КулЛиб - Классная библиотека! Скачать книги бесплатно
Всего книг - 706139 томов
Объем библиотеки - 1347 Гб.
Всего авторов - 272732
Пользователей - 124656

Новое на форуме

Новое в блогах

Впечатления

a3flex про Невзоров: Искусство оскорблять (Публицистика)

Да, тварь редкостная.

Рейтинг: 0 ( 1 за, 1 против).
DXBCKT про Гончарова: Крылья Руси (Героическая фантастика)

Обычно я стараюсь никогда не «копировать» одних впечатлений сразу о нескольких томах, однако в отношении части четвертой (и пятой) это похоже единственно правильное решение))

По сути — что четвертая, что пятая часть, это некий «финал пьесы», в котором слелись как многочисленные дворцовые интриги (тайны, заговоры, перевороты и пр), так и вся «геополитика» в целом...

В остальном же — единственная возможная претензия (субъективная

  подробнее ...

Рейтинг: 0 ( 0 за, 0 против).
medicus про Федотов: Ну, привет, медведь! (Попаданцы)

По аннотации сложилось впечатление, что это очередная писанина про аристократа, написанная рукой дегенерата.

cit anno: "...офигевшая в край родня [...] не будь я барон Буровин!".

Барон. "Офигевшая" родня. Не охамевшая, не обнаглевшая, не осмелевшая, не распустившаяся... Они же там, поди, имения, фабрики и миллионы делят, а не полторашку "Жигулёвского" на кухне "хрущёвки". Но хочется, хочется глянуть внутрь, вдруг всё не так плохо.

Итак: главный

  подробнее ...

Рейтинг: 0 ( 0 за, 0 против).
Dima1988 про Турчинов: Казка про Добромола (Юмористическая проза)

А продовження буде ?

Рейтинг: -1 ( 0 за, 1 против).
Colourban про Невзоров: Искусство оскорблять (Публицистика)

Автор просто восхитительная гнида. Даже слушая перлы Валерии Ильиничны Новодворской я такой мерзости и представить не мог. И дело, естественно, не в том, как автор определяет Путина, это личное мнение автора, на которое он, безусловно, имеет право. Дело в том, какие миазмы автор выдаёт о своей родине, то есть стране, где он родился, вырос, получил образование и благополучно прожил всё своё сытое, но, как вдруг выясняется, абсолютно

  подробнее ...

Рейтинг: +2 ( 3 за, 1 против).

Быстрая математика. Секреты устного счета [Билл Хэндли] (pdf) читать онлайн

Книга в формате pdf! Изображения и текст могут не отображаться!


 [Настройки текста]  [Cбросить фильтры]

УДК 51
ББК 22.1
Х99
Перевод с английского выполнил Е. А. Самсонов по изданию:
SPEED MATHEMATICS (Secret Skills for Quick Calculation) /
by Bill Handley. – Hoboken, New Jersey : John Wiley & Sons, Inc., 2003.
Охраняется законом об авторском праве. Нарушение ограничений,
накладываемых им на воспроизведение всей этой книги или любой ее части,
включая оформление, преследуется в судебном порядке.

Х99

Хэндли, Б.
Быстрая математика: секреты устного счета / Б. Хэндли ;
пер. с англ. Е. А. Самсонов. — Минск : Попурри, 2014. —
304 с.
ISBN 978-985-15-2600-0.
Предлагаются простые методы, позволяющие с быстротой молнии
выполнять в уме такие вычисления, как умножение, деление, сложение
и вычитание чисел, операции с дробями, извлечение квадратных и кубических корней.
Для широкого круга читателей.
УДК 51
ББК 22.1
© 2000, 2003 by Bill Handley
© Перевод. Издание на русском языке.
ООО «Попурри», 2006
© Оформление. ООО «Попурри», 2014

2

Ñîäåðæàíèå
Предисловие ...................................................... 5
Введение ............................................................ 7
Ãëàâà 1. Умножение: часть первая .............................. 14
Ãëàâà 2. Опорное число ............................................... 20
Ãëàâà 3. Перемножение чисел
над и под опорным числом ........................... 30
Ãëàâà 4. Проверка ответов: часть первая .................... 35
Ãëàâà 5. Умножение: часть вторая .............................. 43
Ãëàâà 6. Произведение десятичных дробей ................ 60
Ãëàâà 7. Умножение с помощью
двух опорных чисел ........................................ 67
Ãëàâà 8. Сложение ....................................................... 80
Ãëàâà 9. Вычитание ..................................................... 89
Ãëàâà 10. Возведение в квадрат ................................... 100
Ãëàâà 11. Деление на однозначное число ................... 113
Ãëàâà 12. Деление в столбик по множителям ............ 118
Ãëàâà 13. Стандартное деление столбиком ................ 124
Ãëàâà 14. Прямое деление ........................................... 131
Ãëàâà 15. Деление посредством сложения ................. 143
Ãëàâà 16. Проверка ответов: часть вторая .................. 162
Ãëàâà 17. Приближенное значение
квадратного корня ....................................... 169
3

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

Ãëàâà 18. Вычисление квадратного корня .................. 181
Ãëàâà 19. Способы быстрых вычислений ................... 193
Ãëàâà 20. Сложение и вычитание дробей .................... 214
Ãëàâà 21. Умножение и деление дробей ...................... 221
Ãëàâà 22. Прямое умножение ...................................... 228
Ãëàâà 23. Приближенное вычисление ......................... 236
Ãëàâà 24. Применяем то, чему научились ................... 242

Послесловие ................................................... 252
Ïðèëîæåíèå À. Вопросы, которые мне часто
задают ................................................ 255
Ïðèëîæåíèå Á. Приближенное значение
кубического корня ............................ 263
Ïðèëîæåíèå Â. Проверка делимости на число ........... 271
Ïðèëîæåíèå Ã. В чем секрет метода ........................... 280
Ïðèëîæåíèå Ä. Выбрасывание девяток:
секрет метода ..................................... 287
Ïðèëîæåíèå Å. Возведение в квадрат
футов и дюймов ................................. 289
Ïðèëîæåíèå Æ. Как добиться того, чтобы
ученики любили математику? ........... 292
Ïðèëîæåíèå Ç. Решение задач ................................... 298

Словарь .......................................................... 301

4

Ïðåäèñëîâèå
Многие люди спрашивают у меня, похожи ли мои метоO
ды на те, что были разработаны Яковом Трахтенбергом*.
Он вдохновил миллионы людей своими методами и ревоO
люционным подходом к математическим вычислениям.
Книга Трахтенберга вдохновила и меня, когда я еще был
подростком. Прочитав ее, я с восторгом обнаружил, что
способен производить сложные вычисления в уме, котоO
рые без его методов казались невозможными. Его идеи
привили мне подлинный интерес к экспериментам над
числами. Я очень многим обязан ему.
Мои методы в целом отличаются от тех, что разработал
он, хотя в некоторых областях наши подходы аналогичны
или пересекаются. Мы с ним, например, используем ту же
формулу для возведения в квадрат чисел, оканчивающихO
ся на пятерку. Трахтенберг также использовал метод выO
брасывания девяток для проверки полученного ответа. Он
предлагал различные правила для умножения на любое
число от 1 до 12, я же использую одноOединственное праO
вило. Должен сказать, что всякий раз, когда ктоOнибудь
приравнивает мои методы к системе Трахтенберга, я восO
принимаю это как комплимент.
Мои методы являются сугубо личной разработкой, так
же как моими собственными являются общий подход и
* Яков Трахтенберг (1888–1953) – математик, уроженец г. Одессы, создавший
систему для быстрого счета в уме, носящую его имя. Основал Институт матеO
матики в Цюрихе в 1950 г. – Прим. перев.

5

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

стиль. Любые недостатки, которые вы, возможно, встреO
тите в настоящей книге, также мои собственные.
В настоящее время я работаю над книгой для учитеO
лей, где объясняю, как использовать мои методы в учебO
ном процессе. Она содержит множество практических
примеров. Если вас заинтересовала моя разработка, пиO
шите мне по электронной почте, и я вышлю вам подробO
ные сведения.
Билл Хэндли
bhandley@speedmathematics.com

6

Ââåäåíèå
Вообразите, что вы способны умножать большие чисO
ла в уме – при этом быстрее, чем успели бы набрать их на
калькуляторе. Вообразите, что вы молниеносно можете
проверить – опятьOтаки в уме – полученный результат.
Как бы отреагировали ваши коллеги, если бы вы извлеO
кали квадратные и даже кубические корни в уме? Не приO
обретете ли вы благодаря этому репутацию очень умного
человека? Разве не начнут ваши друзья и коллеги отноO
ситься к вам поOдругому, с большим уважением? А как
насчет преподавателей, лекторов, клиентов, вашего руO
ководителя?
Люди приравнивают математические способности к
интеллекту. Если вы в состоянии выполнять операции умноO
жения, деления, возведения в квадрат и извлечения квадO
ратного корня в уме быстрее, чем ваши друзья успеют доO
стать из кармана калькулятор, вас сочтут человеком высоO
чайшего интеллекта.
Я научил одного ребенка некоторым подходам, с коO
торыми вы познакомитесь в данной книге, до того, как
он пошел в первый класс, и в результате на протяжении
всей учебы в школе многие принимали его за вундерO
кинда.
К людям, овладевшим подобной техникой, начинают
поOиному относиться в семье, школе и на рабочем месте.
И поскольку к ним относятся как к людям большого ума,
они и сами начинают поступать умнее.
7

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

Çà÷åì ó÷èòü îñíîâàì àðèôìåòèêè
è òåîðèè ÷èñåë?
Однажды я был приглашен на радиопередачу. После
беседы со мной ведущий поинтересовался у присутствоO
вавшего в студии представителя математического факульO
тета одного из ведущих австралийских университетов, что
он думает обо мне и моих методах. Тот сказал, что учить
студентов правилам вычислений – это пустая трата времеO
ни. Зачем комуOто уметь возводить в квадрат, перемноO
жать числа, извлекать квадратный корень и делить числа в
уме, если существуют калькуляторы? Многие родители заO
тем звонили в студию и говорили, что подобное отношеO
ние преподавателя объясняет, почему их детям так трудно
дается математика в школе.
Мне также доводилось обсуждать с педагогами значение
базовых операций с числами. Многие утверждают, что деO
тям необязательно знать, что 5 плюс 2 равняется 7 или что
произведение 2 на 3 равно 6.
Когда такие мнения высказываются учениками в класO
се, я прошу их достать из портфелей калькуляторы. Затем
я велю им нажимать соответствующие кнопки, пока дикO
тую задачу: «Два плюс три, умноженное на четыре, равняO
ется…»
У некоторых учеников калькулятор выдает 20 в качестO
ве ответа. У других же в ответе получается 14.
Какой из этих двух ответов является правильным? Как
калькулятор может давать два различных ответа, если вы
нажимаете одни и те же кнопки?
Это происходит потому, что существует определенный
порядок, в котором следует производить арифметические
операции. Сначала надо умножать или делить, а уж потом
складывать и вычитать. Одни калькуляторы учитывают
эту особенность, другие – нет.
8

Ââåäåíèå

Калькулятор не способен думать за вас. Необходимо
отдавать себе отчет, в каком порядке вы производите выO
числения. Если вы не знаете математики, калькулятор маO
ло чем сможет вам помочь.
Ниже приводится несколько причин, которые дают
мне основания утверждать, что математика не просто
нужна, а очень важна для любого человека, независимо от
того, учится он или нет.
• Люди считают математические способности признаO
ком высокого интеллекта. Если вам хорошо дается маO
тематика, люди склонны считать вас человеком больO
шого ума. К учащимся, успешно сдающим математику,
обычно с повышенным уважением относятся как преO
подаватели, так и сокурсники. Преподаватели часто отO
носят их к потенциально более способным студентам, и
сами они зачастую учатся лучше – не только по матемаO
тике, но и по другим предметам.
• Овладение методами работы с числами – особенно это
касается вычислений в уме – помогает лучше понять
законы математики.
• Вычисления в уме повышают способность к концентO
рации, укрепляют память и развивают умение удержиO
вать в голове сразу несколько идей одновременно. ЧеO
ловек, который осваивает методы таких вычислений,
обучается работе одновременно с несколькими мыслиO
тельными конструкциями.
• Вычисления в уме научат вас «чувствовать» числа, а
также быстро оценивать правильность результата.
• У человека, понимающего математику, лучше развита
способность к латеральному мышлению. Подходы, коO
торые предлагаются в данной книге, помогут вам разO
вить способность к мышлению по альтернативным наO
9

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

правлениям; в результате вы научитесь искать нестанO
дартные подходы к решению задач и выполнению выO
числений.
• Математические знания придадут вам уверенности в
своих силах, в результате чего повысится ваша самоO
оценка. Методы, предлагаемые здесь, укрепят вашу увеO
ренность в своих умственных способностях, интеллекO
те и умении решать математические задачи.
• Методы проверки позволяют тому, кто выполняет выO
числение, немедленно распознать ошибку. Если вы доO
пустили ошибку, проверка позволит мгновенно опреO
делить ее и исправить. Если ход решения верен, проO
верка это подтвердит и подарит вам дополнительное
удовлетворение от осознания корректности ваших
действий. Возможность распознавать ошибки паралO
лельно выполнению вычислений дарит лишнюю мотиO
вацию тому, кто выполняет вычисления.
• Математика имеет очень большое значение в повсеO
дневной жизни. Смотрите ли вы спортивную програмO
му или покупаете продукты в магазине, вычисления в
уме всегда находят применение. Нам всем приходится
время от времени делать быстрые вычисления в уме.

Ìàòåìàòè÷åñêèé ñêëàä óìà
Правда ли, что не все люди рождаются с математичесO
ким складом ума, что некоторые имеют исходное преимуO
щество перед другими в плане лучшего освоения матемаO
тики? И наоборот, верно ли, что некоторые люди в меньO
шей степени наделены способностью решать математиO
ческие задачи?
Различие между теми людьми, кто добивается в матемаO
тике многого, и теми, кто достигает малого, состоит не в
мозге, с которым они рождаются, а в том, как они его исO
10

Ââåäåíèå

пользуют. Те, кто добивается большего, используют более
эффективные подходы, чем остальные.
Данная книга научит вас более эффективным подхоO
дам. Методы, о которых идет речь, гораздо проще, чем те,
которым вас учили ранее, так что в итоге вы будете решать
задачи на вычисление гораздо быстрее, допуская при этом
меньше ошибок.
Представьте себе двух учеников и преподавателя, котоO
рый только что задал им задачу. Ученик А говорит: «ТрудO
ная задача. Учитель не научил нас решать задачи такого
рода. Как же мне ее решать? Получается, что учитель стаO
вит перед нами задачи непомерной сложности».
Ученик Б говорит: «Трудная задача. Учитель не научил
нас решать задачи такого типа. Как же мне ее решить?
Учитель знает уровень наших знаний и то, какие задачи
мы умеем решать, поэтому того, чему он нас научил до сих
пор, должно быть достаточно, чтобы мы справились с реO
шением самостоятельно. С чего же мне начать?»
Кто из учеников, поOвашему, скорее решит задачу?
Очевидно, что ученик Б.
Что случится в следующий раз, когда им будет предлоO
жена аналогичная задача? Ученик А скажет: «Я не могу ее
решить. Это такая же задача, что и в прошлый раз. Она
слишком трудная. Такие задачи я плохо решаю. Почему
бы вам не задать нам чтоOнибудь полегче?»
А ученик Б скажет: «Это напоминает мне прошлую заO
дачу. Думаю, я смогу ее решить. Я уже более или менее наO
учился решать такие задачи. Они не очень легкие, но реO
шать их можно. Итак, как же мне к ней подступиться?»
У обоих учеников выработался шаблон поведения: у одO
ного – пораженческий, у другого – ориентированный на
победу. Связано ли это какимOто образом с их интеллектуO
альным потенциалом? Возможно, но необязательно. Они
11

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

вполне могут быть равны интеллектом. Речь в большей
степени идет об отношении учеников к задаче, которое
может определяться тем, чему их научили в прошлом, а
также зависеть от опыта – положительного и отрицательO
ного. Недостаточно просто предложить людям поменять
свое отношение. Это лишь вызовет у них раздражение.
Я предпочитаю говорить им, что они в состоянии добитьO
ся более высокого результата, и затем показываю, как это
сделать. Пусть положительный опыт меняет их отношеO
ние, а не увещевания. От положительного опыта лица у
людей светлеют и они восклицают: «Ура! Я могу!»
Мое первое правило математики выглядит так:
Чем проще метод, используемый вами для решения зада
чи, тем быстрее вы ее решите и тем меньше вероятность
того, что вы допустите ошибку.
Чем сложнее метод, который вы используете, тем больO
ше времени уйдет на решение задачи и тем выше ваши
шансы допустить ошибку. Люди, использующие более соO
вершенные методы, быстрее получают ответ и допускают
меньше ошибок, тогда как те, кто применяет менее эфO
фективные методы, медленнее получают ответ и допускаO
ют больше ошибок. Связь с интеллектом здесь не такая
большая, тут вовсе не требуется особого, математическоO
го, склада ума.

Íåìíîãî î ñàìîé êíèãå
Данная книга написана простым и доступным языком.
Прочитав ее, вы станете понимать математику, как никогO
да ранее, и будете поражены, насколько простой она моO
жет быть. Вычисления начнут доставлять вам удовольO
ствие, какого вы и представить себе не могли.
12

Ââåäåíèå

В каждой главе предлагается целый ряд примеров для
решения. Пытайтесь решать их самостоятельно после раO
зобранных мною учебных примеров, вместо того чтобы
просто пассивно читать. Вы обнаружите, что примеры я
даю вовсе не сложные. Прорабатывая решение каждого
примера под моим руководством, вы поOнастоящему осO
воите методы и принципы, лежащие в основе решения, а
также обретете стимул продолжать чтение дальше. Лишь
путем проработки решения этих примеров вы сможете
осознать, насколько просты предлагаемые здесь методы.
Я настоятельно рекомендую потратить время на то,
чтобы самостоятельно решить примеры как на бумаге, так
и в уме. Изучив данную книгу, вы удивитесь, насколько
совершенными стали ваши математические навыки.

13

Глава 1
Óìíîæåíèå:
÷àñòü ïåðâàÿ
Насколько хорошо вы знаете таблицу умножения?
Хотелось бы вам освоить таблицу умножения для чисел
от 1 до 10 менее чем за 10 минут? А таблицу для чисел от 10
до 20 менее чем за полчаса? Все это возможно, используя
методы, о которых я рассказываю в этой книге. Я лишь
предполагаю, что вы достаточно хорошо знаете таблицу
умножения для числа 2, а также что вы владеете операцияO
ми сложения и вычитания для небольших чисел.

Óìíîæåíèå ÷èñåë äî 10
Начнем с того, что научимся умножать всевозможные
числа от 1 до 10 вплоть до 10 × 10. Метод состоит в следуюO
щем.
Возьмем в качестве примера произведение 7 × 8.
Запишем 7 × 8 = на листе бумаги и нарисуем кружки под
каждым из двух перемножаемых чисел.
7 × 8=

Рассмотрим первый из множителей, число 7. Сколько
ему недостает до числа 10? Ответ: 3. Впишем 3 в кружок
под числом 7. Теперь обратимся к числу 8. Что надо впиO
сать в кружок под числом 8? Сколько недостает до 10? ЯсO
ное дело, что 2. Вписываем 2 в кружок под множителем 8.
Вот что у нас получилось:
14

Ãëàâà 1. Óìíîæåíèå: ÷àñòü ïåðâàÿ

7 × 8=
3
2

Теперь выполним вычитание накрест. Это значит, надо
вычесть любое из чисел в кружке (3 или 2) из числа не пряO
мо над ним, а из того, что расположено по диагонали, то
есть над другим числом в кружке. Иными словами, вы выO
читаете либо 3 из 8, либо 2 из 7. Делать это нужно всего
один раз, поэтому выбирайте тот вариант, который вам
кажется легче. В любом случае результат получается один
и тот же: 5. Это первая цифра вашего ответа.
8 – 3 = 5 èëè 7 – 2 = 5

Теперь перемножим числа в кружках. 3 на 2 дает 6. Это буO
дет последняя цифра вашего ответа. Таким образом, отвеO
том будет 56. Вот так выглядит решенная задача:
7 × 8 = 56
3
2

Если вы умеете без труда перемножать 2 на другие числа
до 10, то с легкостью сможете запомнить таблицу умножеO
ния от 1 до 10 и выше. Закрепим освоенное на еще одном
примере: 8 × 9.
8 × 9=
2
1

Сколько не хватает в каждом случае до 10? Ответ: 2 и 1.
Вписываем 2 и 1 в кружки под перемножаемыми числами.
Что мы делаем теперь? Производим вычитание накрест.
8 – 1 = 7 èëè 9 – 2 = 7

7 является первой цифрой ответа. Запишем ее. Теперь
перемножим оба числа в кружках:
2×1=2
15

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

2 является последней цифрой нашего ответа. Таким обO
разом, ответом является 72.
Легко, не так ли? Теперь попробуйте решить несколько
примеров самостоятельно. Вместо того чтобы записывать
ответы прямо здесь, в книге, вы можете сделать это на отO
дельном листе бумаги или в блокноте – впоследствии
можно снова вернуться к примерам в книге и не знать заO
ранее ответов.
a) 9 × 9 =
ä) 8 × 9 =

á) 8 × 8 =
å) 9 × 6 =

â) 7 × 7 =
æ) 5 × 9 =

ã) 7 × 9 =
ç) 8 × 7 =

Решите каждый из примеров, даже если вы и так помO
ните таблицу умножения. Речь идет о базовом методе, коO
торым вы будете пользоваться в дальнейшем при переO
множении чисел.
Как прошло решение? Вот ответы к примерам:
a) 81
ä) 72

á) 64
å) 54

â) 49
æ) 45

ã) 63
ç) 56

Не это ли самый простой способ выучить таблицу умноO
жения?

Ñòîèò ëè ó÷èòü òàáëèöó óìíîæåíèÿ?
Теперь, когда вы овладели методом перемножения чиO
сел, значит ли это, что вам не нужно учить таблицу умноO
жения?
По правде сказать, и да, и нет.
Не нужно потому, что теперь вы в состоянии, после неO
которой тренировки, вычислить произведение любой паO
ры чисел практически мгновенно. Если же вы уже выучиO
ли таблицу умножения, тогда освоение данного метода
принесет дополнительную пользу.
16

Ãëàâà 1. Óìíîæåíèå: ÷àñòü ïåðâàÿ

Если же вы еще не знаете таблицы умножения, то у вас
появился шанс выучить ее в рекордные сроки. После того
как вы просчитали произведение 7 × 8 = 56 десять и более
раз, обнаружится, что вы запомнили ответ раз и навсегда.
Иными словами, вы выучили часть таблицы умножения.
Повторяю, что это самый простой известный мне способ
изучения таблицы умножения, к тому же самый занимаO
тельный. И вам не надо переживать за то, что не запомниO
ли таблицу назубок, – вы всегда сможете вычислить необO
ходимое произведение так быстро, будто знаете ответ наO
изусть.

Óìíîæåíèå ÷èñåë áîëüøå 10
Работает ли данный метод при перемножении чисел
больше 10?
Конечно, работает. Попробуем на примере:
96 × 97 =

К какому большему числу следует привести эти числа?
Сколько не хватает до чего? До 100. Вписываем 4 в кружок
под 96 и 3 под 97.
96 × 97 =
4
3

Что мы делаем теперь? Мы вычитаем накрест: 96 минус
3, так же как и 97 минус 4, равно 93. Это первая (передняя)
часть ответа. Что мы делаем затем? Перемножаем числа в
кружках. Произведение 4 на 3 равняется 12. Это последняя
(задняя) часть ответа. Сам ответ, соответственно, равен
9312.
96 × 97 = 9312
4
3
17

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

Какой метод проще: этот или тот, которому вас учили в
школе? Разумеется, этот.
Припомните мое первое правило математики:
Чем проще метод, используемый вами для решения зада
чи, тем быстрее вы ее решите и тем меньше вероятность
того, что вы допустите ошибку.
Теперь предлагаю вам несколько примеров для самоO
стоятельного решения:
a) 96 × 96 =
ä) 98 × 94 =

á) 97 × 95 =
å) 97 × 94 =

â) 95 × 95 =
æ) 98 × 92 =

ã) 98 × 95 =
ç) 97 × 93 =

â) 9025
æ) 9016

ã) 9310
ç) 9021

Ответы для самоконтроля:
a) 9216
ä) 9212

á) 9215
å) 9118

Все ли у вас получилось правильно? Если вы ошиблись,
вернитесь назад, найдите, где допустили промах, и откорO
ректируйте ответ. Поскольку данный метод столь разиO
тельно отличается от традиционных подходов к перемноO
жению пар чисел, нет ничего удивительного, что поначалу
вы будете допускать ошибки.

Ñîïåðíè÷àÿ â ñêîðîñòè ñ êàëüêóëÿòîðîì
Я участвую в телевизионных шоу, где меня часто просят
посоревноваться в скорости с калькулятором. Обычно это
происходит следующим образом. Крупным планом камеO
ра показывает руку с калькулятором, а я нахожусь на задO
нем плане. КтоOнибудь, кого не видно в кадре, ставит заO
дачу: например, умножить 96 на 97. Как только произноO
сится 96, я немедленно вычитаю его из 100 и получаю 4.
Когда произносится второе число – 97, – я вычитаю из неO
го 4 и получаю 93. Я не говорю 93, а произношу «девять тыO
18

Ãëàâà 1. Óìíîæåíèå: ÷àñòü ïåðâàÿ

сяч триста…» своим тягучим австралийским выговором и
одновременно вычисляю в уме: «4 на 3 равно 12».
Таким образом, практически без паузы я заканчиваю:
«Девять тысяч триста… двенадцать». Хотя я не считаю сеO
бя «человекомOкалькулятором» – так как многие мои
ученики делают это быстрее меня, – я поOпрежнему без
труда ухитряюсь выговорить ответ до того, как ктоOнибудь
успевает получить ответ на калькуляторе.
Теперь решите последнюю серию примеров еще раз, но
теперь выполняя все вычисления у себя в голове. Скоро
вы убедитесь, что это легче, чем кажется. Я всегда говорю
своим ученикам: вам надо решить пример три или четыре
раза в голове, прежде чем станет поOнастоящему легко;
после этого вычисление, выполненное каждый последуюO
щий раз, будет пустяком по сравнению с вычислением,
выполненным впервые. Поэтому попробуйте раз пять,
прежде чем сдаться и сказать, что это для вас слишком
сложно.
Вас не впечатляет, что вам теперь под силу? Ваш мозг
не стал лучше в одночасье: просто вы используете его боO
лее эффективно благодаря простым, но более совершенO
ным методам математических вычислений.

19

Глава 2
Îïîðíîå ÷èñëî
Мы еще не до конца разобрались с методом перемноO
жения чисел. Для задач, которые мы рассматривали до
сих пор, метод работал безупречно. Теперь, после некотоO
рой модификации, мы сможем применить его к любым
числам.

×èñëî 10 â êà÷åñòâå îïîðíîãî
Вернемся к примеру 7 × 8.
10

7 × 8=

Число 10 слева от примера является опорным. Это чисO
ло, из которого мы вычитаем множители.
Итак, запишем опорное число слева от примера. ТеO
перь спросим себя, числа, которые мы перемножаем, являO
ются больше (выше) или меньше (ниже), чем опорное чисO
ло? В рассматриваемом случае множитель меньше (ниже),
чем опорное число, оба раза. Поэтому рисуем кружки ниO
же множителей. На сколько множители меньше опорного
числа? На 3 и 2 соответственно. Вписываем 3 и 2 в кружки.
7 равно 10 минус 3, поэтому ставим знак «минус» перед
кружком с цифрой 3. 8 – это 10 минус 2, значит, ставим
знак «минус» и перед кружком с цифрой 2.
10

7 × 8=
– 3 – 2

Теперь вычитаем накрест. 7 минус 2 и 8 минус 3 дают 5.
Записываем 5 после знака равенства. Теперь умножим 5
20

Ãëàâà 2. Îïîðíîå ÷èñëî

на опорное число 10. 5, умноженное на 10, дает 50, поэтоO
му записываем 0 после 5. (При умножении любого числа
на 10 достаточно дописать к числу справа нуль.) 50 являетO
ся нашим промежуточным результатом.
Теперь перемножим числа в кружках. 3 на 2 дает 6. ПриO
бавим результат к 50 и получим окончательный ответ: 56.
Полностью решенный пример выглядит так:
10

7 × 8 = 50
– 3 – 2 +6
56

ÎÒÂÅÒ

×èñëî 100 â êà÷åñòâå îïîðíîãî
Каким было опорное число для примера 96 × 97 в главе
1? 100, поскольку мы также выясняли, сколько не хватает
у 96 и 97, чтобы получилось 100. Пример, решенный полO
ностью, теперь выглядел бы так:
100

96 × 97 = 9300
– 4 – 3
+12
9312

ÎÒÂÅÒ

Прием для счета в уме, который я приводил выше,
просто заставляет вас использовать данный метод. ДавайO
те перемножим 98 на 98, и вы поймете, что я имею в виду.
Вычитаем 98 и 98 из 100 и получаем 2 и 2. Отнимаем 2 от
98 и получаем 96. Но мы говорим не «девяносто шесть», а
«девять тысяч шестьсот…». 9600 получится, когда мы умноO
жим 96 на вспомогательное число 100. Теперь перемноO
жим числа в кружках. Произведение 2 на 2 равняется 4,
поэтому окончательным ответом будет 9604.
Решите следующие примеры в уме:
a) 96 × 96 =

á) 97 × 97 =

â) 99 × 99 =
21

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

ã) 95 × 95 =

ä) 97 × 98 =

У вас должны получиться следующие ответы:
a) 9216
ã) 9025

á) 9409
ä) 9506

â) 9801

Теперь вы, возможно, уже умеете быстро находить отO
веты для подобных примеров. Наверняка вполне освоили
данный метод и применительно к числам меньше 10, реO
шая соответствующие примеры с завидной скоростью. НаO
пример, если вы захотите вычислить, сколько будет 9 × 9,
то немедленно «увидите» по единичке под каждой девятO
кой. 9 минус 1 дает 8 – и вы сразу получаете 80 (произвеO
дение 8 на 10). 1 на 1 дает 1. Таким образом, в ответе вы
получаете 81.

Óìíîæåíèå ÷èñåë îò 10 äî 20
Посмотрим, как работает метод для перемножения чиO
сел от 10 до 20. В качестве примера возьмем 13 × 14, а 10 –
в качестве опорного числа.
10

13 × 14 =

И 13, и 14 больше (выше) опорного числа 10, поэтому
рисуем кружки над множителями. На сколько они больше
опорного числа? На 3 и 4 соответственно. Поэтому вписыO
ваем 3 и 4 в кружки над 13 и 14. 13 равно 10 плюс 3, поэтоO
му ставим знак «плюс» перед цифрой 3; 14 равно 10 плюс
4, поэтому ставим знак «плюс» перед цифрой 4.
10

+ 3 + 4
13 × 14 =

Как и прежде, складываем накрест. И 13 плюс 4, и 14
плюс 3 равно 17. Пишем 17 после знака равенства. УмноO
жаем 17 на опорное число 10 и получаем 170 – это наш
22

Ãëàâà 2. Îïîðíîå ÷èñëî

промежуточный результат, записываем его после знака
равенства.
В качестве последнего шага перемножаем числа в
кружках. 3, умноженное на 4, равно 12. Прибавляем 12 к
170 и получаем ответ: 182. Вот так выглядит полностью реO
шенный пример:
10

+ 3 + 4
13 × 14 = 170
+12
182

ÎÒÂÅÒ

Если число, которое перемножаем, больше (выше)
опорного, мы помещаем кружок над числом. Если число
меньше (ниже) опорного, мы рисуем кружок под числом.
Если числа в кружках выше множителей, мы складываем
накрест, если же они ниже, тогда вычитаем накрест.
Теперь попробуйте решить следующие примеры самоO
стоятельно:
a) 12 × 15 =
ã) 13 × 13 =
æ) 14 × 14 =
ê) 16 × 14 =

á) 13 × 15 =
ä) 12 × 14 =
ç) 15 × 15 =

â) 12 × 12 =
å) 12 × 16 =
è) 12 × 18 =

á) 195
ä) 168
ç) 225

â) 144
å) 192
è) 216

Ответы:
a) 180
ã) 169
æ) 196
ê) 224

Если вы гдеOто допустили ошибку, прочтите раздел заO
ново и выясните, что сделали не так, после чего попробуйO
те решить примеры снова.
23

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

А как бы вы перемножали 12 и 21? Давайте разберем
данный пример.
10

+ 2 + 11
12 × 21 =

В качестве опорного числа берем 10. Оба множителя
больше 10, поэтому рисуем кружки над ними. 12 больше
10 на 2, а 21 – на 11, поэтому вписываем 2 и 11 в соответO
ствующие кружки. 21 плюс 2 равно 23, которое после
умножения на 10 дает 230. 2, умноженное на 11, равно 22,
которое в сумме с 230 равняется 252.
Полностью решенный пример выглядит следующим
образом:
10

+ 2 + 11
12 × 21 = 230
+22
252

ÎÒÂÅÒ

Óìíîæåíèå ÷èñåë áîëüøå 100
Можно ли использовать данный метод для перемножеO
ния чисел больше 100? Разумеется.
Чтобы умножить 106 на 104, возьмем 100 в качестве
опорного числа.
100

106 × 104 =

Множители превышают опорное число 100, поэтому
рисуем кружки над 106 и 104. На сколько они превышают
100? На 6 и 4. Вписываем 6 и 4 в кружки. Перед ними надо
поставить знак «плюс» (как перед положительными чисO
лами), поскольку 106 равняется 100 плюс 6, а 104 – 100
плюс 4.
24

Ãëàâà 2. Îïîðíîå ÷èñëî

100

+ 6
+ 4
106 × 104 =

Складываем накрест. 106 плюс 4 равно 110. Запишем
110 после знака равенства.
Умножим 110 на опорное число 100. Как умножить люO
бое число на 100? Приписать к нему справа два нуля. ПоO
лучаем промежуточный результат: 11000.
Теперь перемножим числа в кружках: 6 × 4 = 24. ПриO
плюсуем результат к 11000 и получаем 11024.
Полностью решенный пример выглядит следующим
образом:
100

+ 6
+ 4
106 × 104 = 11000
+24
11024

ÎÒÂÅÒ

Попробуйте решить несколько примеров самостояO
тельно:
a) 102 × 114 =
â) 112 × 112 =

á) 103 × 112 =
ã) 102 × 125 =

Ответы:
a) 11628
â) 12544

á) 11536
ã) 12750

Немного попрактиковавшись, вы сможете решать все
подобные примеры без ручки и бумаги. В глазах других
людей это будет очень эффектно.

Ðåøåíèå ïðèìåðîâ â óìå
При использовании изложенного выше подхода очень
важно то, что возникает перед вашим мысленным взором,
25

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

или то, что вы произносите про себя. Это может помочь
вам решать задачи с большей легкостью и с более высокой
скоростью.
Давайте умножим 16 на 16 и затем посмотрим, что мы
могли бы при этом проговаривать про себя.
Складываем накрест. 16 плюс 6 (от второго множителя
16) равно 22. Потом умножаем на 10 и получаем 220. 6,
умноженное на 6, равно 36. Прибавляем сначала 30, а поO
том 6. 220 плюс 30 равно 250, плюс еще 6 – получаем 256.
Про себя мы могли бы при этом проговаривать: «ШестO
надцать плюс шесть, двадцать два, двести двадцать. ТриO
дцать шесть, двести пятьдесят шесть». Обретя некоторый
навык, вы сможете опускать половину всего этого. Вам не
надо будет комментировать буквально каждый свой шаг.
Достаточно будет сказать: «Двадцать два, двести пятьдесят
шесть».
Практикуйтесь в том, как вы проговариваете про себя
ход решения. Произносить только самое необходимое во
время вычисления – значит более чем вдвое сократить
время решения.
Как вы станете вычислять 7 × 8 в уме? Вы немедленно
представите себе цифры 3 и 2 в кружках под 7 и 8. Затем отO
нимите 2 от 7 (или 3 от 8) и после того, как тут же умножиO
те на 10, скажете вслух: «Пятьдесят». 3 на 2 равно 6. Вслух
же вы произнесете практически без паузы: «Пятьдесят…
шесть».
А как насчет 6 × 7?
Вы немедленно представите себе цифры 4 и 3 в кружках
под 6 и 7. 6 минус 3 дает 3, поэтому вы скажете про себя:
«Тридцать». 4 на 3 дает 12, плюс 30 – 42. Про себя же вы
просто проговорите: «Тридцать, сорок два».
Не очень сложно, не так ли? Чем больше примеров вы
решите самостоятельно, тем легче вам будет выполнять
эти вычисления.
26

Ãëàâà 2. Îïîðíîå ÷èñëî

Êîãäà èñïîëüçîâàòü îïîðíîå ÷èñëî?
Люди спрашивают у меня: «Когда нужно использовать
опорное число?» Предыдущий пример дает ответ на этот
вопрос. Вычисляя произведение 6 на 7 в уме, вы автоматиO
чески используете опорное число – 10. Ваш промежуточO
ный результат равен 30. Вы говорите: «Тридцать…» Затем
вычисляете: 4 на 3 равно 12. Вы не скажете вслух: «ТридO
цать двенадцать». Вам известно, что необходимо прибаO
вить 12 к 30, чтобы получить ответ.
Ответ прост: всегда используйте опорное число.
По мере освоения описанных здесь методов вы обнаруO
жите, что автоматически используете опорное число, даже
когда уже не записываете его во время вычислений.

Êîìáèíàöèÿ ìåòîäîâ
Посмотрим на следующий пример:
100

92 × 93 =
– 8 – 7

Он может представлять определенные трудности, если
мы не знаем, сколько будет 8 × 7. Можно пририсовать еще
пару кружков под первыми, чтобы вычислить произведеO
ние 8 × 7. Пример теперь выглядит так:
100

92 × 93 =
– 8 – 7
– 2 – 3

Вычтем 8 из 93 путем отнимания 10 и прибавления 2.
93 минус 10 равно 83, плюс 2 – получаем 85. Умножаем на
опорное число 100 и имеем промежуточный результат:
27

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

8500. Чтобы перемножить 8 на 7, используем нижний ряд
чисел в кружках, то есть 2 и 3.
7–2=5è2×3=6

Ответ равен 56. Вот как теперь выглядит решение приO
мера:
100

92 × 93 = 8500
– 8 – 7
+56
– 2 – 3
8556

ÎÒÂÅÒ

Можно также, к примеру, умножить 86 на 87.
100

86 × 87 =
– 14 – 13

86 – 13 = 73
73 × 100 (îïîðíîå ÷èñëî) = 7300
+182
7482

ÎÒÂÅÒ

Можно использовать только что изученный метод для
перемножения чисел от 10 до 20.
10

+ 4 + 3
14 × 13 = 170
+12
182

ÎÒÂÅÒ

Вы сможете проделывать все это в уме после некоторой
тренировки.
Попробуйте решить следующие примеры:
a) 92 × 92 =
ã) 88 × 85 =
28

á) 91 × 91 =
ä) 86 × 86 =

â) 91 × 92 =
å) 87 × 87 =

Ãëàâà 2. Îïîðíîå ÷èñëî

Ответы:
a) 8464
ã) 7480

á) 8281
ä) 7396

â) 8372
å) 7569

Совместное использование методов, изложенных в наO
стоящей книге, открывает для вас поистине безграничные
возможности вычислений. Поэкспериментируйте сами.

29

Глава 3
Ïåðåìíîæåíèå ÷èñåë
íàä è ïîä îïîðíûì
÷èñëîì
До сих пор мы перемножали числа, которые располагаO
лись либо выше, либо ниже опорного числа. А как нам пеO
ремножать числа, одно из которых находится выше опорO
ного, а другое – ниже?
Посмотрим, как поступать, на примере произведения
96 × 135. В качестве опорного числа будем использовать 100:
100

98 × 135 =

98 меньше опорного числа 100, поэтому кружок рисуем
под ним. На сколько меньше? На 2, значит, вписываем в
кружок цифру 2. 135 больше 100, поэтому рисуем кружок
над 135. На сколько больше? На 35, следовательно, вписыO
ваем в кружок 35.
100

+ 35
98 × 135 =
– 2

135 равняется 100 плюс 35, поэтому ставим знак «плюс»
перед 35. 98 – это 100 минус 2, значит, перед 2 в кружке наO
до поставить минус.
Теперь вычисляем накрест. Берем либо 98 плюс 35, лиO
бо 135 минус 2. 135 минус 2 равно 133. Записываем 133
после знака равенства. Теперь умножим 133 на опорное
30

Ãëàâà 3. Ïåðåìíîæåíèå ÷èñåë íàä è ïîä îïîðíûì ÷èñëîì

число 100. 133 на 100 равняется 13300. (Чтобы умножить
на 100 любое число, достаточно дописать к нему справа
два нуля.) Вот так теперь выглядит решение примера:
100

+ 35
98 × 135 = 13300
– 2

Теперь перемножим числа в кружках. 2 на 35 дает 70.
Правда, это не совсем так. На самом деле нам необходимо
перемножить 35 и минус 2. В ответе, соответственно, будет
минус 70. Теперь решение примера выглядит следующим
образом:
100

+ 35
98 × 135 = 13300 – 70 =
– 2

Ñïîñîá áûñòðîãî âû÷èòàíèÿ
Отвлечемся на некоторое время от решения примера и
посмотрим, каков самый короткий путь для нахождения
разности двух чисел. Как самым простым способом выO
честь 70 из числа? Разрешите мне поставить вопрос поO
другому: каков простейший способ вычесть в уме 9 из 56?
56 – 9 =

Я уверен, что вы знаете правильный ответ, но как вы его
получили? Некоторые люди сначала отняли бы 6 от 56,
чтобы получить 50, а затем отняли бы 3, что осталось от 9,
и получили бы 47.
КоеOкто отнял бы 10 от 56 и получил бы 46. Затем приO
бавил бы к ответу 1, поскольку отнята была лишняя едиO
ница (10 = 9 + 1). В результате опять получилось бы 47.
Еще ктоOнибудь решал бы данную задачу столбиком на
листе бумаги. При этом ему пришлось бы переносить и заO
31

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

нимать разряды в уме. Это, возможно, самый длинный
способ решения. Не забывайте, что:
Самый простой путь решения задачи является наискорей
шим способом и самым защищенным от ошибок.
Для большинства людей самый простой способ вычиO
тания 9 из числа – это отнимание от него сначала 10, а заO
тем прибавление 1. Самый простой способ отнять 8 – это
вычесть 10, а затем прибавить 2. Чтобы отнять 7, нужно
вычесть 10, а потом прибавить 3 к ответу. Вот еще неO
сколько «простейших» способов:
• Каков самый простой способ вычесть 90 из числа? ОтO
нять от него 100 и прибавить 10.
• Каков самый простой способ вычесть 80 из числа? ОтO
нять от него 100 и прибавить 20.
• Каков самый простой способ вычесть 70 из числа? ОтO
нять от него 100 и прибавить 30.

Если вернуться к нашему примеру, как нам отнять 70
от 13300? Вычесть сначала 100, а затем прибавить 30.
Просто, правда? Попробуем еще раз. 13300 минус 100.
13200. Плюс 30. 13230. Вот как теперь выглядит полноO
стью решенный пример:
100

+ 35
98 × 135 = 13300 – 70 = 13230
– 2
30

ÎÒÂÅÒ

Немного попрактиковавшись, вы сможете решать поO
добные примеры в уме. Попробуйте решить следующие
примеры:
a) 98 × 145 =
â) 95 × 120 =
ä) 98 × 146 =
æ) 8 × 12 =
32

á) 97 × 125 =
ã) 96 × 125 =
å) 9 × 15 =
ç) 7 × 12 =

Ãëàâà 3. Ïåðåìíîæåíèå ÷èñåë íàä è ïîä îïîðíûì ÷èñëîì

Ответы:
a) 14210
â) 11400
ä) 14308
æ) 96

á) 12125
ã) 12000
å) 135
ç) 84

Ïðîèçâåäåíèå ÷èñåë â êðóæêàõ
Правило, согласно которому находят произведение чиO
сел в кружках, звучит так:
Если оба кружка находятся над или под множителями, то
мы прибавляем их произведение к промежуточному ре
зультату. Когда один из кружков располагается над мно
жителями, а другой – под ними, мы вычитаем произведе
ние чисел в кружках из промежуточного результата.
Говоря математическим языком, когда мы перемножаO
ем два положительных (с плюсом) числа, то получаем поO
ложительное (с плюсом) число в ответе. Когда перемножаO
ем два отрицательных (с минусом) числа, мы также полуO
чаем положительное (с плюсом) число. Когда же умножаO
ем положительное (с плюсом) число на отрицательное
(с минусом), мы получаем отрицательное (с минусом) число.
Применим ли наш метод к произведению 8 × 45?
Попробуем проверить. Возьмем в качестве опорного
число 10. 8 меньше 10 на 2, а 45 – на 35 больше.
10

+ 35
8 × 45 =
– 2

Отнимаем 2 от 45 или прибавляем 35 к 8. 45 минус 2 дает
43; умножаем на опорное число 10, получаем 430. Минус 2,
умноженное на 35, дает 70. Чтобы вычесть 70 из 430, отниO
33

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

маем сначала 100, что даст нам 330, и прибавляем 30, поO
лучив в итоге 360.
10

+ 35
8 × 45 = 430 – 70 = 360
– 2
30

ÎÒÂÅÒ

Значит ли это, что можно вовсе не учить таблицу умноO
жения? Нет, я просто предлагаю другой способ ее запомиO
нания. После того как вы десять или более раз вычислили,
что 7 на 8 дает 56, а 13 на 14 равно 182, вам больше не надо
будет этого делать: ответ сам врежется в память. Это горазO
до более продуктивный способ, чем простая зубрежка.
Мы все еще не закончили с умножением, однако сделаO
ем перерыв и посвятим некоторое время закреплению тоO
го, что изучили до сих пор. Если решение некоторых задаO
ний поOпрежнему представляет для вас трудность, не пеO
реживайте: у нас впереди еще очень много примеров.
В следующей главе мы рассмотрим простой метод проO
верки получаемых ответов.

34

Глава 4
Ïðîâåðêà îòâåòîâ:
÷àñòü ïåðâàÿ
Вы хотели бы решать правильно все без исключения заO
дачи в любой школьной контрольной? Хотелось бы вам
приобрести репутацию человека, который никогда не доO
пускает ошибок в вычислениях? Если да, то я научу вас,
как обнаружить и исправить ошибку еще до того, как ктоO
нибудь заметит ваш промах.
Я часто говорю своим ученикам, что в математике недоO
статочно вычислить ответ; задача не является решенной до
тех пор, пока вы не сделали проверку полученного ответа.
Я не разрабатывал метода проверки ответов, который
собираюсь вам предложить. Математики знают о нем уже,
наверное, тысячу лет, но дело в том, что он по какойOто
причине не был включен в школьную программу в больO
шинстве стран.
В детстве я, бывало, допускал массу ошибок в вычислеO
ниях чисто по оплошности. Я знал, как решать задачи, и
делал все правильно. Но ответ все равно получался неверO
ным. Я то забывал перенести разряд, то по невнимательO
ности записывал неверные числа и еще бог весть по какой
причине допускал досадные ошибки.
Учителя и родители постоянно напоминали мне, что я
всегда должен перепроверять свои решения. Но единO
ственный известный мне способ сделать это – решить заO
дачу заново. Однако если ответ получался другой, откуда
мне было знать, в каком случае он являлся правильным?
Быть может, задачу я решил верно именно в первый раз, а
35

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

при повторном решении допустил ошибку? Поэтому приO
ходилось решать задачу в третий раз. Если два ответа из трех
сходились, то это, как я рассуждал, вероятно, и был праO
вильный ответ. А что, если я простоOнапросто дважды доO
пустил одну и ту же ошибку? Мне посоветовали решать заO
дачу двумя различными способами. Это был дельный соO
вет. Однако на контрольных никому не дают времени на
то, чтобы трижды решить одно и то же задание. Если бы
ктоOнибудь в то время научил меня тому, чему я собираO
юсь научить вас, я бы, наверное, прослыл математическим
гением.
Мне досадно, что этот метод был известен в те времена,
но никто меня ему не научил. Он называется суммироваO
нием цифр числа, или выбрасыванием девяток. Ниже
описано, как он работает.

×èñëà-ïîäñòàíîâêè
Чтобы проверить, верный ли получен ответ, мы исO
пользуем числаOподстановки вместо тех, которые задейO
ствованы в примере. Запасные в футбольной или баскетO
больной команде служат для подмены игроков во время
матча. Нечто подобное мы будем делать и с числами, найO
дя для них подходящих «запасных». Последние помогут
нам проверить, к правильному ли ответу мы пришли с осO
новными числами в задаче.
Рассмотрим это на примере. Допустим, что вы только
что перемножили 13 и 14 и получили 182. Надо проверить,
правильный ли это ответ.
13 × 14 = 182

Сначала у нас идет число 13. Найдем сумму его цифр и
получим первую подстановку:
1+3=4
36

Ãëàâà 4. Ïðîâåðêà îòâåòîâ: ÷àñòü ïåðâàÿ

4 становится подстановкой для 13.
Следующим числом идет 14. Найдем и ему подстановO
ку, для чего сложим его цифры:
1+4=5

5 служит подстановкой для 14.
Теперь выполним умножение, используя вместо исходO
ных чисел подстановки:
4 × 5 = 20

20 – это опять двузначное число, поэтому сложим и его
цифры и получим наше контрольное число, которое поO
может нам определить правильность ответа:
2+0=2

2 – это контрольное число, служащее для определения
правильности ответа.
Если мы верно решили исходный пример, тогда сумма
цифр ответа должна совпасть с контрольным числом.
Складываем цифры исходного полученного ответа:
1 + 8 + 2 = 11

11 – это двузначное число, а нам нужно однозначное,
поэтому сложим и его цифры:
1+1=2

2 – это тоже числоOподстановка, но на этот раз для проO
веряемого ответа. Поскольку оно совпало с контрольным
числом, пример решен правильно.
Попробуем еще раз, взяв произведение 13 × 15:
13 × 15= 195
1 + 3 = 4 (ïîäñòàíîâêà äëÿ 13)
1 + 5 = 6 (ïîäñòàíîâêà äëÿ 15)
4 × 6 = 24

24 – двузначное число; для получения однозначного
сложим его цифры:
37

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

2+4=6

6 – наше контрольное число.
Теперь, чтобы проверить, правильно ли мы решили
пример, сложим цифры исходного полученного ответа.
1 + 9 + 5 = 15

Превратим 15 в однозначное число:
1+5=6

Поскольку данный ответ совпадает с контрольным чисO
лом, можно быть уверенными, что мы не допустили ошибO
ки в решении исходного примера.

Âûáðàñûâàíèå äåâÿòîê
Есть способ, который позволяет еще больше сократить
по времени данную процедуру. Когда бы нам ни встречаO
лось число 9 в наших вычислениях в ходе проверки, можO
но смело его вычеркивать. В случае предыдущего полуO
ченного ответа – 195, – вместо того чтобы находить сумму
1 + 9 + 5, мы могли просто вычеркнуть 9 и складывать уже
только 1 + 5, что дало бы в итоге 6. Это никак не сказываO
ется на результате, но позволяет избежать лишней работы
и сэкономить время. Такие вещи мне всегда по душе.
А как насчет ответа на первый решенный пример – 182?
Мы складывали 1 + 2 + 8, получили 11, а затем сложили
1 + 1 и получили контрольное число 2. В числе 182 две цифO
ры дают в сумме 9: 1 и 8. Просто вычеркните их, и в резульO
тате у вас получится требуемое число 2. И делать ничего не
надо.
Решим еще один пример, чтобы посмотреть, как рабоO
тает метод:
167 × 346 = 57782
1 + 6 + 7 = 14
1+4=5
38

Ãëàâà 4. Ïðîâåðêà îòâåòîâ: ÷àñòü ïåðâàÿ

С первым числом никакого фокуса не получилось. 5 явO
ляется подстановкой для 167.
3+4+6=

Сразу замечаем, что 3 + 6 = 9, поэтому вычеркиваем 3 и
6, как будто их и не было. Остается 4, которое является
подстановкой для числа 346.
Имеются ли девятки или цифры, дающие в сумме 9, в
ответе примера, который мы, собственно, и проверяем?
Да, есть: 7 + 2 = 9, поэтому вычеркиваем эти цифры. ОсO
тальные складываем: 5 + 7 + 8 = 20. Затем 2 + 0 = 2. Это
число, служащее подстановкой для ответа.
Я обычно записываю числаOподстановки карандашом
над или под множителями в примере. Это могло бы выгляO
деть следующим образом:
167 × 346 = 57782
5
4
2

Итак, правильный ли ответ был получен?
Перемножаем числаOподстановки: 5 на 4 дает 20. Сумма
цифр в числе 20 равна 2 (2 + 0 = 2). Мы получили число,
равное контрольному, поэтому ответ является верным.
Рассмотрим еще пример:
456 × 831 = 368936

Запишем под множителями числаOподстановки:
456 × 831 = 368936
6
3
8

Это не составило труда, поскольку мы вычеркнули 4 и 5
из первого множителя, и у нас осталось 6; затем мы вычеркO
нули 8 и 1 из второго множителя, и у нас осталось 3; и поO
том нам удалось вычеркнуть почти все цифры в ответе.
Теперь посмотрим, что дают нам числаOподстановки.
6 на 3 равно 18, цифры которого в сумме дают 9, которое
39

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

тоже можно вычеркнуть. Остается 0. Контрольным же
числом у нас является 8. Значит, мы гдеOто допустили
ошибку.
Заново решив пример, получаем 378936.
Правильный ли ответ мы получили на этот раз? 936
можно вычеркнуть, после чего складываем первые три
цифры: 3 + 7 + 8 = 18, что в сумме дает 9, от которого тоже
остается 0, поэтому его можно выбросить. Имеет место
совпадение с контрольным числом, значит, на сей раз отO
вет получен верный.
Доказывает ли метод выбрасывания девяток, что мы
получили верный ответ? Нет, но мы можем быть почти
уверены в правильности ответа (см. главу 16). Например,
предположим, что мы получили в ответе последнего приO
мера 3789360, по ошибке добавив лишний нуль в его конO
це. Он не отразится на проверке при выбрасывании девяO
ток, и мы не сможем определить, допущена ошибка или
нет. Однако в тех случаях, когда использование метода
указывает на ошибку, мы можем быть абсолютно уверены,
что это так.
Выбрасывание девяток является простым и быстрым
способом проверки, который позволяет легко обнаружиO
вать ошибки. Метод поможет вам безошибочно решать
контрольные по математике, можете быть уверены.

Êàêèì îáðàçîì ðàáîòàåò
äàííûé ìåòîä?
Загадайте число и умножьте его на 9. Сколько будет 4 на
9? 36. Сложим цифры этого числа (3 + 6), и в результате
получится 9.
Попробуем с другим числом. 3 на 9 равно 27. Сложим
цифры (2 + 7), и у нас получится снова 9.
40

Ãëàâà 4. Ïðîâåðêà îòâåòîâ: ÷àñòü ïåðâàÿ

11 на 9 дает 99. 9 плюс 9 равно 18. Неверный ответ? Не
так быстро. 18 – двузначное число, поэтому опять слоO
жим цифры: 1 + 8. Снова в ответе получается 9.
Если умножить любое число на 9, сумма полученного
числа всегда даст 9, если продолжать складывать цифры,
пока не получится однозначное число. Это простой споO
соб узнать, делится ли число на 9 без остатка.
Если цифры числа дают в сумме 9 или число, кратное
ему, значит, само число без остатка делится на 9. Вот поO
чему, если умножить любое число на 9 или число, кратное
ему, цифры числа, полученного в результате умножения,
должны давать в сумме 9 (пока не получится однозначное
число). Например, вам необходимо проверить, правильно
ли решен следующий пример:
135 × 83615 = 11288025

Сложим цифры первого множителя:
1+3+5=9

Чтобы проверить ответ, не нужно складывать цифры
второго множителя (83615), поскольку нам известно, что
сумма цифр числа 135 дает 9. Если ответ верен, его цифры
также должны давать в сумме 9.
Найдем сумму цифр ответа:
1+1+2+8+8+0+2+5=

Можно вычеркнуть 8 + 1 дважды, остается 2 + 2 + 5, что
дает 9. Итак, проверка показала, что ответ верен.
Можно обнаружить и другие интересные вещи.
Если цифры числа дают в сумме отличное от 9 число,
тогда оно является тем остатком, который вы получите в
результате деления исходного числа на 9.
Возьмем, к примеру, 14. 1 плюс 4 дает 5. Итак, 5 – это
сумма цифр числа 14. Это остаток, который вы получите,
если разделите 14 на 9. Проверим: 14 один раз делится на
41

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

9, а остаток составляет 14 – 9, что дает 5. Если прибавите 3
к числу, вы прибавите 3 к остатку от деления этого числа
на 9. Если удвоить число, опятьOтаки, удвоится остаток.
Иными словами, что бы вы ни делали с числом, вы делаете
это с остатком от деления на 9, поэтому такие остатки моO
гут служить числамиOподстановками.
Почему мы используем остатки от деления на 9? Разве
нельзя использовать остатки от деления, например, на 17?
Конечно, можно, однако деление на 17 представляет соO
бой такое хлопотное дело, что проверка правильности поO
лученного ответа в итоге окажется сложнее, чем сама задаO
ча. Мы выбираем число 9, поскольку существует простой
способ для определения остатка от деления на него.
Более подробно о том, почему данный метод работает,
вы узнаете в приложении Д.

42

Глава 5
Óìíîæåíèå:
÷àñòü âòîðàÿ
В главе 1 мы узнали, как перемножать числа, используя
простой метод, превращающий эту операцию в незатейO
ливое занятие. Он легок в применении, когда множители
являются числами, расположенными недалеко от 10 или
100. А как насчет перемножения чисел, находящихся
вблизи 30 или 60? Можно ли и для них использовать изуO
ченный метод? Безусловно.
Мы выбирали числа 10 и 100 в качестве опорных, поO
скольку на них легко умножать. Метод будет прекрасно
работать и с другими опорными числами, однако надо стаO
раться выбирать те из них, на которые легко умножать.

Óìíîæåíèå ïî ìíîæèòåëÿì
Легко умножать на 20, поскольку 20 равно 2 × 10, на коO
торые умножать очень легко. Речь идет об умножении по
множителям, а 10 и 2 являются множителями числа 20.
10 × 2 = 20

Рассмотрим пример:
23 × 24 =

23 и 24 больше, чем опорное число 20, поэтому рисуO
ем кружки над множителями. Больше, но на сколько? На
3 и 4 соответственно. Вписываем эти числа в соответO
ствующие кружки, которые мы нарисовали вверху, потоO
му что речь идет о положительных числах (23 = 20 + 3,
24 = 20 + 4).
43

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

20

+ 3 + 4
23 × 24 =

Складываем накрест, как раньше:
23 + 4 = 27 èëè 24 + 3 = 27

Теперь умножим полученный ответ на опорное число 20.
Для этого умножим сначала на 2, а потом на 10:
27 × 2 = 54
54 × 10 = 540

(Позднее в этой же главе мы рассмотрим простой споO
соб умножения 27 на 2.) В остальном все то же самое. ПеO
ремножаем числа в кружках и прибавляем к промежуточO
ному результату 540.
3 × 4 = 12
540 + 12 = 552

Полностью решенный пример выглядит так:
20

+ 3 + 4
23 × 24 = 27
540
+12
552

ÎÒÂÅÒ

Ïðîâåðêà îòâåòîâ
Применим то, чему мы научились в главе 4, чтобы проO
верить, верный ли получили ответ:
23 × 24 = 552
5612
3

ЧисламиOподстановками для 23 и 24 будут 5 и 6 соотO
ветственно.
5 × 6 = 30
44

Ãëàâà 5. Óìíîæåíèå: ÷àñòü âòîðàÿ

3+0=3

3 – это наше контрольное число.
Цифры исходного ответа (552) дают в сумме 3:
5 + 5 + 2 = 12
1+2=3

Полученное число равно контрольному, значит, ответ
мы получили верный.
Попробуем решить еще один пример:
23 × 31 =

Пишем 3 и 11 в кружках над 23 и 31, поскольку наши
множители больше опорного числа 20 на 3 и 11 соответO
ственно.
20

+ 3 + 11
23 × 31 =

Складывая накрест, получаем 34:
31 + 3 = 34 èëè 23 + 11 = 34

Умножаем полученный ответ на опорное число 20. Для
этого сначала умножим 34 на 2, а то, что получится, –
на 10.
34 × 2 = 68
68 × 10 = 680

Это наш промежуточный ответ. Теперь перемножаем
числа в кружках:
3 × 11 = 33

Прибавим 33 к 680:
680 + 33 = 713

Полностью решенный пример выглядит следующим
образом:
45

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

20

+ 3 + 11
23 × 31 = 34
680
+33
713

ÎÒÂÅÒ

Проверку ответа осуществляем с помощью выбрасываO
ния девяток.
23 × 31 = 713
5411
2

Перемножим числаOподстановки, а затем суммируем
цифры ответа:
5 × 4 = 20
2+0=2

Это совпадает с нашим контрольным числом, поэтому
713 можно считать верным ответом.
Вот несколько примеров, которые предлагаются вам
для самостоятельного решения. Когда закончите, проO
верьте полученные вами ответы выбрасыванием девяток.
a) 21 × 26 =
ã) 23 × 27 =

á) 24 × 24 =
ä) 21 × 36 =

â) 23 × 23 =
å) 26 × 24 =

Вы должны уметь решать эти примеры в уме. Это неO
трудно, если немного попрактиковаться.

Óìíîæåíèå ÷èñåë ìåíüøå 20
А как насчет перемножения чисел, которые меньше 20?
Если они (или хотя бы одно из них) больше 15, но меньше
20, можно использовать 20 в качестве опорного числа.
Решим пример:
19 × 16 =
46

Ãëàâà 5. Óìíîæåíèå: ÷àñòü âòîðàÿ

Взяв 20 в качестве опорного числа, получим:
20

19 × 16 =
– 1 – 4

Вычитаем накрест:
16 – 1 = 15 èëè 19 – 4 = 15

Умножаем на 20:
15 × 2 = 30
30 × 10 = 300

300 является нашим промежуточным ответом.
Теперь перемножим числа в кружках и прибавим реO
зультат к промежуточному ответу:
1×4=4
300 + 4 = 304

Полностью решенный пример выглядит так:
20

19 × 16 = 15
– 1 – 4

300
+4
304

ÎÒÂÅÒ

Попробуем решить тот же пример, взяв на этот раз 10 в
качестве опорного числа:
10

+ 9 + 6
19 × 16 =

Сложим накрест, а затем умножим результат на 10, поO
лучив промежуточный ответ:
19 + 6 = 25
10 × 25 = 250

Перемножим числа в кружках и прибавим результат к
промежуточному ответу:
9 × 6 = 54
47

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

250 + 54 = 304

Полностью решенный пример выглядит следующим
образом:
10

+ 9 + 6
19 × 16 = 250
+54
304

ÎÒÂÅÒ

Это подтверждает ранее полученный результат.
Большой разницы между двумя использованными
опорными числами нет. Это вопрос личных предпочтеO
ний. Просто выбирайте то опорное число, с которым вам
легче работать.

×èñëà áîëüøå è ìåíüøå 20
Третий случай – это когда одно число больше, а другое
меньше 20. Например:
20

+ 12
18 × 32 =
– 2

Можно либо сложить 18 и 12, либо вычесть 2 из 32, а заO
тем умножить результат на опорное число:
32 – 2 = 30
30 × 20 = 600

Теперь перемножаем числа в кружках:
2 × 12 = 24

На самом деле мы перемножаем минус 2 и 12, поэтому
ответом будет –24.
600 – 24 = 576

Решение примера выглядит следующим образом:
48

Ãëàâà 5. Óìíîæåíèå: ÷àñòü âòîðàÿ

20

+ 12
18 × 32 = 30
– 2
600 – 24 = 576
+ 6

(Чтобы отнять 24, вычитаем сначала 30, а затем прибавO
ляем 6.)
Проверим ответ путем выбрасывания девяток:
18 × 32 = 576
9
5
18
0
0

Произведение 0 × 5 равно 0, поэтому ответ верен.

Óìíîæåíèå åùå áîëüøèõ ÷èñåë
В предыдущем разделе речь шла о способе перемножеO
ния пар чисел вплоть до 30 × 30. Как быть, если надо переO
множить числа еще большей величины? В этом случае в каO
честве опорного числа можно использовать 50. Умножать
на него легко, поскольку 50 – это половина 100, или 100, деO
ленное на 2. Поэтому, чтобы умножить на 50, можно умноO
жить число сначала на 100, а затем разделить результат на 2.
Давайте попробуем на примере:
50

46 × 48 =
– 4 – 2

Вычитаем накрест:
46 – 2 = 44 èëè 48 – 4 = 44

Умножим 44 на 100:
44 × 100 = 4400

Про себя проговариваем при этом так: «44 на 100 равно
4400». Теперь берем половину, что равносильно умножеO
нию 44 на 50, и получаем 2200.
49

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

4400 : 2 = 2200

Теперь перемножим числа в кружках и прибавим реO
зультат к 2200:
4×2=8
2200 + 8 = 2208

50

46 × 48 = 4400
– 4 – 2

2200
+8
2208

ÎÒÂÅÒ

Что может быть проще? Разберем еще один пример:
53 × 57 =

50

+ 3 + 7
53 × 57 =

Складываем накрест, затем умножаем результат на
опорное число (умножаем при этом на 100, а затем делим
на 2):
57 + 3 = 60
60 × 100 = 6000
6000 : 2 = 3000

Перемножаем числа в кружках и прибавляем результат
к 3000:
3 × 7 = 21
3000 + 21 = 3021

Полностью решенный пример теперь выглядит так:
50

+ 3 + 7
53 × 57 = 6000
3000
+21
3021

Решим следующий пример:
50

ÎÒÂÅÒ

Ãëàâà 5. Óìíîæåíèå: ÷àñòü âòîðàÿ

52 × 63 =

50

+ 2 + 13
52 × 63 =

Складываем накрест и умножаем результат на опорное
число (умножаем сначала на 100, а затем делим результат
на 2):
63 + 2 = 65
65 × 100 = 6500

Теперь надо разделить на 2.
Никаких проблем! Говорим про себя: «Половина от
шести тысяч – это три тысячи. Половина от пятисот – это
двести пятьдесят. Всего получается три тысячи двести
пятьдесят».
Теперь перемножим числа в кружках:
2 × 13 = 26

Прибавив 26 к промежуточному результату 3250, получаO
ем 3276. Полностью решенный пример теперь выглядит так:
50

+ 2 + 13
52 × 63 = 6500
3250
+26
3276

ÎÒÂÅÒ

Проверим правильность ответа выбрасыванием девяO
ток:
52 × 63 = 3276
7
0
0

6 плюс 3 в множителе 63 равно 9, которое вычеркиваетO
ся, оставляя после себя 0.
В ответе 3 + 6 = 9 и 2 + 7 = 9, то есть вычеркиваются все
цифры. 7, умноженное на 0, дает 0, так что ответ верен.
51

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

Предлагаю ряд примеров для самостоятельного решеO
ния. Попробуйте решить в уме столько примеров, сколько
сможете.
a) 46 × 42 =
â) 46 × 47 =
ä) 51 × 55 =
æ) 51 × 68 =

á) 47 × 49 =
ã) 44 × 44 =
å) 54 × 56 =
ç) 51 × 72 =

Ответы:
a) 1932
â) 2162
ä) 2805
æ) 3468

á) 2303
ã) 1936
å) 3024
ç) 3672

Как вы справились с заданием? Если вы достаточно упO
ражнялись до этого, то у вас не должно было возникнуть
проблем с их решением в уме. Проверьте полученные отO
веты путем выбрасывания девяток.

Óäâîåíèå è äåëåíèå ïîïîëàì
Чтобы использовать 20 и 50 в качестве опорных чисел,
необходимо уметь без проблем удваивать числа и делить
их пополам.
Иногда, когда нам, например, приходится делить попоO
лам двузначное число, у которого число десятков является
нечетным, ответ не напрашивается сам собой. К примеру:
78 : 2 =

Чтобы разделить пополам 78, вы могли бы 70 разделить
на 2, потом 8, а затем сложить полученные результаты. Но
есть способ еще проще.
78 = 80 – 2. Половина от 80 – 2 равняется 40 – 1. Это и
есть ответ:
52

Ãëàâà 5. Óìíîæåíèå: ÷àñòü âòîðàÿ

40 – 1 = 39

Чтобы удвоить 38, мысленно представьте это число в
виде 40 – 2. Удвоенная величина будет 80 – 4, то есть 76.
Попробуйте сами решить следующие примеры:
a) 38 × 2 =
ã) 68 × 2 =

á) 29 × 2 =
ä) 39 × 2 =

â) 59 × 2 =
å) 47 × 2 =

á) 58
ä) 78

â) 118
å) 94

Ответы:
a) 76
ã) 136

А теперь решите такие примеры:
a) 38 : 2 =
â) 78 : 2 =
ä) 34 : 2 =
æ) 18 : 2 =

á) 56 : 2 =
ã) 94 : 2 =
å) 58 : 2 =
ç) 76 : 2 =

Ответы:
a) 19
â) 39
ä) 17
æ) 9

á) 28
ã) 47
å) 29
ç) 38

Этот же подход может быть использован для умножеO
ния и деления довольно больших чисел на 3 и 4. К приO
меру:
19 × 3 = (20 – 1) × 3 = 60 – 3 = 57
38 × 4 = (40 – 2) × 4 = 160 – 8 = 152

×èñëà 200 è 500 â êà÷åñòâå îïîðíûõ
Если перемножаемые числа близки либо к 200, либо к
500, вычисления не представляют особого труда, поскольку
и 200, и 500 легко использовать в качестве опорных чисел.
53

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

Как, например, нам найти произведение 216 × 216?
Если использовать 200 в качестве опорного, пример реO
шается легко, в том числе и в уме:
16
16
216 × 216 =

200

216 + 16 = 232
232 × 200 = 46400
(232 × 2 = 464, 464 × 100 = 46400)
16 × 16 =

Вычисляем 16 × 16, взяв 10 в качестве опорного числа.
6
6
16 × 16 = 256

10

46400 + 256 = 46656 ÎÒÂÅÒ

А как насчет 512 × 512?
500

12
12
512 × 512 =

512 + 12 = 524

512 × 500 равно произведению 524 × 1000, деленному
на 2.
524 × 1000 = 524000, или 524 тысячи.
Половина от 524 тысяч равняется 262 тысячам.
Для деления 524 тысяч пополам можно разбить его на
500 тысяч и 24 тысячи. Половину обоих чисел легко выO
числить в уме. Половина от 500 тысяч равна 250 тысячам.
Половина от 24 тысяч равна 12 тысячам. 250 тысяч плюс
12 тысяч дает 262 тысячи.
Теперь перемножим числа в кружках:
12 × 12 = 144
262000 + 144 = 262144 ÎÒÂÅÒ
54

Ãëàâà 5. Óìíîæåíèå: ÷àñòü âòîðàÿ

Óìíîæåíèå ìåíüøèõ ÷èñåë
Попробуем найти произведение 6 × 4:
10

6 × 4 =
– 4 – 6

Мы используем в качестве опорного число 10. Кружки
рисуем ниже множителей, потому что и 6, и 4 меньше 10.
Вычитаем накрест:
6 – 6 = 0 èëè 4 – 4 = 0

Теперь перемножим числа в кружках:
4×6=

Мы вернулись к исходной задаче (6 × 4). Метод как будO
то бы ничем нам не помог. Можно ли заставить его рабоO
тать и для таких случаев? Можно, но для этого необходимо
использовать другое опорное число. Попробуем взять в
качестве такового число 5. 5 – это 10, деленное на 2, или
половина 10. Умножение на 5 проще всего производить
путем умножения на 10 и деления результата на 2.
5

+ 1
6 × 4 =
– 1

6 больше 5, поэтому для него рисуем кружок выше.
4 меньше 5, поэтому для него кружок рисуется ниже.
6 больше 5 на 1, как и 4 меньше 5 на 1, поэтому вписываем
1 в каждый из кружков.
Накрест складываем 4 и 1 или вычитаем 1 из 6:
6 – 1 = 5 èëè 4 + 1 = 5

Умножаем 5 на опорное число, которое тоже равно 5.
Для этого умножаем сначала на 10, что дает нам 50, а заO
тем делим результат на 2, получая 25. Теперь перемножаем
числа в кружках:
55

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

1 × –1 = –1

Поскольку результат является отрицательным числом,
мы вычитаем его из промежуточного ответа, а не прибавO
ляем к нему:
25 – 1 = 24

Таким образом:
5

+ 1
6 × 4 = 5
– 1

25 – 1 = 24

ÎÒÂÅÒ

Это очень длинный и громоздкий способ перемножеO
ния небольших чисел, но он показывает, что данный меO
тод можно заставить работать во всех случаях, проявив неO
много изобретательности. Более того, подобные подходы
помогают развить способность к латеральному мышлеO
нию, которое очень важно для математика и вообще для
любого человека, если он желает добиться в жизни успеха.
Разберем еще один пример, даже если вы хорошо знаеO
те таблицу умножения:
5

4 × 4 =
– 1 – 1

Вычитаем накрест:
4–1=3

Умножим результат на опорное число:
3 × 10 = 30
30 : 2 = 15

Теперь перемножим числа в кружках:
1×1=1

Прибавим этот результат к промежуточному ответу:
15 + 1 = 16
56

Ãëàâà 5. Óìíîæåíèå: ÷àñòü âòîðàÿ

Таким образом:
5

4 × 4 = 30
– 1 – 1
15
+1
16

ÎÒÂÅÒ

Попробуйте решить следующие примеры самостояO
тельно:
a) 3 × 4 =
ã) 3 × 6 =

á) 3 × 3 =
ä) 3 × 7 =

â) 6 × 6 =
å) 4 × 7 =

á) 9
ä) 21

â) 36
å) 28

Ответы:
a) 12
ã) 18

Уверен, что решение данных примеров не представило
для вас ни малейших проблем. Я не считаю, что это наиO
лучший способ выучить таблицу умножения для малых
чисел. Думаю, что проще всего – это выучить ее. Но некоO
торые люди желают знать, как перемножать небольшие
числа с помощью данного метода, чтобы проверить его
универсальность. Другим это может понравиться потому,
что они будут уверены, что, даже если они и забудут таблиO
цу умножения, существует простой способ вычислить треO
буемое произведение. Кроме того, даже если вы знаете
таблицу умножения наизусть, иногда бывает полезным и
занимательным поиграть в подобные игры и поэкспериO
ментировать с числами.

Óìíîæåíèå íà 5
Как мы видели, чтобы умножить на 5, можно умножить
сначала на 10, а потом результат поделить пополам. 5 равO
но половине от 10. Чтобы умножить 6 на 5, можно умноO
57

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

жить 6 на 10, что даст 60, а затем разделить результат попоO
лам, получая в ответе 30.
Попробуйте самостоятельно:
a) 8 × 5 =
â) 2 × 5 =

á) 4 × 5 =
ã) 6 × 5 =

Ответы:
a) 40
â) 10

á) 20
ã) 30

А вот как следует поступать, когда число десятков неO
четное. Умножим 7 на 5:
7 × 10 = 70

Если вам трудно сходу разделить 70 пополам, предO
ставьте его как сумму: 60 + 10. Ее половина равна 30 + 5,
что составляет 35.
Рассмотрим еще один пример:
9×5=

9 умножить на 10 равно 90. 90 можно представить как
80 + 10. Половина от 80 + 10 равна 40 + 5, так что ответ – 45.
Решите самостоятельно:
a) 3 × 5 =
â) 9 × 5 =

á) 5 × 5 =
ã) 7 × 5 =

Ответы:
a) 15
â) 45

á) 25
ã) 35

Это простой способ усвоения таблицы умножения для
числа 5. И он работает для любых чисел, умножаемых на 5.
Например:
14 × 5 =
14 × 10 = 140, à 140 ïðè äåëåíèè íà 2 äàåò 70.
58

Ãëàâà 5. Óìíîæåíèå: ÷àñòü âòîðàÿ

Аналогичным образом:
23 × 5 =
23 × 10 = 230
230 = 220 + 10
Ïîëîâèíà îò 220 + 10 ðàâíà 110 + 5
110 + 5 = 115

Все эти вычисления гораздо быстрее выполняются в
уме после некоторой тренировки.

59

Глава 6
Ïðîèçâåäåíèå
äåñÿòè÷íûõ äðîáåé
Числа состоят из цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Цифры
подобны буквам, из которых мы составляем слова. 23 –
это двузначное число, состоящее из цифр 2 и 3. ПоложеO
ние цифры в числе определяет разряд, соответствующий
этой цифре. Например, цифра 2 в числе 23 соответствует
разряду десятков и обозначает 2 десятка, а цифра 3 – разO
ряду единиц и обозначает 3 единицы. 435 – это трехзначO
ное число. Цифра 4 соответствует разряду сотен и обознаO
чает 4 сотни, или 400. Цифра 3 соответствует числу десятO
ков и обозначает 3 десятка, или 30. Цифра 5 соответствует
числу единиц и обозначает 5 единиц, или просто 5. Когда
мы записываем число, порядок, в котором в нем располоO
жены цифры, имеет немаловажное значение.
Когда мы записываем цену, или число, соответствующее
количеству денег, мы используем десятичную запятую, чтобы
отделить доллары от центов. Например, 1,25 доллара обознаO
чает 1 доллар и 25 сотых доллара (25 центов). Первая цифра
после запятой обозначает десятые доллара (10 монет по
10 центов составляют 1 доллар). Вторая цифра после запятой
обозначает сотые доллара (100 центов составляют 1 доллар).
Перемножение десятичных дробей* не более сложная
операция, чем перемножение любых других чисел. РасO
смотрим на примерах.
* Десятичная дробь – представление числа в виде целой части и любого требуеO
мого количества разрядов после десятичной запятой. Например: 3,14566780808. –
Прим. перев.

60

Ãëàâà 6. Ïðîèçâåäåíèå äåñÿòè÷íûõ äðîáåé

Например:
1,3 × 1,4 =

(1,3 – одна целая и три десятых; 1,4 – одна целая и чеO
тыре десятых.)
Записываем пример как есть, однако не обращаем вниO
мания на запятые:
10

+ 3 + 4
1,3 × 1,4 =

Хотя мы и записали 1,3 × 1,4, пример будем решать так,
будто он выглядит следующим образом:
13 × 14 =

Забудьте про запятую и скажите про себя: «Тринадцать
плюс четыре равно семнадцать… умножим на десять… сто
семьдесят. Четырежды три – двенадцать… плюс сто семьO
десят… сто восемьдесят два».
Решение примера выглядит так:
10

+ 3 + 4
1,3 × 1,4 = 170
+12
182

ÎÒÂÅÒ

Однако нашим искомым произведением являлось
1,3 × 1,4, а мы пока вычислили только 13 × 14. Пример реO
шен не до конца. Нам необходимо выяснить, где располоO
жить десятичную запятую в полученном ответе. Чтобы это
сделать, посмотрим на множители и отсчитаем количестO
во цифр после запятой. Имеются две цифры после запяO
той: 3 в числе 1,3 и 4 в числе 1,4. Поскольку имеем в сумме
две цифры после запятой в множителях, в ответе также
должно быть две цифры после запятой. Отсчитываем две
цифры с конца и ставим запятую между цифрами 1 и 8.
61

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

1,82 ÎÒÂÅÒ

Простым способом проверки полученного ответа являO
ется оценка приближением. Это означает, что вместо того,
чтобы использовать исходные числа (1,3 и 1,4), мы округO
лим их до 1 и 1,5 соответственно. Произведение 1 × 1,5 дает
1,5. Таким образом, искомый ответ должен находиться
гдеOто между 1 и 2, а не, скажем, 20 или 200. Это дает нам
понять, что мы правильно определили место десятичной
запятой.
Попробуем решить такой пример:
9,6 × 97 =

Запишем задачу так, как она поставлена, однако будем
считать, что речь идет о числах 96 и 97.
100

9,6 × 97 =
– 4 – 3

96 – 3 = 93
93 × 100 (îïîðíîå ÷èñëî) = 9300
4 × 3 = 12
9300 + 12 = 9312

Где нам поставить десятичную запятую? Сколько всего
цифр после запятой имеется в множителях примера? Одна.
Столько же цифр после запятой должно быть и в ответе.
931,2 ÎÒÂÅÒ

Для того чтобы определить, где поставить десятичную
запятую, мы должны подсчитать общее количество цифр
после запятой у обоих чисел, которые мы перемножаем.
Не забудьте проследить, чтобы такое же число цифр посO
ле запятой было и в ответе. Можно дополнительно проO
верить ответ, умножив 10 (округленное значение числа
9,6 в сторону увеличения) на 90 (округленное значение
числа 97 в сторону уменьшения), что дает 900. Теперь мы
62

Ãëàâà 6. Ïðîèçâåäåíèå äåñÿòè÷íûõ äðîáåé

знаем, что ответ должен быть гдеOто в районе числа 900, а
не 9000 или 90.
Если бы требовалось перемножить 9,6 и 9,7, мы полуO
чили бы в ответе 93,12. Данный факт может помочь нам
найти пути еще большего упрощения вычислений, котоO
рые иначе были бы не так очевидны. Мы скоро рассмотO
рим эти возможности. А сейчас попробуйте решить самоO
стоятельно следующие примеры:
a) 1,3 × 1,3 =
ã) 96 × 0,97 =

á) 1,4 × 1,4 =
ä) 0,96 × 9,6 =

â) 14 × 0,14 =
å) 13 × 1,5 =

á) 1,96
ä) 9,216

â) 1,96
å) 19,5

Ответы:
a) 1,69
ã) 93,12

Предположим, что вам надо было бы решить следуюO
щий пример:
0,13 × 0,14 =

Вспомним, что:
13 × 14 = 182

Где нам поставить запятую? Сколько всего цифр после
запятой у обоих множителей? Четыре: цифры 1 и 3 в перO
вом множителе и цифры 1 и 4 во втором. Стало быть, неO
обходимо отсчитать четыре цифры в ответе, начиная с
конца. Нам придется добавить одну цифру, поскольку у
нас получился трехзначный ответ (182). Поэтому отсчитыO
ваем три цифры и добавляем 0.
Наш ответ теперь выглядит следующим образом:
0,0182 ÎÒÂÅÒ

Нам также необходимо поставить 0 и перед запятой,
поскольку перед ней всегда должна стоять хотя бы одна
63

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

цифра. В нашем случае мы добавляем 0 в качестве четверO
той цифры после запятой, а также ставим 0 перед запятой.
Рассмотрим еще один пример, чтобы закрепить усвоенO
ное:
0,014 × 1,4 =
14 × 14 = 196

Где должна стоять запятая? У множителей в сумме чеO
тыре цифры после запятой, а именно: 0, 1 и 4 – у первого
множителя и 4 – у второго. Поэтому и в ответе после запяO
той должны стоять четыре цифры. Поскольку цифр в отO
вете всего три, мы добавляем 0 в качестве четвертой цифO
ры после запятой.
Ответ таков:
0,0196 ÎÒÂÅÒ

Решите следующие примеры самостоятельно:
a) 23 × 2,4 =
â) 0,048 × 0,48 =

á) 0,48 × 4,8 =
ã) 0,0023 × 0,23 =

Легко, не так ли?
А вот ответы для контроля:
a) 55,2
â) 0,02304

á) 2,304
ã) 0,000529

Знание этого простого принципа поможет нам решить
некоторые задачи, которые могут показаться трудными,
если применить к ним изученный нами метод. После неO
которой модификации условия задачи можно значительO
но упростить решение. Рассмотрим пример:
8 × 68 =

Какое опорное число нам использовать в данном слуO
чае? Можно было бы взять 10 в качестве опорного для
множителя 8, но для 68 лучше взять 100, поскольку эти
64

Ãëàâà 6. Ïðîèçâåäåíèå äåñÿòè÷íûõ äðîáåé

числа ближе друг к другу. Может быть, попробовать 50?
Однако наш метод работает лучше, когда числа располоO
жены недалеко друг от друга. В таком случае как нам реO
шать задачу? А почему не написать 8,0 вместо 8?
Между 8 и 8,0 нет никакой разницы. Первое число (8)
означает, что мы имеем 8 единиц, а второе (8,0) – что у нас
есть 8 единиц с точностью до одного десятичного знака.
Однако этот знак, будучи нулевым, ничего ни прибавляет,
ни убавляет от целой части (8).
Итак, мы получили:
100

8,0 × 68 =
– 20 – 32

Теперь задача решается легко. Вычитаем накрест:
68 – 20 = 48

Умножаем 48 на опорное число 100 и получаем 4800.
Перемножим числа в кружках.
20 × 32 = 640

(Чтобы умножить на 20, умножаем сначала на 2, а затем
на 10, поскольку 2 × 10 = 20.)
4800 + 640 = 5440

Таким образом:
100

8,0 × 68 = 4800
– 20 – 32
+640
5440

Теперь необходимо правильно расположить десятичO
ную запятую. Сколько цифр после запятой в множителях
в условии задачи? Одна, тот нуль, что мы прибавили сами.
Таким образом, мы отсчитываем одну цифру справа в отO
вете.
65

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

544,0 ÎÒÂÅÒ

Подобное число мы обычно записываем без нуля после
запятой, то есть 544.
Попробуйте решить следующие примеры самостояO
тельно:
a) 9 × 83 =
ã) 8 × 86 =

á) 9 × 67 =
ä) 7 × 89 =

â) 9 × 77 =

Вот ответы для контроля:
a) 747
ã) 688

á) 603
ä) 623

â) 693

Решение примеров не составило труда, не так ли?
Применив немного воображения, вы сможете испольO
зовать данные подходы для решения любой задачи на умноO
жение.

66

Глава 7
Óìíîæåíèå ñ ïîìîùüþ
äâóõ îïîðíûõ ÷èñåë
Наш метод умножения прекрасно работал для чисел,
которые не очень сильно разнятся между собой по велиO
чине. В противном случае метод также работает, но выO
числения будут более громоздкими. Например, что, если
бы мы захотели вычислить, сколько будет 13 × 64? Какое
опорное число нам выбрать? В настоящей главе мы расO
смотрим простой метод, позволяющий следовать прежней
стратегии, но с использованием двух опорных чисел.
Можно перемножить два числа, которые сильно разO
нятся между собой по величине, с помощью двух опорных
чисел. Давайте сначала рассмотрим суть вопроса, а затем я
покажу, как работает метод. Возьмем произведение 8 × 27
в качестве примера. 8 ближе к 10, поэтому используем 10 в
качестве первого опорного числа. 27 ближе к 30, поэтому
30 будет нашим вторым опорным числом. Из данных чиO
сел выберем то, на которое легче всего умножать. ПоO
скольку очень легко умножать на 10, выберем его. Оно буO
дет нашим основным опорным числом. Второе опорное
число должно быть кратным основному. Число, которое
мы выбрали, является кратным основному, превышая его
в три раза (30 : 10 = 3). Вместо того чтобы рисовать кружок,
я записываю два опорных числа в скобках слева от условия
примера.
Основным опорным числом является 10. Второе опорO
ное число – это 30, или 3 × 10. Мы записываем опорные
числа в скобках в виде второго числа, выраженного через
первое, то есть:
67

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

(10 × 3)

8 × 27 =

Оба множителя в примере меньше своих опорных чиO
сел, поэтому рисуем кружки под множителями. Под цифO
рой 8, опорным числом которой является 10, нарисуем
еще один кружок.
(10 × 3)



8 × 27 =


На сколько 8 и 27 меньше своих опорных чисел (не заO
бывайте, что 3 представляет 30)? На 2 и 3. Вписываем 2 и 3
в кружки.
(10 × 3)

8 × 27 =
– 2 – 3


Теперь умножим 2, расположенное под множителем 8,
на множитель 3 в скобках.
2×3=6

Впишем 6 в самый нижний кружок, под 2. Теперь выO
чтем число в самом нижнем кружке накрест из 27:
27 – 6 = 21

Умножим 21 на основное опорное число 10:
21 × 10 = 210

210 является нашим промежуточным ответом. Чтобы
получить остальную его часть, перемножим числа в верхO
них кружках (2 и 3), что даст нам 6. Прибавим 6 к 210 и поO
лучим окончательный ответ: 216.
(10 × 3)

68

8 × 27 = 210
– 2 – 3
+6
– 6
216

ÎÒÂÅÒ

Ãëàâà 7. Óìíîæåíèå ñ ïîìîùüþ äâóõ îïîðíûõ ÷èñåë

Решим другой пример:
9 × 48 =

Какие опорные числа нам следует выбрать? 10 и 50. ЗаO
пишем пример поOновому:
(10 × 5)

9 × 48 =

Оба множителя меньше своих опорных чисел, поэтому
располагаем кружки внизу. На сколько они меньше своих
опорных чисел? На 1 и 2. Вписываем 1 и 2 в кружки:
(10 × 5)

9 × 48 =
– 1 – 2


Теперь умножим 1 под 9 на множитель 5, который в
скобках.
1×5=5

Записываем 5 в самый нижний кружок, под 1. Решение
нашего примера теперь выглядит следующим образом:
(10 × 5)

9 × 48 =
– 1 – 2
– 5

Вычтем 5 из 48:
48 – 5 = 43

Запишем 43 после знака равенства. Умножим 43 на
опорное число 10 (для этого просто припишем 0 справа к 43),
что и даст ответ.
43 × 10 = 430

В качестве последнего шага перемножим числа в двух
верхних кружках:
1×2=2
69

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

Прибавим 2 к промежуточному ответу 430:
430 + 2 = 432

Полностью решенный пример теперь выглядит так:
(10 × 5)

9 × 48 = 430
– 1 – 2
+2
– 5
432

ÎÒÂÅÒ

Просто, не так ли? Единственная трудность, с которой
вы можете столкнуться, состоит в том, чтобы вспомнить,
каким должен быть следующий шаг.
Если множители больше опорных чисел, тогда мы посO
тупаем следующим образом. Возьмем в качестве примера
произведение 13 × 42:
+ 12
+ 3 + 2
13 × 42 =
(10 × 4)

Основным опорным числом является 10. Вторым мы
взяли 40, или 10 × 4. Стараемся подобрать опорные числа
так, чтобы они были либо меньше, либо больше перемноO
жаемых чисел. Оба множителя в рассматриваемом примеO
ре больше соответствующих опорных чисел, поэтому мы
нарисовали кружки сверху. Множителю 13 соответствует
основное опорное число 10, поэтому мы рисуем над этим
множителем два кружка. На сколько больше своих опорO
ных чисел 13 и 42? На 3 и 2. Вписываем 3 и 2 в нижние
кружки. Умножаем 3 в кружке над множителем 13 на 4 в
скобках.
3 × 4 = 12

Записываем 12 в верхний кружок над 13. Теперь склаO
дываем накрест.
42 + 12 = 54
70

Ãëàâà 7. Óìíîæåíèå ñ ïîìîùüþ äâóõ îïîðíûõ ÷èñåë

Произведение 54 на опорное число 10 дает 540. Это наш
промежуточный ответ. Теперь перемножим числа в нижO
них кружках.
3×2=6

Прибавим 6 к 540, чтобы получить окончательный отO
вет: 546. Так выглядит полностью решенный пример:
+ 12
+ 3 + 2
13 × 42 = 540
(10 × 4)
+6
546

ÎÒÂÅÒ

Основным опорным числом необязательно должно
быть 10. Чтобы найти произведение 23 × 87, разумнее исO
пользовать 20 в качестве основного опорного числа, а 80
(20 × 4) – в качестве второго опорного.
Давайте закрепим усвоенное на примере:
(20 × 4)

23 × 87 =

Оба множителя в примере больше, чем их опорные чисO
ла (20 и 80), поэтому рисуем кружки вверху. На сколько
больше? На 3 и 7. Вписываем 3 и 7 в соответствующие
кружки.
+
+ 3 + 7
(20 × 4)
23 × 87 =

Умножаем 3, которое над множителем 23, на 4 в скобO
ках.
3 × 4 = 12

Вписываем 12 в верхний кружок, над 3. Проделанная
вами работа теперь выглядит так:
71

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

+ 12
+ 3 + 7
(20 × 4)
23 × 87 =

Теперь сложим 12 и 87.
87 + 12 = 99

Умножаем 99 на основное опорное число 20:
99 × 20 = 1980

(Умножаем 99 сначала на 2, а полученный результат –
на 10. 99 – это 100 минус 1. 2 умножить на 100 минус 1 дает
200 минус 2, а это равно 198. Теперь умножим 198 на 10 и
получим ответ для произведения 99 × 20.)
Теперь перемножим числа в нижних кружках.
3 × 7 = 21
1980 + 21 = 2001

Окончательное решение примера выглядит так:
+ 12
+ 3 + 7
(20 × 4)
23 × 87 = 99

1980
+21
2001

ÎÒÂÅÒ

Предлагаю три примера для самостоятельного решеO
ния:
a) 14 × 61 =

á) 96 × 389 =

â) 8 × 136 =

Чтобы вычислить произведение 8 × 136, используйте
числа 10 и 140 (10 × 14) в качестве опорных. Ответы:
a) 854

á) 37344

â) 1088

Давайте решим примеры б) и в) вместе:
á) 96 × 389 =
72

Ãëàâà 7. Óìíîæåíèå ñ ïîìîùüþ äâóõ îïîðíûõ ÷èñåë

Будем использовать 100 и 400 в качестве опорных чиO
сел:
(100 × 4)

96 × 389 =
– 4 – 11

Умножаем 4 в кружке под множителем 96 на 4 в скобO
ках:
4 × 4 = 16

Вписываем 16 в нижний кружок, под 4. Решение пока
выглядит следующим образом:
(100 × 4)

96 × 389 =
– 4 – 11
– 16

Вычтем 16 из 389 и получим 373. Далее умножим 373 на
основное опорное число 100, это даст нам 37300.
(100 × 4)

96 × 389 = 37300
– 4 – 11
– 16

Теперь перемножим 4 и 11 в кружках, в результате чего
получим 44. Сумма 44 и 37300 дает 37344.
Полностью решенный пример выглядит так:
(100 × 4)

96 × 389 = 37300
– 4 – 11
+44
– 16
37344

ÎÒÂÅÒ

Теперь попробуем решить пример в):
8 × 136 =

Возьмем 10 и 140 (10 × 14) в качестве опорных чисел:
(10 × 14)

8 × 136 =
– 2
– 4
73

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

Умножим 2 под множителем 8 на число 14, которое в
скобках:
2 × 14 = 28

Записываем 28 в нижний кружок, под 2. Теперь вычтем
28 из 136 (сначала отнимаем 30, а затем еще 2) и получаем
108. Умножаем теперь 108 на основное опорное число 10,
получая в ответе 1080. Проделанная до сих пор работа выO
глядит следующим образом:
(10 × 14)

8 × 136 = 1080
– 2
– 4
– 28

Теперь перемножим числа 2 и 4 в кружках.
2×4=8

Прибавим 8 к 1080 и получим окончательный ответ:
1088.
(10 × 14)

8 × 136 = 1080
– 2
– 4
+8
– 28
1088

ÎÒÂÅÒ

Îïîðíûå ÷èñëà, âûðàæåííûå êàê îäíî ÷èñëî,
äåëåííîå íà äðóãîå
Чтобы умножить 96 на 47, мы могли бы использовать в
качестве опорных числа 50 или 100: 50 × 2 или 100 : 2.
В данном случае 100 : 2 было бы лучше, поскольку 100 тогO
да станет основным опорным числом. На 100 умножать
легче, чем на 50. Обратите внимание, что, записывая приO
мер для решения, лучше указывать первым тот множиO
тель, который относится к основному опорному числу.
Итак, приступим к решению:
96 × 47 =
74

Ãëàâà 7. Óìíîæåíèå ñ ïîìîùüþ äâóõ îïîðíûõ ÷èñåë

Возьмем 100 и 50 в качестве опорных чисел:
(100 : 2)

96 × 47 =
– 4 – 3

Разделим число 4, находящееся в кружке под множитеO
лем 96, на делитель 2 в скобках:
4:2 =2

Полученный ответ 2 запишем в еще один кружок
под 96.
Теперь вычтем 2 из 47 и умножим ответ (45) на основO
ное опорное число (100). В результате получаем 4500:
(100 : 2)

96 × 47 = 4500
– 4 – 3
– 2

Далее умножим первые две цифры в кружках (–4 ×
× –3 = 12) и прибавим полученный результат к 4500.
В итоге получаем 4512:
(100 : 2)

96 × 47 = 4500
– 4 – 3
+12
– 2
4512

ÎÒÂÅÒ

Если бы вы перемножали 96 и 23, можно было бы исO
пользовать 100 в качестве основного опорного числа, а 25
(100 : 4) – в качестве второго опорного. Это выглядело бы
так:
(100 : 4)

96 × 23 =
– 4 – 2

96 на 4 меньше 100, а 23 на 2 меньше 25. Теперь раздеO
лим 4 под 96 на 4 в скобках. 4, деленное на 4, дает 1. ВпиO
шем это число в еще один кружок под 96:
75

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

(100 : 4)

96 × 23 =
– 4 – 2
– 1

Вычтем 1 из 23, получив в ответе 22. Умножим 22 на осO
новное опорное число 100 и получим 2200.
(100 : 4)

96 × 23 = 2200
– 4 – 2
– 1

Перемножим числа в двух верхних кружках.
4×2=8

Прибавим 8 к 2200 и получим окончательный ответ:
2208.
(100 : 4)

96 × 23 = 2200
– 4 – 2
+8
– 1
2208

ÎÒÂÅÒ

А если бы нам надо было перемножить 97 и 23? ПримеO
нима ли наша стратегия в данном случае? Давайте попроO
буем:
(100 : 4)

97 × 23 =
– 3 – 2
– 3
4

3
3
3, деленное на 4, – это O . Вычтем O из 23 (надо отнять
4
4
1
1 и прибавить O ):
4
3
1
23 – --- = 22 --4
4

Одна четверть в виде десятичной дроби записывается
1
как 0,25 ( O от 100 равна 25). Таким образом:
4
76

Ãëàâà 7. Óìíîæåíèå ñ ïîìîùüþ äâóõ îïîðíûõ ÷èñåë

1
22 --- × 100 = 2225
4

Перемножим числа в кружках.
3×2=6
2225 + 6 = 2231
(100 : 4)
97 × 23 = 2225
– 3 – 2
+6
2231
– 3
4

ÎÒÂÅÒ

Таким образом, наш метод работает одинаково хорошо
и в таких случаях.
А как насчет 88 × 343? Можно использовать в качестве
опорных чисел 100 и 350.
1
(100 : 3 )
2

88 × 343 =
– 12
– 7
– 42

1
Чтобы найти произведение 3 O × 12, умножьте 12 на 3, а
2
затем прибавьте к ответу половину от 12, то есть 6. У вас
получится 42.
343 – 42 = 301
301 × 100 (îñíîâíîå îïîðíîå ÷èñëî) = 30100
12 × 7 = 84
30100 + 84 = 30184
1
(100 : 3 )
88 × 343 = 30100
2
– 12
– 7
+84
– 42
30184 ÎÒÂÅÒ

Ïî÷åìó ðàáîòàåò äàííûé ìåòîä?
Подробное объяснение я давать не буду, а попробую
показать на примере. Рассмотрим произведение 8 × 17.
77

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

Мы могли бы удвоить 8, чтобы получить 16, затем умноO
жить 16 на 17 и взять половину ответа, который и будет
правильным для исходной задачи. Это довольно длинный
путь, однако он показывает, почему метод с использоваO
нием двух опорных чисел работает. Будем использовать 20
в качестве опорного числа.
20

16 × 17 =
– 4 – 3

Вычтем 4 из 17 и получим 13. Умножив 13 на опорное
число 20, получим в ответе 260. Теперь перемножим числа
в кружках:
4 × 3 = 12

Прибавив 12 к промежуточному ответу 260, получим
окончательный результат: 272. Но мы ведь умножали на 16
вместо 8, поэтому на самом деле удвоили ответ. 272, деленO
ное на 2, дает нам ответ для примера 8 × 17, а именно 136.
20

16 × 17 = 13
– 4 – 3

260
+12
272

ÎÒÂÅÒ

Половина от 272 равна 136. Таким образом:
8 × 17 = 136

Итак, мы удвоили множитель в самом начале, а затем
уменьшили ответ вдвое в самом конце. Эти две операции
взаимно гасят друг друга. При этом можно избавиться от
значительной части вычислений. Посмотрим, как в данO
ном случае работает метод двух опорных чисел:
(10 × 2)

78

8 × 17 = 130
– 2 – 3
+6
– 4
136

ÎÒÂÅÒ

Ãëàâà 7. Óìíîæåíèå ñ ïîìîùüþ äâóõ îïîðíûõ ÷èñåë

Обратите внимание, что мы вычитаем 4 из 17 во втором
способе решения; то же самое мы сделали, когда решали
по первому способу. В результате мы получили 13, которое
затем умножили на 10. Решая первым способом, мы удвоO
или 13 перед тем, как умножать его на 10, а затем уменьO
шили в два раза ответ в конце. Решая вторым способом,
мы перемножили числа в кружках (2 и 3), что дало в ответе
6, то есть половину от 12, полученного при решении перO
вым способом.
Можно использовать любую комбинацию опорных чиO
сел. Общие правила таковы:
• Прежде всего на роль опорных чисел надо подбирать те,
на которые легко умножать, то есть 10, 20, 50 и т. д.
• Второе опорное число должно являться кратным осO
новному, то есть превышать его вдвое, втрое, вчетверо
и т. д.

Поэкспериментируйте с предложенными способами
решений самостоятельно. Всегда имеется возможность
какOто упростить математические вычисления. И всякий
раз, используя данные методы, вы совершенствуете свои
математические навыки.

79

Глава 8
Ñëîæåíèå
Большинство из нас считает сложение более легкой
операцией, чем вычитание. В настоящей главе мы узнаем,
как сделать сложение еще проще.
Как бы вы складывали 43 и 9 в уме?
Легче всего было бы прибавить сначала 10, получив 53,
и затем отнять 1. Ответом является 52.
Легко прибавлять 10 к любому числу: 36 плюс 10 равно
46; 34 плюс 10 равно 44 и т. д. Просто увеличивайте число
десятков на 1 всякий раз, когда к числу прибавляется 10
(подробнее см. главу 6).
Основное правило для выполнения сложения в уме звуO
чит так:
Чтобы прибавить к числу 9, прибавьте к нему 10 и отними
те 1; чтобы прибавить 8, прибавьте 10 и отнимите 2; чтобы
прибавить 7, прибавьте 10 иотнимите 3 и т. д.
Если к числу надо прибавить 47, прибавьте к нему 50 и
отнимите 3. Чтобы прибавить 196, прибавьте 200 и отниO
мите 4. Это позволяет удерживать числа в уме. Чтобы приO
бавить 38 к числу, прибавьте 40 и отнимите 2. Чтобы приO
бавить 288 к числу, прибавьте 300, а затем отнимите от реO
зультата 12.
Попробуйте выполнить сложение в уме. Произнесите
вслух ответ. Для 34 + 9 не говорите: «Сорок четыре, сорок
три». Сделайте поправку на единицу, уже произнося отO
вет, чтобы у вас просто получилось: «Сорок три». ПопроO
буйте решить приведенные ниже примеры. Для двух из
них предлагается подсказка.
80

Ãëàâà 8. Ñëîæåíèå

a) 56 + 8 =

á) 38 + 9 =

â) 76 + 9 =

ä) 47 + 8 =

å) 26 + 7 =

á) 47
ä) 55

â) 85
å) 33

– 2
ã) 65 + 9 =

– 1

Ответы:
a) 64
ã) 74

Ñëîæåíèå â óìå äâóçíà÷íûõ ÷èñåë
А как бы вы прибавляли 38 к числу? Чтобы прибавить
38, надо сначала к числу прибавить 40, а затем вычесть 2 из
полученной суммы.
А как насчет 57? Прибавляем 60 и вычитаем 3.
Как прибавить 86? Прибавляем 100 и вычитаем 14.
Есть простое правило для прибавления одного числа к
другому в уме:
Если цифра единиц в прибавляемом числе больше 5, то
число необходимо округлить в сторону увеличения, а за
тем вычесть ошибку округления из полученной суммы. Ес
ли же цифра единиц меньше, то прибавляем сначала де
сятки, а потом единицы.
Находя сумму двузначных чисел в уме, сначала складыO
вайте цифры, обозначающие десятки в обоих числах, и
только потом единицы. Если же цифра единиц у прибавO
ляемого числа больше или равна 5, округляем его в стороO
ну увеличения, вычисляем сумму, а затем вычитаем из реO
зультата разницу между округленным значением и исходO
ным числом. Например, прибавляя 47, прибавляйте 50, а
затем вычитайте 3 из результата.
81

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

Чтобы сложить 35, 67 и 43, начинаем с 35, к которому
прибавляем 70, что дает нам 105, вычитаем 3 (получается
102), прибавляем 40 (в сумме 142), а затем еще 3 (число
единиц), получая окончательный ответ 145.
Немного попрактиковавшись, вы сможете убедиться,
что в состоянии удерживать складываемые числа в уме.
Попробуйте решить следующие примеры самостоятельно:
a) 34 + 48 =
ã) 27 + 31 =
æ) 44 + 37 =

á) 62 + 26 =
ä) 33 + 44 =

â) 82 + 39 =
å) 84 + 76 =

á) 88
ä) 77

â) 121
å) 160

Ответы:
a) 82
ã) 58
æ) 81

В последнем примере вы могли заметить, что 37 на 3
меньше, чем 40, поэтому можно прибавить 40, а затем выO
честь 3. Или же можно было сначала вычесть 3 из 44, полуO
чив 41, перед тем как прибавлять 40, что даст в ответе те же
81. Решая подобные задачи в уме, со временем вы обнаруO
жите, что они совсем нетрудные, и начнете находить споO
собы для еще большего упрощения счета.

Ñëîæåíèå òðåõçíà÷íûõ ÷èñåë
Чтобы найти сумму трехзначных чисел, используем тот
же метод.
Складывая 355, 752 и 694, можно было бы по ходу решеO
ния проговаривать про себя следующим образом: «Триста
пятьдесят пять плюс семьсот (тысяча пятьдесят пять),
плюс пятьдесят (тысяча сто пять), плюс два (тысяча сто
семь), плюс семьсот без шести, тысяча восемьсот один».
Вы могли бы также предпочесть складывать слева напраO
во, то есть сначала сотни, потом десятки, а затем единицы.
82

Ãëàâà 8. Ñëîæåíèå

Немного попрактиковавшись, вы начнете решать поO
добные задачи в уме без особых проблем.
Вот несколько примеров:
a) 359 + 523 =
â) 456 + 298 =

á) 123 + 458 =
ã) 345 + 288 =

Ответы:
a) 882
â) 754

á) 581
ã) 633

В случае a) можно округлить 359 до 360. 523 плюс 300
дает 823, плюс 60 – 883, минус 1 – 882. Или же в таком поO
рядке: 360 плюс 500 равно 860, плюс 23 – 883, минус 1 –
882. Решение обоих вариантов не составляет труда.
С примером в) у вас также не должно быть никаких
проблем. Можно округлить 298 до 300.
456 + 300 = 756
756 – 2 = 754

Сложение чисел в уме занимает меньше времени, чем
поиск бумаги и ручки или использование калькулятора,
который сначала нужно достать из сумки, кармана или
ящика стола.

Ñëîæåíèå äåíåæíûõ âåëè÷èí
Чтобы сложить 4,95, 6,95 и 13,95 доллара, вам достаточO
но сложить 5 + 7 + 14 долларов и вычесть 15 центов из поO
лученной суммы. Сначала складывайте десятки, затем
единицы, получая последовательно 12, 22 и 26.
5 + 7 = 12
12 + 14 = 26

Промежуточный ответ равен 26,00 доллара. Теперь вычтем
15 центов и получим окончательный ответ: 25,85 доллара.
83

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

Допустим, нам нужно сложить следующие числа:
495
695
+ 1395

В этом случае ответ менее очевиден. Вместе с тем это
одна и та же задача. Мы могли бы всегда использовать таO
кой подход для сложения денежных величин (хотя не
многие так делают), но просто нам бывает трудно восприO
нять это как абсолютно ту же задачу, только без десятичO
ной запятой.
Если одно и то же число повторяется несколько раз в
какомOнибудь вычислении, умножьте его на число раз, коO
торое оно повторяется. Предположим, нам требуется слоO
жить следующие числа:
119,95
59,95
119,95
119,95
14,95
+ 119,95

Это могут быть, например, цены на товары, предлагаеO
мые в местном магазине. Как бы вы стали находить их
сумму?
ВоOпервых, следует округлить каждую цену (число) из
списка. 119,95 доллара следует округлять до 120 долларов,
59,95 – до 60, а 14,95 – до 15. Получив ответ, надо внести
поправку на 5 столько раз, сколько мы производили
округлений.
ВоOвторых, поскольку цена 119,95 доллара встречается
четыре раза, ее можно умножить на 4, а затем уже прибавO
лять к ответу другие величины. 120 долларов, умноженные
84

Ãëàâà 8. Ñëîæåíèå

на 4, дают 480 долларов. Теперь сложим 60 и 15 долларов.
480 плюс 60 дает 540, а 540 плюс 15 равно 555.
Теперь внесем поправку на 5 центов, которые мы доO
бавляли, чтобы округлить каждую цену. Мы прибавляли
5 центов в шести случаях. Умножаем 5 центов на 6 и полуO
чаем 30 центов в качестве общей суммы центов, которые
мы добавили в процессе вычисления. Вычтем эту величиO
ну, чтобы получить окончательный ответ.
555 долларов минус 30 центов равно 554,70 доллара
(у вас забрали 1 доллар и вернули 70 центов).

Ñëîæåíèå áîëüøèõ ÷èñåë
Вот пример сложения в уме больших чисел:
8461
+ 5678

Начинаем с колонки, соответствующей разряду тысяч.
8 плюс 5 равно 13. Поскольку мы работаем в разряде
тысяч, ответом служат 13 тысяч. Мы замечаем, что цифры
в разряде сотен дают в сумме 10, то есть еще одну тысячу.
Итак, пока итогом наших вычислений являются 14 тысяч.
Прибавим 61 от верхнего слагаемого. 14061.
Теперь прибавим 78.
На вашем месте я прибавил бы 80 и вычел 2. Для этого
я прибавляю 100 и вычитаю 20. Итак, необходимо прибаO
вить 100, вычесть 20 и затем еще 2.
14061 плюс 100 равно 14161, минус 20 – 14141, минус
еще 2 – получаем 14139.
Другой метод заключается в том, чтобы к первому слаO
гаемому прибавлять второе слагаемое по частям: сначала
тысячи, потом сотни, затем десятки и наконец единицы.
Можно было бы решать в уме так: «Восемь тысяч четыO
реста шестьдесят один плюс пять тысяч, тринадцать тысяч
85

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

четыреста шестьдесят один, плюс шестьсот равно четырO
надцать тысяч шестьдесят один, плюс семьдесят восемь».
Затем прибавляйте 78 так, как было описано выше.
Попробуйте решить следующие примеры самостояO
тельно, выполняя сложение в направлении слева направо:
a)

3456
+ 3914

á)

9785
+ 1641

ã)

2750
+ 5139

ä)

2156
+ 2498

â)

4184
+ 1234

Ответы:
a) 7370
ã) 7889

á) 11426
ä) 4654

â) 5418

Предположим, нам нужно сложить следующие числа:
6
8
+4

Простой метод сложения этих чисел таков:
6 + 4 = 10, 10 + 8 = 18

Большинство из вас сочтет это более легким решением,
чем 6 + 8 + 4 = 18 (6 плюс 8 равно 14, плюс еще 4 – будет 18).
Поэтому простое правило звучит так:
Складывая колонку чисел, сначала складывайте пары чи
сел, которые дают в сумме десять или число, кратное де
сяти, а уже потом прибавляйте другие числа.
Итак, всегда стремитесь сначала прибавить такое слагаO
емое, чтобы получить число, кратное десяти. То есть если
вы достигли, скажем, в сумме 27 в процессе вычисления и
следующими слагаемыми являются 8 и 3, прибавляйте
сначала 3, а не 8, что даст вам 30, а потом уже прибавляйте
86

Ãëàâà 8. Ñëîæåíèå

8, что даст вам 38. Как следует освоив изложенные здесь
методы умножения, вы научитесь мгновенно распознаO
вать числа, дающие в сумме 10 или число, кратное ему, так
что вычисления станут почти автоматическими.

Ïðîâåðêà ðåçóëüòàòà ñëîæåíèÿ
ïóòåì âûáðàñûâàíèÿ äåâÿòîê
Точно так же как мы выбрасываем девятки, чтобы проO
верить полученный ответ при умножении, можно примеO
нять тот же подход для проверки результата сложения или
вычитания.
Рассмотрим пример:
12345
67890
42735
+21865

После выполненных вычислений мы получили в ответе
144835.
Верный ли это ответ?
Давайте это проверим путем выбрасывания девяток,
или методом чиселOподстановок:
12345
67890
42735
+21865
144835

21
13

6
3
3
4
7

Подстановками в данном случае являются числа 6, 3, 3
и 4. 6 и 3 дают в сумме 9, их можно выбросить. Остаются 3
и 4. 3 + 4 = 7. 7 – это наше контрольное число или провеO
рочный ответ.
87

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

Правильный ответ должен давать 7 по сумме цифр посO
ле выбрасывания девяток. Давайте проверим:
1+4+4+8+3+5=7

Ответ верен.
Если бы приведенные выше числа являлись суммами
денег с десятичной запятой, решение осталось бы неизO
менным. Можно использовать данный метод для проверO
ки практически любых вычислений, что касается сложеO
ния, вычитания, умножения и деления.
Попробуйте самостоятельно. Проверьте, все ли полуO
ченные ответы в примерах, приведенных ниже, верны?
Сделайте это путем выбрасывания девяток. Если обнаруO
жили ошибку, исправьте ее и снова проверьте полученO
ный ответ выбрасыванием девяток.
à)

88

12345
67890
2531
+ 72406
155172

á)

25137
15463
51684
+ 25170
17454

â)

58235
21704
+ 97105
177144

Глава 9
Âû÷èòàíèå
Большинство людей считают, что вычитать сложнее,
чем складывать. Вовсе не обязательно. В настоящей главе
мы познакомимся с подходами, которые сделают для вас
вычитание пустяковым делом.
Прежде всего рассмотрим, как вычитать числа в уме.
Чтобы вычесть два числа в уме, попробуйте округлить
вычитаемое, а затем подкорректируйте полученный ответ.
Чтобы вычесть 9, отнимите 10, а затем прибавьте к отO
вету 1; чтобы вычесть 8, отнимите 10 и прибавьте 2; чтобы
вычесть 7, отнимите 10 и прибавьте 3. Например:
56 – 9 =
1

Чтобы вычесть 9 из 56 в уме, самый простой способ сдеO
лать это – сначала вычесть 10 (получив в ответе 46), а затем
прибавить 1 (47).
Вычитая 8 из 47, отнимите 10 (37) и прибавьте 2 (39).
Чтобы вычесть 38 из 54, отнимаем сначала 40 (что даст
нам 14), а затем прибавляем 2, получив окончательный отO
вет 16.
На бумаге решение выглядело бы так:
54 – 38 =
2

54 минус 40 и плюс 2 (в кружке) дает 16.
Чтобы вычесть число, близкое по величине к 100, отниO
майте 100 и прибавляйте разницу. Например, вычитая 87
89

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

из какогоOнибудь числа, отнимаем 100 и прибавляем 13,
поскольку 100 – 87 = 13.
436 – 87 =
13

Отнимем 100, что даст нам 336. Прибавим 13 (для чего
сначала прибавляем 10, а затем еще 3), получив в ответе
349. Все очень просто.

Âû÷èòàíèå ÷èñëà ìåíüøå 100
èç ÷èñëà áîëüøå 100
Если вычитаемое (число, которое вычитают) меньше
100, а уменьшаемое (число, из которого вычитают) больO
ше 100, но меньше 200, есть простой способ вычислить
разность в уме.
Например:
134 – 76 =
24

76 на 24 меньше 100. 134 на 34 больше 100. Прибавим 24
к 34 и получим легкий ответ: 58.
Решим другой пример:
152 – 88 =
12
12 + 52 = 64

ÎÒÂÅÒ

Решите несколько примеров самостоятельно:
a) 142 – 88 =
ã) 114 – 80 =

á) 164 – 75 =
ä) 112 – 85 =

â) 123 – 70 =
å) 136 – 57 =

Просто, не так ли? Если знать, как это делается.
Ответы:
90

Ãëàâà 9. Âû÷èòàíèå

a) 54
ã) 34

á) 89
ä) 27

â) 53
å) 79

Если вы допустили ошибку, прочтите заново описание
метода. Затем попробуйте еще раз.
Тот же принцип применим и к числам, которые больше
или меньше 10. К примеру:
13 – 6 =
+ 4
3 + 4 = 7

ÎÒÂÅÒ

Попробуйте решить следующие примеры самостояO
тельно:
a) 12 – 7 =
â) 13 – 9 =

á) 15 – 8 =
ã) 14 – 8 =

Ответы:
a) 5
â) 4

á) 7
ã) 6

Тот же подход справедлив и для вычитания трехзначO
ных чисел:
461 – 275 =
25
461 – 300 = 161
161 + 25 = 186

Мы выполняем лишь одно несложное вычитание, все
остальное в решении – это сложение.
Попробуем еще:
834 – 286 =
14
834 – 300 = 534
534 + 14 = 548
91

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

Про себя можно проговорить решение так: «ЧетырнадO
цать, которых не хватает до трехсот, плюс пятьсот, котоO
рых не хватает до восьмисот, дает пятьсот четырнадцать,
плюс тридцать четыре – это пятьсот сорок восемь».
Чтобы прибавить 34, сначала приплюсовываем 30, а поO
том еще 4.
В этом состоит простой метод вычитания в уме. Не надо
переносить или забирать разряды, и не представляет труда
удерживание в уме сразу нескольких чисел.
Попробуйте решить следующие примеры сами:
a) 541 – 87 =
â) 725 – 375 =

á) 263 – 198 =
ã) 429 – 168 =

Ответы:
a) 454
â) 350

á) 65
ã) 261

В последнем примере можно было округлить 429 до
430, а потом отнять добавленную единицу в самом конце
вычислений.

Âû÷èòàíèå íà áóìàãå
Сейчас я расскажу о методе вычитания на бумаге, котоO
рому меня научили в третьем классе. Если вы достаточно
освоили приемы умножения, описанные выше, данный
метод не представит для вас труда.
Легкий способ вычитания используется в каждом из
двух методов с переносом разрядов. О них вы непременно
узнаете.
Разница между стандартным и легким способами выO
читания является незначительной, но важной. Я объясню,
как легче вычитать с помощью обоих методов, где испольO
зуется перенос цифр из одного разряда в другой. ПримеO
92

Ãëàâà 9. Âû÷èòàíèå

няйте тот метод, который вам привычнее или кажется боO
лее простым.
Вычитание: первый метод
Возьмем типичный пример вычитания: 7254 – 3897 =
6 11 14
7 2 5 14
–3 8 9 7
3 3 5 7

Вычтем 7 из 4. Это сделать невозможно, поэтому забиO
раем 1 из разряда десятков. Вычеркиваем 5 и пишем выше
4. И вот в чем отличие. Вы не говорите «четырнадцать миO
нус семь», а произносите: «Семь вычесть из десяти равно
три», а затем прибавляете число, записанное над 7 (4), и
получаете 7 – это первая цифра ответа.
Пользуясь таким подходом, вы никогда не вычитаете из
числа, большего чем 10. Все остальное представляет собой
операцию сложения. 9 вычесть из 4 невозможно, поэтому
забираем 1 из разряда сотен. 10 минус 9 дает 1, 1 плюс 4
равно 5 – следующая цифра ответа.
8 вычесть из 1 нельзя, поэтому снова переносим 1 из
следующего разряда. 10 минус 8 равно 2; 2 плюс 1 равно 3 –
следующая цифра ответа.
6 минус 3 дает 3 – последняя цифра ответа.
Вычитание: второй метод
7 1 2 1 5 14
– 13 1 8 19 7
3 3 5 7

Вычитаем 7 из 4. Этого сделать нельзя, поэтому переO
носим 1 из разряда десятков. Ставим 1 перед 4, чтобы поO
лучилось 14, а также записываем маленькую 1 перед 9 в
колонке десятков. Вы не говорите «семь вычесть из чеO
93

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

тырнадцати», а произносите: «Семь вычесть из десяти даO
ет три», плюс 4 сверху – получается 7 – это первая цифра
ответа.
10 (9 плюс перенесенная 1) вычесть из 5 не удается, поO
этому забираем 1 из следующего разряда, как и раньше.
10 при вычитании из 15 дает 5, или 10 минус 10 получается
0, прибавляем 5, равно 5.
9 из 2 не вычитается, поэтому опять переносим 1. 9 из 10
дает 1, прибавляем 2 и получаем 3.
7 минус 4 равно 3. Ответ готов.
Вам не надо запоминать комбинации однозначных чиO
сел, которые дают в сумме числа, превышающие 10. ИсO
пользуя способ простого вычитания, вы никогда не отниO
маете от чисел, больших 10. Это упрощает вычисления и
снижает вероятность ошибки.
Попробуйте решить следующие примеры самостояO
тельно:
a) 7325
–4568

á) 5417
–3179

Ответы:
a) 2757

á) 2238

Данный подход очень важен. Если вы вполне овладели
умножением с помощью простых подходов, с которыми я
познакомил вас ранее, то должны были усвоить комбинаO
ции чисел, дающих в сумме 10. Существует всего пять таO
ких комбинаций.
С другой стороны, если бы вам пришлось выучить все
комбинации однозначных чисел, которые дают в сумме
число больше 10, то их уже 20. Используя же рассматриваO
емый подход, эти комбинации вообще не придется запоO
минать. Чтобы вычесть 8 из 15, отнимаем 8 от 10 (получаO
ем 2), а затем прибавляем 5 и получаем ответ: 7.
94

Ãëàâà 9. Âû÷èòàíèå

Мой преподаватель в третьем классе учил меня никогда
не вычитать из числа больше 10. Вероятность того, что вы
допустите ошибку, вычитая из числа больше 10 и меньше
20, гораздо выше, нежели при вычитании из 10. Пользуясь
таблицей умножения и правилами умножения из первых
глав этой книги, вы почти никогда не допустите ошибок,
вычитая из 10: ответы у вас будут получаться почти автоO
матически.

Âû÷èòàíèå èç ÷èñåë, êðàòíûõ 10
Правило такое:
Вычитайте цифру разряда единиц из 10, каждую последу
ющую – из 9, а затем уменьшите на 1 крайнюю левую
цифру.
Например:
1000
– 574

Можно начинать либо с левой стороны, либо с правой.
Попробуем сначала справа. Вычитаем цифру, соответO
ствующую разряду единиц, из 10.
10 – 4 = 6

Это последняя цифра ответа. Теперь вычтем остальные
цифры из 9. А из первой цифры уменьшаемого (1000) выO
чтем 1.
10 минус 4 дает 6, 9 минус 7 дает 2, 9 минус 5 дает 4,
1 минус 1 дает 0. Таким образом, ответ равен 426.
Теперь попробуем слева направо: 1 минус 1 дает 0, 9 миO
нус 5 равно 4, 9 минус 7 равно 2, 10 минус 4 равно 6. Ответ:
426.
Если нужно вычислить 40000 минус 2748, последоваO
тельность ваших действий должна быть такой:
95

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

40000
– 2742

Вычитаем 1 из крайней левой цифры (4) и получаем 3 –
это первая цифра ответа. 9 минус 2 дает 7, 9 минус 7 дает 2,
9 минус 4 дает 5 и 10 минус 8 дает 2.
Таким образом, ответ равен 37252.
Используя этот способ, нам нужно лишь вычитать из
чисел, не превышающих 10, а также выполнять сложение,
когда это нужно.
Сам подход точно такой же, как и прежде. ЕдинственO
ная разница состоит в том, что вы произносите про себя
свои действия.
Решите самостоятельно:
a) 10000
– 3456

á)

50000
– 27214

Ответы:
a) 6544

á) 22786

Âû÷èòàíèå ìàëûõ ÷èñåë èç áîëüøèõ
Если вычитаемое число имеет меньше разрядов, чем
уменьшаемое, тогда прибавьте нули перед числом (по
крайней мере, мысленно), перед тем как вычислять.
Например:
23000 – 46 =
23000
–0046
22954

Вычитаемое (число, которое вычитают) следует дополO
нить слева нулями до первой цифры уменьшаемого (чисO
ло, из которого вычитают), отличающегося от нуля. Из
этой цифры вы отнимаете 1. 3 минус 1 дает 2.
96

Ãëàâà 9. Âû÷èòàíèå

Отнимите каждую последующую цифру от 9, пока не
дойдете до последней цифры, которую следует вычитать
из 10.
Согласно методу, которому обучают в школе, вы выO
полняете точно такое же вычисление, однако вам необхоO
димо все время помнить о цифрах, переносимых из разряO
да в разряд. Преимущество метода, который предлагаю я,
состоит в том, что вычисления с его помощью становятся
механическими и выполняются с меньшей вероятностью
ошибки.

Ïðîâåðêà ðåçóëüòàòà âû÷èòàíèÿ
ïðè ïîìîùè âûáðàñûâàíèÿ äåâÿòîê
Для операции вычитания метод, используемый нами
для проверки ответов, похож на тот, который мы примеO
няли в отношении примеров на сложение. Но есть небольO
шое отличие.
Рассмотрим пример:
8465
– 2897
5568

Верен ли полученный ответ?
Давайте выбросим девятки и посмотрим.
8465
– 2897
5568

14
24

5
8
6

5 минус 8 равно 6? Может ли такое быть? Хотя в исходO
ном примере мы вычитаем меньшее число из большего, в
случае с подстановками вычитаемое больше, чем уменьO
шаемое.
97

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

Есть два пути. Один из них состоит в том, чтобы прибаO
вить 9 к числу, из которого мы вычитаем.
5 плюс 9 дает 14. Задача выглядит так:
14 – 8 = 6

Имеет место равенство с контрольным числом, значит,
наши вычисления верны.
А вот путь, который предпочитаю я. Решим ту же задачу
в обратном направлении. Скорее всего, именно так вас
учили проверять ответ в примерах на вычитание. ПриO
бавьте ответ к числу, которое вычитали, и если получили
уменьшаемое (контрольное число), значит, ответ праO
вильный.
Проделаем то же самое с числамиOподстановками. СлоO
жим их в направлении снизу вверх:
6+8=5
6 + 8 = 14 è 1 + 4 = 5

Ответ верный.
Теперь проверьте правильность решения нижепривеO
денных примеров посредством выбрасывания девяток. ЕсO
ли обнаружите ошибку, исправьте ее и еще раз проверьте
ответ.
a)

5672
– 2596
3076
â) 8542
– 1495
7147

á)

5967
– 3758
2209
ã) 3694
– 1236
2458

Все примеры были решены правильно, за исключением
в). Исправили ли вы этот ответ и проверили ли снова поO
лученный ответ путем выбрасывания девяток? ПравильO
ный ответ – 7047.
98

Ãëàâà 9. Âû÷èòàíèå

Данный метод позволяет выявить большинство ошиO
бок в примерах на сложение и вычитание. Используйте
его и сделайте неотъемлемой частью своих вычислений.
Займет он совсем немного времени, но поможет вам заO
служить репутацию человека, исключительно точного в
операциях с числами.

99

Глава 10
Âîçâåäåíèå â êâàäðàò
Возвести число в квадрат – значит умножить его на саO
мого себя. Хороший способ представить себе это состоит
в следующем. Если у вас во дворе нужно выложить плитO
кой квадратный участок и необходимо узнать, сколько для
этого потребуется материала, то достаточно посчитать,
сколько плитки пойдет на одну сторону, а затем умножить
это число на самого себя. Если сторону участка занимают
3 плитки, тогда 9 плиток составят всю площадь участка
(3 × 3 = 9). Если сторона составлена из 5 плиток, то весь
квадрат состоит из 25 плиток (5 × 5 = 25).
2
5 в квадрате означает 5 × 5. Мы записываем это как 5 .
Маленькая 2, записанная после 5, означает, что речь идет
о перемножении двух пятерок. А что означает маленькая
3, записанная после 5? Она означает, что надо перемноO
жить подряд три пятерки. Это общепринятое математиO
ческое обозначение, и каждому человеку положено его
знать. Вот несколько примеров:
3

5 =5×5×5
5
4 =4×4×4×4×4
3
7 =7×7×7

62 (произносится как «шесть в квадрате») = 36, потому
что 6 × 6 = 36. Мы говорим, что 36 – это квадрат числа 6.
132 = 13 × 13 = 169

Мы легко можем вычислять подобные примеры, исO
пользуя изученный выше метод перемножения чисел
больше 10 и меньше 20. В частности, метод умножения с
100

Ãëàâà 10. Âîçâåäåíèå â êâàäðàò

использованием кружков особенно легко применять в отO
ношении квадратов чисел, поскольку он лучше всего раO
ботает, когда перемножаемые числа являются близкими
по значению. Добавлю, что все способы возведения в
квадрат, представленные в настоящей главе, используют
общий принцип перемножения чисел, рассмотренный
нами ранее.

Âîçâåäåíèå â êâàäðàò ÷èñåë,
îêàí÷èâàþùèõñÿ íà 5
Метод возведения в квадрат чисел, которые оканчиваO
ются на 5, использует ту же формулу, что и общий метод
перемножения, освоенный нами ранее.
Если нам необходимо найти квадрат числа, оканчиваюO
щегося на 5, отделим прежде всего последнюю цифру 5 от
находящейся перед ней цифры (или цифр). Прибавьте 1 к
числу, состоящему из отделенной цифры (цифр), а затем
перемножьте результат сложения и число. Припишите 25
справа к результату умножения, и вы получите окончаO
тельный ответ.
Например:
2

35 =

Отделим 5 от цифр впереди нее. В данном случае речь
идет всего лишь о цифре 3, стоящей перед 5. Прибавим 1 к
3 и получим в результате 4.
3+1=4

Перемножим числа:
3 × 4 = 12

Припишем 25 (5 в квадрате) справа к 12. Полученное
число и есть искомый ответ: 1225.
352 = 1225
101

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

Попробуем решить еще один пример:
752 (èëè 75 â êâàäðàòå) =

Отделим 7 от 5. Прибавим 1 к 7 и получим 8. 8 умножить
на 8 равно 56. Это первая часть нашего ответа. Припишем
25 справа и получим искомый ответ: 5625.
2

75 = 5625

Сочетание этого метода с изученными ранее позволит
получить еще более впечатляющие результаты. РассмотO
рим это на примере:
2

135 =

Отделим 5 от 13. Прибавим 1 к 13 и получим 14. ПроизO
ведение 13 × 14 дает 182 (используем метод, изученный в
главе 2). Припишем 25 справа к 182 и получим ответ:
18225. Все эти расчеты можно легко произвести в уме.
2

135 = 18225

Еще один пример:
2

965 =

96 плюс 1 дает 97. Умножим 96 на 97 и получим 9312.
Теперь припишем 25 справа к результату и получим ответ:
931225.
2

965 = 931225

Впечатляет, не так ли? Попробуйте решить следующие
примеры самостоятельно:
2

á) 45 =

2

å) 115 =

a) 15 =
ä) 95 =

2

2

2

â) 25 =
2

æ) 145 =

2

ã) 65 =
2

ç) 955 =

Если вы использовали бумагу и ручку, чтобы вычислить
ответы, попробуйте теперь повторить вычисления в уме.
Вы обнаружите, что ничего сложного в этом нет.
102

Ãëàâà 10. Âîçâåäåíèå â êâàäðàò

Ответы:
a) 225
ä) 9025

á) 2025
å) 13225

â) 625
æ) 21025

ã) 4225
ç) 912025

Данный метод применим также к числам с десятичной
запятой. Например, в случае 6,5 × 6,5 мы просто «забываO
ем» о запятой и находим ей место лишь в самом конце выO
числений.
2

6,5 =
652 = 4225

В сумме у множителей в данном примере имеются две
цифры после запятой, если квадрат записать в виде произO
ведения двух одинаковых чисел, и в ответе после запятой
также должно быть две цифры. Поэтому искомый ответ
равен 42,25.
2

6,5 = 42,25

Тот же метод работает и для произведения 6,5 × 65, коO
торое соответственно будет равно 422,5.
1
1
Подобным образом, если надо перемножить 3 O и 3 O ,
2
2
1
это даст в ответе 12 O (то есть 12,25).
4
Данный метод находит много применений.

Âîçâåäåíèå â êâàäðàò ÷èñåë,
áëèçêèõ ïî çíà÷åíèþ ê 50
Метод для возведения в квадрат чисел, близких по знаO
чению к 50, использует ту же формулу, что и при перемноO
жении любых чисел. Однако есть еще один способ, позвоO
ляющий значительно упростить вычисления.
Например:
462 =
103

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

46 в квадрате означает 46 × 46. Округляя, получаем 50 ×
× 50 = 2500. Берем 50 и 2500 в качестве опорных чисел.
46 меньше, чем 50, поэтому рисуем кружок под примером.
462 =
– 4

50

46 на 4 меньше 50, поэтому вписываем 4 в кружок. ВпеO
реди ставим минус.
Отнимаем 4 из числа сотен в 2500.
25 – 4 = 21

Это число сотен в искомом ответе. Его можно записать
как 2100 (21 × 100). Чтобы получить остальную часть отвеO
та, возведем в квадрат число в кружке.
42 = 16
2100 + 16 = 2116 ÎÒÂÅÒ

Рассмотрим другой пример:
2

56 =

56 больше, чем 50, поэтому рисуем кружок над примеO
ром.
+ 6
50 562 =

Прибавляем 6 к числу сотен в 2500 (25). 25 плюс 6 дает
31. Промежуточный ответ равен 3100.
2

6 = 36
3100 + 36 = 3136 ÎÒÂÅÒ

Попробуем решить еще один пример:
2

62 =

50
104

+ 12
622 =

Ãëàâà 10. Âîçâåäåíèå â êâàäðàò

25 + 12 = 37 (ïðîìåæóòî÷íûé îòâåò ðàâåí 3700)
2
12 = 144
3700 + 144 = 3844 ÎÒÂÅÒ

Попробуйте решить самостоятельно следующие приO
меры:
a) 572 =

á) 512 =

ã) 392 =

ä) 452 =

â) 482 =

Ответы:
a) 3249
ã) 1521

á) 2601
ä) 2025

â) 2304

Немного попрактиковавшись, вы вскоре будете в соO
стоянии незамедлительно называть ответ.

Âîçâåäåíèå â êâàäðàò ÷èñåë,
áëèçêèõ ïî çíà÷åíèþ ê 500
Метод напоминает тот, что мы использовали для чисел,
близких по значению к 50.
500, умноженное на 500, дает 250000. Берем 500 и
250000 в качестве опорных чисел.
Например:
5062 =

506 больше, чем 500, поэтому рисуем кружок вверху.
В него вписываем 6.
+ 6
500
5062 =
5002 = 250000

Число в кружке следует прибавлять к числу тысяч.
250 + 6 = 256 òûñÿ÷

Возведем в квадрат число в кружке:
105

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà
2

6 = 36
256000 + 36 = 256036 ÎÒÂÅÒ

Разберем другой пример:
2

512 =

500

+ 12
5122 =

250 + 12 = 262
Ïðîìåæóòî÷íûé îòâåò – 262000
122 = 144
262000 + 144 = 262144 ÎÒÂÅÒ

Для возведения в квадрат чисел, которые немного
меньше 500, используйте следующий способ.
Рассмотрим пример:
4882 =

488 меньше, чем 500, поэтому рисуем кружок внизу. ПоO
скольку 488 на 12 меньше, чем 500, вписываем в кружок 12.
500

4882 =
– 12

250 тысяч минус 12 тысяч дает 238 тысяч. Прибавляем
12 в квадрате (122 =144).
238000 + 144 = 238144 ÎÒÂÅÒ

Можно добиться результата еще более впечатляющим
способом.
Например:
5352 =

500

+ 35
5352 =

250000 + 35000 = 285000
106

Ãëàâà 10. Âîçâåäåíèå â êâàäðàò
2

35 = 1225
285000 + 1225 = 286225 ÎÒÂÅÒ

Все это легко рассчитывается в уме. Мы использовали
два ускоряющих метода: метод для возведения в квадрат
чисел, близких по значению к 500, и метод для возведения
в квадрат чисел, оканчивающихся на 5.
2
А как насчет 635 ?
+ 135
500
6352 =
250000 + 135000 = 385000
2
135 = 18225
2

Чтобы вычислить 135 , мы используем способ для выO
числения квадрата чисел, оканчивающихся на 5, и способ
для перемножения чисел больше 10, но меньше 20 (13 + 1 =
= 14, 13 × 14 = 182). Приписываем 25 справа к 182, получаO
2
ем: 135 = 18225.
Можно произносить полученный ответ так: «ВосемO
надцать тысяч, два, два, пять».
Чтобы прибавить 18000, прибавляем 20 и вычитаем 2.
385 + 20 = 405
405 – 2 = 403

Припишем 225 справа.
Искомый ответ: 403225.
Попробуйте решить следующие примеры самостояO
тельно:
2

a) 506 =

2

2

2

á) 534 =

â) 489 =

ã) 445 =

á) 285156

â) 239121

ã) 198025

Ответы:
a) 256036

Решим последний пример вместе:
107

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

4452 =
– 55
250 – 55 = 195 (195 × 1000 = 195000)
2
55 = 3025 (èñïîëüçóåì ñïîñîá äëÿ âîçâåäåíèÿ
â êâàäðàò ÷èñåë, îêàí÷èâàþùèõñÿ íà 5)
195000 + 3025 = 198025
500

Мы могли бы решить данный пример, используя лишь
способ возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5.
Число, составленное из цифр перед 5, равно 44.
44 + 1 = 45

50

44 × 45 = 3900
– 6 – 5

1950
+30
1980

Припишем 25 справа к промежуточному ответу 1980 и
получим 198025.
Таким образом, у вас теперь есть несколько методов на
выбор.

×èñëà, îêàí÷èâàþùèåñÿ íà 1
Данный способ применяется для возведения в квадрат
любого числа, оканчивающегося на 1. Если вы попробуете
перемножить два подобных числа традиционным спосоO
бом, то поймете, почему данный метод работает.
Например:
2

31 =

ВоOпервых, вычтем 1 из числа, возводимого в квадрат.
Число теперь оканчивается на нуль, и его легко возвести в
квадрат.
2

30 = 900 (3 × 3 × 10 × 10)

Это наш промежуточный результат.
108

Ãëàâà 10. Âîçâåäåíèå â êâàäðàò

ВоOвторых, сложим 30 и 31 (число, которое мы возвели в
квадрат, и число, которое собираемся возвести в квадрат):
30 + 31 = 61

Прибавим полученный результат к 900 и получим 961.
900 + 61 = 961 ÎÒÂÅÒ

На втором этапе решения вы могли бы просто удвоить
число, которое ранее возвели в квадрат (30 × 2 = 60), а затем
прибавить 1.
Разберем другой пример:
2

121 =
121 – 1 = 120
2
120 = 14400 (12 × 12 × 10 × 10)
120 + 121 = 241
14400 + 241 = 14641 ÎÒÂÅÒ

Попробуем еще:
2

351 =
2
350 = 122500 (èñïîëüçóåì ñïîñîá äëÿ âîçâåäåíèÿ
â êâàäðàò ÷èñåë, îêàí÷èâàþùèõñÿ íà 5)
350 + 351 = 701
122500 + 701 = 123201 ÎÒÂÅÒ

Еще один пример:
862 =

Можно использовать способ для возведения в квадрат
чисел, оканчивающихся на 1, а также для чисел, оканчиваO
2
ющихся на 6. Например, вычислим 86 . Будем рассматриO
вать 86 как число, которое на 1 больше 85.
2

85 = 7225
85 + 86 = 171
7225 + 171 = 7396 ÎÒÂÅÒ
109

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

Попробуйте решить следующие примеры самостояO
тельно:
a) 212 =
2

ä) 81 =

á) 412 =
2

â) 612 =

ã) 712 =

2

2

å) 131 =

æ) 141 =

ç) 66 =

á) 1681
å) 17161

â) 3721
æ) 19881

ã) 5041
ç) 4356

Ответы:
a) 441
ä) 6561

Чтобы решить эти примеры в уме, я называю первый
промежуточный результат в виде сотен – тогда вторую
часть ответа легче прибавлять. Например, для возведения
в квадрат 71 в уме я проговариваю про себя: «Семьдесят в
квадрате равно сорок девять сотен; семьдесят на два – сто
сорок, пятьдесят сотен и сорок плюс один, пять тысяч соO
рок один (5041)».
На самом деле я говорю еще короче: «Сорок пять сотен;
пять тысяч сорок… один».
Чтобы найти квадрат 66 в уме, я говорю про себя: «ШестьO
десят пять в квадрате – сорок два и двадцать пять», исO
пользовав способ для возведения в квадрат чисел, оканчиO
вающихся на 5. «Шестьдесят пять на два равно сто тридO
цать, сорок три пятьдесят пять плюс один, сорок три пятьO
десят шесть (4356)».
Теперь попробуйте решить примеры, предложенные
выше, в уме.

×èñëà, îêàí÷èâàþùèåñÿ íà 9
Пример:
292 =

ВоOпервых, прибавим 1 к числу, возводимому в квадрат.
Теперь оно оканчивается на 0, и его квадрат легко найти.
110

Ãëàâà 10. Âîçâåäåíèå â êâàäðàò
2

30 = 900 (3 × 3 × 10 × 10)

Это наш промежуточный результат. Теперь сложим 30
и 29 (число, которое мы возвели в квадрат, и число, котоO
рое собираемся возвести в квадрат):
30 + 29 = 59

Вычтем 59 из 900 и получим в ответе 841. (Я удваиваю
30, получая 60, а затем вычитаю 60 из 900 и потом прибавO
ляю 1.)
900 – 59 = 841 ÎÒÂÅÒ

Разберем еще один пример:
2

119 =
119 + 1 = 120
2
120 = 14400 (12 × 12 × 10 × 10)
120 + 119 = 239
14400 – 239 = 14161
14400 – 240 + 1 = 14161 ÎÒÂÅÒ

Возьмем другой пример:
2

349 =
2
350 = 122500 (èñïîëüçóåì ñïîñîá äëÿ âîçâåäåíèÿ
â êâàäðàò ÷èñåë, îêàí÷èâàþùèõñÿ íà 5)
350 + 349 = 699

(Вычтем 1000, а потом прибавим 301, чтобы вычислить
ответ.)
122500 – 699 = 121801 ÎÒÂÅÒ

А как нам вычислить 84 в квадрате?
Можно использовать способ для возведения в квадрат
чисел, оканчивающихся на 9 или 4. Будем рассматривать
84 как число, которое на 1 меньше 85.
2

84 =
852 = 7225
111

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

85 + 84 = 169

Теперь вычтем 169 из 7225:
7225 – 169 = 7056 ÎÒÂÅÒ

(Вычитаем 200, а затем прибавляем 31, чтобы получить
ответ.)
Попробуйте решить следующие примеры самостояO
тельно:
2

a) 69 =

2

2

2

á) 79 =

â) 89 =

ã) 74 =

á) 6241

â) 7921

ã) 5476

Ответы:
a) 4761

Решим пример б) вместе. Чтобы найти квадрат 79 в уме,
я сказал бы про себя: «Восемьдесят в квадрате дает шестьO
десят четыре сотни. Дважды восемьдесят – сто шестьдесят.
Шестьдесят четыре сотни минус двести равно шестьдесят
две сотни, плюс сорок – шестьдесят две сотни сорок, плюс
один – шестьдесят две сотни сорок один (6241)».
Разумеется, проговаривать всего этого не требуется.
Можно просто сказать: «Шестьдесят четыре сотни, шестьO
десят две сорок… один».
В примере в), возможно, легче было бы использовать
общий метод перемножения чисел с опорным числом: исO
пользуя 100 в качестве опорного и перемножая просто 89
и 89.
Вы можете выбрать для себя наиболее легкий метод и
успешно его применять.
Упражняйтесь в решении подобных примеров в уме, и
со временем вы будете делать это легко.

112

Глава 11
Äåëåíèå
íà îäíîçíà÷íîå ÷èñëî
Если вы чувствуете себя уверенно с данным видом деO
ления, тогда можете смело пропустить эту главу. Однако у
многих людей бывают проблемы с решением даже проO
стых задач на деление.
Если вам надо разделить 32 доллара на четырех человек,
вы разделите 32 на 4, чтобы узнать, сколько долларов поO
лучить каждый. Поскольку 4 на 8 равно 32 (4 × 8 = 32), кажO
дый человек должен получить 8 долларов. Это простая заO
дача на деление. Если бы вам пришлось делить 32 доллара
на восемь человек, тогда каждый получил бы по 4 доллара.
Если нам нужно раздать 35 книг четырем студентам, то
каждый из них получил бы по восемь книг, и осталось бы
еще три. Мы называем их остатком. Вычисление можно
было бы записать так:
4 35
8 r3

(r – îñòàòîê)

или:
8 r3
4 35

А вот как мы стали бы делить большее по величине чисO
ло. Чтобы разделить 4921 на 4, запишем задачу следующим
образом:
4 4921

èëè 4 4921
113

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

Начинаем решать с левой цифры числа, которое мы деO
лим (делимое). 4 – это первая цифра слева. Начинаем с
вопроса: на что нужно умножить 4, чтобы получить в ответе
4? Ответом будет 1, поскольку 1 × 4 = 4. Запишем 1 под цифO
рой 4. 4 делится на 4 без остатка, так что переносить ничеO
го не придется.
Теперь переходим к следующей цифре: 9. На что нужно
умножить 4, чтобы получить 9? Нет целого числа, которое
даст 9 после умножения на 4. Теперь спросим себя, какое
число надо умножить на 4, чтобы получить число меньше 9?
2, умноженное на 4, дает 8, которое меньше 9 и одновременO
но ближе всех других чисел к 9. Записываем 2 под цифрой 9,
а остаток 1 переносим в следующий разряд и указываем
перед следующей за 9 цифрой в виде маленькой 1 вверху.
Теперь делим 12 на 4. Какое число после умножения на
4 дает 12? Ответом является 3 (3 × 4 = 12). Записываем 3
под цифрой 2. Следующая цифра меньше, чем 4, поэтому
деление не может быть выполнено. Иными словами, 1 при
делении на 4 дает 0 и в остатке 1.
4 49121
12 30 r1

(îñòàòîê 1)

или:
12 30 r1
4 49121

1
Остаток 1 может быть выражен через дробь: O . Таким
4
1
образом, ответом будет 1230 O , или 1230,25.
4

Èñïîëüçîâàíèå êðóæêîâ
Так же как нашу генеральную формулу можно с успеO
хом применять для решения задач на умножение, ее можO
но использовать и для вычисления примеров на деление.
114

Ãëàâà 11. Äåëåíèå íà îäíîçíà÷íîå ÷èñëî

Метод лучше всего работает в случае деления на 7, 8 и 9.
Возьмем простой пример:
56 : 8 =
8 56
2 7
3

Метод работает так. Мы делим 56 на 8. Решение запиO
сываем либо способом, представленным выше, либо (если
предпочтительнее) тем, который показан ниже. ПользуйO
тесь тем способом, который вам удобнее.
3
7
8 56
2

Я буду объяснять, пользуясь первым способом. Рисуем
кружок под 8 (числом, на которое мы делим, то есть делиO
телем) и спрашиваем себя, сколько не хватает до 10. ОтвеO
том является 2, поэтому вписываем 2 в кружок под 8. ПриO
бавляем 2 к цифре в разряде десятков числа, которое мы
делим (5 – это цифра из разряда десятков в числе 56), и поO
лучаем в ответе 7. Записываем 7 под цифрой 6 в числе 56.
Рисуем кружок под 7. Сколько не хватает до 10? В данном
случае – 3, поэтому вписываем 3 в кружок под 7. Теперь
перемножаем числа в кружках.
2×3=6

Вычтем 6 из цифры в разряде единиц в числе 56, чтобы
получить остаток.
6–6=0

Остаток нулевой.
Ответ: 7 без остатка.
115

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

Рассмотрим другой пример:
65 : 9 =

9 65
1 7 r2
3

9 меньше 10 на 1, поэтому записываем 1 в кружке под
делителем 9. Прибавим 1 к цифре десятков (6) и получим
7. Запишем 7 как целую часть ответа под цифрой 5. Рисуем
кружок под 7. Сколько не хватает до 10? 3. Вписываем 3 в
кружок под 7. Перемножим числа в кружках: 1 × 3 = 3. ОтO
нимем 3 от цифры единиц (5) и получим остаток: 2. Ответ:
7 с остатком 2.
А вот еще один пример, который объясняет, что нам деO
лать, когда целая часть оказывается слишком большой.
43 : 8 =
6
8 43
2

8 меньше 10 на 2, поэтому вписываем 2 в кружок под деO
лителем 8. 2 плюс 4 равно 6. Записываем 6 над цифрой из
разряда единиц. Теперь нарисуем еще один кружок над 6.
Сколько не хватает до 10? Ответом является 4, поэтому
вписываем 4 в верхний кружок. Чтобы узнать остаток,
умножаем числа в кружках и вычитаем ответ из цифры из
разряда единиц. Теперь решение выглядит таким образом:
4
6
8 43
2
2×4=8
116

Ãëàâà 11. Äåëåíèå íà îäíîçíà÷íîå ÷èñëî

Однако здесь мы сталкиваемся с тем, что вычесть 8 из
цифры из разряда единиц (3) нельзя. Целая часть оказаO
лась слишком большой. Чтобы исправить положение,
уменьшим целую часть на 1, получив 5, и припишем маO
ленькую 1 перед цифрой из разряда единиц (3), так что теO
перь оно превратилось в 13.
5
5 r3
8 413
2

Умножаем числа в кружках: 2 × 5 = 10. Вычтем 10 из 13,
в которое превратилась цифра из разряда единиц.
13 – 10 = 3 (îñòàòîê)
5 r3 ÎÒÂÅÒ

Попробуйте решить следующие примеры самостояO
тельно:
a) 76 : 9 =
ã) 62 : 8 =

á) 76 : 8 =
ä) 45 : 7 =

â) 71 : 8 =
å) 57 : 9 =

á) 9 r4
ä) 6 r3

â) 8 r7
å) 6 r3

Ответы:
a) 8 r4
ã) 7 r6

Метод полезен тем, кто еще не освоил таблицы умноO
жения и у кого возникают трудности с делением, или в тех
случаях, когда нет уверенности в правильности ответа и
хотелось бы его проверить. Как правило, чем лучше вы
знаете таблицу умножения, тем легче вам делить на одноO
значное число.

117

Глава 12
Äåëåíèå â ñòîëáèê
ïî ìíîæèòåëÿì
Если вам надо разделить 368 долларов на 16 человек, то
вы разделите 368 на 16, чтобы узнать, сколько должен поO
лучить каждый.
Если вы не знаете всех вариантов умножения на 16, есть
простой способ решить эту задачу. 16 – это 2 на 8, а также
4 на 4. Простой способ деления на 16 состоит в том, чтобы
использовать его множители. Можно разделить сначала
на 4, а потом полученный результат разделить опять на 4.
Это то же самое, что делить на 16, потому что 4 × 4 = 16.
Можно было бы записать решение задачи следующим
образом:
4 368
4 92
23

Как и в случае с делением на однозначное число, решеO
ние можно записать и поOдругому:
23
4 92
4 368

Деление на такие числа, как 14 и 16, достаточно легко
выполнять в уме. Не представляет труда разделить число
пополам, прежде чем делить на больший множитель. Если
вам надо разделить 368 на 16 в уме, вы могли бы сказать
про себя: «Половина от тридцати шести – восемнадцать,
половина от восьми – четыре». Вы получили 184. Теперь
118

Ãëàâà 12. Äåëåíèå â ñòîëáèê ïî ìíîæèòåëÿì

вы делите уже меньшее число на 8 (которое осталось от 16
после того, как мы разделили на 2).
18 при делении на 8 дает 2 с остатком 2. Этот остаток (из
разряда десятков) переносим в разряд единиц (цифра 4),
получая 24. 24 при делении на 8 дает 3 без остатка. Таким
образом, ответ равен 23 без остатка. Все это легко вычисO
ляется в уме.
Общее правило деления по множителям состоит в том, что
бы сначала делить на меньшее число, а потом на большее.
Идея в том, что в итоге вы делите меньшее число на
больший множитель.
Например, если вам надо разделить 3444 на 21, то вы
сначала делите на 3, а потом на 7. К моменту, когда надо
будет делить на 7, исходное число успеет уменьшиться в
несколько раз.
3444 : 3 = 1148
1148 : 7 = 164

Делить 1148 на 7 легче, чем 3444 на 7.

Äåëåíèå íà ÷èñëà, îêàí÷èâàþùèåñÿ íà 5
Чтобы разделить на двузначное число, которое оканчиO
вается на 5, удвойте оба числа и используйте деление по
множителям.
Например:
1085 : 35 =

Удвоим оба числа. 2 на 1000 равно 2000, 2 на 85 равно 170.
1085 × 2 = 2170
35 × 2 = 70

Теперь задача выглядит так:
2170 : 70 =

Чтобы разделить на 70, делим сначала на 10, а потом на
7 (по множителям).
119

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

2170 : 10 = 217
217 : 7 = 31

Вычисление очень простое. 21 при делении на 7 дает 3
(3 × 7 = 21), а 7 делится на 7 один раз без остатка. Теперь
мы можем записать ответ для нашего исходного примера:
1085 : 35 = 31 ÎÒÂÅÒ

Попробуем решить другой пример:
512 : 35 =

500 при умножении на 2 дает 1000. 12, умноженное на 2,
равно 24. Таким образом, 512, умноженное на 2, дает 1024.
35, увеличенное вдвое, дает 70.
Теперь задача выглядит так:
1024 : 70 =

Разделим сначала на 10, а потом на 7:
1024 : 10 = 102,4
102,4 : 7 =

10 при делении на 7 дает 1. 1 – это первая цифра ответа.
Прибавляем остаток 3 (из разряда десятков) к цифре 2, что
дает нам 32.
32 : 7 = 4 r4

Мы получили в ответе 14 с остатком 4. Приписываем 4
к следующей цифре (после запятой), что дает нам 44.
44 : 7 = 6 r2

Окончательный ответ: 14,62.Это ответ к нашей исходO
ной задаче:
512 : 35 = 14,62

Можно делить числа с помощью множителей до любоO
го количества знаков после запятой.
Припишите столько нулей после запятой, сколько треO
буется для ответа, и добавьте еще один. Это позволит гаO
рантировать, что последняя цифра после запятой будет
получена с требуемой точностью.
120

Ãëàâà 12. Äåëåíèå â ñòîëáèê ïî ìíîæèòåëÿì

К примеру, если надо разделить 736 на 21 и при этом
ответ должен быть получен с точностью до двух знаков
после запятой, к делимому надо приписать три нуля посO
ле запятой.
Таким образом, вы делили бы 736,000 на 21. Итак:
35,047
7 245,333
3 736,000

Далее объясняется, как округлять три знака после запяO
той до двух.

Îêðóãëåíèå äåñÿòè÷íûõ äðîáåé
Чтобы округлить дробь до двух знаков после запятой,
рассмотрим третью цифру после запятой. Если она меньO
ше 5, тогда вторую цифру оставляем как есть и просто удаO
ляем третью. А если же она равна или больше 5, следует
вторую цифру увеличить на 1, а третью удалить.
В предыдущем примере третьей цифрой после запятой
является 7. 7 больше, чем 5, поэтому округляем ответ пуO
тем увеличения на 1 второй цифры после запятой (4), поO
лучив 5.
Таким образом, ответом с точностью до двух знаков
после запятой является 35,05.
Ответом с точностью до семи знаков будет 35,0476190.
Потом знаки повторяются, так что до 13 знаков после заO
пятой ответ выглядит так:
35,0476190476190

Чтобы округлить до 12 десятичных знаков, рассмотрим
тринадцатую цифру, которая равна нулю (меньше 5), поO
этому 9 оставляем без изменения:
35,047619047619
121

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

Двенадцатая цифра равна 9 (больше 5), поэтому при
округлении до одиннадцатого знака цифра 1 переходит в 2:
35,04761904762

При округлении до десятого знака замечаем, что одинO
надцатая цифра равна 2 (меньше 5), поэтому оставляем 6
без изменения:
35,0476190476

Попробуйте решить следующие примеры самостояO
тельно. Вычисления выполняйте до двух знаков после заO
пятой:
a) 4356 : 42 =
â) 4173 : 27 =

á) 2355 : 35 =
ã) 8317 : 36 =

Ответы:
a) 103,71
â) 154,56

á) 67,29
ã) 231,03

Îïðåäåëåíèå îñòàòêà
Иногда при делении нам хотелось бы знать остаток, а
не цифры после запятой. Как нам узнать остаток, когда
мы делим по множителям?
Правило звучит так:
Умножьте первый делитель на второй остаток и прибавьте
первый остаток.
Для вышеприведенного примера мы поступили бы слеO
дующим образом:
35 r0
7 245 r1
3 736
122

Ãëàâà 12. Äåëåíèå â ñòîëáèê ïî ìíîæèòåëÿì

Начнем с того, что перемножим числа в нижнем левом
и верхнем правом «углах»:
3×0=0

Теперь прибавим первый остаток (1). Искомый остаток
1
равен 1, или OOOO .
21
Еще один пример:
2327 : 35 =

Берем 7 и 5 в качестве множителей числа 35.
66 r3
7 465 r2
5 2327

Чтобы найти окончательный остаток, перемножаем
«угловые» числа (3 × 5 = 15). Теперь прибавим другой осO
таток (2):
15 + 2 = 17

Получаем в ответе 66 с остатком 17.
Решите следующие примеры самостоятельно и вычисO
лите остаток.
a) 4335 : 36 =

á) 2710 : 24 =

Ответы:
a) 120 r15

á) 112 r22

Деление столбиком по множителям позволяет выполO
нять немало вычислений в уме, за которые иной человек
не рискнул бы и взяться. Я постоянно все результаты выO
числяю в уме прямо по ходу соревнований и потому знаю
положение в турнирной таблице до того, как объявляют
данные. Кроме того, математические вычисления – это
прекрасная зарядка для ума.
123

Глава 13
Ñòàíäàðòíîå äåëåíèå
ñòîëáèêîì
Когда мы имеем дело с делением на простые числа, то
не можем использовать множители, чтобы преобразовать
задачу в простое деление на однозначное число. (ПростыO
ми являются те числа, у которых нет множителей, наприO
мер 29.)
Однако мы поOпрежнему можем использовать множиO
тели при решении таких задач. Речь идет об оценке приO
ближенного значения по ходу решения. Вместо 29, наприO
мер, мы делим на 30 (сначала на 10, а потом на 3), чтобы
узнать целую часть при делении на 29. Например:
24560 : 29 =

29 24560

Нельзя разделить 24 на 29, поэтому добавляем следуюO
щую цифру (5). Сколько раз 29 содержится в 245? В этом
месте многие жалуются, что сделать это трудно.
Есть простой способ. 29 – это почти 30, поэтому можно
сделать оценку путем деления на 30. Чтобы разделить на
30, сначала делим на 10 (что очень легко), а потом на 3 (тоO
же легко).
После деления 245 на 10 (24,5) просто отбросим последO
нюю цифру результата и забудем на время об остатке. ЗаO
дача сейчас состоит в том, чтобы разделить 24 на 3, что не
составляет труда. 3 на 8 равно 24. 8 – это первая цифра отO
124

Ãëàâà 13. Ñòàíäàðòíîå äåëåíèå ñòîëáèêîì

вета. Записываем ее над цифрой 5, поскольку сначала речь
шла о делении 245 на 29.
Теперь умножим наш ответ (8) на 29, чтобы узнать осO
таток. Простой способ умножения 29 на 8 состоит в том,
чтобы умножить 30 на 8 и вычесть 8 (30 × 8 = 240, 240 – 8 =
= 232).
8 × 29 = 232

Вычтя 232 из 245, получаем остаток: 13. Теперь решеO
ние выглядит так:
8
29 24560
–232
13

Теперь сносим следующую цифру в числе, которое мы
делим (делимое). Речь идет о цифре 6. Сносим ее к остатку
13 и получаем 136. Помечаем 6 сверху крестиком «х», чтоO
бы помнить о том, что мы эту цифру использовали.
Делим 136 на 29. Как и раньше, делим сначала на 10, а
потом на 3. 136 после деления на 10 дает 13 (остаток отбраO
сываем), а 13, деленное на 3, дает 4, если не учитывать осO
таток (4 × 3 = 12). Следующая цифра ответа равна 4. 4 на 29
дает 116. Вычтем 116 из 136 и получим 20.
Снесем 0, получив 200. Делим 200 на 30 (10 × 3):
200 : 10 = 20
20 : 3 = 6

Это последняя цифра ответа.
6 × 29 = 174

Вычтем 174 из 200 и получим остаток: 26. Полностью
решенная задача выглядит так:
125

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

846
29 24560
–232õõ
136
–116
200
–174
26 îñòàòîê
846 r26 ÎÒÂÅÒ

Общее правило для стандартного деления столбиком
таково:
Округляйте делитель до следующего десятка, сотни или
тысячи, чтобы было легче оценивать целую часть от деле
ния.
• При делении на 31 округляйте до 30 и делите на 3 и 10.
• При делении на 87 округляйте до 90 и делите на 9 и 10.
• При делении на 321 округляйте до 300 и делите на 3 и
100.
• При делении на 487 округляйте до 500 и делите на 5 и
100.
• При делении на 6142 округляйте до 6000 и делите на 6 и
1000.

Действуя таким образом, вы сможете быстро прикиO
нуть, какова величина искомой целой части, и вносить в
ход решения требуемые коррективы.
Попробуем решить еще один пример:
13570 : 317 =

Записываем задачу как обычно:
317 13570
126

Ãëàâà 13. Ñòàíäàðòíîå äåëåíèå ñòîëáèêîì

Округляем 317 до 300, и используемыми множителями
будут 3 и 100.
Нельзя разделить 1 или 13 на 300. Также нельзя раздеO
лить 135 на 300, но зато 1357 можно. Сколько раз 300 соO
держится в 1375?
Чтобы разделить на 300, сначала разделим 1357 на 100,
а потом на 3.
Деля 1357 на 100, необходимо просто переместить деO
сятичную запятую на две позиции влево или, что еще
проще, отбросить две последние цифры. Осталось раздеO
лить 13 на 3.
Ответом, разумеется, будет 4 с остатком 1. Нас не волO
нует остаток на данном этапе, поэтому требуемый ответ –
4. Записываем 4 в качестве первой цифры ответа исходной
задачи.
4
317 13570

Цифру 4 в исходной задаче следует поместить над цифO
рой 7, поскольку на самом деле мы только что делили 1357
на 317.
Теперь умножим 317 на 4, чтобы узнать остаток от делеO
ния.
317 × 4 = 1268

Запишем 1268 под 1357 и вычтем одно из другого.
1357 – 1268 = 89

Наши вычисления на данный момент выглядят следуO
ющим образом:
4
317 13570
1268
89
127

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

Теперь снесем следующую цифру делимого – 0. Число,
с которым мы работаем теперь, – 890. Нам необходимо
разделить 890 на 317. Деление на 100 дает 8. Деление затем
на 3 дает 2. Запишем эту цифру над цифрой 0.
Умножаем 317 на 2, чтобы узнать остаток.
2 × 317 = 634
890 – 634 = 256

256 – это наш остаток.
В окончательном виде решение выглядит так:
42
317 13570
1268x
890
634
256 îñòàòîê
42 r256 ÎÒÂÅÒ

Если мы хотим выразить ответ в виде десятичной дроO
би, можно продолжить деление. Общее правило при делеO
нии состоит в том, чтобы приписывать делимому на один
нуль больше после запятой, чем требуется десятичных
знаков в ответе.
Если мы хотим получить ответ с точностью до одного
знака после запятой, разделим 13570,00 на 317 и выполO
ним округление.
42,8
317 13570,00
12,68õ õ
890
634
2560
2536
24 îñòàòîê
128

Ãëàâà 13. Ñòàíäàðòíîå äåëåíèå ñòîëáèêîì

В данном случае, даже если мы попытаемся продолO
жить до следующего знака после запятой, то сразу же заO
метим, что после снесения еще одного нуля и выполнения
следующего шага (240 : 317) мы получим в ответе число
меньше 1, то есть 0 и еще чтоOто. Это даст нам 42,8, что
вполне удовлетворяет точности, которая требуется от отO
вета.
При делении на 317 самое большое число, на которое
мы поOнастоящему делили, равнялось 3. Благодаря этому
вычисления оказались несложными.
В этой связи вполне справедливым кажется утверждение,
что деление даже на достаточно большие числа в столбик –
это несложная операция.
Какие числа вы использовали бы в качестве множитеO
лей при делении на следующие числа?
a) 78
â) 723

á) 289
ã) 401

На вашем месте в качестве множителей я бы испольO
зовал:
a) 8 × 10 (80)
â) 7 × 100 (700)

á) 3 × 100 (300)
ã) 4 × 100 (400)

А какое приближенное число вы использовали бы в
случае деления на 347? 347 ближе к 300, чем к 400, однако
ни то, ни другое число не кажется подходящим выбором.
Более простым подходом было бы удвоить и делитель, и
делимое.
Например, чтобы разделить 33480 на 347, удвоим оба
числа, что никак не повлияет на результат. Удвоив 33480,
получим 66960; удвоив же 347, получим 694.
Теперь задача выглядит так: 66960 разделить на 694. ИсO
пользуем 700 в качестве приближенного числа. Легко оцеO
129

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

нить целую часть ответа в исходной задаче, разделив снаO
чала 67000 на 700.
Разделив 67000 на 100, получаем 670. Затем, разделив
670 на 7, получаем 9 с остатком 4. Деление 40 (67000 –
– 66960) на 7 дает без малого 6. Наше приближенное знаO
чение ответа составляет 96.
Решив исходный пример, получаем в ответе 96,48.
Однажды, участвуя в правительственной программе по
повышению эффективности преподавания математики в
школе, я заявил, что учу своих учеников тому, как испольO
зовать множители при делении на простые числа. Одному
учителю показалось, что такого не может быть, и он поO
просил меня показать, как мне это удается.
Я показал учителям этой школы методы, изложенные в
настоящей главе. Преподаватель, который усомнился в
моей правоте, в конце презентации сказал: «Знаете, я всегO
да именно так и выполнял деление, но мне и в голову не
приходило учить этому своих учеников».

130

Глава 14
Ïðÿìîå äåëåíèå
Если вы легко выполняете деление на однозначные
числа, то деление столбиком не должно представлять для
вас труда. Если вы делите на число, не являющееся просO
тым (то есть на число, которое может быть разложено на
множители), то задача не представляет особого труда. ДеO
ление на большие числа также не должно создавать проO
блем, если вы используете принцип приближенной оценO
ки посредством множителей. Ниже я предлагаю альтернаO
тивный метод, который может быть использован для делеO
ния на двузначные и трехзначные числа.

Äåëåíèå íà äâóçíà÷íûå ÷èñëà
Рассмотрим пример:
2590 : 73 =

Прежде всего округляем 73 до 70 и будем делить на 10 и
7, делая по ходу поправку на 3, которое держим в уме.
Делим число на 10. Это переместит запятую на одну поO
зицию влево.
2590 : 10 = 259,0

Теперь делим 259,0 на 7, делая одновременно поправку
на 3.
73 25 9, 000
35
25 делится на 7 три раза (3 × 7 = 21) с остатком 4. Таким
4

5

образом, 3 – это первая цифра ответа. Переносим остаток,
131

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

как при обычном способе деления. Приписав 4 к следуюO
щей цифре делимого (9), получаем 49. Внесем поправку
путем умножения предыдущей цифры ответа (3) на цифру
единиц (3) в исходном делителе (73). Получаем: 3 × 3 = 9.
Вычтем 9 из 49 и получим 40. Теперь разделим 40 на 7.
В ответе получается 5, поскольку 5 × 7 = 35 (остаток 5). 5 –
это вторая цифра искомого ответа. Переносим остаток к
следующей цифре, после чего работаем с числом 50.
73 25 9, 000
35
4

5

Умножим последнюю полученную цифру ответа (5) на
цифру единиц в исходном делителе (3). Получаем 15. ВыO
читаем 15 из 50 и получаем 35. Делим 35 на 7. Имеет место
деление нацело, и в ответе получается 5. Остатка у нас нет,
и в связи с этим у нас возникает проблема, что переносить
к следующей цифре. Уменьшаем полученный ответ на 1 и поO
лучаем 4 с остатком 7 (замечание: 4 × 7 + 7 (остаток) = 5 × 7,
то есть мы просто иначе выразили одно и то же число).
73 25 9, 0 00
3 5, 4
4

5 7

Умножим 4 на цифру единиц (3) и получим 12. Вычтем
12 из 70 и получим 58. 58, деленное на 7, дает 8 с остатком
2. Перенос 2 даст нам новое число для работы: 20. ДостаO
точно ли оно велико? Нам придется вычесть 8 × 3 = 24 из
20. Полученный ответ снова слишком большой, поэтому
уменьшаем его на 1 и получаем 7. 58, деленное на 7, дает
нам 7 с остатком 9. Записываем 7 и переносим 9 дальше.
Получили рабочее число 90. Далее: 7 × 3 = 21 и 90 – 21 = 69.
Это приемлемо.
Поделив 69 на 7, имеем 9 с остатком 6. 9 – это следуюO
щая цифра ответа.
132

Ãëàâà 14. Ïðÿìîå äåëåíèå

73 25 9, 0 0 0 0
3 5, 4 7 9
4

5 7 9 6

После соответствующей тренировки все вычисления
могут быть выполнены в уме.
Рассмотрим другой пример:
2567 : 31 =

30 – это 3, умноженное на 10, поэтому делим сначала на
10, а потом на 3, внося по ходу решения поправки.
2567 : 10 = 256,7

25 делится на 3 восемь раз с остатком 1. 8 будет первой
цифрой нашего ответа. Остаток 1 переносится к следуюO
щей цифре делимого, что дает нам 16.
31 25 6,7
8
1

Внося поправку, умножим полученную цифру ответа на
цифру единиц (1) в делителе (31). 8 × 1 = 8. Вычитаем 8 из
рабочего числа 16 и получаем в ответе 8.
Теперь делим 8 на 3. В ответе получаем 2 с остатком 2.
Переносим остаток 2 к следующей цифре. Новое рабочее
число – 27. Нам опять требуется внести поправку.
31 25 6, 7
82
1

2

Предыдущая цифра ответа – 2. Умножаем ее на цифру
единиц исходного делителя. 2 на 1 будет 2, 27 минус 2 равO
но 25. Делим 25 на 3, получая в ответе 8 с остатком 1.
31 25 6, 7 00
8 2, 8
1

2 1

133

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

Умножаем последнюю полученную цифру ответа (8) на
цифру единиц (1) в делителе и в ответе имеем 8. Вычтем 8
из нового рабочего числа (10). 10 минус 8 равно 2. 2 на 3 разO
делить нельзя. Значит, следующая цифра ответа равна 0.
Это дает нам ответ с точностью до одного знака после
запятой.
Попробуйте решить следующие примеры самостояO
тельно. Если хотите, можете решать столбиком. ПопроO
буйте решить некоторые примеры в уме и запишите полуO
ченный ответ.
a) 368 : 71 =
â) 724 : 61 =
ä) 1234 : 41 =

á) 236 : 43 =
ã) 549 : 61 =

Ответы:
a) 5,18
â) 11,869
ä) 30,09756

á) 5,488
ã) 9

Ñïîñîá îêðóãëåíèÿ â ñòîðîíó óâåëè÷åíèÿ
Если цифра в разряде единиц в делителе велика, можно
следовать видоизмененной процедуре.
Например:
2590 : 69 =

Заменяем 69 на 70 – 1.
Делим на 10, а потом на 7, внося поправки по ходу.
7–1 25 9,000
3
4

25 делится на 7 три раза (3 × 7 = 21) с остатком 4. ПриO
писываем 4, как и прежде, к следующей цифре делимого,
что дает нам рабочее число 49. Теперь умножаем полученO
134

Ãëàâà 14. Ïðÿìîå äåëåíèå

ную цифру ответа (3) на 1, которую мы рассматриваем
цифрой единиц в делителе. В ответе получаем 3. Прибавля
ем его к рабочему числу и получаем 52. Разделив 52 на 7,
получим 7 с остатком 3. Записываем 7 и переносим 3. ПоO
лучаем новое рабочее число: 30.
7–1 25 9, 0
37
4

3

Теперь умножим последнюю полученную цифру ответа
(7) на 1, что даст нам 7. Прибавим 7 к 30 и получим 37. 37,
деленное на 7, дает 5 с остатком 2. Записываем 5 следуюO
щей цифрой и переносим 2. Получили рабочее число 20.
Прибавим к нему 5 × 1 = 5 и получим 25. 25, деленное на 7,
равно 3 с остатком 4. Переносим 4 и получаем новое число
40. Прибавляем к нему 3, получаем 43. 43, деленное на 7,
дает 6 – это следующая цифра нашего ответа. Можно проO
должать до любого количества знаков после запятой. РеO
шение до трех знаков после запятой выглядит следующим
образом:
7–1 25 9, 0 0 0
3 7, 5 3 6
4

3 2 4

Попробуйте решить следующие примеры самостояO
тельно:
a) 2671 : 41 =
â) 3825 : 62 =

á) 3825 : 58 =
ã) 2536 : 39 =

Ответы:
a) 65,146
â) 61,69

á) 65,948
ã) 65,0256

Если вы округляете исходный делитель в сторону увели
чения, получая вспомогательный делитель, то корректи
135

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

рующую величину следует прибавлять к рабочему числу.
Если же вы округляете исходный делитель в сторону
уменьшения, то корректирующую величину следует вычи
тать из рабочего числа.
Запомнить, следует ли прибавлять или вычитать корO
ректирующую величину, помогает следующий способ:
представьте, что вам надо разделить 15 подарков на 9 или
11 человек. В каком случае в результате деления получится
больший остаток? Если бы вы делили на 10, то вам приO
шлось бы прибавить 1, корректируя ответ, полученный от
деления на 9. В другом же случае вы вычитали бы 1, чтобы
скорректировать ответ, полученный от деления на 11.
Укажу на трудность, возникающую при использовании
данного метода, и объясню, как с ней можно справиться.
Вычислим 2536 : 39. Вот таким образом я записываю усO
ловие задачи:
40
+1
39 2536

Я записываю делитель (39), затем +1 над ним, чтобы
получить наш рабочий делитель 40. (Знак «плюс» говорит
о том, что необходимо прибавить 1, умноженное на посO
леднюю полученную цифру ответа.)
Чтобы разделить на 40, делим сначала на 10, а потом на
4. 2536, деленное на 10, дает 253,6. Теперь разделим на 4,
внося по ходу вычислений поправки.
40
+1
39 253,6000

25 делится на 4 шесть раз с остатком 1. Переносим 1 к
следующей цифре (3), что дает нам 13.
136

Ãëàâà 14. Ïðÿìîå äåëåíèå

40
+1
1
39 25 3,6000
6

Теперь внесем поправку. 6 на +1 дает +6. Прибавим 6 к
нашему рабочему числу 13 и получим 19. 19, деленное на
4, дает 4 с остатком 3. Записываем в ответ 4 и перенесем 3,
получая 36 в качестве следующего рабочего числа.
40
+1
1 3
39 25 3, 6000
64

4, умноженное на +1, дает +4. 36 плюс 4 равно 40. 40,
деленное на 4, будет 10.
Теперь мы столкнулись с проблемой. 10 не годится для
ответа, поэтому мы делаем вывод, что предыдущая полуO
ченная цифра была слишком малой. Повышаем ее с 4 до 5.
40
+1
1 –1
39 25 3, 6000
65

19 делится на 4 пять раз с остатком –1.
(Иными словами, 5 × 4 = 20. 19 – рабочее число; оно
равно 20 – 1.)
Когда переносим 1 к следующей цифре, эта единица
представляет собой число 10. (2 представляет 20, 3 предO
ставляет 30 и т. д. Иными словами, мы умножаем переноO
симую цифру на 10.)
Умножим последнюю цифру ответа (5) на +1, получаем
+5. Следующим рабочим числом является 1: 6 (помним о
–10) плюс 5, то есть 11, минус 10.
1 делится на 4 нуль раз с остатком 1.
137

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

40
+1
1 –1 1
39 25 3, 6 000
6 5, 0

Следующим рабочим числом будет 10. 10 плюс 0,
а затем умноженное на +1, дает 10.
10 делится на 4 два раза с остатком 2.
40
+1
1 –1 1 2
39 25 3, 6 0 00
6 5, 0 2

Наше рабочее число теперь 20. Имеем: (20 + 2) × 1 = 22.
22, деленное на 4, дает 5 с остатком 2.
40
+1
1 –1 1 2 2
39 25 3, 6 0 0 0
6 5, 0 2 5

Очередным рабочим числом является 20: (20 + 5) × 1 = 25.
25, деленное на 6, дает 4 с остатком 1.
40
+1
1 –1 1 2 2 1
39 25 3, 6 0 0 0 0
6 5, 0 2 5 6

10 плюс 6 равно 16. 16 при делении на 4 дает 4. Видим,
что полученный ответ – 65,0256 – точен до 4 десятичных
знаков.
Когда в одном месте получилось 10 в результате делеO
ния рабочего числа на рабочий делитель, мы поняли, что
нужно увеличить последнюю цифру ответа на 1. Затем мы
получили отрицательный остаток, подлежащий переносу,
который должен, по идее, быть увеличен в 10 раз (поO
138

Ãëàâà 14. Ïðÿìîå äåëåíèå

скольку остаток переносится из более высокого разряда).
Не прибавляйте этот остаток к очередной цифре делимого
вплоть до того (а точнее, не вычитайте, поскольку речь
идет об отрицательном числе), как вы умножили последO
нюю полученную цифру ответа на корректирующий мноO
житель и прибавили полученное число к текущей цифре
делимого, так как всегда легче вычесть в конце число,
кратное 10, чем вычесть его в начале, а затем работать с отO
рицательными числами.

Äåëåíèå íà òðåõçíà÷íûå ÷èñëà
Деление на трехзначное число аналогично делению на
двузначное. Например:
45678 : 321 =

Оформляем решение примера так же, как в случае делеO
ния на двузначное число.
321 45678

Прежде всего делим на 300. Для этого сначала делим на
100, а потом на 3.
Деление на 100 подразумевает перенос десятичной заO
пятой на две позиции влево. Это дает нам число 456,78.
Теперь делим на 3 и вносим поправки по ходу решения.
4 при делении на 3 дает 1 с остатком 1, поэтому 1 – это
первая цифра нашего ответа. Записываем 1 под цифрой 4
делимого. Остаток 1 переносим к следующей цифре, что
дает нам рабочее число 15.
1

321 4 56,78
1

Теперь умножим наш ответ (1) на вторую цифру делиO
теля (2). 1 на 2 равно 2. Вычитаем 2 из нашего рабочего
139

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

числа (15) и получаем 13. Теперь делим 13 на 3. 13 при деO
лении на 3 дает 4 с остатком 1. 4 – это следующая цифра
ответа. Переносим остаток, как обычно, и получаем новое
рабочее число 16.
1 1

321 4 5 6,78
14

Теперь умножим последнюю цифру ответа (4) на втоO
рую цифру делителя:
4×2=8

Также умножим предыдущую цифру ответа (1) на треO
тью цифру делителя (1). Сложим эти два числа (8 + 1 = 9)
и вычтем сумму из рабочего числа. Нашим рабочим чисO
лом является 16, поэтому: 16 – 9 = 7.
Разделим 7 на 3, чтобы получить следующую цифру в
ответе. 7 при делении на 3 дает 2 с остатком 1.
Переносим остаток к следующей цифре (7) и получаем
новое рабочее число 17.
1 1

1

321 4 5 6, 78
142

Перемножим накрест две последние цифры ответа с
двумя последними цифрами делителя. Затем сложим два
полученных результата.
2×2=4
4×1=4
4+4=8

Вычтем 8 из нашего рабочего числа 17: 17 – 8 = 9. ТеO
перь разделим 9 на 3.
Мы знаем, что нам нужен остаток для переноса к следуO
ющей цифре. Если мы ничего не перенесем, хватит ли нам
140

Ãëàâà 14. Ïðÿìîå äåëåíèå

величины самой цифры? Да, хватит, поскольку наше слеO
дующее перемножение цифр накрест и сложение резульO
татов дадут в сумме 8 (8 : 3 = 2 r2, затем 3 × 2 = 6, 2 × 2 = 4,
6 + 2 = 8), однако в этом случае не будет остатка для последO
него шага. Поэтому уменьшим 3 до 2 и получим остаток 3.
9 : 3 = 2 r3
1 1

1 3

321 4 5 6, 7 8
1 4 2, 2

Нашим следующим рабочим числом будет 38. ПереO
множаем накрест, а затем складываем результаты:
2×2=4
2×1=2
4+2=6
38 – 6 = 32

Делим 32 на 3 и получаем 9 с остатком 5. (Мы намеренно
занизили целую часть, поскольку нам нельзя получить 10 в
качестве ответа – ответом должно быть только однозначO
ное число.) Уже сейчас можно сказать, что нам придется
вычитать достаточно большое число после перемножения
накрест, поскольку одним из множителей является 9.
1 1

1 3 5

321 4 5 6, 7 8 0
1 4 2, 2 9

Наше текущее рабочее число – 50. Умножим накрест:
9 × 2 = 18
2×1=2
18 + 2 = 20
50 – 20 = 30

Делим 30 на 3 с остатком.
30 : 3 = 9 r3
141

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà
1 1

1 3 5 3

321 4 5 6, 7 8 0 0
1 4 2, 2 9 9

Очередное рабочее число – 30. Умножаем накрест.
9 × 2 = 18
9×1=9
18 : 9 = 27
30 – 27 = 3

3 не делится на 3 с остатком, поэтому следующая цифра
в ответе – 0.
Прервем решение на этом месте, получив в качестве отO
вета число 142,2990, являющееся точным до четвертого
знака после запятой. Можно продолжить до любого знака,
какого пожелаете.
Разве данный способ не проще стандартного деления в
столбик?
Вот несколько примеров для самостоятельного решеO
ния:
a) 7120 : 312 =

á) 4235 : 213 =

Ответы:
a) 22,82

á) 19,88

Попробуйте решить свои собственные примеры, проO
веряя ответы с помощью калькулятора. В главе 16 мы поO
знакомимся с методом для простой и быстрой проверки
того, правильно ли мы решили задачу на деление.

142

Глава 15
Äåëåíèå ïîñðåäñòâîì
ñëîæåíèÿ
Данный метод очень хорош для деления на числа, чуть
меньшие по величине, чем 10, 100, 1000 и т. д., или такие,
как 20, 300, 500 и т. д. Он также служит хорошей иллюстO
рацией того, что, по сути, представляет собой деление.
Сколько раз 9 делит 10? Один раз с остатком 1. Таким
образом, для каждой десятки 9 разделит ее 1 раз и даст в
остатке 1. Поэтому число 20 разделится на 9 два раза с осO
татком 2. Число 40 – четыре раза с остатком 4. И так для
каждой десятки в составе числа.
Если у вас есть несколько долларов, вы можете купить
чтоOнибудь за 90 центов за каждый доллар и получить
10 центов сдачи. Если у вас достаточно денег, вы можете
купить чтоOто еще на накопившуюся сдачу. Это приводит
нас к новому и легкому способу решения непростых задач
на деление. Деля на 90 центов, поделите сначала на 100
(доллар) и возьмите сдачу.
Например, если бы вы покупали напиток за 95 центов, а у
вас в кармане есть 1,20 доллара, вы дали бы продавцу долO
лар, оставив в кармане 20 центов. Плюс к этому вы полуO
чили бы 5 центов сдачи, поэтому от покупки у вас осталось
бы 25 центов, или, как мы сказали бы, ваш остаток состаO
вил бы 25 центов.
Таким образом, можно сказать, что при делении 120 на
95 получается 1 с остатком 25.
Рассмотрим пример:
143

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

100
96 234
4

Мы делим 234 на 96. Записываем решение привычным
образом, однако рисуем кружок под 96 и вписываем в него
4. (На сколько 96 меньше 100?)
Теперь, вместо того чтобы делить на 96, делим на 100.
Сколько раз 100 содержится в 234? Два раза с остатком 34.
Записываем 2 как первую цифру ответа.
Остаток 34 необходимо сложить с остатком 4 с каждой
сотни. В нашем случае у нас две сотни, поэтому наш остаO
ток равен 2 × 4, то есть 8, плюс ранее полученный остаток
34, что в сумме дает нам 42 в качестве общего остатка.
100 2
96 234
4 8+
42 îñòàòîê

Речь идет о том, что 234 делится на 100 дважды и остаO
ток составляет 34. Поскольку на самом деле мы делим на
96, нам необходимо учесть остаток 4 с каждой сотни, на
которую делится исходное число.
Если бы мы покупали вещи по цене 96 центов и имели
при этом 2,34 доллара в кармане, то отдали бы продавцу
2,00 доллара и оставили бы в кармане 34 цента. Мы к тому
же получили бы 8 центов сдачи, которые в сумме с имеюO
щимися 34 центами дали бы 42 цента.
Разберем еще один пример:
705 : 89 =

Записываем условие задачи:
100
89 705
11
144

Ãëàâà 15. Äåëåíèå ïîñðåäñòâîì ñëîæåíèÿ

89 на 11 меньше 100, поэтому записываем 11 под делиO
телем.
Сколько сотен содержится в 705? Очевидно, что 7, поO
этому записываем в ответ 7.
Каков наш остаток? На каждую сотню остаток составO
ляет 11. Сотен у нас 7, поэтому остаток равен 7 × 11, то есть
77. К 77 надо приплюсовать 5, что осталось от 705, и это
дает нам 82 (77 + 5 = 82).
100 7
89 705
11 77
82

Опять заметим, что сотни мы больше не трогаем,
а имеем дело только с остатком 5.
Вычислим ответ с точностью до двух знаков после запяO
той.
100 7
89 705,000
11 77 x
82 0

Теперь делим 820 на 89.
Мы имеем 8 сотен, поэтому 8 – следующая цифра отвеO
та. 8, умноженное на 11, дает 88.
100 7,8
89 705,000
11 77 x
82 0
88

88 плюс 20 (что осталось от 820) равно 108 – это сумO
марный остаток. Он очевидным образом слишком велик,
поскольку превышает наш делитель, поэтому увеличим
145

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

последнюю полученную цифру ответа на 1. Теперь решеO
ние выглядит следующим образом:
100 7,9
89 705,000
11 77 x
82 0
99
11 9

Поскольку нам пришлось увеличить цифру ответа на
единицу, вычтем один раз рабочий делитель (100) из наO
шего остатка. Вычеркнем единицу из разряда сотен в осO
татке и получим настоящий остаток: 19.
Сносим нуль сверху и получаем 190.
Видно, что 89 делит 190 дважды, поэтому просто запиO
сываем 2 в качестве следующей цифры ответа. (90 в состаO
ве 190 уже больше, чем наш делитель.)
(Если для вас не очевидно, что в ответ надо записать 2,
вы могли бы записать 1 в качестве следующей цифры,
помня о том, что хотя бы одна сотня содержится в 190. 1 на
11 равно 11, которое мы должны прибавить к 90, оставшеO
муся от 190, и в результате получим 101. Поскольку делиO
тель равен 89, а мы не можем иметь остатка 101, превышаO
ющего его, этот вариант следует отбросить, а взять в каO
честве следующей цифры ответа 2.)
100 7,92
89 705,000
11 77 xx
82 0
99
11 90
22
1 12 îñòàòîê
146

Ãëàâà 15. Äåëåíèå ïîñðåäñòâîì ñëîæåíèÿ

Поскольку мы увеличили последнюю цифру ответа на
1, вычитаем 100 × 1 из остатка. 112 минус 100 дает 12. СноO
сим последний нуль и получаем 120.
120 делится на 89 единожды, что позволяет нам полуO
чить в ответе 7,921. Поскольку ответ нам нужен с точносO
тью до двух десятичных знаков, можно округлить до 7,92.
Всю задачу можно было без труда решить в уме.
Попробуйте решить следующие примеры в уме, полуO
чив целую часть ответа и остаток.
a) 645 : 98 =
â) 234 : 88 =

á) 2345 : 95 =
ã) 1234 : 89 =

Ответы:
a) 6 r57
â) 2 r58

á) 24 r65
ã) 13 r77

Легко, не правда ли?
Данный метод хорошо применять, когда речь идет о деO
лении на числа чуть меньше 100, 1000 и т. д. или числа,
кратные 100, 1000 и т. д., но может использоваться и в слуO
чае деления других чисел.

Äåëåíèå íà òðåõçíà÷íîå ÷èñëî
Пример:
23456 : 187 =

Записываем задачу как обычно:
200
187 23456
13

Используем рабочий делитель 200, поскольку 187 равно
200 минус 13.
147

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

Приступаем к расчетам. 234 делится на 200 один раз,
поэтому первая цифра ответа будет 1. Записываем 1 над 5.
Умножаем полученную цифру ответа (1) на число в
кружке (13) и получаем в результате 13. Записываем 13 под
234 и прибавляем к 34.
34 + 13 = 47

200 1
187 23456
13 13
47

Сносим следующую цифру (5) к 47 и получаем 475.
Делим 475 на 200. 400 делится на 200 дважды, поэтому
2 – это следующая цифра ответа.
200 12
187 23456
13 13x
475

Умножаем 2 на 13 и получаем 26.
75 + 26 = 101

Сносим следующую цифру (6).
200 12
187 23456
13 13xx
475
26
1016

Делим 1016 на 200. 1000 делится на 200 пять раз, поэтоO
му следующей цифрой в ответе будет 5. 5 × 13 равно 65.
65 плюс 16 равно 81 – это наш остаток.
148

Ãëàâà 15. Äåëåíèå ïîñðåäñòâîì ñëîæåíèÿ

200 125
187 23456
13 13xx
475
26
1016
65
81 îñòàòîê

Наш ответ: 125 и 81 в остатке.
Бесспорно, гораздо легче умножать 13 на каждую цифO
ру ответа, чем то же самое делать с числом 187.
Следующий пример показывает, как поступать, когда
вы получаете остаток, выполняя деление на рабочий делиO
тель.
4567 : 293 =

Задача в начальном виде выглядит так:
300
293 4567
7

Делим 400 на 300, получая 1 с остатком 100. Я обычно
обозначаю переносимый остаток маленькой единичкой.
1 на 7 равно 7, поэтому прибавляем 7 к 56. К этому слеO
дует приплюсовать 100, наш предыдущий остаток, и в итоO
ге получаем суммарный остаток (163).
300
1
293 4 567
1
7 07
163

Сносим следующую цифру делимого. Теперь делим
1637 на 300.
1600 делится на 300 пять раз, остатком является 100.
Выполняем ту же процедуру.
149

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

37 плюс 135 дает остаток 172. При решении данного
примера нам пришлось дважды переносить остаток.
300
15
293 4 567
1
7 07x
1637
1
35
172 îñòàòîê

Рассмотрим еще один пример:
45678 : 378 =

378 на 22 меньше 400, поэтому наш метод может быть с
успехом применен.
Записываем задачу принятым нами способом:
400
378 45678
22

Используем 400 в качестве рабочего делителя.
Первое вычисление не представляет труда. 465 делится
на 400 один раз.
400 1
378 45678
22 22
78

22, умноженное на 1, дает 22. Прибавляем 22 к 56 и поO
лучаем 78.
Сносим следующую цифру делимого (7).
400 1
378 45678
22 22x
787
150

Ãëàâà 15. Äåëåíèå ïîñðåäñòâîì ñëîæåíèÿ

401 содержится в 787 один раз, однако 787 – это почти
800, и к тому же мы ведь на самом деле делим не на 400, а
на 378. Можно предположить, что результатом деления
является 2. Давайте проверим это.
400 12
378 45678
22 22x
787
44
131

2 на 22 равно 44. 87 плюс 44 дает 131. Вычтем 100 (полуO
чив 31), поскольку мы прибавили 1 к очередной цифре отO
вета, записав 2 вместо 1. Речь идет о том, что мы просто
нашли разность от вычитания 378 дважды из 787. Ответом
должно быть число, которое меньше 100. Теперь снесем
вниз следующую цифру (8).
400 12
378 45678
22 22xx
787
44
318

400 не делит 318 с целой частью, большей 0. Проверим,
как насчет нашего настоящего делителя. 318 не делится и
на 378, поэтому берем в качестве очередной цифры в отвеO
те 0, а 318 становится остатком.
400 120
378 45678
22 22xx
787
44
318 îñòàòîê
151

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

А как бы мы решали такую задачу?
1410 : 95 =

Используя рассматриваемый метод, ее можно решить
двумя способами. Сначала рассмотрим решение первым
способом.
100
95 1410
5

Можно спросить себя: «Сколько раз тысяча четыреO
ста делится на сто?» 14 раз. Записываем 14 в качестве отO
вета. Теперь займемся остатком. 14, умноженное на 5,
дает 70. (14 на 2 дает 7. 5 на 2 равно 10, 10 умножить на 7
будет 70.) 70 плюс остаток от 1410 (10) дает 80. Ответ: 14
с остатком 80.
100 14
95 1410
5 70
80 îñòàòîê

Второй способ:
100 14
95 1410
5 5x
460
20
80 îñòàòîê

141 делится на 100 один раз с остатком 41.
1 на 5 равно 5, плюс остаток 41 – получаем 46. Сносим
следующую цифру делимого (0), что дает нам 460.
460 делится на 100 четыре раза с остатком 60. 4 на 5 равO
но 20, плюс остаток 60 – равно 80 (остатку).
152

Ãëàâà 15. Äåëåíèå ïîñðåäñòâîì ñëîæåíèÿ

Первый способ легче и удобнее для вычислений в уме,
не так ли? Попробуйте решить пример обоими способами
в уме и сравнить, какой из них легче.

Âîçìîæíûå îñëîæíåíèÿ
Приведу интересный пример, демонстрирующий возO
можные проблемы при использовании метода:
3456 : 187 =

Оформляем как обычно:
200
187 3456
13

Делим 300 в составе 345 на 200. Ответом служит 1 с осO
татком 100. Записываем это в таком виде:
200
1
1
187 3 456
13

Ставим единичку над цифрой сотен (3 – это цифра в
разряде сотен числа 345), которая обозначает полученный
нами остаток 100.
Теперь умножим: 1 × 13 = 13. Прибавляем результат к
45, что осталось от 345, а также приплюсовываем 100 – пеO
реносимый остаток.
200
1
187 31456
13 13
158

Этим мы подразумеваем следующее: если у нас имеется
в кармане 345 долларов и мы покупаем чтоOнибудь за
187 долларов, то можем дать 200 долларов продавцу и осO
153

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

тавить 145 долларов в кармане. Нам дадут еще 13 долларов
сдачи, и вместе с деньгами, оставшимися в кармане, теO
перь у нас окажется 158 долларов.
Сносим цифру 6. Теперь нам нужно разделить 1586 на
200.
1500 делится на 200 семь раз с остатком 100. Не забудьте
сделать поправку по поводу данного остатка в виде едиO
нички в разряде сотен. Можно видеть, что остаток полуO
чится большой: 7 × 13, плюс 186, что осталось от 1586. ПоO
этому увеличиваем цифру в ответе на 1, получая 8 вместо 7.
Произведение 8 × 13 посчитать легко: 8 на 10 равно 80,
плюс 8 × 3 = 24 – получаем в итоге 104.
200 18
187 31456
13 13õ
15186
104

–200

Поскольку дополнительная единица, которую мы приO
бавили к цифре ответа, соответствует еще 200 в качестве
делителя, нам следует вычесть их из остатка. Припишем –
200 справа от решения в напоминание об этом.
200 18
187 31456
13 13õ
15186
104
90

–200

Прибавляем 186 к 104 и получим 290. Теперь вычтем из
этой суммы записанные справа 200 и получим наш оконO
чательный остаток 90. Процедура, описанная выше, просO
той не кажется, однако после некоторой тренировки вы
154

Ãëàâà 15. Äåëåíèå ïîñðåäñòâîì ñëîæåíèÿ

обнаружите, что на самом деле все совсем несложно. ГлавO
ное – это внимательно следить за собственными действиO
ями и отдавать себе отчет в том, что вы делаете на каждом
шаге. Попробуйте решить несколько аналогичных примеO
ров, и накопленный опыт не преминет сказаться.
Можем ли мы использовать данный способ, чтобы разO
делить 34567 на 937? Хотя 937 расположено недалеко от
1000, разница все равно больше, чем раньше, – поэтому
умножение на такое число легким не назовешь.
Попробуем решить эту задачу.
1000
937 34567
63

Первым шагом будет разделить 3000 на 1000. Ответом,
очевидно, является 3. Это первая цифра нашего ответа.
Теперь нам необходимо умножить число в кружке на 3.
3, умноженное на 60, дает 180 и 3 на 3 будет 9; ответ, таO
ким образом, равен 189. Записываем 189 под 3456 и приO
бавляем его к 456, чтобы получить остаток.
456 + 189 = 645

1000
3
937 34567
63 189
645

Сносим следующую цифру (7).
1000
3
937 34567
63 189x
6457

Теперь нам необходимо разделить 6457 на 1000.
155

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

6000 при делении на 1000 дает 6. Теперь умножим 63
на 6. Трудная ли это задача? Нет. 6 на 60 дает 360 и плюс
3 × 6 = 18 – получаем 378.
Прибавим это к 457 и получим наш остаток 835.
1000
36
937 34567
63 189x
6457
378
835 îñòàòîê

Итак, 34567, деленное на 937, дает 36 с остатком 835.
Продолжим деление до получения ответа с двумя знаO
ками после запятой.
1000
36
937 34567,000
63 189x
6457
378
835

Добавляем на один нуль после запятой больше, чем
требуется для ответа.
Сносим первый нуль и получаем 8350. Сколько раз 1000
содержится в 8000? Восемь, поэтому 8 – это следующая
цифра ответа.
1000
36,8
937 34567,000
63 189x x
6457
378
8350

8, умноженное на 63, дает 504. (8 на 60 равно 480 и 8 на
3 равно 24. 480 плюс 24 дает 504.)
156

Ãëàâà 15. Äåëåíèå ïîñðåäñòâîì ñëîæåíèÿ

350 + 504 = 854

1000
36,8
937 34567,000
63 189x x
6457
378
8350
504
854

Снесем следующую цифру (0), это даст нам 8540, затем
разделим 8540 на 1000, в результате чего получим опять 8.
Мы уже знаем, что произведение 8 × 63 дает 504, поэтому
прибавим последнее число к 540 и получим 1044.
1000
36,88
937 34567,000
63 189x xx
6457
378
8350
504
8540
504
1044

Здесь явно чтоOто не так, потому что мы получили осO
таток, который больше, чем делитель. Поэтому нам неO
обходимо увеличить последнюю цифру ответа на 1. ВыO
черкиваем последнюю цифру (8) и заменяем ее на 9.
Произведение 9 × 63 равно 567. (9 × 60 = 540, 9 × 3 = 27 и
540 + 27 = 567.)
540 + 567 = 1107
157

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

1000
36,89
937 34567,000
63 189x xx
6457
378
8350
504
8540
567
1107

Мы вычитаем 1000, поскольку увеличили последнюю
цифру ответа на 1. Снесем последний нуль, чтобы вычислить
третью цифру после запятой в ответе. 1070 делится на 1000
один раз. Это дает нам следующее число в ответе: 36,891.
Нам нужен ответ с точностью до двух десятичных знаков:
округление 36,981 до двух знаков дает 36,98. Задача решена.
Опять заметим, что гораздо легче перемножать 63 с
каждой цифрой нашего ответа, чем то же самое делать с
937. Полное решение выглядит следующим образом:
1000
36,891
937 34567,000
63 189x xx
6457
378
8350
504
8540
567
1070

Попробуйте решить следующие примеры самостояO
тельно: сначала в виде целой части и остатка, а потом с
точностью до одного знака после запятой.
a) 456 : 194 =
â) 5678 : 186 =
158

á) 6789 : 288 =
ã) 73251 : 978 =

Ãëàâà 15. Äåëåíèå ïîñðåäñòâîì ñëîæåíèÿ

Если вы столкнулись с проблемами, привожу полное
решение каждого примера.
a)

200 2
194 456
6 12
68 îñòàòîê

200 2,35
194 456,00
6 12 xx
680
18
980
30
10 îñòàòîê

Ответом с точностью до одного знака после запятой явO
ляется 2,4.
á)

300 23
288 6789
12 24õ
1029
36
165 îñòàòîê

300 23,57
288 6789,00
12 24õ xx
10129
36
16150
60
2100
84
84

Ответом с точностью до одного знака после запятой явO
ляется 23,6.
â)

200 30
186 5678
14 42õ
098 îñòàòîê

200 30,52
186 5678,00
14 42x xx
0980
70
5100
28
128
159

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

Ответом с точностью до одного знака после запятой явO
ляется 30,5.
Чтобы умножить на 14, мы просто умножаем на 7, а заO
тем удваиваем ответ (2 × 7 = 14).
ã)

1000
74
978 73251
22 154õ
4791
88
879 îñòàòîê

1000
74,89
978 73251,00
22 154x xx
4791
88
8790
176
9660
198
858

Ответом с точностью до одного знака после запятой явO
ляется 74,9.
В данном примере нам пришлось умножать на 22. Это
легко сделать, если вспомнить, что 22 = 2 × 11. Не составO
ляет труда умножать на 2 и 11, если использовать известO
ные нам приемы умножения. Например, нужно умножить
на 22 число 8. Умножаем 8 сначала на 2, а потом на 11.
8 × 2 = 16
16 × 11 = 176
При делении на 19, 29 или 39, возможно, лучше примеO
нять метод прямого деления, однако, когда делитель чуть
меньше 100, 200, 400 или 1000, вы можете счесть более
удобным только что рассмотренный метод.
Вы должны быть в состоянии без труда решать в уме таO
кие примеры, как 1312 : 96. Речь в данном случае шла бы о
делении на 100 – 4. 1300 при делении на 100 дает 13, поэтоO
му вы могли бы сказать про себя почти без пауз и задержек:
«Тринадцать и четыре на остаток тринадцать, плюс двенадO
цать, то есть тринадцать с остатком шестьдесят четыре».
160

Ãëàâà 15. Äåëåíèå ïîñðåäñòâîì ñëîæåíèÿ

Затем, если вы хотите получить ответ с точностью до
одного знака после запятой, умножим остаток 64 на 10 и
вновь разделим на 96. 640 при делении на 96 дает 6 с остатO
ком 40 + 24 = 64. Ясно, что так можно продолжать до бесO
конечности, поэтому можно получить ответ с любым коO
личеством знаков после запятой. Например, ответом с
точностью до трех знаков после запятой будет 13,667.
В завершение настоящей главы давайте сравним расO
смотренный здесь метод с обычным делением в столбик.
Например:
705 : 94 =

Решаем методом сложения:
100 7
94 705
6 42
47

Сколько раз 100 содержится в 705? Семь раз.
Теперь умножим 7 на 6 и прибавим ответ к 5 (в 705),
чтобы получить наш остаток. Не представляет труда переO
множить 7 и 6, а затем прибавить 42 к 5.
Теперь сравним это со стандартным делением в столO
бик.
7
705
94 658
47

Сколько раз 94 содержится в 705? Семь раз.
Теперь мы должны умножить 7 на 94 – получаем 658.
Затем вычитаем 658 из 705, чтобы получить наш остаток.
Метод, рассмотренный в настоящей главе, предлагает
более простое решение, не так ли?
161

Глава 16
Ïðîâåðêà îòâåòîâ:
÷àñòü âòîðàÿ
Можно использовать изученный ранее метод выбрасыO
вания девяток для проверки ответов в задачах на деление.
Например, мы захотели проверить, дает ли 42, деленное
на 2, 21. Проверим это путем выбрасывания девяток. ВоO
первых, необходимо вычислить числаOподстановки:
42 : 2 = 21
6:2=3

Данный пример совершенно тривиален и пояснений не
требует. Рассмотрим следующую задачу:
161 : 7 = 23
8:7=5

Здесь нужно выбрать подход, напоминающий тот, что
мы использовали в примерах на вычитание. Простой споO
соб проверить ответ в задаче на деление – это умножить
ответ на делитель и посмотреть, получим ли мы в резульO
тате делимое. Поэтому записываем последнее равенство
следующим образом:
8 = 5 × 7 èëè 7 × 5 = 8
Итак, можно ли сказать, что наш ответ верен, имея в
виду, конечно, что речь идет о числахOподстановках?
5 × 7 = 35 è 3 + 5 = 8
Да, наш ответ верен.
А если бы нам нужно было проверить, правильно ли мы
решили пример, в ответе которого получается остаток? Как
бы мы проверяли ответ, например, в следующей задаче:
162

Ãëàâà 16. Ïðîâåðêà îòâåòîâ: ÷àñòü âòîðàÿ

165 : 7 = 23 r4

Не допустили ли мы ошибки? Выбрасывание девяток
позволяет определить наличие ошибок в большинстве
случаев, освобождая нас от необходимости повторно реO
шать пример.
При использовании метода выбрасывания девяток в
примерах на деление мы преобразуем задачу в пример на
умножение. Однако что нам делать с остатком? Мы учиO
тываем его следующим образом:
23 × 7 = 165 – 7

Мы вычитаем остаток из делимого. Объясняется это
так: при делении одного числа на некое другое мы получиO
ли остаток 4.Если бы исходное число было меньше на 4,
тогда остатка мы не получили бы вовсе.
После трансформации в числаOподстановки мы полуO
чаем уравнение:
5×7=3–4

Остаток (4) больше, чем ответ (3), поэтому нужно либо
сначала закончить сложение на предыдущем шаге (165 – 4 =
= 161), либо прибавить 9 к числу, из которого мы теперь
вычитаем (3). В обоих случаях мы получаем:
5×7=8
35 = 8
8=8

Итак, наш ответ верен.
Однако следует сделать одно важное замечание:
Нельзя использовать способ выбрасывания девяток в от
ношении примеров на деление, в которых ответом являет
ся число, округленное до определенного количества зна
ков после запятой. Выбрасывание девяток работает толь
ко для проверки точных ответов.
163

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

Проверьте ответы в решенных ниже примерах посредO
ством выбрасывания девяток:
a) 248746 : 721 = 345 r1
â) 6054 : 17 = 356 r2

á) 36679 : 137 = 26722
ã) 3283 : 49 = 67

Ответы: a), в) и г) – примеры с правильным ответом;
б) пример с неправильным ответом.

Âûáðàñûâàíèå îäèííàäöàòè
Выбрасывание одиннадцати – это еще один простой
способ проверить полученный ответ. Его преимущество
перед выбрасыванием девяток в том, что он позволяет опO
ределить, не была ли десятичная запятая ошибочно поO
ставлена не в том месте и нет ли лишнего или, наоборот, неO
достающего нуля. Особую пользу он приносит в качестве
дополнительной проверки к выбрасыванию девяток. КогO
да я умножаю на число, кратное 11 (например, 66 или 77),
то использую этот метод вместе с выбрасыванием девяток.
Теперь я покажу вам два простых способа нахождения
остатка от деления на 11 (выбрасывания одиннадцати).
Очень простое правило для нахождения остатка действу
ет в случае двузначных чисел: просто отнимите цифру де
сятков от цифры единиц. Если цифра единиц меньше циф
ры десятков, тогда прибавьте к ней сначала 11.
Например:
13 × 14 = 182

Первое число у нас 13. Вычтем 1 (цифру десятков) из 3
(цифры единиц) и получим в ответе 2. Таким образом, 2
является нашим остатком.
Второе число (14) имеет остаток 3 (4 – 1 = 3) после выO
брасывания одиннадцати.
164

Ãëàâà 16. Ïðîâåðêà îòâåòîâ: ÷àñòü âòîðàÿ

Для нахождения остатка у числа с большим количестO
вом знаков:
Отметьте цифры, расположенные на четных местах, с
первой цифры до десятичной запятой (в случае целых чи
сел – начиная с первого числа справа). Отнимите цифры
на четных местах от цифр на нечетных.
Чтобы найти остаток от выбрасывания одиннадцати
для числа 182, отмечаем цифры на четных местах.
182
*

8 – это вторая цифра справа. Цифрами на нечетных
местах являются 1 и 2. Складывая их, получаем:
1+2=3

Нельзя вычесть 8 из 3, поэтому прибавим 11 к 3.
3 + 11 = 14
14 – 8 = 6

6 – это наше контрольное число.
ЧисламиOподстановками для 13 и 14 являются 2 и 3. ПеO
ремножая их, мы должны получить контрольное число:
2×3=6

Результат совпадает с нашим контрольным числом, поO
этому ответ мы получили верный.
Выбрасывание девяток позволило бы нам сделать проO
верку с меньшими усилиями. Зачем вообще выбрасывать
одиннадцать? Если бы в ответе у нас получилось 18,2, а не
182, выбрасывание девяток не позволило бы определить
ошибку, а выбрасывание одиннадцати позволило бы. Или,
если бы нашим ответом являлось 1712 (в результате непраO
вильного использования нами способа перемножения чиO
сел больше 10, но меньше 20), выбрасывание девяток приO
165

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

знало бы данный ответ верным. А выбрасывание одиннадO
цати и на этот раз показало бы наличие ошибки.
Давайте проверим оба упомянутых ответа путем выбраO
сывания одиннадцати:
1 8, 2
* *

Цифры на четных местах дают в сумме 3 (1 + 2 = 3).
Цифра на нечетном месте – 8. Остатком является 5 (8 – 3 =
= 5).
Задача превращается в:
2×3=5

Это заведомо ложное утверждение.
Другим нашим неверным ответом являлось число 1712:
1712
* *

Суммируя цифры на четных местах (1 + 1), получаем 2.
Цифры на нечетных местах (7 и 2) дают в сумме 9.
9–2=7

Если бы ответ был правильным, мы получили бы раO
венство и у чиселOподстановок. Однако мы опять получаO
ем заведомо ложное равенство:
2×3=7
Выбрасывание одиннадцати позволило определить
ложность ответов в обоих рассмотренных случаях, тогда
как выбрасывание девяток привело бы нас к выводу, что
ответы являются правильными.
Рассмотрим еще один пример:
1,3 × 14 = 18,2
В числе 1,3 цифра 1 находится на нечетном месте, являO
ясь цифрой, от которой ведется отсчет, то есть первой, а
цифра 3, соответственно, – на четном.
166

Ãëàâà 16. Ïðîâåðêà îòâåòîâ: ÷àñòü âòîðàÿ

Вычитаем 3 из 1. Поскольку 1 меньше 3, прибавляем 11.
11 + 1 = 12

Теперь можно вычесть 3 из 12.
12 – 3 = 9

Вычитаем 1 из 4, чтобы узнать остаток для числа 14.
4–1=3

В ответе (18,2) цифры 1 и 2 находятся на четных местах,
а цифра 8 – на нечетном.
1+2=3
8–3=5

Наша задача выглядит так:
9×3=5

9 на 3 – 27. Чтобы найти числоOподстановку для 27, выO
читаем 2 из 7.
7 минус 2 равно 5, что совпадает с нашим контрольным
числом.
Если бы мы получили в ответе 1,82 или 182, выбрасываO
ние девяток не позволило бы определить ошибку.
Найдите остаток от выбрасывания одиннадцати для
следующих чисел:
a) 123
ã) 625174

á) 5237
ä) 2156

â) 716
å) 8137

Ответы:
a) 2
ã) 0

á) 1
ä) 0

â) 1 (12, çàòåì 1)
å) 8

Если вы не запомнили, как находить остаток от выбраO
сывания одиннадцати, вернитесь назад и перечитайте
описание. Метод стоит потраченных усилий.
167

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

Теперь вы, вероятно, вполне в состоянии использовать
метод на практике. Ниже вам предлагаются примеры для
самостоятельного решения. Проверьте ответы.
a) 17 × 17 = 289
â) 32 × 41 = 1312

á) 154 × 23 = 3542
ã) 46 × 42 = 1942

Один из ответов является неправильным. Я не скажу
вам какой. Замечу только, что выбрасывание девяток такO
же позволит определить ошибку. Попробуйте выполнить
двойную проверку.
Используя любой из описанных методов, будь то выO
брасывание девяток или одиннадцати, я иногда предпоO
читаю выполнять дополнительную проверку, а именно –
путем оценки приближенного значения, получаемого в
ответе.
Все эти методы являются очень полезными, особенно
если вы работаете с числами в школе или на рабочем
месте.

168

Глава 17
Ïðèáëèæåííîå
çíà÷åíèå êâàäðàòíîãî
êîðíÿ
При возведении числа в квадрат мы умножаем его на
самого себя. Например, 4 в квадрате равно 16, поскольку
4, умноженное на 4, дает 16.
Нахождение квадратного корня – это процесс, обратO
ный возведению в квадрат. Чтобы найти квадратный коO
рень из числа 16, необходимо определить число, которое,
будучи умноженным на самого себя, даст в результате 16.
Ответом, разумеется, является 4. Подобным образом
квадратным корнем из 25 является 5, поскольку 5 на 5 буO
дет 25.
Каким будет квадратный корень из 64? Ответом служит
8, поскольку 8 × 8 = 64.
А как насчет квадратного корня из 56? Здесь задача поO
труднее, поскольку целого числа в качестве квадратного
корня из 56 не существует. 7 на 7 дает 49, которое меньше,
чем 56, а 8 на 8 будет 64, которое больше, чем 56. Ответ, таO
ким образом, находится гдеOто между 7 и 8. Оценку велиO
чины квадратного корня мы проводим следующим обраO
зом. Выбираем то число, чей квадрат чуть меньше числа, с
которым мы работаем – в данном случае 56, – и делим
второе на первое.
В рассматриваемом случае берем 7, чей квадрат (49)
чуть меньше 56. 8, к примеру, не годится на данную роль,
поскольку его квадрат (64) больше, чем 56.
169

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

Теперь делим 56 на 7 и получаем в ответе 8.
Берем среднее между 7 и 8. Таким средним является 7,5.
(Один из способов нахождения среднего для нескольких
чисел состоит в том, чтобы разделить сумму этих чисел на
их количество.) Данный ответ несколько превышает треO
буемый, что можно проверить несложным вычислением
(7,5 × 7,5 = 56,25). Округление до 7,48 дает более высокую
точность.
Рассматриваемый ответ (7,48) является точным до двух
знаков после запятой. Наш первый ответ (7,5) является
точным до одного знака после запятой. Очень часто такой
точности вполне достаточно.
Для обозначения квадратного корня используют симO
вол
. Его ставят перед числом, из которого желают изO
влечь квадратный корень. 16 = 4 означает, что квадратO
ный корень из 16 равен 4.
Рассмотрим пример:
70 =

Прежде всего попытаемся угадать ближайшее число,
являющееся округлением искомого корня.
70 ≈ 8 (8 × 8 = 64)

Разделим исходное число на полученное приближенO
ное целое значение.
70 : 8 = 8,75

Теперь разделим пополам разницу между первой оценO
кой (в данном случае числом 8) и результатом деления
числа на его первую оценку, то есть 8,75. Разница равна:
8,75 – 8 = 0,75

Разделив пополам эту разницу, получим:
0,75 : 2 = 0,375
170

Ãëàâà 17. Ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå êâàäðàòíîãî êîðíÿ

И наконец, прибавим полученный результат к первоO
начальной оценке (8):
8 + 0,375 = 8,375

Полученный таким образом ответ всегда будет слегка
больше требуемого, поэтому округлим его в сторону
уменьшения. В данном случае возьмем в качестве требуеO
мого округления 8,37. Данный ответ вычислен с ошибкой
в пределах 0,2 процента.
Попробуем решить еще один пример. Как бы мы выO
числяли квадратный корень из 29?
29 =

Выбираем 5 в качестве первой оценки (5 × 5 = 25). ДеO
лим 29 на 5, с тем чтобы получить более точное приблиO
женное значение.
29 делится на 5 пять раз с остатком 4. 40 (остаток 4,
умноженный на 10) делится на 5 восемь раз без остатка.
Получаем в результате деления 5,8.
29 : 5 = 5,8

Разность между 5 и 5,8 равна 0,8. Половина от 0,8 равна
0,4. Прибавим это к 5 – нашей первой оценке искомого
квадратного корня – и получим более точную оценку: 5,4.
Ответом является 5,385, однако 5,4 предоставляет точO
ность до одного знака после запятой. Мы имеем ошибку
величиной примерно в 0,2 процента. Такая точность являO
ется достаточной в большинстве случаев.
Попробуем решить еще один пример:
3125 =

Разобьем число на пары цифр, начиная с крайней правой:
31 25 =
* *
171

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

Каждой паре цифр в числе, из которого извлекается квад
ратный корень, соответствует одна цифра в целой части
ответа.
В данном примере в ответе будет двузначное число, не
принимая в расчет цифры после запятой.
Если пара цифр является неполной, то есть когда цифр
перед запятой, например, пять и у нас имеется две пары и
одна (крайняя левая) цифра, эта единичная цифра приO
равнивается к паре.
Чтобы вычислить первую цифру в ответе, оценим квадO
ратный корень из числа, образованного из первой пары
цифр. Первым приближением квадратного корня из 31
служит 5 (5 × 5 = 25). Последующими цифрами в первом
приближении квадратного корня у нас всегда будут нули.
Так как в ответе нужна еще одна цифра, мы добавляем к 5
один нуль и получим 50 в качестве первого приближения
корня.
Чтобы разделить на 50, делим сначала на 10, а потом
на 5:
3125 : 10 = 312,5

Теперь делим на 5 и получаем 62,5.
5 312,5
62,5

Найдем разницу и разделим ее пополам:
62,5 – 50 = 12,5
12,5 : 2 = 6,25

Округляем в меньшую сторону до целого числа и приO
бавляем к первой оценке:
50 + 6 = 56
3125 = 56 ÎÒÂÅÒ
172

Ãëàâà 17. Ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå êâàäðàòíîãî êîðíÿ

Воспользовавшись калькулятором, получим:
3125 = 55,9

Ответ, который мы получили расчетом, вычислен с
ошибкой, не превышающей 0,2 процента. Если бы мы не
округляли 6,25 до 6, ошибка все равно не превышала бы
1 процент.
Приведенные вычисления можно легко выполнить в
уме. Вместе с тем большинство людей не умеют вычислять
квадратные корни даже на бумаге.

Âû÷èñëåíèÿ â óìå
Решим следующую задачу в уме.
Чему равен квадратный корень из 500 ( 500 )?
Прежде всего разобьем число на пары цифр. Сколько
пар у нас получается? Две (одна неполная). Поэтому в отO
вете будут две цифры.
Какая первая пара цифр? Речь идет всего об одной цифO
ре: 5. Каков квадратный корень из 5? Берем 2, поскольку
2 × 2 = 4.
В качестве второй цифры берем 0. Наше первое приO
ближение равно 20.
Теперь необходимо разделить 500 на 20. Как нам это
сделать? Сначала разделим 500 на 10, а потом на 2.
500 : 10 = 50
50 : 2 = 25

Делим пополам сумму 25 и 20 – получаем 22,5. ОкругO
ляем в меньшую сторону до 22,4.
Калькулятор дает ответ 22,36.
Наше приближение 22,5 дает ошибку в размере приO
мерно 0,5 процента. Приближение после округления, равO
ное 22,4, соответствует ошибке величиной в 0,2 процента.
173

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

Это очень хороший результат для вычисления в уме, осоO
бенно если мы примем во внимание, что единственный
способ, известный большинству людей для вычисления
квадратного корня, – это калькулятор. Вычисление квадO
ратных корней в уме, вне всякого сомнения, обеспечит
вам репутацию математически одаренной личности.
Попробуем решить еще один пример:
93560

Разобьем цифры на пары:
9 35 60 =
* * *

Первая пара является неполной – цифра 9. Квадратный
корень из 9 равен 3 (3 × 3 = 9). Пар цифр всего три, поэтому
приписываем к 3 два нуля, получая таким образом три
цифры, сколько и должно быть в ответе. Наша первая
оценка равна 300.
Чтобы разделить на 300, сначала делим на 100, а потом
на 3. (Чтобы разделить на 100, переместите десятичную заO
пятую влево на две позиции.)
93560 : 100 = 935,60

3 935,60
311,86
311,86 – 300 = 11,86
11,86 : 2 = 5,93, îêðóãëÿåì äî 5,9
300 + 5,9 = 305,9

Калькулятор дает ответ 305,8758. Ошибка нашей оценO
ки составляет 0,0079 процента.
Решим с моей помощью еще один пример:
38472148 =
174

Ãëàâà 17. Ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå êâàäðàòíîãî êîðíÿ

Это выглядит очень внушительной задачей. Если бы мы
решали этот пример в голове, можно было бы предвариO
тельно округлить число в меньшую сторону. Однако об
этом после.
Для начала разобьем число на пары цифр:
38 47 21 48 =
* * * *

Имеем четыре пары цифр, поэтому и в ответе будет чеO
тыре цифры.
Первая пара дает число 38. Оцениваем квадратный коO
рень из 38 как 6, поскольку 6 × 6 = 36. Остальные позиции
заполняем нулями. Наша оценка равна 6000.
Делим 38472148 на оценку. Сначала делим на 1000, а
потом на 6:
38472148 : 1000 = 38472,148

Поскольку мы вычисляем всего лишь приближенное
значение, то можем отбросить знаки после запятой. ТеO
перь разделим 38472 на 6:
38472 : 6 = 6412

Делим пополам разницу между 6000 и 6412. Она равна
412, а ее половина – 206. (Половина от 400 равна 200, и поO
ловина от 12 равна 6.)
Прибавим 206 к нашей первой оценке и получим 6206.
Округляем в меньшую сторону и получаем:
6200 ÎÒÂÅÒ

Фактический ответ, полученный с помощью калькуляO
тора, равен 6202,59. Для практических нужд наше приблиO
женное значение можно считать достаточно точным. Если
же мы всеOтаки желаем получить точный ответ, тогда метод,
который я представлю вашему вниманию в следующей
главе, является самым простым из всех известных мне.
175

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

Пока же решите нижеприведенные примеры самостояO
тельно. Попробуйте решить некоторые из них в уме.
a)

1723 =

á)

2600 =

â)

80 =

ã)

42 =

ä)

5132 =

å)

950 =

ç)

1225 =

æ)

2916 =

Ответы:
a) 41,5
ã) 6,48
æ) 54

á) 50,99
ä) 71,64
ç) 35

â) 8,94
å) 30,82

Êîãäà ÷èñëî ÷óòü ìåíüøå êâàäðàòà äðóãîãî ÷èñëà
Чем точнее мы подбираем приближение для квадратO
ного корня, тем точнее будет окончательный ответ. ПоO
этому нам необходимо подбирать число в качестве приO
ближения как можно ближе к истинному значению квадO
ратного корня.
В примерах, которые мы только что разобрали, числа
были чуть больше квадрата числа, выбранного нами в каO
честве первого приближения. Так, в одном из примеров
для самостоятельного решения 2600 являлось чуть больше
50 в квадрате (2500), и мы использовали 50 в качестве перO
вой оценки.
Ниже рассматривается случай, когда исходное число
чуть меньше квадрата числа – первого приближения. Для
получения более точного ответа, вместо того чтобы выбиO
рать в качестве первого приближения число с квадратом,
меньшим исходного числа, можно выбирать число, у коO
торого квадрат больше исходного числа (при условии, коO
нечно, что это приведет нас к более точному ответу).
Например:
176

Ãëàâà 17. Ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå êâàäðàòíîãî êîðíÿ

2400 =

Разобьем число на пары цифр:
24 00 =
* *

Выбираем в качестве приближения квадратного корня
из 24 число 5, поскольку 24 ближе к квадрату 5 (25), чем к
квадрату 4 (16). Таким образом, нашим первым приблиO
жением квадратного корня из 2400 является 50.
Теперь делим 2400 на 50. Чтобы разделить на 50, делим
сначала на 100, а потом удваиваем полученный ответ
(50 = 100 : 2).
2400 : 100 = 24
24 × 2 = 48

Разделим пополам разницу между 48 и 50.
50 – 48 = 2
2:2=1

Прибавление 1 к 48 дает наш ответ: 49.
Калькулятор дает следующее значение искомого корO
ня: 48,98979. Наша ошибка составила примерно 0,02 проO
цента.
Разберем еще один пример:
6300 =

Разобьем попарно цифры:
63 00 =
* *

Наше приближение для первой пары цифр равняется 8,
поскольку 63 гораздо ближе к 8 в квадрате (64), чем к 7 в
квадрате (49). Итак, наше первое приближение для корня
из числа 6300 равно 80.
177

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

Делим сначала на 10, потом на 8:
6300 : 10 = 630
630 : 8 = 78,75

Теперь найдем среднее между 78,75 и 80. Можно выO
честь 78,75 из 80, взять половину ответа и вычесть ее из 80.
Есть хорошая новость: имеется более короткий путь!

Êîðîòêèé ñïîñîá
Речь идет о нахождении среднего значения для двух чисел.
Чтобы найти такое среднее для 78,75 и 80, сложим их
(158,75) и разделим сумму пополам.
Короткий способ состоит в следующем. Мы знаем, что
ответ является «семьюдесятью с чемOто», поэтому 7 – это
первая цифра ответа. Теперь припишите 1 слева от 8,75
(получая 18,75) и делите пополам. Никаких операций слоO
жения и вычитания больше не потребуется.
Половина от 18 – это 9. Припишите 9 справа к 7 и поO
лучите 79. Половина от 75 – это 35,5. Ответом, таким обO
разом, является 79,375. Округляем в меньшую сторону и
получаем 79,37.
Фактическим ответом является 79,3725, и это означает,
что наша ошибка составила 0,003 процента. Если бы мы
использовали в качестве первой оценки число 70, нашим
ответом являлось бы 80.
Чем обусловлен этот короткий способ? Чтобы найти
среднее для двух чисел (78,75 и 80), мы должны сложить их
и взять половину от суммы:
78,75 + 80 = 158,75
158,75 : 2 = 79,375

Разделив 15 на 2, мы получаем в ответе 7 и переносим
остаток 1 к цифре 8, получая 18. В рассмотренном коротO
ком способе мы просто опустили эту часть вычислений.
178

Ãëàâà 17. Ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå êâàäðàòíîãî êîðíÿ

Áîëåå âûñîêàÿ òî÷íîñòü
Если мы хотим вычислять с большей точностью, можно
повторить процедуру, используя полученный ответ в каO
честве второй оценки.
Для демонстрации метода возьмем самый первый приO
мер, приведенный в этой главе:
56 =

Нашим первым приближением является 7 (7 × 7 = 49).
56 : 7 = 8
8 – 7 = 1 (ðàçíèöà)
1 : 2 = 0,5
7 + 0,5 = 7,5

Теперь повторим процесс. Разделим 56 на 7,5. Данная
операция не составляет труда. Это то же самое, что 112 : 15
или 224 : 30. Если мы удваиваем и делимое, и делитель, реO
зультат деления не изменяется.
224 легко делится на 30. Делим сначала на 10 (22,4), а
потом на 3.
224 : 30 = 7,4667

Можно использовать наш короткий способ для нахожO
дения среднего значения. Мы знаем, что первой частью
ответа является 7,4. Приписываем остаток 1 спереди к 667
и получаем 1667. Делим это число на 2:
1667 : 2 = 833,5

Приписываем 833 к 7,4 справа, получая ответ: 7,4833.
Все цифры данного ответа соответствуют точному значеO
нию квадратного корня из 56.
Вообще, всякий раз повторяя данный процесс, мы удваO
иваем количество точных цифр в ответе.
Разберем еще один пример.
179

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

Одним из упражнений на вычисления в уме в этой главе
была задача на извлечение квадратного корня из 500. ПроO
должим вычислять в уме, но попробуем при этом увелиO
чить точность ответа.
Ранее мы посчитали, что:
500 = 22,5

Вместо того чтобы делить 500 на 20, теперь будем деO
лить его на 22,5. Трудно ли это? Нет, если мы сначала
дважды удвоим оба наших числа.
Удвоение 500 и 22,5 дает 1000 и 45. Повторное удвоение
дает 2000 и 90.
Делим 2000 на 90, чтобы получить более точное приO
ближение искомого корня. Чтобы разделить 2000 на 90,
делим сначала на 10, а потом на 9.
2000 : 10 = 200
200 : 9 = 22,22

Теперь найдем среднее для 22,22 и 22,5.
22 перед десятичной запятой, очевидно, останется без
изменения. Чтобы узнать, что будет с цифрами после заO
пятой, найдем среднее для 50 и 22.
22 + 50 = 72
72 : 2 = 36

Прибавим 0,36 к 22 и получим ответ, в котором все
цифры соответствуют цифрам в точном значении корня.
22 + 0,36 = 22,36 ÎÒÂÅÒ

После некоторой практики все рассмотренные вычисO
ления могут выполняться в уме. Так что тренируйтесь!

180

Глава 18
Âû÷èñëåíèå
êâàäðàòíîãî êîðíÿ
Существует простой способ вычисления точного значеO
ния квадратного корня из числа. Речь идет о процессе, коO
торый я называю перекрестным умножением.
Вот как он работает.

Ïåðåêðåñòíîå óìíîæåíèå
Чтобы выполнить перекрестное умножение однозначO
ного числа, вы просто возводите его в квадрат:
2

3 =3×3=9

Если же у числа две цифры, тогда вы перемножаете их
между собой и удваиваете результат.
34 = 3 × 4 = 12
12 × 2 = 24

В случае трехзначного числа следует перемножить перO
вую и третью цифры, удвоить результат, а затем прибавить
к этому квадрат средней цифры. Например, выполнить
перекрестное умножение числа 345 – это значит:
3 × 5 = 15
15 × 2 = 30
2

30 + 4 = 46

Общее правило перекрестного умножения числа с четO
ным количеством цифр:
Умножьте первую цифру на последнюю, вторую – на
предпоследнюю, третью – на цифру перед предпоследней
181

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

и т. д., пока все цифры не будут перемножены. Затем сло
жите все полученные произведения и удвойте результат.
На практике вы складываете произведения одно за друO
гим, а потом удваиваете полученную сумму.
Общее правило перекрестного умножения числа с неO
четным количеством цифр:
Умножьте первую цифру на последнюю, вторую – на
предпоследнюю, третью – на цифру перед предпоследней
и т. д., пока не дойдете до средней цифры. Сложите все
полученные произведения и удвойте результат. Прибавьте
к нему квадрат средней цифры.
Следующие примеры служат иллюстрацией этого:
2

123 = 1 × 3 = 3, 3 × 2 = 6, 6 + 2 (4) = 10
1234 = 1 × 4 (4), + 2 × 3 (6) = 10, 10 × 2 = 20
2

12345 = 1 × 5 (5), + 2 × 4 (8) = 13, 13 × 2 = 26, 26 + 3 (9) = 35

Èñïîëüçîâàíèå ïåðåêðåñòíîãî
óìíîæåíèÿ äëÿ èçâëå÷åíèÿ êâàäðàòíîãî êîðíÿ
Метод извлечения квадратного корня состоит в следуO
ющем.
Например:
2809 =

Прежде всего разобьем цифры попарно. Каждой паре
цифр будет соответствовать одна цифра в ответе.
28 09 =
* *

Таким образом, квадратный корень будет иметь две
цифры (в целой своей части, разумеется).
182

Ãëàâà 18. Âû÷èñëåíèå êâàäðàòíîãî êîðíÿ

ВоOвторых, оценим величину квадратного корня из
числа, образованного из цифр первой пары. Квадратный
корень из 28 приближаем числом 5 (5 × 5 = 25). Таким обO
разом, 5 – это первая цифра ответа.
Удвоим первую цифру ответа (2 × 5 = 10) и запишем реO
зультат слева от числа. Данное число будет нашим делитеO
лем. Запишем 5 – первую цифру ответа – над цифрой 8 в
первой паре цифр (28).
Записанное нами выглядит так:
5
10 28 09

На этом мы закончили работу над первой цифрой ответа.
Чтобы найти вторую цифру, возведем в квадрат первую
цифру нашего ответа и вычтем результат из первой пары
цифр исходного числа.
2

5 = 25
28 – 25 = 3

Число 3 – это наш остаток. Переносим остаток 3 к слеO
дующей цифре числа, из которого извлекаем корень. Это
дает нам новое рабочее число 30.
Разделим наше рабочее число (30) на делитель (10). ПоO
лучаем 3 – следующую цифру ответа. 30 делится на 10 без
остатка, поэтому переносить нечего. 9 – новое рабочее
число.
Наше решение теперь выглядит так:
5
3
10 28 309
25

И наконец, выполним перекрестное умножение с посO
ледней цифрой ответа.
183

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà
2

3 =9

Вычтем результат из нашего рабочего числа:
9–9=0

Остатка нет: 2809 является точным квадратом. Его
квадратный корень равен 53.
10

2809 = 53

Рассмотрим другой пример:
54756 =

ВоOпервых, разобьем попарно цифры и получим три
пары цифр. Искомым корнем будет трехзначное число.
5 47 56 =
* * *

Теперь оценим приближенное значение корня из чисO
ла, образованного цифрами из первой пары. Речь в данO
ном случае идет об одном числе: 5. В качестве приближеO
ния для корня из 5 берем 2 (2 × 2 = 4).
Запишем 2 в качестве первой цифры нашего ответа.
Удвоим ее, чтобы получить делитель (2 × 2 = 4).
Теперь наше решение выглядит так:
2
4 5 47 56
4

Возведем в квадрат первую цифру ответа, запишем реO
зультат внизу и вычтем его из числа, составленного из
цифр первой пары:
2

2 =4
5–4=1

Переносим 1 к следующей цифре. Получаем новое раO
бочее число 14.
184

Ãëàâà 18. Âû÷èñëåíèå êâàäðàòíîãî êîðíÿ

Разделим 14 на наш делитель 4. Ответом будет 3 с остатO
ком 2 (3 × 4 = 12). Переносим остаток к следующей цифре.
Наше следующее рабочее число – 27.
23
4 51427 56
4

Выполняем перекрестное умножение с цифрами отвеO
та, за исключением первой, то есть с цифрой 3.
2

3 =9

Вычтем результат из рабочего числа:
27 – 9 = 18

Разделим 18 на 4 и получим в ответе 4 с остатком 2. ТаO
ким образом, 4 является последней цифрой ответа. Все
другие цифры, которые мы теперь будем получать, отноO
сятся к дробной, то есть после десятичной запятой, части
ответа. Переносим остаток 2.
234
4 514272 56
4

Наше очередное рабочее число – 25.
Выполняем перекрестное умножение с цифрами отвеO
та, за исключением первой:
4 × 3 = 12
12 × 2 = 24

Вычитаем 24 из рабочего числа (25) и получаем в реO
зультате 1. Делим 1 на 4. Получаем в ответе 0 с остатком 1.
Переносим 1 к последней цифре. Теперь нашим рабочим
числом является 16.
185

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

2 3 4,0
4 514272516
4

Выполняем перекрестное умножение:
0×3=0
2

4 = 16

Вычитаем 16 из нашего рабочего числа и получаем в отO
вете 0. Остатка нет.
И в данном примере 54756 является точным квадратом.
Его квадратный корень – 234.
Если бы мы получили остаток, то просто перенесли бы
его к следующему числу и продолжили процесс до того коO
личества знаков после запятой, которое нам требуется.

Ñðàâíåíèå ìåòîäîâ
Каким был бы наш ответ, если бы мы оценивали приO
ближенное значение корня посредством метода, описанO
ного в предыдущей главе?
5 47 56 =
* * *

Определяем 2 в качестве оценки для первой цифры отO
вета. Следующие две цифры автоматически становятся
нулями. Первой оценкой искомого корня является 200.
Разделим 54756 на 200. Сначала разделим на 100, а поO
том на 2.
54756 : 100 = 547,56
547 : 2 = 273

Находим среднее для 200 и 273, получим 236. Мы могли
бы округлить в сторону уменьшения до 235 – на единицу
больше, чем истинный ответ, что соответствует ошибке в
186

Ãëàâà 18. Âû÷èñëåíèå êâàäðàòíîãî êîðíÿ

размере примерно 0,5 процента. Такая точность вполне
приемлема для большинства ситуаций. Однако, если вы
желаете получить точное значение корня, тогда метод пеO
рекрестного умножения является самым простым из всех
известных мне.
Попробуйте решить следующие примеры самостояO
тельно:
a)

3249 =

á)

2116 =

â)

103041 =

Ответы:
a) 57

á) 46

Решим пример в) вместе:
103041 =

Разобьем цифры числа на пары:
10 30 41 =
* * *

Есть три пары цифр, поэтому и в ответе будет три цифO
ры в целой части.
Вычисляем приближенное значение квадратного корO
ня из числа, образованного из цифр первой пары, то есть
из числа 10. 3 на 3 – 9. 4 не годится, потому что 4 в квадрате
превышает 10. Значит, первой цифрой ответа будет 3. ТаO
ким образом, нашим делителем является 6.
3 в квадрате дает 9. Поделив 10 на 9, получаем остаток 1.
Переносим его к следующей цифре. Это дает нам новое
рабочее число – 13.
3
6 10130 41
9

Делим 13 на делитель 6:
187

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

13 : 6 = 2 r1

Следующая цифра ответа – 2, а рабочее число – 10.
3 2
6 101310 41
9

Выполняем перекрестное умножение с цифрой 2 и поO
лучаем 4. Вычтем 4 из рабочего числа:
10 – 4 = 6

Делим 6 на 6.
6:6=1

1 – это последняя цифра целой части нашего ответа.
У нас нет остатка для переноса.
3 21
6 101310041
9

Нашим новым рабочим числом будет 4. Выполняем пеO
рекрестное умножение. Такое умножение для числа 21 даO
ет в ответе 4 (2 × 1 = 2, 2 × 2 = 4). Вычтем 4 из 4 и получим
в результате 0.
3 2 1,0
6 1013100401
9

Новым рабочим числом является 1.
Выполняем перекрестное умножение:
0×2=0
2

1 =1

Вычтем 1 из 1. Нашим последним результатом является
0, поэтому 103041 – точный квадрат. Квадратный корень
из этого числа равен 321.
188

Ãëàâà 18. Âû÷èñëåíèå êâàäðàòíîãî êîðíÿ

Немного попрактиковавшись, вы сможете выполнять
все вышеприведенные вычисления в уме, что произведет
большое впечатление на окружающих.

Âîïðîñ ÷èòàòåëÿ
Один читатель спросил меня, как бы я находил квадO
ратный корень из числа 2401.
После разбивки цифр на пары задача выглядит следуюO
щим образом:
24 01 =
* *

Мы имеем две пары цифр, поэтому в ответе будут две
цифры.
Читатель спрашивает: «Когда я беру 4 в качестве приO
ближения квадратного корня из 24 (4 × 4 = 16), то получаю
в качестве делителя 8, а затем, вычитая 16 из 24, получаю
8, которое после переноса к следующей цифре 0 дает 80, а
80 делится на 8 десять раз. Что я делаю не так?»
Есть небольшой нюанс. Поскольку 10 не является цифO
рой, мы уменьшаем 10 на 1, получая в качестве второй
цифры ответа 9, а также остаток 8, который мы переносим
к следующей цифре 1, имея в результате 81.
Выполняем перекрестное умножение с цифрой 9 (9 в
квадрате), что дает в ответе 81. Вычтем 81 из текущего раO
бочего числа (81).
81 – 81 = 0

Итак, мы имеем нулевой остаток. Ответ (49) является
точным квадратным корнем.
Затем читатель спросил, как бы я вычислял следующий
квадратный корень:
23222761 =
189

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

Разбиваем цифры на пары и получаем:
23 22 27 61 =
* * * *

Полностью решенная задача выглядит следующим обO
разом:
4
8 1
9,
0
0
0
8 23 72 82 102
7
6
14
2
81
–16 –64 –16 –145 –18 –81
18 86
2
8

Каждый раз, выполняя деление, вам необходимо помO
нить о том, что переносимый остаток должен давать реO
зультат, превышающий число, получаемое в итоге переO
крестного умножения. Кроме того, 9 является самым
большим значением, которое можно использовать в каO
честве остатка, даже если в результате деления выходит 10
или 11. Если деление не дает остатка, а у вас в ответе уже
имеются цифры, с которыми можно выполнить перекрестO
ное умножение, необходимо уменьшить результат, по
крайней мере, на 1.
Я обычно использую первый метод для вычисления
приближенного значения квадратного корня; но если мне
нужен точный ответ, я применяю способ, рассмотренный
в настоящей главе. Чем больше числа, с которыми вы имеO
ете дело, тем труднее будут вычисления, поскольку прихоO
дится выполнять перекрестное умножение с большим коO
личеством цифр. К тому же метод приближенного вычисO
ления квадратного корня проще сам по себе.
Давайте сравним оба метода в процессе нахождения
квадратного корня из 196. Сначала методом оценки:
1 96 =
* *
190

Ãëàâà 18. Âû÷èñëåíèå êâàäðàòíîãî êîðíÿ

Разделим число на пары цифр. Их две, поэтому в ответе
будут две цифры.
Находим приближение для квадратного корня из чисO
ла, составленного из цифр первой пары (1).
Квадратный корень из 1 равен 1. Первая цифра ответа – 1.
Второй цифрой будет, как обычно, 0. Первое приблиO
жение, таким образом, равняется 10.
196 : 10 = 19,6

Округляем в сторону уменьшения и находим среднее.
Округляем до 19. Разница равна 9 (19 – 10 = 9). Половина
от 9 равна 4,5. Прибавляем 4,5 к 10 и получаем ответ: 14,5.
Чтобы повысить точность, можно использовать 15 в каO
честве второй оценки.
Делим 196 на 15. Простой способ сделать это состоит в
том, чтобы удвоить оба числа (196 = 200 – 4, удвоив 200 – 4,
получаем 400 – 8). Теперь мы имеем 392 : 30. Чтобы раздеO
лить 392 на 30, делим сначала на 10, а затем на 3.
392 : 10 = 39,2
39,2 : 3 = 13,06

Округляем в сторону уменьшения до 13.
Разделим разницу между 13 и 15. Половина от 2 равна 1.
Отнимаем это от нашей исходной округленной оценки
(15 – 1 = 14). Ответом является 14 – точный корень из 196.
Как работал бы наш метод с перекрестным умножениO
ем в случае извлечения корня из 196?
196 =

Разобьем число на пары цифр:
1 96 =
* *

Оцениваем значение квадратного корня из числа, соO
ставленного из цифр первой пары (1). Квадратный корень
191

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

из 1 равен 1. Это первая цифра ответа. Удваиваем ее и поO
лучаем делитель. 2 на 1 – 2.
1
2 1 96

Делим следующую цифру числа (9) на делитель.
9 : 2 = 4 ñ îñòàòêîì 1

Записываем 4 в качестве второй цифры ответа и переO
носим остаток к следующей цифре (6), получая в итоге 16.
1 4,0
2 1 916

Выполняем перекрестное умножение (возводим в квадO
рат) для цифры 4 в ответе (первую цифру, как требует меO
тод, мы не трогаем) и отнимаем результат из нашего рабоO
чего числа 16. 4 в квадрате дает 16, вычитаем его из 16 и поO
лучаем 0. Таким образом, 196 – точный квадрат (числа 14).
В данном конкретном случае метод, представленный в
настоящей главе, применять легче, чем метод оценки знаO
чения из предыдущей главы. Таким образом, у вас теперь
есть выбор.

192

Глава 19
Ñïîñîáû áûñòðûõ
âû÷èñëåíèé
Много книг написано о том, как быстрее вычислять,
используя различные приемы и свойства чисел. Такие
способы не только экономят время и силы, но также поO
могают развивать математические способности. В этой
главе я расскажу вам о некоторых способах, применение
которых делает вычисления более быстрыми и занимаO
тельными.

Óìíîæåíèå íà 11
Чтобы умножить двузначное число на 11, необходимо
просто сложить цифры и вставить результат посредине.
Например, чтобы перемножить 23 на 11, сложим 2 и
3, что равняется 5, и вставим 5 между 2 и 3. Ответом буO
дет 253.
Чтобы умножить 14 на 11, сложим 1 и 4, получая 5, и
вставим 5 между 1 и 4. Ответ: 154.
Попробуйте решить следующие примеры самостояO
тельно:
a) 63 × 11 =
ã) 26 × 11 =

á) 52 × 11 =
ä) 71 × 11 =

â) 34 × 11 =
å) 30 × 11 =

á) 572
ä) 781

â) 374
å) 330

Ответы:
a) 693
ã) 286

193

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

В приведенных примерах две цифры дают в сумме чисO
ло, меньшее или равное 9. Что делать, когда сумма двух
цифр больше 9? Когда результатом сложения цифр при
умножении на 11 является двузначное число, следует встаO
вить цифру единиц между цифрами исходного числа и
прибавить цифру десятков (1) к первой цифре числа.
Например, чтобы умножить 28 на 11, прибавим 2 к 8 и
получим 10. Вставим 0 между 2 и 8, получая 208, и прибаO
вим 1 к первой цифре (2), что даст нам ответ: 308.
Попробуем еще раз на примере 88 × 11:
8 + 8 = 16

Вставляем 6 между 8 и 8, что даст нам 868, затем прибавO
ляем 1 к первой 8, получая окончательный ответ: 968.

«Ñêàæè, ñêîëüêî áóäåò…»
Когда детям предлагают решить подобные задачи (и
приучают их к самостоятельному вычислению), это помоO
гает развитию у них базовых математических навыков.
Викторины вроде «Скажи, сколько будет…» популярны
среди детей всех возрастов.
Если бы ктоOнибудь попросил вас умножить 77 на 11,
вы немедленно увидели бы: 7 плюс 7 дает 14, что больше 9.
Вы сразу же прибавили бы 1 к 7 и сказали: «Восемьсот…»
Следующей цифрой ответа будет 4 от 14, за которой следуO
ет 7, так что вы продолжили бы почти без паузы: «Сорок…
семь». Попробуйте сами. Это гораздо легче, чем кажется.
Рассмотрим другой пример: если бы вам надо было
умножить 84 на 11, вы мгновенно оценили бы, что 8 плюс
4 больше 9, поэтому следует прибавить 1 к 8: «Девятьсот…»
Затем вы сложили бы 8 и 4, что дает 12, так что средней
цифрой является 2. Поэтому вы продолжили бы: «…двадO
цать». Последней цифрой будет 4: «…четыре». Полностью
ваш ответ прозвучал бы так: «Девятьсот двадцать четыре».
194

Ãëàâà 19. Ñïîñîáû áûñòðûõ âû÷èñëåíèé

А как насчет 96 на 11?
9 плюс 6 равно 15. Прибавим 1 к 9 и получим 10. РабоO
таем с числом 10, будто оно однозначное: 10 – первая
часть ответа. Цифра 5 является средней, а 6 – последней.
Ответ – 1056.
Решая эту задачу в уме, вы представили бы себе: «ДеO
вять плюс один будет десять». Вслух вы бы сказали: «ТыO
сяча…» Затем вы бы заметили, что 5 в числе 15 – это цифра
десятков в ответе, поэтому сказали бы: «Пятьдесят…»
Цифра единиц остается той же: 6. После этого вы закончиO
ли бы: «Тысяча… пятьдесят… шесть».
Попробуйте решить следующие примеры. Выполнив
вычисления в уме, как можно быстрее назовите ответ:
a) 37 × 11 =
ã) 92 × 11 =

á) 48 × 11 =
ä) 82 × 11 =

â) 76 × 11 =
å) 66 × 11 =

á) 528
ä) 902

â) 836
å) 726

Ответы:
a) 407
ã) 1012

Óìíîæåíèå íà ÷èñëî, êðàòíîå 11
Как умножить 330 на 12?
Казалось бы, здесь трудно применить наш способ умноO
жения на 11, однако давайте разберемся.
330 = 3 × 11 × 10

(Возьмите за привычку не обращать внимания на нуль
в конце числа, работая с задачами на умножение или делеO
ние. На такое число следует смотреть как на составленное
из цифр перед нулем, умноженное на десять.)
Поскольку 33 – это 3 × 11, умножаем 12 на 3, а затем на
11. 12 на 3 равно 36, а 36, умноженное на 11, дает 396
(с помощью нашего способа быстрого умножения на 11).
195

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

Затем умножаем еще на 10 и получаем окончательный
ответ: 3960.
Ясное дело, что данный способ можно применять к люO
бым числам, кратным 11: 22, 33, 44, 55 или 2,2, 3,3, 5,5 и
т. д. Например, в килограмме – 2,2 фунта. Чтобы перевесO
ти килограммы в фунты, надо умножить вес в килограмO
мах на 2,2. Следует удвоить число, умножить на 11, а затем
разделить на 10, чтобы учесть положение десятичной заO
пятой.
Чтобы перевести 80 килограммов в фунты, удвоим 80,
получив 160. Теперь умножим на 11 (1760) и разделим на
10, получив в качестве ответа 176 фунтов.
Сколько фунтов в 90 килограммах?
90 × 2 = 180
180 × 11 = 1980
1980 : 10 = 198 ÎÒÂÅÒ

Óìíîæåíèå ÷èñåë ñ ÷åòûðüìÿ è áîëåå çíàêàìè
Чтобы умножить на 11 число с четырьмя и более знакаO
ми, будем использовать похожий метод. Возьмем, к приO
меру, произведение 12345 × 11. Запишем задачу в следуюO
щем виде:
012345 × 11 =

Мы приписали к числу, которое умножаем на 11, нуль
слева. Очень скоро вы поймете почему. Начиная с цифры
единиц, прибавим к каждой цифре находящуюся справа
от нее цифру. В данном случае прибавим к 5 цифру, нахоO
дящуюся справа. Справа цифры нет, поэтому прибавляем
нуль:
5+0=5

Записываем 5 в качестве последней цифры ответа. НаO
ши вычисления теперь выглядят следующим образом:
196

Ãëàâà 19. Ñïîñîáû áûñòðûõ âû÷èñëåíèé

012345 × 11
5

Теперь переходим к цифре 4. Справа от 4 находится
цифра 5:
4+5=9

Записываем 9 в качестве следующей цифры ответа. ТеO
перь решение выглядит так:
012345 × 11
95

Далее продолжим аналогичным образом:
3+4=7
2+3=5
1+2=3
0+1=1

Так выглядит решение в окончательном виде:
012345 × 11
135795

Если не приписать нуль слева в самом начале, можно
забыть выполнить последний шаг в решении.
Это очень простой способ умножения на 11. Метод, поO
мимо всего прочего, также помогает закрепить навыки
сложения.
Попробуем решить еще одну задачу. На сей раз нам
придется переносить цифры из разряда в разряд. Обратите
внимание, что единственной цифрой, которую можно пеO
реносить, используя данный метод, будет цифра 1 (максиO
мальная сумма, которую могут дать две цифры, равна 18:
9 + 9).
Решим следующий пример:
217475 × 11 =
197

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

Записываем его в следующем виде:
0217475 × 11 =

Прибавим к цифре единиц цифру правее ее. Справа
цифры нет, поэтому прибавляем нуль. 5 + 0 = 5. ЗаписыO
ваем 5 под 5. Теперь сложим цифры 7 и 5:
7 + 5 = 12

Записываем 2 в качестве следующей цифры ответа и пеO
реносим 1 в следующий разряд. Теперь вычисления выO
глядят так:
02174175 × 11
25

Следующие шаги таковы:
4 + 7 + 1 (ïåðåíåñåííàÿ) = 12

2 – следующая цифра ответа. Переносим 1.
1 + 7 + 1 (ïåðåíåñåííàÿ) = 9
2+1=3
0+2=2

В окончательном виде решение выглядит так:
0211171475 × 11
23 9 2 225

Ìàòåìàòè÷åñêàÿ èãðà
Рассматриваемый метод можно также использовать для
математических игр. Речь пойдет о проверке результата
умножения на 11. Не забывайте, что задача решена не до
конца, пока вы не выполнили проверку результата. РасO
смотрим нашу первую задачу из предыдущего раздела:
012345 × 11
135795
198

Ãëàâà 19. Ñïîñîáû áûñòðûõ âû÷èñëåíèé

Поставим крестик под каждой второй цифрой ответа, наO
чиная с правой крайней. Мы получим следующую картину:
012345 × 11
135795
x x x

Теперь сложим цифры, помеченные крестиком:
1 + 5 + 9 = 15

15 – это наше контрольное число. Теперь сложим цифO
ры, не помеченные крестиком:
3 + 7 + 5 = 15

15 – наше второе контрольное число.
Если ответ решенного примера верен, тогда контрольO
ные числа должны быть либо равны, либо различаться на
11 или число, кратное 11, такое как 22, 33, 44, 55 и т. д.
В приведенном примере оба контрольных числа равны 15,
поэтому ответ верный.
Проверим, верно ли мы решили второй пример:
0217475 × 11
2392225
x x x

Сложим цифры, помеченные крестиком:
3+2+2=7

Затем сложим цифры, не помеченные крестиком:
2 + 9 + 2 + 5 = 18

Чтобы найти разницу между 7 и 18, вычтем из большего
числа меньшее:
18 – 7 = 11

Если разница равна 0, 11, 22, 33, 44, 55 и т. д., значит,
наш ответ верен. Здесь разница составляет 11, поэтому мы
получили правильный ответ.
199

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

Предложите решить подобные задачи детям. ПопросиO
те умножить на 11 выбранные ими числа и посмотреть, каO
кую разницу они смогут получить. Чем больше умножаеO
мое число, тем большую разницу можно получить. КомуO
нибудь, быть может, даже удастся установить рекорд.
Дети будут умножать стозначные и еще более длинные
числа на 11, пытаясь установить рекорд. Мало того, что им
удастся заслужить чемпионский титул, они смогут соверO
шенствовать свои навыки сложения и проверки правильO
ности полученного ответа.

Óìíîæåíèå íà 9
Наряду со способом быстрого умножения на 11 (поO
скольку 11 на 1 больше 10) имеется способ быстрого умноO
жения на 9 (поскольку 9 на 1 меньше 10). В данном спосоO
бе, вместо того чтобы прибавлять к каждой цифре цифру
справа, мы вычитаем каждую цифру из цифры справа.
Поскольку вычитание сопряжено с переносом единиц
разрядов, можно использовать следующий прием, ускоряO
ющий вычисления. Сначала вычитаем цифру единиц из
10, а затем каждую последующую цифру вычитаем из 9 и
прибавляем соседнюю справа цифру. Чтобы получить
первую слева цифру ответа (самого старшего разряда), выO
читаем 1 из первой цифры числа, умножаемого на 9.
Например:
254 × 9 =

Вычитая 4 из 10, получаем 6. Вычитание 5 из 9 дает 4 и
плюс 4 (соседняя справа цифра) – получаем 8 (86). 9 минус
2 равно 7 и плюс 5 дает 12. Записываем 2, 1 переносим (286).
Вычитаем 1 из первой цифры (2) и прибавляем 1, котоO
рое перенесли, получаем в ответе 2. Ответ: 2286.
254 × 9 = 2286 ÎÒÂÅÒ
200

Ãëàâà 19. Ñïîñîáû áûñòðûõ âû÷èñëåíèé

Äåëåíèå íà9
Существует простой способ деления любого числа на 9.
Чтобы разделить 42 на 9, берем цифру десятков в каO
честве целой части ответа, а в качестве остатка берем сумO
му цифр. 4 + 2 = 6 (остаток).
4 r6 ÎÒÂÅÒ

Рассмотрим другой пример:
34 : 9 =

Цифра десятков равняется 3, поэтому записываем 3 в
качестве целой части ответа.
3+4=7
3 r7 ÎÒÂÅÒ

А как насчет 71?
Цифра десятков равна…
Остаток равен…
Ответ: 7 с остатком 8.
Попробуйте решить следующие примеры самостояO
тельно:
a) 52 : 9 =

á) 33 : 9 =

â) 61 : 9 =

ã) 44 : 9 =

á) 3 r6

â) 6 r7

ã) 4 r8

Ответы:
a) 5 r7

Легко, не так ли? Но как поступить, спросите вы, если
надо разделить 46 на 9? Проблема в том, что 4 и 6 в сумме
дают 10. Что делать?
Попробуем разобраться:
46 : 9 =

Цифра десятков – 4, поэтому целой частью ответа являO
ется 4.
201

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

4 плюс 6 дает 10 – остаток согласно нашему методу. ПоO
лученный остаток больше 9, поэтому налицо некая ошибO
ка. Нельзя иметь остаток больше делителя. 10 при делеO
нии на 9 дает 1 с остатком 1. Цифра десятков равна 1,
плюс 1 + 0 = 1 (остаток).
Прибавим полученную целую часть (1) к предыдущей
целой части (4) и получим окончательную целую часть 5, а
остатком будет 1.
Попробуем решить другой пример:
75 : 9 =

Цифра десятков равна 7.
7 плюс 5 дает 12 (остаток). Остаток не должен превыO
шать делитель, поэтому делим полученный промежуточO
ный остаток на делитель.
12 : 9 =

Цифра десятков равна 1. Поэтому можно увеличить цеO
лую часть искомого ответа на 1.
7+1=8
1 + 2 = 3 îñòàòîê
8 r3 ÎÒÂÅÒ

Попробуйте решить следующие примеры самостояO
тельно:
a) 85 : 9 =

á) 37 : 9 =

â) 28 : 9 =

ã) 57 : 9 =

á) 4 r1

â) 3 r1

ã) 6 r3

Ответы:
a) 9 r4

Óìíîæåíèå ñ ïîìîùüþ ìíîæèòåëåé ÷èñëà
Очень часто, когда вам необходимо перемножить два
числа, вычисление удается упростить, если имеется возO
можность удвоить одно число и уменьшить в два раза друO
202

Ãëàâà 19. Ñïîñîáû áûñòðûõ âû÷èñëåíèé

гое (такой метод получил название «удвой и умножь»). На
самом деле в этом случае речь идет об умножении с помоO
щью множителей перемножаемых чисел.
Простой способ умножить 3 на 14 состоит в том, чтобы
удвоить 3 и взять половину 14, получая при этом 6 × 7.
В чем здесь секрет? Дело в том, что вы разбиваете 14 на 2 и
7, после чего удваиваете 3 (3 × 2) и затем умножаете на 7, то
есть на половину от 14.
3 × 14 = 3 × (2 × 7) = 6 × 7 = 42

Чтобы умножить 4 на 22, умножим 4 на 2, получая 8, а
затем 8 на 11. (При этом мы удваиваем 4 и берем половину
от 22.) На самом деле мы просто использовали множители
числа 22 (2 и 11), чтобы упростить вычисления. Когда бы
вам ни приходилось перемножать числа, одно из которых
значительно меньше другого, пробуйте применять данO
ный принцип для упрощения расчетов.
Скажем, вам надо умножить 14 на 24. Возьмем 10 в качеO
стве опорного числа и выполним вычисление как обычно.
+ 4 + 14
10 14 × 24 =

Складывая накрест, получаем 28 (14 + 14 или 24 + 4).
Умножим 28 на опорное число 10 и получим 280.
Теперь нам необходимо перемножить числа в кружках:
4 × 14. Мы могли бы сначала умножить 4 на 10, получая 40,
а затем прибавить 4 × 4 = 16, что даст нам 56.
Или же можно удвоить и взять половину.
14 равно 2 × 7, а произведение 4 на 2 равно 8. Таким обO
разом, 4 × 14 – это то же самое, что и 8 × 7. 8 на 7 равно 56.
Мы удвоили 4 и взяли половину 14, получив в результаO
те 8 × 7.
Наш промежуточный результат (280) в сумме с 56 дает
336.
203

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

Решите самостоятельно следующие примеры:
a) 4 × 18 =

á) 6 × 24 =

â) 48 × 180 =

á) 144

â) 8640

Ответы:
a) 72

(Примеры преобразуются в следующие: 8 × 9, 12 × 12 и
96 × 90.)
Немного попрактиковавшись, вы научитесь легко расO
познавать ситуации, когда можно успешно использовать
подобные приемы.

Äåëåíèå ñ ïîìîùüþ ìíîæèòåëåé ÷èñëà
Если у вас имеется 100Oмиллиграммовая бутылочка с
лекарством и вам нужно принимать по две дозы по 7,5 милO
лиграмма в день, на сколько дней хватит бутылочки?
Казалось бы, разделить 100 на 7,5 без калькулятора не
такOто просто.
Попробуем поступить иначе. Если надо ежедневно
принимать по две дозы, то речь идет о 15 миллиграммах в
день. Однако разделить 100 на 15 без остатка не получится.
Есть более простой способ решить эту задачу. Если мы
удвоим оба числа, ответ от этого не изменится. Два раза по
100, деленное на 15, – это то же, что и 200, деленное на 30.
Чтобы разделить на 30, разделим сначала на 10, а затем
на 3.
200 : 10 = 20
2
20 : 3 = 6 --3

Лекарства хватит на шесть с половиной дней (в последO
ний день вам пришлось бы принять две трети дозы, оставO
шиеся в бутылочке).
204

Ãëàâà 19. Ñïîñîáû áûñòðûõ âû÷èñëåíèé

Легкость, с которой мы произвели расчет, впечатляет.
Действительно, все очень просто.
Простой способ деления:
• на 15 – удвоить делимое и разделить полученное число
на 30;
• на 25 – удвоить делимое и разделить полученное число
на 50;
• на 35 – удвоить делимое и разделить полученное число
на 70;
• на 45 – удвоить делимое и разделить полученное число
на 90.

Например, если вам нужно разделить 2341 на 35, следуO
ет удвоить 2341 и разделить результат на 10, а затем на 7.
2341 × 2 = 4682
4682 : 10 = 468,2
468,2 : 7 = 66,8857

Речь идет о простом вычислении с делением на одноO
значное число.
Попробуйте решить следующие примеры самостояO
тельно:
a) 600 : 15 =
â) 560 : 35 =

á) 217 : 35 =
ã) 630 : 45 =

Ответы:
a) 40
â) 16

á) 6,2
ã) 14

Ïðîèçâåäåíèå äâóõ ÷èñåë ñ îäèíàêîâûì ÷èñëîì
äåñÿòêîâ è ñóììîé åäèíèö, ðàâíîé 10
В главе 10 мы познакомились с простым способом возO
ведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5. СущестO
205

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

вует способ быстрого перемножения для чисел с одинакоO
вым числом единиц и суммой, равной 10, использующий
аналогичную формулу.
Например, рассматривая произведение 17 × 13, можно
заметить, что цифры десятков у обоих чисел одинаковы, а
цифры единиц дают в сумме 10.
Прежде всего умножим цифру десятков на нее же, но
увеличенную на единицу.
Прибавляя 1 к цифре десятков, получаем 1 + 1 = 2.
Умножая 1 на 2, получаем 2. Это будет число сотен ответа
(200).
Теперь перемножим цифры единиц. Произведение 3 × 7
равно 21.
200 + 21 = 221 ÎÒÂÅÒ

Возьмем другой пример:
62 × 68 =

Цифра десятков у обоих чисел – 6. Прибавим 1 к 6 (6 +
+ 1 = 7). Умножая 6 на 7, получаем 42. Это число сотен, то
есть 4200. Затем вычисляем 2 × 8 = 16.
4200 + 16 = 4216 ÎÒÂÅÒ

При работе с числами сталкиваешься с подобными сиO
туациями гораздо чаще, чем может показаться.
Попробуем решить еще один пример:
123 × 127 =
12 + 1 = 13
12 × 13 = 156

156 – это число сотен ответа (15600). Делая вычисления
в уме, на этом этапе уже можно сказать: «Пятнадцать тыO
сяч шестьсот…»
3 × 7 = 21
206

Ãëàâà 19. Ñïîñîáû áûñòðûõ âû÷èñëåíèé

Ответом будет 15621. Здесь можно закончить: «…двадO
цать один».
Попробуйте решить следующие примеры самостояO
тельно:
a) 43 × 47 =
ã) 32 × 38 =

á) 21 × 29 =
ä) 46 × 44 =

â) 114 × 116 =
å) 148 × 142 =

á) 609
ä) 2024

â) 13224
å) 21016

Ответы:
a) 2021
ã) 1216

Вычисления не потребовали практически никаких усиO
лий. Вместе с тем у окружающих возникает ощущение, что
вы считаете как настоящий гений. Это лишний раз докаO
зывает, что гении просто владеют более совершенными
методами. Освойте их, и вы тоже станете считать как геO
ний.

Ïåðåìíîæåíèå ÷èñåë, ó êîòîðûõ öèôðû åäèíèö
äàþò â ñóììå 10, à öèôðû äåñÿòêîâ ðàçíÿòñÿ íà 1
Если вам надо перемножить 38 и 42, то существует споO
соб быстрого перемножения для этого и подобных ему
случаев.
Когда у двух чисел цифры единиц дают в сумме 10, а
цифры десятков разнятся на 1, меньшее число будет ровно
на столько же меньше числа, полученного после его округO
ления в сторону увеличения, на сколько большее число
будет его больше. В данном случае 38 на 2 меньше, чем 40,
а 42 на 2 больше, чем 40. В математике существует правиO
ло: если вы перемножаете два числа, которые на одинакоO
вую величину больше и меньше некоторого числа, то их
произведение будет равно квадрату этого числа за вычеO
том квадрата разницы.
207

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

Продолжим с нашим примером:
38 × 42 =

38 на 2 меньше 40, а 42 на 2 больше. Найти квадрат 40 не
составит труда: 40 × 40 (чтобы умножить 40 на 40, отброO
сим нули; 4 × 4 =16, после чего прибавим два нуля к реO
зультату).
40 отличается и от 38, и от 42 на 2. 2 в квадрате равно 4.
1600 – 4 = 1596 ÎÒÂÅÒ

Вот и все.
Попробуем решить другой пример:
67 × 73 =

Можно заметить, что каждое из перемножаемых чисел
разнится на 3 от 70: 67 на 3 меньше, а 73 на 3 больше. ОтO
ветом, таким образом, будет 70 в квадрате за вычетом 3 в
квадрате.
2

70 = 4900
2
3 =9
4900 – 9 = 4891 ÎÒÂÅÒ

Попробуйте сами:
a) 27 × 33 =
â) 122 × 118 =

á) 46 × 54 =
ã) 9 × 11 =

Ответы:
a) 891
â) 14396

á) 2484
ã) 99

Ïðîèçâåäåíèå ÷èñåë, áëèçêèõ ê 50
Рассмотрим еще один способ быстрого перемножения,
сходный с методом возведения чисел в квадрат, описанO
ным в главе 10.
208

Ãëàâà 19. Ñïîñîáû áûñòðûõ âû÷èñëåíèé

Чтобы найти произведение двух чисел, близких к 50,
надо сложить числа в кружках, взять половину полученO
ной суммы и прибавить к ней 25. Это даст нам число сотен
ответа. Затем перемножим числа в кружках. Прибавим поO
лученную сумму к числу сотен.
Рассмотрим на примере:
50

+ 4 + 8
54 × 58 =

Найдем сумму чисел в кружках. 4 плюс 8 дает 12. ПолоO
вина от 12 равна 6. Прибавим 6 к 25.
25 + 6 = 31

Мы получили число сотен ответа. (Умножая 31 на 100,
получаем 3100.) Найдем произведение чисел в кружках:
4 × 8 = 32
Ответом будет 3132.
А что, если одно из перемножаемых чисел нечетное, а
другое четное? Посмотрим, что получится, на примере.
53 × 54 =
3+4=7

1
Половина от 7 равна 3 O .
2

1
1
25 + 3 --- = 28 --2
2

1
1
Умножим: 28 O × 100 = 28 O сотен, то есть 2850. ПереO
2
2
множим числа в кружках:
3 × 4 = 12
2850 + 12 = 2862 ÎÒÂÅÒ

Вычисления не представляли сложности. Попробуем
решить еще один пример:
+ 2 + 13
50 52 × 63 =
209

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

Сложим числа в кружках:
2 + 13 = 15

1
Половина от 15 равна 7 O .
2

1
1
25 + 7 --- = 32 --2
2

Промежуточным результатом является 3250.
Теперь перемножим числа в кружках.
2 × 13 = 26
3250 + 26 = 3276 ÎÒÂÅÒ

Решите следующие примеры самостоятельно:
a) 52 × 56 =
â) 53 × 59 =

á) 61 × 57 =
ã) 54 × 62 =

Ответы:
a) 2912
â) 3127

á) 3477
ã) 3348

А что, если перемножаемые числа меньше 50?
Рассмотрим пример:
50

46 × 48 =
– 4 – 2
4+2=6

Половина от 6 равна 3. Вместо того чтобы прибавлять к
25, вычитаем 3 из 25. Это потому, что множители меньше
50, а не больше.
25 – 3 = 22

Наш промежуточный результат равен 2200. Найдем
произведение чисел в кружках и прибавим его к промежуO
точному результату:
4×2=8
210

Ãëàâà 19. Ñïîñîáû áûñòðûõ âû÷èñëåíèé

2200 + 8 = 2208 ÎÒÂÅÒ

Рассмотрим еще один пример:
50

47 × 44 =
– 3 – 6

Находим сумму чисел в кружках:
3+6=9

1
1
Половина от 9 равна 4 O . Вычтем 4 O из 25. (Сначала выO
2
2
1
читаем 5, а затем прибавляем O .)
2
1
1
25 – 4 --- = 20 --2
2
1
20 --- × 100 = 2050
2

Перемножим числа в кружках:
3 × 6 = 18
2050 + 18 = 2068 ÎÒÂÅÒ

Все рассмотренные примеры можно легко вычислить в
уме. Решите самостоятельно следующие примеры:
a) 49 × 48 =

á) 46 × 47 =

Ответы:
a) 2352

á) 2162

Âû÷èòàíèå èç ÷èñåë, â êîòîðûõ âñå öèôðû,
êðîìå ïåðâîé, îêàí÷èâàþòñÿ íà 0
Простое правило вычитания любого числа из числа, в
котором все цифры равны нулю, кроме первой, состоит в
том, чтобы вычитать последнюю цифру вычитаемого
(числа, которое мы вычитаем) из 10, а затем каждую поO
следующую цифру – из 9. В уменьшаемом (числе, из котоO
211

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

рого производится вычитание) при этом следует вычесть 1
из первой цифры.
Пример:
300000
–25713
274287

(óìåíüøàåìîå)
(âû÷èòàåìîå)
ÎÒÂÅÒ

Вычитаем 3 из 10, получая 7. Остальные цифры вычитаO
ем из 9.
9 минус 1 равно 8, 9 минус 7 – 2, 9 минус 5 – 4, 9 минус
2 – 7. Вычитаем 1 из первой цифры уменьшаемого, полуO
чая 2.
А вот что мы делаем, когда количество цифр в вычитаO
емом меньше, чем в уменьшаемом:
20000000
–0052316
19947684

Мы просто приписываем нули к вычитаемому на месте
недостающих цифр.
Поскольку нам не надо задумываться о переносе единиц
из разряда в разряд, можно выполнять вычитание как слева
направо, так и справа налево. Вычисление слева направо
может произвести большое впечатление на окружающих.
Способ позволяет легко вычитать из 100 или 1000. НаO
пример:
1000 – 257 = 743

Вы должны быть в состоянии с первого взгляда назвать
ответ как положено, слева направо. Произнося «семь… чеO
тыре… три», вы поочередно вычитаете каждую цифру из 9,
двигаясь слева направо. Разумеется, последнюю цифру вы
вычитаете из 10. С первой цифрой также нет проблем,
поскольку 1 минус 1 равно 0.
212

Ãëàâà 19. Ñïîñîáû áûñòðûõ âû÷èñëåíèé

Работая с числами, вы, вполне вероятно, откроете для
себя новые способы быстрых вычислений. Одно время в
1
Австралии налог с оборота составлял 27 O процента.
2
Я спросил у человека, которому постоянно приходилось
вычислять размер данного налога, как он это делает. Это
было в те дни, когда электронный калькулятор еще не стал
частью нашей повседневной жизни.
1
Он сказал мне, что 27 O процента можно разбить на 25 и
2
1
2 O процента. 25 процентов – это четверть суммы, облагаO
2
емой налогом. Прибавим к этому одну десятую этой четO
1
верти и получим 27 O процента.
2
Таким образом, если необходимо вычислить налог в
1
размере 27 O процента на товар, который стоит 80 центов,
2
вы для начала должны вычислить, сколько составляет четO
верть от 80. 20 составляет 25 процентов от 80, а одна десятая
1
от 20 равна 2. Таким образом, 27 O процента налога от проO
2
дажи товара стоимостью 80 центов составляет 22 цента.
Человек, о котором идет речь, придумал этот простой
метод со своими коллегами, чтобы облегчить себе работу.
Таким вот образом совершается большинство открытий.
Если вы будете стремиться ко все более быстрым выO
числениям и попытаетесь делать это иначе, чем вас учили
в школе, то, возможно, и вас ожидают ваши собственные
открытия.

213

Глава 20
Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå
äðîáåé
В дробях нет ничего особенного или сложного. Мы
имеем дело с ними постоянно. Сообщая комуOнибудь
время, вы, скорее всего, используете дроби (половина
шестого, четверть седьмого, без четверти два и т. д.). КогO
да съедаете четверть цыпленка или беседуете с друзьями о
футболе или баскетболе (половина тайма, вторая половиO
на и т. д.), вы также пользуетесь дробями.
Мы даже складываем и вычитаем дроби, часто не отдаO
вая себе в этом отчета. Мы знаем, что две четверти равны
половине. Половина тайма в баскетболе бывает в конце
второй четверти.
Вычисляя, сколько будет половина от числа 6, вы на саO
мом деле выполняете операции с дробями.
В настоящей главе мы узнаем, как без труда складывать
и вычитать дроби.
Вот, к примеру, дробь:
1
2

(÷èñëèòåëü)
(çíàìåíàòåëü)

Верхнее число в дроби называется числителем, а нижнее –
знаменателем.
Нижнее число – знаменатель – указывает, на сколько
частей разделено целое. Например, футбольный матч разO
делен на две половины, или на два тайма.
214

Ãëàâà 20. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå äðîáåé

Верхнее число – числитель – указывает, сколько таких
частей взято. Можно говорить, к примеру, о трех четверO
тях торта или об одной из восьми равных долей, на котоO
рые разделена пицца.
1
O – это еще один способ сказать: «Единица, деленная
2
6
на два». O означает 6, деленное на 3, и это один из спосоO
3
бов, которым можно записать число 2.
Нам часто приходится складывать, вычитать, перемноO
жать и делить части чегоOлибо. Это другой способ сказать,
что мы часто складываем, вычитаем, перемножаем и деO
лим дроби.
Ниже пойдет речь о том, как складывать и вычитать
дроби.

Ñëîæåíèå
Сложение дробей не представляет труда. Чтобы слоO
1
2
жить O и O , мы перемножаем числители и знаменатели
4
3
накрест, а затем перемножаем между собой знаменатели.
А именно:
1
4

+

2
3 + 8
=
3
12

Перемножаем накрест:
1×3=3
4×2=8

Складываем два результата, чтобы найти числитель исO
комой дроби.
3 + 8 = 11

Для получения знаменателя искомой дроби находим
произведение знаменателей: 4 × 3 = 12.
215

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

11
Ответ: OOOO . Легко, не так ли?
12
Возьмем другой пример:
2 1
--- + --- =
3 5

Умножаем накрест:

2
3

+

1
=
5

2 × 5 = 10
3×1=3

Сложим результаты, чтобы получить числитель искоO
мой дроби.
10 + 3 = 13

Перемножим знаменатели для получения знаменателя
искомой дроби.
3 × 5 = 15

Полностью решение выглядит следующим образом:
2
3

+

1
10 + 3
13
=
=
5
15
15

ÎÒÂÅÒ

Другой пример:
2
3

+

1
=
6

Перемножаем накрест:
2 × 6 = 12
3×1=3

Сумма произведений дает нам числитель искомой дроO
би. Теперь найдем произведение знаменателей:
3 × 6 = 18
216

Ãëàâà 20. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå äðîáåé

Это знаменатель дроби, получаемой в ответе.
12 + 3
15
=
3 × 6
18

ÎÒÂÅÒ

Остался еще один шаг до полного решения задачи.
Можно ли упростить полученный ответ?
Если числитель и знаменатель четные, мы можем соO
4
кратить их на 2, что упростит ответ. Например, O можно
8
2
1
упростить до O и еще далее до O .
4
2
15
В полученном выше ответе ( OOOO ) элементы дроби не явO
18
ляются четными, однако и 15, и 18 без остатка делятся на
3 (15 : 3 = 5, 18 : 3 = 6).
5
Окончательным ответом является O .
6
Всякий раз, когда вы проводите вычисления с дробяO
ми, следует добиваться самого простого ответа, какой
только можно получить. Посмотрите, не делятся ли как
числитель, так и знаменатель на 2, 3, 5 или любое другое
число. Если делятся, то их следует разделить на это число,
стремясь получить ответ, который далее уже нельзя соO
кратить.
21
3
Например, OOOO можно сократить до O (и 21, и 28 делятся
28
4
на 7).
Попробуйте решить следующие примеры самостояO
тельно:
1 1
a) --- + --- =
4 3

2 1
á) --- + --- =
5 4

3 1
â) --- + --- =
4 5

1 3
ã) --- + --- =
4 5
217

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

Ответы:
7
a) -----12

13
á) -----20

19
â) -----20

17
ã) -----20

Åùå îäèí ñïîñîá äëÿ óñêîðåíèÿ âû÷èñëåíèé
Имеется способ упростить вычисления с дробями. Если
в числителе обеих дробей стоит 1, мы складываем знамеO
натели, получая в результате числитель искомой дроби
(верхнее число), и перемножаем знаменатели, получая
знаменатель искомой дроби (нижнее число).
Рассмотрим это на примере:
1
4

+

1
4 + 5
=
5
4 × 5

=

9
20

Данный способ позволяет находить сумму и разность
дробей без отыскания наименьшего общего знаменателя и
часто позволяет «увидеть» ответ с одного взгляда.
Иными словами, вы должны быть в состоянии сразу
«увидеть», что:
1 1
7
--- + --- = -----3 4
12

и что:
1 1
1
--- – --- = -----3 4
12

Если хотите сложить три дроби, сначала найдите сумму
первых двух, а затем сложите полученную сумму и третью
дробь.
Например:
218

Ãëàâà 20. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå äðîáåé

1 1 2
--- + --- + --- =
3 2 5

Сначала:
1 1
3+2
5
--- + --- = ------------- = --3 2
3×2
6

Затем:
5 2
25 + 12
37
--- + --- = ------------------- = -----6 5
6×5
30

Числитель полученной дроби (37) больше знаменателя,
поэтому вычитаем 30 из 37 (или делим 37 на 30), чтобы поO
лучить окончательный ответ:
7
1 -----30

37 при делении на 30 дает 1 с остатком 7.

Âû÷èòàíèå
Аналогичный метод используется для вычисления разO
ности:
2 1
8–3
5
--- – --- = ------------ = -----12
3 4
12

Снова перемножаем накрест, получая 2 × 4 = 8 и 1 × 3 = 3,
которые в сумме дают число числителя искомой дроби.
Затем перемножаем знаменатели, чтобы получить знамеO
натель искомой дроби.
Попробуйте решить следующие примеры самостояO
тельно:
1 1
a) --- – --- =
2 3

3 1
á) --- – --- =
4 7
219

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

2 2
â) --- – --- =
3 7

4 2
ã) --- – --- =
5 7

Вычисления не представляют труда, когда знаешь, как
обращаться с дробями.

220

1
a) --6

17
á) -----28

8
â) -----21

16
ã) -----35

Глава 21
Óìíîæåíèå è äåëåíèå
äðîáåé
Когда вы суммируете дроби, в результате получается
число, которое больше каждого из слагаемых. И когда вы
вычитаете дроби, результат оказывается меньше, чем
уменьшаемое, как и следует ожидать.
Операции умножения и деления дробей весьма отличаO
ются от таких же операций с целыми числами, и поэтому
многим кажутся сложными. Обычно при делении число
(делимое) уменьшается, в случае же деления числа на
дробь происходит увеличение делимого. И наоборот,
умножение на дробь уменьшает число, произведение коO
торого с дробью мы находим. Иными словами, это будто
мир, в котором действия производят обратный эффект
вопреки здравому смыслу.
Будучи подростком, я играл в юниорской футбольной
команде. У нас была традиция: в третьем перерыве игры
мы ели апельсины. Каждый получал четверть. В моей коO
манде было 20 игроков, включая запасных. Сколько
апельсинов требовалось, чтобы угостить каждого игрока
его долей? Напомню, что каждый получал четверть
апельсина.
Одного апельсина хватает на четверых, поэтому пять
апельсинов хватит на 20 игроков. Из апельсина, деленного
на четверти, получается 4 кусочка. Из пяти апельсинов,
деленных на четверти, получается 20 кусочков. Пяти
апельсинов, деленных на половины, хватило бы только на
221

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

10 игроков. Деление апельсинов увеличивает количество
кусочков, которые можно раздать.
А как насчет умножения? Если бы четверть игроков быO
ли травмированы во время игры – это сколько игроков?
Четверть от 20 равна 5. Почему бы нам не делить, чтобы
узнать количество травмированных игроков? Делить на 4 –
это то же самое, что умножать на четверть.






Сколько получится, если 6 умножить на 10? 60.
Сколько получится, если 6 умножить на 8? 48.
Сколько получится, если 6 умножить на 5? 30.
Сколько получится, если 6 умножить на 2? 12.
Сколько получится, если 6 умножить на 1? 6.
1
• Сколько получится, если 6 умножить на O ? 3.
2
1
• Сколько получится, если 6 умножить на O ? 2.
3
Это кажется логичным. Чем меньше число, на которое
вы умножаете, тем меньшим является результат.
Таким образом, сказать: «Возьмите половину от шести» –
то же самое, что сказать: «Умножьте шесть на одну втоO
рую». Мы также знаем, что «половина от 6» является тем
же самым, что и «6, деленное на 2».
Вернемся к определению, которое мы даем произведеO
нию. Произведение 3 × 7 равняется сумме трех семерок, то
есть 7 плюс 7 плюс 7.
2 × 10 = 10 + 10.
1
А как насчет 1 O × 10?
2
Речь идет о сумме 10 и половины от 10. Таким образом,
1
произведение 10 × 1 O равно 15.
2
1
O , взятая 10 раз, просто равняется половине от 10, то
2
есть 5.
222

Ãëàâà 21. Óìíîæåíèå è äåëåíèå äðîáåé

Óìíîæåíèå äðîáåé
Возможно, вы без вычислений знаете ответ на следуюO
щий пример:
1 1
--- × --- =
2 4

Посмотрим, как ответ можно было бы рассчитать.
Перемножаем верхние числа, то есть числители,
и получаем числитель дроби ответа.
1×1=1

Перемножаем числа внизу, то есть знаменатели,
и получаем знаменатель дроби ответа.
2×4=8
1
Ответ:OOOOO.
(8)
Вот и вся операция умножения. Кто сказал, что с дроO
бями трудно иметь дело? Совсем нетрудно. Попробуем реO
шить еще один пример:
1 1
--- × --- =
3 4

(Мы, по сути дела, спрашиваем: «Сколько будет четO
верть от одной трети или треть от одной четверти?»)
1 × 1 = 1 (÷èñëèòåëü)
3 × 4 = 12 (çíàìåíàòåëü)
1
------ ÎÒÂÅÒ
12

Решим еще один пример:
2 1
--- × --- =
3 2

Перемножим числители:
2×1=2
223

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

Затем знаменатели:
3×2=6

2
В ответе получаем дробь O , которую можно сократить
6
1
до O .
3
ОпятьOтаки, можно сразу догадаться, если спросить сеO
бя: с каким количеством третей мы имели дело с самого
начала? С двумя. Теперь надо узнать, сколько будет полоO
вина от двух третей. Половина от 2 равна 1, поэтому отвеO
том будет одна треть.
Попробуйте решить следующие примеры самостояO
тельно:
1 1
a) --- × --- =
2 3

1 1
á) --- × --- =
2 5

2 2
â) --- × --- =
3 5

1
1
ã) ------ × ------ =
13 14

Чтобы решить последний пример, используйте метод
умножения в уме чисел, которые больше 10, но меньше 20.
Ответы:
1
a) --6

1
á) -----10

4
â) -----15

1
ã) ---------182

1
1
А как нам умножить 1 O на 3 O ?
2
4
Для начала мы преобразуем каждый множитель из смеO
шанного числа в неправильную дробь. Смешанным назыO
вается число, содержащее как целую, так и дробную часть.
Неправильная дробь – это дробь, у которой числитель
больше знаменателя.
1
Чтобы перевести 1 O в неправильную дробь, надо умноO
2
жить целую часть (1) на знаменатель дробной части (2) и
224

Ãëàâà 21. Óìíîæåíèå è äåëåíèå äðîáåé

прибавить результат (2) к числителю дробной части (1),
3
получая числитель неправильной дроби (3). Ответ: O .
2
(Полтора – это то же самое, что и три половины.)
Для того чтобы понять механизм перевода смешанного
числа в неправильную дробь, посмотрим на 1 и половину.
Сколько половин содержится в 1? Ответ прост: 2. Плюс
одна половина, обозначаемая дробью, что дает в сумме 3
половины.
1
Проделаем то же самое с 3 O . Умножим целую часть (3)
4
12
на знаменатель дробной части (получаем OOOO ) и прибавим
4
13
результат к числителю дробной части (1). Ответ: OOOO . ТеO
4
перь можно записать исходный пример так:
3 13
--- × ------ =
2 4

Перемножим числители: 3 × 13 = 39. Получили чисO
литель искомой дроби. Теперь перемножим знаменатели:
2 × 4 = 8.
39
Ответ: OOOO .
8
Как нам снова преобразовать ответ в смешанное число?
Для этого разделим 39 на 8. Ответом будет 4 (8 × 4 = 32) с
остатком 7.
7
39
Получаем: OOOO = 4 O .
8
8
А что, если вам нужно умножить целое число на дробь?
3
Попробуем перемножить 7 и O . Это можно выразить
4
поOдругому: «Сколько будет три четверти от 7?» Три четO
верти от 8 равны 6, поэтому наш ответ будет немного
меньше 6.
7
Выразим 7 в виде дроби, а именно: O .
1
225

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

7 3
--- × --- =
1 4
7 × 3 = 21
1×4=4
21
------ ÎÒÂÅÒ
4

Чтобы перевести ответ в смешанное число, разделим 21
1
на 4 и получим 5 O . (21 делится на 4 пять раз с остатком 1.)
4

Äåëåíèå äðîáåé
Чтобы найти половину любого числа, необходимо разO
делить его на 2. Например, половина от 6 равна 3. Это
можно записать следующим образом:
6 1
--- × --- = 3
1 2

Или же можно выполнить одно из следующих дейO
ствий:
6:2=3
6 2
--- : --- = 3
1 1

Правило такое:
Чтобы разделить число на дробь, ее необходимо перевер
нуть, то есть поменять местами числитель и знаменатель,
а затем умножать число на полученную дробь.
1
4
6 : --- = 6 × --- = 24
4
1

Выразить иначе это можно так: «Сколько четвертей
можно получить из шести апельсинов?» Вы делите 6 апельO
синов на четверти и в итоге получаете 24 четверти – достаO
точное количество, чтобы угостить всех игроков (вместе с
226

Ãëàâà 21. Óìíîæåíèå è äåëåíèå äðîáåé

запасными), тренера и массажиста, и при этом пару штук
еще останется.
Разделив 2 торта на кусочки величиной в одну шестую
1
( O ), вы получите 12 кусочков. В итоге вы смогли бы угосO
6
тить тортом 12 человек.
1
Таким образом, 2 при делении на O дает 12.
6
Вычисление выглядит следующим образом:
2 6
1
12
2 : --- = --- × --- = -----6
1 1
1

Попробуйте решить следующие примеры самостояO
тельно:
1 3
a) --- : --- =
3 4

7 2
á) --- : --- =
8 3

2 4
â) --- : --- =
7 5

21
á) -----16

5
â) -----14

Ответы:
4
a) --9

Третий пример решается так:
2 4
2 5
--- : --- = --- × --7 5
7 4
2 × 5 = 10 (÷èñëèòåëü)
7 × 4 = 28 (çíàìåíàòåëü)

10
Ответ: OOOO . Оба – и числитель, и знаменатель – являютO
28
ся четными числами, поэтому мы можем разделить их на
5
2, получив в качестве окончательного ответа OOOO .
14

227

Глава 22
Ïðÿìîå óìíîæåíèå
Простой способ найти произведение чисел, для котоO
рых трудно сходу подобрать подходящее опорное число,
предлагает так называемое прямое умножение. Это обычO
ный метод, используемый людьми, которые молниеносно
считают в уме.
Например:
36 × 72 =

Вот каким образом следует представить себе данную заO
дачу, когда человек взялся решать ее в уме:
×

7

2

3

6

Вычисление следует вести слева направо, начав с проO
изведения 70 на 30. Перемножаем 7 и 3 и умножаем ответ
на 100. (На практике следует перемножить 7 и 3, а затем
приписать два нуля к результату.)
7 × 3 = 21
21 × 100 = 2100

Это наш первый промежуточный результат. Теперь пеO
ремножаем накрест: 7 × 6 и 3 × 2, а затем суммируем реO
зультаты умножения.
7 × 6 = 42
3×2=6
42 + 6 = 48

Умножим последний результат на 10 и прибавим к наO
шему промежуточному результату.
228

Ãëàâà 22. Ïðÿìîå óìíîæåíèå

48 × 10 = 480
2100 + 480 = 2580

Если вы скажете про себя: «Две тысячи сто плюс четыO
реста… две тысячи пятьсот, плюс восемьдесят… две тысяO
чи пятьсот восемьдесят», то у вас не будет проблем с выO
полнением всего расчета в уме.
Теперь перемножим цифры единиц. Произведение 6 × 2
равно 12. Прибавим 12 к нашему текущему промежуточO
ному результату и получаем в ответе 2592.
2580 + 12 = 2592 ÎÒÂÅÒ

Ведя расчет слева направо, мы получаем приближенное
значение ответа после первого шага. С каждым шагом мы
получаем все более точный ответ.
При этом все вычисления могут выполняться в уме.
Попробуем решить другой пример:
34 × 73 =

Представляем задачу следующим образом:
×

3

4

7

3

Умножаем: 7 × 3 = 21, плюс два нуля (поскольку речь
идет о разряде десятков), получаем промежуточный реO
зультат 2100.
Теперь перемножаем накрест и складываем:
(3 × 3) + (7 × 4) =
9 + 28 = 37

Добавляем один нуль к результату, чтобы учесть тот
факт, что мы умножали десятки на единицы. Получаем 370.
При этом мы скажем про себя: «Две тысячи сто плюс
триста… две тысячи четыреста… плюс семьдесят… две тыO
сячи четыреста семьдесят».
229

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

Наш промежуточный результат равен 2470.
Теперь перемножим цифры единиц.
4 × 3 = 12
2470 + 12 = 2482 ÎÒÂÅÒ

Попробуйте решить следующие примеры самостояO
тельно:
a) 42 × 74 =
â) 27 × 81 =

á) 37 × 64 =
ã) 34 × 72 =

Разве не впечатляет вас тот факт, насколько легко вам
удается решать данные примеры в уме?
Ответы:
a) 3108
â) 2187

á) 2368
ã) 2448

Данный метод можно применять в тех случаях, когда
способ быстрого умножения не приходит в голову.

Óìíîæåíèå íà îäíîçíà÷íîå ÷èñëî
Прямое умножение на однозначное число также не
представляет труда.
Чтобы умножить 43 на 6, умножим 40 на 6, а затем приO
бавим 3 шестерки. Умножая 40 на 6, вычисляем, сколько
будет 6 × 4, и просто приписываем нуль справа.
6 × 4 = 24
24 × 10 = 240
3 × 6 = 18
240 + 18 = 258

Очень просто, не правда ли? Легче, чем использовать
опорные числа и нашу универсальную формулу умноO
жения.
А как насчет 6 × 17?
230

Ãëàâà 22. Ïðÿìîå óìíîæåíèå

6 на 10 дает 60 и плюс 6 на 7, что равняется 42. Получаем
в ответе 102.
3
Скажем, нам требуется вычислить, сколько будет 6 .
Это то же самое, что 6 × 6 × 6, то есть произведение трех
шестерок.
Перемножаем первые две:
6 × 6 = 36

Теперь надо умножить результат на 6. Для этого мы
сначала умножаем 30 на 6, потом 6 на 6 и складываем оба
результата:
6 × 30 = 180

Прибавляя 6 × 6 = 36, получаем:
180 + 36 = 216

Чтобы сложить 180 и 36, я прибавил бы сначала 20 из 36,
получив 200, а затем приплюсовал бы оставшиеся 16, что
дает окончательный ответ 216.
Прямое умножение на однозначное число не представO
ляет труда и со временем позволяет решать задачи на умноO
жение почти автоматически.
Попробуйте решить следующие примеры самостояO
тельно:
a) 7 × 13 =
ã) 9 × 26 =

á) 8 × 23 =
ä) 6 × 124 =

â) 6 × 42 =
å) 8 × 206 =

á) 184
ä) 744

â) 252
å) 1648

Ответы:
a) 91
ã) 234

Подсказка для решения примера д): умножьте 6 на 120,
а затем прибавьте 6 × 4.
Все ли у вас получилось? Большинство людей чувствуO
ют себя неуверенно с подобными вычислениями, находя
231

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

их сложными. Умение дать быстрый ответ на подобного
рода задачу сделает вас в глазах окружающих высокоинO
теллектуальным и математически одаренным человеком.

Óìíîæåíèå ÷èñåë ñ äâóìÿ è áîëåå çíàêàìè
Попробуем найти произведение 123 × 45:
1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

×
4 5
4 0 0 0

×
4 5
5 3 0 0

×
4 5
5 5 2 0

×
4 5
5 5 3 5

Сначала мы умножаем 1 на 4. Затем вычисляем сумму
1 × 5 и 2 × 4. Затем сумму 2 × 5 и 3 × 4. И наконец, вычисляO
ем 3 × 5. Все это складываем с учетом разрядов, то есть с
учетом того, сколько нулей должно быть приписано спраO
ва к каждому ответу. А именно:
100 × 40 = 4000

(Четыре раза по 100 равно 400, после умножения на 10
получаем 4000.)
100 на 5 равно 500, плюс 20 × 40, равное 800, получаем
1300.
4000 + 1300 = 5300

20 на 5 равно 100, плюс 3 × 40, равное 120, получаем 220.
5300 + 220 = 5520

5 на 3 равно 15.
5520 + 15 = 5535 ÎÒÂÅÒ

Чтобы добраться до ответа, мы получили три промежуO
точных результата (4000, 5300, 5520) и окончательный
(5535).
Стандартное умножение в столбик подразумевает, что
мы сначала получаем цифру единиц ответа, то есть 5. Хотя
232

Ãëàâà 22. Ïðÿìîå óìíîæåíèå

можно выполнять прямое умножение как слева направо,
так и справа налево, начиная с цифр более высокого поO
рядка, мы сразу получаем промежуточный результат,
очень близкий к фактическому ответу.
Представить механизм перемножения можно другим
способом:
1 2 3 × 4 5 =

Произведение 100 × 40 равно 4000. Промежуточный реO
зультат будет 4000.
1 2 3 × 4 5 =

100 × 5 = 500, плюс 20 × 40 = 800 – получается 1300. ПроO
межуточный результат равен 5300.
1 2 3 × 4 5 =

5 × 20 = 100, плюс 3 × 40 = 120, – получается 220. Новый
промежуточный результат равен 5520.
1 2 3 × 4 5 =

3 × 5 = 15. Окончательный результат: 5535.
Чтобы найти произведение 321 × 427 на бумаге, все, что
нужно, – это записывать результат.
3 2 1 × 4 2 7 = 120000

Прибавляйте столько нулей, сколько в сумме цифр
после перемножаемых вами цифр.
3 2 1 × 4 2 7 = 134000
233

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

3 2 1 × 4 2 7 = 136900
3 2 1 × 4 2 7 = 137060
3 2 1 × 4 2 7 = 137067

ÎÒÂÅÒ

Можно помогать себе, указывая пальцем на цифры,
подлежащие перемножению в данный момент.
Попробуйте решить следующие примеры самостояO
тельно. Сначала попробуйте решить их на бумаге, а затем
сразу назвать ответ, выполнив расчеты в уме.
a) 123 × 345 =
â) 623 × 316 =

á) 204 × 436 =
ã) 724 × 315 =

Ответы:
a) 42435
â) 196868

á) 88944
ã) 228060

Êîìáèíèðîâàíèå ìåòîäîâ
Можно комбинировать прямое умножение с методом,
где используется опорное число. В случае последнего мы
стараемся выбирать простые опорные числа вроде 10, 20,
50 и 100. Если же приходится использовать такие числа,
как 30 или 70, то можно применить комбинацию с метоO
дом прямого умножения.
Если бы вам, к примеру, требовалось перемножить 68 и
68, вы использовали бы 70 в качестве опорного числа.
70

68 × 68 =
– 2 – 2

Вычитаем накрест:
68 – 2 = 66
234

Ãëàâà 22. Ïðÿìîå óìíîæåíèå

Чтобы найти промежуточный результат, мы должны
умножить 66 на опорное число 70. Используем прямое
умножение:
70 × 66 =
60 × 70 = 4200
6 × 70 = 420
4200 + 420 = 4620

Теперь перемножим числа в кружках и прибавим ответ
к нашему промежуточному результату:
2×2=4
4620 + 4 = 4624

Интересно, что в данном примере мы могли бы испольO
зовать один из наших способов быстрого получения отвеO
та. Речь идет о том, чтобы разбить 66 на множители: 6 × 11.
Тогда пример можно представить так: 7 × 6 × 11 × 10.
7 × 6 = 42
42 × 11 = 462 (ñïîñîá óìíîæåíèÿ íà 11)
462 × 10 = 4620

Перемножая числа в кружках и прибавляя ответ к проO
межуточному результату, получаем 4624.
Метод прямого умножения делает возможным испольO
зование любого опорного числа.

235

Глава 23
Ïðèáëèæåííîå
âû÷èñëåíèå
Давать приближенную численную оценку тем или
иным вещам приходится довольно часто в повседневной
жизни. Во что обойдется содержание вашей машины в
этом году? На сколько большими будут расходы на реO
монт? Сколько придется заплатить банку в счет покрытия
кредита? Точно так же, когда мы переводим одну валюту в
другую, очень трудно получить точную сумму. Курс меняO
ется каждый день. Мы не знаем, сколько банк захочет поO
лучить за сделку в качестве комиссии. В лучшем случае наO
ши расчеты являются приближением того, что будет на саO
мом деле.
Однажды в супермаркете я покупал продукты и вдруг
сообразил, что у меня в кошельке всего одна 20OдоллароO
вая банкнота.
Я пересмотрел продукты в моей тележке и обнаружил,
что их стоимость в сумме составляла около 22 долларов.
Я вынул из тележки продукты на сумму около 3,5 доллара,
положил обратно на полку и пошел к кассе.
Тогда еще не было сканеров, поэтому кассирша вручO
ную пробила стоимость моих продуктов на кассовом апO
парате.
Она сказала мне: «С вас двадцать шесть долларов и соO
рок центов».
Я ответил: «Извините, но вы ошиблись. Здесь продукO
тов меньше чем на двадцать долларов».
Кассирша возмутилась и вызвала менеджера.
236

Ãëàâà 23. Ïðèáëèæåííîå âû÷èñëåíèå

«Что случилось?» – спросил он.
Она объяснила: «Вот, господин говорит, что я ошибO
лась, пробивая ему чек».
«А как вы это определили?» – спросил менеджер, с поO
дозрением глядя на меня.
Я объяснил, что у меня в кошельке всего 20 долларов,
поэтому я набрал продуктов на такую сумму.
Мы сверили то, что было в моей тележке, с чеком и обO
наружили, что кассирша в одном случае забыла ввести деO
сятичную запятую. Если бы я не подсчитал в уме, то ниO
когда не заметил бы ошибки. Позднее я узнал, что кассирO
ша в тот день впервые вышла на работу, и поэтому почувO
ствовал себя немного виноватым.
В математике также нужны приближенные оценки. Речь
идет о том, что иногда нам не требуется точный ответ, а лишь
приближенное значение. Приближенная оценка – это наO
вык, который вы легко можете приобрести и развить в себе.
Как нам оценить сумму, которую придется заплатить за
товары в супермаркете? Следует округлить все цены до
ближайшего числа. В одних случаях округление будет в
сторону увеличения, в других – в сторону уменьшения.
Это простой способ получить довольно точную оценку обO
щей суммы, которую вам надо будет заплатить, и вы опреO
делите, хватит ли денег в вашем кошельке, чтобы рассчиO
таться с кассиром. Попробуйте проделать это во время
очередного визита в супермаркет и посмотрите, насколько
точной может быть ваша оценка.

Ïðèìåðû ïðàêòè÷åñêîãî ïðèìåíåíèÿ
Сколько человек сидит в аудитории?
Мы окидываем взглядом аудиторию и видим, что пракO
тически все места заняты. Считаем количество рядов. Их
237

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

оказывается 16. Сколько человек сидит в одном ряду? Мы
насчитываем 20 мест в ряду, однако среднее количество
занятых мест составляет примерно 14. Количество стуO
дентов в рядах разное, но средним числом, как нам кажетO
ся, является 14.
Умножаем 14 на 16 и получаем 224. Хотя ответом являO
ется вполне реальное число, мы ведем речь всего лишь об
оценке фактического количества. Мы сказали бы в такой
ситуации: «Чуть больше двухсот человек».
Во сколько вам обойдется отпуск в этом году?
Следует учесть оплату столькихOто ночей в гостинице,
такиеOто расходы на бензин и аренду автомобиля, стольO
коOто на еду, а также на прочие покупки, например сувеO
ниры. Сложив все это вместе, получим примерную стоиO
мость отпуска. Опыт путешествий подсказывает нам, что
к полученной сумме следует прибавить 50 процентов, поO
скольку цены на все, как правило, оказываются выше, чем
мы предполагали.
Во сколько вам обойдется подержанная машина?
Правильно будет, сколько бы вы ни заплатили за саму
машину, добавить еще 1000 долларов на ремонтные рабоO
ты, которые, скорее всего, потребуется выполнить после
того, как машина станет вашей. Я всегда говорю своим
друзьям: включайте в стоимость приобретаемой машины
будущий ремонт. Если он не потребуется, то вы выиграете
в деньгах. Это как премия. Если же ремонт всеOтаки будет
нужен, тогда вы не будете чувствовать себя так, будто вас
обобрали.
Сколько примерно будут стоить 227 штук товара по цеO
не 485 долларов за каждую?
Если мы не знаем, какую окончательную сумму у нас
попросят, можно оценить ее приблизительно и затем поO
пытаться сбить цену. Какой приблизительно будет общая
238

Ãëàâà 23. Ïðèáëèæåííîå âû÷èñëåíèå

стоимость? Округлим числа до 200 и 500 соответственно,
перемножим и получим в результате 100000. (Обратите
внимание, что я округлил одно число в сторону увеличеO
ния, а другое – в сторону уменьшения, чтобы свести к миO
нимуму ошибку приближения.)
Можно оценить и поOдругому, перемножив 230 и 480 с
использованием методов, рассмотренных в настоящей
книге:
50

23 × 48 =
– 27 – 2

21 × (100 : 2) = 1050
–27 × –2 = 54
1050 + 54 = 1104

Таким образом, результатом нашей оценки является
сумма, примерно равная 110000 долларов. Этот и полученO
ный ранее результаты могут быть взяты за основу. С учеO
том этого можно, наверное, надеяться на то, что цену
удастся сбить до 105000 долларов.
Простым способом приближенного вычисления являO
ется округление чисел до значимых для ответа цифр. ОсO
тальные цифры при этом превращаются в нули.
Ваш брат купил 253 подержанных копировальных апO
парата за 10000 долларов. Сколько он заплатил за каждый
из них?
Чтобы вычислить точный ответ, необходимо разделить
10000 на 253. Если при вас нет калькулятора, можно дать
достаточно близкий к фактическому приближенный ответ
путем округления соответствующих чисел.
Для оценки ответа разделим 10000 на 250. 250 – это четO
верть тысячи, поэтому можно разделить на 1000 и умноO
жить результат на 4.
239

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

10000 при делении на 1000 дают 10. (По сути, вы задаете
следующий вопрос: сколько тысяч содержится в десяти
тысячах?)
10 × 4 = 40. Фактическая цена за один копировальный
аппарат составляет чуть меньше 40 долларов, а именно –
39,53 доллара. Нашу оценку следует признать достаточно
точной.
Вычисляя приближенное значение результатов сложеO
ния, вычитания, умножения и деления, мы просто округO
ляем каждое число до ближайшего. Если одно число мы
округляем в большую сторону, тогда другое следует округO
лять в меньшую.
Зачем нам нужны приближенные вычисления, если
калькулятор всегда даст точный ответ?
ВоOпервых, в вышеприведенных примерах вы не увереO
ны, какими являются величины, поэтому ввести в калькуO
лятор можно лишь приближенные числа. ВоOвторых,
калькуляторы на самом деле сделали приближенное выO
числение в уме еще более необходимым, и сейчас я объясO
ню почему.
Однажды я попросил класс выполнить следующее выO
числение.
Цена бензина составляет 1,30 доллара за галлон. Вы
заправляете 18 галлонов в бак. Сколько вы заплатите за
бензин?
Один ученик получил ответ в несколько миллионов
долларов. Я спросил у него, считает ли он свой ответ праO
вильным. Он ответил, что да, считает, поскольку получил
его с помощью калькулятора.
Тогда я спросил его, является ли 1,30доллара нормальO
ной ценой за галлон бензина. Ученик ответил: «Да, конечO
но». Тогда я спросил, может ли вместить 18 галлонов бенO
зобак автомобиля его отца. Он опять ответил утвердительO
240

Ãëàâà 23. Ïðèáëèæåííîå âû÷èñëåíèå

но и даже указал, какая в действительность вместимость баO
ка в автомобиле его отца.
Наконец я спросил, платил ли его отец когдаOнибудь
три миллиона долларов за бак горючего. Тогда до него доO
шло. Калькулятор дал ответ, но неправильный. Ученик,
скорее всего, нажал не на ту кнопку. Настоящий ответ у
этой задачи – 23,40 доллара.
Многие люди принимают ответ, полученный на кальO
куляторе, за истину в последней инстанции. Нужно уметь
вычислять в уме приближенное значение ответа, чтобы
быть уверенными в том, что мы не допустили ошибки,
считая на калькуляторе.

241

Глава 24
Ïðèìåíÿåì òî,
÷åìó íàó÷èëèñü
Мы сталкиваемся с математикой каждый день. Всякий
раз, когда чтоOнибудь покупаем, когда слышим от когоO
нибудь или сообщаем комуOлибо текущее время, даже
когда садимся в машину, мы прибегаем к математичесO
ким вычислениям. Каким временем я располагаю? Шесть
часов сорок минут – это то же самое, что и без двадцати
семь. Сколько денег я должен дать кассиру? Хватит ли у
меня в кошельке денег, чтобы сделать эту покупку?
Сколько мне надо откладывать каждый месяц, чтобы хваO
тило на покупку дома или новой машины? Достаточно ли
у меня времени, чтобы доехать до города? Все это матемаO
тические вычисления. В настоящей главе вы узнаете, как
базовые знания математики способны помочь вам в поO
вседневной жизни.

Ïóòåøåñòâèÿ çà ãðàíèöó
Посещая незнакомые страны, одни люди с удовольO
ствием узнают новые традиции, достопримечательности,
культуру, язык, другие же чувствуют себя некомфортно в
чужой для них обстановке.
Мне нравится разнообразие. Если бы все в мире было
одинаковое, то и ездить никуда не имело бы смысла. В чуO
жой стране мне нравится осваивать новую для меня валюO
ту, единицы измерения, шкалу температур и т. п. ЗачасO
тую, впрочем, нам приходится переводить такие единицы
242

Ãëàâà 24. Ïðèìåíÿåì òî, ÷åìó íàó÷èëèñü

измерения в систему, принятую в родной стране, чтобы
нас могли понять. Кроме того, нам часто приходится свеO
рять курс валют, чтобы оценить, разумно ли мы платим за
ту или иную вещь. Все это требует от нас математических
знаний.

Ïåðåâîä òåìïåðàòóð
èç îäíîé øêàëû â äðóãóþ
Если вы приехали в страну, где используется темпераO
турная шкала Фаренгейта, а не Цельсия, или наоборот,
вам может пригодиться умение переводить значения темO
пературы из одной шкалы в другую. Слушая, к примеру,
прогноз погоды, вы хотели бы знать, следует вам надеть
пальто на прогулку или чтоOнибудь полегче. Согласно
формуле перевода из шкалы Фаренгейта в шкалу Цельсия,
из величины температуры следует отнять 32 градуса и
умножить полученную разность на 5, а затем разделить на 9.
Это несложно, если использовать методы, изложенные в
этой книге, однако, возможно, мы можем обойтись менее
точной, но более простой формулой. А формула эта такая:
Чтобы перевести значение температуры по Фаренгейту в
значение по Цельсию, надо вычесть 30 градусов и разде
лить полученную разность пополам.
Чтобы перевести значение температуры по Цельсию в
значение по Фаренгейту, необходимо удвоить его и приба
вить к результату 30 градусов.
Значение, полученное с помощью этой формулы, будет
близким к точному значению в достаточной для практиO
ческих целей степени. Например, если вам сказали, что заO
втра температура воздуха будет 8° С, удвойте это значение
и прибавьте к результату 30. Удвоенное 8 равно 16, плюс 30
243

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

– получаем 46° F. Фактическая температура, согласно точO
ной формуле, равна 46,4° F. Для практических нужд полуO
ченное нами приближенное значение вполне годится.
А что делать, если вы приехали в страну, где температуO
ру измеряют с помощью шкалы Фаренгейта, а не привычO
ной для вас шкалы Цельсия? Если вам скажут, что темпеO
ратура воздуха завтра будет 72° F, отнимите 30 (42) и затем
возьмите половину. Ответом будет 21° С. Перевод по точO
ной формуле даст нам значение около 22° С. Мы ошибO
лись на один градус, однако вполне адекватно будем предO
ставлять, какая будет температура.
Простые формулы для перевода значений температуры
из одной шкалы в другую:
(°C × 2) + 30 = °F
(°F – 30) : 2 = °C

А вот формулы для точного перевода значений одной
температурной шкалы в значения другой шкалы и обратно:
9
°Ñ × --- + 32 = °F
5
5
(°F – 32) × --- = °Ñ
9

Попробуем перевести из одной шкалы в другую на конO
кретном примере, при этом в уме и с помощью каждой из
указанных выше формул:
Ïåðåâåñòè 80° F â °Ñ

Сначала по простой формуле: вычтем 30 из 80, получим
50, взяв половину, получим температуру по Цельсию.
80° F = 25° С.
Теперь по точной формуле:
5
(80 – 32) × --- =
9
244

Ãëàâà 24. Ïðèìåíÿåì òî, ÷åìó íàó÷èëèñü

80 – 32 = 48
48 × 5 = 240
240
---------- = 26,67° Ñ
9

Рассмотрим другой пример:
Ïåðåâåñòè 10° Ñ â °F

Используем сначала точную формулу:
9
10 × --- + 32 =
5
10 × 9 = 90
90
------ = 18
5
18 + 32 = 50° F

Используя теперь простую формулу, получим: удвоенO
ное 10 дает 20, затем прибавим 30 и получим в ответе 50° F.
В первом случае упрощенная формула дала нам ответ,
который был близок к истинному, а во втором полученное
по упрощенной формуле значение вообще равнялось выO
численному по точной формуле.
Если опасаетесь, что можете забыть, в каком случае наO
до отнимать 30, а в каком прибавлять либо когда надо
брать половину значения или, наоборот, его удваивать,
рекомендую запомнить пару соответствующих значений
температур в разных шкал. Помня их, вы всегда сможете
восстановить в памяти формулу.
Например, если запомнить, что 100° F соответствуют 37
или 38° C, то как можно из 100 получить 37? 100 минус 30
равняется 70. Половина от 70 равна 35. Почти получили
требуемое. Если же теперь осуществить обратный переO
ход, то нужно удвоить 35, получив 70, и прибавить 30, что
даст в ответе 100. Таким образом, мы проверили справедO
ливость формулы в обе стороны.
245

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

Другой хорошо известной парой эквивалентных значеO
ний в двух рассматриваемых температурных шкалах являO
ется точка замерзания воды: 0° C и 32° F. Вычтем 30 из
30° F и получим 0° C.
Неплохо запомнить также, какому изменению по одO
ной шкале будет соответствовать некое фиксированное
изменение по другой шкале. 10° C соответствуют 50° F.
Уменьшим или увеличим на 10° C. 20° C = 68° F. (То есть
изменению на 10 градусов по шкале Цельсия соответствуO
ет изменение на 18 градусов по шкале Фаренгейта.)
Рассмотрим пример:
Ïåðåâåñòè 15° C â °F

Точная формула дает:
9
15 × --- + 32 =
5
15 × 9 = 135
135
---------- = 27
5
27 + 32 = 59° F

Теперь воспользуемся более простой формулой:
15 × 2 = 30

30 + 30 = 60° F – îøèáêà â 1 ãðàäóñ

Еще пример:
Ïåðåâåñòè 20° C â °F
9
20 × --- + 32 =
5
180
---------- = 36
5
36 + 32 = 68° F

По более простой формуле:
20 × 2 = 40

40 + 30 = 70° F – îøèáêà â 2 ãðàäóñà

Вполне приемлемый результат, который никак не скаO
жется на выборе одежды для прогулки.
246

Ãëàâà 24. Ïðèìåíÿåì òî, ÷åìó íàó÷èëèñü

Âðåìÿ è ðàññòîÿíèå
Другим видом перевода из одной шкалы в другую, с коO
торым можно столкнуться, путешествуя по свету, являетO
ся перевод дюймов в сантиметры. 1 фут равен 30 сантиметO
рам. При делении 30 на 12 (количество дюймов в одном
1
футе) получаем примерно 2 O . Таким образом, один дюйм
2
равен примерно 2,5 сантиметра.
Имея дело с разницей между временными поясами,
стоит зафиксировать в памяти определенный момент вреO
мени. Выберите подходящее время, когда вы обычно звоO
ните домой, скажем, из заграничной командировки, и заO
помните эквивалентный момент времени в поясе, где наO
ходится ваш дом.
Например, я провожу много времени в разъездах между
Мельбурном и Ванкувером. Мне часто необходимо знать
время в обоих городах. Я просто запомнил для себя, что,
когда в Мельбурне 12 часов пополудни, в Ванкувере будет
5 часов после полудня предыдущего дня. Чтобы узнать,
какому времени в Ванкувере соответствуют 2 часа дня в
Мельбурне, я просто прибавляю 2 часа к 5 часам вечера,
получая 7 часов вечера. 2 часа дня в Ванкувере соответO
ствуют 9 часам утра в Мельбурне. Таким образом, вместо
того чтобы прибавлять к местному времени или вычитать
из него 19 часов, я исхожу от момента времени, который
запомнил.

Îáìåí âàëþòû
Когда я недавно был в Соединенных Штатах, австраO
лийский доллар стоил примерно 65 центов США. Чтобы
рассчитать, сколько вещь стоила в австралийских доллаO
рах, я делил ее цену в американских деньгах на 0,65. Я такO
247

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

же мог бы сначала удвоить цену, а затем разделить на 1,3
или же разделить цену сначала на 1,3, а затем удвоить реO
зультат. Также давайте взглянем на перевод в обратную
сторону. 1 доллар США равняется примерно 1,50 австраO
лийского доллара. Таким образом, расчет эквивалентной
суммы не представляет труда. 40 долларов США будут равO
няться 40 и еще половине этой суммы долларам АвстраO
лии, то есть 60 долларам США. С тех пор как я был в США,
курс обмена изменился, однако подход остается тем же с
любой валютой и любым обменным курсом.

Ñêîðîñòü è ðàññòîÿíèå
Запомните раз и навсегда, что 100 километров равняютO
ся 60 милям. После этого умножайте или делите на 0,6 в
зависимости от того, что во что переводите.
Запомните также, что 60 миль/ч – это то же, что 1 миля
в минуту. Двигаясь со скоростью 100 км/ч, вам потребуетO
ся 30 минут, чтобы проехать 30 миль.
Я также помню о времени, за которое проезжаю то или
иное расстояние, двигаясь со скоростью 100 км/ч. Чтобы
проехать 250 километров, потребуется 2 с половиной часа.
А на расстояние 25 километров потребуется четверть часа.
Поэтому, если до места назначения мне остается 175 киO
лометров, я знаю, что пройдет около часа с тремя четверO
тями, прежде чем я доеду.
Сколько будет 50 километров в час в милях в час? ПоO
скольку 100 километров равняются 60 милям, то 50 километO
ров равняются 30 милям. Поэтому 50 км/ч равны 30 милям/ч.

Ôóíòû â êèëîãðàììû
1 килограмм равняется 2,2 фунта. При переводе килоO
граммов в фунты вы умножаете число килограммов на 2,2.
248

Ãëàâà 24. Ïðèìåíÿåì òî, ÷åìó íàó÷èëèñü

Переводя же фунты в килограммы, мы делим количество
фунтов на число 2,2, представляющее собой произведение
11 × 0,2.
Сколько фунтов веса в человеке, который весит
65 килограммов?
65 × 0,2 = 13
13 × 11 = 143 ôóíòà

Ñïîðòèâíàÿ ñòàòèñòèêà
Наблюдая за игрой, будь то на стадионе или по телевиO
зору, ведите статистику самостоятельно. Каково число
пробежек в пересчете на отбитые мячи, процент выигранO
ных на базе очков у каждого игрока, среднее число выигO
ранных пробежек у подающего? Практически в каждой
игре ведется своя статистика, которая одновременно деO
лает игру более увлекательной и улучшает ваши познания
в математике.
Îöåíêà ðàññòîÿíèé
Когда еду за рулем в Ванкувере (Британская Колумбия,
Канада), я знаю, что улицы и проспекты нумеруются здесь
из расчета восемь на милю. Если я только что пересек
16Oю, а мне надо на 86Oю, то я знаю, сколько мне еще остаO
ется проехать, и могу подсчитать, сколько времени у меня
на это уйдет. Мне осталось пересечь 70 улиц. 70 при делеO
нии на 8 дает примерно 9. Значит, мне осталось проехать
3
почти 9 миль, или, если быть более точным, 8 O мили.
4
Äðóãèå äåëüíûå ñîâåòû
Измерьте диаметр различных монет и затем используйO
те их в качестве измерительных инструментов, если под
249

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

рукой нет линейки или рулетки. Измерьте длину своего
большого пальца. Измерьте, сколько сантиметров у вас от
кончика большого пальца до кончика среднего, после того
как развели их насколько сможете. Узнайте длину одного
своего шага. Измерьте длину своей стопы и подошвы боO
тинок. Какова длина вашей руки от плечевого сустава до
кончиков пальцев? Каково расстояние между вашими руO
ками, когда вы развели их в стороны? Какова длина листа
бумаги того или иного формата (например, А4)?
Используйте все это для приблизительного измерения
длины, ширины и т. п.
Пройдя расстояние в 1 километр или 1 милю, подсчиO
тайте количество сделанных вами шагов. Затем разделите
число шагов на пройденное расстояние, тем самым узнав
среднюю длину вашего шага. Измерьте с помощью секунO
домера, сколько времени вам требуется на то, чтобы пройO
ти 1 милю или 1 километр. После этого можно вычислить
среднюю скорость, с которой вы передвигаетесь пешком,
и на основании этого определять, сколько времени у вас
уйдет на то, чтобы пройти то или иное расстояние (можно
также рассчитать, какое расстояние вы прошли, судя по
затраченному времени).
Вычисляйте вместимость зрительного зала, придя в киO
но или театр. Общее число мест определяйте путем переO
множения количества рядов на количество мест в ряду.
Какова вместимость зала в вашем любимом театре?
Вам известна длина окружности Земли? Она равна приO
мерно 24000 миль, или 40000 километров. На экваторе
точка на земной поверхности перемещается со скоростью
примерно 1000 миль/ч. Иными словами, на экваторе шиO
рина часового пояса составляет примерно 1000 миль. ПоO
скольку длина экватора составляет 24000 миль, ее легко
разделить на зоны, соответствующие каждому часу в сутO
250

Ãëàâà 24. Ïðèìåíÿåì òî, ÷åìó íàó÷èëèñü

ках. Переводя мили в километры, получаем, что 1000 миль
равняется примерно 1600 километров.

Ïðèìåíåíèå èçó÷åííûõ ìåòîäîâ
Используйте изученные в данной книге подходы и меO
тоды не только в школе или на работе, но и в качестве споO
соба разнообразить свой досуг. Производите в уме всевозO
можные вычисления, путешествуя за рулем автомобиля
или приехав туристом в другую страну. Используйте их,
наблюдая за игрой любимой команды. Пользуйтесь ими,
делая покупки в магазине. И, разумеется, находите им
применение в школе и на работе. Это закрепит математиO
ческие навыки, повысит вашу сообразительность и помоO
жет вам принимать более взвешенные решения.

251

Ïîñëåñëîâèå
КакOто я преподавал в пятом классе. Закончив объясO
нять детям, как перемножать числа больше 10 и меньше
20, я заметил девочку, которая пыталась вычислить,
сколько будет 109 на 109. Она нарисовала кружки с числаO
ми вверху, использовав 100 в качестве опорного числа, и
получила в ответе 11881. Девочка спросила у меня, праO
вильный ли у нее получился ответ. Она не спрашивала, доO
пустила ли ошибку в своих вычислениях. Ее интересоваO
ло, годился ли такой метод в качестве решения. Я заверил
девочку, что она была права как в первом, так и во втором
случае.
Работая в качестве приходящего учителя, я встречаю
подобную реакцию сплошь и рядом. Дети обожают экспеO
риментировать. Это, возможно, для меня самая большая
награда. Дети начинают мыслить как математики. Кроме
того, увидев результат своего труда, они не жалеют усилий
на решение еще более сложных задач. Раззадорившись,
дети часто просят учителя, чтобы он задавал им все новые
примеры.
Когда человек делает собственные математические отO
крытия, впечатление от этого остается незабываемое. МеO
тоды, изложенные в настоящей книге, помогают развить
творческое мышление и навыки решения задач, что в реO
альной жизни зачастую оборачивается решением практиO
ческих проблем. Они закладывают основу для умения
мыслить оригинально и за пределами поставленных раO
мок, с привлечением латерального мышления. Овладение
252

Ïîñëåñëîâèå

предложенными здесь методами станет прочным фундаO
ментом для системы ваших собственных математических
знаний и навыков, позволит вам накрепко усвоить суть
операций над числами. Методы эти легко доступны и приO
менимы в повседневной жизни. Используйте то, что вы
узнали. Доставляйте себе радость от новых математичесO
ких открытий. Экспериментируйте с освоенными стратеO
гиями вычислений.

Ïîæåëàíèå ó÷àùèìñÿ
Используйте в своей учебе изложенные здесь приемы и
методы, и вы приобретете репутацию гения. Задачи вы буO
дете щелкать как орешки, и математика станет для вас
увлекательной и легкой дисциплиной.

Ïîæåëàíèå ó÷èòåëÿì
Преподавайте изложенные здесь методы своим учениO
кам, и уроки математики превратятся в удовольствие как
для них, так и для вас. Использование данных методов –
залог успеха ваших учеников, а следовательно, и ваш успех.
Кроме того, когда ученики преуспевают, они лучше соO
блюдают дисциплину и имеют более высокую мотивацию
к учебе. В итоге выигрывают все.

Ïîæåëàíèå ðîäèòåëÿì
Научите своих детей этим методам, и вы увидите, как
их дела в школе по математике пойдут в гору. Они будут
не просто считать быстрее своих сверстников, но и уметь
проверять полученный ответ, а также исправлять допуO
щенную ошибку еще до того, как ктоOнибудь другой успеO
ет ее заметить. Данные методы придадут вашим детям
уверенность в своих силах не только в математике, но и в
253

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

других областях, где от человека требуется высокий инO
теллект. Люди сплошь и рядом отождествляют математиO
ческие способности с высоким интеллектом, и можно
ожидать, что успехи ваших детей в других дисциплинах
также улучшатся.
Многим детям свойственна низкая самооценка, они
считают себя «тупыми». Им кажется, что у них нет способO
ностей к математике, поскольку им трудно решать даже
элементарные задачи. Вместе с тем родители пишут мне,
что после того, как их дети познакомились с моими метоO
дами, они просто обожают математику. Дети в восторге от
того, что некогда трудные примеры стали им теперь по сиO
лам. Также помогает похвала со стороны взрослых. Дело
не в мозгах того или иного ребенка – важно научить его
способам и приемам решения проблем, в данном случае
математических.
Эта книга написана на основе многочисленных экспеO
риментов по применению изложенных методов и приO
емов. Я старался написать ее предельно простым языком,
чтобы каждый смог понять то, что в ней содержится.
Я разместил сборники примеров и задач на своем вебO
сайте. Там же представлена информация о других материаO
лах, которые я могу предложить. Если вы хотите высказать
замечания по поводу данной книги или узнать о новых раO
ботах и других учебных материалах, пожалуйста, пишите
мне по электронному адресу bhandley@speedmathematics.com
или посетите мой вебOсайт www.speedmathematics.com.

254

Приложение А
Âîïðîñû, êîòîðûå
ìíå ÷àñòî çàäàþò
Вопрос. Мой ребенок уже сейчас лучший в классе по
математике. Не приведут ли ваши методы к тому, что он
начнет скучать на уроках? Что делать детям, если они заO
кончат решать примеры за четверть того времени, которое
требуется для этого другим?
Вопрос. Если я начну использовать ваши методы, то буO
ду решать быстрее и у меня будет оставаться время, котоO
рое чемOто надо занять. Я просто буду скучать на уроках.
Ответ. Ученики, которые применяют данные методы,
обожают экспериментировать. Действительно, они решаO
ют задания намного быстрее своих одноклассников. Но
затем они проверяют свои ответы, применяя метод выбраO
сывания девяток и одиннадцати. Кроме того, у них остаетO
ся время на то, чтобы применить альтернативные способы
решения и посмотреть, какой способ легче. Речь идет о
том, что ученики, использующие данные методы, начинаO
ют любить математику и заниматься ею поOнастоящему.
Вопрос. А как насчет понимания? Если использовать
ваш метод для изучения таблицы умножения, он не объясO
няет ученику, почему 6 на 7 равно 42.
Ответ. Верно, не объясняет. Но этого не делает и никаO
кой другой метод изучения таблицы умножения. Зубрежка
также не предполагает, чтобы ученик понимал, почему
произведение 6 × 7 равно 42. Мой же подход состоит в том,
чтобы научить ученика эффективному и простому методу
получения ответа к задаче или примеру на вычисление.
255

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

И хотя механизм, посредством которого работает меO
тод, не является очевидным, сам метод может быть вполне
доходчиво объяснен к четвертому классу. (Объяснение тоO
го, почему работает формула, на которой основан метод,
см. в приложении Г.) Любой ученик четвертого класса,
полностью проработавший примеры, предлагаемые в
книге, должен понять это объяснение.
Что означает произведение 6 × 7, надо объяснять учениO
кам до того, как требовать от них ответа. Работать по одO
ним правилам недостаточно. Математику надо понимать.
Ученики, которые учатся по методам, предлагаемым
здесь, как правило, демонстрируют прекрасные результаO
ты в понимании математических законов, а также в меньO
шей степени, чем другие дети, оказываются скованными
рамками общепринятых правил.
Вопрос. Если в школе учат другим методам, не приведет
ли это к неразберихе в голове моего ребенка?
Ответ. Нет. Предлагаемые здесь методы дополняют то,
что дети изучают в школе. Успешные ученики используют
иные методы, чем те, кто успевает плохо. Иногда это моO
жет смутить учителя, но вряд ли способно причинить каO
койOлибо вред ученику. Большинство данных методов раO
ботают на незримом уровне. Речь идет лишь о пользе, коO
торую способно принести ученику их применение. Если
ученик не расскажет о том, что он предпочитает использоO
вать некие особые методы решения примеров, об этом
никто никогда не догадается.
Вопрос. Учителя моих детей требуют, чтобы ученики
полностью отображали ход решения в своих тетрадях. ЕсO
ли вычисления выполнять в уме или какOто иначе, как им
тогда быть?
Ответ. Ученики обязаны делать то, что требует учитель.
Если ученик сдает экзамен, то, естественно, он должен
256

Ïðèëîæåíèå À. Âîïðîñû, êîòîðûå ìíå ÷àñòî çàäàþò

продемонстрировать учителю те знания и умения, котоO
рые тот от него ждет.
На обычном уроке, если учитель требует ребенка покаO
зать, как он вычислил произведение 13 × 14, ученику доO
статочно будет сказать: «Я знаю таблицу умножения до
двадцати включительно. Мне не нужно вычислять такие
произведения на бумаге». Если учитель попросит ученика
подтвердить свои слова делом, то ученик покажет, что
действительно способен вычислять в уме, и очень быстро,
любое произведение чисел от 10 до 20. Ученик также моO
жет выполнить мгновенную проверку ответа путем выбраO
сывания девяток. Учителя это только впечатлит, но никак
не раздосадует.
Вопрос. Ваш метод не всегда предлагает самое простое
решение. Зачем мне его использовать, если существует более
простой альтернативный способ?
Ответ. Разумеется, в таком случае вам следует испольO
зовать тот способ, который вы считаете более простым. Я
предлагаю здесь некоторые весьма простые методы, но за
вами остается полное право использовать те, которые, на
ваш взгляд, еще проще.
Например, если бы вам надо было перемножить 8 и 16,
вы могли бы нарисовать кружки и взять 10 в качестве
опорного числа. Я бы так не делал, а, скорее всего, умноO
жил бы 8 на 10, а затем прибавил бы произведение 8 × 6
(80 + 48 = 128). Или сначала перемножил 8 и 8, что дало бы
64, а затем удвоил бы этот результат.
Я нахожу важной частью своих преподавательских подO
ходов предоставление ученикам нескольких методов на
выбор. Однажды ученица подошла ко мне и сказала: «ИзO
вините, мистер Хэндли, но я больше не пользуюсь вашиO
ми методами».
«Почему?» – спросил я.
257

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

«Я теперь знаю наизусть произведения чисел и просто
вспоминаю нужный ответ».
Как, поOвашему, счел ли я это чемOто предосудительO
ным? Вовсе нет. Ученица лишь сказала мне, что помнит
теперь произведения чисел от 15 и выше.
Ученики, овладевшие данными методами, реже решаO
ют задачи строго в соответствии с правилами и склонны
проявлять оригинальность.
Вопрос. Зачем вы учите учеников вычислению всех этих
примеров? Для чего нам калькуляторы?
Ответ. Калькулятор не станет думать за вас. Ученики
будут гораздо лучше разбираться в принципах вычислеO
ний, если возьмут на вооружение представленные здесь
методы. Именно принципы, а не голые правила будут их
основным средством в поиске решений математических
задач.
Когда подобный вопрос мне задают в классе, я прошу
учеников достать свои калькуляторы и вычислить с их поO
мощью один пример.
Я предлагаю им вводить цифры и арифметические знаO
ки в том порядке, в каком их называю:
2+3×4=

У некоторых детей калькуляторы дают в ответе 20.
У других – 14. Правильным ответом является 14.
Почему два разных ответа? Не все калькуляторы «знаO
ют», в каком порядке следует выполнять арифметические
операции. Например, сначала надо перемножать, а потом
складывать или вычитать. Рассматриваемый пример на
самом деле следует читать так: «Два плюс трижды четыре».
3 на 4 равно 12, плюс 2 – получаем 14.
Калькулятор не будет за вас думать; он вам не поможет,
если вы не знаете основ математики. Наилучшим образом
понимать природу чисел и принципы, на которых основаO
258

Ïðèëîæåíèå À. Âîïðîñû, êîòîðûå ìíå ÷àñòî çàäàþò

ны математические вычисления, помогают подходы и меO
тоды наподобие тех, что предлагаются в данной книге.
Вопрос. Вы за или против калькуляторов?
Ответ. Калькуляторы – полезные устройства. Они позO
воляют вам сэкономить много времени и сил. Я очень часO
то ими пользуюсь.
Ученики, бывает, спрашивают у меня: «Как бы вы пеO
ремножили шестнадцать миллионов триста сорок девять
тысяч шестьсот восемьдесят девять на четыре миллиона
восемьсот шестьдесят две тысячи сто девяносто четыре?»
Я отвечаю им, что первым делом полез бы в карман за
калькулятором. Ученики, кажется, порой ждут от меня
другого ответа. Я часто пользуюсь калькулятором. Когда
мне надо сложить колонку чисел, я прибегаю к помощи
калькулятора. Часто я перепроверяю на калькуляторе поO
лученный в уме ответ, поскольку знаю, что ошибки всегда
возможны.
Я также делаю мысленную прикидку ответа, чтобы проO
верить, отвечает ли логике полученный на калькуляторе
ответ. Последний должен быть того же порядка, что и моя
мысленная оценка.
Когда инженерные калькуляторы только начали продаO
вать, я купил самый недорогой. Я обнаружил, что не знаю
всех имеющихся в нем функций, и поэтому потратил неO
которое время на их детальное освоение. В результате
калькулятор помог мне повысить мои знания в некоторых
областях статистики, о которых я ранее и не слышал.
Я часто задумывался над тем, чего бы добились гениO
альные математики прошлого, если бы им в руки попался
современный инженерный калькулятор. Уверен, что они
нашли бы ему прекрасное применение и, наверное, добиO
лись бы гораздо большего.
Вопрос. Вы сами придумали эти методы?
259

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

Ответ. Да, многие из представленных в книге методов
придуманы мною, например метод с кружками и опорным
числом. Но умножению и делению с помощью множитеO
лей меня научили еще мои учителя начальных классов –
мисс Кларк и миссис О’Коннор. Мисс Кларк научила меO
ня методу вычитания и умножению по множителям, а
миссис О’Коннор – методу деления в столбик по множиO
телям. Затем на протяжении учебы в школе я освоил мноO
го новых методов и приемов вычисления.
В начальной школе я самостоятельно дошел до того,
как можно легко и быстро находить сумму и разность дроO
бей, но, поверите ли, я был слишком робким, чтобы озвуO
чить свои идеи перед всем классом.
Вопрос. Я додумался до некоторых из этих методов и под
ходов самостоятельно, успевая всегда лучше других своих од
ноклассников по математике. Это несправедливо, что вы
учите детей тем же вещам, до которых я додумался сам. По
этому я заслуживаю некоторого преимущества и признания.
Ответ. Это мне высказал один американский школьO
ник. На мой взгляд, обучая детей математике, мы должны
учить их наилучшим существующим методам и подходам
и как можно лучше объяснять им все связанные с этим
нюансы. Не следует оставлять их в качестве задач повыO
шенной сложности для «самых способных» учеников ради
самостоятельного осмысления. Почему не дать возможO
ность каждому ребенку преуспевать в математике?
Вопрос. Преподавание данных методов превратит неус
певающих учеников в хорошо успевающих. Многие из них по
теряют друзей изза того, что станут лучше учиться. Не
приведут ли ваши методы к проблемам во взаимоотношени
ях детей?
Ответ. Я до сих пор не уверен, был ли вопрос задан
серьезно, хотя реакция окружающих как будто бы подO
тверждала это.
260

Ïðèëîæåíèå À. Âîïðîñû, êîòîðûå ìíå ÷àñòî çàäàþò

Хочу сказать, что я скорее готов решать проблемы, выO
званные тем, что ребенок стал лучше успевать по матемаO
тике и иным предметам, чем проблемы, связанные с недоO
статком интеллекта и плохими показателями в учебе.
Вопрос. Я – молодой учитель, недавно закончивший инс
титут. Не будет ли у меня проблем, если я начну препода
вать данные методы? Что будет, если мои четвероклассни
ки к концу учебного года начнут решать примеры как шести
классники?
Ответ. Если есть два метода чемуOлибо научить – легкий
и сложный, – кто же станет следовать сложному методу?
Если, изучая таблицу умножения для чисел 3 и 4, дети паO
раллельно выучат таблицу умножения для 5, 6 ,7, 8 и 9, разO
ве это плохо? Вы учите детей тому, чему вам положено
учить, но просто не тем способом, которому вас научили.
Методы, о которых идет речь, попадают в рамки требоO
ваний системы образования, поскольку позволяют наO
учить детей тому, что от них требуется по программе, и
плюс еще немного сверх того. Мой учитель в девятом
классе Гарри Форкаст учил нас математике уровня девятоO
го класса с элементами курса математики одиннадцатого.
Я обожал изучать математику под его руководством. Я не
мог дождаться того момента, когда приду домой и сяду за
самостоятельное решение задач. Он учил нас приемам боO
лее быстрого вычисления, что являлось частью его метоO
дики обучения. Я чувствовал себя как Шерлок Холмс, разO
гадывающий очередную тайну, когда применял его метоO
ды для решения алгебраических задач.
Учителя пятых и шестых классов должны быть рады,
что их ученики опережают усвоение материала, и испольO
зовать эту возможность, чтобы продвинуть их знания еще
дальше. Уверен, что эти методы будут преподавать в шкоO
лах повсеместно. И я очень надеюсь, что настоящая книга
в этом поможет.
261

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

Вопрос. Я тоже молодой учитель и всегда ужасно боялась
математики. Что будет, если я стану учить детей вашим
методам и вдруг в какойто момент запутаюсь и не буду
знать, как двигаться дальше? Что, если ученики зададут
мне вопрос, а я не смогу на него ответить? Может быть, бе
зопаснее использовать те же методы, что и другие учителя?
Не возьму ли я на себя излишний риск, если буду учить детей
согласно вашим методам?
Ответ. Конечно, некоторый риск есть, но его можно
свести к минимуму. Методы совсем несложные. НачинайO
те постепенно. Научите детей сначала тому, как вычисO
лять произведения пар чисел до 10 × 10. Пусть как следует
поупражняются несколько дней. Затем научите их решать
примеры с числами от 90 до 100. По сути, речь идет о тех
же произведениях, но в гораздо более интересных примеO
рах. Решая их, они не только еще лучше запомнят таблицу
умножения для однозначных чисел (когда будут перемноO
жать числа в кружках), но и для чисел побольше, комбинаO
ции цифр, которые дают в сумме 10. Следующим шагом
будет изучение простого способа вычисления примеров,
когда одно число вычитают из числа больше 10, но меньO
ше 20. 14 – 8 = 4 + 2 = 6 (см. главу 9).
Затем, когда будете обучать их методу перемножения
чисел больше 10 и меньше 20, вам придется ввести поняO
тие положительных и отрицательных чисел. Вам не нужно
давать подробных разъяснений, просто скажите, что данO
ное понятие более подробно будет объяснено позднее.
Обучая детей данным методам, вы обнаружите, как
шлифуется ваша способность работать с числами. У вас
укрепится уверенность в своих силах. Скажите своим учеO
никам, что вы изучаете эти методы вместе с ними, что сдеO
лает методику более интересной для учеников.
262

Приложение Б
Ïðèáëèæåííîå
çíà÷åíèå êóáè÷åñêîãî
êîðíÿ
Нам нечасто приходится вычислять приближенное
значение кубического корня, однако иногда возникает неO
обходимость узнать размеры сферы или куба. Например,
когда мы цементируем подъезд к гаражу, нам может поO
требоваться вычислить объем (то есть кубическую величиO
ну) цемента, песка или гравия. Для большинства людей
существует единственный способ вычислить кубический
корень – воспользоваться калькулятором. Даже в этом
случае это должен быть инженерный калькулятор.
Кубический корень из 27 равен 3, поскольку 3 × 3 × 3 = 27.
Чтобы возвести три в куб, необходимо перемножить число
3 три раза. 3 в кубе равно 27. Кубический корень из 27 раO
вен 3. Это записывается так: 3 27 . Цифра 3 над знаком
корня говорит о том, что это кубический корень. (По идее,
над знаком квадратного корня следует ставить цифру 2,
однако в этом случае общепринято опускать цифру над
корнем.)
Я покажу простой способ вычисления приближенного
значения кубического корня, точно так же как ранее покаO
зал способ оценки значения квадратного корня. Для исO
пользования простой формулы, которую я вам предложу,
достаточно иметь простейший калькулятор, умеющий
лишь складывать, вычитать, умножать и делить.
ВоOпервых, необходимо запомнить кубы чисел от 1 до 10:
263

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà
3

3

1 = 1 4 = 64
3
3
2 = 8 5 = 125
3
3
3 = 27 6 = 216
3
3
7 = 343 9 = 729
3
3
8 = 51210 = 1000

Кубы чисел от 1 до 5 не представляют проблем, поO
скольку их легко вычислить, если они забудутся.
Первым делом при нахождении квадратного корня из
числа мы разбивали его на пары цифр, поэтому:
Чтобы найти кубический корень из числа, разбиваем его
цифры на группы по три. Количество таких групп дает
нам количество цифр ответа.
Затем мы оцениваем значение кубического корня из
числа, составленного из первой тройки цифр. Здесь нам
понадобятся кубы первых десяти чисел, которые мы уже
запомнили.
• Если число, составленное из первой тройки цифр, наO
ходится между 1 и 7, то первой цифрой ответа будет 1.
• Если оно находится между 8 и 26, то первой цифрой отO
вета будет 2.
• Если оно находится между 27 и 63, то первой цифрой
ответа будет 3.

Думаю, вы уловили закономерность. Оценка значения
кубического корня из числа, составленного из первой
тройки цифр, дает первую цифру ответа. Остальные цифO
ры (по количеству остающихся троек) примем равными 0.
Это будет первое приближение искомого кубического
корня.
Возьмем в качестве примера число 250:
3

264

250 =

Ïðèëîæåíèå Á. Ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå êóáè÷åñêîãî êîðíÿ

250 больше, чем 6 в кубе (216), но меньше 7 в кубе (343).
Это говорит нам о том, что значение корня находится
между 6 и 7.
Делим исходное число на первое приближение корня
(6), при этом дважды:
250 : 6 = 41,67

Делим полученный ответ снова на 6:
41,67 : 6 = 6,94

Разница между первым приближением (6) и результаO
том двойного деления (6,94) составляет 0,94. Разделим это
число на 3 и прибавим полученный результат к нашему
первому приближению:
0,94 : 3 = 0,31

Прибавляя к 6, получаем 6,31.
3

250 = 6,31

Данное приближение всегда будет немного больше
фактического корня, поэтому округлим его в меньшую
сторону до 6,3. Калькулятор дает значение корня 6,2996.
Мы округлили недостаточно, однако полученный нами
ответ верен до одной цифры после запятой. И настоящее
преимущество состоит в том, что вышеприведенный расO
чет можно произвести в уме.
Последний шаг в наших вычислениях иными словами
можно описать как вычисление среднего значения для
трех использованных нами чисел. А именно: мы находим
сумму 6 + 6 + 6,94 и делим на 3.
6 + 6 + 6,94 = 18,94
18,94 : 3 = 6,31

Я считаю, что гораздо проще делить разницу на 3.
265

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

Воспользовавшись простым десятиразрядным калькуO
лятором с четырьмя функциями, я взял 6,31 в качестве
второго приближения и повторил вычисления. В качестве
окончательного ответа я получил 6,2996053, тогда как мой
инженерный калькулятор выдал в ответе 6,299605249 – таO
ким образом, метод обеспечил точность до семи цифр
после запятой.
Попробуйте вычислить следующие кубические корни
самостоятельно:
a)

3

230 =

á)

3

540 =

â)

3

8162 =

ã)

3

30000 =

Ответы:
a) 6,127
â) 20,134

á) 8,1457
ã) 31,07

Используя вышеизложенный метод, полученные вами
ответы должны быть весьма близкими к фактическим знаO
чениям. Если хотите, можете оценить точность приближеO
ния в процентах.
Существует другой способ для решения примеров в) и г).
Первыми приближениями являются 20 и 30 соответственO
но. Таким образом, деление можно выполнять только
2
2
один раз: на 20 и 30 . Это означает деление на 400 и 900.
Речь идет о том, чтобы переместить запятую на две цифры
влево и делить на 4 и 9.
Аналогично нашему методу вычисления приближенноO
го значения квадратного корня, если исходное число неO
намного меньше куба некоего числа, мы можем брать в каO
честве первого приближения число, куб которого больше,
а не нижнее приближение. После этого делим дважды на
первое приближение и вычитаем треть разницы между поO
лученным результатом и первым приближением. И опятьO
266

Ïðèëîæåíèå Á. Ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå êóáè÷åñêîãî êîðíÿ

таки, как и в случае с квадратным корнем, существует споO
соб сократить вычисления.
Рассмотрим, к примеру, кубический корень из 320.
3

320 =

6 в кубе равно 216, а 7 в кубе будет 343. 7, безусловно,
является более близким приближением.
320 : 7 = 45,71

Снова делим на 7:
45,7 : 7 = 6,53

Вычитаем 6,53 из 7:
7 – 6,53 = 0,47

Теперь необходимо вычислить треть разницы:
0,47 : 3 = 0,157

Вычитаем треть разницы (0,157) из нашего приближеO
ния (7):
7 – 0,157 = 6,843

Округлим до 6,84 – это искомый ответ.
3

320 = 6,84

Истинным ответом является 6,8399.
Теперь по поводу более короткого способа вычислеO
ний. На самом деле мы просто нашли среднее значение
для чисел 7, 7 и 6,53. Иными словами, речь идет о делении
суммы этих чисел на 3:
7 + 7 + 6,53 = 20,53
20,53 : 3 = 6,843

Деля 20 на 3, мы получаем 6 с остатком 2, который пеO
реносим к 0,53, получая 2,53.
2,53 : 3 = 0,843
267

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

Тогда как в случае квадратного корня мы переносим 1,
в случае кубического корня мы переносим 2. Вместо того
чтобы вычитать треть разницы, вычисленной от верхнего
приближения, мы берем нижнее приближение (в данном
случае 6), переносим 2 и делим на 3, получая окончательO
ный ответ.
Почему мы переносим 2, вычисляя кубические корни?
Потому что, как и в рассмотренном только что случае, когO
да вычисляем среднее из трех чисел, мы складываем два
числа, которые на единицу больше искомого. Поэтому сумO
мой будет нижнее приближение, взятое трижды, плюс 2.
Попробую проиллюстрировать на примере:
3

700 =

В качестве первого приближения берем 9, которое явO
ляется приближением сверху (9 в кубе равно 729).
Делим 700 на 9 дважды:
700 : 9 = 77,77 (îêðóãëèëè â ìåíüøóþ ñòîðîíó)
77,77 : 9 = 8,64

Первой цифрой ответа является 8. Чтобы получить осO
таток, заменим целую часть на 2, оставив дробную часть
как есть, и разделим полученное число на 3.
2,64 : 3 = 0,88

Искомым ответом является 8,88. Он точен до двух знаO
ков после запятой.
Попробуем решить еще один пример:
3

7531 =

Разбиваем число под знаком корня на тройки цифр.
Получаем:
3

268

7 531 =
* *

Ïðèëîæåíèå Á. Ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå êóáè÷åñêîãî êîðíÿ

Найдем приближенное значение кубического корня из
числа, составленного из цифр первой тройки, то есть 7.
3
7 близко к 8, равному 2 , поэтому возьмем 2 в качестве наO
шего первого приближения. У нас две тройки цифр, поO
этому в ответе будет две цифры. Берем, как водится, 0 в каO
честве второй цифры, получая полное первое приближеO
ние 20.
Делим 7531 на 20 дважды. Чтобы разделить на 20, снаO
чала делим на 10, а затем на 2.
7531 : 20 = 376,55
376,55 : 20 = 18,8275

Вместо деления на 20 дважды мы могли бы разделить на
20 в квадрате, то есть на 400.
7531 : 100 = 75,31
75,31 : 4 = 18,8275

Теперь мы знаем, что первой цифрой ответа является 1.
Речь идет о цифре десятков. Нашим промежуточным реO
зультатом является 10.
Ставим 2 перед остатком числа и получаем 28,8275.
28,8275 : 3 = 9,609
10 + 9,609 = 19,609

Округляя, получаем 19,6. Наш ответ верен до одной
цифры после запятой. Фактический ответ равен 19,60127,
значит, мы получили очень близкий результат.
Попробуйте решить следующие примеры самостоятельO
но, а затем сравните свое решение с тем, что дано ниже:
a)

3

115 =

á)

3

500 =

В примере a) берем 5 в качестве приближения.
Делим 115 на 5 и получаем 23. (Делим на 10 и удваиваем
ответ.) Затем делим 23 на 5, получая 4,6. (Делим на 10 и
удваиваем.) 4 – это первая цифра нашего ответа.
269

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

Подставляем 2 вместо 4, получая 2,6. Теперь делим на 3.
2,6 : 3 = 0,8667

Округляем до 4,86. Ответ точен до двух знаков после заO
пятой.
Для примера б) возьмем 8 в качестве первого приблиO
жения.
500 : 8 = 62,5
62,5 : 8 = 7,8125

Согласно правилу приближения по верхнему числу,
подставляем 2 вместо 7, получая 2,8125.
Поделив 2,8125 на 3, имеем 0,9375. Прибавляем данный
результат к 7 и получаем наш ответ: 7,9375.
Истинный ответ, вычисленный с помощью калькуляO
тора, равен 7,93700526. Для вычисленного в уме полуO
ченный нами ответ является чрезвычайно точным. Как,
впрочем, и для ответа, вычисленного на бумаге, но в реO
зультате простейших вычислений. Можно также отмеO
тить, что полученные нами приближения всегда превыO
шают фактический ответ. Если бы в только что рассмотO
ренном примере мы округлили в сторону уменьшения, то
вышли бы на точный ответ.
Это эффективный метод для нахождения кубического
корня из числа, производящий большое впечатление на
окружающих. Обычному человеку и в голову не придет
пытаться вычислить ответ даже с помощью ручки и буO
маги. Рассмотренный же здесь метод допускает вычисO
ление в уме.

270

Приложение В
Ïðîâåðêà äåëèìîñòè
íà ÷èñëî
Не составляет труда проверить, является ли одно число
нацело делимым на другое без выполнения собственно деO
ления.
Существуют следующие правила делимости:
1. Все числа делятся на 1.
2. Все четные числа делятся на 2. (Если последняя цифра
числа делится на 2 или равна 0, число делится на 2.)
3. Если число нацело делится на 3, сумма его цифр также
делится на 3.Обратное утверждение также верно. НаO
пример, 12 делится на 3, поскольку 1 + 2 = 3.
4. Если число, составленное из последних двух цифр числа,
делится на 4, то все число делится на 4. Например, 116
делится на 4, так как 16 = 4 × 4.
5. Если число оканчивается на 0 или 5, то оно делится на 5.
6. Если число является четным и сумма его цифр делится
на 3, то оно делится на 6.
7. * (См. замечание в конце списка.)
8. Если число, составленное из трех последних цифр проO
веряемого числа, делится на 8, то само проверяемое чисO
ло делится на 8. Например, 1128 делится на 8, поскольку
128 = 8 × 16.
9. Если сумма цифр числа равна или кратна 9, то число деO
лится на 9.
10. Если число оканчивается на 0, то оно делится на 10.
11. Если разность между суммой цифр числа на четных месO
тах и суммой цифр на нечетных местах равна 0 или являO
ется кратной 11, то число нацело делится на 11.
271

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

12. Если сумма цифр числа делится на 3 и число, составленO
ное из двух его последних цифр, делится на 4, то число
делится на 12.
13. *
17. *
19. *
20. Если цифра десятков числа является четной и число
оканчивается на 0, то оно делится на 20.
21. Если число делится на 7 и сумма его цифр является кратO
ной 3, то число делится на 21.
23. *
29. *
* Существует простой метод проверки делимости, кото
рый может быть использован как для этих чисел, так и для
других, больших по величине. При этом используются вспо
могательные множители. Традиционные методы слишком
сложны и требуют ручки и бумаги. Проверки же, о которых
здесь идет речь, могут быть выполнены в уме.

Èñïîëüçîâàíèå âñïîìîãàòåëüíûõ ìíîæèòåëåé
Чтобы проверить делимость на 7, будем использовать
число 5 в качестве вспомогательного множителя. УмноO
жим цифру единиц проверяемого числа на вспомогательO
ный множитель.
Прибавляем полученный результат к проверяемому
числу с удаленной цифрой единиц (то есть все разряды
числа смещаются вправо на один, так что десятки станоO
вятся единицами, сотни – десятками и т. д.). Если сумма
делится нацело на 7, то исходное число тоже делится на 7.
Например, делится ли 91 нацело на 7?
Нашим вспомогательным множителем является 5 (поO
чему это так, объясню чуть позже). Умножаем цифру едиO
ниц числа 91 (1) на 5, получая в ответе 5. Прибавляем 5 к 9
272

Ïðèëîæåíèå Â. Ïðîâåðêà äåëèìîñòè íà ÷èñëî

и получаем 14, которое равно удвоенному 7. Таким обраO
зом, 91 делится на 7.
Делится ли 133 на 7?
Умножаем цифру единиц числа 133 (3) на наш вспомогаO
тельный множитель (5) и получаем 15. Прибавим его к 13 и
получим 28 (7 × 4). Итак, мы выяснили, что 133 делится на 7.
Возьмем еще один пример: делится ли 152 на 7?
Умножим 2 на 5, получая 10. Складывая 10 и 15, полуO
чаем 25. 25 не является кратным 7, поэтому и 152 не делитO
ся на 7 нацело.
Последний пример: делится ли 1638 на 7 без остатка?
5 × 8 = 40
163 + 40 = 203

Поскольку мы не можем сходу определить, делится ли
203 на 7, повторим процедуру:
5 × 3 = 15
20 + 15 = 35

35 делится на 7 (5 × 7 = 35). Таким образом, 1638 нацело
делится на 7.

Êàêèì îáðàçîì ìû îïðåäåëÿåì
âñïîìîãàòåëüíûå ìíîæèòåëè?
Метод для определения вспомогательных множителей
состоит в следующем:
Для определения положительного вспомогательного мно
жителя увеличиваем проверяемый делитель на столько
раз, чтобы полученный ответ оканчивался на 9. В качест
ве вспомогательного берем цифру десятков числа, кото
рое на 1 больше полученного результата.
Например, если мы хотим проверить делимость на 7,
умножаем 7 на 7 и получаем 49. 49 на 1 меньше 50. Значит,
вспомогательным множителем для 7 является 5.
273

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

Чтобы проверить делимость на 13, умножаем его на
столько раз, чтобы в разряде единиц ответа оказалась
цифра 9:
13 × 3 = 39

39 на 1 меньше 40. Следовательно, для 13 используем в
качестве вспомогательного число 4. В случае с 19 нам не
нужно умножать его ни на что, поскольку оно уже оканчиO
вается на 9. 19 на 1 меньше 20, поэтому используем 2 в каO
честве вспомогательного множителя.
Чтобы найти вспомогательный множитель для 23, заO
мечаем, что цифрой единиц является 3. Поскольку 3 × 3 = 9,
умножим 23 на 3, получая 69. Это на 1 меньше, чем 70, поO
этому берем 7 в качестве вспомогательного множителя.

Ïî÷åìó ìåòîä ðàáîòàåò?
Если мы хотим проверить, делится ли одно число на
другое, прибавление последнего или кратного последнему
к первому не повлияет на делимость.
Когда мы проверяем, делится ли 91 без остатка на 7, то
на самом деле прибавляем 49 (7 × 7) к 91, получая в ответе
140. Если мы уберем нуль в конце, это никак не изменит
результат.
Проверяя, делится ли 112 на 7, мы умножаем 2 на 5 и
получаем 10.
После этого 11 + 10 = 21, что, в свою очередь, равно 7 × 3.
Прибавить 100 к 110 – это то же самое, что прибавить 98
(2 × 49 или 7 × 7 × 2) к 112.
98 + 112 = 210
210 = 3 × 7 × 10

Внимательно рассмотрим вспомогательный множиO
тель для 13. Прежде всего определим, какое число являетO
ся вспомогательным множителем для 13?
274

Ïðèëîæåíèå Â. Ïðîâåðêà äåëèìîñòè íà ÷èñëî

3 × 13 = 39

39 на 1 меньше, чем 40, поэтому берем 4 (цифру десятO
ков числа 40) в качестве вспомогательного множителя.
Чтобы проверить, делится ли число на 13, умножим цифO
ру единиц на 4 и прибавим к полученной сумме цифру деO
сятков.
Например, делится ли 78 без остатка на 13?
Цифрой единиц является 8:
8 × 4 = 32
32 + 7 (öèôðà äåñÿòêîâ ÷èñëà 78) = 39 (3 × 13)

Поскольку 39 равно 3 × 13, получаем, что 78 кратно 13.
Если мы сомневаемся насчет 39, можно продолжить
процесс:
9 × 4 = 36
36 + 3 = 39

Поскольку мы получили то же число, можно с уверенносO
тью сказать, что исходное число без остатка делится на 13.
Рассмотрим другой пример. Является ли 351 кратным 13?
Цифрой единиц является 1:
1×4=4
4 + 35 = 39 (39 = 3 × 13)

Итак, мы доказали, что 351 кратно 13.
А как насчет 3289? Делится ли оно без остатка на 13?
Проверяемое число оканчивается на 9:
9 × 4 = 36
328 + 36 = 364

Мы не знаем, делится ли 364 на 13, поэтому на этот раз
подвергаем проверке число 364.
Его последней цифрой является 4.
4 × 4 = 16
36 + 16 = 52 (52 = 13 × 4)
275

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

Если бы мы не знали, что 52 равно 13 × 4, то могли бы
продолжить проверку далее.
Цифрой единиц числа 52 является 2.
2×4=8
5 + 8 = 13

Теперь мы знаем наверняка, что 3289 без остатка деO
лится на 13.
А как насчет делимости на другие числа из нашего
списка в начале главы?
Чтобы проверить делимость на 17, в качестве вспомогаO
тельного множителя берем 12; для 19 – 2; для 3 – 7; для 29 –
3. Данные множители могут быть найдены с помощью меO
тода для определения вспомогательных множителей.
Например, является ли 578 кратным 17?
Большинству из нас деление на 17 покажется довольно
непростой задачей. И мы, скорее всего, воспользуемся
калькулятором.
Нам известно, что 12 является вспомогательным мноO
жителем при проверке делимости на 17. Умножаем 8
(цифру единиц числа 578) на 12.
12 × 8 = 96
96 + 57 = 153

То, что 153 без остатка делится на 17, не является очеO
видным. Попробуем снова.
3 × 12 = 36
36 + 15 = 51

Если вы не уверены насчет 51, продолжим процесс:
1 × 12 = 12
12 + 5 = 17

Очевидно, что 17 делится без остатка на 17. Поэтому
578 кратно 17.
Замечание: чуть позже я покажу альтернативный метод,
с помощью которого можно проверить делимость на 17.
276

Ïðèëîæåíèå Â. Ïðîâåðêà äåëèìîñòè íà ÷èñëî

Рассмотрим какойOнибудь пример в обратную сторону.
Произведение 7 × 13 равно 91, поэтому 91 является кратO
ным для обоих чисел.
Проверка для 7:
1×5=5
5 + 9 = 14

14 равно 2 × 7, поэтому 91 без остатка делится на 7.
Проверка для 13:
1×4=4
4 + 9 = 13

Таким образом, 91 делится на 13.
Попробуйте определить делимость самостоятельно:
a) ßâëÿåòñÿ ëè 266 êðàòíûì 19?
á) ßâëÿåòñÿ ëè 259 êðàòíûì 7?
â) ßâëÿåòñÿ ëè 377 êðàòíûì 13?
ã) ßâëÿåòñÿ ëè 377 êðàòíûì 29?

Ответ утвердительный в каждом случае.

Îòðèöàòåëüíûå âñïîìîãàòåëüíûå ìíîæèòåëè
Проверять делимость на число можно также с помоO
щью отрицательного вспомогательного множителя.
Чтобы определить отрицательный вспомогательный мно
житель, увеличиваем проверяемый делитель на столько
раз, чтобы полученный ответ оканчивался на 1 (цифра
единиц). Количество десятков полученного числа берем в
качестве вспомогательного множителя.
Отрицательным вспомогательным множителем для 17
будет 5, поскольку 3 × 17 = 51. Попробуем еще раз решить
некоторые вышеприведенные примеры, решенные с поO
мощью положительного вспомогательного множителя.
277

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

ßâëÿåòñÿ ëè 578 êðàòíûì 17?

Нашим отрицательным вспомогательным множителем
является 5 (–5).
–5 × 8 = –40

Вычитаем результат произведения из числа, полученO
ного после отбрасывания цифры единиц:
57 – 40 = 17

Мы доказали, что 578 делится на 17 без остатка за один
шаг.
Попробуем решить другой пример. Делится ли 918 на
27 нацело?
ВоOпервых, необходимо определить отрицательный
вспомогательный множитель для 27. Произведение 3 × 27
равно 81. Нашим искомым множителем является –8.
Умножаем цифру единиц числа 918 на множитель –8:
–8 × 8 = –64
91 – 64 = 27

Получили, что 918 делится на 27.
Еще один пример. Является ли 135 кратным 27?
Вспомогательным множителем является –8.
5 × –8 = –40
13 – 40 = –27

В ответе получили –27, доказав, что 135 делится на 27
без остатка. (Чтобы получить –27, все, что нам надо было
сделать, – это вычесть 13 из 40 и поставить знак «минус»
перед результатом.)
Попробуйте определить делимость самостоятельно:
a) ßâëÿåòñÿ ëè 136 êðàòíûì 17?
á) ßâëÿåòñÿ ëè 595 êðàòíûì 17?
â) ßâëÿåòñÿ ëè 1426 êðàòíûì 31?
ã) ßâëÿåòñÿ ëè 756 êðàòíûì 27?
278

Ïðèëîæåíèå Â. Ïðîâåðêà äåëèìîñòè íà ÷èñëî

Во всех данных примерах ответ утвердительный. ПроO
верка не представляет никаких трудностей.

Êàêîé âñïîìîãàòåëüíûé ìíîæèòåëü âûáðàòü –
ïîëîæèòåëüíûé èëè îòðèöàòåëüíûé?
Если числа оканчиваются на 7 или 1, то лучше испольO
зовать отрицательные вспомогательные множители. ПоO
смотрим, какие цифры единиц могут быть у делителей,
подвергающихся проверке.
Если делитель оканчивается на 1, в этом случае мы исO
пользуем отрицательный вспомогательный множитель.
Это число, составленное из цифр, стоящих перед 1, и со
знаком «минус». Например, для числа 31 вспомогательO
ным множителем будет –3.
Если делитель оканчивается на четную цифру, то снаO
чала его следует разделить пополам, а затем использовать
самый подходящий из методов для определения вспомоO
гательного множителя.
Если делитель оканчивается на 3, то после умножения
на 3 мы получаем число, оканчивающееся на 9, и легко опO
ределяем положительный вспомогательный множитель.
Если делитель оканчивается на 5, то сначала его следует
разделить на 5, а затем использовать самый подходящий
из двух методов.
Если делитель оканчивается на 7, то после умножения
на 3 мы получаем число, оканчивающееся на 1, и легко опO
ределяем отрицательный вспомогательный множитель.
Наконец, если делитель оканчивается на 9, то после
прибавления к нему 1 мы берем число, стоящее перед поO
следним нулем в полученной сумме, в качестве положиO
тельного множителя.
279

Приложение Г
 ÷åì ñåêðåò ìåòîäà
Óìíîæåíèå ïðè ïîìîùè êðóæêîâ
В чем секрет данного метода?
ВоOпервых, позвольте мне объяснить это «поOпросO
тому».
Найдем произведение 99 × 85.
Стандартный способ заключается в следующем.
99 – это почти 100, поэтому умножим на 100 и вычтем
85.
85 × 100 = 8500

Теперь мы должны вычесть 85. Каким простым спосоO
бом это можно сделать? Вычесть 100 и прибавить 15.
8500 – 100 = 8400
8400 + 15 = 8415

Не похоже ли это на наш метод с кружками?
Решая тот же пример (99 × 85) с кружками, мы вычитаO
ем 1 из 85, получая 84, и умножаем на 100, что дает 8400.
Затем, поскольку мы вычли одну сотню, мы один раз приO
бавляем к результату 15.
Вычисляя произведения 98 × 85, мы могли бы умножить
на 100, а затем дважды вычесть 85.
85 × 100 = 8500

Вычтем дважды по 85 из полученного результата. Как
легче всего это сделать?
Вместо того чтобы находить сумму 85 + 85 и вычитать ее
из 8500, отнимем дважды по 100 и прибавим также дважды
по 15. Вычитание 200 из 8500 дает нам 8300.
280

Ïðèëîæåíèå Ã.  ÷åì ñåêðåò ìåòîäà

Чтобы не прибавлять сначала 15, а затем опять 15, просO
то вспомним, что 2 на 15 равно 30, и прибавим сразу 30. В
ответе получаем 8330.
Можно распространить данное рассуждение на произO
ведение чисел меньше 10.
9×8=

Произведение 10 × 8 дает 80, после чего вычитаем 8 и
получаем 72. С помощью кружков решение выглядит слеO
дующим образом:
10

9 × 8 = 72
– 1 – 2

Вычислим еще одно произведение:
10

7 × 8=
– 3 – 2

Если умножить 10 на 7 и затем вычесть произведение
2 × 7 из полученного результата, то можно увидеть связь
между обоими методами. Произведение 10 × 7 равно 70.
Легкий способ вычесть дважды по 7 состоит в том, чтобы
отнять дважды по 10, а затем прибавить дважды по 3.
Это то, что я назвал «простым» способом объяснить,
почему метод перемножения с помощью кружков работаO
ет. Даже ученики начальной школы поймут приведенные
рассуждения – особенно как следует потренировавшись в
решении примеров, предложенных в настоящей книге.

Àëãåáðàè÷åñêîå îáúÿñíåíèå
Теперь приведу алгебраическое объяснение.
Рассмотрим пример:
13 × 14 =
281

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

10

+ 3
+ 4
13 × 14 =

Обозначим буквой а опорное число, в данном случае
10, а буквами b и c цифры единиц, или числа в кружках, в
данном случае 3 и 4.
Произведение теперь может быть записано следующим
образом:
(a + b) × (a + c)

Перемножая (a + b) × (a + c), получаем:
a2 + ab + ac + bc

Первые три члена делятся на a, поэтому можем вынести
a за скобки.
a (a + b + ñ) + bc

Подставляя соответствующие числовые значения, поO
лучаем:
(10 + 3) × (10 + 4) =
10 (10 + 3 + 4) + (3 × 4) =
10 × 17 + 12 =
170 + 12 = 182

В вышеприведенной формуле b и с могут представлять
собой либо положительные, либо отрицательные числа, в
зависимости от того, где (вверху или внизу) нарисованы
кружки. В произведении 7 × 8 b и c были бы отрицательO
ными числами.
Формулу удобно применять для возведения в квадрат
чисел, близких по значению к 50 и оканчивающихся на 5.

Äâà îïîðíûõ ÷èñëà
Можно записать формулу следующим образом:
(a + b) × (xa + c)
282

Ïðèëîæåíèå Ã.  ÷åì ñåêðåò ìåòîäà

Здесь a – опорное число, b и c – числа в кружках, а x –
множитель.
Раскрывая скобки, получаем:
2

xa + xab + ac + bc

Первые три члена делятся на a, поэтому формулу можO
но упростить следующим образом:
a (xa + xb + ñ) + bc

Рассмотрим формулу на конкретном примере:
13 × 41 =

Нашим основным опорным числом является 10,
а вторым – 40, то есть 4 × 10. Числа в кружках – 1 и 3. ПриO
мер можно записать следующим образом:
3
1
(10 × 4) 13 × 41 =

Имеем:
a = 10 (îñíîâíîå îïîðíîå ÷èñëî)
b = 3 (÷èñëî â êðóæêå íàä 13)
ñ = 1 (÷èñëî â êðóæêå íàä 41)
x = 4 (ìíîæèòåëü)

Подставив числа в формулу, получаем:
a (xa + xb + ñ) + bc
10 (4 × 10 + 4 × 3 + 1) + (3 × 1) = 10 (40 + 12 + 1) + (3 × 1) =
= 10 × 53 + 3 = 530 + 3 = 533 ÎÒÂÅÒ

Полностью решение выглядит так:
12
3
1
(10 × 4) 13 × 41 = 530
+3
533
283

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

Ôîðìóëû äëÿ âîçâåäåíèÿ â êâàäðàò ÷èñåë,
îêàí÷èâàþùèõñÿ íà 1 è 9
1. Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на 1
Чтобы возвести в квадрат 31, сначала возводим в квадO
рат 30, получая 900.
Затем удваиваем 30, что дает нам 60, и прибавляем это
число к предыдущему результату.
900 + 60 = 960

Теперь прибавляем 1.
960 + 1 = 961

Это простое вычисление сродни умножению в столбик
или прямому умножению.
Для нахождения произведения 31 × 31 можно также исO
пользовать следующую алгебраическую формулу:
2

(a + 1) = (a + 1) × (a + 1)
2

2

(a + 1) × (a + 1) = a + 2a + 1
2

В нашем случае (31 ) a = 30.
Возводим 30 в квадрат, получая 900. Затем удваиваем a,
как того требует формула, и получаем 60. Нам не нужно
возводить в квадрат 1, поскольку единица, сколько ее ни
умножай на саму себя, остается единицей.
Польза от данной формулы в том, что она превращает
процесс умножения в простую последовательность и позO
воляет производить вычисления в уме.
2. Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на 9
При возведении в квадрат чисел, оканчивающихся на 9,
мы используем ту же формулу, что и для чисел, оканчиваO
ющихся на 1, однако вместо 1 берем –1.
Пример:
292 =
284

Ïðèëîæåíèå Ã.  ÷åì ñåêðåò ìåòîäà
2

Чтобы вычислить 29 , округлим 29 до 30. Квадрат 30 раO
вен 900. Теперь удваиваем 30, получая 60, и вычитаем это
число из предыдущего результата.
900 – 60 = 840

Теперь прибавим 1.
840 + 1 = 841

Стандартная формула выглядит так: (a + 1) × (a + 1).
В данном же случае единица берется со знаком «минус»,
поэтому записываем:
(a – 1) × (a – 1)

Раскрывая скобки, получаем:
2

a – 2a + 1
2

Это то же самое, что мы проделывали, вычисляя 29 .
Вспомним, что a = 30. Возводим 30 в квадрат и получаем
900. На этот раз мы вычитаем 2a (60) из 900, получая 840.
2
–1 в квадрате, то есть (–1) , равно 1, которое мы также приO
бавляем и получаем в результате окончательный ответ: 841.
Данный подход проще, чем стандартное умножение в
столбик.

Ñóììà è ðàçíîñòü äðîáåé
Концепция, о которой я поведу речь, основана на наO
блюдении, сделанном мною еще в начальной школе. ЧтоO
бы складывать дроби и вычислять их разность, не нужно
находить наименьший общий знаменатель.
Если перемножить знаменатели дробей, мы получим
общий знаменатель. Затем, если захотите, вы можете соO
кратить дробь, чтобы получить меньший общий знаменаO
тель или даже наименьший. Если не сокращать дробь, выO
числения могут быть немного сложнее, однако ответ вы
все равно получите правильный.
285

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

Возьмем простой пример:
1 1
O+O =
2 4
Перемножим знаменатели и получим знаменатель исO
комой дроби (8). Теперь сложим знаменатели и получим
числитель искомой дроби (6).
6
Ответ: O .
8
Мы видим, что данная дробь может быть сокращена до
3
O , поскольку и числитель, и знаменатель делятся на 2.
4
В данном случае наименьший общий знаменатель равен 4.
Оба метода годятся для получения ответа.
Я знакомлю детей с понятием наименьшего общего
знаменателя только после того, как удостоверюсь, что они
достаточно уверенно складывают и вычитают дроби по
моему методу.

286

Приложение Д
Âûáðàñûâàíèå äåâÿòîê:
ñåêðåò ìåòîäà
Чем объяснить способ выбрасывания девяток? Почему
цифры числа дают в сумме остаток от деления на 9?
А секрет вот в чем.
9 равно 10 минус 1. Для каждой десятки, содержащейся
в числе, вы получаете одну девятку и остаток 1. Если число
содержит два десятка (20), получаем две девятки и остаток
2. 30 дает три девятки и остаток 3.
Рассмотрим число 32: оно состоит из 30, то есть трех деO
сятков, и 2, то есть двух единиц. Находя остаток от делеO
ния на 9, в случае 30 получаем три девятки и остаток 3. Две
единицы в числе 32 сами являются остатком от деления на
9, поскольку 2 на 9 разделить нельзя. Переносим остаток 3
от 30 и прибавляем его к остатку 2.
3+2=5

Таким образом, 5 является остатком от деления 32 на 9.
Для каждой сотни в числе мы получаем десять девяток
и остаток 10. Он также делится на 9 и дает остаток 1. В реO
зультате для каждой сотни имеем остаток 1. Если взять
число 300, остатком от деления его на 9 будет 3.
Иначе посмотреть на данное свойство можно таким обO
разом:
1 × 9 = 9 (10 – 1)
11 × 9 = 99 (100 – 1)
111 × 9 = 999 (1000 – 1)
1111 × 9 = 9999 (10000 – 1)
287

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

Иными словами, каждая единица в любом разряде чисO
ла соответствует одной единице остатка.
Например, в числе 32145 цифра 3 обозначает десятки
тысяч – для каждого десятка тысяч будет иметься остаток,
равный 1. В данном случае суммарный остаток будет 3.
Цифра 2 обозначает тысячи. Для каждой тысячи остаток
будет равен 1. То же самое можно сказать и о сотнях, и о
десятках. Цифра единиц сама является остатком, если
только она не равна 9. В последнем случае мы просто выO
брасываем цифру 9.
Таким замечательным свойством обладает число 9. Его
можно с успехом применять для проверки ответов и делиO
мости на 9. Помимо того что оно помогает в делении на 9,
данное свойство позволяет лучше понять суть деления как
операции над числами.

288

Приложение Е
Âîçâåäåíèå â êâàäðàò
ôóòîâ è äþéìîâ
В начальной школе нам приходилось вычислять плоO
щадь прямоугольных фигур со стороной, выраженной в
футах или дюймах. Метод, которому нас учили, состоял в
том, чтобы приводить все к одному измерению – в данном
случае к дюймам – и затем умножать.
Например, если нам необходимо найти площадь садовоO
го участка со сторонами 3 фута 5 дюймов и 7 футов 1 дюйм,
мы переводим длину сторон в дюймы, перемножаем их, а
затем делим результат на 144, чтобы получить в целой часO
ти квадратные футы, а в остатке – квадратные дюймы.
Однако есть гораздо более простой способ.
Мы проходили его на уроках алгебры, но нам не объясO
няли, как его можно применить на практике.
Давайте умножим 3 фута 5 дюймов на 7 футов 1 дюйм,
используя метод прямого умножения.
Прежде всего обозначим футы буквой f. Запишем проO
изведение 3 футов 5 дюймов и 7 футов 1 дюйма следующим
образом:
(3f + 5) × (7f +1)

Запишем произведение так:
3f + 5
× 7f + 1

Теперь используем метод прямого умножения, с котоO
рым познакомились в главе 22.
289

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà
2

Сначала умножаем 3f на 7f и получаем 21f (21 квадратO
ный фут).
Теперь перемножаем накрест:
3f × 1 = 3f, ïëþñ 7f × 5 = 35f (35 ôóòîâ íà äþéì)
3f + 35f = 38f
2

Пока наш ответ равен 21f + 38f.
Теперь перемножим дюймы.
5 × 1 = 5 (5 êâàäðàòíûõ äþéìîâ)
2

Наш ответ: 21f + 38f + 5.
Иными словами, наш результат – 21 квадратный фут
плюс 38 футов на дюйм и плюс 5 квадратных дюймов.
(38 футов на дюйм означает 38 прямоугольников с длиной
одной стороны 1 фут, а другой – 1 дюйм. 12 таких прямоO
угольников, расположенных сторона к стороне, дают плоO
щадь в 1 квадратный фут.) Разделим 38f на 12 и получим
еще 3 квадратных фута, которые в сумме с 21 квадратным
футом дадут 24 квадратных фута.
Умножим остающиеся 2 фута на дюйм на 12, переводя
их в квадратные дюймы:
2 × 12 = 24
5 + 24 = 29 êâàäðàòíûõ äþéìîâ

Наш окончательный ответ: 24 квадратных фута и
29 квадратных дюймов.
Это гораздо более простой способ решения задач такоO
го рода. Он может быть использован для перемножения
любых величин, измеряемых не в метрических единицах.
Попробуйте решить следующие примеры самостояO
тельно:
a) 2 ôóòà 7 äþéìîâ × 5 ôóòîâ 2 äþéìà =
á) 3 ôóòà 5 äþéìîâ × 7 ôóòîâ 1 äþéì =
290

Ïðèëîæåíèå Å. Âîçâåäåíèå â êâàäðàò ôóòîâ è äþéìîâ

Ответы:
a) 13 êâàäðàòíûõ ôóòîâ 50 êâàäðàòíûõ äþéìîâ
á) 24 êâàäðàòíûõ ôóòà 29 êâàäðàòíûõ äþéìîâ

Как успехи? Попробуйте решить снова, на этот раз без
ручки и бумаги. Посмотрите, вы считаете, как гений! Ради
этого стоило потрудиться.

291

Приложение Ж
Êàê äîáèòüñÿ òîãî,
÷òîáû ó÷åíèêè ëþáèëè
ìàòåìàòèêó?
Меня часто спрашивают, как мне удается привить своO
им ученикам любовь к математике? А почему, собственно,
они не любят ее?
Являются ли математические игры возможным ответом
на вопрос? Надо ли как можно больше привлекать учениO
ков к участию в конкурсах и олимпиадах? Разумеется, я
знаю преподавателей, стимулирующих работу в классе пуO
тем организации игр и конкурсов, в которых участвует
каждый ученик. Однако если ребенок с трудом справляетO
ся с вычислениями, подобные мероприятия могут слуO
жить тормозом для математического развития ребенка.
Прежде всего я считаю, что основная причина, по котоO
рой люди в основном утверждают, что «не любят матемаO
тику», состоит не в том, что они не любят математику как
таковую, а в том, что не любят терпеть неудачи. Они счиO
тают математику чемOто очень сложным, так сказать, «не
для средних умов». Каким видом спорта вам нравится заO
ниматься? Обычно таким, которым вы можете заниматься
не хуже других.
Люди в своем большинстве склонны приравнивать маO
тематические способности к интеллекту. Если вам хорошо
дается математика, значит, вы умны. Если же вы слабы в
математике, то, следовательно, вас трудно назвать толкоO
вым. Дети в школе не только смотрят таким образом на
292

Ïðèëîæåíèå Æ. Êàê äîáèòüñÿ òîãî, ÷òîáû ó÷åíèêè ëþáèëè ìàòåìàòèêó?

других ребят, но и применяют этот критерий к себе. НикоO
му не нравится чувствовать себя недостаточно умным,
особенно стоя перед всем классом у доски.
Наиболее верный способ сделать так, чтобы ученикам
нравилась математика, – это дать им возможность добиO
ваться успеха. В этом цель моих методов: дать возможO
ность тем, кому еще вчера с трудом давались математичесO
кие задачи, сегодня начать решать их с большим успехом.
Одно дело сказать ученику: «У тебя все получится», и совO
сем другое – заставить его поверить в это.
Мы все хотим добиваться успеха. Проводя урок, я часто
говорю детям о том, какие задачи они будут в состоянии
решать через 10 минут. Затем я учу их, как это делать, и, к
своему удивлению, они обнаруживают, что действительно
решают новые для себя задачи через какиеOто считанные
минуты. Вдруг ни с того ни с сего они начинают решать
математические задачи как настоящие гении. Обычно деO
тей настолько захватывают их собственные успехи, что
они просят задавать им все новые и новые примеры. ПоO
том они приходят домой и с воодушевлением рассказываO
ют родителям, чего добились в школе и на что теперь споO
собны. Дети стремятся как можно скорее показать свои
новые умения. Они также спешат научить своих друзей
новым способам вычислений.

Óñòðàíÿéòå ðèñê
Я всегда говорю новому классу учеников, что меня не
интересует, каковы их теперешние успехи в математике,
поскольку в скором времени каждый из них будет решать
задачи как гений, после того как я покажу им весь процесс
от начала до конца.
293

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

Когда я разбираю с ними первые примеры, например
показываю, как вычислить произведение 7 × 8, то говорю
им, что они могут считать, прибегая к помощи пальцев
рук, если им нравится. Если хотите, говорю я им, можете
снять туфли и носки и считать на пальцах ног – я не обиO
жусь. Все равно, говорю я далее, основами вычислений вы
овладеете уже через несколько дней и считать на пальцах
придется совсем недолго.
Я предлагаю детям для решения массу легких задач, но
при этом стремлюсь к тому, чтобы они достигли «новых
высот», которыми смогут гордиться, как, например, в слуO
чае с произведением 96 × 97. Даже если ученики не знают
базовых приемов счета, они ими очень скоро овладевают,
по мере того как набираются опыта в использовании меO
тодов, которым я их учу.

Ïîîùðÿéòå è ñíîâà ïîîùðÿéòå
Наблюдая за успехами детей, не забывайте говорить им,
что они добились замечательного прогресса. ПостарайO
тесь, чтобы слова поощрения звучали естественно. Всегда
можно найти, за что ребенка похвалить, когда речь идет об
освоении и использовании методов, изложенных в настоO
ящей книге. Например:
• «Очень многие ребята из старших классов не умеют деO
лать того, что делаешь ты».
• «Ты можешь решить это в уме? Восхитительно!»
• «Вы знаете, что на изучение того, что вы усвоили за сеO
годняшнее утро, раньше уходило три недели?»
• «Мог ли ты подумать еще 10 минут назад, что сможешь
решить это?»
Говорите всему классу и каждому отдельно взятому реO
бенку, что вы горды за них, что дела у них идут замечательO
294

Ïðèëîæåíèå Æ. Êàê äîáèòüñÿ òîãî, ÷òîáû ó÷åíèêè ëþáèëè ìàòåìàòèêó?

но, что их класс – один из лучших, какие вам приходилось
когдаOлибо учить. Но соблюдайте меру. Как только в своO
ей похвале вы перестанете быть искренними, дети немедO
ленно это почувствуют.

Âäîõíîâëÿéòå äåòåé èñòîðèÿìè
Рассказывайте ученикам подлинные истории из жизни
математиков, которые добились выдающихся результатов.
Истории о людях, умевших вычислять в уме с поразительO
ной скоростью, истории о таких математиках, как Тесла,
Гаусс, Ньютон, Нейман. Историй, способных вдохновить
детей, очень много. Поищите соответствующую литератуO
ру на полках магазинов или в интернете.
Ко мне, бывало, подходили дети после урока и спрашиO
вали: «Вы действительно думаете, что я могу стать новым
Эйнштейном?»

Ïðèãëàøàéòå ëåêòîðîâ
Если вы знаете когоOнибудь, кто искренне любит матеO
матику и кому есть что рассказать, пригласите этого челоO
века к себе в школу прочесть лекцию детям.
Или сами станьте таким лектором. У вас всегда есть что
рассказать – хотя бы даже то, как вы открыли для себя меO
тоды, изложенные в этой книге. Нам всем нужны герои,
на которых мы можем равняться. Почему бы не предлоO
жить детям героев, совершавших ранее или совершающих
ныне значительные поступки в математике?

Èãðû è ãîëîâîëîìêè
Предлагайте ученикам несложные игры, чтобы привить
им вкус к вычислениям. Задавайте головоломки различноO
го уровня сложности. При этом старайтесь, чтобы каждый
295

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

в классе был в состоянии решить хотя бы часть из предлаO
гаемых вами задач. Учите детей способам их решения.
Находите такие книги с головоломками, которые не
только предлагают сами задачи, но и толковое объяснение
их решения.
Задавайте побольше вопросов из области математики.
Знакомьте детей с применением математики в повседневO
ной жизни. Всякий раз, когда ученик использует матемаO
тику или ему нужны математические навыки для чегоOлиO
бо, обращайте его внимание на значение математики. ЗаO
давайте вопросы, требующие математических знаний. НаO
пример:
• «Какая из этих вещей дешевле? Сколько это будет
стоить?»
• «Сколько нам еще осталось проехать? С какой средней
скоростью мы двигались? Сколько нам еще осталось
ехать, если мы продолжим двигаться с теперешней скоO
ростью?»
• «Что будет дешевле: ехать вчетвером на машине или на
поезде? А если на самолете?»
• «Сколько бензина мы потратим, чтобы доехать до
__________? Сколько это будет стоить?»
• «Во что нам обойдется месячное содержание лошади/
пони?»
• «Сколько человек сейчас находится в классе?»
• «Если все присутствующие здесь будут сидеть по трое за
одним столом, сколько их потребуется?»
• «Если каждому ученику надо дать по 10 книг, сколько
книг потребуется, чтобы раздать всему классу?»
• «Если третью часть книг залило водой, сколько книг
пострадало? Сколько уцелело? При цене 23 доллара за
книгу сколько денег придется заплатить, чтобы замеO
нить испорченные книги?»
296

Ïðèëîæåíèå Æ. Êàê äîáèòüñÿ òîãî, ÷òîáû ó÷åíèêè ëþáèëè ìàòåìàòèêó?

Вместо того чтобы давать ученикам список вопросов,
сделайте их органичной частью ваших бесед с классом.
Придумывайте задачи вместе с классом. Предлагайте учеO
никам приносить в класс свои собственные головоломки.

1.
2.
3.
4.
5.
6.

7.

Êàê çàñòàâèòü ó÷åíèêîâ ïîâåðèòü â ñåáÿ?
Уверяйте их, что предложенная задача им под силу.
Покажите, как они могут с ней справиться.
Организуйте работу учеников.
Решите задачу вместе с учениками, если необходимо.
Говорите им, что если они теперь смогли решить,
значит, смогут решить и вновь.
Подстегните их воображение. Посоветуйте им предO
ставить себя в ситуации, когда им будет по плечу реO
шение любых задач. Каким бы оно было, если бы?..
Вообразите, что вы…
Делитесь с ними историями о людях, добившихся усO
пеха. Вдохновляйте детей.

297

Приложение З
Ðåøåíèå çàäà÷
1. Работайте, исходя из убеждения, что вы можете решить
задачу, и тогда вы решите ее.
Тогда, по крайней мере, вы приступите к ее решению.
2. Упрощайте числа.
Посмотрите, как бы вы решали более простую задачу.
(Что, если бы вместо 47,36 доллара в задаче значились
100 или 1 доллар?) Упрощение чисел часто позволяет
увидеть нужное решение задачи. Запомните способ, с
помощью которого вы решали «очевидную» задачу, и
примените его к «более сложной».
3. Решайте задачи в обратную сторону.
Работайте от ответа в обратную сторону и следите за
ходом решения. Часто есть возможность сочетать таO
кой подход с описанным в пункте 2.
4. Используйте крайности – миллионы или нуль.
Иногда это помогает обнажить суть метода.
5. Нарисуйте схему.
Схемы помогают сделать условие задачи понятнее.
6. Переверните условие с ног на голову.
А что получилось бы, если бы все было наоборот?
7. Начните и делайте то, что вам под силу.
Выполнение какихOнибудь действий, даже если они
вроде бы не имеют ничего общего с поиском ответа на
задачу, часто помогает вам выйти на правильный путь.
298

Ïðèëîæåíèå Ç. Ðåøåíèå çàäà÷

Может оказаться, что некий сделанный вами ход стаO
нет важной частью решения задачи.
8. Ищите аналогии.
Походит ли эта задача на чтоOнибудь уже известное
вам?
9. Отчетливо представьте себе ситуацию, описанную в за
даче.
Некоторые логические задачи лучше всего решаются,
если вы живо представили себе описанную в условии
ситуацию.
10. Нет дальнейших идей – возвращайтесь к началу.
Лишний раз задайте себе вопрос, что вам известно из
условия задачи.
11. Заменяйте понятия или используйте другие. Попробуйте
изменить эмоциональный отклик, который вызывает в
вас рассматриваемая ситуация.
Что было бы, к примеру, если бы речь шла о вас лично,
Китае, Исландии, вашей матери?
12. Что бы вы делали, если бы могли решить эту задачу?
По крайней мере, вы бы чтоOнибудь да делали – так
что не сидите просто так. Делайте чтоOнибудь!
13. Посмотрите на зависимости.
Спросите себя: если это увеличить, увеличится ли и
это? Как на все это можно посмотреть с другой точки
зрения?
14. Пробы и ошибки.
Очень часто данный метод упускают из виду. Это
вполне законный подход, который нередко позволяет
натолкнуться на способ решения.
299

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

15. Рассматривайте всевозможные варианты и идеи.
Не спешите отказываться от того или иного хода в реO
шении той или иной идеи.
16. Разберитесь, о чем спрашивается в задаче.
Как стоит вопрос? Правильно ли я понял задачу?

300

Ñëîâàðü
Вес разряда. Соответствующая степень числа 10, на коO
торую надо умножить цифру в числе в зависимости от ее
положения. Например, 34 является двузначным числом, в
котором весом разряда для цифры 3 являются три десятка,
а для цифры 4 – четыре единицы.
Вычитаемое. Число, подлежащее вычитанию из другого
числа.
Делимое. Число, от деления которого на другое число
получается результат деления.
Делитель. Число, на которое делится делимое в ходе
операции деления.
Знаменатель. Число, записываемое под чертой дроби.
Квадрат. Произведение числа на самого себя. НаприO
2
мер, квадратом 7 (7 ) является 49.
Квадратный корень. Квадратный корень из числа a –
всякое число x (обозначаемое a ), квадрат которого равен
2
a (x = a). Например, квадратным корнем из 16 ( 16 ) явO
2
ляется 4 (так как 4 = 16).
Константа. Постоянная величина. Например, число π
(«пи»), равное 3,14159…
Множимое. Число, на которое умножается другое число.
Множитель числа. Одно из двух и более целых чисел,
произведение которых равно заданному числу. МножитеO
лями числа 6 являются 2 и 3.
Множитель. Число, которое умножается на другое
число.
301

Áûñòðàÿ ìàòåìàòèêà

Неправильная дробь. Дробь, в которой числитель больO
ше, чем знаменатель.
Общий знаменатель. Число, кратное знаменателям двух
или более обыкновенных дробей, участвующих в вычисO
лении.
Показатель степени. Число, записываемое мелким шрифO
том вверху справа от числа и обозначающее, сколько раз
2
данное число надо умножить на самого себя. 3 означает,
что надо умножить 3 два раза (3 – это основание степени,
4
а 2 – показатель степени). 6 означает 6 × 6 × 6 × 6.
Произведение. Результат перемножения двух и более
чисел. (Ответ к задаче на умножение.)
Разность. Результат вычитания одного числа из другоO
го. (Ответ к задаче на вычитание.)
Слагаемое. Одно из двух или более складываемых чиO
сел.
Смешанное число. Число, представляющее собой сумму
целого числа и дроби.
Сумма. Результат сложения двух и более чисел. (Ответ к
задаче на сложение.)
Уменьшаемое. Число, из которого вычитается другое
число.
Цифра. Любое из чисел от 0 до 9, из которых состоят все
другие числа. Например, 34 – это двузначное число. (См.
также Вес разряда.)
Частное. Результат деления одного числа на другое.
(Ответ к задаче на деление.)
Числитель. Число, записываемое над чертой дроби.
Число. Любая комбинация цифр, например 10349 или
12831.
302

Ñëîâàðü

Îñíîâíûå òåðìèíû
àðèôìåòè÷åñêèõ âû÷èñëåíèé
+

×

23 Ñëàãàåìîå
14 Ñëàãàåìîå
37 Ñóììà
123 Ìíîæèìîå
3 Ìíîæèòåëü
369 Ïðîèçâåäåíèå



:

654 Óìåíüøàåìîå
142 Âû÷èòàåìîå
512 Ðàçíîñòü
385 Äåëèìîå
11 Äåëèòåëü
35 ×àñòíîå

303

ПО ВОПРОСУ ПРИОБРЕТЕНИЯ КНИГ ОБРАЩАТЬСЯ:
г. Минск, тел. (8-10-375-17) 237-29-76,
e-mail: popuri@mail.ru; www.popuri.ru;
г. Москва, ООО «Издательский дом «Белкнига»,
тел. (495) 276-06-75; e-mail: popuri-m@mail.ru, popuri-mos@mail.ru.

Научно-популярное издание

ХЭНДЛИ Билл
БЫСТРАЯ МАТЕМАТИКА:
СЕКРЕТЫ УСТНОГО СЧЕТА
Перевод с английского — Е. А. Самсонов. Художественный редактор — М. В. Драко.