Изучение алгебры и начал математического анализа в 11 классе. Книга для учителя [Мария Владимировна Ткачева] (pdf) читать постранично

УДК 372.8:51
ББК 74.262.21
Ф33

Ф33

Федорова Н. Е.
Изучение алгебры и начал математического анализа в 11 классе : кн. для учителя / Н. Е. Федорова,
М. В. Ткачева. — М. : Просвещение, 2009. — 159 с. :
ил. — ISBN 978-5-09-016555-6.

Книга содержит методические рекомендации учителям, преподающим алгебру и начала математического анализа в 11 классе по
учебнику авторов Ю. М. Колягина, М. В. Ткачевой, Н. Е. Федоровой, М. И. Шабунина. Пособие написано в соответствии с концепцией обучения алгебре и началам математического анализа по этому учебнику, а также с его содержанием и структурой. В нем даны
как общие, так и конкретные советы по изучению каждой темы.
УДК 372.8:51
ББК 74.262.21

ISBN 978-5-09-016555-6

© Издательство «Просвещение», 2009
© Художественное оформление.
Издательство «Просвещение», 2009
Все права защищены

Глава

I

Тригонометрические
функции

Тригонометрические функции определяются традиционно формулами у = sin x, у = cos x, у = tg x и у = ctg x, где х — действительные числа, хотя ранее выражения sin x и cos x определялись
как ордината и абсцисса точки единичной числовой окружности, а
у
x
сооти
выражения tg x и ctg x определялись как отношения
х
y
ветственно. Ранее при изучении тригонометрии углы поворота обозначались буквами α и β и выражались как в градусах, так и в радианах. Это было связано с тем, что все основные формулы
доказывались с помощью поворота точки единичной окружности с
центром в начале координат, а для обозначения координат этой
точки использовались буквы х и у. Далее отмечалось, что выражения sin x, cos x, tg x и ctg x (где буква х заменила α и β) суть действительные числа, записанные в тригонометрической форме. Поэтому правомерно считать, что все тригонометрические формулы
выражают определенные свойства тригонометрических функций.
Среди них следует особо выделить те формулы, которые непосредственно относятся к исследованию тригонометрических функций
и построению их графиков. Так, формулы sin (−x) = −sin x и
cos (−x) = cos x выражают свойства нечетности и четности соответственно функций у = sin x и у = cos x. Знаки значений синуса, коπ
синуса, тангенса (например, при
< х < π справедливы равенства
2
sin x > 0, a cos x < 0) выражают промежутки знакопостоянства одноименных тригонометрических функций. Неравенства | sin x | ≤ 1
и | cos x | ≤ 1 соответствуют множеству значений этих функций; равенство sin (x + 2πk) = sin x, где k ∈ Z, свидетельствует о периодичности функции у = sin x и т. д. Таким образом, практически все
основные свойства тригонометрических функций были доказаны в
VIII—IX главах учебника для 10 класса. Отметим, что в тригонометрических уравнениях неизвестное традиционно обозначалось
буквой х, хотя простейшие из них (например, sin x = 0, cos x = 1
и др.) решались с помощью поворота. Следует также обратить внимание на некоторые особенности определений свойств функций.
Построение графиков тригонометрических функций проводится
с использованием их свойств и начинается с построения графика
у = cos x. График у = sin x получается сдвигом графика у = cos x в
π
соответствии с формулой sin x = cos ⎛⎜ x − ⎞⎟ . С помощью графиков
⎝
2⎠
иллюстрируются известные свойства функций, а также выявляются некоторые дополнительные свойства. Так, из графика функции
у = cos x следует, что эта функция принимает значение, равное 0,
π
при х = + πn, п ∈ Z, наибольшее значение при х = 2πn, п ∈ Z,
2
и т. д. С помощью графиков тригонометрических функций легко

3

решаются простейшие тригонометрические уравнения и неравенства (особенно те, которые заданы на некотором промежутке).
Задачи для интересующихся математикой (они содержатся в специально выделенном тексте) знакомят учащихся с доказательством
утверждений, являющихся отрицанием факта ограниченности функции, периодичности и пр. Логическая структура этих доказательств
специально не обсуждается. Приведенные примеры рассуждений в
задачах позволяют провести их анализ и направить в нужное русло
поиск учащихся при самостоятельном решении упражнений.
Обратные тригонометрические функции (§ 6) даются в общеобразовательных классах обзорно, в ознакомительном плане.
В этих классах полезно также рассмотреть графики функций
у = | cos x |, y = a + cos х, у = cos (х + a), у = a cos х, у = cos ax, где
а — некоторое число (для профильных классов это обязательно).
В р е з у л ь т а т е и з у ч е н и я г л а в ы I все учащиеся должны
з н а т ь основные свойства тригонометрических функций, у м е т ь
строить их графики и распознавать функции по данному графику,
у м е т ь отвечать на вопросы к главе, а также решать задачи типа
108—116 и из рубрики «Проверь себя!».

§ 1. Область определения и множество значений
тригонометрических функций (2/2 ч)
Ц е л ь и з у ч е н и я п а р а г р а ф а — введение понятия тригонометрической функции, формирование умений находить область
определения и множество значений тригонометрических функций.
Изучение параграфа рекомендуется начать с повторения материала VIII и IX глав учебника для 10