Определение геометрических характеристик поперечных сечений брусьев в программных продуктах SCAD, MSC.Patran-Nastran-2005 и MathCAD: методические указания [Виталий Афанасьевич Жилкин] (pdf) читать постранично, страница - 2
- Определение геометрических характеристик поперечных сечений брусьев в программных продуктах SCAD, MSC.Patran-Nastran-2005 и MathCAD: методические указания 3.27 Мб, 69с. скачать: (pdf) - (pdf+fbd) читать: (полностью) - (постранично) - Виталий Афанасьевич Жилкин
Книга в формате pdf! Изображения и текст могут не отображаться!
[Настройки текста] [Cбросить фильтры]
- 1
- 2
- 3
- 4
- . . .
- последняя (17) »
.
2
2
J y1 =
J y + Jz
+
J y − Jz
5
(7)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВНЫЕ ОСИ И ГЛАВНЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ГЛАВНЫХ ОСЕЙ И ЗНАЧЕНИЙ
ГЛАВНЫХ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ
Пусть в системе координат yOz известны моменты инерции J y , J z , J xy .
Главными осями сечения, проходящими через данную точку, называются оси, относительно которых центробежный момент инерции равняется нулю.
Обозначим главные оси цифрами 1 и 2 . Моменты инерции относительно главных осей называются главными и обозначаются J 1 и J 2 , причем J 1 > J 2 .
Моменты инерции относительно главных осей достигают экстремальных значений, т.е. главный момент инерции J 1 есть наибольший из всех моментов инерции
относительно осей, проходящих через данную точку, момент J 2 - наименьший.
Приравняв J xy в формуле (6) нулю, найдём значения углов α 1 и α 2 = α 1 + π / 2 ,
определяющие соответственно положения первой и второй главных осей:
2 J yz
tg 2α 1 , 2 = −
.
(8)
J y − Jz
Положительный угол α 1 следует откладывать от оси y против хода часовой
стрелки.
Главные моменты инерции можно вычислить по формулам (5), подставив в них
углы α 1 и α 2 , но практически удобнее пользоваться формулами, не содержащими
тригонометрических функций:
J max = J 1 =
J y + Jz
2
2
J y − Jz
+ J yz2 ;
+
2
(9)
2
J y − Jz
+ J yz2 .
J min = J 1 =
(10)
−
2
2
Для определения положения главных осей вместо формулы (8) можно применять формулы
J y − J1
J y − J2
tgα 1 = −
, tgα 2 = −
,
(11)
J yz
J yz
J y + Jz
где J 1 и J 2 - главные моменты инерции.
Если оси y и z главные (в сортаменте прокатных профилей они обозначены u
и v ), то формулы (5), (6) и (7) принимают вид
J y1 = J y cos 2 α + J z sin 2 α ;
;
J z1 = J y sin 2 α + J z cos 2 α .
J y − Jz
J y1 z 1 =
sin 2α ;
2
J y + Jz J y − Jz
J y1 =
+
cos 2α ;
2
2
J y + Jz J y − Jz
J z1 =
−
cos 2α .
2
2
6
(12)
(13)
(14)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для равнобоких уголков центробежный момент инерции вычисляется по формуле (13), где J y и J z - главные моменты инерции; α - угол поворота главных осей
до исходных, взятый со знаком плюс или минус.
Обратите внимание, поворачиваются главные оси!
Если при определении по формуле (8) угол α 1 положительный, то при определении по формуле (13) - отрицательный (− α 1 ) .
Для неравнобоких уголков удобно воспользоваться формулами (11), которые
для данного случая примут вид
J y − J1
J y − J2
J y1 z 1 = − 1
; J y1 z 1 = − 1
.
(15)
tgα 1
tgα 2
СВОЙСТВО МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСЕЙ СИММЕТРИИ
Пусть ось y будет осью симметрии сечения, а ось z ей перпендикулярна (рис.5). В силу
симметрии каждой площадке с положительным
произведением координат справа будет соответствовать площадка с таким же, но отрицательным
произведением координат слева, поэтому
J yz = ∫ yzdF = 0 .
Рис.5
F
Ось симметрии сечения и любая ось ей перпендикулярная, есть главные оси сечения.
СВОЙСТВО МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ПРАВИЛЬНЫХ ФИГУР
ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРАЛЬНЫХ ОСЕЙ
Рис.6
Для правильных фигур (рис.6) J yz = 0 ; J y = J z .
Для квадрата последнее равенство очевидно, так как он одинаково расположен
относительно осей y и z .
Для остальных фигур это можно доказать следующим образом: в правильной
фигуре всегда найдется ось y1 , относительно которой фигура будет расположена так
же, как относительно оси y , и потому J y1 = J y . В соответствии с зависимостью (5)
J y1 = J y cos 2 α 1 + J z sin 2 α 1
или
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(
)
J y 1 − cos 2 α 1 = J z sin 2 α 1 ,
откуда J y = J z . Тогда
J u = J y cos 2 α + J z sin 2 α
или J u = J y .
Моменты инерции правильных фигур относительно центральных осей равны и любые
центральные взаимно перпендикулярные оси являются главными.
Геометрические характеристики некоторых элементарных фигур приведены в
таблице 1.
Таблица 1
Фигура
Площадь и
координаты
центра тяжести
F = b⋅h
b
yC = ,
2
h
zC = .
2
F = b⋅h
b h
yC = + sinα ,
2 2
h
zC = .
2
b⋅h
2
h
zC = .
3
Статические
моменты
S yC = 0 ,
S zC = 0 ,
S y = F ⋅ zC .
S y = F ⋅ zC ,
bh 3
,
3
bh 3
J yC =
,
12
b3h
J zC =
12
Jy =
bh 3
,
3
bh 3
=
12
Jy =
J yC
F=
8
Моменты
инерции
bh 3
,
12
bh 3
=
36
Jy =
S y = F ⋅ zC
J yC
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Фигура
Площадь и
координаты
центра тяжести
F = πR 2 =
πD 2
4
,
yC = 0 ,
Статические
моменты
Sy = 0 ,
Моменты
инерции
J y = Jz =
Sz = 0 .
πD 4
64
zC = 0 .
π (D − d
2
F=
2
4
yC = 0 ,
),
J y = Jz =
=
Sz = 0 .
πR 2
2
=
πD 2
8
−
πd 4
=
64
64
πD 4
=
1 − c4
64
где c = d / D
Sy = 0 ,
(
zC = 0 .
F=
πD 4
)
,
4R
,
3π
zC = R .
yC =
2 R3
Sy =
.
3
J y = J z ≈ 0 ,393 R 4
J yC ≈ 0.11R 4
J yC = J zC ≈ 0 ,055 R 4 ,
F=
πR 2
=
πD 2
,
16
yC = zC ≈ 0 ,424 R .
4
S y = Sz =
πR
4
J
2
2
J y1 =
J y + Jz
+
J y − Jz
5
(7)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВНЫЕ ОСИ И ГЛАВНЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ГЛАВНЫХ ОСЕЙ И ЗНАЧЕНИЙ
ГЛАВНЫХ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ
Пусть в системе координат yOz известны моменты инерции J y , J z , J xy .
Главными осями сечения, проходящими через данную точку, называются оси, относительно которых центробежный момент инерции равняется нулю.
Обозначим главные оси цифрами 1 и 2 . Моменты инерции относительно главных осей называются главными и обозначаются J 1 и J 2 , причем J 1 > J 2 .
Моменты инерции относительно главных осей достигают экстремальных значений, т.е. главный момент инерции J 1 есть наибольший из всех моментов инерции
относительно осей, проходящих через данную точку, момент J 2 - наименьший.
Приравняв J xy в формуле (6) нулю, найдём значения углов α 1 и α 2 = α 1 + π / 2 ,
определяющие соответственно положения первой и второй главных осей:
2 J yz
tg 2α 1 , 2 = −
.
(8)
J y − Jz
Положительный угол α 1 следует откладывать от оси y против хода часовой
стрелки.
Главные моменты инерции можно вычислить по формулам (5), подставив в них
углы α 1 и α 2 , но практически удобнее пользоваться формулами, не содержащими
тригонометрических функций:
J max = J 1 =
J y + Jz
2
2
J y − Jz
+ J yz2 ;
+
2
(9)
2
J y − Jz
+ J yz2 .
J min = J 1 =
(10)
−
2
2
Для определения положения главных осей вместо формулы (8) можно применять формулы
J y − J1
J y − J2
tgα 1 = −
, tgα 2 = −
,
(11)
J yz
J yz
J y + Jz
где J 1 и J 2 - главные моменты инерции.
Если оси y и z главные (в сортаменте прокатных профилей они обозначены u
и v ), то формулы (5), (6) и (7) принимают вид
J y1 = J y cos 2 α + J z sin 2 α ;
;
J z1 = J y sin 2 α + J z cos 2 α .
J y − Jz
J y1 z 1 =
sin 2α ;
2
J y + Jz J y − Jz
J y1 =
+
cos 2α ;
2
2
J y + Jz J y − Jz
J z1 =
−
cos 2α .
2
2
6
(12)
(13)
(14)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для равнобоких уголков центробежный момент инерции вычисляется по формуле (13), где J y и J z - главные моменты инерции; α - угол поворота главных осей
до исходных, взятый со знаком плюс или минус.
Обратите внимание, поворачиваются главные оси!
Если при определении по формуле (8) угол α 1 положительный, то при определении по формуле (13) - отрицательный (− α 1 ) .
Для неравнобоких уголков удобно воспользоваться формулами (11), которые
для данного случая примут вид
J y − J1
J y − J2
J y1 z 1 = − 1
; J y1 z 1 = − 1
.
(15)
tgα 1
tgα 2
СВОЙСТВО МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСЕЙ СИММЕТРИИ
Пусть ось y будет осью симметрии сечения, а ось z ей перпендикулярна (рис.5). В силу
симметрии каждой площадке с положительным
произведением координат справа будет соответствовать площадка с таким же, но отрицательным
произведением координат слева, поэтому
J yz = ∫ yzdF = 0 .
Рис.5
F
Ось симметрии сечения и любая ось ей перпендикулярная, есть главные оси сечения.
СВОЙСТВО МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ПРАВИЛЬНЫХ ФИГУР
ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРАЛЬНЫХ ОСЕЙ
Рис.6
Для правильных фигур (рис.6) J yz = 0 ; J y = J z .
Для квадрата последнее равенство очевидно, так как он одинаково расположен
относительно осей y и z .
Для остальных фигур это можно доказать следующим образом: в правильной
фигуре всегда найдется ось y1 , относительно которой фигура будет расположена так
же, как относительно оси y , и потому J y1 = J y . В соответствии с зависимостью (5)
J y1 = J y cos 2 α 1 + J z sin 2 α 1
или
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(
)
J y 1 − cos 2 α 1 = J z sin 2 α 1 ,
откуда J y = J z . Тогда
J u = J y cos 2 α + J z sin 2 α
или J u = J y .
Моменты инерции правильных фигур относительно центральных осей равны и любые
центральные взаимно перпендикулярные оси являются главными.
Геометрические характеристики некоторых элементарных фигур приведены в
таблице 1.
Таблица 1
Фигура
Площадь и
координаты
центра тяжести
F = b⋅h
b
yC = ,
2
h
zC = .
2
F = b⋅h
b h
yC = + sinα ,
2 2
h
zC = .
2
b⋅h
2
h
zC = .
3
Статические
моменты
S yC = 0 ,
S zC = 0 ,
S y = F ⋅ zC .
S y = F ⋅ zC ,
bh 3
,
3
bh 3
J yC =
,
12
b3h
J zC =
12
Jy =
bh 3
,
3
bh 3
=
12
Jy =
J yC
F=
8
Моменты
инерции
bh 3
,
12
bh 3
=
36
Jy =
S y = F ⋅ zC
J yC
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Фигура
Площадь и
координаты
центра тяжести
F = πR 2 =
πD 2
4
,
yC = 0 ,
Статические
моменты
Sy = 0 ,
Моменты
инерции
J y = Jz =
Sz = 0 .
πD 4
64
zC = 0 .
π (D − d
2
F=
2
4
yC = 0 ,
),
J y = Jz =
=
Sz = 0 .
πR 2
2
=
πD 2
8
−
πd 4
=
64
64
πD 4
=
1 − c4
64
где c = d / D
Sy = 0 ,
(
zC = 0 .
F=
πD 4
)
,
4R
,
3π
zC = R .
yC =
2 R3
Sy =
.
3
J y = J z ≈ 0 ,393 R 4
J yC ≈ 0.11R 4
J yC = J zC ≈ 0 ,055 R 4 ,
F=
πR 2
=
πD 2
,
16
yC = zC ≈ 0 ,424 R .
4
S y = Sz =
πR
4
J
- 1
- 2
- 3
- 4
- . . .
- последняя (17) »
Последние комментарии
1 день 22 часов назад
2 дней 3 часов назад
2 дней 4 часов назад
2 дней 6 часов назад
2 дней 7 часов назад
2 дней 8 часов назад