Необратимость, односторонность и второе начало [Татьяна Алексеевна Афанасьева- Эренфест] (pdf) читать постранично, страница - 3

(

𝜕𝑍𝛽
𝜕𝑥𝛾

−

𝜕𝑍𝛾
𝜕𝑥𝛽

𝜕𝑍

𝜕𝑍

𝜕𝑍

𝜕𝑍𝛽

𝛾
) + 𝑍𝛽 (𝜕𝑥 − 𝜕𝑥𝛼 ) + 𝑍𝛾 (𝜕𝑥𝛼 − 𝜕𝑥 ) = 0.
𝛼

𝛾

𝛽

𝛼

(4)

Наконец, условимся пользоваться графическим представлением
параметров состояния 𝑥𝑖 , как прямоугольными координатами в пространстве
𝑛 измерений — «пространстве 𝑅𝑛 », так что каждое состояние равновесия
(т.е. каждую совокупность параметров
𝑥1′ , 𝑥2′ , . . . 𝑥𝑛′ )
будем считать
отображенным одной точкой пространства 𝑅𝑛 , а квази-статический процесс —
отображенным линией в 𝑅𝑛 . Реальный процесс не может быть отображен
линией в 𝑅𝑛 , но в § 6 будет дано обобщение графического изображения и на
нестатические процессы.
§ 2. Интегрирующий делитель выражения 𝑑𝑄. Прежде всего
рассмотрим некоторые характерные выводы существования интегрирующего
делителя выражения
𝑑𝑄 = 𝑌1 , 𝑑𝑥1 + 𝑌2 𝑑𝑥2 + ⋯ + 𝑌𝑛 𝑑𝑥𝑛 .
*) См. выноску *) на стр. 4.

том V, вып. 3 — 4]

АФАНАСЬЕВА-ЭРЕНФЕСТ, T. А.

7

Планк*) представляет этот замечательный факт, как нечто тривиальное,
не выражающее никаких особых свойств тел: на примере идеального газа он
𝑑𝑄
вычисляет непосредственно выражение
убеждается, что оно представляет
𝑇
полный дифференциал, а что это выражение будет полным дифференциалом
и для всякой другой системы, — он считает возможным показать,
рассматривая сложную систему, состоящую из идеального газа 𝐺 и данной
системы 𝑆. Он заставляет эту сложную систему 𝐺 + 𝑆 совершить круговой
процесс, при котором она не получала бы тепла извне. Тогда отдельно 𝐺 и
отдельно 𝑆 должны совершить круговой процесс, причем очевидно
∲𝐺
где ∲

𝑑𝑄

+ ∲𝑆

𝑇

𝑑𝑄
𝑇

= 0,

(5)

означает интеграл, взятый по замкнутому контуру . Отсюда
∮

𝑑𝑄
= 0,
𝑇

∲𝐺

𝑑𝑄
= 0.
𝑇

так как, по вычисленному ранее

𝑑𝑄

Планк считает, что этим доказано, что
для всякой системы 𝑆 есть
𝑇
полный дифференциал.
Если бы этого было достаточно, то получалось бы такое положение дела:
вследствие того, что нам можно придумать такие системы, как идеальные
газы, природа не может создавать иных систем кроме тех, которые
удовлетворяют условию голономности уравнения 𝑑𝑄 = 0. Или же приходится
сказать, что вскрытое при помоши идеальных газов свойство голономности
есть логически неизбежное свойство выражения 𝑑𝑄! Это очевидно неверно,
так как при указанном выводе не делалось никаких предположений, которые
могли бы коэффициенты 𝑌𝑖 уравнения (2) выделить из любых коэффициентов
𝑍𝑗 уравнения (3). Коэффициенты же
𝑍𝑗 , вообще говоря, могут и не
удовлетворять условию голономности (4).
Ошибка доказательства Планка часто ускользает от внимания, и поэтому
на нее должно быть здесь указано. Она заключается в следующем: пока мы
ничего не знаем про нашу систему 𝑆 мы не можем ручаться, что круговой
процесс не может быть для нее замкнут раньше, чем идеальный газ 𝐺 вступит
на ту самую адиабату, из которой он вышел. Поэтому, заботясь только о том,
чтобы наша система совершила круговой процесс в упомянутой комбинации с
газом, мы могли бы получить и такое равенство:

∲𝑆

*) М. Планк. «Термодинамика».

𝑑𝑄
𝑇

+ ∫𝐺

𝑑𝑄
𝑇

= 0,

(6)

ЖУРНАЛ ПРИКЛАДНОЙ ФИЗИКИ

8

где ∫𝐺
∫𝑆

𝑑𝑄
𝑇

𝑑𝑄
𝑇

[1928 г.

означало бы уже интеграл, взятый не по замкнутому пути. Т. е.

мог бы быть и отличен от нуля, а следовательно

𝑑𝑄
𝑇

для системы 𝑆
𝑑𝑄

могло бы и не быть полным дифференциалом. (При этом, конечно, ∲𝑆
в
𝑇
уравнениях (5) в (6) представляют интегралы, взятые по различным путям).
Повидимому, эта недооценка значения интегрируемости уравнения (2)
сделала то, что Планк весь вес второго начала полагает в свойстве энтропии
возрастать при необратимых процессах и считает, что невозможность
perpetuum mobile II рода — каковую он и принимает за выражение сущности
второго
начала — имеет своим основанием именно связанную с этим
возрастанием необратимость. Ниже*) будет показано, что логическая связь
необратимости с невозможностью perpetuum mobile II рода иная, чем это
принято думать.
Методу Планка, выводить существование интегрирующего делителя и
связанное с этим существованием энтропии системы из одних только свойств
идеальных газов, никто, повидимому, не следует, однако многие вслед за ним
самое основание второго начала видят в необратимости реальных процессов.
Это вполне определенно высказывает, между прочим, Каратеодори. Не
соглашаясь с идеологией того вывода существования энтропии, который дает
Каратеодори, мы, однако, должны отметить, что математическая структура
этого вывода позволяет схватить сущность дела в самом чистом виде и
освободить ее от тех логических наслоений, которые сохраняются во всех
курсах термодинамики, начиная с