Методы математической физики [Гарольд Джеффрис] (pdf) читать онлайн
Книга в формате pdf! Изображения и текст могут не отображаться!
[Настройки текста] [Cбросить фильтры]
й
iSri,
:S.i. e>.g''& s;Si:ig * i
METHODS
OF
MATHEMATICAL PHYSICS
by
S ir H a r o ld J e f f r e y s
M . A., D. Sc., F . R. S.
and
B e r th a S w ir le s ( L a d y J e f f r e y s )
M. A., P h . D.
T h ird E dition
C A M B R ID G E
CA M B R ID G E U N IV ER SITY P R E S S
г . ДЖЕФФРИС, Б. СВИРЛС
МЕТОДЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ
ВЫПУСК I
П ер евод с английского
п од ред.
В. Н . Ж а р к о в а
И ЗД А Т Е Л Ь С Т В О «МИР»
М осква
1969
Ф ундаментальное руководство по прикладной математике, па.
писанное известным геофизиком Г. Дж ефф рисом и его супругой
Бертой Свирлс, представляет собой выдающееся явление в ми
ровой литературе, с которым мож но сравнить лишь такие труды,
как «Методы математической физики» Куранта и Гильберта или
«М етоды теоретической физики» Морса и Ф еш баха, выпущенные
издательством «Мир» в русском переводе.
Для удобства советских читателей книга будет разбита на
три выпуска; вып. 1 выйдет в 1969 г., 2 и 3 — в 1970 г.
В вып. 1 будут рассмотрены функции действительного перемен
ного, скаляры и векторы, тензоры, матрицы, кратные интегралы
и теория потенциала и операционные методы.
Книга Г. Д ж еф ф риса и Б. Свирлс привлечет внимание ф изи
ков, геофизиков и астрономов, имеющих дело с той областью
прикладной математики, где наряду с чисто рецептурной вычис
лительной техникой необходимо строгое понимание методов ма
тематической физики. Книга окаж ет такж е большую помощь
аспирантам и студентам старших курсов.
Р едакция космических исследований, астрономии и геофизики
2-3-1, 2-6-1
114-69
К н и га Г. Д ж е ф ф р и с а и его супруги Б ерты С в и р л с (леди
Д ж е ф ф р и с ) я в л я е т с я одним из основных р у ко в од ств по « М е т о
д а м м а те м а т и ч е ск о й ф изики» повы ш енного типа на а н г л и й
ском язы ке. О на в ы д е р ж а л а три и зд а н и я, причем последнее
и зд а н и е д в а ж д ы п е р е и з д а в а л о с ь . Т а к и м о б р а з о м , мы имеем
д ел о с у с т о я в ш и м с я у ч еб ны м р у ко во д с тв о м по п р и к л а д н о й м а т е
матике.
С а м Д ж е ф ф р и с , я в л я я с ь круп нейш им с о вр ем енны м г е о ф и
зиком , о б о бщ и л в ней свой полувековой опы т плодотворной
раб о т ы в о б л а с т и теоретической геоф и зики, с м е ж н ы х о б л а с т я х
а стр он о м и и и ф изик и спл о ш ной ср еды и п р и к л а д н о й м а т е м а
тики.
В свя зи с этим в книге чувству ется отбор м а т е р и а л а и с с л е
д о в ат е л е м , которы й сам н а п р о т я ж ен и и многих л ет и с п о л ьз о в ал
м а т е м а т и к у д л я прогресса е с тество знан ия. В ней опи сан о много
р а ц и о н а л ь н ы х м а т е м а т и ч е ск и х м етодик и при ведено р еш ение
м ногих в а ж н е й ш и х типовы х з а д а ч . К ороче говоря, она о б л а
д а е т всеми д о сто и н ств ам и а нгл ий ск их книг по м а тем а т и ч е ск о й
ф изике.
П р е д л а г а е м а я в н и м ан и ю ч и т а т е л я книга д о ста то чн о с л о ж н а
и не м ож ет бы ть р е к о м е н д о в а н а д л я п е р в о н ач а л ь н о г о о з н а к о м
л е н и я с предм етом . О на н а п и с а н а в е с ьм а с в о е о б р а зн ы м я зы ко м ,
и подход к и зл о ж е н и ю многих вопросов не три ви ал ен . Эти о б
с т о я т е л ь с т в а с о з д а в а л и з а м е т н ы е тр удн о сти д л я к о л л е к т и в а ,
р а б о т а в ш е г о н ад переводом. О б ш и р н о е п р ед исл ов ие авто ро в
и з б а в л я е т нас от о б су ж д е н и я многих тем, в частности вопроса
о терм и нол огии и о той м ере строгости, ко т о р а я н ео б х оди м а в
р а б о т а х по т ео ретич еском у естествознан ию . М ы во вся ком с л у
ч ае нигде не стр ем и л и с ь « улучш ить» ори ги н ал , а наоборот,
с т а р а л и с ь с о х р а н и т ь все его особенности. В св я зи с тем, что
человек, которы й о б р а т и т с я к п р е д л а г а е м о й книге, м ож н о по
л а г а т ь , у ж е до стато чн о з н а к о м с пред м етом , мы р е ш и л и не
пр и во ди ть д опо л н и т е л ьн о го спи ска л и т е р а т у р ы . О б р а щ а е м вни
м а н и е на то, что в книге п р и н я т а п р а в о с т о р о н н я я систем а д е
к а р т о в ы х ко ор д ин ат. В этой системе, если с м о треть со стороны
оси Z, то поворот оси X в сторону оси у про и сх одит п р о т и в
ч асовой стрелки. Д л я к р а т к о с т и т а к о е в р а щ е н и е пер е ве д ен о
к а к « в р а щ е н и е вправо».
Д л я у д о б с т в а п о л ь зо в а н и я ру сское и зд а н и е книги р а з д е
л ено на три в ы п у с к а пр и м ерн о р а в н о го о б ъ ем а . П о с к о л ь к у это
р а з д е л е н и е чисто условно, с о х р а н е н а н у м е р а ц и я г л а в а н г л и й
ского о р и г и н а л а. В 1-й вы пуск в о ш л и гл. 1— 8 , во 2-й — гл. 9— 15,
в 3 - й — 16— 25. З а м е ч а н и я , по м е щ е н н ы е в о р и г и н а л е в кон ц е
книги, в русском п ерево д е р азн е се н ы по с оотв етству ю щ и м г л а
вам . Р а б о т а по пер ев од у вып. 1 р а с п р е д е л и л а с ь с л е д ую щ и м
о б р а з о м : А. Л . Л е в ш и н перевел пре д и сл ов и е и гл. 8 ; М. Л . Гервер — гл. 1, 2; В. А. К а л и н и н — гл. 3; Л . В. Н икитин — гл. 4;
В. Ф. П и с а р е н к о — гл. 5, 7; В. Л . М а р к у ш е в и ч — гл. 6 .
В за к л ю ч е н и е я хотел бы от имени всех п ри н и м а в ш и х у ч а
стие в р а б о т е в ы р а з и т ь п р и зн а т е л ь н о с ть леди Д ж е ф ф р и с , к о
т о р а я л ю б е зн о п р о к о м м е н т и р о в а л а п ерев о д эп и г р а ф о в к о т
д ел ь н ы м г л а в а м . Л е д и Д ж е ф ф р и с т а к ж е с п о с о б с тв о в а л а тому,
что с о тр удн и ц а и з д а т е л ь с т в а К е м б р и д ж с к о г о У н иверситета
миссис A-lepn П а р к е р п р и с л а л а нам англий ский о ри ги н ал книги
1966 г. М не хотелось бы п о б л а г о д а р и т ь миссис П а р к е р за эту
л ю безность.
В. Н. Ж а р к о в
о т А В ТО Р О В
В третьей д о п е ч а т к е 3-го и зд а н и я д о б а в л е н ы с л е д у ю щ и е
р а зд е л ы : 9.041а об ин терп оляц и и в случае, ко гд а д а н ы первы е
прои зводн ы е, и 9.181а — о д о с т и ж е н и я х в м а ш и н н о м счете.
Б ы л о р а с ш и р е н о и ссл едов ан ие о р т о го н а л ьн ы х п р е о б р а зо в а н и й
в гл. 4 и с д е л а н о д о б а в л е н и е в д о к а з а т е л ь с т в е л е м м ы В а т с о н а
в 17.03. С д е л а н р я д д р у ги х н еб ол ьш и х п о п р а в о к и д о б а в л е н и й
в тексте и п р и м ер ах .
Март 1966 г.
Во второй д о п е ч а т к е 3-го и з д а н и я д о б а в л е н ы сл е д у ю щ и е
р а зд е л ы : 5.051а о д и ф ф е р е н ц и р о в а н и и под зн а к о м и н т е г р а л а ,
10.11а о методе, и с п о льзуем ом в теории планет, и 23.07а со
ссы л кой на р а б о т у о кул он ов ск и х во л нов ы х ф ункц иях. П е р е
см о трен ы р а з д е л ы 10.0 1 , 10.013 в г л а в е « В а р и а ц и о н н о е исчис
ление». С д е л а н ы н е б о л ьш и е и с п р а в л е н и я и д о б а в л е н и я в т е к
сте и п ри м ерах.
И юль 1961 г.
В н а с т о я щ е м и зд а н и и мы внесли изм ен ен ия в гл. 1, в о с
новном в р е з у л ь т а т е з а м е ч а н и й , с д е л а н н ы х проф. Б ези ко в и ч ем :
более четко с ф о р м у л и р о в а н р я д тео рем , д о б а в л е н о или с о к р а
щено н е с к о льк о д о к а з а т е л ь с т в . М ы в есьм а п р и зн ат е л ьн ы ему
з а э л е м е н т а р н о е д о к а з а т е л ь с т в о теорем ы об ограниченной схо
дим ости Р и м а н о в ы х и н те гр а л о в, д ан н о е в прим ечании. В гл. 6
ул учш ено д о к а з а т е л ь с т в о у р а в н е н и я П у а с с о н а . В гл. 17 мы
б о лее по д р обн о р а с с м о т р е л и ин тегр а л Э йри д л я ком п л ек сн о го
а р г у м е н т а и с ф о р м у л и р о в а л и у с л о ви я однородности а п п р о к с и
м ации аси м п тоти ч еск и х реш ен ий типа Грина в ком п лексной
об ласти. В гл. 23 мы д о б а в и л и некоторы е з а м е ч а н и я об а н а л и
тическом п р о д о л ж е н и и реш ений и их прим енении к ф у н кц и я м
п а р а б о л и ч е с к о го ц и ли нд ра.
М ы б л а г о д а р и м читател ей за их со общ ен и я по поводу з а м е
ченных о ш и б о к и опечаток.
Г а р о л ь д Д ж еф ф ри с
Берта Д ж е ф ф р ис
А п рел ь 1953 г.
Т екст книги д л я 2-го и зд а н и я бы л сущ ественно пересм отрен.
Б о л ь ш и н ст в о при м еч ани й в конце книги бы ло в с т а в л е н о в
текст. К р о м е того, с д е л а н ы сл е д у ю щ и е в а ж н е й ш и е и сп равл ени я.
В гл. 1 т е о р ем а Г е й н е — Б о р е л я и ее м о д и ф и к а ц и я Гур са в ы
несены в перед и ис п о л ьзо ван ы д л я в ы в о д а неск о льк их теорем,
которы е п р е ж д е д о к а з ы в а л и с ь д р у ги м методом. К р о м е того, б о
л е е полно и з л о ж е н а т е о р и я Р и м а н о в ы х интегралов.
В гл. 4 д о б а в л е н о опи сан ие б лоч ны х м а т р и ц и б олее под
робно р а с с м о тр е н а т е о р е м а о х а р а к т е р и с т и ч е с к и х р е ш е н и я х д л я
к о м м у т и р у ю щ и х м атри ц. Гл. 5 (к р а т н ы е и н те г р ал ы ) почти п ол
ностью п е р е п и с а н а и те п е р ь в кл ю ч а е т т еор и ю ф у нкц ий н е с к о л ь
ких перем енны х, к о т о р а я частично б ы л а и з л о ж е н а в гл. 11.
В гл. 9 а н а л и з р е л а к с а ц и о н н ы х м ето д о в рас ш и р е н настол ько ,
чтобы с л у ж и т ь к а к введен ие в сп е ц и а л ь н у ю л и т е р а т у р у на эту
тему.
В гл. 11 и 12 с д е л а н о много улучш ени й, в ч астности внесена
в а ж н а я п о п р а в к а в д о к а з а т е л ь с т в е те о р ем ы Кош и, улучш ено
д о к а з а т е л ь с т в о т ео рем ы О с г у д а — В и т а л и и полностью п ер е
с м о тр е н а т еор ия о б р а т н ы х функций.
В гл. 17 неск о льк о о с л а б л е н ы у с л о в и я д л я с п р ав е д л и в о с ти
л е м м ы В а т с о н а ; теперь они в ы п о л н я ю тс я почти во всех ф и з и
ческих п р и лож ен и я х . Б о л е е полно и зл о ж е н метод с т ац и о н а рн о й
ф а зы . В гл. 24 р а с ш и р е н р а з д е л об излучении м ульти поля.
Д о к а з а т е л ь с т в а по в о зм о ж н о с ти с о к р а щ е н ы или об общ ены ,
д о б а в л е н ы некоторы е но вы е прим еры .
Мы б л а г о д а р н ы м ногочисленны м ч и т а т е л я м за у к а з а н и я на
ош иб ки. Д в е н а и б о л е е с е рьезны х п оп ра в ки с д е л а н ы проф. Л и т т л вудом и д -ром К а р т р а й т о м .
Мы особенно п р и зн а т е л ьн ы за за м е ч а н и я проф. Л и т т л в у д у
(гл ав ы 1, 5, И , 12), Х ол л у (гл. 4 ), проф. Б е зи ко в и ч у и д-ру Б ар ки л л у (гл. 5).
Г а р о л ь д Д ж еф ф р ис
Берта Д ж еф ф ри с
15 н оя бря 1948 г.
Ц е л ь этой книги — опи сать те р а з д е л ы чистой м а т е м а т и к и ,
в кото ры х б о л ь ш е всего н у ж д а е т с я ф и зи к а. О тбор м а т е р и а л а
до в о л ьн о труден: книга, с о д е р ж а щ а я все методы, п р и м е н я е м ы е
в р а зл и ч н ы х р а з д е л а х ф изики, б ы л а бы непомерно ве л и ка .
В свя зи с этим мы обы чно в к л ю ч а л и метод, если он пр и м е
ня е т ся по край ней м ере в д ву х р а з д е л а х ф изики; о д н а к о мы не
с л е д о в а л и этом у п р а в и л у во всех сл у ч а я х . Д л я и л л ю с т р а ц и и
допо л н и т е л ьн ы х п р и л о ж е н и й в в еден ы с п е ц и а л ь н ы е за д а ч и .
Н а м п р е д с т а в л я е т с я , что многие студенты , з а и н т е р е с о в а н
ные г л а в н ы м о б р а з о м п р и л о ж е н и я м и , с тр удом с л е д я т за а б
с т р ак т н ы м и д о к а з а т е л ь с т в а м и не и з-за отсу тствия спо соб но
стей, но потому что интерес у них в о зн и к а е т л и ш ь т огд а, ко гд а
им ясны неп осред ствен ны е пр именения.
М ы п р е д п о л а г а е м , что ч и т ат е л ь з н а к о м с курсом м а т е м а т и
ческого а н а л и з а . П о я с н и м н а м е ч а е м ы е н ам и уровень строгости
и общ ности. М ы не р а з д е л я е м ш ир око р а с п р о с т р а н е н н о г о
в з г л я д а , что л ю б о е д о к а з а т е л ь с т в о хорош о, если оно будет
п р е д н а зн а ч е н о д л я и с п о л ь з о в а н и я и с с л е д о в а т е л я м и в естест
венных н а у к а х . М ы счи таем , что д л я естественны х наук, т а к ж е
к а к и д л я чистой м а т е м а т и к и , необходим о, чтобы б ы ли с ф о р м у
л и р о в а н ы основн ы е принципы, и за к л ю ч е н и я в ы т ек а л и из ни.х.
Н о в естественны х н а у к а х т а к ж е необходим о, чтобы эти при н
ципы были к а к м о ж н о теснее с в я з а н ы с н а б л ю д е н и я м и ; д л я
чистой м а т е м а т и к и несущ ественн о, что в зя т о за основу.
Мы п р и д е р ж и в а е м с я зд есь п р и нци па, что строгий а н а л и з
в естественны х н а у к а х не менее в а ж е н , чем в чистой м а т е м а
тике. М ы т а к ж е м н о г о к р ат н о о б н а р у ж и в а л и , что л е гч а й ш и й
путь с д е л а т ь к а к о е -л и б о у т в е р ж д е н и е д о стато чн о о б о с н о в а н
н ы м — это д а т ь ему строгое д о к а з а т е л ь с т в о . Н е к о т о р ы е н а и б о
л е е в а ж н ы е р е зу л ь т а т ы (н а п р и м е р , т е о р е м а К ош и) т а к у д и в и
тельны на первы й в зг л я д , что ничто б о л е е кр а т к о е , чем д о к а
з а т е л ь с т в о , не м о ж е т з а с т а в и т ь в нее поверить. С д р у го й с то
роны , м а т е м а т и к обы чно н е у д о в л е тво р е н теорем ой, если она
в ы с к а з а н а не в н а и б о л е е о б щ ей форме.
П р и л о ж е н и я ж е часто ог р а н и ч и в а ю тс я н е с к о л ьк и м и спе
ц и а л ь н ы м и з а д а ч а м и . П о э т о м у мы часто д а е м д о к а з а т е л ь с т в о
при у сл о ви я х , д о ст а т о ч н ы х в б о л ьш и н с тв е п ри лож е н и й , но и з
л иш не огран и ч ен н ы х с точки зр ен и я чистого м а т е м а т и к а . О б щ
н о с т ь — х о р о ш а я вещ ь, но иногда она м о ж е т о б ойтись сл иш ком
д орого. В р я д е сл у ч а е в, если п р и н я ты е у с л о в и я не вы п о л н я ю тс я
в д ан н о й з а д а ч е , то м ето д о б о б щ е н и я те о р ем ы б уд е т очевиден;
иногда ж е это очень трудно, и мы не д у м а е м , что стоит л о м а т ь
к о п ья р а д и редко в с т р еч а ю щ и х с я с л учаев. Д л я н е к ото ры х о б
ш и р н ы х п роб лем , ко тор ы е в а ж н ы , но тр е б у ю т д олгого о б с у ж д е
ния и хорош о и зл о ж е н ы в к а к о м -л и б о р уковод стве, мы сочли
д о ст а т о ч н ы м д а т ь ссылки.
М ы счи таем особенно в а ж н ы м д л я и с с л е д о в а т е л е й зн а т ь
точную ф о р м у л и р о в к у условий, при ко т о р ы х с п р а в е д л и в ы ис
по л ьзу е м ы е ими теорем ы . Ч а с т о м о ж н о встр ет и т ьс я с у т в е р ж
дением , что р е з у л ь т а т строго д о к а з а н ; ка к о й -л и б о к о н тр о л ь за
те м , что п о с т у л и р о в а н н ы е при д о к а з а т е л ь с т в е у с л о в и я у д о в л е т
в о р я ю т с я в р е а л ь н о й з а д а ч е , о тсутствует — а очень часто эти
у с л о в и я на с а м о м д е л е не вы п о л н я ю тс я . Т а к о е н е п р ав и л ь н о е
ис п о л ьзо в ан и е м а т е м а т и к и м о ж е т встр ет и т ьс я во многих р а з д е
л а х науки. С д р у го й стороны , многие р е з у л ь т а т ы ч ас т о д о к а
з а н ы при д остаточн ы х, но не н ео б хо ди м ы х усл ов и я х, и ученые
ко л е б л ю т с я, и с п о л ь з о в а т ь ли их, о ш иб очно п р е д п о л а г а я , что
усл о ви я необходи м ы . П о эт о м у мы будем часто д а в а т ь д о к а з а
т е л ь с т в а при бо лее об щ и х усл ов и я х, чем п р и н я ты е в более э л е
м ен т а р н ы х кур сах . О бе трудн ости в ы з в а н ы г л а в н ы м о б р а з о м
тем, что т ео рем ы р а з б р о с а н ы по м ногим к н и га м и с т а т ь я м , и
и с с л е д о в а т е л и не знаю т, что и где искать.
Эту книгу м о ж н о ч итать п о сл е д о в ат е л ьн о , но некоторы е ч а
сти вполне н е зав и си м ы от п р е д ш е с т в у ю щ е г о и зл о ж е н и я ; т а к и м
о б р а з о м м о ж н о и д а ж е пол езно и зу ч а т ь о т д е л ьн ы е г л а в ы п з '
р а л л ел ь н о .
В н екоторы х сл у ч а я х мы приводим теорем ы в частной ф о р м е
п еред более общ ей ф о р м у л и р о в к о й , если п о сл ед няя тре б у е т б о
лее сл о ж н о г о а н а л и з а . Э то особенно относится к с л у ч а я м , ко гд а
ч итатель, во зм о ж н о , встретится с неск о льк им и п р и л о ж е н и я м и
д л я частного вид а т еорем ы до того, к а к ему потребу ется бо лее
о б щ а я теорем а.
М ы со м н е в а л и с ь, стоит ли в к л ю ч а т ь г л а в у о теории ф ункций
д ей стви тел ьного переменного. О бы чно б олее полны е работы
т р ебую т сущ ественно б ольш его врем ени д л я чтения, чем то,
котор ы м р а с п о л а г а е т ф изик -теор етик . К с о ж а л е н и ю , в этих
р а б о т а х иногда с в о д я т в а ж н ы е т е ор ем ы к у зк о м у к л ассу или
н е эф ф е кт и в н о м у прим еру, или о п у ск а ю т их целиком.
В итоге мы реш и л и р а с с м о тр е т ь основны е методы этой т е о
рии, но не д о к а з ы в а т ь подробно к а ж д ы й р е з у л ь т ат ; о д н а к о
п о л а г а е м , что д л я студентов б у д е т полезно с а м и м з а п о л н и т ь
некоторы е п ро б ел ы в д о к а з а т е л ь с т в а х . Е сли студент почувсгвует трудн ости в д о ст и ж е н и и того у р о в н я а б с т р а к ц и и , на ко то
рый р а с с ч и т а н а б о л ь ш а я ч ас т ь этой г л а в ы , мы советуем ему
чит ат ь до п р ед ел а его в озм о ж н ос те й , а з а т е м п ерехо д ить к с л е
ду ю щ и м г л а в а м , в о з в р а щ а я с ь н а з а д по м ере необходим ости.
В конце концов он о б н а р у ж и т , что о д о л е л всю эту гл а в у ,
п р е ж д е чем окончит г л а в у 14, и что он з н а е т ее с о д е р ж а н и е и
п о н и м ает смысл.
М ы не см огли полностью и з б е ж а т ь с сы л ок на е щ е не
прочитанны й м а т е р и а л , но одно за б е г а н и е вперед, н а и б о л е е
серьезно е — д о к а з а т е л ь с т в о в гл. 12 теорем ы , что а л г е б р а и
ческое у р а в н е н и е /г-й степени имеет п корней, и с п о л ьзо в ан н о е
в гл. 4, н а с т о л ьк о о с в я щ е н о тради ц и ей , что неск ольк о менее
с е рьезны х за б е г а н и й вперед, нам , по-видимом у, м о ж н о п р о
стить.
О б о зн а ч е н и е сп е ц и ал ь н ы х ф ункц ий в н а с т о я щ е е вр ем я пе
р е с та л о бы ть е д и н о о б р а зн ы м , что во многих о тно ш ен иях не
удобно. Так, в кв ан тов о й м ехан и к е проводится п о л н ая за м е н а
определен ий, гарантир ую и ^ая н о р м а л и за ц и ю , но мы п о л а г а е м ,
что это всего л и ш ь з а м е н я е т с т ар ы е трудности новыми. Мы и з
менили обы чное о пред ел ен ие ф ункции Л е ж а н д р а , чтобы о б е
спечить более сим м етричн ы й вид ф ор м у л и переход к ф у нкц иям
Б ессел я без д о п о л н и т е л ьн ы х численны х м но ж йтёл ей . Мы в е р
нулись к опред елен ию ф ункц ии Кп, д а н н о м у Х евисайдом , но
о б о зн а чи л и ее Khn- С р ед и д руги х пр еи м ущ еств, это у п р о щ а е т
ее с в я з ь с ф у н к ц и я м и Л е ж а н д р а 2-го род а. М ы т а к ж е о т к а з а
лись от о б о зн а ч е н и я Г д л я ф а к т о р и а л ь н ы х ф ункций, которое,
по-видимому, никем и не бы ло реко м ен д ов ан о .
Н еп о с р е д ст ве н н ы м стим ул ом к нап и сан и ю книги п о с л у ж и л а
то о б сто я тел ьство , что второе и зд а н и е книги «О п е р а ц и он н ы е
методы в м а те м а т и ч е ск о й ф изике», нап и сан н ой одним из нас,
не могло бы ть вы пущ ено. Б о л ь щ а я ч асть этой р а б о т ы б ы ла
и с п о л ьзо в ан а зд есь с д о б а в л е н и е м нек о тор ы х новых р е з у л ь
татов.
Г л а в а о дисперсии не по д х о д и л а к той книге, п оск оль ку она
р основном не з а в и с е л а от о п ерац и он н ого метода. О д н а к о мы
в клю чи ли ее, п о ск оль ку пон ятие групповой скорости у ж е о б су
ж д а л о с ь р а н е е в с в я зи с м етод ом на и ск о р е й ш его спуска. Теперь
она более естественны м о б р а з о м в о ш л а в г л а в у об а с и м п т о т и
ческих р а з л о ж е н и я х . В этой г л а в е опи сан ы нек ото ры е ш ироко
и сп ользуем ы е методы, сведен ия о ко то ры х р а з б р о с а н ы по о т
д ел ьн ы м стат ья м . Б о л ь ш а я ч асть р а б о т ы « Д е к а р т о в ы тензор ы »
т а к ж е вкл ю ч е н а в эту книгу. П р и л о ж е н и я по те р м о д и н а м и к е ,
с о д е р ж а щ и е с я в первой р а боте, к ги д р о д и н а м и к е и теории
упругости ц е л е с о о б р а зн е е р а с с м о тр е т ь в р у к о в о д с т в ах по этим
пред м етам .
М ы не п ы т а л и с ь р а с с м о т р е т ь в д е т а л я х к а ж д ы й р а з д е л ф и
зики; это з а д а ч а с п е ц и а л ь н ы х учебников.
М ы очень б л а г о д а р н ы многим д р у з ь я м за их п о д д е р ж к у
при на п и с а н и и этой книги. П р е ж д е всего мы д о л ж н ы п о б л а г о
д а р и т ь д -р а С м итиса, чья о г р о м н а я эр у д и ц и я б ы л а целиком
в н аш ем р а с п о р я ж е н и и ; он д а л неоц ен им ы е советы и в е л и к о
д уш н о помог при сверке. Н а ш д о л г — п ри зн ать, что в н ек ото
рых м естах мы ш ли своим путем, несм отря на его строгие п р о
тесты.
Д -р М и л л е р особенно помог нам с гл. 9 и 23, а Б он ди —
с гл. 24. М ного ценных советов д а л и нам пр оф ессора Н ью м ан ,
О ф ф о р д , Р о зе н х э д , Т о р н б а л л , а т а к ж е Б ези ко ви ч , К а р т р а й т и
Долзелл.
Мы б л а г о д а р и м т а к ж е уни верси теты К е м б р и д ж а , Л о н д о н а
и М а н ч е с тер а за р а зр е ш е н и е и с п о л ь з о в а т ь в ка ч е с тв е пр и м еро в
э к з а м е н а ц и о н н ы е вопросы, и р а б о т н и к о в и з д а т е л ь с т в а К е м
б р и д ж с к о г о у ни в ер си тета за их в н и м а н и е к книге и их г о т о в
ность идти н а встр ечу п о ж е л а н и я м д о в о л ь н о пе д а н т и ч н ы х а в
торов.
Г а р о л ь д Дж еффрис
Берта Д ж е ф ф р и с
1946 г.
Г л а в н ы е р а з д е л ы к а ж д о й г л а в ы н у м е р о в а н ы в д есятич ной
систем е с ш аг о м 0 ,0 1 ; п о д р а з д е л ы п о к а з а н ы следуюш,ими д е
ся ти чн ы м и ч ислам и. К о гда текст р а з д е л а или п о д р а з д е л а п ро
д о л ж а е т п р ед ы ду щ ий , н у м е р а ц и я у р ав н е н и й т а к ж е п р о д о л
жается.
И сточники, из которы х в зя т ы пр и м еры , п о к а з а н ы с л е д у ю
щ им и с о к р а щ е н и я м и :
М. Т.
М. Т., Sched. В.
P re lim .
М /с, III
1. С.
M a th e m a ti c a l
T rip o s,
P art
II a n d
S c h e d u le A.
M a th e m a tic a l T rip os, P a r t III a n d
S ch e d u le B.
P r e l i m i n a r y E x a m i n a t i o n in M a t h e m a
tics.
M a n c h e s te r, F in a l H o n o u r s in M a t h e
m a tic s.
Im p e r ia l C o lle g e , L o n d o n .
ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ПЕРЕМЕННОЕ
в прошлые времена
мелкую рыбешку.
очень любили
Д ан и эль Ч андлер Х аррис
*.Сказки дядю ш ки Римусат>
1.01 О т н о ш ен и е м а т е м а т и к и к ф изик е. П ро с т ей ш ее м а т е м а
тическое п он ятие — это понятие числа. Ч и сл о — это свойство,
о б щ е е д л я всех кл а с с о в, ко торы е могут бы ть поставлен ы друг
д р у гу в с о ответствие путем со п о с т а в л е н и я их эл е м е н тов (по
од ном у из к а ж д о г о к л а с с а ) , т а к что все эл ем ен ты о б р а з у ю т
п ары и ни одного л и ш н ег о не остается. И с х о д я из этого о п р е
д ел е н и я , мы м о ж е м п р и д а т ь смысл основным о п е р а ц и я м —
с л о ж е н и ю и у м н о ж ен и ю . Р а с с м о т р и м д в а к л а с с а с ч исл ам и а
к Ь, у кото ры х отсу тствую т об щ и е члены. С у м м а а и Ь — это
число к л а с с а , с о с то я щ е го из всех эл е м е н т о в обоих классов,
взя т ы х вместе. П р о и зв е д е н и е а п Ь р а в н о числу все во зм о ж н ы х
пар эл е м е н т о в, в зя т ы х по од но м у из к а ж д о г о к л а с с а . Мы не
всегда м о ж ем п р и д а т ь см ы сл вы чи тан ию и д ел ен ию , потому
что, н а п р и м е р , мы не м ож ем най ти к л а с с а с числом 2— 3
или Vs- Н о о к а з ы в а е т с я очень уд о б н ы м р а с ш и р и т ь понятие
числа т а к, чтобы оно в к л ю ч а л о о т р и ц а т е л ь н ы е числа, о т н о ш е
ния чисел (н е за в и с и м о от того, п о л о ж и т ел ь н ы е они или о т р и
ц а т е л ь н ы е ) и д а ж е и р р а ц и о н а л ь н ы е числа. П о с т у п а я таки м
о б р а з о м , мы с м о ж е м д а т ь о п р е д е л ен и е всем четы рем основным
а р и ф м е т и ч е с к и м д ей с тв и ям , и р е з у л ь т а т их вы пол нен ия всегда
б у д е т в ы р а ж е н числом. Н а м не нуж но б о льш е беспокоиться
о том, во зм ож но ли некоторое дей стви е внутри частного мно
ж е с т в а чисел; мы з н а е м , что оно с т ан е т в о зм о ж н ы м , к а к только
мы п р и д а д и м д о ст а т о ч н у ю об щ н о сть понятию числа. П о к а мы
имеем д е л о с основн ы м и о п е р а ц и я м и , мы м ож ем п о л ьзо в а т ься
а л г еб р о й , т. е. мы м о ж е м д о к а з ы в а т ь ф о р м у л ы , котор ы е будут
верны при п о д ста н о в к е в них вместо сим вол ов л ю б ы х чисел,
с одним л и ш ь исклю чением , а именно мы не д о л ж н ы д ел и ть
на 0.
К р о м е того, ф о р м у л ы могут о статься верны м и, если з а м е н я т ь
в них б уквы не числ ам и , а ч ем -нибудь д руги м . И м е н н о этому
м а т е м а т и ч е с к а я ф и зи к а о б я з а н а своими в о зм о ж н о с тя м и . П о
этом у п о л езн о зн а т ь , при каких усл овиях м о ж н о перенести
п р а в и л а а л г еб р ы в д ругую о б л а с т ь, где им ею т д ел о не только
с числам и. Н а м при дется тогд а п р и д а т ь новый смысл основным
ог!с,;ациям и зн а к у « = » (или в о с п о л ь зо в а т ь с я тем, что с д е л а н о
д л я нас д р у г и м и ) , но так, чтобы этот новый см ы сл п о зво л я л
по-старо м у о п е р и р о в а т ь с с и м в о л а м и . П о д х о д я щ и й наб ор у с л о
вий т а к о й * ) . Мы говорим, что эл ем ен ты систем ы о б р а з у ю т
поле F, если:
1) а + Ь н аЬ я в л я ю т с я о д н о зн а ч н о о п р е д е л ен н ы м и э л е м е н
та м и из F д л я л ю б ы х а, Ь из п о л я F\
2 ) Ь + ,а = а Л- Ь (ко м м у т а ти в н ы й з а к о н с л о ж е н и я ) ;
3) {а + Ь ) - \ - с = а { Ь + с) (а с с о ц и а т и в н ы й за к о н с л о ж е
н и я);
4) Ьа = аЬ (к о м м у т а ти в н ы й за к о н у м н о ж е н и я ) ;
'
5) а ( Ь с ) = (а Ь )с (а с с о ц и а т и в н ы й за к о н у м н о ж е н и я ) ;
6 ) а{Ь + с) = аЬ + ас (д истр и бутивн ы й з а к о н ) ;
7) имеется д в а эл е м е н т а О и 1 в поле F, т а к и е, что а + 0 = а,
о 1 = а;
8 ) д л я всякого эл е м е н т а а из f с у щ еств ует эл е м е н т х из F,
т а к о й , что а + X = О',
9) д л я к а ж д о г о эл ем ен та а из F, кр ом е О, сущ е с т в у е т э л е
мент у из F, такой, что а у = I.
С л е д у е т о б р а т и т ь в н и м ан и е на то, что пер вы е сем ь п р а ви л
с п р а в е д л и в ы , если F состоит то л ь к о из по л о ж и т ел ьн ы х целы х
чисел и О, а последние д в а п р а в и л а д л я т а к о г о F н е с п р а в е д
ливы , п оск оль ку в этом F нет т а к о г о целого > О, что а + х = 0.
если а = 1, и нет т а ко го целого у, которое д а е т а у = \, если
0 = 2. В осьм ое п р а в и л о в во д ит о т р и ц а т е л ь н ы е числа и, с л е д о
в ател ьн о, вы читание. Д е в я т о е п р а в и л о вводит о б р а т н ы е в е л и
чины и отсю д а д ел е н и е и р а ц и о н а л ь н ы е дроби. Эти п р а в и л а
с п р а в е д л и в ы , если F состоит из всех р а ц и о н а л ь н ы х чисел, п о
л о ж и т е л ь н ы х или о тр и ц ател ьн ы х .
С ф о р м у л и р о в а н н ы е п р а в и л а не у с т а н а в л и в а ю т ка к о го -л и б о
отнош ен ия п о р я д к а , т. е. хотя они п р е д п о л а г а ю т понятие р а в е н
с тва и, с л е д о в а т е л ь н о , н е р а в е н с т в а ( ^ ) , они не в в о д я т понятия
« больш е» или «м еньш е». М ы м огли бы у п о р я д о ч и ть числа л ю
бым способом, со х р а н и в соотнош ен ия м е ж д у ними, согласн о
усл о ви я м 1, 7— 9, и п р а в и л а о с т ал и сь бы п о -п р еж н е м у верны.
В а л г е б р е и чистой геом етрии е щ е м ож н о об ойтись без п о н я
тий «больш е» или «меньш е», но ни в вы сш ей м а те м а т и к е, ни
в ка к ой бы то ни б ы ло о т р а с л и ф изик и это нев озм о ж н о. И з м е
рение не есть ус т ан о вл ен и е точного р а в е н с т в а, а у с тан о вл ен и е
*) Впервые он установлен Д едек ин дом для случая, когда знаки «-1-»
и « X » обладаю т своими обычными арифметическими значениями; в общем
виде эти условия сформулированы X. Вебером.
р а в е н с т в а в п р е д е л а х о п р ед ел ен но й погреш ности. П о это м у
н у ж н ы новы е п р а в и л а , к а с а ю щ и е с я нер а ве н ств , а именно:
10) д л я л ю б ы х а, Ь в поле F с п р а в е д л и в о а > Ь, а = Ь или
Ь > а (за ко н с р а в н и м о с т и );
11) д л я д а н н ы х а, Ь в поле F м о ж е т бы ть с п р а в е д л и в о
т о л ь к о одно: а > Ь , а = Ь, Ь > а (т р и х о т о м и я );
12) если а > Ь , а Ь > с , т о гд а а > с (свойство т р а н з и т и в н о
с т и );
13) если а > Ь, то гд а а + с > Ь + с д л я л ю б ого с ( а д д и т и в
ность у п о р я д о ч е н и я );
14) если а > Ь, с > О, то ас > Ьс (м у л ь т и п л и к а т и в н о с т ь у п о
ряд о ч ен и я ) ;
15) если а > Ь, то Ь < а (о п р е д е ле н и е з н а к а < ) .
И с п о л ь зо в а н и е м а т е м а т и к и в н а у к е — это и с п о л ьзо в ан и е
я з ы к а , при помощ и которого мы м о ж е м у с т а н а в л и в а т ь соотно
ш ения, с л и ш ком с л о ж н ы е , чтобы их м о ж н о б ы ло д о стато чн о
к р а т к о о пи сать о бы чны м я зы ко м . П р а в и л а , кото ры м подчи
няю тся сим волы , — г р а м м а т и к а т а к о г о я з ы к а . В п осл ед ние годы
эта то ч к а зр е н и я п о л у ч и л а с у щ е с т в е н н о е р а зв и т и е, в особенности
в т р у д а х К а р н а п а . Н о д л я того чтобы б ы ть пригодны м , язьп<
д о л ж е н у д о в л е т в о р я т ь д в у м у сл ов и я м . Он д о л ж е н бы ть таким ,
чтобы с его по м ощ ью м о ж н о б ы ло с к а з а т ь то, что нуж но , т. е.
он д о л ж е н о б л а д а т ь д о ста точн ой общ н остью . Он т а к ж е д о л ж е н
б ы ть неп ро ти во реч ивы м , т. е. исходя из с ам и х п р а в и л нел ьзя
вы вести ч то-либо со гл ас н о этим п р а в и л а м я в л я ю щ е е с я л о ж н ы м .
Н а у ч н о е и с п о л ьзо в ан и е м а т е м а т и к и б ы ло бы нев о зм о ж н о , если
бы с ее пом о щ ью м ож н о было, н а п р и м ер , д о к а з а т ь д л я какихто а и 6 , что а о д н ов рем ен н о и б о л ь ш е и м еньш е Ь. В п л о ть до
ко н ц а XIX в. сч и та л о с ь с а м о собой р а з у м е ю щ и м с я , что м а т е м а
т и к а неп роти воречива. Н о з а т е м н е о ж и д а н н о возни к р я д т р у д
ностей, у к а з а в ш и х на нео б х оди м о сть гл у бокого а н а л и з а основ.
В известной книге « P r i n d p i a M a th e m a tic a » У а й тх ед и Р а с с е л
по к а за л и , что м а тем ати ч еск и е у т в е р ж д е н и я о в ещ ественны х чис
л а х (и не только об отн ош ен и я х ц е л ы х чисел, к а к п о л о ж и т е л ь
ных, т а к и о т р и ц а т е л ь н ы х ) м о ж н о с ф о р м у л и р о в а т ь по-иному,
к а к п р ед л о ж е н и я об э л е м е н т а р н о м понятии соответствия к л а с
сов (которое у с т а н а в л и в а е т с я с о п о став лен и ем их эл е м е н т о в ), и
что их м о ж н о вы вести из акси ом та к о г о со п о ст а вл е н и я и аксио.м
чистой логики.
В п осл ед у ю щ их р а б о т а х нек оторы е из логических аксиом
б ы ли м о д и ф и ц и р о в а н ы ; наи лу ч ш и й в ы б о р аксиом все е щ е я в
л я е т с я пред м ето м дискуссии. Е щ е позд нее Г ё д ел ь и К а р н а п по
к а з а л и , что неп роти вореч ивость д ан н о й системы м а те м а т и ч е ск и х
а кси о м не м о ж е т б ы ть д о к а з а н а м ето д ам и , и сп ользу ю щ и м и
то л ь ко п р а в и л а д ан н о й системы. М ы вы н у ж д е н ы в о з в р а щ а т ь с я
2
За к. 231
К чему-то, что в конечном счете подобно об ы чном у я зы ку , когда
мы хотим говорить о м атем ати к е! В этой о б л а с т и , к о то ра я
я в л я е т с я п р ом е ж у то ч н о й м еж д у л огикой и тем, что мы обы чно
н а з ы в а е м эл е м е н т а м и м ате м ат и к и , имеется о б ш и р н а я с о в р е
м ен н ая л и т е р а т у р а , и ф и з и к а м с л е ду ет з н а т ь о ее с у щ е с т в о в а
нии, хотя ее подро бн о е изучение — д ел о с п еци али сто в.
1.02.
Ф изические величины. О б щ н о с т ь требует, чтобы в л ю
бой конкретной о б л а с т и я зы к с о д е р ж а л сим вол ы д л я вещ ей,
о которы х нам при ходи тся говорить, и с и м во л ы д л я процессов,
которы е мы в ы пол няем . П ас т у х о к а з а л с я бы в к р а й н е з а т р у д н и
т ельн ом по л о ж ен ии, если бы ем у п р и ш л о сь о п е р и р о в а т ь я з ы
ком, не с о д е р ж а щ и м слов «овца» и « с т р и ж к а » , по сути д е л а
ему п р и ш л ось бы в ы д у м а т ь эти сл ов а ; именно это мы и д е л а е м
в науке. П о к а я з ы к п р е д с т а в л я е т собой стройную систему, он
н и сколько не с тан ов и тс я х у ж е от того, что в нем есть м н о ж е
ство слов, которы м и мы не п о л ьзуе м с я . Ч и сты й м а те м а т и к ,
с п е ц и а л и зи р у ю щ и й с я в о б л а с т и теории чисел, м о ж е т и с п о л ьзо
в а т ь обы чную а л г еб р у , н е с м о т р я на то, что он, в о зм о ж н о , не
н у ж д а е т с я в и с п о л ьзо в ан и и о т р и ц а т е л ь н ы х чисел и д робей. Д л я
него п р а в и л а 8 и 9 я в л я ю т с я соверш ен но н е о б я з а т е л ь н ы м о б
общ ени ем . В н а с т о я щ е е врем я в ф и зи к е ф у н д а м е н т а л ь н о е по
нятие изм ер ен и я б л и зк о понятию с л о ж е н и я , а б о л ь ш и н с т в а
ф и зич еских з а к о н о в суть у т в е р ж д е н и я о п р оп ор ц и он а льн ос ти ,
что со ответствует п о н ят и я м у м н о ж е н и я и д ел ен и я . В этом, в ко
нечном счете, и п о л ьза м а тем а т и к и . Т ак, н ап р и м ер , если д в а
с т е р ж н я р а с п о л о ж е н ы т а к и м о б р а з о м , что они о б р а з у ю т один
п р ям о й с т ер ж е н ь, то д л и н а с о с та вн о го с т е р ж н я я в л я е т с я с у м
мой д ли н дву х п е р в о н ач а л ь н ы х . Это не т е о р ем а и не эк с п е р и
м е н т а л ьн ы й ф а к т , это оп р ед ел ен и е с л о ж е н и я д л я длин. К р о м е
того, б е з р а з л и ч н о , како й из с т ер ж н е й в зя т первы м , т. е. в ы п о л
няется зак о н ко м м у т ати в н о с т и с л о ж е н и я . Д а л е е , если мы о б ъ
единим три ст е р ж н я , то о б щ а я д л и н а не з а в и с и т от порядка,^
с л е д о в а т е л ь н о , в ы п о л н я е т с я закон ассо ц и ати в н ости с л о ж е н и я .
Это эк с п е р и м е н т а л ь н ы е ф ак т ы , у с т а н а в л и в а е м ы е с р а в н е н и е м
с тер ж ней. Этих п р а в и л достаточно, чтобы о б о сн о в а ть и с п о л ьзо
в а н и е м а с ш т а б о в при изм ерени и дли ны ; при и зм ер ени ях л ю б а я
д л и н а с р а в н и в а е т с я со с т а н д а р т н о й при пом ощ и м а с ш т а б а ,
к а ж д о е делен ие которого с р а в н и в а л о с ь со с т а н д а р т н ы м п р е д
метом во в рем я изго то в л ен и я м а с ш т а б а . Величины, которы е
м о ж н о изм е р и ть посредством ф изич еско го с л о ж ен и я , К эм п бел
н а з в а л о с н о в н ы м и в е л и ч и н а м и * ) . Н а и б о л е е в а ж н ы е из них —
числа ( к л а с с о в ), д л и н а , в рем я и м асса; что ж е к а с а е т с я п р о
*) Лучше было бы назвать их «элементарными».
цессов ф изического с л о ж е н и я , то их м о ж н о т а к ж е ввести д л я
п л о щ а д и и о б ъ е м а , д л я эл ектри ч еско го з а р я д а , п о т е н ц и а л а и
тока, а т а к ж е д л я многих д ру ги х величин.
У т в е р ж д е н и е « р а сс то я н и е р а в н о 3,7 см» с о д е р ж и т число и
ед и н и ц у и зм ерени я. Ч а с т о п о л аг а ю т , что а л г е б р а прим еним а
л и ш ь к ч и с л ам и п оэтом у в м а те м а т и ч е ск о й т р а к т о в к е символ
д л я о б о зн а ч е н и я р а с с т о я н и я относится л и ш ь к 3,7, а не к с а н т и
м е т р а м . Е д ини цы сущ ественны , в противн ом с л у ч а е о к а з а л о с ь
бы , что 10 м м — это не т а к а я ж е д л и н а , к а к 1 сж, а 1 см и
1 м и л я — одно и то же. А это противо реч ит ф изике, т а к к а к
еди н ст ве н н ы м об о сн ов а н и е м и зм е р ен и я я в л я е т с я п р я м о е ф и
зич еское с р а в н е н и е н а л о ж е н и ем . М ы об ойдем эту трудность,
если у сл ов и м ся , что сим вол д л я о б о зн а ч ен и я д ли н ы относится
к сам ой длине, а не просто к числу, в х о д я щ е м у в ее изм ерение.
Н а п р и м е р , «1 д ю й м = 2,54 см» — по л езн ое у т в е р ж д е н и е : к а к
1 дю йм , т а к и 2,54 см — сим волы , о б о з н а ч а ю щ и е одну и ту ж е
длину. П р и ко н кр е т н ы х и зм е р е н и я х мы, естественно, в ы р а ж а е м
ф а к т и ч ес к у ю велич ину сим в о л ов с пом ощ ью и м е н о в а н н ы х ч и
сел, что в к л ю ч а е т у с т ан о в л ен и е еди ниц изм е ре н и я ; о д н а к о
в общ ей теории еди ниц ы и зм е р е н и я б ез р аз л и ч н ы . П р и т ак о м
по д х оде м о ж н о с к а з а т ь , что с и м в о л ы о б о з н а ч а ю т не числа,
а ф изич еские величины.
С д ру гой стороны , м о ж н о считать, что си м во л ы — числа.
Т о гд а м о ж е т во зн и кн у ть и в о зн и к а е т пу т а н и ц а , ко гд а в одной
си стем е п р о и зв о д я т и зм е р ен и я в р а з н ы х единицах, п о-ра зн ом у
в ы р а ж а ю щ и х одно и то ж е, и в р а з н ы х с и ст е м ах — в о д и н а к о
вы х еди ниц ах, в ы р а ж а ю щ и х р а з н ы е вещи. И з м е р я т ь высоту
в я р д а х , д л и н у в ф у т а х и гл у б и н у в м орских с а ж е н я х не
только неп о сл е д о в а те л ьн о , но и нелепо. П р и д о л ж н о м с т ар а н и и
этот способ м о ж н о и с п о л ь з о в ат ь п р а в и л ьн о , но он с т р а д а е т не
ко т о р ы м и н е д о с та т к а м и ; в частности, п р и д а е т с я с л и ш к о м б о л ь
ш ое зна ч е н и е е д и н и ц а м и м а л о е основн ы м ф изич еским с р а в н е
ни ям , без котор ы х эти единицы б ы ли бы бесполезны . Он т а к
ж е н а в о д и т на р я д сравнени й, бессм ы сленны х, к а к мы сейчас
увидим , с точки зр е н и я ф изики.
Е с л и мы и сп о льзуем пон ятие (ф изич еской) в еличины и п р и
м еним ал геб р у , нем е д ле н н о возни кн ет вопрос, что мы п о д р а з у
м е в а е м под а = Ь и а + Ь, если а — д л и н а , а Ь — в р е м я или
м асса. М о ж н о п р и д а т ь знач ение с ум м е а + Ь, хотя оно будет
очень искусственны м , но в ы р а ж е н и ю а = Ь не л ьзя п р и д а т ь ни
ка к о го ф изического с м ы сла. Н а п р о т и в , в ы р а ж е н и е ajb будет
о з н а ч а т ь соответственно скорость или д ли н у на е ди ниц у м ассы .
Группа п р а в и л 10— 14 н у ж д а е т с я поэтому в м о ди ф и кац и и .
П р а в и л а 1— 9 м о ж н о не изм ен ять, хотя они в во д ят много с о в е р
шенно не н у ж н ы х сл о ж е н и й и вы читаний, а т а к ж е , во зм о ж н о ,
ум н о ж ен и й и делений. В д о б а в л е н и е к трем в о зм о ж н о с т я м ,
пр е д у с м о тр е н н ы м п р а в и л о м 10, н у ж н о д о б а в и т ь четвертую :
а W Ь могут б ы ть н е ср а в н и м ы и, с л е д о в ат е л ь н о , п р и н а д л е ж а т ь
р а з н ы м полям , а их про и зведени е и отнош ение в свою очеред ь
п р и н а д л е ж а т ь д р уги м полям . Это ещ е один н е д о с та т о к и с п оль
зо в а н и я сим волов, о б о зн а ч а ю щ и х то л ь к о числа, в х о д я щ и е в и з
мерение. П о с к о л ь к у все числа ср ав н и м ы , этот я з ы к не о т р а ж а л
бы того ф а к т а , что б ессм ы сл енно говорить, б у дто в р е м я б о л ь ш е
плотности. Т е п е р ь мы м о ж е м т а к ж е с к а з а т ь , что если а и 6 н е
ср а в н и м ы , 1 0 а + Ь не я в л я е т с я ф изической величиной, и с к л а
д ы в а т ь их не надо.
Т а к и м о б р а з о м , поле всех ф и зи ч ески х величин р а з б и в а е т с я
на к л а с с ы ( д е л я н к и ). Величины , п р и н а д л е ж а щ и е о д ном у классу,
с р а в н и м ы м е ж д у собой, но их про и зве д е н и е п р и н а д л е ж и т д р у
гому к л ассу , если т о л ь к о один из с о м н о ж и те л е й не я в л я е т с я
числом.
В этом я зы к , необ ходи м ы й д л я ф изики, не вполне с о в п а д а е т
с о бы чной а л геб рой . Н о т а к к а к а л г е б р а я в л я е т с я н е п р о ти в о р е
чивой системой, а у т в е р ж д е н и е неср а вн и м о ст и н екоторы х в е л и
чин л и ш ь и с к л ю ч а е т из нее н ек о то ры е п р е д л о ж е н и я , не д о б а в
л я я новых, то этот я з ы к т о ж е непротиворечив. М ы увид им , что
м о д и ф и к а ц и я соответствует пон ятию р а зм е р н о с т е й . Величины
р а з л и ч н ы х р а з м е р н о с т е й не с р ав н и м ы ; т а к ж е н есрав н и м ы н е к о
тор ы е величины о д и н а к о в о й р азм е р н о с т и . Н а п р и м е р , при ис
по л ьзо ва н и и нек ото ры х опред ел ен ий эл е кт р и ч е с ки й з а р я д и
«м агнитны й з а р я д » им ею т о д и н а к о в у ю р а зм е р н о с т ь , и хотя они
я в л я ю т с я основн ым и вел ич инам и, с к л а д ы в а т ь их бессмысленно.
М о ж н о считать, что поле ф и зи ч ески х величин у д о в л е т в о р я е т
з а к о н а м ал геб р ы , но со с л еду ю щ е й оговоркой. С р а в н и м ы е в е
личины у д о в л е т в о р я ю т усл о вию 10, и их м о ж н о с к л а д ы в а т ь (по
к р а й н е й м ере при в ы ч и с л е н и я х ), а н е с р а в н и м ы е н ел ьзя . С л е
дует, од н а ко , отм етить, что н е в о зм о ж н о сть с л о ж е н и я с по
м ощ ью ф изического п р оц есса не св оди тся к не с р а вн и м ы м в е л и
чинам . Н а п р и м е р , нет процесса, п о зв о л я ю щ е г о из дву х вещ еств
с пл отностью 1 ejcM^ получить в е щ е с тво с п лотностью 2 г!см^.
П л о тн о с ть и зм е р я е т с я не непосредственно, а вы чи с л яе тс я ч ерез
основны е величины м ассы и дли ны . О н а н а з ы в а е т с я п р о и з в о д
н о й в е л и ч и н о й . Н е к о т о р ы е величины м огут бы ть к а к о сновным и,
т а к и п рои зводн ы м и. Н а п р и м е р , эл ектр и ч ески й ток, и зм е р я е м ы й
по его м агн и тн ом у действию , я в л я е т с я основной величиной,
а р а с с м а т р и в а е м ы й к а к з а р я д , п р о х о д я щ и й ч ерез сечение п р о
в о д н и к а за еди ниц у времени, — производной. М ногие п р о и зв о д
ные величины я в л я ю т с я о тнош ен иям и дву х величин о д и н а к о
вой р азм ерн ости . Н а п р и м е р , ф о р м у т р е у го л ь н и к а м о ж н о з а д а
вать д в у м я отн ош ен и ям и — к а ж д о й из д в у х сторон к третьей.
Эти отнош ен ия — просто числа, и п р а в и л а а л г е б р ы п р и м ен и м ы
к ним без изм енений *).
1.03.
Д е й с т в и т е л ь н ы е числа. Б о л ь ш а я ч асть этой г л а в ы б у
д ет и звестна тем, кто и зучил к а к у ю -н и б у д ь со врем енну ю к н и гу
по а н а л и зу ; эта г л а в а и не претендует на соперничество с о б ы ч
ными р а б о т а м и по чистой м а те м а т и к е. О д н а к о мы п о л а г ае м ,
что нек ото ры е о б с у ж д е н и я б удут зд есь ум естн ы по неск ольк им
причинам . В о-первы х, чисто м а те м а т и ч е с к и е р а б о т ы не у д е л я ю т
достато чн о го вн и м ан и я вопросу, почему в ы б р ан н ы е ар гум ен ты
с в я з а н ы с ф изикой, а п оэтом у ф и зи к и пр е д п о ч и т аю т п о л а г а ть ,
что эти ар гу м е н т ы не с в я з а н ы с ф изикой. В о-вторы х, эти книги
неред ко б ы в аю т т а к и е толсты е, что тру д н о винить ф и зи к а , к о
торы й р еш а е т , что у него нет врем ени, чтобы п р о р а б о т а т ь их.
В-третьих, вни м ан ие, которое у д е л я е т с я очень с т р ан н ы м ф у н к
циям , ведет к тому, что р а с с м а т р и в а е т с я к а к бы п а т о л о г и я
ф ункций. Д е л о в том, что в с я к а я ф у н кц и я , кр ом е к он стан ты ,
им еет особенности, и изучение этих особенностей м о ж е т д а т ь
н ам в а ж н ы е к он стру к ти в н ы е р е зу л ь т а т ы , котор ы е очень труднопол уч ить к а к -л и б о по-другом у. О д н а к о м о ж н о считать, что мы —
п р а к ти ки , и огр а н и ч и т ьс я р а с с м о тр е н и е м особенностей, вс т р е
ч аю щ и х с я в ф изике, а р е д к и е исклю чен ия п р е д о с та в и м и с с л е
д о в а т ь с п е ц и а л и с та м , в этом сл у ч а е м а те м а т и к ам -п р о ф е с с и о на л а м .
С у щ е ст во п р о б л е м ы п р о я в и л о с ь в т е о р ем е Е в к л и д а о том,
что отнош ен ие гипотенузы к ка т е т у в р а в н о б е д р е н н о м п р я м о
у г ол ьн ом т р еу го л ьн и к е не ра в н о ни какой р а ц и о н а л ь н о й дроби.
Е в к л и д , об этом с л е ду е т помнить, не и с п о л ь з о в ал того, что мы
те п е р ь н а з ы в а е м числен ны м и зм е ре н и е м ф и зи ч е с ки х величин.
К о г д а он говорил, что д в а о т р е з к а р а в н ы , он п о д р а з у м е в а л ,
что при н а л о ж е н и и они совпад ут; это п р я м о е ф изич еско е с р а в
нение, не ис п ользую щ е е числового о п и сан и я дли ны . К о г д а он
говорил, что к в а д р а т гипотенузы р а в е н у д в оен н о м у к в а д р а т у
к а т е т а , то п о д р а з у м е в а л , что к в а д р а т со стороной, ра в н о й гипо
тенузе, м о ж н о р а з р е з а т ь на части так, чтобы из них получилось
д в а к в а д р а т а со стороной, р а вн о й катету. Он повсю ду р а б о т а л
с са м и м и к ол и честв ам и , а не с ч и сл ам и , с о о тв етству ю щ и м и им
при изм ер ени и в к а к и х -л и б о с п е ц и а л ь н ы х единицах. Т е ор ем а
Е в к л и д а п о к а зы в а е т , что я з ы к р а ц и о н а л ь н ы х чисел непригоден
д л я о д новрем енного о пи сан ия д ли н к а т е т а и гипотенузы т р е
у г о л ьн и к а , что л егко м о ж н о вывести из п р а в и л его геометрии.
И з м е р е н и е с пом о щ ью еди ниц — сл и ш ко м по лезны й спо
соб, чтобы л егко от него о т к а з ы в а т ь с я . Е го м о ж н о со х р а н и т ь
*) П одобная трактовка принадлежит С троуду. Дальнейш ее обсуж д ен и е
и вопросы преподавания см. в [I].
с о г л ас о в а н н о с теорем ой Е в к л и д а одним из с л е д у ю щ и х спо
собов:
1) П о с к о л ь к у м о ж н о най ти бесконечное число пар целы х
чисел X, у , у д о в л е т в о р я ю щ и х у р а в н ен и ю х - + у'^ = z^, где z —
целое число, причем так, чтобы x j y бы ло сколь угодно б л и зк о
к единице, то мы м о ж е м п р е д п о л о ж и ть, ч т о стороны п р я м о
угол ьного т р е у го л ь н и к а в точности у д о в л е т в о р я ю т соотнош ению
+ ^2 = 22 Н о р а в е н с т в о х = у в ы п о л н я е т с я л и ш ь п р и б л и
ж ен н о с точностью до ош иб ки и зм ерени я, а стороны всегда
с о и зм е р и м ы (я в л я ю т с я точным и к р а т н ы м и некоторой о п р е д е
ленной д л и н ы ) .
2) М ы могли бы с к а з а т ь , что x j y точно р а в н о единице, а
у р а в н е н и е х'^ + у"^ =
в ы п о л н я ет с я п р и бл и ж ен н о .
3) М о ж н о с к а за т ь , что я з ы к р а ц и о н а л ь н ы х чисел н е д о с т а
точно полон и н уж ен более полный язы к, в котором р а в е н с т в а
X = у , х^ + у^ = z^ в ы п о л н я ю тс я о д н ов рем ен н о и н е п р о ти в о р е
чивы. П о с л е д н я я а л ь т е р н а т и в а и б ы л а п р и н я та п овсем естн о в
р е з у л ь т а т е в в е д е н и я в а р и ф м е т и к у и р р а ц и о н а л ь н ы х чисел. О на
не про тиво реч ит а к с и о м а м Е в к л и д а ; п е р в а я а л ь т е р н а т и в а п р о
т иво речи т им, т а к к а к Е в к л и д п р е д п о л а г а е т , что о тр е зо к прямой
м о ж е т иметь л ю б у ю д лину; в т о р а я ж е а л ь т е р н а т и в а п р о т и в о
речит од ном у из н а и б о л е е известны х следствий этих аксиом.
Э к с п ер и м е н т а л ь н о д о к а з а т ь с п р а в е д л и в о с т ь вы б р ан н о й а л ь
т е р н а ти вы н ел ьзя , потому что п р а в и л а 1 и 2 могли бы бы ть
с п р а в е д л и в ы в п р е д е л а х о ш и б о к изм ер е н и я , д а ж е если бы мы
п ри няли, что X, у , Z — то л ь к о цел ы е числа. Н о все н ем ы слим о
у с л о ж н и л о сь бы, и д л я того чтобы п р и н я ть одну из перв ы х 'а л ь
т ер н ати в , п о т р е б о в а л о с ь бы не т о л ь к о п р и н я ть некий н е и зв е ст
ный и н е о п р ед е л я ем ы й эт а л о н (такой, что в с я к а я истин ная
д л и н а п р е д с т а в л я е т точное к р а т н о е этого э т а л о н а ) , но и о т к а
з а т ь с я от простоты п р ав и л Е в к л и д а без эк с п е р и м е н т а л ь н о о б о
с н о в а н н ы х причин. В ф и зи к е обычно пр и н и м аю т а л ь т е р н а т и в у
3 и с о зд аю т д о ст а т о ч н о общ ий язы к. М ы ввод им действитель
н ы е ч и с л а и п р е д п о л а г а е м , что к ним м о ж н о п р и м е н я ть с л о ж е
ние, вы чи тан ие, у м н о ж ен и е и д елен ие, причем в ы п о л н я ю тс я те
ж е основные п р а в и л а , что и д л я р а ц и о н а л ь н ы х чисел, и м о ж н о
ввести отнош ение п о р я д к а , у д о в л е т в о р я ю щ е е п р а в и л а м 10— 15.
Д е й с т в и т е л ь н ы е ч и с л а от л и ч аю тс я от р а ц и о н а л ь н ы х чисел тем,
что о б л а д а ю т неким свойством полноты, которое о б ^ п е ч и в а е т ,
н а п р и м е р , су щ е с т в о в а н и е д ей с тв и те л ьн ого ч и с л а | ^ 2 , к в а д р а т
которого р а в е н 2. О т н ю д ь не очевидно, что это м о ж н о с д е л а т ь
б ез противоречий (и в течение 2000 л ет п о л а г а л и , что д е й с т в и
те л ьн ы е числа б е с с м ы с л е н н ы * ) ) , но в XIX в. и с с л е д о ва н и я Д а *) Отсю да и название «иррациональные числа».
д е к и н д а , К а н т о р а и других у стан о вил и при м ен им ость и в о з
м о ж н о ст ь п р ак ти ческого и с п о л ьзо в ан и я д ей с тв и те л ьн ы х чисел.
Д л я наш их целей вполне д о стато чн о этого о б о сн о в ан и я . О д н а к о
логическое о б осн ов а н и е вкл ю ча ет р а сс м о тр ен и е бесконечных
совокупностей. В д ей ств и тел ьно сти очевидно, что оцен ка
с пом о щ ью извл еч ения корня или методом п о сл ед о в ател ьн ы х
п р и б л и ж е н и й к непреры вной д роби, если п ро и зв едено конечное
число ш аго в, м о ж ет д а т ь то л ь к о р а ц и о н а л ь н о е число. Д л я того
чтобы п р и д а т ь 1 /2 точное числовое значение, необ хо ди м о б ес
конечное число ш агов. З а конечное число ш агов построение
Е в к л и д а д а е т р а ц и о н а л ь н у ю д р обь, к о т ор ую м ож н о и д е н т и ф и
ц и р о в а т ь с Y 2 , но к о то ра я не я в л я е т с я его опи сан ием в чис
ловой системе, и д о к а з а т е л ь с т в о неп роти воречивости сам их
акси ом Е в к л и д а б ы ло получено пока то л ь к о на пути численного
п р и б л и ж е н и я . В ш к о л а х понятие \/~2 вводится в основном по
тому, что мы верим в в о зм о ж н о с ть неп ро ти во реч ивого и з м е р е
ния ф изич еских о б ъ е кт о в , а акси ом ы Е в к л и д а в ы г л я д я т п р а в
д оподобно; о д н а к о мы з а б ы в а е м , что ев к л и д о в ы треу го л ьн ики
не я в л я ю т ся д ей с тв и те л ьн ы м и т р е у го л ь н и к ам и , или если мы пом
ним об этом, то п о л аг а е м , что д ей с тви те л ьн ы е т р е у го л ьн и ки —
это л и ш ь не с ов е рш ен н ы е подобия ев кл ид о вы х . С ф изической
точки зр е н и я т р е у го л ьн и к Е в к л и д а я в л я е т с я и д е а л и зи р о в а н н ы м
п р и б л и ж е н и е м истинного, и нел ьзя счи тать с ам о собой р а з у м е ю
щ и м ся , что и д е а л и з а ц и я не вносит новых трудн остей в н у т р ен
него х а р а к т е р а .
1.031 П о с л е д о в а т е л ь н о с ти в л о ж е н н ы х и н те р в а л о в . Д е д е к и н довы сечения. О сно вн ы м свойством д ей с тви тел ьн ы х чисел я в
л я е т с я то, что они могут б ы ть сколь угодно точно п р и б л и ж е н ы
р а ц и о н а л ь н ы м и числам и.
К о г д а мы говорим , что
1,414
,
мы в ы с к а зы в а е м с л е д у ю щ е е м но ж ес т во п р е д л о ж е н и й : 1) 2 з а
клю чено м е ж д у Р и 22; 2) 2 з а к л ю ч е н о м е ж д у 1,4^ и 1,5^;
3) 2 за к л ю ч е н о м е ж д у 1,4 F и 1,42^; 4) 2 за к л ю ч е н о между^
1,414^ и 1,415^ и т. д. до лю бой требу ем ой точности. Н а к а ж д о м
эт а п е этот процесс м ож н о р а с с м а т р и в а т ь к а к р а з д е л е н и е д е
сяти чн ы х д робей с за д а н н ы м числом з н а к о в после за п я т о й на
д в а к л ас с а : на д роби, к в а д р а т ы которы х со ответственно больш е
или м еньш е 2. Н а 3-м ш аге, н ап ри м ер, к в а д р а т ы 1,414; 1,413;
1,412 м еньш е 2, а к в а д р а т ы 1,415; 1,416; 1,417 б о льш е 2. Н а
этом ш аге мы ничего не говором о д р о б я х 1,4141; 1,4142; . . . ;
1,4149; но на с л е д у ю щ е м ш аге мы с к а ж е м , что 2 л е ж и т м е ж д у
к в а д р а т а м и чисел 1,4142 и 1,4143. В з я в д о ст а т о ч н о е число д е
сяти чн ы х зн а к о в , мы м о ж е м с д е л а т ь н е р а с с м а т р и в а е м ы й ин
т е р в а л ско л ь угодн о м а л ы м , т а к к а к на к а ж д о м ш а г е он у м е н ь
ш ае т с я в д е с я т ь р аз. Т а ки м о б р а з о м , в с я к а я д е с я т и ч н а я д р о б ь
конечной д л и н ы будет отнесена к одном у из двух к л а с с о в в с о
ответствии с тем, б о л ь ш е или м еньш е 2 ее к в а д р а т . Э тот процесс
о п р е д е л я е т еди нственную д еся ти ч н ую бесконечную д робь, к о
т о ру ю мы м о ж е м п р и н я ть за ] / 2 , и У 2 м о ж ет р а с с м а т р и в а т ь с я
к а к пред ел, д о ст и г а е м ы й п о с л е д о в ат е л ь н ы м и п р и б л и ж е н и я м и
с обеих сторон.
Э тот процесс, которы й м о ж н о сильно о б общ ить, я в л я е т с я
п р и м еро м о п р е д е л ен и я д ей с тв и те л ьн ого числа с пом ощ ью в л о
ж енной последовательности п а р р а ц и о н а л ь н ы х чисел. Мы берем
д в е п о с л е д о в ат е л ьн о с т и р а ц и о н а л ь н ы х чисел {а„} и {Ь„}, у д о в
л е т в о р я ю щ и е с л е д у ю щ и м у с л о ви я м :
а) а„+1 ^ а, 1 ,
б)
в)
д л я всех п,
г) д л я л ю бого п о л о ж и т ел ьн о го р а ц и о н а л ь н о г о числа е н а й
д ется т а к о е число М, что
Ьп — ап < е д л я всех
п > N.
Т а к а я в л о ж е н н а я п о с л е д о в ат е л ь н о с т ь
м о ж е т и сп оль
з о в а т ь с я к а к о п р ед ел ен и е д ей с тв и те л ьн о го числа. Э лемент а„,
в л о ж е н н о й по с л е д о в ат ел ьн о с т и состоит из всех р а ц и о н а л ь н ы х
чисел, б о льш и х или р а в н ы х а „ и м еньш их или р а в н ы х
Дей
с тв и тел ьн о е число, о п р е д е л я е м о е в л о ж е н н ой п о с л е д о в а т е л ь
ностью , л е ж и т м е ж д у кон ц е вы м и то ч к а м и всех ее элементов.
В л о ж е н н а я п о с л е д о в ат е л ь н о с т ь м о ж е т о п р е д е л я т ь р а ц и о н а л ь н о е
■число. Н а п р и м е р , если мы р а с с м о тр и м д еся ти ч н ы е дроби, к в а д
р а т ы ко тор ы х соответственно строго б о л ьш е или строго меньш е
чем 2,25, мы получим в л о ж е н н у ю п о с л е д о в ат е л ьн о с т ь ( 1 ; 2 ) ;
(1,4; 1,6); (1,49; 1,51); (1,499; 1,501) . . . . Е д инственной д е с я
тичной д робью , л е ж а щ е й м е ж д у кон цевы м и то ч к а м и всех ее
эл ем енто в, я в л я е т с я д р о б ь 1,5. Е е к в а д р а т в точности р а ве н
2,25. Д л я в ся ко й р а ц и о н а л ь н о й д р об и мы м о ж ем построить по
д о б н у ю в л о ж е н н у ю пос л е д ов ат ел ьн о с т ь. Т а к и м о б р а з о м , р а ц и о
н а л ь н ы е числ а сам и я в л я ю т с я д ей с тв и те л ьн ы м и числам и.
О т д е л ьн о е д ей с тв и те л ьн о е число м о ж е т б ы ть определен о
м н о ги м и р а зл и ч н ы м и в л о ж е н н ы м и посл е д о в ат е л ьн о ст я м и . Н а
при м ер, вместо д ел е н и я и н т е р в а л а на д е с я т ь частей на к а ж д о м
ш а г е мы могли бы д ел и ть его п о п олам . Т а к мы получили бы
д воичн ую д робь. Н у ж н о б ы ло бы с д е л а т ь п р и б л и зи те л ьн о втрое
б о л ь ш е ш аг о в д л я д о ст и ж е н и я той ж е точности, о д н а к о б ы ло
бы о пр ед ел ен о то ж е са м о е д ей с тв и те л ьн о е число, что и р аньш е.
Д в е в л о ж е н н ы е по с л е д о ват е л ьн ос т и
и {а„1Р„} о п р е д е
л я ю т одно и то ж е д ей ств и тел ьн о е число тогд а и т о л ь к о т о гд а ,
когда а „, Ь„ с о д е р ж и т am. Pm при д о ста то чн о б о л ьш и х т , и
а н а л о г и ч н о а „ , Рп с о д е р ж и т а ^ ,
при д о ста точн о б о л ьш и х т.
В прочем, д о стато чн о вы полнен ия то л ь к о одного из этих у с л о
вий — второе бу дет из него с л едо вать.
Т е п е р ь мы подходим к н а и б о л е е в а ж н о м у свойству систем ы
д ей с тв и те л ьн ы х чисел. О тбр осим т р е б о в а н и е р а ц и о н а л ь н о с т и
а„, Ьп и р а с с м о тр и м в л о ж ен н у ю п о с л е д о в ат е л ь н о с т ь {а„16„}, .
где теперь а „ и Ьп — д ей с тв и те л ьн ы е числа. И н т е р в а л , я в л я ю
щ ийся эл е м ен т о м та ко й в л о ж е н н о й посл е д о ват е л ьн о с т и , состои т
из всех д ей ств и тел ьн ы х чисел, б о льш и х или р а в н ы х а „ и м ен ь
ш их или р а в н ы х Ьп- В условии «г» е те п е р ь — п р о и зв ол ьн ое д е й
ствительн ое п о л о ж и т е л ь н о е число. М о ж н о д о к а з а т ь , что с у щ е
с твует одно и то л ь к о одно д ей ств и тел ьн о е число, л е ж а щ е е в
к а ж д о м и н те р в а л е т а к о й в л о ж ен н о й п ос л е д о в ате л ьн ос ти . Д р у
гими с л о в а м и , п р и м ен я я к д ей ств и тел ьн ы м ч и с л ам процесс, к о
тор ы й мы при м ен ил и к р а ц и о н а л ь н ы м числ ам , мы не получим
ничего нового и не вы йд ем из у ж е о п ред ел ен ной системы. Э то
и есть свойство полноты , у п о м я н у т о е в 1.03.
Д р у г и м в а ж н ы м способом о п р е д е л ен и я д ей с тви тел ьн ы х ч и
сел я в л я ю т с я д е д е к и н д о в ы сечения. Е сли р а ц и о н а л ь н ы е числ а
р а з д е л е н ы на д в а к л а с с а L н R т а к, что к а ж д ы й эл е м е н т из L
меньш е к а ж д о г о э л е м е н т а из R , то с у щ еству ет е ди нств енное
д ей с тв и те л ьн о е число, б о л ьш е е или р а в н о е к а ж д о м у э л е м е н т у
из L и м еньш ее или р а в н о е к а ж д о м у э л е м е н т у из R. Е сли это
д ей ств и тел ьн ое число р а ц и о н а л ь н о , то оно я в л я е т с я или н а и
б о л ьш и м эл ем е н т о м из L, или н а и м е н ьш и м эл е м е н т о м из R.
Н а п р и м е р , L м о ж е т состоять из всех о т р и ц а т е л ь н ы х р а ц и о н а л ь
ных чисел, нуля и п о л о ж и т ел ьн ы х р а ц и о н а л ь н ы х чисел, к в а д
р а т ы ко то ры х м еньш е 2, а R — из п о л о ж и т е л ь н ы х р а ц и о н а л ь н ы х
чисел, к в а д р а т ы которы х б о л ьш е 2. Это сечение о п р е д е л я е т д е й
ствител ьн ое число V^2 .
Д е д е к и н д о в ы сечения н а и б о л е е естественно в о зн и к а ю т при
к л а с с и ф и к а ц и и чисел в соответствии с тем, о б л а д а ю т они н е к о
тор ы м свойством или нет. Н а п р и м е р , свойство « к в а д р а т х не
б о л ь ш е 2,25» о п р е д е л я е т к л а с с L, н а и б о л ь ш и й эл е м е н т которого
ра в е н 1,5; « к в а д р а т х м еньш е 2,25» о п р е д е л я е т к л а с с L без
н а и б о л ь ш е го эл е м е н т а и 1,5 — наи м е н ьш и й э л ем е н т из к л а с
са R. С войство «X р а ц и о н а л ь н о и его к в а д р а т м еньш е 2» о п р е
деляет классы L и
р а ц и о н а л ь н ы х чисел без н а и б о л ь ш е го и
н а и м е н ьш е го эл ем ентов соответственно; «х д ей с тви те л ьн о и его
к в а д р а т м еньш е 2» о п р е д е л я е т к л а с с L без н а и б о л ь ш е го э л е
м ента и кл асс R с н аи м ен ьш и м эл ем ентом ] / 2 .
Н а я зы к е д ед еки н д о в ы х сечений свойство полноты системы
д ей с тв и те л ьн ы х чисел э к в и в а л е н т н о тому, что л ю б о е сечение
в д ей с тв и те л ьн ы х ч и сл ах о п р е д е л я е т д ей ств и тел ьн ое число. Т а
ким о б р аз о м , многие п р об л ем ы , которы е нел ьзя реш и ть в си
стем е р а ц и о н а л ь н ы х чисел, м о ж н о р еш и ть в систем е д ей с т в и
т е льн ы х чисел. П о к а мы р а с с м о тр е л и только ] / 2 , но мы у ж е
готовы к п о явл ению я и е, и нам не ну ж н о будет к а ж д ы й р а з
о т ы с к и в а т ь та к у ю ф о р м у л и р о в к у п р об л ем ы , чтобы м о ж н о бы ло
р еш и ть ее в р а ц и о н а л ь н ы х числах. И с п о л ь зо в а н и е систем ы д е й
ств и тел ьн ы х чисел п о зв о л я е т и з б е ж а т ь многих о слож нен ий, не
п р и б е г а я к ф изике.
М етоды в л о ж е н н ы х и н т е р в а л о в и д ед е к и н д о в ы х сечений
эк в и в а л е н т н ы . Е сли к л а с с ы L и R сущ ествую т, то мы м ож ем
построить в л о ж е н н у ю п о с л е д о в ат е л ь н о ст ь и н те р в а л о в , в зя в
Оь й 2 . . . из L и 6 ь &2 из R т а к и м о б р а з о м , чтобы все условия,
н а л о ж е н н ы е на р а с с м а т р и в а е м ы е по сл ед о ват е л ьн о с т и и н т е р в а
лов, в ы п ол нял ись. О б р ат н о , если с ущ еств ует в л о ж е н н а я по сл е
дов ат е л ьн о с т ь, то им ею тся и т а к и е р а ц и о н а л ь н ы е числа г, д ля
к о то ры х су щ е с т в у ю т От. п р е в о с х о д я щ и е их, и т а к и е р а ц и о н а л ь
ные числа, ко то ры е б о льш е всех От- С о о т в етс т в у ю щ и е н е р а в е н
ства о п р е д е л я ю т к л а с с ы L и R, п все усл о ви я д л я сечений будут
выполнены .
Е сли в л о ж е н н а я п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь (йт, Ьт) о п р е д е л яе т
п о л о ж и т е л ь н о е д ей с тви те л ьн о е число х, то ( 1/&т, 1/ \ х : + у \ , \х — у \ > \ х \ — \ у\ .
В пр овед енном р а с с у ж д е н и и н еобходи м сим вол д л я м ал ой
величины. Е сли мы с к а ж е м , что е = 0,001, и д о к а ж е м в ы чи сл е
ниями, что 1 х 1 < 0,001, то м ож н о в о зр а зи т ь: «Вы не д о к а з а л и .
ЧТО X = 0; м ож ет быть, х = 0,0001». С им вол е, о б о зн а ч а ю щ и й
п р о и з в о л ь н о м а л у ю величину, д а е т нам во зм о ж н о с т ь о тветить
н а т а к о е в о зр а ж е н и е . К о л ь с коро мы д о к а ж е м , что 1д;1 меньш е
л ю б о г о 8, то сум еем отвер гн у ть л ю б о е отличное от нуля з н а
чение X, ко то ро е в о з р а ж а ю щ и й м о ж е т п р ед л о ж и ть.
Су щ ественн о , что в о б щ е м с л у ч а е мы имеем д е л о с про ц ес
с а м и , которы е м ож н о з а в е р ш и т ь только за бесконечное число
ш аго в. П р и м е р о м с л у ж и т д о к а з а т е л ь с т в о того, что две в л о ж е н
ны е п о с л е д о в ат е л ьн о с т и и н т е р в а л о в о п р е д е л я ю т одно и то ж е
число. М ы об хо ди м эту тр уд н о ст ь и пол у ч а ем конечное д о к а з а
тельство: пусть а ф Ь , % г д а \ а — Ь\ имеет о п ред ел ен н ое з н а ч е
ние М, отличное от нуля. Е сли з а т е м мы сум еем п о к а за т ь , что
М < е д л я л ю б ого п о л о ж и т ел ьн о го е, то из этого б уд е т с л е д о
вать, что М = О и, с л е д о в а т е л ь н о , в опреки п ред пол ож ен ию ,
а и Ь д о л ж н ы б ы ть р а в н ы м е ж д у собой.
1.033.
М н о ж е с т в а . П р е д е л ь н о й точкой м н о ж ес т в а чисел н а
з ы в а е т с я число X, такое, что д л я л ю б о го е > О най де тс я п р и н а д
л е ж а щ е е м н о ж ес т в у число у, отличное от х, и \у — д г | < е . О т
сю да следует, что сущ е с т в у е т бесконечно много знач ений у, у д о
в л е т в о р я ю щ и х эт о м у условию . Д е й с т в и т ел ьн о , по опред елен ию
одно знач ение н ай дется, н а зо в е м его у\. В о зьм е м новое е, с к а
ж е м El, меньш ее, чем \у\ — х \ . Т о гд а д о л ж н о суп1е с тво в а т ь д р у
гое у из м н о ж ес т в а , с к а ж е м у^, такое, что 0 < | г /2 — x \ < z \ .
О чевидно, этот процесс м о ж н о п р о д о л ж а т ь н е о г р а н и ч е н н о * ).
О чевидно, что конечное м но ж ес т в о не им еет пред ел ьны х
точек. О д н а к о бесконечное м но ж ес т во т о ж е м о ж е т не им еть
п о ед ел ьн ы х точек. Р а с с м о т р и м м но ж ес т в о всех целых чисел.
Д л я л ю б о го его эл ем ен та нет д ру ги х эл е м е н тов на рассто яни и,
м еньш ем 1, а л ю б о е не целое число не м ож ет им еть более о д
ного целого на р ассто яни и, не п р е в ы ш а ю щ е м '/г- В м нож естве
р а ц и о н а л ь н ы х чисел все точки пред ел ьны е, т а к к а к л ю б ое р а
ц и о н ал ьн о е число м о ж н о к а к угодно п р и б л и зи ть д руги м р а ц и о
н а л ь н ы м числом. А нал о гич но е у т в е р ж д е н и е имеет место д ля
д ей с тв и те л ьн ы х чисел. М н о ж е с тв о м ож ет им еть то л ь к о одну
пр е д е л ьн у ю точку. Р а с с м о т р и м , н ап ри м ер, числ а
где п —
целые. В л ю б ой конечной окрестности О с о д е р ж и т с я бесконечно
много эл ем ентов этого м н о ж ес т ва и, с л е д о в а т е л ь н о , О — п р е
д е л ь н а я точка этого м н о ж ест в а . О д н а к о д л я л ю б ого другого
числа, р а ц и о н а л ь н о г о или нет, м о ж н о у к а з а т ь та к у ю о к р е с т
*) Отметим, что выражения «процесс м ож но неограниченно продолж ать»
и «и так далее» подразум еваю т применение математической индукции. П о
добны е рассуж дения и з-за недостатка места мы будем редко приводить пол
ностью. Однако читатель мож ет самостоятельно провести их в некоторых
случаях для практики.
ность, ко т о р а я не с о д е р ж и т эл е м е н тов м н о ж ес т в а , отли чн ы х от
с а м о г о числа (если п оследнее я в л я е т с я эл ем ен то м м н о ж е с т в а ) .
П р е д е л ь н а я точка м н о ж ес т в а не о б я з а н а с а м а б ы ть э л е м е н
том м нож ес т в а. М ы м о ж е л ^ н ап ри м ер, р а с с м а т р и в а я п о с л е д о
в а т ел ь н ы е п р и б л и ж е н и я У 2 д ес я т и ч н ы м и дробям^!, построить
м н о ж ес т в о р а ц и о н а л ь н ы ^ чисел, д л я которого | / 2 будет п р е
д ел ьн о й точкой, а с а м
— не р а ц и о н а л ь н о е число.
Е сли все п р ед ел ьн ы е точки м н о ж ес т в а п р и н а д л е ж а т ему, то
оно н а зы в а е т с я замкнутым. И н т е р в а л а - ^ х ^ Ь , о пределенны й
в 1.031, я в л я е т с я за м к н у ты м м н о ж еств ом и н а зы в а е т с я з а м к н у
тым ин тер в а л о м , или отрезком. С оо т в етс т в ую щ и м откр ы ты м
ин тер вал о м я в л я е т с я а < х < Ь . М ы в ер нем ся к этом у в 1.061.
1.034. Е с л и множество содержит б ес к о н е ч н о м н о го э л е
ментов внутри к о н е ч н о го отрезка а ^ х ^ Ь , то о но имеет по
м е н ь ш е й м ере о д н у п р е д е л ь н у ю точку х, такую, что а ^ х ^ Ь .
Д е й с т в и т ел ь н о , если мы п о д е л и м о т р е зо к п о п о л а м , то по.
к р а й н е й м ер е в од ной из по л овин б у д е т б еск о неч ное число
т о ч е к м н о ж е с т в а . Р а з д е л и м эт у п о л о в и н у п о п о л а м . В н о вь о д н а
из п о л о в и н с о д е р ж и т б еск о неч ное число э л е м е н т о в , и мы ви
дном, что, п р о д о л ж а я этот процесс, м о ж е м о т ы с к а т ь с к о л ь
уго дн о коро тк ий и н т е р в а л , с о д е р ж а щ и й бесконечно много т о
чек м н о ж е с т в а . Н о это т пр оц есс с о о т в ет с т в у е т з а д а н и ю д е й
с т в и т е л ь н о го ч и с л а с п о м о щ ью в л о ж е н н о й п о с л е д о в а т е л ь н о с т и
и н т е р в а л о в и, з н а ч и т , о п р е д е л я е т д е й с т в и т е л ь н о е число, в л ю
б о й о кре с т н о с т и к о т о ро го с о д е р ж и т с я б есконечно м ного точек
м н о ж е с т в а . С л е д о в а т е л ь н о , это д е й с т в и т е л ь н о е число я в л я е т с я
ис к о м о й п р е д е л ь н о й точкой м н о ж е с т в а . Э то у т в е р ж д е н и е
изв е с т н о к а к т е о р е м а Б о л ь ц а н о — В е й е р щ т р а с с а .
1.035. Б е с к о н е ч н о е м н о ж ест в о н а з ы в а е т с я счетным, если
€го э л е м е н т ы м о ж н о т а к с о п о с т а в и т ь с н а т у р а л ь н ы м и ч и с л а
ми, чтобы к а ж д о м у э л е м е н т у м н о ж е с т в а с о о т в е т с т в о в а л о одно
и т о л ь к о одно н а т у р а л ь н о е число
ин а о б о р о т. Н а п р и м е р ,
к в а д р а т ы 1^, 2^, . . . , /г^, . . . о б р а з у ю т счетное м н о ж ес т в о , т а к
к а к к а ж д о м у п соо т в ет с т в у е т
и каждому
со о т вет с т в у е т
п . Р а ц и о н а л ь н ы е д р о б и м е ж д у н ул ем и еди ниц ей т о ж е о б р а
з у ю т счетное м н о ж ес т в о . ти
И х м о ж н о у п о р я д о ч и ть т а к: •
у•>
2
1
3
1 2
3
4
,
Т ’ Т ’ Т ’
Т ’
Т ’ У ’ “б • • • ’ и д робь,
с т о я щ у ю на rt-Mмес
с о п о с т а в и т ь с п. Все п о л о ж и т е л ь н ы е р а ц и о н а л ь н ы е
числа
о б р а з у ю т д р у го е счетное м н о ж ес т во . И х
м о ж н о у п о р я д о ч и ть
так:
I
1
2
1
3
~Y 1
1
2
3
~2 >
4
....
Здесь
числа
с о б р а н ы в гр у п п ы с п о стоянной сум м ой ч и сл и т ел я и з н а м е н а '
т е л я , и в к а ж д о й г р у п п е с у м м а на е д и н и ц у б о л ь ш е , чем в
п р е д ы д у щ е й . А в н у т р и групп ч и с л а р а с п о л о ж е н ы по в о з р а с т а
нию ч и с л и т е л я . В д в у х п о с л е д н и х п р и м е р а х д л я у с т а н о в л е н и я
с о о т в е т с т в и я с н а т у р а л ь н ы м и ч и с л а м и н е о б х о д и м о по л но е
и зм ен ен и е естеств енного п о р я д к а .
Н е все бесконечны е м н о ж е с т в а счетны. Н а и б о л е е в а ж н ы е
п ри м ер ы несчетны х м н о ж е с т в — это м н о ж е с т в о всех д е й с т в и
т е л ь н ы х чисел и м н о ж ес т в о всех д ей с т в и т е л ь н ы х чисел из
д а н н о г о конечного и н т е р в а л а . К а н т о р д о к а з а л , что к а к бы мы
ни п ы т а л и с ь п о с т а в и т ь их э л е м е н т ы во в з а и м н о -о д н о з н а ч н о е
со о т в ет с т ви е с н а т у р а л ь н ы м и ч и с л ам и , в с е г д а н е к отор ы е э л е
менты о к а ж у т с я пр оп ущ ен н ы м и .
1.036.
Н еобходим ость. Достаточность. П усть д в а предло
ж е н и я , об озн ачен н ы е I и И, с о о т н о ся тс я м е ж д у собой т а к,
что если I истинно, то И истинно. М ы г ов ор и м т о гд а , что
\ — достаточное у с л о в и е д л я И , а \ \ — н е о б х о д и м о е у сл о в и е
д л я I, т. е. I не м о ж е т бы ть истинны м , если И неистинно.
Е сли II истинно т о г д а и т о л ь к о т о г д а , к о г д а I истинно, то
I — н ео б хо ди м ое и д о ст а т о ч н о е усл о ви е д л я II и наоб оро т.
В этом с л у ч а е мы м о ж е м т а к ж е с к а з а т ь , что I и II э к в и в а
лентны.
В оо б щ е г о в о р я , м о ж е т с у щ е с т в о в а т ь н е с к о л ьк о н еоб хо ди
м ы х и д о ст а т о ч н ы х у с л о ви й д л я истинности д а н н о г о п р е д л о
ж е н и я . Н а п р и м е р , н еобходи м ы м и д о ст а т о ч н ы м у с л о в и е м того,
что д е й с т в и т е л ь н а я вел и ч и н а х р а в н а нулю , я в л я е т с я у сл о в и е
1л:| < е д л я л ю б о г о п о л о ж и т е л ь н о г о е, но, к р о м е этого, т а
ки м и у с л о в и я м и б уду т р а в е н с т в а х^ = 0, л:®= 0. Н е о б х о д и м ы м
и д о ст а т о ч н ы м у с л о в и е м ax^ — 2 b x + c > Q д л я всех д е й с т в и
т е л ьн ы х X б у д е т а > О, ас — Ь~ > О, а т а к ж е и с > О, ас —
> 0.
Н е о б х о д и м о е и д о ст а т о ч н о е у с л о в и е м о ж е т с о д е р ж а т ь изл и щ н ю ю и н ф о р м а ц и ю . Н а п р и м е р , если ах^ — 2Ьх + с > О д л я
всех X, то а > О, с > О, ас — Ь'^ > О и н а о б о р о т. З д е с ь а > О,
с > О, а с > 6^ _ н е о б хо ди м о е и д о ст а т о ч н о е у сл о ви е. Н о если
ас > Ь^, то из а > О с л е д у е т , что с > О, а из с > О с л еду ет,
что а > О, т а к что одно из т р е б о ва н и й а > О, с > О избы точно
в том с м ы сле, что оно в ы т е к а е т из д р у го й д ан н о й и н ф о р м а
ции. С д р у го й стороны , т р е б о в а н и я а > О, с > 0 или а с > Ь ^
с а м и по себе н е д о стато чн ы д л я того, чтобы ах^ — 2Ьх + с бы ло
б о л ь ш е О д л я всех х\ ни одно из эти х у сл ов и й не я в л я е т с я
д о ст а т о ч н ы м . М н о ж е с т в о не о б х о д и м ы х и д о ст ат о ч н ы х у словий
истин ности д а н н о г о п р е д л о ж е н и я н а з ы в а е т с я м и н и м а л ь н ы м ,
если после о т б р а с ы в а н и я л ю б о й ч асти этих у сл о в и й о с т а в
ш и е с я у с л о в и я не я в л я ю т с я д о ст а т о ч н ы м и .
1.04.
П о с л е д о в а т е л ь н о с т и * ) . Р а с с м а т р и в а я св о й с т в а м н о ж е
с т в а , мы не с ч и т а л и , что его члены р а с п о л о ж е н ы в о п р е д е
л е н н о м п о р я д к е . Б д о к а з а т е л ь с т в е 1.034, н а п р и м е р , точки,
л е ж а щ и е в любом промеж утке, определяю тся указан ием с а
мого м н о ж е с т в а . ( П р е д с т а в и м себе, что мы п о л о ж и л и н е с к о л ь к о
м ячей в кор об ку ; т о гд а вопрос, к а к и е т а м л е ж а т мячи, не
им еет о т н о ш ен и я к их п е р е м е щ е н и я м и з-за в с т р я х и в а н и я к о
робки.)
К о г д а мы н а ч и н а ем и зу ч а т ь св о й с т в а , с у щ е с т в е н н о с в я з а н
ные с к о н кре тн ы м п о р я д к о м , мы им еем д ел о с п о с л е д о в а
тельностями. Ч и с л а 1, 2, 3, . . . , р а с п о л о ж е н н ы е в п о р я д к е
в о з р а с т а н и я , о б р а з у ю т п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь . Е с л и они п е р е г р у п
п и р о в а н ы , но т а к , что мы з н а е м , к а к н а й ти лю б ое из них, то
они о б р а з у ю т то ж е м н о ж ес т во , но д р у гу ю п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь .
Е с л и мы о б о зн ачи м «-й член д ан н о й п о с л е д о в а т е л ь н о с т и че
р е з s„, то св о й с т в о s„ + | — s „ = l б у д е т в ы п о л н я т ь с я д л я п е р в о
н а ч а л ь н о з а д а н н о г о п о р я д к а и не б у д е т в ы п о л н я т ь с я ни д л я
ка к о г о д р у го г о п о р я д к а . Вообщ е, е с л и s„ в п о л н е о п р е д е ля е т с я
з а д а н и е м п, то s„ может рассматриваться к а к ф у н к ц и я нату
р а л ь н о г о аргум ент а п, а з н а ч е н и я
Sg, . . . , s„, . . . д л я п о
с л е д о в а т е л ь н ы х зн а ч е н и й п образую т последоват ельност ь. (Те,
кто з н а е т кое-что о р я д а х , часто п о л а г а ю т н а п е р вы х п о р а х ,
что н а з н а ч е н и е п о с л е д о в а т е л ь н о с т и бы ть п р о с у м м и р о в а н н о й ,
но это не т а к .) И
1
’
—
—
2 ’ 3 ’ •
••
1, 2, 1, 2,
—
(
« ............
1, 2, . . .
1)
(2)
— п о с л е д о в а т е л ь н о с т и . Э л е м е н ты первой — это эл е м е н т ы б е с к о
нечного м н о ж е с т в а , у п о р я д о ч е н н ы е
о п р е д е л ен н ы м о б р а з о м .
Э л е м е н ты второй — это э л е м е н т ы кон ечн ого м н о ж е с т в а , п о в т о
р я е м ы е вновь и вновь.
П о с л е д о в а т е л ь н о с т ь с о б щ и м ч лен ом
м о ж н о о б о зн а ч и т ь
ч ерез {s„}.
1.041.
О г р а н и ч е н н ы е , н е о гр а н и ч е н н ы е , с х о д я щ и е с я и о с ц и л
л и р у ю щ и е п о с л е д о в а т е л ь н о с т и . П у с т ь М — п р о и зв о л ь н о е п о л о
ж и т е л ь н о е число. Может сл у ч и тьс я , что к а к о е бы М ни взя ть,
н а й д е т с я хоть один член п о с л е д о в ат е л ь н о с т и s„, т а к о й , что
|s „ |> A f . Т акая последовательность назы вается неогран ичен
ной. О ч еви дн ы й при м ер : s„ = n-, в с ам о м д ел е , в ка ч е с тв е п
мы м о ж е м в зя т ь л ю б о е целое число, б о л ь ш е е М . С п р а в е д л и в о
*) Более
в [2, 3].
подробное
рассмотрение
последовательностей
м ож но
найти
следую щ ее утверж дение, аналогичное теореме о предельной
точке: н е о г р а н и ч е н н а я п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь д о л ж н а с о д е р ж а т ь
бесконечно м ного членов, м о д у л и к о т о р ы х |s„ | б о л ь ш е л ю б о г о
наперед заданного М.
Е с л и м о ж н о в ы б р а т ь т а к о е М , что все s„ по мо дул ю
м еньш е М , то п о с л е д о в ат е л ь н о с т ь н а з ы в а е т с я о г р а н и ч е н н о й .
Обе п о с л е д о в а т е л ь н о с т и , пр и в е д е н н ы е в к о н ц е 1.04, о г р а н и
чены; ус л о в и е ! s „ | < A l в ы п о л н я е т с я д л я них о б еи х при М = 3.
П у с т ь с у щ е с т в у е т т а к о е число s, что
д л я л ю б ого п о л о ж и
т е л ьн о г о ч и с л а е м о ж н о в ы б р а т ь т т а к , что д л я всех п > т
(1)
|S „ - S |< 8 .
Т о г д а г о в о р я т , что п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь
п р е д е л S . З а п и с ы в а е т с я это к а к [4]
s„-> s
сходится и
(п^оо),
имеет
(2 )
или
lim
П-^оо
= s.
С т р е л к а ч и т а е т с я „ с т р е м и т с я к “ . М о ж н о просто п и сать
l i m s „ = s,
(3)
е с л и при этом не в о з н и к а е т р а зн о ч т ен и й .
В в ы ш еп р и в е д ен н ы х п р и м е р а х п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь 1.04 (1)
сх о д и т с я и им еет п р е д е л О, н у ж н о т о л ь к о в з я т ь т > 1 / е ; по
с л е д о в а т е л ь н о с т ь 1.04 (2) не я в л я е т с я с х о д я щ е й с я , по том у что,
к а к о в ы бы ни бы ли s u m , если е < 72, то н а й д у т с я члены
с н о м е р а м и п > т , т а к и е , что |s„ — s | ^ - j > 8.
С а м о е в а ж н о е с войство с х о д я щ е й с я п о с л е д о в а т е л ь н о с т и та
ково: если у нас есть п р а в и л о д л я в ы чи с л ен и я к а ж д о г о член а
то мы м о ж е м вы чи сл и ть п р е д е л с л ю б о й ж е л а е м о й точностью
Н е к о т о р ы е м ето д ы п р и б л и ж е н и я (см. гл. 9 и 17) п о к а з ы в а ю т
что п р е д е л л е ж и т в з а д а н н о м п р о м е ж у т к е , но э т о т п р о м е ж у
т о к не с к о л ь угодн о м а л . Точность м о ж е т о к а з а т ь с я д о ст а
точной д л я при м ен ений , но ее н е л ь з я б ес п р е д е л ьн о п о в ы ш а т ь
П о с л е д о в а т е л ь н о с т ь , о г р а н и ч е н н а я , но не с х о д я щ а я с я , на
зы в а е т с я о с ц и л л и р у ю щ е й с к о н е ч н ы м р а з м а х о м или просто
о с ц и л л и р у ю щ е й . В ка ч е с тв е п р и м ер а м о ж н о при в ести п о с л е
д о в а т е л ь н о с т ь 1.04 (2); д р у го й при м ер
=
З д е с ь , в отли чи е от 1.04 (2), все
+
(4)
р а зл и ч н ы .
П о с л е д о в а т е л ь н о с т ь (4) о г р а н и ч е н а , по т о м у что | 5 „ | < 2 д л я
л ю б о г о п; но о н а не с х о д и тс я , п о с к о л ь к у д л я б о л ь ш и х п ее
член ы п оп ер ем ен н о б л и зк и то к 1, то к — 1, т а к что н е р а
венство ( 1) не м о ж е т в ы п о л н я т ь с я , если е < - ^ .
Е с л и д л я л ю б о го М с у щ е с т в у е т т а к о е
всех п > т , то мы п и ш ем
s„ -*°o.
т,
что з„>Л'1 д л я
(5)
П римеры:
= « и
= п^.
Е с л и д л я л ю б о г о М. с у щ е с т в у е т т а к о е т , что s „ < —
всех п > т , то мы п и ш ем
Sn^-oo.
для
(6 )
П римеры:
= — п и S n ~ — п^.
Н и ж е п р е д с т а в л е н ы д р у г и е типы н е о г р а н и ч ен н ы х п о с л е д о
в а тел ьн о с те й :
s„ = ( — 1) " и ,
5„ = п с о з у я г а ,
= п (1 — созяга).
П р о эти п о с л е д о в а т е л ь н о с т и н е л ь з я с к а з а т ь , что они с т р е
м я т с я к к а к о м у - н и б у д ь п р е д е л у , в ч астн ости они не с т р е
м я т с я и к бесконечности , и их н а з ы в а ю т и н о гд а б еск о неч но
о сц и лл и р у ю щ и м и . Н еограниченны е последовательности можно
н а з ы в а т ь расх о д я щ и м и с я -, о д н а к о р а з н ы е а в т о р ы в к л а д ы в а ю т
в эт о т т е рм и н р а з л и ч н ы й с м ы сл: н е к о тор ы е (н а п р и м ер , Б р о м
вич и Х ар д и ) и с к л ю ч а ю т и з ч и с л а р а с х о д я щ и х с я б есконечно
осциллирую щ ие последовательности, некоторы е (например,
К н о п п ) в к л ю ч а ю т в их число п о с л е д о в а т е л ь н о с т и , о с ц и л л и
р у ю щ и е с конечны м р а з м а х о м .
П олезно классифицировать последовательности в зависи
мости от того, о б л а д а ю т ил и не о б л а д а ю т они с л е д у ю щ и м и
св о й с т в а м и :
1) д л я л ю б о г о т и д л я л ю б о г о п о л о ж и т е л ь н о г о М с у щ е с т
вует т а к о е п > т , что s „ > M ',
2) д л я л ю б о г о т и д л я л ю б о г о п о л о ж и т е л ь н о г о М с у щ е с т
вует т а к о е п > т , что S n < — M.
П о с л е д о в а т е л ь н о с т и , не о б л а д а ю щ и е ни о дним из э т и х
свойств, о г р а н и ч е н ы . Е с л и п о с л е д о в а т е л ь н о с т и о б л а д а ю т перт
вым с во й с тво м , но не о б л а д а ю т вторы м , то они о гр а н и ч е н ы
с н и зу и не о гр а н и ч ен ы с в ер ху. А н а л о ги ч н о о п и с ы в а ю т с я д в а
оставш ихся случая.
О т м ет и м , что бесконечности к а к т а к о в о й н и к а к о го определен*ного з н а ч е н и я не п р и п и с ы в а е т с я . М ы л и ш ь п р и д а е м см ы с л
всем в ы р а ж е н и я м , котор ы е с о д е р ж а т с л о во бесконечность или
с и м в о л оо. В ы р а ж е н и е s „ - > o o есть к р а т к а я за п и с ь с в о й с т в а
3
За к. 231
{s„}, с ф о р м у л и р о в а н н о г о в с о о т в е т с т в у ю щ е м о п р е д е л ен и и . О н а
не п о д р а з у м е в а е т с у щ е с т в о в а н и я к а к о й -л и б о д е й с т в и т е л ь н о й
в е л ич ины , о б о з н а ч а е м о й с и м в о л о м оо.
Б е с к о н е ч н о с т ь и с к л ю ч е н а из п р а в и л а л г е б р ы не потом у,
что есть к а к о е -н и б у д ь пр о т и в о р е ч и е в пон яти и б еск о неч ны х
ч исел, а потом у, что эти ч и сл а п о д ч и н я ю т с я д р у ги м п р а в и
л а м . Д е й с т в и т е л ь н о , по н ят и е бесконечного м н о ж е с т в а п р о н и
к а е т в б о л ь ш у ю ч ас т ь н а ш е й теор ии: в к а ж д о м и н т е р в а л е х
п р и н и м а е т бесконеч но м ного
знач ений .
Непротиворечивая
а л г е б р а д л я п о л о ж и т е л ь н ы х бесконечны х чисел б ы л а п ос т рое н а
К а н т о р о м и п о зд н е е н е о д н о к р а т н о о б о б щ а л а с ь д р у г и м и а в т о
р а м и , но э т а а л г е б р а о т л и ч а е т с я от обы чной . Е с л и а и й — п о
л о ж и т е л ь н ы е б ес к о н е ч н ы е ч и с л а , мы м о ж е м о п р е д е л и т ь а + Ь
и аЬ о д н о зн а ч н о . О д н а к о а + Ь не о б я з а т е л ь н о б о л ь ш е а, в
д е й с т в и т е л ь н о с т и а + Ь обычно р а в н я е т с я а ил и Ь. Н е в о з м о ж н о
о п р е д е л и т ь о д н о зн а ч н о а ~ Ь и ajb. С л е д о в а т е л ь н о , а л г е б р а ,
в к л ю ч а ю щ а я и конечны е, и б еск о неч ны е ч и с л а , д о л ж н а все
ж е р а з л и ч а т ь их в с в ои х п р а в и л а х .
1.042, Е с л и б еск о неч но е множество имеет п р е д е л ь н у ю точку
то м ы м ож ем образоват ь последоват ельност ь и з его э л е
ментов, и м е ю и ^ у ю п р е д е л о м s. Е с л и у множества б о л ь ш е
о д н о й п р е д е л ь н о й точки, то м ож но об разоват ь п о с л е д о в а т е л ь
ности, с х о д я щ и е с я к л ю б о й и з н и х .
М ы п о к а з а л и (н а ч а л о 1.033), что на р а с с т о я н и и о т п р е
д е л ь н о й точки, не п р е в ы ш а ю щ е м з а д а н н о е , с у щ е с т в у е т б ес к о
нечно м ного эл е м е н т о в м н о ж е с т в а . Е с л и в ы п и сы в а т ь эл е м е н т ы
м н о ж е с т в а в т а к о м ж е п о р я д к е , к а к о й у к а з а н в 1.033, то п о
л у ч и м п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь , о б л а д а ю щ у ю н у ж н ы м с во й с т в о м .
S,
1.043. Л ю б а я последоват ельност ь, о б р а з о в а н н а я и з р а з л и ч
н ы х элем ент ов о г р а н и ч е н н о го б еск о н е ч н о го множества, и м е ю
щ е г о е д и н с т ве н н у ю п р е д е л ь н у ю точку s, стремится к п р е д е л у
S. Я сно , что пр и построении п о с л е д о в а т е л ь н о с т и из эл е м е н т о в
м н о ж е с т в а мы им еем выбор на к а ж д о м эт а п е .
С л е д о в а т е л ь н о , мы м о ж е м о б р а з о в а т ь бесконечно много
р а з л и ч н ы х п о с л е д о в ат е л ь н о с т е й . Н а м н у ж н о п о к а з а т ь , что все
они и м е ю т о д и н а к о в ы й п р е д е л . Д л я л ю б о г о т число эл е м е н
то в s„ п о с л е д о в а т е л ь н о с т и с п > т бесконечно. Н о п о с к о л ь к у
м н о ж е с т в о о гр а н и ч е н о и им еет еди н ствен н у ю п р е д е л ь н у ю
точку, то в лю б о м и н т е р в а л е , не с о д е р ж а щ е м п р е д е л ьн о й
точки, и м е е т с я л и ш ь кон ечн ое ч и сл о эл е м е н т о в м н о ж е с т в а .
С л е д о в а т е л ь н о , д л я лю бого е т о л ь к о конечное число эл е м е н т о в
п о с л е д о в а т е л ь н о с т и л е ж и т вне о т р е з к а s ± - ^ e . П у с т ь э т о Sq,
Sp, . . . .
В озьм ем
Т о г д а д л я всех п ,
т р а в н ы м н а и б о л ь ш е м у из а, р,
ц.
б о л ь ш и х т , с п р а в е д л и в о , что |«„ — s | ^
^ ■ | - е < е и, т а к и м о б р а з о м , п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь с х о д и т с я к s.
Э то т р е з у л ь т а т н е л ь з я п олучить, если э л е м е н т ы п о с л е д о
ва т е л ь н о с ти не о б я з а н ы б ы ть р а з л и ч н ы м и и м о г у т п о в т о р я т ь с я
с кол ь у го д н о ч асто. Н а п р и м е р , если м н о ж е с т в о состои т из ч и
сел, о б р а т н ы х цел ы м , его еди н с т в е н н о й п р е д е л ь н о й точкой б у
д ет 0. О д н а к о , е сл и п о в т о р е н и я р а з р е ш е н ы , м ы м о ж е м о б р а
з о в а т ь и з его э л е м е н т о в п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь
1
1
1
1
1
1
1
1
1
к о т о р а я я в л я е т с я о с ц и л л и р у ю щ ей . Е сл и , о д н а к о , к а ж д ы й э л е
м ент м о ж е т п о в т о р я т ь с я не б о л ь ш е k р а з , где fe — н е к о то рое
ф и к с и р о в а н н о е число, то р е з у л ь т а т о п я т ь м о ж н о п о л у ч и т ь
простым обобщ ением д о казательства.
1.044.
В е р х н я я и н и ж н я я г р а н и . М ножество {и ли п о с л е д о
вательность), о гр а н и ч е н н о е с ве р х у , имеет в е р х н ю ю грань; м н о
жество, о г р а н и ч е н н о е с н и з у , имеет н и ж н ю ю гр а н ь . П р и этом
в ел и ч и н а М н а з ы в а е т с я в е р х н е й г р а н ь ю м н о ж е с т в а , е сл и ни
один э л е м е н т м н о ж е с т в а не п р ев о с х о д и т М , и в то ж е в р е м я
д^1я л ю б о г о п о л о ж и т е л ь н о г о ч и с л а е, к а к бы м а л о оно ни
бы ло, с у щ е с т в у е т эл е м е н т , п р е в о с х о д я щ и й М — е. Н и ж н ей
г р а н ь ю н а з ы в а е т с я т а к а я в е л и ч и н а т , что нет эл е м е н т о в ,
м е н ь ш и х т , но в с е г д а н а й д е т с я эл е м е н т , м ен ьш и й т + е.
В о с п о л ь з у е м с я м е то д о м сечений Д е д е к и н д а . К л а с с ч и се л а,
о г р а н и ч е н н ы х с в е р х у хоть о д ним э л е м е н т о м м н о ж е с т в а , не
пуст: м о ж н о в з я т ь в к а ч е с т в е т а к о г о ч и с л а л ю б о е а, м еньш ее,
чем н е к о то р ы й и зв естны й э л е м е н т м н о ж ес т в а .
П о с к о л ь к у м н о ж е с т в о о гр ан и ч е н о с в ерх у, то с у щ е с т в у ю т
ч и с л а Ь, т а к и е , что н и к а к о й эл е м е н т м н о ж е с т в а не п р е в о с х о
д и т Ь. К а ж д о е Ь б о л ь ш е л ю б о г о а, и в с я к о е число есть л и б о
й, л и б о Ь. С л е д о в а т е л ь н о , ч и с л а а о б р а з у ю т к л а с с L , а ч и с л а
Ь — к л а с с R и о п р е д е л я ю т сечение, ко т о р о е мы о б о зн а ч и м ч е
р е з М . С е че н и е М п р и н а д л е ж и т к л а с с у R . Е с л и бы М бы ло
э л е м е н т о м к л а с с а L , то оно б ы ло бы м е н ьш е н ек ото ро го э л е
м е н т а м н о ж е с т в а , с к а ж е м К', но т о г д а м е ж д у Af и /С не о к а
з а л о с ь бы чисел Ь и, с л е д о в а т е л ь н о , М не я в л я л о с ь бы ч и с
л о м , с о о т в ет с т в у ю щ и м сечен ию . И т а к , ни один э л е м е н т
м н о ж е с т в а не п р е в о с х о д и т М . Т а к ж е п р о в е р я е т с я , что М — г
п р и надлеж и т кл ассу L , а потому сущ ествует элемент мно
ж е с т в а , п р е в о с х о д я щ и й М — г. С о о т в е тс т в у ю щ и й р е з у л ь т а т
д л я н и ж н ей г р а н и д о к а з ы в а е т с я ан ал о ги ч н о .
Д о к а з а т е л ь с т в о не п р е д п о л а г а е т , что м н о ж е с т в о б ес к о
нечно; о д н а к о д л я конечного м н о ж е с т в а верх ней г р а н ь ю я в л я
е т ся п ро сто его н а и б о л ь ш и й эл ем е н т . Д л я б есконеч ного м н о
ж е с т в а все эл е м е н т ы м о г у т о к а з а т ь с я м е н ьш е верхней грани;
д л я м н о ж е с т в а 1.04 (1) в е р х н я я г р а н ь р а в н а 1 и с о в п а д а е т
с п е р вы м ч л е н о м , а н и ж н я я г р а н ь р а в н а О, х отя О не я в л я
е т с я э л е м е н т о м м н о ж ес т в а .
То, что мы н а з ы в а е м верх ней г р а н ь ю , ч ас т о н а з ы в а ю т
точной в е р х н е й гр а н ь ю , а л ю б о е число, т а к о е , что нет э л е
м ентов м н о ж е с т в а , п р е в о с х о д я щ и х его, н а з ы в а ю т т о г д а просто
в е р х н е й гр а н ь ю .
З а м е т и м , что если S n < t n д л я всех п и s „ ^ s ,
то
(и вовсе не о б я з а т е л ь н о s < t ) . Р а с с м о т р и м , н ап р и м е р ,
п о с л е д о в а т е л ь н о с т и s„ = 1 — 2~'^, /„ = 1 — 3 “ "; зд е с ь s = t. М ы
м о ж е м р а с с м а т р и в а т ь ( 5 „ , t„) к а к и н т е р в а л , д л и н а которого
с т р е м и т с я к н у л ю , но эти и н т е р в а л ы не о б р а з у ю т в л о ж е н н о й
п о с л е д о в а т е л ь н о с т и , п о т о м у что к а ж д ы й не я в л я е т с я ч ас т ь ю
пр е д ы д у щ е г о , и на с а м о м д е л е к а ж д ы й и н т е р в а л л е ж и т ц е
л и к о м по од н у стор он у от п р е д е л а .
1.0441. Е с л и
д л я в с е х п и по следо ва т ельно ст ь
о гр а н и ч е н а , то она сходится. П у с т ь s — в е р х н я я г р а н ь s„.
Тогда
д л я всех п. К р о м е того, д л я л ю б о г о е с у щ е с т в у е т
т а к о е т , что
> s — е; но т о г д а д л я в с е х п > т
S>
> Sm > S - е,
а п о т о м у п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь с х о д и тс я к п р е д е л у s.
1.045 О с н о в н о й п ри нци п с х о д и м о с т и . Д л я того чтобы п о с л е
д о в а т е л ь н о с т ь {s„} б ы л а с х о д я щ е й с я , н е о б х о д и м о и д о ст а т о ч н о
в ы п о л н е н и е с л е д у ю щ е г о у с л о в и я : д л я л ю б о г о п о л о ж и т е л ь н о го
числ а е с у щ е с т в у е т т а к о е т , что д л я всех п ' ^ т
l s „ - s „ | < 6.
( 1)
П о к а ж е м с н а ч а л а , что это усл о ви е я в л я е т с я н еоб хо ди м ы м .
П р е д п о л о ж и м , что s „ - > s . М ы д о л ж н ы п о к а з а т ь , что с у
щ е с т в у е т т , та к о е , что (1) с п р а в е д л и в о . Д л я л ю б о г о п о л о ж и
т е л ьн о г о (О мы м о ж е м в зя т ь т т а к, что |s„ — s | < c o д л я всех
/ г ^ т . Т о г д а |s„ — S m |< 2 ( o д л я всех п ' ^ т . В о зь м е м со = '/26.
т о г д а ( 1) в ы п о л н я е т с я .
Д л я д о к а з а т е л ь с т в а д ост а т о ч н о ст и у с л о в и я (1) за м е т и м
п р е ж д е всего, что п о с л е д о в ат е л ь н о с т ь о г р а н и ч е н а , т а к к а к
д л я л ю б о г о з а д а н н о г о п о л о ж и т е л ь н о го со с у щ е с т в у е т т а к о е т ,
что |s„ — S m |< c o д л я всех п ^ т , а S|, S2, . . . ,
все конечны.
О пределим а„ и
к а к н и ж н ю ю и вер хню ю г р а н и с о о т в е т с т в е н
но д л я Sp при р ^ п . Я сно, что
К р о м е того, |Sp — s , | < 2 f f l д л я р и q, б о л ь ш и х т , и мы
Ь„ — а п ^ 2 ч > пр и п ' ^ т , п о с к о л ь к у Ь п ~ а ^ есть в е р х н я я
Sp — Sq при р, q ' ^ n . Т а к к а к со п р о и зв о л ь н о м а л о , Ь^ —
с л е д о в а т е л ь н о , и н т е р в а л ы (а„, 6„) о б р а з у ю т в л о ж е н н у ю
д о в а т е л ь н о с т ь , о п р е д е л я ю щ у ю нек оторо е д е й с т в и т е л ь н о е
Н а з о в е м его s. П о с к о л ь к у
и
[
им еем
грань
по
после
число.
д л я всех га,
имеем
Is —
1^ 2(0
для
ra^m ,
т . е. s „ - » s при г а ^ о о .
В д а л ь н е й ш е м ч ас т о б у д е т в с т р е ч а т ь с я и с п о л ь з о в ан н ы й
н а м и п ри ем . Е с л и величину, о котор ой мы хотим с к а з а т ь , что
о н а м е н ьш е е, м о ж н о п р е д с т а в и т ь в ви д е су м м ы н е с к о л ь к и х
членов, то в в о д я т с я д о п о л н и т е л ь н ы е п р о и з в о л ь н о м а л ы е в е л и
чины, об ы чно о б о з н а ч а е м ы е ч ере з
5п = Щ + и 2 + . . . + «„, . . . .
Е с л и эт а п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь су м м с х оди тс я ,
ри м , что р я д
2 «„ = « 1+ . . . + м « + •••
то
мы
гово
с х о д и т с я (п т еп ерь с к о л ь угодн о велико); пре д е л п о с л е д о в а
т е л ь н о с ти s„ мы н а з ы в а е м с у м м о й р я д а *).
Е с л и { s j я в л я е т с я не с х о д я щ е й с я , а о с ц и л л и р у ю щ е й с к о
нечным р а з м а х о м п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь ю , то мы го в о р и м , что
р я д о с ц и л л и р у е т с конечны м р а з м а х о м .
*) Как и в случае последовательностей, употребляю тся различные опре
делен ия расходимости-, некоторые авторы ограничиваются применением
этого термина к случаю, когда s n - * °° или Sn~> —
другие называют
расходящ имися все ряды, которые не сходятся.
К а ж д о й т е о р е м е о п о с л е д о в а т е л ь н о с т я х с о о т в ет с т в у е т т е о р е м а
о р я д а х , т а к к а к е сл и {s„} — н е к о т о р а я п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь , то,
П
п о л а г а я Ui = Si,
=
— s „ _ i при п > \ , им еем
1
=
Г е о м е т р и ч е с к а я п р о г р е с с и я — это р я д
оо
2 л:" = 1 + д: + л:"* + . . . .
ге-О
З д е с ь е сл и
1, то
и I д:"+* 1 с т а н о в и т с я к а к у г о д н о б о л ь ш и м с в о з р а с т а н и е м п
при | л : | > 1 . Е с л и | л : | < 1 , то д:"+' с т р е м и т с я к н у л ю * ).
Т а к и м о б р а з о м , р я д с х о д и тс я , е сл и | х | < 1 , и не с х о д и тс я ,
есл и | д : | > 1 . Е с л и х = 1 , то с у м м а п ч лен ов р а в н а п и р я д
не с х о д и тс я . Е с л и х = — 1, то с у м м а л ю б о г о нечетного числа
ч л е н о в р а в н а 1, а с у м м а л ю б о го четного ч и с л а ч л е н о в р а в н а 0 .
П о э т о м у р я д о с ц и л л и р у е т с кон ечн ым р а з м а х о м . Т а к и м о б р а
зом , чтобы н а ш р я д с х о д и л с я , н е о б х о д и м о и д о с т а т о ч н о в ы п о л
нение у с л о в и я
g-р я д Р и м а н а — это р я д в и д а
^ л * — 1 -Ь
rt-0
В о зь м е м с н а ч а л а
в группы
х>1.
Мы
+ -р- - f . . . .
м о ж е м о б ъ е д и н и т ь член ы р я д а
s„= 1+ ( ^ + ^ ) + ( ^ + -^ + -^ + ^ ) +
+ ^
.
С у м м ы в с к о б к а х , и д у щ и х в с л е д з а пе р в ы м ч лен о м , со отв ет
ственно м ен ьш е, чем
2
4
2* ’
4^ ’ ■• •
1
1
2* - ' ’
(2 ^ -‘)2 ’
Д алее, если т = 2''“ ' и и > т , то
9 - г
I S„ -
[X -D
I< -
*) Точные доказательства этих
ыожио найти в [3, стр. !34, 135].
соверш енно
очевидных
утверж дений
п р а в а я ч ас т ь м о ж е т б ы ть с д е л а н а < е, если в з я т ь г д о ст а т о ч н о
б о л ь ш и м . С л е д о в а т е л ь н о , ? 'Р я д с х о д и тс я , е сл и х > \ .
Если х = \ , напишем
s« = l + i + (y + 7) + ( | + i + y + | ) +
...
.
Все с у м м ы в с к о б к а х п р е в о с х о д я т '/г- С л е д о в а т е л ь н о , р я д не
с х о д и тс я : 5„->-оо. Е с л и 0 < л : < 1 , то все ч лен ы р я д а после
п ер во го в о з р а с т а ю т ; с л е д о в а т е л ь н о , о п я т ь s „ —>-оо.
С л е д у ю щ и й р я д с в я з а н с In 2:
Здесь
S n - S n = ± .(m + l
OT+ 2 ) " ^ ( m + 3
от + 4 ) ”^
И с у м м а в с к о б к а х п о л о ж и т е л ь н а н е з а в и с и м о от четности п — т.
Н о в то ж е в р е м я
1
1
(I -I^ ______ 1 \ ( I
т + 1•1
и каж дое выражение
довательно,
\ тш + 2
/п
т + 3З )/
\\m-\/п + 4
т + 5/
в круглы х скобках положительно. С ле
О< I
— SmК
J,
а это м е н ь ш е е д л я всех п > т , е сл и т о л ь к о ( т + 1) > 1/е.
О т с ю д а сл е д у е т , что р я д схо ди тся.
М о ж н о с р а з у ж е п р и м ен и т ь это к д о к а з а т е л ь с т в у с л е д у ю
щ его ф а к т а : если и „ > 0 , ы „ > ы „+1 д ля в с е х п и
то р я д
с хо ди тс я .
и, — Ы2+ «3 — «4 + . •.
1.051.
А б с о л ю т н а я с х о д и м о с т ь . Е с л и р я д S l “ nl с х о д и тся ,
то
С Х О Д И Т С Я , п о т о м у что с у м м а л ю б о й ч асти р я д а от
д о ы„ по м о д у л ю не м о ж е т б ы ть б о л ь ш е , чем с у м м а с о о т в е т
с т в у ю щ и х ч лен ов от 1« т 1 ДО 1 «„ |. В этом с л у ч а е г о в о р я т , что
2 «л абсолю т но сходится-, есл и 2 «л с х о д и тс я , а
нет,
то г о в о р я т , что р я д
сходит ся у с л о в н о . (И н о г д а и с п о л ь
зу ю т н а з в а н и е п о л у сходимость-, о д н а к о этой п р и с т а в к о й з л о
у п о т р е б л я ю т : то ж е н а з в а н и е и с п о л ь з у ю т и д л я а с и м п т о т и ч е
с к и х р я д о в , ко т о р ы е л у ч ш е в о о б щ е не р а с с м а т р и в а т ь в к а ч е с тве
б е с к о н е ч н ы х р я д о в . В о т п очем у с л е д у е т и з б е г а т ь у п о т р е б л е н и я
этого н а з в а н и я .)
Мы в и д е л и , что если в з я т ь все ч лен ы р я д а д л я In 2 с п о л о
ж и т е л ь н ы м и з н а к а м и , то полученны й р я д не с хо ди тс я . С л е
д о в а т е л ь н о , р я д д л я In 2 у с л о в н о с х о д я щ и й с я . Г е о м е т р и ч е с к а я
п р о г р е с с и я , есл и сх о д и тс я во о б щ е , то с х оди тся абс о л ю тн о .
1.052. П е р е с т а н о в к и р я д а . С у м м а абсолю т но с х о д я щ е г о с я
р я д а не меняется, е с л и брать ч л е н ы р я д а в л ю б о м п о р я д к е .
П у с т ь 2 “ л а б с о л ю т н о с х о д и тс я и с у м м а его р а в н а s;
—
т о т ж е р я д , но ч лен ы его р а с п о л о ж е н ы в д р у г о м п о р я д к е .
П о н я т н о , что к а ж д ы й член л ю б о г о р я д а вс т р е ч а е тс я в д р у го м ,
но, в о о б щ е г о в о р я , не н а том ж е месте. В о зь м е м п р о и зв о л ь н о е
00
п о л о ж и т е л ь н о е число со и в ы б ер е м т т а к , чтобы
2
I “ л I<
п— т+\
то г д а с у м м а м о д у л е й д л я л ю б о г о н а б о р а членов, в зя т ы х
из перв о го р я д а посл е т - г о , м ен ьш е со. В о зь м е м т ' т а к , чтоб ы
все ч лен ы
предшествующ ие
в с т р е ч а л и с ь во в то ро м р я д у
под н о м е р а м и п', м е н ьш и м и га'. Н а п и ш е м
« т = “ ■ + • • • + “ т-
Sm' =
+ ••• +
Тогда
—
есть с у м м а ч л е н о в перв о го р я д а , и д у щ и х по с л е
га-го, и ее м о д у л ь м ен ьш е со. Точно т а к ж е , е сл и в з я т ь п ' ^ г а ' ,
то s ' , —
есть с у м м а д р у го г о м н о ж е с т в а членов п ер в ого р я д а ,
и д у щ и х посл е т - г о , и по э то м у ее м о д у л ь т о ж е м е н ьш е и .
С л е д о в а т е л ь н о , в торой р я д с хо ди тс я . П у с т ь его с у м м а р а в н а s'.
Тогда | s - s ' | = | ( s - s j - ( s ' - s ^ , ) - ( s ; „ , - s j | [f {Xr)-f {Xr-i )l
г де
Хо = а ^ ЛГ| ^ аг2 • • • ^ -^ 4 - 1 ^
в з я т у ю по всем ч л е н а м f{Xr) — f {Xr- i ) ,
и сумму
= X,
которые полож ительны ,
в з я т у ю по всем о т р и ц а т е л ь н ы м ч л е н а м . В е р х н ю ю г р а н ь сум м р
по в с е в о з м о ж н ы м р а з б и е н и я м н а з о в е м п о л о ж и т е л ь н о й в а р и а
цией Р {а, х) н а (а, х), а верх ню ю г р а н ь всех с у м м п — о т р и
ц а т е л ь н о й в а р и а ц и е й N {а, х). П у с т ь v — p + ti] т о г д а з н а ч е
ни я V о б р а з у ю т о г р а н и ч е н н о е м н о ж е с т в о , п о с к о л ь к у все они
^ V (а, Ь). И х в е р х н я я г р а н ь V {а, х) есть п о л н а я в а р и а ц и я
f { x ) н а (а, х). В з я в в ер хн и е г р а н и , им еем
V {а, х) = Р {а, x) + N {а, х).
О ч ев и д н о , что Р (а, х), N {а, х), V (а, х) все я в л я ю т с я н е у б ы
в а ю щ и м и ф у н к ц и я м и от д: и о г р а н и ч е н ы на (а, Ь).
Д л я лю бого разбиения и д л я лю бого фиксированного х
p-n=^f{x)-f{a),
p + n = v.
Следовательно,
Р ^
J
V + j [ f (х) -
f (а)],
n = Y^-^[fix)-f{a)].
В о зь м е м
тогда
верхнюю
грань
по
всевозмож ны м
Р ( а , x) = j V {а, х) + у [/ (х) - f (а)],
N {а, x ) = - - ^ V { a , х) -
[f (х) - f (а)].
разбиениям;
Следовательно,
f (л;) = [/ (а) + Р (а, х)] - N {а, х),
т а к что f { x ) в ы р а ж е н а
н е у б ы в а ю щ и х ф ункций.
в виде р а з н о с т и д в у х о г р а н и ч е н н ы х
1.093. В с е р а з р ы в ы ф у н к ц и и о гр а н и ч е н н о й в а р и а ц и и и л и
простые, и л и устранимые. Х а р а к т е р н а я особен ность п ростого
р а з р ы в а при х = а состои т в том , что f { a — ) и f { a + ) сущ ес тру ю т и р а зл и ч н ы . А осо бен но сть у с т р а н и м о г о р а з р ы в а в том,
что они с у щ е с т в у ю т и р а в н ы м е ж д у собой, но не р а в н ы /( а ) .
Д о п у с т и м , что в о з м о ж е н с л у ч а й , к о г д а хоть один из эт и х п ре
д е л о в не с у щ е с т в у е т, т. е. и м е ю тс я Два ч и с л а М, т { М > т) ,
т а к и е , что в л ю б о м к а к у го д н о ко р о т к о м и н т е р в а л е по о д н у
с т о р о н у от а н а й д у т с я точки, где f ( x ) > M , и точки, где f { x ) < m .
П у с т ь g, — т очк а, где f { x ) > M . Д а л е е , н а й д е т с я т о ч к а м е ж д у а
и I, , с к а ж е м
где f { x ) < m ; з а т е м н а й д е т с я
м е ж д у а и 1^,
г де f { x ) > M , и т. д. О т с ю д а с л е д у е т , что п о л н а я в а р и а ц и я н а
и н т е р в а л е (а, | i ) н е о г р а н и ч е н а , и п о э т о м у f ( x ) не я в л я е т с я
ф у нкц ией ограниченной, в а р и а ц и и .
М о ж н о р а с с у ж д а т ь иначе. П у с т ь / ( х ) — ф у н к ц и я о г р а н и ч е н
ной в а р и а ц и и н а (а, Ь). Р а с с м о т р и м п о л о ж и т е л ь н у ю в а р и а ц и ю
Р { х ) н а {а, х). Э то о г р а н и ч е н н а я н е у б ы в а ю щ а я ф у н к ц и я л: и
п о э т о м у им еет п р е д е л ы (не о б я з а т е л ь н о р а в н ы е м е ж д у собой),
к о г д а х - > с [с п р и н а д л е ж и т (а, Ь)] со с то ро ны б о л ь ш и х ил и
м е н ь ш и х зн а ч е н и й . Т о ж е с п р а в е д л и в о д л я о т р и ц а т е л ь н о й в а
ри ац и и .
В ы ч и т а я о д н у иЗ д р у го й , н а х о д и м , что f { x ) им еет п р е д е л ы ,
когда
со с тор оны б о л ь ш и х или м е н ь ш и х зн а ч е н и й , а п о
т о м у с я в л я е т с я л и б о точкой н е п р ер ы вн о с ти , л и б о пр осты м
или устранимым разры вом .
Е с л и f { c + ) с у щ е с т в у е т, то м о ж н о г о во ри т ь о в а р и а ц и и на
п о л у о т к р ы т о м и н т е р в а л е (с, d), р а с п о л о ж е н н о м с п р а в а от с,
п о д р а з у м е в а я в а р и а ц и ю g { x ) н а (с, d), где g ( c ) = f ( c + ) ,
а в о с т а л ь н ы х т о ч к а х g { x ) = f {x) . Т о г д а э т а в а р и а ц и я с т р е
м и т с я к нул ю при d - ^ c . А н а л о г и ч н о м о ж н о о п р е д е л и т ь в а
р и а ц и ю н а и н т е р в а л е с л е в а от с, о б л а д а ю щ у ю т а к и м ж е
свойством .
1.094. Скачок в точке разры ва. П у с т ь f {x) р а з р ы в н а в точке а ,
но о г р а н и ч е н а в нек о то р о м и н т е р в а л е , кото ры й с о д е р ж и т а
в к а ч е с т в е в н утр ен н ей точки. Т о г д а д л я не к о то р о го п о л о ж и
т е л ь н о г о б ф у н к ц и я f {х) им еет в е рхн ю ю и н и ж н ю ю г р а н и М
и m на (а — б, а + б). Е с л и Ь ' < Ь , то в е р х н я я г р а н ь на (а —б',
а - Ь б ') не м о ж е т б ы ть б о л ьш е , а н и ж н я я г р а н ь не м о ж е т б ы ть
м ен ьш е, чем на и н т е р в а л е (а — Ь, а + 6 ). С л е д о в а т е л ь н о , с к а ч о к
на (а — 6 , а + 6) и м е ет н е о т р и ц а т е л ь н ы й п р е д е л , к о г д а б - > 0 .
Е с л и это т п р е д е л р а ве н н ул ю , то ф у н к ц и я н е п р е р ы в н а в точке а ;
е с л и он п о л о ж и т е л е н , то мы н а з ы в а е м эт о т п р е д е л с к а ч к о м
ф у н к ц и и в то чк е а.
Е с л и /(л:) = 0 ( л :< 0 ) , / ( л : ) = 1 ( х ' ^ 0 ) , то с к а ч о к в О р а в е н 1.
Е с л и /(jc) = 0 { х ф О ) , f ( x ) = l
(л: = 0), то с к а ч о к в О снов а
р а в е н 1.
Е с л и /(л;) = 51п(1/л:), то с к а ч о к при л; = 0 р а в е н 2, п о с к о л ь к у
з н а ч е н и я , п р о и зв о л ь н о б л и зк и е к 1 и к — 1, в с т р е ч а ю т с я в л ю
бом и н т е р в а л е о к о л о 0 .
1.10.
И нтегрирование по Р и м ан у и С тилтьесу. В этой книге
б у д у т и с п о л ь з о в ан ы д в а р а з л и ч н ы х о п р е д е л е н и я и н т е г р а л а .
П у с т ь Xi, Х2 ,
— м н о ж ес т в о в о з р а с т а ю щ и х зн а ч е н и й х ,
р а с п о л о ж е н н ы х м е ж д у а м Ь\ п р е д п о л о ж и м , что д л я всех г
разность Х г + \ ~ Х г < Ь
(д л я у д о б с т в а мы п о л а г а е м Х о = а,
Хп+\ = Ь). В о зь м е м в к а ж д о м и н т е р в а л е н е к о то р о е
т а к что
и о б р а з у е м су м м у
Sn = f { W { x ^ - a ) + f { W { x 2 - x , ) + . . . + f { W { b - x , ) .
( 1)
Э та с у м м а за в и с и т и от зн а ч е н и й х^, и от зн а ч е н и й 1^. если
т о л ь к о / ( х ) не к о н с т а н т а ; о д н а к о е сл и м ы в о зь м е м с т р е м я
щ у ю с я к нул ю п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь зн а ч е н и й б, в ы б и р а я на
к а ж д о м щ а г у Хг и |г с о г л а с н о п р и в е д е н н ы м н е р а в е н с т в а м и
о б р а з у я к а ж д ы й р а з с у м м у 5„, то эти сум м ы , в о з м о ж н о , б у д у т
с т р е м и т ь с я к п р е д е л у , а эт о т п р е д е л , в о зм о ж н о , не б у д е т з а
висеть от вы б о р а Х г и
на к а ж д о м ш а г у . Е с л и это т а к , то
этот п р е д е л н а з ы в а е т с я инт егралом Р и м а н а и о б о з н а ч а е т с я
ь
\f{x)dx.
(2 )
а
М о ж н о т а к ж е и н т е г р и р о в а т ь по ф ункции. Е с л и f { x ) и g ( x ) —
ю гран ичен ны е ф у нкц ии х, то мы о б р а з у е м с у м м у
Sn = f ( h) [g (-ti) - g (a)] + f ( h) I g (X2 ) - g ( x i ) ] + . . .
■■■ + f ( U l g ( l ’) - g ( X n ) h
(3)
выбирая
т а к ж е , к а к в (1). Е с л и э т а с у м м а с т р ем и тс я
к еди н с т в е н н о м у п р е д е л у , к о г д а н а и б о л ь ш и й и з и н т е р в а л о в
( Х г , X r + i ) с т р ем и тс я к нулю , то п р е д е л это т н а з ы в а е т с я инте
г р а л о м Стилтьеса [ 8 — 10] и о б о з н а ч а е т с я
ь
f (х) d g (х).
(4)
С л е д у е т о б р а т и т ь в н и м ан и е на з а п и с ь п р е д е л о в и н т е г р и р о в а
н и я, ибо ф у н к ц и я g { x ) м о ж е т не б ы ть м онотонн ой. О н а м о ж е г
в е р н у т ь с я к с в о е м у п е р в о н а ч а л ь н о м у зн а ч е н и ю , но мы не
д о л ж н ы при этом пи с ат ь, что о б л а с т ь и н т е г р и р о в а н и я р а с п р о
с т р а н я е т с я от g ( a ) д о g{ a) , и н т е г р а л т о г д а , очевидно, о б р а
т и л с я бы в н у л ь. П о с т о я н н о е в о з р а с т а н и е в о б л а с т и и н те г р и
р о в а н и я т р е б у е т с я не от g { x ) , а от х.
ь
1.101. И нт егр ал Р и м а н а
J
f { x ) d x существует тогда и только
а
тогда, к о г д а f { x ) о г р а н и ч е н а на (а, Ь), и д л я л ю б ы х п о л о ж и
т ельных
и ц инт ервал {а, Ь) можно так разбить н а к о н е ч н о е
ч и с л о и нт ер валов, что те и з н и х , г д е с к а ч о к f { x ) ^ ( £>, имеют
о б щ у ю д л и н у м е н ь ш е т].
П р е ж д е всего о г р а н и ч е н н о с т ь f { x) , о чеви дн о, н е о б х о д и м а
д л я с у щ е с т в о в а н и я и н т е г р а л а . И б о есл и f { x ) не о гра н и че н а
на (а, Ь), то в сегда н а й д е т с я хоть один и н т е р в а л (Хг, Xr+i), н а
к о торо м она н е о г р а н и ч е н а ; а с л е д о в а т е л ь н о , н ео гр а н и ч ен о м н о
ж е с т в о зн а ч е н и й S„, ко т о р ы е о б р а з у ю т с я при р а зл и ч н о м в ы
б оре |г на этом и н т е р в а л е . П о эт о м у , к а к бы ни в ы б и р а т ь
и н т е р в а л ы , не м о ж е т с л у ч и т ь с я , чтобы су м м ы
стремились
к е д и н с т в е н н о м у п р е д е л у н е з а в и с и м о от в ы б о р а i r на к а ж д о м
ш агу .
П р е д п о л о ж и м т еп ерь, что в е р х н я я и н и ж н я я г р а н и f (х) на
(а, Ь) р а в н ы М и т . П р е д п о л о ж и м т а к ж е , что в е р х н я я и н и ж
н я я г р а н и н а (х^, x^+i) р а в н ы Mr и /Пг, т а к что при л ю б о м
в ы б ор е
им еем
< /(Ы ^
О б р а з у е м су м м ы
К = Цтг(хг+1-Хг),
И„ = ^ М г ( х г + 1 - Х г ) .
1
( >
Эти су м м ы н а з ы в а ю т с я н и ж н е й и в ер хн ей с у м м а м и д л я р а з
б и ен и я, о п р е д е л я е м о г о т о ч к а м и Хг, и я в л я ю т с я н и ж н е й и ве р х
ней г р а н я м и 5 „ при этом р азб и е н и и .
Д а л е е , в л ю б о м и н т е р в а л е (х^,
н а й д е т с я т а к о е значе3
1
ние X, где f ( x ) ^ j M r + j n i r , и т а к о е зн а ч е н и е х, где / ( х ) <
<
+ -г
С л е д о в а т е л ь н о , если
Мг — г п г ^ & ,
то
можно
таким и д вум я способами вы брать
что с о о т в ет с т в у ю щ и е з н а
ч ен ия f i l r ) (Xr+1- x , ) б у д у т о т л и ч а т ь с я д р у г от д р у г а по к р а й
ней м ере н а у со (x^+i — х^).
П о с к о л ь к у вы бор 1г во всех и н т е р в а л а х п р о и зв о д и т с я н е з а
виси мо, то, е сл и и н т е р в а л ы , где M j —
и м ею т о б щ у ю
д л и н у ^ т ) , где Т1— нек отор ое п о л о ж и т е л ь н о е число, мы с м о
ж е м т о г д а т а к и м и д в у м я с п о с о б а м и в ы б р а т ь |г в к а ж д о м
и н т е р в а л е , что с о о т в ет ст в у ю щ и е зн а ч е н и я
крайней
мере на
Если
найдутся
б у д у т о т л и ч а т ь с я па
с о > 0 и Т1> 0 , т а к и е ,
что д л я л ю б о г о р а з б и е н и я (а, Ь) о б щ а я д л и н а и н т е р в а л о в , где
с к а ч о к f { x ) ' ^ a , в с е г д а по к р а й н е й м ер е р а в н а г|, то т о гд а
с у м м ы Sn не м о г у т им еть еди н ств ен н ы й п р е д е л . С л е д о в а т е л ь н о ,
у к а з а н н о е у сл о в и е я в л я е т с я не о б х о д и м ы м .
П о с к о л ь к у tUr ^ М , М г ' ^ т , то в се г д а
h ^ ^ M { b - а),
Нп>т{Ь-а).
(2)
С л е д о в а т е л ь н о , зн а ч е н и я /г„, кото ры е п о л у ч а ю т с я при в се
в о з м о ж н ы х р а з б и е н и я х , и м е ю т верх н ю ю г р а н ь , н а з о в е м ее h;
а значения
и м ею т н и ж н ю ю г р а н ь , н а з о в е м ее Я . П о к а ж е м
п р е ж д е всего, что h ^ H .
Е с л и в п р о и зв о л ь н о м и н т е р в а л е (лг^, Xr+i) в з я т ь е щ е о д н у
т о ч к у р а з б и е н и я , с к а ж е м Xri, и с н о в а о б р а з о в а т ь н и ж н ю ю и
в е р х н ю ю сум м ы , то в к а ж д о м и з ч асти ч н ы х и н т е р в а л о в (л:,, x^i)
и {xru Xr+i) в е р х н я я г р а н ь f { x ) м о ж е т о к а з а т ь с я м ен ьш е,
чем Mr , но не б о л ь ш е . Т ем с а м ы м д о б а в л е н и е н о вы х точек
р а з б и е н и я м о ж е т у м е н ь ш и т ь в е р х н ю ю с у м м у , но не м о ж е т ее
у в е л и ч и т ь ; и а н а л о г и ч н о оно м о ж е т у в е л и ч и т ь н и ж н ю ю с ум м у ,
но не м о ж е т ее у м е н ь ш и т ь .
Рассм отри м теперь д ва различны х разбиения, определяем ы е
т о ч к а м и х^ и х'^. П у с т ь с о о т в е т с т в у ю щ и е с у м м ы р а в н ы
Л„,
Яр, h'p. Р а с с м о т р и м р а з б и е н и е , к о т о р о е о б р а з у е т с я , есл и
о б ъ е д и н и т ь вм е с т е все точки об о и х р а з б и е н и й . П усть д л я него
с у м м ы р а в н ы Н " , h'q. М о ж н о с чи тать, что ново е р а зб и е н и е по
л у ч е н о д о б а в л е н и е м то чек к а к к м н о ж е с т в у х^, т а к и к м но
ж е с т в у х'^.
С л е д о в а т е л ь н о , с о г л ас н о п р е д ы д у щ е м у а б з а ц у ,
(3)
Т а к и м о б р а з о м , н и к а к а я н и ж н я я с у м м а не м о ж е т о к а з а т ь с я
б о л ь ш е к а к о й -н и б у д ь в ер хн ей су м м ы , а с л е д о в а т е л ь н о , Я „ ^ / г
д л я всех п и, зн а ч и т , H ~ ^ h .
Д а л е е , есл и мы с м о ж е м н а й ти т а к о й способ р а з б и е н и я , при
к о т о р о м Н п ~ h n < E , то и з этого б у д е т с л е д о в а т ь , что Н — к < г \
в с а м о м д е л е , Я „ - Л „ = ( Я - Л ) + ( Я „ - Я ) 4- ( /г - /г „ ) и Я „ - Я > 0 ,
Л—
^ 0 . П р е д п о л о ж и м т еп ер ь, что все и н т е р в а л ы р а з б и т ы
н а д в а к л а с с а : к л а с с А , в к ото ром Mr — тг, и к л а с с В,
г д е М г ~ Ш г '^ а ) . Д л я и н т е р в а л о в из к л а с с а В и м е е т с я все ж е
о ц е н к а сверху: М^ — Ш г ^ М — т . Е с л и а — о б щ а я д л и н а всех
В - и н т е р в а л о в , то
Н п ~ h „ < { b — а — а) а + {М — т ) а.
(4)
Д о п у с т и м те п е р ь, что д л я л ю б о г о со о б щ а я д л и н а всех Б -и н т е р в а л о в м о ж е т б ы ть с д е л а н а п р о и зв о л ь н о м а л о й . Т о г д а д л я
л ю б о г о п о л о ж и т е л ь н о г о е м о ж н о п о д о б р а т ь со и а т а к , что
(6 —a ) c o < - j e ,
(M —m ) a < j 8 .
(5>
О т с ю д а с л е д у е т , что О ^ Н — h < e , а с т а л о бы ть, п о с к о л ь к у Я
и h н е з а в и с я т от е,
H = h.
(6)'
Н а м о с т а л о с ь п о к а з а т ь е щ е , что е с л и м ы в о з ь м е м т а к и е
р азбиения, д л я которых д ли н а наибольш его и н тер вал а р авн а б
и б - > 0 , то Н п ~ > Н , /г„-->/г = Я . П у с т ь ЛГ;. — м н о ж е с т в о точек
р а з б и е н и я , у д о в л е т в о р я ю щ е г о у с л о в и ю (5), т а к что Я „ — / г „ < е .
П у с т ь с а м ы й кор отк ий и н т е р в а л этого р а з б и е н и я р а в е н 6 ; р а с
см о тр и м д р у г о е р а з б и е н и е с п о м о щ ь ю то ч е к х ', т а к о е , что
д л и н а его н а и б о л ь ш е г о и н т е р в а л а м е н ьш е б. П у с т ь д л я этого
р а з б и е н и я в е р х н я я и н и ж н я я су м м ы р а в н ы Я р , hp. Т о г д а л ю
бые п о с л е д о в а т е л ь н ы е точки л:',
либо при надлеж ат одному
и т о м у ж е и н т е р в а л у р а з б и е н и я х „ л и б о д в у м со седн и м и н т е р
валам.
Е с л и эти по с л е д н и е о б а я в л я ю т с я Л - и н т е р в а л а м и , то с к а
чок f { x ) н а (д:',
м е н ь ш е 2®; е сл и о б а они В - и н т е р в а л ы
или один А-, а д р у го й В - и н т е р в а л , то с к а ч о к не п р е в о с х о д и т
М — т. Н о есл и S -и н т е р в а л им е е т д л и н у
то д л и н а
л:'-интервалов, и м е ю щ и х с ним о б щ и е точки, не п р е в о с х о д и т
ц - Ь 2 б ^ З ц . С л е д о в а т е л ь н о , ск а ч к и f ( x ) н а л :'-и н т ер ва л а х < 2со
д л я всех и н т е р в а л о в , кром е , б ы ть м о ж е т , нек о то р о го п о д м н о
ж е с т в а с о б щ е й д л и н о й ^ З 2 ц = 3а. Т а к и м о б р а з о м ,
Н'р — h 'p < ( b — а — За) 2(0 + 3 ( М — т) а < - ^ е .
К р о м е того, Н ' р ' ^ Н ,
(7)
h 'p < ,H \ с л е д о в а т е л ь н о ,
Я ;- Я < |е ,
Я - / г ; < | - 8.
(8)
П о с к о л ь к у это с п р а в е д л и в о д л я л ю б о г о р а з б и е н и я с д л и н о й
н а и б о л ь ш е г о и н т е р в а л а , м е н ьш е й б, то это и есть иск о м ы й
результат.
Н аконец, так как
то
тож е стремится к Я .
1.1011.
В ы ш еуказанное условие при н адлеж и т Д ю б у а-Р ай м ону. Е го м о ж н о в ы с к а з а т ь в д р у го й ф о р м е , и н о гд а б о л е е
у д о бн ой . Н е о б х о д и м о е и достаточное у с л о в и е с у щ е ст в о ва н и я
инт еграла J f { x ) d x
состоит в следуюи^ем'- f { x ) о гр а н и ч е н а , и
а
д л я л ю б ы х п о ло ж и т е ль ны х ш ы т] точки р а з р ы в а , в которых
скачок
можно покрыть к о н е ч н ы м ч и с л о м инт ервалов
■С оби^ей д л и н о й < т ] .
Я сно, что д а н н о е у с л о в и е в ы т е к а е т и з у с л о в и я Д ю б у а Р а й м о н а . Н а о б о р о т , есл и т о л ь к о что с ф о р м у л и р о в а н н о е у с л о
вие вы п о л н ен о, то на о с т а в ш и х с я и н т е р в а л а х нет точек
р а з р ы в а со с к а ч к о м
Т о г д а о к о л о л ю б о й точки, п р и н а д л е
ж а щ е й о с т а в ш и м с я и н т е р в а л а м , м о ж н о н ай ти и н т е р в а л , на
к ото ром с к а ч о к < со. С л е д о в а т е л ь н о , по м о ди ф и ц и р о ва н н о й
т е о р е м е Гейне — Б о р е л я о с т а в ш и е с я и н т е р в а л ы м о ж н о р а з б и т ь
на конечное число ч асте й , в к а ж д о й из ко т о р ы х с к а ч о к < со.
1.1012.
Н е м е д л е н н ы м с л е д с т в и е м я в л я е т с я тот ф а к т , что
л ю б а я н е п р ер ы в н а я ф ун кц и я им еет и н т е г р а л Р и м а н а ; в с а м о м
д ел е , о н а о г р а н и ч е н а и в о о б щ е не им еет то чек р а з р ы в а . Точно
т а к ж е л ю б а я ф у н к ц и я с кон ечн ым ч и сл о м р а з р ы в о в (в к о т о
рых о н а им е е т конечные скач ки ) о б л а д а е т и н т е г р а л о м Р и м а н а .
Т о ж е от н ос и т с я к л ю б о й ф ун кц и и огр а н и ч е н н о й в а р и а ц и и .
И б о есл и д л я н е к ото ро го со с у щ е с т в у е т б есконечное м н о ж е с т в о
точек р а з р ы в а , в ко т о р ы х с к а ч к и ф ункц ии б о л ь ш е ®, то она
не я в л я е т с я ф ункц ией о г р а н и ч ен н о й в а р и а ц и и .
О т м ет и м , что это у с л о в и е не т р е б у е т кон ечн ости ч и с л а т о
чек р а з р ы в а . П о л о ж и м f { x ) = l при х = 1/п д л я вс е х ц е л ы х
полож ительны х п и f {x) = 0 в остальны х точках. Ф ункция
р а з р ы в н а при всех х = 1 / / г , а т а к ж е при х = 0. О д н а к о д л я л ю
бого г| и н т е р в а л ^0 , -^T)j
содержит
разры ва,
таких,
а
оставш ихся,
б есконечно
что у Т ] ^ л: ^
много
точек
1, — л и ш ь к о
нечное число, и их м о ж н о п о к р ы ть кон ечн ым ч ислом и н т е р в а
лов с общей длиной
т). Т а к и м
образом,
бесконеч ное
м но
ж е с т в о то ч е к р а з р ы в а и н о гд а м о ж е т б ы ть п ок ры то кон ечн ым
ч ислом и н т е р в а л о в с п р о и зв о л ь н о м а л о й о б щ е й д ли н о й .
Если f ( x) = 0 д л я X иррациональны х и f ( x ) = l / n д л я х =
= m ln , г д е m/rt — п р а в и л ь н а я н е с о к р а т и м а я д р о б ь , то f { x )
р а з р ы в н а при всех р а ц и о н а л ь н ы х з н а ч е н и я х х из (О, 1), но
н е п р е р ы в н а при всех и р р а ц и о н а л ь н ы х зн а ч е н и я х . В с а к о м
д ел е , л ю б о е и р р а ц и о н а л ь н о е Xq м о ж н о п о к р ы ть и н т е р в а л о м
д л и н ы 1/«!, не с о д е р ж а щ и м р а ц и о н а л ь н ы х д р о б е й со з н а м е
н а т е л е м , м е н ьш и м п, и, с л е д о в а т е л ь н о , зн а ч е н и я f { x ) в д о с т а
т о ч н о м а л о м и н т е р в а л е , с о д е р ж а щ е м л:о, п р о и зв о л ь н о м а л ы .
В р а с с м а т р и в а е м о м с л у ч а е ф у н к ц и я f { x ) им еет точки р а з р ы в а
в к а ж д о м с к о л ь у г о д н о кор о т к о м и н т е р в а л е . Тем не м енее
о н а о б л а д а е т и н т е г р а л о м Р и м а н а , иб о число то чек р а з р ы в а ,
в к о т о р ы х с к а ч о к }{ х) п р е в ы ш а е т е, не б о л ь ш е , чем с у м м а
ц е л ы х чисел, м е н ь ш и х 1/е, и, зн а ч и т , конечно. И н т е г р а л этой
ф у нкц ии р а в е н нулю .
Е сли / ( j c ) = l д л я X р а ц и о н а л ь н ы х и f { x ) = 0 д л я и р р а
ц и о н а л ь н ы х , то д л я к а ж д о г о лго, н е в а ж н о , р а ц и о н а л ь н о г о или
нет, н а й д у т с я з н а ч е н и я х, п р о и зв о л ь н о б л и зк и е к Хо, где
/ ( л : ) = 1 , и д р у ги е, где /{д:) = 0. С л е д о в а т е л ь н о , л ю б о е з н а ч е
ние X я в л я е т с я точкой р а з р ы в а со с к а ч к о м , р а в н ы м 1, и т а
кие точк и н а (О, 1) н е л ь з я п о к р ы ть н и к а к и м м н о ж е с т в о м
и н т е р в а л о в с д л и н о й < 1. В этом с л у ч а е Я „ = 1 ,
= О, к а к
бы мы ни р а з б и в а л и и н т е р в а л .
П р я м о е п р а к т и ч е с к о е зн а ч е н и е осо бен но стей т а к о г о т и п а
н е в е л и к о . О д н а к о , к о л ь с кор о м ы хотим з а н и м а т ь с я о б о б щ е
н и я м и , эти особен ности очень в а ж н ы к а к с и г н а л ы опасно сти.
С у щ е с т в у ю т д р у ги е о п р е д е л е н и я и н т е г р а л а ( н а и б о л е е в а ж н о е
п р и н а д л е ж и т Л е б е г у ) , ко т о р ы е п р и д а ю т зн а ч е н и я некото ры м
и н т е г р а л а м , не с у щ е с т в у ю щ и м по Р и м а н у ( в к л ю ч а я то л ь ко
что у п о м я н у т ы й с лучай). В этих о п р е д е л е н и я х с с а м о г о н а
ч а л а р а с с м а т р и в а ю т с я р а з б и е н и я . н а б есконечное м н о ж е с т в о
час те й . О ни у п р о щ а ю т ф о р м у л и р о в к и и з а м е т н о у в е л и ч и в а ю т
о б щ н о с т ь н е к о то р ы х из п о сл е д н и х тео рем . Ч и т а т е л ь м о ж е т
п о з н а к о м и т ь с я с этим и о п р е д е л е н и я м и у Б а р к и л л а [11] и
Т и т ч м а р ш а [12]. О д н а к о о к а з ы в а е т с я , что с л у ч а и , в к о т о р ы х
эти м е то д ы при м ен и м ы , а м ето д Р и м а н а нет, т а к ре д к и в ф и
зи к е , что тру д н о ст и , с в я з а н н ы е с их в в е д е н и е м , не о п р а в д ы
ваются.
Е сли f { x ) им еет и н т е г р а л Р и м а н а , то {/(л:)}" ( / г > 0 ) и \ f ( x) \
т а к ж е о б л а д а ю т и н т е г р а л о м Р и м а н а на том ж е и н те р в а л е .
П о с к о л ь к у если f { x ) о г р а н и ч е н а и ее точки р а з р ы в а , в ко т о
ры х с к а ч о к п р е в о с х о д и т со, м о г у т б ы ть по к р ы ты и н т е р в а л а м и
с п р о и зв о л ь н о м а л о й об щ ей д л и н о й , тО это ж е пр и м ен и м о
к { f { x ) T и к |/(л:)|. О б р а т н о е неверно. Р а с с м о т р и м / ( л : ) = 1 при
р а ц и о н а л ь н ы х зн а ч е н и я х х, f ( x ) = — l при и р р а ц и о н а л ь н ы х
зн а ч е н и я х ; { /(x )F и |/(дг)| ин те гр и р у е м ы , а f ( x ) нет.
1.1013.
„ М е р а н у л ь “ , „почти в с ю д у " . М н о ж е с т в о точек, к о
т о р о е м о ж н о п ок ры ть и н т е р в а л а м и с п р о и зв о л ь н о й м а л о й
о б щ е й д л и н о й , н а з ы в а ю т м н о ж е с т в о м м еры н у л ь , а п р е д л о
ж е н и е , с п р а в е д л и в о е всю ду, к р о м е т а к о г о м н о ж е с т в а , н а з ы
в а ю т верны м почти в с ю д у . Л ю б о е конечное м н о ж е с т в о точек
им е е т м ер у нуль; тем ж е св ойств ом о б л а д а ю т и все целы е
ч и с л а , п о с к о л ь к у к а ж д о е целое п м о ж н о покры ть и н т е р в а л о м
длины
2 - 1" ' а, где а п р о и зв о л ь н о м а л о , и п о с к о л ь к у р я д
с х о д и тс я . М е р у н у л ь и м ею т и все р а ц и о н а л ь н ы е ч и с л а
н а (О, 1).
В с а м о м д ел е , если р и q — ц е л ы е и т ак и е , что p < q , то pf q
м о ж н о п о к р ы ть и н т е р в а л о м д л и н ы ajq^, где а п о л о ж и т е л ь н о .
С у щ е с т в у е т q — \ д р о б е й со з н а м е н а т е л е м q, и с к л ю ч а я О и 1.
Н о О и 1 м о ж н о по к р ы ть и н т е р в а л а м и д л и н ы а, а о с т а л ь н ы е
д р о б и — и н т е р в а л а м и с с у м м а р н о й д л и н о й , м ен ьш е й а/ •••> с т р е м я щ у ю с я к н у л ю . Е с л и f { x ) о б л а д а е т
и н т е г р а л о м Р и м а н а , то точки, в ко т о р ы х с к а ч о к ^ со (если т а
к о в ы е в о о б щ е и м ею тся ), м о ж н о по к р ы ть кон ечн ы м числом
и н т е р в а л о в п р о и зв о л ь н о м а л о й д л и н ы ; с л е д о в а т е л ь н о , точки
р а з р ы в а , в к о т о р ы х с к а ч о к < co„_i, но ^ c o „ , м о ж н о по к р ы ть
к о н е ч н ы м м н о ж е с т в о м и н т е р в а л о в д л и н ы 2 ~ ’^ц, а все точки
р а з р ы в а — м н о ж е с т в о м д л и н ы т]. Э то м н о ж е с т в о и н т е р в а л о в
с четн о, иб о к а ж д ы й и н т е р в а л м о ж е т бы ть д о с т и г н у т з а к о
нечное число ш аг о в ; с л е д о в а т е л ь н о , точки р а з р ы в а и н те г р и
р у е м о й ф ункц ии м о ж н о п о к р ы ть счетны м м н о ж е с т в о м и н т е р в а
л о в с п р о и зв о л ь н о м а л о й о б щ е й д л и н о й . Э ти и н т е р в а л ы м огу т
пересекаться.
1.102.
С ущ ествование интегралов С тилтьеса. О п р е д е л е н и е
и н т е г р а л а этого т и п а , д а н н о е в 1.10, п о зв о л я е т , чтобы ф у н к
ц и я g ( x ) б ы л а р а з р ы в н о й . Е с л и g ( x ) не у б ы в а е т и о г р а н и ч е н а
при
и если f ( x ) т о ж е о г р а н и ч е н а , то н е о б х о д и м о е и
ь
достаточное условие сущ ествования
f { x ) d g { x ) состои т в елех=а
д у ю щ е м : д л я л ю б ы х со и б и н т е р в а л м о ж н о р а з б и т ь на к о
неч ное число п о д ы н т е р в а л о в , т а к что в те х п о д ы н т е р в а л а х ,
г д е с к а ч о к f { x ) б о л ь ш е со, п о л н а я в а р и а ц и я g ( x ) м е н ьш е б.
Д о к а з а т е л ь с т в о по с у щ е с т в у т а к о е ж е , к а к д л я и н т е г р а л а
Р им ан а. Если
и м е е т о г р а н и ч ен н у ю в а р и а ц и ю , то мы п о
л у ч и м т о т ж е р е з у л ь т а т , в ы р а ж а я g ( x ) в виде р а зн о с т и д в у х
н е у б ы в а ю щ и х ф ункц ий ф(л:) — г]5(л:) и р а с с м а т р и в а я о т д е л ь н о
/(л:)£гф(дс)
и
f f i x ) dtp (х).
В частно сти, и н т е г р а л С т и л т ь е с а с у щ е с т в у е т на л ю б о м к о
н ечном и н т е р в а л е , есл и g { x ) и м е е т о г р а н и ч е н н у ю в а р и а ц и ю ,
а f { x ) н е п р е р ы в н а . О н не с у щ е с т в у е т , если f {х) и §(л:) и м ею т
т о ч к у р а з р ы в а при о д н о м и том ж е зн ач е н и и х, т а к к а к в л ю
б ом и н т е р в а л е , с о д е р ж а щ е м т о чк у р а з р ы в а , ни с к а ч о к f {x) ,
ни п о л н а я в а р и а ц и я g { x ) не я в л я ю т с я п р о и зв о л ь н о м а л ы м и .
О т с ю д а с л е д у е т , что д л я с у щ е с т в о в а н и я и н т е г р а л а С т и л т ь е с а
не д о ст а т о ч н о , чтобы f { x ) и §(д:) обе б ы ли о г р а н и ч е н н о й в а
риации.
М ы не д а е м у с л о в и й с у щ е с т в о в а н и я и н т е г р а л а С т и л т ь е с а
д л я о б щ е г о случа-я, к о г д а g { x ) не я в л я е т с я ф у нкц ией о г р а н и
ченной в а р и а ц и и : д о ст а т о ч н о , чтобы g { x ) б ы л а н е п р е р ы в н а ,
а f { x) и м е л а огр а н и ч е н н у ю в а р и а ц и ю , но не д о ст ат о ч н о , чтобы
они обе бы ли н е п р ер ы в н ы (это б у д е т д о к а з а н о ниж е).
Если а < Ь < с
и е сл и
ввести о б о зн а ч е н и е
I {d, е) =
е
=
f ( x ) d g { x ) , то из с у щ е с т в о в а н и я I {а, с) сл е д у е т : / ( а , Ь)
x=d
И 1( Ь, с) о б а с у щ е с т в у ю т , и их с у м м а р а в н а I { а , с). О б р а т н о е
верно не в с е гд а . Е с л и
то
/w = 0
{х0),
fdg и
f d g оба сущ ествую т и равны нулю, а
*= -1
*=0
I
f d g не с у щ е с т в у е т. О б р а т н о е д е л а е т с я ве р н ы м д л я с л е г к а
и зм е н ен н о г о о п р е д е л е н и я и н т е г р а л а С т и л т ь е с а , д а н н о г о
лардом.
1.103. Д и ф ф ер ен ц и р ован и е.
X
а) Е с л и f { x ) н е п р е р ы в н а и
f { u ) d u ~ F { x ) , то
а
d
dx
F { x ) = f {x)
и F (х) я в л я е т с я н е п р е р ы в н о й ф у н к ц и е й х .
Э то почти о чеви дн о,
б) Е с л и
^F{x)=^f{x)
Пол
и f { x ) ин т е гр и р у е м а , то
f {u) d u = F ( x ) - F {а).
П о с к о л ь к у F (х) д и ф ф е р е н ц и р у е м а н а {а, Ь), то, к а к мы
з н а е м из 1.0622, д л я л ю б ы х п о л о ж и т е л ь н ы х со и б м о ж н о
р а з д е л и т ь {а, Ь) н а кон ечн ое м н о ж е с т в о и н т е р в а л о в (х^, Хг+\)
д л и н ы ^ 6 и в к а ж д о м и з них в з я т ь н е к о то р у ю т о чк у
т а к,
что д л я л ю б о й то чк и из { Х г , A^r+ l)
\ F { x ) - F ( Ы - (л: - Ы F ' (|Л1 < (OU - 1 , 1
(1)
и, с л е д о в а т е л ь н о ,
(2 )
\ F{ Xr + i ) - F { X r ) - ( X r + i - X r ) F ' i l r ) \ < d ) ( X r + i - X r ) .
Суммируя, получаем
\ F (Ь) - F (а) - ' ^{Xr+j - Хг) f ilr)\ <
- а).
(3)
П о с к о л ь к у f ( x ) и н те г р и р у е м а , м о ж н о д л я л ю б о г о з а д а н н о г о
п о л о ж и т е л ь н о го е в ы б р а т ь т а к о е 6, чтобы с у м м а в ф о р м у л е (3)
о т л и ч а л а с ь от и н т е г р а л а м ен ьш е , чем н а е. Т а к и м о б р а з о м ,
ь
\ F{ b) — F {а) -
I f i x ) d x \ < е + (о(Ь — а).
и, с л е д о в а т е л ь н о , л е в а я ч ас т ь р а в н а н у л ю , ибо е и ю п р о и з
вольно малы.
З а м е т и м , что F (х) м о ж е т бы ть д и ф ф е р е н ц и р у е м о й , а ее
п р о и зв о д н а я м о ж е т не б ы ть и н тегр и ру ем ой ; н а п р и м е р ,
F (х) = л;2 sin ^
П роизводная существует
в л ю б о й о крестн ости 0 .
(0 < х < 1 ),
даж е
при
F{0) = 0.
х = 0,
но
неограничена
Ь
X
в) Е с л и f { x ) имеет интеграл Р и м а н а J f ( x ) d x , то J f { u ) d u
а
а
существует и явля е т с я н е п р е р ы в н о й ф у н к ц и е й д л я в с е х х , та
к и х , что а ^ х ^ Ь ; п р о и з в о д н а я этой ф у н к ц и и р а в н а f (х) в с ю
ду, кром е, быть может, множества м еры н у л ь , а и м е н н о
кро м е точек р а з р ы в а f {x) .
П у сть X — т о ч к а неп р ер ы вн о с ти / ( х ) . Т о г д а в и н т е р в а л е
(х — /г, X + h) с к а ч о к / ( | ) р а в ен (о, где с о -> 0 в м е с те с h.
К р о м е того,
'x+h
x+h
f (л:) - CO<
j
f{u)du-=-j
f{u)du—
f{u)du
<
/ (л:) + CO.
X
У с т р е м л я я h к н у л ю , имеем
f {u)du-=f{x)
dx
BO в с е х т о ч к а х ,
где
О тсю даследует,
f{x) н е п р ер ы в н а .
что если
X
J
X
f (и) d u =
g (и) du,
J
a
a ^ x ^ b ,
a
TO f ( x ) = ^ g { x ) почти в сю д у н а a ^ x ^ b ’, и с к л ю ч е н и е п р е д
с т а в л я ю т точки р а з р ы в а f { x ) или ^(д:) (если т а к о в ы е им ею тся).
И с к л ю ч е н и е , у п о м я н у т о е в пу н кте „ в “ , д о в о л ь н о в а ж н о е .
Е сл и , н а п р и м е р , f { x ) = 0 при л : < 0 и / ( х ) = 1 при х > 0 , то
f(;c )=
f{u)du
-1
= o u < o ),
= х(х>0).
и - ^ F { x \ не с у щ е с т в у е т при х = 0. Е с л и ж е f { x ) = 0 при х ф О
dx
X
и f{x)=l
при лг = 0 , то
/{ « )d « = 0
на
любом
интервале
и
а
вс ю д у и м е ет п р о и зв о д н у ю ,
п р о и з в о д н а я не р а в н а f {x) .
1.1031.
Положим
равную
нулю;
при
x= 0
эта
И нтегрирование по частям д л я и нтеграла С тилтьеса.
( 1)
r= i
при этом
Xq ~ йу
Xfi == bf
Xq ^
^ Х\ ^
^ Xf ^i ^
^ Xf , , , ^ х^. (2)
Тогда
Sn = f
(Хп)
g
(Хп)
-fiXo)g(Xo)-'hn,
(3)
где
lln-gixo)[f{h)-f{xo] +
+ 2 g
r=l
5
З а к . 231
( Xr )
If (ir+l) - / (I.)] + ёГ (x„) и ( x j - f (!„)].
(4)
Д о п у с т и м , что / =
f d g с у щ е с т в у е т, т. е. д л я л ю б о г о е > 0
м о ж н о п о д о б р а т ь 6 т а к , что д л я всех
д ли на наибольш его поды нтервала < 6,
р а зб и е н и й , в кото ры х
|S „ - /|< e .
Тогда
для
любого
м нож ества
li — а , . . . , |л + | — Ео
(5)
а,
|з> •••> Ь, т а к о г о ,
все
что
м ен ьш е у б, если д л я
в ы п о л н я ю т с я н е р а в е н с т в а (2 ), то в ы п о л н я ю т с я т а к ж е н е р а в е н
с т в а Х г ~ Х г - 1 < Ь при всех г. С л е д о в а т е л ь н о , д л я т а к о г о м но
жества
\' Ln-f{b)g{b) + f { a ) g { a ) + l\ 0 , а этот п р е д е л по
о п р е д е л ен и ю р а ве н
g d f . Следовательно,
ь
g o f /сущ ествует и
ь
Sdf = [ f g t -
В ч астн ости , п о с к о л ь к у
fdg
f f dg.
сущ ествует,
(7)
когда f непре
ры вн а, а g им е е т о г р а н и ч е н н у ю в а р и а ц и ю , то он с у щ е
с т в у е т т а к ж е и в том с л у ч а е , к о г д а f им еет огр а н и ч ен н у ю ва)иаци ю , а g н е п р е р ы в н а . Е с л и ^ ( х ) я в л я е т с я и н т е г р а л о м Р и м а н а
X
g(x)=
h{u)du
то о н а и н е п р ер ы в н а , и им е е т о гр а н и ч е н н у ю
вариацию; следовательно,
J
f d g с у щ е с т в у е т , есл и / о б л а д а е т хоть
одним из этих свойств.
Д л я и н т е г р а л о в Р и м а н а р е з у л ь т а т обы чно ф о р м у л и р у ю т в виде
ь
ь
f (х) g ' (х) d x = [/ (л:) g (х)]а -
/ ' U ) g (х) dx\
(8)
т а к и м о б р а з о м , чтобы обе ф ункции и f, и g б ы л и д и ф ф ер ен
ц и р у е м ы д л я всех X , т р е б у е т с я а ^ х ^ Ь . Е с л и пр о и зв о д н ы е
с у щ е с т в у ю т и и н те г р и р у е м ы , то этот р е з у л ь т а т н е м е д л е н н о
с л е д у е т из (7) и 1.1032. Ф о р м у л а (7) в е р н а , о д н а к о , в б о л е е
о б щ и х у с л о в и я х . П р о с т е й ш и й путь и с п о л ь з о в а н и я (8) состоит
в том , чтобы с н а ч а л а п р о и н т е гр и р о в а т ь g' , а потом п е р е п и са ть
(8) в виде (7),
1.1032. З а м е н а
у
g { u ) d u и если
п е р е м е н н о го в и н т е г р а л е . Е с л и x = h( y) =>
f {х) dx,
J / {х) g (у) dy
/ =
у=а
а
об а с у щ е с т в у ю т , то I = J. П о с к о л ь к у по п р е д п о л о ж е н и ю оба
и н т е г р а л а с у щ е с т в у ю т , то д о ст а т о ч н о д о к а з а т ь , что и н т е г р а л ь
ные су м м ы с т р е м я т с я к о д н о м у и т ом у ж е п р е д е л у х отя бы
при одном способ е их о б р а з о в а н и я . В о зь м е м Хг = Н{Уг),
=
= h (т],), т о гд а
l n - I i f i l r ) { X r +l - X r ) ,
J n - I > f i l r ) g { r \ r ) { y r +i - y r ) .
(1)
П о с к о л ь к у g(y) и н те г р и р у е м а , и н т е р в а л ы на оси у м о ж н о вы
б р а т ь т а к , чтобы те из них, где с к а ч о к g{ y) б о л ь ш е чем со,
им ел и об щ ую д л и н у ^ б , где со и 6 п р о и зв о л ь н о м а л ы . Д а л е е ,
l g ( y ) l о г ранич ен, с к а ж е м < С ; с л е д о в а т е л ь н о , если д л и н а н а и
б о л ь ш е г о из и н т е р в а л о в Уг+\ — Ут м е н ьш е А,, то н а и б о л ь ш е е из
чисел I х ,+ | — л:, I м ен ьш е GA,. С л е д о в а т е л ь н о ,
П у с т ь те п е рь G , и
— в е р х н я я и н и ж н я я г р а н и g{ y) при
У г< У < У г+ и
то гд а
ёт {Уг + \ - Уг) < Х г ^ х - Х г < G r {Уг + 1 - Уг),
(2)
gr О, {Ь — а) (О< е. В п о с л е д н ем с л у ч а е а п п р о к с и м и р у ю щ а я с у м м а
м е н я е т с я в с к о л ь уго дн о щ и р о к и х п р е д е л а х в за в и с и м о с т и от
в ы б о р а точки, где б ер е т с я зн а ч е н и е f {x) , д л я п о д ы н т е р в а л а ,
в к о тор ом f { x ) не о гр а н и ч е н а .
В к а ж д о м из с л у ч а е в н у ж н а н е к о т о р а я с п е ц и а л ь н а я схе м а ,
ч тоб ы п р и д а т ь зн ач е н и е и н т е г р а л у . С пособ, и с п о л ьз у ем ы й д л я
и н т е г р а л о в с бесконечны м вер хни м пре д е л о м , состоит в пе р в о
н а ч а л ь н о м р а с с м о тр е н и и и н т е г р а л а с кон ечн ы м вер хни м п р е
д е л о м ; е сл и эт о т и н т е г р а л с т р ем и тс я к о п р е д е л е н н о м у пред ел у,
к о г д а в ер хни й пре д е л и н т е г р и р о в а н и я с т р ем и тся к бесконеч
ности, то это п р е д е л ь н о е зна ч е н и е б ер у т в к а ч е с т в е зн а ч е н и я
д л я б есконечного и н т е г р а л а . И с п о л ь з о в а н и е т а к о й сх е м ы м о ж н о
п р о и л л ю с т р и р о в а т ь на п р и м ер е и н т е г р а л а
sm X ,
dx.
1=
С о г л а с н о н а ш е м у п р а в и л у , его
м о ж н о и н т е р п р ет и р о в а т ь
как
X
lim
г sin л: ,
dx.
И н т е г р а л д о X с у щ е с т в у е т при всех X, п о с к о л ь к у и н т е г р и р у е
м ое в ы р а ж е н и е в с ю д у неп рер ы в н о . Е с л и в з я т ь F > J , в к а ч е
стве т в ы б рать н а и м е н ь ш е е цел о е число, б о л ь ш е е чем Xj n,
а в ка ч е с тв е п,— н аи б о л ьш е е целое, м еньш ее Yjn, то
У
тя
sin X
Г
J
X
У
sin JC
,
,
Г
пп
п -\
sin л:
J
( г + 1) я
Г
г = т гП
sin л:
,
П о с к о л ь к у I sin л: 1 ^ 1 , а т л — X
то п ервы й из и н т е г р а л о в
в п р ав о й ч асти по м о д у л ю s ^ n / X . А н а л о г и ч н о в торой из и н
т е г р а л о в по а б с о л ю тн о й вел ич ине ^ 1/п. С у м м а с ос то и т из с л а
г а е м ы х по оч е р ед н о то п о л о ж и т е л ь н ы х , то о т р и ц а т е л ь н ы х , п р и
чем к а ж д о е по м о д у л ю м е н ьш е п р е д ы д у щ е г о ; но с у щ е с т в у е т
т е о р е м а о том, что е сл и Uq > U i > . . . > ы „ > 0 , то
H o > « o -“ i + «2+
+ ( - ! ) " «„>0.
С л е д о в а т е л ь н о , с у м м а м е н ьш е своего п ервого
а б с о л ю тн о й величине, а
слагаемого
по
( т + 1 )я
Sin X
-dx <
Итак,
- dx
ЧТО м о ж е т бы ть с д е л а н о п р о и зв о л ь н о м а л ы м д л я всех Y > X ,
л и ш ь бы X б ы л о д о с т а т о ч н о велико.
С л е д о в а т е л ь н о , д л я л ю б о го п о л о ж и т е л ь н о г о ч и с л а е, с к о л ь
уго д н о м а л о го , м о ж н о в ы б р а т ь X т а к и м о б р а з о м , что, к а к
бы мы ни у в е л и ч и в а л и верхни й п р е д е л и н т е г р и р о в а н и я по
с р а в н е н и ю с X, мы не м о ж е м и зм ен и т ь и н т е г р а л б о л ьш е ,
чем на 8. И т а к , и н т е г р а л до X им е е т нек ото ро е п р е д е л ь н о е
зн ач ен и е, ко г д а X с т р е м и т с я к б еск онеч ности , и бесконечны й
и н т е г р а л с у щ е с т в у е т в с м ы сл е д а н н о г о вы ш е о п р е д е л е н и я .
1.1041.
П о с к о л ь к у и н т е г р а л я в л я е т с я ф у нкц ией своего в е р х
него п р е д е л а , то м о ж н о пр и м ен и т ь п р и з н а к и с хо ди м о с ти по
с л е д о в а т е л ь н о с т е й , д а н н ы е в 1.0441 и 1.045, к а к это у ж е у п о
м и н ал о с ь в т еор ии н е п рер ы в н ос ти (см. 1.06). Д о к а з а т е л ь с т в а
очевидны .
X
Если f { x ) ' ^ Q и
f
f(x)dx
\ f{x)dx
о гр а н и ч е н
при
всех
Х>а,
то
стремится к п р е д е л у п р и Х - ^ о о .
а
Н е о б х о д и м о е и достаточное у с л о в и е того,
чтобы
/X*
f (дс) d x
а
ст рем ился к п р е д е л у п р и Х - > о о , состоит в том, что д л я л ю
б ого поло ж ит ельного е, с к о л ь у г о д н о м а л о г о , существует тах
кое А , что
\ f { x ) d x < е д л я всех Х > А.
1.1042.
С в я з ь м е ж д у беск онеч ны м и и н т е г р а л а м и и р я д а м и
н а с т о л ь к о т есн а , что их с в о й с т в а у д о б н о в ы р а ж а т ь одним и и
теми ж е с л о в а м и :
f (х) d x сходится, е сл и lim
f { x ) d x с у щ ес т в у е т.
x->oo •>
f { x ) d x н е о гр а н и ч ен , если
f i x) dx
является
неограни
ченны м при Х - ^ о о .
f ( x ) d x = ^ o o , есл и
f ( x ) d x - ^ o o при Х - > о о .
f { x ) d x о с ц и лл и р у е т с к о н е ч н ы м р а з м а х о м вуют
такие
полож ительные
если
сущ ест
ч и с л а м и Л1, что д л я л ю б о г о X
Y,
м ожно вы брать Y x > X
так,
чтобы
в ы б р а т ь Уд т а к , чтобы
J f{x)dx
f { x ) d x > (О,
> м.
примеры
но
н е л ь зя
сходящ ихся
и н теграл ов :
оо
оо
г dx
J
dx.
sin X
-dx.
dx.
Н е о г р а н и ч е н н ы е и н те гра л ы :
оо
оо
dx.
dx
X
sin
X
dx.
П о с л е д н и й из эти х и н т е г р а л о в обы чно н а з ы в а ю т „бесконечно
о с ц и л л и р у ю щ и м " , но у н а с нет п о в о д а в ы д е л я т ь этот сл у чай.
С л е д у ю щ и е и н т е г р а л ы о с ц и л л и р у ю т с конечны м р а з м а х о м :
I cosxdx,
(" 5 'm x d x .
Н е о г р а н и ч е н н ы е и о с ц и л л и р у ю щ и е с конечным
и н т е г р а л ы не и м ею т о п р е д е л ен н о г о знач ения.
размахом
оо
И н т е г р а л J f ( x ) d x н а з ы в а е т с я абсолю т но с х о д я щ и м с я , е сл и
а
\ f ( x ) \ d x сх о д и тс я . Е с л и первы й и н т е г р а л сх о д и тс я , а п о с л е д •/
а
ний нет, то первы й н а з ы в а е т с я у с л о в н о с х о д я щ и м с я . В п р и
в е д е н н ы х в ы ш е п р и м е р а х с х о д я щ и х с я и н т е г р а л о в первы е три
и н т е г р а л а а б с о л ю т н о с х о д я т с я , а посл ед н и й у с л о вн о с х о д и тс я .
1.1043. Е с л и f ( x ) п о ло ж и т е ль на и не возрастает п р и x > X q ,
лоо
ТО интеграл / =
f { x ) d x сходится тогда и только тогда, к о г д а
оо
Ха
сходится р я д 2
/('г), ^де Пц — н а и м е н ь ш е е ц е л о е
ч и с л о , б о ль -
п = по
ш ее чем Xq. Я сно, что ни ря д , ни и н т е г р а л не м огут с х о д и ть ся
б е з того, чтобы f{x )-> -0 ; во зь м е м це л о е число т > Х о и т а к о е ,
что f { m ) < e . Т о гд а
X
f ( m ) + f ( m + 1 ) + . . . + / ( л - 1) > I
т
f { т + \) + f ( т + 2) +
где п — б л и ж а й ш е е к X цел о е число, б о л ь ш е е
т ельн о ,
X
л-1
^ f ( x ) d x - V f(r) ^ f ( m ) < e ,
. . . + f ( n — 1),
X.
Следова
где е п р о и зв о л ь н о м а л о . С л е д о в а т е л ь н о , есл и и н т е г р а л с т р е
м ится к о п р е д е л е н н о м у п р е д е л у , то и с у м м а т о ж е , и о б р ат н о .
В частности,
I
т о гд а , к о г д а р > 1.
х~^ dx и
^ о б а с х о д я т с я т о г д а и то л ь к о
1
1.1044.
Е с л и f i x ) с т р ем и тся к бесконечности пр и под ходе
к н е к о т о р о й точке о б л а с т и о п р е д е л е н и я , то м ож н о, и с п о л ь з у я
а н а л о г и ч н ы й при ем , о п р е д е л и т ь несобственный интеграл', и з м е
ним с н а ч а л а о б л а с т ь о п р е д е л е н и я , в ы р е з а в из нее п р о и зв о л ь н о
ко р о т к и й и н т е р в а л , с о д е р ж а щ и й у к а з а н н у ю точку, а з а т е м
з а с т а в и м д л и н у этого и н т е р в а л а с т р е м и т ь с я к н у л ю . Н а п р и м е р ,
1
1
х~''^ dx==[2x'l^^^ = 2 — 2z'l\
x~'^^dx = 2.
lim
1
Э то т п ро ц е сс п р и н и м а ю т
з а о п р е д е л ен и е
x~'l‘ d x , п о с к о л ь к у
о
Определение интеграла как предела сумм
непосредственно не применимо.
в данном случае
А н а л о г и я м е ж д у б ес к он е ч н ы м и и н е с о б с тв е н н ы м и и н т е г р а
л а м и в в о п р о с а х с хо ди м ос ти н а с т о л ь к о т есн а, что вся т е р м и н о
л о г и я о с т а е т с я б е з и зм е н ен и я .
1.1045.
З а м е н о й п е р ем е н н ы х м о ж н о п е ревести обычный и н те
г р а л в беск о н еч н ы й ил и н е с о б с тв е н н ы й , но зн ач е н и е его при
это м не и зм е н и т ся . Н а п р и м е р , е с л и д л я в се х у, к а к в 1.1032,
x = h{y) , то
л (у)
у
f{x)dx=jf{x)g{y)dy,
(1)
л (0)
о
к о г д а у и Л(^) ко н ечн ы , а ^ ( г / ) ^ 0 ; обе ч асти р а в е н с т в а и м ею т
один и тот ж е п р е д е л , е с л и л и б о у, л и б о h{y) , л и б о и то и
д р у г о е с т р е м и т с я к б еск о н е ч н о с ти . Е с л и h { y ) - ^ b при у - > о о
ъ
и если
f { x ) d x с у щ е с т в у е т , то он я в л я е т с я п р е д е л о м л е в ой
Л(0)
ч асти (1); с л е д о в а т е л ь н о , п р е д е л р а в е н и н т е г р а л у Р и м а н а , ко гд а
он с у щ е с т в у е т.
1.11.
Ф ункции д в у х перем енны х. Д о сих пор м ы з а н и м а л и с ь
п о с л е д о в а т е л ь н о с т я м и , ко т о р ы е м о ж н о р а с с м а т р и в а т ь к а к ф у н к
ц и и од н о го п е р е м е н н о го , п р и н и м а ю щ е г о т о л ь к о ц е л ы е з н а ч е
н и я, и ф у нкц ии одного п е р е м е н н о го , и з м е н я ю щ е г о с я неп реры вн о.
В последую щ ем мы зай м ем ся функциями, существенно зав и ся
щ и м и от д в у х п е р е м ен н ы х , к о т о р ы е м огу т л и б о п р и н и м а т ь
ц е л ы е з н а ч е н и я , л и б о м е н я т ь с я н е п реры вн о . Э то п р и в е д е т
к новы м т р у д н о с т я м при и с п о л ь з о в а н и и п р е д е л ь н ы х п ереход ов,
ибо не в с е г д а оч еви д н о (и д а ж е не в с е г д а верно), что есл и
м е н я т ь п о р я д о к п е р е х о д о в к п р е д е л у , то б у д е т п о л у ч а т ь с я
о д ин и т о т ж е р е з у л ь т а т . П р о с т е й ш е е д о ст а т о ч н о е у с л о в и е
перестановочности переходов к пределу обеспечивается следую
щ е й т е о р ем о й об аб с о л ю тн о й сходи м ости .
1.111.
Е с л и f { x , у) — ф у н к ц и я , н е у б ы в а ю и ^ а я по к а ж д о м у
и з п е р е м е н н ы х х и у [причем, быть может, о д н о ид н и х и л и
о б а п риним аю т только ц е л ы е з н а ч е н и я ), и е с л и
Пт f i x , y) = g{ y) .
Пт f i x , y) = h i x ) ,
X-> oo
(I)
TO
\\m g i y ) = W m h i x )
oo
oo
(2)
в TOMс м ы с л е , что с у щ е с т в о в а н и е о д н о г о и з п р е д е л о в (2) в л е ч е т
за собой
сущ ест вование д р у го го и равенст во о б о и х п р е д е л о в
м еж ду собой.
З а м е т и м с н а ч а л а , что ^ (г/) — н е у б ы в а ю щ а я ф у н к ц и я у. И б о
е с л и У2 > У \ , то
g (г/г) - g {У\) = lim [/ ix , у^) - f ix, г/i)] > 0.
со
(3)
А н а л о г и ч н о е с л и Х2 > х ^ то
h ix2) > h (л:,).
(4)
П у с т ь g iy) им е е т п р е д е л М . Д л я л ю б о г о е н а й д е т с я т а к о е Y,
что д л я в с е х y ~ ^ Y
M ^ g iy )^ M -e .
(5)
Д л я всех X, у в ы п о л н я ю т с я н е р а в е н с т в а M ^ g i y ) ^ f i x , у).
Д а л е е , с у щ е с т в у е т т а к о е X , что д л я вс е х х > Х
fix, Y ) > g i Y ) - E ,
(6 )
п о э то м у д л я всех y > Y , х > Х
M>f{x, y ) > g i Y ) - s ^ M - 2 e .
(7)
С л е д о в а т е л ь н о , есл и г /- > о о и х > Х , то
M ^h{x)>M -2e,
(8)
и по это м у , т а к к а к е п р о и зв о л ь н о , h i x ) т о ж е им е е т п р е д е л М
при х - ^ о о .
Н е м е д л е н н о п о л у ч а е м три с л е д с т в и я . Е с л и
m
f { m , л) = 2
п
2 Ur, S,
(9)
Г=1 5=1
где Ur,s н е о т р и ц а т е л ь н ы , то f { m, п) я в л я е т с я н е у б ы в а ю щ е й
ф ункц ией от т и от п. Зн ач и т , д л я д в о й н о г о р я д а из н е о т р и
цательны х членов
оо
2
оо
г - 1 S -1
оо
оо
2 “ г, 5.
s = l г=1
( 10)
Е с л и н е к оторы е из с л а г а е м ы х
^ отрицательны,
написать
Wr. , = \ U r . A - U r
Vr. = Ыг I + «г. ,
то м о ж но
(И)
где все v^, s и
^ у ж е неотрицательны. Е сли теперь ряд
S 2 l “ r. J с х о д и т с я при н ек о то ром п о р я д к е с у м м и р о в а н и я , то,
к а к л е г к о ви д е ть ,
i и w ,,^ у д о в л е т в о р я ю т ус л о в и ю т ео рем ы
о пер е м е н е п о р я д к а с у м м и р о в а н и я ; в ы ч и та я , н а х о д и м , что
т о ж е у д о в л е т в о р я е т э т о м у у сл о в и ю . С л е д о в а т е л ь н о , д л я
л ю б о г о аб с о л ю тн о с х о д я щ е г о с я д во й н о го р я д а м о ж н о м е н я т ь
п о р я д о к с у м м и р о в а н и я . К а к с л е д с т в и е есл и
и 2
абсо
л ю т н о с х о д я т с я , то
'^a.rbs^ где в пр ав о й части
Г
S
Г
S
ч лен ы с у м м ы м о ж н о б р а т ь в л ю б о м п о ря д ке .
р
Если
Um (х) в с ю д у
неотрицательны
и
если
я
^
т=
и ^ (х) d x
1О
существует д л я в с е х р, q и имеет п р е д е л ы в к а ж д о м и з д в у х
с л у ч а е в , к о г д а о д н о и з п е р е м е н н ы х р , q стремится к б ес к о н е ч
ности, а д р у го е ф и к с и р о в а н о , то
оо
с»
^
оо
00
j u^{x)dx= J {^U^{x)}dx.
m=l
0
0
( 12)
m=I
к
Е с л и Um{x) не в с е г д а сохраняю т з н а к , но
Ч
^
m=l
\u^{x)\dx
О
существует и удовлетворяет в ы ш е у к а з а н н ы м у с л о в и я м и е с л и
хотя бы о д н о и з
оо
00
оо
оо
j '^\Umix)\dx
о 1
1 О
существует, то о б а п р е д е л а в ф о р м у л е ( 12) существуют и р а в н ы
м еж ду собой.
Е с л и ф(л:, у) н е о т р и ц а т е л ь н а и с у щ е с т в у ю т со о т в е т с т в у ю
щ и е п р е д е л ы по к а ж д о м у из п е рем енн ы х, то
dx
J (f [x, y ) d y = ^ d y ^ ф (;с, у) dx\
о
0
(13)
0
зд е сь з а f { x , у) п р и н я то о б щ е е зна ч е н и е об о и х и н те г р а л о в
с ве р х н и м и п р е д е л а м и х п у. К а к и р а н ьш е , если q>{x, у)
не в с е г д а одного з н а к а , то д л я с у щ е с т в о в а н и я и р а в е н с т в а
двойны х Пределов достаточно, чтобы сущ ествовал один из них
для I ф (л:, у) |.
1.112.
Р авн ом ерн ая
сходи м ость
п оследовательностей
рядов. Ч л е н ы п о с л е д о в а т е л ь н о с т и {/„ (л:)} м о гут б ы ть ф у н к ц и я м и
п е р е м е н н о го х. Т о г д а есл и п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь с х о д и тс я при
всех з н а ч е н и я х х из нек отор ого и н т е р в а л а , то ее пре д е л
я в л я е т с я ф у нкц ией х , с к а ж е м f {x) . Е с л и в ы б р а т ь п р о и зв о л ь н о
м а л о е п о л о ж и т е л ь н о е е, то д л я л ю б о го х м о ж н о п о д о б р а т ь п (х),
т а к что I fp (х) — f (х) К е д л я всех р ^ п {х), п о с к о л ь к у п о с л е
д о в а т е л ь н о с т ь с х о д и тс я . Н а и м е н ь ш е е зн а ч е н и е п{ х) , д л я к о т о
рого это верно, в оо б щ е го в о р я , з а в и с и т от х. Н о м о ж е т
о к а з а т ь с я в о зм о ж н ы м в ы б р ат ь п н е за в и с и м о от х, т а к что
l / p W ~ f W i < ® д л я всех р > п и д л я всех д: из и н т е р в а л а .
Е с л и это в о з м о ж н о при к а ж д о м е, то г о в о р я т , что /„(д:) с х о
дится р а в н о м е р н о к f {х) в и н т е р в а л е . У с л о в и е р а в н о м е р н о й
с х оди м о сти м о ж е т н а р у ш а т ь с я , если с у щ е с т в у е т т а к о е х,
с к а ж е м с, внутри или на конце и н т е р в а л а , что есл и в зя т ь
п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь зн ач ен и й х, с т р е м я щ у ю с я к с, то с о о т в ет
с т в у ю щ и е д а н н о м у е з н а ч е н и я п{ х ) с т р е м я т с я к бесконечности.
Т а к к а к /„(л:) м о ж е т бы ть сум м ой п е р вы х п ч лен о в р я д а ,
то эти ж е п о л о ж е н и я с п р а в е д л и в ы и д л я р я д о в
когда
X п р о б е г а е т нек о тор ы й и н т е р в а л . Т а к , р я д ^ х " с х о д и т с я д л я
всех X, т а к и х , что 0 ^ л : < 1 , но не я в л я е т с я р а в н о м е р н о
с х о д я щ и м с я д л я всех т а к и х х. В с а м о м д е л е , если з а ф и к с и
р о в а т ь е, а потом в ы б р а т ь п т а к, чтобы
хП + х '^ + 1 ^ . . . +
( 1)
б ы л о м е н ьш е е при всех р ^ 1, то т о г д а д о л ж н о быть
д :"< (1 -л :)е
(2)
и, т а к и м о б р а з о м ,
' • > - ' - ‘5 ^
.
(3)
ЧТО с т р е м и т с я к бесконеч ности , ко г д а х с т р е м и т с я к 1. П о эт о м у
р а с с м а т р и в а е м ы й р я д р а в н о м е р н о с х о д и тс я на о т р е з к е а - ^ х ^ Ь ,
где а и 6 — ф и к с и р о в а н н ы е ч и с л а м е ж д у О и + 1 , п о с к о л ь к у
м о ж н о в ы б р а т ь п б о л ь ш е б о л ь ш е г о из чисел
In [(1 - а) е]
In а
’
И одно и то ж е зн а ч е н и е
м еж у т о ч н о го зн а ч е н и я х.
In [(1 - Ь) е]
In 6
’
п подойдет тогда д ля лю бого про
Р я д сх о д и тс я д л я л ю б о г о х из
и
— 1 < х < 1 . О д н а к о р я д не я в л я е т с я р а в н о м е р н о с х о д я щ и м с я
в и н т е р в а л е — 1 < х < 1, ибо, х о т я зн а к и „ < “ и с к л ю ч а ю т д л я х
в о з м о ж н о с т ь б ы ть р а в н ы м в точности — 1 или + 1, они д о п у
с к а ю т , чтобы X п р и н и м а л о п р о и зв о л ь н о е п р о м е ж у т о ч н о е з н а
чение, с к о л ь уго д н о б л и зк о е к 1, и к а к бы мы ни в ы б р а л и п,
мы в с е г д а с м о ж е м н а й ти т а к о е зн а ч е н и е х , чтобы у с л о в и е (3)
наруш илось.
Е с л и f n { x ) - * f {х) р а в н о м е р н о н а ка ж д о м и з к о н е ч н о го м н о
жества и нт ервалов (а^, Ьг), г = 1 , . . . , k, то сходимость также
р а в н о м е р н а я н а вс ем этом множестве. В с а м о м д ел е , д л я
к а ж д о г о и н т е р в а л а су щ е с т в у е т т а к о е п ,, что \ f p( x) — f {х) \ < е
д л я р ^ П г и х из ( а „ bf). В о зь м е м т р а в н ы м н а и б о л ь ш е м у
из Пг', т о г д а при р > т б у д е т \ f p{ x) — f { x ) \ < e д л я л; в л ю б о м
из этих и н т е р в а л о в .
Е с л и f n { x ) - > f {х) в а ^ х ^ Ь
и f n ( x ) ^ f (х) р а в н о м е р н о
в а
/
sin га 4-- 5 - 0 —sin-;r0
2
4 ^
2sin le
cos
(«+ I
sin п 0 = ---------2s in l0
Е сли sin V2S при '/ 2Л > 6 > 0 есть н а и м е н ь ш е е зна ч е н и е | s i n V 2 0 |
в о б л а с т и изм ен ен ий 0 , то ни д л я к а к о й сум м ы м о д у л ь не п р е
в осх оди т cosec V26, к а к о в ы бы ни б ы ли « и 0. Е с л и теперь
о, >
^
то о т с ю д а с л е д у е т , что 2 ^’пСОЗ«0 и
2 у п 5 1 п п 0 равномерно сходятся в любом замкнутом интервале
Q< 0 <
которы й не с о д е р ж и т нулей sin '/г©, т. е. не с о д е р ж и т
точек 0 = 0, 2я, 4 я ...........
В частности, р я д ы
1 -Ь cos 0 + -^ cos 2 0 + - ^ cos 3 0 + . . . ,
sin 0 + -J sin 20 + j sin 30 + . . .
р а в н о м е р н о с х о д я т с я на л ю б о м о т р е з к е а ^ 0 ^ 6 , ко тор ы й не
в к л ю ч а е т О, 2 л, . . . . В д ей с тви те л ьн о с т и первы й из р я д о в р а с
хо д и тся при 0 = 0 , второй сх о д и тс я всю ду, но н е р а в н о м е р н о
в л ю б о м и н те р в а л е , с о д е р ж а щ е м 0 = 0. П о з ж е (гл. 14, при м ер 4)
мы у в и д и м , что его с у м м а с о в е р ш а е т с к а ч о к о т — '/гл; до 'Л л.
ко г д а 0, в о з р а с т а я , пр о х о д и т ч ер ез О, т а к что н е р а в н о м е р н а я
с хо ди м ость, к а к и в 1.114, с в я з а н а с р а зр ы в н о с т ь ю .
1.116.
Т еорем а об ограниченной сходи м ости . Р а в н о м е р н а я
с х о д и м о с ть я в л я е т с я д о с т а т о ч н ы м у с л о в и е м н еп р ер ы в н ости и
и н тегр и р уем о сти су м м ы при у сл овии, что о т д е л ь н ы е ч лен ы н е
п р е р ы в н ы или и н тегриру ем ы . О д н а к о это у с л о в и е о тн ю д ь не
я в л я е т с я н е об х од и м ы м . Н а п р а к т и к е обы чно б ы в а е т п рощ е
н е п о ср е д с тв е н н о п ров ер и ть, и н т е г р и р у е м а ли п р е д е л ь н а я ф у н к
ц и я , чем п р о в е р я т ь , р а в н о м е р н а ли схо д и м о с ть, к т о м у ж е
во м но гих с л у ч а я х п е р е х о д к п р е д е л у по д з н а к о м и н т е г р а л а
в о з м о ж е н , хо тя с ходи м о с ть не я в л я е т с я р а в н о м ер н о й ; по э то м у
в о з н и к а е т н е о б х о д и м о с ть в б о л е е о б щ ем п р а в и л е . Т а к и м п р а
в и л о м я в л я е т с я с л ед у ю щ е е . О но и звестно к а к теорема об .огра
н и ч е н н о й сходимост и (см. п р и л о ж е н и е к гл. 1). Е с л и |/ „ * ( л : ) | ^ М
д л я в с е х п и X при а ^ х ^ Ь , вс е f n( x) интегрируемы и
ь
ь
- ^ f ( x ) , г де f { x ) инт егрируем а, то
fn(x)dx-> j f{x)dx.
а
Дока-
а
з а т е л ь с т в о не просто, но р е з у л ь т а т с л е д у е т зн а т ь .
П о в ед е н и е f„(x ) и
1
1
lim ( f ^ { x ) d x ,
f lim f „( x) dx
п о л е зн о изучить н а п р и м е р а х
f „{x) = x e - ' ‘’‘,
/„ ( х ) = rtxe-«*,
/„ ( х ) =
1.117.
Р яды , используем ы е дл я сравнения. В д а л ь н е й щ е м
с а м ы м и в а ж н ы м и р я д а м и , и с п о л ь з у е м ы м и д л я с р а в н е н и я , б у дут
2 -^" (0 < л : < 1),
( s > l ) (их мы у ж е изучили) и
( 0 ^ а < 1 ) . С х о д и м о с ть п о с л е д н е г о с р а з у сл е д у е т из М -п р и з н а к а ,
есл и s < 0 . Е с л и s ^ O , имеем
Un
п
а.
С р остом п это о тн о ш ен и е ст р е м и т с я к а. С л е д о в а т е л ь н о , п о
с к о л ь к у а < 1 , м о ж н о в з я т ь m н а с т о л ь к о б о л ь ш и м , чтобы д л я
всех п > т отнош ен ие бы ло м е н ьш е Ь, где а < Ь < \ . Т о г д а при
п> т
а 2
~ с х о д я щ и й с я р я д из п о л о ж и т е л ь н ы х членов.
в а т е л ь н о , ' ^ n f a " ' с х о д и тс я при 0 ^ а < 1.
Следо
2 ^ “ ® часто
Сравнение с рядом
Vn = n~^ (1 < s ) , то
м ож н о упростить. Если
\
Vn-i 1
L
\ re
Е с л и и„ п о л о ж и т е л ь н ы при всех п и
\
Ufi-l
то м о ж н о в з я т ь 5 = ' / 2 (^ + 1),
д л я всех п > т б ы ло
п\
■S.
/ J
а потом в ы б р а т ь т т а к , чтоб ы
Un
\ —
Г,
\^1
/ га — 1 V I
Un-i
т о гд а
т
Un 0 , то
сходится п р и
в ы п о л н е н и и ка ж дого и з с л е д у ю щ и х условий'.
Un
■k < l
Un-l
или
Un
Un-l
1,
n ( l - ^ ) - ^ t > L
\
«П-1
1.12. Р авн ом ер н ая сх оди м ость
Если подынтегральное вы раж ение
н е к о т о р о г о п а р а м е т р а у , то т а к ж е ,
во пр ос о р а в н о м е р н о й сходимости.
лагат ь, что
f{x)dx
бесконечны х интегралов..
з а в и с и т от л: и е щ е от
к а к д л я р я д о в , в о зн и к а е т
М ы будем всегда п р ед п о
существует, к а к
бы в е л и к о н и б ы л о X .
Это з а м е ч а н и е н е о б х о д и м о по с л е д у ю щ е й причине. У т в е р ж д е н и е
„бё с к о н е чн ы й и н т е г р а л с х о д и т с я " о з н а ч а е т , что с х о д и т с я л ю б а я
п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь и н т е г р а л о в с кон ечн ы м верх ни м п р е д е л о м ,
ко г д а эт о т п р ед е л с т р ем и т с я к бесконеч ности . Т а к и м о б р а з о м ,
н е л ь з я го в о р и т ь о с х о д и м о с ти б есконечного и н т е г р а л а , не п р е д
п о л о ж и в , что все и н т е г р а л ы от а д о X с у щ е с т в у ю т . Н и ж е мы
д а д и м у с л о в и я с х оди м о сти б есконечного и н т е г р а л а в п р е д п о л о
ж е н и и , что конечные и н т е г р а л ы с у щ е с т в у ю т . В ч астном с л у ч а е
X
если
Y
/ (х) d x с у щ е с т в у е т и
\f {х)\йх X
и д л я всех у из этой о б л а с т и
fix, y) dx < е .
Э то с во йство п о з в о л я е т м е н я т ь п о р я д о к и н те г р и р о в а н и я в п о в
торном и н те г р а л е д а ж е в том с л у ч а е , ко г д а один из п р е д е л о в
бесконечен. П о д п овторны м и н те г р а л о м мы п о д р а з у м е в а е м
и н т е г р а л вид а
6,
а,
V d y J ! {х, у) dx,
Ьа
Оа
где с н а ч а л а f { x , у) ин тегр и р у е т с я по х от Оо до Oi, а за т е м
р е з у л ь т а т и н те г р и р у е т с я по у от &о ДО
Р а с с м о т р и м и н те гр а л ,
в к о тор ом f i x , у) н еп р ер ы в н а по об еи м перем енн ы м х и у:
bi
оо
bi
(X
оо
I = { d y \ f i x , y ) d x = \ d y \ { f ix, у) d x + \ f ix, у) d x
J
J
J
I
J
bn
a
bo
^a
X
•
( 1)
П о с к о л ь к у все п р е д е л ы и н т е г р и р о в а н и я конечны, то
by
bn
X
X
ь,
d y \ f ix, y)dx== j d x j f ix, y) d y .
a
a
(2)
(Это д о к а з ы в а е т с я п р о с т о * ).) Т а к к а к X н а х о д и т с я в н аш ем
р а с п о р я ж е н и и , вы б ере м его т а к , чтобы д л я всех Y > X бы ло
f i x , y ) d x < ( 0.
(3)
*) Д ля непрерывной функции f (х, у)\ в гл. 5 это утвер ж дени е будет
установлено при несколько более широких предполож ениях.
Т о г д а а б с о л ю т н а я в е л и ч и н а вто ро го с л а г а е м о г о ф о р м у л ы (1)
не б о л ь ш е чем (61 — 60)®. и
ь,
I d x \ ! {х, у) d y (4)
Ьг
Т а к к а к д л я п р о и зв о л ь н о м а л о го со м о ж н о най ти т а к о е з н а
чение X , что в ы п о л н я е т с я (3), по л у ч а ем
X
/=
Ь,
оо
*,
lim \ d x [ f i x , y ) d y - = \ d x
J
J
J
X-^00 J
a
bo
a
f{x, y)dy,
(5)
&o
что и д о к а з ы в а е т т ео рем у.
Э та т е о р е м а м о ж е т бы ть с ф о р м у л и р о в а н а с л е д у ю щ и м о б р а
зом : в р а в н о м е р н о с х о д я щ е м с я инт еграле можно производит ь
инт егрирование п о д з н а к о м инт еграла. О т с ю д а с л е д у е т , что
оо
f{x,y)dx
м о ж н о д и ф ф е р е н ц и р о в а т ь по у под з н а к о м и н те
г р а л а при у с л о в и и , что с у щ е с т в у е т п р о и з в о д н а я d f j d y и инте
г р а л от нее по х р а в н о м е р н о с х оди тся в окрестно сти р а с с м а
т р и в а е м о й точки у. Д о к а з а т е л ь с т в о н е м е д л е н н о п о л у ч и т с я, если
в послед ней теор ем е за м е н и т ь f { x , у) н а дЦ ду.
О б о б щ е н и е на с л у ч а й р а в н о м е р н о с х о д я щ и х с я и н т е г р а л о в
не о б я з а т е л ь н о от н е п р ер ы вн ы х ф ункций Ц х , у) м о ж е т бы ть
с д е л а н о н а пути, у к а з а н н о м в конце р а з д . 1.113.
1.121.
Ж - п р и з н а к . П р ос тей ш и й п р и з н а к р а в н о м е р н о й с х о д и
м ости ана л о ги ч ен М -п р и з н а к у д л я р я д о в . Е с л и д л я в с е х у,
таких, НТО b o ^ y ^ b i ,
\f(x, y)\
1.123.
f(x)dx
П ризн ак Абеля
сходится
{не
для
б ес к о н е ч н ы х
об яза т ел ь но
интегралов. Е сли
абсолютно)
и
если
для
к а ж до го з н а ч е н и я у п р и Ь о ^ у ^ Ь ^ ф у н к ц и я v { x , y ) неот рица
тельна, о г р а н и ч е н а д л я в с е х х , у и н и к о г д а не возрастает п о х.
то
f { x ) v { x , y ) d x сходится р а в н о м е р н о п о у п р и b o ^ y ^ b i .
М ы им еем О ^ о (х, г/) ^ Af; в о зьм ем X т а к , что
X'
I / (х) d x
< (0
д л я всех
Х'>Х.
Т о г д а по л е м м е А б е л я при b o ^ y ^ b i
X’
/ (х ) V
{х, у) d x
(oM,
откуда следует равномерная
ВЗЯТЬ п р о и зв о л ь н о м а л ы м .
с х о д и м о с ть, п о с к о л ь к у со м о ж н о
sm X
^ - dx сходится,
Н апример,
а е~^У п о л о ж и т е л ь н а , огр а-
0
ни чен а и не в о з р а с т а е т по х при О ^ г / ^ о о .
sm X
е-ху
Следовательно,
d x с х о д и т с я р а в н о м е р н о при у ^ О .
1.124.
П р и з н а к Д и р и х л е — Х а р д и д л я б еск он еч н ы х и н т е г р а »
лов. Е с л и
f i x , y ) d x о гр а н и ч е н п р и в с е х Х > а и п р и b o ^ y ^ b i
а
и если
V
(х) о гр а н и ч е н а , по лож ит ельна, не возрастает и стреоо
мится к о п р и х - ^ о о , то
f { x , y ) v { x ) d x р а в н о м е р н о сходится
а
п р и b o ^ y ^ b i . М о ж н о в з я т ь X т а к , что u ( Z ) < w и д л я всех
Х ' - > Х есть т а к о е М , что
X'
-М <
Т о г д а пр и b o ^ y ^ b i
f (х, у) d x < М .
и при всех Х ' > Х
X'
f [х, у) V (х) d x б > 0 , то это в ы р а ж е н и е по м о д у л ю м е н ьш е, чем
2/6. Ф у н к ц и я 1/ х п о л о ж и т е л ь н а и с т р е м и т с я к О с в о з р а с т а
нием
X.
Следовательно,
sin х у
dx
р а в н о м е р н о с х о д и тс я , если
а > 0 , в л ю б о й о б л а с т и , где \ у \ > Ь > 0 . Ни в ка к о й о б л а с т и ,
в к л ю ч а ю щ е й у = 0, этот и н т е г р а л не я в л я е т с я р а в н о м е р н о с х о
д я щ и м с я . В д ей с тв и те л ь н о с т и он рав ен Ч-'/зл; при у > 0 , — ‘/гл
при г/ < О и О при у = 0, т а к что, к а к и д л я р я д о в , н е р а в н о м е р н а я
с х о д и м о с т ь и н т е г р а л а м о ж е т б ы ть с в я з а н а с тем, что он я в л я е т с я
р азр ы в н о й ф ункцией п а р а м е т р а .
Р ав н о м е р н а я сх о д и м о с ть и н т е г р а л а от н еп р ер ы в н о й ф у н к
ции — очень п о л е зн о е у с л о в и е , д о ст а т о ч н о е д л я н еп реры вн ости
и н т е г р а л а и д л я в о зм о ж н о с т и и н т е г р и р о в а т ь под зн а к о м инте
г р а л а . М ы у ж е р а с с м о т р е л и пр и м ер , к о г д а н е р а в н о м е р н а я сх о
д и м о с т ь с в я з а н а с р а з р ы в н о с т ь ю и н т е г р а л а . С л е д у ю щ и й при м ер,
д а н н ы й К у р а н т о м [13], п о к а з ы в а е т , что он а м о ж е т бы ть с в я
з а н а с н е в о зм о ж н о с т ь ю м е н я т ь п о р я д о к и н т е г р и р о в а н и я . Е с л и
/ {х, у) = { 2 - х у ) хуе-^У,
ТО мы н а х о д и м
оо
о
d x j f (х, у ) d y = 0,
о
j
о
1
j f (х, y ) d x = l .
о
Имеем
f {х, и) du = х у ^ е ~ ’‘У.
Для
л ю б о го х ф О
это в ы р а ж е н и е ст р е м и т с я к О при у - * о о ,
оо
а при х = 0 ф у н к ц и я f { x , y ) = Q при всех у. И т а к ,
f(x,y)dy
о
с х о д и т с я , но н е р а в н о м е р н о в б л и з и л: = 0; в с а м о м д ел е , если
Т1 — н а и б о л ь щ е е зн а ч ен и е у,
при
к о торо м
х у ^ е ~ ’‘у = е, то
х у ‘^ е ~ ^ ^ < г при всех у >Г[ , о д н а к о т] с т р е м и т с я к б есконечности
у
при х - > 0 .
Д ействительно,
f{x,u)du
неогр ан и чен по у при
о
л:
0.
Р а с п р о с т р а н е н и е эти х р е з у л ь т а т о в на с л у ч ай , к о г д а инте
г р а л ы з а в и с я т не от д в ух , а о т трех или более п ер ем енн ы х,
не д а е т ничего п р и н ц и п и а л ь н о нового.
И н о г д а п о л е зн о с л е д у ю щ е е п р и л о ж е н и е п р и з н а к а Д и р и х л е .
Пусть
/ = Г cos [f (л:)] dx,
где /'(л;) — п о л о ж и т е л ь н а я в о з р а с т а ю щ а я ф у н кц и я при х ^ а к
f ' ( x ) - ^ o o , к о г д а х - > о о . П о л о ж и м f { x ) = y, V { x ) = { j g { y ) ,
f { a ) = b. Т о г д а г/— в о з р а с т а ю щ а я ф у н к ц и я х и
/ = J c o s y - g { y ) dy.
b
Н о §■(?/)> О и я в л я е т с я у б ы в а ю щ е й ф ун кц и ей с пределолт,
равным
0.
Следовательно,
для
сходимости
и нт егралов
оо
оо
COS [f (л:)] d x ,
sin [/(x)]d A : достаточно, чтобы f ' (х) б ы л а возо
о
раст аю щ ей ф у н к ц и е й и стремилась к оо. Н а п р и м е р ,
cosx^dx,
о
сходятся.
cos {х^ — m x ) d x
(m — д ей с тв и те л ьн о е )
6
Для
пос л е д н е го
интеграла,
если
т>0,
во зьм ем
а> (^
1.125,
Интегралы с верхним п р едел ом , стрем ящ им ся к б е с
конечности. Е с л и f { x , n ) - ^ g { x ) и А „ - ^ о о при / г - > о о , то иногда
н у ж н о б ы в а е т най ти усл о вие, при котором
оо
fix, n ) d x - * j g{x)dx.
(1>
О
Я сно, что вопрос этот с в я з а н с р а вн о м е р н о й с х о ди м о стью ; д е й
ст ви т ел ьн о , м о ж н о о п р е д е л и т ь ф ункцию
h ( x , n) = f { x , п)
(а < л :< Я „ ),
h { x , п) = 0
(А,„ Х
VL у ^ У
f i x , y ) - h { X ) = [f{x, y ) - g { y ) ] - [ f { X , y ) - g { y ) ] + [f {X, y ) - h { X ) ] ,
(2)
\ f { x, y ) - h { X ) \ < 3 a , ,
1 я (г /)-/г (Х )|< З с о ,
a
следовательно, если
г/, >
У, т о
\g{yi)-g{Y)\ - о о , / ( т , п) р а в н о м е р н о с х о д и тс я к g ( n ) при всех/г.
Если
m
f { m , x) = ^ j
X
u^iDdl,
(6 )
r=l 0
у сл о в и я таковы : интегралы сх о дя тся при х - ^ о о дл я л ю б о го т ;
с у м м а д л я к о н е ч н о г о х с х о д и т с я р а в н о м е р н о п р и в с е х х, б о
л ь ш и х н е к о т о р о г о X q. Е с л и , н а о б о р о т , в з я т ь
Xг т
f { m, х ) = ^
dl ,
о Lr = l
т о у с л о в и я т а к о в ы : р я д с х о д и тс я , к о г д а | и зм е н я е т с я на лю бом
к о н ечн о м и н те р в а л е ; и н т е г р а л с х о д и тся р а в н о м е р н о д л я всех т,
б о л ь ш и х Шо-
Если
у
f i x , г/) = I
у
л
J ф (g, Ti) dri = I dT] I ф (g, ti) d^,
(7)
TO у с л о в и я т а к о в ы : и н т е г р а л по т] с х о д и тс я на лю бом интер' в а л е по I; второй и н т е г р а л с х о д и тся р а в н о м е р н о при всех у,
б о л ь ш и х нек о то рого Y.
1.13.
Т е о р е м ы о с р е д н е м . М ы видели, что н е п р е р ы в н а я
ф у н к ц и я на лю бом о т р е зк е д о с т и г а е т св о и х в ерхней и ниж ней
г ран ей . П у с т ь f { x ) н е п р ер ы в н а при а ^ х ^ Ь и им еет произ^в о д н у ю f ' { x ) при ' а < х < Ь , и пусть f { a) = f { b) = 0, а в н е к о то
рой внутренн ей точке / ( | ) > 0 . Д а л е е , пусть х = г\ с о о тв етс тв уе т
верхней г р а н и f ( x ) в и н т е р в а л е . Т а к к а к / (т]) ^ / (I) > О, то т]
I не р а в н о ни а, ни Ь. Д а л е е ,
h^O
: Е с л и h > 0 , то f (т] + /г) ^ f (т]), и, с л е д о в а т е л ь н о , / ' ( т ] ) ^ 0 . Е с л и
: / г < 0 , то f (y] + h ) ^ f { r \ ) , и, с л е д о в а т е л ь н о , / ' ( т ] ) ^ 0 . Эти усл о■ВИЯ со вм естн ы т о л ь к о в с л у ч а е , к о г д а / ' ( ti ) = 0.
П ри это м не
'т р е б у е т с я , чтобы f ' (х) б ы л а н еп р ер ы в н а .
Е с л и f ( x ) им еет на и н т е р в а л е о т р и ц а т е л ь н у ю н и ж н ю ю г р а н ь ,
; то мы п о л у ч а е м тот ж е р е з у л ь т а т , п р и м е н я я д о к а з а т е л ь с т в о
к — f i x ) . С л е д о в а т е л ь н о , е с л и f { x ) имеет п р о и з в о д н у ю при
а < х < Ь и н е п р е р ы в н а п р и а ^ х ^ Ь , то п р о и з в о д н а я о б р а
щается в н у л ь м еж ду л ю б ы м и д в у м я н у л я м и f {x}. Р е з у л ь т а т
это т известен под н а з в а н и е м теоремы Р о л л я .
П у с т ь с, d —д в а п р о и зв о л ь н ы х зн а ч е н и я х , та ки е , что f i x )
н е п р е р ы в н а при c ^ x ^ d и им еет п р о и зв о д н у ю при c < x < d \
р а с с м о т р и м т о г д а ф ункц ию
g i x ) = f ix) - f i c ) -
х —с
Т-
[/ id) - f ic)].
О н а о б р а щ а е т с я в ну л ь при х = с и x = d. Е е п р о и з в о д н а я о б
р а щ а е т с я по э то м у в ну л ь при нек о то р о м х м е ж д у c a d , с к а
ж е м при х = г]; т о гд а
f(d)-f(c)
d —c
Т а к и м о б р аз о м ,
fi d ) - f i c ) = id-c)riy^).
где с < Т1 < rf. Э то теорема о среднем д л я пр ои зв одн о й . Геом етрический с м ы с л ее с л е д у ю щ и й : в о зьм е м п р о и зв о л ьн у ю х ор д у.
с о е д и н я ю щ у ю д ве точки г л а д к о й кри в ой , т о гд а в некоторой
п р о м еж у т о ч н о й точке к а с а т е л ь н а я п а р а л л е л ь н а этой хорде.
Н а и б о л е е в а ж н о е п р и л о ж е н и е : е с л и f ( x ) н е п р е р ы вн а при
а ^ х ^ Ь и f ' ( x ) = 0 п р и а < х < Ь , то f { x ) постоянна на {а, Ь).
В с а м о м д ел е, f (х) - f (а) = { х - а ) f' (|), где а < | < х; но / ' (|) = О,
с л е д о в а т е л ь н о , f { x ) = f {a) . О т м е т и м н ед о стато чн ость у сл о в и я
/'(л:) = 0 почти всю ду. И з в е с т н а ф у н кц и я , н е п р ер ы в н а я на (О, 1),
с пр о и зво д н о й , почти в сю д у на (О, 1) р а в н о й нулю , и неп о
с т о я н н а я на (О, 1). Д о с т а т о ч н о , о д н а к о , чтобы f ' {x) = 0 всюду,
к р о м е конечного ч и с л а точек, в к о т о р ы х f (х) не п р ер ы вн а .
X
Е с л и f ( x ) н е п р е р ы в н а и f (д:)= J f ( u ) d u , то
Е с л и G' { x ) = f {x) , то F { x ) — G{ x ) я в л я е т с я н е п р ер ы в н о й ф у н к
цией с пр о и зв о д н о й , в с ю д у р а в н о й нулю , с л е д о в а т е л ь н о , эта
ф у н к ц и я п о с т о я н н а . С о о т в е т с т в у ю щ а я т е о р е м а , в котор ой д а н а
л и ш ь ин те гр и р у ем о с т ь f {x) , п р и в е д е н а в 1.103. К а ж д у ю из этих
т еор ем м о ж н о и с п о л ь з о в а т ь д л я пр о в е р к и с п р а в е д л и в о с т и ме
т о д а и н т е г р и р о в а н и я , с о г л а с н о ко т о р о м у с н а ч а л а и щ ется ф у н к
ци я с пр о и зво д н о й , р а в н о й f {x) . Д р у г о е с л е д с т в и е п о л е зн о
в н е к о тор ы х с л у ч а я х , к о г д а н у ж н о у з н а т ь п р о и зво д н у ю в точке
х = а, но в ы чи сл ить ее по ч ем у-ли бо т р у д н о (н ап ри м е р, и з-за
того, что и н т е г р а л или р я д , п р е д с т а в л я ю щ и й ее, не сходится).
Е с л и f i x ) н е п р е р ы в н а и /'(л;) с у щ е с т в у е т всю ду, кр ом е, быть
м о ж е т , X = а, то
г де О < 0 < 1 . П у с т ь т е п е р ь h с т р ем и тс я к нулю , то гд а если
л е в а я часть с т р е м и т с я к п р е д е л у , то этот п р е д е л р а в е н f ' {a).
Н о если f ' ( x ) с т р е м и т с я к п р е д е л у , к о г д а х с т р е м и т с я к а,
то к э т о м у п р е д е л у с т р е м и т с я п р а в а я ч асть, а л е в а я часть,
б удуч и р а в н а п р а в о й , им еет тот ж е п р ед ел . С л е д о в а т е л ь н о ,
е с л и f { x ) н е п р е р ы в н а и f ' (х) имеет п р е д е л п р и х, стремяи^емся
к а, то f ' {a) существует и р а в н а этому п р е д е л у .
Е с л и -^ [ / (а + /г) — / (а)] им е ет п р е д е л при / г - > 0 по п о л о ж и
т ельн ы м зн а ч е н и я м , то этот п р е д е л м о ж н о н а з в а т ь п р о и з в о д
н о й f i x ) с п р а ва в точке а и о б о зн а ч и т ь ч ерез f ' { a + ). П о с л е д
нее д о к а з а т е л ь с т в о т а к ж е г о д и тс я д л я того, чтобы п о к а з а т ь ,
что если f i x ) н е п р ер ы в н а с п р а в а в точке а и f ' i a + h) им еет
п р е д е л при / г - > 0 по п о л о ж и т е л ь н ы м з н а ч е н и я м , то f ' { a + ) с у
щ е с т в у е т и р а в н а э т о м у п р е д е л у . А н а л о г и ч н ы м свойством о б
л а д а ю т п р о и зв о д н ы е с л е в а . У т в е р ж д е н и е о том , ч т о / ' ( а ) с у щ е
ствует, э к в и в а л е н т н о у т в е р ж д е н и ю о с у щ е с т в о в а н и и и р а в е н с т в е
Па +) и Па-).
1.131.
П ервая теор ем а о ср едн ем д л я интегралов. Е с л и д л я
всех X , т а к и х , что а ^ х ^ Ь , m ^ f ( x ) ^ M , то
ь
m (fe -a X J f { x ) d x ^ M { b - a ) ,
а
И,
следовательно,
ь
f {х) d x = N (Ь — а),
где N т а к о е , что т < Л ' < У И . В ч астн о сти , если f { x ) н е п р е
ры в н а , то с у щ е с т в у е т т а к о е
что f { l ) = N и
ь
f i x ) rfx = (6 - я) / (I).
1.132.
О бобщ ение первой теорем ы о ср едн ем . Ч т о б ы п о л у
чить т е о р е м у Т е й л о р а , нам п о н а д о б и т с я с п е ц и а л ь н о е о б о б щ е
ние первой т е о р ем ы о ср е д н е м ; а им енн о если g ( x ) ^ 0 при
а ^ х ^ Ь и m ^ f { х ) ^ М , то
ь
ь
ь
т
•
g{x)dx— М{ х ) у д о в л е
т в о р я ю т у с л о в и я м , н а л о ж е н н ы м на v (х) в л е м м е А б е л я , и
X
есл и h, Я — н и ж н я я и в е р х н я я г р а н и
ь
со/г <
f { t ) d t при а ^ х ^ Ь ,
•
f [со — Р (х)] / (х) d x < (оЯ,
то
'
' .
(1)
ь
(i)h
7
З а к . 231
[а — N { x ) ] f {х ) с1х ^ ф Н.
(2)
В ы ч и т ая , п о л уч а ем
f (х) [ф (;с) - ф (а)] d x
Следовательно,
f{x)^{x)dx
на ф (а)
ош ибка,
f{x)dx\
(3)
можно
котор ую
приближенно
мы при этом
за м е н и т ь
с о в ер ш и м ,
а
о цен ен а св ер ху . Э то т р е з у л ь т а т особенно в а ж е н в теор и и р я д о в
и и н т е г р а л о в Ф ур ье.
Под
второй т е о рем ой о с р е д н ем обы чно п о д р а з у м е в а ю т
о д н у из с л е д у ю щ и х теор ем .
Ф о р м а Бо н н э: е с л и ф(л:) полож ит ельна и не возрастает при
а ^ х ^ Ь , то существует т] и з а ^ г [ - ^ Ь , такое, что
■П
h
Ф (а) J f (л:) rfx = I / (ж) ф (х) d x.
а
(4)
а
Ф о р м а дю Б у а - Р а й м о н а : е с л и ф(д:) монотонна п р и а ^ х ^ Ь ,
то существует | и з
такое, что
ь
I
ь
f (х) ф (.t) йд: = ф (а) J f (х) d x + qi{b) j f (л:) d x .
а
а
(5)
I
О б е т е ор ем ы л е гк о в ы в о д я т с я и з л е м м ы А б е л я , о д н а к о , к а к
о т м е ч а е т Б р о м в и ч [14, стр. 426 и 427], они не несут и н ф ор м ац и и ,
к о т о р а я не с о д е р ж а л а с ь бы в с а м о й л е м м е , п о с к о л ь к у в них
не у к а з ы в а е т с я способ оценки | и т] и они м енее и н ф ор м ати в н ы ,
чем п р и в е д е н н а я вы ш е ф о р м у л а (3) (см. п р и л о ж е н и е к гл. 1).
1.14.
Б е с к о н е ч н ы е п р о и з в е д е н и я . Если
П « = (1 + « i ) ( l + « з ) . . .
(1 + а „ ) ,
то п р е д е л П „ при п, с т р е м я щ е м с я к б есконечности ,
с у щ е с т в у е т и не р а в е н н у л ю , о б о з н а ч а е т с я ч ерез
П (1 + Я/г);
(1)
если он
(2 )
$ это м с л у ч а е г о в о р я т , что б еск онеч но е п р о и зв е д ен и е сходи тся.
О н о р а в н о н ул ю , если л ю б ой из м н о ж и т е л е й — нуль. (В по
с л е д н ем с л у ч а е часто го во рят, что п р о и зв е д е н и е сходится
к н у л ю , чтобы от ли ч и ть его от т а к о г о п р о и зв е д е н и я , к а к
ко то ро е с т р ем и тс я к нулю , хотя все с о м н о ж и т е л и отли чн ы от
н у л я . П р о т а к и е п р о и зв е д е н и я , к а к п о сл ед нее, го во р я т, что они
расходят ся к н у л ю .)
Т е о р и я схо ди м ости б еск о неч ны х п р о и зв е д е н и й тесно с в я з а н а
с теорией схо ди м ости д л я бесконеч ны х ря д о в . Д е й с т в и т е л ь н о ,
если все а„ п о л о ж и т ел ь н ы или если все они о т р и ц а т е л ь н ы , то
д л я сходимости п р о и з в е д е н и я (2) н е о б х о д и м о и достаточно,
чтобы с х о д и л с я р я д ’^ а ^ . И м е е м
5„ = 1 п П « = 2 1 п ( 1 + а , ) .
(3)
I
Я сно, что ни П ( 1 + « п ) . ни
не м огут с х о д и ть ся б ез того,
чтобы а „ - * 0 . П о э т о м у мы д о л ж н ы р а с с м о т р е т ь т о л ь к о с л у ч а й
а „ - > 0 . ' В этом с л у ч а е
1п(1+а„)
ап
С л е д о в а т е л ь н о , о т н о ш ен и я с о о т в е т с т в у ю щ и х ч лен о в д в у х
рядов S l n ( l + a „ ) и
о гран и ч ен ы , и эти р я д ы с х о д я т с я
или нет о д н о в р ем е н н о . Н о есл и S„ им е е т п р ед е л S , то
им еет п р е д е л е^, и н а о б о р о т, если Ц „ с т р ем и тс я к п р е д е л у ,
о т л и ч н о м у от оо и О, то
тож е стремится к пределу; утвер
ж дение доказано.
Е с л и а „ не все одного з н а к а и
с х о д и тс я , то л е гк о
п о к а з а т ь , что
с х о д и тс я . Е с л и
не с х о д и тс я ,
но а „ - > 0 , то м о ж н о в ы б р а т ь га т а к , что при п > т
П (!+««)
2|а«1
1п(1+ а„) = а „ - у Я Х .
где c < \ K „ \ < d , а с и d ф и кс и ро в ан ы ; а о э т о м у если
сх о
д и т ся и
у с л о в н о сх о д и тс я , то и (1 + а „ ) с х о д и тс я .
Д о к а з а т е л ь с т в о не п р о х о д и т д л я т а к о г о п р о и зв е д е н и я , к а к
Здесь
сх о д и тс я , а
нет. Л е г к о
д о к а з а т ь , что у к а з а н н о е п р о и зв е д е н и е не сх оди тся.
П fl+{-1)"//« 1-
1.15.
У с л о ви е Л и п ш и ц а . Е с л и д л я д а н н о г о х и д л я всех
удовлетворяю щ их неравенству
—,t|< 6 ,
\fil)-f(x)\ 0 , то го во р я т, что f ( | ) у д о в л е
т в о р я е т при 1 = х у с л о в и ю Л и п ш и ц а п о р я д к а а. Е с л и /(g )
у д о в л е т в о р я е т у с л ов и ю Л и п ш и ц а , то о н а н е п р е р ы в н а при
i = x; если о н а у д о в л е т в о р я е т э т о м у у с л о в и ю при всех х из
о т р е з к а а ^ х ^ Ь , то она н е п р е р ы в н а при а ^ х ^ Ь . Н о д а ж е
при а = 1 ф у н к ц и я не о б я з а н а бы ть д иф ф ер е н ц и р у е м о й или
и м еть огр а н и ч е н н у ю в а р и а ц и ю . Н а п р и м е р , п о л о ж и м
/( 0 ) = 0,
/(х ) = A rsin g .
Э т а ф ун кц и я у д о в л е т в о р я е т у с л о в и ю Л и п ш и ц а п о р я д к а 1 д а ж е
при л: = 0; о д н а к о о н а не я в л я е т с я диффере'нцируем ой при х = 0
и не я в л я е т с я ф у нкц ией о г р а н и ч е н н о й в а р и а ц и и ни в к а к о м
и н т е р в а л е , с о д е р ж а щ е м л: = 0. Ф у н к ц и я | л: | у д о в л е т в о р я е т у с л о
вию Л и п ш и ц а п о р я д к а 1 при л: = 0 и в л ю б о м и н т е р в а л е им еет
огр а н и ч е н н у ю в а р и а ц и ю . О д н а к о она не д и ф ф е р е н ц и р у е м а при
х = 0. В р я д е те о р ем о б н а р у ж и в а е т с я , что у с л о в и е Л и п ш и ц а
я в л я е т с я д о ст а т о ч н ы м , в то в р е м я к а к т р е б о в а н и е н е п р е р ы в
ности н е д о ста т очн о, а у с л о в и е д и ф ф е р е н ц и р у е м о с ти д о ста т о ч н о ,
но не я в л я е т с я н еоб хо ди м ы м .
Е с л и в точке х у д о в л е т в о р я е т с я у с л о в и е Л и п ш и ц а п о р я д к а
а > 1 , то, о чеви дн о, /'(л:) = 0. Е с л и это у с л о в и е в ы п о л н я е т с я
в к а ж д о й точк е и н т е р в а л а д л я нек ото ро го а > 1 , то f ' ( x ) = О
н а всем и н т е р в а л е . С л е д о в а т е л ь н о , / (л:) — к о н с т а н т а ; тем са м ы м
и н те р е с п р е д с т а в л я е т т о л ь к о с л у ч а й 0 < а ^ 1 .
В а ж н ы й к л а с с ф ункц ий с о с т а в л я ю т ф у нкц ии f ( x ) , у д о в л е
т в о р я ю щ и е у с л ов и ю Л и п ш и ц а п о р я д к а 1 р а в н о м е р н о на (а, Ь)\
и м е е т с я в виду, что су щ е с т в у е т т а к а я к о н с т а н т а А, что
I/(х г) — f (a^i)
ЛI ^2 — X, I д л я всех х,, х^ из (а, Ь). Ясно, что
в этом с л у ч а е f ( x ) у д о в л е т в о р я е т обоим у с л о в и я м : н е п р ер ы в н а
и и м е е т о гран и ч ен н у ю в а р и а ц и ю . О н а не о б я з а т е л ь н о д иф ф е
р е н ц и р у е м а во всех т о ч к а х {а, Ь), к а к вид но на пр и м ер е
f(x ) = | x | при X в и н т е р в а л е ( — 1, 1). М о ж н о д о к а з а т ь , о д н а к о ,
что f i x ) им е е т пр о и зв о д н у ю почти всю д у и я в л я е т с я и н те г р а л о м
Л е б е г а от огр ан и ч ен н ой функции. Э то у т в е р ж д е н и е я в л я е т с я
ч астны м с л у ч а е м п р и н а д л е ж а щ е й В. и Г. Ю н г а м [15] д о в о л ь н о
тру д н о й те о р ем ы о том, что ф ун кц и я огран и ч ен н ой в а р и а ц и и
и м е е т про и зво д н у ю почти в с ю д у * ). У к а з а н н ы й в ы ш е с п е ц и а л ь
ный с л у ч а й э к в и в а л е н т е н у т в е р ж д е н и ю о том, что к р и в а я
конечной д л и н ы почти всю д у им еет к а с а т е л ь н у ю ; э л е м е н т а р н о е
д о к а з а т е л ь с т в о этого ф а к т а д а л Б е з и к о в и ч [16].
*) В классе всех непрерывных функций это неверно.
1.16. Н е р а в е н с т в о К о ш и * ) .
п р о и з в о л ь н ы е ч и сл а, то
Е сл и а ,,
а„, 6,,
—
{ а \ + . . . +а^г^{Ь\ + . . . + 6 2 ) - ( а , 6 , + . . . + a j ) ^ ^ = ( a ^ b ^ - a ^ ; f + . . . .
Э то равенство является
Таким образом,
обобщ ением
тож дества
п
п
/п
\2
1
I
V1
'^7
Л агранж а.
Э т о со о т н о ш е н и е н а з ы в а е т с я н е р а в е н с т в о м К ош и . И з него с л е
д у е т , что если ф (х) и -ф {х) — д в е ф ункц ии, то
(х) d x
Э то неравенство
= I / W I . то
г|з^ (х) d x >
Ш варца.
{Ь-а)
В
ф(л;)г1)(л:) d x
ч астн ости ,
если
г |) = 1 ,
ф (х) =
f{x)dx>
Точно т а к ж е при п = 2 если Ь\ + Ь \ = \ , то (а ,6 , +
^
^
+ а\. Все эти и сходн ы е н е р а в е н с т в а н а х о д я т м н о г о ч и с л е н
ны е п р и м ен е н и я .
ПРИМЕРЫ
I
.
1. Какие из аксиом поля, сформулированны х в 1.01, не выполняются
д л я 1) м нож ества всех целых положительных чисел, 2) м нож ества, состоя
щ его из О и всех корней квадратны х из целых положительных чисел?
2. Один студент (разум еется, не из К ем бри дж а) будто бы отыскал такой
маршрут из дом а на лекции и обратно, который и т уда и н азад идет под
гору. Какой аксиоме это противоречит?
3. Если Sr a^Srt - i ,
если для каж дого т сущ еств ует такое я,
что tn > Sm, и для каж дого т сущ ествует такое р, что Sp > tm, и если {*«}
ограничена, то {tn) сходи тся к том у ж е п р еделу, что {««}.
4. Д ок азать, что если Оо = 3,
0^+1
2
2
йп
= 3 -------- , то а п - > 2 . П оказать графи-
чески, используя кривые г/ = 3 ------, г/= х, что последовательность {а«} им еет
предел, равный 2, при всех значениях Оо, кроме «о “ 1. (Р азреш ается, чтобы
принимали бесконечные значения.) (I.C ., 1938.)
5. Если Sn+i = y 2sn + а , где Si и а положительны и берется полож и
тельное значение квадратного корня, то при п, с тремящ емся к беск онеч
ности, Sn стремится к пределу, равному I + У^а + I . Д оказать. (М. Т., 1940.)
В русской литературе Коши — Буняковского. — Прим. ред.
6. Д ок азать, что при фиксированном s >
1 и при п - > о о
V=1
стремится к пределу; если этот предел равен ф (5 ), то
о < ф (5 ) + у ^ < 5 - 1 .
(М. Т., 1938.)
7. П оказать, что положительный корень уравнения
+ 4х: -
1= О
м ож но найти, рассматривая сходящ ую ся последовательность
1
'
T T4 •
х1F +
О пределить четыре десятичных знака этого корня. (I. С., 1937.)
8. Реш ить следую щ ие разностные уравнения
1) г/га+1 - П г /п + ' / г г - 1 = 0,
2)
у п + , + 5уп + 2гп = 0,
где уо = 0, ( / i = l ,
г „ + , + 2г„ + 2i/„ = 0.
(I. С., 1941.)
9. Выразив s i n m0 и sh mu через экспоненты, доказать тож дество
on
/ 1
т ~\
s in т 0
—i
shmu
V
s in 0
/ J "Г
-/п
п -----------г г
c h( 2 r t — l ) t t “ c o s 0
^
/
^
л о
-
ч
(и > о, 0 —действительное).'
п= \
(М.
т., 1938.)
10. Если f i x ) равна О при иррациональных х и равна 1 при рациональ
ных X, то xf (х) непрерывна при х — 0 (и нигде больше не является непре
рывной), а x^f (х) диф ф еренцируем а при х = 0 (и нигде больш е не является
диф ф еренцируем ой). Д ок азать.
11. Д ок азать, что при а^ ф 1
П— \
1 - q2«
1—
Т Т Л
„
ГЯ
n (l-2 a c o s^ -fa ^ ).
Г=1
П усть а действительно; доказать, что
я
1п (1 — 2 a c o s x - \ - а^) rfjc = О
о
при | а | < 1 , и найти значение этого интеграла при | а | > 1 . (М. Т., 1939.)
12. Д оказать, что сум м а ряда
1^1
1+UI
,
UI
,
UI
(H -U |)2
( 1 +| ; с | ) 3
,
• ••
сущ ествует при всех действительны х х, но является разрывной функцией.
(М . Т., 1938.)
13. При каких значениях х каждый
сходится?
из следую щ их рядов равномерно
• •• + - ^ ) sin ил:.
(М /с, 1П, 1928.)
1
14. Д ок азать, что
и получить аналогичные ряды для In а, где а — натуральное число. (Указание;
использовать признак А беля для равномерной сходимости.) (М /с, III, 1930.)
15. П оказать, что для положительных п
И т х { — ,— + ----------------- . . . + —
У=1 п( 1 +х ) .
п->оо \ п + х
п + 2х
п + пх)
(I. С., 1938.)
■16. Д ок азать, что биномиальный ряд
1
+
■SГ= 1
п ( п + \ ) . . . (п + г - \ )
сходи тся при | х | < I и неограничен при | л ; | > 1 . Д ок азать д ал ее, что
1) если х = \ , то ряд сходится при и ^ О и неограничен при ге > О, 2) если
х = — \ , то ряд сходится при и < 1, неограничен при п > I и осциллирует
при /г = 1.
17. П оказать, что ^ “ « сходится, если | Un I*''” < k < 1 при п > т. П ри
менить это правило к рядам
„
_9-2 п
,,
_ q-2«-1
Устанавливает ли сходим ость этого ряда правило 1.П 7? Если нет, то как
это правило н уж н о обобщ ить, чтобы из него следовала сходимость?
18. П оказать, что ряд
оо
оо
V V
^ + 'n
2 и L i (/2 +
1
1
сходи тся или не сходится в зависимости от того, какое из неравенств спра
ведливо: s > ^/2 или
(М /с, III, 1932.)
19. Д ля д в у х рядов
ОО
ОО
г = 2 2""
1
1
найти, как велико дол ж н о быть п, чтобы ош ибка, возникающ ая при зам ене
ряда п-й частичной суммой, оказалась 1) < 0,005, 2) < 0,0000005.
20. Д ок азать, что ряд
1
п (1п п)Р
сходи тся при р > 1 и стремится к бесконечности при р ^ 1 .
Вывести отсю да, что если
un> 0,
-----«л-1
\
«л-1/
■k>\ .
In п
. \
«л-1/
то ряд 2 «л сходится.
21. И сследовать сходим ость ряда
ах , а { а + 2)
1+
•+
6 ( 6 + 1)
а (а + 2) (а + 4)
^ "Г 6. ( 6 + ,0—(1\6/ ,+ ,2)г»\
, ,
при положительных а, 6, х. (I. С., 1944.)
22. П оказать, что
1
+
2у
х+
а (а + 1) . . . (а + га - 1) Р (Р + 1) + (р + га — 1)
... +
r a ! Y ( Y + l ) ••• (Y + « - 1 )
х"+
...
сходи тся, если О ^ л: < 1 и если х — I и у > « + Р23. Д ок азать, что произведение д в ух функций, интегрируемых по Р им ан у,
есть функция, интегрируемая по Риману.
24. Д ок азать результат 1.104 с помощью интегрирования по частям.
25. П усть
1
+ 1 ’
доказать, что
26. П усть
N
N
fix) = v
an cos Xnxn,
V
g(x)-
где an и Л,г — действительные числа. Д оказать,
f (х)
или
g {х)
не
обращ ается
в
нуль
(где т — натуральное число), то другая
внутри этого интервала.
27. Д ок азать, что
dx
an cos (ЯлХ + 1 ) « ,
n=0
n—Q
х-у
что если одн а из функций;
на интервале
m+ 1
т
имеет по крайней мере один нуль
(М. Т., 1938.)
dy
{х + уУ d y = - -5-,
28. И сследовать сходим ость бесконечных произведений
1) Un = ( - 1 ) "
Л
.
2) « л =
(-1)"
in (га+ 1) •
( 1 + « л ) . если
(М /с, III, 1928.)
29. Рассмотреть f (x) = V x c o s { \ l x ) , g (jc) = > ^ s i n (1/л:) и показать, что
непрерывность f (х) и g (х) не достаточна для сущ ествования интеграла
I
f(x)dg{x).
х=0
и
30. П усть f (х) имеет производны е вплоть д о (га— 1)-й при
(0) сущ ествует. Д ок азать, что
—а < х < а
П
f (x) = f{0) + ^ f ^ n ( 0 ) ^ + о(л:«).
31. П усть при
f { x ) имеет производную f ' (х); тогда если
f (а) < р < /' (Ь), то имеется такое
что а < | < 6, и f (g) = р [/' ( |) не
предполагается непрерывной].
32. П усть
(а:) — неубываю щ ие функции х на (а, Ь) или ( — , оо) и
равномерно ограничены по п, а такж е И т f n{ x ) = f (х). Д ок азать равноП-^ОО
мерную сходим ость в любом интервале, не содер ж ащ ем разрывов f {х).
Л ИТЕРАТУРА
1. He n d e r s o n I. В., E n gin eerin g, 116, 409 —410 (1923).
2. К п о р р К ; Ttieorie und A n w en d u n g der unen dlich en Reihen, Sp rin ger, 1947.
3. H a r d y G. Я ., Pure M athem atics. (Русский перевод: Г. Харди, К урс чистой
математики. М., И Л , 1949.)
4. Leathern J. G„ V olum e and Surface In tegrals used in P h y sic s, 1906.
5. Hei ne E. / ., R eine angew . M ath., 74, 188 (1871).
6. Y o ung r . H„ Proc. Lond. Math. Soc., (1) 35, 3 8 4 - 3 8 8 (1903).
7. Bake r H. P., Proc. Lond. M ath. S oc., (1), 35, 459 (1903).
8. St i el t j es T. J., Ann. d. F ac. d. S ci., T oulouse, 8, 68 —75 (1894).
9. W i d d e r D. V., The L aplace Transform , 1941, ch. 1.
. 10. Pol l ar d S., Quart. J. M ath., 49, 7 3 - 1 3 8 (1923).
11. Burki ll J. C„ C am bridge Math. Tracts, № 40, 1951.
12. Tit chmarsh E. C„ The Theory of F u n ction s, 1932, ch. X, XI, XII.
13. Cour ant R„ D ifferential and Integral C alcu lu s, 2 (1936), p. 316. (Русский
перевод: P. Курант, К урс дифференциального и интегрального исчисле
ния, М -Л , О НТИ , 1934.)
14. B r o m w i ch Т. / ., Theory of In fin ite S eries, 1908, p. 123, 443, 426, 427.
15. Y o u n g W. H., Yo ung G. C., Proc. Lond. M ath. S oc., (2), 9 ,3 2 5 —335 (1911).
16. Be si covi t ch A. S., J. Lond. M ath. Soc., 19, 205 —207 (1944).
>
П Р И Л О Ж Е Н И Е К ГЛАВЕ 1
1.116a. Т е о р е м а об о г р а н и ч е н н о й сх о д и м о с т и . С н а ч а л а нам
п о н а д о б я т с я н е ск о л ь к о о п р е д е л ен и й . Д л я л ю б о г о кон ечн ого
м н о ж е с т в а 1 н е п е р е к р ы в а ю щ и х с я и н т е р в а л о в о б о зн а ч и м ч е р е з ’/ /
с у м м у их д ли н . Д л я б есконеч ного м н о ж е с т в а / и н т е р в а л о в ,
р а с п о л о ж е н н ы х внутри (а, Ь), о б о зн а ч и м ч ер е з II верх ню ю
г р а н ь сум м д л и н , в з я т у ю по всем п о д м н о ж е с т в а м / , с о стоя щ и м
И З конечного числ а и н т е р в а л о в * ) . Е сли Е — н екоторое м н о ж е с т в о
то чек из (а, Ь), то д о п о л н и т е л ь н о е м н о ж е с т в о С Е о п р е д е л я е т с я
к а к м н о ж ес т в о то чек (а, Ь), не п р и н а д л е ж а щ и х Е. Д о п о л н е н и е
к ко н ечн о м у м н о ж е с т в у з а м к н у т ы х н е п е р е к р ы в а ю щ и х с я и н те р
в а л о в состоит из конечного ч и с л а о т кр ы т ы х н е п е р е к р ы в а ю
щ и х с я и н т е р в а л о в . Е с л и все точки £ [ я в л я ю т с я т о ч к а м и
мы п и щ ем E i C : E 2 (чи тается: E i п р и н а д л е ж и т f j ) .
Л е м м а 1. Е с л и I — множество н е п е р е к р ы в а ю щ и х с я интер
в а л о в , п р и н а д л е ж а щ и х {а, Ь), и 6 — п р о и з в о л ь н о е {как у г о д н о
м а л о е ) полож ит ельное ч и с ло , то существует к о н е ч н о е множ е
ство J инт ервалов и з I, такое, что II ^ IJ > II — Ь. Э то с р а з у
с л е д у е т из того ф а к т а , что II я в л я е т с я в ерх н ей г р а н ь ю IJ по
всем конечны м м н о ж е с т в а м .
Л е м м а 2. Е с л и в ы п о л н е н ы у с л о в и я п р е д ы д у щ е й л е м м ы , то
существует к о н е ч н о е множество за м к н у т ы х инт ерва лов К , п р и
н а д л е ж а щ е е I и такое, что 1 К > И — 26.
В с а м о м д ел е , пусть J из л е м м ы 1 со сто и т из m и н т е р в а
лов. Д л я л ю б о г о и н т е р в а л а (а^, р,-) из J, т а ко го, что р,- —
>
> 6 / т , о п р е д е л и м и н т е р в а л из К с л е д у ю щ и м о б р а з о м : в о зьм е м
з а м к н у т ы й и н т е р в а л (а, + 6 / 2 т ,
— 6/2/п). Т а к о е м н о ж е с т в о
и н т е р в а л о в К о б л а д а е т т р е б у е м ы м с во йством .
М н о ж е с т в о / я в л я е т с я о б ъ е д и н е н и е м К и д р у го г о м н о ж е с т в а
н е п е р е к р ы в а ю щ и х с я и н т е р в а л о в К ', т а ко го, что II = 1К + 1К'.
Л е м м а 3. Пусть {/„} — последоват ельност ь множеств н е п е р е
к р ы в а ю щ и х с я инт ервалов, п р и н а д л е ж а щ и х {а, Ь), такая, что
1 п ^ 1 п - \ и ни о д н о X и з {а, Ь) не принадлеж ит в с е м /„. Т о гд а
/ / „ - > 0 . П о з а д а н н о м у 6 > 0 м о ж н о н а й ти п р и н а д л е ж а щ е е /„
м н о ж е с т в о Кп> с о с то я щ е е из кон ечн ого ч и сл а з а м к н у т ы х и н т е р
в а л о в и т а к о е , что / / ( „ > / / „ — 2 “ "б. М н о ж е с т в о точек /„, не
п р и н а д л е ж а щ и х /(„, об о значи м ч ерез Кп. П усть L„ — м н о ж ес т в о
точек, о б щ и х д л я К \, /Сг.
Кп- Т о г д а к а ж д а я то чк а /„
я в л я е т с я точкой 1\, 4 , . . . , / „ и, с л е д о в а т е л ь н о , л и б о точкой L„,
л и б о точкой по к р а й н е й м ере одного из м н о ж е с т в
/Сг, . . . , /Си.
З н а ч и т , l I n ^ l L n + 1К'\ + . . . Л -1Кп< 1Еп + Ь. С л е д о в а т е л ь н о ,
с остои т из кон ечн ого числа н е п е р е к р ы в а ю щ и х с я з а м к н у т ы х
и н т е р в а л о в (и, с л е д о в а т е л ь н о , за м кн у то )
L„c=L„_|
и
lL„>lI„-6.
Т а к к а к н и к а к а я то ч к а (а, Ь) не п р и н а д л е ж и т всем /„, то
к а ж д а я то чка п р и н а д л е ж и т нек о то р о м у С /„ , а с л е д о в а т е л ь н о ,
*) П редполагается, конечно, что / состоит из неперекрывающихся интер
валов. — Прим. перев.
И н е котором у CL„, по с к о л ь ку СУ„ с : CL„. О н а не м о ж е т быть
к о н цево й точкой ни д л я к а к о г о и н т е р в а л а из C L„, п о т о м у что
к о н ц ев ы е точки CL„ я в л я ю т с я о д н о в р е м е н н о к о н ц е в ы м и т о ч
к а м и Ln и, с л е д о в а т е л ь н о , п р и н а д л е ж а т L„, п о с к о л ь к у
за м к н у т о . З н а ч и т , д л я к а ж д о й точки х из (а, Ь) н а й д е т с я
т а к о е п, что х л е ж и т внутри не к о то р о го и н т е р в а л а из CL„.
Р а с с м о т р и м м н о ж е с т в о всех т а к и х и н т е р в а л о в . П о тео р ем е
Г ейне — Б о р е л я с у щ е с т в у е т конечное число и н т е р в а л о в di,
d.2 , . . . , dk (к а ж д ы й из к о т о р ы х есть ч ас т ь не к о то р о го CL„),
ко т о р ы е п о к р ы в а ю т (а, Ь). П у с т ь
ч асть CL„^, и пусть п^ —
н а и б о л ь ш е е из чисел л,,
Т а к к а к C L „ c : C L „ + i , то CL„„
в к л ю ч а е т все d^', с л е д о в а т е л ь н о , CLn„ — это весь и н т е р в а л (а, Ь),
и Ln п у сто д л я всех
О тсюда
=
I I „ < Ь при всех
П о с к о л ь к у б п р о и зво л ьн о , И п - ^ О .
Л е м м а 4. Пусть f n{x) неотрицательны и инт егрируемы на
{а, Ь), [ „ { х ) < М п р и в с е х х и п и f n ( x ) - > О п р и в с е х х. Т о г д а
ь
f „( x) d x - > 0 . Д л я к а ж д о г о п п р о и зв е д е м т а к о е р а з б и е н и е {а, Ь),
а
чтобы с о о т в е т с т в у ю щ а я н и ж н я я и н т е г р а л ь н а я с у м м а (см. 1.101)
ь
о т л и ч а л а с ь от
f ni ^)
м е н ьш е , чем
на
1/«.
В каждой
точке
а
р а з б и е н и я п о л о ж и м §„(д:) = 0, а в к а ж д о м частич но м и н т е р в а л е
р а з б и е н и я во зьм е м gn{ x ) р а в н о й н и ж н е й г р а н и /„ ( х ) по т о ч к а м
этого и н т е р в а л а . Т о г д а
ь
f n ( x ) > gn{x)> 0-,
0 <
fifnix)-gn{x)}dx 0 о б о зн а ч и м ч ер ез / „ м н о ж е с т в о всех х,
г д е g p { x ) > e х отя бы д л я одного р > п . В ну тр и л ю б о г о и н
т е р в а л а , п о стро ен н ого д л я fp.(x), ф у н к ц и я gp{ x) п о с т о я н н а ;
с л е д о в а т е л ь н о , g p { x ) > e во всем ч асти ч н о м и н т е р в а л е , есл и о н а
б о л ь ш е е в одной точке. Т а к и м о б р а з о м , /„ — м н о ж ес т в о , с о
с т о я щ е е из н е п е р е к р ы в а ю щ и х с я и н т е р в а л о в , и /„ с=
Ни
од н о X не п р и н а д л е ж и т всем /„ , и н аче о к а з а л о с ь бы, что
fpix)"^ gp{x)>E
д л я бесконечной п о с л е д о в а т е л ь н о с т и з н а
чений р и п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь f „{x) не с т р е м и л а с ь бы к 0.
С л е д о в а т е л ь н о , /„ у д о в л е т в о р я е т у с л о в и я м л е м м ы 3 и I I „ - ^ 0 .
В о зь м е м По, т а к чтобы при л ^ «о в ы п о л н я л о с ь н е р а в е н с т в о
11п J / (х) dx.
а
а
X
С л е д у е т о т м ет и т ь, что
I
X
f ^ { u ) d u - > I f { u ) d u равномерно н а
а
а
(а, Ь).
П р и в е д е н н о е вы ш е д о к а з а т е л ь с т в о — о д н о и з т р е х (кое-где
п е р е с е к а ю щ и х с я ) д о к а з а т е л ь с т в , п р е д л о ж е н н ы х н а м Б ези к о в ич см . Н е з а в и с и м о е д о к а з а т е л ь с т в о д а л Смитсис.
В к а ч е с т в е и л л ю с т р а ц и и в о зьм е м /„(л:) = 0 д л я всех и р р а
ц и о н а л ь н ы х X из (О, 1). Е с л и X р а ц и о н а л ь н о и р а в н о m/fe
(где m/fe — н е с о к р а т и м а я д р обь), п о л о ж и м / „ ( x ) = l при n = k п
/ „ ( х ) = 0 при п ф к . Т о г д а f „ { x ) - > 0 всю ду, и
1
lim
1
/„ {х) d x = j \im f ^ ( x ) d x .
О д н а к о в л ю б о м и н т е р в а л е по л: и д л я л ю б о го п н а й д у т с я
р а ц и о н а л ь н ы е д р о б и , з н а м е н а т е л и ко т о р ы х п р е в о с х о д я т /г;
с л е д о в а т е л ь н о , f n( ^ ) ни в к а к о м и н т е р в а л е по х не с т р е м и т с я
к н у л ю р а в н о м е р н о . П р и ч и н а , по к о т о р о й в д о к а з а т е л ь с т в е
б ы ли и с п о л ь з о в а н ы н и ж н и е су м м ы (вм есто того чтобы, к а к
обы чно, и с п о л ь з о в а т ь верхн и е сум м ы), состои т в том , что
в ерх н и е сум м ы не п р и в о д я т к о п р е д е л е н и ю м н о ж е с т в а и н т е р
в а л о в /„ , ко т о р ы е о б л а д а л и бы н у ж н ы м и с в о й ст в а м и .
1.134а. Н а и б о л е е в а ж н ы м и
гралам вида
ь
являю тся
прилож ения к
и н те
c o s t x , sin t x ] v { x ) d x { b > а).
г д е t — б о л ь ш о е п о л о ж и т е л ь н о е число. П р е ж д е всего о т м ет и м ,
что е сл и про ф ункц ию v { x ) изв е с т н о то ль ко , что о н а о г р а н и
чена, с к а ж е м \ v { x ) \ < A , то у ж е т о г д а (и б е з п р и м ен е н и я
л е м м ы А б ел я ) м о ж н о у т в е р ж д а т ь , что
e~*’‘v {х) d x <
Ае —ta
( 1)
Б е з д о п о л н и т е л ь н ы х о гр ан и ч ен и й н е л ь з я у т в е р ж д а т ь , что
ь
[cos t x, sin tx] V (x) d x = 0 ( y j .
О д н а к о е сл и и (jc) у д о в л е т в о р я е т н и ж е с л е д у ю щ и м у с л о в и я м , то
м о ж н о д о к а з а т ь п о сл е д н е е у т в е р ж д е н и е , а к р о м е того, вы вести
р е з у л ь т а т , з а м е н я ю щ и й (1) в с л у ч а е н есо б ственн о го и н т е г р а л а .
а)
Если
t полож ительно
и
f{x)dx < М
при
то е ~ ‘’‘ у д о в л е т в о р я е т у с л о в и я м , н а л о ж е н н ы м на v { x ) в л ем м е
А б е л я , и мы имеем
(2 )
б)
Е с л и t п о л о ж и т е л ь н о , а ф у н к ц и я v (х) н е о т р и ц а т е л ь н а ,
о г р а н и ч е н а и не в о з р а с т а е т при а ^ х ^ Ь , то
co stx dx
sin t x d x
О т с ю д а , п о л а г а я в л е м м е А б е л я f ( х ) = c o s t x или s i n /л:, имеем
ь
costxv(x) dx
(3)
sin t x V ( x) d x
b)
П у с т ь t п о л о ж и т е л ь н о , п о л н а я в а р и а ц и я v ( x ) на ин те р
в а л е a ^ , x ^ b р а в н а V, a п о л о ж и т е л ь н а я и о т р и ц а т е л ь н а я
в а р и а ц и и v { x ) на (а, х) р а в н ы Р{ х ) и N (х). Т о г д а
v { x ) = v { a) + P { x ) - N { x ) ,
■
v { x ) = v (а) + [Л^ {Ь) - N (л:)] - [Р (Ь) - Р (л:)] + Р (Ь) - N (Ь),
v{x)
=
v ib) + [Л/ (Ь)
-
М
(х)]
-
[Р (Ь)
-
Р {х)1
З д е с ь и (6) — к о н с т а н т а . N { b ) — N { x ) и Р{ Ь) — Р{ х ) у д о в л е т в о
р я ю т у с л о в и я м , н а л о ж е н н ы м на v (л:) в л е м м е А б ел я , и пре
в р а щ а ю т с я в Л^(й) и Р{ Ь) при х = а . О т с ю д а
ь
I
c os t xv{ x) dx < ^ [ l y ( 6 ) | + yV (6)+ P(6)] = |- [ |a ( 6 ) H - l / ] ,
s i n / A : u (jc) d x
(5)
(6)
СКАЛЯРЫ И ВЕКТОРЫ
М ораль здесь такова:
позаботься о смысле,
а звуки позаботятся
о себе сами.
Л ь ю и с К э р р о л „Алиса в стране чудес"
2.01.
Д екартовы координаты . П равило сум м и рован и я. Л ю
бое ф и зи ч ес к о е и зм е р е н и е — это о п р е д е л ен и е о т д е л ьн о й в е л и
чины. Ф и зи к у м о ж н о о п р е д е л и т ь к а к н ау к у , и з у ч а ю щ у ю т а ки е
с о о т н о ш е н и я м е ж д у вел и ч и н а м и , что из одного м н о ж е с т в а и зм е
рений м о ж н о п р е д с к а з а т ь д р уги е , е сл и т о л ь к о д а н ы у с л о в и я
н а б л ю д е н и я . Н а и б о л е е э л е м е н т а р н ы м и и зм е р е н и я м и , к р о м е п р о
стого счета, я в л я ю т с я и зм е р е н и я р а с с то я н и й . К а к мы видели,
экспериментально
было устан ов
лено, что р а с с т о я н и я в д о л ь з а д а н
ной п р я м о й а д д и т и в н ы в некотором
смысле и удовлетворяю т законам
а с с о ц и а т и в н о ст и и к о м м у т а т и в н о с т и
с л о ж е н и я . Н о есл и д в а р а с с т о я н и я
в зя т ы не в д о л ь одной п р я м о й , то
их с у м м а не м о ж е т б ы ть о п р е д е
л е н а о д н о зн а ч н о б ез д о п о л н и т е л ь
ных у с л о в и й . Е с л и Р, Q, /? — три
точки, то р а с с т о я н и е P R о п р е д е л я е т с я не т о л ь к о р а с с т о я н и я м и
PQ и Q R. М еж д у расстояниями вдоль лю бы х д в у х п ересекаю
щ и х с я п р я м ы х P Q Q ' и P R R ' им е е тс я э к с п е р и м е н т а л ь н о п ро
в е р я е м о е соотнош ен ие
PQ2 + р1^2 _ Q/J2
pQ'^ + р/^'2 _
2PQ-PR
2PQ'-PR'
’
^
ко г д а Р не л е ж и т м е ж д у Q и Q ' и
и 7?'. Э то отнош ен ие
(число) о б о з н а ч а е т с я c o s 0 , и 0 н а з ы в а е т с я у гл о м м е ж д у п р я
мы ми. В е л и ч и н а cos В не м о ж е т бы ть м е н ьш е — 1 или б о л ь ш е + 1.
Теперь, ко гд а и зм е р е н и е в основном з а м е н и л о м етод ы Евкли.да
и п р о п о в е д у е т с я эк с п е р и м е н т а л ь н ы й по д х о д к геом етри и, ж е л а
тельн о, чтобы о дним из первы х ш а г о в в п р е п о д а в а н и и б ы ла
п р я м а я п р о в е р к а этого з а к о н а и чтобы он бы л п о л о ж е н в основу
всего д а л ь н е й ш е г о и з л о ж е н и я п р е д м е т а . Е го з н а ч и т е л ь н о легче
п р о в е р я т ь , чем н ек о тор ы е из обы чны х акси ом . Он д е л а е т угол
Производной величиной, и свойство адд и т и вн о с ти у г л о в на п л о
с кости, в з я т о е Е в к л и д о м к а к п о с т у л а т, м о ж е т бы ть вы ведено
из него. Э то и к л у ч ш е м у , т а к к а к пл оско сть — более с л о ж н о е
п о н я т и е , чем п р я м а я л и н и я . И з (1) м о ж н о р а з в и т ь всю теорию
Евклида
вп л о ть
до
вв е д е н и я
прямоугольных
координат
[1, гл. 7]*).
В м е т о д а х Е в к л и д а п он ятие н а л о ж е н и я и г р а е т в ы д а ю щ у ю с я
р о л ь . Он все в р е м я г о в о р и т о р е а л ь н ы х в е щ а х , кото ры е с р а в н и
в а ю т с я . С о в р е м е н н о м у п р е п о д а в а н и ю с в ойств енно с т р ем л е н и е
и з б е ж а т ь п о н я т и я н а л о ж е н и я . Н о н а л о ж е н и е п р я м о относится
к ф и зи ч е ски м м е т о д а м , и я з ы к Е в к л и д а не п о з в о л я е т п е р е п у
т а т ь , с к а ж е м , д л и н у и п л о щ а д ь . Н а я зы к е ф и зи ч ески х величин
л е г к о м о ж н о в ы р а з и т ь то, что и м е е т ф изический см ы с л и что
б ы л о бы т р у д н о или н е в о з м о ж н о в ы р а з и т ь я зы к о м Е в к л и д а .
О д н а к о п о п ы тк а свести его систем у к чистой м а т е м а т и к е у н и ч
т о ж а е т то, что с ф изической точки зр е н и я п р е д с т а в л я е т с я н а и
б о л е е ценным .
П р я м о у г о л ь н ы е к о о р д и н а ты о б л а д а ю т тем с войство м , что
р а с с т о я н и я м е ж д у д в у м я т о ч к а м и в ы р а ж а ю т с я в них с и м м е т
рич но ч ер ез с у м м у т р е х к в а д р а т о в их р а зн о с т ей . Н и к а к о й д р у
гой способ з а д а н и я п о л о ж е н и я не о б л а д а е т этим свойством.
О б щ е е у т в е р ж д е н и е , что п р я м о у г о л ь н ы е к о о р д и н а т ы не им ею т
о с о б о г о ф изического зн а ч е н и я , взд о р н о . В пр оек ти вно й г е о м е т
рии о т в е р г а е т с я п о н ятие р а с с т о я н и я , по то м у что оно м е тр и ч е
ское. В ф и зи к е мы не м о ж е м о б ой ти сь б е з него. Н о к о г д а оно
в в е д е н о , мы м о ж е м р а с с м о т р е т ь к р а т ч а й ш е е р а с с то я н и е м е ж д у
точко й и т о ч к а м и д ан н о й пл оско сти (к о т о р ая о п р е д е л е н а к а к
ге о м е тр и ч е с к о е м есто точек, р а в н о у д а л е н н ы х от д в у х з а д а н н ы х
точек), и это п р я м о п о д в о д и т к п о н я т и я м п е р п е н д и к у л я р а и
п р я м о у г о л ь н ы х к о о р д и н а т.
П р я м о у г о л ь н а я к о о р д и н а т а — это р а с с то я н и е от д ан н о й п л о
скости. У с л о в и м с я , что т о ч к а м по о д н у сто ро ну п л оско сти соо т
в е т ст в у ю т р а с с т о я н и я с п о л о ж и т е л ь н ы м зн а к о м , а по д р у г у ю —
с о т р и ц а т е л ь н ы м . Т е п е рь мы м о ж е м с к а з а т ь , что с м е щ е н и е от Р
к Q о п р е д е л я е т с я т р е м я ко м понент ам и, а им енно р а зн о с т я м и
п р я м о у г о л ь н ы х к о о р д и н а т эти х д в у х точек, и эти р азн ости
р а в н ы п р о е к ц и я м P Q на три и с п о л ь з у е м ы е оси. Т а к к а к к а ж д а я
п р о е к ц и я я в л я е т с я р а с с то я н и е м в д о л ь з а д а н н о й п р я м о й в з а
д а н н о м н а п р а в л е н и и , то они о б л а д а ю т а д д и т и в н ы м свойством
и их м о ж н о в з я т ь в лю бом п о р я д к е . И н а ч е го во р я , н а ч и н а я
с Р , мы м о ж е м н ай ти точку Р ', у кото рой к о о р д и н а т ы у и z
*) Д ругие рассмотрения, касающиеся физических величин, мож но найти
в гл. 4 и 6. В частности, важ но понять, что законы науки устанавливаю тся
путем последовательных приближений.
т а к и е ж е , к а к у Р , а к о о р д и н а т а х т а к а я ж е , к а к у Q, потом
т о чк у Р " , у которой к о о р д и н а т ы х я z т а к и е ж е , к а к у Р',
а к о о р д и н а т а у т а к а я ж е , к а к у Q, и, н а к о н е ц , п о л уч и ть Q,
изм ен и в к о о р д и н а т у z. Х отя м о ж н о у п о р я д о ч и т ь к о о р д и н а т ы
ш естью р а зл и ч н ы м и с п о с о б а м и , мы в три ш а г а в с е г д а п о п а
д а е м в Q. Э то т ф а к т верен д л я л ю б о й с истем ы к о о р д и н а т , но
в п р я м о у г о л ь н ы х к о о р д и н а т а х эти три с м е щ е н и я о б л а д а ю т тем
осо бы м с во й ств ом , что к а ж д о е из них им е е т з а д а н н о е н а п р а
в л е н и е и величину. (Это верно т а к ж е д л я ко с о у г о л ь н ы х д е к а р
т о в ы х к о о р д и н а т , но они и с п о л ь з у ю т с я т о л ь к о в с п е ц и а л ь н ы х
с л у ч а я х , и мы не б у д е м их р а с с м а т р и в а т ь до гл. 4.) В и з в е с т
ном с м ы с л е мы м о ж е м р а с с м а т р и в а т ь п а р а л л е л ь н ы е с м е щ е н и я
о д и н а к о в о й д л и н ы к а к эк в и в а л е н т н ы е . Э то я в л я е т с я ч ас т н ы м
с л у ч а е м п р а в и л а п а р а л л е л о г р а м м а . П о с л е д н е е в своем о б щ е м
вид е и с п о л ь з у е т с я т о л ь к о в к о с о у г о л ьн ы х к о о р д и н а т а х . П о э т о м у
мы не б у д е м к а с а т ь с я его сейчас. М ы м о ж е м р а с с м а т р и в а т ь
у к а з а н н у ю эк в и в а л е н т н о с т ь к а к ф а к т , п р е д с т а в л я ю щ и й ф и зи ч е
ский процесс, п о л а г а я , что с м е щ е н и я п е р е н о с я т т е л о ц ел ик о м
к его новы м н а ч а л ь н ы м т о ч к а м в о д н о р о д н о м п р о с т р а н с т в е .
О д н а к о эт о т пр оц есс у п о т р е б л я е т с я не часто.
Д е й с т в и т е л ь н о в а ж н ы м св о йств о м п р я м о у г о л ь н ы х к о о р д и
н а т я в л я е т с я то, что они в р а в н о й м ере хо р о ш о и в о д и н а к о в о м
виде в ы р а ж а ю т с в о й с т в а р а с с т о я н и я , к а к и е бы н а п р а в л е н и я
осей мы ни в ы б р ал и , л и ш ь бы эти н а п р а в л е н и я б ы ли в з а и м н о
п е р п е н д и к у л я р н ы . М ы ч аст о и зм е н я е м н а п р а в л е н и я осей, и н ам
н у ж е н способ о п р е д е л е н и я к о о р д и н а т в одной с и стем е, если
они з а д а н ы в д р у го й . К о м п о н е н т а м и с м е щ е н и я о тно с и т е л ьн о
новы х осей б у д у т его пр оекции н а эти оси с со о т в ет с т в у ю щ и м и
з н а к а м и . Е с л и п р я м а я R S о б р а з у е т у г л ы а, р, у со с т а р ы м и
ос я м и к о о р д и н а т и с м е щ е н и е P Q им еет ком п оненты и, v, w
в тех ж е ос я х, то п р о е к ц и я P Q на R S р а в н а
м c o s a -Ь и co sp + ш cos Y-
(2)
Т а к о е о б о зн а ч е н и е очень г р о м о зд к о . Е г о обы чно с о к р а щ а ю т ,
о б о з н а ч а я ко си ну сы ч ер е з I, т , п. И х н а з ы в а ю т н а п р а в л я ю
щ и м и к о с и н у с а м и п р я м о й R S.^ Т о г д а п р о е к ц и я з а п и с ы в а е т с я
в вид е lu + m v + n w . Д а л ь н е й ш и е у п р о щ е н и я п о л у ч а ю т с я , если
мы о б о зн а ч и м оси ч ер ез дг], Xg, х^, к о м п о н е н ты — ч е р е з и,, и^, «з,
а н а п р а в л я ю щ и е ко си ну сы
через /i, /2, /3. Т о г д а п р о е к ц и я
з а п и ш е т с я в виде
(/= 1 ,2 ,3 ).
(3)
П р е и м у щ е с т в о и н д е к сн ого о б о зн а ч е н и я со сто и т в том, что н а и
более о б щ и е за к о н ы ф изик и и м ею т о д и н а к о в ы й в и д д л я всех
я
Зак.
231
к ом п онент. С л е д о в а т е л ь н о , если мы имеем, с к а ж е м , д и ф ф ер ен
ц и а л ь н ы е у р а в н е н и я д л я тр е х к о о р д и н а т частиц ы , то д о с т а
точно н а п и с а т ь одно у р а в н е н и е в ин дек сн о м обозначении; с л е
д у е т то л ь к о пом нить, что и н д е к с д о л ж е н п р и н и м а т ь все три
зн а ч е н и я по очереди. Д а л ь н е й ш е е с о к р а щ е н и е за п и си д о с т и
г а е т с я п о с р е д с тв о м п р а в и л а с у м м и р о в а н и я . .Мы видим, что в (3)
к а ж д ы й член с о д е р ж и т один и то т ж е индекс д в а ж д ы и все
члены с у м м и р у ю т с я . У с л о в и м с я , что в лю бом з а п и с ан н о м
в ин дексн ой ф о р м е в ы р а ж е н и и , в кото ром в с т р е ч а е т с я п о в т о
р я ю щ и й с я индекс, эт о м у и н д е к су с л е д у е т п р и д а т ь все в о з м о ж
ные зн а ч е н и я и р е з у л ь т а т ы з а т е м п р о с у м м и р о в а т ь . П о л ь з у я с ь
п р а в и л о м с у м м и р о в а н и я , вм есто (3) мы пиш ем просто
2.02.
П р е о б р а з о в а н и е . Е с л и н ам д а н ы д в е п р я м о у г о л ь н ы е
с истем ы к о о р д и н а т 0 1 2 3 и O l ' 2 'З ' с общ им н а ч а л о м О, то мы
о б о зн а ч а е м с о о т в е т с т в у ю щ и е к о о р д и н а т ы через x^ и л:'. И х с л е
д у е т р а с с м а т р и в а т ь к а к д в а р а з л и ч н ы х о п и с ан и я п о л о ж е н и я
точки Р. О б о з н а ч и м ч ере з
н а п р а в л я ю щ и й коси нус оси x'j
о т н о с и т е л ьн о оси л:,.. Т о г д а д:' — п р о е к ц и я О Р на с о о т в е т с т в у ю
щ ую ось и, с л е д о в а т е л ь н о , x'i = l ^ x . . Это верно д л я / = 1 , 2, 3;
следовательно.
З д е с ь з а п и с а н ы три у р а в н е н и я п р е о б р а з о в а н и я , к а ж д о е из ко т о
р ы х им еет три ч л е н а в пр а в о й части.
Мы п о к а не и с п о л ь з о в а л и у с л о в и е взаи м н о й п е р п е н д и к у л я р
ности осей х'.. У с л о в и е п е р п е н д и к у л я р н о с т и х\ и л:' состоит
в том, что
/п/^2 = 0.
(5)
Д л я д р у ги х пар осей верны д в а а н а л о г и ч н ы х со отн о ш ен и я .
Поскольку
— н а п р а в л я ю щ и е косинусы х[ о т н о с и т е л ьн о 0 1 2 3 ,
то в ы п о л н я е т с я соо тно ш ен ие
Inln = 1
(6)
и е щ е д в а п о д о б н ы х со о т н о ш е н и я . (Мы не пи ш е м зд е сь 1ц1ц
по то м у , что т о г д а н у ж н о б ы л о бы п р о с у м м и р о в а т ь и по i, и
по j, что не вх о д и т в н а ш и н а м е р е н и я .) И т а к , хотя им еется
д е в я т ь 1ц, они с в я з а н ы ш естью с о о т н о ш е н и я м и в и д а (5) и (6),
и с л е д у е т о ж и д а т ь , что т о л ь к о три из них м о ж н о в ы б и р а т ь
н е за в и си м о . Э то д е й с т в и т е л ь н о т а к , хотя у к а з а н н ы е с о о б р а ж е
ния н е л ь з я р а с с м а т р и в а т ь к а к д о к а з а т е л ь с т в о .
2.021.
Р а с с м о т р е н н ы е вы ш е ш есть соотнош ен ий могут
бы ть з а п и с а н ы к а к одно- В вед ем н а б о р чисел б;*, г д е / и k
Принимают зн ач ен ия 1, 2 и 3,
е с л и г ф k. Т о г д а мы им еем
и б ^ * = 1 , есл и
i = k, и бг^ = 0,
h ih i = ^ц-
(7)
Э тот н а б о р в еличин н а з ы в а е т с я тензором п о д с т а н о вк и * ). Е с л и
л ю б ое в ы р а ж е н и е , с о д е р ж а щ е е н е п о в т о р я ю щ и й с я и н дек с k,
у м н о ж и т ь на 6^/^ и п р о с у м м и р о в а т ь , то, п о с к о л ь к у ед и нственно е
н е н у л е в о е с л а г а е м о е б у д е т при k = i, п о л у ч а е м з а м е н у и н д е к са к
ин дек со м г. З а м е т и м , что с л е д у е т р а з л и ч а т ь в ы р а ж е н и е
при
i = k, ко тор ое р а в н о 1, и б,-,-, кот о р о е п о д р а з у м е в а е т с у м м и р о
в ан и е и р а в н о 3. О т м ет и м т а к ж е , что в 1ц сам вид в ы р а ж е н и я
п о к а з ы в а е т , что д в а I не м о гут им еть о д и н а к о в ы й см ы сл. П р и
у п о т р е б л е н и и и н дек сов н е и з б е ж н о п о я в л е н и е одной и той ж е
б у к в ы в д в у х с м ы с л а х , т а к к а к м ного б укв у ж е и м ею т с п е
ц и а л ь н о е н а зн а ч е н и е , но и н д е к с просто определяет ось и может
быть р а в н ы м 1, 2 и 3, а та же б у к в а на строке обозначает
ф и з и ч е с к у ю в е л и ч и н у . Е с л и им еть это в виду, то н и к а к о й п у т а
ницы не возни кн ет. Д л я п е р в о н а ч а л ь н ы х осей зд е сь и с п о л ь з о
в а л и с ь и н дек сы г, к, т , р, . . . , а д л я п р е о б р а з о в а н н ы х — /, /,
п, q, . . . ; б у к в а о п р о п у щ е н а , т а к к а к п о х о ж а на цифру. Ч а с т о
в к а ж д о й систем е и с п о л ь з у ю т с я свои буквы : в од ной — гр е ч е
ски е, а в д р у го й — с о о т в ет ст в у ю щ и е им л а т и н с к и е ; но ин о гд а
п р и х о д и тс я у п о т р е б л я т ь с л и щ к о м много б укв (и н а м д а ж е м о ж е т
не х в а т и т ь а л ф а в и т а ) или в во д и т ь б уквы со ш т р и х а м и , что
у с л о ж н я е т зап и сь.
2.022. О братное п р еобр азован и е. П о с к о л ь к у оси х ' о р т о го
н а л ь н ы м е ж д у собой и коси нус у г л а м е ж д у ос я м и x^ и
ра
вен 1ц, им еем
х^ = lijXj,
(8)
а п о с к о л ь к у и оси Х{ о р т о г о н а л ь н ы м е ж д у собой, то
= ^ik-
(9)
Эти с о о т н о ш е н и я а л г е б р а и ч е с к и вы ве д е н ы и з (7) в 2.073. Т е п ер ь
мы им еем 12 соотнош ен ий м е ж д у д е в я т ь ю в ел и ч и н а м и . О т с ю д а
с л е д у е т , что н е л ь з я п ол н о стью д о в е р я т ь м е то д у счета ко н ста н т.
2.023. Скорость, ускорение, си л а. О пределени е вектора.
Единичные, или направляю щ ие векторы. В и н е р ц и а л ь н о й систем е
*) См. 3.03. В данный момент нам не н уж н о общ ее определение тен
зора. bik — частный случай б-символа Кронекера.
к о о р д и н а т у р а в н е н и е д в и ж е н и я м а т е р и а л ь н о й точки и м ее т в и д * )
m x i = Xi
(10)
(т ер м и н и н е р ц и а л ь н а я л у ч ш е, чем об ы чн ы й т е р м и н ф и к с и р о
в а н н а я ) . Е с л и мы р а с с м о т р и м д р у г у ю и н е р ц и а л ь н у ю с истем у
к о о р д и н а т , то, п о с к о л ь к у 1ц не з а в и с я т от в р ем ени,
=
А -=
(11)
Т а к и м о б р а з о м , к о м п о н е н т ы с ко ро сти и у с к о р е н и я при п р е
о б р а з о в а н и и систем ы к о о р д и н а т м е н я ю т с я по д о бн о к о о р д и
натам.
М ы п о л а г а е м , что с о о тн ош ен и е (10) верно в л ю б о й инерц и а л ь н о й с и стем е к о о р д и н а т . В р а з л и ч н ы х с и с т е м а х к о о р д и н а т
к о м п о н е н т ы с ил ы X i, Х \ д о л ж н ы им еть р а з н ы е зн а ч е н и я , но все ж е
д о л ж н о в ы п о л н я т ь с я с оо тно ш ен ие
m x 'i^ X '.,
(12)
к а к бы ни п р е о б р а з о в ы в а л и с ь оси и со в е р ш е н н о н е за в и с и м о
от ф а к т и ч е с к и х зн ач е н и й Х{. Н о это в о з м о ж н о , т о л ь к о если
X' i ^l i t Xi .
(13)
Т а к и м о б р а з о м , мы пол уч ил и, что не т о л ь к о с м е щ е н и е , но и
с к о р о с т ь , у с к о р е н и е и с и л а п р е о б р а з у ю т с я по п р а в и л у (4). Д л я
си л ы это б ы л о в ы в е д е н о из п р е д п о л о ж е н и я о т ом , что у р а в н е
ние
д в и ж е н и я в ы п о л н я е т с я д л я всех и н е р ц и а л ь н ы х систем.
Т а к , н а п р и м е р , д л я ч асти ц ы , д в и г а ю щ е й с я под д ей с тв и е м
силы
т я ж е с т и , в систем е к о о р д и н а т с осью 0 3 , н а п р а в л е н н о й в е р т и
к а л ь н о вверх , мы им еем (х,,
-^з) = (0. 0. ~ ё)- Н о это неверно
д л я д р у г и х систем к о о р д и н а т , и о б щ а я ф о р м у л а им еет вид
Xi = — gli, где /(• — н а п р а в л я ю щ и е коси н усы оси, н а п р а в л е н н о й
в е р т и к а л ь н о ввер х.
Л ю б ы е три вел и ч и н ы Л,-, ко т о р ы е при п о в о р о т е осей п р е
о б р а з у ю т с я по п р а в и л у
A'i = h i A i ,
(14)
н а з ы в а ю т с я к о м п оне н т а м и вектора по отнош ен ию к этим ося м .
Т е п е р ь е с л и мы и схо д и м из н а б о р а тр е х у р а в н е н и й , к о т о р ы е
верны в л ю б о й систем е к о о р д и н а т , и вы во д и м из них к а к о е -то
с л е д с т в и е , и с п о л ь з у я к о н к р е т н ы е к о о р д и н а т ы 0 1 , 0 2 , 0 3 , то
с тем ж е у сп ех ом мы м о г л и бы в ы вести из эти х у р а в н е н и й .
*) В наши цели не входит детальное обсуж ден и е того, как и в какой
мере динамика Нью тона основы вается на опыте. Такое обсуж ден и е мож ет
быть найдено в [I, гл. 8].
з а п и с а н н ы х в д р у го й систем е к о о р д и н а т 0 1 ', 0 2 ', 0 3 ', с л е д
с твие, ф о р м а л ь н о о т л и ч а ю щ е е с я т о л ь к о д о б а в л е н и е м ш т р и х о в
ко всем б у к в а м . Е с л и с л е д с т в и е п р е д с т а в л я е т собой с и с т е м у
т р е х у р а в н е н и й и л е в ы е ч асти суть к о м п о н е н т ы в е к т о р а , то мы
зн а е м , что они п р е о б р а з у ю т с я при п е р е х о д е к новой си с т е м е
к о о р д и н а т с о г л ас н о (14). Н о т а к к а к обе систем ы у р а в н е н и й
верны , то п р а в ы е ч асти т а к ж е д о л ж н ы п р е о б р а з о в ы в а т ь с я
по (14) и я в л я ю т с я к о м п о н е н т а м и в е к т о р а . О б р а т н о , е сл и три^
у р а в н е н и я з а д а ю т р а в е н с т в о ко м п о н е н т д в у х ве к т о р о в в н е к о
торой систем е к о о р д и н а т, то, п о с к о л ь к у обе ч асти у р а в н е н и й
и з м е н я ю т с я по о д н о м у и т о м у ж е з а к о н у , эти уравнени я!
с р а з у ж е м о ж н о пр и м ен и т ь к л ю б о й д р у го й систем е к о о р д и н а т
просто д о б а в л е н и е м ш тр и х ов .
Е с л и мы во зь м е м д в е п р я м ы е , н а п р а в л я ю щ и е коси нусы к о т о
р ы х о т н о с и т е л ьн о осей Xi су ть
и tii, то коси нус у г л а м е ж д у
ним и б у д е т mitii. Е с л и , в ч астности, п е р в а я п р я м а я — ось дс',.
то коси нус у г л а м е ж д у ней и п р я м о й с н а п р а в л я ю щ и м и к о с и
н у с а м и tii есть
(15)Т а к и м о б р а з о м , н а п р а в л я ю щ и е косинусы д ан н о й п р я м о й п р е
о б р а з у ю т с я по п р а в и л у (14) и я в л я ю т с я к о м п о н е н т а м и в е к т о р а .
Э то т векто р ч ас т о н а з ы в а ю т е д и н и ч н ы м вектором. М ы п р е д
п о ч и т а е м т е р м и н н а п р а в л я ю щ и й вектор, т а к к а к его е д и н с т в е н
ное н а з н а ч е н и е — о п р е д е л я т ь н а п р а в л е н и е .
М ы м о ж е м г ов ор и ть о ко м п о н ен т е в е к т о р а в л ю б о м н а п р а
в л ении . Е с л и п р я м а я и м ее т н а п р а в л я ю щ и е коси нусы rii в си
стем е к о о р д и н а т Xi, то к о м п о н е н т а в е к т о р а Ai в этом н а п р а
влении есть tiiAi. Т е п ер ь п р е д п о л о ж и м , что мы х о т е ли бы
о т ы с к а т ь ко м п о н ен т у этого ж е в е к т о р а в том ж е н а п р ав л е н и и ,,
и с п о л ь з у я с истем у к о о р д и н а т л:'. М ы п о л у ч и л и бы
п;л; =
= б.,п.л, = «.л.,
(i6>-
и следовательно, компонента вектора в заданном направлении
не з а в и с и т от в ы б о р а осей к о о р д и н а т.
Э то т р е з у л ь т а т м о ж н о б ы л о п ол уч и ть т а к ж е , и с п о л ь з у я
т р е т ь ю си с т е м у к о о р д и н а т , у которой о д н а из осей им ее т н а п р а
в л е н и е П(, и п е р е х о д я от п е р в о н а ч а л ь н о й си ст е м ы к это й,
а потом к х'^.
В е кт о р часто о п р е д е л я ю т к а к о б ъ е к т , з а д а в а е м ы й с о в о к у п
ностью т р е х ком п о н ен т с а д д и т и в н ы м с войство м , котор ое в ы р а
ж а е т с я п р а в и л о м п а р а л л е л о г р а м м а . П о с л е д н я я ч асть этого
о п р е д е л ен и я п р е д п о л а г а е т , о д н а к о , что р а с с м а т р и в а е м ы е в е к
т о р ы м огу т быть п р е д с т а в л е н ы с м е щ е н и я м и в п р о и зв о л ь н о м
с к а л я р н о м м а с ш т а б е , к а к п р а в и л о и м е ю щ е м р а зм е р н о с т ь . П о к а
это не с д е л а н о , мы не з н а е м , что п о д р а з у м е в а е т с я под п р а в и
л о м п а р а л л е л о г р а м м а д л я этих векто ро в. В ве д ен и е п а р а л л е л о
г р а м м а ф а кт и ч е с к и л и ш ь у с л о ж н я е т д ел о . Б у д е т л у ч ш е перейти
п р я м о к а н а л и т и ч е с к о й ф о р м у л и р о в к е т р е буе м о го с во йства.
И т а к , это п р а в и л о т р ебует, чтобы мы зн а л и , что п о д р а з у м е
в а е т с я под с л о ж е н и е м д л я р а с с м а т р и в а е м ы х в екторо в . У нас
есть естествен н ы е и н те р п р ет а ц и и д л я смеш,ения, скорости, у с к о
рени я и силы . О д н а к о н а м б у д у т в с т р е ч а т ь с я б о л е е с л о ж н ы е
векторы , д л я ко т о р ы х тр у д н о у к а з а т ь отли чн ое от а н а л и т и
ческого о п р е д е л ен и е с л о ж е н и я . К т о м у ж е в этом нет н е о б х о
д им ости , т а к к а к все, что т р е б у е т с я д л я н а ш и х целей, — это
п р а в и л ь н о с т ь н а ш и х у р а в н е н и й . Е с л и мы м о ж е м п р а в и л ь н о
про вести в ы к л а д к у , то д л я ф изик и не о б я з а т е л ь н о о т ы ск и в а т ь
особу ю ф изич еску ю и н те р п р ет а ц и ю д л я к а ж д о г о в х о д я щ е г о
в в ы к л а д к у ч л е н а. Т а к и м о б р а з о м , мы о п р е д е л я е м вектор к а к
с о в о к у п н о с т ь ко м п о н е н т Л,-, о п р е д е л ен н ы м о б р а з о м и з м е н я ю
щ и х с я при п р е о б р а з о в а н и и к о о р д и н а т . Э то в к л ю ч а е т у т в е р ж д е
ние о том, что ком п онентой в е к т о р а с н а п р а в л я ю щ и м и ко с и
н у с а м и «г я в л я е т с я
С к а л я р — это о д н о к о м п о н е н т н а я в е л и
чина, не м е н я ю щ а я с я при з а м е н е осей.
2.03.
О б о з н а ч е н и е в е к т о р а о д н о й б у к в о й . В ектор с к о м п о
н е н там и Ai м о ж н о ещ е ко роч е о б о зн а ч и т ь ч ере з А. О чен ь
т р у д н о и ф а к т и ч е с к и не о б я з а т е л ь н о о б ъ я с н я т ь , что мы н а з ы
в аем ве кт о р о м в от р ы ве от его к ом п о нент. П р о и з в о д я с р а в н е н и я
с н а б л ю д е н и я м и , мы и н те р е с у е м с я им енно ко м п о н е н т а м и , о д н а к о
ч ас т о у д о б н о р а б о т а т ь с о дним с и м в о л о м . М ы о п р е д е л я е м с у м м у
д в у х в ек т о р о в А и В к а к в е ктор с к о м п о н е н т а м и Л,- +
и обо
з н а ч а е м его ч ерез А 4 - В. О б о з н а ч е н и е — В — векто р с к о м п о
н е н там и — Bi, а А — В = А - Ь ( — В). М ы м о ж е м о п р е д е л и т ь у м н о
ж е н и е в е к т о р а А на с к а л я р т к а к вектор с к о м п о н е н т а м и
О ч еви дн о , что при т а к о м о п р е д е л ен и и в ы п о л н я ю т с я за ко н ы
а с с о ц и а т и в н о ст и и к о м м у т а т и в н о с т и с л о ж е н и я ; В + А — вектор
с ко м п о н е н т а м и В, + Л ^ = Д- + В,-, а это к ом п оненты в е к т о р а А + В .
А н а л о г и ч н о за к о н ас с о ц и а т и в н о ст и
А + (В - I- С ) = (А + В ) -f С
н е м е д л е н н о с л е д у е т и з о п р е д е л е н и я . Н е им ее т с м ы с л а п р и
б а в л я т ь векто р к с к а л я р у , п о с к о л ь к у первы й м е н я е т с я при
з а м е н е осей, а второй нет. О д н а к о ясно, что т А и А т п р е д
с т а в л я ю т один и тот ж е в ектор , и, с л е д о в а т е л ь н о , в ы п о л н я е т с я
з а к о н к о м м у т а т и в н о с т и у м н о ж е н и я . А н а л о г и ч н о е сл и т и п
■скаляры, то
{т + п ) А = тА + пА = {п + т) А
при условии, что m a n и м ею т о д и н а к о в у ю р а зм е р н о с т ь ; в п р о
тивном с л у ч а е с л о ж е н и е б е с с 1М ысленно. Т а к ж е
т ( пА) - (т п) А.
С м е щ ен и е о т _ Р к Q, р а с с м а т р и в а е м о е к а к вектор,
зн а ч а т ь с я P Q .
будет обо
Мы видели, что вектор вполне задается тремя компонентами. Однако
легко видеть, что это условие не влечет за собой выполнения закона ком
мутативности сложения и, следовательно, само по себе не является доста
точным для выведения всех свойств векторов *). Рассмотрим вращениетвердого тела на конечный угол вокруг произ
вольной оси, проходящ ей через фиксированную
точку О этого тела. Естественной „суммой"
двух последовательны х вращений является
одно вращ ение, переводящ ее тело в то ж е
конечное полож ение. О дно вращ ение вполне
определяется заданием направления оси вра
щения, для чего нужны два числа, и углом по
ворота. В озьм ем неподвиж ную п р я м о у г о л ь - ------ную систем у координат 0 1 2 3 и рассмотрим
два последовательны х вращения. П ервое на
угол я /2 вокруг 0 1 , второе на угол л /2
вокруг 0 2 , оба в правую сторону. Если мы
возьмем их в этом порядке, точка Р с коорди
натами (О, О, 1) сперва перейдет в Я' (О, — 1, 0)
Р и с . 3.
и останется там при втором вращении. Но
если мы сделаем сперва вращ ение относи
тельно 0 2 , точка перейдет в Р " ( 1 , 0 , 0) и останется там при следую щ ем
вращении. П орядок вращений влияет на результат. Если бы сумма д в ух
вращений получалась по векторным законам, этого не могло бы быть, по
скольку для векторов слож ение коммутативно. П редставление конечных вра
щений будет рассмотрено более полно в следую щ ей главе.
2.031.
И з н а ш е г о о п р е д е л е н и я м о ж н о вы вести, что в е кто р
д о п у с к а е т геометрическое пр едст авление. Е с л и А —п р о и зв о л ьн ы й
вектор, мы м о ж е м у м н о ж и т ь его к о м п о н е н ты Ai на к о н с т а н т у с,
в ы б р а н н у ю т а к , чтобы они пр и о б р е л и р а з м е р н о с т ь д л и н ы . Т о г д а
если Xi = cAi, то п р о е к ц и я х на н а п р а в л е н и е li есть
l[Xi = ctiAi,
и, р а з д е л и в на с, мы п о л у ч а ем к о м п о н е н т у А в н а п р а в л е н и и
О т с ю д а видно, что с л о ж е н и е в е к т о р о в о д и н а к о в о й р а зм е р н о с т и
по л н о ст ью о п и с ы в а е т с я , ёсл и п р е д с т а в л я т ь их к а к с м е щ е н и я
в о д и н а к о в о м м а с ш т а б е , и, т а к и м о б р а з о м , п р а в и л о п а р а л л е л о
г р а м м а у с т а н о в л е н о д л я в е кто ров о б щ е г о в и д а . Д а л ь н е й ш и е
с в о й с т в а в е к т о р о в м огут бы ть в ы веден ы из сво йств с м ещ е н и й
с п о м о щ ь ю этого п р е д с т а в л е н и я . В частно сти, к а ж д ы й в е ктор
*) Д ругим и словами, не всякий объект, задаваемы й тремя компонен
тами, является вектором. — Ярыл. перев.
и м е е т м о д у л ь и н а п р а в л е н и е . Д е й с т в и т ел ь н о , если г — д л и н а
с м е щ е н и я , п р е д с т а в л я ю щ е г о его в д а н н о м м а с ш т а б е , то
г2 = xf + л;2 + 4 = с \ А \ + Л | + 4 ) = c^A ^
(1)
A^=A,A,
(2)
где
и не за в и с и т о т в ы б о р а осей. Т о г д а А (в зя то е п о л о ж и т е л ь н ы м )
м о ж е т быть н а з в а н о м о д у л е м А и с о о т в ет с т в у е т вел ич ине с м е
щ ен и я . Т а к ж е есл и А ф < д и мы н а п и ш е м
X.
А.
то nil б у д у т н а п р а в л я ю щ и м и к о с и н у с а м и о п р е д е л е н н о й п р я м о й ,
к о т о р а я м о ж е т бы ть н а з в а н а н а п р а в л е н и е м А. Д а л е е , п р о е к ц и я
р а с с м а т р и в а е м о г о с м е щ е н и я на п р я м у ю в н а п р а в л е н и и /,• есть
= сЛ C O S 0 , где 0 — у го л м е ж д у н а п р а в л е н и я м и /,■ и т ^ .
К о м п о н е н т о й А в н а п р а в л е н и и /,• я в л я е т с я Л с о з Э . О д н а к о к о м
пон ента в з а д а н н о м н а п р а в л е н и и не за в и с и т от в з я т ы х осей,
и, с л е д о в а т е л ь н о , Л и 0 д л я всех /,• не з а в и с я т от осей.
З н а ч и т Л — о д н а и т а ж е ве л и ч и н а , а
— одно и то ж е н а п р а
вление в л ю б ы х осях.
В одном случае удобн о отказаться от правила брать А положительным.
Прямая линия мож ет быть представлена уравнениями
x . ^ a ^ + sL.
Если /; фиксированы, мы м ож ем получить все точки прямой, изменяя s
от — оо д о -Ь оо. Это соответствует перемещению вдоль прямой в опр еделен
ном направлении. Если // указаны , то прямую, проходящ ую через начало
координат, у д обн о записать так:
x i^xl.,
J
где X мож ет принимать и отрицательные значения. Р асстояние от начала
координат, взятое положительным, в сегд а буд ет обозначаться через г. Когда
мы берем
х.t = г1.I
'С положительным г, мы рассматриваем две прямые, выходящ ие из начала
координат в противоположны х направлениях, как разные прямые с //, рав
ными по величине и противоположными по знаку. Это иногда удобн о,
но не всегда.
2.032.
С р а в н е н и е сис т е м о б о зн а ч е н и й . В а ж н о с т ь и п о л е з
ность в екторного о б о зн а ч е н и я я в л я ю т с я п р е д м е то м о б с у ж д е н и й
д л я з а н и м а ю щ и х с я м а т е м а т и ч е с к о й ф изикой. То, что м о ж н о
с к а з а т ь в т е р м и н а х А, м о ж н о с к а з а т ь и в т е р м и н а х Л,-, в ы п и
с ы в а я по л но стью все ком п о ненты . О д н а к о е сл и п осто янно иметь
в в и д у ге о м етр и ч е с к о е п р е д с т а в л е н и е в е к т о р а в вид е н а п р а
вл ен н ого о т р е з к а , то, по мнению н ек о тор ы х , с о д е р ж а н и е м ногих
ф и зи ч е с к и х з а к о н о в н а и б о л е е п он ятн о в в ектор н о м о б о зн а ч е н и и .
Н е к о т о р ы е у с и л и я н у ж н ы , чтобы н а у ч и т ь с я д у м а т ь в т е р м и н а х
ве кт о р о в . О ни н у ж н ы т а к ж е , чтобы п р и обр ести у в е р е н н о с т ь
в том, что к о м п а к т н о с т ь , п о л у ч а е м а я б л а г о д а р я п р а в и л у с у м
м и р о в а н и я , не в е де т к о ш и б к а м . К р о м е того, с л е д у е т п ом н ить,
что есл и получен н ек ото ры й ф и зич еский р е з у л ь т а т о вект о р е ,
то д л я его пр о ве р к и в с е г д а п о н а д о б и т с я п р о и зв е с ти т р и и з м е
р ен и я и, н е за в и с и м о от того, к а к он в ы р а ж е н — с п о м о щ ь ю
в е кто рн о го или ин дек сн ого о б о зн а ч е н и я , — п р и д е т с я р а с п и с а т ь
все три ком п о н ен ты . Р а с п и с ы в а н и е к о м п о н е н т при ин дек сн о м
о б о зн ач е н и и в с е г д а п р о щ е , чем при в е кто рн о м . Н е к о т о р ы е
о б щ и е те о р ем ы з а п и с ы в а ю т с я ко роч е в одной с и стем е, н е к о
т ор ы е — в д ру го й . В к о н к р е т н ы х з а д а ч а х н ео б х о д и м ы н е к о то р ы е
р а з м ы ш л е н и я д л я того, чтобы в ы б р а т ь н а и л у ч ш и й м о м е н т д л я
р а с п и с ы в а н и я по к о м п о н е н т а м , и м ногие сту д е н т ы с л и ш к о м
д о л г о о т к л а д ы в а ю т его, хо тя у с л о в и я з а д а ч и в ы д е л я ю т од н о
или д в а с п е ц и а л ь н ы х н а п р а в л е н и я . В теории у п р у го с т и и д и н а
м ике в я з к и х ж и д к о с т е й е сте с т в ен н е е п р и м е н я т ь и н д е к сн о е о б о
зн ач ен и е. В теории о тн о с и т е л ьн о с т и векто рное о б о зн а ч е н и е
п ол н о стью н е п р им еним о, т а к к а к не в ы п о л н я е т с я п р а в и л о п а р а л
л е л о г р а м м а д л я с ко ро с те й . В с л е д с т в и е эт о го н е к о то р ы е с п е
ц и а л и сты с чи таю т, что в екто рно е о б о зн а ч е н и е — ч и с т а я п о т е р я
врем ени, и о т к л а д ы в а ю т зн а к о м с т в о с этим в о сновн ом п о л е з
ным м ето д о м . В этой г л а в е мы п о к а ж е м , н а с к о л ь к о это в о з
м о ж н о , о б а м е т о д а п а р а л л е л ь н о . У м ен ие п е р е в о д и т ь с од ного
я з ы к а на д ру го й и п е реход и ть к р а с п и с а н н о й ф о рм е а б с о л ю т н о
н е о б х о д и м о д л я п о н и м а н и я с о вр е м е н н о й ф изической л и т е р а
туры . Ч а с т о п о л е зн о п р е д с т а в л я т ь се б е в е кто р к а к в е ктор с м е
щ е н и я . Х отя в о п р е д е л е н и я х мы п р и в о д и м четкое р а зл и ч и е
м е ж д у о б щ и м и в е к т о р а м и и в е к т о р а м и с м е щ е н и я , мы ч ас т о
б у д е м п р и м е н я т ь к о б щ и м в е к т о р а м г е о м е тр и ч е с к и е т е р м и н ы ;
н а п р и м е р , у го л м е ж д у д в у м я в е к т о р а м и А и В, строго г о в о р я , —
з н а ч и т „ угол м е ж д у в е к т о р а м и с м е щ е н и й , п р е д с т а в л я ю щ и м и
А и В в соо т в ет с т ве н н о о п р е д е л е н н о м м а с ш т а б е " ; „ д в а п е р
п е н д и к у л я р н ы х в е к т о р а А и В “ — з н а ч и т „ д в а в е к т о р а А и В,
т а к и е , что п р е д с т а в л я ю щ и е их с м е щ е н и я перпендикулярны**.
И с п о л ь з о в а н и е этой а н а л о г и и не н у ж н о при и н д е к с н ы х о б о
з н а ч е н и я х , зд е сь д о с т а т о ч н о а н а л и т и ч е с к и х о п р е д е л ен и й .
2.0 33 , Н улевой вектор. Н у л е в о й в е ктор — это в екто р, м о д у л ь
ко т о р о го р а в е н нулю .
ло)
2.0 34 . Н аправляю щ ие векторы. В е к т о р с м о д у л е м 1 (чис
в н а п р а в л е н и и в е к т о р а А н а з ы в а е т с я еди нич ны м или
н а п р а в л я ю щ и м вектором в этом н а п р ав л е н и и . Е го ком п оненты ,
очевидно, р а в н ы — н а п р а в л я ю щ и м к о си н усам А по отнош ен ию
к ко о р д и н а т н ы м о сям . В ч астности, мы бу дем о б о з н а ч а т ь н а
п р а в л я ю щ и е в е кт о р ы в н а п р а в л е н и и осей ч ерез e(i), С(2), С(з)
с о ответственно. Т а к и м о б р а з о м ,
е(1) = (1, О, 0),
6(2) = (О, 1, 0),
е(з) = (О, О, 1).
И н д е к с в з я т в скоб ки , чтобы по д ч е р к н у т ь, что это не к о м п о
не н та , а н ек о тор ы й вектор. Л ю б о й вектор А м о ж е т б ы ть з а
писан так:
Л 16(1) + ^2®(2) + ^26(3).
в н е к о то р ы х к н и г а х н а п р а в л я ю щ и е векто ры ,
о ся м , о б о з н а ч а ю т ч ерез i, j, к и пи ш ут
параллельные
А = Ajfi -f Ayj -f Л^к.
2.04.
Линейно зависим ы е или компланарны е векторы. Е сли
три в е к т о р а А , В и С у д о в л е т в о р я ю т со отнош ению
аА + рВ + уС = 0,
(1)
где а, р, Y — д е й с т в и т е л ь н ы е ч и с л а (не все р а в н ы е нулю), то
эти в екто ры н а з ы в а ю т с я л и н е й н о за в и с и м ы м и . Г ео м етр и ческ и
это знач ит, что А, В, С м о гут б ы ть п р е д с т а в л е н ы с м е щ е н и я м и ,
л е ж а щ и м и в одной пл оскости; т а к , е сл и у ф О, то
С = - ^ ( а А + рВ),
и, с л е д о в а т е л ь н о , С п р е д с т а в л я е т с я с м е щ е н и е м , л е ж а щ и м
в п л о скости с м е щ е н и й , п р е д с т а в л я ю щ и х А и В, в п р е д п о
л о ж е н и и , что все они п р ов е д е н ы из одной точки. С а м и в е к
торы н а з ы в а ю т с я т о г д а к о м п л а н а р н ы м и . М ы м о ж е м здесь
н а п о м н и т ь , что п а р а л л е л ь н ы е в е кт о р ы р а в н о й величины э к в и
в а л е н т н ы в н а ш е й системе. Н е к о т о р ы е авт о р ы р а з л и ч а ю т „ с в о
б одн ы е в е к т о р ы " и „ с в я з а н н ы е в е к т о р ы ". С в я з а н н ы й вектор
в к л ю ч а е т , н а п р и м е р , з а д а н и е и силы , и точки ее п р и л о ж е н и я .
В н а ш е й систем е с в я з а н н ы й в е кто р — это не один, а д в а в ек
т о р а : один — о п р е д е л я ю щ и й силу, а д р у го й — т очку ее пр и
ложения.
Е с л и м е ж д у т р е м я в е к т о р а м и нет с о отн о ш е н и я в и д а (1), то
они н а з ы в а ю т с я л и н ей н о н е з а в и с и м ы м и или н е к о м п л а н а р н ы м и .
С о о т в е т с т в у ю щ и е р е з у л ь т а т ы в ин д е к сн ы х о б о з н а ч е н и я х м огут
б ы ть н ап и с а н ы б ез тр у д а .
2.041. Вы раж ение л ю бого вектора через три н еком п ланар
ных вектора. Е сли А, В, С — три н е к о м п л а н а р н ы х ве к т о р а и
D —п р о и зв о л ь н ы й в ектор , то D м о ж н о в ы р а зи т ь к а к а А + рВ + уС,
где а, р, Y ~ д е й с тв и те л ь н ы е ч исла. П усть P Q (см. рис. 4) пр е д
с т а в л я е т D. Т о гд а п р я м ы е , про ве д е н н ы е ч ер е з Р и п р е д с т а в л я ю
щ ие А и В, о п р е д е л я ю т пл оскость. П у с т ь /?Q — п р я м а я , п р о
в е д е н н а я ч ерез Q в н а п р а в л е н и и С, п е р е с е к а е т э т у п лоскость
в точке R. Т о г д а
P Q ^ P R + RQ.
Н о R Q п р е д с т а в л я е т у С , где
скаляр, а
—в екто р, к о м п
л а н а р н ы й А и В. З н а ч и т , его м о ж н о в ы р а з и т ь к а к а А + рВ.
Следовательно,
D = а А + рВ + уС.
П о с к о л ь к у м е ж д у ч ет ы р ь м я в е к т о р а м и в с е г д а есть со отн о
ш ен ие т а к о г о т и п а , то, с л е д о в а т е л ь н о , четы ре в е к т о р а не
м огут бы ть л и н ей н о н е за в и си м ы . И з д а н н о г о п о стро ен и я ясно,
что д л я з а д а н н ы х А, В, С (н е к о м п л а н а р н ы х ) и л ю б о г о D ве
личины а , р, Y о п р е д е л я ю т с я
о д н о зн а ч н о .
Е с л и А, В, С — п о п а р н о п е р
пендикулярные
направляю щ ие
в е кт ор ы , то п о л у ч а е м частны й
с л у ч а й , при в е де н н ы й в 2.034. Е сли
А, В, С не я в л я ю т с я п о п арн о
п е р п е н д и к у л я р н ы м и , то а А , pS,
уС назы ваю тся косоугольными
к о мп о не нт а ми D в н а п р а в л е н и я х pj
А, В, С соо тветственно .
осд
2.05.
У м нож ение
векторов.
Мы рассмотрели умнож ение век
т о р а на с к а л я р , но к ак о й см ы с л м о ж н о п р и д а т ь у м н о ж е н и ю
д в у х в е кт о ров и в оо б щ е м о ж н о л и это с д е л а т ь , не т а к у ж
ясно. М ы м о ж е м р а с п о л о ж и т ь д е в я т ь пр ои зв еден и й ком п онент
в виде к в а д р а т н о й т а б л и ц ы с л е д у ю щ и м о б р а з о м :
А,В,
А 2В 1
ЛзВ,
Аф^
А 2В 2
А,В,
^2^3
^3^3
М ы у в и д и м , что все эти п р о и зв е д е н и я п о я в я т с я в гл. 3. Д в а
п р о и зв е д е н и я , н а з ы в а е м ы е с к а л я р н ы м и векторным п р о и з в е д е
ни ям и , к о п р е д е л ен и ю к о тор ы х мы п ер ех од им , суть н е к о то р ы е
ком б и н ац и и этих д е в я т и про и зв ед е н и й . И х вы бор о п р е д е л я е т с я
п о л ьзой , ко то ру ю они пр и н о с я т в ф и зи ч ески х п р и л о ж е н и я х .
2.06.
С калярное п р ои зведен ие. Э т а ф у н к ц и я н е п о ср е д с тве н н о
св язан а с ф ундаментальны м и экспериментально проверяемым
с о о тн ош ен и ем 2.01 ( 1) м е ж д у р а с с т о я н и я м и , и з м е р я е м ы м и не
в д о л ь одной п р я м о й :
P Q - P R c o s Q = \ ( P Q ^ + P R ‘^ - Q R ^ ) .
( 1)
Э то в ы р а ж е н и е вп о л н е о п р е д е л я е т с я з а д а н и е м т р е х д л и н P Q ,
P R , Q R. П о с к о л ь к у р а с с т о я н и е я в л я е т с я осно вн ы м п о н ятием
д л я всей те м ы и о д и н а к о в о д л я всех систем к о о р д и н а т , это
в ы р а ж е н и е о п р е д е л я е т величину, не з а в и с я щ у ю от систем ы
к о о р д и н а т . М ы н а з в а л и т а к и е в еличины с к а л я р а м и . П е р е й д е м
т е п е р ь к д е к а р т о в ы м к о о р д и н а т а м . П у ст ь Xi о б о зн а ч а е т P Q .
а yi — P R , т о гд а t/i — Xi о б о з н а ч а е т Q R , и
] - ( P Q 2 + P R ^ - QR^) = 1 {(x2 + x l + xf) + (г/2 + г/| + yf) -
{{У\ -
X \f +
^ (PQ2 + PR'^ - QR^) =
(г/2 -
+
(г/з -
Х з )^ ]},
+ Х2 У2 + ХгУз.
(2)
(3)
Э то в ы р а ж е н и е н а з ы в а е т с я с к а л я р н ы м п р о и з в е д е н и е м в е к т о
ров X и у. В о б щ е м с л у ч а е с к а л я р н о е п р о и зв е д е н и е А и В
о п р е д е л я е т с я т а к:
А • В = А]В\ + А 2 В 2 + -^3^3 =
2
г= 1,2, 3
AiBi = A f i i ,
(4 )
е сл и и с п о л ь з о в а т ь п р а в и л о с у м м и р о в а н и я . П р о и зв е д е н и е А • В
р а в н о Л В с о з в , где 6 — уго л м е ж д у н а п р а в л е н и я м и эти х в е к
торов. Ч и т а е т с я это т а к : „А на В с к а л я р н о " . Д в а в ы р а ж е н и я
в к о о р д и н а т а х (2), (3) м о гут б ы ть з а п и с а н ы по с о г л ащ е н и ю
о с у м м и р о в а н и и т а к:
а л е в у ю ч асть м о ж н о з а п и с а т ь короче:
(6)
Н а п о м н и м , что х^ бы ло в свое в р е м я введен о д л я за п и с и х х ,
что мы и п о д р а з у м е в а е м под х^; по это м у, к о г д а мы видим
в ы р а ж е н и е , по д о бн о е х?, то и н т е р п р ет и р у ем его к а к д:.х,- и
п р и м ен я ем п р а в и л о с у м м и р о в а н и я . П о э т о м у п р а в и л у м о д у л ь А
вектора А задается равенством
A^ = А1
Э то в ы р а ж е н и е есть с к а л я р н о е п р о и зв е д е н и е А с с а м и м собой.
Б л а г о д а р я п р а в и л у с у м м и р о в а н и я т а к за м е т н о с о к р а щ а е т с я
за п и с ь , что те р е д к и е с л у ч аи , к о г д а мы им не п о л ь з у е м с я ,
оговари ваю тся специально. Б е з п рави ла суммирования индекс
ное о б о зн а ч е н и е и м е л о бы м а л о п р е и м у щ е с т в п еред в ы п и с ы в а
ни ем ф о р м у л ы п о л н остью в д е к а р т о в ы х к о о р д и н а т а х ; с его
п о м о щ ь ю в ы р а ж е н и е , ко т о р о е в р а з в е р н у т о м виде с о д е р ж и т 9
или 81 член , м о ж н о з а п и с а т ь к а к о д н о ч л е н , и о б р а щ а т ь с я
с ним т а к ж е л егко. Э то п р а в и л о о с т а е т с я п о л е зн ы м в теории
отн о си т е л ьн о с т и и об щ ей д и н а м и к е , п о с к о л ь к у я в л я е т с я просто
ис к у сст в е н н ы м п р и е м о м и не за в и с и т от п р а в и л а п а р а л л е
лограмма.
Д о к а з а т е л ь с т в о того, ч ю Ai Bi не за в и с и т от систем ы к о о р
д и н а т , б ез п р е д с т а в л е н и я с м е щ е н и я м и п р о в о д и т с я т а к ж е , к а к
при вы в о д е 2.023(16):
=
=
=
(7)
Коммутативность. И з о п р е д е л е н и я ясно, что п о р я д о к со
м н о ж и т е л е й А и В в с к а л я р н о м п р о и зв е д е н и и б е з р а з л и ч е н :
А
В
=
В
А .
Ассоциативность. П о с к о л ь к у А - В —не вектор, мы не м о ж е м
п р о д о л ж и т ь у м н о ж е н и е и о б р а з о в а т ь п р о и зв е д е н и е А • В • С ,
т а к что г о во ри т ь об
асс о ц и а т и в н о ст и б ессм ы сл ен н о .
Но
( А
• В ) С
— вектор, им ею щ и й н а п р а в л е н и е т а к о е ж е , к а к С ,
а вел ич ину , б о л ь ш у ю в А • В р аз.
Дистрибутивность. М ы м о ж е м , о д н а к о , д о к а з а т ь , что
А
(
В
-
Ь
С
)
=
А
В
+
А
С
,
т а ч к а к это н е м е д л е н н о с л е д у е т из о п р е д е л ен и я . И з этого
т о тч а с м о ж н о вы вести, что с к а л я р н о е п р о и зв е д е н и е д в у х сумм
р е кто ро в м о ж н о п р е д с т а в и т ь су м м ой с к а л я р н ы х про и зв ед е н и й .
В ч астн ости , т а к к а к
в(2) • С(з) = C(3) • 6 (1) = 6 (1) • 6(2) = О,
^(1) • С(1) = 6(2) • 6(2) = 6(3) • 6(3) = 1,
то
А
•
В
=
( i 4 i6 ( i)
+
/4 26 (2 )
- Ь
^ з б ( з ) )
•
(ВхСц) +
^ 2 ^ ( 2 )
+
^З^(З))
=
= А\ В[ -\- А 2 В 2 + А^В^.
Т а к и м о б р а з о м , мы п о л у ч и л и о п р е д е л е н и е (4).
З а м е т и м , что, к о г д а о п р е д е л ен ы н а п р а в л я ю щ и е векторы
в д о л ь осей, п р я м о у г о л ь н ы е к о о р д и н а т ы с ч и та ю тс я с к а л я р а м и .
С л е д у е т о тм ети ть, что если с к а л я р н о е п р о и зв е д е н и е д в у х
с м е щ е н и й р а в н о н ул ю , то PQ^ + P R ^ = Q R ‘^ и, с л е д о в а т е л ь н о ,
или о д н о из с м е щ е н и й — нуль, или они п е р п ен д и к у л я р н ы .
О б р а щ е н и е в ну л ь А - В не о зн а ч а е т , что А или В — нулевой
в ектор, а о з н а ч а е т , что л и б о они п е р п е н д и к у л я р н ы , л и б о один
из них н у л ь. О д н а к о если А • В ,, А • Bj, А • Вд все ра в н ы нулю ,
а В |, Ва, Вз — н е к о м п л а н а р н ы , то А не м о ж е т б ы ть п е р п е н д и
к у л я р н ы м к ним всем и д о л ж е н б ы ть н у л е в ы м .
Косинус угла м еж д у д вум я прямы ми равен скалярн ом у
п р о и зв е д е н и ю их н а п р а в л я ю щ и х в ектор ов , т. е. если
т^ —
н а п р а в л я ю щ и е коси нусы п р я м ы х , то
cos 0 = litTli.
К омпонента вектора А вдоль прямой с н ап равляю щ им и
косинусами
р а в н а /(-Л,-, что я в л я е т с я с к а л я р н ы м п р о и з в е д е
нием А и н а п р а в л я ю щ е г о в е к т о р а этой п р я м о й .
2.07.
В екторное п р ои зведен ие. В е к т о р н о е п р о и зв е д е н и е д в у х
в е ктор ов з а п и с ы в а е т с я А Х В (чи тается Л на В в е к т о р ^ . О п р е
д е л и м его на г е о м етр и ческой м о д ел и . Е сл и О Р и 0 Q , п р е д
с т а в л я ю щ и е А и В с о отв етств енно, не п а р а л л е л ь н ы , то они
о п р е д е л я ю т пл о ско сть. П у с т ь O R п р е д с т а в л я е т н а п р а в л я ю щ и й
вектор п, п е р п е н д и к у л я р н ы й к этой плоскости. Т о г д а если
0 — у г о л , на котор ы й н у ж н о п о ве р н у ть О Р отн о си тел ьн о O R
в п р а в о , чтобы п ол у ч и ть п р я м у ю 0 Q, то
А X В = А В sin 0п.
С е й ч а с мы у в и д и м , что о п р е д е л е н и е не за в и с и т от в ы б о р а н а
п р а в л е н и я п. Е с л и мы н а п р а в и м п в о б р а т н у ю сторону, то
у го л п о в о р о т а 0 за м е н и т с я на (2л — 0), а т а к к а к s i n ( 2n —0) =
== — sin 0 , то в е л и ч и н а и н а п р а в л е н и е вектор ного п р о и зв е д е н и я
не и зм е н я т с я .
В ве кт о р н о м п р о и зв е д е н и и п о р я д о к с о м н о ж и т е л е й я в л я е т с я
сущ ественным. Д ействительно,
В X А = ВЛ s i n ( — 0 ) п = — А X В.
(1)
В е к т о р н о е у м н о ж е н и е не к о м м у т а т и в н о . С коро мы у в и д и м ,
что
оно и не асс о ц и а т и вн о . О д н а к о мы м о ж е м д о к а з а т ь его
д и с т р и б у т и в н о с т ь отно с и т е л ьн о с л о ж е н и я , т. е.
А Х ( В + С) = А Х В + А Х С .
(2)
Р а с с м о т р и м с п е р в а д в а ч ас т н ы х с л у ч а я :
1)
А п е р п е н д и к у л я р е н В и С. З а м е т и м , что есл и А и В
п е р п е н д и к у л я р н ы , то А х В п о л у ч а е т с я из В у м н о ж е н и е м на А
И пово ро то м отн о си тел ьн о А в п р а в о на п р я м ой у гол . С л е д о в а
те льн о , в ектор ы А Х ( В + С), А X В, А Х С п р е д с т а в л я ю т с я
о т р е з к а м и в А р а з б о л ь ш е й д л и н ы , чем сто ро ны т р е у г о л ь н и к а ,
п р е д с т а в л я ю щ е г о 8 + С, В, С с оо тветств енно , и к а ж д ы й из
них п о в ер н у т н а п р я м о й у г о л . С л е д о в а т е л ь н о , в е кт о р ы А X (В + С),
А X В, А X С п р е д с т а в л я ю т с я с т о р о н а м и т р е у г о л ь н и к а , п о д о б
ного т р е у го л ь н и к у , п р е д с т а в л я ю щ е м у В -|- С, В, С. С л е д о в а
т е л ь н о , в этом с л у ч а е (2) в ы п о л н я е т с я .
2) А, В, С — к о м п л а н а р н ы . Т о г д а А X (В + С), А X В, А х С
п е р п е н д и к у л я р н ы к плоскости, о п р е д е л я е м о й в е к т о р а м и А, В,
С, и н у ж н ы й р е з у л ь т а т с л е д у е т из
ф о р м у л ы с л о ж е н и я д л я синусов.
В о б щ е м с л у ч а е мы п о л а г а е м , что
А и В не п а р а л л е л ь н ы и не п е р п ен
д и к у л я р н ы . З а п и ш е м В к а к В^
'р + В„,
где Вр п а р а л л е л е н А, а В„ п е р п егнл
нди
к у л я р е н к А в пл оскости в е к т о р о в А
и В. Т о г д а , п о с к о л ь к у Вп = В sin 0,
п о л у ч а ем
А X В = А X В,
Если
аналогично
С = Ср + С„,
А X С = А X С„. П о с к о л ь к у
В + С = (Вр4-С р)-К В„ + С„)
то
и Вр, Ср п а р а л л е л ь н ы А, а В„, С„ п е р п ен д и к у л я р н ы , то
В „ -Ь С„ — к о м п о н е н т а ве к т о р а B - f C , п е р п е н д и к у л я р н а я к А,
и, с л е д о в а т е л ь н о ,
А Х ( В + С) = А Х ( В „ + С„).
(3)
Но, со г л а с н о 1-му с л у ч а ю , это ра в н о
AXB„ + AXC„ = AXB-fAxC.
(4)
В е к т о р н о е п р о и зв е д е н и е в е к т о р а с с а м и м собой или с л ю б ы м
п а р а л л е л ь н ы м в екторо м есть н у л е в о й вектор. Е сли векторное
п р о и зв е д е н и е д в у х в е к т о р о в р а в н о н у л ю , то или один из них
н у л е в о й , или они п а р а л л е л ь н ы . И з того, что в е ктор н о е п р о и з
в еден и е — н у л ев о й вектор, е щ е не с л е д у е т , что один из с о м н о
ж и т е л е й — ну л ево й вектор. Н о если А X В, и А Х Вг — н ул и и
В „ Вг не п а р а л л е л ь н ы , то А — н ул ев ой вектор.
В частно сти, д л я в е к т о р о в 6(1), 6(2), ео) им еем
^(1) X 6(1) — е-(2) X 6(2) — ®(з) X 6(3) = О,
(5)
С(2) X 6(3) = 6(1) = — 6(3) X 6^2).
( 6)
Таким образом,
А X В = (^ie(i) + ^2^(2) + ^зв(з)) ^ (Sl^d) + ^2^(2) + ^3®(3)) =
=
(^ 2 ^ 3 ~
^
3^ 2)
®(1) +
С(1)
в(2)
в(з)
Л,
А,
Лз
Bi
В2
^3
(^ 3 ^ 1 ~
^ 1 Д з ) ®(2) + ( ^ 1 ^ 2 ~
.
^
2^ 1)
®(3) ~
(7)
М о ж н о д а т ь г е о м е тр и ч ес к у ю и н те р п р ет а ц и ю вектор ного п р о
и з в е д е н и я д в у х см е щ е н и й . Е с л и Р — т очк а, о п р е д е л я е м а я в е к
то ро м Xi, а Q — вект о р о м г/,-, то их про ек ц и и на п л о с к о с т ь
jci = 0 р а в н ы P i (О, ^ 2, Хз), Q i(0 , t/2 , г/3), а ц л о щ а д ь т р е у г о л ь
н и к а , о б р а з о в а н н о г о этим и т о ч к а м и ин а ч а л о м к о о р д и н а т ,
равна
Y {Х2 У3 — х ^ у ^ .
Будем
с чи тать,
что п л о щ а д ь
положи
т е л ь н а , если 0 Р \ п е р е х о д и т в O Q i при п о в оро те о тно с и т е л ьн о Ох^
н а у гол , м ен ьш и й л, в п о л о ж и т е л ь н о м н а п р а в л е н и и . Е с л и п р о
д е л а т ь э т у о п е р а ц и ю со всем и т р е м я п р о е к ц и я м и и р е з у л ь
т а т ы уд во и ть, то мы получим
Х2Уз~ХзУ2<
ХзУ1~Х1Уз,
Х1У2-Х2У1.
(8)
Н о по т е о р е м е из гео м етр и и эти величины п р е д с т а в л я ю т собой
уд в о ен н у ю п л о щ а д ь т р е у г о л ь н и к а O P Q , у м н о ж е н н у ю на три
н а п р а в л я ю щ и х к о с и н у с а н о р м а л и к его плоскости, вы б р ан н о й
т а к , что в р а щ е н и е отн оси тел ьн о нее на угол, м е н ьш и й я,
в п о л о ж и т е л ь н у ю сто ро ну п е р е в о д и т О Р в 0 Q . С л е д о в а т е л ь н о ,
уд во ен н ы е про ек ц и и я в л я ю т с я к о м п о н е н т а м и ве к т о р н о го п р о
и зв е д е н и я X X у.
Вектор п л о щ а д и . В о п р е д е л ен и и в е кто рн ого п р о и зв е д е н и я
X X у н а п р а в л е н и е , в зя т о е д л я п, нес у щ е ств е н н о . П о в о р о т
в п р а в о о т н о с и т е л ьн о п, п е р е в о д я щ и й х в у, м о ж е т им еть л ю
бое зн а ч е н и е , м ен ьш ее 2л. У т в е р ж д е н и я п о с л е д н е г о р а з д е л а
о с т а ю т ся вер ны м и, если и зм ен и т ь н а п р а в л е н и е в с е х осей в р а
щ ен и я на п р о т и в о п о л о ж н о е , а к о м п о н е н т у б р а т ь п о л о ж и т е л ь
ной, к о г д а в р а щ е н и е от н ос и т е л ьн о о т р и ц а т е л ь н о г о н а п р а в л е н и я
оси б у д е т м е ж д у л и 2л. О д н а к о зн а к и в с е х ко м п о н е н т и з м е
н я т с я , если X и у п о м е н я т ь м е с та м и . ]Можно о п р е д е л и т ь н а
п р а в л е н н у ю п л о щ а д ь т р е у г о л ь н и к а O P Q т а к , чтобы она не
з а в и с е л а от о б о зн а ч е н и я сторон. Это д о с т и г а е т с я о п р е д е л ен и е м
вектора п л о щ а д и
у |л :г /5 1 п 0 |п = у | х Х у | п ,
где н а п р а в л е н и е п в ы б р ан о некоторы м ф и кс и р о ва н н ы м спо со
б о м . Э то т векто р р а в е н в е к т о р н о м у п р о и зв е д е н и ю , если sin 0
п о л о ж и т е л е н , т. е. е с л и у го л п о в о р о т а от О Р к 0 Q в о к р у г п
в п о л о ж и т е л ь н у ю с т о р о н у м е н ьш е я . Е г о н а п р а в л е н и е и з м е
ни тся, е сл и и зм е н и т ь н а п р а в л е н и е п.
Д л я о д н о зн а ч н о г о о п р е д е л е н и я в е к т о р а п л о щ а д и н у ж н о
точно з а д а т ь н а п р а в л е н и е п. С овсем просто это с д е л а т ь в с л у
ч ае повер х н о ст и , с о с т а в л е н н о й из т р е у го л ь н и к о в . С п о м о щ ь ю
с л о ж е н и я м ы м о ж е м о п р е д е л и т ь вектор п л о щ а д и д л я всей
т а к о й п о ве р хн ости ; н а п р а в л е н и е п о п р е д е л я е т с я т а к , чтобы
оно не п е р е с е к а л о по в е р х н о ст и при п е р е х о д е с од ной г р а н и
на с м е ж н у ю с ней г р а н ь . В ч аст н о с т и , д л я з а м к н у т о г о м н ого
г р а н н и к а м о ж н о в ы б р а т ь п в с е г д а с м о т р я щ и м н а р у ж у . В этом
с л у ч а е г р а н и , н о р м а л ь к ко т о р ы м и м е е т п о л о ж и т е л ь н у ю к о м
пон енту Hi, б у д у т и м е ть в е ктор п л о щ а д и , п е р в а я к о м п о н е н т а
к о т о р о г о р а в н а п л о щ а д и пр оек ц и и м н о г о г р а н н и к а н а п л о
скость 0 2 3 с п о л о ж и т е л ь н ы м зн а к о м , а г р а н и с о т р и ц а т е л ь
ной rii б у д у т и м е ть п е р в у ю к о м п о н е н т у , р а в н у ю той ж е п л о
щ а д и , но с о б р а т н ы м зн а к о м . С л е д о в а т е л ь н о , в е к т о р п л о щ а д и
м н о г о г р а н н и к а р а в е н н ул ю .
{
2.071. А налитическое оп р едел ен и е векторного прои зведен ия:
При аналитическом подходе мы определяем векторное
п р о и зв е д е н и е к а к в е кто р с к о м п о н е н т а м и
I
( А 2В
3—
A ^
2’
— А 2В 1).
i
Н е о б х о д и м о д о к а з а т ь , что эт о т н а б о р вел и ч и н в е д е т с е б я к а к
в е ктор при п р е о б р а з о в а н и я х к о о р д и н а т и что к о м п о н ен т ы этого
в е к т о р а р а в н ы А В sin б/г,-. П р и ч и н а , по к о т о р о й ве к т о р н о е п р о
и зв е д е н и е во о б щ е в в о д и т с я , з а к л ю ч а е т с я в т о м , что эт о т н а б о р
в ел ич ин ес те с т в ен н о п о я в л я е т с я п р и р а с с м о т р е н и и у р а в н е н и й
д и н а м и к и , в особен н ости д в и ж е н и я т в е р д о г о т е л а и д в и ж е н и я
з а р я д а п о д д е й с т в и е м м аг н и т н о й с и л ы , а т а к ж е в э л е к т р о м а г
нитной теории.
Р а с с м о т р и м н а б о р и з 27 чисел
определяемых следую
щ и м и п р а в и л а м и : 1) е с л и л ю б ы е д в а из г, k, т р а в н ы м е ж д у
собой, то
= 0 ; 2 ) есл и все они р а з л и ч н ы и в с т р е ч а ю т с я
в п о с л е д о в а т е л ь н о с т и 12312 . . . , т. е. и м е ю т п о р я д о к , ко т о р ы й
мы н а з ы в а е м четным, то
3) е с л и все они р а з л и ч н ы и
в с т р е ч а ю т с я в п о с л е д о в а т е л ь н о с т и 21321 . . . , т. е. и м е ю т п о
р я д о к , ко т о р ы й мы н а з ы в а е м нечетным *), то
= — 1. Т а к и м
*) Термины четный и нечетный обозначаю т четность числа перестановок
индексов, нуж ны х для получения порядка 123. Н апример, 231 м ож но п р е
вратить одной перестановкой в 132 и затем второй перестановкой в" 123.
А 213 м ож но превратить в 123 одной перестановкой.
9
З а к . 231
образом,
®12) ~ ®231 ~ ^312 == 1>
(1 )
^213 = ®132 = ^ЗЯ =
(2 )
— 1.
а л ю б ы е из т а с е л е щ , е ц 2, 62,2 и им п о д о б н ы е
Рассм отрим сумму
р а в н ы нулю .
(3 )
З д е с ь k н т — п о в т о р я ю щ и е с я и н дек сы . С л е д о в а т е л ь н о , д л я
К а ж д о г о i это с у м м а д е в я т и членов.
Н о е сл и k = i, m = i, или
k = tn, то e,j,„ = 0. Т а к и м
о б р а з о м , е д и н с т в е н н ы м и ч л е н ам и ,
ко т о р ы е м о г у т о т л и ч а т ь с я от н у л я , б у д у т д в а , у к о т о р ы х k
И т о т л и ч а ю т с я от ги д р у г от д р у г а . Е сл и , н а п р и м е р , г = 1,
то или ft = 2, № = 3 и e ( f e „ =l , или й = 3, ш = 2
и
—
Следовательно,
= ^ 2^ 3 “ ^3^2>
(4)
и а н а л о г и ч н о д л я / = 2 и 3 мы п ол уч и м д в е д р у ги е к о м п о н е н т ы
в е к т о р н о го п р о и зв е д е н и я . Т а к и м о б р а з о м , (3) д а е т к о р о т к у ю
за п и с ь к о м п о н е н т в е кт ор н о го п р о и зв е д е н и я . Ч т о б ы об ле гч и т ь
с р а в н е н и е с р е з у л ь т а т а м и , п о л у ч е н н ы м и в ве кт о р н о й фо'рме,
мы б у д е м о б о з н а ч а т ь их (А X В),-.
Д в а других важ н ы х свойства
заклю чаю тся в следую
щ ем . Я сно, что д л я л ю б ы х Ai
~ 0.
(5 )
п о с к о л ь к у все с л а г а е м ы е в з а и м н о у н и ч т о ж а ю т с я . Э то а н а л и
т и ч е с к а я ф о р м у л и р о в к а того, что векторное п р о и з в е д е н и е в е к
тора н а с е бя и л и п р о и з в о л ь н ы й п а р а л л е л ь н ы й е м у вектор
р а в н о н у л ю . Е с л и Ai, Bi, Ci — п р о и зв о л ь н ы е н а б о р ы из тр ех
величин, то
ЛI ^2 Лз
В\
82
S3
С|
С2
Сз
(6 )
есть о п р е д е л и т е л ь , о б р а з о в а н н ы й д е в я т ь ю к о м п о н е н т а м и . Е с л и
о п р е д е л и т е л ь в ы р о ж д е н , то н а й д у т с я т а к и е а, р, у, что
aAi + рв,- + yCi = О
(7)
д л я в с е х /. С л е д о в а т е л ь н о , в ы р о ж д е н и е (6) я в л я е т с я у с л о в и е м
к о м п л а н а р н о с т и ве к т о р о в А, В, С. Е с л и о п р е д е л и т е л ь не в ы
р о ж д е н , то у р а в н е н и я
aAi + pfii + yCi = Di
(8)
и м е ю т ед и н с т в е н н о е р е ш е н и е д л я л ю б о г о D. М ы вн о вь п о л у
чили, что л ю б о й вектор может быть л и н е й н о в ы р а же н че ре з
л ю б ы е три н е к о м п л а н а р н ы х вгкторл.
П е р е й д е м т е п е р ь к а н а л и т и ч е с к о м у д о к а з а т е л ь с т в у того,
что
~ ко м п о н е н т ы в е к т о р а . Э то д о к а з а т е л ь с т в о с о в е р '
ш ен н о н е за в и с и м о от 2.07.
2.072.
И з м е н е н и е в е к т о р н о г о п р о и з в е д е н и я при п р е о б р а з о
ван и ях . В озьм ем две прям ы е с н ап равляю щ и м и косинусами
т^. У с л о ви е п е р п е н д и к у л я р н о с т и п р я м о й с н а п р а в л я ю щ и м и
к о с и н у с а м и М; к этим д в у м п р я м ы м , з а п и с а н н о е п о л н о с тью ,
будет
/ |« | + /2«2 +
= 0.
ГП]П1 + т ^ 2 +
откуда
П|
_
П2
_
/2Ш3 —/зШ2
/зт, —/,«3
К^Шз -
1 1 ГП2
Пз
— 12 ГП1
_
(» ? + » !+ 4 '’
+ {hmi - / , т з )2 + (/.mj -
Но сумма квадратов в знаменателе
равна
(/2 +
11
Ч, '
по т о ж д е с т в у Л а г р а н ж а
+ If) (m 2 + m l + m l ) - {l^m^ + l^m^ + l ^ m ^ f =
= 1 — cos^B = sin*0,
(3)
где 0 — у го л м е ж д у п р я м ы м и
т, . П о с к о л ь к у
—направляю
щ ие к оси ну сы , ч и с л и т ел ь в (2) р а в е н ± 1 . С л е д о в а т е л ь н о , к а
ж д о е из э т и х у р а в н е н и й р а в н о ± cosec 0 и
tii = ± cosec b Z i ^ J k m ^ .
(4)
З н а к о п р е д е л я е т с я вы б о р о м н а п р а в л е н и я на п р я м о й rii. Е с л и
м ы вы б ере м это н а п р а в л е н и е т а к , что /,■ п е р е х о д и т в m i прй
п о в оро те на у го л 0 в п р а в о , то, р а с с м о т р е в с л у ч а й
/; = (! , О, 0),
m i = (c o s0 , s i n 0 , 0),
м ы ви д и м , что н у ж н о в з я т ь п о л о ж и т е л ь н ы й
тельно,
rii = cosec Qen^Jkntm-
«г = (О, О, 1),
знак.
Следова
(5)
Т е п е р ь , есл и
и
— д а н н ы е н а п р а в л е н и я , то п е р п е н д и к у л я р
к ним не за в и с и т от с истем ы к о о р д и н а т , с л е д о в а т е л ь н о ,
иэ-м е н я е т с я по п р а в и л у п р е о б р а з о в а н и я в екторо в .
Д л я д в у х о б щ и х ве к т о р о в А и В мы м о ж е м о п р е д е л и т ь
д в а н а п р а в л е н и я 1{, rtii по ф о р м у л а м Ai = Ali, Bi = B mi . Т о г д а
Л В sin 0 — с к а л я р , п о с к о л ь к у Л, В и 0 не з а в и с я т от в ы б о р а
о се й к о о р д и н а т ; с л е д о в а т е л ь н о , А В sin 0«,- — вектор. Н о
А В sin 0П( = Л BBikmlktrim = ^IkmAkBm-
(6)
Э то д о к а з ы в а е т , что д л я д в у х ве к т о р о в к о м п о н е н т ы вектор ного
произведения преобразую тся ка к компоненты вектора и р а в
н я ю т с я к о м п о н е н т а м , п о л у ч е н н ы м пр и ге о м е тр и ч е с к о м о п р е
д ел ен и и .
В ин д е к сн ы х о б о з н а ч е н и я х со о т н о ш е н и я 2 .0 7 (1 ) и (2) оче
в и д н ы , а п р о и зв е д е н и е 2.07 (7) не в с т р е ч а е т с я , п о с к о л ь к у нам
н и к о г д а не п р и х о д и т с я р а с с м а т р и в а т ь н а п р а в л я ю щ и х в е к т о р о в
к о о р д и н а т н ы х осей.
2.073.
Соотнош ения м е ж д у
М ы м о ж е м п ерей ти тепер ь
к д о к а з а т е л ь с т в у того, что с о отн о ш ен и е 2 .0 2 2 (9 ) с л е д у е т из
2.021 (7). П о сути это т е о р е м а о н еп ро ти во реч и в ости . Е с л и бы
о н а не б ы л а в ер н о й , то м е ж д у д е в я т ь ю н а п р а в л я ю щ и м и к о с и
н у с а м и , о п р е д е л я ю щ и м и п р е о б р а з о в а н и е к о о р д и н а т , б ы л о бы
б о л ь ш е ш ести н е з а в и с и м ы х с оо тн ош ен и й . С л е д о в а т е л ь н о , не
б о л ь ш е д в у х п а р а м е т р о в п р е о б р а з о в а н и я м о ж н о б ы л о бы в ы
б р а т ь н е за в и с и м о . О д н а к о очеви дн о, что м ы м о ж е м п о верн уть
оси на п р о и зв о л ь н ы й у го л в о к р у г л ю б о й п р я м о й . Н а п р а в л е н и е
этой п р я м о й з а д а е т с я д в у м я п а р а м е т р а м и , с л е д о в а т е л ь н о , п р е
о б р а з о в а н и е — т р е м я . Я сно, что пр и т а к о м преобразова:нии си
с т е м а к о о р д и н а т о с т а е т с я п р я м о у г о л ь н о й . Э той и н ф о р м а ц и и
д о с т а т о ч н о д л я того, чтобы з а к л ю ч и т ь , что 2 .02 2(9 ) д о л ж н о
с л е д о в а т ь из 2.021 (7). О д н а к о в н а ш е м р а с с у ж д е н и и м е тр и
ч е с к и е с о о т н о ш е н и я 2.021 (7) с ч и та л и с ь н е з а в и с и м ы м и и д л я
п р о в е р к и ж е л а т е л ь н о п р я м о е д о к а з а т е л ь с т в о . О б о з н а ч и м li
ч е р е з / , 1, а
— ч ерез /,-2- П о с к о л ь к у 0 3 ' п е р п е н д и к у л я р н о О Г
и 0 2 ' и уго л п о в о р о т а от О Г к 0 2 ' в п р а в о относител ьно 0 3 '
р а в е н п р я м о м у * ) , то sin 0 = 1 и
h s — ^ikmlkl^m2’
(О
аналогично
^ikmhshnl-
(2)
И н а ч е говоря, в определителе
(S;
ll 2
/22
^13
/21
^31
^32
^33
‘ ^) См. замечание об ортогональных
стр. 276.
: : ...................
^23
преобразованиях в конце
,
.
: i
: II
(3)
гл. 4,
;
i
к а ж д ы й э л е м е н т р а в е н с в оем у а л г е б р а и ч е с к о м у д о п о л н е н и ю .
Д е й с т в и т ел ь н о , д л я к а ж д о г о э л е м е н т а л ю б о г о из с т о л б ц о в мы
п о л у ч а е м это у т в е р ж д е н и е из с оо тн ош е н и й (1) и (2). Е с л и мы
р а з л о ж и м L по э л е м е н т а м пер во го с т о л б ц а ( / = 1 ) , то п о л у
чим /fi, что р а в н о 1. С л е д о в а т е л ь н о , L = l. Н о есл и р а з л о ж и т ь
по э л е м е н т а м пер вой стр оки (г = 1), то п о л у ч и т с я /?/, что, с л е
д о в а т е л ь н о , т о ж е р а в н о 1. А н а л о ги ч н о
4 = 4 = 1.
(4)
С д р у го й стор оны , lijlkj, где i и k р а з л и ч н ы , р а в н о о п р е д е л и
т е л ю , у к о т оро го д в е о д и н а к о в ы е стр оки, т. е. н у л ю . С л е д о
в а т е л ь н о , д л я всех г, k
h l ^ k ! ~ ^ik-
(5 )
С о о т н о ш е н и я (1) и (2) и м ею т ф о р м у , н у ж н у ю д л я д о к а з а
т е л ь с т в а т ео р ем ы , но они з а п и с а н ы к а к три у р а в н е н и я . И х
с х о д с т в о н а в о д и т на м ы с л ь, что их м о ж н о з а п и с а т ь к а к одно,
т. е.
^ilnhl — ^ikm^kdmn(6)
Д о к а ж е м это. Н е п о в т о р я ю щ и м и с я и н д е к с а м и б у д у т /, I, п.
а) Е с л и п с л е д у е т за I в п о р я д к е 1231, то е д и н с т в е н н о е
з н а ч е н и е /, при ко тором гц„ отли чн о от н у л я — это зн ач ен и е,
п р е д ш е с т в у ю щ е е /, и т о г д а
С л е д о в а т е л ь н о , в этом
с л у ч а е л е в а я ч асть с в о д и тс я к 1 ц , г д е j ф I, п, и с о в п а д а е т
с п р а в о й ч ас т ью с о г л а с н о с о о т н о ш е н и я м ( 1), (2).
б) Е с л и п п р е д ш е с т в у е т I в п о р я д к е 1231, то л е в а я ч асть
равна
-
1ц и ^ 1 ,
где jp s следую т в порядке
и п р а в а я ч асть р а в н а
п )=
-
12312.
B ikm hplm s .
С л е д о в а т е л ь н о , р = п,
s = l
в) Е с л и 1 = п, ТО обе ч асти (6) не и з м е н я т с я , если I и п
п о м е н я т ь м е с та м и . Н о т а к к а к з н а к и о б еи х ч астей при этом
д о л ж н ы и зм е н и т ь ся , то они р а в н ы н ул ю . И т а к , (6) верно при
в сех з н а ч е н и я х / и п. У м н о ж и м (6) н а /р;. Т о г д а
^iknJ-m n^kp ~
И, за м е н и в р на k, п о л у ч а е м
Если определитель записан как
Д=
Л,
^12
^21
^22
^ 2,
Ai2
^!3
где п ервы й и н д е к с о б о з н а ч а е т
(8)
строку, а второй — сто лб е ц , то
= ^ jl n^ 3J ^n^ 2n =
= — е л п Л И : И з « = и т. д.,
и, с л е д о в а т е л ь н о ,
^ikm Д
(9)
Т а к и м о б р а з о м , о п р е д е л и т е л ь , эл е м е н т ы котор ого з а н у м е р о в а н ы
и н д е к са м и стро ки и с т о л б ц а , м о ж н о р а с п и с а т ь с п о м о щ ью с и м
в о л о в е. Э то м о ж н о о б о б щ и т ь д л я о п р е д е л и т е л е й л ю б о г о по
р я д к а (см. [2 , гл. 16]).
2.074.
Ч и с л а sn,m^psm. О д н и м из н а и б о л е е в а ж н ы х с в ой ств
чисел
я в л я е т с я то, что 81, число eikm^psm> у д о в л е т в о р я е т
некоторому тож деству. Здесь, разум еется, нуж но просуммиро
в а т ь по т, но к а ж д о м у н а б о р у и н дек со в /, k, р, s с о о т в ет с т в у е т
свое в ы р а ж е н и е . П о с к о л ь к у к а ж д ы й из эти х четы рех и н д е к со в
м о ж е т п р и н и м а т ь т о л ь к о три зн а ч е н и я , то в к а ж д о м в ы р а ж е
нии х отя бы д в а из них и м ею т о д и н а к о в о е зн ач ен и е. О ч еви дн о ,
что если i = k, или p — s, то с л а г а е м ы е р ав н ы нулю . Е с л и i ф k,
то
не о б р а щ а е т с я в н у л ь т о л ь к о при о дном знач ении т.
Т о г д а , чтобы Bpsm о т л и ч а л о с ь от н у л я , р и S д о л ж н ы п р и н и м а т ь
те ж е зн а ч е н и я , что i и k, в л ю б о м п о р я д к е . Е с л и п о р я д о к
о д и н а к о в ы й , то
и
р а в н ы о б а - Ь 1 или — I и п р о и зв е
д ен и е р а в н о 1. Е с л и ж е п о р я д о к р а з л и ч е н , то п р о и зв е д е н и е
р а в н о — 1. И т а к ,
0
{i = k \
0
^iknfipsm —
(Р = s).
(i = р, k = s),
1
{i = s, fe == P).
{i¥=p, s или к ф р , s).
—1
0
Р а с с м о т р и м т е п е р ь н а б о р чисел
^ip^ks
^is^kp-
Е с л и i = k или p = s, ТО с л а г а е м ы е в з а и м н о у н и ч т о ж а ю т с я .
Е с л и 1 ф р и S или к ф р и S , то один из с о м н о ж и т е л е й к а ж
д о г о с л а г а е м о г о р а в е н 0. С л е д о в а т е л ь н о , н ен у л е в ы м и б у д у т
в ы р а ж е н и я , у ко т о р ы х i, k р а в н ы р , s в л ю б о м п о р я д к е и 1 ф к ,
Е с л и г = р и k = s, то п ерв ое с л а г а е м о е р а в н о 1, а в то
р о е — О, а есл и / = 5 и k = p, то п ер во е с л а г а е м о е р а в н о О,
а вт о р о е 1. И т а к , при в с е в о з м о ж н ы х з н а ч е н и я х г, k, р, s
^iknfipsm ~
М ы б у д ем ч асто
ж ениях.
П оскольку
^ip^ks
^is^kp-
(1 )
в с т р е ч а т ь это т о ж д е с т в о в р а з л и ч н ы х п р и л о
®pim "
■ ^smp
(2)
При всех з н а ч е н и я х ин д е к сов , то в ы р а ж е н и я в л е в о й ч ас т и (1)
не и з м е н я т с я по величине, есл и мы за м е н и м i kt n на k m i или m i k .
М ож но, следовательно, вы сказать общее правило знаков: п о л о
ж и м, что i и р — и нд е кс ы, которые следуют з а п о в т о р я ю щ и м с я
и н д е к с о м в соответствующем сомножителе е (если п о в т о р я ю
щ и й с я и н д е к с — п о с л е д н и й , п о л а г а е м с о о т вет с т в е н н о i или р
первы м ); тогда 6 ip п о я в ля е тс я с п ол ож ит ел ьн ым з н а к о м и ф о р
м у л у можно дописать п о симметрии.
2.0 8. Д ел ен и е векторов. Д е л е н и е ве к т о р о в не м о ж е т б ы ть
о п р е д е л е н о о д н о зн а ч н о и по э то м у его и зб е г а ю т . Л е г к о ви д еть ,
что е сл и з а д а н н е н у л е в о й векто р А и с к а л я р М , то м о ж н о
у к а з а т ь т а к о й в е кто р В, что с к а л я р н о е п р о и зв е д е н и е А • В = М.
О д н а к о в е кто р В о п р е д е л е н не о д н о зн а ч н о , т а к к а к с к а л я р н о е
п р о и зв е д е н и е не и зм е н и т ся , есл и д о б а в и т ь к В л ю б о й вектор,
перпендикулярный А. Вообще говоря, нельзя у казать такого
в е к т о р а В, что вект о р н о е п р о и зв е д е н и е А Х В = С, а А и
С — д ан н ы е в екторы . Д е й с т в и т е л ь н о , ве кт о р А X В п е р п е н д и
к у л я р е н А, и есл и С и А не п е р п е н д и к у л я р н ы , то в е к т о р В
в о о б щ е н е л ь з я у к а з а т ь . Е с л и , о д н а к о , С п е р п е н д и к у л я р е н А,
т о м о ж н о д о б а в и т ь к В л ю б о й в екто р, п а р а л л е л ь н ы й А. Э то
не и зм е н и т векто рного п р о и зв е д е н и я , с л е д о в а т е л ь н о , ч ас т н о е
о п р е д е л е н о не о д н о зн а ч н о .
В т е л е к ватернионов, к о т о р о е я в л я е т с я р а с ш и р е н и е м в е к т о р
ной а л г е б р ы , д е л е н и е о п р е д е л е н о о д н о зн а ч н о . Д о п о с л е д н е г о
в р е м е н и л и ш ь н ем н о ги е ф изик и и с п о л ь з о в а л и к в а т е р н и о н ы ,
о д н а к о т е п ер ь их н а ч и н а ю т п р и м е н я т ь в к в а н т о в о й тео р и и .
(С р. гл. 4, п р и м ер 12.)
2.09. Тройные прои зведен ия. С к а л я р н о е п р о и зв е д е н и е в е к т о
р ов В X С и А н а з ы в а е т с я с м е ш а н н ы м п р о и зв е д е н и е м в е к т о
р о в А, В и С. М ы п о к а ж е м , что при ц и кл и ч еской п е р е с т а н о в к е
в е к т о р о в с м е ш а н н о е п р о и зв е д е н и е А • (В X С) не м е н я е т с я , оно
т а к ж е не м е н я е т с я , есл и п о м е н я т ь к р е с т и т о чк у м е с т а м и .
И м е е т с я , с л е д о в а т е л ь н о , ш ес т ь в о з м о ж н ы х спо со б о в з а п и с а т ь
это п р о и зв е д е н и е .
Мы м о ж е м т а к ж е о б р а з о в а т ь вект о р н о е
п р о и зв е д е н и е
А X (В X С) в е к т о р а А с в е к т о р н ы м п р о и зв е д е н и е м в е к т о
ров В и С.
Р а с с м о т р и м с п е р в а н е с к о л ь к о ч а с т н ы х с л у ч а ев .
I. В • (В X С). О ч ев и д н о , что
В - ( В Х С ) = 0,
(1)
т а к к а к В X С п е р п е н д и к у л я р н о В,
И . В X (В X С). В е к т о р В X (В X С) п е р п е н д и к у л я р е н к а к В,
т а к и В X С, и, с л е д о в а т е л ь н о , он л е ж и т в п л оско сти в е к т о
ров В и С, п е р п е н д и к у л я р е н В и его н а п р а в л е н и е п о л у ч а е т с я
п о во ро том В X С на п р я м о й у го л в п р а в о о т н о си т е л ьн о В. Е го
в е л и ч и н а в В р а з б о л ь ш е , чем В X С, т. е. р а в н а В^С sinQ.
И з рис. 6 сл е д у е т , что
В X (В X С) - В^С sin 0 c t g 9
—
sin 0 cosec 0
ВХ(ВХС) = (В.С)В-В2С.
(2)
(3)
Аналогично
СХ(ВХС) = — С Х(СХВ) =
= С 2 В - ( В . С ) С . (4)
1И. ( В Х С ) . ( В Х С ) =
= B ^ C ^ - { B - C f . (5)
Р и с . 6.
Э то н е м е д л е н н о с л е д у е т из о п р е
д ел е н и й ,
2.091.
С м е ш а н н о е п р о и зв е д е н и е А • (В X С). И з к о м м у т а т и в
ности с к а л я р н о г о у м н о ж е н и я с л е д у е т , что
А-(ВХС) = (ВХС).А.
Д алее,
из них
так:
(6)
п о с к о л ь к у В, С, В X С н е к о м п л а н а р н ы , е сл и ни один
не р а в е н н ул ю , мы м о ж е м з а п и с а т ь л ю б о й в ектор А
А = а В + рС + у В Х С .
(7)
A . ( B X C ) = Y ( B X C )2 = Y[ f i ' C2 - ( B - C F ] .
(8)
Тогда
И также
А Х В = р С Х B - V B X ( B X C ) = P C X B H - y B ' C - y (B . С) В,
(9)
т а к что
G . ( A X B) = y [ B " C ' - ( B . G ) 2 ] = A . ( B X C ) .
(10)
А н а л о г и ч н о д о к а з ы в а е т с я , что
В . ( С Х А) = А - ( В Х С ) .
( И)
И т а к , им еем ш есть р а в н ы х п р о и зв е д е н и й
А
В Х С = В С Х А = С- А Х В = А Х В . С =
= ВХС. А
с ХА-в.
(12)
С к о б к и не н у ж н ы , п о с к о л ь к у п о р я д о к о п е р а ц и й о п р е д е л е н о д н о
зн а ч н о . Е с л и в з я т ь ци кл ич еский п о р я д о к А, С, В вм есто А,
В, С, то з н а к и зм е н и т ся .
Геометрический с м ы с л . П о
скольку модуль В X С равен пло
щ ади параллелограм м а, натяну
т о г о н а о т р е зк и , п р е д с т а в л я ю
щ и е В и С, то, есл и у г о л м е ж
д у А и В X С острый, А • В X С
равно объему параллелепипеда,
н а т я н у т о г о на о т р е зк и , п р е д с т а
в л я ю щ и е А, В и С. Е с л и угол
тупой, то — А В X С р а в н о этоР и с . 7.
му объему.
С м е ш а н н о е П роизведение А • В X С иногда з а п и с ы в а ю т
(А, В, С].
2.092. Т р ой н о е в е к т о р н о е п р о и зв е д е н и е А Х ( В Х С ) .
вы ш е, за п и ш е м
А = аВ + р С Ч - у В Х С .
Тогда
Как и
(13)
А X (В X С) = аВ X (В X С) + рС X (В X С) =
= а [(В • С) В - В^с] + р [С^В - (В . С) С] =
= [(аВ + р С ) - С ] В - [ ( а В + р С ). В ]С =
= (А - С ) В - ( А . В) С.
(14)
А н а л о г и ч н о м о ж н о п о к а з а т ь , что
(АХВ)ХС = (А.С)В-(В.С)А.
(15)
С л е д у е т отм етить: 1) з а к о н а с с о ц и а т и в н о ст и не в ы п о л н я е т с я ,
2 ) член в п р а в о й ч асти, в к о торо м сре д н и й вектор л е в о й ч асти
п о я в л я е т с я в с к а л я р н о м п р о и зв ед е н и и , им еет о т р и ц а т е л ь н ы й
з н а к (п р а в и л о д л я з а п о м и н а н и я знак ов).
2.093.
В индексной систем е о б о зн а ч е н и й эк в и в а л е н т н о с т ь
р а з н ы х ф орм с м е ш а н н о г о п р о и зв е д е н и я оч еви д н а. Д е й с т в и -
тельно,
Л,
^2
В,
в,
^3
Вз
с,
с.
Сз
и в ы р а ж е н и я А ■(В X С), В • (С X А), С • (А X В) я в л я ю т с я
р а з л о ж е н и я м й этого о п р е д е л и т е л я по э л е м е н т а м р а з л и ч н ы х
строк. О с т а л ь н ы е три в ы р а ж е н и я с л е д у ю т из соо тно ш ен ия
A iB i = BiAi.
2.094.
В ы р а ж е н и е тр ойного в е кт о рн ого п р о и зв е д е н и я в ин
д ек с н о й систем е о б о зн а ч ен и й с в я з а н о с т о ж д е с т в о м 2.074 (1)
д л я eih„. З а м е т и м в н а ч а л е , что и с п о л ь з о в а н и е п р а в и л а с у м м и
р о в а н и я т р е б у е т , чтобы в с я к и й п о в т о р я ю щ и й с я и-ндекс по
я в л я л с я только д в а ж д ы . И н а ч е не о д н о зн а ч е н п о р я д о к с у м м и р о
в а н и я . У ч и т ы в а я это, мы за п и ш е м i -ю к о м п о н е н т у тр ойного
в е к т о р н о г о п р о и зв е д е н и я А X (В X С) т а к:
^ i k m ^ k ^ m p s B р С s ' = ^ ц^щЕ ^ Р ^ А ^ В р С g =
= (^ip^ks -
6 iA p ) A k B p C s ^
= ^ksAkBiC s — b^pAj^BpCi —
= B i A k C k — Ci A f ^ B - k ,
следовательно,
A X ( B X C ) = ( A - C ) B - ( A - B )C .
А н а л о ги ч н о
(A X В) X С = - С X (A X В) = - (С . В) A -К С . A) В.
З а п о м н и т ь эти ф о р м у л ы непросто, о д н а к о их б ы ст р о м о ж н о
в ы в е сти из т о ж д е с т в а 2.074 (1), ко то ро е н а м н о го легче з а п о м
нить. К р о м е того, оно им еет д р у ги е при м ен ен и я .
2.1 0 .
Векторные функции скалярного аргум ен та. Д и ф ф ер ен
цирование. О б о з н а ч и м с к а л я р н у ю перем ен н ую ч ерез t . П у с т ь
А ’( 0 — в е к т о р н а я ф у н кц и я . О п р е д е л и м п р о и зв о д н у ю k { t ) по t
с л е д у ю щ и м о б р а з о м . Р а с с м о т р и м отнош ен ие
6А
А (/ -f 60 - А (t)
6t
6t
Е с л и 6 t отли чн о от н у л я , то ясно, что 6А/6/ — вектор, и если
при 6 ^ - > 0 он им еет п р е д е л , н а зо в е м этот в е ктор производной
вектор -ф ункц ии А (О по t и б у д е м о б о з н а ч а т ь его d \ l d t . Ф о р
м а л ь н о е д о к а з а т е л ь с т в о того, что в п р е д е л е п о л у ч а е т с я вектор,
л е г к о с л е д у е т из т ео рем ы о том, что с у м м а п р е д е л о в д в у х
ф ункций р а в н а п р е д е л у сум м ы этих функций.
В е кт о р d k l d t им еет к ом п о ненты {d Aij dt , d A J d t , d A ^ d t ) .
В а ж н о о т м ет и т ь, что, в о о б щ е го в о р я , не т о л ь к о м о д у л ь d A j d t
о т л и ч а е т с я от м о д у л я А, но и н а п р а в л е н и я их т о ж е р а зл и ч н ы .
В ч ас т н о ст и , п р о и з с о д н а я ве к т о р а с п о с т о я н н ы м м о д у л е м и
п е р е м е н н ы м н а п р а в л е н и е м о т л и ч н а от н у л я .
Д ифф еренцирование произведения. П равило дифференциро
в а н и я п р о и зв е д е н и я д в у х с к а л я р н ы х ф ункц ий м о ж н о л е г к о
о б о б щ и т ь д л я п р о и зв е д е н и я с к а л я р н о й и ве кт о р н о й ф ункц ий,
а т а к ж е д л я с к а л я р н о г о и в е кто рн о го п р о и зв е д е н и я . З д е с ь мы
про сто с ф о р м у л и р у е м р е з у л ь т а т ы . Д о к а з а т е л ь с т в а в к а ж д о м
с л у ч а е п р осты и п р е д о с т а в л я ю т с я ч и т ат е л ю .
1) Е с л и а — с к а л я р н а я ф у н к ц и я t, то
d
,
А\
da
(aA) = ^ A
dt ^ '
dt
^
,
d\
+ a ^ ,
'
dt ’
d. I
da
^ (а Л ,) = ^ Л
dt
dt
.
,
+ а
dAi
dt '
2) Е с л и A и В — д в е в е кт ор н ы е ф ункц ии t, то
П о р я д о к с о м н о ж и т е л е й в п р о и з в е д е н и я х не с у щ еств ен .
3)
dt '
В)' = - dt
^ X В + АХ
dt ’
Вт +
В в ектор н ой за п и с и с о м н о ж и т е л и п е р е с т а в л я т ь н е л ь з я .
В и н дек сн о м о б о зн а ч е н и и п е р е с т а н о в к а с о м н о ж и т е л е й д о п у с т и м а .
В а ж н ы нек о то р ы е в ы т е к а ю щ и е из
эт ого ч ас т н ы е р е з у л ь т а т ы :
1) Е с л и А — вектор с постоянным м о
д у л е м , то
^ ( Л = ) - ^ ( А - А ) - 0,
Т.
е.
А - ^ = 0
^
dt
из чего с л е д у е т , что d k l d t п ер п ен ди ку^
л я р е н А.
О р т о го н а л ь н о с т ь d A j d t и А м о ж н о у с м о т р е т ь г е о м е тр и ч е с к и .
Н а рис. 8 о т р е зк и , п р е д с т а в л я ю щ и е А и А + 6А, и м ею т о д и н а
к о в у ю д л и н у . П ри с т р ем л е н и и Q к Р уго л м е ж д у О Р и PQ
стремится к прямому.
2) Е с л и в е к т о р н а я ф у н к ц и я А з а п и с а н а к а к п р о и зв е д е н и е
м о д у л я А и н а п р а в л я ю щ е г о в е к т о р а п, то
d\
dA
, . dn
■п + А dt
d t" '
dt
З н а ч и т , е сл и Л, = Ali, то
dt
dt
dt
С л е д у е т о тм ети ть, что | d A l d t |, в о о б щ е го в о р я , не р а в е н | d A / d t |.
2.11.
Д ви ж ен и е частицы в поле силы тяж ести с сопроти
влением , пропорциональны м скорости. П у с т ь при t = О ч а с т и ц а
н а х о д и т с я в н а ч а л е к о о р д и н а т . С о п р о т и в л е н и е д е й с т в у е т по
касательной к траектории д ви ж ен и я в направлении, противо
полож ном движ ению . С ледовательно, сопротивление в ы р а
ж а е т с я в ектор ом — m xv, где т — м а с с а частиц ы , а х — к о н
станта.
П у ст ь к — н а п р а в л я ю щ и й вектор, и д у щ и й в е р т и к а л ь н о
вв е р х . Т о г д а , п р и р а в н и в а я п р о и зв е д е н и е м а с с ы на у с к о р е н и е
в е л и ч и н е д е й с т в у ю щ е й силы , п о л у ч а ем
т х = — mgk — mxx
(1)
х + хх = — gk.
(2)
или
П р о и н т е г р и р у е м это у р а в н е н и е . Е г о м о ж н о з а п и с а т ь т а к:
Р
(хе>‘0 = - g e ^ %
(3)
откуда
_ JУС_ e 4 ^ k - f V + ^)С k ,
(4)
где V — с к о р о ст ь при t = 0. О т с ю д а
x =
(5)
и
x = ^(l_ e-w )-^k 4 -^(l-e-> '0 k ,
(6>
т а к к а к при / = 0 х = 0 .
И з этого у р а в н е н и я с р а з у видно, что в м о
м ен т в р ем е н и t все частиц ы , вы п у щ е н н ы е из
точки О со с к о р о с т ью V, о к а ж у т с я на о к р у ж
ности,
це н тр к о тор ой л е ж и т н а
р а с с то я н и и — — ^ ( 1 —
ниж е нуля. Действительно,
т. е.
lC O + x | = C P = f
(8)
Следовательно, СР
равно - ^ ( 1 —
и не за в и с и т о т н а п р а
в л е н и я в е к т о р а скорости.
Д и ф ф е р е н ц и р у я (2) по в р е м е н и , п о л у ч а е м
а + х а = О,
(9)
т. е. если у с к о р е н и е при / = О р а в н о ао, то
а = аое-Ч
( 10)
Т а к и м о б р а з о м , н а п р а в л е н и е у с к о р е н и я не м е н я е т с я во в р е м я
д в и ж е н и я . Т а к ж е есл и « — г о р и з о н т а л ь н а я с о с т а в л я ю щ а я с к о
рости и «0 “ ^^ н а ч а л ь н о е зн а ч ен и е , то и з (5) п о л у ч а е м , что
ы = Ы ое-Ч
(И )
Если
— р а с с т о я н и е , п р ой ден н ое в г о р и з о н т т л ь н о м н а п р а в л е н и и
з а в р е м я t, то, п о с к о л ь к у « = d.
«о
( 12)
у.
С ледовательно,
(13)
и ( 10) м о ж н о п е р е п и с а т ь к а к
а = ао
2.1 2 .
Д ви ж ен и е за р я ж ен н о й частицы в п ерпендикулярны х
электрическом и магнитном пол ях. П у с т ь т и — е м а с с а и
эл е к т р и ч е с к и й з а р я д части ц ы ; с — с к о ро сть с в е та ; Е, Н — э л е к
трич еск о е и м а гн и т н о е п о л я в г а у с с о в о й с и с т е м е еди ниц . Т о г д а
у р а в н е н и е д в и ж е н и я им еет в и д
ш х = — еЕ — -^ х X Н,
(1)
т. е.
Xi —
(2)
В о зьм ем
Е = (£ , о, 0),
Н = (0. О, Я ).
(3)
Т о гд а
=
(4)
^2=
-V3 = 0 .
(6)
П у с т ь В н а ч а л ь н ы й м о м е н т врем ени ч а с т и ц а н а х о д и т с я в н а ч а л е
к о о р д и н а т и им е е т н у л е в у ю ско ро сть. Т о г д а
=
и движение
б у д е т п р о и с х о д и т ь в п л о скости , п е р п е н д и к у л я р н о й м а г н и т н о м у
полю . У м н о ж и м (5) н а i и с л о ж и м с (4). П о
л о ж и м Х\ + i x 2 = z * ) . Т о г д а
г = - ^ т+ -'
ieH •
■Z.
П у с т ь e H l m c = со; т о гд а
Z—mz = —
еЕ
i eE
та
т а к к а к 2 = 0 при / = О,
Z = —
10.
тш
еЕ
д:.
Р ис.
ieE
Х2 = -
еЕ
t -
еЕ
т
{Ш -
+ I),
- (1 — COS со^),
(со/ — sin at).
Т р а е к т о р и я б у д е т ци кл ои д ой с т о ч к а м и в о з в р а т а , л е ж а щ и м и
н а о т р и ц а т е л ь н о й ч асти оси Х2 2.13. Э лем ент углового см ещ ения; угловая скорость. П у с т ь
ч а с т и ц а п е р в о н а ч а л ь н о н а х о д и т с я в то чк е Р { х ) . П о в е р н е м ее
н а м а л ы й у г о л 66 (в п р а во ) от н ос и т е л ьн о
прям ой O N с н ап равл яю щ и м и косинуса
ми и,-. П у с т ь у го л м е ж д у осью в р а щ е н и я
и О Р р а в е н а. Т о г д а с м е щ е н и е точки Р
с точн остью до п ерв о го п о р я д к а м а л о с т и
по 60 п е р п е н д и к у л я р н о к пл оско сти в е к
т о р о в п и X и р а в н о по м о д у л ю г sin а 69.
И т а к , с м е щ е н и е 6х з а д а е т с я ф о р м у л о й
бх = 60 . п X
X
+ О [(60)2],
(1)
п о с к о л ь к у | n X x l = r s i n a ; или есл и мы
положим
60 = п 6 0 ,
(2)
то
6х = 60 X X + О [(60)2].
(3)
Рис.
11.
В е л и ч и н а 60 я в л я е т с я в е к т о р о м , пот о м у что 60 — с к а л я р , а
tii — н а п р а в л я ю щ и е коси нусы д а н н о й п р я м о й .
*) Если читатель еще не знаком с элементам и теории функций ком
плексного перемен-ного, то здесь ему следует прочитать начало гл. И .
Т а к и м о б р а з о м , есл и v — с к оро сть точки Р
п р е д е л со
6/ - > 0 , то
и 69/6^ им еет
v = = l i m = 0 ) X X,
(4)
(О = (оп.
(5)
где
Н а о б о р о т , если ск о р о с т ь х з а д а е т с я в ы р а ж е н и е м в и д а (4) д л я
всех /, а (I) п осто янно по вел ич ине и н а п р а в л е н и ю , тЬ л е г к о
п о к а з а т ь , что это р а в н о м е р н о е д в и ж е н и е по окружности-. Д е й
с т в и т е л ь н о , х - ( о = 0 , и, с л е д о в а т е л ь н о , д в и ж е н и е ч асти ц ы
про и с х о д и т в п л оско сти , п е р п е н д и к у л я р н о й « . К р о м е того,
X • X = О, по э то м у
по с т о я н н о , и ч а с т и ц а д в и ж е т с я по сф ере.
Т а к и м о б р а з о м , д в и ж е н и е п р о и с х о д и т по о к р у ж н о с т и р а д и у с а
г sin а. Н а к о н е ц ,
X • X = ( e-iksBlks^^2. Если А обозначает определитель Цыг/||, то доказать, что
= ^IlnUljUklUmn,
e.lint^=‘ ZikmUiiUkiUmn,
6А = eikm^jinUijUkiUmn3. Д ок азать, что, если lij — направляющ ие косинусы, определяю щ ие пре
образовани е осей, то
*) о приведении обш ей системы к двум силам или к силе и паре сил
см. (3, гл. 5] и [4, гл. 8]. Эта задача, впрочем, появляется только в экзам е
национных билетах.
4. Z — постоянный вектор единичной длины, г (радиус-вектор движ ущ ейся
частицы) — переменный вектор, перпендикулярный г. Если скорость в лю бой
момент задается формулой
—
= a z X re*',
(1)
где (О и — константы, то показать, что траектория точки — логарифмическая
спираль.
Частица движ ется в плоскости под действием силы, пропорциональной ра
диусу-вектору, и сопротивления трения, пропорционального скорости частицы.
О пределить уравнения движ ения частицы и, отыскивая решения в виде (1)
или каком-либо другом , показать, что скорость в любой момент времени есть
векторная сум м а скоростей д в ух частиц, описывающих логарифмическую
спираль в противоположны х направлениях с одинаковыми угловыми ско
ростями.
(М /с, II, 1931.)
5. А, В, С —любые три точки на сф ере единичного радиуса с центром О.
Радиусы-векторы точек А, В, С относительно точки О соответственно равны
U , V, W . П окаж ите, что диаметр, перпендикулярный плоскости ABC, пересе
кает сф ер у в точках, радиусы-векторы которых равны ± d, где
[и,
V, w ] d
sec 0 =
V
X
W
-Ь W X
U
-Ь U X
V
и 0 — угол м еж ду d и и.
Рассматривая векторное произведение и X d или каким-либо другим спо
собом , доказать, что
[и,
V,
w ] t g 0 = ± 4 sin
у
sin -g s i n ^ ,
где а, Ь, с —стороны сферического треугольника ABC.
(P relim ., 1941.)
6. Д ок азать, что если А, В, С, D — четыре произвольных вектора, то
(А X В) • (С X В) = (А • С) (В • D) - (А • D) (В ■С),
(А X В) • (С X D) = [С, D, А] В - [В, С, D] А =
= [D, А, В] С - [ А , В, С] D,
где [А, В, С] обозначает смещ анное произведение А - ( В X С).
Выведите правило синуса и косинуса сферической тригонометрии.
(Р ге im ., 1940.)
7. Д в е частицы выпушены одноврем енно из начала координат со скоро
стями Ч] и 02 соответственно и движ утся с постоянным ускорением а. Д о
казать, что если V] • V2 < О, то сущ ествует один и только один момент в по
следую щ ем движ ении, когда радиусы-векторы этих частиц образую т прямой
угол с вершиной в начале координат.
П оказать, что в этот момент радиусы-векторы ri, Гг частиц удовлетво
ряют уравнению
(Г1 • V2 -
Г2 • V , ) + ( а • Г2 -
а • г , ) ( а • V, - f а • V2) -Ь 2 v . • V j ( а • Уг - а ■ v , ) = 0.
(P relim ., 1940.)
8. Найти выражение для радиуса-вектора г в момент времени t частицы
с единичной массой, движ ущ ейся под действием постоянной силы {n^ + k^)b
и силы притяжения, равной {п^ + k^) г и действую щ ей в направлении начала
координат ( п ф О ) . Сила сопротивления равна 2kv. В момент i = 0 частица
имела скорость v и была в точке г = а.
Выведите, что смеш анные произведения векторов г, v, а — Ь и а, Ь, v
равны м еж ду собой.
(P relim ., 1941.)
9. Частица, зар яд которой равен е, а масса т, движ ется под действием
однородного электрического поля, напряж енность которого (О, Е, 0), и. о д н о
родного магнитного поля, напряж енность которого (О, О, Н) в гауссовы х еди
ницах.
Д ок азать, что это движ ени е мож но рассматривать как суперпозицию
равномерного движ ения со скоростью ( Ес Щ, О, 0) и равномерного движ ения
по винтовой линии с угловой скоростью — e H l m c относительно оси. Измеь?ением массы со скоростью мож но пренебречь.
Докаоать., что' если начало движ ения частицы совпадает с началом коор
динат, то, какая бы ни была ее начальная скорость, она пересекает каж дую
прямую
л: = 2 пп т с ^ Е ! е Н\ г/ = О, где « = 1, 2, 3 . . . . (М. Т., 1943.)
10. Н а частицу массы га, радиус-вегтор которой г, действую т централь
ная сила цг и сила е (Н X г)/с, где Н —од н ор одн ое магнитное поле. П ока
зать, что если г и г первоначально перпендикулярны Н, то частица будет
описывать плвскую кривую.
П оказать, что частица м ож ет описывать окруж ность около начала, коор
динат под действием этих сил с л
Последние комментарии
2 часов 54 минут назад
2 часов 57 минут назад
3 часов 9 минут назад
3 часов 11 минут назад
3 часов 25 минут назад
3 часов 42 минут назад