Алгебра. 7 класс. Учебник (в 3-х частях). Часть 1 [Людмила Георгиевна Петерсон] (pdf) читать онлайн

ФГОС
Л. Г. Петерсон, Д. Л. Абраров, Е. В. Чуткова
ООО

УДК 373:51
ББК 22.1я721
Д 69
\

/

Образовательная система Л. Г. Петерсон
«УЧУСЬ УЧИТЬСЯ»
Непрерывный курс математики
для дошкольников, учащихся начальной и основной
школы 1 -9 (от 3 до 15 лет)

П 29

Петерсон, Л. Г. Алгебра. 7 класс : учебник (в 3 частях).
Ч. 1 / Л. Г. Петерсон, Д. Л. Абраров, Е. В. Чуткова. —
2-е изд., стереотип.— М . : Просвещение, 2021. — 136 с.
+ [4 с., в к л .]: ил. — ISBN 978-5-09-081067-8.
У чебник о р и ен ти ров ан н а р а зв и ти е м ы ш л е н и я и тв о р ч е с к и х
способностей у ч а щ и х с я , ф ор м и р о в ан и е у н и х си стем ы п р о ч ­
ны х м атем ати ч ес ки х зн а н и й , общ еучебн ы х у м ен и й , р а з в и т и е
л ич н о стн ы х качеств , п о зн ав ател ьн о го и н тереса и цен н остн ого
о тн о ш ен и я к образованию .
Я в л яетс я частью н еп реры вного УМ К по м а т е м а т и к е «У чусь
учи ться* д л я д о ш к о л ьн и к о в , у ч а щ и х ся н ач ал ь н о й и основной
ш к о л ы (от 3 до 15 л ет). С оответствует ф ед еральн ом у госуд ар­
ственном у образовательном у стан д а р ту основного общ его об р а­
зо ван ия.
Р еал и зу ет ди дакти ческ ую систем у д еятел ьн остн ого м етода
обучения Л . Г. П етерсон. О тмечен П рем и ей П рези д ен та Р Ф в
области образования.
М ож ет использоваться во всех ти п ах ш к ол .
К урсовую и методическую п од д ерж ку по р еа л и зац и и УМ К
«Учусь учиться* осущ ествляет НОУ ДП О «И нститут систем н о­
деятельностной педагогики*. П одробную и нф орм ац ию м ож но
получить на сайте w w w .sch 2 0 0 0 .ru .
У Д К 3 7 3:51
Б Б К 2 2 .1 я 7 2 1

IS B N 978-5-00-081067-8 (Ч . 1)
ISB N 978-5-09-081070-8

© АО «И здательство «П росвещ ени е*, 2020
© Л . Г. П етерсон , Д . Л . А браров, Е. В. Ч уткова, 2 0 1 1 , 2014, 2018

/

*4
ФГОС
Л . Г. П етерсон, Д .Л . Абраров, Е. В. Чуткова
ООО

Алгебра
7 класс
Учебник
(в 3 частях)

Часть 1
2-е издание, стереотипное
Допущ ено
к использованию при реализации имеющих государственную
аккредитацию образовательных программ начального общего,
основного общего, среднего общего образования

Москва
Просвещение»
2021

Ч

J

Чтобы учебником бы ло удобно пользоват ься,
в нём введены следую щ и е обозначения:

задачи по новой теме для работы в классе,

задачи для домашней работы,

повторение ранее пройденного,

задачи на смекалку,

□
□

а

задания базового уровня,
более сложные задания по новым темам и темам
повторения,
задания, требующие умения находить нестандартные
способы решения,
завершение доказательства теоремы,

©о©

материал для тех, кому интересно.

Глава 1

Построение математической теории
Е § 1. Математическое моделирование j
1.1.1. Математическая модель реальной задачи

М а т е м а т и к а - э т о искусство н азы вать разные вещи
одним и т е м же именем.
Анри Пуанкаре (1854-1912),
французский математик, физик и философ

При изучении проблем физики, химии, биологии, экономики и многих других
наук сегодня широко используется математическое моделирование. Наблюдая за яв­
лениями окружающего мира, учёные стараются выявить их наиболее существенные
свойства и установить закономерности, которым они подчиняются. Когда результаты
таких наблюдений получается записать на математическом языке, удаётся построить
математическую модель явления.
Иногда, казалось бы, различные явления или процессы описываются одними и
теми же законами. Тогда возникает возможность дать их единое описание. Вот здесь
и проявляется практическое удобство математического моделирования. Например,
формула a = Ьс может описывать как прямолинейное равномерное движение (s = vt),
так и равномерную работу (A = wt) и множество других равномерных процессов. По­
этому при решении задач данного типа мы, например, можем легко найти значения
величин в и и п о общему правилу нахождения неизвестного множителя (u = s : i,
w = A : t).
Язык математики, состоящий, в частности, из чисел, букв и выражений, урав­
нений и неравенств, помогает записать взаимосвязи, лежащие в основе различных
процессов. А это уже позволяет упростить решение многих практических задач.
Идея моделирования состоит в замене реального объекта некоторым его «замести­
телем», называемым моделью. Сначала свойства изучаемого объекта формулируются,
например, на языке физики. Таким образом строится физическая модель. Построен­
ная физическая модель —это фактически текст математической
задачи. Записав его на математическом языке, мы получим
матем ати ческую модель.
При построении модели, как правило, происходит упро­
щение первоначальной задачи. Так, в задачах, которые мы
рассматривали ранее, рабочие работали с одинаковой произво­
дительностью, а все объекты двигались с одинаковой скоростью.
Конечно же, упрощение при моделировании происходит не толь­
ко в школьных учебниках, но и в реальной жизни. Например,

3

Глава 1, §1, п .1 .1 .1 ___________________________________________________________________
автопилот самолёта всегда проще человека - пилота, а компьютерная имитация игры
в футбол проще реальной игры.
Процесс математического моделирования, как мы уже знаем, включает в себя
три этапа. Вспомним их.
I. Построение математической модели.
На данном этапе текст задачи переводится на математический язык. Для этого
определяется, что известно, что надо найти, устанавливаются взаимосвязи между
известными и неизвестными величинами, вводятся буквенные обозначения, состав­
ляются математические соотношения: уравнения и неравенства. При этом важно
выбрать буквенные обозначения таким образом, чтобы полученные соотношения
имели как можно более простой вид.
II. Работа с математической моделью.
В результате перевода практической задачи на математический язык могут воз­
никнуть два случая:
1) имеется математическая теория, позволяющая получить решение данной
задачи;
2) такой математической теории не существует.
В первом случае мы просто выбираем способ, позволяющий получить решение
задачи. Во втором случае мы должны создать новый или усовершенствовать некото­
рый старый способ таким образом, чтобы получить в итоге решение данной задачи (и
одновременно всех других подобных задач). При этом происходит развитие и самой
математической теории.
Математика может развиваться также, исходя лишь из
своей внутренней логики и красоты, опережая потребности
практики. Так, например, Евклид ещё до нашей эры заложил
основы теории делимости, а сегодня она широко используется
в задачах шифрования и дешифрования текстов.
III. Практический вывод.
Получив решение математической задачи, необходимо его
проанализировать, то есть разобраться в его реальном смысле, а
затем сделать выводы. В этом состоит третий этап математического моделирования.
Таким образом, математическое моделирование позволяет свести решение боль­
шого числа внешне различных практических задач к решению уравнений и нера­
венств. А это, в свою очередь, ведёт к развитию математической теории, в частности
к развитию теории уравнений и неравенств.
Но для начала нам надо научиться строить удобные математические модели,
приводящие к уравнениям, способ решения которых известен. И тогда следующий
шаг - применение знакомого алгоритма —не составит труда, являясь, как говорят,
«делом техники*.
Вспомним и уточним известный нам алгоритм решения задач методом матема­
тического моделирования. Для этого рассмотрим следующую задачу.
Задача. Мама купила Мише книги и диски. Вместе книг и дисков было 9. Из­
вестно, что количество купленных мамой книг при делении на 3 даёт остаток 1, а
количество купленных ею дисков при делении на 3 даёт остаток 2. Один из дисков
Миша подарил свой сестре. Сколько дисков у него осталось?
4

Глава 1, §1, п .1.1.1

Решение:
I. Построение математической модели.
Фиксируем, что известно и что надо найти.
Нам известно, что мама купила общим числом 9 книг и дисков. Количество книг
при делении на 3 даёт остаток 1, количество дисков при делении на 3 даёт остаток 2.
Один из дисков Миша подарил своей сестре.
Нужно найти, сколько дисков осталось у Миши.
Выбираем неизвестные величины, которые будем обозначать буквой.
Обозначим х - количество книг, а у - количество дисков, которые купила
мама.
Из условия задачи следует, что х e N и у e N.
Устанавливаем взаимосвязи между известными и неизвестными величинами.
Так как х при делении на 3 даёт остаток 1, то по формуле деления с остатком
х = За + 1 (а eN 0), где N 0 - множество натуральных чисел и 0.
Аналогично у = 36 + 2 (b еЛГ0).
Составляем уравнение.
По условию, сумма искомых чисел равна 9, значит, х + у = 9.
Все взаимосвязи, заданные в условии задачи, описаны полученными уравнениями.
Таким образом, мы получили математическую модель, состоящую из трёх урав­
нений и требований к переменным, входящим в эти уравнения. Запишем их все
вместе и зафиксируем значение величины, которое требуется найти. (Фигурная
скобка обозначает, что все уравнения должны выполняться одновременно.)
х + у = 9, х e N, у e N ;
х = За + 1, a e N0;
у = 3b + 2, b e N q.

{

рз

★

У- 1= ?

Заметим, что в ходе построения математической модели мы выделили три важных
шага, не зафиксированные в алгоритме, который использовался нами ранее:
✓ мы определили множество значений, которые могут принимать неизвестные
величины;
рз проверили, что каждый элемент условия задачи описан соответствующим
уравнением;
★ зафиксировали искомую величину.
Каждый из этих новых выделенных шагов непосредственно влияет на правиль­
ность построения модели и правильность ответа, поэтому необходимо дополнить
этими шагами построенный ранее алгоритм.
II. Работа с математической моделью.
После того как модель построена, можно в первое уравнение вместо х и у под­
ставить соответствующие им выражения и выполнить несложные преобразования
полученного уравнения, помня, что х , у e N , а, b еЛГ0:
(За + 1) + (ЗЬ + 2) = 9 о 3(а + Ь) = 6 о а + Ъ = 2 о
о а = 0, Ь = 2, или а = 1, Ь = 1, или а = 2, Ъ = 0 о
о х — 1, у = 8, или х = 4, у = б, или х = 7, у = 2.
5

Глава 1, §1, п .1.1.1 __ ___________________________________________________

Тогда количество дисков, оставшихся у Миши, равно:
у - 1 = 7, или у - 1 = 4, или у - 1 = 1.
III. Практический вывод.
Итак, мы получили, что данная задача имеет три решения, для каждого из кото­
рых значения величин х и у соответствуют условию задачи: полученные значения натуральные числа, при этом во всех указанных случаях число книг при делении на
3 даёт остаток 1, а число дисков при делении на 3 даёт остаток 2.
Ответ: у Миши осталось либо 7 дисков, либо 4 диска, либо 1 диск.
В итоге мы пришли к следующему уточнённому варианту алгоритма решения
задач методом математического моделирования:
Алгоритм решения задач методом математического моделирования
I. Построение математической модели.
1. Внимательно прочитать задачу.
2. Определить, какие величины известны и какие надо найти.
3. Проверить соответствие единиц измерения величин.
4. Выбрать неизвестные величины и ввести для них буквенные обозначения.
5. Определить множество значений, которые могут принимать неизвестные
величины.
6. Установить взаимосвязи между величинами.
7. Составить уравнение и обосновать его.
8. Проверить, что каждый элемент условия задачи описан соответствующим
уравнением.
9. Зафиксировать искомую величину.
II.
10.
III.
11.
12.

Работа с математической моделью.
Найти все решения, удовлетворяющие построенной модели.
Практический вывод.
Проверить соответствие полученного ответа вопросу задачи.
Убедиться, что полученные решения соответствуют смыслу задачи.
Запишите решение задачи в виде буквенного выражения и найдите его зна­
чение для:

а) п = 208, т = 50;

в) п = 242, т = 110;

б) п = 180, т = 46;

г) п = 210, т = 62.

1) За книгу и фотоальбом заплатили п р. Книга стоила
на т р. дороже фотоальбома. Сколько стоила книга?
2) Автомобиль и автобус проехали вместе п км. Известно,
что автобус проехал на т км меньше, чем автомобиль.
Сколько километров проехал автомобиль?
3) Двое рабочих сделали вместе п деталей. При этом пер­
вый рабочий сделал на т деталей больше, чем второй.
Сколько деталей сделал первый рабочий?
6

Глава 1, §1, п .1.1.1

Постройте математическую модель и решите задачу:
а) Петю спросили, сколько ему лет. Он ответил: «Если из моего удвоенного
теперешнего возраста вычесть утроенный мой возраст, который был восемь лет
назад, то получится мой теперешний возраст». Сколько лет Пете?
б) Когда повара спросили, сколько яиц нужно взять, чтобы приготовить пирог,
он ответил: «Если взять на 3 яйца меньше, чем это необходимо, увеличить это
число в 5 раз, а затем вычесть из полученного результата число, в 2 раза большее
необходимого числа яиц, то получится число, на 5 большее искомого». Сколько
яиц нужно взять, чтобы приготовить три пирога по рецепту этого повара?
в) Высота Останкинской башни на 216 м больше, чем Эйфелевой. Если высоту
Останкинской башни увеличить в 3 раза, а из высоты Эйфелевой башни вычесть
134 и сложить полученные величины, то получится 1810. Чему равна высота
Останкинской башни?
Решите задачу:
а) Выручка книжного магазина (поступление денежных средств от покупателей)
составила в первом квартале 700,46 тыс. р. Известно, что в январе выручка была
на 49,58 тыс. р. больше, чем в феврале, а в марте - на 178,92 тыс. р. меньше,
чем в феврале. Сколько денежных средств получил магазин от покупателей в
марте?
б) Три файла занимают на диске 112,73 Мб. Размер второго
файла на 4,54 Мб меньше, чем первого, а размер третьего
файла — на 5,61 Мб больше, чем первого. Каков размер
второго файла?
в) Шоколадная фабрика выпустила в августе 524,48 тон­
ны конфет трёх сортов: «Миндальные», «Клубничные»,
«Сливочные». При этом миндальных конфет произвели на
39,56 тонны меньше, чем клубничных, а сливочных - на
97,69 тонны больше, чем клубничных. Сколько миндальных
конфет произвели на шоколадной фабрике в августе?

4 I

а) Компания «Дискоспэйс» выпускает диски DVD. Стоимость изготовления одного
диска составляет 50 р. При этом компания несет ежемесячно следующие расхо­
ды: аренда помещений - 50 000 р., зарплата персонала - 100 000 р., лицензии
и авторские гонорары - 200 000 р., прочие расходы - 30 000 р. Цена продажи
одного диска составляет в среднем 250 р. Какое количество дисков должна про­
давать компания ежемесячно, чтобы окупать все свои расходы?
б) Компания «Шокодрим» продает шоколадные батончики. Стоимость закупки
одного батончика составляет 24 р., а стоимость продажи - 32 р. В месяц компания
продаёт 80 000 батончиков. Какими должны быть другие ежемесячные расходы
компании, чтобы её прибыль равнялась нулю?
в) Компания «Лайтстар» продает многофункциональные туристические фонари.
Стоимость продажи одного фонаря составляет 570 р. Ежемесячно компания не­
сёт следующие расходы: аренда помещений - 300 000 р., зарплата персонала 400 000 р., прочие расходы - 76 900 р. В месяц компания продаёт 4570 фона­
рей. По какой максимальной цене может закупать компания эти фонари, чтобы
покрывать все свои расходы?
7

Глава 1, §1, п. 1.1.1

Ш

Постройте математическую модель и решите задачу:
а) Сумма двух натуральных чисел равна 12. Первое число при делении на 5 даёт
остаток 3, а второе число при делении на 5 даёт остаток 4. Найдите эти числа.
б) Сумма двух натуральных чисел равна 28. Первое число при делении на 8 даёт
остаток 5, а второе число при делении на 8 даёт остаток 7. Найдите эти числа.
в) Сумма двух натуральных чисел равна 44. Первое число при делении на 11 даёт ос­
таток 9, а второе число при делении на 11 даёт остаток 2. Найдите эти числа.
г) Сумма двух натуральных чисел равна 47. Первое число при делении на 15
даёт остаток 11, а второе число при делении на 15 даёт остаток 6. Найдите эти
числа.

©ш

Разбейте записи на три группы: выражения, уравнения, неравенства.

а) 158 + 2 • 6;

в) -1 = 3(7а + 2);

д) а3 - Ь3;

1

ж) -1,04 < 2с < g

б) 0,5у - 45 = 5х;
г) 2 > 3;
е) (а - Ь)3;
з) d 2 > 0.
Вспомните, какими особенностями обладает каждая из этих групп.

ш

и
ш

Что общего во всех высказываниях?
а) Разностью двух чисел а - Ь называется число с, такое, что а = Ь : с.
б) Средним арифметическим нескольких чисел называется результат деления
суммы этих чисел на их количество.
в) Переменной величиной называется буквенное обозначение для элемента неко­
торого множества.
г) Натуральной (n-й) степенью числа а называется число а”, равное произведению
п множителей, каждый из которых равен а.
Запишите следующие выражения:
1) сумма квадратов двух чисел;
3) разность квадратов двух чисел;
2) квадрат суммы двух чисел;
4) квадрат разности двух чисел.
Найдите значения полученных выражений для чисел:
а) 8 и 2;
б) -4 и 3;
в) 7 и -5 ;
г) -9 и -6.
Решите уравнение:
а) 2(х - 9,5) - 3(* + 1,8) = -4,4;
б) 5,7 - (х - 11,3) = 2(х + 3,7);

в) -4(х - 7,6) = 8(х - 1,8) - 3,2;
г) 15,3 - 2(х - 0,9) = -0 ,7 + 3(* - 2,4).

Решите задачу:
а) Автомобилист проехал за два дня 580 км, причём в первый день он проехал
расстояние в 1,5 раза большее, чем во второй. Сколько километров проехал ав­
томобилист в первый день?
б) Расходы предприятия на закупку сырья увеличились в марте в 2,1 раза по
сравнению с февралем. Всего в феврале и марте на закупку сырья потратили
1643 тыс. р. Какую сумму потратило предприятие на закупку сырья в марте?
в) Задумали три натуральных числа. Известно, что их сумма равна 960. Первое
число на 36 больше второго, а второе в 2,5 раза больше третьего. Какие числа
задумали?

8

________________________________________________ ____ ____________ Глава 1, § 1 , п. 1.1.1

г) Команда из 4 бегунов участвовала в эстафете. Их результат составил 104,3 с.
Первый бегун пробежал свою часть дистанции на 3 с быстрее второго, второй - на
2,1 с медленнее третьего, а четвёртый - на 1,6 с медленнее первого. За сколько
секунд пробежал четвёртый бегун свою часть дистанции?

©из

Решите задачу:

а) Выручка магазина составила в этом году на 323,69 тыс. р. больше, чем в преды­
дущем. Всего за эти два года магазин получил выручку в размере 927,45 тыс. р.
Сколько денег получил магазин от покупателей в этом году?
б) В вагоне метро, после того как из него вышли 9 человек, а вошли 17 чело­
век, стало в 1,5 раза больше людей, чем было до этого. Сколько человек стало
в вагоне?
Запишите следующие выражения:
1) сумма кубов двух чисел;
2) куб суммы двух чисел.

Найдите значения полученных выражений для чисел:
а) 3 и 1;
б) -5 и 2.
Что вы замечаете?
| П | Решите уравнение:
а) - ( х + 15,4) = -5 ,4 + (3,7 - 2х);
б ) х + 12,3 - 5(х - 5,9) = 8,6.

14 I Выполните вычисления и расположите ответы примеров в порядке возрастания,
1 сопоставив их соответствующим буквам. Вы узнаете название раздела матема­
тики, основоположником которого был великий французский математик Анри
Пуанкаре.
] -4,3 + (-3,1 - 7,8)
] -6,4 + 5,2 - (12,7 - 3,5)
] -(11,2 - 2,4 - 32,5)
] 5,8 + 13,1 - (-3,4)

е

0 -(11,8 - 3,6) + 2,5
0 (0,5 + 14,9) - (17,4 + 1,9)
0 (18,1 - 17,3 + 2,5) - 34,5
0 45,7 - 38,9 + (-28,4)

] 3,2 + 15,8 - (-5 + 4)

15 I Выпускники школы после выпускного вечера
'
обменялись фотографиями каждый с каждым.
Всего потребовалось 650 фотографий. Сколько было
выпускников?

[М

Мальчик спустился по движущемуся вниз эскалато­
ру метро и насчитал 45 ступенек. Затем он с той же
скоростью поднялся вверх по этому эскалатору и на­
считал 225 ступенек. Сколько ступенек он насчитал
бы, пройдя по неподвижному эскалатору?
9

Глава 1, §1, п.1.1.2

1.1.2. Основные требования к математической модели

Вместо того чтобы искать некоторое соотношение,
надо спросить, возможно ли такое соотношение.
Нильс Хенрик Абель (1802-1829),
норвежский математик

В предыдущем пункте мы говорили о том, что построение математических моде­
лей является эффективным методом исследования явлений и объектов окружающего
мира. Математическое моделирование позволяет не только их изучать, но и управ­
лять ими. Хорошо построенная модель помогает даже прогнозировать (предвидеть,
определять заранее) моделируемое явление.
Математическая модель - это инструмент в руках исследователя. Для эффектив­
ности его использования он должен быть достаточно простым.
Вместе с тем, важно находить разумный баланс между простотой модели и её
соответствием моделируемой ситуации. Ведь усложнение модели за счёт чрезмерной
детализации может привести порой к невозможности исследования такой модели,
а сильное упрощение модели может не дать достоверной информации о поведении
исследуемого объекта.
Поэтому важным является требование достаточной полноты математической
модели. А именно, математическая модель должна отражать все существенные для
решения задачи свойства объекта. Эти свойства могут быть описаны явно в условии
задачи. Они могут также следовать и из особенностей изучаемых объектов. Так, например, если в задаче речь идет о количестве п учащихся класса, то ответ п = - ок j2
заведомо неверный. Ведь в задаче фактически есть условие п е N, которое явно не
указано.
Давайте решим задачу и посмотрим, какие изменения в нашем алгоритме по­
влекут эти требования к математическим моделям.
Задача. Первый угол треугольника на 20° больше второго, но в три раза меньше
третьего угла. Найдите углы этого треугольника, если сумма первого и третьего
углов равна 120°.
Определяем, что известно и что надо найти.
Известно, что первый угол треугольника на 20° больше второго, но в три раза
меньше третьего, а сумма первого и третьего углов равна 120°.
Надо найти углы этого треугольника.
Проверяем соответствие единиц измерения величин.
Величины всех углов выражены в градусах, поэтому единицы измерения величин
соответствуют друг другу.
10

Г л а в а 1, § 1 , п . 1 . 1 . 2

Выбираем_неизвестные величины, которые будем обозначать буквой.
Для того чтобы получить более простые уравнения, обозначим х° величину мень­
шего из углов треугольника, то есть величину второго угла.
Определяем множество значений, которые м о гу т принимать неизвестные вели­
чины.
Величина угла треугольника может принимать только положительные значения,
меньшие 180°, значит, 0 < х < 180.
Устанавливаем взаимосвязи между известными и неизвестными величинами.
Величина первого угла треугольника равна {х + 20)°, а третьего угла - 3(* + 20)°.
Так как это углы треугольника, то для них также должны выполняться неравен­
ства:
0 < л: + 20 < 180; 0 < 3( х + 20) < 180.
Также известно, что сумма первого и третьего углов равна 120°.
На первый взгляд кажется, что другой информации в условии не дано. Однако
нередко бывает так, что какие-то взаимосвязи заданы не явно, а вытекают из свойств
заданного объекта.
В нашем случае объект моделирования - треугольник, а сумма углов любого
треугольника равна 180°.
Таким образом, при построении математической модели необходимо также
установить взаимосвязи между величинами, возникающие из свойств моделируемого
объекта (если они есть).

(¾

Составляем и обосновываем уравнение.
По условию, сумма первого и третьего углов равна 120°, значит,
(* + 2 0 ) + 3 (* + 20 ) = 1 20 .

Сумма углов треугольника равна 180°, значит,
(х + 20) + х + 3(х + 20) = 180.
Проверяем, что каждый элемент условия задачи описан соответствующим соот­
ношением.
Мы зафиксировали, что первый угол треугольника на
20° больше второго и в три раза меньше третьего, сумма
первого и третьего углов равна 120° и что заданная фигу­
ра - треугольник.
Заметим, что ранее при моделировании задач мы стал­
кивались лишь с уравнениями, но требуемые соотношения
могут быть заданы и неравенствами. Так, указанное мно­
жество значений переменной х не может быть описано урав­
нением, но может быть описано неравенствами. Поэтому
соотношения мы будем понимать теперь в более широком
смысле.
Фиксируем и с к о м у ю величину.
Требуется найти величины каждого из трёх углов треугольника, то есть значения
х + 20, х и 3(* + 20).
Выпишем соотношения, которые мы составили, и зафиксируем искомые вели­
чины. При этом важно заметить, что все составленные соотношения должны выпол­
няться одновременно.

✓

11

Глава 1, §1, п .1 .1 .2
(х + 20) + 3(х + 20) = 120;
х + 20 = ?
(х + 20) + х + 3(х + 20) = 180; -------------------------------- ► х = ?
3(* + 20) = ?
.0 < х < 180; 0 < х + 20 < 180; 0 < 3(х + 20) < 180.
Ищем все решения, удовлетворяющие построенной модели.
Искомое значение х должно удовлетворять каждому из составленных соотноше­
ний. Однако из первого уравнения следует, что х = 10, а из второго - что х = 20,
что одновременно выполняться не может. Таким образом, приходим к выводу, что
данная задача не имеет решений.
Проведенное исследование показывает, насколько важно при работе с матема­
тическими моделями учитывать все существенные свойства исследуемых объектов.
Действительно, если бы мы не учли того, что сумма углов треугольника равна 180°,
то получили бы решение 30°, 10° и 90°, которое не отражает объективных законов
окружающего мира: треугольников с такими углами не существует.
Итак, математическая модель должна удовлетворять требованию достаточной
полноты, то есть содержать все существенные взаимосвязи между исследуемыми
объектами. Поэтому мы приходим к следующему уточнению шагов общего алго­
ритма решения задач методом математического моделирования:
Алгоритм решения задач методом математического моделирования с
уточнёнными шагами
I. Построение математической модели.
1. Внимательно прочитать задачу.
2. Определить, какие величины известны и какие надо найти.
3. Проверить соответствие единиц измерения величин.
4. Выбрать неизвестные величины и ввести для них буквенные обозначения.
5. Определить множество значений, которые могут принимать неизвестные
величины.
6. Установить взаимосвязи между величинами (явно заданные в условии и
возникающие из свойств моделируемого объекта^.
7. Составить уравнение или неравенство (одно или несколько) и обосновать их.
8. Проверить, что каждый элемент условия задачи описан соответствующим
соотношением.
9. Зафиксировать искомую величину.
II.
10.
III.
11.
12.

Работа с математической моделью.
Найти все решения, удовлетворяющие построенной модели.
Практический вывод.
Проверить соответствие полученного ответа вопросу задачи.
Убедиться, что полученные решения соответствуют смыслу задачи.
Периметр прямоугольного участка земли равен 62 м, а разность между его
длиной и шириной равна 5 м. Чему равна площадь этого участка земли?

а) Расстояние AD между началом и концом ломаной ABCD равно 9,6 см. Известно,
что АВ равно четвёрти AD, ВС на 0,4 см меньше АВ, a CD в 1,5 раза больше ВС.
Чему равна длина ломаной ABCD?
б) Постройте ломаную ABCD, удовлетворяющую условию предыдущей задачи.
12

Рэ
✓

✓

Глава 1, §1, п.1.1.2
Постройте математическую модель и решите задачу:
1) Величины углов треугольника в градусах равны трём последовательным
натуральным числам. Найдите их.
2) Величины углов треугольника в градусах равны трём последовательным
четным числам. Найдите их.
3) Величины углов треугольника в градусах равны трём последовательным
натуральным числам, кратным трём. Найдите их.

©

Решите задачу, используя метод перебора:
а) В школьном парке растут дубы, клёны, берёзы и тополя. Известно, что дубов,
клёнов и берёз одинаковое количество. При этом число тополей более чем в 3 раза
больше, чем число всех остальных деревьев. А число клёнов и тополей меньше
12. Сколько в этом парке растет тополей?
б) В городском зоопарке живут обезьяны, крокодилы, слоны и тигры. Известно,
что обезьян, слонов и крокодилов одинаковое количество. Число тигров более чем
на 11 больше, чем число обезьян и крокодилов вместе. А число тигров и слонов
в сумме меньше 16. Сколько в этом зоопарке крокодилов?
в) В турнире принимали участие не менее 12 игроков. В итоговой таблице турнира
было указано, что игроки могли набрать следующие баллы: 5, 7, 8, 10. Количество
игроков, набравших 5, 7 и 10 баллов, было одинаковым, а игроков, набравших
8 баллов, было больше, чем всех остальных, вместе взятых. При этом больше
7 баллов набрали менее 10 игроков. Сколько игроков набрали 8 баллов?

21 I Какие

высказывания являются общими, какие - высказываниями о су­
ществовании, а какие - ни теми ни другими? Определите их истинность.
Для ложных высказываний постройте отрицание.
а) Температура воздуха в Красноярске всегда равна -30 °С.
б) Некоторые грибы - съедобные.
в) Насекомые являются животными.
г) Известный математик Абель жил в Норвегии.
д) Иногда на пальмах растут кокосы.
е) Все школьники любят играть в шахматы.
ж) Автомобиль может развивать скорость 300 км/ч.
з) Некоторые реки не имеют истока.
и) Некоторые собаки лают.
к) Иногда родители балуют своих детей.
л) Все учителя - женщины.
м) На прошлом уроке мы изучали правила сложения дробей.
Длина прямоугольника равна 17 см. Какие значения может принимать ширина
этого прямоугольника, если его периметр меньше периметра прямоугольника,
длина которого равна 15 см, а ширина - 13 см?
13

Г л а в а 1, § 1 , п . 1 . 1 . 2

23 I

Решите задачу:
1 всего пути, то до середины пути ему оставалось пройти
а) Когда турист прошел ~
2
У
ещё 4g км. Найдите длину всего пути.
б) Если к числу рабочих на заводе прибавить половину их количества и ещё
2

2 от их количества, то получится 3510 человек. Сколько рабочих на этом заводе?

в) В одной школе три седьмых класса: 7 «А», 7 «Б» и 7 «В». В 7 «А» учится
3 всех семиклассников, в 7 «Б» - 3~ всех семиклассников, а в 7 «В» - 20 четгг
14
•
ловек. Сколько семиклассников в этой школе?
Решите задачу методом проб и ошибок:
а) Ваня загадал два натуральных числа. Одно из этих чисел на 10 больше другого
числа. Их произведение равно 375. Какие числа загадал Ваня?
б) Когда Таню попросили дать её адрес, она сказала: «Номер моего дома на
12 меньше номера моей квартиры, а их произведение равно 1728». Какой номер
у Таниного дома?
в) В классе мальчиков на 4 больше, чем девочек. А произведение количеств
мальчиков и девочек равно 252. Сколько мальчиков в этом классе?
Решите задачу:
а) Выручка компьютерной компании в первый год работы после открытия со­
ставила 527,3 тыс. р., а расходы - 723,9 тыс. р. Во второй и последующие годы
выручка была на 135,2 тыс. р. больше, чем в первый
год. Расходы же во второй и последующие годы были
на 159,7 тыс. р. меньше, чем в первый год. Через
сколько лет после открытия сумма всех расходов
компании сравнялась с выручкой?
б) Расходы компании по производству велосипедов в
первый год работы составили 895,5 тыс. р. Во второй
год работы они сократились на 123,6 тыс. р. и более
не изменялись. Выручка компании не изменялась год
от года. Какой была ежегодная выручка этой компа­
нии, если к концу шестого года сумма всех расходов
компании со дня открытия сравнялась с выручкой
за это время?

26 I

Решите уравнение:
ч ^2
Л
а> * + 5 = 55;
гч

г> 5

0 1
14

- g = б*.

9

4’

r-\ A. , X 1 7
б) •? + 7 = 1 2Q!
5
Ъх 7*
4;
д) 7
5

в) т

= Т

е> 3( ! - 3Н

+

5:
! -

4

Один из острых углов прямоугольного треугольника больше другого на 26°.
Найдите величину меньшего угла этого треугольника.

Глава 1, § 1 , п .1 .1 .2
Антон и Ксюша создали компанию по производству пончиков и купили оборудо­
вание стоимостью 50 100 р. Они решили, что при расчёте ежемесячной прибыли
будут учитывать в расходах лишь часть стоимости этого оборудования. На какую
сумму будет ежемесячно уменьшаться первоначальная стоимость оборудования,
если уменьшение должно происходить равномерно в течение 5 лет, а к концу
5-го года стоимость оборудования должна быть равна нулю?
3

а) Иван должен был увеличить число 34у у в 18 раз, а увеличил его на 18. На
сколько полученный им результат меньше правильного?
5
б) Катя должна была увеличить число 27g на 7, а увеличила его в 7 раз. На
сколько полученный ей результат больше правильного?
в) Алексей должен был уменьшить число 12^ в 3 раза, а уменьшил его на 3. На
сколько полученный им результат больше правильного?
3
г) Наташа должна была уменьшить число 2у^- на 4, а уменьшила его в 4 раза.
На сколько полученный ей результат больше правильного?
Решите уравнение:
чо
1 3
а) 2х 5 ~ V

х I X
б) 3 + 15

ч Зх

п
9’

в)

5х

12 = ~6

1.

Выполните вычисления и расшифруйте название чина городской полиции в
Российской империи:

2—
^24

О

_2J_

31
36

—2—

1

2—

8
15

2—
Z60

32

| Школьник с 7 по 11 класс включительно принял участие в 31 соревнова­
нии. При этом каждый новый учебный год он принимал участие в большем
количестве соревнований, чем в предыдущий. А в 11 классе он принял участие
в 3 раза большем количестве соревнований, чем в 7 классе. В скольких соревно­
ваниях участвовал школьник в 10 классе?
15

Глава 1, §2, п. 1.2.1

(((((

■ § 2. Основы построения
математической теории*
1.2.1. Метод построения математической теории

М ат ем ат ика - всего лиш ь игра, в которую играют согласно
простым правилам...
Давид Гильберт (1862-1943),
немецкий математик

Метод математического моделирования используется для решения разных прак­
тических задач. После построения математической модели естественным образом
встаёт вопрос о существовании математической теории, позволяющей получить решение
исходной задачи. Поэтому давайте обсудим, каким образом строятся математические
теории и в чём их преимущество перед другими теориями.
Для этого рассмотрим простой пример. Мы знаем, что сумма трёх последователь­
ных натуральных чисел делится на 3. Это верно, так как данная сумма может быть
записана в виде п + (л + 1) + (л + 2), где п e N . Преобразовав полученное выражение
п 4- (л + 1) + (п + 2) = Зп + 3 = 3(п + 1 ) , мы приходим к доказательству требуемого
утверждения.
Своё доказательство мы основывали на том, что сум м у
т рёх последовательных нат уральных чисел можно записать
в виде п + (п + 1) + (п + 2).
В свою очередь, это последнее утверждение непосредствен­
но следует из того, что если натуральное число равно п, то
следующее за ним равно п + 1, а число, следующее за п 4- 1,
равно п 4- 2.
А почему же верно последнее утверждение?
Для того чтобы ответить на этот вопрос, разберёмся сначала в том, как строится
математическая теория.
Математические утверждения, образно говоря, можно выстраивать в цепочки, в
которых одно утверждение логически следует из другого. Но каж дая из этих цепо­
чек должна иметь начальное звено, иначе процесс обоснования утверждений будет
бесконечным.
Вот почему в основу математической теории должны быть положены некоторые
первоначальные утверждения - утверждения, истинность которых принимается без
доказательства. Эти утверждения - начальные звенья в цепи математической теории.
Они называются аксиомами. Все остальные элементы цепи называю тся теоремами
и выводятся из аксиом путем логических рассуждений.
Аксиома

16

=t>

Теорема 1

■=>

Теорема 2

Теорема 3

Глава 1, §2, п .1.2.1
Мы уже встречались с подобной ситуацией, когда говорили о том, что в мате­
матике одни понятия определяются через другие, другие через третьи и т. д. Так
как этот процесс также не может продолжаться бесконечно, то должны появиться
понятия, не имеющие определения. Эти неопределяемые понятия в математике на­
зываются первоначальными, или основными. Например, в классической геометрии
основными понятиями являются понятия точки, прямой и плоскости. А единица
и натуральное число относятся к первоначальным понятиям теории чисел.
Первоначальное
понятие

■
=>

Определяемое
понятие 1

■
=>

Определяемое
понятие 2

Итак, определение каждого понятия, не являющегося первоначальным, опи­
рается на ранее введённые понятия. При этом если понятие А определяется через
понятие В, то В называют родом, (или родовым понятием) для А, а указанные в
определении новые существенные признаки А —его видовым отличием.
Рассмотрим, например, определение квадрата:
«Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны».
Мы видим, что квадрат определяется как прямоугольник с особыми свойствами.
Значит, для квадрата родовым понятием является понятие прямоугольника, а его
видовым отличием является то, что у него все стороны равны.
Соотношение между родовым понятием В (прямоугольни­
ки) и понятием А (квадраты) можно изобразить с помощью
диаграммы Эйлера-Венна (рис. 1). На этой диаграмме мы видим,
что множество квадратов является подмножеством множества
прямоугольников.
Таким образом, при построении математической теории мы
Рис. 1
сначала выбираем первоначальные понятия, а затем с их по­
мощью определяем остальные понятия. Однако при выборе первоначальных понятий
мы сталкиваемся с некоторыми трудностями. Действительно, если им невозможно
дать определение, то как мы узнаем, что они означают? Ведь поясняющие примеры
дают лишь некоторое представление о них, а математика является наукой точной и не
допускает нестрогости своих основ.
Для разрешения этого противоречия математики приняли аксиоматический метод
построения теории. Суть его заключается в следующем.
Аксиоматический метод
1. Выбирается перечень первоначальных понятий.
2. Основные свойства первоначальных понятий задаются системой аксиом.
3. Новые понятия вводятся только с помощью первоначальных и ранее
введённых понятий.
4. Новые утверждения (теоремы) доказываются только с помощью аксиом и
ранее доказанных утверждений.
Так каждый раз на базе уже известного даются определения новым понятиям и
доказываются их неизвестные свойства.
Построение математической теории можно сравнить со строительством здания.
Понятно, что для возведения нового здания нужно заложить фундамент и на нём
строить дом. Так и в математической теории сначала выбираются первоначальные
17

Глава 1, §2, п .1.2.1 ___________________________________________________

понятия и утверждения, принимаемые без доказательств, а затем на их основе вводятся
новые понятия, а все остальные утверждения доказываются с помощью логических
умозаключений.
Что же даёт аксиоматический метод? В математике он обеспечивает надёжность,
как и фундамент для дома. А для математической теории это означает достоверность
полученных выводов. Именно поэтому об уровне развития науки сегодня судят по
тому, в какой степени в ней применяются математические методы.
Аксиомы в современной математике - это не безусловные истины, как иногда при­
нято считать. Скорее, аксиомы - это некоторые выбранные свойства первоначальных
понятий. Создатель математической теории может сам выбирать первоначальные
понятия и аксиомы. Однако этот выбор он может делать с определёнными ограниче­
ниями. В частности, выбранная система аксиом должна быть непротиворечивой, то
есть она не должна приводить к противоречащим друг другу выводам. Действительно,
если система аксиом некоторой математической теории такова, что в результате
логических рассуждений может быть получено, что одно и то же утверждение
одновременно верно и неверно, то поиск истины с помощью этой теории теряет
смысл.
Значение аксиом первым оценил Аристотель, величайший древнегреческий фило­
соф и учёный. Он считал, что во всех областях науки имеются высказывания, которые
настолько очевидны, что не нуждаются в доказательствах. А применить аксиомати­
ческий метод в геометрии удалось Евклиду: он создал систему аксиом, которая стала
фундаментом логического обоснования всех известных на тот момент геометрических
утверждений.
В XIX веке, изменив всего лишь одну аксиому в системе аксиом Евклида,
великий русский математик Н. И. Лобачевский построил новую непротиворечивую
геометрию. Геометрию Лобачевского назвали неевклидовой, подчеркнув её отличие
от классической геометрии, основанной на аксиомах Евклида.
Может возникнуть вопрос: какую же геометрию считать
правильной - геометрию Евклида или Лобачевского? Ответ ока­
зывается парадоксальным —это две разные математические те­
ории, каждая из которых имеет реальный практический смысл.
Геометрия Евклида - это геометрия плоского пространства, а
геометрия Лобачевского - геометрия искривлённого пространства,
похожего на воронку. В зависимости от поставленных задач мы
можем пользоваться той или другой математической теорией.
Теперь, ознакомившись с идеями, на которых строится математическая теория,
мы можем ответить и на вопрос о свойствах натуральных чисел, поставивший нас в
тупик вначале. Система аксиом для множества натуральных чисел была сформули­
рована итальянским математиком Джузеппе Пеано лишь в XIX веке. Она, в частно­
сти, позволила вывести все известные нам свойства натуральных чисел логическим
путем. И именно из аксиом Пеано следует, что если натуральное число равно п, то
следующее за ним равно п + 1, а число, следующее за п + 1, равно п + 2.

О
18

33 |Какие из следующих предложений являются определениями? Для определении назовите определяемые понятия и понятия, с помощью которых даётся
определение:
а) Окружность - это не квадрат.
б) У квадрата все углы равны.

____________________________________ __ ___________ Глава 1, § 2 , п .1 .2 .1
в) Натуральное число является составным, если оно имеет более двух различных
делителей.
г) Чётные числа - это натуральные числа, кратные 2.
д) Арифметика - это царица математики.
е) Отрезком называется часть прямой, ограниченная двумя точками.
Прочитайте определения и назовите определяемые понятия. Какой должна быть
последовательность определения этих понятий при построении математической
теории? Почему?
а) Квадратом называется прямоугольник, все стороны которого равны.
б) Четырёхугольник —это многоугольник с четырьмя сторонами.
в) Четырёхугольник, все углы которого равны, называется прямоугольником.
Может ли процесс поиска ранее введённых понятий, на которые опираются новые
понятия, продолжаться бесконечно?
Какой выход из этого предложен в математике?
Сформулируйте определения:
а) правильной дроби;
в) отношения;
д) чётного числа;
б) простого числа;
г) пропорции;
е) процента,
выбирая нужные понятия и свойства из нижеприведённого списка:
1) натуральное число;
7) числитель меньше знаменателя;
2) дробь;
8) произведение двух чисел;
3) число;
9) сотая доля;
4) кратное 2;
10) частное двух чисел;
5) меньше единицы;
11) имеет ровно 2 различных делителя;
6) два отношения;
12) истинное равенство.
а) Назовите родовые понятия и видовые отличия в определе­
ниях из № 34. Нарисуйте для данных понятий диаграмму
Эйлера-Венна.
б) Выполните то же задание для определений из №33.
Прочитайте определения и назовите определяемые по­
нятия. Для каждого из определений назовите понятия,
которые в них использованы:
а) Число а противоположно числу b, если a + b = 0.
б) Целые числа - это натуральные числа, им противоположные и нуль.
в) Модулем числа а называется расстояние от точки, соответствующей данному
числу на числовой прямой, до 0.
Докажите, что:
а) Сумма трёх последовательных чётных чисел делится на 6.
б) Сумма трёх последовательных нечётных чисел делится на 3.
в) Сумма четырёх последовательных натуральных чисел при делении на 4 даёт
остаток 2.
г) Сумма четырёх последовательных чётных чисел при делении на 8 даёт оста­
ток 4.
19

Глава 1, §2, п .1.2.1

39 |В

некоторой математической теории введены следующие первоначальные по­
нятия: торик, банарик, сладкий, кислы й, круглы й, квадрат ный, мягкий,
твёрдый. Для этих понятий введена следующая система аксиом:
Аг Есть хотя бы один торик и хотя бы один банарик.
А2. Торик сладкий.
А3. Банарик кислый.
А4. Торики и банарики могут быть как круглыми, так и квадратными.
А5. Торики и банарики могут быть как мягкими, так и твердыми.
С учетом новых определений докажите указанную теорему:
а) Определение. Яблоко - круглый торик.
Теорема. Яблоко сладкое.
б) Определение. Лимон - мягкий банарик.
Теорема. Лимон кислый.
в) Определения. Апельсин - это круглый торик.
Мандар - это твердый апельсин.
Теорема. Мандар круглый и сладкий.
г) Определения. Помидор - это квадратный банарик.
Картоль - это твёрдый помидор.
Теорема. Картоль квадратный и кислый.
Вычислите устно и расположите ответы примеров в порядке убывания.
Вы узнаете название самой яркой звезды на ночном небе.

0
0
0

24,4 + 9,7 + 2,5 + 15,6 + 10,3

|~У| 95,614 - (19,99 + 45,614)

20,98 • 0 - 1 • (12,7 - 0 : 4,56) + 92,7 : 1

[с]
[с]

42,9 : 1 - 0 • 35,16 + 5,28 : 52,8

(75,48 + 3,916) - 75,48
-2 ,5 • (-4) • 8 • 12,5

Составьте выражение и найдите его значение при а = - 15, Ъ = — 12,6.
а) Первое из задуманных чисел больше а на 32, а второе равно результату от
деления числа Ъ на 2,1. Найдите сумму этих чисел.
б) Второе из задуманных чисел равно произведению числа а и числа 3,3, а пер­
вое - произведению числа Ъ и числа 4,7. Найдите разность между первым и
вторым числами.
в) Первое из задуманных чисел равно результату от деления числа а на 5, а вто­
рое меньше b на 34. Найдите произведение этих чисел.
г) Второе из задуманных чисел меньше а на 90, а первое равно результату от
деления числа b на 12. Найдите частное от деления второго числа на первое.
Прочитайте высказывания, записанные на математическом языке с помощью
кванторов общности (V) и существования (3). Докажите истинные высказывания,
а для ложных —постройте их отрицания.
а) 3 п е N : п = 3k + 2, k е N;
д) V п е N : 2п - составное число;
б) V т 6 N : т = 151 + 4, I е N;
е) 3 т е N : 2т + 1 - простое число;
в) V а е N : а делится на само себя;
ж)3 k е N : 2k - кратно 3;
г) 3 b е N : Ъ делится на 0;
з) V d е N : 3d + 1 - не кратно 5.
20

_________ ______________________________________Глава 1, §2, п .1.2.1
Составьте буквенное выражение для нахождения неизвестного
числа и найдите его при данных значениях букв:
2
а) число, равное g от а (а = 1,2);
б) число, равное 0,25 от Ь (6 - 5,6);
в) число, ^ которого равна с (е = 0,14);
г) число, 0,3 которого равны d (d = 90);
д) число, равное части, которую число k составляет от числа m[k = 0,25, т =
е) число, равное части, которую число п составляет от числа р (п = 0,8, р = 2jrJ.

44 | Постройте математическую модель и решите задачу:
а) Выручка предприятия в первый день составила

выручки за второй день.

Всего за эти два дня выручка составила 76 908 р. Сколько денег получили от
покупателей в первый день?
2
б) За месяц расходы компании на бензин составили 45 720 р., что составило уу
всех расходов компании. Сколько денег израсходовала компания в этом месяце?
в) Прибыль компании в первом полугодии составила 648 000 р., а во втором 342 000 р. Какую часть составила прибыль второго полугодия от прибыли пер­
вого?
Найдите множество целых решений неравенства:
а) х - 3 > 2;

в) 2 < а < 7;

д) | г \ < 2;

б) у + 9 < 12;

г) -3 < Ь < 5;

е) | п + 3 | > 4.

Сравните числа А и В:
А = (6,8547 : 2,19 + 0,6039 : 5,49) : 1,62;
В = (0,9893 : 0,13 - 6,4) ■62,9 - 77,109.

О

47 I

Оставьте буквы, соответствующие определениям, а остальные зачеркните.
Прочитайте подряд оставшиеся буквы - и вы узнаете единицу измере­
ния вязкости, которая была названа так в честь выдающегося французского
физика.
| П | Число а называется обратным к числу b * 0, если а • b = 1.

[л] В прямоугольном треугольнике два угла острые.
| У | Произведением двух натуральных чисел а и b называется сумма b слагаемых,
каждое из которых равно а.
| А | Натуральное число а делится на натуральное число Ь, если существует такое
натуральное число с, что а = Ъс.

| О | Дробь - это не целое число.
21

Глава 1, §2, п.1.2.1 _________________________________________________
| Д [ Неправильная дробь больше или равна 1.
| Н [ Модуль любого числа больше или равен нулю.
| М | Окружность - это не прямая.
|~3] Производительность - это объём работы, сделанной за единицу времени.

48 I В некоторой математической теории введены следующие первоначальные понятия:
1""" м талл, воад, твёрдый, жидкий, прямой, кривой. Для этих понятий введена сле­
дующая система аксиом:
Aj. Есть хотя бы один талл и хотя бы один воад.
Aj. Таллы и воады могут быть как прямыми, так и кривыми.
А3. Талл твёрдый.
А4. Воад жидкий.
С учётом новых определений докажите указанную теорему:
а) Определение. Алюминий - это прямой талл.
Теорема. Алюминий - твёрдый.
б) Определение. Сок - это кривой воад.
Теорема. Сок - жидкий.
49 I Владельцы

пончиковой компании Антон и Ксюша посчитали, что количество
5
пончиков, проданных ими в феврале, составило ^ от количества пончиков, про­
данных ими в марте. Всего за эти два месяца они продали 480 пончиков. Сколько
пончиков Антон и Ксюша продали в феврале?

|50 | Несколько

школьников, вложив поровну денег, выбрали компьютерную игру и
решили её купить. В последний момент двое отказались участвовать в покупке,
поэтому каждому из оставшихся школьников пришлось заплатить на 1 р. боль­
ше. Сколько стоила компьютерная игра, если её стоимость больше 140 р., но
меньше 160 р.?

[ 5 ] | Выполните вычисления и расшифруйте фамилию второго в истории шахмат
чемпиона мира, ученика Давида Гильберта.

|~Е~| (0,04 + 3,59)(7,35+ 2,65) [к] (6,39 -

2,1028) : (18 - 5,3408 - 11,3022 : 1,35)

[X] (13 - 12,47) • 0,8 • 19

[р ] [1,91 ■6 : (2,5 • 5)] : (114,6 • 0,002)

|~Л[ (5,4 - 3,65)(10,28 - 7,09)

[с ] [7,36 • 4,5 • (15,2 • 0,2)] • (65,24 : 13,048)

5,5825

8,056

503,424

1

36,3

4

| ^ 2 J Одновременно зажгли две свечи одинаковой длины. Одна
свеча полностью сгорает за 6 часов, а вторая - за 2 часа.
Через некоторое время свечи одновременно погасили, и оказа­
лось, что огарок первой свечи в 3 раза длиннее, чем второй.
Сколько времени горели свечи?

22

Глава 1, §2, п .1 .2 .2

1.2.2. Некоторые методы математического доказательства

Именно математика даёт надёжнейшие правила:
кто им следует - тому не опасен обман чувств.
Леонард Эйлер (1707-1783),
швейцарский математик

Как мы уже видели, любая математическая теория строится на базе первона­
чальных понятий и аксиом. С помощью логических рассуждений, называемых
доказательствами, устанавливается справедливость всех остальных утверждений
теории - теорем.
Так что же такое доказательство и какие методы доказательства существуют?
Если посмотреть определение понятия «доказательство» в толковом словаре, то
мы увидим, что доказательство - это рассуждение, обосновывающее доказываемое
утверждение. В математике доказать какое-либо утверждение - значит показать, что
это утверждение логически следует из уже доказанных утверждений или аксиом.
Никакое другое рассуждение, даже подтверждённое сколь угодно большим количес­
твом частных примеров, доказательством не считается.
Как же находить доказательства математических утверждений?
Общего рецепта здесь нет. Поиск доказательств во многом определяет развитие
математики как науки. Для доказательства некоторых математических утверждений
требуются столетия и создание целых теорий. Вот два ярких примера. Так называе­
мая великая теорема Ферма была сформулирована Пьером Ферма ещё в 1637 году, а
доказана лишь в 1995 году английским математиком Эндрю Уайлсом, совершившим
в процессе этого доказательства прорыв в теории чисел. И только в 2002 году рос­
сийский математик Григорий Перельман доказал, используя парадоксальные идеи,
знаменитую гипотезу Анри Пуанкаре почти вековой давности.
Тем не менее в математике есть способы доказательства, которые успешно работа­
ют при установлении истинности самых разных с виду утверждений. С некоторыми
из них мы с вами уже встречались, некоторые нам встретятся впервые.

Метод перебора
Задача 1. Доказать, что среди двузначных чисел есть только два числа, 72 и 94,
которые на 58 больше произведения своих цифр.
Доказательство:
Любое двузначное число можно представить в виде 10а + Ь, где а и b - соответ­
ственно первая и вторая цифры этого числа. Значит, а - натуральное число, меньшее
10, а b может быть одним из целых чисел от 0 до 9.
Тогда указанное в условии свойство можно записать в виде равенства:
10а + b = 58 + ab.
23

Глава 1, §2, п .1 .2 .2 __________________________________________________________________ _
Искомое двузначное число равно 58 4- ab, где а и b - целые числа от 0 до 9, поэто­
му оно больше 58. А значит число его десятков а больше или равно 5. Последователь­
но перебираем все возможные значения а и b и получаем, что указанное равенство
возможно только для двузначных чисел 72 и 94, что и требовалось доказать.
Итак, мы использовали доказательство методом перебора: проверили истинность
утверждения для каждого элемента рассматриваемого множества.

Метод проб и ошибок
Задача 2. Доказать, что уравнение х(х + 9) = 90, где х е N , имеет единственное
решение.
Доказательство:
Возьмём х = б, тогда 6(6 + 9) = 90. Тем самым мы доказали, что решение ука­
занного уравнения существует.
Теперь покажем, что другого натурального решения
нет. Действительно, при увеличении значения х оба мно­
жителя в левой части увеличиваются, а при уменьшении
х вплоть до значения х = 1 оба множителя уменьшаются.
В обоих случаях произведение будет отлично от 90.
Значит, уравнение х{х + 9) = 90, где х е N> имеет
единственное решение, что и требовалось доказать.
Итак, мы доказали это утверждение с применением
метода проб и ошибок:
1. Подобрали конкретные объекты с заданными
свойствами.
2. Показали, что других объектов, удовлетворяющих
этим свойствам, нет.
Отметим, что в математике часто требуется доказывать утверждения о сущест­
вовании объекта с заданными свойствами. Как мы уже знаем, для доказательства
таких утверждений достаточно предъявить хотя бы один удовлетворяющий условию
объект. В этом случае нет необходимости доказывать, что других таких объектов не
существует.
Задача 2а. Доказать, что существует решение уравнения х(х + 9) = 90.
Доказательство:
Возьмём х = 6, тогда 6-(6 + 9) = 90. Тем самым мы доказали, что решение ука­
занного уравнения существует, что и требовалось доказать.
Доказательство существования, при котором предъявляется объект с указанными
свойствами, называется прямым.

Косвенные доказательства
Иногда предъявить требуемый объект сложнее, чем
доказать его существование. Если при доказательстве
существования объект не указывается, то такое доказа­
тельство называется косвенным.
С косвенными доказательствами мы уже с вами
встречались, но не выделяли их в отдельную группу.
24

Глава 1, §2, п.1.2.2

Задача 3. В школе 370 учеников. Докажите, что
существуют хотя бы два ученика, справляющие день
рождения в один и тот же день года.
Доказательство:
В обыкновенном году 365 дней, а в високосном 366 дней. В школе всего 370 учеников. Значит, у
всех у них не могут быть дни рождения в разные
дни, так как 370 > 366. Поэтому как минимум у
двух учеников дни рождения совпадают, что и тре­
бовалось доказать.
Одним из способов косвенного доказательства, получившим широкое распростра­
нение, является так называемое доказательство методом от противного. Суть его
состоит в следующем. Истинность утверждения А доказывают тем, что показывают
ложность утверждения -'А (отрицание А). Дело в том, что по закону исключённого
третьего из двух утверждений А и -'А одно истинно, а другое —ложно. Значит, если
в результате предположения о том, что —
А истинно, мы приходим к противоречию
(так называемому «абсурду*) или к выводу об истинности заведомо ложного утверж­
дения, то тем самым мы доказываем истинность исходного утверждения.
Задача 4. Докажите, что не существует наибольшего чётного числа.
Доказательство:
Проведем доказательство методом от противного. Предположим, что, наоборот,
существует наибольшее чётное число п. Тогда всякое другое чётное число должно
быть меньше п. Однако, прибавив 2 к числу л, получим чётное число п + 2, боль­
шее, чем п.
Полученное противоречие доказывает, что наше предположение о существовании
наибольшего чётного числа ложно. Значит, наибольшего чётного числа не существует,
что и требовалось доказать.
Алгоритм доказательства методом от противного
1. Предположить, что доказываемое утверждение неверно.
2. Исходя из этого предположения либо получить противоречие, либо прийти
к выводу об истинности заведомо ложного утверждения.
3. Сформулировать вывод о том, что сделанное предположение неверно, а
значит, верно доказываемое утверждение.
Метод доказательства математических теорем
от противного весьма эффективен и очень распро­
странён. Чаще всего он используется для доказа­
тельства того, что объекта с заданными свойствами
не сущест-вует. Так, упомянутая выше великая тео­
рема Ферма была доказана с использованием именно
такого метода.
25

Глава 1, §2, п .1 .2 .2 .

О

[53]
а)
б)
в)
г)

Постройте отрицания следующих высказываний. Определите истинность
данных высказываний и их отрицаний.
Сумма двух чисел не зависит от порядка слагаемых.
Число 0 является натуральным числом.
Разность двух натуральных чисел всегда число натуральное.
Частное двух целых чисел а и b может быть целым числом.
2

д) Дробь ^ означает, что целое разделили на 2 равные части и взяли 5 таких
частей.
е) Все правильные дроби больше или равны 1.
ж) Правильная дробь всегда меньше неправильной.
з) Модуль числа может быть отрицательным.
Проведите доказательство косвенным методом:
а) В гостинице 124 номера, в которых живут 250 человек. Докажите, что есть
хотя бы один номер, в котором живет не менее 3 человек.
б) Население Земли на 1 июля 2009 года составляло 6 786 167 712 человек. Счи­
тая, что на Земле нет людей, возраст которых более 200 лет, докажите, что най­
дутся по крайней мере 2 человека, которые родились в одну и ту же секунду.
Докажите следующие утверждения:
а) Не существует наибольшего нечётного числа.
б) Существует бесконечно много натуральных чисел вида 15л + 7, где п е N.
в) Не существует натурального числа, которое при делении на 18 даёт остаток 5,
а при делении на 27 даёт остаток 3.
Докажите прямым и косвенным методами:
а) Равенство п(п + 1) = 35 419 неверно при любом натуральном п.
б) Равенство 2т(т + 1) = 37 582 неверно при любом т е N.

Ш

О

26

Используя метод доказательства от противного, докажите:
а) При любых натуральных а и b число 15 не может быть корнем уравнения
ах2 + Ъх + 48 = 0.
б) Число 3 не может быть корнем уравнения ах3 + Ъх2 + х + 9 0 при любых
натуральных а и Ъ.

~58

Сформулируйте утверждения, обратные к данным, и определите истинность
прямых и обратных утверждений. Найдите высказывания, для которых
истинны как прямое, так и обратное утверждение. Вспомните, как называются
такие высказывания.
а) Если произведение двух натуральных чисел делится на 7, то хотя бы одно из
этих чисел делится на 7.
б) Если произведение двух натуральных чисел делится на 15, то хотя бы одно
из этих чисел делится на 15.
в) Если натуральное число делится на 2, то оно оканчивается нулём.
г) Если натуральное число оканчивается на 5 или на 0, то оно делится на 5.
д) Если сумма цифр натурального числа делится на 9, то оно делится на 3.

------------------- -------- ----------------------------------- Глава 1, §2, п.1.2.2
е) Если натуральное число делится на 9, то и сумма его цифр делится на 9.
ж) Если квадрат натурального числа делится на 4, то и само число делится на 4.
з) Если квадрат натурального числа делится на 5, то и само число делится на 5.
Решите задачу:
а) Телефонная станция получила заказ на прокладку кабеля и подключение новых
телефонных номеров. Один телефонист может выполнить этот заказ за 37,5 часа,
а другой может выполнить 5% заказа за 2,5 часа. Сколько времени потребуется
этим двум телефонистам для выполнения всего заказа, если они будут работать
вместе с указанной производительностью?
б) Для наполнения бассейна используются две трубы.
Через первую трубу пустой бассейн наполняется за 15
часов, а через вторую - за 0,8 этого времени. За какое
время можно наполнить пустой бассейн, включив обе
трубы одновременно?
в) На автомобильном заводе работают 72 станка.
Они выполняют дневное производственное задание
за 10 часов. Сколько станков нужно добавить, чтобы
выполнить эту же работу за 8 часов? Считать, что все
станки работают с одинаковой производительностью.
г) На молочном заводе работают 210 рабочих. Профсоюз рабочих принял решение
сократить рабочий день с 8 до 7 часов. Сколько рабочих необходимо будет при­
нять на завод, для того чтобы сохранить неизменным ежедневный выпуск про­
дукции? Считать, что все рабочие работают с одинаковой производительностью.
Переведите в указанные единицы измерения и вычислите:
а) в килограммы:
в) в часы:
0,057 т + 6,43 кг + 870 г - 0,003 ц;
30 мин + 1 сутки - 3,5 ч + 2700 с;
б) в сантиметры:
г) в рубли:
4,8 м + 317,2 мм - 4,72 см - 2,3 дм;
5,2 тыс. р. - 500 к. + 38 р. - 3 тыс. р.
переменных:
HD Упростите выражение при допустимых значениях
39abc
84а2пх.

О

а) 36abc : 9;

в) За : а;

б) l\ a x : 3;

г) 6Ь : gb;

Д) 13ас '
76аЬху_
w
е) 18аЬу ,

__.ч

ж)

7ах *
6,25 рд2г
з) Ъргх

j^62j Проведите доказательство косвенным методом:
1) Шесть рыбаков поймали вместе 14 рыб. Докажите, что хотя бы два рыбака
поймали рыб поровну.
2) В классе 25 учеников. Докажите, что есть такой месяц в году, когда день
рождения справляют не менее 3 учеников.
3) Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, имеющих
вид 4к + 1, где к е N.
Используя метод доказательства от противного, докажите, что при любых нату­
ральных а и Ь число 7 не может быть корнем уравнения ах2 + Ьх + 5 = 0.
27

Глава 1, §2, п .1 . 2 . 2 _______________________________________________________
Сформулируйте утверждения, обратные к данным, и определите истинность пря­
мых и обратных утверждений. Найдите равносильные утверждения.
а) Если | а | = | b |, то а = Ь.
б) Если а > 0 и Ь > 0, то ab > 0.
в) Если число оканчивается на одну из цифр 0, 2, 4, 6, 8, то оно делится на 2.
[^65j Землеройная машина за 8 часов работы может вырыть канаву шириной 30 см,
глубиной 3 м и длиной 6 км. Скольких землекопов заменяет такая машина, если
один землекоп роет канаву с производительностью 0,5 м3 земли в час?
| 66 | Антон и Ксюша получили заказ на выпечку пончиков. Рабо­
тая вместе, они могут выполнить этот заказ за 1 ч 20 мин.
Ксюша может выполнить этот заказ полностью в 2 раза
быстрее Антона. Какое время потребуется каждому из них
в отдельности на выполнение этого заказа?
ш
Сравните величины:

ш

А = 4,3 м - 3,5 см + 1,44 м : 3,6 + 3,6 дм : 1,44 • (0,1 - 0,02);
В = 1,35 дм : 27 + 6,02 м - 5,9 см + 0,4 мм : 2,5 • (4,2 - 1,075);
С = 4,735 м : 0,5 + 14,95 дм : 1,3 + 2,121 мм : 0,7.
)

|^68j Докажите, что сумма п первых нечетных чисел равна п2.

1.2.3. Логический вывод
Первое условие, которое надлежит выполнять
в математике, - это быть точным, второе - быть
ясным и, насколько можно, простым.
Лазар Карно (1753-1823),
французский государственный деятель и учёный
Обсуждая принципы построения математических теорий и методы доказательств
в математике, мы использовали термины «логический вывод», «логические рас­
суждения». Мы говорили о том, что доказательство математических утверждений,
по сути, состоит из последовательности правильных выводов. Но как узнать, какие
выводы правильные, а какие —нет? Какие из рассуждений «логически следуют» из
уже известных?
Законы конструирования правильных рассуждений изучает специальная наука —
логика. Математическая логика, как и любая математическая теория, не опирается
на такие аргументы, как наблюдения, конкретный случай, чьи-то ощущения. Она
выстроена на базе системы основных понятий и аксиом, описывает общие законы
и тем самым создаёт возможность для согласования различных мнений и взглядов.
Поэтому законы логики —это принципы, которыми надлежит руководствоваться при
проведении рассуждений в самых разнообразных науках и в жизни.
28

Глава 1, §2, п. 1.2.3
Вопросы логики интересовали учёных еще в древности. Так, великий древнегре­
ческий философ Аристотель и его ученики начиная с IV века до н.э. исследовали
законы конструирования логически правильных суждений.
Привести примеры таких суждений можно, опираясь на простые ситуации из
повседневной жизни, где, как и в математике, мы постоянно рассуждаем и делаем
разные выводы. Например, из того, что некоторую женщину зовут Татьяна Ивановна,
следует, что её отца зовут Иван. Данное рассуждение, как вы уже знаете, можно
записать в форме А => В, где А (условие) - это высказывание
«женщину зовут Татьяна Ивановна», а В (заключение) —
высказывание «отца этой женщины зовут Иван». В то
же время, если отца женщины зовут Иван, то из этого
вовсе не следует, что она именно Татьяна Ивановна, - её
могут звать также и Мария Ивановна, и Елена Иванов­
на. На языке логики эта ситуация описывается формой
В Ф А , где В становится условием, а А - заключением.
Примером хорошо известной нам логической формы,
которую мы постоянно используем при проведении доказательств, является форма:
«Если А - истинно и А => В, то В - истинно». Другими словами, если выполняется
условие А и известно, что верно логическое следование А => В, то будет выполняться
и В. Например:
А
А => В
В

В числе 258 сумма цифр делится на 3 - истинно.
Сумма чиФп числа делится на 3 => Число делится на 3.
Число 258 делится на 3 - истинно.

Рассмотрим ещё несколько способов обобщенного описания рассуждений на языке
логики. Проанализируем два похожих на первый взгляд рассуждения.
1. Все Олины кубики - деревянные. Все деревянные предметы не тонут в воде.
Следовательно, все Олины кубики не тонут в воде.
2. Все Оливы кубики не тонут в воде. Все деревянные предметы не тонут в воде.
Следовательно, все Олины кубики - деревянные.
Рассуждение 1 правильное, а рассуждение 2 - нет. Действительно, из того, что
все кубики не тонут в воде, не следует, что все они деревянные. Например, они мо­
гут быть пластмассовыми. Поэтому, сделав вывод в рассуждении 2, мы совершили
логическую ошибку.
Разберёмся в том, почему произошла ошибка. Для этого обозначим буквой А
высказывание «Кубик принадлежит Оле», буквой В - высказывание «Предмет дере­
вянный», а буквой С - «Предмет не тонет в воде». Тогда проведённые рассуждения
можно записать в следующих формах:
S

\

2)

1)

А=> с
А => А.

(Если А => В, В

С, то А => С)

(Если А => С, В => С, то А => В)

Проверить правильность данных рассуждений можно, используя язык теории
множеств. Пусть А - множество Олиных кубиков, В - множество деревянных пред29

Глава 1, §2, п .1.2.3
метов, а С - множество предметов, которые не тонут в воде. Тогда рассуждения 1
и 2 можно перевести на язык теории множеств следующим образом:
Перевод рассуждения на язык
теории множеств
1

2

Диаграмма Эйлера-Венна
^

--------

Множество А является подмножеством
множества В. Множество В является
подмножеством множества С.
Следовательно, множество А является
подмножеством множества С. (Истинно.)

GP

Множество А является подмножеством
множества С. Множество В является
подмножеством множества С.
Следовательно, множество А является
подмножеством множества В. (Ложно.)

(Ш
)
----------

А с В . В с С =>А с С

^
А с С .В с С ^ А с В

Как видите, для того чтобы проверить правильность рассуждения, мы можем
использовать также уже известные нам диаграммы Эйлера-Венна. И хотя этот
способ не является строгим доказательством, он даёт наглядное представление о
сделанном высказывании и позволяет разобраться в правильности того или иного
рассуждения.
Итак, мы показали, что рассуждения вида:
«Если А ■=>В и А - истинно, то В - истинно»;
«Если А => В, В

С, то А =^> С»

построены логически грамотно и являются верными
логическими выводами.
Ясно, что цепочку следований мы можем продол­
жить и дальше, например:
Если А => В, В => С, С => D, D => Е, то А => Е.
Как мы уже говорили, именно такие логические цепочки и лежат в основе мате­
матических теорий, метод построения которых мы обсуждали в пункте 1.2.1.
В спортивном клубе в секциях аэробики и плавания занимаются 58 чело­
век. Аэробикой занимаются 27 человек, а плаванием - 39 человек. В каком
случае это возможно?
а) Пусть А - множество натуральных решений неравенства 4,5 < а < 8, а В - мно­
жество натуральных решений неравенства -1 ,5 < b < 7. Запишите множества А
и В с помощью фигурных скобок и постройте для них диаграмму Эйлера-Венна.
Найдите объединение и пересечение множеств А и В.
б) Выполните задание а) для случая, когда А и В - множества целых решений
этих же неравенств.
30

Глава 1, §2, п . 1.2.3
Нарисуйте диаграммы Эйлера-Венна, иллюстриру­
ющие высказывания:
а)
б)
в)
г)

Все кошки являются животными.
Некоторые кошки - рыжие.
Ни одна кошка не является птицей.
Некоторые кошки не умеют плавать.

Определите правильность следующих выводов:
а) Если некоторые четвероногие животные лают, то
некоторые лающие животные - четвероногие.
б) Если некоторые фрукты сладкие, то некоторые сладкие предметы - фрукты.
в) Если ни одна птица не рычит, то ни одно рычащее животное - не птица.
г) Если ни один школьник не является студентом, то ни один студент не явля­
ется школьником.
д) Если все цветы красивые и некоторые красивые предметы - красные, то не­
которые красные предметы - цветы.
е) Если все игры - компьютерные и некоторые компьютерные игры - не стра­
тегии, то некоторые игры - не стратегии.
ж) Если ни один слон не крокодил, а некоторые крокодилы живут в Африке, то
некоторые живущие в Африке - не слоны.
з) Если все семиклассники любят читать и ни один семиклассник не библиоте­
карь, то все любящие читать - не библиотекари.
Проверьте правильность следующих выводов с помощью диаграмм Эйлера-Вен­
на. В каких случаях неправильно построенные выводы привели к истинным
заключениям? К ложным заключениям? Можно ли считать неверные выводы
доказательством или опровержением данных утверждений?

т

а) Если все тигры являются животными, то некоторые животные не являются
тиграми.
б) Если все попугаи говорят и все попугаи - птицы, то все птицы говорят.
в) Если все птицы говорят и все попугаи говорят, то все попугаи - птицы.
г) Если все птицы говорят и все попугаи - птицы, то все попугаи говорят.
д) Если ни один тигр не летает, то ни один летающий предмет - не тигр.
е) Если некоторые попугаи говорят и все попугаи - птицы,
то некоторые птицы говорят.
ж) Если все тигры - хищники и ни один тигр не поёт, то
некоторые хищники не поют.
з) Если ни один дельфин не является тигром и все дельфины
живут в море, то ни один тигр не живет в море.
Правилен ли логический вывод, имеющий форму:
а) Если некоторые А являются В, то некоторые В являются
б) Если ни одно А не является В , то ни одно В не является А.
в) Все А являются В , и некоторые В являются С, - значит, некоторые С явля­
ются А.
г) Все А являются В, и некоторые В не являются С, - значит, некоторые А не
являются С?
31

Глава 1, §2, п. 1.2.3
Постройте отрицания данных высказываний. Определите истинность
исходного высказывания и его отрицания:
а) Если вы живёте в Австралии, то вы живёте южнее Москвы.
б) Если вам больше 2 лет, то вы учитесь в 7 классе.
в) Если х = 5, то х - 5 = 0.
г) Если число делится на 10, то оно делится на 5.
д) Если а < 0, то | а \ < 0.
е) Если ab — 1, то а < 6.
ж) Если а + 6 = 0, то а = -6.
з) Если из обеих частей равенства вычесть одно и то же число, то равенство не
нарушится.
Приведите подобные слагаемые:
а) 2ху + 0,5ху + (ху) : 6 + (ху) : 3 + ху;

У

б) а + 26 + 2а + 46 + За + 66;
в) 8 j j x + 0,66у + 5^у* + 2,34у;
г) а + (а + 6) + (а + 26) + (а + 36) + (а + 46);
д) 17* - (3у + г) + (5г - х) - (2х - 8у);
е) 67* - (32у + 4г - 8ж) - (15* - 6 у + 18г) - (* - 4у - 5г);
ж) * + (* - у) + (х - 0,2у) + (х - 0,4у) + (х - 0,8у) + (х - 1,6у);
з) c - ( « - d ) - ( c - f ) - ( c - f ) - ( c - f ) - ( c - £ ) + &

[7 7 ]

Найдите значение выражения:
а) 4ж2 - Ьх + 7 при * = -6;
б) 5у3 + 1 5 - 7 у при у — -3;

в) 2г5 - 14г' + 6г8 - 7г2 + 9 при г = -2;
г ) (6 й6 + 14/г4) : (3/г5 + 5/г3 - ЗА) при А = -1.

Постройте математическую модель и решите задачу:
а) Две обувные фабрики, работая вместе, выполнили некоторый заказ на пошив
партии обуви за 20 дней. Зная, что производительность второй фабрики состав­
ляет 40% от производительности первой, определить, за сколько дней смогла бы
выполнить этот заказ вторая фабрика, работая самостоятельно.
б) На заводе по производству фруктовых напитков резервуар с соком наполняется
через две трубы. Через первую трубу пустой резервуар наполняется за 6 часов,
а через обе трубы - за 4 часа. За сколько часов будет наполнен этот резервуар,
если он будет наполняться через одну вторую трубу?
в) На кофейный комбинат прибыло два вагона с зелёным кофе. В каждом вагоне
находилось 60 т зелёного кофе. Выгрузка его была поручена нескольким груз­
чикам. Случилось так, что половина грузчиков заболели, поэтому каждому из
оставшихся пришлось выгрузить на 10 тонн больше кофе. Сколько грузчиков
работало на выгрузке зелёного кофе?
32

Глава 1, §2, п. 1 .2 .3

О

Нарисуйте диаграммы Эйлера-Венна, соответствующие высказываниям:
а) Все А являются В.
в) Некоторые А не являются В.
б) Некоторые А являются В.
г) Все А не являются В.
Проверьте правильность следующих выводов, используя диаграммы ЭйлераВенна:
а) Все семиклассники родились в 1997 году. Коля - семиклассник. Значит, Коля
родился в 1997 году.
б) Все семиклассники родились в 1997 году. Петя не родился в 1997 году. Зна­
чит, Петя не семиклассник.
в) Все семиклассники родились в 1997 году. Саша не семиклассник. Значит,
Саша родился не в 1997 году.
г) Все семиклассники родились в 1997 году. Миша родился в 1997 году. Значит,
Миша семиклассник.
Определите правильность следующих выводов:
а) Если некоторые девочки любят мороженое, то некоторые любящие мороже­
ное - девочки.
б) Если ни один мальчик не обидит девочку, то ни один обидчик девочки - не
мальчик.
в) Если все семиклассники - отличники и некоторые отличники - девочки, то
некоторые девочки - семиклассницы.
г) Если ни один мальчик не любит играть в куклы и некоторые любящие играть
в куклы любят ходить в кино, то некоторые мальчики не любят ходить в кино.

LEJ Найдите значение выражения:
а) 10*2 - х при х = 8;

б) 7сб - 10с4 + 5с2 - 1 при с = 2.

1~831 а) Найдите значение выражения.
[л]

12 : (4 : 4) + (58 - 58 • 0) • (797 - 796);

[х ] (0,008 + 0,992)(5,06 - 1,4 • 0);

(л]

(0,93 - 0,805) : (0,93 + 0,07) + (53,7 - 49) • 0;

[1 ] (50 000 - 1397,3) • 78 • (0 : 7) - 1,375 • (47 - 46);
[р ] 1,35 ■45,7 - 1,35 ■44,7 + (552 - 23 • 24) ■(-59,98);

|~Л~| (1975,6 + 8024,4) : 100 • (13,7 • 39,9 - 39,8 • 13,7);
[о ] (605,125 : 12,5 - 36,8706 : 0,87 - 0,0012) • (1085 - 35 • 31);
|Т ] (90,09 • 5 - 50,05 ■9)7 - 3,48 • (73 - 8 • 9).
б) Сопоставьте ответы соответствующим буквам - и вы узнаете, как называется
одноклеточная водоросль, широко используемая для очистки воздуха в косми­
ческих кораблях.
5,06

70

0

1,35

-1,375

0,125

137

-3,48

33

Глава 1, §2, п .1 .2 .4

Упростите выражение:
а) 7а - 9Ь + (а + Ь);

в) (3т - 7га - 5р) + (2гаг + 4га - Зр) - (4гаг - Зга - 6р);

б) 6 , 6 * - 2 |у - (б,06* - з |у );

г) с - [(d - I) - (а - с)].

В связи с увеличением спроса на пончики Антон и Ксюша приняли решение взять
на работу одну из двух новых бригад пекарей. Первая из этих бригад смогла
выполнить заказ на изготовление 120 пончиков за 6 часов. Работая вместе, первая
и вторая бригады выполнили заказ на изготовление 500 пончиков за 12 часов.
Оплата за 1 час работы каждой бригады одинаковая. Какую бригаду пекарей
выгоднее взять на работу?

I 86 I Два зубчатых колеса находятся в сцеплении.
Колесо А имеет 18 зубьев, а колесо В - 63.
Какое минимальное количество оборотов должно
сделать каждое колесо до того, как оба они вернутся
в исходное положение?

1.2.4. Л огические ош ибки

Истина истине не может противоречить.
Джордано Бруно (1548-1600),
итальянский учёный и поэт

Построение математической теории основано на выстраивании последователь­
ности утверждений. При этом каждое новое утверждение выводится из аксиом или
уже доказанных утверждений в соответствии с законами логики. Однако нередко
рассуждения, построенные, казалось бы, в соответствии с правильными логическими
формами, приводят в итоге к абсолютно нелепым утверждениям.
Для того чтобы избежать ошибок при доказательстве разного рода утверждений,
важно разобраться в том, какие виды ошибок могут быть допущены. Понимание
причин ошибок, приводящих к очевидной нелепице, позволяет понять, почему в
математике существуют те или иные ограничения и правила.
Но если вы всё-таки ошиблись, то старайтесь извлечь из этого пользу, проана­
лизировав причины случившегося. Ошибались даже самые выдающиеся математи­
ки, но выявление причин своих ошибок продвигало их вперед. Не зря говорят: на
ошибках учатся. Ведь если вы сможете разобраться, почему произошла ошибка, то
это поможет вам глубже осознать математические законы и значительно облегчит
решение последующих задач.
Рассмотрим некоторые из наиболее распространённых логических ошибок.
34

__________________________________________________________________ Глава 1, §2, п.1.2.4
I. «Порочный круг» (попытка доказать некоторое утверждение, используя при
доказательстве истинность доказываемого утверждения).
Если кто-нибудь «доказывает», например, равенство
a + b = b + а, ссылаясь на то, что от перестановки слагаемых
сумма не меняется, то доказывающий лишь повторяет то, что
должен доказать. И хотя приводимое им заключение верно,
доказательством оно не является.
II. Попытка доказать некоторое утверждение, исходя из
ложного предположения.
Если вывод некоторого утверждения основывается на
неправильном предположении, то это также может привести к ошибке.
Чтобы разобраться в этом, рассмотрим следующую задачу.
Задача. Участник соревнования по бегу пробежал дистанцию длиной 200 м за
25 с. Какое расстояние он пробежит за 1 час?
Решение:
Так как за 1 секунду бегун пробежал 200 м : 25 = 8 м, а 1 ч = 3600 с, то за 1 час
он пробежит 8 м • 3600 = 28 800 м = 28,8 км.
Ответ: за 1 час бегун пробежит 28,8 км.
Однако полученный результат совершенно не согласуется с представлениями о
реальных возможностях человека. Ведь человек физически не способен пробежать
за 1 ч расстояние в 28,8 км. В чем же причина противоречия?
Анализ причин противоречия.
Дело в том, что при решении данной задачи сделано неверное предположение о
том, что спортсмен в течение 1 часа будет бежать с той же скоростью, с какой он
пробежал дистанцию в 200 м. Понятно, что в реальной жизни скорость бегуна зави­
сит от длины дистанции. Поэтому, сделав неверное предположение, мы получили в
этом случае неверный результат.
III. Распространение общего правила на исключительные случаи.
Данная группа ошибок связана с применением общего правила в тех случаях, на
которые это правило не распространяется.
Рассуждение. Докажем, что 2 = 5. Для этого рассмотрим
равенство:
16 + 6 - 22 = 40 + 15 - 55.
Вынесем за скобки в правой и левой частях равенства
общие множители. Получим
2 • (8 + 3 - 11) = 5 • (8 + 3 - 11).
Разделим обе части этого равенства на общий множитель
(8 + 3 - 11). Получаем 2 = 5.
Почему же так получилось?
Анализ причин противоречия.
В соответствии с известным правилом равенство не изменится, если мы разде­
лим обе его части на одно и то же число, отличное от нуля. В нашем же случае,
поскольку 8 + 3 - 1 1 = 0, мы делили на 0. Поэтому и получили в итоге неверное
утверждение.
35

Глава 1, §2, п . 1 . 2 . 4 . _____________________ __________________________________
IV. Замена одного утверждения неравносильным другим.
Проиллюстрируем ошибки данного вида следующим рассуждением.
Рассуждение. Мы знаем, что 1 р. = 100 к. Так как 10 р. = 1000 к. и при умно­
жении равенства на одно и то же число оно не изменится, получаем:
1 • 10 р. = 100 • 1000 к. о 10 р. - 100 000 к.
Разделим обе части последнего равенства на 10:
1 р. = 10 000 к.
Таким образом, мы получили, что 1 рубль одновременно равен 100 к. и 10 000 к.
Почему так получилось?
Анализ причин противоречия.
Выполняя действия с именованными числами, мы должны всегда помнить о
том, что аналогичные действия необходимо производить и с единицами их измере­
ния. Так, например, умножив ширину прямоугольника, равную 5 см, на его длину,
равную 6 см, мы получим площадь прямоугольника, выраженную в квадратных
сантиметрах:
5 см • 6 см = 30 (см • см) = 30 см2.
В нашем рассуждении мы заменили первоначальное равенство неравносильным,
так как должны были получить:
1 р. • 10 р. = 100 к. • 1000 к. о 10 р.2 = 100 000 к.2
Это и явилось причиной указанного противоречия.
V. Неточные формулировки и двусмысленность понятий.
Для иллюстрации этого случая рассмотрим следующее рассуждение.
Рассуждение. В одну гостиницу приехало 12 туристов. Администратор обнаружил,
что свободными остались всего 11 номеров. Он подумал и предложил следующий
способ размещения всех этих туристов по одному в каждом номере.
Предупредив двенадцатого туриста, что он временно размещается в первой комна­
те, администратор принялся за размещение остальных туристов по одному в каждой
комнате, начиная с первой. В итоге такого расселения в первой комнате оказалось
два человека, третий турист был помещен во второй комнате, четвёртый - в третьей
и так до одиннадцатого туриста, помещенного в десятой комнате.
Одиннадцатая комната осталась свободной, и в нее адми­
нистратор поселил временного жильца первой комнаты —две­
надцатого туриста.
Таким образом, оказалось возможным разместить 12 ту­
ристов по одному в 11 комнатах. А значит, получилось, что
12 = 11 .

Где же в рассуждениях администратора была допущена
ошибка?
Анализ причин противоречия.
Если внимательно проанализировать рассуждение администратора, то станет
ясно, что второй турист остался без комнаты, так как о его существовании при рас­
пределении номеров просто забыли.
36

Глава 1, § 2 , п .1 .2 .4
Данная ошибка обнаруживается только при внимательном анализе рассуждения,
так как в нем смешаны два разных понятия - количество туристов и порядковый
номер их размещения. Путем такого смешения и достигается иллюзия правдоподоб­
ности. В самом деле, в рассуждении говорится, что в первой комнате оказалось два
человека, однако их номера 1 и 12 явно не называются. При этом делается ссылка
на то, что «двое» туристов уже размещены и сразу совершается переход к туристу
под номером 3.
Приведённые рассуждения являются примерами того,
как неточность формулировок, невнимание к условиям,
при которых выполнимы те или иные операции и процес­
сы, неравносильность выполняемых преобразований могут
привести к доказательству ошибочных утверждений.
Чтобы избегать подобных ошибок или своевременно их
ОФИЗМ
отыскивать, можно пользоваться следующими простыми
правилам и :

Щш

Правила логических рассуждений
1. Проверить общее утверждение на простом частном случае, и если для час­
тного случая утверждение неверно, то оно неверно вообще.
2. Проверить истинность всех используемых в процессе доказательства ут­
верждений, помня о том, что на основе ложного исходного утверждения можно
доказать что угодно.
3. Каждое новое утверждение должно следовать из других в соответствии с
законами логического следования.
4. Смысл всех используемых понятий должен быть однозначно определён.
5. При решении задач надо всегда делать проверку, проверяя полученное ре­
шение как на соответствие условиям задачи, так и на соответствие здравому
смыслу.

О

Прочитайте высказывания и запишите их на математическом языке с по­
мощью кванторов общности (V) и существования (3). Докажите истинные
высказывания, а для ложных - постройте их отрицания.
а) Любое натуральное число больше нуля.
б) Можно найти натуральное число, квадрат которого больше 30.
в) Квадрат любого натурального числа больше самого числа.
г) Существуют два натуральных числа, одно из которых больше другого на 5, и
их произведение равно 5.

8 ^ J Постройте утверждения, обратные к данным. Определите истинность прямого и
обратного утверждений:
а)
б)
в)
г)

Если натуральное число больше 9, то оно больше или равно 10.
Сумма двух натуральных чисел, каждое из которых больше 5, меньше 9.
Натуральное число, кратное 4 и 25, кратно 100.
Если число неотрицательно, то его модуль равен самому числу.

Какие утверждения называются равносильными?

37

Глава 1, §2, п.1.2.4

Найдите ошибки в следующих рассуждениях:
а) Рассмотрим уравнение 2(х —7) = 0. Разделим обе его части на х - 7, получим:
2(х - 7) _ 0
Правая часть равенства равна 0, а левая после сокращения на
х - 1
х - 7
X - 7 равна 2. Значит, 2 0 .
б) Рассмотрим равенство 105 - 65 - 40 = 63 - 39 - 24. Вынесем за скобки в
правой и левой частях равенства общие множители. Получим
5 ■(21 - 13 - 8) = 3 • (21 - 13 - 8).
Разделив обе части данного равенства на общий множитель (21 - 13 - 8), полу­
чаем, что 5 = 3.
в) Рассмотрим уравнение 7(у + 15) = 0. Разделим обе его части на у + 15, полу­
чим: ^ +
= у + 15 ' Правая часть равенства равна 0, а левая после сокра­
щения на у + 15 равна 7. Значит, 7 = 0.
г) Рассмотрим равенство 99 + 162 - 261 = 44 + 72 —116. Вынесем за скобки в
правой и левой частях равенства общие множители. Получим
9 • (11 + 18 - 29) = 4 • (11 + 18 - 29).
Разделив обе части этого равенства на общий множитель (11 + 18 —29), полу­
чаем, что 9 = 4.
|90 | Придумайте рассуждения, «доказывающие», что:
а) 3 = 7;

б) 8 = 0;

в) 4 = 21;

г) 24 = 0.

Объясните причины ошибочности этих рассуждений.
Найдите причины следующих недоразумений:
а) Мы знаем, что 1 кг = 1000 г. Так как 10 кг = 10 000 г и при умножении
равенства на одно и то же число оно не изменится, получаем:
1 • 10 кг = 1000 • 10 000 г, или 10 кг = 10 000 000 г.
Разделив последнее равенство на 10, получаем: 1 кг = 1 000 000 г. Таким обра­
зом, мы получили,что 1 кг одновременно равен 1000 г и 1 000 000 г.
б) Докажем, что 15 - 15 = 18. Записываем уменьшаемое в виде суммы натураль­
ных чисел от 5 до 1: 15 = 5 + 4 + 3 + 2 + 1, а вычитаемое - в виде суммы тех
же чисел, взятых в обратном порядке: 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5. Расположим вы­
читаемое под уменьшаемым и будем вычислять разность 15 - 15, вычитая числа
второй строки из чисел первой строки. Так как 5 из 1 вычесть нельзя, займём
единицу из следующего числа, получаем 11 - 5 = 6. Выполняем вычисления
далее и получаем:
5+3+4+2+1
1+2+3+4+5
4+1+0+7+6
Так как 4 + 1 + 0 + 7 + 6 = 18, то, значит, 15 - 15 = 18.

38

Глава 1, §2, п.1.2.4
в) Рассмотрим равенство:

9:9

=

7 : 7.

Вынесем за скобки общий множитель в каждой части равенства, получим:
9-(1:1)=7-(1:1)

о

(3-3)-(1:1) = 7-(1:1).

Так как 1 : 1 = 1, то 3 • 3 = 7.

О

\92j

Прочитайте высказывания и определите их истинность. Для ложных
высказываний постройте их отрицания.
а) Если натуральное число больше 5, то оно больше или равно 6.
б) Делитель натурального числа может быть больше этого числа.
в) Любое натуральное число является делителем самого себя.
г) Единица является делителем всех натуральных чисел.
д) У натурального числа не бывает больше 3 делителей.
Докажите следующие утверждения:
а) Число 89 является делителем числа 625 670.
б) Число 169 491 кратно 3.
в) Число 9 является делителем числа 24 070 802 301.
г) Число 3 805 464 400 кратно 8. Определите, не вычисляя
частное, каким ещё 5 числам кратно данное число.

L2U

Запишите, используя фигурные скобки, множество делителей чисел:
а) 32;

ш

в) 60;

г) 81;

д) 91.

Найдите наибольший общий делитель чисел:
а) 7, 15, 25;

ш

б) 42;

б) 8, 18, 32;

в) 9, 12, 33;

г) 4, 16, 36.

Найдите наименьшее общее кратное чисел:
а) 5, 15, 25;

б) 7, 8, 14;

в) 3, 10, 18;

г) 2, 26, 52.

Г971 а) Автомобиль и трактор выехали одновременно из пунктов А

и В, расстояние
между которыми равно 240 км, навстречу друг другу. Скорость автомобиля равна
60 км/ч, а скорость трактора равна 20 км/ч. Через сколько часов они встретятся?
б) Автомобиль и трактор выехали одновременно из пунктов А и В навстречу друг
другу. Скорость автомобиля равна 60 км/ч, а скорость трактора равна 20 км/ч.
Чему равно расстояние между пунктами А и В, если известно, что автомобиль
встретится с трактором через 3 часа?
в) Автомобиль и трактор выехали одновременно из пунктов А и В, расстояние
между которыми равно 240 км, навстречу друг другу. Скорость автомобиля равна
60 км/ч. Чему равна скорость трактора, если известно, что автомобиль встретится
с трактором через 3 часа?
г) Автомобиль и трактор выехали одновременно из пунктов А и В, расстояние
между которыми равно 240 км, навстречу друг другу. Скорость трактора равна
20 км/ч. Чему равна скорость автомобиля, если известно, что автомобиль встре­
тится с трактором через 3 часа?
Что общего в задачах а) - г)? Чем они отличаются? Как называются такие
задачи?
39

Глава 1, § 2 , п . 1 . 2 . 4 _________________________________________________________
| ^ 8 j Решите уравнение:
а) ( l 8 ^ x - 3И ) • 2,5 - 4^ : 0,65 = 0;

в) 2,88 • Щ = (2,2z - j | ) • 16;

б) ( з | | - 3,68р) : 2 | ■
= 1 : (2,1 - 2,09);

г) ( l ^ + ±|с) • 1,44 - ^ ■0,5625 = 0.

Найдите в указанном множестве чисел пары:
A = { - 1 5 ; - 2I ; - f ; - i ; 0 ; I ; f ; i ; ! ; l | ; 2; 2§; 4,27}
а) обратных чисел; б) противоположных чисел; в) чисел, имеющих равный мо­
дуль.
Какой вывод вы можете сделать о модуле противоположных чисел? Докажите
это свойство.

О

[100]

Определите истинность высказываний. Для ложных высказываний
постройте их отрицания:
а) Число а, кратное числу Ь, не может быть больше Ь.
б) Любое натуральное число, большее 1, имеет по крайней мере 2 делителя.
в) Любое натуральное число кратно самому себе.

[1Ш | Докажите следующие утверждения:
а) Число 804 является делителем числа 566 820.
б) Число 236 235 кратно 3, но не кратно 9.
в) Число 4 253 696 не кратно ни 5, ни 10.
г) Число 28 725 300 108 кратно 2, 9 и 18.

|l02j

Найдите ошибки в следующих рассуждениях:
а) Рассмотрим уравнение: П (х + 28) = 0. Разделим обе его части на х т 28,
0
получим:. 17(х + 28)
■
+ ' 28 • Правая часть равенства равна 0, а левая после
х + 28
сокращения на х + 28 равна 17. Значит, 17 = 0.
б) Рассмотрим равенство: 275 - 325 + 50 = 132 - 156 + 24.
Вынесем за скобки в правой и левой частях равенства общие множители:
25 • (11 - 13 + 2) = 12 • (11 - 13 + 2).
Разделив обе части этого равенства на общий множитель (11 - 13 + 2), получаем,
что 25 = 12.

|103|

Придумайте рассуждения, «доказывающие», что: а) 18 = 4; б) 79 = 0. Объясните
причины ошибочности этих рассуждений.

|104]

Найдите в указанном множестве чисел пары:
В = {-48; -2±; - § ; -± ; 0; ±; §; | ; | ; 1±; 2; 2^; 5,48}
а) взаимно обратных чисел; б) противоположных чисел; в) чисел, имеющих
равные модули.
Какое свойство противоположных чисел поможет быстрее выполнить это
задание?

40

Задачи для самоконтроля к главе 1

\ш

Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел:
а) 16, 36, 56;

б) 18, 48, 90.

[Тоб| Решите задачу и придумайте ещё 3 задачи, обратные к ней:
Два пешехода вышли одновременно в одном направлении из двух пунктов,
расстояние между которыми равно 18 км. Первый пешеход догоняет второго.
Скорость первого пешехода равна 6 км/ч. Найдите скорость второго пешехода,
если известно, что пешеходы встретились через 9 часов.
Решите уравнение:
а) (6,72* : | + l | • 0,в) : 1,2 = 6 ^ ;

О

б) 3,075 : 1,5 = \ ■

+ 3,26*).

1081 Найдите причину недоразумения:
В магазине было два ящика с персиками по 300 штук в каждом. В первом ящи­
ке были персики по цене 100 р. за 10 штук, а во втором - 100 р. за 15 штук.
Поэтому общая стоимость персиков равнялась 5000 р. Продавец рассудил, что
если он возьмёт из первого ящика 10 персиков, а из второго 15, то должен будет
продавать 25 персиков за 200 р. Поэтому он смешал персики из обоих ящиков и
продавал эти 600 персиков по цене 200 р. за 25 штук.
В результате он получил 4800 р., то есть на 200 р. меньше того, что должен был
получить от продажи всех персиков. Почему так вышло?
По завещанию отца три сына должны были разделить стадо из 7 овец так, чтобы
старшему сыну досталась половина всех овец, среднему - четвёртая часть всех
овец, а младшему - восьмая. Завещание отца смутило наследников, так как
они не знали, как разделить 7 овец пополам, - ведь они не хотели резать их на
части.
Их дядя, видя их затруднение, подсказал им следующий способ. Он присоединил
к стаду одну свою овцу. Получилось 8 овец. После этого он предложил братьям
делить всех этих овец в соответствии с завещанием отца.
Старший сын получил половину стада - 4 овцы, средний - четвёртую часть, то
есть 2 овцы, а младший восьмую часть, то есть 1 овцу. После такого раздела ос­
талась 8 - 4 - 2 - 1 = 1 дядина овца, которую братья с благодарностью вернули
её хозяину.
Выполнили братья завещание своего отца?

Задачи для самоконтроля к главе 1

1101 Вычислите:
а) (2,55 + 2,7) : (о,1 -

- з | • 1±;

б) (з,35 - 2 j | + | ) • (224 : 12,5 - 3 j | - 2 ) - 24,57 : 3,5;

в) -{ 2 \ ■0,24 г) 2 | : | - 3,6

Щ• (5,45 + 1 ^ 17,2 • 0,125

6 ^ ) + 36,05 : 10,3;

Г45

60, - 24,15 : 2,3.
41

Задачи для самоконтроля к главе 1
Решите уравнение:
а) 3,7(* - 2,4) + 2,3(* - 6,8) = -7,9;
б) 9,78 - 1,2(* - 13,8) = 4,8(* - 7,3);
в) -5,1(* - 14,2) = 9,9(лг + 6,5) - 6,93;
г) 28,32 - 4,9(х - 2,7) - 5,83 = 8,1(* + 1,2).
Найдите значение выражения:
а) 2,1а2 - 5,3а + 15,4 при а = -2 ;
б) 1,8Ь3- 6,95 + 14,8 при b = -3;
в) 16,8с5 + 27,6с4 - 76,3с3 + 39,5с2 - 48,4 при с = -1 .
^ ^ 1 а) Самая высокая железнодорожная станция в мире Тангла, находящаяся в
Китае, расположена над уровнем моря на высоте на 239 м большей, чем же­
лезнодорожная станция Тиклио, находящаяся в Перу. Если высоту Тиклио
увеличить в 6 раз и вычесть 3634 м, то получится высота Танглы, увеличенная
в 5 раз. На какой высоте над уровнем моря расположена железнодорожная
станция Тангла?
б) Магеллан пустился в первое в истории кругосветное путешествие на 19 лет
позже, чем португалец Диогу Диаш открыл остров Мадагаскар. Если год откры­
тия Мадагаскара увеличить в 4 раза и вычесть из результата 2962, то получится
удвоенный год начала кругосветного путешествия Магеллана. В каком году
Магеллан пустился в первое в истории кругосветное путешествие?
1141 Постройте математическую модель и решите задачу:
а) Выручка компании за год составила 659,8 тыс. р. В первом квартале выручка
была на 78,6 тыс. р. больше, чем во втором, в третьем - в 2,5 раза больше, чем
во втором, а в четвёртом была равна среднему арифметическому выручки первых
трех кварталов. Сколько денег компания получила от покупателей в четвёртом
квартале?
б) Автомобильный завод выпустил за год 5944 ав­
томобиля. Во втором квартале было выпущено на
54 автомобиля меньше, чем в третьем, а в четвёртом
квартале - в 2 раза больше, чем в третьем. Выпуск
автомобилей в первом квартале был равен среднему
арифметическому их выпуска в трёх последующих
кварталах. Сколько автомобилей выпустил завод в
четвёртом квартале?
Решите задачу:
а) Расстояние AD между началом и концом ломаной ABEFD равно 76 см. Извест­
но, что длина первого звена ломаной в 4 раза меньше AD, второго - на 10 см
меньше, чем первого, третьего - на 12 см больше, чем второго, а четвёртого - на
9 см меньше, чем третьего. Найдите длину ломаной ABEFD.
б) Величина первого угла треугольника на 30 градусов меньше второго и в 2 раза
больше третьего. Найдите величину второго угла этого треугольника.
42

Задачи для сам окон тр ол я к главе 1

Переведите в указанные единицы измерения и вычислите:
а) в килограммы:
0,5 т • 34,8 - (9,8 + 1,4) • 4000 г + 0,6 ц : (24,3 - 24,288) + 18,8 кг;
б) в миллиметры:
4,735 м : 0,5 + 14,95 см : 1,3 + 14 мм + 2,121 дм : 0,7 + 0,00015 км;
в) в часы:
589,8 мин : 5 - 18,3 ч • 2,5 + 5760 с : 4 + 1382,4 с.
Решите задачу:
а) Две ремонтные бригады, работая вместе, отремонтировали выставочный пави­
льон за 13 дней. Зная, что производительность первой бригады составляет 130%
от производительности второй, определите, сколько дней потребовалось бы первой
бригаде, чтобы самостоятельно отремонтировать этот павильон.
б) Для загрузки вагонов используются 2 погрузчика. Первый погрузчик может
загрузить вагон полностью за 7 часов. Производительность второго погрузчика
на 80% больше первого. Сколько времени понадобится этим двум погрузчикам
на загрузку вагона, если они будут работать вместе?

1181 Прочитайте определения

и назовите определяемые понятия. Укажите для каж­
дого из них род и видовое отличие и нарисуйте диаграмму Эйлера—Венна.
а) Натуральное число, кратное 3, - это натуральное число, которое делится на 3.
б) Правильная дробь - это дробь, числитель которой меньше знаменателя.
в) Составное число - это натуральное число, имеющее более двух различных
делителей.
г) Нечётное число - это натуральное число, которое при делении на 2 даёт
остаток 1.
Нарисуйте диаграммы Эйлера-Венна, иллюстрирующие высказывания:
а) Все автомобили являются транспортными средствами.
б) Некоторые автомобили - синие.
в) Ни один автомобиль не является мотоциклом.
г) Некоторые автомобили не имеют автоматической коробки передач.
Проверьте истинность следующих выводов, используя диаграммы ЭйлераВенна.
а) Все школьники любят ходить в кино. Маша школьница. Значит, Маша любит ходить в кино.
б) Все школьники любят ходить в кино. Иван не
школьник. Значит, Иван не любит ходить в кино.
в) Все школьники любят ходить в кино. Оля не любит
ходить в кино. Значит, Оля не школьница.
г) Все школьники любят ходить в кино. Катя любит
ходить в кино. Значит, Катя - школьница.
43

З адачи дл я сам окон тр ол я к главе 1

Докажите, что:
а) Не существует наибольшего натурального числа, которое при делении на 5
даёт остаток 1.
б) Существует бесконечно много чисел вида 3га + 1, где га N.
в) Равенство Ьт(т. + 1) = 47 565 неверно при любом т е N.
г) Если 9 математиков доказали 35 теорем, то хотя бы два математика доказали
одинаковое число теорем.
Упростите выражение при допустимых значениях переменных:
. /За 4а\ 20
. .
8 тх
. 3аЬ 2аЬ
в) 4am :
1б6 ' 76/ ' 21’
&) 7ху : 7by’’
2х
б) 3 у

7Ьх.
'

9ау’

. , _
5 rax
г) 15га : - щ р

125хц . 2 4 6 4 . I
е> \ ЗаЬ 35хгу! ■х -

Найдите множество целых решений неравенств:
а) х + 8,1 > 3,5;
в) 4,5 < а < 6;

Д) I г | < 6,2;

б) у - 2,5 < 7;

е) | га - 2| < 5.

г) -2,8 < Ь < 3,7;

Постройте математическую модель и решите задачу:
а) Сумма двух натуральных чисел равна 45. Первое число при делении на 12 даёт
остаток 4, а второе число при делении на 12 даёт остаток 5. Найдите эти числа.
б) Сумма двух натуральных чисел равна 54. Первое число при делении на 17 даёт
остаток 11, а второе число при делении на 17 даёт остаток 9. Найдите эти числа.
в) Сумма двух натуральных чисел равна 48. Первое число при делении на 19 даёт
остаток 14, а второе число при делении на 19 даёт остаток 15. Найдите эти числа.
г) Сумма двух натуральных чисел равна 35. Первое число при делении на 7 даёт
остаток 5, а второе число при делении на 7 даёт остаток 2. Найдите эти числа.
В некоторой математической теории введены следующие первоначальные поня­
тия: предмет, добрый, злой, радостный, грустный. Для этих понятий введена
следующая система аксиом:
Aj. Есть хотя бы один предмет.
А2. Если предмет добрый, то он радостный.
А3. Если предмет злой, то он грустный.
С учётом новых определений докажите указанную теорему:
а) Определение. Книга - добрый предмет.
Теорема. Книга радостная.
б) Определение. Нож - злой предмет.
Теорема. Нож грустный.
Используя метод доказательства от противного, докажите:
а) При любых натуральных а и b число 17 не может быть корнем уравнения
ах2 - Ьх + 15 = 0.
б) Число 11 не может быть корнем уравнения ахг - Ьх2 + Ид: + 33 = 0 при лю­
бых натуральных а и Ь.
44

Глава 2

Введение в теорию делимости
; § 1. Делимость на множестве натуральных чисел —
2.1.1. Делимость чисел и её свойства
Подчинить вычисления своей воле,
сгруппировать математические операции... вот задачи математиков будущего...
Эварист Галуа (1811-1832),
французский математик
Интерес людей к натуральным числам всегда был очень велик. Красота и даже
магия чисел, заключающаяся в удивительных закономерностях, связанных с ними,
завораживала. Это стимулировало математиков развивать теорию чисел, детально
изучающую их свойства.
Время показало возрастающую прикладную роль теории чисел. Когда-то тео­
рия чисел просто отвечала повседневной потребности в счете, а сейчас помогает в
решении таких актуальных проблем, как, например, повышение быстродействия
компьютеров.
В центре теории чисел лежит изучение свойств делимости натуральных чисел. С
некоторыми из этих свойств мы уже знакомились в 5-6 классах. Теперь нам надо сис­
тематизировать наши знания. Для этого вспомним основные определения, уже извест­
ные свойства и докажем некоторые новые свойства делимости натуральных чисел.
Определение. Число а делится (без остатка) на число b, если существует такое
число с, что a = Ьс. Числа Ъ и с - делители числа а, число а - кратное чисел b и с.
Рассмотрим, например, число 17 964. Это число делится на 3, так как существует
число 5988, такое, что 17 964 = 3 • 5988. Но может быть, существует ещё какое-то
натуральное число л, для которого верно 17 964 = 3 • л?
Оказывается, что другого такого числа не существует. Именно это и утверждает
следующая теорема.
Теорема 1. Если число а делится на число Ъ, то сущест­
вует единственное число с, такое, что a = be (a, b, с е N)i
Доказательство:
Проведём доказательство методом от противного. Пред­
положим, что существуют два различных числа с, и с2,
таких, что а = Ьсх и а = Ьс2, где ct * с2.
Вычтем из первого равенства второе. Получаем
а - а = Ьсх - Ъсг
о
0 = Ь(с1 - с2).
45

Глава 2, §1, п.2.1.1
Полученное равенство невозможно, так как оба множителя, б и с , - с2, отличны
от 0. Действительно, число Ь - натуральное и, значит, Ъ *■ 0. И так как, исходя из
сделанного предположения, с, * с2, то с, - с2 * 0.
Значит, мы получили противоречие и наше предположение неверно. Таким обра­
зом, существует единственное число с, такое, что а = Ьс, что и требовалось доказать. Т
Теорема 2. Любое натуральное число делится на единицу.
Доказательство:
По определению делимости, существует число а, такое, что а — 1 • а. Значит,
любое натуральное число делится на единицу, что и требовалось доказать. ▼
Теорема 3. Любое натуральное число делится на само себя.
Доказательство:
По определению делимости, существует число 1, такое, что а = а • 1. Значит,
любое натуральное число делится на само себя, что и требовалось доказать. Т
Теорема 4. Если натуральное число а делится на натуральное число 6, а число
в свою очередь, делится на число а, то а = Ъ.
Доказательство:
По условию, число а делится на число Ь. Следовательно, по определению дели­
мости, существует такое число п, что а = Ьп. Аналогично, так как число Ь делится
на число а, то существует такое число т, что Ь = am.
Поэтому получаем:
а = Ьп о а = (ат)п 1 = тп.
Значит, m = 1 и л = 1, а следовательно, а = Ъ, что и
требовалось доказать. ▼
6

,

Теорема 5. Если число а делится на число с, а число Ь
делится на число d, то аЪ делится на cd (а, b, с, d е N).
Доказательство:
По определению делимости, существуют такие числа п и
т, что а = сп, b = dm.
Найдем произведение чисел а и Ь:
ab = (сп) • (dm) = cd(nm).
А это, по определению делимости, и означает, что ab делится на cd, что и
требовалось доказать. ▼
Введем обозначения:
а делится на Ь

a :b

а не делится на Ь о

а '/. Ь

Данные обозначения позволяют кратко сформулировать уже известные вам
свойства делимости, которые мы доказывали в 5 -6 классах (а, b, с е N). А теперь
вы можете попробовать доказать их самостоятельно.
Теорема 6. Если

а : Ь, а Ь : с, то а : с.

Теорема 7. Если

а \ с и Ь i с, то (a + b) i с и (а - Ь) \ с.

Теорема 8. Если

а \ с, аЬ X с, то (а + Ь) Хс и (о - b) X с.

Теорема 9. Еслиа I с или b I
46

с, то ab I с.

Глава 2, § 1 , п .2 .1 .1

О 127

| | Разбейте данные примеры,

имеющие вид а : Ь (где а и b натуральные чис­
ла), на две группы: 1) а делится на Ь, 2) а не делится на Ь.
а) 79 : 3;
г) 6401 : 25;
ж) 3500 : 100;
б) 836 ; 4;
д) 2000 : 10;
з) 6840 : 180;
в) 630 : 9;
е) 9105 : 15;
и) 7350 : 300.
Как можно быстро выяснить, делится ли число на 2, 3, 5, 10?

Определите, не вычисляя частного, истинность следующих утверждений. Для
ложных высказываний постройте их отрицания.
а) Число 56 789 976 431 делится на 1.
ф
! ТРУДА
б) Число 793 457 891 делится само на себя.
в) Число 678 делится на 983.
ИЗ
г) Число 862 056 делится на 9.
д) Разность чисел 398 470 - 125 052 делится на 5.
е) Сумма чисел 3 000 333 + 205 783 069 делится на 3.
ж) Произведение чисел 4554 • 3029 не делится на 18.
з) Число 555 555 делится на 15.
и) Число 143 526 не делится на 6.
к) Число 4 010 532 не делится на 12.
Определите истинность высказывания. Для ложных высказываний постройте
отрицания;
а) Если натуральное число делится на 4 и на 3, то оно всегда делится на 12.
б) Если натуральное число делится на 4 и на 6, то оно всегда делится на 24.
в) Если натуральное число делится на 12, то оно всегда делится на 3.
г) Если одно натуральное число делится на 5, а другое натуральное число делится
на 7, то их произведение делится на 35.
д) Если одно натуральное число делится на 8, а другое натуральное число делится
на 10, то их произведение делится на 80.
е) Если произведение двух натуральных чисел делится на 9, то хотя бы одно из
натуральных чисел делится на 9.
ж) Если оба натуральных числа делятся на 7, то их сумма делится на 7.
з) Если натуральное число делится на 11, то его сумма с любым другим нату­
ральным числом делится на 11.
а) Делится ли произведение 252 • 93 на 5, 3, 15, 20, 45? Обоснуйте свой ответ.
б) Сравните значения числовых выражений 252 • 93 и 22 52 • 9.
Известно, что натуральное число а делится на натуральное число Ь. Сократима
, а - Ь ,, 2о + 36„
ли дробь: а)
б) - ^ " г у ?
Проанализируйте решение задачи № 131 (а, б). Сформулируйте в общем виде и
докажите общее свойство делимости, которое вы наблюдаете.
47

Глава 2, §1, п.2.1.1
Верно ли следующее утверждение?
а) Если натуральное число а не делится на 3, то 2а не делится на 3.
б) Если натуральное число b четное, то 3b делится на 6.
в) Если 5с делится на 2, то с делится на 2 (с е N ).
г) Если 21 d делится на 7, то d не всегда делится на 7 (d е N).
д) Если 6а + 3b делится на 6, то b делится на 2 (а, Ъ е N).
е) Если натуральное число а делится на 5, а натуральное число b делится на 7,
то 7а - 5Ь делится на 35.
П 4 | а) Миша купил общую тетрадь из 96 листов и пронумеровал подряд все её стра­
ницы, начиная с первой. Вова вырвал из этой тетради 37 листов и сложил номера
указанных на них страниц. Может ли он получить в сумме число 2354?
б) Толя приклеил свои 432 марки в альбом по 16 марок на страницу и прону­
меровал подряд все марки, начиная с первой. Когда у его сестры Кати был день
рождения, он подарил ей 9 листов из своего альбома с марками. Катя сложила
номера всех полученных ею в подарок марок. Могла ли она получить в сумме
число 5475?
Докажите утверждение:
а) Трёхзначное число, записанное тремя одинаковыми цифрами, делится на 37.
б) Разность любого четырёхзначного числа и четырёхзначного числа, записанного
теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 9.
в) Произведение любых семи последовательных чисел делится на 2520.
г) Число, записываемое 100 двойками, 100 единицами и 100 нулями, не может
быть точным квадратом.
Прочитайте высказывания с переменными и запишите их на математиче­
ском языке. Заменив в каждом высказывании буквы на числа, приведите
по два примера истинных высказываний.
а) Число а делится на число Ъ.
б) Число с при делении на d даёт остаток г.
в) Числа р и г взаимно простые.
г) Наибольший общий делитель чисел k и I равен 2.
д) Наименьшее общее кратное чисел т и п равно 468.

[137| Найдите НОД и НОК чисел а и Ь:
а) а = 300, Ь = 1155;

в) a = 23 • З2 • 52 • 7, Ь = 23 • 7 • 11 -13;

б) а = 195, Ь = 20 475;

г) а = 72 • 11 • 132 , Ь - 5 - 17 - 19.

1381 Выделите
. 15
а) у ;
,, 50.
6) у ;
48

целую часть дроби:
. 97
в)

, 125

Г)Т2;

, 145
д) 36 ’

. 673
ж) 40 ;

, 256
е) зГ

•>4^

3256
и) 421 ’
16 507
к) 2500

Глава 2, §1, п.2.1.1
Запишите смешанное число в виде неправильной дроби:
а) 2 ^ ;

в) 7 | | ;

д) 1 б |;

б> #

г> 12§

е> 24

:

ж) 3 5 ^ ;

и) 1 0 l|;

3> 74

к) 4 0 7 ^ .

114 0 | Дано множество чисел: А = {372; 405; 700; 1075; 4399; 10 350; 31 808; 200 893}.
В множестве А найдите подмножества, состоящие из чисел, кратных:
а) 2;

в) 3;

д) 10;

ж) 4;

и) 8;

л) 15;

б) 5;

г) 9;

е) 100;

з) 25;

к) 125;

м) 20.

11411 Решите задачу:
а) Спортсмен пробежал 3,5 км, что составило 28%
всей дистанции. Сколько километров ему ещё надо
пробежать?
б) В магазине 640 наименований компьютерных игр.
Среди них 162 бродилки, 203 стратегии, 115 симуля­
торов, а остальное —квесты. Какой процент составля­
ют квесты от общего числа компьютерных игр этого
магазина?
в) В кинозале 255 мест. На сеанс продали 170 би­
летов. Какой процент свободные места составят от
общего количества мест, если на сеанс придут лишь
90% зрителей, купивших билеты?
г) Мама поручила Леше разложить 168 конфет в две коробки так, чтобы число
конфет в первой коробке составляло 60% числа конфет во второй коробке. Сколь­
ко конфет Леша должен положить в каждую коробку?
д) После летней распродажи ноутбук стал стоить 18 900 р. Сколько стоил ноутбук
до распродажи, если размер скидки составил 25% ?
е) Как изменится цена товара, если её сначала уменьшить на 30% , а затем уве­
личить на 25% ?
ж) Робин Бобин Барабек решил сесть на диету. Сначала он похудел на 25%,
затем прибавил 20%, а потом похудел ещё на 10%. Похудел он или поправился
после того, как сел на диету, и на сколько процентов?
з) В произведении трёх чисел первый множитель увеличили на 20%, второй
уменьшили на 25%, а третий увеличили на 10%. Как изменилось произведе­
ние?
а) Яблоки при сушке теряют 85% своей массы. Решили засушить 200 кг яблок.
Сколько получится сушёных яблок?
б) Грибы при сушке теряют 90% своей массы. Из какого количества свежих
грибов было получено 5 кг сушеных?
в) Сушёная малина содержит 12% воды. Из 50 кг свежей малины получается
3 кг сушёной малины. Какой процент содержания воды в свежей малине?
49

Глава 2, §1, п .2 .1 .1

О

143|

1) Делится ли произведение 494 • б2

а) на 14; б) на 42? Обоснуйте свой

2) Сравните значения числовых выражений 49'1 • 62 и 24012 • 36.
Известно, что натуральное число а делится на натуральное число Ь. Сократима
„ 7а - 96„
ли дробь 2 ^ Г £ ь ?

Н5|

Верно ли следующее утверждение?
а) Если натуральное число а не делится на 3, то 5а не делится на 3.
б) Если 7с делится на 2, то с делится на 2 (с е N ).
в) Если натуральное число делится на 48, то оно всегда делится на 12.
г) Если одно натуральное число делится на 9, а другое натуральное число делится
на 8, то их произведение делится на 72.
д) Если одно натуральное число делится на 6, а другое натуральное число делится
на 4, то их произведение делится на 24.
е) Если произведение двух натуральных чисел делится на 25, то хотя бы одно
из этих натуральных чисел делится на 25.
ж) Если оба натуральных числа делятся на 9, то их сумма делится на 9.
з) Если натуральное число делится на 19, то его сумма с любым другим нату­
ральным числом делится на 19.
и) Если 15а + 36 делится на 15, то 6 делится на 5 (а, 6 е N).
к) Если натуральное число а делится на 5, а натуральное число 6 делится на 7,
то 7а - 56 делится на 35.
У Вани 240 фотографий. Он разложил свои фотогра­
фии в альбом по 8 фото на странице и пронумеро­
вал подряд, начиная с первой, все фотографии. Его
младший брат вырвал из альбома 5 листов. Ваня
нашел эти листы и посчитал сумму номеров фото­
графий на вырванных листах. Мог ли он получить
в сумме 1375?
Докажите утверждение:
а) Произведение любых пяти последовательных чисел делится на 60.
б) Число, записываемое 80 двойками, 80 единицами и 80 нулями, не может быть
точным квадратом.
Найдите НОД и НОК чисел а и 6:
а) а = 360, 6 = 1848;
Выделите целую часть дроби;
, 29
а) 13’

50

, , 48.

б) П ;

157
в) 28 ’

Глава 2, §1, п.2 .1 .1

Запишите смешанное число в виде неправильной дроби:
а)ч ,23
158,

- ч 4бд,
Л5
б)

«31
в)v63б,

1Q28
г)v1343.

Дано множество чисел: А = {209; 564; 925; 1260; 40 375; 74 999; 150 024}.
В множестве А найдите подмножества, состоящие из чисел, кратных:
а) 2;

в) 3;

д) 10;

ж) 4;

и) 8;

л) 18;

б) 5;

г) 9;

е) 100;

з) 25;

к) 125;

м) 50.

1521 Решите

задачу:

а) Антон и Ксюша подводили итоги первого года работы пончиковой компании.
Выручка за июнь оказалась равной 8560 р., что составило 16% всей годовой
выручки. Чему была равна выручка пончиковой компании за первый год
работы?
б) Подсчитав выручку своей компании, Антон и Ксюша решили посчитать
расходы. Расходы за год составили 21 768 р. При этом в первом квартале
было израсходовано 5612 р., во втором - на 1215 р. меньше, чем в первом, а в
третьем —в 1,5 раза больше, чем в первом. Какой процент составили расходы
четвёртого квартала от суммы всех расходов за год? Ответ округлите до сотых
процента.
в) Взяв выручку пончиковой компании за год из пункта а) этой задачи, а расхо­
ды - из пункта б), посчитайте, какую прибыль заработала пончиковая компания
за первый год работы. Хватит ли Антону с Ксюшей заработанной прибыли,
чтобы купить на эти деньги ноутбук стоимостью 28 500 р.? Чему была равна
годовая рентабельность продаж (процентное отношение прибыли за период к
выручке за тот же период) в пончиковой компании Антона и Ксюши? Ответ
округлите до сотых процента.
1531 Докажите, что числа А и В взаимно простые:
(—

8 - [ 4 - 4 • 2—

1
2

J- + 1

24
.U 2

В =

1 - ~ 1JL
19

18

1з4
4 ' °3

И

4 4 ) •6

: i§.

5— - 4 ¾ 1°20
41 9J

Докажите, что если в трёхзначном числе две последние цифры одинаковые
и сумма его цифр делится на 7, то это число делится на 7.
Можно ли нарисовать замкнутую ломаную линию, состоящую из 15 звеньев,
каждое звено которой пересекается ровно с одним из остальных звеньев?
51

Глава 2, §1, п.2.1.2

2.1.2. Простые числа
Н икакая другая отрасль теории чисел не насыщена
настолько таинственностью и элегантностью, как
изучение простых чисел, этих непокорных, раздражающих
чисел, которые не хотят делиться нацело ни на какое
целое число за исключением себя и единицы.
Мартин Гарднер (1914-2010),
американский математик и писатель
Все натуральные числа, большие 1, имеют по крайней мере два различных дели­
теля: 1 и само себя. С этим свойством натуральных чисел связано важное понятие
простого числа. Простые числа занимают особое место среди всех натуральных чисел.
Они являются теми «кирпичиками», из которых строят все остальные числа.
Вспомним определение простого числа.
Определение 1. Простым называется натуральное число, которое имеет ровно
два различных делителя: единицу и само это число.
Определение 2. Составным называется натуральное число, которое имеет более
двух различных делителей.
Число 1 имеет единственный делитель - само себя, и поэтому оно выделено в ряду
натуральных чисел в особую группу: не является ни простым, ни составным.
Понятие простого числа может оказаться очень полезным, например, при разра­
ботке выигрышной стратегии в следующей игре.
Игра.
В игре участвуют двое. Первый игрок называет число, затем игроки по очереди,
начиная со второго, называют его делители. При этом повторять уже названные
делители не разрешается. Может ли первый игрок наверняка выиграть, если выиг­
рывает тот, кто назвал последний делитель?
Стратегия игры:
Свойства простых чисел позволяют первому игроку быстро найти выигрышную
стратегию, ведь эти числа имеют ровно два различных делителя. Поэтому, называя
простые числа, первый игрок гарантированно будет называть последний делитель и
выигрывать.
Таким образом, для первого игрока становится важным научиться определять,
является число простым или нет.
Для небольшого числа это сделать нетрудно. Например, проверив, что число 19
не делится ни на одно из чисел от 2 до 18, мы убедимся в том, что оно является
простым. Однако для больших чисел данный способ решения является слишком
громоздким.
Упростить решение этой и многих других задач помогает так называемая основ­
ная теорема арифметики.
Теорема 1 (Основная теорема арифметики). Любое составное число можно
представить в виде произведения простых множителей. При этом два разложения
одного и того же числа на простые множители могут отличаться лишь порядком
множителей.
52

_______________ __________________________________ .Глава 2, §1, п.2.1.2

Заметим, что разложением простого числа на простые множители принято счи­
тать само это число.
Несмотря на то что эта теорема на первый взгляд ка­
жется очевидной, её доказательство достаточно непросто и
не входит в программу нашего курса.
Из основной теоремы арифметики следует важный
вывод о том, что различные представления одного и того
же составного числа в виде произведения простых чисел
связаны только с различием в порядке множителей.
Так, например, разложение числа 210 на простые множи­
тели может иметь вид 210 = 2- 5- 3- 7 или 210 = 2- 3- 7- 5. Для того чтобы избежать
такой неоднозначности, математики решили записывать простые множители в разло­
жении натурального числа в порядке возрастания. При этом если встречаются одинако­
вые простые множители, то в записи для краткости используют обозначение степени.
Такую упорядоченную запись назвали каноническим разложением числа на
простые множители. Например, каноническое разложение числа 210 имеет вид:
210 = 2 • 3 • 5 • 7,
а для числа 90 каноническое разложение таково:
90 = 2 • З2- 5.
Из свойств делимости натуральных чисел и основной теоремы арифметики сле­
дует, что если в разложении числа на простые множители нет, например, числа 2,
то никакое число, кратное 2, не может быть его делителем. Следовательно, для того
чтобы выяснить, является ли данное число простым, достаточно проверить, что оно
не делится на все простые числа, меньшие этого числа. Например, для числа 19 это
числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, а не все числа от 2 до 18.
Однако способ поиска простых чисел можно сделать ещё проще. В этом нам
поможет следующее наблюдение.
Пусть число а - составное. Тогда его можно представить в виде произведения
двух множителей: a = Ьс, где b и с - натуральные числа, отличные от 1.
Поскольку
а • а = (Ьс) • (Ьс) =(ЬЬ) • (сс) = Ь2с2,
то квадраты Ь и с не могут быть одновременно больше а. Значит, у любого составного
числа всегда имеется отличный от 1 делитель, квадрат которого меньше самого числа.
Следовательно, если натуральное число л, большее 1, не делится ни на одно простое
число, квадрат которого меньше л, то рассматриваемое число л - простое.
Поэтому, для того чтобы выяснить, является ли число простым, достаточно про­
верить, что оно не делится на простые числа, квадрат которых меньше этого числа.
Так, определив, что 19 не делится на 2 и 3, можно остановить проверку, посколь­
ку следующее простое число 5, а 52 = 25 > 19. Указанный способ существенно облег­
чает проверку того, является ли число простым, особенно в случае больших чисел.
В итоге мы можем записать следующий алгоритм.
Алгоритм ответа на вопрос «Является ли число а простым?»
1. Выписать все простые числа, квадраты которых меньше а.
2. Если а делится хотя бы на одно из выписанных чисел, то а - составное.
3. Если а не делится ни на одно из выписанных чисел, то а - простое.
53

Глава 2, §1, п .2 .1 .2 __________________________________________________
Используя указанный алгоритм, проверим, является ли простым число 97.
Выписываем простые числа, квадраты которых меньше 97. Так как I I 2 = 121 > 97,
то получаем следующий список чисел: 2, 3, 5, 7.
Так как 97 не делится ни на одно из указанных чисел, то, значит, 97 - простое число.
Теперь мы знаем, как определить, является ли натуральное число простым.
А можно ли найти все простые числа?
Наблюдая даже за несколькими первыми простыми числами, можно заметить, что
ряд простых чисел устроен достаточно сложно, простые числа то идут одно за дру­
гим, а то их не встретишь в последовательности натуральных чисел довольно долго.
Может возникнуть ощущение, что этот ряд может в какой-то момент оборваться.
Следующая теорема доказывает, что если мы уже нашли несколько простых чи­
сел, то всегда можно указать ещё одно простое число. Таким образом, ряд простых
чисел, как и ряд натуральных чисел, бесконечен.
Теорема 2. Простых чисел существует бесконечно много.
©©© Доказательство:
Для доказательства воспользуемся методом от противного.
Предположим, что существует лишь конечное число простых чисел и их можно
все перечислить: 2, 3, 5, 7, 11, ..., р. Значит, существует самое большое простое чис­
ло. Обозначим его р. Тогда все остальные натуральные числа являются составными
и делятся хотя бы на одно из указанных простых чисел.
Теперь перемножим все наши простые числа и прибавим к их произведению
число 1. Получим натуральное число а:
а = 2 • 3 • 5 • 7 • 11... • р + 1.
Число а больше каждого из имеющихся простых чисел. Значит, исходя из нашего
предположения, это число должно быть составным.
В то же время, заметим, что число а при делении на каждое из наших простых
чисел даёт остаток 1. Поэтому оно не может быть составным, так как не делится ни
на одно из указанных простых чисел.
Таким образом, сделанное нами предположение о том, что множество простых
чисел конечно, привело нас к противоречию. Следовательно, оно неверно, и поэтому
простых чисел бесконечно много, что и требовалось доказать. Т
| ^ б | Запишите высказывания на математическом языке и определите их истинность. Для ложных высказываний постройте отрицание.
а) Число d - делитель числа а, если число а в с раз больше d (а, с, d е N).
б) Число k является кратным числа Ь, если число k в а раз больше b (a, k, b е N).
в) Число 17 является составным числом.
г) Сумма любых двух простых чисел - простое число.
д) Всякое простое число не может быть чётным.
е) Если натуральное число делится на 15, то сумма его цифр делится на 3 и оно
оканчивается на 5.
ж) Если сумма цифр натурального числа делится на 6, то натуральное число
делится на 6.
з) Если натуральное число делится на 36, то сумма его цифр делится на 9 и
число, составленное из его двух последних цифр, делится на 4.
54

Глава 2, § 1 , п .2 .1 .2

Какие из следующих чисел являются простыми:
а) год вашего рождения;

в) номер вашей школы;

б) текущий год;

г) номер вашего дома?

5Ц

Разбейте множество А - {2, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 15, 16, 19, 25, 37, 39, 41} на
два подмножества: S - подмножество составных чисел, Р - подмножество про­
стых чисел.

ш

Найдите: a) S

U

Р;

б)

S

П

Р.

Определите, простыми или составными являются следующие числа:
а) 206;

в) 113;

д) 121;

ж) 145;

и) 153;

л) 353;

б) 89;

г) 117;

е) 123;

з) 149;

к) 163;

м) 357.

¢60)

Найдите первое простое число, следующее за числом:
а) 40;

б) 110;

в) 200;

г) 320.

Найдите простые числа, лежащие между числами а и Ь:
а) а = 1000, Ъ = 1010;

в) а = 130, Ь = 140;

б) а = 150, Ь = 160;

г) а = 510, Ь = 520.

Запишите в каноническом виде разложение чисел на простые множители:
а) 6300;

в) 184 275;

д) 709 632;

ж) 1 858 560;

б) 49 896;

г) 343 434;

е) 1 000 000;

з) 2 619 540.

Известно, что р и q - различные простые числа. Сколько делителей у чисел:
a) pq;

б) p2q\

в) p2q21

Докажите:
а) Если сумма и произведение двух чисел делятся на простое число р, то каждое
из этих чисел делится на р.
б) Любое простое число, большее 5, может заканчиваться только цифрами
1, 3, 7, 9.
в) Любое простое число, большее 2, при делении на 4 может иметь остаток либо
1, либо 3.
Докажите, что высказывание ложно, и постройте его отрицание:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)

Число 11 является составным числом.
Число 28 является простым числом.
Числа 16 и 28 взаимно простые.
Сумма 207 090 + 120 513 • 8029 кратна 9.
Произведение 137 986 • 10 510 делится на 25.
Произведение 43 725 • 102 705 не кратно 9.
Произведение 376 415 • 927 382 не кратно 10.
55

Глава 2, §1, п.2.1.2
Найдите модуль каждого из указанных чисел:
а) 12; в) -38;

д) 0,58;

ж) а, еслиа < 0;

и) 2 ^с, если с > 0;

б) 0; г) -Зщ:;

е) - j ^ ;

в) - Ь, если Ь > 0;

к) -1,5*, если * < 0.

Найдите величину отношений:
а) 4 кг : 250 г;
г) 5 мин : 6 с;
б) 1,2 км : 8 м;
д) 10 р. : 5 к.;
в) 2 дм2 : 0,5 м2;
е) 7 а : 25 м2;

ж) 3 га 50 а : 14 000 м2;
з) 5000 мм3 : 4 дм3;
и) 1 см3 : 1 л.

^ 6 8 ] Решите задачу;
а) Три известных французских короля, Карл V Мудрый, Франциск I и «корольсолнце» Людовик XIV, правили Францией в общей сложности 120 лет. При этом
количество лет их правления относится соответственно как 2 : 4 : 9 . Сколько лет
правил каждый из указанных королей?
б) Шесть рабочих - маляр, отделочник, плотник, стекольщик, электрик, шту­
катур - получили за выполненный ремонт квартиры 48 600 р. Как им надо раз­
делить заработанные деньги, если они работали одинаковое время и их часовые
ставки оплаты приведены в таблице:
маляр - 120 р./ч

отделочник - 180 р./ч

плотник - 225 р./ч

стекольщик - 240 р./ч

электрик - 300 р./ч

штукатур -150 р./ч

в) В доме 5 квартир. В квартире № 1 живут 3 человека, в
№ 2 - 2 человека, в № 3 - 6 человек, в № 4 - 5 человек, а в
№ 5 - 4 человека. Тариф ежемесячного платежа за горячую
воду установлен одинаковым для каждого проживающего
в этом доме. Рассчитайте сумму, которую должны запла­
тить за горячую воду за июнь все жители этого дома, если
известно, что семья из квартиры № 5 заплатила 1124 р.

|169|

Докажите:
а) Два последовательных натуральных числа являются взаимно простыми.
б) Два последовательных нечетных числа являются взаимно простыми.

|l70|

Решите задачу:
а) Компания разместила свои свободные деньги в сумме 1800 тыс. р. в банк на
два депозита. По одному депозиту доходность составляет 6% в год, а по друго­
му - 10% в год. За год по обоим депозитам получен одинаковый доход. Какую
сумму компания положила под 10% годовых, а какую - под 6% ?
б) В какую сумму превратится вклад в 10 000 р. через 3 года, если банк начис­
ляет процентный доход в размере 8% годовых?
в) Какая сумма была положена в банк под 5% годовых, если через 2 года вклад
составил 55 125 р.?
г) Под какой годовой процент были размещены в банке 2000 р., если процентный
доход за 2 года составил 420 р.?

56

Глава 2, §1, п .2 .1 .2
Какие из следующих чисел являются простыми:
а) год рождения вашей мамы;

в) день вашего рождения;

б) год рождения вашей бабушки;

г) номер вашей квартиры?

ИЗ

Определите, простыми или составными являются следующие числа;

ш

Найдите первое простое число, следующее за числом:

из

а) 80;

а) 83;

б) 87;

в) 91;

6)100;

г) 107;

в) 115;

д) 173;

е) 177.

г) 140.

Найдите простые числа, лежащие между числами а и Ь:

из
из

а) а = 180, Ь = 190;

б) а = 160, Ь = 170.

Запишите в каноническом виде разложение чисел на простые множители:
а) 3276;

б) 65 520;

в) 108 000;

г) 266 112.

Докажите, что:
а) Любое простое число, большее 3, при делении на 6 может иметь либо оста­
ток 1, либо остаток 5.
б) Если разность и произведение двух чисел делятся на простое число р, то каж ­
дое из этих чисел делится на р.
Найдите модуль каждого из указанных чисел:
а) 31;

б) -15;

в) 0;

г) -За, если а > 0;

о

д)

Ь, если Ь < 0.

Найдите величину отношений;
а) 7 т : 50 кг;

в) 36 ч : 18 мин;

д) 5 м3 : 16 см3;

б) 5,6 км : 70 см;

г) 17 а : 5 дм2;

е) 14 л : 28 см3.

179| Решите

задачу:
” '“ а) Антон с Ксюшей узнали у своих родителей новый рецепт теста для «новогод­
них пончиков» (см. таблицу). Они провели маркетинговое исследование и выяс­
нили, что смогут продать за новогодние праздники 1593 кг готовых пончиков.
В каком количестве им надо закупить каждый из продуктов, необходимых для
изготовления нужного количества теста для пончиков, если вес готового продукта
составляет 90% от веса всех использованных для теста ингредиентов?
И н гредиент

М ука

С ахар

М олоко

Д рож ж и

И зю м

О рехи

К оличество
частей

25

3

20

1

5

2

С ахарная
Яйца
взб и ты е*
пудра
2

1

* Из 10 целых яиц получается 1 часть взбитых яиц.
б) Для изготовления новогоднего заказа пончиков Антону с Ксюшей потребова­
лось нанять дополнительно на работу шеф-повара, повара и помощника повара.
Общая оплата за сделанную ими работу составила 3575 р. Оклады шеф-повара,
повара и помощника повара относятся как 3 : 2 : 0,5. Какую зарплату должны
заплатить Антон с Ксюшей каждому из новых сотрудников?
57

Глава 2, §1, п.2.1.3 .

180|

Вычислите. Найдите частное и остаток от деления полученного результата на 7:
| : (- ° .3 ' ( - |) - 0.08 : ( - 0.*12))
5932 • 6001 - 69
6001 • 5931 + 5932

О

i H _ 2I

Х21 Ч
1811 а) Пять последовательных натуральных чисел 24, 25, 26, 27, 28 являются
составными и лежат между двумя простыми числами 23 и 29. Найдите
девять последовательных составных чисел,
б) Найдите тринадцать последовательных составных чисел.

2.1.3. Деление с остатком
Чарующая привлекательность этойвозвышенной науки
во всей своей красоте открывактся только тем,
у кого есть смелость углубиться в неё.
Карл Фридрих Гаусс (1777-1855),
немецкий математик и физик
Результат деления одного натурального числа на другое не всегда будет числом
натуральным. Попытка разделить, например, число 564 на 20 на множестве на­
туральных чисел показывает, что нельзя найти такое натуральное число с, чтобы
с • 20 = 564. Поэтому для натуральных чисел наряду с действием деления рассматри­
вают и более общее действие, которое всегда выполнимо. Это действие называют деле­
нием с остатком. Дадим определение этого действия для натуральных чисел а и Ь.
Определение. Разделить число а на число Ь с остатком значит представить
число а в виде
a = Ьс + г, где г < b (a, b е N; с, г е N 0).
При этом число с называют неполным частным, а число г - остатком от деле­
ния а на Ь. Здесь и далее N0 - множество натуральных чисел и 0.
Таким образом, мы можем разделить число 564 на 20 с остатком, представив
его в виде:
564 = 2 0 - 2 8 + 4, где 4 < 20 (4, 20 е N Q).
Однако, получив данное представление, естественно задать себе вопросы:
1. Любое ли натуральное число можно представить в указанном виде?
2. Может ли быть несколько таких представлений для одного и того же числа?
Ответ на эти вопросы даёт следующая теорема.
Теорема о делимости. Для любых натуральных чисел а и b существует единст­
венная пара чисел с и г из множества N0, такая, что а = Ьс + г, где г < Ь.
©©© Доказательство:
1. Существование.
Будем выписывать подряд следующие числа:
а, а - Ь, а - Ъ • 2, а - b • 3, ..., а - b • п , ... (п е N)
58

______________________________________________________ Глава 2, §1, п .2 .1 .3

Выписанные таким образом числа образуют последовательность целых чисел, каждое
из которых, кроме первого, на Ъ меньше предыдущего.
Ъ

а - Ьп 0 а - Ьс

...

Ь

а- Ъ

Ъ

а

Последовательно вычитая из натурального числа а натуральные числа вида Ьп
(п = 1, 2, 3, ...), мы получим в некоторый момент отрицательное число.
Вместе с тем в данной последовательности имеется хотя бы одно неотрицательное
число (например, число а > 0).
Пусть наименьшее из получившихся неотрицательных чисел равно а - Ьс, где с gNq.
Обозначим его г:
а - be = г (г eN 0).
Из данного равенства следует, что число а может быть представлено в виде а = Ьс + г,
где с, г € Nq. Покажем теперь, что г < Ь.
Для этого предположим противное, что г > Ь, и выполним преобразования:
r> bor-b> 0oa-bc-b> 0oa-b(c+ l)> 0.
Мы получили неотрицательное число а - b(c + 1) вида а - bn (п е N), которое мень­
ше числа а - Ьс. Но это противоречит нашему выбору наименьшего неотрицательного
числа а - Ьс. Следовательно, наше предположение неверно и г < Ь.
Итак, представление а = Ьс + г, где г < b (с, г е N 0), существует, и возможность
деления с остатком любых натуральных чисел а и Ь доказана.
2. Единственность.
Проведём доказательство методом от противного. Предположим, что существуют
две различные пары чисел сЁ, гх и с2, г2 (сх, rv с2, г2 е N0), такие, что
a = bej + гх, где гх < Ъ,
а = Ьс2+ г2, где г2 < Ъ.
Пусть для определённости гх < г2.
Вычтем из первого равенства второе, получим
0 = йе, + г, —Ьсг - г г о 0 = Ь(с1 - с2) - (г2 - г,) о (г2 - г,) = 6(с, - с2).
Рассмотрим три случая.
Случай 1: с2 - с2 < 0.
В этом случае равенство невозможно, так как получается, что неотрицательное число
(гг ~ г2) равно произведению положительного и отрицательного числа.
Случай 2: с, - с2 = 0.
В этом случае равенство возможно, только если г2 - г, = 0. Тогда с1 = с2 и г2 = г,.
А это противоречит сделанному предположению.
Случай 3: с1 - с2 > 0.
Так как ct - с2 > 0 и Ъ * 0, то г2 - rt не может быть равно 0.
Тогда равенство (г2 - г,) = &(с, - с2) означает, что (г2 - г,) делится на Ь. Так как г2 < Ь,
то r2 - Tj < Ь. А значит, делимое меньше делителя, что невозможно на множестве N.
Сделанное нами предположение во всех случаях привело нас к противоречию. Зна­
чит, оно неверно и мы доказали единственность представления натурального числа а в
виде а = Ьс + г, где г < b (b е N, с, г е N 0).
59

Глава 2, §1, п .2 .1 .3 ------------------------------------------------------------------------------Таким образом, нами доказано существование и единственность деления с остат­
ком на множестве натуральных чисел. Т
Теперь, исходя из нашего опыта, построим алгоритм деления с остатком.
Рассмотрим простейший случай деления с остатком, например, числа 7 на 2. Для
того чтобы найти частное и остаток, нам, во-первых, надо найти наибольшее число,
кратное 2 и не превышающее 7 (число 6), затем найти неполное частное ( 6 : 2 = 3),
после этого надо найти остаток (7 - 6 = 1). Проверим теперь, что деление выполнено
верно (2 • 3 + 1 = 7), и, наконец, запишем ответ (7 = 2 • 3 + 1).
1
0

1

2

3

4

5

6

_.

=1
7

Данный способ действия мы можем записать в общем виде.
Алгоритм деления с остатком натурального числа а на Ъ
1. Найти наибольшее натуральное число k, кратное делителю b и не пре­
вышающее делимого а.
2. Разделить k на делитель b, в ответе - неполное частное с (с е N0).
3. Вычесть k из делимого а, в ответе - остаток г (0 < г < Ь).
4. Сделать проверку с помощью формулы деления с остатком (a = Ьс + г,
где 0 < г < Ь).
5. Записать ответ.

[182| Запишите утверждения на математическом языке с помощью кванторов
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)

общности (V) и существования (3). Докажите данные утверждения.
Можно найти натуральное число, которое делится на 3.
Нечётные числа при делении на 2 дают остаток 1.
Имеется натуральное число, которое при делении на 24 даёт остаток 7.
Нет натуральных чисел, которые при делении на 38 дают остаток 45.
Все натуральные числа, делящиеся на 78, дают при делении на 78 остаток 0.
Есть простые числа, которые при делении на 2 дают остаток 1.
Есть простые числа, которые делятся на 2.

Отметьте на числовой прямой четыре натуральных числа, которые:
а) при делении на 2 дают остаток 1;
б) при делении на 4 дают остаток 2;
в) при делении на 6 дают остаток 4;
г) при делении на 3 дают остаток 0.
Что вы замечаете? Сформулируйте и докажите свою гипотезу.
Заполните следующую таблицу:

Всегда ли это можно сделать? Всегда ли ответ будет однозначным?
60

Глава 2, § 1 , п .2 .1 .3

Выберите из множества
ления а на Ь:
А = {1, 2, 3, 5, 7, 9, 11,
а) а = 32, Ь = 6;
б) а = 78, Ъ = 15;

А числа, равные неполному частному и остатку от де­
12, 14, 19, 23, 28, 31, 35}
в) а = 95, Ъ = 8;
д) а = 127, Ь = 46;
г) а = 113, Ь = 9;
е) а = 241, Ъ = 17.

Среди натуральных чисел, больших 10, найдите наименьшее натуральное число:
а) дающее остаток 1 при делении на 2;
б) дающее остаток 3 при делении на 13;
в) дающее остаток 8 при делении на 17;
г) дающее остаток 12 при делении на 26.
Для любого п е N определите, чему равен
остаток от деления:
а) 7п + 3 на 7;
в) 10п + 6 на 5;
б) 12л + 2 на 2;
г) 16л + 8 на 4.
Некоторое натуральное число а разделили с остатком на некоторое натуральное
число Ъ. Как изменится неполное частное и остаток, если и делимое, и делитель:
а) увеличить в 2 раза;
б) увеличить в 5 раз;
в) увеличить в k раз (k eN)7
Что вы замечаете? А что будет происходить при этом с неполным частным?
Докажите соответствующее свойство.
Докажите:
а) Если натуральное число делится на 4, то оно не может при делении на 16
давать остаток 5.
б) Если натуральное число при делении на 18 даёт остаток 6, то оно не делится на 9.
в) Если натуральное число делится на 7, то при делении на 14 оно не может
давать остаток 9.
г) Если натуральное число при делении на 60 даёт остаток 19, то оно не делится
на 12.
Определите, какие из указанных величин связаны прямой пропорциональ­
ной зависимостью, а какие - обратной:
а) Масса купленного товара и его стоимость при постоянной цене.
б) Количество единиц проданного товара и его цена при постоянной выручке.
в) Скорость поезда и пройденное им расстояние при постоянном времени.
г) Скорость и время, затрачиваемое на прохождение одного и того же пути.
д) Длина прямоугольника и его площадь при неизменной ширине.
е) Общий фонд заработной платы рабочих с одинаковым постоянным окладом и
количество этих рабочих.
ж) Производительность труда и время, затрачиваемое на выполнение одной и
той же работы.
з) Скорость и время наполнения одного и того же бассейна.

61

Глава 2, §1, п .2 .1 .3

[l9j]

При каких значениях переменных данные выражения имеют смысл? Упростите
их при допустимых значениях переменных,
д) (ах - Ьх - сх) : х;
а) -аЬ : (-6);
в) (пх - пу) : п;
б) 7п ■(-9m) : (-21 п);

г) (сх - с) : (х - 1);

е) (am - Ьт) : (а - Ь).

Решите уравнение:
а) 6(5у - 30) = 5(у - 1);
б) (Зд + 2) : 4 = (г - 1) : 3;
в) (Ьх + 4) : 3 - 2 = 0,5(3дс - 7);
г)

(7 т - 2) : 2 - 0 ,8(т + 3 ) + 6 = 1,5(т + 2).

а) Художник нарисовал известные пирамиды, сохранив их пропорции. Так, со­
временную пирамиду, находящуюся во Франции у входа в Лувр, высота которой
равна 21,7 м, он изобразил пирамидой высотой 2 дм. Высота пирамиды Цестия,
находящейся в Риме, на его рисунке получилась равной 3,3 дм.; высота круп­
нейшей в Мексике пирамиды Чолула - 7 ,1 дм, а известной египетской пирамиды
Хеопса - 12,8 дм. Определите масштаб рисунка художника и реальную высоту
нарисованных художником пирамид с точностью до единиц метра.
б) Какой была бы с точностью до десятых метра высота горы Казбек на рисунке
художника из пункта а), если её реальная высота равна 5034 м?
в) Прямоугольный участок земли изображен на плане, выполненном в масштабе
1:5000. Чему равна реальная площадь этого участка, если большая сторона прямоугольника равна на плане 7,5 см, а меньшая составляет ¥ от большей?
г) Прямоугольный участок земли, площадь которого равна 2700 м2, изображен
9

на плане. Известно, что меньшая сторона прямоугольника равна ^ большей, а
большая равна на плане 5 см. Чему равен масштаб данного плана?
а) Для экспедиции на Северный полюс был сделан
запас продовольствия на 90 дней из расчёта на чело­
века в день 1 кг продовольствия. Однако при транс­
портировке ^ запаса была испорчена. На сколько
дней хватит оставшегося запаса продовольствия, если
3
количество полярников уменьшится на g от первона­
чального состава экспедиции, а ежедневная порция
увеличится на 200 г?
б) В течение апреля ежедневно горели 8 лампочек по 6 часов. За этот месяц за
электроэнергию заплатили 864 р. Предполагая, что каждая лампочка тратит
одинаковое количество электроэнергии в час, рассчитайте, в течение скольких
дней в том же помещении горели 10 лампочек по 7 часов в сутки, если стоимость
электроэнергии не изменилась и было заплачено 1050 р.

62

Глава 2, § 1 , п .2 .1 .3

[195]

И

Ш
И
Ш

Запишите утверждения на математическом языке с помощью кванторов
общности (V) и существования (3). Докажите данные утверждения.
а) Некоторые натуральные числа четные.
б) Все натуральные числа, делящиеся на 9, делятся на 3.
в) Некоторые натуральные числа, делящиеся на 3, делятся на 9.
г) Остаток при делении натурального числа на 2 равен либо 0, либо 1.
Отметьте на числовой прямой четыре натуральных числа, которые:
а) при делении на 5 дают остаток 3; б) при делении на 9 дают остаток 6.
В чём особенность их расположения?
Среди натуральных чисел, больших 20, найдите наименьшее натуральное число,
которое: а) при делении на 12 даёт остаток 8; б) при делении на 31 даёт остаток 3.

Для любого т

е

N определите, чему равен остаток от деления:

а) 15 те + 4 на 15;
б) 28т + 12 на 4;
в) 9т + 4 на 3;
г) 18т + 9 на 3.
Докажите:
а) Если натуральное число делится на 7, то оно не может при делении на 28
давать остаток 9.
б) Если натуральное число при делении на 64 даёт остаток 31, то оно не делится на 8.
При каких значениях переменных данные выражения имеют смысл? Упростите
их при допустимых значениях переменных.
а) - 4 cda : (-32cd);
Решите уравнение:
а) 5(4у - 14) = 7(у + 3);

б) (ах - ау) : (ах);

в) (хт - ут) : (пх - пу).

б) 0,25(4* + 8) - (3* + 1 0 )+ 7 = 2,5(2* - 6).

Антон и Ксюша в связи с расширением производства запланировали арендовать
новое помещение для своей компании. Проведя предварительный анализ базы
данных сдаваемых в аренду помещений, они выбрали из них два наиболее инте­
ресных. План первого помещения был выполнен в масштабе 1 : 500. Измерения
показали, что на плане площадь арендуемого помещения прямоугольной формы
равна 42 см2. План второго помещения был выполнен в масштабе 1 : 200, а его
площадь на плане - 250 см2. Ставка арендной платы за первое помещение соста­
вила 1000 р. в год за 1 м2, а за второе - 1200 р. в год за 1 м2. За какое из этих
помещений ежемесячная арендная плата получилась меньшей?
Антон с Ксюшей решили принять участие в выставке «Продэкспо». Организаторы
выставки сообщили, что выставку ежедневно будет посещать одинаковое количест­
во людей. Узнав у организаторов выставки ожидаемое ежедневное количество
посетителей и зная, что выставка будет проходить 5 дней, Антон с Ксюшей за­
купили подарки из расчёта 20 р. на человека в день. Однако ^ часть подарков
оказалась испорчена. На сколько дней хватит Антону с Ксюшей закупленных
подарков, если они будут дарить подарки на сумму на 10 р. большую, чем пла­
нировали, и количество посетителей в день будет на ^ больше ожидаемого?

|204|*Можно ли

найти два натуральных числа, сумма и произведение которых

нечётны?
63

Глава 2, §1, п.2.1.4

2.1.4. Алгоритм Евклида

Порядок освобождает мысль.
Рене Декарт (1596-1650),
французский математик, философ и физик

Теорема о делимости, доказанная в предыдущем пункте, помогает не только найти
результат деления с остатком одного натурального числа на другое, но, например,
может быть использована при решении такой задачи, как нахождение наибольшего
общего делителя двух натуральных чисел. Но сначала вспомним некоторые уже
известные нам определения.
Определение 1. Число с называют общим, делителем двух натуральных чисел а
и Ь, если оно является делителем и для а, и для Ъ.
Множество общих делителей чисел а и Ь является конечным, так как ни один
из общих делителей не может быть больше, чем наименьшее из чисел а и Ь. Значит,
среди общих делителей двух натуральных чисел всегда можно найти наибольший.
Определение 2. Наибольший из общих делителей натуральных чисел а и Ь
называют их наибольшим общим делителем.
Наибольший общий делитель чисел а и Ь будем, как и ранее, обозначать НОД (а; Ь).
Аналогично определяется НОД трёх и более натуральных чисел.
Число 0 делится на любое натуральное число. Поэтому логичным расширением
определения НОД на случай, когда одно из чисел равно 0, является следующее
определение.
Определение 3. НОД (а; 0) = а (а е N).
Нам известен также следующий алгоритм нахождения НОД натуральных чисел:
1. Разложить каждое число на простые множители.
2. Найти все общие простые множители этих чисел и записать их произведение.
Как вы уже знаете, процесс нахождения НОД по данному алгоритму может
быть очень трудоёмким. Попробуем, например, решить тешим способом следующую
задачу.
Задача. Найти наибольший общий делитель чисел 71 004 и 154 452.
Решение:
71 004 2
154 452 2
71 004 = 22 • 3 • 61 • 97
35 502 2
77 226 2
17 751 3
38 613 3
154 452 = 22 ■3 • 61 • 211
5917 61
12 871 61
211 211
97 97
НОД (71 004; 154 452) =
1

1

Таким образом, чтобы решить данную задачу, нам потребовалось не только де­
лить многозначные числа, но и искать их простые делители в тех случаях, когда
известные нам признаки делимости применить невозможно.
64

_

_______________________________________________________ _

Глава 2, § 1 , п .2 .1 .4

Так, чтобы найти простой делитель 61 чисел 5917 и 154 452, надо проверить,
что эти числа не делятся на 17 простых чисел от 2 до 59. А чтобы доказать, что
число 211 - простое, надо проверить, что оно не делится на все простые числа от 2
до 13.
Трудоёмкость решения задач такого типа побудила математиков к созданию
упрощающего алгоритма. Данный алгоритм был назван в честь Евклида, жившего
в III веке до нашей эры, хотя способ нахождения НОД с помощью этого алгоритма
был известен математикам гораздо раньше.
Алгорит м Евклида основан на следующем утверждении.
Теорема. Если a = Ьс + г, то НОД (а; Ь) = НОД (Ь; г).
Доказательство:
Для доказательства теоремы выясним, какими свойствами обладают общие де­
лители чисел а, b и чисел Ь, г.
1) Докажем сначала, что всякий общий делитель чисел а и Ь является одновре­
менно делителем числа г.
Пусть d является общим делителем а и Ь. Это значит, что существуют такие
натуральные числа k и I, что a = kd, Ъ = Id.
Подставим данные выражения в формулу деления а на b с остатком:
а = Ьс 4 - г kd = Idc + г о г = kd - Idc г = d(k - lc).
Из последнего равенства по определению делимости следует, что число d является
делителем числа г.
2) Теперь докажем, что всякий общий делитель чисел b и г является одновре­
менно делителем числа а.
Пусть q является общим делителем b и г. Это значит, что существуют такие на­
туральные числа т и п , что Ъ = mq, г = nq.
Как и в предыдущем случае, подставим данные выражения в формулу деления
а на b с остатком:
a = mqc + nq о a = q(mc + п).
Последнее равенство означает, что q является также делителем а.
Таким образом, мы получили, что множество общих делителей а и b совпадает
с множеством общих делителей b и г. Следовательно, совпадает и их наибольший
общий делитель, что и требовалось доказать. ▼
Из доказанного утверждения следует, что вместо того, чтобы искать НОД чисел
а и Ь, можно искать НОД меньших чисел - b и г, где г - остаток от деления а на Ъ.
причём процедуру поиска меньших чисел с тем же НОД можно продолжать далее.
1.
2.
3.
4.

Делим а на Ь с остатком
Делим & на г с остатком
Делим г на fj с остатком
Делим г1 на г2 с остатком

а = Ьс +
Ь

г , где г < Ь
= гс, + г,, где г, <

г ~ r ie2 +
Г1

=

Г 2С з

гДе
+ Гц. где
г г>

г

Г2

< ri

Г3

<

Г2

И т. д.
Полученные остатки г, rv г2 ... - это целые неотрицательные числа, которые
последовательно уменьшаются:
Ь > г > rv > г2 > ... > 0.
65

Глава 2, §1, п .2 .1 .4
И так как число целых неотрицательных чисел, меньших Ь, конечно, то на
некотором шаге остаток от деления гп на гп+1 будет равен нулю:
r « = r„ . i c „+ 2 + °В силу доказанной выше теоремы и определения НОД:
НОД (а; Ь) = НОД (Ь; г) = НОД (г; rt) = НОД (ту г2) = ... = НОД (г„ +1; 0) = г. „
Значит, НОД чисел а и Ь равен последнему ненулевому остатку в указанной
цепочке делений.
Посмотрим, как полученный вывод может помочь, например, в нахождении
НОД чисел 71 004 и 154 452, о которых говорилось выше. Выполним деление с ос­
татком сначала данных чисел, а затем последовательно - делителей и полученных
остатков:
154 452 = 71 004 • 2 + 12 444,
71 004 = 12 444 • 5 + 8784.
12 444 = 8784 ■1 + 3660.
8784 = 3660 • 2 + 1464.
3660 = 1464 • 2 + 732,
1464 = 7 3 2 - 2 + 0.
Значит, НОД (71 004; 154 452) - 732.
Понятно, что данный способ поиска НОД является менее трудоёмким, ведь здесь
для получения ответа операцию деления потребовалось выполнить всего 6 раз, а
используя прежний алгоритм, её надо выполнить 51 раз.
Запишем теперь алгоритм Евклида в виде блок-схемы.
Алгоритм Евклида
нахождения НОД двух натуральных чисел а и b (а > Ь)

66

Глава 2, §1 , п.2.1.4

] Прочитайте утверждения. Докажите или опровергните их (а, b, с е N

205

и а > Ъ).
а) а : с и Ь \ с => (2а + 3Ь) : е;
б) a Z с и b Z с => (2а + 3b) Z с;

в) а Ь => НОД (а, 5) = Ь;
г) (а - b) Z с
a Z с или 6 7 с.

Найдите НОД чисел о и Ь наиболее рациональным способом:
а) а = 6, 6 = 15;
в) а = 4, 6 = 17;
д) a = 23 ■ 3 • 52, Ь = 2г • 5
б) о = 39, б =390;
г) а = 527, 6 = 528;
е) а = 851, 5 = 943.

17;

С помощью алгоритма Евклида найдите НОД чисел а и 6:
а) а = 143, 6 = 247;
в) а = 451, 6 = 533;
д) а = 391, 6 = 867;
б) а = 187, Ь = 319;
г) а = 307, Ь = 945;
е) а = 2581, Ь = 4005.
Представьте дробь в несократимом виде;
1085
. 3201
1067
545
г) 20 3 9 8 ’
б) 1552’
а) 4578’
в) 5335’

[209] Сколько среди натуральных чисел от 1 до 50 включительно таких,
которые:
а) делятся на 9;
б) делятся на 5;
в) делятся на 9 и на 5;

г) делятся на 5, но не делятся на 9;
д) делятся на 9, но не делятся на 5;
е) не делятся ни на 9, ни на 5?

Найдите все делители числа а, которые кратны числу Ь:
а) а = 70, Ь = 5;
б) а = 72, 6 = 12;
в) а = 1026, 6 = 18.
Найдите числа х и у, если известно, что:
а) х : у = 7 : 3 и НОД (ж, у) = 4;
в) х : у = 5 : 8 и НОД (х, у) = 12;
б ) 1 : у = 5 ; 6 и НОД (х, у) = 7;
г) х : у = 11 : 7 и НОД (х, у) = 21.
а) Три магазина закупили одинаковое количество банок варенья. Первый магазин
купил банки в упаковках по 60 штук, второй - в упаковках по 70 штук, а тре­
тий - в упаковках по 15 штук. Сколько банок варенья закупил каждый магазин,
если общее количество купленных банок варенья было меньше 1500 штук?
б) Длина кольцевой беговой дорожки стадиона равна 400 м. При организации
эстафеты точку старта и финиша решили разместить в одном месте, а длину
каждого этапа сделать равной 150 м. Какой будет минимальная длина дистанции
эстафеты и сколько в этом случае в ней будет этапов?
Запишите с помощью модуля расстояние между точками числовой прямой с коор­
динатами а и Ь. Вычислите расстояние при указанных значениях переменных;
а) а = 3, Ъ = 5;
в) а = -1 , Ь = -2 ;
д) а = -8 , Ь = 4;
б) а = 7, Ь - 2;
г) о = - 2 , Ь = -5;
е) а = 9, Ь = -5 .
Отметьте на числовой прямой все значения х, для которых:
а) | х | < 2;
б) | х | > 3;
в) | х - 1 | > 5;

г) | х - 2 | < 7.

Известно, что точки А и В имеют соответственно координаты (-2) и 16. Найдите
координату точки С, если известно, что:
а) АС = 2БС;
б) АС = 3ВС;
в) АС = 5ВС;
г) АС = 0,5ВС.
67

Глава 2, §1, п.2.1.4
Упростите выражение:
а) 17* - (3у + г) + (5г - *) - (2х - 8:/);

б) 1,9с + 0,46 - (1,2а - 2,66) - (0,8а - 1,1с);

в) 2(8* - 5) + 4(3* - 7) - 3(9* - 11);

г) 3,7а + 2(1,За - 0,76) - 4(-0,16 + 1,7а).

а) В первом и втором кварталах обувная фабрика продала 768 тыс. пар обуви,
при этом во втором квартале было продано на 156 тыс. пар обуви меньше, чем в
первом. Сколько пар обуви было продано в каждом из этих кварталов?
б) Русские цари Петр I и Иван Грозный вместе царствовали 80 лет, при этом
Петр I находился на царском престоле на 6 лет дольше. Сколько лет правил
страной каждый из этих царей?

О|

| С помощью алгоритма Евклида найдите НОД чисел а и 6:

218

а) а = 5075, 6 = 22 127;
б) а = 16 027, 6 = 160 787.
3031
20 329
Представьте дробь в несократимом виде: a) J 7 3 200’ ^ 282 503'

I2T9

Запишите с помощью модуля расстояние между точками числовой прямой с коор­
динатами а и 6. Вычислите расстояние при указанных значениях переменных:
а) а = 7, 6 = 25;

б) а = -1 1 , 6 = -9 ;

в) а = 15, 6 = -4.

Упростите выражение:
а) 4(* - 2у) - 2(3* + у) ~ (-* ■ 5у);

б) 3,2а - 3(-0,6а + 1,26) + 1,5(0,4а - 1,66).

а) Антон и Ксюша для трех филиалов своей пончиковой компании купили оди­
наковое количество муки. В первый филиал мука поступила расфасованной в
мешки по 30 кг, во второй - по 25 кг, а в третий - по 35 кг. Сколько муки Ан­
тон и Ксюша закупили для каждого филиала, если общее количество купленной
муки было меньше 4 т?
б) Миша и Марина, друзья Антона и Ксюши, решили инвестировать в их пон­
чиковую компанию 158 тыс. р., при этом инвестиции Миши были на 42 тыс. р.
больше. Какой инвестиционный доход получит через год Миша, а какой Марина,
если инвестиции были сделаны под 7% годовых?

223

]Найдите числа * и у, если известно, что:
а) * : у = 5 : 2 и НОД (*, у) = 3;

б) * : у = 4 : 3 и НОД (*, у) = 6.

[2241 Приходя на очередное заседание Государственной думы,

к

депутаты привет­
ствуют друг друга, обмениваясь рукопожатиями. Известно, что каждый из
депутатов сделал нечётное число рукопожатий. Докажите, что число депутатов
чётное.
Длина дороги между двумя домами равна 3 км. В первом доме живут 78 школь­
ников, а во втором - 92. Где на дороге между этими двумя домами надо построить
школу, чтобы общее расстояние, которое будут проходить все 170 школьников
по дороге из дома в школу, было наименьшим?
Могут ли 17 шестерёнок, сцепленных в замкнутый круг, вращаться одновре­
менно?

68

Глава 2, §2, п.2.2.1

§ 2. Развитие теории делимости*
Делимость целых чисел
Кто не ожидает неожиданного, тот не найдёт
сокровенного и трудно находимого.
Гераклит Эфесский
(ок. 544 г. до н.э. - ок. 483 г. до н.э.),
древнегреческий философ
Когда мы с вами раньше говорили о делимости чисел, речь всегда шла о нату­
ральных числах. Но мы уже знаем, что кроме натуральных чисел, называемых также
положительными целыми числами, существуют числа, им противоположные, - отри­
цательные целые числа и 0. Все вместе эти числа образуют множество Z целых чисел:
Z = {..., -3 , -2, -1 , 0, 1, 2, 3,
Мы уже умеем выполнять арифметические действия с целыми числами и знаем,
что операция деления на множестве Z выполнима не всегда. Поэтому естественно
встают вопросы:
• Можем ли мы распространить наши знания о делимости натуральных чисел
на более широкое множество - множество целых чисел?
• Как в этом случае понимать термины «делится», «не делится», «делитель»,
«кратное», «частное», «остаток»?
• Как разделить одно целое число на другое с остатком?
Заметим, что эти вопросы в данном случае мы ставим исходя не из какой-либо
практической задачи, а из внутренней логики развития самой математики, стремле­
ния расширить свои возможности в использовании имеющихся знаний, наконец, из
простого любопытства, желания найти ответы на «неожиданные» вопросы:
• Откуда взялся запрет, что «делить на 0 нельзя», который мы постоянно по­
вторяем вот уже много лет?
• Может быть, все-таки иногда делить на 0 можно, хотя бы с остатком?
• А что получится, если число (-7) разделить с остатком на (-2)?
Отвечая на аналогичные вопросы, мы в своё время расширили множество нату­
ральных чисел до множества целых чисел, получили способы выполнения арифме­
тических действий с отрицательными числами, ввели понятие степени. Так развива­
ется, казалось бы, не связанная ни с какими реальными процессами, отвлечённая
математическая теория. Но при этом удивительным образом оказывается, что рас­
ширяются и наши возможности в решении именно практических задач.
При построении новой математической теории существует фундаментальный
принцип, которому необходимо следовать, чтобы развитие не превратилось в свою
противоположность - разрушение. Этот принцип заключается в следующем: опреде­
ления новых понятий и их свойства не должны противоречить ранее введённым
понятиям и доказанным утверждениям. Без выполнения данного требования теория
будет противоречива, а значит - нежизнеспособна.
69

Глава 2, §2, п.2.2.1 ________________________________________________
Итак, исходя из сформулированного принципа, попробуем выяснить, как надо
изменить основные определения делимости, если мы будем рассматривать не нату­
ральные числа, а целые.
Нам известно, что результат деления одного целого числа на другое, как и в слу­
чае натуральных чисел, не всегда будет числом целым. Поэтому для целых чисел,
как и для натуральных, возникают два вида деления.
I. Деление без остатка.
Можем ли мы распространить определение делимости натуральных чисел на
множество целых чисел без всяких изменений? Другими словами, верным ли будет
на множестве Z высказывание:
V a, b е Z, а \ Ь 3 с е Z : а = Ъс ?
Данное высказывание будет верным, ведь именно
так мы и определяли действие деления для целых чи­
сел, но... при условии, что Ъ ^ 0. Посмотрим, откуда же
возникает такое ограничение.
Попробуем разделить число а на число b = 0. Тогда,
чтобы данное нами определение было общим, нам надо
подобрать такое число с, чтобы с • 0 = а.
Возможны два случая: а = 0 и а ** 0.
1. Если а = 0, то мы получим равенство с • 0 = 0,
которое верно для любого с. Поэтому деление 0 : 0 не
определено однозначно: его результатом может быть
любое целое число. А значит, решение любых задач, примеров, уравнений теряет
смысл - ведь в ответе без всяких вычислений сразу можно записать любое число.
2. Если а ^ 0, то равенство с • 0 = а не может быть выполнено ни для одного
значения с, так как слева стоит нуль, а справа - не нуль.
Следовательно, деление на нуль либо неопределённо, либо невозможно. В итоге
мы и получаем известное нам правило: «На нуль делить нельзя».
Итак, определение делимости целых чисел должно отличаться от аналогичного
определения для натуральных чисел тем, что в нём дополнительно необходимо ука­
зать новое условие b ^ 0.
Таким образом, мы приходим к следующему определению.
Определение 1. Целое число а делится (без остатка) на целое число b (Ь * 0),
если существует такое целое число с, что a = Ьс. Числа b и с — делители числа а,
число а - кратное чисел b и с.
Заметим, что это определение полностью согласуется с ранее введённым в п. 2.1.1
определением делимости натуральных чисел. Более того, доказательство теорем 1-9
из этого пункта для целых чисел проводится аналогично, а значит, все известные
нам свойства делимости распространяются и на множество Z (при условии, что де­
литель b ^ 0).
II. Деление с остатком.
Для случая деления без остатка мы получили, что распространить наши знания
можно, просто заменив в определении «натуральные числа» на «целые» и исключив
случай b = 0. Можно ли так же поступить в случае деления с остатком?

70

Глава 2, § 2 , п .2 .2 .1

Рассмотрим конкретный пример, заинтересовавший нас ранее. Разделим с остат­
ком число (-7) на (-2), используя формулу деления с остатком, аналогичную формуле
для натуральных чисел. Для этого представим число а = -7 в виде:
-7 = -2с + г, где г < -2 .
Однако здесь мы сталкиваемся с проблемой неоднозначности выбора пар чисел
с и г . Действительно,
при с = 2, г = -3 верно, что -7 = - 2 - 2 + (-3), где -3 < -2:
при с = 1, г = -5 верно, что -7 = - 2 - 1 + (-5), где -5 < -2;
при с = 0, г = -7 верно, что -7 = - 2 - 0 + (-7), где -7 < -2 , и т. д.,
а значит, действие деления с остатком теряет смысл,ведь каждый человек при де­
лении будет получать свой ответ.
Значит, нам надо изменить каким-то образом определение. Но мы не можем изме­
нять его произвольно, ведь новое определение не должно противоречить введенному
ранее определению для натуральных чисел.
При делении натуральных чисел под остатком мы фактически понимали рассто­
яние от делимого а до наибольшего числа, кратного делителю Ь и не превышающего
а, что хорошо видно на рисунке на с. 60.
В случае деления с остатком (-7) на (-2) наибольшим целым числом, кратным
(-2) и не превышающим (-7), является число (-8), а расстояние от (-8) до (-7) равно
| -8 - (-7) | = 1.

| -2 |

I_I

| -2 |

| -2 |

|-2 |

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

0

1

2

3

4

5

6

7

1

При этом расстояние между двумя последовательными числами, кратными (-2),
равно | -2 |, и поэтому для остатка возникает требование:
0 < г < | -2 |.
Таким образом, в результате деления с остатком мы получаем однозначный ответ,
который не противоречит аналогичному определению для натуральных чисел:
-7 =— 2 - 4 + 1, где 0 < 1 < | -2 |.
Итак, в определении деления с остатком на множестве целых чисел изменяется
требование не только к делителю, но и к остатку.
Определение 2. Разделить число а на число Ь (Ь Ф 0) с остатком значит пред­
ставить число а в виде
а - Ьс + г, где 0 < г < | b | (a, b, с е Z; Ь *■ 0; г е N 0).
Полученное определение согласуется с аналогичным определением для натураль­
ных чисел. Оно позволяет выполнить деление с остатком для любых целых чисел,
и его результат всегда будет однозначным.
Доказательство утверждения о существовании и единственности деления с остат­
ком на множестве целых чисел (теоремы о делимости целых чисел) аналогично
доказательству теоремы о делимости для натуральных чисел, и мы не будем его
здесь приводить.

71

Глава 2, §2, п.2.2.1
Соответственно изменяется и алгоритм деления с остатком целых чисел.
Алгоритм деления с остатком целых чисел а и Ъ (Ь ^ 0)
1. Найти наибольшее целое число k , кратное делителю &и не превышающее
делимого а.
2. Разделить k на делитель Ь, в ответе —неполное частное с (с е Z).
3. Вычесть k из делимого а, в ответе - остаток г ( 0 < г < | & | ) .
4. Сделать проверку по формуле деления с остатком (a = Ьс + г, где
О < г < | Ъ |).
5. Записать ответ.

О

2271

Может ли получиться так, что равны между собой:

а) делимое и частное;
г) делимое и остаток;
б) делимое и делитель;
д) делитель и остаток;
в) делитель и частное;
е) неполное частное и остаток?
В случаях, когда такая ситуация возможна, приведите пример, а если это невоз­
можно, то дайте соответствующие объяснения.
Делится ли а на 6? Если а не делится на 6, объясните почему.
а) а = -32, 6 = 8;

в) а = -45, 6 = 7;

д) а = -4 , 6 = 0;

ж) a = -х, b = х (х е N);

б) а = 50, 6 = -25; г) а = -207, 6 = -9; е) а = 0, 6 = -12; з) а = у, Ь = - у (у eZ).
Пользуясь признаками делимости натуральных чисел на 2, 3, 4, 5, 8, 9, 25,
сформулируйте признаки делимости целых чисел на:
а) 2;
в) -5;
д) -3 ;
ж) -6 ;
и) -4 ;
л) -8;
б) -2 ;

г) -10;

е) -9 ;

з) -18;

к) 25;

м) 75.

Не вычисляя частного, определите, делится ли число а на 6:
а) о = -7 8 958, 6 = -2 ;

г) а = -413 208, 6 = 9;

б) а = -204 016, 6 = 3;

д) а = -708 264, 6 = -6 ;

ж) а = 249 564, 6 = -8;
з) а = 756 000, 6 = -12;

в) а = 1 283 945, 6 = -5 ;

е) а = -325 415, 6 = -4 ;

и) а = -3 3 333, 6 = -15.

Отметьте на числовой прямой целые числа, которые:
а) при делении на 4 дают остаток 3;
в) при делении на (-4) дают остаток 3;
б) при делении на 5 дают остаток 2;
г) при делении на (-5) дают остаток 2.
Что вы замечаете? Сформулируйте и докажите свои гипотезы.
Найдите неполное частное и остаток при делении на 7 следующих чисел:
а) 0;

в)

б) 3;

г) -1 ;

1;

д) 5;

ж) 14;

и) -3 2 ;

л) 75;

е) -5 ;

з) -14;

к) 32;

м) -75.

Найдите неполное частное и остаток при делении на (-7) следующих чисел:

72

а) 0;

в)

б) 3;

г) -1 ;

1;

д) 5;

ж) 14;

и) -3 2 ;

л) 75;

е) -5 ;

з) -14;

к) 32;

м) -75.

Глава 2, §2, п.2.2.1
Для любого а е Z определите, чему равен остаток от деления:
а) -9а + 4 на 9;

б) 17а + 15 на —17;

в) -12а + 8 на -6;

г) —25а + 10 на 5.

Убедитесь в истинности высказывания:
а) Если целое число а не делится на (-7), то число 4а не делится на (-7).
б) Если целое число Ъ делится на (-4), то число 2Ь делится на (-4).
в) Если число 9с делится на (-5), то число с делится на (-5) (с е Z).
г) Если число 72d делится на (-9), то число d не всегда делится на (-9) (d е Z).
д) Если целое число делится на (-5), то оно не может при делении на (-10) давать
остаток 7.
е) Если целое число при делении на (-9) даёт остаток 8, то оно не делится на (-3).
ж) Если целое число делится на (-7), то при делении на (-21) оно не может давать
остаток 20.
з) Если целое число при делении на (-45) даёт остаток 39, то оно не делится на (-15).
Составьте список элементов данных множеств, заданных характеристиче­
ским свойством:
а ) А = ( 1 ; ^ Е # : - 1 < 1 < 4^}; в) А = {а; а e N0: -3 < а < 5};
б) А = {у; у е Z: -2 < у < 2,4};

г) А = [Ь; -7 < Ь < 14 и Ь = 5л + 4; л е Z).

Множества А, В и С заданы перечислением их элементов:
А = {-12; -5; 0; 1};
В = {-8; 0; 3};
С = {-12; -8; 1; 4}.
1) Нарисуйте диаграмму Эйлера-Венна для множеств А, В и С и отметьте на ней
элементы данных множеств.
2) Найдите:
а) А П В;
в) В и С;
д) (А и В) П С;
ж) В П С П А;
б) Л U В;
г) А П С;
е) В U (А П С);
з) A U В U С.
Нарисуйте диаграмму Эйлера-Венна для множеств А и В. Найдите их пересече­
ние и объединение:
3 < ..n а) А = {а: а = Зп + 2; п е N; 2 < п < 5}; 6)~A = {a: a = -5 n + 1; n e N\ —
В = {6: Ь = 2т + 1; т е N; 1 < т < 6};

В = {Ь: Ь = 7т + 2; т е JV; 4 < т < 7}.

Решите уравнение:
а)

з| : (* -

4^

) = И + if;

б) 2 4 j ^ + S j = (х : l g ) ■ 5 j-jj;

в)

( 4

:

*+

1¾

:2^

- |

-

1^ ;

г) 4g : l g = 2 ^ • 4 - l j ^ z .

Найдите среднее арифметическое указанных чисел:
а) 7,5 и 3,8;

б) 12,8; 39,4 и 72,6;

в) 6,3; 13,2; 27,4 и 76,9.

а) Яхта при движении по реке прошла расстояние от города А до города В за 9
часов. На обратный путь ей потребовалось 14 часов. Найдите собственную ско­
рость движения яхты, если скорость течения реки равнялась 3 км/ч. Найдите с
точностью до сотых км/ч среднюю скорость движения яхты.

73

Глава 2, §2, п.2.2.1 --------------------------------------------------------------------------б) Расстояние от Твери до Ульяновска по водному пути составляет 1485 км. За
сколько времени проплывёт теплоход путь от Твери до Ульяновска и обратно,
если собственная скорость теплохода будет равна 25 км /ч, средняя скорость течения реки составит 10% от скорости теплохода, а остановки составят 20% от
всего времени движения?
в) По течению реки плывёт плот. Его догоняет катер.
Собственная скорость катера равна 14,5 км /ч. Через
сколько времени катер догонит плот, если в данный
момент расстояние между ними 29 км?
г) Два теплохода плывут по реке навстречу друг другу.
Собственная скорость первого теплохода равна 27 км/ч,
а второго - 31,5 км/ч. Через сколько времени они встре­
тятся, если в данный момент расстояние между ними
234 км?
а) Теплоход плывёт без остановок из пункта А в пункт В в течение двух суток, а
обратно - в течение трех суток. Сколько времени будет плыть плот из А в В?
б) Из города А против течения реки вышел катер с постоянной собственной ско­
ростью, равной 15 км/ч. Через некоторое время из города В по течению реки вы­
шла лодка и встретила катер, пройдя половину расстояния, которое было между
катером и лодкой после начала движения лодки. Чему была равна собственная
скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч?
|2 4 3 | Отметьте на числовой оси целые числа, которые:
а) при делении на 3 дают остаток 2;

б) при делении на (-6) дают остаток 4.

Найдите неполное частное и остаток при делении на (-5) следующих чисел:
а) 0;

б) 12;

в) 3;

г) -4 ;

д) 39;

е) -25.

Докажите:
а) Если целое число а не делится на (-4), то число За не делится на (—4).
б) Если целое число b делится на (-8), то число 3b делится на (—8).
в) Если целое число делится на (—2), то оно не может при делении на (-8) давать
остаток 3.
г) Если целое число при делении на (-3) даёт остаток 2, то оно не делится на
(-27).
Составьте список элементов множеств А и В, заданных характеристическим свой­
ством. Найдите объединение и пересечение множеств А и В. Постройте диаграмму
Эйлера-Венна и отметьте на ней все элементы данных множеств.
А = [х: х е Z; -3 < х < 2^};

В = {у: у = 2п + 1; п е N; 1 < п < 4}.

Решите уравнение:
a) 2^ : (2х = g + 3 j |;

б) 13jg - 7jj2 = (* : 2д) ' 6 1 б'

Найдите среднее арифметическое указанных чисел:
а) 28,1; 36,7 и 4,35;
74

б) 8,9; 17,3; 8,52 и 1,4.

Глава 2, §2, п .2 .2 .1

|249| а) Для организации корпоративного праздника москвичи Антон и Ксюша решили
-

арендовать яхту и проплыть на ней до Костромы и обратно по реке. Расстояние
между Москвой и Костромой составляет по реке 594 км. Сколько времени будет
продолжаться это мероприятие, если собственная скорость яхты равна 20 км/ч,
средняя скорость течения реки составляет 10% от собственной скорости яхты, а
время на стоянки запланировано в размере 25% от времени движения яхты?
б) Пончиковая компания Антона и Ксюши выпустила в январе 1250 пончиков,
в феврале - на 3128 пончиков больше, чем в январе, в марте —5696 пончиков,
в апреле - на 2044 пончика меньше, чем в марте, в мае - 9456 пончиков, а в
июне - на 1308 пончиков больше, чем в мае. Чему равен среднемесячный выпуск
пончиков за эти шесть месяцев?
а) Найдите значения выражений:
г=п 254 • 399 - 145
L£J 254 + 399 • 253

Щ 182 •

@

ззз • ( ш ^ п

4 ,4
4 - 7 49
1

-

4
343

I + -L_-L7

49

+

573
222 222

--------- - --------- )

3-7-37'

80 808 080
91 919 191

343

б) Расположите ответы примеров в порядке возрастания, сопоставьте их соответ­
ствующим буквам —и вы узнаете фамилию маршала армии Наполеона, получив­
шего, по одной из версий историков, титул князя Московского.
Владелец сейфовой ячейки банка потерял свой код. Он помнил только, что
код состоит из 7 цифр - двоек и троек, что двоек больше, чем троек, и что
код делится и на 3, и на 4. Можно ли по этим данным однозначно определить
код сейфа?
Богатому султану надоели его мудрецы, и он решил избавиться от некоторой
части из них. Собрав их в подземелье, он сообщил:
«Утром всех вас выстроят в колонну одного за другим лицом на восток, так что
самый последний будет видеть, какие колпаки на всех, кроме него, предпослед­
ний будет видеть, какие колпаки на всех, кроме него и последнего, и так далее.
Первый не будет видеть ни одного колпака.
Колпаки будут двух цветов —либо красные, либо синие.
Начиная с последнего в колонне, я буду спрашивать, ка­
кого цвета колпак на его голове. Мудрецы, которые не
смогут назвать цвет колпака, будут казнены, а остальные
останутся жить».
Всю ночь думали мудрецы, как же им сохранить свою
жизнь. Не желая зависеть от случая, они придумали спо­
соб, при котором лишь последний из колонны, называя
цвет колпака, может его не угадать, а остальные гаран­
тированно спасают свою жизнь. Какой способ придумали
мудрецы?
75

Глава 2 , §2, п .2 .2 .2

2.2.2. Классификация целых чисел по остаткам от деления

Первоисточник математики - целые числа.
Герман Минковский (1864-1909),
немецкий математик

Полученная нами формула деления с остатком даёт возможность провести клас­
сификацию целых чисел по их остаткам от деления на некоторое число.
Объекты классифицируют в самых различных научных областях - физике, хи­
мии, биологии, географии и др. - для своеобразного «наведения порядка», система­
тизации знаний. Классификация - это разбиение множества объектов на непересекающиеся подмножества (классы). При этом разбиение производится таким образом,
чтобы объединение всех классов составляло все множество объектов.
Наглядным примером классификации является
распределение учеников школы в классы: каждый
ученик попадает только в один класс, а объединение
всех классов представляет собой множество всех уче­
ников школы. Таким образом, разбиение множества
А на подмножества A v А2, ... А п является классифи­
кацией, если
А, П Aj = 0 ; i7 j е N; 1 < i < п; 1 < ; < п и А х U А 2 U ... U А п = А.
Классификация целых чисел существенно облегчает изучение их свойств и, в
частности, свойств делимости. Ведь гораздо проще установить выполнение какоголибо свойства для конечного множества классов, чем для бесконечного множества
целых чисел.
Выберем в качестве признака, на основании которого мы будем проводить клас­
сификацию, величину остатка от деления на некоторое заданное число.
Рассмотрим, например, остатки, получающиеся при делении некоторых целых
чисел на 4. Так как остаток является неотрицательным целым числом, меньшим
модуля делителя, то при делении любого числа на 4 возможны
только четыре различных остатка: 0, 1, 2, 3. Например:
24 = 4 • 6 + 0;
-24 = 4 (-6) + 0;
25 = 4 • 6 + 1;
-25 = 4 (-7) + 3;
26 = 4 • 6 + 2;
-26 = 4 (-7) + 2;
27 = 4 • 6 + 3;
-27 = 4 (-7) + 1;
28 = 4 • 7 + 0 и т. д.
-28 = 4 (-7) + 0 и т. д.
Объединим все числа, имеющие остаток 3 при делении на 4, в одно подмножество
множества целых чисел. Обозначим его Z 4(3). Тогда
Z4(3) = {..., -9 , -5 , -1 , 3, 7, 11, 15...}.
76

---------- ---------------------- -------------------------------------------------------------- - Глава 2 , § 2 , п .2 .2 .2

Аналогичным образом определим и подмножества Z4(0), Z4( 1), Z,(2).
Все указанные подмножества не пересекаются друг с другом, так как по теореме
о делимости при делении любого целого числа на 4 не может возникнуть два различ­
ных остатка (единственность). Поэтому любое целое число может попасть только в
один класс, и у данных классов не будет общих элементов, то есть:
ZA0) П Z 4( l ) = 0 ; Z 4(0) П Z 4(2) = 0 ; Z 4(0) П Z 4(3) = 0 ;
z 4( l) П z 4(2) = 0 ; Z 4( l) n Z 4(3) = 0 ; Z 4(2) n Z 4(3 )= 0.

С другой стороны, все множество целых чисел можно представить в виде объ­
единения данных множеств, так как по теореме о делимости у каждого целого
числа при делении на 4 будет остаток (существование), и по определению деления с
остатком его возможными значениями могут быть только числа 0, 1, 2, 3. Значит,
каждое целое число обязательно попадет в какое-либо из указанных подмножеств,
то есть:
z 4(0) U z 4( l) U Z 4(2) и z 4(3) = Z.

Тем самым нами произведена классификация
множества целых чисел в зависимости от их остатка
при делении на 4. Таким образом, в соответствии с
данным признаком множество целых чисел можно
разбить на четыре класса (ft е Z):
Z4(0) - числа вида 4¾ (числа, кратные 4, то есть
дающие при делении на 4 остаток 0);
Z4(l) - числа вида 4ft 4- 1 (числа, дающие при делении на 4 остаток 1);
Z4(2) - числа вида 4k + 2 (числа, дающие при делении на 4 остаток 2);
Z4(3) - числа вида 4k + 3 (числа, дающие при делении на 4 остаток 3).
Проведение классификации множества целых чисел по остаткам от деления на
некоторое число позволяет упростить решение многих задач. Рассмотрим, например,
следующую задачу.
Задача. Доказать, что квадрат любого целого числа либо кратен 3, либо при
делении на 3 даёт остаток 1.
Решение:

Так как число целых чисел бесконечно, то данную
задачу невозможно решить методом их перебора.
Разобьём тогда множество целых чисел на три
класса по остаткам от деления на 3. В результате
данного разбиения мы получим числа трех видов:
1) числа вида 3k;
2) числа вида 3ft +1;
3) числа вида 3ft +2 (ft е Z).
Проведём доказательство данного утверждения для чисел каждого вида. То есть
применим метод перебора не к бесконечному множеству целых чисел, а к конечному
числу указанных классов.
1. Квадрат числа вида 3ft равен (3ft)2 = (3ft) • (3ft) = 3 • (3ft2), а это означает, что
он делится на 3.

77

Глава 2, §2, п.2.2.2

2. Для чисел вида 3А +1 квадрат равен:
(ЗА + I)2 = (ЗА + 1)(ЗА + 1) = ЗА(ЗА + 1) + 1 • (ЗА + 1) = 9А2 + ЗА + ЗА + 1 =
= 3(3A2 + 2А) + 1,
а это означает, что квадрат этого числа при делении на 3 даёт остаток 1.
3. Если число представлено в виде ЗА +2, то квадрат этого числа равен:
(ЗА + 2)2 = (ЗА + 2)(ЗА + 2) = ЗА(ЗА + 2) + 2 - (ЗА + 2) = 9А2 + 6А + 6А + 4 =
= 3(3A2 + 4А + 1) + 1,
и мы опять получаем, что квадрат данного числа при делении на 3 даёт остаток 1.
Доказав для каждого из классов, что квадрат соответствующего целого числа
либо делится на 3, либо даёт при делении на 3 остаток 1, мы тем самым доказали
это утверждение и для всех целых чисел. ▼

О

253|Даны

множества А и Б:

а) А - множество деревьев в школьном саду;
В - множество лип.
б) А - множество грибов в муромском лесу;
В - множество подосиновиков.
в) А - множество легковых машин марки «Лада Калина»;
В - множество синих машин.
г) А - множество школьников, занимающихся легкой атлетикой
В - множество школьников, занимающихся плаванием.
1) Назовите множество, являющееся пересечением множеств А и В.
2) Назовите множество, являющееся объединением множеств А и Б.
Множество А задано перечислением его элементов. Задайте его характеристиче­
ским свойством:
а) А = {1, 2, 3, 4, 5};
в) А = {3, 6, 9, 12, 15};
б) А = {2, 4, 6, 8, 10};
г) А = {-16, -11, -6 , -1 , 4}.
Запишите подмножество Б чётных чисел и подмножество С нечётных чисел мно­
жества А. Найдите объединение и пересечение подмножеств Б и С.
Выберите признак и разбейте множество А на два непересекающихся подмноже­
ства, объединением которых является множество А:
а) А = {1; 3; 7,5; 8,3; 9,2; 15};
б) А = {-36; -12; -1 ; 8; 15; 24}.
Как называется проведенная вами операция?
Разбейте множество целых чисел на классы по их остаткам от деления на:
а) 2;
б) 3;
в) 5;
г) 6.
Изобразите с помощью диаграммы Эйлера-Венна получившиеся классы. Сколько
классов у вас получилось? Сформулируйте гипотезу и докажите её.
Проведите классификацию элементов множества А по остаткам от их деления
на Ъ:
а) А = {-10; -7; -1; 0; 3; 8; 14; 20}, Ъ = 4; б) А = {-8; -4 ; 0; 5; 9; 11; 16}, Ь = 3.
Проверьте, что каждый элемент множества А попал ровно в один класс.

78

Глава 2, §2, п .2 .2 .2
Докажите, что:
а) произведение двух последовательных целых чисел либо делится на 3, либо при
делении на 3 даёт остаток 2;
б) остаток от деления на 4 произведения двух последовательных нечётных чисел
равен 3.
Докажите, что:
а) а 3 + 5а для любого целого числа а делится на 3;
б) а 3 - а для любого целого числа а делится на 6.
Постройте на плоскости прямоугольную систему координат Оху и отметьте
точки с координатами: А (-8; -3 ), В (-2; 3), С (1; -6), D (9; 6). Постройте
ломаную ABCD и найдите приблизительные координаты точек её пересечения с
осями Ох и Оу.

[26lJ

а) В прямоугольной системе координат Оху постройте точку А (2; 5). Определите
координаты точек:
1) Ах, симметричной точке А относительно оси абсцисс Ох;
2) Ау1 симметричной точке А относительно оси ординат Оу;
3) А0, симметричной точке А относительно начала координат О.
Постройте точки Ах, Ауи А0.
б) Выполните предыдущее задание для точек В (-3; 4), С (6; -2), D (-1; -8).
Решите уравнение:
а) 2 (3 * - 1) : 3 = g ( 5 * - 2) - (6 - * ) : 2;
б) 0 ,1 (5 * - 6) - (7 - 4 *) : 3 = 0 ,2 (3 * - 4) - ( - * + 4).
а) На последние 10 дней августа был сделан прогноз дневной температуры.
Определите прогноз среднедневной температуры на эти 10 дней августа.
Дата
Прогноз, £, °С

22
20

23
25

24
24

25
18

26
14

27
15

28
21

29
24

30
24

31
22

б) В магазине продается 75 книг. Их средняя цена 256 р. Сколько стоила одна
проданная книга, если средняя цена оставшихся книг стала равна 258 р.?
[264J а) Жан и Поль отправились одновременно из города А в город В, один на авто­
мобиле, другой - на велосипеде. По прошествии некоторого времени оказалось,
что если бы Ж ан проехал втрое больше, то ему осталось бы проехать вдвое
меньше, чем сейчас, и что если бы Поль проехал вдвое меньше, то ему осталось
бы проехать втрое больше, чем сейчас. Как зовут велосипедиста, если он ехал с
меньшей скоростью, чем автомобилист?
б) По случаю праздника был организован парад. Парадная колонна растянулась
на 288 м. Факельщики ехали в начале процессии, а замыкали её музыканты.
Вскоре после начала марша самый юный из факельщиков вспомнил, что забыл
взять факел, который остался у его друга трубача, ехавшего в последнем ряду.
Тогда факельщик побежал к своему другу и вернулся через 3 мин. С какой ско­
ростью двигалась парадная колонна, если предположить, что факельщик бежал
туда и обратно со скоростью 18 км/ч?
79

Глава 2, §2, п .2 .2 .2

2651

О

а) Сколько квадрантов имеет координатная плоскость? Как по координатам точки,
не выполняя построений, определить, какому квадранту она принадлежит?
б) Множество точек координатной плоскости Т состоит из элементов:
А (3; -1 ), В (9; 2), С (-3; 6), D (-6; -3 ), Е (3; 6), F (-3; -6 ), G (6; -3), Я (-1; 10).
Не выполняя построения, определите, какому квадранту принадлежит каждый
элемент множества Т. Постройте данные точки и проверьте свой ответ.
в) Выполните классификацию множества точек Т по их принадлежности квад­
рантам координатной плоскости.
г) Проведите ломаную ABCDEFGH и определите координаты точек её пересечения
с осями координат Ох и Оу.
д) Как, не выполняя построения, по координатам точки определить, принадлежит
ли она оси координат, и если да, то какой?

2661

Проведите классификацию элементов множества А по остаткам от их де­
ления на 7:
А = {-98; -7 6 ; -5 3 ; -34; -1 6 ; 0; 13; 25; 34; 40; 78}.

Докажите, что:
а) произведение двух последовательных четных чисел либо делится на 3, либо
при делении на 3 даёт остаток 2;
б) произведение чисел (а + 5)(а + 9) для любого целого а либо делится на 5, либо
при делении на 5 даёт остаток 1 или 2.
Решите уравнение:
а) 8(х - 4) : 3 - 7 = 1,8(5 - 10*) + 4*;
б) (х - 3) : 7 - 0,2(х - 25) = 7 - 0,25(2 + *).

|269|

а) На складе пончиковой компании Антона и Ксюши на­
ходится 518 коробок с готовой продукцией - пончиками
разных сортов. Средняя цена одной коробки с пончиками
равна 138 р. В течение дня продали 143 коробки пончи­
ков, при этом средняя цена коробки пончиков, оставшихся на складе после про­
дажи, стала равна 142 р. На какую сумму продали пончиков в течение этого дня?
б) Расстояние от дома Антона до офиса пончиковой компании равно 40 км, а от
офиса до склада компании - 7,7 км. Антон выехал из дома и доехал до склада
по дороге, проходящей мимо офиса, за 45 мин. С какой средней скоростью он
ехал?

|270|

В 12 часов дня Антон отправился на велосипеде из дома в
офис пончиковой компании со скоростью 16 км/ч. Через
15 минут после этого Ксюша, в свою очередь, отправи­
лась из офиса пончиковой компании в направлении дома
Антона со скоростью 20 км/ч. Они условились встретить­
ся в кафе, находящемся ровно посередине дороги между
домом Антона и офисом, и приехали туда одновременно.
В котором часу они встретились?

80

Глава 2, § 2 , п .2 .2 .3

б) Определите координаты точек, симметричных данным точкам, относительно
координатных осей и центра координат и постройте их в той же системе коор­
динат. Соедините все построенные точки так, чтобы получилась симметричная
фигура.

272 1 Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 2 даёт
остаток 1, при делении на 3 даёт остаток 2, при делении на 4 даёт остаток
3, при делении на 5 даёт остаток 4, при делении на б даёт остаток 5, при делении
на 7 даёт остаток 6, а при делении на 8 даёт остаток 7.
У отца три совершеннолетних сына. Произведение их полных лет равно 20 677.
Сколько лет каждому из сыновей?

2.2.3. Сравнения и их свойства
Величайшие и самые плодотворные успехи и в математике...
часто обязаны созданию и введению новых понятий
в тот момент, когда к этому вынуждает частое
обращение к сложным явлениям.
Юлиус Вильгельм Рихард Дедекинд (1831-1916),
немецкий математик
У целых чисел, имеющих одинаковые остатки при делении на одно и то же чис­
ло, есть очень важное свойство, которое часто оказывается полезным при решении
разнообразных задач на делимость. Выясним, что же это за свойство.
Теорема 1. Целые числа а и b имеют одинаковые остатки при делении на т тогда
и только тогда, когда их разность делится на т.
©©© Доказательство:
Сначала вспомним, что выражение «тогда и только тогда» употребляется в тех
случаях, когда выполняется как прямое, так и обратное утверждение.
Для определенности будем рассматривать разность а —Ь.
I. Доказательство п рям о го утверждения:
«Если целые числа а и b имеют одинаковые остатки при делении на т , то их
разность а - b делится на т».
Тот факт, что числа а и b имеют одинаковые остатки при делении на т , может
быть записан с помощью формулы деления с остатком следующим образом (a, b, cv
c2eZ, r e N 0):
a = mcx + г, где 0 < г < | m |,
b = mc2 + г, где 0 < r < \ m |.
Вычитая первое равенство из второго, получаем:
а - Ъ = тсх + г - (тс2 + г) = тсх + г - тс2 - г = т с , - тс2 = т(с, - с2).
81

Глава 2 , §2, п . 2 . 2 . 3 _______________________________________________________

А это по определению делимости и означает, что а —b делится на т, что и тре­
бовалось доказать.
II. Доказательство обратного утверждения:
«Если разность целых чисел а и b делится на т, то числа а и b имеют одинаковые
остатки при делении на т».
Тот факт, что разность целых чисел а и Ь делится на т , может быть записан по
определению делимости следующим образом:
а - b = тс (с е Z).
Разделим число b на т> то есть представим его с помощью формулы деления с
остатком в виде:
b = mq + г, 0 < г < \ т \ {q е Z, r e N 0).
Сложим левые и правые части полученных равенств:
а - У +У = тс + mq + г = т(с + q) + г.
Значит, a = т(с + q) + г, где 0 < г < | т | (с, q е Z, г е N 0). А это и означает, что
число а имеет тот же остаток при делении на т , что и число b, что и требовалось
доказать. ▼
Числа, имеющие одинаковые остатки при делении на некоторое заданное на­
туральное число, настолько важны в математике, что получили свое специальное
название.
Определение. Если два целых числа а и b имеют одинаковые остатки при деле­
нии на некоторое целое число т (т > 0), то говорят, что а и b сравнимы по модулю
т, и пишут:
a = b (mod т).
Выражение а = Ъ (mod т) называют также сравнением.
Сравнения являются языком теории делимости. Но сравнения часто встречают­
ся и в повседневной жизни. Так, например, часовая стрелка показывает время по
модулю 12, а дни недели мы определяем по модулю 7.
Понятие сравнения позволяет короче записать теорему 1:
Теорема 1. а = Ъ (mod т) тогда и только тогда, когда разность а и b делится на т.
С помощью данной теоремы удобно определять, сравнимы ли числа а и Ъ по не­
которому модулю. Приведем примеры.
В ы сказы ван и е
Ч и сла 56 и 1 сравним ы
п о м о д у л ю 11

Ч и с л а ( - 7 4 ) и 14
сравни м ы по м одулю 8

82

Зап и сь на язы ке
сравнений
56 н

1

(m o d 11)

О боснование
56 - 1 = 5 5 , а 55 д е л и т с я н а 11. Значит,
ч и с л а 5 6 и 1 и м е ю т о д и н а к о в ы е о с т а т к и п ри
д е л е н и и н а 11

- 7 4 = 1 4 ( m o d 8)

- 7 4 - 14 = - 8 8 , а - 8 8 д е л и т с я н а 8 . Зн ачи т,
ч и с л а - 7 4 и 14 и м ею т о д и н а к о в ы е остатки
при делении на 8

Ч исло а делится
на число т

а = 0 (m o d m )

а : т о а = т к о а - 0 = m k (к е Z ) .
З н а ч и т , ч и с л а а и 0 и м е ю т о д и н а к о в ы е ос­
татки при делении н а т

Ч исло а п р и делении
на число Ь д аёт о стато к г
(т о е с т ь а - Ьс + г)

а = г (m o d b),
0 < г < b

а = Ьс + г о а - г = Ьс.
З н а ч и т , ч и с л а а и г и м е ю т о д и н а к о в ы е ос­
татки при делении н а b

__________________________________________________ Глава 2, §2, п .2 .2 .3

Сравнения являются не просто обозначением, они обладают рядом замечательных
свойств. Изучив некоторые из них, мы с вами узнаем, как можно просто решить,
на первый взгляд «неприступные», задачи на делимость, выведем новые признаки
делимости и научимся многому другому.
Вы, наверное, заметили, что обозначение сравнения напоминает знак равен­
ства. И это не случайно, так как сравнения по одному и тому же модулю обладают
многими из тех свойств, которыми обладают обыкновенные равенства. Рассмотрим
некоторые из них.
Мы знаем, что для равенств на множестве целых чисел выполняются свойства:
Н азван и е свой ства
Реф лексивност ь

З ап и сь свой ства на
м атем ати ческо м я зы ке
а = а

Ф о р м у ли р о в к а свойства
Л ю б о е ч и с л о р а в н о с а м о м у се б е

С им м ет ричност ь

Е с л и а = Ь, т о Ь = а

Е сл и п ервое чи сл о р авн о вто р о м у , то второе
чи сло равно первом у

Т ранзит ивност ь

Е с л и a = b, а Ь = с ,
то а = с

Е сл и п ервое число равно втором у, а
в то р о е - тр е т ь е м у , то п ервое чи сл о
р авн о третьем у

Аналогичные свойства справедливы и для сравнений.
Теорема 2 (Рефлексивность сравнений). Любое число а сравнимо само с собой по
модулю m (а, т е Z, т > 0).
Доказательство:
Рассмотрим разность а - а. Так как
а - а = 0 = т ’0
для любого целого т > 0, то указанная разность де­
лится на т. Но тогда, по теореме 1, a = a (mod т),
что и требовалось доказать. ▼
Теорема 3 (Симметричность сравнений). Если число а сравнимо с числом b по мо­
дулю т, то число b сравнимо с числом а по тому же модулю (a, b, т е Z, т > 0).
Доказательство:
По условию теоремы a = b (mod т). Значит, по теореме 1, существует такое целое
число с, что а - b = тс.
Но Ь - а = - ( а - Ь ) = -т с = т (- с), и поэтому b - а также делится на т.
Следовательно, по теореме 1, Ъ = a (mod m), что и требовалось доказать. Т
Теорема 4 (Транзитивность сравнений). Если число а сравнимо с числом b по
модулю т, а число b сравнимо с числом с по тому же модулю, то число а сравнимо
с числом с по модулю т (a, b, с, т е Z, т > 0).
Доказательство:
По условию теоремы a = b (mod т) и b = с (mod т). Тогда, по теореме 1, сущест­
вуют целые числа k и Z, такие, что а - b = mk> a b - с = ml. Поэтому
а - с = (а - b) + (b - с) = mk + ml = m(k + l).
Последнее равенство означает, что разность а - с делится на т. Значит, по тео­
реме 1, а = с (mod т), что и требовалось доказать. Т
83

Глава 2, §2, п .2 .2 .3

Запишем свойства сравнений на математическом языке.
Н азван и е свойства
Р еф лексивност ь

Зап и сь на м атем ати ческом язы ке
a = a (m o d т )

С им м ет ричност ь

Е с л и а = Ъ (m o d т ), т о b = a (m o d т )

Т ранзит ивност ь

Е с л и a = b (m o d т ), a b = с (m o d т ), то а = с (m o d т )

Покажем теперь, как, пользуясь установленными свойствами сравнений, можно
превратить сложные на первый взгляд задачи в простые.
Задача. Известно, что некоторое число сравнимо с числом 747 475 по модулю 74.
Доказать, что оно сравнимо с числом 74 000 001 по тому же модулю.
Решение:
Очевидно, что числа 747 475 и 74 000 001 дают остаток 1 при делении на 74,
значит, они сравнимы по модулю 74. Тогда, на основании свойств симметричности
и транзитивности, если некоторое число сравнимо с одним из этих чисел, значит,
оно сравнимо и с другим из них, что и требовалось доказать.

|^Я|: |274| Запишите на математическом языке, используя формулу деления с остат-

ком, следующие высказывания и докажите их истинность:
а) Число 156 при делении на 11 даёт остаток 2.
б) Число 362 при делении на 17 даёт остаток 5.
в) Числа 6700 и 12 100 дают одинаковые остатки при делении на 54.
г) Числа 760 000 и 1 740 000 дают одинаковые остатки при делении на 98.
Докажите, что числа а и 6 дают одинаковые остатки при делении на с, не вы­
числяя этих остатков:
а) а = 100 000, Ь = 100 028, с = 7;
в) а = 410 000, Ь = 500 000, с = 45;
б) а = 599 999, Ь = 600 004, с = 5;
г) а = 888 888, Ь = 999 999, с = 37.
Запишите данные высказывания на языке сравнений и докажите их истин­
ность:
а) Число 1 133 064 делится на 9.
б) Число 16 985 777 не кратно 4.
в) Число 14 016 при делении на 7 даёт остаток 2.
г) Остаток от деления 320 005 на 8 не равен 3.
д) Числа 12 000 и 12 180 дают одинаковые остатки при делении на 45.
е) Числа 560 000 и 580 000 дают разные остатки при делении на 11.
Найдите наименьшее натуральное число, сравнимое с числом 235 по модулю:
а) 3;
6)4;
в) 5;
г) 7;
д) 9;
е) 11.

|278] Найдите наименьшее натуральное число, сравнимое с числом а по модулю т:
а) а = 2589, m = 11;
в) а = 68 227, т •= 54;
д) а = 63 814, т = 131;
84

б) а = 142 248, т = 25;
г) а - 68 952, т = 120;
е) а - 56 400, т = 139;

__________________________________________________ Глава 2 , §2, п .2 .2 .3

ж) а = 126 774, т = 215;
з) а = 217 335, т = 222.
Как вы могли бы сформулировать данное задание, не используя язык сравне­
ний?
Докажите, что:
а) Если некоторое число сравнимо с числом 581 по модулю 9, то оно сравнимо и
с числом 18 626 по этому же модулю.
б) Если некоторое число сравнимо с числом 198 по модулю 25, то оно сравнимо
и с числом 35 648 по этому же модулю.
в) Если некоторое число сравнимо с числом 400 по модулю 6, то оно сравнимо и
с числом 104 902 по этому же модулю.
г) Если некоторое число сравнимо с числом 734 по модулю 15, то оно сравнимо
и с числом 502 334 по этому же модулю.
Найдите три значения х, таких, что:
а) х = 5 (mod 7);

б) х = 3 (mod 5);

в) х = 15 (mod 17);

г) х = 4 (mod 23);

д) х = 11 (mod 28);

е) х = 19 (mod 39).

О |281]

Запишите с помощью кванторов общности (V) и существования (3) данные
утверждения на математическом языке так, чтобы они превратились в
истинные высказывания.

а) Число 2л - составное.
б) Модуль числа а равен а.

д) Число л(л + 1) - простое.
е) Число 4л + 2 делится на 2.

в) Дробь ~ ” -д - правильная.

ж) Дробь

г) Дробь

з) Дробь

- сократимая.

~ пРавильнаяАп

_|т-£ - сократимая.

По данным таблиц постройте линейные диаграммы,
а) Величина прожиточного минимума на одного человека в РФ:
Г од

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

М иним ум,
рублей

1210

1500

1808

2112

2376

3018

3422

3847

5259

б) Общая жилплощадь, приходящаяся в среднем на одного жителя РФ (по со­
стоянию на конец года):
Г од

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

П лощ адь,
м*

1 9 ,2

1 9 ,5

1 9 ,8

2 0 ,2

2 0 ,5

2 0 ,9

2 1 ,1

2 1 ,5

22

в) Число высших учебных заведений в РФ (среднегодовой показатель):
Год

2000

2001

2002

2003

К олич ество,
ш тук

965

1008

1039

1044

2004
1071

2005

2006

2007

2008

1068

1090

1108

1134

85

Глава 2, §2, п .2 .2 .3

Раскройте скобки и упростите выражение:
а) (а - 2)(а + 2);

в) (с + 1)(с - 2) - с(с - 1);

б) (Ь - 1)(Ь + 3);

г) d(d - 2) - (d + 2)(d - 3).

Решите уравнение:
а) 3 - 0,1(3 - 7*) + 0,5(х + 1) = 4 - 0,2(7 - 3*);
б) (* + 1,9) : 3 - 0,4(2* - 5) = 6* + 0,3(2* - 3).
а) Два оператора должны набрать на компьютере некоторый текст. Сначала один
набрал половину его, а затем второй - вторую половину. При этом они выполни­
ли всю работу за 25 часов. Сколько часов потребовалось бы первому оператору,
чтобы выполнить всю работу самостоятельно, если известно, что второй оператор
выполняет её самостоятельно за 22 часа?
б) Два телефониста должны проложить кабель. В одиночку первый проложил бы
его за 9 рабочих дней, а второй - за 15. Сколько времени им потребуется на эту
работу, если они будут работать вместе?
в) Шерлок Холмс и доктор Ватсон при расследовании одного дела столкнулись
с необходимостью прорыть подземный ход. Работая вместе, они могли бы его
вырыть за 5 суток. Однако доктор Ватсон простудился, и Холмс сначала 4 суток
рыл подземный ход самостоятельно. А затем Ватсон рыл в одиночку подземный
ход ещё 6 суток. В результате работа была выполнена лишь на 90% . За какое
время Шерлок Холмс вырыл бы подземный ход, работая один?
г) Незнайка может съесть торт за 10 минут, банку варенья - за 8 минут, а каст­
рюлю простокваши - за 15 минут. Пончик может съесть все это, соответственно,
за 5, 4, 3 минуты. За какое время они съедят вместе последовательно торт, банку
варенья и кастрюлю простокваши?
Запишите в виде блок-схемы:
а) алгоритм нахождения модуля числа а;
б) алгоритм определения того, что числа а и Ъ имеют одинаковый остаток при
делении на т.
Докажите, что числа о и б дают одинаковые остатки при делении на с:
а) а = 217 000, Ъ = 150 000, с = 67;

б) а = 700 000, Ъ = 588 889, с = 37.

Запишите на языке сравнений следующие высказывания и докажите их истин­
ность:
а) Число 16 146 делится на 23.
б) Число 76 361 при делении на 15 даёт остаток 11.
в) Числа 454 826 и 600 000 дают одинаковые остатки при делении на 29.
Найдите три значения *, таких, что:
а) * = 4 (mod 11);
86

б) * = 3 (mod 27);

в) * = 19 (mod 31).

Глава 2, §2, п .2 .2 .3

Решите уравнение:
а) 0,2(х - 1) - 0,8(5 - 2х) + 12 = -1,1(4 - х) + 8,7;
б) -4 ,6 - 1,5(4* - 5) + 8,5* = 0,3(3* - 7) + (2* - 15,6) : 7.
По данным таблицы постройте линейную диаграмму, показывающую динамику
инвестиций, направленных в РФ на охрану окружающей среды.
Год

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

И нвестиции,
м л р д . р.

22

28

25

35

41

59

68

77

Антон и Ксюша решили купить для своей пончиковой компании три новые тех­
нологические линии. Первая линия может выполнить месячный план по произ­
водству пончиков за 50 рабочих дней, вторая - за 45 рабочих дней, а третья - за
60 рабочих дней. Смогут ли эти три линии, работая вместе, выполнить месячный
план по производству пончиков за 17 рабочих дней?
а) Вычислите:
4,62
45 / ____
А - 32 \20 - 28,2 : (13,333 0,3 + 0,0001) • 2,4 + 4,9
В = 77

6

8
15

5
14/

б) Найдите наименьшее натуральное число, с которым число А сравнимо по мо­
дулю В.

|294|

На встрече выпускников встретились шесть одноклассников: Антонов,
Баринов, Васильев, Генкин, Дмитриев и Ермаков. Оказалось, что все они
теперь жители шести разных городов: Москвы, Санкт-Петербурга, Киева, Тулы,
Хабаровска и Омска. В процессе их разговора выяснилось, что:
1) Антонов и москвич - врачи, Дмитриев и петербуржец учителя, а Васильев и туляк - бизнесмены.
2) Баринов, Ермаков и киевлянин - любители играть в
теннис, а туляк терпеть не может эту игру.
3) Баринов и москвич давно не виделись, а Васильев и
житель Хабаровска часто встречаются.
4) У жителя Хабаровска детей больше, чем у Антонова,
у жителя Омска детей больше, чем у Васильева, а у
Ермакова детей меньше всех.
Определите, в каком городе живет каждый из одноклассников и какая у него
профессия.
В классе 27 человек. Каждый мальчик дружит с 4 девочками, а каждая девоч­
ка - с 5 мальчиками. Сколько в этом классе мальчиков и сколько девочек?
У трех друзей, Пети, Вани и Толи, было всего 120 шоколадок. Петя дал Ване
и Толе столько шоколадок, сколько у них было. Затем Ваня дал Пете и Толе
столько, сколько у них было, и, наконец, Толя дал Пете и Ване столько, сколько
у них к этому моменту имелось. В результате всем досталось поровну. Сколько
шоколадок было у каждого из мальчиков вначале?
87

Глава 2, §2, п .2 .2 .4

2.2.4. Арифметика остатков

Совершенный образ истины - это таблица умножения,
точная и достоверная, свободная от всех влияний времени.
Бертран Рассел (1872-1970),
английский математик и философ

Мы с вами уже знаем, что наглядное представление о целых числах даёт чис­
ловая прямая. На этой прямой каждому целому числу поставлена в соответствие
определенная точка.
Однако для наглядного представления о числах, сравнимых по некоторому моду­
лю т, числовая прямая уже не подходит. Ведь два сравнимых по заданному модулю
числа имеют одинаковые остатки, и мы хотим их рассматривать как одно число.
Например, при сравнении по модулю 12 числа 0, 12, 24, ... должны изображаться
одной точкой.
С этой ситуацией мы часто сталкиваемся и в повсе­
дневной жизни, когда определяем время на циферблате
часов. Представьте теперь, что положительная часть
числовой прямой как бы намотана на циферблат часов
так, что точки 0, 12, 24, ... совпадают. При этом, в отли­
чие от часов, отсчет на числовой окружности принято
вести против часовой стрелки (рис. 2).
Так как при делении на 12 возможны лишь остатки
О, 1, 2, ... 11, то каждое целое число сравнимо с одним
из них и, следовательно, будет представлено соответст­
вующей точкой данной окружности.
Аналогичным образом изображаются числа, сравнимые по любому модулю т ,
только окружность делится соответственно на т равных частей, и около каждой
точки деления против часовой стрелки последовательно расставляются возможные
значения остатков: 0, 1 , 2, ..., т - 1 .
Введем на множестве остатков от деления на т операцию сложения.
Определение. Пусть числа А и В при делении на т дают соответственно остатки
а и Ь. Суммой остатков а и Ъ назовём число с (0 < с < т ) , являющееся остатком
от деления А + В на т.
Другими словами, если A = a (mod т), В = b (mod т) и А + В = с (mod m), то
a + b = с (mod т).
В процессе указанной операции мы складываем не сами числа, а их остатки от
деления на некоторое число т. Например, если некоторые два числа имеют остатки
5 и 2 при делении на 12, то сумма этих остатков равна 7:
5 + 2 = 7 (mod 12)
88

___________________________________________________Глава 2, §2, п.2.2.4

Чтобы найти значение суммы, можно переместить­
+7
ся по числовой окружности от точки 5 на 2 единицы в
направлении отсчета (рис. 3). Заметим, что подобным
образом мы действовали и при сложении чисел на чис­
ловой прямой.
Пусть теперь некоторые два числа имеют остатки
11 и 4 при делении на 12. Чему будет равна сумма этих
остатков?
Используя числовую окружность (рис. 3), получим
11 + 4 = 3 (mod 12).
Этот же ответ можно найти и с помощью вычисле­
ний. Действительно, сложив остатки 11 и 4, мы полу­
чим 15. Но 15 > 12 и остатком при делении на 12 не является. А так как
15 = 3 (mod 12) и 3 < 12, то результатом указанной операции будет число 3.
По сути, операция сложения остатков сводится к обычному сложению. Только
здесь результаты сложения никогда не превышают делителя, то есть рассматрива­
емого модуля.
Аналогичным образом можно ввести операции вычитания и умножения остатков.
При этом всегда надо помнить, что при выполнении действий над остатками при­
меняется следующее правило: если результат сложения, вычитания, умножения
остатков по некоторому модулю т стал отрицательным или больше т, то надо
переходить к остатку от деления результата на т.
Так же как и в обычной арифметике, мы можем составить таблицы сложения и
умножения остатков. Составим, например, таблицу сложения и умножения остатков
от деления на 4.
Таблица умножения
Таблица сложения
db = с (mod 4)
a + b = с (mod 4)
о
III
-о

6= 3

6= 1 6= 2 6= 3

О
III
-о

6= 2

6= 1

а=0

0

1

2

3

а =0

0

0

0

0

а= 1

1

2

3

0

а= 1

0

1

2

3

а=2

2

3

0

1

а= 2

0

2

0

2

а=3

3

0

1

2

а —3

0

3

2

1

Итак, введённые нами операции позволяют складывать, вычитать и умножать
остатки. Докажем теперь, что правила арифметических действий над остатками
аналогичны обычным правилам.
Теорема 1. Если a = b (mod т) и с = d (mod т), то а + с = b + d (mod т).
Доказательство:
Так как a = b (mod т) и с = d (mod т), то, по теореме 1, п. 2.2.3, числа а - b и
с - d делятся на т. Значит, а - b = km к с - d = lm (kt I е Z),
89

Глава 2, §2, п .2 .2 .4 ____________________________________________________

Сложим полученные два равенства:
(а - 6) + (с - d) = km + lm (a +
c) - (6 + d) = m(h + l).
Последнее равенство означает, что разностьчисел а + с и 6 + d делится на т.
Следовательно, по теореме 1, п. 2.2.3, они имеют одинаковые остатки при делении
на т. Значит, а + с = 6 + d (mod т), что и требовалось доказать. ▼
Теорема 2. Если a = 6 (mod т) и с = d (modт), то а - с = b - d (mod т).
Теорема 3. Если a = 6 (mod т) и с = d (modт ), то ас = bd (mod т).
Теоремы 2 и 3 доказываются аналогично теореме 1.
Покажем теперь, как сравнения и введенная для них арифметика позволяют при
решении задач уйти от громоздких преобразований и тем самым упрощают решение.
Рассмотрим опять задачу из п. 2.2.2.
Задача. Доказать, что квадрат любого целого числа
либо кратен 3, либо даёт при делении на 3 остаток 1.
Решение:
Разделим целые числа на три класса в зависимости от
их остатков от деления на 3:
1) а = 0 (mod 3); 2) а = 1 (mod 3); 3) а = 2 (mod 3).
Докажем выполнение указанного свойства для каждого
из этих классов.
1) Если а = 0 (mod 3), то, по теореме 3, а2= О2 (mod 3) = 0 (mod 3).
2) Если а = 1 (mod 3), то, по теореме 3, a2= I 2 (mod 3)
1 (mod 3).
3) Если а = 2 (mod 3), то, по теореме 3, а 2= 22 (mod 3) = 4 (mod 3) = 1 (mod 3).
В первом случае а2 кратен 3, а в двух остальных - остаток при делении а2 на 3
равен 1, что и требовалось доказать.

|297| Найдите на числовой прямой все числа, находящиеся от числа а на расстоянии Ь:
а) а = 8, Ь = 2;
б) а = 12, Ь = 3;

в) а = 9, Ь = 4;
г) а = 2, Ъ = 5;

д) а = 7, Ь = 9;
е) а = 6, Ь = 6.

Известно, что остаток от деления числа Л на 19 равен а, а числа В на 19 - равен
Ь. Найдите остаток от деления на 19 чисел: 1) А + В; 2) А - В; 3) А ■В, если:
а) а = 5, b = 3;
в) а = 11, Ь = 6;
д) а — 17, Ь = 8;
б) а = 7, b = 2;
г) а = 18, 6 = 2;
е) а = 15, 6 = 9.
Выполните указанное действие по модулю т:
а) 8 + 4, т = 13;
г) 13 - 5, т = 6;
б) 3 + 6, т = 7;
д) 21 - 4, т = 3;
в) 7 + 7 + 7, т = 5;
е) 9 - 14, т = 4;

ж) 2 • 5, т = 8;
з) 12 • 4, т = 11;
и) З3, т = 12.

Найдите два значения х, для которых верно данное сравнение:
а) х + 3 = 6 (mod 4);
в) х - 1 = 7 + 5 (mod 6);
б) * + 5 = 7 + 1 (mod 3);
г) 2* + 6 = * + 8 (mod 7).
90

Глава 2, §2, п.2.2.4

т

Составьте таблицы сложения и умножения остатков по модулю: а) 3; б) 5; в) 6.
Какие закономерности в этих таблицах вы замечаете?

|302| Докажите, что:
а) а3 - а делится на 3 для любого целого числа а;
б) а3 + 11а делится на 6 для любого целого числа а;
в) а3 + За2 + 2а делится на 3 для любого целого числа а.
Пользуясь полученными в задании № 301 таблицами умножения,
найдите одно значение х, такое, что:
а) 2х = 1 (mod 3);

б) 2х = 1 (mod 5);

в) Зд; = 4 (mod 5);

г) 5х = 4 (mod 6).

Докажите, что:
а) Если числа а и b не делятся на 3, но дают одинаковые остатки при делении
на 3, то число ab - 1 делится на 3.
б) Если числа а и b не делятся на 3 и дают разные остатки при делении на 3, то
число ab + 1 делится на 3.
в) а5 - а делится на 5 для любого целого числа а.

©

|305| Какие приемы сравнения обыкновенных дробей вы знаете? Сравните
дроби:
379 380
548 547
. 78
5029
VИ
JL
3
2
' 18 и 12’ б) 1205 и 803’
547 и 546'
11 и 10 204’ г) 380 и 381’
Сравните, не производя вычислений:
.7
5 7
а) 3,28 • 0,9 и 3,28;
в) 24 и 4 ' 24;
. О7
4 „7
б) 5,45 и 5,45 • 1,2;
г> 81Б и П ' 8 15
Вычислите:
а) I -1 0 I + I -12 I - I -2 8 I;
в) | -1,8 | : I
I;
б) | -2,25 | - | I f

|- Щ ;

г) | - 2 | | • | - 3| |

v 05 05 3
Д) 2д и 2g • г ,
е) 19 и 24 ‘ 15’
д) I - А I =I f I “ 0,98 • | 0 | ;
21 I

е) | -3,28 | : | -2 | - 6,72 • (-1).

Решите уравнение:
а) | г I = 5;

в) I - у \ = 9;

д) I - z |= 0;

б) - | а | = 11;

г) | -е | = -1;

е) - | а | = -7.

Найдите значение выражения:
a)

, если а = 0,5, о = 2;

28хца
б) 4 х3уг , если х = 4, у = ■=;

B> 2 l ^ T ^ ) . - л и , = 8 , р = 0,75;

г) Й - ? ) >всли* “ 2’ у " 1’5-

а) Латунь представляет собой сплав меди и олова. Сколько меди и сколько олова
в 540 г латуни, если количество олова составляет 50% от количества меди?
б) В каких пропорциях надо сплавить золото 375 пробы с золотом 750 пробы,
чтобы получить золото 500 пробы?
91

Глава 2, §2, п.2.2.4
в) Влажность свежескошенной травы 60% , влажность сена - 15%. Сколько
получится сена из 8,5 т свежескошенной травы?
г) Масса арбуза равна 10 кг, а его влажность - 95%. Через некоторое время
влажность арбуза стала равна 90% . Сколько теперь весит арбуз?
Площади лесных участков номер 1, 2 и 3 относятся соответственно как
5
2,25 : 1,5 : lg , причём площадь третьего участка на 135 га меньше площади
первого. На первом, втором и третьем участках вырубили соответственно 15%,
10% и 5% от их площади. На какой площади был вырублен лес?
а) В одном классе 85% учащихся ходили в поход, а 75% - ходили в театр. Чему
равен наименьший и наибольший процент учащихся, побывавших и в походе,
и в театре?
б) По статистике, в одном портовом городе 90% населения умеют объясняться
на английском языке, 85% - на немецком языке, 75% - на испанском языке, а
80% - на французском языке. Какой наименьший и наибольший процент насе­
ления этого портового города может изъясняться на всех 4 языках?

|313] Известно, что остаток от деления числа А на 17 равен а, а числа В на 17 - ра­
вен Ъ. Найдите остаток от деления на 17 чисел: 1) А + В; 2) А - В; 3) А •В, если:
а) а = 11, Ъ = 2;

б) а = 7, Ь = 12;

в) а = 10, Ъ = 11.

Выполните указанное действие по модулю т :
а) 9 + 7, т = 8;

в) 7 - 11, т = 3;

д) 9 • 5, т = 30;

б) 29 - 12, т = 4;

г) 3 • 9, т = 21;

е) 23, т = 6.

Найдите два значения х, для которых верно данное сравнение:
а) х + 9 = 21 (mod 5);

б) х - 5 = 14 (mod 11).

Составьте таблицу сложения и умножения остатков по модулю: а) 2; б) 7.
Вычислите:
а) | -5,45 | : | -5 | - 5,91 • (-1);

ш

I]| I:I I

+ 101>909 '

I9I •

Решите уравнение:
а) | * | = 4;

[ з и Ц

б)

б) | -а \ = 3;

в) | - у | = -5 ;

г) - | с \ = -2.

Найдите значение выражения:
, 7с3Ь2

а ) 3 5с*Ь3’ если

„ „г- ,

Л

= 0,25; 6 = 0,75;

, , 36 i/(2 jc + Зи)

б) 4ж(3 у + 2 х ) ’ если * “ 6; у = 5 ’

[320¾В прошлом году в московском и питерском филиалах пончиковой компании Ан­
тона и Ксюши объём выпуска пончиков относился как 2 : 3. В этом году объем
выпуска пончиков в московском филиале увеличился на 40% , а в питерском
сократился на 20% . На сколько процентов изменился суммарный объём выпуска
пончиков в этих двух филиалах?
92

_______________________________________________ Глава 2, §2, п .2 .2 .5

13211 В ноябре и декабре пончиковая компания Антона и Ксюши ежемесячно увеличи­
вала выпуск продукции на одно и то же число процентов. Чему равен этот про­
цент, если известно, что в октябре все пекарни пончиковой компании выпустили
6 т пончиков, а в декабре - 7,26 т?

|322|

а) Найдите значения выражений рациональным способом:

[Ш| 45,16

• 1,04

+ 1,04

• 54,84;

[п] 0,2

• 7,25 • 50 • 10

: 5;

[ к ] 21,3 ■ 0,85 + 21,3 • 9,15;

[н ] 7040,06 • 0,03 - 40,06 • 0,03;

0

\Й} (б Ц

543 + (748 - 443) - 648;

- ( г Ц - 9 ^ ) - 5 ^ ) • 28.

б) Сопоставьте ответы соответствующим буквам - и вы узнаете фамилию поэта,
автора высказывания: «Чтение - вот лучшее учение».
145

|323||
|324|

200

104

213

196

210

Из некоторого натурального числа вычли сумму его цифр, затем в получен­
ном числе зачеркнули одну цифру. Какую цифру зачеркнули, если сумма
оставшихся цифр равна 2009?

Встретились три путника и решили, собрав все продукты, которые у них были,
пообедать. У первого путника был хлеб, у второго - кувшин молока, а у треть­
его - 6 орехов. За обед третий путник заплатил двум другим 20 монет. Как им
следует разделить эти деньги, чтобы каждый получил справедливую долю за
свой вклад продуктов? Известно, что все ели поровну; 4 кувшина молока стоят
столько же, сколько стоят 3 хлеба, а 1 кувшин молока стоит 36 орехов.

2.2.5. Решение задач с помощью сравнений

Будь благословенно божественное число,
породившее богов и людей.

Пифагор Самосский (570 г. до н.э. - 490 г. до н.э.),
древнегреческий философ и математик

Сравнения помогают решать множество практических проблем: проверять, на­
пример, правильность вычислений, составлять расписание занятий и соревнований,
устанавливать признаки делимости чисел, определять, какой цифрой заканчивается
число, простым или составным оно является и т. д.
В таких задачах переход к изучению остатков от деления на некоторое число
позволяет решить задачи просто и красиво. Рассмотрим несколько примеров.
93

Глава 2 , § 2 , п .2 .2 . 5 ____________________________________________
Задача 1. Определите, каким днем недели будет 1 июня 2011 года, зная, что
1 сентября 2010 года была среда.

Решение:
Так как дни недели повторяются каждые 7 дней, то, выбрав точку отсчёта, мы
можем каждому целому числу а поставить в соответствие день недели, определяемый
как остаток от деления а на 7.
Примем за точку отсчёта 1 сентября 2010 года и, так как это была среда, сопо­
ставим дням недели следующие числа:
Ср
0

Чт
1

Пт
2

Вс
4

Сб
3

Пн
5

Вт
6

Посчитаем, сколько дней пройдёт с 1 сентября 2010 года до 1 июня 2011 года:
30 • 3 + 31 • 5 + 28 = 273 дня.
Так как 273 = 0 (mod 7), 1 июня 2011 года также будет среда.
Задача 2. Найдите остатки от деления на 7 натуральных степеней числа 3.
Решение:
Рассмотрим последовательные степени числа 3 и найдём числа, с которыми они
сравнимы по модулю 7:
31 = 3 = 3 (mod 7);

З3 = 27 = 6 (mod 7);

32 = 9 = 2 (mod 7);
З4 = 81 = 4 (mod 7).
Чтобы находить остатки далее, нужно вычислять З5, 3е, ... Но вы уже знаете,
что это достаточно непросто. Сравнения помогают находить остатки от деления, не
производя подобных вычислений.
Воспользуемся теоремой 3, п. 2.2.4. Так как З1 = 3 (mod 7), а 3‘ = 4 (mod 7),
то
35 = З1 ■З4 = 3 • 4 s 12 = 5 (mod 7).
Найдем таким же способом остатки от деления на 7 следующих степеней 3:
36 = З 1 • З 5 = 3 • 5 = 15 = 1 (mod 7),
3» = 31 • 3« = 3 • 1 = 3 (mod 7),
38 = 31 • 37 = 3 • 3 = 9 = 2 (mod 7),
3° = З1 * З8 = 3 ■2 = 6 (mod 7),
310 = 3. . 30 = 3 . g = i s = 4 (mod 7);

Зи = 31 . Зш = з . 4 = 12 = 5 (mod 7),
312 = 31 . Зп = 3 . 5 = 15 = 1 (mod 7).
Мы видим, что за шестью первыми остатками 3, 2, 6 , 4, 5, 1 следуют опять
остатки 3, 2, 6 , 4, 5, 1. Далее остатки будут периодически повторяться, так как,
согласно нашему способу определения остатков, число 3 мы будем опять последова­
тельно умножать на одни и те же остатки 3, 2, 6 , 4, 5, 1.
Таким образом, не выполняя громоздких вычислений самих степеней, мы с
помощью сравнений смогли быстро найти остатки от деления на 7 всех чисел вида
3" (п е N).
94

Глава 2, §2, п .2 .2 .5

Ответ: остаток г при делении на 7 чисел вида 3П(п е N) равен:
‘3, если п = 6/г + 1;
2, если п = 6/г + 2;
_ 6, если л = 6/г + 3;
г
4, если п = 6/е + 4;
5, если л = 6/г + 5;
. 1, если л = 6(/г + 1), где k е N0.
Периодичность в повторении остатков, которую мы обнаружили, является общим
свойством остатков всех натуральных степеней. Так, справедлива следующая теорема.
Теорема о периодичности остатков. Для любых натуральных чисел а и т остатки
от деления а, а2, ..., а", ... (л 6 АО на т с некоторого момента начинают периодически
повторяться. При этом периодическое повторение остатков начинается в тот момент,
когда в последовательности остатков появляется остаток, совпадающий с одним из
уже найденных.
Доказательство этой теоремы не входит в содержание нашего курса. Но данная
теорема крайне важна, и мы будем пользоваться ею при решении практических
задач, помня, что в дальнейшем мы должны будем научиться её доказывать.
С помощью этой теоремы легко доказать признак делимости на 9, который мы
ранее использовали, но общее доказательство не приводили.
Признак делимости на 9. Натуральное число делится на 9 тогда и только тогда,
когда сумма его цифр делится на 9.
Доказательство:
В десятичной системе счисления любое натуральное число А может быть пред­
ставлено в виде
А — ап • 10п + ап_j • 10л_1 + ... + ах • 101 + а0, л е N ,
где ап, а , ... , ах, а0 - последовательно выписанные цифры данного числа.
Заметим, что 101 = 1 (mod 9), 102 = 1 (mod 9), и вообще, в соответствии с нашей
теоремой, 10* = 1 (mod 9) для любого k е N.
Тогда, согласно теоремам 1 и 3, п. 2.2.4:
ап • 10" + ап_х • 10n_1 + ... + ах • 101 + а0 = ап + ап_х + ... + ах + а0(mod 9),
а значит, число А и сумма его цифр имеют одинаковые остатки от деления на 9.
Откуда и следует, что натуральное число делится на 9 тогда и только тогда, когда
сумма его цифр делится на 9, что и требовалось доказать. Т
Аналогично можно доказать и известный нам признак делимости на 3.
Признак делимости на 3. Натуральное число делится на 3 тогда и только тогда,
когда сумма его цифр делится на 3.
©©© Сформулируем и докажем теперь признак делимости на 11.
Признак делимости на 11. Натуральное число делится на 11 тогда и только тогда,
когда разность между суммой его цифр, стоящих на чётных местах, и суммой его
цифр, стоящих на нечётных местах, делится на 11.
Доказательство:
Так как 10 - ( -1) = 11, то на основании теоремы 1, п. 2.2.3, 101 = 1 (mod 11).
Далее аналогично:
102 = 1 (mod 11),
103 = -1 (mod 11),
104 = 1 (mod 11).
95

Глава 2, §2, п.2.2.5
И вообще, согласно теореме о периодичности остатков, для любого k е N:
10“ 1 в -1 (mod 11), а 10“ в 1 (mod 11).
Тогда если п чётно, то произвольное натуральное число А имеет вид
А = ап ■10" + ап_, • 10""1 + ... +
• 101 + а0н ап - о;1_, + ... - а, + o0(mod 11) в
в (ап + ... + а0) - (ал1 + ... + a t) (mod 11).
А если п нечётно, то
А = ап • 10“ + a„_j • 10"'1 + ... + о, • 101 + а0= - а п + ап_х - ... - al + a0(mod 11) в
- (а„_, + ... + а0) - (ал + ... + a t) (mod 11 ).
Значит, в обоих случаях мы получили, что всякое натуральное число А даёт тот же
остаток при делении на 11, что и разность между суммой его цифр, стоящих на чётных
местах, и суммой цифр, стоящих на нечётных местах, что и требовалось доказать. ▼
Сравнения также помогают решить задачи следующего вида.
Задача 3. Найдите остаток от деления 332223 на 7.
Решение:
Так как 332 = 7 • 47 + 3, то 332 в 3 (mod 7). Значит, согласно теореме 3,
п. 2.2.4,
332223 = 322з (m od 7)

В задаче 2 данного пункта мы получили, что остаток от деления чисел вида
3" (п 6 N) на 7 зависит от того, какой остаток при делении на 6 даёт показатель
степени, а именно:
3“ +1 в 3 (mod 7), Зм+2 в 2 (mod 7), Зм+3 в 6 (mod 7), 36*+4 в 4 (mod 7),
Зв*+6 в 5 (mod 7), 3°в 1 (mod 7), где h eN 0.
И поскольку 223 = 6 • 37 + 1, то З223 в 3' в 3 (mod 7). Значит, и число 332223 при
делении на 7 будет иметь остаток 3.
Таким образом, вместо проведения громоздких вычислений, которые трудно вести
даже с помощью компьютера (например, 3321 = 12 149 330 176), мы смогли решить
задачу всего за три шага:
332223 в З223 в З1в 3 (mod 7).
Мы видим, что теория сравнений помогает быстро и красиво решать задачи,
которые на первый взгляд кажутся «неприступными». Именно такие теории в
математике называют красивыми.

О

Определите, в котором часу прибудет поезд в пункт назначения, если:
а) поезд
б) поезд
в) поезд
г) поезд

выехал
выехал
выехал
выехал

в
в
в
в

9 часов 30 минут и был в пути 199 часов;
15 часов 15 минут и был в пути 180 часов;
23 часа 30 минут и был в пути 277 часов;
7часов 45 минут и был в пути 236 часов.

Зная, что 1 сентября 2010 года среда, определите:
а) Каким днем недели был 1 ноября 2010 года.
б) Каким днем недели был 31 декабря 2010 года.
СУ7
в) Каким днем недели был 8 марта 2011 года.
г) Каким днем недели был ваш день рождения в 2011 году.

96

Глава 2, §2, п.2.2.5

327

[

¾

328

[

]

ш

Какие остатки дают натуральные степени числа а при делении на 6?
а) а - 2, 6 = 5;

в) а = 3, 6 = 5;

д) а = 4, Ь = 3;

б) о = 2, 6 = 7;

г) а = 3, 6 = 7;

е) а = 4, 6 = 5.

Определите, не вычисляя частного, делится ли число а на 11:
а) а = 124 567;

в) а = 9 873 006;

д) а = 10 863 774;

б) а = 6 268 614;

г) а = 6 267 059;

е) а = 26 067 228.

Найдите остатокот деления а на 6:
а) а = 444333, ь =

б) д = ЗЗЗ444, 6 = 7;

7.

в) а = 2431, 6 = 11.

Определите, делится ли число а на 6:
a) a = 333m + 777333, 6 = 5;

в) a = I I 100 - 1, 6 = 5;

б) а = 2 100 + З100, 6 = 7;

г) а = 22226555 + 55552232 , 6 = 3.

Определите, какой цифрой оканчивается число:
а) 444990;

6) ЗЗЗ"7;

в) 777111;

г) 222 222333 333.

Решите уравнения:
а)
б)
в)
г)

5,5(7 - Зх) = | -3 9 ,7 | - 6,3(2 - я);
| -7 ,3 | • у - 3,2(2у + 3) = -5 ,9 (2 - у) - \ 128 | • 0 - (-0,5);
1,8* + | -0 ,5 | • * = -0 ,7 (4 - 5х) + \ 3 | • (-2);
| 2,4 | • у + | - 4 | • ( —0 ,1у + 0,8) = | - 0 ,7 | • (Зу - 4) + | -1 ,7 | • ( - У )•

а) Числа 2146,
число, большее
б) Числа 3311,
число, большее

1991, 1805 дают равные остатки при делении на натуральное
1. Найдите это число.
1935, 1376 дают равные остатки при делении на натуральное
1. Найдите это число.

Докажите, что для целых чисел а и b верно, что если а2 + Ь2 делится на 3, то а
делится на 3 и b делится на 3.
а) Пройдя половину пути, пешеход увеличил скорость на 25% и поэтому прибыл в
пункт назначения на полчаса раньше запланированного. Сколько времени он шел?
б) Мама кенгуру погналась за своим детёнышем, когда между ними было 20 м.
Прыжок мамы кенгуру равен 2 м, а её детёныша - 1 м. В то время как мама
кенгуру делает 2 прыжка, её детёныш делает 3. Догонит ли мама кенгуру своего
детёныша и за сколько прыжков?
в) Самолёт вылетает из пункта А в 8 часов и прилетает в пункт В в 10 часов.
Обратно он вылетает из В в 12 часов и прилетает в А в 18 часов. При этом полет
в обе стороны продолжается одно и то же время. Как такое возможно и чему
равна продолжительность этого полета?
г) Два поезда движутся навстречу друг другу по параллельным путям - первый
со скоростью 60 км/ч, а второй со скоростью 90 км/ч. Пассажир, сидящий во
втором поезде, заметил, что первый поезд шёл мимо него в течение 6 с. Чему
равна длина первого поезда?
97

Глава 2, §2, п .2 .2 .5
а) Пешеход вышел из пункта А в пункт В, рассчитав свою скорость так, чтобы
прийти в В через 4 часа. Одновременно из пункта В в пункт А выехал вело­
сипедист, который проезжает это расстояние за 1 час. Через 48 мин после их
встречи из В в А выехал другой велосипедист, который проезжает этот путь за
2 часа. За сколько минут до своего прибытия в В пешеход встретится со вторым
велосипедистом ?
б) Пройдя треть длины узкого моста, пешеход увидел позади себя приближающу­
юся к мосту машину. Тогда он побежал назад и встретился с машиной у начала
моста. Если бы он побежал вперёд, то машина догнала бы его у конца моста. Во
сколько раз скорость машины на мосту больше скорости бегущего пешехода, если
скорость машины на мосту, на трассе и скорость бега пешехода постоянны?
Запишите в шестеричной системе счисления числа: а) 3; б) 6; в) 13; г) 19; д) 27;
е) 41.
Запишите в десятичной системе счисления: а) 110012; б) 186д; в) 33214; г) 7612;
Д) 951б.

[339] Зная, что 1 января 2010 года пятница,

определите, каким днём недели
будет ваш день рождения в тот год, когда вам исполнится 15 лет.

Какие остатки дают натуральные степени числа а при делении на 6:
а) а = 2, Ъ = 8;

б) а = 3, 6 = 6;

в) а = 4, Ь = 7?

Определите, не вычисляя частного, делится ли число а на 11:
а) а = 2 747 943;

б) а = 6 027 032;

в) а = 10 860 481.

Числа 901, 1696, 4293 дают равные остатки при делении на некоторое натураль­
ное число. Найдите это число.
Найдите остаток от деления 555222 на 6.
Определите, делится ли число а на Ь:

ш
[ ]

a) a = 444333 + ЗЗЗ444, 6 = 7;

б) a = 8200 - 5200, 6 = 3.

Определите, какой цифрой оканчивается число; а) 5 55 777; б) 333 ЗЗЗ222 222 .

346 Решите уравнение:
а) 6,8(9 - 1,5*) = | -2 6 | + 3,5(4 - 2*);
б) | -4,2 | • * + 1,2(-6* + 5) = -3,2(5 - 2х) - | 2,1 | • (-7 - ж) + | -0,4|.

[347] Когда Антон проехал одну треть пути от дома до офиса, ему позвонила Ксюша

и сообщила, что в офис их пончиковой компании прибыли важные клиенты из
Франции и необходимо, чтобы Антон приехал как можно быстрее. Антон увели­
чил скорость на 30% и прибыл в офис через 20 минут. Сколько времени потратил
бы Антон на оставшийся путь, если бы не увеличил скорость?
Запишите в семеричной системе счисления числа:
а) 2;

98

б) 7;

в) 10;

г) 14;

д) 25;

е) 38.

З адачи для сам оконтроля к главе 2

3491

Запишите в десятичной системе счисления: а) 10112; б) 345в; в) 129; г) 5612; д) 721в.

|350]

Вычислите и определите, какие остатки даёт натуральная степень данного числа
при делении на 7:

5 _ g5 . ( J L . _ Ж ) : Ж
\1591
1 5 1 7 /‘ 15916

Карл сказал однажды Кларе: «Я втрое старше, чем были вы, когда мне
было столько лет, сколько вам теперь». Клара же сказала ему в ответ:
«Когда мне будет столько лет, сколько вам теперь, нам вместе будет 77 лет».
Сколько лет Карлу и сколько - Кларе?
В одной клетке квадратной таблицы 4 x 4 стоит знак « - * , а в остальных - плюсы.
Разрешается одновременно менять знак на противоположный во всех клетках
одного столбца или одной строки. Докажите, что, сколько бы мы ни проводили
таких замен, нам не удастся получить таблицу, состоящую из одних плюсов.
На доске написаны числа 1, 2, 3, ... 101. Разрешается стереть любые два числа и
написать их разность. Повторив эту операцию 100 раз, мы получим одно число.
Докажите, что это число не может быть равным 0.

Задачи для самоконтроля к главе 2
Делится ли произведение 202 • 273 на 12, 15, 17, 18, 35, 36? Обоснуйте свой ответ.
Докажите утверждение:
а) Если натуральное число а не делится на 5, то число 7а не делится на 5.
б) Если натуральное число b делится на 3, то число 2b делится на 6.
в) Если число 7с делится на 5, то число с делится на 5.
г) Если число 45d делится на 9, то число d не всегда делится на 9.
Найдите первое простое число, следующее за числом:
а) 50;

б) 140;

в) 220;

г) 435;

д) 520.

Запишите в каноническом виде разложение чисел на простые множители:
а) 1512;

б) 4640;

в) 64 800;

г) 181 440.

Представьте дробь в несократимом виде:
1926
16955'
Запишите три натуральных числа, дающих:
а) остаток 5 при делении на 7;
в) остаток 14 при делении на 15;
б) остаток 11 при делении на 21;
г) остаток 21 при делении на 48.
Докажите утверждение: «Если натуральное число при делении на 15 даёт оста­
ток 7, то при делении на 3 оно даст остаток 1».
Отметьте на числовой прямой целые числа, которые:
а) при делении на 3 дают остаток 2;
в) при делении на 9 дают остаток 7;
б) при делении на (-7) дают остаток 6; г) при делении на (-5) дают остаток 3.

99

Задачи для самоконтроля к главе 2 ____________ ___________________

|362|

Найдите неполное частное и остаток при делении на (-11) следующих чисел:
а) 27;

|363|

б) -31;

в) -45;

г) 198;

д) -213;

е) -398.

Разбейте множество целых чисел на классы по их остаткам при делении на:
а) 6; б) 9.

[364]

Запишите на
ность:
а) Число 261
б) Число 740
в) Числа 115

языке сравнений следующие высказывания и докажите их истин­
679 делится на 11.
630 при делении на 13 даёт остаток 7.
000 и 1 085 000 дают одинаковые остатки при делении на 97.

[365|

Найдите наименьшее натуральное число, сравнимое с числом 591 по модулю:

___

а) 3;

|36б|

Выполните указанное действие по модулю т:

[367|
3681

6)4;

в) 5;

г) 7;

д) 9;

е) 11.

а) 12 + 15, т = 11;

в) 7 - 31, т = 5;

д) 15 ■7, т = 12;

б) 38 - 11, т = 5;

г) 5 • 31, т = 14;

е) 4 \ т = 9.

Какие приёмы сравнения обыкновенных дробей вы знаете? Сравните дроби:
_3_
8_ .. А .
«ч _4_ !ЧЗ
. 17 „ JKH
961 .
. 156 .. 157
157.
1021
1020
а) 15 и 20’
; 305 и 229’ в> 15 и 1008’ г) 157 и 158; Д) 1020 и 1019’
Сравните, не производя вычислений:
,1 4
9 14
ч пЗ
пЗ 7
д) 499,98 • 0,98 и 499,98;
в) 95 и 9 5 ' 15’
' 53 и 8 53’
4
7
4
4 —
е) 56,32 и 56,32 • 1,01.
Г) 31 и 1п ' з г
22
* 22 ’

3691 Выделите целую

часть дроби:
78
, 284
433
1112
1476
a)
б) 27’
г) 67 ’
е) 109 ’
Д) 97 ’
в) 43 :
Запишите смешанное число в виде неправильной дроби:
ч 21

|370|

а) б |;

|37jJ

(372|

|373|
100

б) 8§|;

г) 15§;
Д ) юз|.
43’
Упростите выражение при допустимых значениях переменных:
а) -хН! : (-р2);
г) у(у - 1) - (у - 2)(р + 1);
б) (-11а) • (-5с) : (-22с);
д) (пт - km) : т;
в) (х + 3)(х - 1) - х(х + 4);
е) (ab - a) : (b - 1).
Решите уравнение:
а) 2,3 : (3 - 11г) = | -34,5 |;
б) | -5,1 | • х + 4,1(х - 2) = -3,3(4 - Зх) - (-1,8);
в) 4,7* + | -2,4 | • * = -1,2(3 - *) + | 8,2 | ■(-1);
г) | -7,8 | • * + (-0,5* + 3) = | -2,6 | • (* - 5) + | -3 ,3 | • (-*).
в) 11

а) Портной сшил 39 платьев, что составило 65% всего заказа. Сколько платьев
заказали сшить этому портному?

Задачи для самоконтроля к главе 2
б) Г р у зч и к у надо р азл о ж и ть 680 арбузов в два кон тей н ера та к , чтобы число а р ­
бузов в одном к о н тей н ере составляло 36% чи сл а арбузов в другом контейнере.
С колько арбузов д о л ж ен п ол ож и ть грузчи к в каж д ы й и з этих двух контейнеров?
в) Из четы рёх чисел первы е три относятся к а к 0 ,5 : 0,3 : 2, а четвёртое составляет
15% третьего. Н ай д и те эти ч и сл а, если известно, что третье число н а 36 больше
суммы всех о стал ьн ы х.
г) П ри проведении р асп родаж и товара цену н а него сн ачала снизили на 20% ,
затем новую ц ен у сн и зи л и ещ ё н а 15% , а затем провели сн и ж ен и е ещ ё на 10% .
К ак и зм ен и л ась ц ен а товара?
д) К атер при д ви ж ен и и по р еке прош ел расстояние от города А до города В за
13 часов. Н а обратны й п уть ем у потребовалось 8 часов. Н айдите собственную ско­
рость д в и ж ен и я к атер а , если скорость теч ен и я реки равн ялась 3 к м /ч . Н айдите
с точностью до соты х средню ю скорость д ви ж ен и я катера.
е) Д ва теп л о х о да п л ы вут по р еке н австречу друг другу. Собственная скорость
первого теп лохода р авн а 31 к м /ч , а второго - 35 к м /ч . Ч ерез сколько времени
они встр етятся , если в дан н ы й м омент расстоян и е м еж ду ни м и 528 км ?
ж ) П роехав п оловину п ути , автом обилист ум ен ьш и л скорость н а 40% и поэтому
прибы л в п у н к т н азн ач ен и я н а 2 часа п озж е запланированного. Сколько времени
он ехал?
Н ай ди те среднее ари ф м ети ческое у к аза н н ы х чисел:
а) 7,5 и 3,8;

б) 12,8; 3 9 ,4 и 72,6;

в) 6,3; 13,2; 2 7 ,4 и 76,9.

а) Ц ен тр ал ьн ы й бан к в течение недели устан авли вал следую щ ий курс доллара
СШ А к рублю :
Пн

Вт

Ср

Чт

Пт

Сб

Вс

3 1 ,5 4 7 3

3 1 ,6 5 0 3

3 1 ,7 4 7 7

3 2 ,6 9 2 6

3 2 ,1 4 5 7

3 1 ,7 2 2 6

3 1 ,7 2 2 6

О пределите с точностью до десяти ты сячн ы х средний курс доллара СШ А н а этой
неделе.
б) Н а складе л еж ат 112 ящ и к о в с яб локам и . И х средний вес нетто равен 12,5 кг.
П осле того к а к н а скл ад поступило ещ ё 10 ящ и ков с яблокам и, средний вес нетто
я щ и к а с яб ло к ам и стал равен 13 кг. С колько к г яб лок поступило н а склад?
В ы числите:
1
а) ■

(3,75 - 0,6 2 5 )
12,5 • 0,25

Л

X
56

1

•

Y'

:18 §

20,4 • l | • 3,8 • 0,26

в)

Д)

2,21 • 1,2 • 1,9 ■4 |

+ %

б) 2 • ----------------------------- ; - Ig!
0,0345 : | - 0,128 • 6¾

11
_5

1,125 + l |

12

г)

з_з_. 26 + /238 _ П . 1 з |
о5 99 у 45 15/ '
й ( 18' 5 - 13!)

0.66 + 0,5 + i

2—
т7

0,59

21

+ 0

,5

-(:

2 +

12,5
5,75 + 0

45

0,55
' 21 5
45

(- l ,4 + 2 | : 1,75) : 0,205.
'

6
101

Задачи для самоконтроля к главе 2

Найдите простые числа, лежащие между числами а и 6:
а) а = 1100, 6 = 1110;

б) а = 1800, 6 = 1810.

Докажите утверждение:
а) Произведение любых шести последовательных целых чисел делится на 360.
б) Число, записываемое 50 двойками, 50 единицами и 50 нулями, не может быть
точным квадратом.
в) Если натуральное число делится на 3, то оно не может при делении на 6 да­
вать остаток 4.
г) Если натуральное число при делении на 27 даёт остаток 8, то оно не делится на 3.

[379)

Проведите классификацию элементов множества А по остаткам от их деления
на 6:
а) А = {-58; -39; -21; 0; 11; 28; 47; 61; 97}, 6 = 3;
б) А = {-81; -54; -43; -24; 14; 26; 56; 85}, 6 = 7 .

|380| Найдите остаток от деления а на 6:

ш

а) а = 222777, 6 = 5;

б) а = 444™, 6 = 7.

Определите, какой цифрой оканчивается число:
а) 777 777 ио;

б) 444 444777.

[382¾Отметьте на числовой прямой все значения х, для которых:
а) | х | < 5;

б) | х \ > 7;

в) | х - 2 | > 4;

г) | х - 4 | < 6.

диаграмму Эйлера-Венна для множеств А и В. Найдите их пересече­
|383| Нарисуйте
ние и объединение:
А = {а: а = 4л + 1; п еЛГ; 1 < п < 6};
В = {6: 6 = 5т + 3; т

e N;

1 < т < 5}.

Известно, что точки А и В имеют координаты (-5) и 16. Найдите координату
точки С, если известно, что:
а) АС = ВС-,

б) АС = 2ВС;

в) АС = 6ВС;

г) АС = 0.5ВС.

а) Сушёная смородина содержит 25% воды. Сколько воды надо выпарить
из 5 т свежей смородины, содержащей 85% воды, чтобы получить сушеную
смородину?
б) Кусок сплава меди и цинка массой 472 кг содержит
50% меди. Сколько меди надо добавить к этому куску,
чтобы новый сплав содержал 80% меди?
в) За 1 кг помидоров и 10 кг огурцов заплачено 350 р.
Если бы помидоры подорожали на 15%, а огурцы по­
дешевели на 25%, то за такое же количество огурцов
и помидоров заплатили бы 282 р. 50 к. Сколько стоил
килограмм помидоров?
102

Глава 3

Законы равносильных преобразований
алгебраических выражений
= § 1. Рациональные числа и законы арифметики

Е

1. Множество рациональных чисел
И долг, и дело жизни математика - доказывать теоремы,
и долг этот никогда не может быть надолго оставлен
без внимания без неотвратимых следствий.
Андре Вейль (1906-1998),
французский математик
Натуральные числа появились в процессе счета предметов и измерения величин для
ответа на вопрос «Сколько?». Однако если мы хотим измерять величины с хорошей
точностью, то чисел натурального ряда нам не хватит. Ведь далеко не всегда значения
длины, площади, объёма, массы, времени, температуры и т. д. выражаются натуральны­
ми числами. Так, нельзя, например, выразить натуральным числом продолжительность
солнечных суток на Земле, Луне, Венере и других планетах, так же как и результат
понижения температуры воздуха на 7 °С, если изначально она была равна 5 °С. В свя­
зи с этим возникает необходимость введения дробных и отрицательных чисел. Что же
касается числа нуль, то оно возникло тогда, когда потребовалось показать отсутствие
единиц определенного разряда в некотором числе, например 101, 10 001 и т.д.
Таким образом, потребности практических измерений и вычислений привели
к развитию представлений о числе и появлению множеств натуральных чисел N ,
целых чисел Z , рациональных чисел Q, которые мы изучали в 5-6 классах.
N = {1, 2, 3, 4, 5, ...};
Z = {... -3 , -2 , -1 , 0, 1, 2, 3, ...};
Q=
где т е Z t n е N }.
Как мы уже знаем, результатом сложения и умножения натуральных чисел
всегда будет натуральное число. Множество Z можно рассматривать как расширение
множества N до множества, где всегда выполнима операция вычитания, а множест­
во Q - как расширение множества Z до множества, где всегда выполнима операция
деления на число, отличное от 0.
Из определения рациональных чисел следует, что любое рациональное число
можно записать в виде обыкновенной дроби. Но нам известен и другой способ записи
рациональных чисел - в виде десятичной дроби (конечной или бесконечной).
27
Например, записи jq q q и 0,027 являются, по сути, разными обозначениями для од­
ного и того же рационального числа. То же самое можно сказать и о записях ^ и 0,333...
103

Глава 3, §1, п.3.1.1
В связи с этим возникают вопросы:
• Любое ли рациональное число (то есть обыкновенную дробь) можно записать
в виде десятичной дроби (конечной или бесконечной)? И если да, то как?
• Любая ли десятичная дробь является рациональным числом (то есть предста­
вима в виде обыкновенной дроби)? И если да, то как перевести данную деся­
тичную дробь в обыкновенную?
Сначала ответим на эти вопросы для положительных рациональных чисел, а
затем распространим полученные правила на все рациональные числа.
Конечные десятичные дроби
Мы уже знаем, что любую конечную десятичную дробь можно записать в виде
обыкновенной, а вот обратный перевод можно выполнить не всегда. Вспомним из­
вестные нам правила перевода дробей, которыми мы пользовались в 5-6 классах.
Правило 1. Чтобы конечную десятичную дробь представить в виде обыкновен­
ной, можно записать эту дробь в числителе, отбросив запятую, а в знаменателе
записать единицу со столькими нулями, сколько цифр справа от запятой.
Например:
3,407

3407
1000 ’

0 09 = ^100
и,иу

9
100 ’

Правило 2. Несократимую обыкновенную дробь можно представить в виде
конечной десятичной, если в разложении на простые множители знаменателя
обыкновенной дроби нет множителей, отличных от 2 и 5. Чтобы выполнить
перевод, можно привести обыкновенную дробь к знаменателю вида 10", где
п е N , и воспользоваться правилами записи десятичных дробей, либо разделить
числитель обыкновенной дроби на её знаменатель.
Например:
54 Я = 245
20
100

49,0 1 20
2,45
40
_ 90
80
_ 100
100

2,45

Бесконечные десятичные дроби
о
Если знаменатель несократимой обыкновенной дроби имеет хотя бы один прос­
той делитель, отличный от 2 и 5, то в результате деления числителя на знаменатель
получится бесконечная десятичная дробь, например:

Ц=

8,2222...;

jjl

=0,045045045...;

^=

0 ,3 1 8 1 8 ....

Мы видим, что после запятой в полученных десятичных дробях одна и та же
группа цифр с некоторого момента начинает повторяться бесконечное число раз.
Такая группа цифр называется периодом бесконечной десятичной дроби и при записи
может заключаться в круглые скобки, например:

Ц = 8 ,(2);

П Х = 0,(045);

Г2 = 0,3(18).

Такие дроби называются периодическими десятичны ми дробями.
Периодические десятичные дроби обладают удивительным свойством. Можно
доказать, что любая обыкновенная дробь представима в виде периодической деся-

104

_______________________________________ _ _ _ _ _ _______ Глава 3, §1, п.3.1.1

тичной дроби, и обратно. Это означает, что множество периодических десятичных
дробей совпадает со множеством рациональны х чисел. Для обоснования этого
утверждения рассмотрим две теоремы.
Теорема 1. Любое положительное рациональное число можно записать в виде
периодической десятичной дроби.
©©© Доказательство:
По определению, любое положительное рациональное число можно записать в
виде обыкновенной дроби, где т у п е N.
Если на некотором шаге деления числителя т этой дроби на знаменатель п полу­
чится остаток 0, то дробь можно записать в виде конечной десятичной дроби. А значит,
её можно записать и в виде периодической десятичной дроби с периодом 0, например:
| | = 2,45 = 2,45000... = 2,45(0).
Если же при делении т на п на каждом шаге деления мы получаем остаток, не
равный 0, то в результате деления получится бесконечная десятичная дробь. При
этом при делении на п число остатков равно п — 1 (остатки от 1 до п - 1). Поэтому,
рассматривая подряд п остатков, мы обязательно найдём среди них два одинаковых.
Если все цифры делимого уже использованы, то при делении в столбик мы всё
время приписываем к остатку нуль. И так как мы делим все время на одно и то же
число, то с момента появления первого повторения в частном будет периодически
повторяться одна и та же группа цифр.
Итак, в обоих случаях в результате деления т на п
7,0 |__ 22___________
66
0 , 3181818 . . .
получится периодическая десятичная дробь, что и требо­
40
валось доказать. ▼
22
7
180
Так, например, при переводе дроби ^ в десятичную
176

_ 40
мы делим 7 на 22. Поскольку мы все время делим на одно
22
и то же число 22, то после повторного появления остатка
_ 180
4 будут появляться в том же порядке одни и те же про­
176
межуточные делимые. А значит, и цифры частного будут
40
периодически повторяться.
Верно и обратное утверждение.
Теорема 2. Любая положительная периодическая десятичная дробь является
рациональным числом.
Мы не обладаем пока достаточными знаниями, для того чтобы доказать это
утверждение в общем виде. Тем не менее рассмотрим на примерах идеи, используемые
при его доказательстве, и на этой основе сформулируем (без доказательства) общее
правило представления положительной периодической дроби в виде обыкновенной.

Пример 1. Представьте периодическую дробь 0,(25) в виде обыкновенной.
Решение:
Пусть х = 0,(25). Тогда можно доказать, что при умножении х на 100 запятая
сместится на два знака вправо, то есть ЮОд: = 25,(25), и при вычитании из второго
равенства первого мы сможем избавиться от бесконечного «хвоста*:
ЮОх - ж = 25,(25) - 0,(25) о 99* = 25 о ж = | | о 0,(25) = Ц .
Пример 2. Представьте периодическую дробь 2,1(36) в виде обыкновенной.
105

Глава 3, §1, п.3.1.1
Решение:
Пусть х = 2,1(36). Сначала представим данную дробь в виде, аналогичном рас­
смотренному в примере 1, то есть так, чтобы период начинался сразу после запятой:
* = 2,1(36) 10* = 21,(36).
Теперь выполним те же преобразования, что и в примере 1:
100 • (10*) = 2136,(36) 1000* = 2136,(36);
1000* - 10* = 2136,(36) - 21,(36) о 990* = 2136 - 21 * = 213qQ~ 21.
Сокращая полученную дробь, приходим к ответу: 2,1(36) = 25
gg.
Конечно, идеи, использованные при решении примеров 1 и 2, требуют строгого
доказательства. На них основано также доказательство и общего правила записи
положительной периодической десятичной дроби в виде обыкновенной.
Правило 3. Чтобы записать положительную периодическую десятичную дробь
в виде обыкновенной, можно:
1) из числа, образованного цифрами, стоящими до второго периода, вычесть
число, образованное цифрами, стоящими до первого периода, и записать эту
разность как числитель;
2) в знаменателе записать цифру девять столько раз, сколько цифр в перио­
де, и после девяток записать столько нулей, сколько цифр между запятой и
первым периодом.
Используя это правило, представим число 0,(629) в виде обыкновенной дроби.
До первого периода в этом числе стоит цифра 0. Выделим теперь цифры, стоящие
до второго периода:
0,(629) = 0,629(629).
Цифры 0629, стоящие до второго периода, образуют число 629. Значит, в числи­
теле искомой дроби должна быть разность 629 - 0. В периоде три цифры, поэтому
в знаменателе записываем три девятки. И так как между периодом и запятой нет
цифр, то после девяток нет нулей. Получаем:
17
0,(629) 629 - 0
999
27*
Аналогично рассуждая, можно записать число 8,21(6) как обыкновенную дробь:
7395 493
8,21(6) = 8,216(6) = 8 2 1 3 8 2 1
990
60'
Очевидно, что те же правила сохранятся и для отрицательных рациональных
чисел, так как если мы поставим перед обыкновенной или десятичной дробью знак
минус, то в записи изменится только знак. Что же касается числа 0, то оно может
быть записано и в виде обыкновенной, и в виде периодической десятичной дроби,
например, следующим образом: 0 = j = 0,(0).
Таким образом, любое рациональное число может быть записано в виде беско­
нечной периодической дроби, и обратно. Значит, действительно запись в виде деся­
тичной дроби (конечной или бесконечной периодической) есть другая форма записи
рационального числа. И мы можем использовать для рациональных чисел ту форму
записи, которая нам удобна в каждом рассматриваемом случае.
106

Глава 3, §1, п.3.1.1
Итак, мы выяснили, что рациональные числа представляются только периоди­
ческими десятичными дробями. Однако существуют и непериодические десятичные
дроби, например дробь 2,02002000200002...
Действительно, если бы данная дробь была периодической с периодом п е N, то
в ней с некоторого момента одна и та же группа из п цифр должна была бы пери­
одически повторяться. Но в записи этой дроби количество нулей между двойками
последовательно увеличивается на 1. Поэтому для любого натурального п мы всегда
сможем найти как группу из п нулей, так и группу из п цифр, содержащую нули и
двойки. Таким образом, дробь 2,02002000200002... - непериодическая.
Значит, существуют числа, не являющиеся рациональными. Такие непериоди­
ческие бесконечные десятичные дроби назвали иррациональными, то есть «нерацио-нальными», числами.
Про иррациональные числа мы пока ещё ничего не знаем - не умеем выполнять
действия с ними, сравнивать их, но они нам уже встречались. Например, известное
нам число я = 3,14159265..., выражающее отношение длины окружности к её диа­
метру, является одним из примеров иррациональных чисел. А если мы вычислим
длину диагонали квадрата со стороной 1, то получим число V2 = 1,4142135..., также
являющееся иррациональным.
Но, прежде чем изучать свойства иррациональных чисел, нам надо разобраться
с основными свойствами рациональных чисел и научиться уверенно выполнять все
действия с ними.
|3 8 б | Запишите десятичную дробь в виде обыкновенной:
а) 34,6;

б) -49,37;

в) 0,0157;

г) -0,00013.

Докажите, что данную обыкновенную дробь можно перевести в десятичную, и
выполните перевод:
. 15
, . 7
.2 1
. 273.
, 693.
. 1173
а) 300’
_ 175’
10 120’
г' 728’
Ю 308’
е> 1955’
[3881 Запишите данное рациональное число в виде периодической десятичной дроби:
113
61
* 15
д ).
18.
ж) W
з) 21 ’
е ) 22 ’
б) - у ,
в) 30 ;
Запишите периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной:
ж) -29,37(1);
а) 0,(7);
в) 1,(25);
д) -5,1(38);
з) 315,2(76).
б) -0,(15);
г) -3,(781);
е) 15,16(2);
|390 )

ш

Сравните рациональные числа:
а) 0,091 и YI',

в) 0,(31) и 0,313;

д) 0,(451) и

б) ~

г) -0,789 и -0,7(8);

е) - | и -0,(5).

и -0,3;

Найдите значение выражения:
, 0 , 6 ( 4 ) - 0,4(8) 3,512 + 2,488 - 1,2(3)
а>
_7
14,3

27
б) 3,5 - 2,(4) - 1,(5) - (о,5 + 0,(5) - | ) : 0,(3);

, п.
и’
(1 + 1 ,(3 )):0 ,2 5
Г ) ----------------------------------- б ‘ 4 ’
(5,(6) - 0,(42) + 1,(75)) • f

107

Глава 3, §1, п .3 .1 .1

Определите, является ли число рациональным, и обоснуйте свой ответ:
а) 0,125;
в) 3,0030003;
д) -5,06060606...;
б) -4,(27);
г) -7,070070007...;
е)21,323323332333

(393| Вычислите рациональным способом:
а) 9 + 27 + 3 + 6 + 5 + 4 + 5 + 2 + 8 + 1; б) 0,125 • 3,5 • 80 • j ;

в) 97 ■15 + 85 • 97.

г) 45 786 8643 + 4214 + 38 643; ж) 339 • 101 - 539 • 101;
д) 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 +100;
з) 580 : 7 - 600 : 14;
е) (553 + 796 - (353 - 204)) : (837 - 398 - (137 - 98));
и) 37 • 36 + 252 • 9.
Запишите выражение на математическом языке:
а) Сумма числа а и частного от деления b на с.
б) Частное от деления произведения чисел х и у на разность чисел т и п .
в) Число, обратное произведению чисел р, q, г.
г) Число, противоположное частному числа d и суммы чисел k и I.
д) Разность квадратов чисел а и Ь.
ж) Сумма кубов чисел *, у и г.
е) Квадрат разности чисел а и Ь.
з) Куб суммы чисел х, у и г .
Решите уравнение:
а) 0,5(* - 1) = -3(-0,05* - 1,7);
б) -0,2(17 - 1,8у) = 0,3(0,4у - 1,2);

в) 10(3i/ - 2 ) - 3(5у + 2) = -5(6i/ - 7 ) + 29;
г) (5* - 1) - 3(0,9* - 0,1*) = 6(1,1 - 0,1*).

Постройте математическую модель и решите задачу:
а) Два пешехода вышли одновременно из двух городов навстречу друг другу
и встретились через 2 часа. Скорости пешеходов 5 км/ч и 4 км/ч. Чему равно
расстояние между городами?
б) Два автомобилиста выехали одновременно в одном направлении из двух горо­
дов, находящихся на расстоянии 150 км друг от друга. Скорость догоняющего
автомобилиста равна 75 км/ч. Чему равна скорость второго автомобилиста, если
встреча состоится через 10 часов?
в) Из пунктов А и В, находящихся на расстоянии 17 км
друг от друга, выехали одновременно в противоположных
направлениях два велосипедиста. Скорость первого вело­
сипедиста равна 15 км/ч. С какой скоростью ехал второй
велосипедист, если через 5 часов расстояние между ними
стало равно 187 км?
г) Волк увидел зайца и погнался за ним. Скорость волка
равна 750 м/мин, а скорость зайца равна 800 м/мин. Через
10 мин погони расстояние между ними стало равно 600 м.
Какое расстояние было между волком и зайцем в тот мо­
мент, когда волк увидел зайца?
Из пунктов А и В, находящихся на расстоянии 16 км, одновременно навстречу
друг другу вышли два пешехода. Первый пешеход шел со скоростью 3 км/ч, а
второй - со скоростью 5 км/ч. Вместе с первым пешеходом из пункта А в пункт
В побежала собака со скоростью 12 км/ч. Добежав до второго пешехода, она
побежала обратно к первому. Так она бегала, пока пешеходы не встретились.
Сколько километров пробежала собака?
108

Глава 3, §1, п .3.1.1

О
|399|

|398|

Запишите рациональное число в виде периодической десятичной дроби:

53

В) "~П;

Т)1 з -

Запишите периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной:
а) 0,(2);

т

, 102

. 98

я, 13.
б) 15’

а) 10 ’

б) -3,(12);

в) -0,45(3);

г) 1,2(36).

Сравните рациональные числа:
в) 2,(45) и

б) -0,(28) и -0,283;

а) 0,7 и j-j

Щ.

Найдите значение выражения:

1 +к
а» О'5)6) + 0,4(3)

5+ 7

36

б)

(з! - 2h): з1+5т1 •°’(34> 0 , 8 .
(13,(6) - 12,(7)) :

т

Определите, является ли число рациональным, и обоснуйте свой ответ:
а) -5,8;

Ш!

б) 15,0150015;

в) -4,171171117...

Решите уравнение:
а) 0,15* + 1,575 - 0,875* = 0,0625*;
б) -2(* - 7 ) - 1 1 + 7(3* + 6) + 5(* - 3) = 0.
Северный и южный склады пончиковой компании Антона и Ксюши находятся на
расстоянии 30 км друг от друга. Антон был на северном складе, когда с южного
склада повезли заказы клиентам компании в направлении, противоположном
направлению на северный склад. После того как «газель» с заказами с южного
склада уже уехала, Антон вспомнил, что хотел вместе с заказами передать по­
дарки для клиентов. Он сел в свою машину, решив догнать «газель» и передать
подарки. Сколько времени потребуется Антону для этого, если он будет ехать со
скоростью 110 км/ч, скорость «газели» 60 км/ч и до момента выезда Антона она
успела уже проехать 20 км?

е

|405|

Для проведения новогоднего праздника закупили шоколадки. Их стали
распределять по подаркам, и оказалось, что каждый раз, когда вкладыва­
ли в подарки по 2, 3, 4, 5, 6 или 7 шоколадок, всегда оставалась одна лишняя
шоколадка. Сколько шоколадок купили, если их было меньше 500 штук?
Тетушка Леонсия большая любительница кошек и
математики. Когда у нее спрашивают, сколько у неё
кошек, она хитро улыбается и отвечает: «У меня
пять шестых моих кошек плюс пять шестых кошки».
Сколько кошек у тетушки Леонсии?
Расставьте числа от 1 до 9 в кружках так, чтобы сум­
ма чисел на каждой стороне треугольника равнялась:
а) 17;
б) 20.

о
оо
о о
оооо
109

Глава 3, §1, п .3 .1 .2 ________________________________________________

3.1.2. Законы арифметических действий и равносильные
преобразования

Цель математической строгости состоит в том,
чтобы санкционировать и узаконить завоевания интуиции.
Ж ак Адамар (1865-1963),
французский математик

При решении практических задач мы часто составляем выражения, то есть за­
писи, состоящие из различных математических символов. Если выражения содержат
только числа, знаки арифметических действий и скобки, задающие порядок этих
действий, то их называют числовыми. Если же в состав выражений дополнительно
входят буквы, то их называют буквенными выражениями.
Преобразуя выражения и вычисляя их значения, мы, естественно, стремимся
сделать свои действия максимально простыми и удобными. Например, чтобы найти
значение суммы 1 + 2 + 3 + ... + 1000, мы не станем складывать подряд все числа от
1 до 1000, а заметим, что суммы 1 + 1000, 2 + 999, 3 + 998 и т.д. равны между собой
и что имеется всего 500 таких сумм. Значит, значение данного выражения равно
(1 + 1000) + (2 + 999) + (3 + 998) + ... + (500 + 501) = 1001 • 500 = 500 500.
Но почему при замене исходного выражения другим, новым выражением мы
были уверены, что значения их равны? Потому что в процессе преобразований мы
использовали законы арифметических действий (в данном случае переместительный
и сочетательный законы сложения). Эти законы верны не только для данных чисел,
но и для любых рациональных чисел. Поэтому мы можем сформулировать их в
обобщенном виде и записать с помощью букв.
Вспомним основные законы арифметических действий с рациональными числами.
1. Переместительный (коммутативный) закон сложения.
Значение суммы не зависит от порядка слагаемых:
V а, Ъ е Q: а + Ъ = b + а.
2. Сочетательный (ассоциативный) закон сложения.
Значение суммы не зависит от порядка действий:
V а, Ь, с е Q: (а + Ь) + с = а + (Ь + с).
3. Переместительный (коммутативный) закон умножения.
__ _
Значение произведения не зависит от порядка множителей:
=•
V а, Ъ е Q: ab = ba.
_____>v*.
4. Сочетательный (ассоциативный) закон умножения.
"
•
Значение произведения не зависит от порядка действий:
V a, bt с е Q: (ab)c = а(Ьс).
5. Распределительный (дистрибутивный) закон умножения.
Чтобы умножить число на сумму, можно умножить это число на каждое из сла­
гаемых этой суммы и полученные результаты сложить.
V а, Ъу с е Q: a(b + с) = ab + ас.

110

_

_________________________________________________ Глава 3, §1, п .3 .1 .2

Можно доказать, что данные законы верны также для сумм с произвольным
числом слагаемых и для произведений с произвольным числом множителей. Именно
поэтому мы и имели возможность в предыдущем примере преобразовать исходную
сумму так, чтобы легко было выполнить громоздкие вычисления.
Основные законы сложения верны также и для алгебраических сумм, то есть вы­
ражений, содержащих несколько последовательных действий сложения и вычитания.
Ведь операция вычитания рационального числа равносильна операции прибавления
противоположного числа. Используя эти законы при преобразованиях алгебраических
сумм, мы можем моментально найти значение, например, такого выражения:
1 - 2 + 3 - 4 + ... + 999 - 1000 = 1 + (-2) + 3 + (-4) + ... + 999 + (-1000) =
= (1 + (-2)) + (3 + (-4)) + ... + (999 + (- 1000)) = (-1) • 500 = -500.
Выявление общих свойств арифметических действий и их компактная запись с
помощью букв стали «поворотным пунктом»» в развитии математики: переходом от
арифметики к алгебре.
Алгебра - это раздел математики, развитие которого связано с решением самых
разных уравнений. Корни алгебры уходят в глубокую древность, а само название
происходит от арабского «алъ-джебр» (восполнение, воссоединение, связь) - при­
ёма решения уравнений, описанного в трактате «Китаб аль-Джебр ва-ль-Мукабаля»
арабского ученого Мухаммеда ибн Мусы аль-Хорезми (ок. 783 - ок. 850). Решение
уравнений требует также и умения упрощать входящие в них выражения. Поэтому
алгебра изучает также общие свойства арифметических действий, помогающие ра­
ционально проводить преобразования выражений.
Алгебра имеет дело с буквенными выражениями и их преобразованиями, поэтому
буквенные выражения называют ещё алгебраическими.
Преобразовывая сложные буквенные выражения в более простые, важно помнить
о том, что в итоге мы должны получить равносильные выражения. То есть такие
выражения, которые при подстановке любых допустимых значений входящих в них
букв будут давать одинаковое числовое значение. Ведь в противном случае мы не
придём к верному решению нужной задачи.
Но как убедиться в том, что выполненные преобразования равносильны, то есть
что они привели нас к выражению, равносильному первоначальному? Как, например,
убедиться в том, что выражения 5х - 2у - 3* + у и 2х - у равносильны? Ведь мы
не можем перебрать все рациональные числа и убедиться в том, что оба выражения
дают одинаковые числовые значения.
Здесь нам также помогают законы арифметических действий, ведь они верны
для любых рациональных чисел. Так, исходя из этих законов и их обобщений, мы
можем сформулировать следующие правила равносильных преобразований.
Правила равносильных преобразований
1. В любой алгебраической сумме можно произвольным образом переставлять
слагаемые и объединять их в группы.
2. В любом произведении можно как угодно переставлять множители и объ­
единять их в группы.
3. Если несколько слагаемых алгебраической суммы имеют общий множитель,
то его можно вынести за скобку.
111

Глава 3, §1, п.3.1.2
Например, равносильность приведённых выше выражений может быть обоснована
с помощью этих правил следующим образом:
Ъх - 2у - Зх + у = Ъх + (~2и) + (=3х) + Ц = (5* + (-3*)) + ((-2у) + у) =
= (5 - 3)д: + (-2 + 1)у = 2х - у.
Первый и последний шаги преобразований выполнены на основе правил ариф­
метических действий с рациональными числами, второй шаг - на основе правила
равносильных преобразований 1, а третий - на основе правила 3. Пользуясь прави­
лами равносильных преобразований, мы можем упрощать не только алгебраические
суммы, но и произведения:
12 • а • b •
• а = 12 •
• (а • а) • Ъ = - 4 а 2 Ь.
Здесь первый шаг преобразований выполнен на основании правила 2, а второй на основе правил умножения рациональных чисел и определения степени числа.
Конечно же, указанный список правил не полный и существуют другие приёмы
проведения равносильных преобразований. Поэтому мы будем постепенно пополнять
его, увеличивая наши возможности красивого решения задач.
[408J Как называются приведенные записи? На какие две группы их можно
разбить?
а) 5,8;
в) 4х + 5 • (-0,5*/);
д) 0 • (1,7 - 3);
ж) 2cd;
б) -3 ,2 а + 4;
г) - ^ ;
е) -6 • (-4,2);
з)
Введите буквенные обозначения и запишите все данные числовые выражения
с помощью одного буквенного выражения. В чём состоит смысл использования
буквенных обозначений?
а) 2 • 5 + 3 • 14;

б) 2 • (-7) + 3 •

в) 7,4 ■2 - 3 ■0,5;

г) -2 • 6,8 - 0,8 • 3.

Прочитайте выражения и вычислите их значения при указанных значениях букв
(устно):
а) 17а + 13d при а = 1, d = 0;
в) 3(р + д) ■(р - q) при р = 6, q = 4;
б) Ьхуг при х = 4, у = 0,25, г = g;

г) - 2 (п + 5) : (т - 4) при п = -5 , т = 2.

Назовите слагаемые указанных алгебраических сумм и запишите эти суммы,
ставя между слагаемыми знак «+». Какие из данных алгебраических сумм яв­
ляются равносильными выражениями? Почему?
l ) a + b - c + d;
2 ) a + c - b + d;
3 ) a + d - e + b;
4 )d + b + a - c .
Какие законы арифметических действий позволяют утверждать, что данные
равенства верные?
а) 38 + 17 + 43 = 38 + (17 + 43);
в) 15 • 12 + 15 • 8 = 15(12 + 8);
б) 25 • 13 • 4 = (25 • 4) • 13;
г) 28 • 3,56 + 3,56 • 72 = (28 + 72) • 3,56.
Определите, являются ли выражения А и В равносильными. И если да, то объ­
ясните, на основании каких правил равносильных преобразований вы сделали
этот вывод.
а) А = 7а + 156с - За + 5Ьс, В = 4а + 20Ьс;
б) А = Зс - 6Ьс - 5 а + 76с, В = -2 а + 6с;
в) А = -1 2 ас - 30с2 - 18а2, В = -6(2ас - 5с2 - За2);
г) А = 2ху - 7хуг - 9х2,
В = х(-7 уг + 2у - 9х).
112

Глава 3, §1, п.3.1.2

Составьте по два числовых выражения, значение каждого из которых равно
-7,2, используя при этом операции: 1) сложения; 2) вычитания; 3) умножения;
4) сложения, вычитания и умножения.
Упростите выражение. На основании каких правил равносильных преобразований
вы действовали?
в) 3тп2 - 7т2п + Ьтп2 - 2т2п ;
а) 7а + Ъ + 2а - 2 Ь;
5

, 1

2

3

б) gdx + 2ах ~ $ах ~ 2ах ’

г) 5c2dk + 2cdk2 - Sdkc2 - 4k2dc.

16| При каких значениях переменных имеют смысл выражения:
12
ч _____ 1_
.
...х
5т
ж)
а) 4а3;
в) - 9 ’
(3т + 4)(0,5т - 3)’
(х + 3)(лг - 6)’
2(4 - k)
4d
За
з)
б) 3Ь - 8;
г) 2d + 7 ’
(2 - у)(у + 5)’
о;
(k + 0,5)(4 - Л)(4* - 2,8)
17 1 При каких значениях переменной х значение выражения равно а ?
45
в) (5 - *)(* + 4), а = 0.
б) (0,3* + 9)2 : 7, а = -5;
15;
а)
11 ’
Какие высказывания являются общими, какие - высказываниями о су­
ществовании, а какие - ни теми ни другими? Определите их истинность.
Для ложных высказываний постройте отрицания.
а) Число, обратное 3, равно -3 .
б) Модуль числа * может быть равен -* .
в) Произведение двух отрицательных рациональных чисел есть число положи­
тельное.
г) Разность двух положительных рациональных чисел может быть числом отри­
цательным.
д) Алгебраическая сумма рациональных чисел не зависит от порядка слагаемых.
е) Если в произведении рациональных чисел поменять порядок действий, то
результат может измениться.
Решите задачу:
а) Лошадь съедает копну сена за 2 суток, корова - за 3, овца - за 6. За какое
время съедят копну сена лошадь, корова и овца вместе?
б) Гаргантюа может съесть 10 т булочек за 14 дней, а вместе со своим сыном
Пантагрюэлем - за 10 дней. За сколько дней может съесть 10 т булочек Пан­
тагрюэль?
в) После того как соседи сверху забыли выключить воду, к нам стала протекать
вода с верхнего этажа. К моменту, когда удалось вызвать аварийную команду и
насосы начали откачивать воду, в комнате оказалось уже 300 вёдер воды. Из­
вестно, что один насос выкачивает за 2 часа 48 вёдер, а другой за 6 часов - 129
вёдер. Через сколько часов выкачают эти два насоса всю воду, если в течение
4 часов с начала работы насосов ежечасно с верхнего этажа будет поступать 16
вёдер воды?
г) Через кран вода заполняет пустой бак за 3 часа, а через сливное отверстие
вода из полного бака вытекает за 5 часов. Считая, что скорость заполнения бака
и вытекания из него воды постоянна, определите, за какое время вода наполнит
из этого крана пустой бак при открытом сливном отверстии.
113

Глава 3, § 1 , п .3.1.2
Вычислите:
а) (5,7 + 3,2) - (3,2 - 5,7) - 1,4;
б) -2 ,3 - (5,8 •25 - 6,3 •25) : 5;
в) 0,01 : (0,34 : 34 - 0,17 : 34);

г) 22,5 : 3,75 - (208,45 - 2,5 •3.38);
д) 1,35 : 2,7 - (6,02 - 5,9) - 0,4 ;2,5 •(4,2 - 1,075);
е) 4,3 - (3,5 - 1,44 : 3,6) - 1,44 ;3,6 •(1,1 - 0,1).

Решите уравнение:
а) 3(1/ - 2) - 2(1/ + 5) - 5(6 - 7у) + 16г/ = 6;
б) -4 (5 * - 3) - 6(1 - * ) - 1 = 7(2* - 4) + 5(3* - 2);
в) 0,5(2а + 4) - 0,2(3а - 7) + 3,6(а - 1) = -2 ,4 (5 - а) - 4,2;
г) -0,7(2с - 5) - 0,1(4 - с) + 0,3(5 - 2с) + 6,9с = -(3 - с).
Найдите ошибку в рассуждении:
«Вы просите у меня отпуск? Вы же совсем не работаете, и сейчас
я вам это продемонстрирую. Считайте вместе со мной.
Как известно, в году 365 дней. Каждые сутки вы спите 8 ч, что в сумме состав­
ляет 8 • 365 = 2920 ч, или 121 день 16 ч. Ежедневно вы не работаете ещё 8 ч,
то есть в сумме 121 день 16 ч. Остаётся для работы всего:
365 дней - (121 день 16 ч) • 2 = 121 день 16 ч.
В году 52 воскресенья и 52 субботы. В эти дни вы также не работаете. Остаётся
для работы всего 121 день 16 ч - 104 дня = 16 дней 8 ч. Как известно, в году
12 праздничных дней - с 1 по 5 января, 7 января, 23 февраля, 8 марта, 1 мая,
9 мая, 12 июня, 4 ноября, в которые вы также не работаете.
В итоге для работы остаётся всего 4 дня и 8 часов. И после этого вы говорите,
что устали и вам нужен отпуск?»

О| |
423

а) А
б) А
в) А
г) А

Определите, являются ли выражения А и В равносильными,

=
=
=
=

5 * + 7у - 3 * + 5у,
За - 5а2 + 46 - 662,
8т - 32п - 24тп,
- 5 * - 7 *2 - 9 *3,

В = 2 * + 12у;
В = -2 а 2 - 2b2;

^

С З

В = 8(т - 4 п - 3тп);
В = - * ( 5 - 7 * - 9 * 2).

Упростите выражение:
а) 6 * + Зу - 3 * - 4 у;

в) 4a2 - 2Ь2 - 9a2 + 2Ь2;

б) | cd - gcd + Y^cd + jjrcd;

г) -0 ,3 n2 - 2,8n + n2 + l,8n .

Карлсон может съесть 20 плюшек, банку варенья и килограмм конфет за 30 мин,
а вместе с Малышом - за 20 минут. За сколько минут съест 20 плюшек, банку
варенья и килограмм конфет Малыш?
При каких значениях переменных имеют смысл выражения:
2___
, ___ 8 с
.
т - 5
„
а) За6;
б) 4у + 5 ’
в) (с - 5)(с + 2 )’
г) (2m + 3)(6 - т )‘

271 При каких
а)

114

16
2У

значениях переменной у значение выражения равно с?
с = 4;

б) (у + 8)(5 - Зу), с = 0;

в) (у - 4)2, с = -9 .

Глава 3, §1, п .3 .1 .2

4281

29|

Пекарям пончиковой компании Антона и Ксюши необходимо выполнить два
заказа: большой - для корпоративного праздника крупной компании, и в 2
раза меньший - для праздника небольшой компании друзей. Половину рабо­
чего дня все пекари выполняли большой заказ, а на вторую половину дня они
разделились пополам. Одна половина продолжала выполнять большой заказ, а
другая половина принялась за выполнениемаленького. К концу рабочего дня
большой заказ был выполнен. На следующий день лишь один пекарь занимал­
ся маленьким заказом и к концу рабочего дня закончил его. Сколько пекарей
в пончиковой компании Антона и Ксюши, если все они работают с одинаковой
производительностью?
Решите уравнение:
а) -2(3* - 5) - 4(2 - 4*) - 1 - 3(* - 5) + 5(2* - 1);
б) 0,3 (у - 1) - 0,1(31/ - 9) - 2,1 (у + 4) = Ь{у - 2) - 0,7(3г/ - 6).

430|

Выполните вычисления и расшифруйте название науки о ледниках:
[ я ] 2 + 0,43 + (7,57 - 4,1)

[Л] 16,8 + 1,095 - (10,8 - 0,905)

[Л] 252 - (327,63 + 52) +127,63

[~0| 0,5 + 0,05 + (0,005 - 1,555)

[ г ] 7,8 + 0,107 - (5,907 - 3)

[ц ] 4 + 0,57 - (3,4 + 0,17)

[и ] 15,8 - 21,45 - (4,6 - 5,25)

|~0] 3,18 + 5,67 - (1,18 - 2,33)

|~г] 41,5 - (20,7 + 18,5) + 10,7

[ я ] -(16,4 + 13,2) + 10,4 - 2,8

[Й] 17,5 - (13,1 + 4,4) - 2

5

[43jJ

8

5,9

1

-5

-1

0

10

13

-2

-22

Куда потерялась монета? (Старинная задача)

Три путешественника забрели на постоялый двор, хорошо покушали, заплатили
хозяйке 30 монет и пошли дальше.
Через некоторое время после их ухода хозяйка обнаружила, что взяла с путе­
шественников лишнее. Будучи женщиной честной, она оставила себе 25 монет,
а 5 монет дала мальчику и наказала ему догнать путешественников и отдать им
эти деньги.
Мальчик бегал быстро и скоро догнал путешественни­
ков. Как им делить 5 монет на троих? Они взяли каж­
дый по 1 монете, а 2 монеты оставили мальчику за его
быстроногость. Таким образом, они сначала заплатили
за обед по 10 монет, но по 1 монете получили обратно.
Следовательно, они заплатили всего 9 • 3 = 27 монет.
Да 2 монеты остались у мальчика: 27 + 2 = 29 монет.
Но вначале-то было 30 монет. Куда делась 1 монета?
Сколько раз к наибольшему однозначному числу нужно прибавить наибольшее
двузначное, чтобы получить наибольшее трехзначное число?
115

Глава 3 , §2, п .3 .2 .1

—

§ 2. Равносильные преобразования
алгебраических выражений

■

3.2.1. Равносильные преобразования алгебраических сумм
Лучше в совершенстве выполнить небольшую часть
дела, чем сделать плохо в десять раз более.
Аристотель (384 до н.э. - 322 до н.э.),
древнегреческий философ и учёный

Порядок действий как в числовых, так и в буквенных (алгебраических) выра­
жениях может быть задан расстановкой скобок разного вида, например круглых
или квадратных. Поэтому для того, чтобы упрощать такие выражения, мы должны
научиться производить равносильные преобразования алгебраических выражений со
скобками. Как, например, упростить следующую алгебраическую сумму:
Ьх + Ьу - (4у - 1 - 0,5(2* - 5 у + 3(3у - 2х - 2(х + у))))?
Для этого вначале выясним, какие существуют правила раскрытия скобок.
Законы арифметических действий помогают нам получить следующие правила:
• Из сочетательного закона сложения следует, что если в обычной сумме перед
скобками отсутствуют множители, то скобки можно просто убрать.
• Из распределительного закона следует, что если перед скобками, в которых
записана сумма, стоит множитель, то скобки также можно опустить, умножив
на этот множитель каждое слагаемое.
В принципе, этих правил вполне достаточно для того, чтобы упростить любую
алгебраическую сумму, в том числе и приведённую выше. Неудобство состоит лишь в
том, что каждый раз мы должны записывать упрощаемое выражение в виде суммы,
то есть заменять в нём вычитание некоторого числа прибавлением противоположного
ему числа. А это сделает наши преобразования слишком громоздкими.
Как этого избежать? Вспомним, что ранее мы пользовались простыми правилами
раскрытия скобок, перед которыми стоят знаки «+ » и «-», но не обосновывали их.
Теперь нам надо эти правила обосновать.
Правило 1. Если в алгебраической сумме перед скобкой стоит знак ♦+», то после
раскрытия скобок знаки слагаемых, расположенных в скобках, не изменяются.
Доказательство:
Рассмотрим алгебраическую сумму, в которой перед слагаемыми стоят как знаки
«+», так и знаки «-». Заменим каждое действие вычитания прибавлением противо­
положного слагаемого. В соответствии с сочетательным законом сложения мы можем
теперь убрать скобки, и знаки слагаемых при этом не изменятся. А значит, если бы
мы с самого начала просто убрали скобки, то знаки слагаемых не изменились бы,
что и требовалось доказать. ▼
116

_______________________________________________________ Глава 3, §2, п.3 .2 .1
Например:
а + {Ь - с) = a + (b + ( - с)) = a + b + ( - с) = a + b - с.
Правило 2. Если в алгебраической сумме перед скобкой стоит знак « - * , то по­
сле раскрытия скобок знаки слагаемых, расположенных в скобках, изменяются на
противоположные.
Д ок азат ель ст во:
Заменим в алгебраической сумме каждое действие вычитания прибавлением
противоположного слагаемого.
Значение выражения в скобках при любых значениях входящих в него букв равно
некоторому числу. Поэтому его вычитание также можно заменить операцией прибав­
ления противоположного числа. Для этого выражение в скобках умножим на (-1 ).
При раскрытии скобок каждое слагаемое алгебраической суммы, находящейся
в скобках, умножится на ( - 1 ) (в соответствии с распределительным законом). И,
следовательно, знак каждого слагаемого изменится на противоположный, что и
требовалось доказать. Т
Например:
а - (Ь - с) = а + ( -1 ) •(Ъ + ( - с)) = а + ( -1 ) • b + ( -1 ) •( - с) = а - b + с.
Таким образом, мы приходим к следующим правилам раскрытия скобок при
равносильных преобразованиях алгебраических сумм.
Правила раскрытия скобок в алгебраических суммах
1. Если
слагаемых,
2. Если
слагаемых,

перед скобкой стоит знак «+ », то после раскрытия скобок знаки
расположенных в скобках, не изменяются.
перед скобкой стоит знак «—*, то после раскрытия скобок знаки
расположенных в скобках, изменяются на противоположные.

Теперь, пользуясь этими правилами, упростим выражение, приведённое в начале
пункта: 5 * + 5у - (4у - 1 - 0 ,5 (2 * - 5 у + 3(3у - 2х - 2(х + у))))>
Начнём раскрытие скобок со скобки, расположенной внутри всех остальных.
Упростим сначала выражение Зу - 2х —2(х + у). Так как перед скобкой стоит знак
4 -* и множитель 2, то каждое слагаемое в скобке умножим на 2 и изменим его знак
на противоположный, а затем приведем подобные слагаемые:
Зу - 2х - 2(х + у) = Ш ~ 2 х - 2 х - 2у = у - 4х.
Подставим полученное выражение в следующую скобку и выполним дальнейшие
упрощения: 2х - 5у + 3(у —4 *). Здесь перед скобкой стоит знак «+* и множитель 3,
поэтому знаки слагаемых мы менять не будем, просто умножим каждое из них на 3:
2х - 5у + 3(i/ - 4 *) = 2х - М + М ~ 1 2 * = - 1 0 * - 2у.
Переходим к следующему выражению, снова применяя правило 2 раскрытия
скобок и распределительный закон умножения:
4у - 1 - 0 ,5 (—1 0 * - 2у) = 4у - 1 + 5 * + у. = Ъу + 5 * - 1.
И наконец, пользуясь правилом 2, раскроем последнюю скобку в исходном вы­
ражении. После раскрытия скобок мы видим, что в выражении имеются противо­
положные слагаемые, которые «взаимно уничтожаются»:
5 * + 5у - (5у 4- 5 * - 1) = 5 * + Ьи - hu - 5 * + 1 = 1.

117

Глава 3, §2, п .3.2.1
Мы получили, что исходное сложное выражение при всех значениях х и у рав­
но 1:
ох + Ъу - (4у - 1 - 0,5(2¾ - Ъу + 3(3у - 2х - 2(¾ + у)))) = 1.
Таким образом, проведённые преобразования очень сильно упростят последующую
работу с данным выражением.

[433J
а) 7,5;

Найдите и запишите числа, противоположные данным:
б) -2 ¾
в) 0,4(15);
г) -(2 - 5 • 4);
д) -а ;
е) ( - т + а).

Назовите слагаемые алгебраических сумм и запишите их, ставя между слагаемы­
ми знак «+». Раскройте скобки, используя законы арифметических действий:
1) а - 6 + (с - d);

2) - а - (6 + с - d);

3) а - (6 - с) - d;

4) (а - d) - (Ь - с).

Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые:
а) ( 6 - з : ) - ( 4 - 2х);
д) -3(2с - d) + 5(с - 2d);
б) -(Ъу + 2) + (Ту - 3);
е) 2(т + 4п) - 7(2т - л);
в) (-5а + 2с - 6) - (46 - с - 5а);
ж) 0,2(-3¾ + 1Ъу - 4z) - 0,5(-¾ + Ъу - 2г);
г) (З т - 5а - 4ft) - (-6ft + 3m) + 4п;
з) —g|a + |c j - g(3c + b - 2a).
Упростите выражение, выполняя равносильные преобразования:
а) (2х + 3у) - ((х + 4у) - 6) - (х - 2у + 5);
б) За + ((а - с) + (с - b)) - (4а - b + с);
в) -5;/ - (—5дс - (Зу - 2х - 3)) - (2х + 3 - 2у);
г) (5а - Зс) - ((Зс - 5а) - 2) - (-2с + (2 - 4с));
д) ((6а - 8Ь) - (За - 116)) - ((36 + 7а) - (5а + 6));
е) - ( З т + 4а) - (За - (4 т + 5)) + ( т - (9 - 6а)) - (2 т - а).
Упростите уравнение, разделив обе его части на одно и то
число, а затем найдите его корни:
а) 9(7у - 5) - 3(9у + 11) = 6(15 - 4у) + 27;
б) 4(34* + 26) - 16(5 - Зх) - 48 = 8(7ж - 2) + 20(¾ - 4);
в) 28а - (43 + 8а) ■7 = 14(16а - 9) + 56;
г) 35с - 15(6с + 3) = 50 - (8с + 7 ) - 5 .
Составьте выражение к задаче и, если возможно, упростите (
а) Одним из участников эстафеты по биатлону была команда «Метеор», состо­
ящая из 4 спортсменов. Первый биатлонист этой команды прошёл дистанцию за
х мин, второй - на 10 мин медленнее первого, третий - на 6 мин быстрее второго,
а четвёртый - на 15 мин быстрее третьего. Какой результат в минутах показала
команда «Метеор» в этой эстафете?
б) В видеомагазине продают боевики, мелодрамы, комедии и документальные
фильмы. Боевиков в этом видеомагазине всегда на 126 меньше, чем комедий,
мелодрам —на 68 меньше, чем боевиков, а число документальных фильмов равно
полусумме числа комедий и боевиков. Сколько всего фильмов в этом видеомага­
зине, если сейчас в продаже а комедий?
118

Глава 3, §2, п .3.2.1
Упростите выражение:
а) 5 + ((2(jc + 1 ) - Зх) + 5х) - 0 ,5 (4 * - (2х - 4)) + 4х - (5 - 2х);
б) т + 3(п - ( - т + к)) - 2( т - ( т - 2п) - 4к) + 2( т + п - 2k);
в) -(3(2а - Ь ) + 2(2Ь - 1)) + 2(1 - (а - 4Ь) + 3(а - Ь) + 2) - (а + (Ъ - 2а));
т )р - 3(q - 2(г - s)) - (-р - 4(g - l,5 (r - s))) + (р + 2q - 3(р + д)).
Решите уравнение:
а) 3(х + 2) + (х - 2(1 - х)) + (5 - ( 3 * - 2(2 - 3*))) = -2 ;
б) Ъу + (1 - (Зу - 5)) - ((9 - 5у) - 3) + 3(4 - 2у) = 9;
в) а - (2а + 2(а - (5 - а))) + 4 - 3(2а - (4а - 9)) + (а - 3 + 4а) = 5;
г) 1 - ((с - 1) - 2(с + 2)) - Зс + (5с - 3(2с - 3(3с - 4))) = -6.
[441| Найдите значение буквенного выражения при указанных значениях букв:
а) (х - (2ху - Зх)) - 4ху + 5х - (7 - (2 - (4 - ху - х - у)) - 25), если х = 2, у = 5;
б) Р + 3(2р - q) - 4pz - 3q2 + 5 - 2(6 - 2р2 - q2) - 7р + 3q - pq, если р = 3, q = 0;
в ) Ь - 0,4а 4- 0,2(3с - (d - За)) + 0,3(2с - 4d) - (-а - d + с), если а = 0, b = 1, с = 2, d = 3;
г) 4х - ((2х - Зу) - г) + 2х - 3(2у - (х - 2)) + Зу + 0,5(2у - 3(-2г + 4х)),
если х = 0,1; у = 0,2; z = 0,3.
Пусть А - множество целых решений неравенства | а \ < 3, а В - множество
целых решений неравенства -1 < Ъ < 5. Отметьте элементы множеств А и
В на числовой прямой и запишите эти множества с помощью фигурных скобок.
Найдите объединение и пересечение множеств А и В, нарисуйте для них диа­
грамму Эйлера-Венна.
[443J И спользуя диаграммы Эйлера-Венна, определите правильность следующих
логических выводов:
а) Если некоторые птицы плавают, то некоторые плавающие животные —птицы.
б) Если некоторые овощи красные, то некоторые красные предметы - овощи.
в) Если ни один поезд не летает, то ни один летающий предмет - не поезд.
г) Если ни один пингвин не живёт на Северном
полюсе, то ни один живущий на Северном полюсе не пингвин.
д) Если все пирожные сладкие и некоторые сладкие
предметы из шоколада, то некоторые предметы из
шоколада - пирожные.
е) Если все автомобили имеют двигатель и некоторые имеющие двигатель пред­
меты не могут плавать под водой, то некоторые автомобили не могут плавать
под водой.
ж) Если ни один мамонт не живёт в настоящее время, а некоторые живущие
в настоящее время живут в Австралии, то некоторые живущие в Австралии не мамонты.
з) Если все кактусы - цветы и ни один кактус не растет в лесу, то все цветы
не растут в лесу.

119

Глава 3, §2, п.3.2.1 _

[444) Вычислите:
яч 1 , 2 , «3
5
а) 2 + 7 + 34 ~ 14

64 + 9..
&8

28’

г)(4 - 7й +2й)-36;

1. _
. .. 4 _ 2 , ql. _ 1 1 .
б) *3 4 5 + *15 9 + 3 6 *30’

д) (45± - 30§ + 15¾) : 15;

в) 2 ± : 3.4 - 3 | : | ;

е)

С\

1

2

4451

3

5 _X

6

18

з +А +А

5 15
45
Упростите выражение при допустимых значениях
-2 7 а 26
-0 ,2 5 а263
6 аЬ
в) -9аЬ2 ’
а) 126с’
Д) 20 а 363 ’
-IS c d k 2
. 4,8m n2h3
15 хиг
г) 6c2d2k ’
б) -5X2’
е>
-1 ,6 т 2кгп ':
*'
’ -1,6лг2й2л

37
90’
переменных:
0,12 • 3 5 х У
ж)
0,7 • ЗО хУ ’
. -0 ,4 4 • 13а362С1
3>
’ -О,
-0,143 • а 26е3 ’

|446| а) В каком отношении нужно смешать 50%-й и 70%-й растворы лимонной кис­
лоты, чтобы получить 65% -й раствор лимонной кислоты?
б) Имеется два куска сплава меди и цинка с процентным содержанием меди 60%
и 10% соответственно. В каком отношении нужно взять эти сплавы, чтобы, пе­
реплавив взятые куски вместе, получить сплав, содержащий 30% меди?
в) В сосуд ёмкостью 6 литров налито 4 литра 70% -го раствора серной кислоты.
Во второй сосуд такой же ёмкости налито 3 литра 90% -го раствора серной кисло­
ты. Сколько литров раствора нужно перелить из второго сосуда в первый, чтобы
получить 75%-й раствор серной кислоты?

4471 Найдите

остаток при делении числа а на 6, если известно, что:
а) число а при делении на 5 даёт остаток 2, а при делении на 3 - остаток 1 и 6 =
б) число а при делении на 5 даёт остаток 1, а при делении на 3 - остаток 2 и 6 =
в) число а при делении на 3 даёт остаток 1, а при делении на 4 - остаток 3 и 6 =
г) число а при делении на 3 даёт остаток 2, а при делении на 4 - остаток 1 и 6 =

15;
15;
12;
12.

[448) Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые:
а) (7х - 3) - (Ьх - 4);
б) (т - п - к) - (А - т) + п;

в) -2(3а + 6) + 3(2а - 6);
г) 0,3(-с + 2d) - 0,4(с - d) + 0,5(с - 2d).

[449) Выполняя равносильные преобразования, упростите выражение:
|450)

а) -(о - 26) - (5 - (2а + 6)) + (4 - (а + 6));
б) ((Зт - 2л) - (т - 2)) - (Зл - (л - 2)) + (-т - ( т + 2л)).
Упростите выражение:
а) 5х - Цу + 2г) + 0,5(2х - 4(х + у) + Юг) - 3(ж - 2 у - г);
б) —(0,2(с - 3d) - l,4d - 4) - 2(3 - 0,4(с + 2d) - 0,3(4с - d)) - 3(с + d).

[45^1 Составьте выражение к задаче и, если возможно, упростите его:
За контрольную работу в седьмых классах были получены следующие оценки:
«5», «4» и «3». Пятерок оказалось на 9 меньше, чем четвёрок, и на 5 больше,
чем троек. Сколько школьников писало эту контрольную работу, если четвёрки
получили 6 семиклассников?
120

-------------------------------------------------------------------------- --------Глава 3, §2, п.3.2.1

Упростите уравнение, разделив обе его части на одно и то же число, отличное от
нуля, а затем найдите его корень:
а) 5(3о - 2) - 15(2а - 5) = 10(3 - 4а) + 25;
б) 4(9* - 8) - 20(* - 4) = 16(3 + 2х) - 8(3* + 1).
Решите уравнение:
а) 3у + 0,5(2 - (6у - 8)) - 5((2 - 7у) - 11) - 49 + 6(2 - 3у) = -4;
б) 4а - 0,2(3а + 4(2а - (6 - За))) + 28 - 3(4а - (2а - 5)) - (За - 7 + 12а) = 14.
Пусть А - множество целых решений неравенства | а \ < 2, а В - множество
целых решений неравенства —1 < Ь ' ■3. Отметьте элементы множеств А и В на
числовой прямой и запишите эти множества с помощью фигурных скобок. Най­
дите объединение и пересечение множеств А и В, нарисуйте для них диаграмму
Эйлера-Венна.
Определите правильность следующих логических выводов:
а) Если некоторые люди умеют писать стихи, то некоторые умеющие писать
стихи - люди.
б) Если ни один шкаф в этой комнате не деревянный, то ни один деревянный
предмет в этой комнате - не шкаф.
в) Если все фрукты растут на деревьях и некоторые растущие на деревьях пред­
меты - зелёные, то некоторые зеленые предметы - фрукты.
г) Если ни один сотрудник пончиковой компании не опаздывает на работу, а
некоторые опаздывающие на работу ездят на метро, значит, некоторые ездящие
на метро - не сотрудники пончиковой компании.
а) На складе пончиковой компании Антона и Ксюши имеется 10 кг 7% -го сахар­
ного сиропа и 20 кг 10%-го сахарного сиропа. Кладовщики перепутали наклейки
на бутылках с сиропами и для того, чтобы не разбираться, где какой сироп, пе­
релили все сиропы в одну бутылку. Какой концентрации сахарный сироп у них
при этом получился?
б) Для нового рецепта пропитки для пончиков необходим 12% -й сахарный сироп.
В каком отношении нужно смешать 15% -й и 5% -й растворы сахарного сиропа,
чтобы получить сироп нужной концентрации?
Найдите остаток при делении числа а на 21, если известно, что:
а) число а при делении на 3 даёт остаток 2, а при делении на 7 - остаток 5.
б) число а при делении на 3 даёт остаток 1, а при делении на 7 - остаток 4.

4581 Борис

задумал натуральное число, умножил его на 13, зачеркнул послед­
нюю цифру результата. Полученное число он умножил на 8, опять зачерк­
нул последнюю цифру результата и получил 20. Какое число задумал Борис?

[

На полу площадью 12 м2 лежат три ковра, площадь первого из них равна 5 м2,
площадь второго —4 м2, а третьего - 3 м2. Каждые два ковра перекрываются на
площади 1,5 м2, причём 0,5 м2 из этих 1,5 м2 приходится на участок, перекры­
ваемый всеми тремя коврами. Чему равна площадь пола, не покрытая ни одним
ковром?
121

Глава 3, §2, п .3 .2 .2

3.2.2. Равносильные преобразования произведений

Труден лишь первый шаг.
Марк Теренций Варрон (116 до н.э. - 27 до н.э.),
римский учёный-энциклопедист

В предыдущем пункте мы разобрались с тем, как раскрывать скобки в алгебра­
ических суммах. Но при решении разного рода задач нам часто приходится сталки­
ваться и с алгебраическими выражениями, содержащими произведение и частное
нескольких величин. Для указания порядка действий здесь также используются
скобки, а значит, нам надо научиться раскрывать скобки и в этих выражениях.
Как, например, упростить следующее выражение:
7(с : 5) • (2 : Ь) • (а • (3 : а) • (Ь : с) : (21 : (2d))) • (5 : d)?
Если а, by ct d ^ 0, то данное выражение имеет смысл, поэтому мы можем
упростить его. И здесь опять возникает вопрос: на основании каких законов можно
осуществить равносильные преобразования в этом выражении?
Поскольку в основных законах арифметики даны правила только для преобразо­
вания сумм и произведений, то естественно свести действие деления к умножению,
подобно тому, как мы свели вычитание к сложению.
Для этого воспользуемся тем, что частное чисел т и л, где п * 0, равно произ­
ведению числа т на обратное к п:
т
1
т п = — = т • —.
п
п
Значит, исходное выражение мы можем записать
в виде:
7 . £ . 2 . / „ . З . Ь
М\ 5
2 1 /' d *
5 Ъ \ а с
Согласно сочетательному закону умножения, в любом произведении скобки можно
опустить. Значит, мы можем сделать это и в нашем выражении. Запишем полу­
ченное произведение, представляя целое число или отдельную букву в виде дроби
со знаменателем 1:
7 £. 2 а 3 b 2d 5
1 * 5 ' Ь ' 1 * а ’ с ' 21 d ‘
Нам известно также, что произведение нескольких дробей равно дроби, в чис­
лителе которой стоит произведение числителей исходных дробей, а в знаменате­
ле - произведение их знаменателей. Выполним данное преобразование и сократим
полученную дробь:
1 1
1 1
1
7 : / - 2 •z К - 2 • 4 ■Я = 4.
1 •я1 4 • f! • И
а

122

________________________________________________________Глава 3, §2, п .3 .2 .2
Итак, пользуясь правилами равносильных преобразований, мы фактически
доказали, что при всех допустимых значениях переменных (a, b, с, d & 0) верно
равенство:
7(с : 5) • (2 : Ь) • (а • (3 : а) • (& : с) : (21 : (2d))) • (5 : d) = 4.
Равенства, справедливые при любых значениях входящих в них букв, называют
тождествами. Таким образом, правила равносильных преобразований позволяют
не только упрощать выражения, но и доказывать тождества, некоторые из которых
для алгебраических преобразований так же важны, как таблица умножения в вы­
числениях.
Перечислим правила равносильных преобразований произведений, которыми мы
пользовались для упрощения исходного выражения.
Правила равносильных преобразований произведений
1. В выражениях операцию деления на число, отличное от нуля, можно
заменить умножением на число, обратное делителю.
2. Произведение нескольких дробей можно записать как единую дробь,
числитель которой равен произведению числителей исходных дробей, а зна­
менатель - произведению их знаменателей.
3. Если числитель и знаменатель дроби имеют общий множитель, отличный
от нуля, то дробь на него можно сократить1.
Воспользуемся полученными нами правилами для решения следующей задачи.
Задача. Найдите допустимые значения переменных и докажите тождество:
(■3* - (2у - 3(5* - 2у))) : (9* - 4у) = 2.
Доказательство:
Поскольку делить на нуль нельзя, то равенство будет иметь смысл, только если
9* - 4у ^ 0. Поэтому все значения переменных * и у, удовлетворяющие данному
ограничению, и будут допустимыми значениями.
На основании установленных в данном пункте правил 1 и 2 мы можем для всех
допустимых значений * и у записать:
(3* - (2i/ - 3(5* - 2у))) : (9* - 4 у) = Зх ~
^
~ 2у))■
Упростим сначала числитель этой дроби, пользуясь правилами преобразования
алгебраических сумм:
3* - (2у - 3(5* - 2у)) = 3* - (2у - 15* + 6у) = Зх - 2ц + 15* - |щ =
= 18* - 8у = 2(9* - 4р).
Значит, наше исходное выражение равно дроби, в которой числитель и знамена­
тель имеют общий множитель 9* - 4у, отличный от 0. Сократим на него дробь:
*В )

=

2

3^ — %

Таким образом, мы получили, что, если 9* - 4у & 0 (то есть при всех допустимых
значениях переменных * и у), верно равенство
(3* - (2у - 3(5* - 2у))) : (9* - 4у) = 2,
что и требовалось доказать. Т
1 Строго говоря, данное преобразование является равносильным на множестве допустимых значений
этой дроби. Более подробно мы будем разбираться с этим вопросом в 8 классе.

123

Глава 3, §2, п . 3 . 2 . 2 -------------------------------------------------------------------------------------------

4601 Найдите

числа, обратные данным при допустимых значениях перемен­

О

а) 8;

|46lj

Упростите выражение при допустимых значениях переменных:

|462|

ных:
б ) -1 2 ;

в)

г) - 2 j ;

д) а;

е) т - п;

ж)

з)

а) (6 : (5*)) • ((10*) : 3);

д) (7 : т) ■т* ■(- * : а) : Щ ■( - а 2: 28);

б) (4а : с) • (ft2 : (8а)) : ft;

е) (20 : ( - a 2ft)) : ^

в) (-р 2 : (69)) • ((3?) : г) : р;

ж)

г) (9 : (а2п)) • а : ^ • ( - а : 15);

з) - 5 а 2 b . _ j.
124

Глава 3, §2, п .3.2.2

|467|

Найдите допустимые значения переменных и докажите тождества:
ч 0,15 хи3 - 0,2Ьх3и - (0,05хи 3 - 0,2 х 3и) + 0.05ж3ц _ . ,

а)

0,2ху2

~ и,5У;

б1 (7у - 21)(,./ - 5)(8р + 16)(11./ + 17)(21/ - 3) =
’ (3 - 2у)(8у - 24)(2 + 1/)(34 + 22 у) (Ту - 35)

и’°'

. а + (Ъ - (с - d)) - (а - (Ь - (с - d))) + (а + 25 - (а - Ь)) - 55 _
“О

г)

^ _

ri

-

„
4;

(т2 - (тп - 2т2)) - Зтп + 2т2 - ( 1 - ( 2 - ( 3 - тп - т2)) - 2)
= 3т.
2т - п

© Е|4б8|

Вычислите устно:

а) (28 : 9) • (9 : 7);

б) (-8 : 3) : (2 : 9);

в) -(72 : 17) • (51 : 9) : (8 : 5).

1) Сформулируйте высказывания, обратные данным, и определите истинность
прямых и обратных высказываний. Для ложных высказываний постройте их
отрицания и установите истинность отрицаний:
а) Если целое число оканчивается на 0, то оно делится на 2 и на 5.
б) Если целое число делится на 2, то оно оканчивается на 2.
в) Если сумма цифр целого числа делится на 3 и число оканчивается на 5 или
на 0, то оно делится на 15.
г) Если целое число кратно 3 и 5, то оно кратно 15.
2) Какие из приведённых высказываний являются равносильными? Приведите
свой пример равносильных высказываний.
По таблице установите возможную формулу зависимости между переменными х
и у и постройте график зависимости у от х на координатной плоскости.

Что общего у графиков всех этих зависимостей? Можно ли с помощью букв за­
писать одну обобщённую формулу, частными случаями которой являются данные
зависимости?
Решите уравнение:
а) (12а - 4) : 4 + (15 - 5а) : 5 = 4;
б) (4* - 3 + 2х) : 3 - 27 = (6* - 21 + х) : 7;
в)

(З х

- 24

+

5х)

:

8 - (42* - 30

+

6): б - (8* - 32 - 16*)

г) (5* - 22 + 6*) : 11 + (7* + 26 4- 6*) : 13 - (9* - 51 + 8*)

:

8 = 15;
:17 = -24.
125

Глава 3, §2, п.3.2.2 .

|472|

Постройте математическую модель и решите задачу:
а) Завод запланировал произвести одинаковое количество продукции в течение
каждого из первых двух лет своей работы. В действительности за первый год ра­
боты объём производства оказался выше запланированного, а в следующем году
процент его роста по сравнению с запланированным оказался на 10 больше, чем
в первом. Определите, на сколько процентов объём производства в первый год
превысил запланированный, если известно, что за два года его общий прирост
к запланированному составил 48,5% .
б) В банк положили вклад в размере 10 000 р.
под 15% годовых. В конце первого года вкладчик
дополнительно внёс на счёт некоторую сумму.
К концу второго года размер его вклада был на
475% больше по сравнению с первоначальным
вкладом. Какую сумму дополнительно внёс вклад­
чик на счёт в конце первого года?

|4731 Вычислите:

ш

1

,

1

а) 2JL + (-7§ + 3f2);

в) 2 ^ 5 + 5

б) | +2§ : K - i(#

1
г) 3 ■7 + 7 11

11 ■15

15 • 19

1
19 ■23'

Докажите, что:

[475|

а) число 444...444 не делится на 8;

в) число 53005300...5300 делится на 25;

б) число 1212...12 делится на 3;

г) число 6363...63 делится на 9.

а) Миша и Серёжа записывают двенадцатизначное число, ставя по очереди циф­
ры. Начинает Серёжа. Докажите, что какие бы цифры ни ставил Серёжа, Миша
всегда сможет добиться того, чтобы полученное число делилось на 3.
б) Андрей и Иван записывают двадцатизначное число, ставя по очереди цифры.
Начинает Андрей. Докажите, что какие бы цифры ни ставил Андрей, Иван всегда
сможет добиться того, чтобы полученное число делилось на 9.

|47б|

4771

78|

126

Упростите выражение при допустимых значениях переменных:

а) (7 : 6х) ■(9* : 7);

в) (-5 : а2) ■а ■(10 : ( - ау)) : (2 : у2);

б) (-д3 : р) ■(р2 : q) : g;

г) (11m3 : (-т л )) : (-33m) • (-6 л 2 : m2) : (л : (2,5m)).

Определите, при каких значениях переменных имеют смысл выражения:
с+4
,
тп
. (л + 3)
1
б) -1 Н.---------г;
в)
а) ахс’
(с + 4)(с - 7) ’
( т + л) '
т
Р Р- 1
Используя равносильные преобразования, упростите выражение при допустимых
значениях переменных:
. 2(а + 3)
3Ьс
km - 7k
8m2
ж)
в) 7(л - т ) ’
Д) -Ьс + 3Ь2’
а) а + 3 ’
4km
m2 7m'
xu + x z _ xz
. an + bad
г) 4 ^ ;
б) Р(Р ~