Методы математической физики [Гарольд Джеффрис] (pdf) читать постранично

\

gs^gasfe'

ИЗДАТЕЛЬСТВО

«М И Р »

METHODS
OF
M ATHEM ATICAL PHYSICS
by
S IR H A R O L D J E F F R E Y S

M . A ., D. S c., F . R. S.
and
B E R T H A S W IR L E S (L A D Y J E F F R E Y S )

M . A ., Ph. D.

Third E dition

CAMBRIDGE
CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS

г . ДЖЕФФРИС, Б. СВИРЛС

МЕТОДЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ
ВЫ ПУСК 3

П ер евод с английского
п од ред. В. Н. Ж А Р К О В А

И ЗД А Т ЕЛ ЬС Т В О «М ИР»

М оск в а 1970

Ф ундам ентальное

ру к ов одство

по

прикладной

математике,

иаписанное известным геоф изиком Г. Д ж еф ф р и сом и его суп р у­
гой Бертой С вирлс, представля ет собой вы да ю щ ееся явление
в мировой литературе, с к оторы м м ож н о сравнить лишь такие
тр уд ы , как «М етоды математической физики» К уранта и Гильберта или «М етод ы теорети ческой физики» М орса и Ф еш баха,
выпуш енные и зд ател ьством «М и р » в русск ом переводе.
ные

В третий, последний вы пуск вошли главы 16—25, посвящ ен­
линейным дифференциальным уравнениям, теории потен ­

циала, уравнению
та к ж е бесселевы м
лож ениям.

теплоп роводн ости , волн овом у уравнению, а
и другим специальным функциям и их при­

Книга Г . Д ж еф ф р и са и Б. С вирлс привлечет внимание ф изи­
ков, геоф изиков и астроном ов, имею щ их дело с той обл астью
прикладной математики, гд е наряду с чисто рецептурной вы ­
числительной техникой
м атем атической физики.

н еобходи м о стр огое понимание м етод ов
Книга ок а ж ет такж е б ол ь ш ую помощ ь

аспирантам и студен там старш их курсов.

Редакция

2-3-1, 2-Ь-1
70

космических,

и ссл е д о в а н и й ,

астрономии и геофизики

от

РЕДАКТОРА

ПЕРЕВОДА

В третий, последний выпуск вош ли главы 16 — 25, п освя­
щенные линейным дифференциальным уравнениям, теории по­
тенциала, уравнению тепл оп роводн ости , вол н о в ом у уравнению,
а т ак ж е бесселевы м и другим специальным функциям и их
приложениям.
Гл. 16 перевел М. Л . Гервер, гл. 17, 18, 24 — С. Я. Коган,
гл. 19—А. Л . Л евш ин, гл. 20 — 23, 25 и замечания об о б о з н а ­
чениях перевели Л. В. Никитин, А. А. Гвоздев и Б. В. К ост р ов .
В. Н . Ж ар к ов

Л1
;.

: • ’• -л .. .

-

'

L

1 5^
h-- a ? к
i'i

.r

-

i ?

'П

,'V

РЕШ ЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ В Т ОР ОГ О ПОРЯДКА

К урчавы й путь, кудрявы й путь
он согн ут колесом ,
О днаж ды ночью в Бирмингем
неслись мы тем п утем .
Г. К-

Честертон.

“ Перелетный
кабак" *)

16.01. Если диф ференциальное уравнение имеет переменные
коэффициенты, то основные методы его решения следующ ие.
1. П рям ое численное решение (гл. 9). Это ч а сто стои т б ол ь ­
ш о г о т ру да, но во многих сл уча ях д р у г о г о в ы хода нет.
2. Решение с п о м о щ ь ю степенных рядов.
3. Решение путем п одстан овки определенных или контурных
интегралов.
4. Асимпт®тические решения (гл. 17). Они м огу т бы ть п олу­
чены несколькими методами. Ч асто непосредственное п р еоб р а ­
зование дифференциального уравнения дает решения в виде
асимптотических рядов; кром е того, решение в виде определен­
ного или кон турн ого интеграла м ож н о аппроксимировать м ето­
д ом н аискорейш его спуска (метод перевала).
16.02. О со б ы е точки диф ф ерен ци ального уравнения. Всякое
л инейное уравнение вт о р ог о порядка м ож н о записать так:
(Ру

dx^
Если у и d yld x заданы при х = Xq, то дифференциальное у р а в ­
нение, в о о б щ е говоря, определяет значение d^yldx^ при х — Xq.
П родифф еренцировав наше уравнение, мы с м о ж е м найти d^y/dx^
при л: = Хо, и т. д. Таким о б р а з о м , мы будем получать один
за другим члены ряда Тейлора для у, и если эт о т ряд имеет
ненулевой радиус сходим ости, то решение су щ ествует. Если для
л ю б о й пары значений у и d y jd x при х = х^ d^y/dx^ т о ж е п ол у­
чает конечное значение, то Xq называется обы к н овен н ой точкой
Уравнения; в противном случае х^ называется о со б о й точкой.
Н апример, пусть
d^y
*) П еревод Н. Ч у к о в ск о го .—Я ри ж . ред.

И при x = Xq

У = Уо,

d y ld x = i/i. Тогда решение

У = Уо COS { х - лго) + Z/1 sin (л; - X q)
годится для л ю б ы х лго, уо. г/Г> следовател ьн о, для э т о г о у р а в н е ­
ния все значения л: — обы кн овен ны е точки. Н о у ж е для ур ав н е­
ния первого порядка
dy

нельзя вы бр ать значение у при х = 0 произвольно; если при­
д а ть у л ю б о е значение, не равное нулю, то dyjclx обр ати тся
в бесконечность и о б р а з о в а т ь ряд Тейлора не удастся. Точно
так ж е, если дано

И г/ не равен нулю при л: = О, то либо d y ld x , либо d^lyldx^
бесконечна и о б р а з о в а т ь ряд Тейлора нельзя. Значение л: = О
для д в у х уравнений является о с о б о й точкой.
’
Линейные уравнения о б л а д а ю т одним важ ны м св ой ств ом :
их о со б ы е точки постоянны. Д а ж е для так ого п ростого ур а в н е­
ния, как
dy
dx ~

1
1 - г/2 '

d y ld x о б р а щ а е т с я в бесконечн ость при г / = ± 1 , и значение х
при этом непостоянно, если придавать разные значения у при
X = 0. Решение на са м ом деле таково:
у -^ у ^ = х + а
при

X = у

-

а = у

-

и

г/