КулЛиб - Классная библиотека! Скачать книги бесплатно
Всего книг - 706140 томов
Объем библиотеки - 1347 Гб.
Всего авторов - 272734
Пользователей - 124656

Последние комментарии

Новое на форуме

Новое в блогах

Впечатления

a3flex про Невзоров: Искусство оскорблять (Публицистика)

Да, тварь редкостная.

Рейтинг: 0 ( 1 за, 1 против).
DXBCKT про Гончарова: Крылья Руси (Героическая фантастика)

Обычно я стараюсь никогда не «копировать» одних впечатлений сразу о нескольких томах, однако в отношении части четвертой (и пятой) это похоже единственно правильное решение))

По сути — что четвертая, что пятая часть, это некий «финал пьесы», в котором слелись как многочисленные дворцовые интриги (тайны, заговоры, перевороты и пр), так и вся «геополитика» в целом...

В остальном же — единственная возможная претензия (субъективная

  подробнее ...

Рейтинг: 0 ( 0 за, 0 против).
medicus про Федотов: Ну, привет, медведь! (Попаданцы)

По аннотации сложилось впечатление, что это очередная писанина про аристократа, написанная рукой дегенерата.

cit anno: "...офигевшая в край родня [...] не будь я барон Буровин!".

Барон. "Офигевшая" родня. Не охамевшая, не обнаглевшая, не осмелевшая, не распустившаяся... Они же там, поди, имения, фабрики и миллионы делят, а не полторашку "Жигулёвского" на кухне "хрущёвки". Но хочется, хочется глянуть внутрь, вдруг всё не так плохо.

Итак: главный

  подробнее ...

Рейтинг: 0 ( 0 за, 0 против).
Dima1988 про Турчинов: Казка про Добромола (Юмористическая проза)

А продовження буде ?

Рейтинг: -1 ( 0 за, 1 против).
Colourban про Невзоров: Искусство оскорблять (Публицистика)

Автор просто восхитительная гнида. Даже слушая перлы Валерии Ильиничны Новодворской я такой мерзости и представить не мог. И дело, естественно, не в том, как автор определяет Путина, это личное мнение автора, на которое он, безусловно, имеет право. Дело в том, какие миазмы автор выдаёт о своей родине, то есть стране, где он родился, вырос, получил образование и благополучно прожил всё своё сытое, но, как вдруг выясняется, абсолютно

  подробнее ...

Рейтинг: +2 ( 3 за, 1 против).

Алгебра. 9 класс. Учебник в 2-х частях. Часть 1 [Людмила Георгиевна Петерсон] (pdf) читать онлайн

Книга в формате pdf! Изображения и текст могут не отображаться!


 [Настройки текста]  [Cбросить фильтры]

.

*

ФГОС

ООО

Л. Г. Петерсон, Н. X. Агаханов, А. Ю. Петрович,
О. К. Подлипский, М. В. Рогатова, Б. В. Трушин

ФГОС

ООО

Л. Г. П е те рсо н, Н. X. А гаханов, А. Ю. П етрович,
О. К. П о д л и п ски й , М . В. Р огатова, Б. В. Т руш ин

Алгебра
9 кл а сс
Учебник
(в 2 частях)

Ч а сть 1
2-е издание,стереотипное
Д опущ ено
к использованию при реализации имеющих государственную
аккредитацию образовательных программ начального общего,
основного общего, среднего общего образования

Москва
Просвещение'
2021

УДК 373:51
ББК 22.1я721
П 29
\

Образовательная система Л. Г. Петерсон
«УЧУСЬ УЧИТЬСЯ»
Непрерывный курс математики
для дошкольников, учащихся начальной и основной
школы 1—9 (от 3 до 15 лет)

П 29

Петерсон, Л. Г. Алгебра. 9 класс : учебник (в 2 частях).
Ч. 1 / Л. Г. Петерсон, Н. X. Агаханов, А. Ю. Петрович,
О. К. Подлипский, М. В. Рогатова, Б. В. Трушин. —
2-е изд., стереотип. — М. : Просвещение, 2021. — 176 с. :
ил. — ISBN 978-5-09-081137-8.
Учебник ориентирован на развитие мышления и творческих
способностей учащихся, формирование у них системы проч­
ных математических знаний, общеучебных умений, развитие
личностных качеств, познавательного интереса и ценностного
отношения к образованию.
Является частью непрерывного УМК по математике «Учусь
учиться» для дошкольников, учащихся начальной и основной
школы (от 3 до 15 лет). Соответствует федеральному государ­
ственному образовательному стандарту основного общего обра­
зования.
Реализует дидактическую систему деятельностного метода
обучения Л. Г. Петерсон. Отмечен Премией Президента РФ в
области образования.
Может использоваться во всех типах школ.
Курсовую и методическую поддержку по реализации УМК
«Учусь учиться» осуществляет НОУ ДПО «Институт системно­
деятельностной педагогики». Подробную информацию можно
получить на сайте www.ach2000.r4.
У Д К 373:51
Б Б К 2 2.1я721

IS B N 9 7 8 -5 -0 9 -0 8 1 1 3 7 -8 (4 .1 )
ISB N 978-5-09-081138-5

© АО «И зд ательство «П росвещ ени е», 2020
© Л . Г. П етерсон , Н . X . А гах ан о в, А . Ю . П етров и ч, О. К . П одли пски й,
М. В. Р огатова, Б . В . Т руш и н , 2 0 1 4 , 2 0 1 8 , с и зм е н е н и ям и

□, □ □ © © © ©

Чтобы, уч еб н и ко м бы ло удобн о п о льзо ват ься
в нем введен ы следую щ и е обозначения:

-

задачи по новой теме для работы в классе,

- задачи д л я домаш ней работы,

- повторение ранее пройденного,

- задачи на см екалку,

- задани я базового уровня,

- более слож ны е зад ан и я по новы м тем ам и темам
повторения,

- задания, требующие умения находить нестандартные
способы реш ения,



— заверш ение доказательства теоремы,

* * * - материал д л я тех, кому интересно.

3

Глава 1

Развитие математической теории
тг—

§ 1. Элементы комбинаторики

=

и теории вероятностей
1.1.1. Перестановки с повторениями

Кто повторяет старое и узнаёт новое,
тот может быть предводителем.
Конфуций (551-479 г. до н.э.)*
китайский философ

В 8 классе мы познакомились с разделом математики, который изучает общие
законы комбинирования различных объектов, - комбинаторикой. Мы вывели одну
из формул комбинаторики, которая позволяет найти количество перестановок эле­
ментов некоторого множества без их непосредственного перебора. Вспомним, как
можно использовать эту формулу, на следующем примере.
Найдём количество всех различных вариантов орнамента, который получается
путём перестановки трёх элементов: чёрного и красного квадратов и звёздочки.
Мы могли нарисовать все возможные комбинации элементов, последовательно
изменяя их порядок:



□*□

*□ □

*□ □

□□*

Быстрее этот результат мы получим, применяя способы, известные нам из
8 класса: правило произведения 3 - 2 - 1 = 6 либо формулу количества перестановок
Р3 = 3! = 1 • 2 • 3 = 6.
А что если наш орнамент может быть использован только в чёрно-белом варианте?
Тогда среди элементов орнамента будет два одинаковых квадрата:
В этом случае различных вариантов орнамента будет только три - остальные
дублируют ранее выписанные варианты. Вычеркнем их.


Таким образом, при повторениях элементов формула Р3 = 3! не работает, так как
она включает все перестановки, в том числе и дубли. Значит, рассчитывать число
подобных перестановок нужно как-то иначе. В данном пункте мы найдём общий
способ подсчёта количества перестановок элементов множества, учитывающий воз­
можность их повторений.
5

Глава 1, §1, п. 1.1.1 ----_ ------------------------ ------------------------------------Для этого сравним решения двух аналогичных задач на «старый» и «новый*
случаи, чтобы определить, как должен измениться уже известный нам способ для
нахождения количества перестановок с повторениями.
Задача 1.
Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, если
цифры в числе не повторяются?
Решение.
Для ответа на вопрос задачи мы должны узнать, сколькими способами можно пе­
реставить элементы множества из шести элементов. Используя формулу количества
перестановок Рп = л!, известную нам из 7 класса, получим:
Рб = б! = 1- 2 - 3 - 4 - 5 6 = 720.
Ответ: 720 шестизначных чисел.
Задача 2.
Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, если цифры
1, 2, 3 встречаются в числе один раз, а цифра 4 - три раза?
Решение.
В отличие от предыдущей задачи, в наборе цифр 1, 2, 3, 4, 4, 4, с помощью
которых мы записываем шестизначные числа, есть повторения - цифры 4, при пе­
рестановке которых число меняться не будет. Значит, количество полученных чисел
будет меньше, чем в задаче 1. Чтобы его найти, попробуем свести решение нашей
новой задачи к уже известному случаю.
Предположим, все цифры 4 разные, например, одна из них красная, другая се­
рая, третья чёрная. Тогда числа, например,
123 444, 123 444, 123 444, 123 444, 123 444, 123 444, разные, и количество всех «разноцветных» чисел, как и в предыдущем случае, будет
равно 720.
Но в задаче числа - одного цвета, поэтому в действительности все перечисленные
выше случаи являются одним и тем же числом 123 444. Следовательно, каждому
шестизначному числу, составленному из цифр 1, 2, 3, 4, 4, 4, соответствует столь­
ко «разноцветных» чисел, сколько существует различных перестановок из трёх
элементов, а именно 3! = 6. Поэтому нужных нам чисел в 6 раз меньше, чем общее
количество «разноцветных» чисел. Значит, таких чисел 720 : 6 = 120.
Ответ: 120 чисел.
Решая вторую задачу, мы узнали, что количество перестановок 6-элементного
множества с 3 повторяющимися элементами равно

. Обобщая способ, использо­

ванный нами для подсчёта вариантов в этой задаче, получаем следующее правило.
Количество перестановок п элементов, среди которых k одинаковых, равно
1 • 2 • ... • (п - 1) • п = п\
1 • 2 • ... • (k - 1) • k
kV
Применим полученное правило к задаче с одноцветным орнаментом. В нём
3 элемента, два из которых повторяются. Поэтому число различных вариантов
орнамента равно
^ = 3. Это же число мы получили и при непосредственном
пересчёте.
6

Глава 1, §1, п .1.1.1
Теперь выведем формулу решения задач на перестановки с повторениями, принятую в
комбинаторике. Для этого сформулируем задачу в общем виде.
Общая постановка задачи.
Сколькими способами можно упорядочить элементы множества из п элементов, в котором:
• элементы а, встречаются А, раз (то есть в этом множестве А, элементов, равных а,);
• элементы а 2 встречаются А„ раз;
• элементы ат встречаются Ат раз?
При этом А, + А2 + ... + Ат = л, и 1 < А, < л, 1 < А2 < л, ... , 1 < Ат < п.
Таким образом, некоторые из чисел А,, А2, ..., Ат могут равняться 1, то есть элементы
могут не повторяться.
Докажем, что число перестановок с повторениями равно ——
------г—, (если какие-то
А,1 • А2! • ... • k j
элементы не повторяются, то соответствующие множители А! в знаменателе равны 1).
Доказательство.
«Раскрасим» все одинаковые элементы в разные цвета так, чтобы все элементы множества
можно было считать различными. Тогда перестановок множества «разноцветных* элементов
будет всего л!
Так как А, «разноцветных* элементов, равных а,, можно представить Aj! способами, А2
«разноцветных» элементов, равных а 2, А2! способами и т.д., всего таких «разноцветных*
перестановок будет А,1 • Аа! • ... • Ат!
Для получения ответа нужно общее количество «разноцветных» перестановок, то есть
л!, разделить на At! • А2! • ... • AJ, что и требовалось доказать. ■
Подчеркнём ещё раз, что полученная формула верна и для перестановок без повторений.
В этом случае А, = А2 = ... = An = 1 и формула сводится к известному с 8 класса виду: Рп = л!
Поэтому её можно считать универсальной для поиска количества перестановок.
Итак, для подсчёта количества перестановок л элементов некоторого конечного множества
будем применять следующую общую формулу.

Общая формула количества перестановок из л элементов
л!

:,I ■Ь 1 . . . ■k \ ' ГДС *■'

количества повторяющихся элементов.

.....

Рассмотрим примеры применения этой формулы.
Пример 1.
Сколько шестизначных паролей можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, где цифры 1, 2
встречаются ровно один раз, а цифры 3, 4 —ровно два раза?
Решение.
По условию шестизначный пароль составляется из набора цифр 1, 2, 3, 3, 4, 4, где
имеется два элемента 3 и 4, которые повторяются по 2 раза.
По общей формуле количества перестановок таких паролей будет
61
1 |2 = 180
2!

• 2!

4

(два множителя, равных 1!, соответствующих цифрам 1 и 2, мы не записываем, так как они
не влияют на произведение в знаменателе).
Ответ: 180 паролей.

7

Глава 1, § 1 , п.1.1.1
Пример 2.
Сколько различных слов можно написать, переставляя буквы в слове «МАТЕМАТИКА*
(словом считать даже бессмысленный набор букв)?
Решение.
В слове «МАТЕМАТИКА* всего 10 букв, буква А встречается 3 раза, буква М - 2 раза,
буква Т - 2 раза, буквы Е, И, К - по одному разу.
По общей формуле количества перестановок получим ответ: g; .
~2 \ = 1^1 200.
Ответ: 151 200 «слов*.

1 I Для

ввв ©в в в

оформления титульного листа своего доклада Саша нарисовала трой­
ную рамку чёрного цвета. Этот вариант показался ей слишком мрачным, и
она сделала внутреннюю рамку синей, а внешнюю —фиолетовой. Чтобы выбрать
оптимальный вариант оформления, она меняла местами цвета трёх рамок все­
ми возможными способами и распечатала все полученные варианты (при этом в
каждом варианте она оспользовала все три цвета). Сравнив их, она сделала свой
выбор. Сколько различных вариантов титульного листа с разноцветными рамками
она напечатала?
1) Чем отличаются следующие задачи?
а) Какие различные четырёхзначные коды можно получить, переставляя карточ­
ки с цифрами 2, 4, 6, 8? Сколько их?
б) Какие различные четырёхзначные коды можно получить, переставляя местами
карточки с цифрами 2, 2, 2, 8 (цифра 2 написана на трёх карточках)? Сколько их?
2) Решите первую задачу известным вам способом. Для нового случая сделайте
карточки и проведите перебор. В какой задаче получено меньшее количество ва­
риантов? Почему? В результате каких перестановок полученный числовой код
не менялся?
3) Можно ли свести решение новой задачи к уже известному случаю? Что из­
менится в ходе её решения? Можно ли применить способ, использованный при
решении этой задачи, для решения всех аналогичных задач? Сравните свои вы­
воды о количестве перестановок с повторениями с правилом на с. 6.
Сколько различных «слов» можно написать, переставляя буквы в слове «УРАВ­
НЕНИЕ» (словом считать даже бессмысленный набор букв)?
Сколько различных «слов» можно написать, переставляя буквы в слове «ПА­
РАБОЛА»?
Сколько различных «слов» можно составить из пяти букв А и не более чем из
трёх букв Б?
S . V . k . о
6 | Докажите неравенство ^
^
^ + 1 + . H,------1
- — H— ^ 8 , где числа a,
v
k
a
P
d, k, р, q, s, v, t - положительны.

Найдите наименьшее значение выражения х + — при х > 0.

х

Найдите наименьшее значение выражения х + при * > 0.

Этот современный японский прозаик известен тем, что увлекается марафонским
бегом и триатлоном, очень любит дж аз. ...Он считает, чтобы чего-то достичь,

8

_______________________________________________ Глава 1, §1, п .1.1.1
важно научиться ставить перед собой цель. А вы как считаете? Установив соот­
ветствие между графиками функций и областью определения функции, узнайте
его имя.
1)

У

4)
S

/
1 /\1
п

1

1
0

7)

1
S

N1 /
S?
0

г

7

У

т
ш

У I [-4; 0) и (0; 1) и (1; +о°)
[Х | (-°°; -1) U (-1; +оэ)

[Й] [-4; 0) и (0; 1) и (1; 4]

[к]

[м] [-4; 1) U (1; +оо)

|~р] [-4; 0) и (0; +°о)

1) и (1 ; +°о)

Решите графически уравнение:

и

а) -4 * - 4 = х 2;

в) - х г - 4 х = Зх +10;

д)

б) х 2 - 1 = * + 1;

г) х 3 = х;

е) 4х + 12 =

х

Постройте график функции:
(х - 1)г + 1, если х> 1;

а) У ■ х3, если -1 < х < 1;

,
, л
^ о
Г-ж2 + 4, если х > 2;
б) У “ 1 u
^ п
[ 1*1, если х < 2;

- х - 2, если х < -1;
Какие из построенных вами графиков имеют разрывы?

он

° -5 = - 5 д:;

в) У •

—, если Ы> 2;
х
m
х, если |зе| < 2.

Боря точно помнит, что в формуле серной кислоты подряд идут буквы Н, S, О и
что есть два нижних индекса 2 и 4. Но вот у каких букв стоят эти индексы, он не
помнит. У него есть возможность использовать программу, которая по введённой
формуле отражает название кислоты. Нарисуйте схему, с помощью которой он
переберёт все возможные варианты формулы. Сколько вариантов ему придётся
ввести в программу, чтобы определить нужную формулу в «худшем» случае?
Можно ли ответить на этот вопрос без схемы?
2х + у + г = 7
Решите систему уравнении х + 2у + г = 8 .
х + у + 2г = 9
х - 2
■и найдите все значения ft, при которых
Постройте график функции у =
(■JxT- 2x f
k
x
имеет
с
графиком
данной
функции ровно одну общую точку.
прямая у :


0±)

9

Глава 1, § 1 , п.1.1.1

Q3

Бабушка, живущая в Белгороде, отправила 1 сентября четыре посылки своим
внукам, живущим в разных городах России. В таблице дано контрольное время в
сутках, установленное для пересылки посылок наземным транспортом (без учёта
дня приёма) между некоторыми города России.
Пункт
отправления

Владимир

Омск

П ункт назначения
П етрозаводск

Белгород

Сочи

9

12

7

10

11

8

8

11

12

Владимир
Омск

9

Петрозаводск

12

11

Белгород

8

8

13

Сочи

10

9

14

9
9

Какая из данных посылок не была доставлена вовремя:
1) пункт назначения - Сочи, посылка доставлена 10 сентября;
2) пункт назначения - Омск, посылка доставлена 9 сентября;
3) пункт назначения - Петрозаводск, посылка доставлена 14 сентября;
4) пункт назначения - Владимир, посылка доставлена 11 сентября?

О ШШ HI

о н

Сколько различных «слов» можно написать, переставляя буквы в словах
«СЕМЬЯ», «КОМАНДА» («словом» считать даже бессмысленный набор
букв, противоречащий правилам грамматики)?

Найдите наименьшее значение выражения х + ~ ПРИ х > 0.
Решите графически уравнение:
а) х 3 = - 6 х + 7;
б) (л + 2)2 = -1,25л + 4;
в)
л + 2.
Постройте график функции и «прочитайте» его по известному плану:
—, если х > 2;
х

У

4л , если 0 < х < 2;

- ( х + 2)2 + 4, если х < 0
Как называется эта функция?

I 20 I Сколько существует различных возможностей рассадить 5 юношей и 5 девушек
за круглый стол с 10 креслами так, чтобы юноши и девушки чередовались?

10

Глава 1, §1, п.1.1.2
1.1.2. Размещения

Поиск истины значительно ценнее, чем обладание ею.
Готхольд Лессинг (1729-1781),
немецкий поэт, критик, философ.

В предыдущем пункте мы составляли комбинации из элементов множества,
переставляя местами все его элементы. Однако на практике может потребоваться
выполнить эту задачу не со всеми элементами множества, а лишь с некоторым их
количеством. В данном пункте мы познакомимся с формулой, которая используется
в этих случаях.
Рассмотрим следующую задачу.
Задача 1.
Сколько четырёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, если
цифры в записи числа не повторяются?
Решение.
Ясно, что комбинировать мы будем не все цифры, а только четыре из шести.
Первую из четырёх цифр числа можно выбрать 6 способами; если первая цифра
фиксирована, то вторую можно выбрать 5 способами; если первые две цифры фикси-рованы, то третью можно выбрать 4 способами; и наконец, если первые три цифры
фиксированы, то четвёртую можно выбрать 3 способами.
Следовательно, искомое количество будет равно 6 - 5 - 4 - 3 = 360.
Ответ: 360 чисел.
Итак, для ответа на вопрос задачи 1 мы искали, сколькими способами можно
разместить четыре из шести элементов множества в определённом порядке. Для этого
нам потребовалось составить произведение чисел от 6 до 3.
Обобщив способ подсчёта вариантов в задаче, получаем следующее правило.
Чтобы найти количество вариантов выбора в определённом порядке k эле­
ментов из п (k < л), нужно найти произведение k множителей. Первый множи­
тель равен л, а каждый последующий получается уменьшением предыдущего
на единицу:
л(л - 1) • ... • (л - k -I- 1)
k множителей

Заметим, что при k = п эта задача сводится к задаче определения количества пе­
рестановок множества из k элементов, а произведение приобретает известный нам
вид: л(л - 1 ) - . . . - 1 .
Выведем теперь общую формулу для решения задач на выбор k элементов, взя­
тых в определённом порядке из л-элементного множества. Такие наборы элементов
в комбинаторике называются размещениями.
11

Глава 1, §1, п. 1 . 1 . 2 _______________________________________________________________________
Определение 1. Упорядоченный набор А элементов из «-элементного множества,
где 1 < А < п у называется р а зм ещ ен и ем и з п по А.
Количество размещений из п по А обозначается А к(от первой буквы французского
слова «arrangement» - расположение, размещение).
Сформулируем и решим задачу поиска Ак
п в общем виде.
Общая п ост ан овк а зад ачи .
Имеется множество из п различных элементов. Сколькими способами можно
выбрать из этого множества упорядоченный набор из А различных элементов, где
1 < А < л? Другими словами, сколько существует размещений из п по А?
Докажем, что количество размещений Ак равно п(п - 1) • ... • (п - A + 1).
Д ок азат ель ст во.
Первый элемент произведения можно выбрать п способами. При фиксирован­
ном первом элементе второй можно выбрать (« - 1) способом и т.д. Наконец, если
первые (А - 1) элементов фиксированы, то последний А элемент можно выбрать
(« — (А - 1)) = (п - А + 1) способами. Таким образом, общее число размещений из
п элементов по А равно п(п - 1) • •(л - А + 1), что и требовалось доказать. ■
Итак, для подсчёта количества размещений по А элементов из п элементов неко-торого конечного множества можно применять следующую формулу.
Формула количества размещений из п элементов по А
А к = п(п - 1) • ... • (л - А + 1)
Рассмотрим несколько примеров применения этой формулы.
Пример 1.
В восьмом классе изучается 13 различных предметов. Сколькими способами мож­
но составить расписание на учебный день, если в этот день должно быть 7 уроков
по различным предметам?
Реш ение.
Для ответа на вопрос задачи нужно разместить всеми возможными способами в
определённом порядке по 7 предметов из 13.
Значит, искомое число способов равно числу размещений по 7 элементов из 13:
А \з = 13 • 12 • 11 • 10 • 9 • 8 • 7 = 8 648 640.
О т вет : 8 648 640 способами.
Пример 2.
В классе 28 учеников. Сколькими способами можно назначить учащихся на
3 должности: староста, ответственный за участие в спортивных соревнованиях (фи­
зорг) и ответственный за организацию развлекательных мероприятий (культорг)?
Реш ение.
Мы составляем комбинации по 3 фамилии из 28. На первом месте будем писать
фамилию старосты, на втором - физорга, а на третьем - культорга. Так как назначе­
ние Иванова старостой, а Петрова физоргом, и наоборот, Иванова физоргом, а Петрова
старостой - это разные назначения, порядок выбора фамилий существенен. Значит,
нам нужно разместить всеми возможными способами в определённом порядке три
фамилии из 28. По формуле количества размещений из 28 элементов по 3 искомое
число способов равно А%8 = 28 • 27 • 26 = 19 656.
О т вет : 19 656 способами.

12

Глава 1 , § 1 , п .1 .1 .2
Произведение л(л - 1) • ... • (л - k + 1) можно записать с помощью понятия факториала.
Для этого умножим и разделим произведение л(л - 1) • ... • (л - k + 1) на множители,
дополняющие это произведение до л!, получим:
дк

_

Л •



— 1 ) • ... • (Л —

k

+

1)

(П ~ k)





~

k ~

1) • ... - 1 =

1
(л ~ k) • (л - k ~ 1) '
Поскольку при k = л в знаменателе формулы Ак = ^

П\

(л ~ k)\
появляется выражение О!,

которое пока не определено, нам необходимо придать выражению значение, при котором не
возникнет противоречий с имеющимися у нас результатами.
Мы знаем, что при k = п число размещений равно числу перестановок, значит:
л!
п\
О! = 1
А" = Р
О! :
(л - /г)!; = п\
л!
п,
Следовательно, чтобы установленная нами формула Акп : (л - k)\ работала при k
необходимо считать 0! = 1. Это же значение 0! можно вывести и из других соотношений.
Так, равенство (л + 1)! = (л + 1) • л!, верное при всех натуральных л = 1, 2, ... , при л = О
приобретает вид 1! = 1 • 0!, откуда 0! = 1.
Поэтому здесь и далее мы будем считать, что 0! равен единице.
Определение 2. О! = 1.
Заметим, что при л = 0 (пустое множество) равенство Рп = л! имеет вид Р0 = 0! = 1.
Значит, чтобы формулы, содержащие факториалы, оставались верными при л = 0, нам надо
договориться считать, что число перестановок пустого множества равно 1. При этом также
л]
А0 л! 1 .
Итак, если принять, что 0! = 1, то для подсчёта количества размещений по k эле­
ментов, взятых из п элементов некоторого конечного множества, можно применять
также следующую формулу:
л!
Ак = (л - k)\
Эту формулу легче запомнить, но её практическое использование требует уме­
ния переходить от знака факториала к произведению удобных множителей. Так, в
рас-смотренных выше примерах 1 и 2 можно выполнить следующие преобразования:
AL

13! = I L 7 • 8 ■9 ■ 10 • 11 • 12 • 13
6!
Лз = 281
25!

ОED

*261 - 2 6 - 2 7 - 2 8

Щ

8 648 640.

19 656.

1) Чем отличаются эти задачи?

а) Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если цифры
в записи числа не повторяются?
б) Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если цифры
в записи числа не повторяются?
2) Решите первую задачу двумя известными вам способами. Какой из них подойдёт
для решения второй задачи? Что изменится в ходе её решения? Подойдёт ли спо­
соб, использованный при решении этой задачи, для решения всех подобных задач?

13

Глава 1, § 1 , п .1 .1 .2

ш

3) Как найти количество вариантов выбора в определённом порядке k элементов из
п элементов (k < л)? Сравните свой ответ с правилом на с. 12.
Сколько четырёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9? Сколько
трёхзначных чисел можно составить из этих же цифр, сколько двузначных?
Цифры в записи числа не повторяются.
Сколько четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, 8? Сколько
трёхзначных чисел можно составить из этих же цифр, сколько двузначных?
Цифры в записи числа не повторяются.
В какой из задач необходимо найти количество перестановок элементов множес­
тва {А, В, С, D}:
а) Сколькими способами можно обозначить четыре точки координатной прямой,
используя буквы А, В , С, В?
б) Сколькими способами можно обозначить три точки координатной прямой,
используя буквы А, В, С, В?
в) Сколькими способами можно обозначить две точки координатной прямой,
используя буквы А, В, С, В?
Как называются комбинации, которые следует пересчитать в двух последних
задачах? Познакомьтесь с их названием и выводом общего способа решения по­
добных комбинаторных задач на с. 12.
На странице фотоальбома 3 свободных места для фотографий. Сколькими спосо­
бами можно вложить в свободные ячейки б фотографий, 8 фотографий?
На странице фотоальбома 6 свободных мест для фотографий. Сколькими спосо­
бами можно вложить в свободные ячейки 2 фотографии, 4 фотографии?
Регистрационный знак российского автомобиля состоит из трёх букв, которые
обозначают серию знака, трёх цифр регистрационного номера и цифрового кода
региона. Для обозначения серии используются всего 12 букв кириллицы, которые
имеют аналоги в латинском алфавите, — А, В, Е, К, М, Н, О, Р, С, Т, У и X.
Посчитайте, сколько регистрационных знаков может быть выдано в каждом
субъекте России.



Сколько различных орнаментов может составить
программа для дизайна, выстраивая в ряд 10 элемен­
тов, среди которых: а) пять одинаковых элементов;
б) восемь одинаковых элементов? Все остальные эле­
менты орнамента различны.

У

*—

У

ч
0

1

Задайте формулой функцию, график которой изображён на
данном рисунке. Докажите, что она является чётной функ­
цией.
Какие из следующих функций являются чётными, а какие нечётными?
а) у = 0,5 л:4 - х2;

в) у = х 3 - 2х;

б) У =

г) у = ж2 + |*| - 2.

+ х;

(3TJ а) Для Функции

f(x) = х2 найдите

/(-a); Да + 5).

б) Для функции f(x) = - х 3 найдите Д-2); /(-а); 0,2 • Да2).
14

Глава 1, § 1 , п .1 .1 .2
в) Д л я ф у н кц ии /(* ) =

н айдите /(0); /(0 ,1 а);

_ J __
/( а 3) *

г) Д л я ф у н к ц и и f(x) = *Jx найдите /(-4 ); /(0); /(100); /((а - I ) 2).
К акой угол (в градусах) образую т м инутн ая и часовая стрел ки , когд а часы п о к а ­
зы ваю т ровно 11 часов?
Оценив зн ач ен и я вы р аж ен и й , вы пиш ите и х в п орядке убы вани я и п рочи тайте
вы ск азы ван и е великого русского п и сател я Л . Н. Т олстого. К а к вы п оним аете
эти слова?
ВАЖ НО

л/3(л/Т08 - л/75)

ОШ ИБОЧНО

КОЛИЧЕСТВО

/Л 5 5 . 9
л/1 169 * 13

ЧТО

ДУМАТЬ

л/(7 + л/2)2- ( 1 + л/б?

ЗН А Н И Я

л/3 + 1

ЕСТЬ

^/0,1 • 0,0013

НЕ

5л/2-4л/32+2л/50

А

л/45 - л/80

КАЧЕСТВО

0,01,/3,6 • 2,5

ДОСТОИНСТВО

(0,1л/2)2

- л /з Т б Т

+

л/гТв э

(л/5 - I)2 - 6 + Зл/б
2

л/л/5-л/2 ‘ л/л/5-Ьл/2 М НОГОЗНАНИЕ

©Ё1 (М1Ё1©

Р еш и те граф и ч ески систему уравнений:
,
а) 1
*
[ у = - 5 х - 10;

Г35

„ \ y = (x + 2 f - 2 ;
б) у = Ах + 2;

НПс;

y = Jx;
в)

«= зХ+ Ь

г)

6 Х + 1 3'

С кольки м и способами м ож но обозначить четы ре точ ки коорди н атн ой п р я ­
м ой, и сп ользуя буквы А, В, С, D, Е, F?

С к ольки м и способами м огут бы ть распределены первы й , второй и третий п ри зы
м еж д у 15 у ч астн и к ам и кон курса?
Р еш и те граф и ч ески систему уравнений:
а)

2
У= ~ х ’
у = - х + 1;

б)

У = ~{х - I)2 + 4;
У = - 2х + 7.

Р асп олож и те чи сл а в п орядке возрастан и я: З-у/2; «Лб; А й ; 2л/3;
J9*

I

39 Прогульщ ик Вася в каж ды й понедельник сентября некоторого года пропускал
'
по одному уроку, в каж ды й вторник - по два урока, ..., в каж дую пятницу по пять уроков. Могло ли оказаться так, что за весь сентябрь он пропустил ровно
64 урока? (Все субботы и воскресенья сентября были выходными, а остальные дни учебными. В сентябре 30 дней.)
15

Глава 1, §1, п . 1 .1 .3

1.1.3. Сочетания
Главная сила математики состоит в том, что вме­
сте с решением одной конкретной задачи она создаёт
общие приёмы и способы, применимые во многих ситу­
ациях, которые даже не всегда можно предвидеть.
М. И. Башмаков (1937),
русский математик, учёный-педагог
В предыдущих пунктах мы составляли комбинации из некоторого количества
элементов множества, размещая их в определённом порядке. Однако на практике
выбор элементов из множества нередко осуществляется без учёта порядка. В данном
пункте мы познакомимся с формулой, которая используется в этих случаях.
Переформулируем пример 2 из предыдущего пункта таким образом, чтобы по­
рядок выбора был не существенен.
Задача.
В классе 28 учеников. Сколькими способами можно выбрать трёх учащихся для
участия в школьном КВН?
Решение.
В данной задаче, в отличие от примера 2 предыдущего пункта, порядок фамилий
в списке неважен, так как роли между учащимися не распределены. Поэтому выбор,
например, Иванова, Петрова, Сидорова и выбор Сидорова, Петрова, Иванова - это
один и тот же выбор. Таким образом, все списки, отличающиеся только порядком
фамилий - Иванов-Петров-Сидоров; Иванов-Сидоров-Петров; Петров-Иванов-Сидоров и т.п. - для нашей задачи являются по сути одним и тем же списком.
Как следует из решения примера 2, если учитывать порядок фамилий, то всех
возможных списков было бы 28 • 27 • 26 = 19 656. Но среди них имеются лишние
списки, дублирующие друг друга. Причём дублирующих списков столько, сколько
существует перестановок из трёх фамилий, то есть 3! = 6. Значит, количество нуж­
ных нам вариантов в 6 раз меньше найденного и равно — ^56 = 3 2 76.
Ответ: 3276 способами.
Решая задачу, мы узнали, сколькими способами можно выбрать 3 элемента из
28 элементов множества, не учитывая порядка выбора.
Выведем теперь общую формулу для решения задач на выбор k элементов из
п-элементного множества, когда порядок элементов не существенен. Такие наборы
элементов называются сочетаниями.
Определение 1. Набор k элементов, взятых из п-элементного множества без учёта
их порядка, где 1 < k < п, называется сочетанием из п по k.
Количество сочетаний из п по k обозначается CJ (от первой буквы французского
слова ♦combinaison* - сочетание).
Сформулируем и решим задачу поиска CJ в общем виде.
Общая постановка задачи.
Имеется множество из п различных элементов. Сколькими способами можно
выбрать из этого множества набор из k различных элементов, где 1 < k < л, если
16

Глава 1 , § 1 , п . 1 .1 .3

порядок выбора значения не имеет? Другими словами, сколько существует сочета­
ний из п по А?
A h п(п - 1) • ... • (л - А + 1)
Докажем, что количество сочетаний CJ равно
А!
•* у
Доказательство.
Количество упорядоченных наборов по А элементов из п различных элемен­
тов равно А кп = П(П - 1) • • (л - ft + 1). Так как в сочетаниях порядок не имеет
значения, каждый набор из А элементов при перестановке элементов фактически
дублируется Pk раз. Значит, наборов, не учитывающих порядок элементов, будет
в Рк раз меньше:
С* =

Рк

= п^п~ *)-'



к\

~

*), что и требовалось доказать. ■

Итак, для подсчёта количества сочетаний по k элементов из п элементов неко­
торого конечного множества можно применять следующую формулу.
Формула количества сочетаний по k элементов из п
Qk — п(п - 1) • ... • (п - k + 1)
Рассмотрим несколько примеров применения этой формулы.
Пример 1.
Для проведения экзамена создается комиссия из трёх преподавателей. Сколько
различных комиссий можно составить из семи преподавателей?
Решение.
Так как порядок назначения преподавателей в комиссию роли не играет, искомое
7.б.5
число равно
= ^-2-1 =
Ответ: 35 комиссий.
Пример 2.
В шахматном турнире 15 участников, и турнир проводится в один круг (каждые
два участника играют между собой один раз). Сколько партий будет сыграно?
Решение.
Искомое количество партий ровно числу способов, которыми можно выбрать
двух человек из 15 (порядок роли не играет). Поэтому искомое число способов равно
=

^

2 1 1

=

1 0 5 -

Ответ: 105 партий.
Заметим, что формулу количества сочетаний можно записать также с помощью
знака факториала. Действительно,
С* =

=

л!

" Pk к\- ( п - А)!
Следовательно, для подсчета числа сочетаний по k элементов из л элементов
некоторого конечного множества можно применять ещё одну формулу:
Пк =

л

___ П\___

к\ ■(л - А)!
17

Глава 1, § 1 , п.1.1.3
П олученные нами комбинаторные ф ормулы п озволяю т сущ ественно упростить
реш ение задач , в которых требуется посчитать количество вари ан тов. Однако пра­
вильность реш ения во многом зависит от того, верно ли выбрана формула. Следующая
схема помогает разобраться, о к аки х комбинациях идёт речь в задаче: о размещениях
или сочетаниях.

*

* *

л!
Если считать, что С° = 1, то равенство С* = ■сохраняется при всех 0 ^ k < п
k\ • (л - к)1
(запись л(л - 1) ... (л - k + 1) при k = 0 смысла не имеет, так как в ней нет ни одного
множителя).
л!
Ясно, что если заменить А на л - k, то выражение
не изменится. Поэтому
к\ • (л - k)\
С* = С "' О < k < л.
л • (л 1). £3 = с „ - 3 = л • (л - 1) • (л - 2).
Так, С° = С" = 1; С\ = С"
■п; С2 = Сп
п

п

0

Числа С* принято называть биномиальными коэффициентами. Эти числа обладают
рядом замечательных свойств, которые связывают комбинаторику с другими разделами
' математики.
Докажем одно интересное свойство биномиальных коэффициентов.
Свойство.

с; +1+ с; = с;+| (о <

k < п - i).
Д оказательство 1.
Данное тождество можно доказать алгебраическим способом.
Запишем сумму дробей, равных С* + 1и С*, упростим полученное выражение и применим
правило сложения дробей с разными знаменателями:
п\
п\
п\
1
С ‘ н * + с; =
(k + 1)! • (л - k - 1)!
k\ (п - Л)!
k\ • (п •
1)! \k + 1
п\______ .
(п • 1)1
п+ 1
_
‘=
* [, что и требовалось доказать.
k\ • (п - k - 1)! (AM- 1) • (л - k)
(k + 1)! • (л - k)\
Это же тождество можно доказать другим способом, используя комбинаторный смысл
биноминальных коэффициентов.
Д оказательство 2.
Предположим, что в классе учится л + 1 человек, и нам нужно направить на соревнования
команду из k + 1 учащихся. Сколькими способами это можно сделать?
Согласно формуле количества сочетаний, это число равно С* * }. Но это же число способов
можно найти и по-другому.
Выберем одного человека из класса, пусть это будет Вася Иванов. Возможны два варианта:
, Вася Иванов либо попал в команду, либо нет.
Если Вася будет в команде, то в ней останется k мест, на которые претендуют л
, школьников. Значит, оставшуюся часть команды можно выбрать С* способами.
Количество команд, в которые Вася не попадает, равно С* + *, так как в них на k + 1 мест
, претендуют л школьников (без Васи).
Таким образом, общее число команд равно С* + 1 + С *. Следовательно, С* + j = С *+ 1+ CJ,
что и требовалось доказать. Ш

18

___________________________________________________ Глава 1, §1, п .1.1.3
Доказанное нами свойство использовалось в так называемом треугольнике Паскаля, с
помощью которого мы определяли в 7 классе коэффициенты двучлена л-й степени.
Для биномиальных коэффициентов выполняются и другие интересные свойства.
Например, то, что наибольшее возможное значение С*п при 0 < k < 2л равно C!Jn (то есть
наибольшим является средний из биномиальных коэффициентов). Или свойство суммы
биномиальных коэффициентов:
с; + С\ + С2п + ... + Сп
п= 2\

40 I

Важен ли порядок указания элементов множества при выборе:

а) двух координат точки на плоскости;
б) шести человек из класса для уборки помещения;
в) трёх новых серий сериала для просмотра;
г) пяти новых серий сериала для скачивания;
д) двух человек из отдела на должность начальника и его заместителя?
Сравните списки, чем они отличаются? Какого варианта не хватает? Дополните
списки нужным вариантом.
1. С о к о л о в а .
2 . С ороки н а.
3 . Сини цы на.

1. С околова.
2. Синицына
3 . С ороки н а.

1. С орокина
2. С о к о л о в а .
3 . Сини цы на.

1. С о р о к и н а .
2. Синицы на
3. Соколова

1. С иницы на
2. С околова.
3 . С ороки н а.

Являются ли данные списки различными, если это варианты:
а) порядка выступлений участниц вокального конкурса?
б) перечня фамилий участниц, прошедших в финал конкурса?
4 2 j 1) Чем отличаются эти задачи?
а) В классе учится 10 мальчиков. Для участия в конкурсе учителю следует ото­
брать троих из них. Сколько существует вариантов таких списков, если учитель
указывает, в каком порядке ребята должны выступать в конкурсе?
б) В классе учится 10 мальчиков. Для участия в конкурсе учителю следует ото­
брать троих из них. Сколько существует вариантов таких списков, если ребята
будут выступать в конкурсе одновременно?
2) Решите первую задачу известным вам способом.
3) Можно ли использовать этот способ для решения второй задачи? Что изме-нится в ходе её решения? Подойдёт ли способ, использованный при решении этой
задачи, для решения всех подобных задач?
4) Как найти количество вариантов выбора k элементов из п элементов (k < ri)>
если порядок их выбора не имеет значения?
5) Как называются комбинации, которые следует пересчитать во второй задаче?
Познакомьтесь с их названием и выводом общего способа решения подобных
задач.
В 8а классе учатся 15 мальчиков.
а) Сколькими способами можно выбрать из них 11 ребят для участия в фут­
больном турнире?
б) Сколькими способами можно выбрать из них 11 ребят - одного вратаря и 10
полевых игроков - для участия в футбольном турнире?

19

Глава 1, § 1 , п. 1 .1 .3

И

Н а плоскости отмечено п точек. С колько имеется отрезков с концами в этих
точках?

[45]

Н а плоскости отмечено 10 точек так , что никакие три из них не л еж ат на одной
прямой. Сколько сущ ествует треугольников с верш инами в этих точках?

[46]

Электронные часы п оказы ваю т время от 0 0 :0 0 :0 0 до 2 3 :5 9 :5 9 .
а) Сколько времени в течение суток на табло часов горят ровно три цифры 7?
б) Сколько времени в течение суток на табло часов горят ровно четыре цифры 3?
в) Сколько времени в течение суток на табло часов горит число, которое чита­
ется одинаково слева направо и справа налево?
Сколькими способами можно разбить 12 человек на две волейбольные команды
по 6 человек в каж дой?
Дан клетч аты й п рям оу гол ьн и к 1 0 x 5 . С кол ько
существует различны х кратчай ш и х на этой сетке
путей, ведущих из левого нижнего угла в правый
верхний угол?

К аких натуральны х чисел от 1 до 1 000 000 больше: делящ и хся на 11, но не де­
лящ и хся на 13, или делящ ихся на 13, но не делящ и хся на 11?
♦П роказн и ца М арты ш ка, Осёл, К озёл и косолапы й М и ш ка затея л и сыграть
к вар тет*.
Сколькими способами они могут усесться на одной л авке?
Сколькими способами из них можно организовать трио?
С кол ьки м и сп особам и вы бран н ое и з н и х трио м ож н о р асс ад и т ь на одной
лавке?
Сколькими способами могут быть зан я ты первое, второе и третье места
на соревнованиях, в которы х: а) 3 участн ика; б) 6 участников?

И

©

е

щ

На некоторой прямой произвольно отмечено 10
точек, а на параллельной ей прямой - 12 точек.
Сколько существует четы рёхугольников с верш и ­
нами в этих точках?

Сравните числа:
а) 7 и л/i2 ; б) 5л/3 и 4л/б;
в) -Jb

+ л/3

и л/б

+ л/2;

г) V l9 и V 7

+ л/2.

Упростите выражение:
а) (л/13 - 2л/3)(л/13 + 2л/3);

д) л/(1 - л/ТО)2 - л/(л/То- 2)2;

б) л/(1 - л/5)z;

е) (3 - л/П)2 + 6л/20 - бл/ГТ;

в) л/10-2л/21;

г) л/б-2л/5!

20

л/з + Уб

л/з

л/3 - л/б

л/3 + л/б’

,/л/З
3М З

л/6.

1 у З - л / З . 3 + л/3\
Зл/зЛ! + V3
л / 3 - 1 /'

Глава 1, § 1 , п.1.1.3
Решив уравнение, выясните, к ак ая буква ему соответствует. Выстроив буквы в
той ж е последовательности, что и уравнения, вы получите имя одного из немно­
гих композиторов с Туманного Альбиона, получившего мировое признание. На
протяжении всей своей ж изни этот британский композитор (XX в.) неустанно
работал над собой и считал: «Учиться - это всё равно что плы т ь против те­
чения, как только прекращаешь грести, течением тебя относит назад».
6__
X
б
X .
1) х 12*- 10х - 24 = 0;
9)
х - 4
х +2
х - 4
2’
2) 5 х 2 + 8х + 6 = 0;
10 ) Зх + 4 _ х 2 - 4х - в
5
10

30
3) * 11)
Зх4
10*’
+
3
= 0;
х + 5
х + 5’
3х + 1
х - 1 _ 1
4)
12) 0,04*2 = 0;
х + 2
х - 2


6) (3* - 1)(4* + 12) = (2х + 3)(ж - 4);

14) 5 - 5*2 = 0;

7) (х2 + Зх)2 - 2(х2 + 3*) - 8 = 0;

8*
15) 2х + 1 _ 3(2* - 1) =
2* - 1
7 (2 * + 1 )
4*2 - 1 ’

X2
8) —^ - г
х - 4

16) * 2 -1 2 * + 36 = 0.

0

И

6

0

Е

-2; 12

Б

р

±1

Т

3 ± л/5

д

н

1; 1,5

w
Я1

/(4 - Vl9)2;

в) л/(2 - 4Е)2 + |(л/5 - I)2;
г) (2 - л/7)2 + 4л/11 - 4л/7Решите уравнение:
а) (х - З)2 - 2(х - 3) - 15 = 0;
б) 4х2 + 4л/3х + 1 = 0;

О

в) х г + 6[х| - 72 ‘ 0;
4
18
г) х + 3
х 2 - 9'

1631

|64 |

Сколькими способами можно разделить класс из 24 человек на четыре
команды по шесть человек для игры в волейбол?
Сколько существует шестизначных чисел, у которых каждая последующая
цифра меньше предыдущей?

Ко дню Российского флага продавец собирается укра­
сить витрину 12 горизонтальными полосками ткани
трёх цветов. При этом он выполняет два условия:
1) одноцветные полосы не должны висеть рядом;
2) каждая синяя полоса должна висеть между белой
и красной.
Сколькими способами он может это сделать?
22

Глава 1, § 1 , п .1 .1 .4

1.1.4. Применение комбинаторики при решении
вероятностных задач. Геометрическая вероятность
... математика — единая наука. Всё новые и новые
связи возникают между её разделами, иногда самым
непредвиденным образом. Одни разделы служат
инструментами для других разделов.
А. Н. Колмогоров (1903-1987),
русский математик, один из основоположников
современной теории вероятностей
Мы знаем, что многие науки связаны с математикой - они используют её вычис­
лительный аппарат, математические модели, алгоритмы. Точно так же и различные
разделы математики проникают друг в друга: в одном её разделе используются зако­
номерности, выявленные в другом. Например, для решения геометрических задач ис­
пользуются арифметические расчёты и алгебраические формулы, в свою очередь, гео­
метрические модели помогают решать арифметические и алгебраические задачи и т.д.
Такая ситуация складывается и в теории вероятностей - мы видели, что для оцен­
ки вероятности событий, не являющихся равновозможными, нам иногда требуются
знания из статистики. В этом пункте мы выясним, знания из каких ещё областей
математики применяются при решении вероятностных задач.
Рассмотрим задачу.
Задача 1.
Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 наугад составляется шестизначное число (каждая цифра
используется один раз). Чему равна вероятность того, что полученное число будет
делиться на 25?
Решение.
Все такие числа равновозможны. Вероятность того, что полученное число будет
делиться на 25, равна отношению количества чисел, составленных из цифр от 1 до
6 и кратных 25, к количеству всех чисел, которые можно составить из этих цифр.
По условию, каждая цифра используется в записи числа один раз, поэтому общее
количество чисел, составленных из цифр от 1 до б, равно количеству перестановок
из шести элементов: Р 6 = 6! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6.
Чтобы натуральное число делилось на 25, его последние цифры должны быть
либо 00, либо 25, либо 50, либо 75. В нашем случае это могут быть только цифры
25. Следовательно, две последние цифры зафиксированы, а из оставшихся четырёх
цифр 1, 3, 4 и 6 можно составить Р4 = 4! = 1 • 2 • 3 • 4 вариантов чисел.
Значит, искомая вероятность равна р = 2 . 3 . 4 - 5 . 6 = £Ю‘
Ответ: ^г.
oU

Итак, при расчёте вероятности случайного события нам потребовались методы
комбинаторики. Рассмотрим ещё несколько примеров применения комбинаторики
в теории вероятностей.
Пример 1.
Какова вероятность того, что две подруги Маша и Даша родились в один месяц?
23

Глава 1, §1, п.1.1.4 _______ __________________________________________________________
Решение.
Каждая из девочек могла родиться в любом из 12 месяцев (здесь мы делаем
до-пущение оравновероятности рождения человека в разные месяцы года). Поэтому
событие: «Маша родилась в ...» может иметь 12 исходов. Точно также событие «Даша
родилась в ...» имеет 12 исходов.
Чтобы найти общее число исходов события «М аша родилась в ..., а Даша роди­
лась в ...», нам необходимо посчитать количество пар, каждый элемент которой мо­
жет быть выбран 12 способами. На основании правила произведения, известного из
комбинаторики, эту пару можно выбрать 12 • 12 = 144 способами.
Итак, общее число возможных исходов равно 144. Из них благоприятными ис­
ходами являются: «обе родились в январе», ..., «обе родились в декабре», то есть
пары с одинаковыми элементами - всего 12 исходов.
л
Следовательно, по формуле
вероятности получаем, р =

12

-

1

О т в е т : yjy
Пример 2.
У маленького Пети есть три кубика с буквой А, по два кубика с буквами М и Т,
по одному кубику с буквами Е, И, К. Петя выложил кубики в ряд. Какова вероят­
ность того, что он выложил слово «МАТЕМАТИКА», если Петя ещё не умеет читать?
Решение.
Все «слова» из кубиков равновозможны. Общее количество исходов равно ко­
личеству «слов» из 10 букв, где одна буква (буква А) повторяется 3 раза, а две
буквы (М и Т) - по 2 раза. По общей формуле количества перестановок оно равно

^ з г ¥ ^ Г 151 200-

Из них лишь один исход благоприятен, так как лишь одно расположение букв

составит слово «МАТЕМАТИКА». Значит, искомая вероятность равна р =
Как мы видим, она очень мала.
О т е е т : 151 200'
Пример 3.
В школьной физической лаборатории 15 мультиметров, два из которых - брако­
ванные. Учитель наугад взял для урока 12 мультиметров. Какова вероятность того,
что они все исправные?
Решение.
Общее число исходов равно количеству способов, которыми можно выбрать
12 мультиметров из 15. Оно равно С\\ = ^2! • (15^~ i 2)l = ^ 1 -^2 ■ 3 ~ =

(порядок

приборов в выборе учителя не является существенным).
Число благоприятных исходов равно числу способов выбора 12 мультиметров из
13!
13 исправных. Это число есть С\* = ^ 2 ! ц з ~ J g)i =
.
13
1
Значит, искомая вероятность равна р = ygg =
О твет:
о3
При определении вероятности случайного события используется не только ком
бинаторика, но и другие разделы математики, например геометрия.
24

Глава 1 , § 1 , п . 1 . 1 . 4
Рассмотрим ещё одну задачу.
Задача 2.
Коля проснулся ночью и взглянул на часы. Какова вероятность того, что в этот
момент минутная стрелка показывала на промежуток между 10 и 20 минутами?
Решение.
До сих пор мы рассматривали задачи, в которых исходы испытаний образуют ко­
нечное множество. Здесь же для каждого часа бесконечное число благоприятных ис­
ходов t е [10; 20] выбирается из также бесконечного общего числа исходов t € [0; 60].
Вычислим вероятность этого события, используя геометрическую интерпретацию.
Будем считать, что время пробуждения Пети «равномерно распределено» по
одному часу. Изобразим геометрическую модель этой ситуации:

Поэтому искомая вероятность равна отношению длины «благоприятного»
временного интервала к длине всего рассматриваемого временного интервала:
1
20 - 10
Р = 60
6*
Ответ:
о

Замечание. Вернёмся к геометрической интерпретации, которую мы использовали при решении
задачи 2. Пусть мы отметили дугу окружности. Вероятность выбрать точку на окружности так, что
она попадёт на отмеченную дугу, является отношением длины этой дуги к длине всей окружности.
А что будет, если мы отметим не дугу, а всего одну точку А? Какова вероятность выбрать на окруж­
ности точку так, чтобы она совпала с отмеченной (А)? Эта вероятность не больше, чем вероятность
попадания выбираемой точки на любую дугу, содержащую отмеченную (А). Однако длину такой
дуги можно сделать сколь угодно малой. Значит, вероятность того, что выбранная на окружности
точка совпадает с отмеченной, равна 0. Однако такое событие не является невозможным.
Значит, из равенства 0 вероятности события не следует невозможность этого события. Анало­
гично, из равенства вероятности события 1 не следует достоверность этого события.

Таким образом, в случаях, когда число равновозможных исходов бесконечно,
вероятности событий можно рассчитать с помощью геометрической интерпретации.
Саму вероятность при этом часто называют геометрической вероятностью.
Рассмотрим ещё несколько примеров применения геометрических рассуждений
в теории вероятностей.
Пример 4.
Аня тратит на прогулку ровно 1,5 часа и выходит из дома в произвольное время
между 16 и 17 часами. Какова вероятность того, что она вернётся домой между 18
и 19 часами?
Решение.
Данное условие будет выполняться, если Аня выходит из дома между 16 ч 30 мин
и 17 ч. Поэтому искомая вероятность равна отношению длины благоприятного вре30 1
менного интервала к длине всего временного интервала, то есть P = gQ = '2 = u ’&'
Ответ: 0,5.

25

Глава 1, §1> п . 1 . 1 . 4 -------------------------------------------------------------------------------Пример 5.
На отрезке АВ длины 10 выбраны точки С и D так, что АС = 2, CD = 3. Какова
вероятность того, что:
1) произвольно выбранная точка отрезка АВ лежит на отрезке CD;
2)* произвольно выбранный отрезок EF длины 1, целиком лежащий внутри АВ,
пересекается с отрезком CD;
3)* произвольно выбранный отрезок EF длины 1, целиком лежащий внутри АВ,
целиком лежит также внутри CD'!
Решение.
1) Искомая вероятность равна отношению длины благоприятного отрезка CD к
длине всего отрезка АВ:
р = 3 : 10 = 0,3.
А

2

С

3

О_________ 5____________ В

к к к
2) Благоприятным событием является принадлежность левого конца Е единичного отрезка
EF отрезку KD, где точка К находится левее точки С на единицу.
Длина отрезка KD равна 3 + 1 = 4, поэтому р = — = 0,4.
3) Благоприятным событием является принадлежность левого конца Е единичного отрезка
EF отрезку CL, где точка L находится левее точки D на 1.
о

Длина отрезка CL равна 3 - 1 = 2, поэтому р = — = 0,2.
Ответ: 0,3; 0,4; 0,2.
Пример 6.
Один из домов, стоящих на окраине деревни, выходит окнами на футбольное поле.
Какова вероятность того, что футбольный мяч, попавший в дом, разобьёт стекло в
одном из окон (рис. 1)?
Решение.
Будем считать, что мяч попадает в любое место
1 м

стены дома с одинаковой вероятностью.
- □
- □
Искомая вероятность равна отношению площади,
«благоприятствующей искомому событию» (то есть
площади окон), ко всей площади стены:
4 м
Рис. 1
Ответ: вероятность попадания в окно равна
В последнем примере мы пренебрегли размерами мяча, поскольку иначе он мог
бы попасть и в окно, и в стену одновременно. Также мы не рассматривали толщину
рамы окна. Вообще в задачах на геометрическую вероятность обычно считается,
что размеры предмета очень малы по сравнению с размером места, куда он должен
попасть.
Подведём итоги:
Если общее число исходов и число исходов, благоприятствующих событию:
• велико - используются комбинаторные рассуждения и формулы;
• бесконечно —используются геометрические рассуждения и формулы.
26

Глава 1, § 1 , п .1 .1 .4

О

[70

[72
[ 73]
[ 74]

Решите задачи:
1) В ряд выложили красный, синий и зелёный шары. Сколько различных вариан-тов возможно получить? Сколько среди них вариантов, в которых красный и
синий шары окажутся рядом?
2) В ряд выложили красный, синий и зелёный шары. Чему равна вероятность то­
го, что красный и синий шары окажутся рядом?
Как связаны эти задачи между собой?
Решите задачу: «В мешок положили четыре карточки с буквами «О», «Р», «М»,
«Е*. Из мешка их вытаскивают по одной карточке и записывают вытащенные
буквы подряд. Чему равна вероятность того, что в итоге записи получится слово
«МОРЕ»?»
Знания из какого раздела математики помогли вам найти общее число исходов
этого испытания? Сделайте вывод.
Решите задачу: «На 90 карточках написаны все числа от 10 до 99 - по одному
на каждой карточке. Вася берёт наугад одну карточку. Чему равна вероятность
того, что число на карточке будет состоять из разных цифр?» Знания из какого
раздела математики помогли вам быстрее найти число благоприятных исходов
этого испытания? Сделайте вывод.
Из цифр 5, 7, 9 случайным образом составили трёхзначное число, используя все
цифры. Чему равна вероятность того, что полученное число:
а) делится на 5;
б) начинается на 7.
Какова вероятность угадать все б чисел в лотерее «6 из 49»?
Одновременно бросили 3 кубика. Найдите вероятность того, что:
1) на всех кубиках выпадут одинаковые очки;
2) ровно на двух кубиках выпадут одинаковые очки;
3) на всех кубиках выпадут разные очки.
У маленького Пети есть два кубика с буквой И, по одному кубику с буквами Ф,
3, К, А. Петя выложил кубики в ряд. Какова вероятность того, что он выложил
слово «ФИЗИКА»?
В урне 10 шаров: 7 белых и 3 чёрных. Вынули два шара. Какова вероятность,
что оба шара белые?
В школьной лаборатории 10 микроскопов, два из которых сломались. Ученик, не
зная, что среди них есть сломанные, выбрал для урока 6 микроскопов. Какова
вероятность того, что они все исправные?
1) На отрезке АВ длиной 20 см выбраны точки С и D так, что АС = 5 см, а
CD = 4 см. Найдите вероятность того, что произвольно выбранная точка отрезка
лежит: а) на отрезке CD; б) на отрезке АС; в) не на отрезке AD.
2) Катя проснулась ночью и взглянула на часы. Какова вероятность того, что в
этот момент минутная стрелка показывала на промежуток между 20 и 40 мину­
тами?
Знания из какого раздела математики помогли вам вычислить вероятность в этих
задачах? Сделайте вывод.
27

Глава 1, §1> п .1 .1 .4
Стрелок, не целясь, стреляет в мишень, площадь которой составляет 300 см2, и
попадает в неё. В центре этой мишени расположен маленький квадрат со сторо­
ной 10 см. Найдите вероятность того, что стрелок попал именно в этот квадрат.

© Г77 I

Какие из приведённых событий являются достоверными, невозможными,
случайными:
1) при одновременном бросании семи костей на всех выпало разное количество
очков;
2) при одновременном бросании семи костей хотя бы на двух из них выпало
одинаковое количество очков;
3) при одновременном бросании семи костей на всех выпало одинаковое коли­
чество очков;
4) при одновременном бросании семи костей ровно на трёх из них выпало оди­
наковое количество очков;
5) прямая, проходящая через центр квадрата, разделила его на две равные фи­
гуры;
6) прямая, проходящая через центры двух клеток в клетчатой тетради, образует
с границами тетради углы в 45°.

78 I Определите,

какие из приведённых событий А и В являю тся совместными, а
какие - несовместными.
1) Перемножили два натуральных числа: А = «сумма цифр каждого из сомножи­
телей равна 22», В = «сумма цифр произведения этих чисел равна 36»;
2) Перемножили два натуральных числа: А = «сумма цифр каждого из сомножи­
телей равна 18», В = «сумма цифр произведения этих чисел равна 18»;
3) Перемножили два натуральных числа: А = «сумма цифр каждого из сомножи­
телей равна 8», В = «сумма цифр произведения этих чисел равна 1»;
4) Перемножили два натуральных числа: А = «сумма цифр каждого из сомножи­
телей равна 24», В = «сумма цифр произведения этих чисел равна 39».

79 I Решите

квадратное уравнение устно:

а) х2 -I- 11х - 26 = 0;

б) х2 + 3 2 * + 87 = 0;

в) х2 - * + 6 = 0.

Уравнение х2 - 9 * + 15 = 0 имеет корни х, и х2. Составьте уравнение, корнями
которого являются числа З х 4- 1 и Зх2 + 1.
Для корней х 1 и х2 уравнения Зл:2 - 6х - 2 = 0 найдите значения выражения:
а) х ,2 + х,2\
1
2

6 )^ + ^ - 2 .
' хг х,

Один из корней квадратного уравнения х 2 - 2х + с = 0 равен 1 + V5. Найдите
другой корень и значение параметра с.
Разложите на множители квадратный трёхчлен:
а) х2 + 13х + 12;

б) -1 ,2 х 2 + 5х + 5;

в) х2 - 3;

г) 2х2 + Зх + 4.

Решите задачу:
а) Площадь прямоугольника равна 168 см2, а его периметр равен 62 см. Найдите
стороны прямоугольника.
б) Длины катетов прямоугольного треугольника отличаются на 3 см, а длина ги­
потенузы больше длины меньшего катета на 6 см. Найдите стороны треугольника.
28

Глава 1, §1, п .1 .1 .4
При каких значениях параметра k уравнение х 2 + 6х + k = 0 не имеет корней?
При каких значениях параметра а уравнение ах2 + (а + 2)х + а + 2 = 0 имеет
ровно один корень?
При каких значениях параметра т следующее уравнение имеет более двух кор­
ней: (т2 - 7 т + \0)х2 4- (т2 - 4)х + (3т2 - 2т - 8) = О?
Хорошо известные вам термины «абсцисса» (лат. слово abscissa - «отрезанная»)
и «ордината» (лат. слово ordinatum - «по порядку») впервые были употребле­
ны в 1675 г. и в 1694 г. немецким учёным. Расположив наибольшие значения
квадратных трёхчленов на заданных числовых отрезках в порядке возрастания,
узнайте имя этого учёного:
—0,25а:2 + ж - 4 на [1; 3]

Е

-а:2 + 10а: + 3 на [0; 4]

ц

0,3а:2 + 18а: + 2 на [-1 0 ; -1 ]

л

За:2 - 6а: - 4 на [-2; 0]

и

- 5 л:2 - х + 1 на [-0 ,2 ; -0 ,1 ]

Н

-4а:2 + 20а: - 25 на [0; 10]

Б

*2 - 9л: - 1 на [0; 4,5]

Й

О ®liDHD HD

89 I

На 90 карточках написаны все числа от 10 до 99 - по одному на каждой
карточке. Вася берёт наугад одну карточку. Какова вероятность того, что
число на карточке будет состоять из нечётных цифр?
В урне 10 шаров: 7 белых и 3 чёрных. Вынули два шара. Какова вероятность,
что оба шара чёрные?
На отрезке АВ выбрана точка С так, что АС = 5 см, а СВ = 4 см. Найдите вероят­
ность того, что произвольно выбранная точка отрезка АВ лежит на отрезке АС.
Каждое утро папа бегает по 1,5 часа и выходит из дома в произвольное время между
5 и 6 часами. Какова вероятность того, что, возвратившись с пробежки, он заста­
нет дома своего сына, который просыпается в 7 утра и уходит в школу в 8 часов?
Какие из приведённых событий являются достоверными, невозможными, слу­
чайными:
1) первый дождь следующей весной начнётся в четверг;
2) 27 мая в Москве будет +40° С;
3) 27 мая в Москве будет меньше +40° С?
Какие из приведённых событий А и В являются совместными, а какие - несо­
вместными?
1) В лыжных гонках: А = «победитель пробежал дистанцию за 23 минуты»,
В = «пришедший вторым - за 21 минуту»;
2) В лыжных гонках: А = «победитель пробежал дистанцию за 23 минуты»,
В = «пришедший вторым - за 24 минуты»;
3) В учебнике на пятой странице: А = «нарисованы 3 четырёхугольника»,
В = «нарисованы только треугольники»;
29

Глава 1, §1, п . 1 . 1 . 5 ____________ _________________________________________

L2U

\%_

4) В учебнике на пятой странице: А = «нарисованы 3 четырёхугольника»,
В = «нарисованы только прямоугольники».
Решите устно квадратное уравнение:
а) х 2 + 18* + 32 = 0;

б) *2 - 6х - 91 = 0;

в) *2 + * + 5 = 0.

Для корней х у и х 2 уравнения х 2 - Зх - 10 = 0 найдите значения выражения
х 2 + х 2.

W_ Разложите на множители квадратный трёхчлен, если это возможно:
Г98-

а) х 2 + 7х - 18;
б) -9 * 2 + 3* + 2;
в) х2 - 5;
г) - х 2 + 2х - 5.
Площадь прямоугольника равна 360 м2, а его периметр равен 76 м. Найдите
стороны прямоугольника.
При каких значениях параметра t уравнение х 2 - 8х - t = 0 не имеет корней?

|1 0 0 | При каких значениях параметра а уравнение ах2 + (а - 1)х + а - 1 = 0 имеет
ровно один корень?
| 1011*Два друга-математика договорились встретиться в условленном месте с

0

12:00 до 13:00. Каждый из них собирается прийти в случайный момент
времени из этого промежутка и прождать 10 минут. Какова вероятность того,
__^ что они встретятся?
11021 На гранях каждого из 27 кубиков произвольным образом написаны все числа
от 1 до 6. Из этих 27 кубиков Вася сложил куб, причем так, что у любых двух
кубиков на соприкасающихся гранях записаны числа, отличающиеся ровно
на 1. После этого Вася подсчитал суммы чисел, записанных на каждой из гра­
ней (этого куба). Мог ли он получить шесть одинаковых сумм?

1.1.5*. Случайные величины и их распределения
Сближение теории с практикой даёт самые благотвор­
ные результаты, и не одна только практика от этого
выигрывает; сами науки развиваются под влиянием её,
она открывает им новые предметы для исследования
или новые стороны в предметах давно известных.
П. Л. Чебышев (1821-1894),
русский математик и механик
Результатом случайного опыта может быть не только случайное событие, но и
некоторая числовая характеристика этого опыта, которую мы будем называть слу­
чайной величиной. Например, при случайном выборе человека можно рассматривать
случайную величину - его рост в сантиметрах, округлённый до ближайшего целого.
При этом разным элементарным событиям может соответствовать одна и та же слу­
чайная величина.
Если случайно выбрать точку на числовой прямой, то её координата будет случайной
величиной. Эта случайная величина может принимать любое действительное значение.
30

______________________________________________________ Глава 1, §1 , п . 1 .1 .5
Изучать такие случайные величины сложно, зачастую для этого требуется знать
высшую математику, поэтому в основном мы будем рассматривать случайные вели­
чины, принимающие значения из какого-то конечного множества.
Определение 1. Случайная величина, множество значений которой конечно или
счётно, называется дискретной случайной величиной.
При изучении случайной величины полезно понимать вероятность, с которой
она принимает то или иное значение. Например, при нескольких бросаниях монеты
количество выпавших «орлов» — случайная величина. Если монетка брошена один
раз, то эта случайная величина может принимать всего два значения —0 или 1, —
каждое с вероятностью
Если же было сделано три броска, то эта случайная ве­
личина может принимать одно из четырёх значений - 0, 1, 2 и 3. Давайте вычислим
вероятность каждого из этих исходов. Для этого выпишем все элементарные события
и вычислим значение случайной величины для каждого из них:
Р езу л ьтат
третьего броска

К оличество
в ы п авш и х «орлов»

орёл

орёл

3

орёл

реш ка

2

орёл

реш ка

орёл

2

орёл

реш ка

реш ка

1

реш ка

орёл

орёл

2
1

Р езу л ьтат
п ервого броска

Р езу л ьтат
второго броска

орёл
орёл

реш ка

орёл

реш ка

реш ка

реш ка

орёл

1

реш ка

реш ка

реш ка

0

Поэтому вероятности каждого из значений нашей случайной величины такие:
Зн ачен и е случайной вели чи н ы

0

1

2

3

В ероятность

1
8

3
8

3
8

1
8

1
3
3
1
В этом случае пишут, что р(0) = -g, р( 1) = -g, р{2) = -g и р(3) = -g.
Определение 2. Зависимость вероятности случайной величины от её значения
называется распределением вероятности.
Распределение вероятности удобно изображать в виде гистограммы. Например,
для только что рассмотренного примера она будет выглядеть так:

31

Глава 1, §1, п . 1 . 1 . 5 ___________________________________________________________________
Если просуммировать вероятности для каждого значения дискретной случайной
величины, то получится 1. Действительно, все эти события несовместны и в объеди­
нении дают полное пространство элементарных исходов.
Пример 1. При броске игральной кости количество выпавших очков — случайная
величина. Очевидно, что вероятность каждого значения равна 4"» и распределение
о
вероятности выглядит так:

Определение 3. Равномерное дискретное распределение — это распределение
дискретной случайной величины, имеющей конечное количество значений, которые
случаются с одинаковой вероятностью.
Определение 4. Распределение Бернулли — это распределение случайной величи­
ны, принимающей два значения - 0 с вероятностью q и 1 с вероятностью р (р + q = 1).
Рассмотрим последовательность независимых событий, каждое из которых имеет
два возможных исхода (один из них назовём «успехом», другой - «неудачей»). При
этом в каждом из этих событий «успех» наступает с вероятностью р (0 < р < 1), «не­
удача» - с вероятностью q = 1 - р. Такая последовательность событий называется
испытаниями Бернулли.
Рассмотрим несколько примеров.
а) Подбрасывание монеты, когда успехом считают выпадение орла, неудачей решки. Испытания независимы, при этом р = q =
б) Подбрасывание кубика, одна из граней которого окрашена в красный цвет,
остальные в синий, когда успехом считают выпадение сверху красной грани, неудачей
- синей. Ясно, что эти испытания, как и в примере а), независимы, но здесьр = 1 , q5= -g.
в) Стрельба по мишени. Считается, что вероятность попадания при одном выстре­
ле равна р, вероятность промаха q = 1 - р. Обычно у хороших стрелков вероятность
р близка к 1, у плохих она мала.
Остановимся на примере в) подробней. Рассмотрим событие, которое состоит в
том, что из п выстрелов стрелок ровно т раз попал в цель, а п - т раз он промахнул­
ся. Иными словами, в п испытаниях достигнуто ровно т успехов. Вероятность такого
события обозначим рп(т). Результаты выстрелов условимся считать независимыми.
Пусть п = 3, т = 1. Тогда попадание могло произойти при первом выстреле, при
втором или при третьем. Допустим, попадание произошло при первом выстреле, а
промах при втором и третьем. Эти события независимы, поэтому вероятность того,
что осуществятся все три, равна произведению вероятности попадания при первом
выстреле и вероятностей промахов при втором и третьем выстрелах: р • q • q = pq2.
В случае попадания при втором или третьем выстреле и промахов в остальных веро32

Глава 1, §1, п .1 .1 .5
ятность каждого из этих произведений событий также равна pq2. Событие, которое
состоит в том, что один (какой-то) из выстрелов удачен, а два других нет, является
суммой трёх несовместных событий, состоящих в том, что удачен конкретный вы­
стрел (первый, второй или третий), а два других - нет. Поэтому вероятность такого
события равна р3( 1 ) = 3pq2. Коэффициент 3 - это число способов, которыми можно
выбрать один элемент (попадание) из трёх (количество выстрелов), то есть С*. Таким
образом, р3(1) = C \pxq3~ Ч
В общем случае, если в п выстрелах т попаданий и п - т промахов, то вероят­
ность того, что попадания произойдут при конкретных т выстрелах, равна p mqn~т .
Способов, которыми можно выбрать т удачных выстрелов из всех п, всего Стп. Поэто­
му рп( т ) = Cmpmqn~ т . Такое распределение вероятностей называется биноминальным.
Замечание 1. Мы знаем, что если просуммировать вероятности для каждого зна­
чения дискретной случайной величины, то получится 1. Поэтому верно равенство
1 = р„(0) + рп(1) + рп{ 2) + ... + рп(п) = C^p°qn + Cxnp xqn~x + С„Рг 2х;
б)

2х < х - 2х
35

Гл ав а 1, § 1 , п . 1 . 1 . 6

[Ю9|

ЦП)

Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств
с двумя неизвестными:
2х - Зу + 12 > 0;
х + у> 1;
2х + у - 1 < 0 ;
а)
в)
б)
х + Зу - 3 > 0.
х - у > 0;
* - 2у + 2 » 0 ;
( и о ) В случайном эксперименте четыре раза подбрасывают монету. Найдите распределение вероятности случайной величины, равной количеству выпадений
«орла». Представьте результат в виде таблицы и гистограммы.
Лучник четыре раза стреляет по мишени, вероятность попадания стрелы при
каждом выстреле равна 0,6. Найти вероятность того, что мишень будет поражена
более двух раз.
Две противоположные грани белого кубика покрасили в чёрный цвет. В случай­
ном эксперименте кубик кидают до тех пор, пока не выпадет чёрная сторона.
Найдите вероятность того, что чёрная сторона выпадет только при третьем броске.
Решите систему:
2х - У

а)

- = 0,5;

6х + 4у = 17;

б)

Зх + 8 « 7х + 10;
2х - 3(х - 5) > 10 -

Зх.

Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств
с двумя неизвестными:
\ х - у « 2;
4х - у + 1 < 0;
5х - 2у - 6 > 0;
в)
б)
а) [х + у < -2;
х + 4у - 4 > 0;
х - 2у - 2 < 0.
[ n f j Можно ли расставить все натуральные числа от 1 до 100 по кругу так,
чтобы сумма любых трёх подряд идущих чисел была простым числом?

|116|

Пусть а, Ь, с - различные натуральные числа с суммой 800. Найдите максималь­
но возможное значение суммы корней уравнения (х - а)(х - Ь) + (х - Ь){х - с) = 0.

1.1.6*. Операции со случайными величинами. Математическое
ожидание и дисперсия. Закон больших чисел
О вы, счастливые науки!
Прилежны простирайте руки...
Везде исследуйте всечасно,
Что есть велико и прекрасно,
Чего ещё не видел свет...
М. В. Ломоносов (1711-1765)
русский учёный-естествоиспытатель
Независимые случайные величины
Определение 1. Две случайные величины называются независимыми, если знание
значения одной из них не даёт никакой дополнительной информации о значении
другой.
36

—-------------------------------------------------------------------Глава 1, §1, п.1.1.6
Иными словами, дискретные случайные величины X и У являются независимы­
ми, если для любых значений х и у события {X = х) и {У = у) независимы. Поэтому
р({Х = х) П {У = у}) = р({Х = х}) ■ р({У = у}).
Полученное свойство можно использовать в качестве эквивалентного определения
независимости двух случайных величин.
Сложение, умножение случайных величин
Эксперимент заключается в бросании двух игральных костей. Пусть X - случай­
ная величина, равная количеству очков, выпавших на первой кости, У - на второй
кости. Эти величины независимы. Рассмотрим новую случайную величину Z —X + У
(её значение - сумма очков, выпавших на двух костях). Найдём распределение её
вероятности. Наименьшее значение Z равно 2, а наибольшее - 12.
p({Z = 2)) = р({Х = 1) П {У = 1}) = р({Х = 1}) • р({У = 1}) = ( i ) 2 =
p({Z = 3)) = р({Х = 1} П {У = 2)) + р({Х = 2)

П

{У = 1)) =

= р({Х = 1}) • р({У = 2}) + р({Х = 2)) • р({У = 1)) = 2 • ( i ) 2 =
В итоге получим такое распределение вероятности случайной величины Z:
Значение случайной величины Z

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Вероятность

1
36

1
18

1
12

1
9

5
36

1
6

5
36

1
9

1
12

1
18

1
36

Значение Z

Мы видим, что наиболее вероятно при бросании двух костей получить сумму 7.
Для тех же самых случайных величин X и Y рассмотрим новую случайную вели­
чину W = X Y. Попробуем найти и её распределение. Для того чтобы понять, какие
значения она может принимать, заполним «таблицу умножения»:
1
2
3
4
5
6

1
1
2
3
4
5
6

2 3 4 5
2 3 4 5
4 6 8 10
6 9 12 15
8 12 16 20
10 15 20 25
12 18 24 30

6
6
12
18
24
30
36

37

Глава 1 , § 1 , п .1 .1.6

Так как случайные величины X и У независимы, вероятность попасть в каждую
ячейку таблицы 6x6 равна -т^г, поэтому распределение вероятности случайной вели­
чины W выглядит так:

Математическое ожидание и его свойства
Как мы знаем, чтобы задать распределение случайной величины, используется
таблица, содержащая информацию о всех возможных значениях случайной величи­
ны и вероятности появления каждого из них. Однако на практике бывает довольно
сложно изучать всю таблицу (особенно если она очень большая), и достаточно знать
какие-то числовые характеристики случайной величины. Основной характеристикой
случайной величины является её математическое ожидание.
Определение 2. Пусть известно распределение вероятности случайной величины
X (принимающей конечное число значений):
х2
хп
Рг
Р,
рп
Математическим ожиданием случайной величины X называется величина
Е(Х) = x lPl + xj>2 + ду>3 + ... +
Например, математическое ожидание количества очков, выпавших при одном
бросании игральной кости, равно
1 1+2+3+4+5+6
ос
^ 1 + 2 . 1 + 3.1 + 4.1 + 5 - 1 , с
З н а ч е н и е с л у ч а й н о й в е л и ч и н ы АТ
В ероятность

Л

6 + 6 ' 6 = ----------- в----------- = 3’5'

Замечание. Аналогично доказывается, что математическое ожидание любой слу­
чайной величины с равномерным распределением равно среднему арифметическому
всех возможных значений этой величины.
У математического ожидания есть три важных свойства.
Пусть X и У - две случайные величины, a k - фиксированное число, тогда
Е(Х + У) = Е(Х) + £(У),
E(kX) = kE{X).
При этом, если X и У - независимые случайные величины, то
E(XY) = E(X)E(Y).
Поэтому, например, в рассмотренной выше задаче про бросание двух игральных
костей необязательно вычислять математическое ожидание суммы по определению.
Достаточно сказать, что
E(Z) = Е(Х + У) = Е(Х) + E(Y) = 3,5 + 3,5 =7.
38

_________________________________________________ Глава 1, §1, п.1.1.6

Дисперсия случайной величины и её свойства. Стандартное отклонение
Математическое ожидание хорошо характеризует случайную величину, но у него
есть один недостаток. Рассмотрим распределения трёх случайных величин.
Значение случайной величины X

9

10

11

Вероятность

1
3

1
3

1
3

Значение случайной величины Y

6

8

10

12

14

Вероятность

1
5

1
5

1
5

1
5

1
5

Значение случайной величины Z

-8 0

-6 0

-4 0

-2 0

0

20

40

60

80

100

Вероятность

од

од

од

од

од

од

од

ОД

од

од

У каждой из этих случайных величин математическое ожидание равно 10. Но
при этом у случайной величины X значения лежат более «кучно» вокруг математи­
ческого ожидания, а у случайной величины Z очень большой «разброс» значений.
Для измерения «рассеивания» случайной величины используется понятие дис­
персии.
Определение. Дисперсией D(X) случайной величины X называется математиче­
ское ожидание квадрата отклонения случайной величины X от её математического
ожидания:
D(X) = Е((Х - Е(Х))2).
Например, вычислим дисперсию рассмотренных выше случайных величин.
Значение случайной величины X - Е (Х )

-1

0

1

1
3

1
3

1
3

Вероятность

Значение случайной величины (X - Е (Х ))2

0

1

Вероятность

1
3

2
3

D(X) = Е((Х - Е(Х)У) = 0 • | + 1 • | =

Значение случайной величины (У - E (Y ))2

0

4

16

Вероятность

1
5

2
5

2
5

D(Y) = E((Y - E(Y))2) = 0- -| + 4 - | + 1 6 - | = 8

=^

= 8.

Значение случайной величины Z - E(Z)

-9 0

-7 0

-5 0

-3 0

-1 0

10

30

50

70

80

Вероятность

од

од

од

ОД

ОД

од

од

од

од

од

39

Глава 1, §1, п.1.1.6
Значение случайной величины (Z - E(Z))~
Вероятность

100

900

1
5

1
5

2500 4900 8100
1
5

1
5

1
5

D(Z) = E((Z - E(Z))2) =
= 100 • -£- + 900 • + 2500 • 4- + 4900 • 4- + 8100 • 4- = - ^ 00 = 3300.
о
о
5
5
5
5
Мы видим, что чем больше разброс значений, тем больше дисперсия.
Однако у дисперсии есть один недостаток. Так как она меряет квадрат отклоне­
ния от математического ожидания, она имеет размерность, отличную от размерности
исходной случайной величины. Например, если случайная величина измеряется в
метрах, то её дисперсия - в квадратных метрах. Поэтому для оценки «разброса»
значений случайной величины вместо дисперсии используется стандартное откло­
нение - квадратный корень из дисперсии:
8(Х) = В рассмотренных выше примерах получаем:
8(Х) = т Щ Х ) =

: 0,8,

8(У) = ■
л/8
2, 8,
8(Z) = -JD(Z) = V3300 ~ 57.
Для вычисления дисперсии часто бывает удобно использовать другую формулу:
D(X) = Е(Х2) - Е(Х)2.
Она получается следующим образом:
D(X) = Е((Х - Е(Х)У) = Е(Х2 - 2ХЕ(Х) + Е(Х)2) =
= М Х г) - Е(2ХЕ(Х)) + Е(Е(Х)2) = Е(Х2) - 2Е(Х)Е(Х) + Е(Х)г = Е(Х2) - Е(Х)2.
Здесь мы воспользовались свойствами математического ожидания и тем, что Е(Х)
и Е(Х)2 - фиксированные числа.
У дисперсии есть три важных свойства. Сформулируем их.
Теорема. Пусть X и Y - независимые случайные величины, а а и k - фиксиро­
ванные числа, тогда
D(X + a) = D(X),
D(kX) = k2D(X),
D(X + У) = D(X) + D(Y).
Доказательство.
D(X + a) = E((X + a - E(X + a))2) = E((X + a - (£(X) + a))2) =
= E{(X - E(X))2) = D(X),
D(hX) = E((kX - E(kX)f) = E((kX - kE(X)f) = E(k2(X - E(X))2) = k2D(X),
D(X + У) = E((X +Y)2) - E(X +У)2 =
= E(X2 +2XY + У2) - E(X +У)2 =
= E(X2) +E(2XY) + EiY2) - (E{X) +£(У))2 =
= E(X2) +2E(X)E(Y) + Bfy2) - (E(X)2 + 2E(X)E(Y) + E(Y)2) =
= E(X2) + E(Y2) - E ( X f - E(Y)2 = D(X) + D(Y).
Математическое ожидание и дисперсия числа успехов
в серии испытаний Бернулли

Рассмотрим одно испытание Бернулли, у которого вероятность «успеха» равна р.
Тогда математическое ожидание числа успехов в одном испытании равно 0 ■(1 - р) +
+ 1 • р = р. Рассмотрим теперь серию из п одинаковых испытаний Бернулли, число
40

__________________________________________________________________ Глава 1, §1, п . 1 . 1 . 6
успехов в каждом из них - это п независимых случайных величин Х 1? Х 2, Х3, ..., Х п,
поэтому математическое ожидание числа успехов в серии из п испытаний Бернулли
равно
£(Х, + Х 2 + Х 3 + ... + Х п) = Я(Х,) + Е(Х2) + Е(Х3) + ... + Е(Хп) = пр.
Замечание. Отметим, что математическое ожидание числа успехов в серии из п
испытаний Бернулли можно было посчитать по определению, используя полученное
ранее распределение:
О • C°p°q" + 1 • С 'р У ’ 1 + 2 • С2р у - 2 + ... + п ■c y - q 0.

Однако получается довольно сложное выражение, которое непонятно как преобра­
зовывать. Вычислив это математическое ожидание другим способом, мы фактически
доказали следующую формулу:
О • C °p V + 1 • Clnp 'q n- 1 + 2 • C2
np 2qn~2 + ... + п • Cnnp nq° = пр .

Найдём теперь дисперсию числа успехов в серии из п испытаний Бернулли. Дис­
персия числа успехов в одном испытании равна
D(X) = Е(Х2) - E { X f = р - р г = р ( 1 - р ) =
так как распределение вероятностей у X и X2 одинаковое. Поэтому
ZKX, + Х2 + Х3 + ... + Хя) = П(Х,) + П(Х2) + П(Х3) + ... + D(X„) = npq.
Измерение вероятностей и точность измерения
В предыдущих параграфах мы предполагали, что вероятности интересующих
нас событий нам известны. Но даже для реальных монет и игральных костей нельзя
с уверенностью сказать, что стороны монеты и грани игральных костей выпадают
равновероятно. Монета неидеальна хотя бы потому, что на разных её сторонах раз­
ные рельефы, что (пусть и незначительно) может влиять на вероятность выпадения
той или другой стороны. А если попытаться сделать идеальную монету с абсолютно
одинаковыми сторонами, то как отличить «орла» от «решки»?
К сожалению, нет прибора, который умеет измерять вероятность того или ино­
го события, поэтому никакую реальную вероятность нельзя определить абсолютно
точно. К счастью, в практических задачах абсолютная точность обычно не нужна.
Основным способом «измерения вероятности» является многократное проведение
одного и того же случайного эксперимента.
Пусть мы хотим измерить вероятность некоторого события А. В результате слу­
чайного эксперимента событие А может произойти с некоторой вероятностью р или
не произойти - с вероятностью q = 1 - р. При этом величина р нам неизвестна, и
мы хотим её «измерить». Фактически мы имеем испытание Бернулли. Проведём
серию из п таких экспериментов. Тогда количество «успехов», как мы знаем, будет
случайной величиной К , математическое ожидание и дисперсия которой равны
Е(К) = пр, D(K) = npq.
ъг

Рассмотрим случайную величину —. Её математическое ожидание и дисперсия
соответственно равны

Поэтому, если «успех» наступил k раз из п, то величина — (которая, как мы
знаем, называется частотой события А) при больших п «близка» к реальной веро­
ятности р. А так как дисперсия этой величины убывает с увеличением количества
41

Глава 1, §1, п . 1 . 1 . 6 _______________ __________________________________

экспериментов, частота будет тем ближе к вероятности, чем больше экспериментов
мы проведём. Если дисперсия мала, т о вероятность сильного отклонения случайной
величины о т своего математического ожидания тож е мала.
Важно понимать, что мы не гарантируем, например для идеальной монеты, что
при большом числе бросков «орёл» всегда будет выпадать примерно в половине
случаев. Мы хорошо знаем, что количество К выпадений «орла» описывается би­
номиальным распределением. И даже есть ненулевая вероятность того, что «орёл»
вообще ни разу не выпадет, но при этом вероятность того, что частота выпадения
«орла» сильно отличается от 0,5, будет достаточно малой. Поясним сказанное выше,
JS
рассмотрев на одном графике три распределения величины — для выпадения «орла*
п
при п = 10, п = 20, п = 40 бросаниях монеты:
0,3

0,25

0,2

0,15




0,1






0,05


0

Л 9

0

0,1

0,2









:•

0,3



0,4

0,5

0,6

0 ,7



________
0,8

0,9

1

С увеличением п «колокольчик» сужается и вероятность получить значения,
сильно отличающиеся от 0,5, падает.
Замечание. Этот эффект широко используется при социологических и медицин­
ских исследованиях, а также в прогнозированиях вероятности наступления страховых
случаев и некоторых чрезвычайных ситуаций. В теории вероятностей доказывается,
что при п = 2000 вероятность отклонения частоты события от математического ожи­
дания меньше, чем на 0,03, велика. Эта вероятность превышает 0,99. Практически
для всех исследований достаточно такой точности.
Поэтому, например, для большинства опросов используют выборку из 2000 че­
ловек, так как если удаётся сделать её действительно случайной, результаты опроса
хорошо отражают ситуацию в целом.
Закон больших чисел
Пусть дано п независимых случайных величин Х х, Х 2, Х 3, ...» Х п с одинаковым
распределением, и их общее математическое ожидание равно т , а дисперсия - d.
X -J- х + X +
л. yРассмотрим новую случайную величину —1----- 2---- ------—----- 0. Для неё
Е(Х) = е (Х 1 + х 2 ± Ха +
42

+ Mt\ _ -i-(£(X,) + Е(Х2) + Е(Х3) + ... + E (X J) = m;

Глава 1, §1, п .1 .1 .6
D(X) = D

X ,

+

X ,

+

X ,

+ ... +

м) = Д к Д Х .) + D(X2) + D(Xa) + ... + D (X J) =

X ,

Это означает, что при больших п значения случайной величины
мало отклоняются от т .
То есть среднее значение большого числа случайных величин с одинаковым рас­
пределением близко к математическому ожиданию одной из случайных величин.
Теоремы, оценивающие эту «близость» в зависимости от количества случайных ве­
личин, называются законом больших чисел.
Так, например, при проведении физических опытов, в которых требуется изме­
рение некоторой величины, точность результата увеличивается, если провести доста­
точно большое количество измерений и вычислить их среднее арифметическое.

О

1171 Для некоторой случайной величины известно распределение её вероятности:
Зн ач ен и е случай н ой величи ны
В ероятн ость

1

2

3

4

0 ,1

0 ,2

0 ,3

0 ,4

Найдите математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение этой
случайной величины.
И 18| В классе учится 25 школьников. На каждом уроке математики учитель выбирает
случайным образом пятерых школьников, которые будут решать задачи у доски.
В следующей четверти будет 30 уроков математики. Для каждого школьника
количество уроков за четверть, которые он проведёт у доски, является случайной
величиной. Найдите математическое ожидание и стандартное отклонение этой
случайной величины. Как вам поможет знание о математическом ожидании и
дисперсии в испытаниях Бернулли?
[П^9| Запишите периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной:
а) -1,(27);

б) 5,0(39);

в) 3,579(31).

Решите уравнение с модулем:
а) | 2у - 3 | = - 5 ;

в) | Ь + 5 | = -| Ь - 12 |;

д) | 7 + z | - | 3 - 2 | = -4 ;

б) -| 7 - 4г | = 0;

г) | Зс - 8 | = | 8 - Зс [;

е) | 7ft - 9 - 10А | = | 6 - 2k + 3 - k \.

Решите неравенство, содержащее модули:
а) | 2р - 7 | > 3;

б )- | 6р - 93 | < | 64 + 8р |;

в) 1126 + 2 - 9ft | « 14 - 35 - 1 0 1.

112 2 | Решите систему с модулем:
[ * - Ы - 2 ;

а) [2ж - Зр = -1 ;

®

\х-\у\>2-,
'\2х-у>-1.

1 2 3 | В случайном эксперименте пять раз подбрасывают монету. Найдите математи-

ческое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение случайной величины,
равной количеству выпадений «орла».
а) Выполните задание, найдя распределение вероятности этой случайной величины,
б) Решите задачу, воспользовавшись формулами для математического ожидания и дис­
персии числа успехов в серии испытаний Бернулли.

43

Э к с п р е с с -те с т № 1

Проведите дома случайный эксперимент. Подбросьте монету 100 раз и посчитайте
количество выпадений «орла». Для ускорения эксперимента можно одновременно
бросать несколько монет (например, достаточно сделать 10 бросков с 10 монета­
ми). Вычислите частоту выпадения «орла». Посмотрите, насколько эта частота
отличается от вероятности выпадения «орла». Запомните результат своего экспе­
римента и на следующем уроке подсчитайте частоту выпадения «орла» для всего
класса. Так, например, если в вашем классе 25 учеников, то вместе вы сделали
2500 бросков. Сравните теперь полученную частоту с вероятностью, а также с
первоначальными частотами, полученными дома вами и вашими одноклассни­
ками. Какие выводы вы можете сделать?
Запишите периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной:
а) 0,(4);
б) -4,(541);
Решите уравнение с модулем:

в) -6,24(6).

а) | х + 4 | = 9;
б) -| 5 - За | = -11;
Решите неравенство, содержащее модули:

в) I х - 6 I + I * - 2 I « 12.

а) | х + 5 | < 9;

в) | 4а - 12 | > | 5а + 20 |.

б) | 3 - 4z | < -17;

Найдите наименьшее натуральное а такое, что произведение
а(а + 4)(а + 8)(а -I- 12)(а + 16) делится на 10°.
Когда к квадратному трёхчлену f(x) прибавили х2, его наименьшее значение
увеличилось на 1, а когда из него вычли х2, его наименьшее значение уменьши­
лось на 3. Как изменится наименьшее значение f(x), если к нему прибавить 2*2?

Экспресс-тест № 1
Примерное вр ем я в ы п о л нени я - 45 м и н у т
Часть А
№ 1

№1. Число 15! делится на:
А) 17;
Б) 99;

Г) 46.

№ 2

№2. В параллели восьмых классов 15 мальчиков успешно занимаются
по физике. Сколькими способами можно выбрать из них 8 ребят для
участия в олимпиаде по физике?
А) 40 320 способов;
В) 6435 способов;
Б) 12 870 способов;
Г) 32 432 400 способов.

№3

№3. В восьмом классе учатся 14 мальчиков и 12 девочек. По жребию они
выбирают дежурного. Какова вероятность того, что это будет мальчик?
А> ^ ;

№4

44

В) 51;

B )i;

B )i;

Г) А .

№4. Наблюдения технического контроля показывают, что вероятность
изготовления бракованной лампочки составляет около 0,015. Сколько
бракованных лампочек можно ожидать в партии из 2000 лампочек?
А) 15;
Б) 30;
В) 45;
Г) 133.

Э ксп ресс-тест № 1

Часть В
№ 5

№5. В цветочном магазине продавец расставляет в ряд вазы с цветами:
гвоздиками, хризантемами, ромашками, фиалками. Хризантем и рома­
шек было очень много. Продавец распределил хризантемы поровну в
три вазы, а ромашки - в две. Сколько существует различных вариантов
расстановки ваз с цветами, если:
1) цветы в каждой из ваз отличаются от другой по цвету;
2) ромашки в каждой из ваз отличаются от другой по цвету, а хризан­
темы - нет;
3) хризантемы в каждой из ваз отличаются от другой по цвету, а ро­
машки - нет.
Установите соответствие между номерами указанных ситуаций и ко­
личеством полученных для них различных вариантов расстановки ваз:
А) 840 вариантов;
Б) 2520 вариантов;
В) 5040 вариантов.

№ 6

№6. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр
0, 6, 7, 8, 9 (цифры в записи числа не повторяются)?
А) 60;
Б) 24;
В) 54;
Г) 48.

№7

№7. На координатной прямой отмечены точки 0(0), ап +j = 2(л + 1 ) - 1 .
Мы знаем, что каждое нечётное число отличается от предыдущего нечётного
числа на 2, поэтому ап + х = ап + 2 . Полагая, что утверждение ап = 2п - 1 истинно,
можно доказать, что а
= ап + 2 = 2 л - 1 + 2 = 2(л + 1 ) - 1 .
Доказав это следование для двух любых соседних нечетных чисел, мы фактиче­
ски доказали и бесконечную цепочку:
ах — 2 • 1 —1 истинно => а2 = 2 • 2 - 1 истинно; а2 = 2 - 2 - 1 истинно=> а3 = 2 • 3 - 1
истинно; ... а 1000000 = 2 1 000 000 - 1 истинно => а1000001 = 2 - 1 000 001 - 1 истин­
но,..., ап = 2л - 1 истинно => ап+1 = 2(л + 1 ) - 1 истинно, ... и т.д. Ведь истинность
первого утверждения мы уже проверили.
Итак, отталкиваясь от истинности утверждения для первого нечётного числа и
пользуясь доказанным следованием для пары соседних нечётных чисел, мы можем
«пробежаться» по всему бесконечному ряду нечётных чисел.
Выделение этой идеи как важного способа доказательства свойств бесконечных
множеств приписывают Б. Паскалю и Я. Бернулли, хотя отдельные случаи его при­
менения встречались ещё в античные времена. Теперь он носит название принципа
математической индукции. В общем виде его можно сформулировать так.
Пусть некоторое высказывание А п, в формулировку которого входит натуральное
число л, истинно при л = 1, и из истинности А п при произвольном натуральном л
следует истинность А +1. Тогда высказывание А п истинно при любом натуральном л.
Иными словами, истинность А п при любом натуральном л следует из бесконечной
цепочки следствий: А х истинно => А, истинно; А 2 истинно =* А 3 истинно; А 3 истин­
но =• А 4 истинно; ... , А п истинно => А п +1 истинно, ... и т.д.
Теперь мы готовы к тому, чтобы вернуться к свойству суммы л первых нечётных
чисел. Докажем его, применяя принцип математической индукции.
1. Как мы видели, S t = 1 = I 2. Значит, для л = 1 утверждение верно.
2. Предположим, что S = л2 истинно при произвольном натуральном л.
3. Опираясь на это предположение, докажем, что Sn +1 = (л + I)2.
Мы уже знаем, что п-е нечётное число равно 2л - 1, значит, (л + 1)-е нечётное
число равно 2(л + 1) —1 = 2л + 2 - 1 = 2л + 1.
Тогда S п + J = S п + (2л + 1). По предположению индукции S n = л2, поэтому
S n + j = л2 + (2л + 1) = (л + I)2. Исходя из принципа математической индукции,
можно утверждать, что S = л2 истинно при любом натуральном л. ■
Итак, на основании принципа математической индукции мы можем сформули­
ровать следующий метод доказательства.
47

Глава 1, §2, п. 1.2.1
Чтобы доказать, что утверждение верно при любом л € N,
методом математической индукции1, нужно:
1. Проверить, что это утверждение выполняется для л = 1 (этот шаг доказатель­
ства называют база индукции).
2. Предположить, что это утверждение выполняется для произвольного п - пред­
положение индукции.
3. Опираясь на предположение индукции, доказать, что это утверждение выпол­
няется для п + 1 - шаг индукции.
Метод математической индукции может применяться при доказательстве ра­
венств.
Пример 1.
Доказать, что I2 + 22 + З2 + ... +л2 = -^п- + 1^ 2п + ^ при всех п 6 N.
Доказательство (методом математической индукции).
1. При п = 1 имеем: I 2 = 1 -------^------- утверждение верно.
2. Пусть равенство выполняется для произвольного п:
S = I 2 + 22 + З2 + ... +л2 - »(гс + 1)(2п + 1).
"
6
3. Рассмотрим сумму п + 1 первых слагаемых, S , + г = S n + (п + I)2. Нам нуж­
но проверить равенство S n + , =
+ 1)((п + 1) + 1)(2(п + .1) + 1), т0 есть ^ ^ _
= (п + 1)(л + 2)(2л + 3)
"
6
6
По предположению индукции S„ +1 = .n (n + 1K2n + !) + („ + 1 )2. Вынесем за скоб. п + 1
ки g и разложим на множители квадратный трехчлен, полученный в скобках:
+, = ^-± -^(л (2 л + 1) + 6(п + 1)) = ^ 1 ( 2 п2 + 7л + 6) = (д + x)(n + 2К 2п t JD щ

о
о
6
Рассмотренное нами в этом примере равенство было выведено ещё Архимедом
в III веке до н.э. Он использовал его для решения некоторых задач из геометрии и
механики.
Пример 2.
Доказать, что 1 • 1! + 2 • 2! + ... + п • п1 = (п + 1)! - 1 при всех п 6 N.
Доказательство (методом математической индукции).
1. При п = 1 имеем: 1*1! = 1 = 2! —1 - утверждение верно.
2. Пусть равенство выполняется при произвольном п. Напомним, что здесь и
далее искомую сумму п слагаемых, рассматриваемых в утверждении, мы обознача­
ем Sn, поэтому, Sn = 1 • 1! + 2 • 2! + ...+ п • п\ = (л + 1)! - 1.
3. Нам нужно проверить равенство Sn+ 1 = ((л + 1) + 1)!. Для суммы со следую­
щим натуральным числом л+1 будет верно равенство
S /i + 1 = Sn + (л + i) • (л + 1)!.
Тогда по предположению индукции
Sn+ i = (п + !)* “ 1 + (п + 1)(л + 1)1 = (п + 1)! + (л + 1)(л + 1)! - 1.
1 Отметим, что существуют и более сложные виды индукции. Например, когда утверждение А сле­
дует из всех предыдущих утверждений A l - A n_l. С ещё одним примером индукции вы познакомитесь
в примере 7 следующего пункта.

48

_______________________________________________________ Глава 1, § 2 , п. 1 .2 .1
Вынесем за скобки множитель (л + 1)! и воспользуемся определением факториала:
Sn +j = (л + 1)!(л + 2) - 1 - (л + 2)! - 1. ■
Как мы видим, основного труда требует доказательство шага индукции: здесь
мы используем различные преобразования и рассуждения, база же и предположение
индукции не требуют от нас особых усилий.
Пример 3.
Доказать, что ^
^
+ ... + (2„ _ i J 2n + 1) = 1 Г + 1 прИ ВСеХ " 6 N '
Доказательство (методом математической индукции).
1. При п = 1 имеем:
= ^ = 2 . \ +~i “ утверждение верно.
2. Пусть при произвольном п выполняется равенство
С

_

1

I

1

_L,

J ________________ \ _____________ =

_____ — -------

" 1 •3 3 •5
(2л - 1)(2л + 1) 2п + Г
3. Нам нужно проверить равенство Sn+ 1 = 2(^^+^1)^+ 1 ‘ Для п + ^ вьшолняется
равенство S . +, = S. + (2л + i { 2„ + 3)'
Тогда по предположению индукции

л
1
_ л(2л + 3) + 1 _ 2пг + Зп + 1 _
Ь«+ ‘ 2л + 1 (2л + 1)(2л + 3) (2 л + 1)(2л + 3) (2л + 1)(2л + 3)
_ (л + 1)(2п + 1) _ л + 1 _
(2л + 1)(2л + 3) 2л + 3
Конечно, большинство подобных равенств можно доказать и без применения
математической индукции, но для этого нужно применять нестандартные рассуж­
дения. Например, для нахождения значения суммы из последнего примера нужно
было заметить, что при любом натуральном k имеет место равенство
(2k - l)(2fe + 1)
Тогда при любом натуральном л
■ = 1 М ) \ + 1/а
М + х(11
5 > + 23
1
1 .
1+ 1-1
” 7 + '... 4- 2л - 1 2л
3 3 5

2l2A-l

2* + 1,

4 +
7/ + '

1(
2V: - 1
2\2л

2л + 1/
! . 2л _
л

2 2л + 1 2л + 1’
2
Однако догадаться до равенства (1) не так-то просто, а доказательство методом
математической индукции требует от нас стандартных рассуждений.
Рассмотрим примеры применения метода математической индукции для доказа­
тельства различных неравенств.
Пример 4.
Доказать, что при а > -1 и при всех натуральных л выполняется неравенство
Бернулли (1 + а)л > 1 + па.
Доказательство (методом математической индукции).
1. При л = 1 имеем 1 + а > 1 + а, получили верное нестрогое неравенство.
2. Пусть при произвольном натуральном л вьшолняется неравенство (1 + а)л > 1 + ла.
3. Докажем, что неравенство выполняется для следующего натурального чис­
ла л + 1. Оценим (1 + а)" + 1. По свойству степеней (1 -I- а)" +1 = (1 + а)л(1 + а), и
1 \
+ 1/

К*

V

t

)

49

Глава 1, §2, п. 1.2.1
так как по условию 1 + а > 0 и по предположению индукции (1 + а)" > 1 + ла,
то (1 + а)"*1> (1 + ла)(1 + а) » (1 + а)" +1 > 1 + ла + а + ла2 => (1 + а)" +1> 1 + (л + 1)а.I
Отметим, что многие высказывания Ал выполняются не при всех натуральных л,
а только начиная с некоторого их значения. Так, неравенство 1000л2 + Зп < л3 - 4
не является верным, когда п < 10, но будет верным, например, при всех л > 2000.
Расширим принцип математической индукции следующим образом.
Пусть некоторое высказывание А п, в формулировку которого входит целое число
л > п0, где п0 - фиксированное целое число, истинно при л = л0, и из истинности
А п при произвольном целом п > п0 следует истинность А п+ . Тогда высказывание Ап
истинно при любом целом л > л0.
Пример 5.
Доказать, что при всех натуральных п > 2 выполняется неравенство

_ J _ + _ 1 _ + ... + i

>X

л + 1 л + 2
2л 12
Доказательство (методом математической индукции).
В отличие от предыдущих примеров база индукции будет строиться для п = 2.
1. При л = 2 имеем:

1 1 7

=

1 1 7

неравенство ^

^

— справедливо как нестрогое.

2. Пусть при произвольном натуральном п > 2 выполняется неравенство
+
JL
S “ г- L 1 +
л + 1 л + 2
2л 12'
3. Докажем, что S

12 '

1
1 , ___
1 +
1
1
+-L + - L
л+ 2 л + 3
2л 2л + 1 2л + 2 ■S + 2л + 1■'+2■л + 2 л + 1
1
1
1
1
1
2_____________ 1____________ 1— > 0 ,
Но
2 л + 1 2 л + 2 л + 1 2 л + 1 2 л + 2 2 л + 2 2 л + 1 2л + 2
7
7
значит, Sn+1 > Sn. При этом S n >
(по предположению индукции). Значит, 5 я+, > jjj
(в действительности мы также доказали, что равенство при этом будет выполняться
только при п = 2). ■
* * *
Пример 6.
При каких натуральных

п выполняется

неравенство 2П> л3?

Решение.
Для начала рассмотрим несколько частных примеров при первых значениях п. Имеем:
21 > I3, 22 < 23, 23 < З3, 2* < 43, 2б < 53. Казалось бы, неравенство 2" > п3 верно только для
п = 1, а при п > 2 должно выполняться противоположное неравенство 2" < л3.
Рассмотрим несколько отношений левой части неравенства к правой при л = {2, 3, ... 10}:
|

- 0,5; | ! = 0,296;

f a=

0,25;

- 0,256; ^ = 0,296;

= 0,373;

f a=

0,5; |

= 0,702;

= 1,024 > 1. Замечаем, что, начиная с л = 5, отношение ^ начинает увеличиваться и
при л = 10 это отношение становится больше 1; судя по всему, при следующих значениях п
оно становится ещё больше.
Сформулируем гипотезу: 2" > л3 при всех натуральных л > 10. Докажем её методом
математической индукции.
1. При л = 10 неравенство выполнено (1024 > 1000).
2. Пусть при произвольном л > 10 выполняется неравенство 2п > л3.
50

Глава 1, §2, п.1.2.1

3. Докажем неравенство для следующего натурального числа п + 1: 2я *1 > (л + I)3.
3.1. Из предположения индукции: 2п > п3 2 • 2" > 2л3 » 2"*1 > 2пя.
3.2. Заметим, что при всех натуральных п ^ 10 верно неравенство 2ла > (п + I)3.
Докажем, что это так. Во-первых, так как (л + I)3 = л3 + Зл2 + Зл + 1, неравенство
2л3 > (л + I)3 равносильно неравенству л3 > Зл2 + Зл + 1. Во-вторых, при л > 10
л3 = л • л2 ^ Юл2 > 7л2 = Зл2 + Зл2 + л2 > Зл2 + Зл + 1, то есть выполнено неравенство
л3 > Зл2 + Зл + 1, а вместе с ним и равносильное ему неравенство 2л3 > (л + I)3.
3.3. Итак, 2"+1 > 2л3 и 2л3 > (л + I)3, значит, 2" +1 > (л + I)3.
Ответ: при л = 1 и при л > 10.
|П 0 | Каждому значению аргумента х поставлено в соответствие значение у = х 2 - 2 .
Какое значение функции будет соответствовать аргументу 0; 3; л; л + 1?
1311 Введите обозначения и запишите на математическом языке:
а) любое чётное число;
б) любое нечётное число;
в) два любых последовательных натуральных числа;
г) три любых последовательных натуральных числа;
д) два любых последовательных чётных числа.
Докажите следующее утверждение: «Сумма трёх последовательных натуральных
чисел кратна 3».
1) Для доказательства истинности общего утверждения А - «Произведение числа
л и двух следующих за ним чисел кратно 6» - выполните следующие шаги:
а) проверьте истинность данного утверждения для л = 1;
б) запишите на математическом языке, что утверждение истинно для числа л;
в) при условии, что утверждение истинно для числа л, докажите, что оно истинно
и для л + 1.
2) Проанализируйте шаги, выполненные в пунктах 1а - 1в. Объясните, как,
пользуясь истинностью А(1) и доказанным следованием А(л) => А{п + 1), можно
провести бесконечную цепочку рассуждений:
А(1) истинно => А(2) истинно;
А(2) истинно =* А(3) истинно; ...
А(100) истинно => А(101); ...
А(л) истинно => А(п + 1) истинно, ... .
3) Можно ли использовать данный метод доказательства для других общих
утверждений, описывающих свойства бесконечных множеств? Сформулируйте
шаги, которые были предприняты для доказательства в общем виде. Сравните
свой вариант с алгоритмом в учебнике на с. 48.
[l34| Докажите тождество 1 + 2 + ... + п =
+ .?•),

[l35j Докажите тождество 1 - 2 - 3

+ 2- 3-

4 + ... + п(п + 1)(п + 2) = ^п(п + 1)(л + 2) (п + 3).

0 6 | Докажите, что для всех натуральных п выполняется неравенство 2" > п.
0 7 | Докажите, что для всех натуральных п выполняется неравенство

^

7Г-1-Т'

Сколькими способами семь членов комиссии могут выбрать председателя и
заместителя?
51

Глава 1 , § 2 , п. 1 . 2.1
Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 2, 3, 4, 5, 6, 7?
Сколько различных четырёхзначных чисел молено составить из цифр 0, 5, 6,
7, если каждая цифра в записи числа встречается один раз? (Число не может
начинаться с нуля.)
Упростите выражение:
УбО
УУ2 9 + 2 • УУ29 - 2 ’

б)

УУГГ - з • У У п + з
У32

Сократите дробь:

з: - 2Ужр + ,у
Уз: + Уу .
в)
б)
а) -2——^=
2-Jxy + р
Уз: - Уу ’
' *х + Яз/зл/
у’
х-у
Решите неравенство методом интервалов:
а) (з: + 1)(з: - 5) > 0;
д) з:2 - з: - 12 < 0;
б) з:(1 - х)(х + 4) > 0;
е) -бз:2 + 2з: + 3 > 0;
1
ж)в) з:2 - 64 < 0;
1 з: + 1
г) з;е(з: - 3)(з: + 2) < 0;

и

з)

( * - , 6X f -

1’

> 0.

7 12 л:2 - 4 л: - 1

При каких значениях х выражение .
- — имеет смысл?
*
У-бз:2 - 5з: + 1
4
4 < 0;
9 д: + 3
Решите систему неравенств
л^ - Зл: - 10 < 0.

Ш
А и В расположены на реке, скорость течения которой на этом участ­
Ш Пристани
ке равна 4 км/ч. Лодка проходит от А до В и обратно без остановок со средней
скоростью 6 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.
Для натуральных п докажите тождество I 3 + 23 + ...

= пЧп ± I)2
4

При каких натуральных п выполняется неравенство 2" > 2п + 1?
Докажите, что для всех натуральных п выполняется неравенство
1 • 3 • 5 • ... • (2п - 1) ^
1
2-4-6-...-2 п
" V2п + 1*
Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 8, 6, 4, 9
(цифры в записи числа не повторяются)?
Сколько девятизначных паролей можно составить из букв
А, В, С, D, W, где буквы А, С встречаются ровно один
раз, буквы В и D - по два раза, а буква W - три раза?
На полке в магазине лежало 20 шоколадных яиц с
игрушкой-сюрпризом внутри, среди которых 4 были с
машинками. Мама купила в подарок детям 15 таких яиц.
Какова вероятность того, что она приобрела подарки без
машинок?
52

Глава 1, §2, п .1 .2 .2

Упростите выражение:
л/81
а)

б) л/л/Гз - 2 •л/У1з + 2

VV45 + 6 • л/л/45 - 6

л/44

Решите неравенство методом интервалов:
а) (х + 7)(х + 9) < 0;

в) *2 - 100 > 0;

б)

г) х 2 - 9х + 18 < 0;

7И* + 3) < 0;
х(х - 1)

1

_

1

Д) х - 5 х + 4 > 0 ;
(х - 7)2(Х + 1 ) > 0 .
е)
(1 - x f

При каких значениях х выражение V-7х2 - 4х + 3 имеет смысл?
Пристани А и В расположены на реке, скорость течения которой на этом участ­
ке равна 3 км/ч. Лодка проходит от А до Б и обратно без остановок со средней
скоростью 8 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.
Найдите значение выражения
1! • 3 - 2! • 4 + 3! • 5 - 4! • 6 + ... ■ 2000! • 2002 + 20011.
Известно, что при некотором х число х + — - целое. Докажите, что х п +
также целое при любом целом п.

1.2.2*. Применение метода математической индукции
в разных задачах

Без помощи... индукции... процесс конструирования
был бы бессилен создать науку.
Анри Пуанкаре (1854-1912),
французский математик, физик, философ и теоретик науки

В предыдущем пункте мы познакомились с замечательным принципом, который
позволяет заменить невозможную на практике проверку бесконечного числа элемен­
тов множества стандартным пошаговым алгоритмом действий - методом математи­
ческой индукции. Мы применяли этот метод при доказательстве равенств и нера­
венств. Однако этим круг применения метода математической индукции, конечно,
не ограничивается. В этом пункте мы поучимся применять его при решении самых
разнообразных задач.
Применим метод математической индукции к решению задач о множествах.
Пример 1.
Доказать, что число всех подмножеств множества из п элементов равно 2".
Доказательство (методом математической индукции).
1. Проверим утверждение для п = 1. Если в множестве один элемент, то оно
содержит ровно 2 подмножества - само себя и пустое множество: 2 = 21.
53

Глава 1, §2, п . 1 . 2 . 2 ______________________________________________________

2. Предположим, что число подмножеств множества из л элементов равно 2".
3. Рассмотрим множество из л + 1 элементов. Если число подмножеств множе­
ства из л элементов равно 2", то число подмножеств множества из л + 1 элементов
вдвое больше. Действительно, наряду с уже рассмотренными 2" подмножествами
множества из л элементов в этом множестве выделить ещё столько же, отличающихся
от них новым (л + 1)-м элементом. Значит, число подмножеств множества из л + 1
элементов равно 2 • 2" —2" * 1. ■
Применим метод математической индукции к решению задач на делимость.
Пример 2.
Доказать, что при любом л € N число л5 - л делится нацело на 5.
Доказательство (методом математической индукции).
1. При п = 1 число I 5 - 1 = 0 делится на 5.
2. Пусть при произвольном натуральном п число л5 - л делится нацело на 5.
3. Докажем, что (п + I)5 - (л + 1) делится на 5.
Раскроем скобки в выражении (п + I)5:
(п + I)5 - (л 4- 1) = л5 + 5л4 + Юл3 + Юл2 + 5 л + 1 - л - 1 = л5 - л + 5л4 +
+ Юл3 + Юл2 + 5л.
Разность л5 - л делится на 5 по предположению индукции, остальные слагаемые
делятся на 5 по свойству делимости произведения. Поэтому число (л + I)5 - (л + 1)
делится нацело на 5. ■
Пример 3.
Доказать, что при любом л € N 0 число 11л +2 -I- 122п + 1 делится нацело на 133.
Доказательство (методом математической индукции).
1. При л = 0 число I I 2 4- 12 = 133 делится нацело на 133.
2. Пусть при произвольном л € N q число 11" +2 + 122п+1 делится на 133.
3. Докажем, что l l (n + 1) + z + 122(п+ 1) + 1 делится на 133. Преобразуем это выра­
жение:
Ц ( л + 1) + 2 +

1 2 2(п + 1 )+ 1 =

Ц П + З +

122П + 3 =

11 • 1 1« + 2 +

^ 2

. ^

+ 1=

= 11 • 11"+2 + 11 • 122" + 1 - 11 • 122" +1 + 144 • 122" + 1 =
= 11 • (11"+2 +122" +1) + 133 • 122" + 1.
Число 11"+2 + 122,, + 1 делится на 133 по предположению индукции, значит, пер­
вое слагаемое делится на 133, при этом последнее слагаемое также делится на 133.
Поэтому число 11"+3 + 122" +3 делится на 133. ■
Пример 4.
Доказать, что при любом натуральном л > 2 число 22" имеет последнюю цифру 6.
Доказательство (методом математической индукции).
1. При л = 2 число 222 = 24 = 16 оканчивается цифрой 6.
2. Пусть при произвольном натуральном п > 2 число 22" оканчивается цифрой 6,
то есть 22" = 10k + 6, k € N.
3. Докажем, что 22Л оканчивается цифрой 6.
22" +' = 22" 2 = (22")2 = (10й + 6)2 = 100/г2 + 120/г + 36 = 10(10¾2 + 12ft + 3) + 6 =
= 10m + 6, где т е N\ поэтому число 22" * также оканчивается цифрой 6. ■
Пример б.
Доказать, что любое натуральное число п > 8 можно представить в виде п = Зр + 5q,
где р, q - целые неотрицательные числа.

54

Глава 1, §2, п .1 .2 .2

Доказательство (методом математической индукции).
1. При ;г = 8 утверждение верно (8 = 3 - 1 + 5 1 ) .
2. Пусть произвольное натуральное число п > 8 представимо в виде п = Зр + 5q,
где ру q = {0 , 1, 2 ,...} - целые неотрицательные числа.
3. Докажем, что следующее за ним число п + 1 можно представить указанным
способом.
По предположению индукции я + 1 = 3р + 5*7 + 1 . Представим это число следую­
щим образом: я + 1 = Зр + 5*7 + 1 = Зр + 5*7 + 6 - 5 = 3(р + 2) + 5(q - 1).
Если 1, то л + 1 = Зр, + 5 3, так как п = Зр
и п > 8 . Тогда п + 1 = Зр + 1 = Зр - 9 + 10 = 3(р - 3) + 5 • 2, то есть опять-таки
п + 1 = Зр, + 5*7,, где р, = р - 3, qx = 2 являются целыми неотрицательными числами.
Итак, в любом случае п + 1 = Зр, + 5 *7,, где р,, qx = {0, 1, 2,...}. ■
Отметим, что в нашей стране во времена СССР были в обращении различные
мелкие монеты, в частности монеты достоинством в 3 коп. и 5 коп. Только что рас­
смотренный нами пример в литературе того времени формулировался так: доказать,
что любую сумму денег, не меньшую восьми копеек, можно разменять монетами в
3 и 5 копеек.
Применим метод математической индукции к решению геометрических задач.
Пример 6 .
На плоскости проведены п прямых (п = 1, 2, 3, ...), находящихся в общем поло­
жении, то есть никакие две из них непараллельны и никакие три не проходят через
одну точку. Доказать, что эти прямые разбивают плоскость на 1 + п(п + *•) частей
(так как из чисел п и п + 1 одно обязательно чётное, то записанная дробь является
целым числом).
Доказательство (методом математической индукции).
• 2 = 2 (одна прямая разбивает плоскость на 2 части,
1. При п = 1 имеем 1 Н---1^—
что соответствует действительности).
2. Пусть п прямых при произвольном натуральном п разбивают плоскость на
1 + п-(п + -О- частей. Для простоты дальнейших рассуждений обозначим это число
частей А п.
3. Рассмотрим п + 1 прямых на плоскости в общем положении и выделим из
них произвольные п прямых. Они находятся в общем положении и по предположе­
нию индукции разбивают плоскость на А п частей. Тогда (п + 1)-я прямая, которая
изображена штриховой линией на рисунке 1 , пересечёт каждую из этих п прямых
равно в одной точке. При этом сама прямая разделится на п + 1 частей (на 2 луча
и на п - 1 отрезков).

55

Глава 1 , §2, п .1 .2 .2
В итоге из имевшихся А п частей плоскости ровно п + 1 частей разделится на две
(они помечены штриховкой на рисунке 2), а остальные не будут затронуты. Поэтому
после проведения (л + 1)-й прямой количество частей плоскости увеличится на п + 1,
и Ал + 1 = Ап + п + 1.
Тогда по предположению индукции:
А п+ j = 1 +
^ + л + 1 = 1 + ( л + 1 ) ( | + l j = 1 + (гс + 1ХП-+ -2) , то есть
нужное равенство выполняется для следующего значения п + 1 . 1
Как мы видим, метод математической индукции является ключом к решению
огромного количества задач. Он ещё не раз пригодится нам в дальнейшем - особенно
при открытии новых свойств.
Пример 7.
Докажите, что любой квадрат можно разрезать на любое число квадратов, боль­
шее пяти.

Доказательство (методом математической индукции).
1. На рисунке 3 показано, как разрезать квадрат на 6, 7 и 8 квадратов.
2. Пусть мы умеем разрезать квадрат на п = k квадратов.
3. Тогда, разрезав один из квадратов на 4 квадрата, мы получим, что исходный
квадрат будет разрезан на п = k 4- 3 квадратов, т. е. мы показали, что любой квадрат
можно разрезать на любое число квадратов, большее пяти.
Заметим, что в этом примере нам при­
шлось проверять базу индукции сразу для
трёх утверждений, так как переход индук­
ции осуществляется от утверждения Ап к
Рис. 3
утверждению А п + 3.

О

1 5 9 | Докажите, что при любом натуральном п число п2 + п чётно.
Докажите, что при любом натуральном п число 32л+2 + 8л - 9 делится нацело на 16.
Приведите пример натурального числа, которое равно сумме: а) трёх своих раз­
личных делителей; б) ста своих различных делителей. В задаче не требуется,
чтобы число равнялось сумме всех своих делителей.
На столе стоят 16 стаканов с водой. Разрешается взять любые два стакана и
уравнять в них количество воды, перелив часть воды из одного стакана в дру­
гой. Докажите, что с помощью таких операций можно добиться того, чтобы во
всех стаканах было поровну воды.
Докажите, что при каждом натуральном п, начиная с 3, существует выпуклый
л-угольник, имеющий ровно три острых угла.
Сколькими способами можно выбрать трёх дежурных из группы в 20 человек?
Сколько различных звукосочетаний можно взять на десяти выбранных клавиш
рояля, если каждое звукосочетание может содержать от трёх до десяти звуков?
реш ите неравенство:
а) х 2 - 8х < 0;
б) 5*2 + х - 4 > 0;

56

в) 4х2 + 12* + 9 > 0;

д) - З * 2 + * - 1 < 0;

г) - х 2 + 10* - 2 5 > 0;

е) х 2 + 2х + 4 < 0.

Глава 1 , §2, п .1 .2 .2

Ш

у _

Решите двойное неравенство -2 < х + 2 ^ О-

(ЩРешите системы неравенств:
Гл8 + 4д с 0;

ш

и

1

Г|* - 4| < 7;
6 \х г + х > 3 0 ;

Гх2 - 4х > 5;
В) [ \х* - 7х + 10| < 10.

Докажите неравенство: (d - 7)2 > (d - 8)(d - 6).
Расстояние между городами А и В равно 490 км. Из города А в город В со скоро­
стью 55 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из
города В выехал со скоростью 90 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии
от города А автомобили встретятся?
1711 Докажите, что при любом натуральном п число п3 - п делится нацело на 6.
Плоскость поделена на области несколькими прямыми. Докажите, что эти обла­
сти можно раскрасить в два цвета так, чтобы любые две соседние области были
раскрашены в различные цвета. Соседними считаются области, имеющие общий
участок границы.
а) Из квадрата клетчатой бумаги размером 4x4 вырезали одну клетку. Докажите,
что полученную фигуру можно разрезать на «уголки» из трёх клеток.
б) Из квадрата клетчатой бумаги размером 512x512 вырезали одну клетку. До­
кажите, что полученную фигуру можно разрезать на «уголки» из трёх клеток.
Сколькими способами можно выбрать четырёх дежурных из группы в 30 че­
ловек?
Решите неравенство:
а) х 2 - 1 8 * + 72 < 0;

в) - * 2 + 2 6 * - 169 ^ 0;

б) 2 * 2 + * -I- 4 < 0;

г) 6 * 2 - 5 * + 4 > 0.
* ^- 4 . .
Решите двойное неравенство 0 < ^ ^ < 4.
Решите системы неравенств:
[ж2 -14л: < 5 1 ;
а) {ж 2 - 21 л: + 54 < 0;

ГМ >8;
, [ л^ + 4л:< 4 5 .

Докажите неравенство: (р - 13)2 > (р - 10)(р - 16).
Расстояние между городами А и В равно 750 км. Из города А в город В со скоро­
стью 50 км/ч выехал первый автомобиль, а через три часа после этого навстречу
ему из города В выехал со скоростью 70 км/ч второй автомобиль. На каком рас­
стоянии от города В автомобили встретятся?
У Пети в копилке 1000 монет достоинством в 1, 2 и 5 рублей на общую
сумму 2000 рублей, причём монет каждого достоинства не менее 10. До­
кажите, что количество однорублёвых монет — составное число.
57

З адачи для сам окон тр ол я

sm

а) Сколько четырехзначных кодов можно составить из цифр 7, 8, 9 и буквы Ф,
если цифры и буква не повторяются?
б) Сколько семизначных кодов можно составить из цифр 7, 8, 9 и буквы Ф, если
цифры 7 и 9 встречаются в коде 1 раз, цифра 8 повторяется два раза, буква Ф три раза?
Сколько различных «слов» можно написать, переставляя буквы в слове:
а) «ФУНКЦИЯ»; б) «ПРОПОРЦИЯ»; в) «ДИСКРИМИНАНТ» («словом» считать
даже бессмысленный набор букв)?

ш

@

Для организации конкурса «Алло, мы ищем таланты!» на ученический совет
школы от каждого класса приглашена инициативная группа из 4 человек по
направлениям: музыка, поэзия, песня, танец. В 9 «Б» классе учится 25 человек.
Сколькими способами можно сформировать группу-делегацию на совет школы?

и

01
0

Задачи для самоконтроля к главе 1

В 9 «А» классе 10 учащихся успешно занимаются физикой. Сколькими спосо­
бами можно выбрать из них троих для участия в олимпиаде по физике?
Для проведения военно-спортивного праздника, посвящённого Дню Победы, от
каждого класса выдвигается 7 участников. Сколькими способами можно соста­
вить такую группу от класса, в котором учится 26 человек?

| Сколько различных четырехзначных чисел

01

01

0)
0|

можно составить из цифр 0, 2, 4, 6,

8 (цифры в записи числа не повторяются)?

Для праздничной лотереи выпустили 2400 билетов, из которых 560 выигрыш­
ных. Какова вероятность того, что купленный билет окажется выигрышным?
В партии из 20 000 телефонов 100 оказались бракованными. Какова вероятность
приобрести исправный телефон из этой партии?
Ученика попросили назвать трёхзначное число. Какова вероятность того, что он
назовёт число, оканчивающееся на 0?
Мама испекла 15 пирожков, на два из них мясной начинки не хватило, и мама
положила в них варенье. Папа наугад взял 6 пирожков. Какова вероятность того,
что все взятые им пирожки с мясом?
В круге радиусом 6 см размещён прямоугольник 3 на 4 см. Какова вероятность
того, что точка, случайным образом поставленная в круг, окажется внутри пря­
моугольника? Ответ округлите до сотых.
Решите систему уравнений:
x? + by = ( x - 2 f - 20;
2х + 3у = 7;
б){
а)
Зх + Ъу = 2;
4х + у = -8;
Решите систему неравенств:
а)

(х - ЗУ < (х + б)2;
5х + 12 > 4 * - 9;

Решите неравенство 3 < 4 -

58

Г(3 - *Хл/5 - х) > 0;
1 0,5 л: < б;

I* - 2| - 2у = 8;
6х - у = 3.

в)

х2 + 16 < (х - б)2;

З адачи для са м о ко н тр о л я
Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств

т
[Т971

2х - Зу - 6 < 0;
- 2 х + у + 6 > 0.
Расположите числа 2л/10; 6,5; л/41 в порядке убывания.
Упростите выражение:

, VT/8 • Vm
а)
б) -л/32(л/2 - V8);
в) (л/7 -

Ц9§|

л/ТТ)2;

г) (л/5 - 4)(4 + л/5);
д) л/69 - 16л'5 - (л/5 - 1)(л/5 + 1);
е) ^ “ 2л/18 - 2л/2*

Вынесите множитель из-под знака корня ^ 2 х 2 - 36л: + 162, если х < 9.
Решите уравнение:
а) (л: - 5)2 = 100;

в) л:2 - 12 л: + 36 = 0;

д) х 2 + 30л; = 99;

б) 7л:2 - Зл: = 0;

г) л;2 - л: + 2 = 0;

е) ж2 + 2-Ш ■х + 26 = 0.

|200|

Решите уравнение:

ЁЗ

а) 4х' + З х 2 - 1 = 0;
б) |ж2 - 17| = 8.
Если возможно, разложите квадратный трёхчлен на множители:
а) 2 х 2 - 9х - 5;

[Ж]!

Пусть

б) 5*2 + 2х + 1.

ж2 - корни уравнения ж2 + л/Зх - 1 = 0. Найдите значение выражения

-L + J ,

|203|
а

X? x f
При каких значениях параметра т уравнение (т — 2)х2 + (4т - 2)х + 3т = 0
имеет ровно одно решение?
Квадратичная функция задана формулой у — х 2 - 4х - 5. Напишите уравнение
прямой, относительно которой симметричен график этой функции.

[2051Решите неравенство:
|206J

2081

а) 49*2 -1 6 > 0;

г) х 2 - 2х + 10 < 0;

ж) (* + 5)(ж —6) < 0;

б) 5*2 + 8х < 0;

д) - 9 х 2 + 30* - 25 >0;

з) ж(8 - ж)(9 + х ) > 0 ;

в) ж2 - 19* + 18 > 0;
Решите неравенство:

е) -8 * 2 - 4х - 1 < 0;

и) ж2(* - 7)3(1 - *) < 0.

б) (* - 7)2(2 - *)
а) 0;
в) ■
'
(* + I)5
U’
4‘
х ‘ - 4*
*(* - 1)
Найдите значения *, при которых выражение имеет смысл:
1
З*2 + 7* - 4
а) л/4 - * - Зж2;
б)
в) Я
+ 5* + 4
л/3 + 5* + 2*2’
Решите систему неравенств:
7ж2
16*2 - 9
ГЗ*2 - 14* + 8 < 0;
> 0;
14 + 2* < 0;
* + 2
б)
в)
а)
5* + 2 > 2* + 5;
10* + ж2 < 0.
4*3 + 7* + 3 ^ 0;

I

59

З а д а чи дл я сам окон тр ол я

[209) Постройте график функции:
а) у = ~(х - 2)2 + 4;

б) у = х 2 - 2х - 3.

ш

Постройте график функции у ■

ш

Решите уравнение:

х2 - 4х - 2, если -1 < х < 4;
, если -3 < х < -1.
х

г)*2+3*- P-+L-2-

X|

1

to

*

1

в) б(* - f ) 2 + 8 ■ ( . - § ) - 2 - 0;
а) :х + 4 4 1 7 •
х — 3 х X - 3’
х +1
1
б) х + 2
ш
Упростите выражение
I а
а + 1 \
16 а2 + 2а - 8 Г а2 - 6а + 8'
[213) Докажите тождество
\ . / 2Ъ
1 \ . с + 2Ь _ I 2Ъ_________4Ь2
\2& + с 4Ь2 + 4Ьс + с2/ ’ \4Ь2 - с2 с - 2bl 2Ьс - 4Ь2

[2Й ) Из города в посёлок, находящийся на расстоянии 27 км от города, отправился

ш

щц

пешеход со скоростью 5 км/ч. Через 36 минут после этого навстречу ему из по­
сёлка в город вышел другой пешеход со скоростью 3 км/ч. Найдите расстояние
от посёлка до места их встречи.
Расстояние между двумя пристанями равно 70 км. В 7 часов утра теплоход отча­
лил от пристани вниз по течению реки. После четырёхчасовой стоянки у второй
пристани теплоход отправился в обратный рейс и прибыл к первой пристани
в 23 ч в тот же день. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость
течения реки 2 км/ч.
Автомобиль был задержан в пути на 0,2 ч, а затем на расстоянии в 60 км на­
верстал это время, увеличив скорость на 15 км/ч. Найдите начальную скорость
автомобиля.
Докажите неравенство:
а) а3 + Ь3 > а2Ъ -I- аб2, если a + b > 0;
б)

25л:



> Ю, если х и у имеют одинаковые знаки.
f 2 -J- # п — п 2

ш

4

Найдите значение выражения -=— -р-— ^ при — = 4.
t2- tp + р 2 * р
Докажите тождество:
а) 1 + 3 + 5 + ... + (2 п — 1) = /I2;
б) -12- + —22— +

+ _______ д!______ __ п(гс + 1)

; 1 • 3 3 -5
(2л - 1)(2п + 1) 2(2л + I) Докажите, что при любом натуральном л:
а) число л3 + (л + I)3 + (л + 2)3 делится нацело на 9;
б) число 4" + 15л - 1 делится нацело на 9.
Кусок бумаги разрешается рвать на 4 или 6 кусков. Докажите, что по этим пра­
вилам его можно разорвать на любое число кусков, начиная с 9.
60

Глава 2

Развитие понятия функции
§ 1. Свойства функции
2.1.1. Множества точек на плоскости.
Графики уравнений и неравенств

О мир, пойми! Певцом - во сне - открыты
Закон звезды и формула цветка.
М. И. Цветаева (1892-1941),
русская поэтесса

В восьмом классе мы познакомились с линейными уравнениями и неравенствами
с двумя переменными и их системами. Все решения этих уравнений и неравенств,
как мы знаем, можно изобразить точками на координатной плоскости. В этом пункте
мы расширим свои знания о геометрической интерпретации уравнений и неравенств,
познакомившись с примерами графиков нелинейных уравнений и неравенств с двумя
переменными.
Как мы знаем, линейное уравнение с двумя переменными имеет бесконечное мно­
жество решений, которое задаёт прямую на координатной плоскости. Например, урав­
нение у = х задаёт прямую линию, объединяющую биссектрисы I и III координатных
углов (рис.1).
В общем случае уравнение с двумя переменными имеет бесконечное множество пар
решений (х ; у), которые как точки координатной плоскости, заполняют некоторую ли­
нию на плоскости. Например, уравнение у = х2 задаёт параболу (рис. 2). Из курса гео­
метрии нам известно, что уравнение х 2+ у2= 1 задаёт окружность радиуса 1 с центром
в начале координат (рис. 3) и т.д.

Отметим, что уравнение с двумя переменными может задавать и конечное множе­
ство точек на плоскости. Например, уравнение х 2+ у2 —0 задаёт единственную точку
- начало координат. Множество решений уравнения х 2+ у2= - 1 пусто.
61

Глава 2, §1, п .2 .1 .1 ________________________________________________
П ри м ер 1.
И зобразить на плоскости м нож ество точ ек, коорди н аты
(* - 2)2+ (у + 1)2
которы х удовлетворяю т уравнению (х - 2)2 + (у + I ) 2 = 9.
У‘
И з курса геометрии нам известно, что уравн ен и е вида

(х - а )2 + (у - Ъ)2 = R 2 задаёт окруж н ость с центром в точке
(а; Ь) и радиусом | R |. Зн ач и т, уравнению (л: - 2)2 + {у + 1 )2= З2
соответствую т те и только те точ ки п лоскости , которы е
ш т
п р и н ад л еж ат окруж н ости с центром в точке (2; - 1 ) и рад и ­
усом 3 (р и с.4).
У равнение с двум я перем енны м и в самом общ ем виде
мож но зап и сать так : Р ( х , у) = 0. М ож ем ввести п он яти е гр а ­
Р и с. 4
ф и к а дл я так и х уравнений.
О пределение 1. М ножество точек плоскости, коорди н аты (х; у) которы х удовлетво­
ряю т уравнению Р ( х , у) = 0, н азы вается г р а ф и к о м у р а в н е н и я Р (х, у) = 0.
П рим ер 2.
И зобразить граф и ки уравнений:
а) IУ I = I х |; б) | у | - ж2; в) х 2+ у 2= х; г)* ж + 1х | = у + \ у |.
Решение.
а) Т ак к а к модули чисел равны тогда и только тогда,
когда эти чи сла равны или проти воп олож н ы , исходное
уравнение равносильно совокупности:

i* h

*i

И скомое м нож ество я в л я ется объединением двух п р я ­
м ы х у = х и у = - х (рис. 5).
По-другому данное уравнение м ож но реш ить так: р а ­
венство м одулей чисел экви вален тн о равенству их к в ад р а­
тов, поэтому у 2 = х 2, отку да (у - х)(у + х ) = 0.
б) Т ак к а к х г > 0, р аск р ы ва я м одуль по определению ,
получим
ГУ = ^ ;


\y\-x?

\

V
Л

ч

= - Я 2.

И ском ое м нож ество явл я ется объединением двух п ар а­
бол у = х 2 и у = - х 2 (рис. 6).
в) В ы делением полного квад р ата в квадратн ом тр ёх ч л е­
не х 2 - х приведём исходное уравнение к виду уравн ен и я
окруж ности:
х г- х + у 2 = 0 «

1

7

/

7
г

ГУ

1

\
\
3

,

1

Г

Р и с. 6

( * “ 2 У + У2 = \ -

П олученное уравнение задаёт окруж н ость с центром в точке
изображ ённую н а ри сун ке 7.

0j и радиусом

☆* *
г) Раскроем модуль, рассмотрев все возможные комбинации знаков выражений, стоящих
) под модулем.
1. Если х > 0, у > 0, то уравнение х + \х\= у + \у\ примет вид 2х = 2у « х = у . Графиком данного
) уравнения является часть прямой у = х. Для рассматриваемого нами случая (х > 0, у > 0) выбе) рем часть этой прямой, заключённую в I четверти. Построим биссектрису I координатного угла.

62

Глава 2, §1, п .2 .1 .1

2. Аналогично, если х < 0, у ^ 0, то уравнение примет вид у = О, т.е. во II четверти получим
отрицательный луч оси х.
3. Если х < О, I/ < 0, то уравнение примет вид 0 = 0, т.е. все точки III четверти удовлетворяют
уравнению.
4. Наконец, если д; > 0, у < 0, то уравнение х + |х| = у + |у| примет вид 2х = 0 » х = 0. Строим
в IV четверти соответствующий отрицательный луч оси у.
Искомым графиком является третий координатный угол, включая отрицательные части
осей, и биссектриса I координатного угла (рис. 8).

Как мы знаем, линейное неравенство с двумя переменными имеет бесконечное
множество решений, которое задает полуплоскость. Например, неравенство у > х зада­
ёт полуплоскость, лежащую выше прямой у = х, а неравенство у < х - полуплоскость,
лежащую ниже прямой у = х, включая и саму прямую.
В общем случае одно неравенство с двумя переменными имеет бесконечное множе­
ство пар решений (х, у), которые, как правило, задают некоторую фигуру на плоскости
(с границей или без границы). Например, неравенство х 2+ у2< 1 задаёт внутренность
круга радиуса 1 с центром в начале координат, неравенство х2+ у2 < 1 - множество
точек этого круга вместе с границей и т.д. Неравенство с двумя переменными может
задавать и конечные множества точек на плоскости. Например, множество решений
неравенства х2+ у2 < 0 состоит из единственной точки - начала координат. Множество
решений неравенства х 2+ у2 0; б) х 2+ у2 < х - у ; в) у >х + |х|.
Решение.
а) Произведение (х + у){х - у + 1) положительно, если оба множителя отрицатель­
ны или оба положительны. Значит, решение задачи сводится к изображению множе­
ства решений двух систем двух линейных неравенств с двумя переменными, которые
мы научились решать в 8 классе.
63

Глава 2, §1, п .2 .1 .1

Искомое множество точек - пара вертикальных углов, образованных прямыми
х + у = 0 и у = х + 1 , з а исключением самих прямых.
Для выбора одной из двух образовавшихся пар вертикальных углов нужно взять
пробную точку, не лежащую ни на одной из этих двух прямых, например точку (1; 0).
Так как (1 + 0)( 1 - 0 + 1) > 0, искомая пара углов та, которая содержит точку (1; 0).
Прямые х + у = 0 и у = х + 1не принадлежат искомому множеству (рис. 9).
б) Преобразуем неравенство к виду х2 - х + у2+ у < 0, то есть (л + (р + | ) < А.
Точка с координатами (д:; у) принадлежит искомому множеству тогда и только тогда,
когда расстояние от нее до точки с координатами ( М ) не превосходит
Данное
неравенство задает круг радиуса

л

(1- 1)

с центром в точке
вместе с точками границы (рис. 10).
в) Раскроем модуль. При х > 0 получим у > 2х; при х < 0 получим у > 0. Искомое
множество - внутренность тупого угла вместе с точками границы (рис. 11).

Множества решений различных систем уравнений и неравенств и их графические
изображения рассматривались в курсе 8 класса. Графическое решение таких систем
в общем случае находится аналогично, то есть путём нахождения пересечения мно­
жеств решений, полученных для каждого из соотношений системы.
* * *
Пример 4*.
х? —
и2
Построить график уравнения
у = 0.
Решение.
Данное уравнение равносильно системе, состоящей из одного
уравнения и одного неравенства:

Г^ = ^ ;
1У2 < !•

Квадраты чисел равны в том и только в том случае, если эти
числа равны или противоположны:
\У = х;
у 2= х2
[у = -х.
Искомому множеству принадлежат только те точки из пары
прямых у = ±х, ординаты которых удовлетворяют условию
| у | < 1 (рис. 12). Четыре концевых точки этого «креста* не при­
надлежат искомому множеству.
64

Глава 2, § 1 , п . 2 . 1 .1

Постройте график функции:
- * + 4;
0)у = х - Ь.
Как они называются?
Изобразите множество точек координатной плоскости, координаты которых удов­
летворяют уравнению:
а)х + у = 4;

б ) * - 1 / - 5 = 0;

г) Ox + Si/ = -6.

в) 2* + Ог/= 3;

Изобразите множество точек координатной плоскости, координаты которых удов­
летворяют уравнению у = 4х - 1 + \х\.
Изобразите множество точек координатной плоскости, координаты которых удов­
летворяют уравнению х 2+ у2 = 1. Для этого воспользуйтесь знаниями из курса гео­
метрии о том, что уравнение вида { х - а )2+ (у - b)2 = R2задаёт на плоскости окруж­
ность с центром в точке (а; b) и радиусом | R |.
а) Обобщите имеющиеся у вас знания о построении графиков уравнений, опираясь
на предыдущие задания.
б) Постройте график уравнения х 2+ у = 0.
в) Каким образом вы можете расширить известное вам понятие графика линей­
ного уравнения с двумя переменными? Сопоставьте свой вариант с определением
на с. 63.
Изобразите на плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют
уравнению:
а) х 2 + у2= 16;

б) (* - I)2+ (у + 2)2= 16;

в) (х - I)2 + (у + 2)2= 0;

г) (х - I)2 + (у + 2)2= -16.

Изобразите график уравнения:
a) |i/| = х;

б) у4= х 2;

в) х 2+ у2= 2х - 2у.

Изобразите график уравнения х - \ х \ = у -\у\.
Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства:
а) 4* - 2у + 6 > 0 ;

б) -2 х + у - 2 >0 ;

в)2* + 3 > 0 .

Предположите, где на координатной плоскости будет располагаться множество ре­
шений неравенства х2+ у2 < 1. Проверьте свое предположение по учебнику. Каким
образом вы можете расширить известный вам алгоритм графического решения
линейного неравенства с двумя переменными?
Изобразите на плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют
неравенству:
а) (* + у)(х - у ) < 0;

б)(х + у + 1)(х - у - 2) > 0.

Изобразите на плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют
неравенству:
а) х 2+ у2> 1;

б) х2+ у2> 2х - 2у;

в*) (\х\ - З)2+ (\у\ - 4)2 < 4.

65

Глава 2, § 1 , п .2 .1 .1

|234|
о

Изобразите на плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют
неравенству х + у < |аг|.
2 3 5| Являются ли данные множества эквивалентными друг другу:
а) Л = {0,2; 3,6; 8,75; 1,125} и В = { | ;

з|;8 |;

l|},

б)A = { l ;2 ;3 ;4 ;5 ;...} „ B = { | ; | ; I ; i ; i ; . . . }
в) множество целых чисел и множество целых чисел, кратных девяти?

[23б|

Проиллюстрируйте штриховкой на числовой прямой:

а) (3; 8] \ (-1; 5);
б) А, если А = (-6; 6].
Найдите область определения алгебраической дроби:
п2 - 25
3___
а)' 77х2 - 2х'
’ п2 - 6п + 8'
2381 Найдите область определения алгебраической дроби:
, а
R\
т - 5
Я)^ 4 ;
_4 - |3 т - 5|‘
|239| Определите наименьшее и наибольшее значение функции:

2371

|240|

а) у = х2 - 4х - 1;
б) у = -2х2+ Ъх + 3;
Вычислите координаты точки пересечения прямых:

ш

а.) х + у + 1 = 0 и 5х - Зу = 2;
б)5ж + 3р = -11и7д: + 2р = 0.
Какая из предлолсенных систем уравнений не имеет решений?
[2х + у = 5;
1) \ х - 2 у = -1;

|242|

n f7 x -y = -U;
2 )U + 3i/ = 9;

в) у = -64л;2 + 1 6 * - 1.

5х = 2(2 —у);
3) ^ + У. = 4[2 5


Г
8
4>1
1у = -3*-1.
\

б) (х - З)2 + (у + 4)2 = 25;
г) (х - З)2+ (у + 4)2= -25.

щ

в) ( * - З)2 + (I/ + 4)2= 0;
Изобразите график уравнения:

Щ

а) | у | = -х;
б) у3 = х6;
в) 4л:2+ 4у2= 4х - 4у + 7.
Изобразите график уравнения х2- х\ х \ = у2 - у\ у |.

66

=

;

Изобразите на плоскости множество точек, координаты которых удовлетво­
ряют уравнению:

а) х2 + у2= 25;

2471

- У

1-S-5;
Найдите 7х0 - 6у0, если (х0; у0) - решение системы уравнений л: и
3+1=-5.

2431

2461

х

Изобразите на плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют
неравенству:
а) (Зх + 4у - 7)(4х - З у - 1 ) < 0 ;
б) х2+ у 2> 6 х - 8у.
Найдите область определения алгебраической дроби:
6 + 3d
Ь- 7
6)
в)
а):
9’
[Г Р г
ТТТЩ’

9 - t2
г) t2 + Sn + 15'

_________________________________________________ _ Глава 2, §1, п .2 .1 .2

[248]

Определите наименьшее и наибольшее значение функции:

249I

а) у = х 2 + Зх + 9;
б) у = - х г - Зх + 3;
Решите систему уравнений:
а)

10;/ - л: = -21;

[Зх + 5у = -7;

б)

в) у = 36*2 + 60ж + 25.

Iх-I

* — *

-Х + Ь =5 -

|250| Найдите 5(г/ - д; ), если (х ; у ) - решение системы уравнений j
1

+

+^х ^

28,

[ 2(у - д;) + д: + Зу = 2.

|2 5 1 j Изобразите на плоскости множество точек, координаты которых удовлетво­
ряют неравенству \2х + у\ + \2х - у\ < 10, и найдите площадь получившейся
фигуры.

2.1.2. Общее понятие функции. Область определения
и множество значений функции

Знать, чтобы предвидеть.
Огюст Конт (1798-1857),
французский философ

Мы работаем с понятием функции, начиная с шестого класса. Подведём некоторые
итоги нашей многолетней работы, систематизируя имеющиеся у нас знания.
Сначала уточним известное нам определение функции. На протяжении изучения
понятия функции мы делали это не раз - чем большим становится запас наших зна­
ний, тем более точное определение мы можем рассмотреть.
Определение 1. Соответствие f между множествами X и У называется функцией,
если каждому элементу х Е Хсоответствует единственный элемент у € У. Множество X
называется областью определения функции (обозначается D(f)). Множество элемен­
тов у € Y, каждый из которых соответствует хотя бы одному х € X , называется множе­
ством значений функции (обозначается E(f)).
Причём, как мы знаем, множества X и У необязательно числовые.

Рис. 1
67

Глава 2, §1, п .2 .1 .2 ______________________________________________________
Н а р и сун ке 1 изображ ена у ж е зн ак о м ая нам д и агр ам м а Э й л е р а -В е н н а , иллюстри­
рую щ ая определение ф ункц и и . О тметим, что E ( f ) - п одм нож ество У и не обязано со­
вп ад ать с У (в преды дущ ей, более простой, версии опр еделения м ы эти х тонкостей не
рассм атри вали д л я его упрощ ения).
Т от ф акт, что элем енту х со о тветствует элем ент г/, м ы зап и сы ваем с помощью ра­
вен ства у = f( x ) . Н а р и сун ке у х= / (я ,) , у 2= f ( x 2) = f ( x 3).
П рим еняя и звестн ы е нам кван то р ы V (« д л я л ю бого») и 3 (« с у щ е ст в у е т » ), определе­
ние ф ункц ии мож но зап и сать гораздо ко м п актн ее:
у = f( x ) - ф ункц и я с областью определения X и м н о ж еством зн ач ен и й из У,

0
V х е X - > 3\ у е Y : у = f (х )
Отметим, что в этой записи сим вол 3! о зн ач ает « су щ еств у ет ед и н ствен н ы й ».
М нож ество значений ф ункц ии в этой си м вол и ке мож но за д ат ь т а к :

E{f)-{yeY:3xeX,y-f(x)}.
В дальнейш ем мы будем рассм атр и вать то л ько ч и с л о в ы е ф у н кц и и , то есть такие,
что X с й , У е й .
Определение 2. Г р а ф и к о м ч и с л о в о й ф у н к ц и и у = f( x ) н а зы в а е т ся граф и к соответ­
ствую щ его ур авн ен и я у = f(x ) .
Следует поним ать, что граф и к у р авн ен и я и гр аф и к ф у н кц и и - это не одно и то же.
Из граф иков ур авн ен и й , и зображ ённы х нами в п реды дущ ем п у н к те , граф икам и функ­
ций я вл я ю тся только у = х и у = х 2; во в с е х о ст а л ь н ы х с л у ч а я х во зн и кш ее соответствие
меж ду м нож ествам и Х с й и У с й н е я в л я е т с я ф у н кц и ей , т а к к а к значен и ям х е X
может соо тветствовать более одного зн а ч ен и я у е У .
* * *
Отметим, что не для каждой функции можно начертить график. Рассмотрим, например,
так называемую функцию Дирихле:
1, если х е Q;

{

О, если х е R\Q.

Эта функция всем рациональным числам ставит в соответствие единицу, а всем иррацио­
нальным - нуль. График для функции Дирихле существует (как и для всякой числовой функ­
ции), его можно представить - это две «очень дырявые» параллельные прямые у = 1 и у = 0 (на
первой прямой графика выколоты все точки с иррациональными абсциссами, а на второй - все
точки с рациональными абсциссами). Но начертить его невозможно.
Т еп ерь, уточн и в свои п редставл ен и я об области определения и области значений,
вспом ним, к а к н аход и ть и х д ля заданной ф ункц и и . Р ассм отр и м н а примере, к а к най­
ти область определения ф ункц ии, и сход я из её форм улы .
Если я вн о не оговорено иное, то областью определения ф у н кц и и , заданной форму­
лой, считаю т область доп усти м ы х значений перем енной.
П ример 1.
У к а з а т ь область определения ф ункц ии: а) у = |х |; б) у =

в) у = V l - х 2.

Р еш е н и е .
Ч тобы найти область определения ф ункц и и , ука ж ем зн а ч ен и я , которы е может
п риним ать аргум ен т.

68

Глава 2, §1, п .2 .1 .2

а) Аргумент х может принимать любые значения, значит, D(y) = ( - 00; + 00), иначе
это можно записать так: D(y) = R.
б) Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому х * 0.
Тогда D(y) = ( - 00; 0) U (0; +оо) или D(y) = Л\{0}.
в) Определение арифметического квадратного корня ограничивает область опреде­
ления этой функции: подкоренное выражение может принимать только неотрицатель­
ные значения, значит, нам нужно решить неравенство:
1 - х2> 0 « (1 - лг)(1 + х) > 0 х е [-1 ; 1].
Значит, D{y) =[-1; 1].
Ответ: a) D(y) = (-со; +оо); б) D(y) = (- 00; 0) U (0; + 00); в) D{y) =[—1; 1].
В следующем примере мы найдём область определения функции, заданной графи­
ком.
Пример 2.
На рисунке 2 изображена парабола с двумя выколотыми
У
точками. Указать область определения этой функции по ее
4
L
графику.
Решение.
L
Найдём значения х , при которых функция не определе­
- н
на, для этого определим по графику абсциссы выколотых
___ h-------точек. Абсцисса нижней точки равна -1 , абсцисса верхней
н—
точки равна 2.
*2Значит, D(y) = ( - 00; -1 ) U (-1; 2) U (2; +).
Найти множество значений функции - обычно более
сложная задача.
Рис. 2
Пример 3.
Найти множество значений функции у = 2\х\ ~ \х ~ 1|.
Решение.
Область допустимых значений переменной х, а значит и область определения дан­
ной функции - вся числовая ось. Множество значений функции легче определить не с
помощью формулы, а исходя из графика.
Разобьём числовую ось на промежутки, где знаки выражений под знаком модуля
определены однозначно: (- 1 имеем: у = 2х - (х -1) = х + 1;
при 0 < х < 1 имеем: у = 2х + (х -1 ) = Зх - 1;
при х < 0 имеем: у = - 2 х + (х - 1) = - х - 1.
Построим график полученной кусочно-линейной функции
х + 1, если х>1;
у = - Sx - 1, если 0 < х < 1;
- х - 1 9если х < 0.
График её состоит из трёх «кусков» прямых линий двух лучей и одного отрезка (рис. 3). В точке х = 1 функция
принимает значение у = 2, в точке х = 0 функция принимает
значение у = - 1. Из графика видно, что множеством значе­
ний функций является луч [-1; +оо).
Ответ: Е (у) = [-1; +оо).

ь>А
ЕЁ

69

Г л ав а 2, § 1 , п .2 .1 .2

О [252]

Постройте график уравнения:

а)у = х + 2;

б) у = х 2 + 2;

в) у2 = - х 2+ 25;

г) |у| = х + 2.

Какие из этих графиков являются графиками функций? Что такое график функ­
ции? Попробуйте дать определение этому понятию. Уточните свои знания о функ­
ции и её графике с помощью учебника.

253||

Найдите область определения функции у = л/Зх2 + 4х + 1 '

|254||

Найдите область определения функции у = V11 - 2|х| + V15 - 2х - х2

12551 Укажите область определения функции и постройте её график:
х2 —х —20.
т)у = - 2х2
в) у = 2 • 5хг - 2.x
х-5

" /и “ 5х3 - 2х2’
‘ ,я
х-2 '
[25б] Укажите целые значения переменных, входящих в область определения функции
х2 - 4.

а) У = х + 2 ’

б) у

У = л/9 ~ * 2 + л / Й -

|2 5 7 l Найдите множество значений функции г/ = \х + 1| + \х - 1|.

О 2581

Какие из данных множеств конечные, а какие бесконечные:

а) множество учеников вашей школы;
б) множество целых чисел, являющихся решениями неравенства | х \ < 1000;
в) множество целых чисел, являющихся решениями неравенства \ х \ > 1000?

[259J

Линейная функция у = - | х + 7 задана на области определения [-7 ; 7]. Между ка­

[260|

|26l]

Изобразите множество всех точек (д:; у) координатной плоскости Оху, для которых
выполняется равенство:
х2 + и2 - 25
а) У - * 2+ 4 =0;
б)
'
'
х - 4
' х*• - 1
Постройте график уравнения у = 2х\х\ + х 2- 6х.

[262J

Решите двойное неравенство - 6 < 6 - щх < -1 .

кими множествами она задает соответствие?

2631 Решите систему неравенств:
а)

С

4х + 9 < 9х + 4;
7х < 51;

О 2641

б)

2х + 5 5х + 2 .
5
2 ’
а: + 2 зс + 5 .
5
2 ’

Найдите область определения функции у =

в)

ЗжХ-'/З - 2) > 0;
j (4 - ЗхХ^
10,4* < 4.

1+ х
л/2 + Зх - Ьх2
4

2651

Найдите область определения функции у = л/12 + * - х2 +

|266|

Укажите область определения функции и постройте её график:
,
х2 - х - 2.
_ ч ____2 * - 1
* 2 - 25
в) У = - 2 * 2
б)у х + 1

70

л/2|*| - 5
2*2 - х3

Глава 2, § 1 , п .2 .1 .3

Найдите множество значений функции у = 2\х\ - х + 2.
Изобразите множество всех точек (х; у) координатной плоскости Оху, для которых
выполняется равенство:
У + х2
16
JC-0.
= 0;
а) х + 2
б)
х + 3
!.*
Найдите множество значений функции у = х2 - 4х + 4
*2 + 5 •

|270|| На доске написаны ненулевые числа а, Ъ, с, а также числа а2-Ь ,Ь2- с , с2- а . Какое
наибольшее количество отрицательных чисел может быть записано на доске?

2.1.3. Основные свойства функции
Высшее назначение математики состоит в том, чтобы нахо­
дить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает.
Норберт Винер (1894-1964),
американский математик и философ,
основоположник кибернетики и
теории искусственного интеллекта
Знакомясь с той или иной функцией, мы выясняли, какими свойствами обладает
каждая из них. В этом пункте мы систематизируем имеющиеся у нас знания о свойст­
вах функций.
Рассмотрим график изменения температуры в течение суток.

По оси х отложены значения времени (в часах), а по оси у - значения температуры
(в градусах по Цельсию). Эта функция ставит в соответствие каждому значению време­
ни из промежутка [0; 24) значение температуры из промежутка [-3; 6].
График пересекает ось абсцисс в двух точках - температура дважды была равна
нулю, это происходило в 9 часов и в 21 час. С 0 до 9 часов температура была отрица­
тельной. После 9 и до 21 часа температура была выше нуля. После 21 часа и до 24 часов
температура опять стала отрицательной. С 0 до 14 часов температура повышалась - со
временем её значения увеличивались, а с 14 часов до 24 часов она понижалась - со вре­
менем её значения уменьшались. Самой низкой температура была в 0 часов и состави­
ла -3°. Максимальное значение температуры равно 6°, оно было достигнуто в 14 часов.

71

Глава 2, §1, п .2 .1 .3
Чтобы узнать информацию об изменении температуры, мы прочитали график.
Какие свойства функции мы при этом использовали? Мы определили область опреде­
ления и область значений функции, нули функции, промежутки знакопостоянства,
промежутки возрастания и убывания функции, а также наибольшее и наименьшее
значения функции.
1. Об области определения и области значений функции мы уже подробно гово­
рили в предыдущем пункте. Остановимся на остальных свойствах функции, обобщая
имеющиеся у нас знания.
2. Значения аргумента, при которых функция равна нулю, принято называть
нулям и функции.
Чтобы найти нули функции у = f(x), нужно решить уравнение f {х) = 0 .Чтобы уста­
новить нули функции по графику, нужно найти точку (или точки) пересечения графи­
ка с осью абсцисс и указать её (их) абсциссу.
Так, функция у = х3у график которой изображён на рисун­
f
ке 1, равна нулю при х = 0. При х < 0 график у = х 3 располага­
ется ниже оси абсцисс, значит, на промежутке (-оо; 0) значения
функции отрицательны. При х > 0 график у = х 3 располагается
выше оси х , значит, на промежутке (0; +оо) значения функции
положительны.
1
3. Промежутки, где функция сохраняет свой знак: «+» (по­
/
0
/
ложительна) или «-» (отрицательна), называют промежутками
(интервалами) знакопостоянства.
/
Так, функция у = х 2 (и вообще у = х2п при /1 = 1, 2,...) положи­
тельна при х е (-оо; 0) U (0; +оо).
А функции у = X, у = х 3 (и вообще у = х2п+1 при п = 0, 1, 2,...)
1
отрицательны при х е (-оо; 0), положительны при х е (0; +оо).
4. Ещё одним важным свойством функции, которое мы будем
Рис. 1
исследовать, является её возрастание или убывание.

//

Определение. Функция f (я) называется возрастающей на множестве X х 2, выполняется неравенство /(* ) > f(x2).
Функция f (х) называется убывающей на множестве X a R , если для любых точек х ,
х2е X таких, что х х> х 2, выполняется неравенство f(xx) < f(x2). Все такие функции на­
зываются монотонными на множестве X.
Как правило, в качестве множества X рассматривается неко­
торый промежуток. Например, функции у = х, у = х3 (и вообще
у = х2п+1 при п = 0, 1, 2,...) возрастают на всей числовой прямой,
у
то есть при х е (-оо; +оо) - на рис. 1 возрастание кубической па­
раболы показано стрелками. А функции у = х2, у = х4 (и вообще
у = х2п при н = 1, 2,...) убывают на луче (-°°; 0] и возрастают на
луче [0; +оо) - см. рис. 2.
Заметим, что функция У = ~ (рис. 3) убывает на каждом из
двух открытых лучей (-оо; 0) и (0; +°°), входящих в область опре­
деления, но не является убывающей на всей области определения
W ) = (-°°; 0) U (0; +оо), Так как, например, 1 > - 1 , а /(1) > /(-1 ).
Функция У = ~ 2 возрастает на открытом луче (-°°; 0) и убывает на
Рис. 2
открытом луче (0; +оо) - см. рис. 4. Функция у = ^[х возрастает на
всей области определения [0; +оо) - см. рис. 5.

72

Глава 2, §1, п .2 .1 .3

В простых случаях возрастание и убывание функции устанавливается доказатель­
ством неравенств. Например, возрастание функции у = 4х следует из того, что при
> х2 по свойству корня лГхг > 4 х 2. В более сложных случаях для нахождения проме­
жутков возрастания (убывания) применяются другие, пока недоступные нам методы.
Отметим, что не для всех функций можно выделить промежутки возрастания или
убывания. Так, например, функция у = 1 постоянна, и промежутков возрастания или
убывания у неё нет.
5. Помимо вышеуказанных свойств, для некоторых функций можно определить
их наибольшее или наименьшее значение.
Определив ординату верхней точки графика, мы получим наибольшее значение
функции, определив ординату нижней точки графика - наименьшее. Так, наименьшее
значение функции у = х 2равно 0, а наибольшего значения функции указать нельзя.
Итак, теперь мы можем привести план, которого нужно придерживаться при ис­
следовании функции.
План исследования функции
1. Указать область определения функции D(y).
2. Указать область значений функции Е(у).
3. Указать, на каких промежутках из области определения функция равна О,
положительна, отрицательна.
4. Указать, на каких промежутках из области определения функция возрастает
(убывает, постоянна).
Наибольшее и наименьшее значения функции мы учитываем при нахождении об­
ласти значений функции, поэтому в плане соответствующий пункт как отдельный мы
не выделили.
Следует отметить, что для некоторых сложных функций не все пункты этого плана
могут быть реализованы изученными нами методами.
Постройте график функции f(x) = (х - 2)2- 3. Выполните по графику следу­
ющие задания.
а) Выделите точки пересечения параболы с осью Ол;. Обведите ту часть графика,
где f(x) положительна, ручкой, а где f(x) отрицательна - простым карандашом.
б) Обведите ту часть графика, где f(x) возрастает, и отметьте её стрелкой Т. Обведи­
те ту часть графика, где f(x) убывает, и отметьте её стрелкой I.
в) Начертите пунктирной линией ось симметрии этой параболы.
73

Глава 2, §1, п .2 .1 .3
г) Отметьте самую нижнюю точку графика. Какое наименьшее значение прини­
мает функция?
Расскажите по графику о свойствах функции f(x) = (х - 2)2 - 3.
На рисунке изображён график изменения скорости автомобиля на протяжении его
движения из пункта А в пункт В.

Пользуясь графиком, ответьте на вопросы:
а) Когда скорость автомобиля была равна нулю?
б) Сколько времени добирался автомобилист из пункта А в пункт Б?
в) С какой максимальной скоростью двигался автомобиль?
г) В какие промежутки времени автомобиль двигался, а когда стоял?
д) В какие промежутки времени скорость автомобиля увеличивалась, уменьша­
лась, была постоянной?
Какие свойства функции вы использовали, чтобы ответить на эти вопросы?

|273| Обобщите имеющиеся у вас знания о свойствах функции, опираясь на предыдущие

ш
ш

задания. Сопоставьте результаты своей работы с текстом на с. 72-73.

Определите, на каких промежутках из области определения следующие функции
положительны:
&)у = 2 х + 1 6 - х 2;

б) г/ = л/л:2 - 5;

в) у = х

>

г ) у = х - 1 + 2\х\.

Какие из следующих утверждений верны?
а) Сумма двух убывающих функций - убывающая функция.
б) Разность двух возрастающих функций - убывающая функция.
в) * Произведение двух возрастающих функций - возрастающая функция.

(276) Определите, на каких промежутках из области определения следующие функции
возрастают:
а) у = 4х

О

2771

+

11

-

х 2;

б) у = 1 - yfx2;

в) у = 2х +1 + 3| х |.

Сколько различных «слов» можно написать, переставляя буквы в слове:

а) «НОРМА»; б) «ДИСПЕРСИЯ* (словом считать даже бессмысленный набор
букв)?
Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, б, 7, 9 так,
чтобы цифры в записи числа не повторялись? Сколько трёхзначных чисел можно
составить из этих же цифр, сколько двузначных?

74

Глава 2 , § 1 , п .2 .1 .3

щ

Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 0,1, 3, 5, 7, 9? Сколько двуз­
начных чисел можно составить из этих же цифр? (Цифры в записи числа не повто­
ряются. Число не может начинаться с нуля.)

[280J Сколькими способами можно разбить 18 человек, участ­
вующих в экскурсии по музею, на две группы по 9 чело­
век в каждой?

ш

Квадратичная функция у = ах2+ Ьх + с задана графиком,
изображённым на рисунке. Определите знаки коэффици­
ентов а, b и с.
Найдите область определения функции у :
. Постройте её график, упро(л/г2 - г)2
стив выражение ——- — —. Найдите значения т , при которых прямая у = т не име­
ет с графиком данной функции общих точек.
Постройте график функции у = ~ ^%2 + 2 х '

каких значениях о. прямая у = а

не имеет с построенным графиком ни одной общей точки?
fW-e-K
Решите систему уравнений, применяя графический метод:■1 н - у = 4.
Найдите наименьшее целое положительное решение системы неравенств
Г3* + 7 > -5;
[16 - 4х > 3.

[286J Определите, на каких промежутках из области определения функция отри­
цательна:
&)у = Ъх2+ 2 х -Ъ ;

б)у = - 3 -

V

*2-

ж;

в) у -

1)Z;

г)у = 2|ж - 1 \ - х - 2.

Определите, на каких промежутках из области определения функция убывает:
а) у = Зх2 + 5 х - 13;

б) у = л/(дс - З)2 - 5;

в)у = 3|х + 1 1 - 4х + 1.

а) Сколько различных «слов» можно написать, переставляя буквы в слове
«ПРИЗМА»; б) Сколько различных «слов» можно получить, выбирая любые четы­
ре буквы из слова «ПРИЗМА»?
Сколькими способами можно выбрать из 15 спортсменов
троих для участия в соревновании?
Квадратичная функция у = ах 2 + Ьх + с задана графиком,
изображённым на рисунке. Определите знаки коэффици­
ентов а, b и с.
J( y 2 —*Л2
Найдите область определения функции у = —- — L. Постройте её график, упрос­
тив выражение

Найдите значения т, при которых прямая у = т имеет с

графиком ровно две общие точки.

75

Глава 2, § 1 , п.2.1.4

Найдите наибольшее целое положительное решение системы неравенств
Г9* + 1 < 19;
[32 - 7х> -3.

2931 При каких значениях параметра а функция у = ах2+ 2х + 5а положительна
на всей области определения?

|294| Ненулевые числа х , у, z, t таковы, что

(* \т ^ +^ (г+*7^+± ) >0Докажите, что xyzt > 0.

2.1.4*. Ещё о свойствах функции

Человек должен верить, что непонятное можно понять:
иначе он не стал бы размышлять о нём.
Иоганн Гёте (1749-1832),
немецкий поэт, мыслитель

В предыдущем пункте мы систематизировали свои знания об основных свойствах
функции. Однако функции обладают и другими свойствами. В курсе 8 класса мы по­
знакомились с такими свойствами функций, как чётность и нечётность. В этом пун­
кте мы уточним свои представления об этих свойствах функции и познакомимся с
новыми.
Определение 1. Функция f(x), определённая на R , называется чётной, если для
всех х е R выполняется равенство f (-х) = f (я). Функция f{x), определённая на R, на­
зывается нечётной, если для всех х е R выполняется равенство f{~x) = - f(x).
Напомним, что функция f(x) может не являться ни чётной, ни нечётной.
Приведем примеры чётных функций: 1) у = 2х2, 2) у = x 2n (n = 1, 2, 3 ,...), 3) у = | х |,
4) у = 5 (постоянная функция). Приведём примеры нечётных функций: 1) у = х,
2) у = х3, 3) у = x 2n+1 (n = 1 , 2, 3 ,...). Функции у = х + 1 ; у = Зх2 - 1 не являются ни чёт­
ными, ни нечётными. Функция у = 0 одновременно и чётна и нечётна.
Как мы знаем, свойство чётности или нечётности функции отражается на её графи­
ке: график чётной функции симметричен относительно оси ординат, график нечёт­
ной функции симметричен относительно начала координат.
Пример 1.
Какой функцией (чётной, нечётной либо ни той, ни другой) является функция
f(x) = х 2+ х?
Решение.
Если бы f(x) была чётной функцией, то для всех х выполнялось бы равенство
f(~x) = f(x), а для нечётной функции для всех х выполнялось бы равенство /(-*)= ~f(x).
76

___________________________________________________ Глава 2, §1, п .2 .1 .4
Однако, например, при х0= 1 получаем f(x0) = 2, /(-л:0) = 0, то есть f(~xQ) Ф f(xQ) и
f(-x0) Ф~f(x0). Функция не является ни чётной, ни нечётной.
О т в е т : f(x) = х 2+ х не является ни чётной, ни нечётной.
Для доказательства того, что функция не является чётной, достаточно найти хотя
бы одну точку лс , в которой f{~xx) Фf(x j), а для доказательства того, что функция не яв­
ляется нечётной - найти хотя бы одну точку х2, в которой f(~x2) Ф~f(x2). В то же время
для установления, например, чётности функции, необходимо доказывать равенство
f(~x) = f(x) для всех х.
Понятия чётной и нечётной функции можно распространить на функции, опреде­
лённые не при всех х е R, но для этого область определения функции должна быть
симметричной относительно нуля.
Определение 2. Множество X cz R называется сим метричны м относи тельно
нуля, если для каждой точки х е X точка (-я) также принадлежит X .
Так, множества (- а ; а); (- °о; 0) U (0; + ° ° ) ; [-а ; а]; [-а ; 0) U (0; а]; [-2; -1] U [1;2];
(-3; -1) U {0} U (1; 3); (-4; -3 ] U [-1; 1] U [3; 4) будут симметричными относительно
нуля, а множества [0; 1]; (-1; 2]; [-1; 1); [-2; -1 ] U [1; 2) - симметричными относитель­
но нуля не будут.
Определение 3. Функция f(x), определённая на множестве X с R, называется ч ё т ­
ной, если множество X симметрично относительно нуля и для всех х е X выполняется
равенство f(-x ) = f(x). Функция f(x), определённая на множестве X с R, называется
нечётной, если множество X симметрично относительно нуля и для всех х е X выпол­
няется равенство f (-х) = - f (x).
Приведём примеры чётных и нечётных функций.
Нечётные функции

Чётные функции
U

y = ^irJn =

1) у - p m ( в - 1 . 2 , 8 . . - ) ,

1 ,2 ,3 ,- ) ,

D(y) =

( - ° ° ; 0) U (0; + ° °) ;

Щу) =

( - ° ° ; 0) U (0; +оо);

0(у) =

( - “ ; - ! ) и (-1 ; 1) U ( 1 ;+ ° ° ) .

Щу) =

(- О О ;

-1 )

и

(-1 ; 0)

и

(0; 1) и (1;

+ о о ).

Пример 2.
Исследовать на чётность-нечётность функцию:

a)» " r H +F b ;4 »“ F ^ - F + T tB)J,“ ,/?T*+VSrr*Решение:
a) D(f) = (-оо; -1 ) и (-1 ; 1) и (1; +оо) - симметрична относительно нуля. Имеем
1
1 . .
-/(*); функция нечётна.
,
x + V
- х - 1 -х + 1
б) D(f) = (-оо; -1 ) и (-1 ; 1) и (1; +оо) симметрична относительно нуля. Имеем
1 = f(x); функция чётна.
V x z D ( f ) :f ( - x ) = - 1
1 -------- 1

Vx е D (f): f(-x ) = -

-х- 1

-х + 1

х - 1 х+ 1

' х2 + х > 0;
Такие систе­
х>0.
мы мы учились решать в 8 классе. Так как квадратный трехчлен х2+ х с положительным
старшим коэффициентом имеет корни ж = —1; х2= 0, множеством решений первого нев) Для нахождения D(f) нужно решить систему неравенств

77

Глава 2, §1, п.2.1.4 ______ _ _ _ __________ ________ ___________________
равенства системы является (—° ° ; -1 ] U [0; + ° ° ) . Аналогично, множеством решений вто­
рого неравенства системы является ( - ° ° ; 0] U [1; + о о ). в пересечении этих множеств по­
лучим: D(f) = ( - ° о ; -1 ] и {0} U [1; + ° ° ) . Это множество симметрично относительно нуля.
Имеем V * е D (f): f(-x ) = V(-x)2 - * + V(-.t)2 + x = V *2 + x + V *2 - x = f(x); функция
чётна.
Теперь познакомимся с ещё одним свойством функций. Многие функции, описы­
вающие реальные процессы окружающего нас мира, являются периодическими. На­
пример, предположим, что мы катаемся на колесе обозрения, которое вращается с по­
стоянной скоростью, делая один оборот за время Т = 5 минут. Рассмотрим функцию,
задающую высоту кабинки в зависимости от времени катания на колесе. Тогда, если
мы засечём какой-то момент времени, то через каждые 5 минут, начиная от него, мы
будем находиться в том же положении, то есть на той же высоте. Иначе говоря, значе­
ния указанной функции совпадают, когда аргумент (время катания) увеличивается на
5 минут. Нарисуем график этой функции, считая, что колесо вращалось и будет вра­
щаться бесконечно долго, а мы начали отсчёт времени с момента посадки в кабинку.
Получим график1, изображённый на рис. 1.

Интересно, что график этой функции останется на листе (как множество точек), если
все его точки сдвинуть на 5 единиц вдоль оси абсцисс, оставив оси координат на месте.
Определение 4. Функция /(х), определенная для всех x e R , называется периоди­
ческой, если найдется положительное число Т такое, что для всех х е R выполняется
равенство /(х + Т) = /(х); число Т называется периодом функции.
Чтобы рассмотреть другие примеры периодических функций, введём следующие
обозначения.
Целой частью числа х назовем наибольшее целое число, не превосходящее х , и
обозначим [х]. Дробной частью числа х назовём результат вычитания из числа х его
целой части и обозначим {я}, то есть {х} = х - [х].
Например, [ б |] = 5; [ - б | ] = - 6 ; [-2,14] = - 3 ; {2,14} = 0,14;{-2,14} = 0,86.
Если х - целое число, то [х] = х, и {х} = 0. Так, [5] = 5; {-2} = 0.
Рассмотрим функцию у = [х }~ дробная часть х.
Если хе [0; 1), то [х] = 0, и {х} = х; если х е [1; 2), то [х] = 1 и {х} = х - 1; если
х е (2; 3), то [х] = 2 и {х} = х - 2, и т.д. Если х е [-1 ; 0), то [х] = -1 и {х} = х + 1;
х е [-2; -1), то [х] = - 2 и {х} = х + 2, и т.д.
1Полученный график называется синусоидой.

78

Глава 2, § 1 , п .2 .1 .4

На рисунке 2 изображён график функции у = {х).

При этом для всех х е R выполняется равенство [х + 1] = [лг] + 1, поэтому
{* + 1} = х + 1 - [х + 1] = х + 1 - [х] - 1 = {х}; функция у = {*} имеет период Т= 1.
Для функции у = С (постоянная функция) периодом является любое положитель­
ное число.
Рассмотрим ещё одно свойство функций.
Определение 5. Функция f(x), определённая на множестве Х е й , называется
ограниченной, если множество её значений E(f) ограничено, то есть содержится в
некотором отрезке числовой прямой.
Рассмотрим примеры ограниченных функций.
1) /(х) = {*}; её множество значений E(f) = [0; 1) с [0; 1].
2) f(x) = л/1 - х2;
Я------5
(у2 = 1 - х 2;

y = V l ^ ~ {у > о.

График этой функции - верхняя половина окружности х2+ уг = 1 - изображён на
рис. 3. D(f) = [-1; 1]; E(f) = [0; 1] с [0; 1].
3) Функция Дирихле. Её множество значений состоит из двух чисел 1 и 0;
£ (/)с [0 ; 1].
1, х > 0;

4) Функция /(х) = sign х = 0, х = 0; Множество значений этой функции состоит
- 1 , х < 0.

из трёх чисел: £(/) = (-1; 0; 1} с [ - 1 ; 1 ]-см . рис. 4. Кстати, легко видеть, что эта функ­
ция является нечётной.
/ = V1 - :
/

N

_

Рис. 3

т
\

|
0
!
Рис. 4

Пример 3.
- ограничена на всей числовой прямой.
Доказать, что функция у
х2 + 1
Доказательство.
При всех х имеет место неравенство (х - I)2 > 0, поэтому х2 + 1 > 2х, то есть
*

< i . Это означает, что при х > 0 значения функции лежат на отрезке [б; ^

j.

Заметим, что функция нечётная, поэтому её значения при х < 0 противоположны
79

Глава 2, § 1 , п .2 .1 .4
соответствующим значениям при - х > 0, и поэтому лежат на отрезке [ - | ; о]. Итак, E(f) 1;

б)|7* + 2 |< 5 .

^ 1 8 ] Найдите наименьшее целое х, удовлетворяющее неравенству х >

|319| При каких значениях параметра а функция у =
всей области определения?

82

1000
х
х

+ 2x=t=a будет ограничена на

Глава 2, §2, п .2 .2 .1

§ 2. Исследование функций и построение графиков
2.2.1*. Общий план построения графика функции

Никогда не бывает больших дел без больших трудностей.
Вольтер (1694-1778),
великий французский писатель,
поэт, драматург, философ-просветитель

Построение графика позволяет представить все свойства функции в удобной
для восприятия наглядной форме. Мы без труда можем построить1 графики многих
известных нам функций: прямой и обратной пропорциональностей, линейной
функции, квадратичной функции, функции у = V*, у = | * |, а также график степенной
функции с натуральным показателем.
Но как построить, например, график функции у = ^ 2 * ^ (мы рассматривали её
в последнем примере пункта 2.1.4)? Или любой другой функции, заданной тем или
иным алгебраическим выражением?
Чтобы построить график функции, полезно подробно проанализировать её
свойства. Например, решая уравнение f (я) = 0, мы сможем понять, в каких точках
график пересечёт ось абсцисс. По формуле y = f(x) мы можем определить, является ли
функция чётной, а это расскажет нам о симметрии её графика.
Выявим, как нужно изменить известный нам план исследования функции, чтобы
его можно было использовать для построения графиков. Для этого построим, например,
график функции у = ^2*
Сначала выберем те шаги плана, которые можно выполнить из аналитических со­
ображений.
1. Найдём область определения функции. Функция определена при всех х е R.
2. Найти область значений данной функции по формуле достаточно сложно. Поэто­
му этот пункт исследования функции мы опустим.
3. Найдём нули функции:
^ = 0 » х = 0. Значит, график пересекает и ось абс­
цисс, и ось ординат в точке (0 ; 0 ).
Теперь найдём промежутки знакопостоянства. Для этого нам нужно решить нера­
венства f(x) > 0 и f(x) < 0 .
Ясно, что - а-7 ■■■> 0 при х > 0; 2* Л < 0 прих < 0.
х2+ 1
х2 + 1
4. Легче построить график, зная о его симметрии. Ведь если функция чётна или
нечётна, можно ограничиться построением только части её графика и достроить гра­
фик из соображений симметрии. Поэтому исследуем функцию на чётность.
1 Строго говоря, речь здесь идёт лишь об эскизах графиков. Графики всех этих функций, кроме
линейной, строятся нами лишь схематически.

83

Глава 2, §2, п .2 .2 .1

Функция нечётна (для всех х е R выполняется равенство /(—л:)
(■- х У + 1
= -f{x)). Значит, график симметричен относительно начала координат и до­
X2 + 1
статочно построить только часть графика при х > 0, а далее применить симметрию от­
носительно точки (0; 0).
5. Построить график функции легче, если знать о её периодичности. Ведь для пери­
одической функции можно ограничиться построением части графика на промежутке,
равном её периоду, а потом просто копировать эту часть на остальные промежутки.
Достаточно ясно, что функция у =
^ не периодическая (если функция, являю­
щаяся комбинацией многочленов, модулей и корней, периодична, то она постоянна этот факт можно доказать и в общем виде).
Впрочем, попробуем доказать непериодичность именно этой функции.
В самом деле, пусть ЗТ > 0: Vx -> / (д: + Т) = / (х). Тогда, взяв конкретное значение
Т
х = 0, получим f(T) = f(0), т.е. гр2 + \ = Такое уравнение имеет единственное решение
Т = 0, а период должен быть положительным. Полученное противоречие показывает,
что функция непериодична.
В конкретных задачах договоримся пока не проводить подобное доказательство.
Теперь введём дополнительные шаги исследования функции.
6. Полезно определить точки, при стремлении аргумента к которым функция нео­
граниченно растёт («стремится к бесконечности»)2. Такие точки дают нам вертикаль­
ные прямые, к которым неограниченно приближается график функции - вертикаль­
ные асимптоты графика.
Так как знаменатель х2+ 1 нигде не обращается в нуль, нет точек, при стремлении
к которым у =

^ неограниченно растёт. График не имеет вертикальных асимптот.

7. Теперь поймём, как ведёт себя функция при неограниченном увеличении аргу­
мента по модулю («стремлении х к бесконечности»). Если при этом значения функции
стремятся к некоторому конечному числу, то существует горизонтальная прямая, к
которой неограниченно приближается график функции - горизонтальная асимптота
графика.
1
Так как f(x) = х 2 х+ = ------ПРИ
всех х > 0 выполняется неравенство

х +*

1

При неограниченном росте х значение ^ неограниченно приближается к нулю, это
же имеет место и для меньшего выражения fix), то есть график неограниченно при­
ближается к горизонтальной прямой у = 0 (оси абсцисс). В силу нечётности функции
это же имеет место при неограниченном росте по модулю отрицательных значений д:,
т.е. график имеет горизонтальную асимптоту у = 0 (более «аккуратной» формулиров­
ки здесь мы пока привести не можем).
8. На основании этих данных можно, не вычисляя значения функции в конкрет­
ных точках, построить некоторое приближение к искомому графику - эскиз графика
функции. Он изображён на рис. 1.
2Определение предельного поведения аргумента и функции нам пока недоступно.

84

Глава 2, § 2 , п .2 .2 .1

Отсюда видно, что, скорее всего, найдётся положительное число х 0 такое, что на
отрезке [~ х 0; х 0] функция возрастёт, а на лучах ( - ° ° ;- x 0] и [д;0; +°о) убывает. В точке х 0
достигается наибольшее значение f(x ) на всей числовой прямой, равное у0. В точке - х 0
достигается наименьшее значение f(x) на всей числовой прямой, равное ( - у0).
9. Эти утверждения достаточно доказать для положительных значений х и у , для
отрицательных нужно применить нечётность функции.
Как мы уже отмечали в п. 2 .1 .4 , из неравенства (х - I ) 2 > 0, верного при всех х,
следует, что f(x ) < ^ при всех х, причём равенство достигается при х = 1. Поэтому наи1

большее значение f(x ), равное ^ > достигается при х = 1, то есть х 0= 1, у0=

Теперь построим достаточное количество точек на графике с положительными аб­
сциссами, чтобы не осталось сомнений в монотонности функции (вывод о монотонно­
сти можно было сделать и аналитически).
Заполним таблицу:
X

0 ,2

0 ,4

0 ,6

0 ,8

1

1 ,2

1 ,4

1 ,6

1 ,8

У

0 ,1 9 2

0 ,3 4 5

0 ,4 4 1

0 ,4 8 8

0 ,5

0 ,4 9 2

0 ,4 7 3

0 ,4 4 9

0 ,4 2 5

X

2

2 ,5

3

3 ,5

4

5

6

7

8

У

0 ,4

0 ,3 4 5

0 ,3

0 ,2 6 4

0 ,2 3 5

0 ,1 9 2

0 ,1 6 2

0 ,1 4

0 ,1 2 3

Как мы видим, при х > 1 с увеличением значений х значения у уменьшаются. Со­
мнений не остаётся! После этого можно окончательно вычертить график. Найденных
точек более чем достаточно.
10. При построении графика для отрицательных значений х достаточно восполь­
зоваться его симметрией относительно начала координат. Для соблюдения масштаба
ограничимся значениями х, по модулю не превосходящими 2.
График функции у =

^ ^ изображён на рис. 2.

Теперь мы можем зафиксировать следующий план исследования функции, кото­
рый будем использовать с целью построения её графика.

85

Глава 2, §2, п .2 .2 .1
Общий план построения граф и ка функции
1. Найти область определения ф ункции.
2 . Найти область значений ф ункции.
3 . Найти точки пересечения граф ика с осями координат (то есть реш ить уравне­
ние f(x ) = 0 и найти значение ф ункции ДО)). Н айти и н тервалы знакопостоянства
ф ункции (то есть реш ить н еравен ства f(x ) > 0 и f( x ) < 0 ).
4 . Определить, я вл я ется ли ф ункц ия чётной, нечётной.
5. Определить, я вл я ется ли ф ункц ия периодической.
6 . В ы я сн и ть, сущ ествую т ли вер ти кал ьн ы е асим птоты граф ика.
7. В ы я сн и ть, сущ ествую т ли горизонтальны е асимптоты граф ика.
8 . На основании этих дан н ы х можно построить эски з граф и ка. При этом воз­
н и кн ут некоторые гипотезы о расположении граф ика: например, что на некото­
ром промеж утке ф ункц и я, скорее всего , сн ачал а возрастёт, потом убы вает и гдето во внутренней точке х 0 промеж утка принимает наибольш ее значение.
9 . П опы таться прояснить «поведение» граф ика, д о к а за в или опровергнув воз­
никш ие гипотезы. Д ля этого можно:
• по возмож ности применять а нали тические соображ ения (т .е . приводить стро­
гие доказательства);
• использовать уж е известны е ан алоги чн ы е сво й ства более п росты х функций;
• если вы ш еописанные способы применить не п олучается, построить такое ко­
личество дополнительны х то ч ек на граф ике, чтобы не осталось сомнений в
поведении граф ика (в любом случае построение «по точкам » не может счи­
таться строгим доказательством н уж н ы х утверж дений ).
10. Заверш ить работу над графиком н уж но, построив н еско лько дополнительны х
точек (если в этом возни кает необходимость).
Следует отметить, что для н екоторы х сло ж н ы х ф ункций не все п ун кты этого плана
могут быть реализованы изученны м и нами методами. Т а к , например, п ун кт, связан­
ный с определением области значений, д ля ф ункции у = х 2 ^ ^ мы опустили.
•л- * *
Покажем, как можно аналитически доказать, что функция возрастает на отрезке [0; 1] и
убывает на луче [1; + ° ° ), остальные выводы о монотонности следуют из нечётности функции.
Пусть х 1 > х 2> 0. Тогда

Я*,)-Я*2)= -^ гт

Х2

Х22 + 1

_ J C if c a 2 +

1

) - Х 2(х,2 +

(* ,2 + 1)(Х22 + 1)

1

) _ Х, Х 22 + X, - Х 2Хх 2 ~ Х 2 _

{Х 2 + 1)(*22 + 1)

= ( X I - Хг)(1 - X i * 2)

(Хг2 + \)(х22 + 1) •
Так как х { - хг > 0, х 2+ 1 > 0, х 2 + 1 > 0, знак всего выражения определяется знаком разно­
сти 1 - х 1х 2. Но если x l > х2> 1, то х хх 2> 1 ,1 - х хх 2< 0 , тогда / ( * ,) ~ f (х2) < 0 и функция убывает
на луче [1; +оо); если же 1 > х 1 > х 2> 0, то x tx 2 < 1 , 1 - х хх 2> 0 и f(x t) > f(x 2), т.е. функция возрас­
тает на отрезке [0; 1].
Если монотонность не установлена по таблице, а доказана строго, то достаточно взять
2 - 3 дополнительных точки на интервалах (0; 1) и (1; +oo)t чтобы окончательно определить вид
графика. ■
Конечно, чем сложнее функция, тем сложнее будет элементарное аналитическое исследо­
вание монотонности, и, скорее всего, провести его не удастся.

86

Глава 2, §2, п .2 .2 .1
Применим построенный план к функции, рассмотренной нами в примере 26 пре­
дыдущего пункта.
Пример 1. Построить график функции у = ^

^ “ ]5Г+Т'

1. Функция определена при всех х * 1 и х * - 1 , то есть£>(/) = ( -° о ;-1 ) и ( - 1 ; 1 ) и ( 1 ;+оо).
2. Область значений функции определять пока не будем.
3. Легко видеть, что значение f(х) никогда не обращается в нуль (график не имеет
общих точек с осью абсцисс), а /(0) = - 2 , поэтому график пересекает ось ординат в
точке (0; -2 ).

Преобразуем функцию: f( x ) = _1___ 1_ _ 2
- 1 X + 1 X2 - 1'
Знак f(x ) совпадает со знаком знаменателя х 2 х е ( - °° ; - 1 ) и (1; +оо) и /(х) < 0 при х е ( - 1 ; 1).

1; поэтому f(x) > 0 при

4. Функция чётна (для всех х е D (f) выполняется равенство f( -x )
-

2_

2

Ы )2~ 1
= f(x )); значит, график симметричен относительно оси ординат и достаточно

построить только часть графика при х > 0 ; далее применить симметрию относительно
оси ординат.
5. Выше мы отмечали, что такие функции не могут быть периодическими. Можно
доказать непериодичность именно этой функции.
В самом деле, пусть ЗТ > 0: V * -» / (х + Т) = f (*). Взяв конкретное значение х = 0,
получим f (Т) = f (0) = - 2 - противоречие, которое показывает, что функция неперио­
дична, так как f (х) = - 2 только при х = 0.
6. Знаменатель х 2 - 1 обращается в нуль в точках х = 1 и х = - 1 , а числитель дроби
равен 2. Поэтому при стремлении х к 1 и к ( -1 ) значения f(x) неограниченно увеличи­
ваются. График имеет вертикальные асимптоты х = 1 и х = - 1 .
7. Так как функция х 2, а вместе с ней и х 2 - 1 неогра­
ниченно растёт при стремлении х к бесконечности, об­
ратная положительная величина неограниченно приближается к нулю, другими словами, при неограниченном
росте х значение х г^_ ^ неограниченно приближается к

ай

нулю. График имеет горизонтальную асимптоту у = 0 (ось

абсцисс).
8. На основании этих данных можно построить эскиз
Рис. 3
графика функции (рис. 3).
9. В точке х = 0 достигается наибольшее значение f(x) на интервале ( - 1 ; 1). Это
легко доказать: при —1 < х < 1 выполняются неравенства - 1 < х 2 - 1 < 0, поэтому отри­
цательная обратная величина

р

X

2 _ .. принимает значения из промежутка ( - ° ° ; - 1 ] и
I

__ = /(х) < - 2 . Равенство достигается при х = 0; х г - 1 = - 1 => f(x) = - 2 .
Далее, f(x ) возрастает на промежутках (-оо; - 1 ) и ( - 1 ; 0], убывает на промежутках
[0; 1) и (1; +оо). Так как функция чётна, то достаточно провести доказательство для
промежутков [0; 1) и (1; + ° ° ). На (1; + ° ° ) функция х 2 1 возрастает и положительна,
значит, обратная величина -

1

, ........................* ____ 2
г (а вместе с ней и т) убывает. В самом деле, если

i ' --------------- “ х2 - Г

X j> х 2> 1, то Xj2- 1 > х г2 - 1 > 0; значит 0 < х г \ ± < х г - у т ,е ’ Л *)) < Л *2) и Функ-

87

Глава 2, §2, п .2 .2 .1

ция убывает на (1; +оо). Аналогично, на [0; 1) функция *2- 1 возрастает и отрицатель1 т(а
,..........
...........
. и 2вместе
с ней
на, значит, обратная величина ——
) убывает. В самом деле,
Х~ “ 1
X
А
1
если 1 > х. > х„ > 0, то 0 > х.2- 1 > х 02 - 1 > - 1; значит, ——^—т
< 0, то есть
1

2

1

2

-

1

'*2Z -

1

f(x x) < f(x 2)i и функция убывает на [0; 1).
10. Если исследование функции на монотонность прове­
дено аналитически, то для окончательного построения гра­
фика достаточно взять по 2-3 дополнительных точки на ка­
ждом из интервалов (0; 1)и(1; +°°); при отрицательных зна­
чениях х достаточно воспользоваться чётностью функции.
Например, построим таблицу:
X

0 ,5

0 ,8

1 ,5

2

3

У

-2 ,6 7

-4 ,4 4

2 ,4

1 ,3 3

0 ,7 5

После этого можно окончательно вычертить график. Он
изображён на рис. 4.

Рис. 4

|320| 1) Найдите нули функций у = х3; у = 4л:2—1; у = у у = 4х\ у = Зх+ 1, решив
соответствующие уравнения. В каких точках графики этих функций пере­
секут ось Ох?
2) Найдите, при каких х данные функции принимают положительные значения,
решив соответствующие неравенства. На каких промежутках по оси Ох график ка­
ждой из этих функций лежит выше оси Ох? Можно ли выяснить, на каких проме­
жутках график функции лежит ниже оси Ох без использования графика?
3) Найдите среди этих функций чётную и нечётную функции. Как это свойство от­
ражается на графике функции?

[32lj 1) Выберите из этих функций те, графики которых вы уже умеете строить:
у = ж3;

у = 4*2-1;

у = ^-,

у = 4х\

у = 3 * + 1;

у=

2) Что вы можете использовать для построения графика последней функции? По­
пробуйте построить её график. Сопоставьте ход выполнения этого задания со спо­
собом построения этого графика, описанным на с. 83 -85.
3) Составьте общий план построения функции, сравните свой вариант с планом на
с. 86.

|322| Постройте график функции:
а)у = ^ ;

& |323|
а)

б)

у ^ ~ 1-

ж2 - 1’

1
в) у ■ *2 + 1’

Г )У

=

хг - 1'

Вычислите:

л/70
л/2 3 ’

Щ-

б)W0.15 •

В)л Й г

9’

г) л/612 —602;

д) (Зл/2 -л/3)(Зл/2 + л/3);
е) л/7 + л/13 •л/7 - л/13.

|324| Что больше:
а) 2л/7 или Зл/З;
88

б)

л/п

ИЛИ

2л/3;

в) 4л/б или л/95;

г) 5,5 или л/31 ?

Глава 2, §2, п.2.2.2

|325| Упростите
а)

95
(5л/5)2’

б)л/8 +V 50-V 72;

в) (л/б - л/2 )2;

г) л/(1 - л/2)2.

[326 При каких л: имеет смысл выражение:
5 л:
B)J ?
б)л /2^35’
VI - 0 ,5 *’
V(4дг + 1)(2 - *)
|327| Решите графически уравнение 4х = 6 - х.

а)

О

3281 Постройте график функции:
а) у ~

1

ПП’

б)р =

ж - 1.


в)у- х 2 - 4’

[329| Упростите:
а) (2л/б - л/3 )(2л/б + л/3);

б) л/(2 - л/б)2;

в) (л/б + л/3 )2;

г) л/9 + 18m2 + 9 т 4.

|330| Расположите числа 2VTT;4л/3; 6,6 в порядке возрастания.
|ззТ)

Сколько целых чисел расположено между л/б и л/бЗ?

[3321 При каких значениях л: имеет смысл выражение л/х • л/-х?
|333|* Последовательность {ал} задаётся следующим образом: а, = 1, ая+1 = ап+
для любого натурального п. Докажите, что а 100> 14.

2 .2 .2 . П р е о б р а зо в а н и я гр аф и к о в ф ункций

Нечто трудное делать лёгким - заслуга.
Иммануил Кант (1724-1804),
немецкий философ

При построении графиков линейной и квадратичной функций мы использовали
такое преобразование как сдвиг более простого вспомогательного графика (у = kx\
у = л:2) вдоль осей координат. Возникает вопрос, можем ли мы использовать подобное
преобразование в общем случае для функции у = f(x)l Ведь помимо прямой и параболы
мы умеем строить и график у = л;3(кубическую параболу), и у =
k * 0 (гиперболу), а
также у = | х | («уголок»).
Это позволило бы нам строить графики более сложных функций без специального
исследования их свойств. Отпала бы необходимость и в построении дополнительных
точек. Зачем все это делать, если графики этих стандартных функций хорошо извест­
ны? В этом пункте мы ответим на этот вопрос и познакомимся с другими случаями
преобразованияграфика.
89

Г л ав а 2 , § 2 , п . 2 .2 .2
I. Параллельный перенос (сдвиг) графика вдоль оси ординат
Сравним функции у = f(x) и у = f(x) + h , h e R. При преобразовании графика у = f(x)
в график у = f{х) + h (у = /(х) -> у = f(x) + h ) все значения функции у = f(x) + h станут
на h больше значений функции у = f{x) в соответствующих точках.
Поэтому график функции у = f(x) + h можно получить из графика у = f(x) с по­
мощью сдвига вдоль оси ординат на h единиц вверх при h > 0 или на | h | единиц вниз
при h < 0.
Пример 1.
1
1
Построить график у = —- 1, если известен график I/ = —.
Решение.
Сдвинем график у = —вдоль оси ординат на 1 единицу вниз (- 1 < 0). Получим график функции

1

=—

изображённый на рис. 1.

График У = ~~ имеет вертикальную асимптоту х = 0 и горизонтальную асимптоту
у = 0; график у = ~ - 1 имеет вертикальную асимптоту х = 0 и горизонтальную асимп­
тоту 1/ = -1 .
II. Параллельный перенос (сдвиг) графика вдоль оси абсцисс
Рассмотрим преобразование у = f(x) —>у = f(x - d), d е R. При таком преобразова­
нии происходит «запаздывание» на величину d по переменной х. Если какое-то зна­
чение у0 принималось функцией в точке 0, то сдвинутая функция принимает его «с
запаздыванием» в точке d. Если график у = f(x) имел вертикальную асимптоту х = х 0,
то теперь значения функции стремятся к бесконечности при х - d —>x Q, то есть при
х —> x Q+ d; имеем вертикальную асимптоту х = x Q+ d.
Значит, график функции у = f(x —d) можно получить из графика у = f(x) с помо­
щью сдвига вдоль оси абсцисс на d единиц вправо при d > 0 или на | d | единиц влево
при d < 0.
Пример 2.
Построить график у = х \ у если известен график у =
Решение.
Сдвинем график у = —вдоль оси абсцисс на 1 единицу впрах

1

во (1 > 0). Получим график функции у = ^ ---у, изображённый
на рис. 2.
1 и горизонГрафик имеет вертикальную асимптоту х
тальную асимптоту у = 0.

90

Рис. 2

____________ __________________________________

Глава 2, §2, п.2.2.2

Объединяя случаи I и II, мы видим, что график функции у = f(x — d) + h можно
получить при помощи двух последовательных параллельных переносов: сдвига гра­
фика у = f(x) на | d | единиц вдоль оси абсцисс и сдвига полученного графика у = f i x —d)
на | h | единиц вдоль оси ординат (с соответствующими оговорками в случае положи­
тельных или отрицательных значений d и /г).
Иначе можно сказать, что график функции у = f i x —d) + h можно получить парал­
лельным переносом графика у = f(x) на вектор (d; h ).
Пример 3.
Построить график функции у = \ х + 3 | - 1.
Решение.
График у = | дг + 3 | -1 получается из графика у — \ х \ сдвигом на 3 влево вдоль оси
абсцисс и на 1 вниз вдоль оси ординат (рис. 3).

Координаты вершины «уголка» (-3 ; -1 ). График пересекает ось абсцисс в точках
(-4; 0) и (-2 ; 0), ось ординат в точке (0; 2). Это следует из того, что стороны угла па­
раллельны прямым у = х и у = - х и образуют углы в 45° с осью абсцисс (для нахож­
дения точек пересечения с осью абсцисс можно решить уравнение | х + 3 | = 1 , а для
нахождения точки пересечения с осью ординат можно подставить х = 0 в выражение
у = | х + 3| - 1, но это делать необязательно, так как координаты точек пересечения оче­
видны из геометрических соображений).
Ф ункция убывает на луче (-°°; -3 ] и возрастает на луче [-3; +°°); наименьшее зна­
чение функции на всей числовой оси достигается в точке x Q= - 3 и равно -1 . Эти факты
также можно считать геометрически очевидными. Для построения графика нет необ­
ходимости искать дополнительные точки; достаточно провести две прямые через точ­
ку (-3 ; -1 ) под углом 45° к оси абсцисс. ■
Л

"к "к

В некоторых случаях удобно использовать и другие преобразования известных графиков.
Познакомимся с этими преобразованиями.
III. Сжатие или растяжение графика относительно оси абсцисс
Рассмотрим преобразование у = fix) -> у = kf(x), k > 0. При фиксированных абсциссах все
ординаты точек графика увеличиваются в k раз, если k > 1; если 0 < k < 1, происходит умень­
шение всех ординат точек графика в j- раз. Таким образом, при к > 1 фактически происходит
"
растяжение от оси абсцисс в k раз; а при
0 < k < 1 - сжатие к оси абсцисс в -1 раз.

Значит, график функции у = kf(x), k > 0 можно получить из графика у = f(x) с помощью:
• сжатия графика у = f(x) к оси абсцисс в ^ раз (0 < k < 1);
• растяжения графика у - fix) от оси абсцисс в k раз (k > 1).
Область определения функции при таком преобразовании не меняется.

91

Глава 2, §2, п .2 .2 .2
Пример 4.
Построить график функции у = 2л/1 - х г, у = ^л/1 - х2.
Решение.
График у = Vl - хг - верхняя полуокружность радиуса 1 с центром в начале координат.
График у = 2Vl - х 2получается из него растяжением от оси абсцисс в 2 раза, график
у = iV l - х 2 - сжатием к оси абсцисс в 2 раза.
у = 2V1 - х2

у = у1\ - х 2

2
л
vл -/
/ —l-i

--г

1





г-

V

1

- -

LL-iJ

1-

-

-1—

Рис. 4
IV. Сжатие или растяжение графика относительно оси ординат
Рассмотрим преобразование у = f(x) -►у = f(kx), k > 0. При фиксированных ординатах все
абсциссы точек графика у = /(х)уменыпаются в k раз (если значение у0функция /(х) принимала
в точке х0, то функция f(kх) принимает это значение в точке х, такой, что k x v= х0, то есть х = ^ .
Например, если график у = /(х) имел вертикальную асимптоту х = 1, то график у = /(2х) имеет
вертикальную асимптоту х = ^). Таким образом, при k > 1 имеет место сжатие к оси ординат в k
А

л

раз; при 0 < k < 1 - растяжение от оси ординат в j- раз.
к
Область определения функции при таком преобразовании соответственно сжимается или
растягивается.
Значит, график функции у = f(kx), k > 0 можно получить из графика у = f(x) с помощью:
• растяжения графика у = f(x) от оси ординат в ^ раз (0 < k < 1);
k
• сжатия графика у = f(x) к оси ординат в k раз (k > 1).
Пример 5.
Построить график функции у = V1 - 4х2,
Решение.
График у = Vl - 4х2 = V1 - (2х)2 получается из графика у = Vl - х 2 сжатием в 2 раза к оси
ординат (рис. 5а).
Область определения функции - отрезок
y = yl1 - 4х2
-

>
1-

L L -1 - Ц - o U -

2

2

Рис. 5а
92

Рис. 56

Глава 2, §2, п.2.2.2

График у =

= J 1-

J2 получается из графика у = Vl - х2

растяжением в 2 раза от оси ординат (рис. 56).
Область определения функции - отрезок [-2; 2].
Пример 6.
Построить график функции у = | 6х + 3 | -1.
Решение.
График функции у = | бл: + 3 1-1 получается из графика у = | х + 3 | -1,
построенного в примере 3, сжатием к оси ординат в 6 раз.
Этот график изображён на рис. 6.

Рис. 6

1) Постройте графики функций у = 2х и у = х2.
2) Постройте график у = 2х - 1, используя график у = 2х. Постройте график функ­
ции у = (х + З)2 - 1, используя график у = х2. Какое преобразование вспомогатель­
ного графика вы использовали?
3) Можно ли использовать подобный способ для построения графика функции
у = | лг + 3 | - 1 ? Какой вспомогательный график вы будете использовать? Построй­
те график этой функции и сравните его с графиком на с. 91.
4) Подумайте, можно ли использовать данный способ для построения графика
у = f(x - d ) + h. Составьте правило построения графика такой функции и сопоставь­
те свои выводы с выводами на с. 91.

|335| Постройте график функции, представив её в виде у = ( х - d)3 + h:
а) у = х3+ Зх2+ Зх 4-1;

б) у = х3+ Зх2+ Зх + 3;

в) у = х3+ 9х2+ 27х + 30.

|336) Постройте график функции:

1

.

^б)у =

ъ)у = х
- + 2’

ш

1

+ 1.

* х + 2
1) Постройте графики у = х 2 + 1 и у = 2(х2+ 1). Сравните расположения графиков
относительно оси Ох. Чем отличается график у = 2(х2+ 1) от графика у = х 2+ 1?
2) Постройте график у = 4х и у = 2х. Чем отличается график у = 4х от графика
у = 2x1
3) Обобщите сделанные вами наблюдения. Как они могут помочь построить график
у = 2л/1 - х2, если график у = л/1 - х2уже построен? Какое преобразование вспомога­
тельного графика вы будете использовать?
4) Подумайте, можно ли использовать данный способ для построения графика
у = kf(x), k > 0 . Рассмотрите случай 0 < k < 1. Составьте правило построения графи­
ка такой функции и сопоставьте свои выводы с выводами н ас. 91.
5) Познакомьтесь со способом построения графика у = f{kx), k > 0 .

3381 Постройте график функции у = f(x), где f(x) = —. С его помощью постройте график




х

1

1

функции у = 2^ двумя способами: сначала как график функции у = gA*)» затем
как график функции у = f(2x).
Найдите значение выражения:
. ' лО - л/м
л/0Д4 ’

r,
2lV7
Ч Ш + V63 - 7V3’

V2-2
В л/ 1 4 - 2 л/7'

93

Глава 2, § 2 , п .2 .2 .2

|340|

Упростите выражение:
х-49

а)^ Т ;

в)

b'Jt - t*j5
л/Г-л/5 ’

д )8 ф 3 + 3 ^ ;
Vp
У

с - бУс + 5
л/с - 5
Упростите выражение\69 ~- НЗ\;Т.

б) (Va + 3-slb )2 - 6 а/о6;


3421


3431

. Vft + 4 _ л/ f t - 4
е) V f t - 4 л/ft + 4 '

г)

Определите, между какими двумя последовательными натуральными числами на4 /—

ходится число ^Л/63.
Решите неравенство (1 - 4 2 )х > 2 - 2л/2.

|344|

Постройте графики функций, представив их в виде у = (х - d)3 + Л:

а ) p = x3- 3 x 2+ 3 x - l ;
б) у = х 3- Зж2+ Зх - 3;
в) у = х3- 15х2+ 75х - 120.

3451 Постройте графики функций:
a)y = 5 - i ;

|346|

б) У = 5 -

х + V
Постройте график функции у = f{x), где /(х) = V*. С его помощью постройте гра­
фики функции у = 3V* двумя способами. Сначала как график функции I/ = 3/(д:),
затем как график функции у = f(9x).

3471 Найдите значение выражения:
х л/278 * л/472
Ш
" '

3481

1349J

_ V99 +V363-3VTT
б)
i5V3--------:

Упростите выражение:
и -1 6

а)v m :

в)

3(Wft - fe-л/зо
Vft-л/ЗО !

б) (2Vy-л/р)2 + 4л/ур;

г)

ц>- 7Уш+ 12
л/ш -3


в)

л /5 -5
л/15 -л/3'
, 4 л /т -7 . 7л/т

д)^ Г +^ г :
1
^ л /* - 5

л/х + 5"

Определите, между какими двумя последовательными натуральными числами на­
ходится число)|л
^ /П 2.

|3 5 0 | Упростите выражение л/б7 + 16^3.
|3 5 11 Решите неравенство (2л/2 - 3)д: < (л/2 - I)2.

|352|

94

Известно, что среди чисел д: + I/, д: - z/, * 2- i/2 и я 2+ i/3 ровно одно отрицатель­
ное, а остальные положительны. Какие знаки могут иметь числа х и у?

Глава 2, §2, п .2 .2 .3

2.2.3*. График дробно-линейной функции

Знание должно служ ить творческим целям человека.
Мало накоплять знания; нужно распространять
их возможно шире и применять в жизни.
Н. А. Рубакин (1862-1946)
русский просветитель, книговед, библиограф, писатель.

В предыдущем пункте мы видели, что преобразования графиков простых функций
помогают строить графики более сложных функций. В этом пункте с помощью таких же
преобразований мы ещё более расширим свои возможности по построению графиков.
2х —1
х
х + 3
Рассмотрим, например, функции у = х — у = х _
У = §х ~- На первый взгляд
графики этих новых для нас функций можно построить только с помощью известного
нам плана исследования функций, который довольно громоздок. Однако это можно
сделать проще. Прежде чем выявить способ построения графиков данных функций,
введём для них название.
Определение 1. Функция вида у = ^х +

где a, b, с, d е R , причём с ^ О и разность

a d - b c * 0, называется дробно-линейной функцией.
Если с = 0, то функция - линейная (у = а х ^ —, требуется ещё условие d * 0). Если
ad - be = 0, то —=

коэффициенты числителя пропорциональны коэффициентам зна­

менателя, и функция принимает одно и то же постоянное значение при всех х из её об­
ласти определения (например, у =
^ ^=
+ g) = f ПРИх Ф
®еличину ас* ~ ^с
обычно обозначают греческой буквой А (читается «дельта»).
Попробуем преобразовать выражение ^х
ах + Ь
сх + d

а
с

d
,d b
х+ Ъ
х+- +—
с а с
а а

«1

к известной нам функции. Имеем:
а
с

b c-ad
ас(х + 4)

а
с

1
А
с2 х +,d- *
с

х+х+±
с
с
Обозначим “ = у0, - ~с = х0, - ^ = к. Тогда у = у0+ x t х - Значит, график у =

^

можно получить из графика у = —параллельным переносом на вектор (х0; у0).
Функция У = ~ нам хорошо известна, это обратная пропорциональность. Её гра­
фик - гипербола. Как мы знаем, функция у = —определена при всех ХФО. При k > 0
она убывает на
0) и на (0; + ° ° ) , этот график изображён на рис. 1а. При k < 0 она
возрастает на ( - ° ° ; 0) и на (0; + ° ° ) - рис. 16. График имеет горизонтальную асимптоту
у = 0 и вертикальную асимптоту х = 0.
Таким образом, график дробно-линейной функции - это гипербола (если Д 0, то
k * 0, следовательно, мы исключили случай постоянной функции у = у0).
95

Глава 2, §2, п .2 .2 .3

Отметим теперь свойства дробно-линейной функции.
. ах
1. Дробно-линейная функция у = у^Л----- —
определена при всех х
сх + d
то есть х ф " . Иначе говоря, D(f)={^-QQ\ -^ ) и
+°°).

ф х о’

2. Графиком дробно-линейной функции является гипербола.
3. При Д > 0 (то есть k < 0) функция возрастает н а |- °о; - ^ |и н а |-^ ; +оо|. При Д < 0
(то есть k > 0) функция убывает на

) и на

+оо).

4. График имеет горизонтальную асимптоту у
и вертикальную асимптоту
= _d
с'
Рассмотрим примеры построения графиков дробно-линейных функций.
Пример 1.
2х Построить график функции у =
х + 2'
Решение.
1
1
* + 2-2
5
(1 - +2 2 [)\ = 2 Имеем: у = 2- х + 2 2 '
g . Функция определех+2
на при * Ф - 2 , возрастает на (-°°; -2 ) и на (-2; +оо). График получается из гиперболы
5

у = - —параллельным переносом на вектор (-2; 2) и имеет горизонтальную асимптоту
у = 2 и вертикальную асимптоту х = - 2 .
Для построения эскиза графика целесообразно изобра­
зить сначала асимптоты у = 2 и * = - 2 и учесть, что график
расположен во II и IV четвертях относительно этих асимп­
тот. Этот эскиз изображён на рис. 2.
Для уточнения расположения графика вычислим ко­
ординаты точек пересечения графика с координатными
осями.
С осью Ох: у —0 при х = ^ ;
с осью Оу : при х = 0,1/ = -

1

Найдём ещё 2 -3 дополнительных точки на каждой из двух ветвей гиперболы.

96

X

-1

2

-3

-4

-5

-7

У

-3

1
2

7

4

31
32

3

Глава 2, §2, п .2 .2 .3

Построим теперь график у =



- ^1 , он изображён на рис. 3.
у
/ - г “Г"

1
У

Рис. 3
k
Следует отметить, что гипербола у = — центрально-симметрична относительно
точки (0; 0) и имеет оси симметрии у = х и у = -х . Поэтому график дробно-линейной
функции у =
+ & = уо н---- h — имеет центр симметрии (д:0; у0) и оси симметрии
сх т а
х XQ
у = у0+ ( х - х0) и у = у0~ (х - *0) - биссектрисы вертикальных прямых углов, образован­
ных асимптотами графика.
Итак, можем сформулировать следующий способ построения графика дробно­
линейной функции.
Чтобы построить график функции у =

нужно:

1. Преобразовать формулу у = ах ^ к виду у = у0Н---- *— .
сх + а
х х0
^
2. Построить эскиз графика с помощью параллельного переноса гиперболы у = —
на вектор (*0; yQ), начиная с изображения асимптот У = ~ и х = ~~>
3. Вычислить координаты точек пересечения графика с осями координат.
4. Найти координаты дополнительных точек для уточнения графика.
5. Построить график функции.
Пример 2.
Построить график функции у = —
Решение.
X

д. _ 3 + 3

.
О

Q

1. Имеем: у = — х - %— = 1 + х - 3 ’ Функция определена
при х * 3, убывает на (-°°; 3) и на (3; +о°). График функции по­
лучается из гиперболы У = “ параллельным переносом на век­
тор (3; 1) и имеет горизонтальную асимптоту у = 1 и вертикаль­
ную асимптоту х = 3.
2. Для построения эскиза графика изобразим сначала асим­
птоты у = 1 и х = 3 и учтём, что график расположен в I и III чет­
вертях относительно этих асимптот (рис. 4).
97

Глава 2, §2, п.2.2.3
3. 1/(0) =

0-3

г = 0. Начало координат лежит на графике.

4. Найдём координаты дополнительных точек для каждой из двух ветвей гиперболы.
X

-1

2

У

1
4

-2

1
1
2

4

5

7

4

„1
22

3
*4

Построим теперь график окончательно. Он изображён на рис. 5.

О

|353| 1) Выберите из этих функций те, графики которых вы можете построить без
вспомогательного исследования:
— 5.
5 . „_
5 | о.
2х - 1
У
х’ У
х + 2’ У
х + 2
’ ^
х + 2'
2) Что вы можете использовать для построения графика последней функции? По­
пробуйте преобразовать формулу этой функции к известному виду и построить её
график. Сопоставьте ход выполнения этого задания со способом построения этого
графика, описанным на с. 96.
3) Постройте общий план построения функции у =

сравните свой вариант

с планом на с. 96.
Постройте графики функций:
х+1.
а )у = - х '
6) у = х- + 1 ’

|355|

х + 1.
в )у = х - 1’
Постройте график функции у . х2 + 6х + 5
х2 + 4х + 3'

@

I

2х + 1
Г) У = л: - 2 -

Докажите, что число (2 - л/б)^9 + 4л/б является рациональным.

[357| Докажите, что число 1 - V3 является корнем уравнения х2 + х^З + л/3 - 1 = 0.
|358| Решите уравнение:
а) 27х2 - 6^13х + 1 = 0;
б) (Зх - 5)2 - (2х + 4)2 = (х + З)2;
в) (8х - 1)(3х + 5) - (2х - 1)(8х + 6) = ЗЗх + 53;
г) 7х2 + 4х - И = 0;
д) (5х - 7)(8х + 1) = (8х + I)2;
, 2 л:2 + Зл: , 3 л:2 + 4 л:

е ) ---- —

98

+ --- —

5 -

л:

— Г "•

_________________________________________________ Глава 2, §2, п .2 .2 .4

3591 Составьте приведённое квадратное уравнение, корнями которого являются числа
_____ 5-^2 - л/7 и 5л/2~ + V7.
|360| Вычислите:
|36lJ

а) |-5| + 6 - 1 1 ;
б) |-5 + 6| - 11;
Решите уравнения:

в) |—5 + 6 —11|;

г) |-5 + 6| + 1—11|.

а)|-х + 6| = 6;

в) | х + 14| = | 6х |;

г) | 2х + 12| = —|х |.

б) (-2* + 4| - -4;

Постройте графики функций:

а) у =_х' -х

1.

б) у = :
'“
х

в) у

х + 1’
[363] Постройте график функции у = * 2 _ 10х + 9
Ъх + 4'
-

1’

+ 2
г) у = Зх
2х - Г

[364| Решите уравнение:
а) Зх2+ 2л/51 • х + 17 = 0;
б) (Зх + 5)2 - (2х - 4)2 = (3 - х)2;
в) (4х - 1)(3х + 10) - (х - 1)(4х + 6) = 35х + 106;
г) 13х2 + 4 х - 9 -= 0;
д) (5х - 11)(3х + 5) = (Зх + 5)2.

|365|

Если в произведении двух чисел первый множитель увеличить на 1, а вто­
рой уменьшить на 1, то произведение увеличится на 2011. Как изменится
произведение исходных чисел, если, наоборот, первый множитель уменьшить на
1, а второй увеличить на 1?

2.2.4. Преобразование графиков: симметрия относительно
осей координат. График у = | f(x) \ и у = /(| х |)

Человек, который зн ает «как», всегда найдёт работу,
а человек, который зн ает «почему», будет его начальником.
Д. Рейвич (р. 1938),
американский педагог

В этом пункте мы продолжим изучать преобразования графиков и выясним, как с
их помощью построить графики функций с модулем.
Сначала уточним свои представления о построении графика, симметричного дан­
ному.
I. Симметрия относительно оси абсцисс
Рассмотрим преобразование у = /*(х) >у= -/(х). При фиксированных абсциссах все
ординаты точек графика у = -/(х) противоположны ординатам точек у = f(x).
99

Глава 2, §2, п .2 .2 .4 __________________________________________________
Значит, график функции у = - f (x ) мож но получить из граф и ка у = f(x ) с помощью
осевой симметрии относительно оси абсцисс.
II. С и м м етри я относительн о оси ордин ат
Рассм отрим преобразование у = f(x ) —> y = f( - x ) . При ф иксированны х ординатах все
абсциссы точек граф и ка у = f (- x ) противоположны абсциссам точек у = f(x ).
Значит, график функции у = f(~ x ) мож но получить из граф и ка у = f(x ) с помощью
осевой симметрии относительно оси ординат.
III. С и м м етри я относительн о н а ч а л а к оорди н ат
П оследовательное применение рассмотренны х вы ш е двух преобразований:
у = f(x) - » у = - f ( - x ) меняет абсциссы и ординаты точек графика на противоположные.
Значит, график функции у = ~ f(~ x ) мож но получить из граф и к а у = f(x ) с помощью
центральной симметрии относительно начала координат.
Рассмотрим примеры применения симметрии при построении граф иков.
П рим ер 1.
П остроить график функции у = - 4 х , у = V - *, у = ~ 4 ~ х .
Решение.
Н уж но применить преобразования I - III к граф и ку вспомогательной функции
у = 4 х . В первом случае областью определения ф ункции будет луч [0; + ° ° ) , во втором и
третьем случаях - луч ( 0].Эти графики изображ ены на рис. 1.

Рис. 1
Зам етим , что в результате преобразования I область определения исходной функ­
ции не м еняется. П ри преобразованиях II и III область определения м еняется на мно­
ж ество и з R , симметричное D (f) относительно начала координат. Если ф ункция f(x)
четна, то в результате преобразования II её граф ик останется на месте (не изменится
к а к множество точек плоскости), если нечётная - граф ик не изм енится при преобра­
зовании III.
* -к к

Рассмотрим ещё несколько важных преобразований графика, использующих симметрию.
IV. 0 = « * ) - > И= | « * ) |
Гf(x), если f(x) > 0;
Так как | f(x) | :
1 _/(*)» если f(x) < 0,
абсцисс, совпадает с соответствующей частью графика у = | /(*) |; а часть графика у = f(x), лежа­
щая ниже оси абсцисс, симметрична соответствующей части графика у = | f(x) \ относительно
этой оси.
Значит, чтобы построить график функции у = \ f(x) |, можно:
1. Начертить вспомогательный график у = f(x).
2. Часть графика, лежащую выше и на оси абсцисс, оставить неизменной.
3. Часть графика, лежащую ниже оси абсцисс, отразить симметрично относительно этой оси.
Искомый график будет объединением множеств точек, описанных в пунктах 2 - 3 .

100

Глава 2, §2, п.2.2.4
Так, график функции у = | 2х + 1 1может быть построен из графика у = 2х + 1 с помощью
этого способа следующим образом:
4.

У.
V
"V

\

1

А

- - Т -

J 1
V о
1

-

ТТТ

У= \2х1
11 11 1

V -y = f(x)->y = n 1* 1)

При неотрицательных значениях аргумента у = Д| х |) - f(x), значит, часть графикаy = f(\x\),
лежащая правее и на оси ординат, совпадает с графиком у = f(x). Если же значения аргумента
отрицательны, то у = Д| х |) = f(-x ), значит, часть графика у = f(\ х |), лежащая левее оси ординат,
симметрична у = f(x) относительно этой оси.
Значит, чтобы построить график функции y = f(\x |) можно:
1. Начертить часть вспомогательного графика у = f(x), лежащую правее и на оси ординат.
2. Отразить эту часть симметрично оси ординат.
3. Искомый график будет объединением множеств, изображённых в пунктах 1 - 2 .
Так, график функции у = 2| х \ + 1 может быть построен из графика у = 2х + 1 с помощью
этого способа следующим образом:

Заметим, что график функции у = f(\x |) симметричен относительно оси ординат. Эта функ­
ция чётная.
Замечание. Если ставится задача исследования графика, при построении которого приме­
няются преобразования I —V, то нет необходимости специально исследовать окончательный
график. Соответствующее исследование нужно провести для исходного графика у = f(x) (или
воспользоваться уже известными результатами), а для окончательного графика выводы можно
сделать непосредственно по рисунку.
Пример 2.
Построить график функции у = \ х 2 - 4х +3 |.
Решение.
Применим к параболе у = х 2- 4х + 3 = (х - 2)2- 1 преобразование IV:

101

Глава 2, §2, п.2.2.4
Область определения функции - х е R. Область значений - Е (у) = [0; + со). Функция равна О
при х = 1 и х = 3, при этих значениях достигается наименьшее значение функции. Наибольшее
значение функции на отрезке [1; 3] равно 1 и достигается при х = 2. Функция неотрицательна
на всей области определения. Функция возрастает на [1; 2] и па [3; +°°), убывает на (—°°; 1]
и на [2; 3].

Пример 3.
Построить график функции у = х2- 4| х |+3.
Решение.

Область определения функции - х е R. Область значений - Е (у) = [-1; +оо). Функция яв­
ляется чётной. Функция равна 0 при х = ±1 и х = ±3. Наименьшее значение функции равно -1
и достигается при х = -2 и х = 2. Наибольшее значение на отрезке [-3; 3] равно 3 и достигается
при х = 0. Функция возрастает на [-2; 0] и на [2; +°°), убывает на (-°°; -2] и на [0; 2].
Пример 4.
Построить график функции у = \ х2-4\ х \ + 3 |.
Решение.
Применим преобразование IV к графику из примера 3 (можно было бы применить преобра­
зование V к графику из примера 2, рис. 3).
Область определения функции - х е R. Область значений - Е (у) = [0; +оо). Функция явля­
ется чётной. Функция равна 0 при х = ±1 и х = ±3. Функция возрастает на [-3; -2], на [-1; 0], на
[1; 2] и на [3; +°о). Функция убывает на (-°°; -3], на [-2; -1], на [0; 1] и на [2; 3]. Наименьшее
значение функции равно 0 и достигается при следующих значениях х: х = -3, х = -1, х = 1,
х = 3. Наибольшее значение функции на [1; 3] равно 1 и достигается при х = 2. Наибольшее
значение функции на [-3; -1] равно 1 и достигается при х = -2 . Наибольшее значение функции
на [-1; 1] равно 3 и достигается при х = 0.

1) Постройте графики у = х2 + 1 и у = - (х2+ 1). Сравните расположения гра­
фиков относительно оси Ох. Чем отличается график у = - (х2+ 1) от графика
у = х 2+ П
2) Постройте график у = 2 х - 1 и у = - (2х - 1). Чем отличается график у = - (2х-1)
от графика у = 2 х - 1 ?
3) Обобщите сделанные вами наблюдения. Как они могут помочь построить график
у = —>/1 —х 2, если график у = V1 - х 2уже построен? Какое преобразование вспомо­
гательного графика вы будете использовать?
4) Подумайте, можно ли использовать данный способ для построения графика
у = -f(x), если имеется график функции у = f{x)l Составьте правило построения
графика такой функции и сопоставьте свои выводы с выводами на с. 100.
5) Познакомьтесь со способом построения графиков у = f(-x) и у = —/( - х).
102

Глава 2, §2, п.2.2.4

щ

Постройте графики функций у = f{-x), у = -/(*), у = - /(- *), если:

|368|

a) f(x) = 2х - 5;

б) f(x) = | х + 1 1- 1;

в) f(x) = х12-43 3 * + 2;

г) /(*) =

Из функций у = 2х, у = | 2х - 4 |, у = 5 *2 - 14, у = \ х 2+ 1 \ , у = | ^ |, у = 2\х\ - 8 вы­
берите функции вида у = \ f (х)\. Укажите множество значений выбранных вами
функций.

Цб9| 1) Постройте график у = 2 х + 1.

2) Постройте график у = \ 2 х + 1\.
3) Сравните полученные графики. Чем отличается график у = | 2 х + 1 1от графика
у = 2х + 1? Опираясь на определение модуля, объясните, почему часть графика
у = 2 х + 1, лежащая выше и на оси абсцисс, совпадает с частью графика у = \2х+ 1|,
а часть графика у = 2 х + 1, лежащая ниже оси абсцисс, симметрична части графика
у = 12*+ 1| относительно этой оси.
4) Как сделанные вами наблюдения могут помочь построить график у = | /(*) |,
если график у = f (*) уже построен? Какое преобразование вспомогательного гра­
фика вы будете использовать? Составьте правило построения графика функции
У= |/ ( * ) | и сопоставьте его со способом, описанным на с. 100.
5) Познакомьтесь со способом построения графика y = f(\х |).

Постройте график функции:
в) У = \х2 - Зх + 2.\;

б) у = х 2 - 5\ х\ + х + 2 х - 2 ’
’ 12a 2- 12ft2 18а3- 18а26'
3) Какое свойство позволило выполнить эти преобразования?
Упростите выражение: ^

3
2х —1 2
+ 2х + х2_ 1 ~

Выполните действия:
. х2 + 2х + 1 9х‘
а)
18х3
' х2- 1'
Упростите:

а3 - 2а2
а2 - 4
1 З а + 3 ' 9а2+ 18а + 9'

2 * 2 + 9х - 5 . 2х2- Зх + 1
а> х2+ х - 6 ' хг+ 5х + 6

1



8 а2
1

2а + ft'
4а2^1>2 ' Ъ- Т а
[409] Найдите четыре первых члена последовательности (ал), заданной формулой:
\
I 2 а________ 4а2
б) 12а
_ +_ ft 4а2+ 4aft + Ь2/

©

5" ____

'

а) а л = З а + 1;

б) a

= -

(а + 1)2‘
Найдите седьмой член последовательности, если:
а) последовательность (ал) задана рекуррентно: a x= 1; ап+1 = 2ал+ 3;
б) последовательность (Ьп) задана формулой общего члена: Ьп = 3 • (-2 )".
Последовательность (уп) задана формулой у = In + 1. Является ли членом данной
последовательности число 106? Если число является членом последовательности,
найдите его номер.
Последовательность (а п) задана рекуррентно: а х= 1; a n+x = а 2 + 1. Является ли чис­
ло 1 000 000 000 000 членом этой последовательности?
Последовательность (ал) задана рекуррентно: а, = 3; а л+1 = 2ал. Задайте последова­
тельность (ал) формулой общего члена.

113

Глава 3, § 1 , п .3 .1 .2
Упростите:
3 - х2 . 3* . х , д: - 1
х2- 1 х2- Г х - 1
Х+Г
Обозначим через Я (л;) произведение цифр натурального числа *. В ряд вы­
писаны числа Я (2013), Я (2014), Я (2015), .... Какое наибольшее количест­
во чисел, записанных подряд, может оказаться последовательными натуральны­
ми числами?

М

3.1.2.* Свойства последовательностей: монотонность,
_____________________ _____
ограниченность

Знание смиряет великого, удивляет обыкновенного
и раздувает маленького человека.
Л. Н. Толстой (1828-1910),
великий русский писатель, просветитель, публицист

В предыдущем пункте мы познакомились с одним из основных понятий математи­
ки - последовательностью. В этом пункте мы познакомимся со свойствами последова­
тельностей.
Мы выяснили, что бесконечные числовые последовательности являются важным,
а потому выделяемым особо, частным случаем функций. В этом пункте мы познако­
мимся со свойствами последовательностей, опираясь на уже известные нам свойства
функций. Мы знаем, что функции бывают возрастающие и убывающие.
Сравним две последовательности: 1; 2; 3; 4; ... и —1; —2; —3; —4;... . Каждый член
первой последовательности больше предыдущего - с увеличением номера члены по
следовательности увеличиваются; каждый член второй последовательности меньше
предыдущего - с увеличением номера члены последовательности уменьшаются. Вве­
дём соответствующее определение.
Определение 1. Последовательность (д:л) называется строго возрастающей, если
x„ +i> х п при всех n = 1, 2,.... Последовательность (л:л) называется строго убывающей,
если хп+1< хп при всех п = 1 ,2 ,....
В этом определении употреблялись строгие неравенства: хп+1 > х п или хп+1 < хп.
Для последовательностей можно ввести также понятие нестрогого возрастания и убы­
вания.
Определение 2. Последовательность (х п) называется нестрого возрастающей,
если хп+1>хп при всех n = 1, 2, ... . Последовательность (д:л) называется нестрого убы­
вающей, если хп+, < х п при всех п= 1,2,....
Отметим, что для функций можно сформулировать определение, аналогичное
определению 2.
114

Глава 3, §1, п .3 .1 .2
Определение 3. Все строго или нестрого возрастающие, а также строго или нестро­
го убывающие последовательности называются м онот онны м и.
Легко видеть, что уже известная нам последовательность Фибоначчи монотонная она нестрого возрастает, так как для всех п = 1,2,... выполняется неравенство х п+1>хп,
но х2= х Ху поэтому строгого возрастания нет (неравенство х п+1> х п не выполняется при
л = 1). А вот последовательность (ап) из примера 1 предыдущего пункта не является мо­
нотонной (знак неравенства между х п+]и х п меняется без какой-либо закономерности).
Иногда имеет смысл исследовать монотонность последовательности не для всех но­
меров п = 1, 2, ..., а начиная с некоторого номера.
Определение 4. Последовательность (д:п) называется строго возрастающей начи­
ная с номера л0, если неравенство +j > х п выполняется для всех номеров п > л0. (Стро­
гое убывание и нестрогое возрастание и убывание последовательности начиная с номе­
ра п0 определяются аналогично.)
Последовательность Фибоначчи строго возрастает начиная с номера 2 (т. е. при
п> 2), так как х п+1 > х п при п> 2.
Пример 1.
Исследуйте на монотонность последовательности, т. е. выясните строго (нестрого)
возрастающей она является или строго (нестрого) убывающей:
а) х = — г;
б) х =
в) х = л/л -1- 1 - л/л.
л л+ 1

л л!
л
Решение.
а) Для исследования монотонности последовательности часто бывает удобно рассмотреть знак разности * , +, -

Так как х п+, - х п =

=^ + ^ + 2 ) ^

=

= л2+ 2л + 1 - л2- 2л
> 0 при всех л = 1, 2, ..., то х п + х > х п при
(л + 1)(л + 2)
(л + 1)(л + 2)
л = 1, 2,.... Последовательность (лгга) строго возрастает. Можно заметить также, что
х п =1 -

+ у так как при возрастании л величина л -I- 1 строго возрастает, то ^ ^ ^

строго убывает. Так как из постоянной величины 1 вычитается строго убывающая по­
следовательность, то в итоге (*п) строго возрастает.
б) Если все члены последовательности положительны, то для исследования моно­
тонности часто бывает удобно рассмотреть отношение - п* - и сравнить его с единицей.
Имеем: — * 1 = . ^ . *п} - = —
. При больших л отношение становится меньше 1, а
хп
(л -I- 1)1 • 10л л -I- 1
именно, х "х +1 < 1 при 10 < л + 1, т. е. при л > 9. Итак, х п+1 < х п при п> 10; х п+1 = х п при
п = 9 и x n+i > х п при л < 8. Поэтому последовательность (д:п) строго убывает при л > 10
и нестрого убывает при л > 9. Если рассматривать последовательные значения х п, то
* ,<
л

* 2 < *“ <

* 9 ’ * 9 = *10* й 3 а Т е М Х Ю > Х П > * 1 2 > - «

Отсюда видно, что члены последовательности х 0 и х 10, равные

1U

IU

= -jQp являются

наибольшими её членами (все остальные члены положительны и принимают значе10®ч
ния, меньшие -gj-).

115

Глава 3, §1, п.3.1.2 ______________________________________________

в) Чтобы оценить, как изменяются члены последовательности при увеличении л, пре­
образуем формулу общего члена. Домножим и разделим х п = л/л + 1 - л/л на л/л + 1 + л/л,
л 4- 1-л/л)(л/л + 1+л/л)______ 1_____
. При возрастании л величины л/л + 1
тогда х п= —
(л/л + 1 + л/л)

(л/л + 1 + л/л)

и л/л строго возрастают, значит, строго возрастает знаменатель л/л + 1 + л/л. Так как
числитель - постоянная положительная величина, то дробь строго убывает. ■
Чтобы исследовать последовательность на монотонность, можно:
• рассмотреть знак разности х п+1~ х п
Хп + 1
• или рассмотреть отношение —
- —,

• или преобразовать формулу общего члена.
После чего сделать вывод, воспользовавшись следующей таблицей:
(х ) строго[нестрого]возрастает, если
Х „ * , ~ Х , > 0 1Х П * , ~ Х П > 0 ^

при положительных членах
последовательности:
х„
1 х„
1
при увеличении п величина хпстрого
[нестрого] увеличивается

(х )

строго [нестрого] убывает, если
х . *

1 - х . < о I х . +1 - *„ < 0]

при положительных членах
последовательности:
Хц±1 < J
J1
Хп

1 Хп

1

при увеличении л величина хпстрого
[нестрого] уменьшается

Вернемся к последовательности (ап), составленной из цифр числа л/2 (мы рассмат­
ривали ее в примере 1 предыдущего пункта). Заметим, что все ее члены не превышают
по модулю девяти (ведь все ее члены - это цифры числа), то есть выполняется неравенс­
тво | х | < 9. Такие последовательности называют ограниченными.
Определение 5. Последовательность (*n) называется ограниченной, если для всех
номеров л = 1,2,... выполняется неравенство | х п| < С, где С - некоторое положительное
число. Если последовательность не является ограниченной, её соответственно называ­
ют неограниченной.
Применим это определение для доказательства ограниченности последовательнос­
тей, уже рассмотренных нами в примере 1 .
Пример 2.
Доказать, что последовательность является ограниченной:
а) х = —7-=-;
б) х = -1—;
в) х = л/л + 1 - л/л.
' п п+1
7 п л!
7 п
Доказательство.
а) Так как при всех л = 1, 2,... выполняется неравенство л < л + 1, то 0 < хя < 1.
Поэтому | хп | < 1 для всех номеров л и по определению последовательность ограни­
ченная. ■
б) В ходе решения примера 16 было доказано, что наибольшее значение хп равно
1 лд

С = -gj-. При всех п = 1, 2,... значения хп положительны, поэтому | хп \ < С, л = 1, 2,..., и
по определению последовательность ограниченная. ■
116

Глава 3, §1, п .3 .1 .2
в) Так как х = ~Jn + 1 —л/л = - ,-----г-, при всех п = 1, 2,... выполняется нераVn + 1 + vn

венство

< ж1= — ---- = л/2 - 1. Все значения

положительны, поэтому |

| < л/2 - 1

при всех л = 1, 2, ..., и по определению последовательность ограниченная. ■
Пример 3.
Доказать ограниченность последовательности
ж„ = 1 + ^5 + ^5 + ... +^5, л = 1, 2, ....
Доказательство.
При всех k = 2, 3,... выполняется неравенство А2 > /г(& - 1), поэтому
= r h - “ Т Значит’ ^„ < 1 + (1 - | ) + ( | - | ) + ... +
п = 2, 3 , при я = 1 также

«

^

.=

я(/г — 1)

- i ) = 2 - i < 2 при всех

= 1 < 2. Так как все значения х положительны, | х | < 2

при всех л = 1, 2 , ... . ■
Заметим, что величина С в определении ограниченной последовательности зада­
ется неоднозначно; если при всех п выполняется неравенство | х |< 2, то и подавно
| хп| < 3 и т.д. Вопрос об определении наименьшего возможного значения С выходит за
рамки нашего курса. Отметим только, что такое наименьшее возможное значение С в
10°
г—
примере 2а равно 1, в примере 26 равно
в примере 2в равно л/2 - 1, а в примере 3
равно

(вот это уже никак нельзя было бы угадать!).

Пример 4.
Доказать неограниченность последовательности квадратов натуральных чисел.
Доказательство (от противного).
Пусть последовательность х п = п2 ограничена. Тогда по определению найдётся
такое число С, что для всех п = 1, 2,... выполняется неравенство | х | < С, то есть
п2 < С, или п < л/С. Но это заведомо неверно, так как для фиксированного положи­
тельного числа л/с найдётся натуральное число п > л/С. Полученное противоречие
показывает, что последовательность неограничена.
Пример 5.
Доказать неограниченность последовательности
хп = 1 + \ + ... + к
" 2
п
Доказательство (от противного).
Пусть данная последовательность ограничена. Тогда по определению найдёт­
ся такое положительное число С, что для всех п = 1 ,2 ,... выполняется неравенство
| хп | < С, то есть хп < С (так как х п > 0). При п = 2т, т = 2, 3, ... разобьём слагаемые на
такие группы:
1
л
1
+ Jг,=1 +—
+—+—+—+ - +--(--+ . +-т 2“
1
2 3 4 5 6 7 8
2" + 1
+2

117

Глава 3, §1, п.3.1.2
В к -й г р у п п е (к = 2 , 3 ,..., т)

А,.

1

2*'1 + 1

■+ . . . + ТГТ-

2*'

2к 1+ 2

в с е г о 2*" 1 с л а г а е м ы х , п р и эт о м с а м о е м а л е н ь к о е и з н и х - п о с л е д н е е . П о эт о м у
■> i + M

+ I = 1 + 2L.

+ '
"

2

2

Д л я ф и к си р ован н ого п о л о ж и тел ь н о го чи сл а С н а й д ет ся н ат ур ал ь н ое чи сл о т та­
к о е , что т > 2(С - 1). О тсю да х 2,„ > 1 + у > С, а это п р оти вор еч и т т о м у , что при всех
н атурал ьн ы х п вы п ол ня ется н еравен ство х п < С. З н а ч и т , п о сл ед овател ьн ость неогран и чен н ая.
Б еск он ечн ая сум м а 1 + - ^ + . . . + - ^ - + . . , н азы вается г а р м о н и ч е с к и м р я д о м . Р езул ь­
тат п ри м ер а 5 часто ф о р м у л и р у ется к ак р а сх о д и м о ст ь г а р м о н и ч еск ого р я д а . Опреде­
л ен и е беск он ечн ой сум м ы и р а сх о д и м о ст и р я д а в ы х о дя т з а рам к и н аш его к ур са.
З ам ет и м , что при в сех н атурал ьн ы х п и Л > 2 вы п о л н я ет ся н еравен ство
1 + - 7^ - + . . . +

^ 1 + 7 ^ 2 + •■• + ~ г < 2 (п р и м ер 3).

П оэтом у последовательн ость х = 1 + -Jj + . .. + -jjj о гр а н и ч ен н ая п р и ц ел ы х k ^ 2 и
н еогран и чен н ая при к = 1.
* * *

В заключение отметим, что ограниченная последовательность может иметь наибольший и
наименьший члены, а может и не иметь.
Пример 6.
Рассмотрим последовательность хп = п + ^ из примера 1а. Мы видим, что она строго воз­
растает и ограничена, так как при всех п = 1, 2,... выполняется неравенство | хп | < 1. Так как
1
2
3

х х< х2< х3=
---- — ). Значит, —1—+ —— + ... +
d \x k x k, J
х ,х г х Л
Jt/
dx« Л +,

=

, i | ' i

. I + ...+ 1 - J
d\x,

x,

x,

X,

X,

X,

, 4

1


1
due,

При вкладе в банк начальная сумма 800 р. увеличивается ежегодно на 10%
от начальной суммы. Какой будет эта сумма через 1 год; 2 года; 3 года?
Объясните, как образованы члены последовательности;
а) 5; 7; 9; 11 ....
б) -100; -150; -200; -250; - 3 0 0 ; ....
в) 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0 ,5 ; ....
Придумайте пример аналогичной последовательности. Познакомьтесь с названи­
ем подобных последовательностей в учебнике. Какое определение вы использова­
ли? Укажите разность каждой из данных прогрессий.
Найдите четыре первых члена арифметической прогрессии, если её первый член
равен 1,5, а разность равна -0 ,4 .
Дан первый член арифметической прогрессии а, = 500 и её разность d = 20.
1) Проанализируйте, каким образом записаны члены прогрессии, и продолжите
запись:
а2 = 500 + 20
о3 = 500 + 20 + 20 = 500 + 20 • 2
а 4 =
“ 5 =

Что интересного вы наблюдаете? Какой вид будет иметь ап ?
2) Можно ли обобщить ваши наблюдения для любой арифметической прогрессии?
Как найти общий член прогрессии, используя первый член и разность прогрессии.
Сравните свою формулу с формулой на с. 122.
(434) В арифметической прогрессии (ап) первый член а 1 = 5; разность d = 0,6. Найдите:
а) а5; б) а26; в) а32.
[

435)

Последовательность {а ) - арифметическая прогрессия. Выразите:

ш

Найдите разность арифметической прогрессии (г ;), если:
а) х , = 14; х8 = -7 ;
б) х ъ = -4 ; x it = 50.

ш

Найдите первый член арифметической прогрессии (рп), если:
а) Уи —“ 23; d = -2 ;
б) у , = 16; у а = 52.

а) а8 через а, и d;

б) а и через а6 и d.

|438) Найдите разность и сто пятидесятый член арифметической прогрессии 1,8; 2,2;
2,6;

124

. ...

Глава 3, §2, п.3.2.1
Какие из чисел 123, 132, 213, 231, 312, 321 являются членами арифметической
прогрессии 3; 7; 1 1 ;... ?
Найдите формулу общего члена арифметической прогрессии:
а) 18; 14; 10; 6; ...;

б) 2±; г | ;

г | ; ... .

Пятый член арифметической прогрессии равен 1, а двенадцатый равен 15. Запи­
шите формулу общего члена прогрессии и найдите её седьмой член.
Укажите количество положительных членов арифметической прогрессии 84,1;
78,3; 72,5 ....
В арифметической прогрессии х 7= 3. При каком значении разности прогрессии ве­
личина произведения х л• х 8 наибольшая?
Найдите разность арифметической прогрессии, если а6 составляет 60% от а3 и
аг+
а3= 48.
С
Могут ли быть членами одной арифметической прогрессии (не обязательно после­
довательными) числа: 2, 10, 5^2?
Найдите пятый член арифметической прогрессии, еслиа3+ а7= 21.
Третий член арифметической прогрессии равен 20, а девятый равен 2. Запишите
формулу общего члена прогрессии и найдите её пятый член.
Найдите первый член и разность арифметической прогрессии (ап), если:
а) а4 + а8 = 35 и а3 + ап = 65;
б) а5+ а„ = 42 и а3 ■а 10= 165.
Является ли последовательность, заданная формулой, арифметической прогрессией:
а) ап = - 8 п - 1;
в) ап = -4,4п;
б) ап = 5л2 - 4п;
г) ап = 25 —0,16п.
f f i |4 S45
i T0 || Последовательность (Ьп) задана формулой Ьп = п(п - 4). Найдите 6,; Ь4; Ьи

(45lJ 1) Какие из данных последовательностей строго убывающие, а какие строго воз­
растающие?
а) ап= Зга - 2;

в)

д) 3, 6, 9...... З й ,...;

=

ж )а„=3 + п2;

п
1;
з) а = 1 + 5'
е) а = —
г) а = 2л - 1;
б) а = 50 + 7л;
" л
2) Какие из этих последовательностей являются арифметическими прогрессиями?
V

|452| Решите уравнение:
а )^ + - 33

х2 - И х

4- х ,
11-х’

б);

7

+2
”■х - 2 ' х +

8

4 - х 2’

, X+ 1 ,

' х +3

10х
х2 + х

4
х - 2'

|453| Решите уравнение с помощью замены неизвестного
а)-

1
- - 3
х

5.
1
= 24
-+ 2
X

4х 1 _ег |
6
б) Т + Т ~ 5 + х + 5'

125

Глава 3, §2, п .3 .2 .2 __________________________________________

®

4551

454|

Известны первый член арифметической прогрессии (ел) и её разность:
с, = 1,5; d = -0,25. Найдите с6;см; с4М.

Найдите разность арифметической прогрессии (ая), если а, = 3 и а25 = 53.

456 Сколько отрицательных членов содержит арифметическая прогрессия -20; -19,2;
------1 -18,4; ...?
4571

В арифметической прогрессии at = 117, а 5= 114. Найдите номер первого отрица­
тельного члена прогрессии.

)8| Найдите наиболее близкий к нулю член арифметической прогрессии

101,1; 97,2;
9 3 ,3 ;....
[45^1 Могут ли быть членами одной арифметической прогрессии (не обязательно после'
* довательными) числа: -Тз, 5, 7л/3?

4601

Последовательность (ап) задана формулой ап = п(п - 3). Найдите а,; а 3; а 10; а4; а ,+3.

4 6 1 1 Решите уравнения:
3 - х .
1 .
10
_1______ 8 _ х - 5 .
б )х + 5 х - х 2 х - 5 ’
а):
’ х + 4 х2 - 16 х - 4 ’
_*
62| Возрастающая арифметическая прогрессия такова, что произведение каж­
дых двух различных её членов - также член этой прогрессии. Докажите, что
все её члены - целые числа.
4631 К&кое наибольшее количество последовательных членов арифметической прогресгсии с разностью 6 может оказаться простыми числами?
Щ \ Имеется возрастающая арифметическая прогрессия с натуральными членами.
1
■ Докажите, что найдётся член, в десятичной записи которого есть 999 девяток
подряд.
|4 6 5 | Возрастающая арифметическая прогрессия содержит два натуральных числа и
квадрат меньшего из них. Докажите, что она содержит и квадрат второго числа.

3.2.2. Сумма первых

п

членов арифметической прогрессии

Доказыватьчеловеку необходимость знания это всё равно, что убеждать его в полезности зрения.
Максим Горький (1868-1936),
русский советский писатель

В предыдущем пункте мы рассмотрели несколько формул, связанных с арифме­
тической прогрессией. Среди них была и формула общего члена арифметической про­
грессии, которая помогает, например, найти нужный её член, избежав громоздких
126

_______________________________________________________ Глава 3 , §2, п .3 .2 .2
вычислений. В этом пункте мы выявим и другие формулы, позволяющие проводить
расчеты с членами прогрессий более рациональным способом.
Рассмотрим следующую задачу.
Задача 1.
Рабочий выкладывает из кирпича ступени лестницы.
На каждую следующую ступеньку уходит на 8 кирпичей
больше, чем на предыдущую (кладка начинается от уровня
/7 7 7
земли). На первую ступеньку ушло 16 кирпичей. Сколько
кирпичей потребуется на выкладывание лестницы с 15 сту­
пенями?
В этом примере, если дс , х2, ... - соответственно количество кирпичей, требуемых
для выкладывания первой, второй и т.д. ступеней, то числа х х, х 2, ... являются члена­
ми арифметической прогрессии с первым членом, равным 16, и разностью 8. Для отве­
та на вопрос нам требуется найти сумму первых пятнадцати членов арифметической
прогрессии: х х + х2+ ... + х 1Ъ.
Другой пример задачи на суммирование членов арифметической прогрессии опи­
сан в математической литературе.
В школьные годы с великим немецким математиком Карлом Гауссом произошёл
такой случай (возможно, это легенда). Учителю нужно было на уроке срочно заняться
своими делами, и он озадачил учеников таким, с его точки зрения, трудным упраж­
нением: найти сумму всех натуральных чисел от 1 до 100. Учитель полагал, что на
его выполнение уйдет много времени, однако Гаусс справился с этим упражнением за
пару минут. По всей видимости, он рассуждал так: 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... = 50 +
+ 51 = 101. Поэтому он разбил 100 слагаемых на 50 пар, сумма чисел в каждой из ко­
торых составляла 101. Отсюда ему нетрудно было сделать вывод о том, что вся сумма
равна 50-101 = 5050.
Итак, юный Гаусс, заметив определённую закономерность, вычислил сумму пер­
вых ста слагаемых арифметической прогрессии, обойдясь без поочерёдного прибав­
ления каждого из слагаемых. Попробуем найти подобный способ нахождения суммы
первых п членов арифметической прогрессии и мы.
Получить значение суммы Гауссу помогло то, что он заметил равенство попарных
сумм, равноудалённых от начала х хи конца хп арифметической прогрессии. Восполь­
зуемся его идеей и решим задачу нахождения суммы первых п членов арифметиче­
ской прогрессии в общем виде.
Обозначим сумму первых п членов арифметической прогрессии Sn. Чтобы полу­
чить попарные суммы членов прогрессии, запишем Snдвумя способами. В первой стро­
ке начнём с и будем получать каждый следующий член прибавлением разности d.
Во второй строке начнём с х л и будем получать каждый следующий член вычитанием
разности d:
Sn = х х + (хх+ d) + (хх+ 2 d )... + (хх + (п - 1) d),
S n = xn + (хп- d) + (хп~ 2 d )... + (хп - (п - 1) d).
Как мы видим, каждая пара чисел, расположенных друг под другом, в сумме даёт
одно и то же значение х х + хп(а значит, попарные суммы членов Sn арифметической
прогрессии, равноудалённых от её начала х хи конца хп, всегда равны).
Сложив эти равенства почленно, получим:
2S = (х. + х ) + (х. + х ) + (х. + х ) + ... + (х. + х );
п

V

1

л

л

Y

п____________

1

J

п раз
127

Глава 3, §2, п.3.2.2

2Sn = (x, + х п) • п;
S

-

(х' + Х п )'П

п

п

2

Используем полученную формулу для задачи, решённой юным Гауссом. Нату­
ральный ряд чисел образует арифметическую прогрессию, первый член которой равен
1, а п-й член равен п, поэтому 1+2 + 3 +...+ п = ~
^ 2+
ПРИ п = 100 получим тот же
результат: 1 + 2 +...+ 100 =
2
= 5050.
Полученная нами формула удобна, если нам известен первый и п -й члены прогрес­
сии, как это было в истории про Гаусса. Однако в первой задаче, рассмотренной нами,
15-й член прогрессии неизвестен, и его придётся вычислять отдельно по формуле
x ls = х х+ (15 - 1)d. Выведем формулу суммы, которая сразу приведёт нас к нужному
ответу.
Подставив в формулу суммы первых п членов арифметической прогрессии вместо
х выражение х г + ( п - 1)d , получим другую формулу для подсчёта суммы:
s _
+ хп . п _ х, + Ху + d(n - 1 ) . п _ 2х, + d(n - 1 ) . п
п

2

2

2

Эта формула внешне напоминает формулу общего члена арифметической прогрес­
сии, и поэтому её легко запомнить.
Итак, мы можем использовать две формулы суммы первых п членов арифметиче­
ской прогрессии

Вернёмся к решению задачи о кирпичной кладке:
Sls = 2-16 + 8 - ( 1 5 - 1 ) -15 = (16 + 56) • 15 = 1080.
Ответ: 1080 кирпичей.
Не зная этих формул, нам бы пришлось вычислять все первых пятнадцать членов
арифметической прогрессии и складывать их.
Рассмотрим ещё несколько примеров, в которых применяются выведенные нами
формулы.
Пример 1.
Найти сумму первых п нечётных чисел.
Решение.
Последовательность нечётных натуральных чисел образует арифметическую про­
грессию с первым членом 1 и п-м членом, равным 2л —1. Тогда искомая сумма равна
1 + 3 + 5 + ... + (2л - 1) = 1 + 2" ~ 1 • п = п \
Пример 2.
13 шахматистов разыгрывают турнир в один круг, т.е. каждые два участника
встречаются друг с другом по одному разу. Сколько партий будет сыграно?
128

__________________________________________________ Глава 3, §2, п.3.2.2
Решение.
Первый участник сыграет 12 партий, второй - также 12, но одна игра (с первым)
уже учтена, поэтому «новых» (не учтённых ранее) партий будет 11. «Неучтённых»
партий 3-го участника будет 10, 4-го - 9, и т.д. Для 12-го участника останется одна
«неучтённая» партия с 13-м, а для 13-го все партии уже учтены. Итого сыграно 1 + 24+ ... + 12 = ~ 2 13 = 78 партий.
Замечание. Эту же задачу можно решить и с помощью комбинаторики. Искомое
1 0 . 1 0

число партий равно С?,
и = - 2 * = 78.
Пример 3.
Найти разность арифметической прогрессии, если сумма её второго и третьего чле­
нов равна 13, а сумма третьего и четвёртого членов равна 7.
Решение.
Разность (*3 + х4) - (х2 + д;3)= х4 - х = 2d, где d - разность прогрессии. То есть
2d - 7 - 13 = -6 , откуда d = -3 .
Пример 4.
Найти сумму первых 11 членов арифметической прогрессии, если сумма 3-го и
9-го членов равна 10.
Решение.
Пусть х 1 - первый член, a d - разность прогрессии. Тогда х3 = х х +2 d, х0 = х х +8 d,
х3+ х0 = 2хх+10d=10. Сумма первых 11 членов прогрессии равна
s„ =

= y ( z , + ж, +1 0 геом етрическая
прогрессия строго убы вает, а п ри ж1 < 0 - строго возрастает. П ри q = 1 геом етрическая
прогрессия я в л я е т с я постоян ной последовательностью (ж1 = ж2 = ж3 =...).
В отличие от р ассм отрен н ы х вы ш е последовательностей зн ам ен атель прогрессии:
1,

... о тр и ц ател ь н ы й , и зн а к и её членов чередую тся. Ясно, что т а к а я к а р ­

тина будет н аблю даться при лю бом q < 0 и так и е геом етрические прогрессии не будут
являться ни во зр астаю щ и м и , н и убы ваю щ и м и .
* * *

Итак, если q > 0, то геометрическая прогрессия является монотонной последовательностью
(строго возрастающей или строго убывающей), если q < 0 - не является монотонной.
Если | 1, то геометрическая прогрессия является
неограниченной последовательностью. Доказать в общем виде это пока нам не под силу, прове­
дём доказательство для случая q = 2 .

137

Глава 3, §3, п.3.3.1
Формула общего члена геометрической прогрессии со знаменателем 2 имеет вид
х п= х, • 2" '. Легко доказать, что при п —2, 3,... выполняется неравенство 2Л~1> л. В самом деле,
при п = 2 имеем 2' > 2 - верное неравенство. Предположим, что при фиксированном п > 2 выпол­
няется неравенство 2" "1> п. Тогда
2 2п> п+1,
и неравенство 2п 1> п выполняется для следующего значения п+1. Методом математической
индукции доказано, что неравенство 2" 1> п выполняется при всех п = 2 ,3 ,.... Тогда | х п| ^ и •| х х|.
Предположим, что (х ) - ограниченная последовательность. Значит, найдётся число С > О
п
С
такое, что при всех п = 1 ,2 ,... выполняется неравенство | хп | < С. Тогда п • | х, | < С, и п <
при всех л = 2, 3, ... (мы учли, что х, * 0). Но обязательно найдётся натуральное число n >

С

Полученное противоречие показывает, что хп- неограниченная последовательность. ■
По формуле общего члена последовательности можно сразу определить, является ли после­
довательность геометрической прогрессией.
Теорема 1. Последовательность (хп) является геометрической прогрессией тогда и только
тогда, когда х = aqn, где a, q е R , а ф 0, q * 0, при этом знаменатель прогрессии равен q.
Доказательство.
Если (хп) - геометрическая прогрессия, то хп= x xqn~1= ~~q" —Щ", где а =

* 0, q ф 0.

Обратно, если общий член последовательности задаётся формулой x n = aqn, a, q * 0, то
aqn

-=

q * 0, т.е. (х ) - геометрическая прогрессия со знаменателем q.

Рассмотрим свойство геометрической прогрессии, благодаря которому она полу­
чила свое название.
Т еорем а 2. П оследовательность х п является геом етр и ческой п р огр есси ей тогда
и только тогда, к огда все её члены отличны от нуля и квадрат к аж д ого члена, на­
чиная со второго, равен пр оизведен ию п реды дущ его и п оследую щ его членов, т. е.
х п2= х п_ х • х я+1, п = 2, 3 , 4 ,... (если все х п > 0 , то x n = >1хп_ 1 ■х п +1 - ср едн ее геометри­
ч еское чисел х п _, и x n + j).
Д о к а за т ел ь ст в о .
Если х п - геометрическая последовательность, то х п +1 = х п • q, х п 1 = — , откуда

* „ -г

x n .i = ^ '

*„ ? = *„2 (? * °)-

Обратно, если х 2 = х п_х - х п+х при п = 2, 3, 4 , ..., то
= ~х ~х' л = 2, 3, 4 , .... Таким
образом, — = — = —
= х- ~ - =
т.е. отнош ение двух соседн и х членов последова­
ла # 2
Д?з
Хп
тельности - постоянная величина. Значит, х п - геометрическая прогрессия. ■
П ример 2.
Точки A j, B r С. являются серединами сторон треуголь­
ника А В С , точки А 2, В 2, С2 - серединами сторон треугольника
A, Bj С ,, и т .д ., точки А лВ п Сп —серединами сторон треугольника
А„ - 1 В п _, Сп _,, и т.д. Доказать, что последовательность х п пло­
щ адей треугольников А л В п Сп образует геометрическую про­
грессию со знаменателем i .

138

Глава 3, §3, п .3 .3 .1
Д ок азат ел ь ст во.
Так к а к Л ,С , = i АС. В ,С , = ^ В С , A tB t = -|а В ,

то

треугольник Л Д С , подобен тре­

уго л ьн и ку А В С с коэффициентом подобия i . К а к известно, при этом
Аналогично, S W j = ^ S W j , ... , S A B C_ ■ 1с

= y S ^ ,.

. Значи т, площади треугольников

образуют геом етрическую прогрессию со знам енателем

1 _

Пример 3.
Стороны треугольника образуют геометрическую прогрессию. Какие значения может при­
нимать знаменатель этой прогрессии?
Решение.
Запишем длины сторон треугольника в виде a, aq, a q 2, где q - искомый знаменатель. Из
трёх отрезков можно составить треугольник тогда и только тогда, когда длина каждого из от­
резков меньше суммы длин двух других, т. е. должны выполняться одновременно три нера­
венства: a + a q > a q2, a + a q 2> aq, a q + a q 2> а . Так как a —положительное число, то остаётся
решить систему трёх неравенств:
q2 - q - 1 < 0;
q2- q + 1 > 0 ;
q2 + q - 1 > 0.

( 1)
( 2)

(3)

Неравенство (2) выполняется для всех действительных значений q, так как квадратный
трёхчлен с положительным старшим коэффициентом q2—q + 1 имеет отрицательный дискри1 +л/б

минант. Квадратный трёхчлен q2- q - 1 имеет корни q x 2 = — - — , поэтому множество решении
первого неравенства системы имеет вид q е

/1 —л/5 1 +4S^ , 2 у Квадратный трёхчлен q2+ q - 1 име-

- 1 ±л/5
ет корни q 12 = ---- ----- , поэтому множество решений третьего неравенства системы имеет вид
/
- 1 - л/б\ /л/б - 1
q е 1—00; ---- ----- и '

Пересечение этих множеств дает множество решении системы:
все эти значения q положительны, это и есть ответ к нашей задаче.

/''л/5 - 1 л/б + 1' . Так как

л/б - 1 л/б + 1\
От вет: знаменатель этой прогрессии q e l2 ’ 2 I

О

4971 К а к а я сум м а будет на срочном вкл ад е, если на него положили 2 0 0 0 р. под
5% го д о вы х , через 1 год, 2 года, 3 года? Н а срочном вкл ад е начи сляю тся
слож ные проценты, то есть проценты н ачи сляю тся к а к на сумму вкл ад а, та к и на
начи сленны е в предыдущ ие периоды проценты.
Найдите законом ерность и продолжите последовательность на три числа:

-JL._ jL._JL

2 9 ’ 2 9 ’ 2 9 .........
Задайте эту п оследовательность рекуррентно.

139

Глава 3 , §3, п .3 .3 .1
Запишите последовательность из 5 чисел, в которой первое число равно 4, а каждое
следующее больше предыдущего в 1,5 раза.
Даны последовательности чисел:
а) 1,2; 1,4; 1,6; ...;
в) 2,4; 4,8; 9,6; ...;
б) 1,2; 0,6; 0,3;...;
г) 8,1; 2,7; 0,9; ....
1) Определите, какая последовательность лишняя.
2) Чем похожи все остальные последовательности?
3) Придумайте пример аналогичной последовательности. Познакомьтесь с назва­
нием подобных последовательностей в учебнике. Какое определение вы использо­
вали? Укажите знаменатель каждой из данных прогрессий.
Дан первый член геометрической прогрессии Ьх= 36, и её знаменатель q = -3.
1) Проанализируйте, каким образом выписаны члены этой прогрессии, и продол­
жите запись:
Ь2 = 3 6 -(-3 )
Ь3 = 36 • (-3) • (-3) = 36 • (-3 )2

кЧто интересного вы наблюдаете? Какой вид будет иметь Ьп?
2) Можно ли обобщить ваши наблюдения для любой геометрической прогрессии?
Как найти общий член прогрессии, используя первый член и знаменатель прогрес­
сии? Сравните составленную вами формулу с формулой из учебника на с. 137.

|502| Найдите четыре первых члена геометрической прогрессии (5 ), если Ъу = -2;
----- 1 q = - 3.

|503j В геометрической прогрессии (5л) с первым членом bx =
найдите:

а) Ь2;

б) Ь4;

в) Ь7;

и знаменателем q = -5

г) bk.

В геометрической прогрессии восьмой член равен 12, а девятый член равен 4. Най­
1¾ дите
седьмой член этой прогрессии.

Ш

Найдите знаменатель и пятый член геометрической прогрессии: тг^-;
Zo o

l^o

J r ; ••••
о4

[506] Последовательность (а п) - геометрическая прогрессия. Выразите:
а) а 5 через а хи q;

б) а 7через а 4 и q.

Найдите первый член геометрической прогрессии, если:
аК = §; 0;

в) 4 * 2 - 1 2 * + 9 > 0;

г) - 2 х 2 + х - 1 < 0 .

Найдите седьмой член геометрической прогрессии (сп), если с 1 = 6 и q = 2.

|519| В геометрической прогрессии третий член равен - 6 , а четвёртый член равен 3.
Найдите первый член этой прогрессии.
|520| Найдите первый член геометрической прогрессии (ап), если а6 = 121,5 и q = 3.
|52jJ Числа 2, х , 18 являются последовательными членами геометрической прогрессии.
Каким может быть число х ?
(522| Третий член геометрической прогрессии равен 40, а шестой равен 5. Запишите
формулу общего члена прогрессии и найдите её седьмой член.
(523| При каком значении х числа 2л: -Ь 1;лгЧ-2; 8 —лг будут последовательными членами
геометрической прогрессии? Найдите эти числа.
р24| Каким может быть седьмой член геометрической прогрессии, если Ь2•b l2 —1?

[5251 Числа х , 8, у являются тремя последовательными (в данном порядке) членами гео­
метрической прогрессии. А числа х , 10, у являются последовательными (в данном
порядке) членами арифметической прогрессии. Найдите х и у.

[$2б|

Дана последовательность (&л), у которой b3 = 9, Ьд = - 3 . Является ли данная после­
довательность геометрической прогрессией?

[527]

Найдите сумму первых 20 членов арифметической прогрессии (*„), если х , = 5 и
х = 45.

141

Глава 3, §3, п.3.3.2

Решите неравенство:
х2+4х
а) - х2
+4.х - 3 < 0;
б)

-4 jc- 3 > 0 ;

в)

9 х 2 - 6л: + 1 > 0;

г) -З х 2 4- х - 1 < 0.

5291

Последовательность из двух различных чисел продолжили двумя способа­
ми: так, чтобы получилась геометрическая прогрессия, и так, чтобы полу­
чилась арифметическая прогрессия. При этом третий член геометрической про­
грессии совпал с десятым членом арифметической прогрессии. А с каким членом
арифметической прогрессии совпал четвёртый член геометрической прогрессии?

3.3.2. Сумма первых п членов геометрической прогрессии

Успех во всяком деле зависит от двух условий:
правильного установления конечной цели и отыскания
соответствующих средств, ведущих к этой цели.
Аристотель (IV век до н.э.),
древнегреческий учёный, философ

Для арифметической прогрессии мы вывели формулу суммы первых п членов, ко­
торая существенно облегчает задачу суммирования её членов. Полезным будет выве­
сти аналогичную формулу и для геометрической прогрессии.
Начнем с широко известной притчи, в которой описана задача на суммирование
членов геометрической прогрессии.
Раджа, пожелав вознаградить изобретателя шахмат, обещал исполнить любое его
желание. Изобретатель попросил положить одно зерно ячменя на первую клетку шах­
матной доски, два - на вторую и так удваивать количество зерен на каждой клетке,
пока вся доска не будет заполнена.
Раджа поначалу обрадовался скромности мудреца. Он начал считать требуемое ко­
личество зерен: 1; 2; 4; 8; 16.... С каждой новой клеткой его энтузиазм уменьшался.
Скоро стало ясно, что для выполнения обещания не хватит ячменя в зернохранили­
щах всего государства, поскольку сумма полученных 64 членов этой прогрессии соста­
вила бы 18 446 744 073 709 551 615 зёрен, которых хватило бы, чтобы 8 раз засадить
ячменём весь земной шар!
Отметим, что существует приём, который позволит посчитать требуемое коли­
чество зёрен, не выполняя 63 операции сложения. Это можно сделать так: добавим в
первую клетку ещё одно зерно. Тогда в первых двух клетках зёрен окажется поровну по 2, и в первых двух клетках зерна будет столько же, сколько в третьей клетке, - 4.
Значит, количество зёрен в первых трёх клетках равно удвоенному этому количеству,
то есть 8 - количеству зёрен в четвёртой клетке и т.д. В итоге окажется, что общее ко­
личество зёрен на доске равно
264 = 18 446 744 073 709 551 616.
Осталось убрать одно зёрнышко.
Однако эта идея не каждому придёт в голову. К тому же рассмотренный нами при­
ём не будет работать для других геометрических прогрессий. Решим задачу нахожде142

_________________________________

Глава 3, §3, п .3 .3 .2

ния суммы первых п членов геометрической прогрессии в общем случае и будем поль­
зоваться полученной формулой для всех аналогичных задач.
Пусть (*п) - геометрическая прогрессия, q - знаменатель прогрессии, a S n - сумма
её первых п членов (п = 1,2, ...). Найдём S n.
Решение.
Рассмотрим равенство
Sn = х { + х2+...+ хп.
Умножив обе части этого равенства на q, получим
Snq = x xq + x 2q+...+ xnq или S nq = x 2 + x3 +...+ xn + x n+
Вычтем из полученного равенства первоначальное:
Snq - Sn = х2 + х3 +...+ хп + х п+1- х х- х 2- х3 -...- х п, то есть S n{q - 1)= xn+l- хг.
Окончательно имеем (при q *1) S n = Ха*
или S n = x l •
| , так как х п+,= qnxv
Итак, мы получили следующую формулу суммы первых п членов
геометрической прогрессии:
S n= *i •

гДе Я ф 1» п = 1> 2,....

Если знаменатель геометрической прогрессии q = 1, то эта формула не работает,
так как возникает деление на нуль. В этом случае непосредственно замечаем, что пос­
ледовательность постоянна, и S n = п хх.
Найдём ответ к приведенной в начале притче о шахматах с помощью полученной
р04 _ 1

нами формулы: Sn = 1 • * _ - = 264 - 1. Решение не потребовало от нас никаких специ­
альных идей и приемов.
Приведём примеры решения задач на геометрическую прогрессию.
Пример 1.
Найти сумму 96 + 48 + 24 + 12 + 6 + 3 +1,5 + 0,75 + 0,375 + 0,1875.
Решение.
Каждое слагаемое в этой сумме меньше предыдущего в 2 раза. Переформулируем
эту задачу на языке последовательностей: найти сумму первых десяти членов геоме­
трической прогрессии х х = 96, q =
Знаменатель меньше 1, и чтобы избежать вычислений с отрицательными числами,
преобразуем формулу суммы: S n = х х •

5.0 = 96

= 96

=

Тогда

= 1 9 2 -3 • 2е • ^ г = 1 9 2 - |г = 1 9 2 - ^ = 1 9 1 ^ |.

Вернёмся к притче про изобретателя шахмат. Если бы он попросил увеличивать
количество зёрен с каждой клеткой не в 2 раза, а на 2 зерна, раджа вознаградил бы
его всего лишь горстью зёрен. Это объясняется тем, что геометрическая прогрессия
с положительным первым членом и знаменателем, большим 1, растёт очень быстро.
Начиная с некоторого номера, члены такой прогрессии становятся очень большими,
причём этот рост происходит значительно быстрее, чем у арифметической прогрес­
сии.
143

Глава 3, §3, п.3.3.2 __ ____________________________________________
* -.V *

Мы пока не можем аккуратно сформулировать и доказать утверждения такого рода. От­
метим только, что если арифметическая прогрессия характеризуется постоянством разности
+j —хп, то для геометрической прогрессии

*.*, - * , =

*,?"''= X, (7-1)7"

то есть эта разность также является геометрической прогрессией с тем же знаменателем q и
очень быстро растет.
Сравним арифметическую прогрессию и геометрическую прогрессию
1,2, 3,..., л;
(1)
1 ,2 ,4 ,....2 --1. (2)
Если в прогрессии (1) каждый последующий член больше предыдущего на постоянное чис­
ло 1 , то в прогрессии (2) разность хп+. - хп =2" - 2" ~1=2п~1 совпадает с хп и очень быстро растёт.
п(п + 1) S n . п + 1
, а для
— 2—
I прогрессии (2) S n = 2 "- 1, и -^- = 2„-|} = 2~ - gTTT < 2. И в общем случае для арифметической
В то же время для прогрессии (1) сумма первых п членов S n

прогрессии с положительной разностью сумма первых п членов растёт значительно быстрее
п-го члена, а в геометрической прогрессии с положительным первым членом и знаменателем,
о
| большим 1 , отношение -£■ ограничено (аккуратных доказательств мы не проводим).
Образно говоря, рост арифметической прогрессии равномерен, а геометрическая прогрес­
сия (при х г> 0, q > 1 ) возрастает резко ускоренно, основная «доля» в сумме первых п членов
приходится на п-й член.
Пример 2.
Все члены геометрической прогрессии положительны, сумма первых трёх её членов равна
7
14, а сумма их обратных величин равна g. Найти первый член и знаменатель прогрессии.
Решение.
Пусть первый член прогрессии равен x v а знаменатель равен q. Тогда х2 = x tq, х3 = x xq2, и
I из условия имеем:
хх + x xq + x^q2= 14 (1)
*i *iq x,q2 8 ( '
/
1 1 \ 49
Перемножим уравнения системы: (1 + q + q2) • (1 + — +
=
Решим полученное уравнение: 4(1 + q + q2)2= 49q2.
По условию все члены прогрессии положительны, значит, q = ^ >■0. Тогда последнее уравнение равносильно 2(1 + q + q2) = 7q, т.е. 2q2—5q + 2 = 0. Полученное квадратное уравнение
имеет корни qt = 2 и q2=

Если q = 2, то из уравнения (1) имеем: x l (1 + 2 + 4) = 14, т.е. х г = 2.

Если 9 = 2’ т х \ (l + 2 + 4) “ 14>т-е- *i = 8Ответ: 2, 4, 8,... и 8, 4, 2,....
Пример 3.
Пусть Sn - сумма первых п членов геометрической прогрессии. Докажите, что
| S „ ( S , „ - S J = (S 2„ - S „ ) 2.

Доказательство.
Пусть первый член прогрессии равен x lt а знаменатель равен q. Тогда S n = х х •

144

Глава 3, §3, п .3 .3 .2

S2n= дг, • ^ _ | ^, S3n—х1• ^ ^ • Нужное равенство перепишется в виде

,2 14 V

то есть

*^Г

—1)(6 при х > 0.

|574| Докажите неравенство:
Т¥ + - ^ > - + -г, если а + Ь>0.
Ьг а2 а Ь
5751 Найдите наибольшее значение выражения х2 + 5х+ 100 при х > 0.

© 576]

Найдите формулу общего члена последовательности, заданной рекур­
рентно:

а ) x n+l = - хп + 1 , х х = 1 ;

б ) х п+1 = Ц * + 3 , Х1 = 81.

[577] Четвёртый член геометрической прогрессии в 4 раза больше её первого члена. Во
сколько раз десятый член этой прогрессии больше четвёртого?

|578] Докажите неравенство:
а) с(с + Ь)> Ь(с - 6);
б) п + — < -8 , при п < 0.
п

[579J Найдите формулу общего члена последовательности, заданной рекуррентно:
г- — *

х ^ = 7 х п. , - 1 2 х . х = 1 , х , = 2.
п

|580| Докажите, что для членов последовательности Фибоначчи (F, = F2- 1,
F„ +2 = F„tl + FJ справедливо тождество F 2+ Fn t2 = FJntl.

155

Экспресс-тест № 4

Экспресс-тест № 4
П р и м ер н о е в р ем я в ы п о л н е н и я - 5 0 м ин ут

Часть А
№ 1



2

№ 1. Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна
из них - геометрическая прогрессия. Укажите её.
1.1

1. 1.

А) 3; 9; 15; 2 1 ;...;

В)

Б) 3; 9; 27; 8 1 ;...;

Г )з ; 1 ; | ;

&■■■■

2’ 4’ 6’ 8’

№ 2. Найдите четвёртый член геометрической прогрессии -1 8 ; 6; ....
А )| ;

Б )-§ ;

В) 1;

Г )-1 .

№3

№ 3. Существует ли геометрическая прогрессия, в которой восьмой член
равен 12, а двенадцатый член равен -8 ?
А) существует;
Б) нет;
В) нельзя дать однозначный ответ.

№4

№ 4. Сумма первого и третьего членов геометрической прогрессии равна
10, а сумма второго и четвёртого её членов равна -2 0 . Найдите сумму ше­
сти первых членов прогрессии.
А) 126;
Б ) -4 2 ;
В ) -4 4 ;
Г ) -4 8 .

Часть В

№5

№ 5. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии,
если х х= -2 , q =
А) 0,5;

№6

Б ) -0 ,5 ;

В )-8 ;

Г) 8.

№ 6. Числа 25; 10£; 5 образуют в указанном порядке геометрическую про­
грессию. Найдите число t при условии, что q > 0.
А)2,5л/5;

Б)5л/5;

В) 2-\/5;

Г)0,5л/5.

Часть С
( х од р еш ен и я и о т вет з а п и с ы в а ет с я н а от дельн ом л и с т е )
№ 7. Найдите шестой и десятый члены геометрической прогрессии, если их сумма равна
16, а произведение четырнадцатого и второго членов этой прогрессии равно 60.

156

Э ксп р е сс-те ст № 4

Ответы и решения к тесту:
№ 1

№ 2

№ 3

№ 4

№ 5

№ 6

Б

А

Б

Б

В

Г

№ 7
1) Так как числа ха, х10, хи, хг - члены одной геометрической прогрессии, то выпол­
няется условие
'x xqb+ x t f = 16;
х,д5 +
= 16;
* б + * ш = 16;
x tq™ • x tq = 60-, **
x^q5 • x xq9 = 60.
хи • хг = 60; ^
2) Введём новые переменные: пусть a = x,q6, b = x xq". Тогда

а = 6;
а + Ь—16;
а • Ь = 60;

6 = 10;
а = 10;
Ь = 6.

3) Значит, хв = 6, х 10= 10 или хе = 10, х10= 6.

О твет: хв = 6, х10 = 10 или хс = 10, х 10= 6.

Шкала успешности:
7 - 9 баллов - отлично
5 - 6 баллов - хорошо
4 балла - удовлетворительно

157

З а д а чи дл я с а м о ко н тр о л я к главе 3

Задачи для самоконтроля к главе 3
а) Последовательность (а„) - арифметическая прогрессия. Выразите а 1г через
а о и

d.

б) Последовательность ( 5 + 11
6
18 ’

а) | Зп - 18 | + | 2п - 8 | + [ Зп + 15 | < 40;
б | х + 1 2 | + | х - 6 | + |д: + 3 | + | х : - 7 | > 3 0 .

159

Ответы

Ответы
1. 6. 2. 2) 24. 3. 90720. 4. 6720. 5. 84. 7. 8 при л: = 4. 8. 9 + 4/ГО при х - -Л0 . 10. а) - 2 ; 6) - 1 ; 2
в) - 5 ; - 2 ; г) - 1 ; 0; 1; д) 0 ; е) - 2 ; -1 . 12. 6. 13. (1; 2; 3). 17. 4 при х = 2. 18. а) 1; б) - 5 ,2 5 ; 0; в) - 3 ; 1
21. 1) а) 120; б) 60. 22. 120; 60. 23. 96; 48; 16. 24. перестановки: а, размещения: б, в. 2 5 .1 2 0 , 336. 26. 30; 360
27. 1 728 000. 28. а) 30 240; б) 90. 30. чётные а, г; нечётные: б, в. 31. a) f Q-) =

/(-а) = а 2

/ ( а + 5) = а г+ 1 0 а + 25; б )/( - 2 ) = 8; f(-a ) = aa; 0,2 * Да2) = - 0 ,2 а 0; в )/(0 ) не су щ еству ет;/(0 ,1 а) = ^ р г ^ ;

= а"

г) f (-4 ) не существует; f (0) = 0; f (100) = 10; f ((а - 1)2) = |а - 11. 34. а) (- 1 ; -5 ); б) (О; 2); в) (1; 1); (0,25
0,5); г) (-1 6 ; 4); (- 4 ; 2). 35. 360. 36. 2730. 37. а) (2; - 1); (- 1 ; 2); б) (2; 3). 38. J l | | ;
4 0 .а) Д а;б )н ет; в)д а; г ) н е т ;д )д а .4 1 .а) Д а;б)н ет. 4 3 .а) 1365; б) 15015.44. п —^

2V3; -Лб; 3 /2

4 5 .1 2 0 . 4 6 .а )7 2 с ;б )1 0 5 с

в) 96 с. 4 7 .4 6 2 .4 8 .3 0 0 3 .4 9 .2 9 7 0 .5 0 . Делящихся на 11, но не делящ ихся на 13 больше. 5 1 .2 4 ,4 ,6 .5 2 . а) 6; б) 120
53. а) больше; б) меньше; в) больше; г) больше. 54. а) 1; б) л/5 - 1; в) л/7 - л/3; г) л/5 - 1; д) 1; е) 2; ж ) 2л/2; з) 2 ^
57. 21. 58. 210. 59. 1200. 60. а) 3 628 800; б) 210; в) 5040. 61. а) -1 7 ; б) л/19 - 4; в) 1; г) 3. 62. а) {0; 8}
б )^ л ^ л / 1 ;в ) { _ б ;б } ;г ) { 1 0 } .7 9 .а ) { - 1 3 ;2 } ; б ){ - 2 9 ;- 3 } ;в )0 .8 О .х 2- 2 9 х + 163 = 0 .8 1 . а ) б | ; 6 ) - 1 0 .8 2 .лг= 1 -л/5

с = - 4 . 83. а) (х + 1)(х + 12); б) -1 ,2 (х - 5)(х + ^ ); в) (х - л/3)(х + л/3); г) нельзя. 84. а) 7 см и 24 см; б) 9 см
12 см, 15 см. 85. (9; +да). 86. - 2 ; 0; | . 87. т = 2. 95. а) {-1 6 ; -2 }; б) {-7 ; 13}; в) 0 . 96. 29. 97. а) (х + 9)(х - 2)
б) (2 - 3х)(3х + 1); в) (х - л/5)(х + л/5); г) нельзя. 98. 18 м; 20 м. 99. (-оо; -1 6 ). 100. —
б) 0,25. 142. a) / * + / £ ; б)

в)

0; 1. 141. а) л/2

143. а) (-«о;-1)и(5; +оо); б) (-оо;-4]и[0; 1]; в) (-8 ; 8)

г) (- 2 ; 0)и(0; 3); д) (- 3 ; 4); е) [- 0 ,6 ; 1); ж ) (-оо;-1)и(1; 2]; з) (- 2 ; - | ) и ( 0 ,5 ; 2)и(6; +оо). 144. (-1 ; | )
145. (- 2 ; 3)и[4; 5). 146. 8 км /ч. 1 5 0 .4 8 .1 5 1 .1 5 1 2 0 . 152.

153. а) 3; в

)

154. а) (- 9 ; -7 ); б) [-3 ;0 )и (1 ; 7]

в) (-оо; -1 0 )и (1 0 ; +оо); г) (3; 6); д) (-оо;-4)и(5; +оо); е) [- 1 ; 1)и{7). 155. [- 1 ; | ] . 156. 9 км /ч. 166. а) [0; 8]
б) (-оо;-1]и[0,8; + » ) ; в) (-о о;-1,5)и (-1,5; +оо); г){5); д) (-оо; + » ) ; е) 0 . 167. (- 1 ; 1]. 168. а) [- 7 ; -5 )и (0 ; 3]
б) [5; 11); в) [5; 7). 169. (d - 7)! - (d - 8)(d - 6) - 1 > 0. 170. 220 км. 174. 27405 способами. 175. а) [6; 12]
б) 0 ; в) (13); г) (-оо; +оо). 176. (-оо;-4]и[4; +«>). 177. а) [3; 17); б) [- 9 ; -8 ). 179. 350 км. 181. а) 24; б) 420
182. а) 5040; б) 45360; в) 39916800. 183. 303600. 184. 120. 185. 657800. 186. 96. 187.

j j

. 188. 0,995

1 8 9 .0 ,1 . 190. Ц . 1 9 1 .0 ,1 1 . 192. а) (29; -17); б) (-1 ,5 ; -2 ); в) (0; -3 ). 193. а) (- 1 , 5; +оо); 6) (-оо; V 5 )u (3 ; 10)
в) (—оо;—5]. 194. [ - l | ; l | ) . 196. 6,5; V4I; 2VlO. 197. a) 9; 6) 8; в) 18 - 2 /7 7 ; г) - 1 1 ; д) 4 - / 5 ; e) 1 - / 2
1 9 8 .( 9 - ^ ) / 2 .1 9 9 .а ) - 5 ;1 5 ;б ) О ;|;в ) 6 ;г ) 0 ;д ) - 3 3 ;3 ;е ) - / 5 Т ± 6 .2 О О . а ) ± | ; б ) ± 3 ; ± 5 . 201. а) 2 ( х - 5 )(1 + 0,5)
б) нельзя разложить. 2 0 2 .5 . 2 0 3 . т = - 1 , т = 2 .2 0 4 .х = 2 .2 0 5 .а)(-о о ;-у |и ^ ;+ о о };б )[-1 ,6 ;0 ];в )(-о о ;1 )и (1 8 ;+ о о )

160

О тветы
г)0;ж ){1§};е)(-х;+® );ж )[-5;6];з)(^;-9М О ;8];и )Н о;О М О ;1М 7;+ 0, Ъ> 0 и с > 0.2 9 1 . D (у) - ( -со; 0)и(0; + со); m e[0; 1). 293. a > j g .
297. а) верно; б) не верно; в) верно; г) верно. 298. а) ни чётная, ни нечётная; б) чётная; в) нечётная; г) чётная.
299. а) верно; б) верно; в) верно; г) не верно. 300. (б), (в). 301. Т = 0,2. 303. 1) Л (у )=[-5; 5]; 2) £(j/)=[—1; 9];
3) у > 0 при х 6 [-5 ; -2 )и (-2 ; 4); у < 0 при х е (4; 5]; 4) функция убывает при х е [-5 ; -2 ], при х е [0; 5]. 305. -1 .
306. а) (11; 14]; б) [1; г | ] . 307. а) ( - « ; -1)и(2;+оо); 6) [-0 ,8 ; 1,2]. 308. j g - 0,0625. 309. | § | . 310. а) верно;
б) не верно; в) верно. 311. а) нечётная; б) ни чётная, ни нечётная; в) чётная; г) нечётная. 312. (б), (в).
313. 1) D(y) = [-5 ; 7]; 2) Е(у) = [ - 9 ; 0]; 3) у > 0 при х е 0 ; у < 0 при х ё [ - 5; -2 )и (-2 ; 7); 4) функция возрастает
при х е [- 5 ; -2 ], при х е [0; 7]. 314.

315. а)

б)

316. (9; +); б) (-1 ; у)- 318. -3 1 .

319. а > 1. 323. а) 5; б) 6; в) 3,75; г) 11; д) 15; е) 6. 324. a) 2V7; б) 2V3; в) 4V6; г) V31. 325. а) -Ц ; б) V2; в) 8 - 4V3.
326. а) (-® ; | ); б )[-8 ;2 ); в) (-°о; -0,2 5 )и [0 ; 2). 3 2 7 .4 .3 2 9 . а) 21; б)л/6 - 2; в) 8 + 2V15; г) 3 + З т !. 3 3 0 .6 ,6 ; 2V U ; 4 ,/3 .
331. 5. 332. При х - 0. 339. а) 9; б) 7; в ) ^ . 340. a) V5 + 7; б) а + 96; в) -V 57; г) -Jc - 1; д) 8; е) ^ ^ . 3 4 1 . 8 - V5.
342. 10 и 11. 343. (-со; 2). 347. а) 7; б) | ; в) - J l | . 348. a) -Jv - 4; 6) р + 4q; в) -V306; г) -Jw - 4; д) 4; е)
349. 7 и 8. 350. 8 + -/3. 351. [-1 ; +оо). 352. х > 0, у < О. 356. (2 - -/5 )/9 + 4-/5 - (2 - / 5 ) / ( / 5 ) 1 +2 •2 •-/6 + 2‘ -

161

О тветы ________________________________________________________________
= (2 -V 5 )V (V 5 + 2 )2 = ( 2 - VS )(2 + V5 ) = -1 . 338. a ) ^ ; 6)0; 13; a)±VS^; r) - l | ; 1; д) -2 § ; -0 ,1 2 5 ; e) - 3 ^ ; 1.
359. ** - 10V2 * + 43 = 0. 360. a) 0; 6) -1 0 ; в) 10;г ) 1 2 .3 6 1 . a) (0; 12); 6) 0 ; в) {-2; 2,8); r) 0 . 364. a) - ^ ; 6) -1 3 ; 0;
B)±0,5i/55; г ) - 1 ; т * ; д )-1 § ; 8. 3 7 2 .4 ) a) {3; 1); 6 )0 ; n) (3); r )(l; -6 ). 373. a)0; 0,5; 6)3; 4. 374. 5 дней и 20 дней.
lo
о
4
378. a) {1; 5}; б) 0 ; в) {3}. 379. 0 ,5 .3 8 0 . 20 листов в день и 24 листа в день. 382. в, г. 384. а) * 2; б) -р; в) 4 - \ х + х*\
г) 2 л:2; д ) х *; е) 81ЛГ1. 385. а) (3; +оо); б) (-°о; +«); в) (-со; 0)и(0; +со); г) (-со; +со); д) (-со; +со).386. а) (-со; 0)и(0; +со);
5 ) (-да. 4-да); в) [0; +со); г) [0; +

1

_



V z)

г»

^

и2

где D\ = — =k - ас

РЕШ ЕНИЕ КВАДРАТНЫ Х НЕРАВЕНСТВ
Квадратным неравенством называется неравенство вида ах2 + Ьх + с > 0,
ах2 + Ьх + с > 0, ах2 + Ьх + с < 0, ах2 + Ьх + с < 0, где а, 6, с — некоторые
числа, а ^ 0.
D —0
D< 0
D> 0
Схема

А Л

ЛЛ
н
II
и*

Неравенству^
X
хв
'X
х \^/х 2
X
где а > 0
ах2 + Ьх + с > 0 х € (-0°; Xi) U (х2; +°°) х 6 (-°°; х в) и (хв; +°°) х е(-°°;+ оо)
х€(-оо;+оо)
ах2 + Ьх + с > 0 л: 6 (—°°; х,] U [х2; +°°)
х£0
Х60
x e ( x i ; x 2)
ах2 + Ьх + с 0, D = 0, D < 0, и найти соот­
ветствующие им решения неравенства.
3. Записать ответ, указывая соответствие между всеми значениями параметра
и решением неравенства.
Е с л и к о эф ф и ц и е н т п р и х 2 содерж и т п а р а м е т р

1. Найти «особенные» значения параметра (когда коэффициент при х 2 равен 0)
и решить неравенство при этих значениях параметра.
2. Вычислить дискриминант D квадратного трёхчлена ах2 + Ьх + с.
3. Решить неравенство, когда коэффициент при х2 положителен, находя зна­
чения параметра, при которых D > 0, D = 0, D < 0, и соответствующие им
решения неравенства.
4. Решить неравенство, когда коэффициент при х 2 отрицателен, находя зна­
чения параметра, при которых D > 0, D = 0, D < 0, и соответствующие им
решения неравенства.
5. Записать ответ, указывая соответствие между всеми значениями параметра
и решением неравенства.
171

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ
Квадратичной функцией называется функция вида у = ах2 + Ьх + с, где а г* 0.
Алгоритм построения графика функции у = а х 2 + Ьх + с

1. Найти и отметить вершину параболы В (*в =

ув = у (*„)).

2. Описать, с помощью какого сдвига и вдоль каких осей искомый график
получается из графика у = ах2, указать направление ветвей параболы.
3. Провести ось симметрии параболы.
4. Найти и отметить точки пересечения графика с осями координат.
5. Если нужно, найти и отметить дополнительные точки и симметричные к ним.
6. Построить параболу, используя отмеченные точки.
Пример: у = - х 2

х — ± . ___ I

х - 1
=

+

1 - 1=-3

2
4
График - парабола, полученная смещением у = - х2 на
о
Z
вправо вдоль Ох и н а 4 вниз вдоль Оу. Ветви параболы
4
направлены вниз. Ось симметрии - прямая х = 0,5.
Точки пересечения с Ох: - х 2 + х - 1 = 0 « 0;
с Оу: -02 + 0 - 1 = -1 => С(0; -1).
Дополнительные точки: (1; -1); (-1; -3); (2; -3).
в



2 • ( - 1)

2

В

'

й

К

МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ
Алгоритм решения целых неравенств методом интервалов

1. Используя равносильные преобразования, привести правую часть неравен­
ства к нулю, а левую - к произведению множителей вида (л; - а)Л, где п е N.
2. Отметить на числовой прямой точки, при которых полученное произведе­
ние равно нулю (закрашенные либо выколотые в зависимости от строгости
неравенства).
3. Указать знак «+» полученного произведения на первом справа интервале.
4. Последовательно проставить знаки в остальных интервалах, пользуясь
правилом смены знаков произведения множителей вида (х —а)п:
При переходе через точку а знак произведения:
• не меняется, если множитель (х - а) имеет чётную степень;
• меняется, если множитель (х —а) имеет нечётную степень.
5. Определить по схеме интервалы и (или) точки, удовлетворяющие знаку
неравенства (или то, что таких нет), и записать ответ.
Пример:

(2х —1)2(х - 2)3(5х —15)(-¾2 + х —12) > О » (ж - 0,5)2(х - 2)3(х - 3) > 0
+
+

+
/ / / / ^ / / / / / / / / ^ ________ ^ / / / / / / д
х е (-°о; 0 ,5)U(0,5; 2)и (3; +°°).
0,5
2
3
х
172

[ си стем ы

л и н ей н ы х уравнений с д в ум я п ерем ен н ы м и )

Системой двух линейн ы х уравнений с двум я переменны ми х и у назы вается сис„
\а,лХ + Ълу = Сл
,
,
тема уравнении вида J 1
1:7 _ 1, где а 1? olf с у, а 2, о2, с2 - некоторы е числа.
[а2х + о2у — с2
Система двух л и н ей н ы х уравн ен и й с ненулевы м и коэф ф ициентам и

Ь1

• имеет единственное реш ение, если — ^ г - *

а,

Ь, сг “
• не им еет реш ен и й , если — = ■=—&— ,

2

Ьг

°2
2 °2
а г b1 Ci
• имеет бесконечно м ного реш ений, если — = т—= — .
а2

(

°2

с2

ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

)

Л инейны м неравенством с д в у м я п ерем енны м и х н у назы вается неравенство
одного из четы рех видов: а х + by + с > 0, а х + by + с < 0, а х + by + с > О,
ах + by + с =S 0, где а, Ь, с — некоторы е числа.
Графическое реш ение системы неравенств дл я полож ительн ы х Ьг и Ь2:

со

К усочно-заданной ф ункц ией назы вается ф ун к ц и я, которая на различн ы х
пром еж утках своей области определения задана формулами разны х видов.
2.
1, еслг х > 0;
'3, если х > 1;
У = | X [ и.пи
0, еслг х = 0;
'х , ес ли х > 0;
х, если - 1 < х < 1
У
=
эсли
х
<
0
—1, ес/ и х < 0
= 2, если х = - 1 ;
- , если х < —1

X

У

у\ 1

У1

JL

1

II

0
1
н
о

X

t

X

0
ш а разры ва

0
точек раз ры ва нет

0

-

разры вы в точках
х = -1 И X= 1

173

--086291

Оглавление

Глава 1. Развитие математической теории........................................................................

5

§ 1. Элементы комбинаторики и теории вероятностей......................................................
1.1.1. Перестановки с повторениями..........................................................................
1.1.2. Размещ ения..........................................................................................................
1.1.3. Сочетания.............................................................................................................
1.1.4. Применение комбинаторики при решении вероятностных задач.
Геометрическая вероятность........................................................................................
1.1.5*. Случайные величины и их распределения....................................................
1.1.6*. Операции со случайными величинами. Математическое
ожидание и дисперсия. Закон больших чисел..........................................................

5
5
11
16
23
30
36

Экспресс-тест № 1 ........................................................................................................ 44
§ 2.* Метод математической индукции..............................................................................

46

1.2.1. * Принцип математической индукции........................................................... 46
1.2.2. * Применение метода математической индукции в разных задачах......... 53
Задачи для самоконтроля к главе 1 ............................................................................ 58
Глава 2. Развитие понятия ф ункции..................................................................................

61

§ 1. Свойства функции............................................................................................................. 61
2.1.1. Множества точек на плоскости. Графики уравнений и неравенств..........
2.1.2. Общее понятие функции. Область определения и множество значений
функции ..........................................................................................................................
2.1.3. Основные свойства ф ункции............................................................................
2.1.4. * Ещё о свойствах ф ункции..............................................................................

61
67
71
76

§ 2. Исследование функций и построение графиков.......................................................... 83
2.2.1. * Общий план построения графика ф ункции.................................................
2.2.2. Преобразования графиков ф ункций...............................................................
2.2.3. * График дробно-линейной ф ункции...............................................................
2.2.4. Преобразование графиков: симметрия относительно осей координат.
График у = | /(*) | и у = Я| х |) .........................................................................................

83
89
95
99

Экспресс-тест № 2 ......................................................................................................... 104
Задачи для самоконтроля к главе 2 ............................................................................107
Глава 3. Числовые последовательности ............................................................................ 108
§ 1. Последовательности и их общие свойства.................................................................... 108
3.1.1. Последовательности. Способы задания последовательностей...................... 108
3.1.2. * Свойства последовательностей: монотонность, ограниченность................114

174

§ 2. А риф м ети ческая п р о г р е с с и я ................................................................................................... 120
3.2.1. А ри ф м ети ческая п рогрессия. Ф орм ула общего ч л е н а ..................................... 120
3.2.2. Сумма первы х п членов ари ф м ети ческой п р о гр ес си и ..................................... 126
Экспресс-тест № 3 ....................................................................................................................... 133
§ 3. Геом етрическая п р о г р е с с и я ...................................................................................................... 136
3.3.1. Г еом етри ческая п рогрессия. Ф орм ула общего ч л е н а .........................................136
3 .3 .2 . Сумма п ервы х п членов геом етрической п р о гр ес си и .........................................142
3 .3 .3 . * Сумма бесконечно убы ваю щ ей геометрической п р о гр ес си и .........................147
3 .3 .4 . * Л и н ей н ы е реку р рен тн ы е со о тн о ш е н и я ................................................................. 151
Экспресс-тест № 4 ....................................................................................................................... 156
Задачи д л я сам окон троля к главе 3 ....................................................................................... 158
О т в е т ы ................................................................................................................................................160
И н стр у кц и я по работе с эксп р есс -те стам и .......................................................................... 164
П редм етны й у к а з а т е л ь ................................................................................................................ 165
Справочные м а т е р и а л ы ................................................................................................................ 166

175

2019500554

©ИЗДАТЕЛЬСТВО

га

ISBN 978-5-09-081137-8