Параллельный перенос вектора. Критика [Петр Путенихин] (fb2) читать онлайн

Петр Путенихин Параллельный перенос вектора. Критика

Практически во всех источниках, учебниках, рассматривающих вопрос определения кривизны собственного пространства внутренним наблюдателем, можно встретить утверждение, что он способен сделать это без привлечения понятия пространства большей размерности:

"… внутренняя кривизна пространства-времени, т. е. кривизна, при определении которой не только не используется погружение в какое-либо гипотетическое плоское многообразие более высокой размерности, но даже не допускается мысли о возможности такого погружения" [8, т.1, с.411].

В качестве одного из способов такого определения чаще всего рассматривается явление поворота вектора при его параллельном переносе по замкнутому контуру:

"Кривизна многообразия сама по себе выражается через изменение направления вектора, возникающее при параллельном переносе вектора по небольшому замкнутому контуру. Изменение направления вектора зависит от исходного направления вектора, а также от ориентации двумерной поверхности, в которой расположен этот замкнутый контур; при заданной ориентации изменение направления вектора пропорционально площади, охватываемой замкнутым контуром. Следовательно, численное значение кривизны многообразия можно выразить через изменение направления вектора (в градусах) на единицу площади, охватываемой замкнутым контуром, по которому совершается обход" [1, с.82].

Известны и более формализованные описания таких процессов, например, в терминах тензоров:

"… параллельный перенос произвольного вектора (тензора) по замкнутому контуру. Параллельно перенося произвольный тензор … из произвольной точки А в точку D вдоль различных сторон параллелограмма … можно убедиться в том, что тензор Римана-Кристоффеля определяет разность компонент тензоров, перенесенных из одной точки в другую (близкую) двумя разными путями (уравнение) …" [4, с.67]

Разностью компонент тензора в данном случае и обозначают изменение направления вектора при таком параллельном переносе. Примерно такой же вывод следует из доказательств еще одного автора:

"При произвольном переносе … вектор получает приращение … Выведем формулу … Таким образом, при параллельном переносе вектор … получает приращение …" [5, с.51]

Эти выводы относятся к криволинейным пространствам, поскольку в декартовой и в евклидовой системах координат компоненты векторов при параллельном переносе не изменяются и результирующий вектор после прохождения любого замкнутого контура совпадет с исходным вектором, причем система координат в общем случае, как считается, может быть и искривленной. Но в искривленном пространстве:

"… результирующий вектор a^*i, вообще говоря, будет отличен от исходного вектора aⁱ, причем разность a^*i – a^*i зависит от выбора замкнутой кривой … это единственное существенное различие между плоским и искривленным пространствами" [7, с.231].

Именно такое поведение вектора при параллельном переносе, как правило, и используется в качестве определения понятия кривизны пространства:

"… пространство называется искривленным, если результат параллельного переноса вектора из одной точки в другую зависит от выбора пути, по которому производится перенос" [1, с.84].

При параллельном переносе всегда принимается, что длина вектора остается неизменной, поэтому результатом переноса может быть только поворот вектора, но не его растяжение или сжатие. Поскольку пути могут быть разными, то и результирующий поворот так же может быть разным. В частности, главной характеристикой связности на многообразии есть изменение при переносе касательного вектора:

"В дифференциальной форме его можно описать заданием оператора поворота вектора Г при переходе из точки x в точку x+dx, а именно:

Коэффициенты Г^μ_αν в формуле (3.4) называются компонентами связанности. Разбивая теперь кривую, соединяющую две точки пространства, на малые отрезки и описывая на каждом отрезке изменение вектора с помощью оператора (3.4), можно получить изменение вектора при переносе из одной точки в другую. При этом существенно, что результат будет различен для различных кривых, связывающих эти точки …

Таким образом, параллельный перенос в искривленном пространстве зависит от пути, по которому он осуществляется" [6, с.30].

Очевидно, что разных путей параллельного переноса вектора из одной точки в другую может быть сколько угодно. В плоском пространстве существует единственное направление, параллельное заданному в какой-то точке, поэтому результат переноса определяется только исходным вектором и не зависит от пути переноса. Напротив, в искривленном пространстве:

"… результат параллельного переноса вектора зависит не только от исходного вектора, но и от пути, по которому совершается перенос.

Рис.35. Параллельный перенос вектора по двум возможным путям

Если вектор v₀ (рис. 35) сначала параллельно переносится из точки A в точку B, а затем в точку D, то в результате мы получим вектор v₁, если параллельный перенос вектора v₀ совершается от точки A к точке D через точку C, то результатом переноса будет вектор v₂. Параллельный перенос вектора вдоль пути, состоящего из отрезков прямых (ломаная линия), в конце концов возвращающихся в исходную точку (замкнутая ломаная), приводит к новому вектору в начальной точке; этот новый вектор отнюдь не совпадает с исходным, хотя при переносе вектора по всем сегментам петли мы нигде не нарушили правил параллельного переноса" [1, с.62].

Численно величина кривизны многообразия (пространства) может быть выражена через конкретные числовые параметры параллельного переноса:

"Кривизна многообразия сама по себе выражается через изменение направления вектора, возникающее при параллельном переносе вектора по небольшому замкнутому контуру. … численное значение кривизны многообразия можно выразить через изменение направления вектора (в градусах) на единицу площади, охватываемой замкнутым контуром, по которому совершается обход" [1, с.82].

Как вариант, объективным, количественным показателем кривизны пространства может быть величина, пропорциональная площади контура, по которому производится параллельный перенос вектора:

"В искривленном пространстве начальное и конечное направление вектора не совпадают, причем отличие δA будет прямо пропорционально площади контура δS" [2, с.54].

В работе [3, с.59] в достаточно общем, формальном виде приводятся определения понятий параллельного переноса вектора и понятия кривизны – тензора кривизны или тензора Римана. Отмечено, что задача о параллельном переносе и определении кривизны является корректной и имеет однозначное решение.

Следует возразить: при всей корректности, однозначности и точности аналитических выкладок, они все-таки недостаточно наглядны. Вместе с тем, это весьма важное обстоятельство, поскольку в графических иллюстрациях можно заметить некоторое несоответствие с аналитикой. Действительно, при анализе рис.35 к приведенной выше цитате сразу же возникает вопрос: почему при движении вектора из точки A в точку C его направление резко изменилось визуально? По известным соображениям мы должны считать две дуги AD и CB параллельными, как находящиеся на римановой, сферической поверхности положительной кривизны. И заметим кстати, что на карте Земли (глобусе), как это ни странно звучит, параллельными на самом деле являются меридианы, а не параллели, которые являются просто кривыми линиями.

В качестве наиболее наглядной демонстрации такого изменения направления вектора при параллельном переносе обычно приводится перенос вектора на поверхности сферы. В этом случае роль прямой играют дуги больших кругов сферы, получаемые сечением сферы плоскостью, проходящей через её центр. Во всех таких примерах наглядно демонстрируется, что при параллельном переносе вектора по поверхности сферы в исходную точку его направление не совпадает с направлением исходного вектора.

Рассмотрим один из таких примеров параллельного переноса вектора на поверхности сферы, ожидая, что в нем никаких неясностей, неопределенностей нет.

"На рисунке начальное положение вектора обозначено цифрой 1 (северный полюс). Он обносится параллельным образом (положения 2, 3, …) вокруг сферического треугольника, все углы которого равны 90^o. По возвращении в исходную точку вектор (положение 4) оказывается повернутым на 90^o:

(положительна; направление поворота совпадает с направлением обхода) [8, т.1, с.412]".

Рис.1. Паралельный перенос вектора [8, т.1, с.412]

Гауссова кривизна γ_G в рассмотренном случае сферической поверхности определена как отношение площади, обойденной вектором, к углу поворота вектора, когда он вернулся в исходную точку [8, т.1, с.412]. В примере с треугольным контуром, действительно, получается вполне осмысленная величина кривизны – 1/a², где а – радиус сферы:

Как видим, и в этом случае при обходе по замкнутому контуру результирующий вектор не совпал по направлению с исходным. Хотя на рисунке это не очень заметно, но в предпоследней точке 3 направление вектора в точности совпадает с последним направлением 4 при обходе треугольника. Тем не менее, и в данном случае возникает вопрос по изображению векторов. Судя по всему, векторы в точках 2 и 3 направлены точно по сторонам треугольника, то есть, по определению параллельны друг другу. Однако они изображены слишком короткими отрезками, поэтому на рисунке не совсем ясно, лежат ли они на поверхности сферы? На плоском пространстве поверхности сферы возможны лишь векторы, полностью совпадающие с этой поверхностью.

В случае сферического треугольника вектор, как показано на рисунке, при переносе изменил своё направление. Но что будет, если взять квадратный или прямоугольный контур? Как видно на рис.2а при таком переносе итоговый угол φ = 0, поэтому кривизна оказывается равной нулю. Получается, что метод не вполне корректен, поскольку даёт для одной и той же поверхности при использовании одного и того же правила разные значения.

Немного доработаем рисунок, чтобы устранить эту неопределенность с направлениями вектора. Будем считать, что исходный вектор 1, векторы 2, 3 и 4 касательны к дугам 1-2 и 3-4, то есть, к боковым сторонам треугольника, вдоль которого они переносятся. Именно это и означает их параллельность.

Поскольку мы вправе произвести параллельный перенос вектора по произвольному маршруту, то мы добавим ещё один отрезок, превратив сферический треугольник в сферический квадрат (вернее, криволинейный четырехугольник). И сразу же обнаруживаем, что наш вопрос возник, вообще-то, не на пустом месте. Мы видим два переноса вектора по ортогональным к меридианам линиям – 2-3 и 4-1. Вновь возникает вопрос: почему при переносе по параллели 2-3 вектор остался коллинеарным своим меридианам 1-2 и 3-4, а на отрезке 4-1 нет? Логического оправдания такого различия, похоже, не существует.

Рис.2. Паралельный перенос вектора на сфере

Для наглядности на рисунке 2а добавлены промежуточные меридианы – параллельные линии, с которыми вектор обязан совмещаться при параллельном переносе. Штриховые стрелки показывают направление обхода, а тонкие стрелки – промежуточные положения переносимого вектора. Хорошо видно, что при возвращении в исходную точку вектор сохранил своё исходное направление – вдоль меридиана.

Надо заметить, что полученный результат не только противоречивый, но и странный. Выходит, что такой метод внутреннего определения кривизны пространства не вполне корректен? Мы точно знаем, что сфера – это искривленное пространство. Но поворот вектора, возникающий при параллельном переносе по замкнутому контуру и считающийся признаком кривизны поверхности, отсутствует. То есть, кривизны нет? Но мы же в исходном варианте с треугольной траекторией отчетливо видели – вектор испытал поворот. Почему возникло такое несоответствие?

Чтобы выяснить причину расхождений, проделаем следующее. Уменьшим длину верхней параллели, то есть, переместимся на более высокую широту, следующую параллель, которые показаны штриховыми линиями на рисунке 2b, и вновь произведем перенос вектора по образовавшемуся контуру. Очевидно, что результат будет таким же – вектор вернётся точно в исходное состояние. Ещё уменьшим длину верхней параллели и вновь перенесём вектор. Результат прежний. Будем уменьшать верхнюю параллель до тех пор, пока она не сожмётся в точку. Видимо, даже достигнув полюса, мы будем обязаны даже в этой точке явным образом как бы повернуть вектор до его исходного положения. Действительно, поворачивая при переносе вектор во всех предыдущих случаях, почему мы вдруг должны прекратить его поворот в исходное положение? Кстати, это следует все-таки уточнить. На самом деле во всех этих случая собственно поворота нет – есть строго параллельный перенос. Длинной стрелкой 5 показано, что при любом подъеме широты вплоть до полюса, наивысшей параллели вектор в каждой точке всегда совпадает с меридианом.

Здесь следует обратиться к похожей ситуации из геометрии, рис.3. Рассмотрим кривую с изломом в точке B. Построим семейство касательных к этой кривой. Очевидно, что в точке изгиба перед нами встанет вопрос: в какую сторону направлена касательная и существует ли она вообще?

Рис.3 Касательные к линии с изломом

Если рассуждать строго, то точка B – это точка, определенно принадлежащая нашей кривой, поэтому касательная, видимо, должны быть. Но кривая состоит из двух отрезков. Если бы мы точно знали, какому из них принадлежит точка B, то вопросов не возникло бы. Но в этом, собственно, и состоит ответ. Нам нужно просто определиться, точка B – это единственная точка, или это две точки, принадлежащие каждому из отрезков? Сделать это просто: нужно задать интервалы, которые и укажут, какому из отрезков эта точка принадлежит. Видимо, соломоново решение с удвоением точки здесь вряд ли уместно, поскольку создаёт неопределенность, двусмысленность. Пусть точка B принадлежит правому отрезку. Тогда с касательной всё ясно. В этой точке она принадлежит семейству остальных касательных к родительскому участку кривой. При переходе через эту точку мы, соответственно, переходим к семейству касательных другого отрезка линии. Как видим, никаких двусмысленностей и противоречий нет. При этом мы можем определенно заявить: касательная к точке B – единственная. Если мы будет последовательно строить касательные к левой половине линии, то мы никогда не сможем заявить: вот эта касательная – в точке B, мы не имеем права, поскольку точка B этому отрезку не принадлежит.

Теперь вернёмся к нашей сфере. Движение по квадратному контуру нам отчетливо показало, что конечная точка – это не удвоенная точка полюса, это две разные точки. Устремив к нулевому пределу верхнюю параллель, мы, в конечном счете, максимально сблизили эти точки, но они всегда были и остались разными. Следовательно, в треугольнике мы тоже должны отдавать себе отчет, что вернувшийся к полюсу вектор в первоначальной трактовке в исходное положение не вернулся! Он по-прежнему находится на линии правой стороны сферического треугольника. Чтобы его вернуть в исходное положение, мы обязаны последовательно перемещать его по меридианам, то есть, просто-напросто поворачивать в исходное положение. Действительно, точка полюса – это не одна точка. Но мы вопреки этому считаем, что точка изгиба – полюс сферы – может принадлежать только одной линии. По определению, изначально мы его "прикрепили" к левой стороне сферического треугольника, а после обхода контура – к правой стороне. На самом деле в этой точке пересекается множество меридианов, каждый из которых имеет собственную точку на полюсе. Без разрыва меридианов на полюсе устранить его многозначность нельзя, но такой разрыв меридианов логического оправдания не имеет, это весьма искусственный, ничем не обоснованный приём. Если мы переходим на полюсе с крайнего правого меридиана на крайний левый, то есть, в исходное положение, то мы фактически "шагаем" по полюсным точкам каждого меридиана и, соответственно, должны в эти моменты изменять направление переносимого вектора. А не переходить мы не имеем права – исходная точка, в которую мы, как считается, вернули переносимый вектор, находится на левом меридиане. Действительно, на каком основании можно заявить, что на полюсе вектор имеет направление именно этого меридиана? Таких оснований нет.

Рассмотрим детальнее ещё два примера обоснования изменения направления вектора при его параллельном переносе. Обратимся ещё раз к примеру, приведённому в работе [4].

"К тензору кривизны, введенному ранее коммутацией вторых ковариантных производных, можно прийти другим путем, рассматривая параллельный перенос произвольного вектора (тензора) по замкнутому контуру. Параллельно перенося произвольный тензор

из произвольной точки A в точку D вдоль различных сторон параллелограмма (см. рис.1.6), можно убедиться в том, что тензор Римана-Кристоффеля определяет разность компонент тензоров, перенесенных из одной точки в другую (близкую) двумя разными путями:

Рис.1.6. Введение тензора кривизны посредством параллельного переноса вектора (тензора) по замкнутому контуру" [4, с.67].

Обратим внимание на то, что рисунок можно рассматривать двояко: как 2-мерное пространство и как пространство 3-мерное. Для наглядности мы внесли небольшие коррективы в оригинальный рисунок: добавили голубоватый фон плоскости перемещения векторов, а для демонстрации трёхмерности пространства продлили вектора под плоскость пространства.

Теперь с целью получения результатов в самом общем виде, рассмотрим оба этих варианта. Поскольку изображение на рисунке направления вектора изменённым мы считаем произволом, так сказать, рисованием "на глазок", рассмотрим другой, аналогичный вариант рисунка, на который нанесём параллели или меридианы, кому какое название больше понравится. Наличие этих линий лишит нас возможности для произвольного выбора направлений векторов. Такой рисунок-аналогию можно представить в следующем вид:

Рис.4. Кривое пространство с точки зрения "плосковитян"

Это 2-мерное пространство, каким его воспринимают так называемые "плосковитяне", то есть, некие условные обитатели этого плоского искривлённого пространства. То, что это пространство искривлённое, видно из нашего трёхмерного пространства. Но его обитатели ничего, разумеется, увидеть не могут. Однако, если они попробуют определить сумму углов треугольника, например, треугольника DEF, то обнаружат, что их сумма меньше 180 градусов. Более того, для некоторых областей они получат вообще немыслимый результат: сумма углов треугольника GHK, наоборот, приближается к 360 градусам. Вместе с тем, в этом кривом пространстве есть и область, в которых треугольник, например, ABC имеет нормальную сумму углов – 180 градусов. Заметим, что подобную картину будут наблюдать и обитатели поверхности сферы: сумма внутренних углов некоторых треугольников у них также может достигать практически 360 градусов.

При измерении внутренних углах квадрата abcd плосковитяне получат весьма странные результаты: все углы квадрата - разные. Причём это определённо квадрат или, по меньшей мере, ромб, поскольку все его стороны равны.

Поскольку мы рассматриваем картину с точки зрения 2-мерного пространства, то и векторы в нём могут лежать только в "плоскости" этого пространства, у них по определению не может быть третьей пространственной компоненты, координаты. Кроме того, мы выбираем исходное направление вектора параллельное одной из групп меридиан (параллелей), которых, наборов, очевидно, может быть любое количество.

Рис.5. Перенос вектора в искривлённом 2-мерном пространстве из точки A в точку B по двум разным траекториям

На рисунке мы обязаны всегда вектор "накладывать" на ближайшую к нему параллель, поэтому приводим только те положения вектора, где он точно совпадает с параллелью. Промежуточные положения вектора также совпадают с промежуточными параллелями. Как видно на рис.5, никаким образом мы не сможем изменить направление вектора в его конечной точке. Меняется лишь его длина по мере продвижения в соответствии с кривизной пространства, но для обитателей этого 2-мерного пространства длина вектора неизменна и в каждой точке равна 10 единицам. На рисунке красной траектории перемещения вектора соответствуют его синие положения. Зелёной траектории – чёрные вектора. В точке А исходный вектор показан утолщённым, а в точке B – оба пришедших туда вектора немного смещены друг относительно друга, чтобы показать их оба.

Теперь рассмотрим перемещение такого же вектора искривлённом 3-мерном пространстве. Характер искривления не принципиален, поэтому возьмём его в форме гравитационной воронки нейтронной звезды.

Рис.6. Перенос вектора в искривлённом 3-мерном пространстве из точки A в точку B по двум разным траекториям

Как и в предыдущем случае искривлённого 2-мерного пространства мы никакими ухищрениями не сможем в конечной точке перемещения векторам придать различающиеся направления. В этой конечной точке они могут иметь только одно-единственное допустимое условиями задачи направление – это направление параллели в этой точке. Поскольку вектор изначально имел направление, совпадающее с направлением параллели в представленной группе, то и в конченой точке он может иметь только точно такое же направление.

В заключение рассмотрим ещё одну аргументацию, аналитическую, которая приводит к ожидаемому расхождению направлений просто как следствие вычислений.

"Весьма существенно, что в кривом пространстве параллельный перенос вектора из одной заданной точки в другую дает разные результаты, если он совершается по разным путям. В частности, отсюда следует, что если переносить вектор параллельно самому себе по некоторому замкнутому контуру, то он, возвратившись в первоначальную точку, не совпадет с самим собой.

Для того чтобы уяснить это, рассмотрим двухмерное искривленное пространство, т. е. какую-нибудь кривую поверхность. На рис.19 изображен фрагмент такой поверхности, ограниченный тремя геодезическими линиями. Подвергнем вектор 1 параллельному переносу вдоль контура, образованного этими линиями. При передвижении вдоль линии АВ вектор 1, сохраняя все время одинаковый угол с этой линией, перейдет в вектор 2. При передвижении вдоль ВС он таким же образом перейдет в 3. Наконец, при движении из С в А вдоль кривой СА, сохраняя постоянный угол с этой кривой, рассматриваемый вектор перейдет в 1', не совпадающий с вектором 1.

Выведем общую формулу, определяющую изменение вектора при параллельном переносе вдоль бесконечно малого замкнутого контура. Это изменение ΔА_k можно записать в виде

где интеграл берётся по данному контуру. Подставляя вместо δА_k выражение (85.5), имеем

стоящий под интегралом вектор А_i меняется по мере его переноса вдоль контура" [9, с.349].

Сначала отметим очевидную, на наш взгляд, ошибку на рисунке: штрихом должен быть обозначен вектор 1, направленный вертикально. Нетрудно заметить, что этот рисунок практически тождественен нашему рис.2a. Следовательно, если, как и там, мы здесь также "срежем" верхушку траектории в точке A, то сразу же обнаружим, что вектор на самом деле не вернулся в исходную точку!

Рис.7. Перенос вектора в искривлённом 2-мерном пространстве по замкнутой траектории не меняет его направления при возвращении в исходную точку

На рис.7 мы исправили отмеченную выше неточность в обозначениях векторов в точке А. Добавленная траектория красного цвета отчётливо показала, что в исходном варианте вектор 1' на самом деле не вернулся в исходную точку А. Новая обойденная вектором поверхность пространства подкрашена голубоватым цветом. Возвращение в исходную точку оказалось иллюзией, поскольку все промежуточные положения вектора вблизи точки A на самом деле слились в ней воедино, при этом соответствующие им направления отображены не былы. С нашими исправлениями видно, что из исходной точки A' вектор проходит, как и в исходном варианте, через точки B и С. Однако конченой точкой при перемещении вектора 3 является теперь не исходная точка A', а точка A''. Следовательно, в этой точке вектор 1' и не должен совпадать по направленю с ветором 1 (малинового цвета). Чтобы вернуться в действительно исходную точку этот вектор 1' должен пройти ещё ряд промежуточных положений – 1'', 1''', 1''''. Только после этого он окажется в непосредственной близости от исходной точки A'. Теперь уже ему ничто не мешает слиться с исходным направлением вектоора 1 (малинового) в действительно исходной точке A'.

Выводы

Из приведённых доводов прямо следует: параллельный перенос вектора в рамках пространства не позволяет получить информацию о кривизне пространства, в частности, на поверхности сферы. Несложно обнаружить, что подобное несоответствие возникает и на поверхности тора, и догадаться, что это справедливо в отношении любой искривленной поверхности. Но как же тогда следует относиться к строгим аналитическим выкладкам и доказательствам возможности этого? Ответ содержится в приведенном анализе. Как в аналитических выкладках, так и в графических примерах при параллельном переносе вектор не возвращен в исходное положение, поэтому и сохраняет параметры последнего участка траектории.

Кроме того, возникает весьма серьёзная проблема. Если тензорный формализм приводит к такому результату, изменению направления вектора при его переносе в криволинейном пространства, то неизбежно следует один из двух выводов. Если теория даёт некий вывод, не соответствующий реальному положению вещей, то такая теория не может быть верной. Даже если она тензорная. С другой стороны, если считать её всё-таки верной, безупречной, то такое расхождение с реальными фактами может быть следствием некорректного использования теории.

Литература

1. Бергман П., Загадки гравитации. Перевод с английского В.А.Угарова. – М.: Изд. "Наука", 1969 г., 216 с.

2. Бескин В.С., Гравитация и астрофизика. – М.: Физический институт им. П.Н.Лебедева РАН. Учебно-Научный Комплекс, 2007

3. Вергелес С.Н., Лекции по теории гравитации. Учебное пособие. – М., МФТИ, 2001.– 428с.

4. Владимиров Ю.С., Классическая теория гравитации: Учебное пособие. – М.: Книжный дом "ЛИБРОКОМ", 2009, 264 с.

5. Зельманов А.Л., Агаков В.Г. Элементы общей теории относительности. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989.

6. Иваненко Д.Д, Сарданашвили Г.А., Гравитация / Отв. ред. П.И.Фомин. Изд. 5-е. – М.: Издательство ЛКИ, 2012, 200с.

7. Мёллер К., Теория относительности. Изд. 2-е. Пер. с англ. Под ред. проф. Д. Иваненко. М., Атомиздат, 1975, 400 с.

8. Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация, т.1-3. – М.: "Мир", 1977

9. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. Т. П. Теория поля. – 8-е изд., стереот. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 536 с. – (Т. II).

10. Путенихин П.В. Логические основания многомерных пространств. – Саратов: "АМИРИТ", 2018. – 396 с., цв. илл., ISBN 978-5-907035-29-4, URL: https://www.twirpx.org/file/3089642/

https://www.elibrary.ru/item.asp?id=42690781

Оглавление

Выводы

Литература