. е. представить его в виде од­
ночлена).
Решение

(-2 а26с3)5 = -2 5(а2)565(с3)5 = -3 2 а1065с15.
Мы использовали, во-первых, тот факт, что при возведении
произведения в степень надо возвести в эту степень каждый множи­
тель. Поэтому у нас появилась запись -2 5(а2)565(е3)5.
Во-вторых, мы воспользовались тем, что (-2)5 = - 2 5.
В-третьих, мы использовали тот факт, что при возведении степе­
ни в степень показатели перемножаются. Поэтому вместо (а2)5 мы на­
писали а 10, а вместо (с3)5 мы написали с15.

ПРИМЕР 3

шяшшяшш

Представить одночлен 36а2Ь4е5 в виде произведения одночленов.
Решение

Здесь, как и в примере 2 из § 25, решение не единственное.
Вот несколько вариантов решения:
3 6 a W = (18а2) • (264с5);
36а2Ь4с5 = (ЗбаЬс) • (abV );
36а264с5 = (-3&4) • (-12а2с5);
36а2Ь4с5 = (2а2) • (36с) • (663с4).
Попробуйте сами придумать ещё несколько решений примера 3.

ПРИМЕР 4

Представить данный одночлен А в виде В", где В — одночлен, если:
а) А = 32а5, п = 5;
г) А = -27а369, п = 3;
б) А = а3Ь6, п = 3;
д) А = 16а865, п = 4.
в) А = 49а2Ь4с6, п = 2;

Решение

| а) 32а5 = 25а5 = (2а)5. Значит, А = В5, где В = 2а.
б) а3й6 = а3(й2)3 = (ай2)3. Следовательно, А = В3, где В = ab2.
в) Так как 49а2й4сб = 72а2(й2)2(с3)2 = (7ай2е3)2, то А = В 2, где

г) Поскольку -2 7 а3й9 = (-З)3а3(й3)3 = (-Зай3)3, заключаем, что
А = В3, где В = -Зай3.
д) С одночленом 16а8й5 у нас ничего не получится. Почему? Да­
вайте рассуждать. Если бы не было множителя й5, то задача реша­
лась бы без труда: 16а8 = 24(а2)4 = (2а2)4; если бы вместо й5 был мно­
житель, например, й12, то мы решили бы задачу так:
16а8й12 = 24(а2)4(й3)4 = (2а2й3)4.
Однако множитель й5 нельзя представить в виде (й*)4, где k — нату­
ральное число; этот множитель, как говорится, «портит всё дело».
Значит, одночлен 16а8й5 нельзя представить в виде В4, где В — неко­
торый одночлен.
Пример 4д) показывает, что в математике далеко не всё получается,
не любая задача имеет решение (как и в реальной жизни).
Кстати, если математику предлагают задание, заведомо невы­
полнимое (например, разделить 5 на 0 или найти точку пересечения
параллельных прямых), то он говорит: «Задача поставлена некор­
ректно» или «Это — некорректная задача». Тот, кто предложил не­
корректную задачу, должен извиниться. Вот и авторы извиняются за
пример 4д). Хотя согласитесь, что он был дан не без пользы.
Раз уж мы заговорили о корректных и некорректных задачах,
приведём ещё несколько примеров и тех и других, а вы попытайтесь
объяснить, почему задача корректна или некорректна.
Корректные задачи:
1. Упростить 2ай2 ■(Зай)3.
2. Упростить lab + 8ай + ай.
3. Вычислить 2,7 + 3’8
2-6

4. Представить одночлен 13а4й5 в виде суммы одночленов.
5. Представить одночлен 48х3уьг в виде произведения одночленов.
6. Представить одночлен А = 25а4 в виде квадрата некоторого од­
ночлена В.
Некорректные задачи:
1. Сложить одночлены Зай2, 5ай2 и 7а2й.
2. Вычислить 2,7 + 3,8.
6-6

3. Представить одночлен А в виде квадрата некоторого одночлена
В , если А = -2 5 а4.
4. Найти точку пересечения прямых у = -З х + 1 и у = ~3х + 5
(см. пример 16) в § 11).

527. Деление одночлена на одночлен

137

Вопросы для самопроверки
1. Как перемножить два одночлена? Приведите пример.
2. Используя переменные р, q и г, составьте одночлен с коэф­
фициентом 144 и представьте его в виде произведения од­
ночленов несколькими способами.
3. Как возвести одночлен в натуральную степень? Приведите
пример.
4. Представьте одночлен 16а4Ь6 в виде произведения двух од­
ночленов, в виде степени одночлена.

щ

ДЕЛЕНИЕ ОДНОЧЛЕНА НА ОДНОЧЛЕН

Что такое одночлен, мы знаем; как одночлены складывать, вы­
читать, перемножать и даже возводить в степень — обсудили.
Но ведь имеется ещё деление — операция, обратная умножению.
Можно ли быть уверенным в том, что операция деления одночле­
на на одночлен всегда выполнима — в том смысле, что в частном
получится одночлен? Вот об этом и поговорим.
ПРИМЕР 1

Опираясь на свойства арифметических действий, попытаемся выпол­
нить деление одночленов:
а) 10а : 2;
г) ^ х ау2г : (-2хау2г);
б) 18а& : (За);
в) З6а365 : (4aft2);

д) 4х3 : (2ху);
е) а2 : а5.

а) Воспользуемся тем, что если произведение двух чисел де­
лят на третье число, то можно разделить на это число один
множитель и полученное частное умножить на другой множитель.
(Вспомнили? Например, (12 • 4) : 3 = (12 : 3) ■4 = 4 • 4 = 16.) Имеем;
10а : 2 = (10 : 2) ■а = 5а.
б) Рассуждаем, как в примере а);
18aft : (За) = (18 : 3) • (а : а) Ь = 6 ■1 ■6 = 66.
в) З6а3й6 ; (4а&2) = (36 : 4) • (а3 : а) ■(ft5 : ft2) = 9а263.
Иногда удобнее вместо знака деления (:) использовать черту дро­
би. Вот как тогда будет выглядеть решение примера в):

Решение

36а3Ь5 = 36 . а ! . *1 = ga2ft3
4aft2
4
а Ь2

ГЛАВА S. ОДНОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ОДНОЧЛЕНАМИ

г) Здесь мы используем комбинированную запись решения, т. е.
и знак деления, и черту дроби:
| х3у2г : (-2 x 3y2z) = ( j : (-2)j
4
у?_ у^_ £ = _ 2 , 1
7 - 2 ' х 3 ' у2 г
7

^ . j = _2
7'

Здесь всё верно, но, как говорят математики, нерационально, по­
скольку сразу было ясно, что x 3y2z : x 3y2z = 1 (фактически выраже­
ние делится само на себя).
д) 4х3 : (2ху) =

4х3

4

1 = р 2 . 1 - 2ж2

2х у

2 х

у

у

у

Это не одночлен, значит, разделить 4х3 на 2ху нельзя (в том смыс­
ле, чтобы в частном получился одночлен).
е) И эта задача невыполнима, так как мы пока не умеем делить
при одном и том же основании степень с меньшим показателем на
степень с большим показателем.
Мы рассмотрели шесть примеров, из них четыре оказались кор­
ректными, а два (последние) — некорректными (этот термин мы вве­
ли в § 26).
Проанализируем теперь решённые примеры и попробуем с помо­
щью этого анализа выяснить, когда можно разделить одночлен на
одночлен так, чтобы в частном снова получился одночлен.
Естественно, удобнее, чтобы оба одночлена (и делимое, и делитель)
были записаны в стандартном виде (впрочем, об этом мы условились
ещё в § 25) с отличными от нуля коэффициентами.
Первое наблюдение. В делителе не должно быть переменных,
которых нет в делимом (по этой причине мы «споткнулись» в приме­
ре 1д)).
Второе наблюдение. Если в делимом и делителе есть одна и та
же переменная, причём в делимом она возводится в степень п, а
в делителе — в степень /г, то число k не должно быть больше числа п
(поэтому мы «споткнулись» в примере 1е)).
Третье наблюдение. Коэффициенты делимого и делителя могут
быть любыми, за исключением делителя, равного нулю (поскольку
мы умеем делить друг на друга любые числа, кроме, разумеется, де­
ления на нуль).
Значит, если вам предложат разделить одночлен на одночлен, то
сначала убедитесь, что задача корректна, т. е. проведите указанные
наблюдения и убедитесь, что всё в порядке. В случае, когда задача
корректна, решайте её по образцу примера 1.

i

В
н
н
а
Упростить 48a465c6d : (З6а63сб).

ПРИМЕР 2

ш

н

н

н

Реш ение

1 1) Оба одночлена (и делимое, и делитель) записаны в стан­
дартном виде.
2) В ,целимом фигурируют переменные a, b, с, d, в делителе а, Ъ, с.
Лишних переменных в делителе нет.
3) В делителе нет степеней больших, чем у одноимённых переменных в делимом.
В ы в од: задача корректна, будем её решать:
*™ Z Cld - « • “4 ■Ь1 ■С6 ■d - о ■“3 ■Ь2 • 1 • d - \а*ЪЧ.
36а63с6
36 а ь3 с6
3
3
Вы чувствуете, что в этом параграфе, как и в § 25, есть недого­
ворённость? А что же всё-таки делать, если одночлен на одночлен не
разделился? Разве мы застрахованы от такой ситуации? Поэтому ма­
тематики ввели новый объект — алгебраическую дробь. Вспомните,
ведь и обыкновенные дроби появились из-за того, что во множестве
натуральных чисел деление выполнимо не всегда; например, 14 де­
лится на 7, а 13 не делится на 7. Как записывается ответ во втором
случае, когда надо всё-таки разделить 13 на 7? Он записывается в
виде обыкновенной дроби —. Алгебраическая дробь встретилась нам в
2х2

примере 1д) — это было выражение----. И конечно, математики наУ

учились оперировать этими новыми объектами — алгебраическими
дробями. Мы будем изучать их в 8-м классе, а встретимся ещё раз
в § 42.

Вопросы для самопроверки
1. Проверьте, можно ли одночлен 8а3Ьс2 разделить на од­
ночлен 2а2Ьс. Если да, то выполните деление; если нет, то
объясните почему.
2. Проверьте, можно ли одночлен 8а3Ъс2 разделить на од­
ночлен 2аЪс2. Если да, то выполните деление; если нет, то
объясните почему. А как обстоит дело с делением на од­
ночлен a3bc2d l
3. Всегда ли задание разделить одночлен на одночлен являет­
ся корректным?
4. Приведите пример, когда задание разделить одночлен на
одночлен является корректным.
5. Приведите пример, когда задание разделить одночлен на
одночлен является некорректным.

140

" г л а в а 5 ОДНОЧЛЕНЫ.

арифметические операции над одночленами

ТАБЛИЦЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТОТ
В конкретном ряду данных какие-то данные встречаются чаще, ка­
кие-то реже. Например, мода (по своему определению) встречается
чаще всего. Допустим, что какое-то данное (какой-то результат) встре­
тилось 10 раз. Десять раз — это много или мало, часто или редко?
Для ответа необходимо иметь в виду объём всего ряда. Действи­
тельно, 10 раз в ряду из 20 результатов — это половина, а те же
10 раз в ряду из 1000 результатов — это всего лиш ь одна сотая. Од­
новременный учёт и объёма ряда, и количества вхождений в этот ряд
конкретного результата приводит к новому и крайне важчастота результата
ному понятию частоты.
С колько раз результат встретился
Частота результата = ---------------- yrz —---------------------------Посмотрим, как это выглядит в конкретном примере. Откроем за­
дачник в начале главы 5. В первом же упражнении 20.1 есть цифры
и есть буквы. Выпишем все встречающиеся цифры по порядку, слева
направо, вклю чая и номер упражнения. Получится числовой ряд:
1, 6, 1, 3, 1, 2, 2, 3, 0, 3, 5, 9, 2, 3.
Составим таблицу распределения полученных 14 чисел; послед­
ний столбец — для контроля подсчётов.
j Результат
Сколько р аз встретился

0

1

2

3

5

6

9

Всего: 7

1

3

3

4

1

1

1

Сумма: 14

Результат «9» встретился 1 раз из 14. Поэтому его частота равна
— . Результат «1» встретился 3 раза из тех ж е 14. Поэтому его часто3

та равна — . Если каждое число из второй строки разделить на 14 и
результаты записать в третью строку, то получится более подробная
таблица.
\

Результат

! Сколько р аз встретился
Ч астота

0

1

2

3

5

6

9

Всего: 7

1

3

3

4

1

1
14

3 3
14 14

2

1
14

1
1
14

1
1
14

Сумма: 1

Параграф написан П. В. Семеновым.

7

Сумма: 14

§ 28 . Таблицы распределения частот

141

Н М Н Ш И И 1

После заполнения третьей строки сведения из второй строки мож­
но удалить. Ведь они уже учтены. Останется таблица распределения
ч астот.
Результат

0

1

2

3

5

6

9

Всего: 7

Частота

1
14

3
14

3
14

2
7

1
14

1
14

1
14

Сумма: 1

таблица
распределения
частот

На практике бывает удобно всё же сохранить вторую
строку и работать с более полной таблицей из трёх строчек.
Во-первых, не нужно ещё раз переписывать те же данные
в ещё одну таблицу из двух строк. Во-вторых, это способ
проконтролировать возможные вычислительные ошибки.

ТЕО РЕМ А
У любого ряда сумма частот всех данных равна единице.
Доказательство

Мы проведём его для ряда, в котором встречаются 4 раз­
ных результата.

Результат
Сколько раз встретился
| Частота

а

ъ

с

d

Всего: 4

k

т

п

S

Сумма: v = k + m + n + s

k
V

т
V

п
V

S
V

Сумма: ?

т т „..
k . т . п . s
k+т +п+s
v
Найдем сумму всех частот: —+ — + — + —= --------------- = — = 1.
v
v
v
v
v
v
Теорема доказана.

Замечание

Если при подсчёте частот обыкновенные дроби заменить на их прибли­
жённые значения в десятичных дробях, то сумма частот вполне может ока­
заться равной 1 лишь приближённо. Например, если ^ заменить её прибли­
жением 0,333, то получим следующую таблицу.

Результат
Сколько раз встретился
Частота

©
1

©

оо

Всего: 3

1

1

Сумма: 3

0,333 0,333

0,333

Сумма: 0,999 = 1

" лдваТ

одночлены, арифметические операции над одночленами

ПРИМЕР
Следующие одночлены (—ab)3 • (—&)4, Зх ■4xi/, (2Ь)4 • 0,75с, ( 2dn)2,
(-pq)5 • (-р)3, (-а)2017, 2аЬ ■6с, (-0,25*) • (2*)2, (5с)2 • 0,48d, Зх2 + (Зх)2,
(0,5у2)2 + 0,75у\ (6р)2 : 3р привели к стандартному виду и выписали их числовые коэффициенты. Составить: упорядоченный числовой
ряд коэффициентов, таблицу распределения коэффициентов, табли­
цу распределения частот.
У 12 одночленов есть 12 числовых коэффициентов. Вот они
по порядку следования:
-1 , 12, 12, 4, 1, -1 , 12, -1 , 12, 12, 1, 12.
Упорядочим этот ряд: -1 , -1 , -1 , 1, 1, 4, 12, 12, 12, 12, 12, 12.
Составим таблицу распределения коэффициентов.

Решение

Коэффициент

-1

1

4

12

Всего: 4

Сколько раз встретился

3

2

1

6

Сумма: 12

Делим все данные из второй строки на 12. Результаты дописываем в
третью строку.
Коэффициент

-1

1

4

12

Всего: 4

Сколько раз встретился

3

2

1

6

Сумма: 12

Частота

1
4

1
6

1
12

1
2

Сумма: 1

Если мы знаем числа во второй строке, то мы знаем объём ряда
и можем написать все дроби в третьей строке. Обратное утверждение
неверно. Смотрите: если все числа во второй строке увеличить в 5 раз,
то и объём увеличится в 5 раз. Но при этом все частоты останутся не­
изменными, так как общий множитель 5 сократится при вычислении
нужной дроби. Вывод: зная только частоты результатов, невозможно
сказать, сколько именно раз встретился каждый результат. Для от­
вета необходимо знать объём ряда: умножая частоту на объём, мы
найдём, сколько раз встретился результат.

Вопросы для самопроверки
Подряд выписали числа от 11 до 20. Между цифрами по­
ставили запятые: 1, 1, 1, 2, ..., 1, 9, 2, 0.
1. Для полученного ряда цифр найдите:
а) объём; б) размах; в) моду; г) медиану; д) частоту цифры 7;
е) частоту моды.

Основные результаты

143

2. Может ли частота результата равняться 1,1; 0,1; -0 ,1 ?
3. Может ли частота равняться нулю?
4. Приведите пример ряда объёма 20, в котором ровно 5 раз­
ных данных одинаковой частоты.
5. Верно ли, что частота результата определена только для ря­
дов, состоящих из чисел?

Основные результаты

®



Перечислим главное из того, что обсуждалось в этой главе,
а вы проверьте, знаете ли вы то, что написано ниже, и смо­
жете ли объяснить это постороннему человеку.
Итак, основное из того, что мы изучили в главе 4:
— понятие одночлена;
— запись одночлена в стандартном виде;
— понятие коэффициента одночлена;
— понятие подобных одночленов;
— какие одночлены можно складывать (вычитать), какие
нельзя;
— как складывать (вычитать) подобные одночлены;
— как представить одночлен в виде суммы подобных од­
ночленов;
— как перемножать одночлены;
— как возвести одночлен в натуральную степень;
— в каком случае один одночлен можно разделить на дру­
гой и как это сделать.
Мы познакомились с понятием частоты результата измере­
ния и с тем, как составлять таблицы распределения частот.

Темы исследовательских работ
1. Деление одночлена на одночлен.
2. Частота результата. Таблица распределения частот.

МНОГОЧЛЕНЫ.
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ
ОПЕРАЦИИ НАД
МНОГОЧЛЕНАМИ
ГЛАВА

§29

§ 29.
§ 30.
§31.
§ 32.
§ 33.
§ 34.
§ 35.
§ 36.

Основные п о н я т и я
Сложение и вы ч и т ан и е многочленов
Умножение многочлена на одночлен
Умножение многочлена н а многочлен
Ф ор м у л ы сокращ ённого ум нож ения
М е т о д выделения полного к в а д р а т а
Деление м ногочлена н а одночлен
П р о ц ен тн ы е ч а с т о т ы .

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
_____ --------- ---------- ---------- -------------- ----

В главе 5 мы уже отмечали, что не любые одночлены можно склады­
вать и вычитать, а только подобные; также отмечали и то, что реаль­
ная задача может привести к такой математической модели, в кото­
рой будет содержаться сумма неподобных одночленов. Для изучения
таких сумм в математике введено понятие многочлена.

ие
Многочленом называют сумму одночленов.

многочлен
двучлен
трёхчлен

Примеры многочленов:
2а + Ь;
5а2Ь - ЗаЬ2 - ЗаЪ2 + 7с;
х5 + х4 + х2 - 2.
Разумеется, существуют алгебраические выражения,
х
2
не являющиеся многочленами. Например, —, 2л:2 + 5у —
У
У
Слагаемые (одночлены), из которых состоит мно­
гочлен, называют членами многочлена: если их два, то
говорят, что дан двучлен (например, 2а + b — двучлен),

если их три, то говорят, что дан трёхчлен (например, трёхчленом яв­
ляется выражение 5а —2сЪ2 + 7с). С этой точки зрения становит­
ся понятнее термин «одночлен» и то, что одночлен обычно считают
частным случаем многочлена.
Рассмотрим многочлен
2аЬг ■За2Ь - 5а - 1а + 3Ь2 - -з а2Ь2 ■6а - 2Ь2.
То, что это
многочлен, сомнению не подлежит (поскольку записа­
на сумма одночленов), но нравится ли вам такая запись? Наверное,
нет. Почему?
Во-первых, одночлен 2ab2 ■3а2Ь не записан в стандартном виде, а
мы знаем, что стандартный вид — наиболее удобная запись одночле­
на. Приведя его к стандартному виду, получим 6а3Ь3.
Аналогично надо привести к стандартному виду ещё один член
многочлена, а именно ——а2Ь3 ■6а. Получим —2а3Ь3.
Теперь запись данного многочлена принимает более приятный
вид 6а363 - 5а - 7а + ЗЬ2 - 2а363 - 262.
Во-вторых, поскольку от перемены мест слагаемых сумма
не меняется, подобные одночлены можно расположить рядом,
а затем сложить.
Получим
(6а363 - 2а363) + (-5а - 7а) + (ЗЬ2 - 262) = 4а3Ь3 - 12а + Ь2.
Правда, обычно подобные одночлены в многочлене не переставля­
ют, их одинаково подчёркивают, а потом складывают:
6а3Ь3 - 5а - 7а + 362 - 2а3й3 - 262 = 4а363 - 12а + Ь2.
Эту процедуру называют приведением подобных членов.
Если в многочлене все члены записаны в стандартном виде и при­
ведены подобные члены, то говорят, что многочлен приведён к стан­
дартному виду (или записан в стандартном виде).
Теперь вы понимаете, почему запись 4а3Ь3 - 12а + Ъ2
предпочтительнее первоначальной записи
приведение
подобных членов
стандартный вид
многочлена

1

2аЪ2 ■3а2Ъ - 5а - 7а + 362 - - а 263 • 6а - 2Ь2?

Дело в том, что первоначальная запись — не стандартный
вид многочлена, a 4a3ft3 - 12a + Ъ2 — стандартный вид.
Любой многочлен можно привести к стандартному виду. Усло­
вимся в дальнейшем всегда с этого начинать — так удобнее произво­
дить действия с многочленами.
Обычно многочлен обозначают буквой р или Р — с этой буквы на­
чинается греческое слово polys («многий», «многочисленный»; мно­
гочлены в математике называют также полиномами). В обозначение
включают и переменные, из которых состоят члены многочлена.
Например, многочлен 2х2 — 5х + 3 обозначают р(х) — читают «пэ

ГЛАВА 6.

МНОГОЧЛЕНЫ. арифметические операции над многочленами

от икс»; многочлен 2х2 + 3ху — у4 обозначают р(х; у)
от икс, игрек» и т. д.

читают «пэ

Дан многочлен
р(х; у) = 2х - 3х у 2 - 7х3 ■2х - З х 1 + 2у 4 + 5х 2у г - 2х у • 4у 2.
а) Записать его в стандартном виде;
б) вычислить: р( 1; 2); р ( - 1; 1); р(0; 1).
Реш ение

а) 2х ■3х у 2 - 1х3 ■2х - З х4 + 2у 4 + 5х 2у 2 - 2ху ■4у 2 =
= 6х 2у 2 - Х4х4 - З*4 + 2г/4 + 5дс2г/2 - 8х у 3 =
= U * V - 17а:4 + 2г/4 - 8 х у 3;
это стандартный вид многочлена.
б) Запись р (1 ; 2) означает, что нужно найти значение многочлена
р(х; у) при х = 1, у = 2. Вычисления будем производить для мно­
гочлена, записанного в стандартном виде:
р(х; у) = I I * 2!/2 - 17*4 + 2yi - 8х у 3.
Имеем:
р(1; 2) = 11 ■I 2 • 22 - 17 ■I 4 + 2 • 24 - 8 • 1 • 23 =
= 44 - 17 + 32 - 64 = -5 .
Итак, р( 1; 2) = -5 .
Аналогично
р ( - 1; 1) = 11 • (-1 )2 I 2 - 17 - (-1 )4 + 2 • I 4 - 8 • (-1 ) • I 3 =
= 11 - 17 + 2 + 8 = 4,
т. е. _р(—1; 1) = 4.
Наконец,
р(0; 1) = 11 О2 • I 2 - 17 ■О4 + 2 ■I 4 - 8 ■0 ■I 3 =
=

0

-

0

+

2

-

0

=

2.

И так, р (0; 1) = 2.

Вопросы для сам опроверки
1. Что такое многочлен?
2. Опишите процесс приведения многочлена к стандартно­
му виду. Прокомментируйте это на примере приведения к
стандартному виду многочлена 2ababc - Sabcb2 + 4bcbab +
+ 5 a2bcb.
3. Если р(х; у) = 3х 2у - 2х у 2 + 2х - Зу, то чему равно р(1; -1)?

Jig;Сложение и вычитание многочленов

147

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ
МНОГОЧЛЕНОВ
В предыдущем параграфе мы ввели понятия многочлена и
стандартного вида многочлена. Вы уже, наверное, начинаете
привыкать к тому, что, введя новое понятие, надо учиться работать с
ним. В частности, будем учиться выполнять арифметические опера­
ции над многочленами.
Начинаем со сложения и вычитания. Это очень простые опера­
ции: чтобы сложить несколько многочленов, их записывают в скоб­
ках со знаком «+» между скобками, раскрывают скобки и приводят
подобные члены. При вычитании одного многочлена из другого их
записывают в скобках со знаком «—» перед вычитаемым, раскрывают
скобки и приводят подобные члены.
ПРИМЕР 1
Сложить многочлены:
а) Pi(x) = 2х2 + Зх - 8 и рг(х) = 5х + 2;
б) P i(a ; ft) = а2 + 2аЪ - Ь2, р 2(а\ ft) = 2а3 - а2 + 3 ab - Ь2
р 3(а; ft) = а2 - аЪ - Ъ2 - 4.

Решение

а) Обозначим сумму многочленов через р(х). Тогда
р(х) = р г(х) + р2(х) =
= (2х2 + Зх - 8) + (5х + 2) = 2х2 + Зх - 8 + 5х + 2 =
= 2х2 + (Зх + 5х) + (-8 + 2) = 2х2 + 8х - 6.
б) Обозначим сумму многочленов через р(а; Ь). Тогда
р(а; b) = pi(a; Ъ) + р2(а-, Ь) + р2(а\ Ь) =
3ab - Ь2 + 5) + (а2 - аЪ - Ь2 - 4) =
(а2 + 2аЬ - Ь2) + (2а:
= а2 + 2 аЪ - Ь2 + 2а3 - а2 + Зоб - Ь ^ + 5 + а2 - а & - Ь ^ - 4 =
+ 4a b

-

3ft2 + 2а3 + 1.

ПРИМЕР 2
Найти разность многочленов
Pi(x; у) = х3 + у3 + 2х + Зу + 5
р2(х; у) = х 3 - у 3 - Ьх + Зу - 7.
Решение

Обозначим разность многочленов через р(х; у). Тогда

' ГЛ М А 6. МНОГОЧЛЕНЫ,

ари ф м ети ч ес ки е о п ераци и н ад

МНОГОЧЛЕНАМИ

Обратите внимание: х3 —х3 = 0 и Зу —Зу = 0. Поэтому «исчезли»
одночлен х3 и одночлен 3у из состава обоих многочленов. В таких
случаях говорят: х3 и —х3, 3у и —3у взаимно уничтожились (правда,
школьники в таких случаях любят говорить «сократились», но так
говорить не следует: термин «сокращение» в математике принято
употреблять только по отношению к дробям; например, можно со.

15

3

кратить дробь — и тогда получится —).
Заметим, что сложение и вычитание многочленов выполняют по
одному и тому же правилу, т. е. необходимости в различении опера­
ций сложения и вычитания нет, значит, нет и особой необходимости
в использовании двух терминов «сложение многочленов», «вычита­
ние многочленов». Вместо них можно употребить термин алгебраи­
ческая сумма многочленов. Вот несколько примеров алгебраических
сумм трёх многочленов рДх), р2(х), Рз(.х):
Pi(x)
Pi(x)
Р\(х)
Рг(х)

+ р 2(х) + р 3(х)-,
- р 2(х) + р 3(х);
- р 2(х) - р 3(х);

- р3(х) + рг(х).

Теперь мы можем подвести итог всему сказанному в этом пара­
графе в виде следующего правила составления алгебраической сум­
мы многочленов.
Правило 1 Чтобы записать алгебраическую сумму нескольких
многочленов в виде многочлена стандартного вида, нужно
раскрыть скобки и привести подобные члены. При этом
если перед скобкой стоит знак «+ », то при раскрытии
скобок надо знаки, стоящие перед слагаемыми в скобках,
оставить без изменения. Если же перед скобкой стоит знак
«-», то при раскрытии скобок нужно знаки, стоящие пе­
ред слагаемыми в скобках, заменить на противоположные
(«+» на «- » , «-» на «+»).
А теперь обязательно вернитесь к примерам 1 и 2 и прокоммен­
тируйте (хотя бы для себя) их решение с помощью этого правила.
Сделали? Тогда рассмотрим заключительный пример.
ПРИМЕР 3

Даны три многочлена:
Рз(х) = 2х2 + х - 3; р2(х) = х2 - Зд: + 1; р3(х) = 5х2 - 2х - 8.

Найти алгебраическую сумму
Р(х) = рх(х) + р2(х) - рз(х).

"|

Решение

I_ _ _ _ _

™ I

р(х)
' '

= v"**
(2х2 +1 X —w ; т4- ^Г г 2 — ОЧ Хг 4~г 11 \) —
~ ^ОХ — Со .Х~ — oо j\ _=
= 2Х 2 + х= - ^ +
х 2 - Зх + ^ - 5хг + 2х + _ 8 _ = - 2 * 2 + 6 .

-

Вопросы для сам опроверки
1* Может ли сумма двух многочленов быть одночленом? Если
да, то приведите пример.
2. Может ли разность двух многочленов быть одночленом?
Если да, то приведите пример.
3. Всегда ли задание найти сумму или разность многочленов
является корректным?
4. Может ли сумма или разность двух многочленов быть рав­
ной числу? Если да, то приведите пример.
5. Приведите пример многочлена, у которого есть взаимно
уничтожающиеся члены.

УМНОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА
НА ОДНОЧЛЕН
Вы, наверное, заметили, что до сих пор глава 6 строилась по тому же
плану, что и глава 5. В обеих главах сначала вводились основные по­
нятия: в главе 5 — одночлен, стандартный вид одночлена, коэффици­
ент одночлена; в главе 6 — многочлен, стандартный вид многочлена.
Затем в главе 5 мы рассматривали сложение и вычитание одночленов;
аналогично в главе 6 — сложение и вычитание многочленов.
Что было в главе 5 дальше? Дальше мы говорили об умножении
одночленов. Значит, по аналогии, о чём нам следует поговорить те­
перь? Об умножении многочленов. Но здесь придётся действовать не
спеша: сначала (в этом параграфе) рассмотрим умножение многочле­
на на одночлен (или одночлена на многочлен, это всё равно), а потом
(в следующем параграфе) — умножение любых многочленов. Когда
вы в младших классах учились перемножать числа, вы ведь тоже
действовали постепенно: сначала учились умножать многозначное
число на однозначное и только потом умножали многозначное число
на многозначное.
Приступим к делу. При умножении многочлена на одночлен исполь­
зуют распределительный закон умножения: (а + Ь)с = ас + Ъс.

ПРИМЕР 1
Выполнить умножение (2а2 - 3ab) ■(-5а).

Решение

Введём новые переменные:
х = 2а2, у = - 3 ab,

г —-5 а .

ГЛАВА 6 МНОГОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД МНОГОЧЛЕНАМИ

Тогда данное произведение перепишем в виде (х + у) г, что по рас­
пределительному закону равно xz + yz. Теперь вернёмся к старым
переменным:
xz + г/г = 2а2 • (-5а) + (-ЗаЬ) ■(-5а).
Нам остаётся лишь найти произведения одночленов. Получим
-1 0 а3 + 15а2Ь.
Приведём краткую запись решения (так мы и будем записывать в
дальнейшем, не вводя новых переменных):
(2а2 - ЗаЬ) • (-5а) = 2а2 • (-5а) + (-ЗаЬ) ■(-5а) =
= -1 0 а3 + 15а2Ь.
Теперь мы можем сформулировать соответствующее правило ум­
ножения многочлена на одночлен.

Правило 2 Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно каж ­
дый член многочлена умножить на этот одночлен и полу­
ченные произведения сложить.
Это же правило действует и при умножении одночлена на мно­
гочлен:
-5 а (2а2 - ЗаЬ) = (-5а) ■2а2 + (-5а) • (-ЗаЬ) = -1 0 а 3 + 15а26
(мы взяли пример 1, но поменяли местами множители).

ПРИМЕР 2
Представить заданный многочлен в виде произведения многочлена и
одночлена:
а) 2х 2у + 4х;
б) х 2 + 3у2.

Решение

а) Заметим, что 2х 2у = 2х ■ху, а 4х = 2х ■2. Значит,
2х гу + 4х = ху ■2х + 2 ■2х = (ху + 2) ■2х.

б) В примере а) нам удалось в составе каждого члена многочле­
на 2х 2у + 4х выделить одинаковую часть (одинаковый множитель)
2х. Здесь же такой общей части нет. Тем не менее и многочлен
х 2 + 3у 2 можно представить в виде произведения, например, так:
ж2 + Зу2 = (2х2 + 6у2) • 0,5
или так:
+ Зу2 = (х2 + Зу2) ■1.
Но это — искусственное преобразование и без большой необходимости
не используется.

A 3.^i ^м н °ж ени е м ногочлена на м ногочлен

стати, требование представить заданный многочлен в виде
произведения одночлена и многочлена встречается в математике до­
вольно часто, поэтому указанной процедуре присвоено специальное
название: вынесение общего множителя за скобки. Зада­
ние вынести общий множитель за скобки может быть
вынесение общего
множителя
корректным (как в примере 2а)), а может быть и не со­
за скобки
всем корректным (как в примере 26)). В следующей гла­
ве мы специально рассмотрим этот вопрос.
ПРИМЕР 3

___

^

Дан многочлен р(х\ у; z) = ах + by + cz, где а, Ь, с — некоторые коэффициенты, х, у, г — переменные. Известно, что р( 12; 8; 6) = 48.
Вычислить p f i ; i ; —|.
4 2 3’ 4 J
Решение - ---- Подставим в данный многочлен вместо переменных х, у, г

их заявленные значения 12, 8, 6 соответственно. Получим
р(12; 8; 6) = 12а + 8Ь + 6с = 48. Теперь составим выражение для
(1 1 4
[1 1 11 1
1
1
4 2 ’ 3 ’ 4 / П0ЛУЧИМ Pi g i д!
= —а + —Ь + - с . Умножим обе части
этого равенства на 24:
24р

L

(1

1 1

2’ 3’ 4

2 4 | i a + -Ъ + - с
12
3
4

12а + 8Ь + 6с = 48.

1 1
Итак, 24 р - , - , у ] = 48, значит, р (~ ; i ; i ) = 2.
2 3 4
42 3 4

Вопросы для сам опроверки
1. Сформулируйте правило умножения многочлена на од­
ночлен. Проиллюстрируйте его на придуманном вами при­
мере умножения трёхчлена на одночлен.
2. Всегда ли задание представить заданный многочлен в
виде произведения многочлена и одночлена является кор­
ректным?

§32

УМНОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА
НА МНОГОЧЛЕН

Овладев правилом умножения многочлена на одночлен, нетрудно сде­
лать следующий шаг: получить правило умножения любых двух мно­
гочленов. Рассмотрим сначала произведение самых простых (после
одночленов) многочленов, а именно двучленов а + Ъ и с + d.

Итак, пусть нужно раскрыть скобки в произведении (а + Ь) (с + d).
Введём новую переменную т = с + d, тогда получим:
(а + b) (с + d) = (а + b) т = am + Ът.
Вернёмся к исходным переменным:
am + bm = а (с + d) + b (с + d) = ас + ad + be + bd.
Таким образом,
(а + b) (с + d) = ас + ad + be + bd.
Аналогично можно проверить, что
(а + Ь + с) (х + у) = ах + ay + bx + by + сх + су
(сделайте это!), т. е., как и в случае умножения двучлена на
двучлен, приходится каждый член первого многочлена поочерёдно
умножать на каждый член второго многочлена и полученные произ­
ведения складывать.
Правило 3 Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно ум­

ножить каждый член одного многочлена поочерёдно на
каждый член другого многочлена и полученные произве­
дения сложить.
В результате умножения многочленов всегда получается мно­
гочлен, надо лишь привести его к стандартному виду.
ПРИМЕР 1

Выполнить умножение многочленов
Pi(x) = 2хг - 5х + 1 и р2(х) = Зх - 4.
Решение

P iM ■Р2(х) = (2л;2 - 5х + 1) (3* - 4) =
= 2х2 ■Зх + 2хг ■(-4) + (-5х) • Зд: + (-5*) • (-4) + 1 • Зх + 1 • (-4) =
= 6*3 - 8*2 - 15 л:2 + 20л: + Зл: - 4 = 6л:3 - 23л:2 + 23л: - 4.

Особенно внимательно нужно следить за знаками коэффициентов тех одночленов, которые получаются при раскрытии скобок.
И ещё один совет: если у одного многочлена т членов, а у друго­
го п членов, то в произведении должно быть (до приведения подоб­
ных членов) тп членов; если же их не /пя, то вы что-то потеряли,
проверьте. Так, в рассмотренном примере мы умножали трёхчлен
на двучлен, получилась сумма шести слагаемых (а после приведе­
ния подобных членов осталось четыре слагаемых).

ш иш яяя
Даны многочлены
р(х) = 2 * 4 + Зх3 - 5х2 + х - 7, д(х) = х5 - 7л:3 + 4х + 1.
Чему равна сумма коэффициентов многочлена h(x) = (p(x))2q(x)7
Реш ение

Можно, конечно, перемножить многочлены р(х), р(х), q(x),
привести произведение к стандартному виду, выписать по­
следовательно все полученные коэффициенты, а затем найти их сум­
му. Но есть значительно более красивый и рациональный способ ре­
шения. Чтобы его понять, рассмотрим вспомогательный пример.
Пусть дан многочлен г(х) = х е + 2х5 + 12л4 - 13л3 - 15л2 +
+ 10х - 17; вычислим r(l): r(l) = 1 + 2 + 12 - 13 - 15 + 10 - 17 =
= -2 0 . Но обратите внимание: 1 + 2 + 1 2 - 1 3 - 1 5 + 1 0 - 1 7 — это
как раз сумма коэффициентов многочлена г(л). Вообще, чтобы найти
сумму коэффициентов произвольного многочлена т(х ), достаточно
вычислить /п(1).
Вернёмся к нашей задаче и вычислим й(1):
h( 1) = (р(1))2?(1) = (2 + 3 - 5 + 1 - 7)2 (1 - 7 + 4 + 1) = -36.
Сумма коэффициентов многочлена h(x) равна -36.

ПРИМЕР 3

Натуральные числа А и В дают при делении на 3 остатки соответ­
ственно 1 и 2. Доказать, что (Л + В)2 : 9.
Число А при делении на 3 даёт в остатке 1, значит, число А
можно представить в виде А = Зп + 1; аналогично число В
можно представить в виде А = 3k + 2, где п, k
натуральные числа.
Но тогда (А + В)2 = (Зп + 1 + 3k + 2)2 = (3 (п + k + I))2 = 9 (п + k + 1) .
Ясно, что это произведение делится на 9.

Реш ение

Вопросы для самопроверки
1. Сформулируйте правило умножения многочлена на мно­
гочлен. Проиллюстрируйте его на придуманном вами при­
мере умножения двучлена на двучлен.
2. Всегда ли задание найти произведение двух многочленов
является корректным?

154

“ Гл а в а 6.

м н о го ч л ен ы , а р и ф м е т и ч е с к и е о п ерац и и н а д м н о го чл ен а м и ^

Ф О Р М У Л Ы СО КРА Щ ЁН Н О ГО
УМ Н О Ж ЕН И Я
Имеется несколько случаев, когда умножение одного многочлена на
другой приводит к компактному, легко запоминающемуся результату.
В этих случаях предпочтительнее не умножать каждый раз один
многочлен на другой, а пользоваться готовым результатом. Рассмо­
трим эти случаи.

Квадрат суммы и квадрат разности
Умножим двучлен а + Ь на себя, т. е. раскроем скобки в произведе­
нии (а + Ь) (а + Ь) или, что то же самое, в выражении (а + Ь)2:
(а + Ь) 2 = (а + Ъ) (а + Ь) = а • а + а ■Ъ + Ъ ■а + Ъ ■Ь =
= а2 + аЪ + ab + Ь2 = а2 + 2ab + Ь2.
Аналогично получаем:
(а - Ь)2 = (а - 6) (а - Ъ) = а2 - ab - Ьа + Ь2 = а2 - 2 аЬ + Ь2.
Итак,
(а + Ь)2
(а - Ь)2

- 2аЬ + Ь2;
2аЬ + Ъ2.

( 1)
( 2)

На обычном языке формулу (1) читают так: квадрат суммы двух
выражений равен сумме их квадратов плюс их удвоенное произве­
дение.
Формулу (2) читают так: квадрат разности двух выражений
равен сумме их квадратов минус их удвоенное произ­
квадрат
ведение.
суммы
Этим формулам присвоены специальные названия:
квадрат разности
формуле (1)
квадрат суммы, формуле (2) — квадрат
разности.
ПРИМ ЕР 1

Раскрыть скобки в выражении:
а) (Зх + 2)г;
б) (5а2 - 4Ь3)2.
Реш ение

а) Воспользуемся формулой (1), учтя, что в роли а выступает
Зх, а в роли Ъ — число 2:
(3* + 2)2 = (З*)2 + 2 • Зх • 2 + 22 = 9*2 + 12* +4.
б) Воспользуемся формулой (2), учтя, что в роли а выступает 5а2,
а в роли Ьвыступает 4Ь3:
(5а2 - 4Ь3)2 = (5а2)2 - 2 ■5а2 • 463 + (463)2 = 25а4 - 40а2Ь3 + 166е.

При использовании формул квадрата суммы или квадрата разно­
сти учитывайте, что:
(-а - Ъ)2 = (а + й)2;
(Ъ - а)2 = (а - й)2.
Это следует из того, что (-а)2 = а2.
Отметим, что на формулах (1) и (2) основаны некоторые матема­
тические фокусы, позволяющие производить вычисления в уме. На­
пример, можно практически устно возводить в квадрат двузначные
числа, оканчивающиеся на 1, 2, 8 и 9. Смотрите:
712 = (70 + I)2 = 702 + 2 ■70 • 1 + I 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041;
912 = (90 + I)2 = 902 + 2 • 90 ■1 + I 2 = 8100 + 180 + 1 = 8281;
692 = (70 - I)2 = 702 - 2 • 70 • 1 + I 2 = 4900 - 140 + 1 = 4761;
1022 = (100

Рис. 78

+

2)2 = 1002 + 2



100 • 2

+

22 =

= 10000 + 400 + 4 = 10404;
482 = (50 - 2)2 = 502 - 2 ■50 ■2 + 22 = 2500 - 200 + 4 = 2304.
Но самый элегантный фокус связан с возведением в квадрат чи­
сел, оканчивающихся цифрой 5. Проведём соответствующие рассуж­
дения для числа 852:
852 = (80 + 5)2 = 802 + 2 ■80 • 5 + 52 =
= 80 ■(80 + 10) + 25 = 80 ■90 + 25 = 7200 + 25 = 7225.
Замечаем, что для вычисления 852 достаточно было умножить 8 на 9
и к полученному результату приписать справа 25. Аналогично можно
поступать и в других случаях. Например, 352 = 1225 (3 • 4 = 12 и к
полученному числу приписали справа 25); 652 = 4225; 1252 = 15625
(12 ■13 = 156 и к полученному числу приписали справа 25).
Приведём доказательство отмеченного факта.
Пусть число а оканчивается цифрой 5, это значит, что а = 10Ы+ 5, где й— число, полученное из числа а отбрасыванием последней
цифры 5 (например, 125 = 10- 12 + 5; здесь Ь = 12). Тогда
а2 = (10й + 5)2 = ЮОЬ2 + 100й + 25 = ЮОй (Ь + 1) + 25.
Получили, что число й надо умножить на b + 1, умножить полу­
ченное произведение на 100 и затем прибавить 25. Это равносильно
тому, что к числу Ь(Ь + 1) справа приписать 25.
Раз уж мы с вами заговорили о различных
любопытных обстоятельствах, связанных со
Ь скучными (на первый взгляд) формулами (1)
и (2), то дополним этот разговор следующим
геометрическим рассуждением. Пусть а и 6 —
а
положительные числа. Рассмотрим квадрат со
стороной а + Ь и вырежем в двух его углах ква­
драты со сторонами, соответственно равными а
и й (рис. 78).
Ь

Площадь квадрата со стороной а + b равна (а + Ь)2.Этот квадрат мы
разрезали на четыре части: квадрат со стороной а (его площадь рав­
на а2), квадрат со стороной Ъ (его площадь равна Ь2), два прямоуголь­
ника со сторонами а и b (площадь каждого такого прямоугольника
равна ab). Значит, (а + Ъ)2 = а2 + Ь2 + 2аЪ , т. е. получили формулу (1).
ПРИМ ЕР 2

шшяшшяшяшшш

в ш п

Вычислить наиболее рациональным способом
(729 - 171)2 + 4 • 729 • 171.
(729 - 171)2 + 4 • 729 • 171 =
= 7292 - 2 ■729 • 171 + 1712 + 4 • 729 • 171 =
= 7292 + 2 • 729 ■171 + 1712 = (729 + 171)2 = 9002 = 810 000.
ПРИМ ЕР 3

ШШШЯШШШШШИШВШШШШШШЯШШШШ

Решить уравнение (“Ах - 2)2 + (4* + I)2 = (эх - З)2.
Воспользуемся формулами квадрата суммы и квадрата раз­
Реш ение
ности:
(9*2 - 12* + 4) + (16х 2 + 8х + 1) = 25д:2 - ЗОх + 9;
9л:2 - 12* + 4 + 16*2 + 8* + 1 - (25х 2 - ЗОх + 9) = 0 ;
26* - 4 = 0 ;
2

ПРИМ ЕР 4

Найти ту пару значений переменных х, у, при которых многочлен
р(х; у) = (2х + 3у - 22)4 + 9х2 + 5 + у2 - бху принимает наименьшее
значение.
Реш ение

Заметим, что 9хг + у2 - бху = (3* - у)2. Значит, р(х; у) =
= (2х + 3у - 22)4 + (3* - у)2 + 5. Выражения (3* - у)2 и
(2х + 3у - 22)4 принимают неотрицательные значения при любых
значениях переменных, а потому наименьшим значением заданного
многочлена будет число 5, при одновременном выполнении двух ус­
ловий: 2х + Зу - 22 = 0, 3* - у = 0. Таким образом, задача сводится
к решению системы уравнений
f 2* + Зи - 22 = 0,

U-„-0.

Решив систему, получим х - 2, у = б.
О тв е т

Наименьшее значение многочлена р(х; у), равное 5, дости­
гается при х = 2, у = б.

§33. Формулы сокращённого умножения

Разность квадратов

157

■■■

Умножим двучлен а + b на двучлен а —Ь:
(а + 6) (а - Ь) = а2 - ab + Ьа - Ъ2 = а2 - ft2.
Итак,
(3 )

Любое равенство в математике употребляют как слева направо
(т.е. левая часть равенства заменяется его правой частью), так и
справа налево (т. е. правая часть равенства заменяется его левой ча­
стью). Если формулу (3) использовать слева направо, то
разность
она позволяет заменить произведение (а + ft) (а —ft) готоквадратов
вым результатом а2 - Ь2. Эту же формулу можно исполь­
зовать справа налево, тогда она позволяет заменить раз­
ность квадратов а2 - Ь2 произведением (а + Ь) (а - 6). Формуле (3) в
математике дано специальное название — разность квадратов.
Не путайте термины «разность квадратов» и «квадрат разности».
Разность квадратов — это а2 - Ьг, значит, речь идёт о формуле (3);
квадрат разности — это (а - Ь)2, значит, речь идёт о формуле (2).
На обычном языке формулу (3) читают справа налево так:
разность квадратов двух выражений равна произведению суммы
этих выражений на их разность.

"

■итлди

яяшшшт

Выполнить умножение (Зх - 2у) (Зх + 2у).
Решение

(Зх - 2у) (Зх + 2у) = (Зх)2 - (2у)2 = 9х2 - 4у2

Представить двучлен 16л;4 —9 в виде произведения двучленов.
Заметим, что 16х4 = (4х2)2, 9 = З2, значит, заданный двучлен
есть разность квадратов, т. е. к нему можно применить
формулу (3), прочитанную справа налево:
16х4 - 9 = (4х2)2 - З2 = (4х2 + 3) (4х2 - 3).

Решение

Формула (3), как и формулы (1) и (2), используется иногда для
быстрого счёта. Смотрите:
79 • 81 = (80 - 1) (80 + 1) = 802 - I 2 = 6400 - 1 = 6399;

158

ГЛАВА 6

МНОГОЧЛЕНЬ'- а р и ф м е т и ч е с к и е

о п ерац и и н а д м н о г о ч л е н а м и

ПРИМЕР 7

Вычислить наиболее рациональным способом 6275 • 6269
Решение

62722.

6275 ■ 6269 - 62 722 = (62 72 + 3) • (62 72 - 3) - 62 722 =
= (62722 - З2) - 62722 = -9.

ПРИМЕР 8

Найти отрицательный корень уравнения
х 4 = 631 ■619 + 36.
Решение
Рассмотрим правую часть уравнения:
631 • 619 + 36 = (625 + 6) (625 - 6) + 36 =
= (6252 - 62) + 36 = 6252 = 254.
Теперь заданное уравнение мы можем переписать в виде x i = 254,
отрицательным корнем этого уравнения является число -25.
* = -25.
Завершим разговор о формуле разно­
сти квадратов любопытным геометриче­
а-Ъ ским рассуждением. Пусть а и Ь — по­
ложительные числа, причём а > Ь. Рас­
смотрим прямоугольник со сторонами
а + b и а - Ъ (рис. 79). Его площадь равна
(а + Ъ) (а - Ь). Отрежем прямоугольник со
сторонами Ь и а - Ь и подклеим его к остав­
шейся части так, как показано на рисун­
ке 80. Ясно, что полученная фигура имеет
ту же площадь, т. е. (а + 6) (а - Ь). Но эту
фигуру можно построить так: из квадра­
та со стороной а вырезать квадрат со стороной Ь (это хорошо вид­
но на рис. 80). Значит, площадь новой фигуры равна а2 - Ъ2. Итак,
(а + Ъ) (а - Ь) = а2 - Ь2, т. е. получили формулу (3).
Ъ

Рис. 79

Рис. 80

Разность кубов и
Умножим двучлен а - Ь на трёхчлен а2 + ab + b2:
(а - b) (а2 + ab + Ь2) = а ■а2 + а ■ab + а ■Ь2 - Ь ■
Ъ ■аЪ - Ъ ■Ь2 = а3 + a2b + аЪ2 - a2b - аЪ2 - Ь3 = а3 - Ь3.
Аналогично
(а + Ь) (а2 - аЪ + 62) = а3 + Ь3
(проверьте это сами).

5 3 3 . Ф о р м у л ы со кр ащ ённого ум н ож ени я

Итак,
(а - Ь) ( а2 + ab + Ь2) = а3 - Ь 3;
(а + Ь) (а2 - ab + Ь2) = а3 + Ь3.

(4)
(5)

Формулу (4) обычно называют разностью кубов, формулу (5) —
суммой кубов (по виду правой части).
Попробуем перевести формулы (4) и (5) на обычный язык. Пре­
жде чем это сделать, заметим, что выражение а2 + аЪ + Ь2 похоже на
выражение а2 + 2аЬ + Ь2, которое фигурировало в формуразность ку ов
ле ц ) и давало (а + ft)2; выражение а2 - аЬ + Ь2 похоже на
сумма кубов
выражение а 2 - 2аЪ + Ь2, которое фигурировало в форму­
ле (2) и давало (а - Ь)2.
Чтобы отличить (в языке) эти пары выражений друг от дру­
га, каждое из выражений а2 + 2ab + b2 и а2 - 2аЪ + Ь2 называют
полным квадратом (суммы или разности), а каждое из выражений
а2 + аЬ + Ь2 и а2 - ab + Ь2 называют неполным квадратом (суммы
или разности). Тогда получается следующий перевод формул (4) и (5)
(прочитанных справа налево) на обычный язык:
разность кубов двух выражений равна произведению разности
этих выражений на неполный квадрат их суммы;
сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих
выражений на неполный квадрат их разности.
■ ■
Выполнить умножение (2х - 1) (4д:2 + 2х + 1).

1

ПРИМЕР 9

!

Р еш е н и е
МОЖ НО

1 Так как первый множитель есть разность одночленов 2х
и 1, а второй множитель — неполный квадрат их суммы, то
BIоспользоваться формулой (4):
(2х - 1) (4х2 + 2х + 1) = ( 2 т:)3 - I 3 = 8*3 - 1.

ПРИМЕР 10

Представить двучлен 27а6 + 8Ь3 в виде произведения многочленов.
Заметим, что 27а6 = (За2)3, 8b3 = (2Ь)3. Значит, заданный
двучлен есть сумма кубов, т. е. к нему можно применить
формулу (5), прочитанную справа налево:
27а6 + 8й3 = (За2)3 + (2Ь)3 =
= (За2 + 2 Ь ) ((За2)2 - За2 • 2 Ъ + (2Ь)г) =
= (За2 + 2Ъ) (9а4 - 6а2б + 4&2).

ГЛАВА 6. МНОГОЧЛЕНЫ.

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ

о п ерац и и н а д м н о го ч л ен а м и

ПРИМЕР 11
Вычислить наиболее рациональным способом 0,5463 + 0,4543 +
+ 3 ■0,546 • 0,454.
(0,5463 + 0,4543) + 3 ■0,546 ■0,454 =
= (0,546 + 0,454) (0,5462 - 0,546 ■0,454 + 0,4542) + 3 ■0,546 • 0,454 =
= 0,5462 - 0,546 ■0,454 + 0,4542 + 3 • 0,546 ■0,454 =
= 0,5462 + 2 • 0,546 ■0,454 + 0,4542 = (0,546 + 0,454)2 = I 2 = 1.

ЩЕ&

Куб суммы и куб разности

Рассмотрим выражение (а + Ь)3. Имеем:
(а + Ь)3 = (а + Ъ)2(а + Ь) = (а2 + 2ab + Ь2) (о + 6) =
= а 3 + 2 а2Ъ + Ъ2а + а2Ъ + 2аЬ2 + 63 = а 3 + 3 а2Ь + 3 аЬ2 + Ъ3.
Аналогично получаем:
(а - Ь)3 = (а - Ь)2(а —Ь) = (а2 - 2аЬ + 62) (а - Ь) =
= а 3 - 2 а2Ь + Ъ2а - а2Ь + 2 аЬ2 - Ъ3 = а3 - За2Ь + 3 аЬ2 - Ъ3.
Итак,
(а + Ь)3 = а3 + 3 а2Ь + ЗаЬ2 + Ь3;
(а —Ь)3 = а3 —За2Ь + ЗаЬ2 —Ь3.

6
7

( )
( )

Формулу (6) читают так:

куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс
утроенное произведение квадрата первого выражения на второе
плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат вто­
рого плюс куб второго выражения.
Формулу (7) читают так:

куб разности двух выражений равен кубу первого выражения ми­
нус утроенное произведение квадрата первого выражения на вто­
рое плюс утроенное произведение первого выражения
куб суммы
на квадрат второго минус куб второго выражения.
куб разности

Этим формулам присвоены специальные названия:
формуле (6) — куб суммы, формуле (7) — куб разности.

ПРИМЕР 12
Раскрыть скобки в выражении:
а) (2а + ЗЬ)3;
б) (х2 - 5у3)3.

а) (2а + 3Ь)3 = (2а)3 + 3 ■(2а)2 • (3Ь) + 3 • (2а) • (5
- 8а3 + Зба2& + 54аЬ2 + 27 Ь3;

(ЗЬ)3

б) (х2 - 5у3)3 = (х2)3 3 ■(х2)2 • (5 у3) + 3 • (х 2) (Ъу3)2 - (5а3)3
=
15* V + 75х2у3 - 125уд.

ПРИМЕР 13
Решить уравнение х 3 - 448 = 1493 + 3 • 1492.

Решение

Заметив, что 448 = 447 + 1 = 3- 149 + 1 = 3- 149 • I 2 + I 3,
перепишем данное уравнение следующим образом: х 3 =
— 149 + 3 • 1492 • 1 + 3 • 149 • I 2+ I3. В правой части получился куб сум­
мы чисел 149 и 1, т. е. приходим к уравнению х3 = (149 + I)3. Получаем:
х 3 = 1503; * = 150.
В заключение ещё раз подчеркнём, что все полученные в этом па­
раграфе формулы (1)—(7) используют как слева направо, так и спра­
ва налево, только в первом случае (слева направо) говорят, что (1)—
(7)
формулы сокращённого умножения, а во втором случае (справа
налево) говорят, что (1)—(7) — формулы разложения на множители.

Вопросы для самопроверки
1. Чему равен квадрат суммы двух выражений? Запишите это
утверждение на математическом языке.
2. Чему равен квадрат разности двух выражений? Запишите
это утверждение на математическом языке.
3. Можно ли данный многочлен представить в виде квадра­
та суммы или квадрата разности? Если да, то сделайте это;
если нет, то объясните почему:
а) а2 + 4аЬ + 4Ь2;
в) х 2 + 20ху + 25у2-,
б) х 4 - 2 х2у + у2;

г) л 4 - 2 х 2у + 2 у2.

4. Чему равна разность квадратов двух выражений? Запиши­
те это утверждение на математическом языке.
5. Вычислите устно: а) 21 ■19; б) 58 • 62.
6. Чему равна сумма кубов двух выражений? Запишите это
утверждение на математическом языке.
7. Чему равна разность кубов двух выражений? Запишите это
утверждение на математическом языке.
8. Какой из многочленов можно назвать полным квадратом, а
какой — неполным квадратом: х 2 + Ъху + 25у2, х2 - Wxy +
+ 25г/2?

"

aba

б. многочлены !

арифметические операции над многочленами

9. Чему равен куб суммы двух выражений? Запишите это
утверждение на математическом языке.
10. Чему равен куб разности двух выражений? Запишите это
утверждение на математическом языке.

МЕТОД ВЫДЕЛЕНИЯ
ПОЛНОГО КВАДРАТА
Во многих задачах бывает полезно преобразовать заданное выраже­
ние так, чтобы, обнаружив в нём в разных местах три слагаемых
вида а2, Ъ2 и 2аЪ, объединить их в одну группу (а2 + Ь2 +
+ 2ab), что позволит записать эту группу слагаемых в виде квадрата
суммы (а + Ь) 2. В этом заключается определённый метод
метод выделения
рассуждений, который обычно называют методом выдеполного квадрата
ления полного квадрата. Рассмотрим ряд примеров.
ПРИМЕР 1

Найти наименьшее значение многочлена р(х)\
а) р(х) = х 2 - 6х + 8;
б) р(х) = 2х2 + Зх - 5.
При каком значении х оно достигается?
Реш ение

а) р(х) = х 2 - 6х + 8 = (х2 - 6х + 9) - 1 = (х - З)2 - 1.
Теперь ясно, что наименьшее значение достигается мно­
гочленом при х = 3; р(3) = —1. Почему? Потому что наименьшее зна­
чение выражения (х —З)2 равно 0, оно достигается при д; == 3.
б) р(х) = 2t ! + 3 i - 5 = 2 г ! + - г

-5 =2U

2

- х

4

5.

У выражения в скобках для полного квадрата не хватает квадрата чис­
ла - . Заметив это, в скобках прибавим и вычтем квадрат числа —:
р(х) = г ( х 2 + 2 - ~ - х + - ^ - ~ ) ~ 5
16
= 2 \ х2 + 2 . * . х + ± ) Л
4
16 j 8

16

■5-2|, + f U e i

Теперь ясно, что наименьшее значение достигается многочленом при

ВЬ|Деления полного квадрата

163

ПРИМЕР 2

Найти наибольшее значение многочлена р(х):
а) р{х) = 5 - 4х - 4х2;
б) р(х) = 7 + 4х - Зх2.
При каком значении х оно достигается?
Решение

а) р(х) - 5 - 4х - 4х2 = 6 - (1 + 4х + 4х2) = 6 - (2х + I)2.
Наибольшее значение достигается многочленом при х =
б) р(х) = 7 + Ах - Зх2 = - 3 [х 2 - ! * ) + 7 =
= - 3 1х 2 - 2 •
3

9

^ —Я + 7 = -3 ( х 2 - 2 • - х + Я + - + 7 =
9 )
V
3
97 3
=

-3



+

8

-^.

3J
3
Наибольшее значение достигается многочленом нри х =
3



■8i.

3

Mi)-4
ПРИМЕР 3

Найти ту пару значений (х; у), при которых многочлен р(х\ у) = 2х2 +
+ Зху + by2 + 4у + 3 достигает наименьшего значения при условии,
что х - Зу —4.
Из условия следует, что х = Зу + 4. Подставим выражение
Зу + 4 вместо х в данный многочлен:
р(у) = 2 (Зу + 4}2 + 3 (Зу + 4) у + by2 + 4у + 3 =
= 2 (9у2 + 24у + 16) + Зу (3у + 4) + by2 + 4у + 3 =
= 32i/2 + 64у + 35 = 32 (у2 + 2у + 1) + 3 =
= 32 (у + I)2 + 3.
Наименьшее значение многочлена равно 3, достигается оно при
У = -1Если у = —1, то х = Зу + 4 = 1.
Ответ

X = 1, у = -1 .

ГЛ АВА 6

МНОГОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД МНОГОЧЛЕНАМИ

■1ЫЯЛЫЛ61
Доказать, что многочлен р(а; Ь) = 72аЪ - 16а2 - 83й2 при любых значениях переменных принимает неположительные значения.
Решение

р(а; й) = 72ай - 16а2 - 83й2 = -(16а2 - 72ай + 81й2) - 2й2 = -(4а - 9й)2 - 2й2 = -((4а - 9й)2 + 2й2). Выражение
(4а - 9й)2 + Ь2 + Ь2 как сумма трёх квадратов при любых значениях
переменных принимает неотрицательные значения, а потому выра­
жение -((4а - 9й)2 + 2й2) неположительно при любых значениях а
и й, что и требовалось доказать.

ПРИМЕР 5
Какими должны быть размеры прямоугольного участка, периметр
которого равен 60 м, чтобы площадь участка была наибольшей?
Решение

Рис. 81

Участок представляет собой прямоугольник; пусть его дли­
на равна х м, ширина у м, тогда 2х + 2у — периметр.
Из условия следует, что 2х + 2у = 60,
т. е. х + у = 30, у = (30 - х) м — это ших рина прямоугольника (рис. 81). Площадь
S прямоугольника вычисляется по формуле
S = х (30 - х) м2. Поработаем с выражением
для площади:
S = х (30 - х) — ЗОх - х 2 = - ( х 2 - ЗОд:) =
= -(х 2 - ЗОх + 225) + 225 = 225 - (х - 15)2.
Значит, Sнаиб = 225 и достигается это значение при х = 15, т. е.
когда участок представляет собой квадрат.
Наибольшую площадь имеет квадратный участок со сторо­
ной 15 м.

Вопросы для самопроверки
Какой одночлен нужно добавить к заданному многочлену,
чтобы получился полный квадрат суммы:
а) х 2 + 25у2; б) х4 + 4i/4?
Какой одночлен нужно добавить к заданному многочлену,
чтобы получился полный квадрат разности:
а) 16х2 + 25р2; б) х8 + 36р8?

§ 35. Деление многочлена на одночлен

16 5

ДЕЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА
НА ОДНОЧЛЕН
Снова, как и в начале § 31, сравним планы построения глав 5
и 6. Вы, наверное, заметили, что эти планы почти одинаковы,
хотя полное совпадение нарушил предыдущий параграф (посвя­
щённый специфическим формулам сокращённого умножения), да
и в главе 5 мы рассмотрели возведение одночлена в степень, а в
главе 6 соответствующего разговора о возведении в степень мно­
гочлена не было, за исключением случаев, когда двучлен возво­
дится в квадрат или куб. После умножения одночленов в гла­
ве 5 шла речь о делении одночлена на одночлен. Вот и в главе 6
мы поговорим об аналогичной операции — делении многочлена на
одночлен.
В её основе лежит следующее свойство деления суммы на число:
(а + Ь + с) : т = (а : т) + (Ь : т) + (с : т).
Это позволяет сразу сформулировать правило деления многочлена
на одночлен.
Правило 4 Чтобы разделить многочлен на одночлен, нужно каж­

дый член многочлена разделить на этот одночлен и полу­
ченные результаты сложить.
В § 27 мы отмечали, что не всегда можно разделить одночлен на
одночлен; чтобы деление было выполнимо, необходимо соблюдение
целого ряда условий — вспомните их (или посмотрите в § 27), пре­
жде чем рассматривать пример, который приведён ниже. Если задача
деления одночлена (простейшего многочлена) на одночлен не всегда
была корректной, то что же говорить о делении многочлена на од­
ночлен. Такое деление выполнимо достаточно редко.
ПРИМ ЕР 1

Разделить многочлен 2a2b + 4аЬ2 на одночлен 2а.
Реш ение

| (2а2Ь + 4аЪ2) : 2а = (2а2Ь : 2а) + (4а62 : 2а) =

=

= 2 . ^ . . ь + 4 . а . б2 = ! . а • 6 + 2 • 1 ■Ъ2 = аЬ + 2Ь2.
2 а
2 а
Здесь мы использовали тот способ записи, который обговорили
в § 27 А вот другой способ (можно применять и тот и другой, смотря
по тому, какой из них вам больше нравится): выделим в каждом члене

многочлена 2a2b + lab2 множитель, в точности равный делителю 2а.
Получим:
2а2Ъ + 4ab2 = 2а • ab + 2а ■2Ъ2.

Эту сумму можно записать в виде произведения 2a(ab + 2b ). Те­
перь ясно, что если это произведение разделить на 2а (на один мно­
житель), то в частном получится ab + 2Ь2 (другой множитель).
ПРИМЕР 2

Разделить многочлен 6л;3 —24л;2 на 6л;2.
Первый способ.
(6л:3 - 24л2) : 6л2 = (6л3 6л2) - (24л2 : 6л2) =

Решение

— 6л3 _ 24л2 _ 6 л3
6л2
6л2
6 л2

24
6

л2
л2

1 л - 4 - 1 = л-4.

Второй способ.
6л3 - 24л2 = 6л2 • л - 6л2 • 4 = 6л2(л - 4).
Значит, частное от деления 6л3 - 24л2 на 6л2 равно л - 4.

ПРИМЕР 3

Разделить многочлен 8а3 + 6a2b - b на 2а2.
Решение

8а3 + 6а2Ь - Ь = 2а2 ■4а + 2а2 - 3 6 - 6 .

Поскольку в третьем члене заданного многочлена (речь
идёт о члене -Ь) множитель 2а2 не выделяется, деление невозможно.
Эта задача некорректна. Фактически мы снова, как и в конце § 27,
пришли к алгебраической дроби — на этот раз к алгебраической дроя.

8а3 + 6а2Ь - b

Итак, деление многочлена на одночлен выполняется не всегда, а
если и выполняется, то требует определённых усилий. Деление же
многочлена на многочлен — ещё более трудная (и ещё более редко
выполнимая) операция, это нам пока не по силам.

Вопросы для самопроверки
1. Приведите пример, когда задание разделить многочлен на
одночлен является корректным. Выполните это деление.
2. Приведите пример, когда задание разделить многочлен на
одночлен является некорректным. Объясните почему.

§ 36. Процентные частоты

ПРОЦЕНТНЫЕ ЧАСТОТЫ
Среди 19 данных Ь, п, а, с, а, Ь, Ъ, с, п, с, d, k, b, с, d, k, с, m, а не­
которого измерения результат «с» встретился 5 раз. Значит, частота
результата «с» равна А . Тут всё правильно, но работать с такими
дробями не всегда удобно. На практике чаще всего имеют дело с де­
сятичными дробями. Например, А = 0,263157894..., или приближённо — = 0,2632. В статистике, как правило, десятичные дроби
умножают на 100, переводя их тем самым в проценты. В данном слу­
чае получаем, что результат «с» составляет примерно 26,3% от коли­
чества всех результатов. Говорят также, что 26,3% есть процентная
ч а с т о т а , или ч а с т о т а в процентах результата «с».
Процентная частота = (Частота • 100)%
На самом деле с процентной частотой результата вы
уже встречались ранее, только называли её процентной
долей. Правда, ранее ответы всегда были равны целому
числу процентов. На практике такие «хорошие» ответы довольно
редки. Куда чаще приходится иметь дело с приближёнными
значениями.
Разберём, например, вопрос о распределении числа переменных
в многочленах. Рассмотрим многочлены ху + zt, (а - b)( 1 - с),
у + ху2, (ах -1- 1) Ьх, а х 2 + Ъх + с, (х + 1) (х -1- 2), pqrs, d + е + f,
а х + by + d , ху, ху (и + v), x4y3z2tw, (х + у) ху и выпишем в ряд числа
переменных в каждом из них. Вот что получится (проверьте!):
4, 3, 2, 3, 4, 1, 4, 3, 5, 2, 4, 5, 2.
Получился ряд «нехорошего» объёма 13. К сожалению, дробные
числа
не могут быть записаны в виде конечной десятичной

процентная
частота

дроби. Значит, при записи частот в десятичных дробях получатся
лишь приближённые значения этих частот. Но не будем опережать
события. Для начала составим таблицу распределения данных в
полученном ряду. Вот она:
Число переменных
Сколько раз встретилось

1
1

2
3

3
3

4
4

5
2

Всего: 5 значений
Сумма: 13

1 Параграф написан П. В. Семеновым.
2 В дальнейшем мы будем ограничиваться приближениями с точностью
до тысячных, т. е. до 3-го знака после запятой.

глава

“ многочлены , ариф м етические операции над МНОГОЧЛЕНАМИ

Дописываем третью строчку из частот, сразу переводя их в
десятичные дроби. Для краткости оставляем только столбцы с
существенной информацией.
5

1

2

3

4

1

3

3

4

2

± = 0,308

А , 0,154

А
13

i=°,°7Y

— = 0,231
13

= 0.231

13

Оставляем в третьей строке только десятичные дроби, умножаем
их на 100 и результаты выписываем в четвёртую строчку.
1

2

3

4

5

1

3

3

4

2

0,077

0,231

0,231

0,308

0,154

7,7

23,1

23,1

30,8

15,4

После заполнения четвёртой строки сведения из второй и третьей
строки можно удалить, ведь они уже учтены. Останется таблица
распределения процентных частот.
Число переменных
Частота (в %)

таблица
распределения
процентных
частот

1

2

3

4

5

Всего: 5 значений

7,7 23,1 23,1 30,8 15,4 Сумма: 100,1% (=100% )

Обратите внимание, сумма процентных частот равна
100,1%. Больше 100%!!! На первый взгляд — очень
странно. Ведь мы умножили на 100% сумму всех (просто)
частот, т. е. умножили 100 на 1, а получили 100,1?!
Объяснение тут простое.

Смотрите, частота результата «1» равна

-=- = 0,07692307... «


~ 0,077. Значит, ответ 7,7% является приближённым: мы немного,
но увеличили точное значение. Небольшое увеличение получается
и для других частот: ^ = 0,15384... = 0,154, или 15,4% . При
сложении по всем результатам эти небольшие ошибки накапливаются,
и получается ответ 100,1%. Итак, давайте запомним: ответы для
процентных частот могут быть не точными, а приближёнными.
Соответственно, сумма всех процентных частот может оказаться
равной 100% не точно, а лишь приблизительно.

Основные •езультаты

Замечание

статистике вместо термина частота результата часто распространён
и более сложный оборот относительная частота результата. При этом
абсолютной частотой результата называется тот показатель, который мы
выписывали во второй строке таблицы распределения, т. е. количество вхож­
дений результата в имеющийся ряд данных. Мы ограничимся одним словом
«частота».

Вопросы для самопроверки
1. Т абли ца распределения данны х вы глядит так.
1 Результат

й



©

#



j Сколько раз встретился

3

7

5

4

6

Н айдите: а) объём полученны х данны х; б) моду данны х;
в) частоту моды; г) процентную частоту моды. Заполните
табли цу распределения процентны х частот.
Результат

Q



©

tt



1 Процентная частота
2. В расш иренной таблице распределения пятидесяти данны х
некоторы е сведения пропали.
Результат

-5

-3

Сколько раз встретился
Частота
Процентная частота

0

2

6

14

6

0,2
24

В ы числите: а) что долж но стоять в к л етк е под числом 0,2;
б) что долж но стоять в к л етк е над числом 0,2; в) что должно
стоять в к л ет к ах вы ш е ч и сл а 24; г) что долж но стоять
в к л ет к е под числом 0; д) зн ачени я во всех остальны х
к л ет к ах .

Основные результаты


В этой главе м ы изучи л и следую щ ие п о н я т и я :
— многочлен, в частности двучлен, трёхчлен;
— приведение подобных членов многочлена,
уничтож ение членов многочлена;

взаимное

Гл а в а б

м н о го ч л ен ы , а р и ф м е т и ч е с к и е о п ерац и и н а д м н о г о ч л е н а м и

— стандартный вид многочлена;
— алгебраическая сумма многочленов.


Мы изучили следующие правила:
— правило составления алгебраической суммы многочле
нов;
— правило умножения многочлена на одночлен;
— правило умножения многочлена на многочлен;
— правило деления многочлена на одночлен.



Мы изучили следующие формулы:
— (а + Ъ)2 = а2 + 2аЪ + Ъ2 (квадрат суммы);
— (а - Ь)2 = а2 - 2аЪ + Ъ2 (квадрат разности);
— (о + Ъ) (а - Ь) = а2 - Ь2 (разность квадратов);
— (а - Ь) (а2 + аЪ + Ь2) = а3 - Ь3 (разность кубов);
— (а + Ь) (а2 - аЬ + Ъ2) = а3 + Ь3 (сумма кубов);
— (а + Ь)3 = а3 + За2&+ Зай2 + Ь3 (куб суммы);
— (а - Ь)3 = а3 - 3а2Ь + 3аЪ2 - Ь3 (куб разности).



Мы научились складывать и вычитать многочлены, умно­
жать и делить многочлен на одночлен, умножать много­
член на многочлен, применять формулы сокращённого ум­
ножения.
Мы познакомились с понятием процентной частоты резуль­
тата измерения и с тем, как составлять таблицы распреде­
ления процентных частот.



Темы исследовательских работ
1. Формулы сокращённого умножения.
2. Метод выделения полного квадрата.
3. Процентные частоты. Относительная и абсолютная частота.

РАЗЛОЖЕНИЕ
МНОГОЧЛЕНОВ
НА МНОЖИТЕЛИ
ГЛ АВА

§ 37 » Что т акое разлож ение м ногочленов на
м нож ит ели и зачем оно нужно
§ 38 . В ы несение общего м нож ит еля за
скобки
§ 39 . Способ гр уппировки
§ 40 . Разлож ение м ногочленов на
множ ит ели с помощ ью ф орм ул
сокращ ённого ум нож ения
§ 41 . Разлож ение м ногочленов на
м нож ит ели с помощ ью ком бинации
р а з л и ч н ы х приём ов
§ 42 . С окращ ение алгебраических дробей
§ 43 . Тож дества
§ 44 . Среднее значение и дисперсия

ЧТО ТАКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ
МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ
И ЗАЧЕМ ОНО НУЖНО
Для начала выполним знакомую операцию: умножим многочлен 2х - 3
на многочлен х + 2.
(2х - 3) (х + 2) = 2хг + 4.x - Зх - 6 = 2*2 + х - 6.
Итак, (2х - 3) (х + 2) = 2х2 + х - 6.
Это равенство можно записать по-другому, поменяв его части ме­
стами:
2х2 + л: - 6 = (2х - 3) (я + 2).
Такая запись означает, что многочлен 2хг + х - 6 представлен в виде
произведения более простых многочленов 2х - 3 и х + 2. Обычно в
таких случаях говорят, что многочлен удалось разложить на мно­
жители.

МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ
ГЛАВА 7. РАЗЛОЖЕНИЕ

На самом деле формулировка «разложение многочлена на множи­
тели» вам уже знакома, мы несколько раз использовали её в главе 6,
но там же мы говорили, что позднее более подробно обсудим эту про­
блему (проблему разложения многочлена на множители). Это вре­
мя пришло. Однако сначала убедимся в том, что разложение мно­
гочлена на множители — вещь полезная (иначе зачем нам этим зани­
маться?).
Представьте себе, что вам предложили решить уравнение 2х - 3 =
= 0. Вы справитесь с этим без труда: 2х = 3, х = 1,5. Затем вам пред­
ложили решить уравнение х + 2 = 0. И с ним вы справитесь легко:
х = -2 . А теперь вам предлагают решить уравнение 2х2 + х - 6 = 0,
т. е. дать ответ на вопрос, при каких значениях х трёхчлен 2х2 + х - 6
обращается в нуль, — эти значения х называют корнями уравнения.
Для таких уравнений имеется специальное правило решения, но вы
его пока не знаете. Как быть?
Воспользуемся полученным выше разложением многочлена
2х2 + х - 6 на множители: 2х2 + х - 6 = (2х - 3) (х + 2). Тогда задан­
ное уравнение можно переписать в виде
(2х - 3) (х + 2) = 0.
Теперь остаётся воспользоваться следующим известным фактом:
если произведение двух множителей равно нулю, то один из мно­
жителей равен нулю. Значит, либо 2х - 3 = 0, либо х + 2 = 0. Зада­
ча свелась к решению двух более простых уравнений. Из уравне­
ния 2х - 3 = 0 получаем х = 1,5. Из уравнения х 4- 2 = 0 получаем
х = -2 . Уравнение решено, оно имеет два корня: 1,5 и -2 .
Итак, разложение многочлена на множители может пригодиться
нам для решения уравнений.
Рассмотрим другую ситуацию. Пусть нужно найти значение чис532 —472
лового выражения ^
. Можно, конечно, проводить вычисле­
ния «в лоб», но более эффективно дважды воспользоваться формулой
разности квадратов:
532 - 472 _ (53 - 47) (53 + 47) _ 6 • 100 _ 6 _ 3
612 - 392 (61 - 39) (61 + 39) 22 • 100
22 11'
Разложение на множители позволило нам сократить дробь. Позднее
мы оценим это и при выполнении действий с алгебраическими дро­
бями.
Таким образом, разложение многочлена на множители исполь­
зуется для решения уравнений, для преобразования числовых и ал­
гебраических выражений. Применяется оно и в других ситуациях,
как, скажем, в следующем примере, где ключ к успеху опять-таки в
разложении на множители.

Доказать, что для любого натурального числа п выражение п3 + 3п2 +
+ 2 п делится без остатка на 6.
Решение

Пусть р(п) = л3 + 3л2 + 2л.
Если л = 1, то р(1) = 1 + 3 + 2 = 6. Значит, р(1) делится
на 6 без остатка.
Если л = 2, то р(2) = 23 + 3 ■ 22 + 2 • 2 = 8 + 12 + 4 = 24.
Следовательно, и р(2) делится на 6 без остатка.
Если л —3, то р(3) = 33 + 3 ■З2 + 2 • 3 = 27 + 27 + 6 = 60. Поэтому
и р(3) делится на 6 без остатка.
Но вы же понимаете, что так перебрать все натуральные числа
нам не удастся. Как быть? На помощь приходят алгебраические ме­
тоды.
Имеет место равенство
га3 + Зга2 + 2га = л (л + 1) (л + 2).
В самом деле,
л (л + 1) = л2 + га,
(л2 + п) (п + 2) = л3 + 2л2 + л2 + 2л = л3 + Зл2 + 2л.

Итак,
р(п) = л (л + 1) (л + 2),
т. е. р(п) есть произведение трёх идущих подряд натуральных чи­
сел л, л + 1, л + 2. Но из трёх таких чисел одно обязательно делится
на 3, значит, и их произведение делится на 3. Кроме того, по край­
ней мере одно из этих чисел — чётное, т. е. делится на 2, значит, и
произведение делится на 2. Итак, р(п) делится и на 2, и на 3, т. е.
делится и на 6.
Всё прекрасно, скажете вы, но как догадаться, что л3 + Зл2 + 2л =
= л (л + 1) (л + 2)? Ответ очевиден: надо учиться разложению мно­
гочленов на множители. К этому и перейдём: в каждом из следую­
щих параграфов этой главы мы будем изучать тот или иной приём
разложения многочлена на множители.

Вопросы для самопроверки
1. Используя материал данного параграфа, расскажите, для
каких типов заданий нужно уметь раскладывать многочлен
на множители. Попробуйте привести примеры таких зада­
ний.
522 —342
2. Вычислите без калькулятора: 63г _ 23г •

ED""

ГЛАВА 7- РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ

ВЫНЕСЕНИЕ ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ
ЗА СКОБКИ
Разложение многочлена на множители
с помощью вынесения за скобки общего
множителя
Прежде чем начинать изучение этого параграфа, вернитесь к § 31.
Там мы уже рассмотрели пример, в котором требовалось представить
многочлен в виде произведения многочлена и одночлена. Если такое
произведение удалось составить, то обычно говорят, что многочлен
разложен на множители с помощью вынесения общего множителя за
скобки. Рассмотрим несколько примеров.
ПРИМЕР 1

Разложить на множители многочлен:
а) 2х + 6у,
в) 4а3 + 6а2;
д) 5а4 - 10а3 + 15а5.
б) а3 + а2;
г) 12аб4 - 18а2б3с;
а) 2х + 6у = 2 (х + 3у). За скобки вынесли общий делитель
коэффициентов членов многочлена.
б) а3 + а2 = а2(а + 1). Если одна и та же переменная входит во все
члены многочлена, то её можно вынести за скобки в степени, равной
наименьшей из имеющихся (т. е. выбирают наименьший из имею­
щихся показателей).
в) Здесь используем те же приёмы, что и при решении при­
меров а) и б): для коэффициентов находим общий делитель
(в данном случае число 2), для переменных — наименьшую степень
из имеющихся (в данном случае а2):
4а3 + 6а2 = 2а2 ■2а + 2а2 • 3 = 2а2(2а + 3).
г) Обычно для целочисленных коэффициентов стараются найти не
просто общий делитель, а наибольший общий делитель. Для коэффи­
циентов 12 и 18 им будет число 6. Замечаем, что переменная а входит
в оба члена многочлена, при этом наименьший показатель равен 1.
Переменная b также входит в оба члена многочлена, причём наимень­
ший показатель равен 3. Наконец, переменная с входит только во вто­
рой член многочлена и не входит в первый член, значит, эту перемен­
ную нельзя вынести за скобки ни в какой степени. В итоге получаем:
12аб4 - 18а263с = баб3 • 2Ъ - баб3 • Зас = баб3(26 - Зас).
д) 5а4 - 10а3 + 15а5 = 5а3(а - 2 + За2).

Решение

в ^ ^ есени е общ его м н о ж и те ля за скоб ки

В этом примере мы фактически использовали следующий алго­
ритм.

.

1

2.

3.
Замечание

АЛГОРИТМ ОТЫСКАНИЯ ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ
НЕСКОЛЬКИХ ОДНОЧЛЕНОВ
Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночле­
нов, входящих в многочлен, — он и будет общим числовым мно­
жителем (разумеется, это относится только к случаю целочислен­
ных коэффициентов).
Найти переменные, которые входят в каждый член многочлена,
и выбрать для каждой из них наименьший (из имеющихся) показа­
тель степени.
Произведение коэффициента, найденного на первом шаге, и сте­
пеней, найденных на втором шаге, является общим множителем,
который целесообразно вынести за скобки.

Следует понимать, что шаги 1 и 2 алгоритма имеют совершенно раз­
ный статус. В реальных задачах коэффициенты почти никогда не бывают
целыми числами (а оказываются целыми благодаря усилиям составителей
задачников, подбирающих условия так, чтобы ответ был покрасивее). Поэ­
тому шаг 1 посвящён лишь получению наиболее приятной для глаза запи­
си, тогда как шаг 2 есть нечто содержательное.

В ряде случаев полезно выносить за скобку в качестве общего
множителя и дробный коэффициент. Например:
2 ,4 * + 7,2 у = 2,4(х + 3 у);
- а - - Ь + -с
7
7
7

=

—(а - 2Ь + Зс).
7

ПРИМЕР 2
Разложить на множители многочлен
-х*у 3 - 2х3у2 + 5х2.
Решение

Воспользуемся сформулированным алгоритмом.

1) Наибольший общий делитель коэффициентов -1 , -2 и 5 ра­
вен 1.
2) Переменная * входит во все члены многочлена с показателями
соответственно 4, 3, 2; следовательно, можно вынести за скобки * .
Переменная у входит не во все члены многочлена; значит, её
нельзя вынести за скобки.
3) Вывод: за скобки можно вынести хг. Правда, в данном случае
целесообразнее вынести за скобки —х 2. Итак,
- х 4у 3 - 2 * У + 5 * 2 = - * 2( * У + 2 х у 2 - 5).

Г Л А В А 7. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ

ПРИМЕР 3

Можно ли разделить многочлен 5а4 - 10а3 + 15а5 на одночлен: а) 5а3;
б) 25а2? Если да, то выполнить деление.
а) В примере 1д) мы получили, что

Решение

5а4 - 10а3 + 15а5 = 5а3(а - 2 + За2).

Значит, заданный многочлен можно разделить на 5а3, при этом в
частном получится а - 2 + За2.
б) 5а4 - 10а3 + 15а5 = 25a2f i a 2 - § а + | а '
1.5
5
5 ,

Значит, заданный многочлен можно разделить на 25а2, при этом
1 2
3
в частном получится - а 2 - —а + - а 3.
5

5

5

Подобные примеры мы рассматривали в § 35; просмотрите их, по­
жалуйста, ещё раз, но уже с точки зрения вынесения общего множи­
теля за скобки.
Разложение многочлена на множители с помощью вынесения об­
щего множителя за скобки тесно связано с двумя операциями, ко­
торые мы изучали в § 3 1 и 3 5 , — с умножением многочлена на од­
ночлен и с делением многочлена на одночлен.
А теперь несколько расширим наши представления о вынесении
общего множителя за скобки. Дело в том, что иногда алгебраическое
выражение задаётся в таком виде, что в качестве общего множителя
может выступать не одночлен, а сумма нескольких одночленов, т. е.
некоторый многочлен.
ПРИМЕР 4

Разложить на множители
2х (х
Решение

2) + 5 (х - 2)2.

Введём новую переменную у = х - 2. Тогда получим:
2х( х - 2) + 5 (* - 2)2 = 2ху + Ъу2.
Замечаем, что переменную у можно вынести за скобки: 2ху +
+ 5у2 = у (2х + 5у). А теперь вернёмся к старым обозначениям:
у (2х + Ъу) = (х - 2) (2х + 5 (х - 2)) =
= (* - 2) (2х + Ъ х - 10) = (х - 2) (7х - 10).
В подобных случаях после приобретения некоторого опыта мож­
но не вводить новую переменную, а сразу использовать следующую
запись:
2х( х - 2) + 5 (х - 2)2 = (х - 2) (2х + 5 (х - 2)) =
= (* - 2)(2 х + Ъх - 10) = (х - 2) (7х - 10).

_

§ 33. Вынесение общего множителя за скобки

L J7 7 J

Дальнейшие примеры
ПРИМЕР 5

яшшшш

I

В ы числить (2 ■ 103
- 984 • 2365.

+

3 • 102 + 7 • 10 + 5) • (9 • 102 + 8 • 10 + 4)

Решение

Числовое вы раж ен ие в первы х скобках — это число 2375,
числовое вы раж ен ие во вторы х скобках — это число 984.
Зам етив это, произведём вы числения:
2375 ■984 - 984 • 2365 = 984 ■(2375 - 2365) = 984 ■10 = 9840.

жакан

ПРИМЕР 6

Д ок азать, что (75 + 144) : 23 (напомним ещ ё раз, что символ : озна­
чает «делится на»).
Решение

Имеем 75 + 144 = 75 + 74 • 24 = 74(7 + 24) = 74 • 23. Делимость
полученного произведения на 23 теперь не вы зы вает н и к а ­
к и х сомнений.

ПРИМЕР 7
Реш ить уравнение (х - 2) (х Решение

П реобразуем уравнение к виду
(х - 2) (х + З)3 - (х + 3) (х - 2)3 = 0
и вы несем в левой его части за скобки общ ий м нож итель (х - 2) (х + 3);
получим:
(х - 2) (х + 3) ((х + З)2 - (х - 2)2) = 0;
(х - 2) (х + 3)(х + 3 + х - 2)(х + 3 - х + 2) = 0;
5(х - 2) (х + 3) (2х + 1) = 0.
Значит, либо х - 2 = 0, откуда находим х = 2; либо х + 3 = 0, откуда
находим х = - 3 ; либо 2х + 1 = 0, откуда находим х = -0 ,5 .
-3 , - 0 ,5 , 2.

ПРИМЕР 8
Р еш и ть систему уравнении
| ( х - 2 у)2 = 1 1 ( х - 2 у),

[2х + у = 50.

ГЛАВА 7.

разло ж ен и е

МНОГОЧЛЕНОВ НА

множ ители

Преобразуем первое уравнение системы:
(ж - 2у)2 - 11(ж - 2у) = 0;
(х - 2у)(х - 2 у - 11) = 0.
Значит, либо х —2у = 0, либо х —2i/ —11 = 0, а потому решение
заданной системы сводится к решению двух систем:
х - 2 у = 0,
(х - 2у - 11 = 0,
2х + у = 50;
[2ж + у = 50.
Из первой системы получим х = 20, у = 10, из второй
х = 22,2,
у = 5,6.

Решение

(20; 10), (22,2; 5,6).

Решить систему уравнений
\ х2 + 4у1 - Зх + 6у — 4xi/,
[Зж + у = 21.
Решение

Преобразуем первое уравнение системы;
(х2 - 4ху + 4у2) - (Зх - 6у) = 0;
(х - 2у)2 - 3 ( х - 2 у ) = 0;
(х - 2у) (х ~ 2у - 3) = 0.

Значит, либо х - 2у = 0, либо х - 2у - 3 = 0, а потому решение
заданной системы сводится к решению двух систем:
[ х - 2у = 0,
[ х - 2у - 3 = 0,
[Зх + у = 21;
[Зж + у = 21.
3
Из первой системы получим х = 6, у = 3, из второй — ж = 6-,
(6; 3), | б |; l |

Вопросы для самопроверки
1. Сформулируйте алгоритм отыскания общего множителя
нескольких одночленов.
2. Приведите пример трёхчлена, у которого можно вынести за
скобки общий множитель Зж2.
3. Объясните, почему числовое выражение 29 + 3 • 211 делится:
а) на 13; б) на 26; в) на 52.

§39. Способ группировки

179

Понятие о способе группировки
при разложении многочлена
на множители
Для уяснения сути способа группировки рассмотрим следующий
пример.
ПРИМЕР 1

Разложить на множители многочлен
2а2 + 6а + ab + 36.
Решение

Объединим в одну группу первые два члена, а в другую —
последние два члена многочлена:
(2а2 + 6а) + (аЪ + 36).
Замечаем, что в первой группе можно вынести за скобки 2а,
а во второй группе — 6; получим 2а (а + 3) + 6 (а + 3). Теперь мы
видим, что «проявился» общий множитель (а + 3), который можно
вынести за скобки. В результате получим (а + 3) (2а + 6).
Поскольку процесс преобразований в примере 1 перемежался
комментариями, приведём ещё раз решение, но уже без коммента­
риев:
2а2 + 6а + аб + 36 = (2а2 + 6а) + (аЪ + 36) =
= 2а (а + 3) + 6 (а + 3) = (а + 3) (2а + 6).

Объединение членов многочлена 2а2 + 6а + аб + 36 в группы мож­
но осуществить различными способами. Однако нужно учитывать,
что иногда такая группировка оказывается удачной для последующе­
го разложения на множители, а иногда нет. Проведём эксперимент.
Объединим в одну группу первый и третий члены рассматриваемого
многочлена, а в другую группу — второй и четвёртый:
2а2 + 6а + аб + 36 = (2а2 + аб) + (6а + 36) =
= а (2а + 6) + 3 (2а + 6) = (2а + 6) (а + 3).
Разложение на множители получилось, группировка оказалась
удачной.
Теперь объединим в одну группу первый и четвёртый члены, а в
другую — второй и третий:
2а2 + 6а + аб + 36 = (2а2 + 36) + (6а + аб) = (2а2 + 36) + а(6 + 6).
Эта группировка явно неудачна.

ГЛАВА 7. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ

Подведём итоги. Члены многочлена можно группировать так,
как нам хочется. Иногда удаётся такая группировка, что в каждой
группе после вынесения общих множителей в скобках остаётся один
и тот же многочлен, который, в свою очередь, может
быть вынесен за скобки как общий множитель. Тогда госпособ
ворят, что разложение многочлена на множители осу­
группировки
ществлено способом группировки.

■■иядыл

шяшшяяшяшшшшяш

Разложить на множители многочлен
ху - 6 + Зх - 2у.
Р еш ение

Первый способ группировки:
ху - 6 + Зх - 2у = (ху - 6) + (Зх - 2у).
Группировка неудачна.
Второй способ группировки:
ху - 6 + Зх - 2у = (ху + Зх) + (-6 - 2у) :
= х (у + 3 ) - 2 ( у + 3) = (у + 3) (х - 2).
Третий способ группировки:
ху - 6 + Зх - 2у = (ху - 2у) + (-6 + Зх) :
= У(х - 2) + 3 (х - 2) = (х - 2) (у + 3).
ху - 6 + Зх - 2у = (х - 2) (у + 3).

Как видите, не всегда с первого раза группировка бывает
удачной. Если группировка оказалась неудачной, то откажитесь от
неё, ищите иной способ. По мере приобретения опыта вы будете бы­
стро находить удачную группировку, как это сделано в следующем
примере.
ПРИМЕР 3

Разложить на множители многочлен
ab2 - 2аЪ + За + 2Ь2 - 4 6 + 6.
Реш ение

Составим три группы: в первую включим первый и четвёр­
тый члены, во вторую — второй и пятый, в третью —
третий и шестой:
аЪг - 2аЪ + За + 2Ь2 - 46 + 6 = (аб2 + 262) + (-2а6 - 46) +

§39. Способ группировки

Во всех группах оказался общий множитель (а + 2), который
можно вынести за скобки. Получим (а + 2) (62 - 2 6 + 3).
Ответ

аЪ2 - 2аЬ + За + 262 - 46 + 6 = (а + 2) (Ь2 - 26 + 3).
Иногда полезно проверить себя, т. е. в полученном разложении на
множители выполнить операцию умножения многочленов (раскрыть
скобки) и убедиться, что в результате получится тот многочлен, кото­
рый был задан. А если нет? Тогда надо искать ошибку в разложении
на множители.

альнеишие примеры
ПРИМЕР 4

Разложить на множители многочлен х2 - 7х + 12.
Решение

Наверное, вы думаете: какое отношение имеет этот пример
к способу группировки, ведь здесь и группировать-то нече­
го? Это верно, но можно сделать небольшой «фокус»: если предста­
вить слагаемое —7х в виде суммы -З х - 4х, то получится сумма уже
не трёх (как в заданном многочлене), а четырёх слагаемых. Эти четы­
ре слагаемых можно распределить по двум группам:
х2 - 7х + 12 = х2 - Зх - 4х + 12 = (х2 - Зх) + (~4х + 12) =
= х (х - 3) - 4 (х - 3) = (х - 3) (х - 4).

ПРИМЕР 5

!_______________________________________

Решить уравнение:
а) х2 - 7х + 12 = 0;

б) х3 - 2х2 + Зх - 6 = 0.

а) Разложим трёхчлен х2 —7х + 12 на множители так, как
это сделано в примере 4:
х2 - 7х + 12 = (х - 3) (х - 4).
Тогда заданное уравнение можно переписать в виде (х —3) (х —4) = 0.
Теперь ясно, что исходное уравнение имеет два корня: х = 3, х = 4.
б) Разложим многочлен х3 - 2х2 + Зх - 6 на множители:

Решение

х3 - 2х2 + Зх - 6 = (х3 - 2х2) + (Зх - 6) =
= х2(х - 2) + 3 (х - 2) = (х - 2) (х2 + 3).
Перепишем теперь заданное уравнение в виде
(х - 2) (х2 + 3) = 0.

ГЛ А В А

разлож ение

М Н О ГО ЧЛ ЕН О В Н А М Н О Ж И ТЕЛ И

Так как произведение равно нулю, то равен нулю один из множите­
лей. Но х 2 + 3 при любых значениях х является положительнымчис­
лом, т. е. в нуль обратиться не может. Значит, может выполняться
только равенство х —2 = 0, откуда получаем х = 2.
а) 3, 4;

О твет

б) 2.

ПРИМ ЕР 6

Построить в системе координат хОу график линейной функции
у = рг + 3рх, если известно, что этот график проходит через точку
(2; -5) и пересекает ось абсцисс в точке, расположенной левее точки
( 1 ; 0 ).

Реш ение

Поскольку график проходит через точку (2; -5 ), должно
выполняться соотношение -5 = р 2 + Зр ■2, т. е. р 2 + fjp +

+ 5 = 0.
Подобное уравнение, применив способ группировки, мы уже ре­
шили выше, в примере 5а). Здесь мы тоже применим способ группи­
ровки:
р2 + 6р + 5 = 0;
(р2 + Р) + (5р + 5) = 0;
р(р + 1) + 5 (р + 1) = 0;
(р + 1) (р + 5) = 0.
Значит, либо р + 1 = 0, т. е. р = -1 , либо
р + 5 = 0, т. е. р = -5 .
Если р = -1 , то заданная линейная функ­
ция принимает вид у = 1 —Зх; если р = -5 , то
заданная линейная функция принимает вид
у — 25 — 15х. Осталось из этих двух линей­
ных функций выбрать ту, график которой
пересекает ось абсцисс в точке, расположен­
ной левее точки (1; 0).
Прямая у = 1 —Зх пересекает ось абсцисс в точке
, а прямая
у = 25 - 15* — в точке

левее точки (1; 0) расположена лишь

Значит, искомая линейная функция — это у = 1 - Зх,
её график изображён на рисунке 82.

н н н ЯШШШШШШШШЯ
Построить график уравнения х2 + 2ху - 8л: - 6у + 15 = 0.
Решение

Разложим левую часть уравнения на множители, предвари­
тельно представив одночлен -8л: в виде -Зл: - Ъх:
хг + 2 ху - 8 * - 6у + 15 = л:2 - Зх + 2ху - 6у - 5 * + 15 =
= (х2 - Зх) + (2ху - 6у) - (5х - 15) =
= х (х - 3) + 2у (х - 3) - 5 (х - 3) = (х - 3) (* + 2у - 5).
Значит, уравнение, график которого нам надо построить, можно
записать так:
(х - 3)(* + 2у - 5) = 0.
График этого уравнения — объ­
единение двух прямых: прямой х = 3
(прямая, параллельная оси орди­
нат) и прямой х + 2у - 5 = 0. Для
построения второй прямой следу­
ет найти две точки, ей принадле­
жащие: если у = 0, то х = 5; если
х = 1, то у = 2. Итак, строим вторую
прямую по точкам (5; 0) и (1; 2).
График заданного уравнения (две
прямые) изображён на рисунке 83.

ПРИМЕР 8
Найти пары целых чисел (х; у), которые удовлетворяют уравнению
9у + 10х - бху = 8.
Решение

Поработаем с левой частью уравнения:

9у + 10х - 6ху = (9у - 6ху) + 10* = 3у(3 - 2х) + (1 0 * - 15) + 15 =
= Зу (3 - 2 *) + 5 (2 * - 3) + 15 = 15 - 3у (2 * - 3) + 5 (2 * - 3) =
= 15 + (2 * - 3) (5 - Зу) = 15 - (2 * - 3) (3у - 5).
Значит, заданное уравнение можно переписать так:
15 - (2 * - 3) (Зу - 5) = 8, откуда следует, что (2 * - 3) (Зу - 5) = 7.
Нас интересуют только целочисленные решения уравнения, зна­
чит, оба множителя в левой части уравнения должны быть целыми
числами, которые при перемножении дают в результате 7. Какие
два целых числа дадут 7 в произведении? Есть лишь 4 возможности.
1 и 7, 7 и 1, - 1 и - 7 , - 7 и - 1 . Рассмотрим каждый из этих четырёх
случаев по отдельности.
1) 1 и 7. Это значит, что 2 * — 3 = 1, Зг/ 5 = 7. Отсюда следует,
что * = 2, у = 4.

2) 7 и 1. Это значит, что 2х —3 — 7, 3у 5 1. Отсюда следует,
что х = 5, у = 2.
п ^
3) —1 и —7. Это значит, что 2х — 3 = -1 , Зг/ —5 — 7. Отсюда сле­
дует, что * = 1, у =

3

Эта пара нас не устраивает, нас интересуют

только пары целых чисел.
4) —7 и —1. Это значит, что 2х —3 = -7 , Зг/ —5 = ~1. Отсюда сле­
дует, что х = -2 , у -

Эта пара нас также не устраивает.

(2; 4) и (5; 2).

ПРИМЕР 9

Доказать, что при любом натуральном значении п выполняется со­
отношение (л4 + 6л3 + 11л2 + 6л) : 24.
Похожий пример, но попроще мы рассмотрели выше, в
§ 37. Теперь нам по силам более сложный пример. Порабо­
таем с многочленом л4 + 6л3 + 11л2 + 6л, попытаемся разложить его
на множители — это всегда полезно при решении задач на делимость:
л4 + 6л3 + 11л2 + 6л = л (л3 + л2 + 5л2 + 5я + 6л + 6) =
= л (л2(л + 1) + 5л (л + 1) + 6 (л + 1)) = л (л + 1) (п2 + 5л + 6).

Решение

Теперь разложим на множители трёхчлен л2 + 5л + 6:
л2 + 5л + 6 = л2 + 2л + Зл + 6 = л (л + 2) + 3 (л + 2) =
= (л + 2) (я + 3).
Итак, л4 + 6я3 + 11л2 + 6л = л (л + 1) (л + 2) (л + 3).
Среди четырёх подряд идущих натуральных чисел л, л + 1, л + 2,
л + 3 обязательно присутствует хотя бы одно число, делящееся на 3,
и два чётных числа, причём одно из этих чётных чисел даже делится
на 4. Значит, произведение этих четырёх чисел делится на 2 ■3 • 4,
т. е. на 24. Итак, (л4 + 6л3 + 11л2 + 6л) I 24.

ПРИМЕР 10

Имеются два сплава с различным процентным содержанием меди,
один — массой 12 кг, другой — массой 8 кг. От первого и второго
сплавов отрезали куски равной массы и поменяли местами. В ре­
зультате получилось два новых сплава с теми же массами, но уже
с равным процентным содержанием меди. Какова масса каждого из
отрезанных кусков?

§ 39. Способ группировки

Решение

I ЭТАП. Составление математической модели.
Введём три переменные: л: кг — масса каждого из отрезан­
ных кусков; у % — содержание меди в первом сплаве, z % — содер­
жание меди во втором сплаве. После того как от каждого из первона­
чальных сплавов отрезали по куску массой х к г и поменяли местами,
получились два новых сплава: их структура схематически представ­
лена на рисунке 84. Обсудим эти схемы.
На рисунке 84, а представлена структура третьего сплава: он со­
стоит из (12 - х) кг первого сплава с 1/%-ным содержанием меди и из
х кг второго сплава с г%-ным содержанием меди. Можно подсчитать
массу А меди в третьем сплаве:
А =

100

На рисунке 84, б представлена структура четвёртого сплава: он
состоит из (8 - х) кг второго сплава с 2 %-ным содержанием меди и из
х кг первого сплава с 1/%-ным содержанием меди. Можно подсчитать
массу меди В в четвёртом сплаве:
кг.

В =

Наступил самый ответственный момент. Что значит, что процент­
ное содержание меди в третьем и четвёртом сплавах одинаково? Это
значит, что отношение массы меди в третьем сплаве к массе третье­
го сплава равно отношению массы меди в четвёртом сплаве к массе
четвёртого сплава: — = —. Из этой пропорции следует, что 2А = ЗБ,
12

(1 2 -

у

Рис. 84

х)

8

х

кг,

кг,

2 % м еди

% м еди

(8 -

х)

кг,

2 %

X кг,
у

% м еди

м еди

а

Это уравнение — математическая модель задачи.
II ЭТАП. Работа с составленной моделью.
Умножим обе части уравнения на 100 и раскроем скобки в обеих
частях уравнения:
24у - 2ху + 2xz = 24z - 3xz + Зху;
(24у - 24z) + (5xz - Ъху) = 0;

24 (у - z) - Ъх (у - г) = 0;
(у - г) (24 - Ъх) = 0.
По условию у * z, но тогда из последнего уравнения следует, что
24 - Ъх = 0, т. е. х = 4,8.
III ЭТАП. Ответ на вопрос задачи.
Нам нужно было найти массу каждого из отрезанных от обоих
сплавов кусков, эту величину мы обозначили буквой х , так что ответ
на вопрос задачи уже получен: от каждого из сплавов отрезали (и по­
меняли местами) по 4,8 кг.
Обратите внимание, что в составленном уравнении было три пе­
ременных, из которых две нас не интересовали, да, впрочем, они и
исчезли в процессе преобразований.
О твет ___■

4,8 кг.

Вопросы для самопроверки
1. Дан многочлен 2х3 + х 2а - 2ах - а2. Применяя для его раз­
ложения на множители способ группировки, можно посту­
пить так:
а) сгруппировать 1-й и 2-й, 3-й и 4-й члены;
б) сгруппировать 1-й и 3-й, 2-й и 4-й члены;
в) сгруппировать 1-й и 4-й, 2-й и 3-й члены.
В каких случаях группировка окажется удачной и приве­
дёт к разложению многочлена на множители, а в каких —
нет?
2. Постройте график уравнения ху - х - у + у2 = 0. Если ока­
жется, что график состоит из двух прямых, то найдите точ­
ку пересечения этих прямых.

РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ
НА МНОЖИТЕЛИ
С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ
СОКРАЩЁННОГО УМНОЖЕНИЯ
В § 33 мы получили семь формул сокращённого умножения. Там же
мы отметили, что любой из этих формул можно пользоваться как для
сокращённого умножения многочлена на многочлен (если применять
формулы в том виде, в котором они были записаны в § 33), так и для
разложения многочлена на множители, если их переписать следую­
щим образом:

§40. Разложение многочленов на множители с

* opw,jg .

187

( 1)
( 2)
( 3)

(4)
(5)
( 6)

(7)
Первую из этих формул мож но применять к вы раж ению , пред­
ставляю щ ем у собой разность квадратов (безразлично чего — чи ­
сел, одночленов, многочленов), вторую и третью — к вы раж ению ,
представляю щ ем у собой разность ( с у м м у ) кубов; четвёртую и п я­
тую формулы применяю т к трёхчлену, представляю щ ему собой пол­
ны й квадрат, т. е. содерж ащ ему сумму квадратов двух вы раж ений и
удвоенное произведение тех ж е вы раж ений; шестую и седьмую фор­
м улы применяю т к многочлену, представляю щ ему собой полн ы й куб.

шшжяш
Р азл о ж и ть на м нож ители:
а) 6 4 х 2 - 9;
в) (2 х - I ) 2 - 25;
б) Xе - 4 а4;
г) (а + З)2 - (6 - 2)2.

Решение

Во всех четы рёх примерах воспользуемся формулой (1)
(разность квадратов):
а) 64*2 - 9 = (8*)2 - З2 = (8х - 3) (8* + 3);
б) х в - 4 а 4 = ( х 3)2 - (2а2)2 = (х3 - 2 а 2) (х 3 + 2 а 2);
в) (2х - I ) 2 - 25 = (2х - I ) 2 - 52 = ((2х - 1) - 5) • ((2х - 1) + 5) =
= (2х - 6) (2х + 4) = 2 (х - 3)■2 (х + 2) = 4 (х - 3) (х + 2).
Здесь, кроме ф ормулы разности квадратов, мы использовали при­
ём вы несения общего м нож ителя за скобки — дл я двучленов 2х - 6
и 2 х + 4.
г) (а + З)2 (6 - 2)2 = ((а + 3) - (6 - 2)) • ((а + 3) + (Ъ - 2)) =
= (а + 3 - Ъ + 2) (а + 3 + Ь - 2) = (а - Ь + 5) (а + Ь + 1).

Р азл о ж и ть на м нож ители:
а) 125а3 - 8й3;
б) а 6 + 27Ь3;

Решение

в) * 6 - а 6

Здесь воспользуемся формулами (2) и (3) (разность и сумма
кубов).
а) 125а3 - 8Ь3 = (5а)3 - (2й)3 = (5а - 26) ■((5а)2 + 5а ■26 + (26)2) =

ГЛАВА 7. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ

б) а6 + 2763 = (а2)3 + (36)3 = (а2 + 36) ■((а2)2 - а 2 ■ЗЬ + (36)2) =
= (а2 + 36) (а4 - За26 + 964).
в) Первый способ:
х е - а6 = (х2)3 - (а2)3 = (х2 - а 2) • ((х2)2 + х 2 • а 2 + (а2)2) =
= (х - а) (х + а) (х4 + х 2а 2 + а 4).
Второй способ:
х6 - а 6 = (х3)2 - (а3)2 = (х3 - а 3) (х3 + а 3) =
= (х - а) (х2 + х а + а 2) (х + а) (х2 - ха + а 2).
В примере 2в) при одном способе реш ения получилось разлож е­
ние
(х - а) (х + а) (х4 + х 2а 2 + а 4),
а при другом способе — разложение
(х - а) (х + а) (х2 + ха + а 2) (х2 - х а + а 2).
Разумеется, это одно и то же: в следующем параграфе мы по­
кажем, к ак от многочлена х 4 + х 2а 2 + а 4 перейти к произведению
(х2 + ха + а 2) (х2 - х а + а 2). Впрочем, и сейчас вы можете убедиться,
что
х4 + х 2а2 + а 4 = (х2 + х а + а 2) (х2 - х а + а 2).
Для этого достаточно раскрыть скобки в правой части равенства
(сделайте это).

M ill H IM
Разлож ить на множители:
а) а 2 - 4а6 + 462;
в) 4х4 - 12х2у + 9у 2;
б) х4 + 2х2 + 1;
г) 25а2 + Юаб + 462.
Реш ение

В этих примерах даны трёхчлены, для их разлож ения на
множители будем пользоваться формулами (4) и (5), если,
конечно, убедимся в том, что трёхчлен является полным квадратом,
а) а 2 - 4а6 + 462 = а 2 + (26)2 - 2 • а • 26 = (а - 26)2.
Мы убедились, что трёхчлен содержит сумму квадратов од­
ночленов а и 26, а такж е удвоенное произведение этих одночленов.
Значит, это полный квадрат, причём квадрат разности.
б) х4 + 2х2 + 1 = (х2)2 + I 2 + 2 • х 2 • 1 = (х2 + I) 2;
в) 4х4 - 12х2у + 9у2 = (2х2)2 + (Зу)2 - 2 • 2х2 • 3у = (2х2 - Зу)2;
г) 25а2 + Юаб + 462 = (5а)2 + (26)2 + 5а ■26.
Так как Юаб — это не удвоенное произведение одночленов 5а
и 26, то данный трёхчлен не является полным квадратом. Р аз­
ложить его на множители с помощью формул (4) или (5) мы не
можем.

^§40. Разложение м и п т ..и. ||пп на множители с помощью формУ^

П одчеркнём ещ ё раз: если хотите воспользоваться ф ормулами (4)
и л и (5), то сначала убедитесь, что заданны й трёхчлен есть полны й
квад рат. В противном случае формулы (4) и (5) применять нельзя —
именно т ак обстояло дело в примере Зг).

ПРИМ ЕР 4

1is и

н

н

к

ш

к

Д оказать, что (273 + 283) : 55.

Реш ение

| 273 + 283 = (27 + 28) (272 - 27 • 28 + 282) =
= 55 • (272 - 27 • 28 + 282).
П олу ченное произведение делится на 55, что и требовалось доказать.

ПРИМ ЕР 5
Р еш ить систему уравнений

{ 0. Что это значит? Это
(а2 - 6 а + 13) (а2 + 6а + 13)
2 a
1 о
значит, что '----------- -— —------------------ = а2 - 6а + 13 является тождеа2 + 6а + 13
ством при любых значениях переменной.

ПРИМЕР 1

вшяяшшшш

Доказать, что при х ^ 1 имеет место тождество
х - б*6 + Ъх7
х + 2х2 + Зх3 + 4д:4 + Ъх5
(х -

Решение

I

)2

( 2)

Чтобы доказать, что А = —, достаточно установить, что

АС = В. Воспользовавшись этим замечанием, рассмотрим
произведение многочленов (х + 2л:2 + Зл:3 + 4л:4 + 5х5)(х - I)2. Имеем:
(х + 2х2 + Ззс3 + 4 х 4 + Ъх5) {х - I)2 =
= (х + 2 х г + Зх3 + 4л:4 + Ъх5) (х2 - 2х + 1) =
= х 3 + 2х4 + З х 5 + 4 х 6 + Ъх7 - 2л:2 - 4 * 3 - Ъх4 - 8х5 - 10*6 + х +
+ 2х2 + З х3 + 4х4 + Ъх5.
Осталось привести подобные члены; получим х —бя6 + Ъх . Тож­
дество (2) доказано.

ПРИМЕР 2
Доказать, что если а + Ъ + с — 0, то а3 + Ь3 + с3

3abc.

а 3 + Ъ3 + с3 = (а3 + 3а 2Ъ + 3аЪ2 + Ь3) - За2Ъ - ЗаЪ2 + с3 =
= (а + Ь)3 - ЗаЪ (а + 6) + с3. Сгруппируем в полученной сум­
ме слагаемые (а + Ь)3 и с3; это позволит применить формулу суммы

Решение

У

(а + й)3 - Зай (а + Ь) + с3 = ((а + Ь)3 + с3) - Зай (а + й) =
= ((а + й) + с) ((а + й)2 - (а + й)с + с2) - Зай (а + й ) = (а + й + с) (а2 + й2 + с2 + 2ай - а с - Ьс) - Зай (а + й).

Но по условию а + b + с = 0, значит, в полученном выражении
первое произведение равно нулю, а во втором произведении вместо
а + b можно написать —с, т. е. —3аЪ (а 4- b) = —Sab (—с) = 3abc. В итоге
получаем, что а3 + Ь3 + с3 = 3abc.

ПРИМЕР 3
Построить график уравнения:
Ч ху + 4 х - 2х2 - 2у = 0. б) у2 + 2у - 2х - х2 = Q
'
х- 2
’ ’
х- у
а) Рассмотрим числитель алгебраической дроби в левой ча­
сти уравнения:
xy + i x - 2х2 - 2у = (ху - 2у) - (2х2 - 4х) = у(х - 2) - 2х (х - 2) =
= (х-2)(у-2х).
Значит, xy + i x - 2х2 - 2у _ (х - 2) ( у - 2х) = у _ 2х

Подчеркнём,

ж-2

что тождество

яр + 4* - 2л:2 - 2у =
_ у - 2х имеет место лишь при х ^ 2.
л: —2
Проведённые рассуждения позволяют
переформулировать условия задачи: нам
нужно построить график уравнения у - 2х = О
при условии, что х ^ 2. Графиком уравне­
ния у - 2х = 0 является прямая, а условие
х + 2 означает, что на этой прямой нель­
зя брать точку с абсциссой х = 2. График
заданного уравнения изображён на рисун­
ке 85. Обратите внимание: точка (2; 4) отме­
чена светлым кружочком — «выколотая»
точка.

б) Как и в пункте а), начнём с числителя алгебраической
дроби:
у2 + 2у - 2х - х 2 = (у2 - х 2) + (2у - 2х) =
= (У - х) (у + х) + 2 (у - х) = (у - х) (у + х + 2).
Значит, у2 + 2у - 2х - ж2 = (у - х) (у+ х + 2) = _(р + х + 2)
Подчеркнём, что тождество у2 + 2у - 2х - х2
место лишь при х - у ^ 0.

х - У

- ( у + х + 2) имеет

L

И Н Н П Н Н Н П М Н
, £ ^ ^ Р е днее значение и писпеосия

щ„__

Проведённые рассуждения поз­
воляют переформулировать условия
задачи: нам нужно построить график
уравнения -(у + х + 2) = 0 , т. е. гра­
фик линейной функции у = —х — 2
при условии, что у & х. Графиком ли­
нейной функции у = —х - 2 является
прямая, а условие у ^ х означает, что
на этой прямой нельзя брать точку,
координаты которой удовлетворяют
условию у = х, т. е. принадлежащую
прямой у = х. График заданного уравнения изображён на рисунке 86;
обратите внимание: точка пересечения прямых у = - х - 2 и у = х —
«выколотая» точка.

Вопросы для самопроверки
1. Что такое тождество?
2. Приведите пример тождества, верного при любых значени­
ях переменных.
3. Приведите пример тождества, верного не при всех, а лишь
при допустимых значениях переменных.

______

■____

СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ И ДИСПЕРСИЯ

Если данных имеется много (несколько десятков, сотен, тысяч...), то
работать со всеми этими данными целиком затруднительно. Поэтому
от всей первоначальной информации стараются оставить небольшое
количество лиш ь самых важных показателей. Они описывают распре­
деление данных в самых общих чертах, «забывая» многие первона­
чальные детали. Т. е. кратко: выигрываем в уменьшении информа­
ции, но проигрываем в её точности.
С некоторыми из таких показателей мы уже знакомились ранее.
Это — объём, размах, мода и медиана данных. Но, пожалуй, самой
распространённой является ещё одна статистическая хасреднее
рактеристика ряда числовых данных — среднее арифмезначение
тическое значение, кратко: среднее значение, или просто
среднее.

Правило Д ля того чтобы найти среднее арифметическое (среднее)
нескольких чисел, следует их сумму разделить на их
количество.
Параграф написан П. В. Семеновым.

ГЛАВА 7. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ

Несколько примеров вычисления среднего соберём в таблице:
Числа

Сумма

Количество

Среднее

20, 16

20 + 16 = 36

2

18

20, 1, 6

20 + 1 + 6 = 27

3

9
2,25

2, 0, 1, 6

2+0+1+6=9

4

2, 0, 1, 6,
2016

2+0+1+6+
+ 2016 = 2025

5

405

2, 0, 0, 0, 1, 1,
1, 6, 6, 6

2 + 3 + 18 = 23

10

2,3

Отметим, что ни в одном из этих случаев среднее значение ряда
чисел не совпадает ни с одним из чисел ряда. Это — весьма типичная
ситуация, хотя так бывает не всегда.

Для ряда чисел 7, 2, -3 , 5, 3, 5, 2, 30, 4, 2, -2 , 6, 4 найти наимень­
шее число и наибольшее число. Вычислить размах, моду, медиану,
среднее.
Реш ение

Наименьшее число равно -3 , наибольшее равно 30, размах
равен 33. Упорядочим ряд: -3 , -2 , 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 6,
7, 30. Мода равна числу 2, которое встречается три раза. Медиана
равна числу 4, которое стоит на «среднем», седьмом месте. Осталось
вычислить среднее арифметическое
- 3 - 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 4 + 4 + 5 + 5 + 6 + 7 + 30
13

О тв ет

=

65
ии
1 3

=

с

5 -

Размах 33, мода 2, медиана 4, среднее 5.
Мы видим, что мода, медиана и среднее — это различные харак­
теристики ряда данных. Они по-разному описывают распределение
данных.
Вернёмся к среднему. В общем виде среднее двух чисел а и Ь рав­
но их полусумме а * 6, среднее трёх чисел а, Ь и с равно а + ь +_£,
д

3

и т. д. а как записать формулу среднего для произвольного коли­
чества чисел? Для этого сначала нужно научиться записывать про­
извольное количество чисел. Так как количество чисел никак не
ограничено, то букв какого-либо разговорного языка для такого пе­
речисления может не хватить. В математике действуют так: исполь-

^РеДнее значение и дисперсия

205

Г о Г й Г “
ИЯ Т0ЛЬК0 0ДНУ букву’ но сна^жают её индексом,
который будет нумеровать наши числа. Например,
° 2’ ° 3 — наб°Р (РяД) из трёх чисел; а4 — первое число в этом
Р Л АУ>

* • > 6з’ 64 ~ наб°Р (рад) из четырёх чисел; Ь3 - третье число в
этом ряду,
2ь 22. 2з. г4, г5, гв, г7
набор (ряд) из семи чисел; г6 — шестое
число в этом ряду;
х2, х 3, ...,
хп — набор (ряд) из л чисел.
Теперь приведённое ранее правило вычисления среднего можно
записать формулой, на математическом языке:
£ _ Х1 + Х 2 + *з + ■■■+ х п-4 + х„
п
В статистике используют разные обозначения для среднего зна­
чения. Одно из наиболее употребительных — та буква, которой обо­
значены сами данные, но с чёрточкой вверху и без индексов: х, а
Ъ и т. п.
ПРИМЕР 2

За первые два месяца учебного года Петя получил по русскому языку
такие отметки: 4, 2, 4, 4, 5, 5. В ноябре он подряд получил несколько
пятёрок, и его средняя отметка после этого стала равной 4,4. Сколько
пятёрок подряд Петя получил в ноябре?
Решение

Предположим, что к имеющимся отметкам добавлены л
пятёрок. Тогда количество всех отметок равно 6 + л, а их
сумма равна 4 + 2 + 4 + 4 + 5 + 54- 5гг = 24 + 5л. Тогда среднее будет
равно
+
Составляем уравнение: ^
^п = 4,4. Решаем его:
6 + 71 -------------------- 6 + 7i

24 + 5л = 4,4 (6 + л), 24 + 5л = 26,4 + 4,4л, 0,6л = 2,4, л ■4.

Два следующих свойства среднего значения иногда позволяют
упростить вычисления.
ТЕО РЕМ А 1
Если каждое число ряда увеличить (уменьшить) на постоянное
число а , то среднее ряда также увеличится (уменьшится) на то же
число.
ТЕО РЕМ А 2
Если каждое число ряда умножить на постоянное число Ь, то
среднее ряда также умножится на то же число.

Докажем теорему 1 . Сначала были числа Х \ , Хг-> #з» •••» %п- ь
хп. Их среднее равнялось х . Из них получились числа
xn-i + а, хп + а. Среднее новых п чисел равно
Х\ + а, Х2 f а, х3 + а,
(*! + а) + (х2 + а) + + (х п + а) =

Д о ка за тельств о

+ (а + а + а + ... + а) =
п
= *1 + * 2 +••: + %■■+ а = х +а,
п
т. е. оно на а больше среднего первоначальных чисел. Теорема дока­
зана.
Попробуйте по аналогии доказать теорему 2.
_ (Xi

+ х 2 + ...

+ Х п)

ПРИМ ЕР 3

Измерили рост команды баскетболистов седьмых классов, включая
запасных. Получили ряд (в см): 151, 162, 159, 154, 161, 155, 153,
155, 155, 160, 154, 153. Найти средний рост команды.
Уменьшим каждое число на 155. Получим ряд: -4 , 7, 4, -1 ,
6, 0, -2 , 0, 0, 5, -1 , -2 . Сумму чисел в новом ряду можно
сосчитать устно. Получится 12. Значит, среднее нового ряда равно 1.
Теперь вернёмся к прежнему ряду, т. е. добавим к числам нового
ряда по 155. По теореме 1 получаем, что среднее первоначального
ряда равно 1 + 155 = 156.

Решение

156 см.
Познакомимся ещё с одним статистическим показателем. Он на­
зывается «страшным» словом дисперсия1. Дисперсия ряда (набора)
чисел х ъ х2, х 3, ..., x n-i, х п показывает, насколько тесно эти числа
распределены, рассеяны вокруг своего среднего значедисперсия
ния х .
Вычисление дисперсии — непростая задача. Снача­
ла вычисляют среднее х. Затем вычисляют все отклонения х\ - х,
X'l - х , ..., х п - х чисел ряда от среднего х. Эти отклонения возводят
в квадрат: (хг - x f , (х2 - х)2, ..., (х„ - х)г. Наконец, находят среднее
полученных квадратов отклонений.
Итак, дисперсия D вычисляется по следующей формуле:
(*! - х)2 + (хг - х)2 + ... + (х„ - х )2
п
Дисперсия всегда неотрицательна. Дисперсия ряда чисел равна
нулю только в том случае, когда все эти числа равны между собой
(и, значит, равны среднему х). Чем ближе дисперсия к нулю, тем тес1 От латинского dispersio — «рассеяние».

нее числа x it х2, Хз, ..., £„_ь х„ расположены вокруг своего среднего
значения х. Если дисперсия заметно отличается от нуля, то какие-то
из чисел ряда заметно отличаются от среднего х.

ПРИМЕР 4
Четыре контролёра независимо друг от друга взвесили опытный
образец. Получились такие результаты (в граммах): 14,1; 13,85;
14,15; 13,9. Для того чтобы образец прошёл проверку, требует­
ся, чтобы дисперсия была меньше 0,04. Пройдёт ли проверку этот
образец?

Решение

Так как 14,1 + 13,85 + 14,15 + 13,9 = (14,1 + 13,9) +
+ (13,85 + 14,15) = 56, то среднее равно 56 : 4 = 14.
Выпишем отклонения: 0,1; —0,15; 0,15; —0,1 и квадраты отклонений:
0,01; 0,0225; 0,0225; 0,01. Их среднее равно 0,065 : 4 = 0,01625. Это
и есть дисперсия. Она меньше 0,04.
Да, пройдёт.

Вопросы для самопроверки
1. Вычислите среднее следующих рядов чисел:
а) 1, 1, 1, 1, 2; б) 1, 2, 2, 2, 2; в) 1, 2, 11, 12, 21, 22.
2. Почему среднее ряда и среднее соответствующего упорядо­
ченного ряда равны между собой?
3. Какое число следует добавить в набор 9, 1, 4, 5 для того,
чтобы среднее стало равняться 5?
4. Из оценок 9,1; 9,5; 8,7; 8,9; 8,5; 9,3; 9,0 отбросили худ­
шую и лучшую, а итоговую оценку вычислили, как среднее
оставшихся оценок. Чему равна итоговая оценка?
5. При каком значении п среднее ряда из п единиц и одной
двойки будет равно 1,02?
6. При каком значении п среднее ряда из п двоек и одной еди­
ницы будет равно 1,95?
7. Есть несколько чисел, больших 3, но меньших 5. Проверь­
те, что их среднее тоже больше 3, но меньше 5.
8. По определению дисперсия равна
(х, - х)2 + (х2 - х)2 + ... + (хп - х)г
п
Проверьте, что если дисперсия равна нулю, то * i = х2 =

=

Хз

= ... =

х п- 1

=

хп

х



Основные результаты







В этой главе мы ввели новые (для вас) понятия математи­
ческого языка:
— разложение многочлена на множители;
— алгебраическая дробь, сокращение алгебраической дро­
би;
— тождество, тождественно равные выражения, тож­
дественное преобразование выражения.
Мы познакомились со следующими приёмами разложения
многочлена на множители:
— вынесение общего множителя за скобки;
— группировка;
— использование формул сокращённого умножения;
— выделение полного квадрата.
Мы познакомились с новыми статистическими показателя­
ми: среднее значение, дисперсия.
Мы научились:
— раскладывать многочлен на множители, используя раз­
личные приёмы;
— сокращать алгебраические дроби;
— вычислять среднее значение и дисперсию ряда дан­
ных.

Темы исследовательских работ
1. Разложение многочлена на множители способом группиров­
ки.
2. Разложение многочлена на множители с помощью комби­
нации различных приёмов.
3. Различные применения метода разложения на множители.
4. Среднее арифметическое числовых данных. Дисперсия чис­
ловых данных.

209

ФУНКЦИЯ у ~ х2
§

45 . Функция у = X2 и её график
46 . Графическое решение уравнений
47 . Что означает в математике запись

§

48 . Группировка данных

§
§

У = «*)

ГЛАВА

Ф УН КЦИ Я у = х 2 И ЕЁ ГРАФИК

ШЩПарабола — график функции у = х 2
В главе 2 мы ввели термин «линейная функция», понимая под этим
линейное уравнение вида у = hx + т с двумя переменными х, у.
Правда, переменные х, у , фигурирующие в этом уравнении (в этой
математической модели), считались неравноправными: х — незави­
симая переменная (аргумент), которой мы могли придавать любые
значения независимо ни от чего; у — зависимая переменная, по­
скольку её значение зависело от того, какое значение переменной х
было выбрано. Но тогда возникает естественный вопрос: а не встре­
чаются ли математические модели такого же плана, но такие, у ко­
торых у выражается через х не по формуле у = kx + т, а каким-то
иным способом? Ответ ясен: конечно, встречаются. Если, например,
х — сторона квадрата, а у — его площадь, то у = х2. Если х — сторо­
на куба, а у — его объём, то у = х 3. Если х — одна сторона прямо­
угольника, площадь которого равна 100 см2, а у — другая его сторо­
на, то у =
Поэтому, естественно, приходится изучать и модель

,

х

,

100

у = х , и модель у = х , и модель у = ——, и многие другие модели,
имеющие такую же структуру: в левой части равенства находится пере­
менная у, а в правой — какое-то выражение с переменной х. Для та­
ких моделей сохраняют термин «функция», опуская прилагательное
«линейная».

Замечание

Выше мы уже не раз говорили о том, как обстоит дело в математике с
новыми понятиями, новыми терминами. Часто бывает так. ввели новое по­
нятие, работают с ним, но затем, по мере дальнейшего изучения математики,
начинают осознавать, что введённое понятие требует уточнения, развития.
Именно так обстояло дело с понятием «тождество» (см. § 43). Точно так же
обстоит дело и с понятием «функция». Мы ещё довольно долго будем привы­
кать к нему, набираться опыта, работать с этим понятием, пока не придём к
строгому определению (это будет в 9-м классе).

В этом параграфе мы рассмотрим функцию у — х 2 и построим её
график.
Дадим независимой переменной х несколько конкретных значе­
ний и вычислим соответствующие значения зависимой переменной у
(по формуле у = х2):
если х = 0, то у = О2 = 0;
если х = 1, то у = I 2 = 1;
если х = 2, то у = 22 = 4;
если х = 3, то у = З2 = 9;
если х = -1 , то у = (-1)2 = 1;
если х = -2 , то у = (-2)2 = 4;
если х = -3 , то у = (-3)2 = 9.
Короче говоря, мы составили следующую таблицу:
X

0

1

2

3

-1

-2

-3

У

0

1

4

9

1

4

9

Построим найденные точки (0; 0), (1; 1), (2; 4), (3; 9), (-1; 1),
(-2; 4), (-3 ; 9) на координатной плоскости хОу (рис. 87, а). Эти точки
расположены на некоторой линии, начертим её (рис. 87, б). Эту ли­
нию называют параболой.
Конечно, в идеале надо было дать аргументу х все воз­
парабола
можные значения, вычислить соответствующие значения
переменной у и построить полученные точки (х ; у). Тогда
график был бы абсолютно точным, безупречным. Однако это нере­
ально, ведь таких точек бесконечно много. Поэтому математики по­
ступают так: берут конечное множество точек, строят их на коорди­
натной плоскости и смотрят, какая линия намечается этими точка­
ми. Если контуры этой линии проявляются достаточно отчётливо, то
эту линию проводят. Возможны ли ошибки? Не без этого. Поэтому и
надо всё глубже и глубже изучать математику, чтобы были возмож­
ности избегать ошибок.
Попробуем, глядя на рисунок 87, б, описать геометрические свой­
ства параболы.
Во-первых, отмечаем, что парабола обладает симметрией. В са­
мом деле, если провести выше оси х любую прямую, параллельную

§45. функция у

и

её график

211

1

У,

yj
У

9
Г

4 /

т

1

л

i

4

1

у
7

V
О.

1
DO
1

Л

1

2 3

X

-3 -2 -1 0

У

г
i 2

1

X

Рис. 87
оси х , то эта прямая пересечёт параболу в двух точ­
ках, расположенных на равных расстояниях от оси
у, но по разные стороны от неё (рис. 88). Кстати, то
j же можно сказать и о точках, отмеченных на рисун\
J ке 87, а: (1; 1) и (-1; 1); (2; 4) и (-2; 4); (3; 9) и
т (-3; 9). Говорят, что ось у является осью симметрии
г параболы у = х 2 или что парабола симметрична от­
1 носительно оси у.
i
Во-вторых, замечаем, что ось симметрии как бы
у
4
разрезает параболу на две части, которые обычно
Л /
называют ветвями параболы.
В-третьих, отмечаем, что у параболы есть особая
\ 9х
точка, в которой смыкаются обе ветви и которая ле­
о
Рис. 88
жит на оси симметрии параболы, — точка (0; 0).
Учитывая её особенность, ей присвоили специальное название вер­
шина параболы.
В-четвёртых, когда одна ветвь параболы соединяется в вершине с
другой ветвью, это происходит плавно, без излома; парабола как бы
«прижимается» к оси абсцисс. Обычно говорят: парабола
касается оси абсцисс.
ось симметрии
Теперь попробуем, глядя на рисунок 87,0, описать не­
параболы
которые свойства функции у = х .
ветви параболы
Во-первых, замечаем, что у = 0 при х = 0, у > 0 при х > и
вершина
и при х < 0.
параболы
Во-вторых, отмечаем, что г/,,,,™ = 0, а 1/наиб не суще­
ствует.
В-третьих, замечаем, что функция у = х2 убывает на луче
f-oo- 01 - при этих значениях х, двигаясь по параболе слева направо,
мы «спускаемся с горки». Функция у = х2возрастает на луче [0; +°°) при этих значениях х, двигаясь по параболе слева направо, мы «под-

Г
т

у

7

НИМОтметимГещёУодно любопытное свойство параболы. Если рассма­
тривать параболу у = х2 как экран, как отражающую поверхность,

ГЛАВА 8 ? ФУНКЦИЯ

у = хг

точке |о; i j поместить источник света (рис. 89),
то лучи, отражаясь от параболы-экрана, образу­
ют параллельный пучок света. Точку ^0; i j называют фокусом параболы. Эта идея использу­
ется в автомобилях: отражающая поверхность
фары имеет параболическую форму, а лампоч­
ку помещают в фокусе — тогда свет от фары
распространяется достаточно далеко.

Функция у = - х 2 и её график
Построим график функции у = - х 2. Для этого сравним функции у = х2
и у = -х 2. При одном и том же значении аргумента, например при
х = а, первая функция принимает значение а2, а вторая — значение
- а 2. Значит, на графике первой функции есть точка (а; а2), а на гра­
фике второй функции — точка (а; - а 2). Эти точки расположены на
координатной плоскости хОу симметрично относительно оси абсцисс
(рис. 90). Значит, график функции у = - х 2 симметричен графику
функции у = х2 относительно оси абсцисс (рис. 91). Это та же пара­
бола с той же вершиной и с той же осью симметрии, но только ветви
параболы направлены не вверх, а вниз.

Решение примеров
ПРИМЕР 1
Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = х 2:
а) на отрезке [1; 3];
б) на отрезке [-3 ; -1 ,5 ];
в) на отрезке [ - 3 ; 2].

Решение

а) Построим параболу у = х 2 и выделим ту её часть, кото­
рая соответствует значениям переменной х из отрезка [1; 3]
(рис. 92). Для выделенной части графика находим уиш„ = 1 (при
* = 1)> Уиаиб = 9 (при х = 3).
б) Построим параболу у = х 2 и выделим ту её часть, которая со­
ответствует значениям переменной х из отрезка [-3 ; - 1 ,5 ] (рис. 93).
Для выделенной части графика находим у„а„„ = 2,25 (при х = -1 ,5 ),
Упвчб = 9 (при х = -3 ).

Рис. 9 2

Рис. 9 3

Рис. 94

в) Построим параболу у = х г и выделим ту её часть, которая со­
ответствует значениям переменной х из отрезка [-3 ; 2] (рис. 94). Для
выделенной части графика находим г/в(шм = 0 (при х = 0), г/шшб = 9
(при х = -3 ).
Чтобы каждый раз не строить график функции у = х 2 по точкам,
вырежьте из плотной бумаги шаблон параболы. С его помощью вы
будете очень быстро чертить параболу.
Предлагая вам заготовить шаблон параболы, мы как бы уравни­
ваем в правах функцию у = х 2 и линейную функцию у = k x + т . Ведь
графиком линейной функции является прямая, а для изображения
прямой используется обычная линейка — это и есть шаблон графика

функции у = kx + т. Так пусть у вас будет и шаблон графика функ­
ции у = х 2.
ПРИМЕР 2
Н айти точки пересечения параболы у

и прямой у = х + 2.

Построим в одной системе координат параболу у = х 2 и пря­
мую у = х + 2 (рис. 95). Они пересекаются в точках А и В,
причём по чертежу нетрудно найти координаты этих точек А и В: для
точки А имеем х = —1, у = 1, а для точки В имеем х = 2, у = 4.

Решение

Ответ

Замечание

Парабола у = х 2 и прям ая у = х + 2 пересекаются в двух
точках: А ( - 1; 1) и £(2; 4).

До сих пор мы с вами довольно смело делали выводы с помощью чертежа.
Однако математики не слишком доверяют чертежам. Обнаружив на рисун­
ке 95 две точки пересечения параболы и прямой
и определив с помощью рисунка координаты этих
точек, математик обычно проверяет себя: на са­
мом ли деле точка (-1; 1) лежит как на прямой,
так и на параболе; действительно ли точка (2; 4)
лежит и на прямой, и на параболе? Для этого нуж­
но подставить координаты точек А и Б в уравнение
прямой и в уравнение параболы, а затем убе­
диться, что и в том и в другом случае получится
верное равенство. В примере 2 в обоих случаях
получатся верные равенства. Особенно часто про­
водят такую проверку, когда сомневаются в точно­
сти чертежа.

Вопросы для самопроверки
1. Как называют график ф ункции у = х 2? ф ункции у = - х 2?
2. К акая прямая является осью симметрии граф ика функции
у = х 2? графика ф ункции у = - х 2?
3. К акая точка является вершиной граф ика ф ункции у = х 2?
графика функции у = - х 2?
4. Даны функции у = х 2 и у = - х 2. К акая из них возрастает
при х < 0 и убывает при х > 0? К акая из них убывает при
х < 0 и возрастает при х > О?
5. Что можно сказать о взаимном расположении графиков
функций у = х 2 и у = - х 2?

j

46. Графическое решение уравнений

Даиа функция у
х2. Придумайте линейную функцию
У кх + т такую, чтобы графики обеих функцийа) не пересекались;
б) пересекались в двух точках;
в) имели одну общую точку.
7. Дана функция у = - * 2. Придумайте линейную функцию
у пх + т такую, чтобы графики обеих функций:
а) не пересекались;
б) пересекались в двух точках;
в) имели одну общую точку.

ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
Подытожим наши знания о графиках функций. Мы с вами научи­
лись строить графики следующих функций:
у = Ъ (прямая, параллельная оси х);
у = kx (прямая, проходящая через начало координат);
у = kx + т (прямая);
у = х 2, у —~х2 (параболы).
Знание этих графиков позволит нам в случае необходимости
заменить аналитическую модель геометрической (графической),
например, вместо модели у = х 2 (которая представляет собой равенство
с двумя переменными х н у ) рассматривать параболу в координатной
плоскости. В частности, это иногда полезно для решения уравнений.
Как это делается, обсудим на нескольких примерах.

ПРИМЕР 1
Решить уравнение х 2 = х + 2.

Решение

Рассмотрим функции у = х 2 и у = х + 2; построим их графи­
ки и найдём точки пересечения графиков. Эту задачу мы с
вами уже решали (см. пример 2 из § 45 и, соответственно, рис. 95).
Парабола у = х 2 и прямая у = х + 2 пересекаются в точках А(-1; 1) и
В (2; 4).
Как же найти корни уравнения х 2 = х + 2, т. е. те значения х, при
которых выражения х 2 и х + 2 принимают одинаковые числовые зна­
чения? Очень просто, эти значения уже найдены: хх = -1, х2 = 2. Это
абсциссы точек А и В , в которых пересекаются построенные графики.
Xx = - 1 , х 2 = 2.

Фактически мы использовали следующий алгоритм.
1. Ввели в рассмотрение функции у = х 2, у = х + 2 (для другого
уравнения будут, разумеется, иные функции).
^
2. Построили в одной системе координат графики функции у —х ,
у = х + 2.
3. Нашли точки пересечения графиков.
4. Нашли абсциссы точек пересечения — это и есть корни урав­
нения.
ПРИМ ЕР 2

Решить уравнение х 2 - х + 4 — 0.
Реш ен ие

Здесь придётся дополнить выработанный алгоритм ещё од­
ним шагом (подготовительным): надо переписать уравнение
в виде, для которого имеется алгоритм.
Этот вид таков: х 2 = х — 4. Теперь всё в
порядке, действуем в соответствии с алго­
ритмом.
1) Введём две функции: у = х 2, у = х - 4.
2) Построим в одной системе коорди­
нат графики функций у = х 2 и у = х - 4
(рис. 96).
3) Точек пересечения у построенных
параболы и прямой нет.
Как вы думаете, что означает этот
геометрический факт для данной алге­
браической задачи (для данного уравне­
ния)? Догадались? А теперь сопоставьте
свою догадку с тем, что ниже записано в
ответе.
Уравнение не имеет корней.

Существуют так называемые квадратные уравнения — уравнения
вида ах2 + Ъх + с = 0, где а,Ь ,с — числа, аФ 0. Они решаются по специ­
альным формулам для отыскания корней, но этих формул вы пока не
знаете. Тем не менее некоторые квадратные уравнения мы уже решили.
Так, в § 41 мы решили уравнение х 2 - 6х + 5 = 0 методом разложения
на множители. А в настоящем параграфе мы решили ещё два квадрат­
ных уравнения — графическим методом. Это уравнение х 2 - х - 2 = 0
(см. пример 1; правда, там уравнение было записано по-другому:
х 2 = х + 2 — но вы же понимаете, что это то же самое) и уравнение
х 2 - х + 4 = 0 (см. пример 2).

547. Что означает

в математике запись у = f(x)

Вопросы для самопроверки
1.

2.

3.

Перечислите все функции, которые
вами изучили
курсе алгебры 7-го класса.
м д а ™ * Л Т ? ТП ЧТОбЫ Графически Решить уравнение
Пх + т? Прокомментируйте свой ответ на приме­
ре решения уравнения х 2 = 2х + 3 .
Р
Используя графический метод, ответьте на вопрос, сколько
корней имеет уравнение:
а) * 2 + х - 4 = 0; б) х 2 + х + 4 = О?

ЧТО ОЗНАЧАЕТ В МАТЕМАТИКЕ
ЗАПИСЬ у = f(x)

П

Знакомство с символом

f(x)

Изучая какой-либо реальный процесс, обычно обращают вни­
мание на две величины, участвующие в процессе (в более слож­
ных процессах участвуют не две величины, а три, четыре и т. д.,
но мы пока такие процессы не рассматриваем): одна из них меня­
ется произвольно, независимо ни от чего (такую переменную чаще
всего обозначают буквой х), а другая величина принимает зна­
чения, которые зависят от выбранных значений переменной х
(такую зависимую переменную чаще всего обозначают буквой у). Ма­
тематической моделью реального процесса как раз и является запись
на математическом языке зависимости у от х, т. е. связи между пере­
менными х и у.
Ещё раз напомним, что к настоящему моменту мы изучили сле­
дующие математические модели: у = Ъ, у = kx, у = kx + т , у = х2,
у = - х 2 . Есть ли у этих математических моделей что-либо общее?
Есть! Их структура одинакова:
у

=

№■

Эту запись следует понимать так: имеется выражение /(х) с пе­
ременной х , с помощью которого мы находим значения перемен­
ной у.
Математики предпочитают запись у = fix) не случайно. Пусть, на­
пример, fix) = х 2, т. е. речь идёт о функции у = х 2. Пусть нам надо
выделить несколько значений аргумента и соответствующих значений функции. До сих пор мы писали так:
если х = 1, то у = I 2 = 1;
если х = - 3 , то у = (-3 )2 = 9 и т. д.

ГЛАВА 8. ФУНКЦИЯ у

=

х2

Если же использовать обозначение f(x) = х 2, то запись становится
более экономной:
/(1 ) =

I2 =

1;

/(-3 ) = (-3 )2 = 9.
И так, мы познакомились ещё с одним фрагментом математиче­
ского язы ка: фраза «значение функции у = ж2 в точке ж = 2 равно 4»
записывается короче: «если Дж) = ж2, то Д2) = 4».
А вот образец обратного перевода: если f(x) = х 2, то Д - 3) = 9.
По-другому — значение функции у = х 2 в точке х = - 3 равно 9.
ПРИМЕР 1

Дана функция у = Дж), где Дж) = х 3. Вычислить:
а) /(1);
д) Да - 1);
б) /(-4 );
е) f(3x);
в) Да);
ж ) Д-ж).
г) Д2а);
Решение

Во всех случаях план действий один и тот ж е: нужно в вы­
ражение f(x) подставить вместо х то значение аргумента,
которое указано в скобках, и выполнить соответствующие вычисле­
ния и преобразования.
а) Д1) = I 3 = 1;
б) Д -4) = (-4 )3 = -6 4 ;
в) Да) = а 3;
г) Д2а) = (2а)3 = 8а3;
д) Да - 1) = (а - I)3;
е) ДЗж) = (З*)3 = 27л3;
ж ) Д -л ) = (-л )3 = - х 3.

Замечание

Разумеется, вместо буквы f можно использовать любую другую букву (в
основном из латинского алфавита): g(*), h(x), s(*) и т. д.

ПРИМЕР 2

Даны две функции: у = f(x), где f(x) = х 2, и у = g(x), где g(x) = х 3.
Доказать, что:
a) f(~x) = f(x);
б) g(~x) = -g(x).
Решение

а) Так к ак f(x) = л 2, то Д -л ) = (- л )2 = л 2. И так, fix) = л 2,
Д-ж) = ж2, значит, Д-ж) = fix).
б) Так как gix) = х \ то g)- x) = (- л )3 = - л 3. И так, g(x) = ж3,
g(~x) = -ж 3, т. е. g(- x) = -gix).

_§47. Что означает в математике запись у = ft*)

Кусочные функции
у л Х ы м в п Т математической м°Дели вида у = Дх) оказывается
случаях, в частности тогда, когда реальный проц с описывается различными формулами на разных промежутках
изменения независимой переменной.

ZZr T Z

ПРИМЕР 3
Дана функция у = Дх), где
f(x) =

[ 2х, если * < 0;
[х2, если х > 0.

а) Вычислить: Д-5), Д-2), Д1,5), Д4), ДО).
б) Построить график функции г/ = Дх).

Решение

а) Что такое Д-5)? Это значение заданной функции в точке
Функция задана не одним выражением, а двумя:
2х и х . Каким из них воспользоваться? Это зависит от выбранного
значения аргумента. Мы выбрали х = -5, а число -5 удовлетворяет
неравенству х < 0; в этом случае функция задаётся выражением, сто­
ящим в первой строке, т. е. Дх) = 2х. Тогда Д-5) = 2 • (-5) = -10.
Аналогично вычисляем Д-2): если х = -2, то х < 0 и, значит,
Дх) = 2х, т. е. Д-2) = 2 ■(-2) = -4.
Вычислим Д1,5), т. е. значение функции у = Дх) в точке
х = 1,5. Это значение х удовлетворяет условию х > 0, и, следователь­
но, функция задаётся выражением, стоящим во второй строке, т. е.
Дх) = х2. Поэтому Д1,5) = 1,52 = 2,25.
Аналогично находим Д4): если х = 4, то х > 0 и, значит,
Дх) = х2, т. е. Д4) = 42 = 16.
Осталось вычислить ДО). Значение х = 0 удовлетворяет условию
х > 0, следовательно, Дх) = х2, т. е. ДО) = О2 = 0.
i

2

х = ~й'

Рис. 97

Рис. 98

Рис. 99

ГЛАВА 8. ФУНКЦИЯ у = X2

220

б) Мы умеем строить графики функций у = 2х (рис. 97) и
у = х 2 (рис. 98). Заданная функция у = Дх) совпадает с функци­
ей у = 2х при х < 0 — эта часть графика выделена на рисунке 97.
Заданная функция у = Дх) совпадает с функцией у = х 2 при х > 0 —
эта часть графика выделена на рисунке 98. Если мы теперь изобра­
зим обе выделенные части в одной системе координат, то получим
требуемый график функции у = f(x) (рис. 99).
Конечно, математики не строят подобные графики так долго.
Обычно всё делается сразу в одной системе координат. Только, есте­
ственно, прямая у = 2х берётся не целиком, а лишь при условии
х < 0, т. е. на промежутке (-°°; 0), и парабола у = х 2 бекусочная функция
рётся не целиком, а лишь при условии х > 0, т. е. на про­
межутке [0; +°°). Вот так по кусочкам и воспроизводится
весь график. Поэтому функции такого типа, как в примере 3, назы­
вают кусочными функциями.
ПРИМЕР 4
Дана функция у = Дх), где

f(x)

=

х + 2, если -4 < х < -1;
х2, если -1 < х < 0;
4,
если 0 < х < 4.

а) Вычислить: Д-4), Д-2), Д -0,5), ДО), Д1), Д5).
б) Построить график функции у = f(x).
в) Сколько корней имеет уравнение Дх) — а для различных зна­
чений а?
Решение

а) Значение х = -4 удовлетворяет условию - 4 < х < -1 , а в
этом случае Дх) = х + 2. Поэтому Д -4) = - 4 + 2 = -2 .
Значение х — -2 удовлетворяет условию -4 < х < -1 , а в этом
случае Дх) = х + 2. Значит, Д-2) = -2 + 2 = 0.
Значение х ---- 0,5удовлетворяет условию -1 < х < 0, а в этом
случае Дх) = х2. Следовательно, Д-0,5) = (-0,5)2 = 0,25.
Значение х = 0 удовлетворяет условию —1 < х < 0, а в этом случае
Дх) = х2. Тогда ДО) = О2 = 0.
Значение х — 1 удовлетворяет условию 0 < х + 4, а в этом случае
Дх) = 4; в частности, и Д1) = 4.
Значение х = 5 не удовлетворяет ни одному из имеющихся условий:
ни первому —4 < х < —1, ни второму —1 < х < 0, ни третьему 0 < х + 4.
Поэтому вычислить Д5) мы не можем, это задание некорректно.
б) График функции у = Дх) построим «по кусочкам». На рисун­
ке 100 изображён график функции у = х + 2, где х 6 [-4; -1].
На рисунке 101 представлен график функции у = х2, где х е (-1; 0].

_ § 47 . Что означает..

..............~ — " = f l ^



yi

yi



-4


■ь

-1-

- f 221 I

r r ^i —-nrmri nrr-r-: —— • ^ - д а

~ Т ~ Г у,
2
У= Х

\



У|
у--=4


-4
X

о
-2

X

-]

о

X

о



Г

/

/

KL-

X

о
- z

Г


Puc. 100
Puc. 101
Puc. 102
Puc. 103
На рисунке 102 изображён график функции у = 4, где х е (0; 4]. На­
конец, на рисунке 103 все «кусочки» воссоединены в одно целое — в
график функции у = f(x).

Рис. 104

Рис. 105

в) Ответ на поставленный вопрос мы сможем получить с помощью
графика функции у = f(x), представленного на рисунке 103. Фактиче­
ски речь идёт о том, сколько точек пересечения имеет этот график с
прямой у = а, параллельной оси абсцисс. Мы видим, что если а < -2,
или 1 < а < 4, или а > 4, то график функции у = f(x) не пересекается
с прямой у = а (три такие прямые проведены на рис. 104); при ука­
занных значениях а уравнение f(x) = а не имеет корней.
Если - 2 < а < 0 или а = 1, то прямая у = а имеет с графиком
функции у = f(x) одну точку пересечения (рис. 105); соответственно,
уравнение f(x) = а имеет один корень.
Если 0 < а < 1, то прямая у = а имеет с графиком функции у = f(x)
две точки пересечения (рис. 106); соответственно, уравнение f(x) = о
имеет два корня. Наконец, если а = 4, то уравнение /(х) — а имеет

,

ГЛАВА 8. ФУНКЦИЯ у = х г

222

У1

(1
-

4

-

о

-

- -

X
l_

L

Рис. 106
Рис. 107
бесконечно много корней — корнем будет служить любое число из
полуинтервала (0; 4] (рис. 107).
Подведём итоги:
если а < -2 , 1 < о < 4, а > 4, то уравнение f(х) = а не имеет кор­
ней; если -2 < а < 0 или а = 1 , то уравнение f(x) = а имеет один
корень; если 0 < а < 1 , то уравнение f(x) = а имеет два корня; если
а — 4, то уравнение f(x) = а имеет бесконечно много корней.
Опишем с помощью построенного на рисунке 103 графика некото­
рые свойства функции у = f(x) — такое описание свойств обычно на­
зывают чтением графика. Чтение графика — это своеобразный пере­
ход от геометрической модели (от графической модели) к
чтение
словесной модели (к описанию свойств функции). А по­
графика
строение графика — это переход от аналитической модели
(она представлена в условии примера 4) к геометрической.
Итак, приступаем к чтению графика функции у = f(x)
(см. рис. 103).
1. Независимая переменная х «пробегает» все значения от —4
до 4. Иными словами, для каждого значения х из отрезка [—4; 4]
можно вычислить значение функции f(x). Говорят так:
область
[-4; 4] — область определения функции.
определения
Почему при решении примера 4 мы сказали, что най­
функции
ти /(5) нельзя? Да потому, что значение х = 5 не принад­
лежит области определения функции.
2. г/ваим = ~2 ( этого значения функция достигает при х = -4);
2/наиб = 4 (этого значения функция достигает в любой точке полуин­
тервала (0; 4]).
3. у = 0, если х - 2 и если х = 0; в этих точках график функции
у = f(x) пересекает ось х.
4. у > 0, если х е (—2; 0) или если х е (0; 4]; на этих промежутках
график функции у = f(x) расположен выше оси х.
5- у < 0 , если х s [—4; —2); на этом промежутке график функции
У - f(x ) расположен ниже оси х.
6. Функция возрастает на отрезке [-4; -1], убывает на отрезке [-1; 0]
и постоянна (ни возрастает, ни убывает) на полуинтервале (0; 4].

i i b i ?w

i

означает в математике запись и - Н *) _

По мере того как мы с вами будем изучать новые свойства функ­
ций, процесс чтения графика будет становиться более насыщенным,
содержательным и интересным.
Обсудим одно из таких новых свойств. График функции, рассмот­
ренной в примере 4, состоит из трёх ветвей (из трёх «кусочков»).
Первая и вторая ветви (отрезок прямой у = х + 2 и часть параболы)
«состыкованы» удачно: отрезок заканчивается в точке
непрерывная
(-1; 1), а участок параболы начинается в той же точке,
функция
А вот вторая и третья ветви менее удачно «состыкова­
ны»: третья ветвь («кусочек» горизонтальной прямой)
начинается не в точке (0; 0), а в точке (0; 4). Математики говорят
так: «функция у = f(x) претерпевает разрыв при х = 0 (или в точке
jc = 0)». Если функция не имеет точек разрыва, то её называют непре­
рывной. Так, все функции, с которыми мы познакомились в преды­
дущих параграфах (у = Ь, у = kx, у = kx + т , у = х2, у = - х 2), —
непрерывные.

В

! График с «выколотой» точкой

ПРИМЕР 5
Дана функция у =

„3 _ о~2

..

Построить и прочитать ее график.

Как видите, здесь функция задана достаточно сложным вы­
ражением. Но математика — единая и цельная наука, её
разделы тесно связаны друг с другом. Воспользуемся тем,^что^ мы

Решение

изучали в главе 7, и сократим алгебраическую дробь fix)

х~2 *

t, ч х3 - 2х2 . х2(х - 2 ) __ 2
« * > “ Т ^ 2 --------7 ^ 2 “ - * '
Итак, на самом деле fix) = ж2. Правда, надо учесть, что тождество
* * ~ 2* 2 = х3 справедливо лишь при ограничении ж * 2. Следователь­
но, мы можем переформулировать задачу так: вместо функции
у = ж3 - 2ж2 дудем рассматривать функцию у = ж2, где х Ф 2.
Построим на координатной плоскости хОу параболу у = ж2. Пря­
мая ж = 2 пересекает её в точке (2; 4). Но по условию ж * 2, значит
точку (2; 4) параболы мы должны исключить из рассмотрения, дл
чего ^на чертеже отметим эту точку светлым кружком. Таким обра
зом, график функции построен - это парабола у - ж е «выколотой»
точкой (2; 4) (рис. 108).

224

Г Л А В А 8. Ф У Н К Ц И Я у = X 2



Перейдём к описанию свойств функции
у = f(x ), т. е. к чтению её графика.
1. Независимая переменная х принимает
любые значения, кроме х = 2. Значит, об­
ласть определения функции состоит из двух
открытых лучей ( - ° ° ; 2) и (2; + ° ° ) .
2. г/шшм = 0 (достигается при х = 0), г/паи6
не существует.
3. Функция претерпевает разрыв при х = 2
(в точке х = 2); на ( - ° ° ; 2) и на (2; + ° ° ) она
непрерывна.
4. у = 0, если ж = 0.
5. у > 0, если х е
0), если х е (0; 2)
и если х е (2; + °°).
6. Функция убывает на луче ( - ° ° ; 0], возрастает на полуинтерва­
ле [0; 2) и на открытом луче (2; + °°).

Вопросы для самопроверки
1. Как вы понимаете, что такое кусочная функция?
2. Приведите пример кусочной функции у = f(x), в котором
задание вычислить Я 17) является некорректным.
3. Придумайте кусочную функцию, график которой состоит
из части параболы и луча графика линейной функции. За­
дайте её аналитически (с помощью формул).
4. Придумайте кусочную функцию, график которой состоит
из части параболы и двух отрезков графиков разных ли­
нейных функций. Задайте её аналитически.
5. Приведите пример функции, которая претерпевает разрыв
при х = 1.
6. Сколько свойств функции мы можем записать, когда вы­
полняем чтение графика? Перечислите эти свойства.

ГРУППИРОВКА ДАННЫХ
Если данных имеется много (несколько десятков, сотен, тысяч...), то
работать со всеми этими данными целиком затруднительно. Один из
способов выхода из ситуации мы рассматривали в § 44. Он состоял в
том, что от всей первоначальной информации оставляют небольшое
количество лишь самых важных показателей. Среди них объём,
размах, мода, медиана, среднее, дисперсия.
1 Параграф написан П. В. Семеновым.

§ 48- Группировка данны х

В этой главе мы рассмотрим другой способ преобразования данных.
Он состоит в их группировке. Если различных данных слишком
много, то их объединяют в группы. При группировке индивидуальные
особенности первоначальных данных, как правило, пропадают.
Точнее, они смешиваются с особенностями других данных из той же
группы. Уже из этого общего описания следует важное наблюдение:
при группировке информация стан ови тся менее точной!
Рассмотрим конкретный пример. В конкурсах по литературе,
по истории и по математике участвовали: команда «А» (Аня, Ася,
Антон), команда «Б» (Белла, Боря, Богдан) и команда «В» (Вера,
Вита, Витя). Вот данные о набранных очках.
j Игрок
| Аня Ася Антон Белла Боря Богдан Вера (Бита Витя
1Литература !i 6
2
8
7
5
1
3
9
4
1 1
История
7
4
6
2
3
8
9
5
з |
: Математика 1 7
2
j
1
6
5
9
4
8
Из этой таблицы можно получить разнообразную информацию.
Например, больше всех очков в сумме набрал Боря (21 очко). Хуже
всех выступила Вера — 8 очков. Суммы очков каждого участника
можно изобразить на столбчатой диаграмме (рис. 109).

Упорядоченный ряд данных выглядит так: 8, 11, 14, 15, 15, 16,
17, 18, 21. Мода суммы очков по трём предметам равна 15, медиана
также равна 15, и т. п.
Но соревнование было командным, и в итоге нам важны
______________
командные результаты.
] Команда
ГСумма

| « А » | «Б »
1 47 1 51

«в »

37

ГЛ А В А 8. Ф УН КЦ И Я у = X 2

Столбчатая диаграмма (рис. 110) ко­
мандных результатов проще и нагляднее.
Те же первоначальные данные можно
сгруппировать и по-другому. Например,
по результатам девочек и мальчиков.
| Кто
i

Рис. 110

Девочки

Мальчики

72

63

Сумма очков

I

В сумме девочки набрали очков
больше, чем мальчики. Но девочек —

«А»
«Б»
«В»
пятеро, а мальчиков — четверо. Среднее результатов девочек равно

— = 14,4, а среднее результатов мальчиков равно
= 15,75. Зна5
4
чит, в среднем мальчики выступили успешнее девочек.
Повторим ещё раз: при группировке данных мы выигрываем в
краткости и наглядности ответа, но проигрываем в точности. Вопрос
о том, что важнее, следует отдельно решать в каждом конкретном
случае.

ПРИМЕР 1
Выписать в ряд все переменные, встречающиеся (с повторениями) в
многочленах
п + аЪх + су, kx (х + b), ахуг + k - с, та (х + у) хг,
п + с + 1, у + хг, сп - 2у.
Составить таблицу распределения переменных в этих многочленах и
таблицу распределения переменных по трём группам:
{а, Ь, ..., i, j), {k , l, m, ..., s}, {t, u, ..., y, zj.

Решение

В перечне многочленов пропустим знаки арифметических
операций, пропустим числа и скобки, а между переменны­
ми расставим запятые:
п, а, Ъ, х, с, у, k, х, х, Ъ, а, х, у, z, k, с, т, а, х, у, х, г , п,
С , у, X , Z , с, п, у.
Таблицу распределения переменных составим, перечисляя бук­
вы по алфавиту: «а» встретилась трижды, «6» — дважды
и т. д. Получаем такую таблицу
Переменная

а

ъ

С

k

т п

Сколько раз встретилась

3

2

4

2

1

У

Z

Всего: 9

3 7 5

3

Сумма: 30

X

В первую группу {а, Ъ, ..., i, j) вошли а, Ь и с. Всего 3 + 2 +
fi 1 , 9 ВХ05КД®НИИ' Во вторую группу {k, I, от, .... s} вошли k, man-,
6 вхождении. Наконец, в последнюю группу 15 раз вошли х, у или г.
Оти буквы чаще всего используют для обозначения переменных.
Группа
Сколько р аз встретилась

Первая

Вторая

Третья

9

6

15

Всего: 3
Сумма: 30

Наш эксперимент показал, что в данном примере последние бук­
вы латинского алфавита чаще других (в половине случаев) использу­
ются в алгебре для обозначения переменных.

ПРИМЕР 2
а) Заполнить таблицу значений функции у = х 2 для х = 0, 1, 2 3
..., 8, 9.
б) Сколько значений лежит в пределах от 0 до 50?
в) Составить таблицу распределения значений по группам «от 0
до 50» и «от 51 до 100».
г) По таблице из пункта в) составить таблицу распределения про­
центных частот.
Решение

а) Надеемся, это для вас — нетрудный устный счёт. Вот от­
вет:

X

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

У

0

1

4

9

16

25

36

49

64

81

б) Видим, что восемь первых значений 0, 1, 4, ..., 49 лежит в пре­
делах от 0 до 50.
По этой причине таблицы в пунктах в) и г) выглядят очень про­
сто. Мы объединим их.
i Группа
Сколько значений в группе
Ч астота (в % )

от 0 до 50

от 50 до 100

8

2

80

20

Вопросы для самопроверки
1. В каких случаях при обработке информации применяют
группировку данных?
2. Как изменяется точность информации при группировке
данных?

Основные результаты







Мы пополнили наш словарный запас математического
языка следующими терминами:
— парабола, ось (ось симметрии) параболы, ветви
параболы, вершина параболы;
— непрерывная функция, разрыв функции;
— кусочная функция;
— область определения функции;
— чтение графика.
Мы познакомились с тремя математическими моделями:
— у = х2, у = - х 2;
— У = ft*)Мы получили следующий р езу л ьтат:
— графиком функции у = х2 (и функции у = - х 2) является
парабола.
Мы разработали алгоритм графического решения уравне­
ния вида f(x) —g(x).
Наконец, мы познакомились с тем, как строить графики
кусочных функций.

Темы исследовательских работ
1. Графическое решение уравнений.
2. Кусочная функция.
3. Группировка данных.

А бсцисса 43
алгебраическая дробь 196
алгебраическое выражение 6
алгоритм 18
— отыскания координат точ­
ки 44
----- общего множителя одноч­
ленов 175
— построения графика уравне­
ния 53
----- точки по координатам 46
— решения системы методом
подстановки 90
аналитическая модель 17
Б имодальное распределение 105
В ершина параболы 211
ветви параболы 211
возведение в степень 110
вынесение общего множителя за
скобки 151, 174
Г еометрическая модель 17, 51
графический метод решения систе­
мы уравнений 88
Д вучлен 144
дисперсия 206
допустимые, недопустимые значе­
ния переменных 10
3 ависимая переменная 62
значение алгебраического выраже­
ния 8

И нтервал 34

К вадрат разности 154, 187
квадрат суммы 154, 187
комбинаторика 39
координата точки 32
координатная прямая 31
координатные углы 42
коэффициент одночлена 130
куб разности 160, 187
куб суммы 160, 187
кусочная функция 220
Л инейная функция 61
----- возрастающая 72
----- убывающая 72
----- , наибольшее значение 68
----- , наименьшее значение 68
линейное уравнение с двумя пере­
менными 48
----- с одной переменной 18
луч 34

М едиана ряда данных 78
метод алгебраического сложе­
ния 94
— введения новой перемен­
ной 132
— выделения полного квадра­
та 162
— подстановки 90
многочлен 144
—, стандартный вид 145
мода 37
Н ачало координат 42
независимая переменная (аргу­
мент) 62
неопределённая система уравне­
ний 88
непрерывная функция 223

несовместная система уравне­
ний 88
номинативный ряд 103
О бласть
определения
ции 222
объём ряда данных 37
одночлен 129
ордината 43
оси координат 42
основание степени 108
открытый луч 34
отрезок 34

функ­

П арабола 210
—, ось симметрии 211
подобные одночлены 132
показатель степени 108
полуинтервал 35
правило деления многочлена на
одночлен 165
— нахождения произведения
многочлена на одночлен 150
--------- многочленов 152
----- среднего 203
------суммы многочленов 148
— подсчёта вероятности 104
— умножения 39
приведение подобных членов 145
процентная частота 167
прямоугольная система коорди­
нат 42
Р азмах ряда данных 37
разность квадратов 157, 187
— кубов 159, 187
решение системы уравнений 85
ряд данных 37

С войство степеней с натуральным
показателем 114, 115, 116, 121
система уравнений 85
словесная модель 17
способ группировки 180
среднее значение 203
стандартный вид одночлена 130
степень 108
— с нулевым показателем 123
сумма кубов 159, 187
Т аблица
распределения
дан­
ных 79
------процентных частот 168
------ частот 141
теорема о взаимном расположении
графиков линейных функций 74
— о виде графика линейной
функции 52, 64
теоремы о среднем значении 205
тождественное преобразова­
ние 200
тождество 200
трёхчлен 144
У гловой коэффициент 64
упорядоченный ряд данных 77
Ч астота результата 140
числовое выражение 6
числовой промежуток 35
чтение графика 222

Предисловие ...............................................................

3

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
§
§
§
§
§
§
§

X.
2.
3.
4.
5.

Числовые и алгебраические вы раж ения...................
Что такое математический я з ы к .................................
Что такое математическая модель ............................
Линейное уравнение с одной переменной................
Задачи на составление линейных уравнений
с одной переменной .........................................................
6. Координатная п р ям ая......................................................
7. Данные и ряды данных .................................................
Основные результаты .......................................................

5
Ц
12
17
21
31
36
40

ГЛАВА 2. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ
§
§

8. Координатная плоскость ...............................................
9. Линейное уравнение с двумя переменными
и его график ........................................................................
§ 10. Линейная функция и её график ................................
§ 11. Взаимное расположение графиков
линейных ф ун кц и й ............................................................
§ 12. Упорядочение данных, таблицы распределения . . .
Основные результаты .......................................................

42
48
60
74
77
82

ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
§
§
§
§

13.
14.
15.
16.

Основные п о н я ти я ............................................................. 84
Метод подстановки ........................................................... 89
Метод алгебраического сложения .............................. 92
Системы двух линейных уравнений с двумя
переменными как математические модели
реальных си туац и й ............................................................ 97
§ 17. Нечисловые ряды данных ..............................................103
Основные результаты ......................................................... 106

ГЛАВА 4. СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
И ЕЁ СВОЙСТВА
§
§
§
§

18.
19.
20.
21.

Что такое степень с натуральным показателем . . . 107
Таблица основных степ ен ей ........................................... 111
Свойства степени с натуральным показателем . . . 113
Умножение и деление степеней
с одинаковыми показателями ........................................ 120
§ 22. Степень с нулевым показателем ..................................123

§ 23. Работа с таблицами распределения........................ 124
Основные результаты ............................................... 127

ГЛАВА 5. ОДНОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
НАД ОДНОЧЛЕНАМИ
§ 24. Понятие одночлена.
Стандартный вид одночлена ..................................
§ 25. Сложение и вычитание одночленов........................
§ 26. Умножение одночленов. Возведение одночлена
в натуральную степень .............................................
§ 27. Деление одночлена на одночлен ............................
§ 28. Таблицы распределения ч а с т о т..............................
Основные результаты ...............................................

129
131
134
137
140
143

ГЛАВА 6. МНОГОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
НАД МНОГОЧЛЕНАМИ
§
§
§
§
§
§
§
§

29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.

Основные понятия......................................................... 144
Сложение и вычитание многочленов ....................... 147
Умножение многочлена на одночлен ....................... 149
Умножение многочлена на многочлен ..................... 151
Формулы сокращённого умножения......................... 154
Метод выделения полного квадрата ......................... 162
Деление многочлена на одночлен ..............................165
Процентные частоты.....................................................167
Основные результаты ...................................................169

ГЛАВА 7. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ
§ 37. Что такое разложение многочленов на множители
и зачем оно нужно .......................................................171
§ 38. Вынесение общего множителя за с к о б к и .................174
§ 39. Способ группировки .....................................................179
§ 40. Разложение многочленов на множители
с помощью формул сокращённого умножения . . . 186
§ 41. Разложение многочленов на множители
с помощью комбинации различных приёмов.........190
§ 42. Сокращение алгебраических дроб ей ......................... 195
§ 43. Тождества........................................................................199
§ 44. Среднее значение и дисперсия....................................203
Основные результаты .................................................. 208

ГЛАВА 8. ФУНКЦИЯ у = X2
§
§
§
§

45.
46.
47.
48.

Функция у = х 2 и её график ......................................209
Графическое решение уравнений ............................. 215
Что означает в математике запись у = f(x) ............ 217
Группировка данных ...................................................224
Основные результаты ...................................................228
Предметный указатель................................................ 229

Н-П-21--002913

a - b 2 = ( a - b ) ( a + b)

a2 —2 ab + b2 = (a —b)2

a + 2 ab + b2 = (a + b f

a3± b3= (a ± b) (a + ab + b2)