Проблемы Гильберта (100 лет спустя) [Андрей Андреевич Болибрух] (fb2) читать постранично

Проблемы Гильберта (100 лет спустя)

Историческое вступление

История Международных математических конгрессов насчитывает уже более  ста лет; традиционно они проводятся раз в 4 года. Самый, наверное, знаменитый из них состоялся в августе 1900-го года в Париже. Именно на этом конгрессе, на секции преподавания и методологии математики, выступил 38-летний немецкий математик Давид Гильберт.

В своём докладе он сформулировал те проблемы, которые, на его взгляд, являлись наиболее значимыми для математики начинающегося XX столетия.

Ни до, ни после него никто не ставил перед собой такую титаническую задачу. Даже в то время математика уже была достаточно специализированной: было много различных направлений, и одному человеку было очень трудно охватить все её разделы. Но Гильберт отличался широким кругозором: он работал практически во всех существовавших тогда областях математики и во многих из них добился выдающихся результатов. Это и позволило ему сформулировать ставшие знаменитыми 23 математические проблемы.

Эти проблемы делятся по областям математики следующим образом:

Области математики

№ проблем

Основания математики

1,2

Алгебра

13, 14, 17

Теория чисел

7-12

Геометрия

3, 4, 18

Топология

16

Алгебраическая геометрия

12-16, 22

Группы Ли

5, 14, 18

Вещественный и комплексный анализ

13,22

Дифференциальные уравнения

16, 19 -21

Математическая физика и теория вероятностей

6

Вариационное исчисление

23

- 3 -

Из таблицы (см. с. 3) видно, что проблемы Гильберта  относятся к самым разным областям математики, а некоторые — сразу к нескольким областям. Это вполне естественно:  математика едина, и одна и та же проблема может быть сформулирована и исследована в терминах различных математических дисциплин.

Доклад Гильберта на Парижском конгрессе можно найти,  в частности, в недавно вышедшем двухтомнике его избранных трудов.* Вступительная часть этого доклада читается  почти как литературное произведение. То была пора «романтической математики», и сам Гильберт начинает свой доклад словами, которые замечательно звучат и сейчас: «Кто из нас не хотел бы приоткрыть завесу, за которой скрыто наше будущее, чтобы хоть одним взглядом проникнуть в предстоящие успехи наших знаний и тайны его развития в ближайшие столетия? Каковы будут те особенные цели, которые поставят себе ведущие математические умы ближайшего поколения? Какие новые методы и новые факты будут открыты в новом столетии на широком и богатом поле математической мысли?» Так звучал математический доклад Гильберта на математическом международном конгрессе.

Когда эти проблемы были сформулированы, выяснилось, что некоторые из них либо решены, либо близки к решению.

Однако другие потребовали для своего решения несколько десятков лет и усилий многих выдающихся математиков, а две из них до сих пор не решены. Почему же Гильберт включил в свой доклад именно эти 23 проблемы? Чем он руководствовался, формулируя их?

Сам Гильберт, поясняя свой выбор, приводил слова одного известного французского математика: «Математическую теорию можно считать совершенной только тогда, когда ты сделал её настолько ясной, что берёшься изложить её содержание первому встречному». Конечно, здесь имеется некоторое преувеличение, но процитированная фраза пока-

------------------------

* Гильберт Д. Избранные труды. Т. 1, 2. М.: Факториал,

1998. См. также Проблемы Гильберта. М.: Наука, 1969.

- 4 -

зывает, что Гильберт придавал большое значение понятности и доступности математики.

Выбирая проблемы для своего доклада, Гильберт придерживался следующих принципов. Он говорил, что задача должна быть

а) понятной (должно быть ясно, откуда она возникла);

б) достаточно трудной, чтобы вызывать интерес;

в) не настолько трудной, чтобы её невозможно было решить.

Перейдём теперь к более подробному рассказу о некоторых из этих проблем.

Первая проблема Гильберта:

континуум-гипотеза

Континуум-гипотеза, первая проблема Гильберта, относится к задачам оснований математики и теории множеств. Она тесно связана с такими простыми и естественными вопросами, как «Сколько?», «Больше или меньше?», и практически любой старшеклассник может понять, в чём состоит эта проблема. Тем не менее, нам потребуются некоторые дополнительные сведения, чтобы её сформулировать.

Эквивалентность множеств

Рассмотрим следующий пример. В школе проходит вечер танцев. Как определить, кого больше на этом вечере: девочек или мальчиков?

Можно, конечно, пересчитать тех и других и сравнить два полученных числа. Но гораздо проще дать ответ, когда оркестр заиграет вальс и все танцующие разобьются на пары. Тогда, если все присутствующие танцуют, значит, каждому нашлась пара, т. е. мальчиков и девочек одинаковое количество. Если же